MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY

MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY

TESIS

Oleh FERDINAND SINUHAJI 127021034/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 Universitas Sumatera Utara


TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Oleh FERDINAND SINUHAJI 127021034/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: : : :

MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY Ferdinand Sinuhaji 127021034 Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc) Anggota

Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 22 Desember 2014


Telah diuji pada Tanggal 22 Desember 2014

PANITIA PENGUJI TESIS Ketua

: Prof. Dr. Tulus, M.Si

Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc 2. Dr. Ester Nababan, M.Sc 3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis


PERNYATAAN


TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, Penulis, Ferdinand Sinuhaji

i


ABSTRAK Epidemi merupakan suatu keadaan berjangkitnya suatu penyakit menular dalam populasi pada suatu tempat yang melebihi perkiraan yang normal dalam periode yang singkat. Bila penyakit tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupun dengan faktor penyebabnya maka dikatakan endemik. Penulisan ini membahas menurunkan model epidemi SIRS dengan time delay melalui model matematika berdasarkan model epidemi SIRS (Susceptible, Infective, Recovered, Susceptible). Model SIRS yang digunakan pada penulisan ini dengan asumsi bahwa semua individu yang telah sembuh tidak mempunyai kekebalan yang permanen terhadap penyakit, Sehingga akan kembali masuk ke dalam kelas rentan penyakit. Model epidemi mempunyai dua titik kesetimbangan, yaitu adalah titik kesetimbangan bebas infeksi penyakit dan titik kesetimbangan endemi. Syarat dan kestabilan titik kesetimbangan ditentukan oleh bilangan (R0), yaitu nilai yang menentukan ada atau tidaknya penyebaran infeksi penyakit pada suatu populasi. Titik kesetimbangan bebas penyakit (E0 ) adalah stabil asimtotik global pada Γ jika R0 < 1 dan titik kesetimbangan endemik (E ∗) adalah tidak stabil asimtotik global pada Γ jika R0 > 1. Hasil penelitian diketahui bahwa kesetimbangan bebas penyakit stabil global untuk semua τ > 0 ketika jumlah bilangan R0 < 1. Dapat dikatakan, time delay tidak dapat mempengaruhi kestabilan kesetimbangan bebas penyakit. Dengan kata lain, pengaruh time delay dapat diabaikan untuk R0 < 1. Namun, ketika, R0 > 1 kestabilan kesetimbangan endemi akan dipengaruhi oleh time delay. Kata kunci

: SIRS, Model epidemi SIRS, Time delay.

ii


ABSTRACT The epidemic is an outbreak of an infectious disease situation in the population at a place that exceeds the normal approximation in a short period. When the disease is always contained in any place as well as with the causes, it is called endemic. This study discusses decrease SIRS epidemic models with time delay through a mathematical model based on the model of SIRS epidemic (Susceptible, Infective, Recovered, Susceptible). SIRS models used in this study with the assumption that all individuals who had been recovered did not have permanent immunity against disease, so will go back into the susceptible class of diseases. Model epidemic has two equilibrium points, which is the point of infection disease-free equilibrium and the endemic equilibrium point. Terms and stability of the equilibrium point is determined by the number (R0 ), a value that determines whether or not deployment infectious disease in a population. The disease-free equilibrium (E0) is globally asymptotically stable if R0 < 1 in the set Γ and the endemic equilibrium (E ∗ ) is globally asymptotically stable if R0 > 1 in the set Γ. The results reveal that the disease-free equilibrium is globally stable for all τ > 0 when the number of the number R0 < 1. This is to say, time delay can not affect the stability of the disease-free equilibrium. In other words, the effect of time delay can be ignored for R0 < 1. However, when, R0 > 1 stability of the endemic equilibrium will be affected by the time delay. Keyword

: SIRS, SIRS epidemic models, Time delay.

iii


KATA PENGANTAR Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara dan juga adalah selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 genap yang memberikan bantuan moril kepada penulis dalam penulisan tesis. iv


Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Nurcahaya Br Sembiring dan ayahanda Agen Sinuhaji yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Tak lupa pula kepada kakakku Tabitha Fransisca Br Sinuhaji yang telah memberikan semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Tuhan Yang Maha Esa memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.

