PRILAKU PENYELESAIAN PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA AKIBAT WAKTU TUNDA (TIME DELAY) La Gubu1 1Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Haluoleo Kampus Bumi Tridharma Anduonohu Kendari 93232 Email:
[email protected]
Abstrak Model prey-predator Lotka-Volterra dengan waktu tunda merupakan model interaksi satu prey dan satu predator. Model ini melibatkan persamaan integral dan sistem persamaan diferensial non linear autonomous. Sistem persamaan tersebut dapat dilinearkan dengan menggunakan Transformasi Laplace disekitar titik kesetimbangannya, kemudian ditentukan prilaku penyelesaiannya dengan menggunakan hampiran solusi. Sistem persamaan ini mempunyai dua titik kesetimbangan yaitu titik (0,0) dan titik
a 2 a1 . Untuk memeriksa apakah titik kesetimbangan tersebut stabil atau tidak dapat dilihat dari nilai, 2
1
nilai eigen yang diperoleh. Hasil analisis menunjukkan bahwa titik
a2 a1 , 2
merupakan titik
1
kesetimbangan yang stabil asimtotik.
I.
PENDAHULUAN Banyak sistem interaksi yang berlangsung dalam ekosistem alami, salah satunya adalah
sistem interaksi mangsa-pemangsa (prey-predator). Predator merupakan spesis pemangsa yang secara fisik ukurannya lebih besar dibandingkan dengan prey, sedangkan prey adalah spesis yang dimangsa yang ukurannya lebih kecil daripada predator, (Boyce dan Diprima, 1997). Sistem interaksi prey-predator dalam hal ini satu prey dan satu predator telah disusun oleh Lotka dan Volterra, yang selanjutnya disebut model persamaan Lotka-Volterra (L-V). Walaupun model L-V tidak dapat menggambarkan secara kompleks hubungan antar spesis seperti kejadian nyata di alam, tetapi model sederhana tersebut merupakan langkah awal untuk mengetahui perilaku hubungan antara prey dan predator dari sudut pandang matematika. Model persamaan L-V dapat diselesaikan dengan linierisasi persamaan nonlinier pada titik kesetimbangan dan kestabilannya yang sangat peka terhadap gangguan (perturbasi). Karena modelnya yang cukup sederhana menyebabkan model ini banyak digunakan sebagai dasar bagi pengembangan model yang lebih realitas. Berbagai asumsi digunakan untuk memodifikasi model interakasi persamaan L-V dengan mempertimbangkan faktor-faktor yang berpengaruh atas masing-masing pertumbuhan spesis prey dan predator yang berinteraksi. Jika dalam suatu populasi terjadi bencana akibat pengaruh biotik maka pertumbuhan spesis-spesis dalam populasi tersebut akan mengalami gangguan. Hal ini berakibat pertumbuhan prey akan mengalami penundaan akbibat rusaknya sumberdaya yang ada.
JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25
Lebih lanjut pertumbuhan predator akan ikut mengalami penundaan akibat berkurangnya prey sebagai sumber bahan makanan utama. Hal ini yang menjadi acuan untuk mengembangkan model L-V akibat kerusakan populasi. II.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Persamaan Lotka-Volterra (L-V) Lotka-Volterra membangun model interaksi dua spesis yakni mangsa ( prey) dan pemangsa (predator) dengan menganggap bahwa x1 sebagai (prey) dan x2 sebagai pemangsa (predator) yang saling berinteraksi pada suatu daerah tertentu. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk membangun model interaksi dua spesis, berdasarkan Lotka-Volterra adalah sebagai berikut : 1.
Jika populasi predator diabaikan, maka laju pertumbuhan populasi prey akan naik secara eksponensial, diperoleh
2.
a1 x1 ,
a1
konstanta proporsional.
Jika populasi prey diabaikan, maka laju pertumbuhan populasi predator akan menurun, diperoleh
3.
dx1 dt
dx2 dt
a2 x2 ,
a2
konstanta proporsional.
