MODEL EPIDEMI ROUTING

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

Volume 2

MODEL EPIDEMI ROUTING Maftuhah1, Respatiwulan, Siswanto Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta 1) [email protected] Abstrak Model epidemi routing menjelaskan proses pengiriman paket data pada jaringan mobile melalui analogi proses penyebaran penyakit. Analogi dapat dilihat berdasarkan proses dan variabel yang berpengaruh. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan model epidemi routing. Model epidemi routing berupa persamaan diferensial biasa yang menyatakan perubahan banyaknya node yang memiliki paket data pada suatu jaringan mobile pada saat t. Perubahan banyaknya node dipengaruhi laju pengiriman paket data. Semakin besar laju pengiriman paket data maka semakin besar perubahan banyaknya node yang memiliki paket data pada suatu jaringan mobile.Penyelesaian model epidemic routing berupa banyaknya node yang memiliki paket data pada suatu jaringan mobile pada saat t. Selanjutnya model epidemi routing diterapkan pada suatu contoh proses pengiriman paket data di medan perang dan disimulasi dengan mengambil besarnya laju pengiriman paket data βyang berbeda. Hasil simulasi menunjukkan jika semakin besar nilai β, maka semakin cepat waktu yang diperlukan untuk semua node dalam jaringan mobile dapat memiliki paket data. Kata kunci: model epidemi, routing

1. PENDAHULUAN Model epidemi merupakan salah satu model matematika yang dapat menggambarkan pola penyebaran penyakit. Kesesuaian model epidemi dengan kasus nyata penyebaran penyakit mengakibatkan banyak dilakukan pengembangan model epidemi. Menurut Isham [3], pengembangan model epidemi dilakukan dengan menambah variabel dan menambah perlakuan sesuai tujuan yang diinginkan. Selain itu, pengembangan dari model epidemi juga dapat dilakukan dengan melakukan analogi model epidemi atau proses penyebaran penyakit dengan proses yang memiliki perilaku sama sehingga diperoleh model baru. Model epidemi dapat dianalogikan dengan proses pengiriman paket data (routing) (Zhang[6]). Routing adalah proses pemilihan jalur untuk pengiriman paketdata dari node satu ke node yang lain dalam suatu jaringan mobile. Pada routing dipilih jalur pengiriman paket data yang stabil, yaitu jalur dengan semua nodedapat memiliki paket data. Analogi antara model epidemi dan routing dapat dilihat berdasarkan proses dan variabel yang berpengaruh, sehingga dengan dilakukannya analogi maka dapat mempermudah memperoleh model epidemi routing.

Makalah Pendamping: Matematika 2

177

Volume 2


2. PEMBAHASAN 2.1 Model Epidemi Routing Model epidemi routing mengacu pada (Zhang [6]). Model epidemi routing menjelaskan proses pengiriman paket data dalam suatu jaringan mobile (routing)melalui analogi pada proses penyebaran penyakit. Analogi antara model epidemicdan routing dapat dilihat berdasarkan proses dan variabel yang berpengaruh.Model epidemi routing dapat menggambarkan pola pengiriman paket data padajaringan mobile berdasarkan banyaknya node yang memiliki paket data tiap satusatuan waktu. Proses pengiriman paket data pada routing dinyatakan dengan algoritma store-carryforward. Store-carry-forward adalah node yang memiliki paket data danmembawa paket data tersebut untuk mengirimkannya ke node lain yang belummemiliki paket data ( Liu [4] dan Zhang [6]). Menurut Small [5], model epidemicyang prosesnya sesuai dengan algoritma pada routing adalah model susceptible infected (SI). Model SI menggambarkan proses penyebaran penyakit dari individuyang terinfeksi penyakit ke individu yang belum terinfeksi penyakit sampai

semuaindividu

terinfeksi

penyakit

tersebut.

