MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA Suryasatriya Trihandaru Program Studi Fisika (Medis) Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga [email protected]

ABSTRAK Model matematika denyut jantung atau elektrokardiogram biasanya berupa berupa sistem (tiga baris) persamaan diferensial biasa orde satu. Dari model tersebut dibuat model yang lebih sederhana, yaitu hanya mengandung sebuah persamaan diferensial orde satu. Model ini diselesaikan dengan metoda numerik, yaitu Runge Kutta. Interval denyut jantung yang berdistribusi gamma dapat dipasang pada model dengan cara mengubah nilai perioda untuk satu perioda gelombang berikutnya. Hasil simulasi dianalisis kembali distribusinya, dan menghasilkan interval denyut jantung dengan distribusi yang mirip. Dengan demikian model dinamika yang hanya berupa sebuah persamaan diferensial orde satu ini bisa merepresentasikan dinamika jantung yang real. Kata-kata kunci: elektrokardiogram, pemodelan matematika, persamaan diferensial, Runge Kutta

PENDAHULUAN Sinyal elektrokardiogram (EKG) adalah sinyal yang menggambarkan aliran arus ionik yang menyebabkan jantung berkontraksi dan berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan merekam perbedaan potensial antara beberapa elektroda yang diletakkan di kulit manusia. Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncakpuncak yang biasanya dilambangkan dengan huruf P, Q, R, S dan T. Dalam satu perioda ini terdapat peristiwa depolarisasi/repolarisasi dari atrium dan ventrikel. EKG berkaitan erat dengan dunia kedokteran, karena informasi tentang penyakit yang diderita pasien salah satunya bisa diperlihatkan dari bentuk sinyal EKG. Usaha-usaha yang dikembangkan untuk membantu dokter untuk mendiagnosa pasien melalui EKG tidak hanya menjadi ranah kedokteran, namun juga merambah ke disiplin ilmu lain, misalnya disiplin teknik elektonika dan matematika. Di samping masalah akuisisi data EKG yang biasanya mengandung banyak derau sehingga analisa datanya memerlukan berbagai metoda, pemodelan matematika EKG juga

penting. Salah satu model EKG sintesis yang sangat mendekati bentuk nyata EKG adalah yang diberikan oleh McSharry dkk [1], yang bentuknya berupa sistem tiga persamaan diferensial biasa. Dalam makalah ini bagian atraktor (dua persamaan) ditiadakan, dan diganti suatu fungsi, sehingga dinamikanya hanya dihasilkan dari sebuah persamaan diferensial. Walaupun tidak mengandung atraktor dalam bentuk persamaan diferensial, dinamika model EKG diperkaya dengan cara memperkenalkan perioda yang bergantung waktu secara piecewise continue, yang variasinya mengikuti distribusi gamma. Beberapa hasil simulasi ditampilkan di makalah ini. Dengan input data perioda τ yang berdistribusi gamma, hasil simulasi juga memperlihatkan bahwa interval RR juga memiliki distribusi yang mirip, walaupun parameter distribusinya berubah. Bahkan amplitudo R juga bervariasi walaupun di setiap periode, input amplitudo untuk P, Q, R, S dan T (ai) dibuat konstan.

270


TINJAUAN PUSTAKA Tabel 2. Nilai QTc yang direkomendasikan untuk mendiagnosa QTc panjang Katagori 1-15 tahun Laki-laki Perempuan (detik) dewasa dewasa (detik) (detik) Normal < 0,44 < 0,43 < 0,45 Batas 0,44-0,46 0,43-0,45 0,45-0,47 Panjang > 0,46 > 0,45 > 0,47

Ditunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR dan QT cukup linear. Di makalah [3] tersebut dibedakan antara normal dan tidak abnormal hanya dengan melihat Tabel 1. Abnormal jika QTc masuk dalam katagori panjang.

Gambar 1. Profil satu siklus EKG. Arti dan batas-batas normal diberikan di makalah.