Setiap interaksi kedua populasi, akan meningkatkan pertumbuhan populasi predator dan menghalangi pertumbuhan populasi prey. Oleh karena itu, pertumbuhan populasi predator
α 2 x1 x2 , sedangkan pertumbuhan α1 x1 x2 , dengan α1,α2 konstanta proporsional.
bertambah sebanyak sebanyak
populasi prey akan berkurang
Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut di atas dapat dibentuk sistem persamaan: dx 1 dx 2 a1x 1 α 1x 1x 2 a 2 x 2 α 2 x 1x 2 , dt dt dengan
a1,a2 ,α1
dan
α2
(2.1)
konstanta proporsional dan positif.
Sistem persamaan (2.1) disebut persamaan predator-prey Lotka-Volterra (L-V), (Boyce dan Diprima, 1997). Kedua populasi yang berinteraksi dari sistem persamaan (2.1) ternyata juga merupakan interaksi simbiosis mutualisme. Karena dalam suatu populasi tidak ada spesis yang dapat hidup bertahan lama tanpa kehadiran spesis lain. 2.2 Persamaan L-V Akibat Waktu Tunda Bagian ini akan dibangun model persamaan prey-predator L-V akibat adanya kerusakan populasi yang dapat mempengaruhi pertumbuhan prey yang juga akan mempengaruhi pertumbuhan predator berdasarkan persamaan (2.1) yang telah dibangun. Hal ini biasa dikenal model preypredator akibat waktu tunda. Definisi 2.2.1 Suatu persamaan diferensial disebut persamaan diferensial tundaan
(Differential Delay Equation), jika pada persamaan terdapat hubungan ketergantungan antara waktu sebelumnya dan waktu sekarang.
15
Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)
Diasumsikan bahwa laju perubahan pertumbuhan kedua populasi ( prey dan predator) bergantung pada ukuran populasi awal pada saat itu, yaitu x(t-s) dengan
dx s) pada dt
bergantung pada s dan diukur oleh fungsi normalisasi k(s), sehingga efek rata-rata
pembobotan dari ukuran semua populasi awal pada
dx dt
s ≥ 0, sehingga efek x(t-
xt
s k s ds
0
dx dt
diberikan sebagai berikut :
,
(2.2)
k s ds 0
dimana k(s) merupakan bentuk normalisasi pada fungsi pembobot atau fungsi kernel ( kernel
function) yang dapat ditulis sebagai berikut :
k s ds 1 ,
(2.3)
0
berakibat bahwa ukuran semua populasi awal x(t) tergantung pada t
k t s x s ds 0
k z xt
z dz .
(2.4)
0
Berdasarkan Definisi 2.2.1 dan persamaan (2.4), dapat dibentuk persamaan L-V akibat waktu tunda, dengan mengasumsikan bahwa ukuran populasi prey x1 berkurang dalam masa persiapan akibat interaksi dengan predator x2, sehingga berdasarkan persamaan (2.1), diperoleh:
dx1 dt
a1x1 α1x1x 2
dx 2 dt
a 2 x 2 α2 x 2
t
k t s x1 s ds
a 2 x 2 α 2 x 2 k z x1 t z dz
(2.5)
0
dimana k(t-s) merupakan fungsi normalisasi yang berpengaruh terhadap t dari populasi pertama pada saat s
t setelah waktu interval t-s.
Lebih lanjut berdasarkan persamaan (2.5), laju populasi prey akan bertambah akibat pengaruh laju perubahan populasi predator yang berkurang sehingga diperoleh:
dx1 dt dx2 dt
t
a1 x1 α1 x1 k 2 t s x2 s ds a1 x1 α1 x1 k 2 z x2 t z dz (2.6)
0 t
a2 x2 α2 x2 k1 t s x1 s ds
a2 x2 α2 x2 k1 z x1 t z dz 0
dimana k1(z) dan k2(z) merupakan fungsi normalisasi atau fungsi kernel tundaan (delay kernel
function), yang dapat dituliskan sebagai berikut:
k1 z dz 1 , 0
k 2 z dz 1 .