Selain

proses,

variabel

yang

berpengaruhpada routing dan model epidemi juga memiliki kesamaan. Node yang belum memiliki paket data pada routing dapat dianalogikan dengan individu yang belumterinfeksi pada model epidemi dan node yang memiliki paket data pada routing dapat dianalogikan dengan individu yang terinfeksi pada model epidemi. Karena proses pengiriman paket data pada routing dapat dianalogikan dengan model SI, maka asumsi yang digunakan pada model epidemi routing mengacu pada model SI. 1. Pengiriman paket data terjadi pada suatu jaringan mobile dengan banyaknya node konstan. 2. Terdapat satu node awal yang memiliki paket data. 3. Setiap node mempunyai peluang yang sama untuk memiliki paket data. 4. Hanya satu paket data yang dapat dikirimkan. 5. Satu node hanya dapat mengirimkan dan menerima paket data sebanyak satu kali. Pada model epidemi routing, kelompok node yang belum memiliki paket data dianalogikan dengan kelompok individu yang belum terinfeksi penyakit dinotasikan dengan S. Sedangkan kelompok node yang memiliki paket data dianalogikan dengan kelompok individu yang terinfeksi penyakit dinotasikan dengan I. Node pada kelompok S dapat memiliki paket data dengan laju pengiriman paket data sebesar β, sehingga node yang telah memiliki paket data menjadi node pada kelompok I. Karena setiap node mempunyai peluang yang sama untuk memiliki paket data, maka kemungkinan banyaknya node pada kelompok S yang berpindah ke kelompok I sebesar βSI. Sehingga proses pengiriman dan penerimaan paket data antar node pada model epidemi routing dapat disajikan dalam Gambar 1.

178



Volume 2

Gambar 1. Proses pengiriman dan penerimaan paket data antar node Banyaknya node kelompok S dan I pada waktu t, masing-masing dinyatakan dengan S(t) dan I(t). Jika banyaknya node pada suatu jaringan mobile dinyatakan dengan N, maka S(t) = N - I(t). Dengan demikian perubahan banyaknya node yang memiliki paket data pada jaringan mobile tiap satu satuan waktu dapat dituliskan sebagai 𝑑𝐼 (𝑡) 𝑑𝑡

= 𝛽 𝐼 𝑡 (𝑁 − 瑡 𝑡 )

(2.1)

dengan laju pengiriman paket data 𝛽 ≥ 0. Selanjutnya persamaan diferensial (2.1) merupakan model epidemi routing.

2.2 Penyelesaian Model Model epidemi routing diharapkan dapat menggambarkan pola pengiriman paket data berdasarkan banyaknya node yang memiliki paket data. Persamaan (2.1) menyatakan perubahan banyaknya node yang memiliki paket data pada jaringan mobile tiap satu satuan waktu. Sehingga, persamaan (2.1) perlu diselesaikan untuk mendapatkan persamaan yang menyatakan banyaknya node yang memiliki paket data pada jaringan mobile tiap satu satuan waktu, dan penyelesaiannya dapat diselesaikan secara eksak. Menurut Champell [1], persamaan (2.1) merupakan persamaaan diferensial dengan variabel terpisah, sehingga dapat dinyatakan 𝑑𝐼 (𝑡) 𝐼 𝑡 (𝑁−𝐼 𝑡 )

= 𝛽𝑑𝑡.

(3.1)

Karena diasumsikan hanya terdapat satu node awal pada jaringan mobile yang memiliki paket data I(0) = 1, diperoleh penyelesaian dari persamaan (3.1) 𝑁

𝐼 𝑡 = 1+(𝑁−1)𝑒 −𝛽𝑁𝑡

(3.2)

dengan laju pengiriman paket data 𝛽 ≥ 0. Persamaan (3.2) menyatakan banyaknya node yang memiliki paket data pada jaringan mobile pada waktu t, dengan N menyatakan banyaknya node dalam jaringan mobile dan 𝛽merupakan laju pengiriman paket data. Banyaknya node yang memiliki paket data pada jaringan mobile tiap satu satuan waktu dapat dianalisis dengan melihat pengaruh dari 𝛽. Jika 𝛽bernilai 0, maka 𝑒 −𝛽𝑁𝑡 bernilai 1, sehingga berakibat hanya satu node yang memiliki paket data pada jaringan mobile yaitu node awal. Sedangkan jika nilai 𝛽semakin besar, maka nilai 𝑒 −𝛽𝑁𝑡 semakin mendekati 0, sehingga berakibat banyaknya node yang memiliki paket data pada jaringan mobile akan mendekati N. Sehingga dapat disimpulkan jika semakin besar 𝛽, maka banyak node yang memiliki paket data pada jaringan mobile semakin cepat mendekati N.