Dinamika sinyal EKG sintesis dimodelkan oleh McSharyy dkk [1], yang bentuknya terdiri dari tiga persamaan diferensial biasa, yaitu

Dalam bukunya [2], Soetopo menjelaskan arti penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat dilihat pada Gb 1. Gelombang P menggambarkan aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q menggambarkan awal dari fase depolarisasi ventrikel. Gelombang R dan S menggambarkan fase depolarisasi ventrikel, Gelombang Q, R dan S secara bersama disebut sebagai kompleks QRS. Gelombang T menggambarkan repolarisasi ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T masih ada gelombang Ta yang menggambarkan proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada setelah T namun juga kecil. Beberapa nilai interval untuk manusia normal dalam detik ditampilkan pada Tabel 1 berikut ini.

x  x  y y  y  x z  

(1)

  ai  i exp  iP ,Q , R , S ,T   2b



2 i 2 i

   ( z  z 0 ) 

dengan   1  x 2  y 2 ,

 i  (   i ) mod 2 dan   arctan 2( y, x). Kecepatan sudut diberikan oleh  dan fungsi kurva dasar z0 merupakan efek pernafasan dengan frekuensi f yang berbentuk z 0 (t )  A sin(2ft ) (2) Bagian pertama dan kedua Persamaan (1) membentuk trayektori yang mengitari sebuah atraktor dengan jari-jari x,y. Dalam satu siklus dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).

Tabel 1. Nilai-nilai normal interval EKG Interval Batas normal Keterangan (detik) PR 0,12-0,20 QRS <0,12 Tergantung usia dan siklus jantung (RR) Segmen ST 0,07-0,14 QT Lihat Tabel 2

Gambar 2(a) menunjukkan kurva atraktor yang dibentuk oleh Persamaan (1) bagian kesatu dan kedua. Gambar 2(b) menunjukkan trayektori lengkap dalam dimensi (x,y,z) yang disimulasikan dalam dua kali periode. Gambar 2(c) menunjukkan sinyal sintesis EKG. Pada simulasi ini diambil z0=0.

Interval QT lebih sering digunakan untuk interpretasi medis dibanding RR [3]. Biasanya yang dijadikan acuan adalah interval QT terkoreksi QTc yang diberikan oleh rumus Bazzet, yaitu QTc  QT / RR . Nilai normal untuk QTc diberikan [3] pada Tabel 2. 271


PEMODELAN MATEMATIKA 0.8

Dari bentuk trayektori atraktor yang berupa spiral dan mengarah pada bentuk lingkaran (Gambar 2(a)), maka di sini diasumsikan bentuk atraktor yang sederhana, yaitu lingkaran berjari-jari 1 yang bisa diwakili dengan persamaan lingkaran sebagai berikut x  sin(t ) (2) y  sin(t ) (3) Dengan bentuk lingkaran sempurna (2) dan (3) maka  berbentuk fungsi gigi gergaji seperti pada Gambar 3.

0.6 0.4

y

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

-0.5

0 x

0.5

1

(a)

4 3 2

0.15

R

z

1 

0.1 0.05 0

T

S

-1

P

Q

-2

-0.05 1

-3

1

0

-4 0

0 -1 -1

y

x

0.1

RR

z

0.04

τ

t

6

8

10

  i2  a   exp  i i   2b 2   ( z  z0 ) (5) iP ,Q , R , S ,T  i   dengan  i  (t ) mod(2 )     i . z  

0 -0.02 0

4

Bentuk fungsi gigi gergaji seperti pada Gb 2 dapat ditulis dengan cara lain, di sini ditulis secara  (t )  (t ) mod(2 )   (4) Jadi, dengan atraktor berupa lingkaran dan fungsi gigi gergaji (4) maka diperoleh model persamaan diferensial EKG yang terdiri dari sebuah persamaan diferensial saja, yaitu

0.06

0.02

2

Gambar 3. Kurva (t,θ) dengan   arctan 2( y, x) , x dan y diberikan oleh Persamaan (2) dan (3).

(b)

0.08

0

2

4

t

6

8

10

(c)

Selanjutnya, agar model yang sederhana ini tetap melibatkan atraktor yang dinamis maka diperkenalkan frekuensi sudut yang bervariasi terhadap waktu. Jadi, walaupun atraktor sudah diubah menjadi lingkaran berjari-jari satu, namun

Gambar 2. Simulasi Runge Kutta dari Persamaan (1). (a) adalah bentuk trayektori bagian kesatu dan kedua; (b) adalah kurva (x,y,z); (c) adalah represntasi EKG sintesis.