(2.7)
0
16
JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25
Sistem persamaan (2.6) disebut persamaan L-V dengan waktu tunda, (J.N Kapur, 2000). 2.3 Kesetimbangan Persamaan L-V dengan Waktu Tunda Bagian ini akan diberikan beberapa pengertian yang berhubungan dengan kesetimbangan untuk menyelesaikan persamaan L-V akibat waktu tunda. Berikut definisi tentang bagaimana menentukan titik kesetimbangan. Definisi 2.3.1 Misalkan diberikan sistem dua dimensi :
dx1 /dt
f1(x1,x2 ) dan dx2 /dt
(2.8)
f 2(x1,x2 ).
Diasumsikan bahwa f1 dan f2 kontinu dan mempunyai turunan parsial terhadap
dan
x1
x 2 . Titik
kesetimbangan diperoleh jika
f1 x1,x2
0 dan f 2 x1,x2
(2.9)
0
Nilai x1 dan x2 yang memenuhi persamaan (2.9) disebut titik kesetimbangan dari persamaan (2.8). Definisi 2.3.2. Sifat-sifat kesetimbangan interaksi dua spesis prey-predator, yaitu sebagai berikut : 1) Kesetimbangan sistem merupakan tipe yang stabil tapi tidak stabil asimtotik (menghasilkan trayektori pusat netral atau lintasan mengelilingi titik kesetimbangannya), jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah
i dengan
0.
2) Kesetimbangan sistem merupakan tipe yang stabil asimtotik (semua trayekttori lintasannya menuju titik kesetimbangan), jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah
0
3) Kesetimbangan sistem merupakan tipe yang stabil asimtotik, jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah
i dengan
0
4) Keseitmbangan sistem merupakan tipe tidak stabil (semua trayektori menjauhi titik kesetimbangannya), jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah
0
dan keduanya positif.
5) Kesetimbangan sistem merupakan tipe tidak stabil (semua trayektori menjauh atau memencar dari titik
i dengan
kesetimbangannya), jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah
0.
Secara umum untuk mencari solusi analitik sisitem persamaan L-V (2.6) sangatlah sulit, untuk menyelesaikannya akan diberikan asumsi sebagai berikut, jika
x1 t
x1
dan
x2 t
x2
,
(2.10)
maka berdasarkan persamaan (2.6) dan Definisi 2.3.1,diperoleh
a1x1 α1x1 k 2 z x 2dz=0 karena k 2 z dz 1 , berakibat 0
x1 a1
x
1 2
0
0
, sehingga diperoleh
x1 0
atau x 1
a1 . 1
Selanjutnya
a 2 x 2 α 2 x2 k1 z x1dz
0 karena k1 z dz 1 , berakibat
0
x2 a2
x
2 1
0
0 x2 a2 ,
x
2 1
0 , maka diperoleh x2
0 atau x1
a2 2
Jadi diperoleh dua titik kesetimbangan (equilibrium), yaitu titik (0,0) dan
a 2 a1 . , 2
17
1
Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)
2.4 Sistem Non Linier dan Kestabilan Sistem persamaan differensial nonlinear yang tidak bergantung terhadap waktu (autonomous) biasa dituliskan dalam bentuk : dx 1 dt
f 1 x 1, x 2 ,
dx 2 dt
f 2 x 1, x 2 .
(2.11)
Jika sistem persamaan differensial (2.11) mempunyai keadaan kesetimbangan
ui
xi
xi
maka menurut ekspansi Taylor untuk fungsi dua peubah disekitar
x1,x2 dan titik x1,x2
diperoleh :
f i x1 ,x2 atau
f1 x1 ,x2
f i x1 ,x2 f1 x1 ,x2
x1
x 1 x1 2!
x1
f 2 x1 ,x2
2
f 1 x1 , x 2 x1
x1 x2 2!
x1
2
x1
x2
x1 x 2 2!
2
x2 2!
2
f x1 , x 2 x2
f1 x1 , x2 ..... x1 x2 f 2 x1 ,x2 x2 x2 x1
f 2 x1 , x 2 x1
f i x1 ,x2 ......., i = 1,2 2 xi f x ,x x2 1 1 2 x2 (2.12a)
2
2
x1
2
2
x2
2
x2
x1
x1 2!
ui 2!
f1 x1 ,x2 x1
x1 2
f 2 x1 ,x2 +
2
f x ,x ui i 1 2 xi
x2
x2 2!