179

Volume 2


2.3 Penerapan dan Simulasi Model Penerapan dalam penelitian ini menggunakan kasus jaringan mobile di medan perang yang merujuk pada (Groenevelt [2]). Pada kasus tersebut mengamati pola pengiriman paket data pada jaringan mobile di medan perang yang dilihat dari pengiriman paket data yang stabil yaitu saat semua node dapat memiliki paket data. Banyaknya node pada jaringan mobile di medan perang 100 dengan laju pengiriman paket data 𝛽= 0.222 jam/node. Parameter dari model tersebut mengacu dari (Groenevelt [2]). Berdasarkan persamaan (2.1) perubahan banyaknya node yang memiliki paket data pada waktu t dalam suatu jaringan mobile di medan perang dapat disajikan sebagai 𝑑𝐼 (𝑡) 𝑑𝑡

= 0.222 𝐼 𝑡 100 − 𝐼 𝑡 .

(4.1)

Banyaknya node yang memiliki paket data pada waktu t dalam suatu jaringan mobile di medan perang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (4.1) yaitu 𝐼 𝑡 =

100 . 1+99𝑒 −22,2𝑡

(4.2)

Persamaan (4.2) dapat disajikan pada Gambar 2. . i 100

80

60

40

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t

Gambar 2. Banyaknya node yang memiliki paket data Gambar 2 menunjukkan pada saat t = 0.87 jam, banyaknya node yang memiliki paket data sebanyak 100 node, artinya pada saat t = 0.87 jam semua node dalam jaringan mobile di medan perang telah memiliki paket data. Selanjutnya untuk mengetahui pengaruh 𝛽terhadap perubahan banyaknya node yang memiliki paket data pada waktu ke-t, model epidemi routing pada persamaan (4.1) disimulasikan. Simulasi dilakukan dengan mengambil 𝛽yang berbeda-beda yaitu 𝛽 = 0.075, 𝛽= 0.222 dan 𝛽= 0.50. Hasil simulasi ditunjukkan pada Gambar 3.

180



Volume 2

i 100

80

60

40

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t

Gambar 3. Banyaknya node yang memiliki paket data, dengan 𝛽berbeda Gambar 3 menggambarkan banyaknya node yang memiliki paket data pada suatu jaringan mobile dengan 𝛽yang berbeda-beda N = 100 dan I(0) = 1. Pada Gambar 3 garis berwarna merah menggambarkan banyaknya node yang memiliki paket data dengan 𝛽= 0.075. Garis berwarna biru menggambarkan banyaknya node yang memiliki paket data dengan 𝛽= 0.222. Garis berwarna hijau menggambarkan banyaknya node yang memiliki paket data dengan 𝛽= 0.50. Garis berwarna biru menunjukkan dengan 𝛽= 0.075, sebanyak 100 node dalam jaringan mobile telah memiliki paket data pada saat t = 2.55 jam. Garis berwarna merah menunjukkan dengan 𝛽= 0.222, sebanyak 100 node dalam jaringan mobile telah memiliki paket data pada saat t = 0.87 jam. Garis berwarna hitam menunjukkan dengan 𝛽= 0.50, sebanyak 100 node dalam jaringan mobile telah memiliki paket data pada saat t = 0.39 jam. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 3, terlihat jika semakin besar laju pengiriman paket data 𝛽, maka semakin cepat semua node dalam jaringan mobile dapat memiliki paket data.

3.

KESIMPULAN 1. Model epidemi routing dinyatakan sebagai 𝑑𝐼 (𝑡) 𝑑𝑡

= 𝛽 𝐼 𝑡 (𝑁 − Ọ 𝑡 ).

2. Penyelesaian model epidemi routing dengan mula-mula hanya satu node dalam jaringan mobile yang memiliki paket data I(0) = 1 yaitu 𝐼 𝑡 =

𝑁 . 1 + (𝑁 − 1)𝑒 −𝛽𝑁𝑡

3. Berdasarkan hasil analisis dan simulasi menunjukkan jika semakin besar laju pengiriman paket data 𝛽, maka semakin cepat waktu yang diperlukan untuk semua node dalam jaringan mobile dapat memiliki paket data.


181

Volume 2

4.


DAFTAR PUSTAKA [1] Campbell, L. Stephen, An Introduction to Differential Equations and their Application, second ed ed., California USA, 1990. [2] Groenevelt, R., P. Nain, and G. Koole, The Message Delay in Mobile Ad Hoc Network, Perform (2005), no. 62, 210-228. [3] Isham, V., Stachastic Models for Epidemics, Research Report 263. [4] Liu, J., X. Jiang, H. Nishiyama, and N. Kato, General Model for Store-Carry-Forward Routing Schemes with Multicast in Delay Tolerant Networks, IEEE (2011), 494-500. [5] Small, T., and Z.J. Haas, The Shared Wireless Infostation Model-A New Ad Hoc Networking Paradigm, MobiHoc, Maryland, USA (2003), 233-244. [6] Zhang, E., G. Neglia, J. Kurose, and D. Towsley, Performance Modeling of Epidemic Routing, UMass Computer Science Technical Report 44 (2005).