272


waktu untuk menempuh lingkaran tersebut bisa berubah. Untuk itu diperkenalkan variasi interval τ yang mempunyai distribusi gamma [4], dan nilainya dibuat kontinyu patah-patah (piecewise continue), tentunya gagasan ini bisa dikembangkan untuk parameter lain. Nilai  diberikan oleh



2 

dan ternyata parameternya menjadi (a;b)=(295; 0,003). Amplitudo R juga bervariasi dengan distribusi gamma (a;b)=(148; 0,006), lihat Gambar 6. 140 120

(6)

100

dengan interval τ yang mempunyai distribusi gamma sebagai berikut

80

 t  t a 1 exp   b  p(t ; a, b)  a b ( a )

60 (a) (b)

40 20

(7)

0

Pada tahap implementasi, nilai τ adalah konstan sepanjang satu perioda. Pada perioda berikutnya nilai τ berubah mengikuti distribusi gamma namun konstan sepanjang satu perioda. Demikian seterusnya sampai sampai diperoleh banyak perioda. Setelah beberapa periode diperoleh (dalam simulasi ini adalah 1000) kemudian dihitung interval RR yang disebut sebagai interval denyut jantung. Perbedaaan τ dan RR dapat dilihat pada Gambar 2(c).

0.7

0.8

0.9

1 RR

1.1

1.2

1.3

Gambar 4. Histogram nilai interval RR. (a) Data input RR dengan a=154 dan b=0.006. (b) Sebaran RR setelah simulasi, dihasilkan a=295 dan b=0,003. 0.6 0.5 0.4

z

0.3 0.2

Metoda solusi Persamaan (5) adalah dengan Runge Kutta orde empat. Pada t=0, diambil nilai awal z=0, pada saat pergantian perioda nilai z dibuat kontinyu.

0.1 0 -0.1 0

10 t

15

20

Gambar 5. Hasil simulasi Persamaan (5) dengan Tabel 3 dan parameter gamma (a;b)=(154; 0,006).

HASIL DAN PEMBAHASAN Pada simulasi digunakan parameter yang konstan nilainya seperti pada Tabel 3. i ai bi θi

5

60 50

Tabel 3. Parameter untuk Persamaan (5) P Q R S T 10 -40 800 -40 10 0,15 0,06 0,06 0,06 0,18 -2,513 -1,257 -0,943 -0,628 1,257

40 30 20

Interval τ mempunyai parameter input gamma (a;b)=(154; 0,006), dan sebarannya dapat dilihat pada histogram Gambar 4(a). Hasil simulasi z(t) dapat dilihat pada Gambar 5, yang hanya memperlihatkan 20 perioda dari 1000 perioda yang disimulasikan. Setelah simulasi, interval RR dihitung dan dicocokkan dengan distribusi gamma

10 0

0.3

0.35

0.4 Amplitudo R

0.45

0.5

Gambar 6. Sebaran amplitudo R setelah simulasi, menghasilkan distribusi gamma dengan (a;b)=(148; 0,006).

273


KESIMPULAN Telah dipaparkan pemodelan matematika EKG yang hanya terdiri dari sebuah persamaan diferensial biasa orde satu yang diperkaya dengan memvariasi perioda siklus EKG sesuai dengan distribusi gamma. Juga dipaparkan hasil-hasil numerik berupa sinyal sintesis EKG, sebaran interval RR dan sebaran amplitudo R. Semoga paparan ini berguna untuk pengembangan sains.

DAFTAR PUSTAKA [1] Patrick E. McSharry, Gari Clifford, Lionel Tarassenko and Leonard A. Smith. A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals. IEEE Transaction on Biomedical Engineering, Vol. 50, No. 3. March 2003. [2] Soetopo Widjaja. 1990. EKG Praktis. Binarupa Aksara, PO BOX 69, Grogol, Jakarta Barat, Indonesia. [3] Ilan Goldenberg, M.D., Arthur J. Moss, M.D., And Wojciech Zareba, M.D., Ph.D. QT Interval: How to Measure It and What Is “Normal”. Journal of Cardiovascular Electrophysiology, Vol.17, No. 3, March 2006. Page 333-356. [4] Herlina, Hanna Arini Parhusip, Suryasatriya Trihandaru, Bambang Susanto. 2014. Pola distribusi interval denyut jantung dengan memanfaatkan fungsi Gauss yang dioptimasi secara Nelder Mead Simplex. Submit ke Prosiding Seminar Nasional FSM UKSW. 2014.