2 2
x2
f 2 x1 , x 2 x1 x 2
2
f 2 x1 ,x2 x2
2
f 2 x1 , x 2 x2
(2.12b)
2
....
Persamaan (2.12a) dan (2.12b) dapat juga dituliskan dalam bentuk :
dimana
f1 x1 ,x2
f1 x1 ,x2
f 2 x1 ,x2
f 2 x1 ,x2
g1 u1 , u2
x1 x1 2!
x1
g 2 u1 , u 2
Jika x
2
2
f 1 x1 , x2 x1
x1 x2 2!
x 1 x1 2! x1
f1 x1 ,x2 x1 f x ,x u1 2 1 2 x1
u1
2
2
x2
2
x2
2
x1 x2 2!
x2
2
x2
x2 2!
2
2
2
g1 u1 ,u2 ,u1 g 2 u1 ,u2 ,u2
x1
x1
x2
x2
f x1 , x2 x22
f1 x1 , x2 x1 x 2
f 2 x1 , x 2 x1
f1 x1 ,x2 x2 f x ,x u2 2 1 2 x2
u2
x2 2!
f 2 x1 , x 2 x1 x 2
..... 2
2
f 2 x1 , x 2 x2
2
.....
x1 , x2 merupakan keadaan kesetimbangan (equilibrium), maka : f i x1 , x2
0 , i = 1,2. 18
JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25
Di definisikan : dx 1 dt
x1
dx 2 dt
d x x , x dt 1 1 2
d x x2 dt 2
(2.13)
sehingga persamaan (2.11) dapat ditulis :
f1 x1 ,x 2 x1 f 2 x1 ,x 2 x1
dx1 dt dx2 dt
f1 x1 ,x 2 x2 f 2 x1 ,x 2 x2
x1-x1
g1 u1 ,u 2
x 2 -x 2
g 2 u1 ,u 2
.
(2.14)
Karena di titik kesetimbangan f1(x1,x2) = f2(x1,x2) = 0, dan di sekitar titik kesetimbangan x1 dianggap cukup dekat dengan
x1 , demikian pula dengan x2 dan x2 , maka x1 x1
sangat kecil. Hal ini menyebabkan suku-suku g(u1,u2) yang memuat
x1 x1 x2
x2
dx1 dt dx2 dt
dan
x1
x2 x2 x1 2, x2
x2
2,
, … dapat diabaikan, sehingga diperoleh
f1 x1 ,x 2 x1 f 2 x1 ,x 2 x1
f 1 x1 ,x 2 x2 f 2 x1 ,x 2 x2
x1-x1 x 2 -x 2
= Au dalam notasi vektor dapat dituliskan : x dimana x
nilainya
dx1 dt , u dx2 dt
u1
(2.15)
, dan
u2
A disebut turunan parsial pertama yang disebut matriks Jacobian dari f pada ( x1 , x2 ) yang memberikan hasil sistem linier :
A
f1 x 1 , x 2 x1 f 2 x1 , x 2 x1
f1 x 1 , x 2 x2 f 2 x1 , x 2 x2
f1 x1 f2 x1
f1 x2 . f2 x2
(2.16)
Nilai eigen matriks konstan A memberikan informasi kestabilan lokal di titik kesetimbangan
x1 , x2
(Nayfeh dan Balachandra, 1995). III.