182



Volume 2

ANALISIS MODEL PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN LOMBOK TIMUR MENGGUNAKAN MATRIKS LESLIE Marliadi Susanto1, Mamika Ujianita Romdhini2, Lailia Awalushaumi3 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Mataram Jl. Majapahit 62 Mataram, email: [email protected] Program Studi Matematika FMIPA Universitas Mataram Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui model pertumbuhan produksi jagung yang ada di Kabupaten Lombok Timur. Dalam penelitian ini digunakan suatu metode pada bidang aljabar yaitu dengan menggunakan Matriks Leslie. Matriks Leslie yang dikenal juga sebagai model Leslie ditemukan oleh P. H Leslie pada tahun 1945 untuk menganalisis pertumbuhan populasi. Data yang digunakan adalah populasi benih jagung, daya tahan hidup dan angka kelahiran jagung. Data tersebut kemudian dimodelkan dalam Matriks Leslie dan dicari nilai eigen positif terbesarnya (akar Perron). Hasilnya adalah pada Kabupaten Lombok Timur diperoleh akar Perron

= 1,6757 sehingga modelnya menjadi

X k  1,6757 X k 1 .

Artinya

pertumbuhan produksi jagung di Kabupaten Lombok Timur meningkat sebesar 1,6757 tiap tahunnya. Kata kata kunci : populasi jagung, Matriks Leslie, akar Perron

PENDAHULUAN Indonesia dikenal sebagai Negara agraris yang berarti Negara mengandalkan sektor pertanian baik sebagai mata pencaharian maupun sebagai penopang pembangunan. Sektor pertanian merupakan penopang perekonomian di Indonesia karena pertanian membentuk proporsi yang sangat besar memberikan sumbangan untuk kas pemerintah. Jagung menjadi salah satu komoditas pertanian yang sangat penting dan sangat terkait dengan industri besar (Berliana, 2008). Jagung merupakan tanaman pangan kedua setelah padi. Bahkan, di beberapa tempat , jagung merupakan bahan makanan pokok utama pengganti beras atau sebagai campuran beras. peningkatan.

Penggunaan jagung sebagai bahan pangan dan pakan terus mengalami

Sementara ketersediaannya dalam bentuk bahan terbatas.

Untuk itu, perlu

dilakukan upaya peningkatan produksi melalui perluasan lahan penanaman dan peningkatan produktivitas. Lombok adalah salah satu daerah yang memiliki lahan cukup luas dan subur dan sangat berpotensi untuk meningkatkan produksi jagung. Di daerah ini masih banyak lahan pertanian yang belum dioptimalkan untuk menanam jagung. Berdasarkan data dari Badan Pusat Statistik Provinsi Nusa Tenggara Barat pada tahun 2011, jumlah produksi jagung di kabupaten Lombok Timur adalah yang paling banyak dibandingkan kabupaten-kabupaten lain yang ada di pulau Lombok. Padahal potensi pemasaran jagung di lombok terus mengalami peningkatan. Hal ini dapat dilihat dari semakin berkembanganya industri peternakan yang pada akhirnya akan Makalah Pendamping: Matematika 2

183

Volume 2


meningkatkan permintaan jagung sebagai campuran pakan ternak. Selain itu, berkembangnya produk pangan dari jagung dalam bentuk tepung jagung di kalangan masyarakat. Berdasarkan hal tersebut akan dilakukan penelitian untuk menentukan model pertumbuhan tanaman jagung dan perkembangan harga jagung menggunakan Matriks Leslie. Hal ini dimaksudkan sebagai alat kontrol secara matematis perkembangan usahatani jagung khususnya di kabupaten Lombok Timur. Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka rumsan masalah dan tujuan pada penelitian ini adalah merumuskan model matematika pertumbuhan produksi tanaman jagung di kabupaten Lombok Timur menggunakan Matriks Leslie. Tujuan selanjutnya adalah menentukan nilai eigen dari matriks Leslie model usahatani jagung di kabupaten Lombok Timur. Yang terakhir penelitian ini bertujuan untuk menganalisis perkembangan usahatani jagung berdasarkan nilai eigen dari model Leslie. Salah satu model pertumbuhan populasi yang sering digunakan oleh ahli demografi adalah model Leslie. Suatu populasi dapat dimodelkan dengan Matriks Leslie dengan melihat tiga faktor yaitu faktor kelahiran, kematian dan pertambahan usia. Pada Matriks Leslie, untuk mengetahui model pertumbuhan suatu populasi ada beberapa asumsi yang harus terpenuhi yaitu: 1.