Medan, 2014 Penulis,

Ferdinand Sinuhaji

v


RIWAYAT HIDUP Ferdinand Sinuhaji dilahirkan di Berastagi pada tanggal 4 Februari 1985 dari pasangan Bapak Agen Sinuhaji & Ibu Nurcahaya Br Sembiring. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar di Methodist Berastagi pada tahun 1997, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Berastagi pada tahun 2000, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Berastagi tahun 2003. Pada tahun 2003 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara Fakultas MIPA Jurusan D3 Ilmu Komputer lulus tahun 2006 dan pada tahun yang sama melanjut pada Strata Satu (S-I) Jurusan Matematika dan lulus tahun 2009. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Pada tahun yang sama, penulis bekerja sebagai staf pengajar sampai sekarang.

vi


DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN

i

ABSTRAK

ii

ABSTRACT

iii

KATA PENGANTAR

iv

RIWAYAT HIDUP

vi

DAFTAR ISI

vii

DAFTAR TABEL

ix

DAFTAR GAMBAR

x

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Rumusan Masalah

4

1.3 Tujuan Penelitian

4

1.4 Manfaat Penelitian

4

1.5 Metodologi Penelitian

5

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

6

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Autonomous

6

2.2 Sistem Persamaan Diferensial

7

2.3 Titik Kesetimbangan dan Kestabilan

8

2.4 Linierisasi Sistem

11

2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

12

2.6 Bilangan Reproduksi Dasar (R0 )

13

vii


2.7 Model Epidemi

14

BAB 3 MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY

16

3.1 Model Epidemi SIRS

16

3.2 Perancangan Model

16

3.3 Memodifikasi Dinamika Transmisi

17

3.4 Asumsi Pemodelan

19

3.5 Diagram Kompartemen

20

3.6 Positivity dan Boundedness

22

3.7 Lokal pada Hopf Bifurkasi

23

BAB 4 ANALISIS KESTABILAN DAN TITIK KESETIMBANGAN

25

4.1 Analisis Kualitatif Model

25

4.2 Bilangan Reproduksi Dasar (R0 )

25

4.3 Kesetimbangan dan Kestabilan Model

26

4.4 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit (E0 )

26

4.5 Kestabilan Lokal pada (E0)

27

4.6 Titik Kesetimbangan Epidemi (E ∗)

28

4.7 Kestabilan Lokal dan Hopf Bifurkasi pada (E ∗ )

30

4.8 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Model SIRS

31

4.9 Contoh Model Matematika Epidemi SIRS dengan Time Delay

32

4.9.1 Contoh 1 jika R0 < 1

32

4.9.2 Contoh 2 jika R0 > 1

33

4.9.3 Contoh model SIRS tanpa time delay

35

4.9.4 Pendekatan dengan kuantitatif

37

BAB 5 KESIMPULAN

39

DAFTAR PUSTAKA

40

viii


DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

3.1

Variabel dan parameter dalam proses pembentukan model

19

4.1

Nilai parameter pada contoh pertama

33

4.2

Nilai parameter pada contoh kedua

34

4.3

Nilai parameter pada contoh ketiga

35

ix


DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

1.1

Model epidemi SIR

2

1.2

Model epidemi SIRS

3

2.1

Kestabilan dari titik kesetimbangan stabil

10

2.2

Kestabilan dari titik kesetimbangan stabil asimtotik

10

3.1

Diagram kompartemen SIRS dengan time delay

20

4.1

Lintasan dari I(t) dengan τ = 5,15,25,35,55. (E0 ) selalu stabil

36

4.2

Lintasan grafik dari solusinya

37

x


MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY

Recommend Documents