HASIL DAN PEMBAHASAN Model Predator prey L-V dengan waktu tunda dapat dituliskan kembali seperti berikut ini :
dx1 dt dx 2 dt
19
t
a1x1 α1x1 k 2 t s x 2 s ds a1x1 α1x1 k 2 z x 2 t z dz 0 t
a 2 x 2 α2 x 2
k1 t s x1 s ds
a 2 x 2 α 2 x 2 k1 z x1 t z dz 0
(3.1)
,
Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)
Jika
x1 t
x1
dan
x2,
x2 t
maka telah diperoleh dua titik kesetimbangan dari
a 2 a1 . Titik kesetimbangan (0,0) dapat diabaikan, karena ,
persamaan (3.1), yaitu titik (0,0) dan
2
1
tidak ada pertumbuhan populasi dari kedua populasi atau di titik ini tidak ada prey dan predator. Oleh karena itu, disini hanya dapat diambil keadaan kesetimbangan disekitar titik
a 2 a1 , 2
1
Misalkan u1dan u2 adalah perturbasi pada keadaan seimbang, sehingga dari asumsi persamaan (2.10) dimodelkan dalam persamaan perturbasi dalam bentuk
x1 t
x 1 u1 t , x 2 t
x2
(3.2)
u2 t
Persamaan (3.2) disubtitusi kedalam persamaan (3.1) disekitar titik kesetimbangan
x1 , x2
diperoleh :
d x1 u1 dt
α1 x1 u1
a1 x1 u1
k 2 z x 2 u2 t z dz 0
du1 dt
ax1 +a1u1 α1x1 k 2 z x 2 dz α1x1 k 2 z u2 t z dz 0
0
α1u1 k 2 z x 2 dz α1u1 k 2 z u2 t z dz 0
du1 dt
0
a1x1 +a1u1 α1u1x 2 α1x1x 2 α1x1 k 2 z u2 t z dz 0
α1u1 k 2 z u2 t z dz 0
Dalam hal ini, akan dinolkan bagian yang konstan dan perkalian dari ui, dengan
i
1,2 ,
sehingga diperoleh :
Atau
du1 dt
a1u1 α1u1x 2 α1x1 k 2 z u2 t z dz
du1 dt
a1u1 α1u1
0
a1
α1
a2
1
k 2 z u2 t z dz ,
2 0
lebih lanjut
d x 2 u2 dt du2 dt
a 2 x 2 u2
α 2 x 2 u2
k1 z x1 u1 t z dz 0
a 2 x 2 a 2u 2
2 x2
k1 z x1 dz 0
2 x2
k1 z u1 t z dz 0
a2u 2 k1 z x1 dz a2u 2 k1 z u1 t z dz 0
0
20
JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25
du2 dt
a2 x 2 a 2u2 α 2 x 2 x1 α 2 x 2 k1 z u1 t z dz α 2u2 x1 0
α 2u2 k1 z u1 t z dz 0
Dalam hal ini, akan dinolkan bagian yang konstan dan perkalian dari ui, dengan
i
1,2 ,
sehingga diperoleh :
du2 dt Atau
a 2u2 α 2u2 x1 α 2 x 2 k1 z u1 t z dz 0
du2 dt
a 2 u2 α 2 u2
a2
a1
α2
2
k1 z u1 t z dz .
1 0
Jadi dari persamaan (4.1) dan persamaan (4.3) diperoleh :
du1 dt
a1u1 α1u1x 2 α1x1 k 2 z u 2 t z dz 0
du 2 dt
.
(3.3)
a 2 u 2 α 2 u 2 x1 α 2 x 2 k1 z u1 t z dz 0
Persamaan (3.3) dapat diselesaikan dengan mengambil hampiran solusi numerik
A1eλt , u 2 =A2eλt
u1
(3.4)
Persamaan (3.4) disubtitusi kedalam persamaan (3.3) disekitar titik kesetimbangan
x1 , x2
diperoleh
d A1e
t t
a1 A1e
dt
A e t x2
x k2 z A2e
1 1
1 1
t z
dz
0
A1
a1 A1
1
A1 x2
z
x A2 k2 z e
dz,
1 1
0
Karena
e
t
0. A1
Jadi dari persamaan (3.3) dan persamaan (3.4) diperoleh :
a1 A1
1
A1 x2
z
x A2 k2 z e
dz
1 1
,
0
A2
a2 A2
2
A2 x1
z
x A1 k1 z e
2 2
(3.5)
dz
0
sehingga
a2
A1
1
A2 k 2 z e
2
A2
a1 2 1
z
a2
dz
1
*
2
0
A1 k1 z e
A2 k 2
z
dz
a2 2
(3.6)
*
A1k1
2
0
Persamaan (3.6) merupakan solusi persamaan (3.3) yang bisa juga ditulis dalam bentuk
A2 21
x A 1 k1*
2 2
A1
x A2 k2*
1 1
(3.7)
Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)
dimana
k1
*
dan
k2
*
merupakan Tranformasi Laplace pada k1(z) dan k2(z), dengan
persamaannya sebagai berikut: L {k1 ( z )}
*
k1
z
e
k1 z dz dan L {k 2 ( z)}
k2
*
e
0
z
k 2 z dz
0
Matriks Jacobian dari persamaan (3.3) yang diperoleh dari persamaan (3.7) disekitar titik kesetimbangan
A
adalah
x1 , x2 f1 x1 , x2
f1 x1 , x2
A1
A2
f 2 x1 , x2
f 2 x1 , x2
A1
A2
(3.8)
x1 , x2
x1 , x2
Karena A merupakan matris Jacobian, maka matriks Jacobi dari persamaan (3.7) dapat ditulis
a2
0
sebagai :
1 2
A
a1
0
2 1
Persamaan karateristik dari matriks A diatas adalah *
2
*
a1a2 k1
0.