Hanya dibutuhkan jumlah populasi perempuan.

2.

Usia maksimum yang dapat dicapai suatu populasi.

3.

Kelompok usia dari populasi.

4.

Daya tahan hidup (survival rate) tiap kelompok usia menuju tahap usia selanjutnya diketahui.

5.

Angka kelahiran (age birth) untuk tiap kelompok usia diketahui (Yokoyama, 1997). Misalkan

dan

adalah rata-rata banyaknya anak perempuan yang lahir dari setiap kelompok

adalah perbandingan antara banyak perempuan yang bertahan hidup (survival rate)

sehingga mampu masuk ke dalam kelompok kelompok

. Misalkan pula

pengamatan waktu ke-k untuk

persamaan

, dengan banyaknya perempuan dalam

adalah banyaknya perempuan pada kelompok

pada

. Maka Model Leslie dapat dituliskan dengan

dan

disebut Matriks Leslie (Simanihuruk, 2005). Selanjutnya Model Leslie tersebut dapat diwakili oleh akar Perron sesuai dengan teorema dalam (Prayanti, 2010) yaitu Jika λ1 adalah akar Perron dari Matriks Leslie (L) maka X k = L X (k−1)dapat diwakili oleh X k = λ1 X (k−1) .

184



Volume 2

METODE PENELITIAN Jenis Penelitian Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif dan studi pustaka Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Matematika FMIPA Universitas Mataram selama 6 bulan. Target/Subjek Penelitian Subjek penelitian pada penelitian ini adalah populasi jagung yaitu jumlah produksi dan jumlah benih jagung dari tahun 2001 sampai 2012 untuk tiap Kecamatan di Kabupaten Lombok Timur. Prosedur Data yang diperoleh adalah data sekunder yang diperoleh dari BPS Provinsi Nusa Tenggara Barat dan Dinas Pertanian Kabupaten Lombok Timur. Data, Intrumen, dan Teknik Pengumpulan Data Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari BPS Provinsi Nusa Tenggara Barat dan Dinas Pertanian Kabupaten Lombok Timur. Data yang dikumpulkan adalah data populasi jagung yaitu jumlah produksi (anak) dan jumlah benih (dewasa) dari tahun 2001 sampai 2012 untuk tiap kecamatan di Kabupaten Lombok Timur. Daerah yang menjadi sampel yaitu Kecamatan di Kabupaten Lombok Timur antara lain Keruak, Jerowaru, Sakra, Sakra Barat, Sakra Timur, Terara, Montong Gading, Sikur, Masbagik, Pringgasela, Sukamulia, Suralaga, Selong, Labuhan Haji, Pringgabaya, Suela, Aikmel, Wanasaba, Sembalun, Sambelia data keseluruhan populasi jagung di Kabupaten Lombok Timur.

Teknik Analisis Data 1.

Pengolahan data. Dari data populasi jumlah produksi jagung (anak) dan jumlah benih jagung yang diperoleh dicari daya tahan hidup (survival rate) dan angka kelahiran (age birth).

2.

Memodelkan Matriks Leslie . Pada tahapan ini, dari data daya tahan hidup (survival rate) dan angka kelahiran (age birth) dimodelkan suatu Matriks Leslie.

3.

Menghitung nilai eigen. Matriks Leslie yang didapat dicari nilai eigennya. Pencarian nilai eigen ini dibantu dengan menggunakan program MATLAB dan Microsoft Exel.

4.

Mencari akar Perron Dari sejumlah nilai eigen, dipilih nilai eigen positif terbesar yang disebut dengan akar Perron.


185

Volume 2

5.


Membuat model Membuat model pertumbuhan sapi berdasarkan akar Perron dan meramalkan pertumbuhannya.

6.