274


MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA Suryasatriya Trihandaru Program Studi Fisika (Medis) Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga [email protected]

ABSTRAK Model matematika denyut jantung atau elektrokardiogram biasanya berupa berupa sistem (tiga baris) persamaan diferensial biasa orde satu. Dari model tersebut dibuat model yang lebih sederhana, yaitu hanya mengandung sebuah persamaan diferensial orde satu. Model ini diselesaikan dengan metoda numerik, yaitu Runge Kutta. Interval denyut jantung yang berdistribusi gamma dapat dipasang pada model dengan cara mengubah nilai perioda untuk satu perioda gelombang berikutnya. Hasil simulasi dianalisis kembali distribusinya, dan menghasilkan interval denyut jantung dengan distribusi yang mirip. Dengan demikian model dinamika yang hanya berupa sebuah persamaan diferensial orde satu ini bisa merepresentasikan dinamika jantung yang real. Kata-kata kunci: elektrokardiogram, pemodelan matematika, persamaan diferensial, Runge Kutta

PENDAHULUAN Sinyal elektrokardiogram (EKG) adalah sinyal yang menggambarkan aliran arus ionik yang menyebabkan jantung berkontraksi dan berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan merekam perbedaan potensial antara beberapa elektroda yang diletakkan di kulit manusia. Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncakpuncak yang biasanya dilambangkan dengan huruf P, Q, R, S dan T. Dalam satu perioda ini terdapat peristiwa depolarisasi/repolarisasi dari atrium dan ventrikel. EKG berkaitan erat dengan dunia kedokteran, karena informasi tentang penyakit yang diderita pasien salah satunya bisa diperlihatkan dari bentuk sinyal EKG. Usaha-usaha yang dikembangkan untuk membantu dokter untuk mendiagnosa pasien melalui EKG tidak hanya menjadi ranah kedokteran, namun juga merambah ke disiplin ilmu lain, misalnya disiplin teknik elektonika dan matematika. Di samping masalah akuisisi data EKG yang biasanya mengandung banyak derau sehingga analisa datanya memerlukan berbagai metoda, pemodelan matematika EKG juga

penting. Salah satu model EKG sintesis yang sangat mendekati bentuk nyata EKG adalah yang diberikan oleh McSharry dkk [1], yang bentuknya berupa sistem tiga persamaan diferensial biasa. Dalam makalah ini bagian atraktor (dua persamaan) ditiadakan, dan diganti suatu fungsi, sehingga dinamikanya hanya dihasilkan dari sebuah persamaan diferensial. Walaupun tidak mengandung atraktor dalam bentuk persamaan diferensial, dinamika model EKG diperkaya dengan cara memperkenalkan perioda yang bergantung waktu secara piecewise continue, yang variasinya mengikuti distribusi gamma. Beberapa hasil simulasi ditampilkan di makalah ini. Dengan input data perioda τ yang berdistribusi gamma, hasil simulasi juga memperlihatkan bahwa interval RR juga memiliki distribusi yang mirip, walaupun parameter distribusinya berubah. Bahkan amplitudo R juga bervariasi walaupun di setiap periode, input amplitudo untuk P, Q, R, S dan T (ai) dibuat konstan.

270


TINJAUAN PUSTAKA Tabel 2. Nilai QTc yang direkomendasikan untuk mendiagnosa QTc panjang Katagori 1-15 tahun Laki-laki Perempuan (detik) dewasa dewasa (detik) (detik) Normal < 0,44 < 0,43 < 0,45 Batas 0,44-0,46 0,43-0,45 0,45-0,47 Panjang > 0,46 > 0,45 > 0,47

Ditunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR dan QT cukup linear. Di makalah [3] tersebut dibedakan antara normal dan tidak abnormal hanya dengan melihat Tabel 1. Abnormal jika QTc masuk dalam katagori panjang.

Gambar 1. Profil satu siklus EKG. Arti dan batas-batas normal diberikan di makalah.