k2 k2 k1*(λ)
dan
k2*(λ)
an zn 1 , k2 z n
e
Untuk menentukan nilai
(3.9) akan diberikan model distribusi tunda dengan persamaan
berikut :
e
k1 z
az
bz
bm z m m
1
(3.10)
dimana m,n, a, b, z adalah konstanta positif. Dengan menggunakan Transformasi Laplace pada k1(z) dan k2(z) diperoleh k1*(λ) dan k2*(λ) berdasarkan persamaan (3.10) yang dapat dituliskan sebagai berikut : L
k1 ( z) k1
*
az
L e
anzn (n)
1
,
n
a
n
a z
e
z n 1 dz .
(3.11)
0
Untuk mencari integral dari persamaan (3.11) akan dimisalkan u = ( λ + a )z dengan dz
an n
sehingga diperoleh : k * 1
e
u
n 1
u a
0
du
n
a
a
du , a
a
Selanjutnya L k 2 ( z)
L e
bz m
b zm (m)
1
,
k1
e
* 0
z
e bz b m z m 1 dz m
22
JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25
k2
bm m
*
b z
e
z m 1 dz .
(3.12)
0
Untuk mencari integral persamaan (3.12) akan dimisalkan v = ( λ + b )z dengan
dv
dz
b
,
sehingga diperoleh :
bm m
*
k2
e
m 1
v
v
dv
b
0
m
b
b
.
a
Jadi, dari persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) diperoleh:
k1
*
e
az
e
bz
an zn n
0
k1
* 0
m
b z m
1
n
a
(3.13)
a
m 1
m
b b
Dengan mensubsitusi persamaan (3.13) kedalam persamaan (3.9) diperoleh
λ2
n
a
a 1a 2
λ
a
n
(3.14)
0
b λ
λ2 a λ
g
m
b
m
b λ
0.
a 1a 2 a n b m
(3.15)
Persamaan (3.15) diderivatifkan terhadap λ diperoleh:
g
2
n
a n 1
a
m
b
2
m 1
b
n 1
n a
2a
m
b
b
n b
2
a
n
m b
m 1
(3.16)
m a
Misalkan
2a
b
n b
(3.17)
m a
sehingga persamaan (3.16) menjadi
g
a
n 1
b
m 1
(3.18)
Berdasarkan persamaan (3.18) diperoleh bahwa jika
g
0.
a,
b dan 0,
maka
Hal ini berarti laju pertumbuhan populasi prey-predator akan setimbang. Lebih lanjut
menurut persamaan (3.15) diperoleh
g
0
pada interval
a, 0 atau ( b, a ) .