Dinamika sinyal EKG sintesis dimodelkan oleh McSharyy dkk [1], yang bentuknya terdiri dari tiga persamaan diferensial biasa, yaitu

Dalam bukunya [2], Soetopo menjelaskan arti penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat dilihat pada Gb 1. Gelombang P menggambarkan aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q menggambarkan awal dari fase depolarisasi ventrikel. Gelombang R dan S menggambarkan fase depolarisasi ventrikel, Gelombang Q, R dan S secara bersama disebut sebagai kompleks QRS. Gelombang T menggambarkan repolarisasi ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T masih ada gelombang Ta yang menggambarkan proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada setelah T namun juga kecil. Beberapa nilai interval untuk manusia normal dalam detik ditampilkan pada Tabel 1 berikut ini.

x  x  y y  y  x z  

(1)

  ai  i exp  iP ,Q , R , S ,T   2b



2 i 2 i

   ( z  z 0 ) 

dengan   1  x 2  y 2 ,

 i  (   i ) mod 2 dan   arctan 2( y, x). Kecepatan sudut diberikan oleh  dan fungsi kurva dasar z0 merupakan efek pernafasan dengan frekuensi f yang berbentuk z 0 (t )  A sin(2ft ) (2) Bagian pertama dan kedua Persamaan (1) membentuk trayektori yang mengitari sebuah atraktor dengan jari-jari x,y. Dalam satu siklus dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).

Tabel 1. Nilai-nilai normal interval EKG Interval Batas normal Keterangan (detik) PR 0,12-0,20 QRS <0,12 Tergantung usia dan siklus jantung (RR) Segmen ST 0,07-0,14 QT Lihat Tabel 2

Gambar 2(a) menunjukkan kurva atraktor yang dibentuk oleh Persamaan (1) bagian kesatu dan kedua. Gambar 2(b) menunjukkan trayektori lengkap dalam dimensi (x,y,z) yang disimulasikan dalam dua kali periode. Gambar 2(c) menunjukkan sinyal sintesis EKG. Pada simulasi ini diambil z0=0.

Interval QT lebih sering digunakan untuk interpretasi medis dibanding RR [3]. Biasanya yang dijadikan acuan adalah interval QT terkoreksi QTc yang diberikan oleh rumus Bazzet, yaitu QTc  QT / RR . Nilai normal untuk QTc diberikan [3] pada Tabel 2. 271


PEMODELAN MATEMATIKA 0.8

Dari bentuk trayektori atraktor yang berupa spiral dan mengarah pada bentuk lingkaran (Gambar 2(a)), maka di sini diasumsikan bentuk atraktor yang sederhana, yaitu lingkaran berjari-jari 1 yang bisa diwakili dengan persamaan lingkaran sebagai berikut x  sin(t ) (2) y  sin(t ) (3) Dengan bentuk lingkaran sempurna (2) dan (3) maka  berbentuk fungsi gigi gergaji seperti pada Gambar 3.

0.6 0.4

y

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

-0.5

0 x

0.5

1

(a)

4 3 2

0.15

R

z

1 

0.1 0.05 0

T

S

-1

P

Q

-2

-0.05 1

-3

1

0

-4 0

0 -1 -1

y

x

0.1

RR

z

0.04

τ

t

6

8

10

  i2  a   exp  i i   2b 2   ( z  z0 ) (5) iP ,Q , R , S ,T  i   dengan  i  (t ) mod(2 )     i . z  

0 -0.02 0

4

Bentuk fungsi gigi gergaji seperti pada Gb 2 dapat ditulis dengan cara lain, di sini ditulis secara  (t )  (t ) mod(2 )   (4) Jadi, dengan atraktor berupa lingkaran dan fungsi gigi gergaji (4) maka diperoleh model persamaan diferensial EKG yang terdiri dari sebuah persamaan diferensial saja, yaitu

0.06

0.02

2

Gambar 3. Kurva (t,θ) dengan   arctan 2( y, x) , x dan y diberikan oleh Persamaan (2) dan (3).

(b)

0.08

0

2

4

t

6

8

10

(c)

Selanjutnya, agar model yang sederhana ini tetap melibatkan atraktor yang dinamis maka diperkenalkan frekuensi sudut yang bervariasi terhadap waktu. Jadi, walaupun atraktor sudah diubah menjadi lingkaran berjari-jari satu, namun

Gambar 2. Simulasi Runge Kutta dari Persamaan (1). (a) adalah bentuk trayektori bagian kesatu dan kedua; (b) adalah kurva (x,y,z); (c) adalah represntasi EKG sintesis.

272


waktu untuk menempuh lingkaran tersebut bisa berubah. Untuk itu diperkenalkan variasi interval τ yang mempunyai distribusi gamma [4], dan nilainya dibuat kontinyu patah-patah (piecewise continue), tentunya gagasan ini bisa dikembangkan untuk parameter lain. Nilai  diberikan oleh



2 

dan ternyata parameternya menjadi (a;b)=(295; 0,003). Amplitudo R juga bervariasi dengan distribusi gamma (a;b)=(148; 0,006), lihat Gambar 6. 140 120

(6)

100

dengan interval τ yang mempunyai distribusi gamma sebagai berikut

80

 t  t a 1 exp   b  p(t ; a, b)  a b ( a )

60 (a) (b)

40 20

(7)

0

Pada tahap implementasi, nilai τ adalah konstan sepanjang satu perioda. Pada perioda berikutnya nilai τ berubah mengikuti distribusi gamma namun konstan sepanjang satu perioda. Demikian seterusnya sampai sampai diperoleh banyak perioda. Setelah beberapa periode diperoleh (dalam simulasi ini adalah 1000) kemudian dihitung interval RR yang disebut sebagai interval denyut jantung. Perbedaaan τ dan RR dapat dilihat pada Gambar 2(c).

0.7

0.8

0.9

1 RR

1.1

1.2

1.3

Gambar 4. Histogram nilai interval RR. (a) Data input RR dengan a=154 dan b=0.006. (b) Sebaran RR setelah simulasi, dihasilkan a=295 dan b=0,003. 0.6 0.5 0.4

z

0.3 0.2

Metoda solusi Persamaan (5) adalah dengan Runge Kutta orde empat. Pada t=0, diambil nilai awal z=0, pada saat pergantian perioda nilai z dibuat kontinyu.

0.1 0 -0.1 0

10 t

15

20

Gambar 5. Hasil simulasi Persamaan (5) dengan Tabel 3 dan parameter gamma (a;b)=(154; 0,006).

HASIL DAN PEMBAHASAN Pada simulasi digunakan parameter yang konstan nilainya seperti pada Tabel 3. i ai bi θi

5

60 50

Tabel 3. Parameter untuk Persamaan (5) P Q R S T 10 -40 800 -40 10 0,15 0,06 0,06 0,06 0,18 -2,513 -1,257 -0,943 -0,628 1,257

40 30 20

Interval τ mempunyai parameter input gamma (a;b)=(154; 0,006), dan sebarannya dapat dilihat pada histogram Gambar 4(a). Hasil simulasi z(t) dapat dilihat pada Gambar 5, yang hanya memperlihatkan 20 perioda dari 1000 perioda yang disimulasikan. Setelah simulasi, interval RR dihitung dan dicocokkan dengan distribusi gamma

10 0

0.3

0.35

0.4 Amplitudo R

0.45

0.5

Gambar 6. Sebaran amplitudo R setelah simulasi, menghasilkan distribusi gamma dengan (a;b)=(148; 0,006).

273


KESIMPULAN Telah dipaparkan pemodelan matematika EKG yang hanya terdiri dari sebuah persamaan diferensial biasa orde satu yang diperkaya dengan memvariasi perioda siklus EKG sesuai dengan distribusi gamma. Juga dipaparkan hasil-hasil numerik berupa sinyal sintesis EKG, sebaran interval RR dan sebaran amplitudo R. Semoga paparan ini berguna untuk pengembangan sains.

DAFTAR PUSTAKA [1] Patrick E. McSharry, Gari Clifford, Lionel Tarassenko and Leonard A. Smith. A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals. IEEE Transaction on Biomedical Engineering, Vol. 50, No. 3. March 2003. [2] Soetopo Widjaja. 1990. EKG Praktis. Binarupa Aksara, PO BOX 69, Grogol, Jakarta Barat, Indonesia. [3] Ilan Goldenberg, M.D., Arthur J. Moss, M.D., And Wojciech Zareba, M.D., Ph.D. QT Interval: How to Measure It and What Is “Normal”. Journal of Cardiovascular Electrophysiology, Vol.17, No. 3, March 2006. Page 333-356. [4] Herlina, Hanna Arini Parhusip, Suryasatriya Trihandaru, Bambang Susanto. 2014. Pola distribusi interval denyut jantung dengan memanfaatkan fungsi Gauss yang dioptimasi secara Nelder Mead Simplex. Submit ke Prosiding Seminar Nasional FSM UKSW. 2014.

274

MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA

Recommend Documents