Ini juga
berarti jumlah populasi prey akan menurun, sehingga berpengaruh terhadap penurunan jumlah populasi predator akibat kurangnya sumber bahan makanan utama yang bersumber dari populasi prey. Lebih lanjut, keadaan titik kesetimbangan ( a2 a1 ) kedua populasi menunjukkan stabil ,
2
asimtotik. Kestabilan asimtotik ini ditunjukkan oleh Selanjutnya, jika diambil
1
a dan
1
yang mempunyai nilai-nilai eigen real negatif. 2
b persamaan (3.4) menjadi
-at
u1 (t) A1e
u 2 (t)=A2e-bt ,
23
(3.19)
Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)
sehingga berdasarkan persamaan (3.2) dan persamaan (3.19) disekitar titik kesetimbangan (
a2
,
a1
2
diperoleh bahwa asumsi solusi dari persamaan (3.1) adalah a2 x1 (t ) A1e at . 2 x2 (t )
a1
A2e
)
1
(3.20)
bt
1
Karena pada saat
0 dicapai,
kerapatan populasi prey dan predator akan mencapai garis
asimtot atau berlangsung stasioner tanpa ada perubahan (yang merupakan titik kesetimbangannya), sehingga pada akhirnya pertumbuhan kedua populasi berhenti. Oleh karena itu, untuk
0
akan
diabaikan. Lebih jelasnya, dinamika pertumbuhan x1 dan x2 terhadap waktu t akibat waktu tunda dengan adanya pengaruh u1(t) dan u2(t) dengan berdasarkan persamaan (3.20) dapat ditunjukkan dengan grafik berikut :
x1 x2
x1 , x2
Gambar 1. Simulasi x1 dan x2 di titik ( a2
,
2
a1
) dengan a1 =
1
= 1, a2 =
2
= 0,3, a = 0,5, b=1,5, dan
1
A1 = A2 =1. Berdasarkan Gambar 1, menunjukkan x1 dan x2 keseimbangannya stabil asimtotik tanpa osilasi. Analisis menunjukkan untuk setiap konstanta a1,
1,
a 2,
2,
a, dan b berlaku sifat
kesetimbangan yang stabil asimtotik di ( a2 , a1 ). 2
1
Lebih lanjut, berdasarkan gambar 1, tidak terjadi isolasi pada dinamika perumbuhan populasi prey dan predator. Laju pertumbuhan yang tidak berisolasi ini disebabkan oleh saling ketergantungan antara keduanya. Jumlah populasi predator yang
ada dipengaruhi oleh jumlah
populasi prey. Kemudian dari gambar 1 terlihat juga bahwa pertumbuhan populasi predator lebih cepat menuju ke titik kesetimbangan ( a2 , a1 ) dari pada populasi prey. 2
1
Lebih lanjut, prilaku sifat solusi kesetimbangan persamaan prey-predator akan digunakan analisis bidang fase berikut :
24
JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25
x x21
x1
x2
0
0
Gambar 2. Simulasi sistem persamaan L-V akibat waktu tunda dengan a1 = α1 = 1, a2 = α2 = 0,3 dan nilai awal x1(0)=1.2; x2(0) = 1,7. Berdasarkan gambar 2 terlihat bahwa trayektori dari model tersebut berbentuk memilin yang mengarah ke dalam atau ke titik (
a2 2
,
a1
). Hal ini berarti simulasi menunjukkan trayektori menuju ke
1
titik kesetimbangannya, sehingga berdasarkan Definisi 2.3.2, titik ( a2 a1 ) merupakan titik yang ,
2
1
stabil asimtotik. IV.
KESIMPULAN Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa laju perubahan
pertumbuhan predator lebih cepat menuju ke titik kesetimbangan ( a2 a1 ) dibandingkan dengan laju ,
2
perubahan pertumbuhan populasi prey. Sementara itu, titik ( a2 2
V.
,
1
a1 ) bersifat stabil asimtotik. 1
DAFTAR PUSTAKA 1.
Boyce, E.W. and Diprima, R.C., 1997, Elementary Differential Equations and Boundary Value
Problems, John Wiley & Sons Inc., New York. 2.
Burger, D.N., Borrie, M,S., 1982, Modelling with Differential Equations , John Wiley & Sons. Inc.
3.
Kapur, J.N., 2000, Mathematical Models in Biology and Medicine, Affiliated East-West Press Private Limited., New Delhi.
4.
Kreyzig, E, 1999, Advance Engineering Mathematics, John Wiley & Sons. Inc.
5.
Nafyeh, A.H. and
Balachandra, B., 1995, Applied Nonlinear Dynamic: Analytical,
Computational, and Experimental Method, John Wiley & Sons Inc., New York. 6. 7.
Ross, S.L., 1984, Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc. Santosa,W., Pamuntjak, R.J., 1990, Persamaan Diferensial Biasa, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Jakarta
25