Menarik kesimpulan. Disimpulkan bagaimana perkembangan usahatani jagung di Kabupaten Lombok Timur berdasarkan nilai eigen dari matriks Leslie.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Berdasarkan Matriks Leslie yang ada terdapat 2 kelompok usia jagung yaitu produksi (anak) dan benih (dewasa) dan benih (dewasa) sehingga terdapat angka daya tahan hidup yaitu daya tahan hidup menuju usia dewasa. Daya tahan hidup diperoleh dari perbandingan jumlah jagung pada kelompok

pada tahun ke

dengan jumlah benih kelompok

pada tahun ke

, secara matematika dirumuskan sebagai berikut :

 B tproduksi  1  B t 1   benih  SR  n n

dimana, t 1 Bbenih

= jumlah benih jagung pada tahun

B tproduksi 4.1.2

= jumlah produksi jagung pada tahun

(Yokoyama, 1997)

Angka Kelahiran (Age Birth) Angka kelahiran diperoleh dari perbandingan jumlah produksi jagung pada tahun ke

dengan jumlah benih kelompok usia dewasa pada tahun ke

, secara matematika

dirumuskan sebagai berikut: t  Bbenih   1  B t 1   produksi  AB  n n

dimana, t Bbenih

= jumlah benih jagung pada tahun

1 B tproduksi

= jumlah produksi jagung pada tahun

(Yokoyama, 1997)

Jika disajikan dalam bentuk Tabel maka hasil angka kelahiran dan daya tahan hidup untuk tiap kecamatan pada Kabupaten Lombok Timur adalah sebagai berikut :

186



Volume 2

Tabel 1. Angka kelahiran dan daya tahan hidup di tiap kecamatan pada Kabupaten Lombok Timur Kecamatan

Daya tahan hidup

Angka Kelahiran

Keruak

0.01141

81.04205

Jerowaru

0.02198

267.62449

Sakra

0.01217

121.73741

Sakra Barat

0.01415

106.71605

Sakra Timur

0.02319

248.51838

Terara

0.02184

185.80892

Montong Gading

0.02044

138.97635

Sikur

0.03588

354.88976

Masbagik

0.04004

246.61779

Pringgasela

0.02908

203.95741

Sukamulia

0.03649

97.23571

Suralaga

0.01807

106.53103

Selong

0.01319

87.45776

Labuhan Haji

0.01150

94.65204

Pringgabaya

0.01159

109.93698

Suela

0.01069

86.38879

Aikmel

0.01195

97.54844

Wanasaba

0.01107

108.99301

Sembalun

0.01266

100.39432

Sambelia

0.01419

98.64025

Dari hasil angka kelahiran dapat dan angka daya tahan hidup dimodelkan suatu Matriks Leslie untuk tiap wilayah sebagai berikut: 1. Kecamatan Keruak Di Kecamatan Keruak diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu

81.04205  0 L  . Akar Perron dari matriks tersebut yaitu 𝜆𝑝 =0,9616 sehingga 0 0.01141  modelnya menjadi 𝑋 𝑘 = 𝜆𝑝 𝑋 (𝑘−1)  X  0,9616 X k

k 1

2. Kecamatan Jerowaru


187

Volume 2


Di Kecamatan Jerowaru diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu

267.62449  0 L  . Akar Perron dari matriks tersebut yaitu 𝜆𝑝 = 2,425 sehingga 0 0.02198  modelnya menjadi X

k

 2,425 X k 1

3. Kecamatan Sakra Di

Kecamatan

Sakra

diperoleh

Matriks

Leslie

pertumbuhan

jagungnya

yaitu


k

 1,217 X k 1 .

4. Kecamatan Sakra Barat Di Kecamatan Sakra Barat diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu

106.71605  0 L  . Akar Perron dari matriks tersebut yaitu 𝜆𝑝 = 1,2288 sehingga 0 0.01415  modelnya menjadi X  1,2288 X k

k 1

.

5. Kecamatan Sakra Timur Di Kecamatan Sakra Timur diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu

248.51838  0 L  . Akar Perron dari matriks tersebut yaitu 𝜆𝑝 = 2,386 sehingga 0 0.02319  modelnya menjadi X k  2,386 X k 1 6. Kecamatan Terara Di Kecamatan Terara diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya adalah


k 1

.

7. Kecamatan Montong Gading Di Kecamatan Montong Gading diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


188

k 1

.



Volume 2

8. Kecamatan Sikur Di

Kecamatan

Sikur

diperoleh

Matriks

Leslie

pertumbuhan

jagungnya

yaitu


k

 3,568 X k 1 .

9. Kecamatan Masbagik Di Kecamatan Masbagik diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k

 3,568 X k 1 .

10. Kecamatan Pringgasela Di Kecamatan Pringgasela diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k

 2,435 X k 1 .

11. Kecamatan Sukamulia Di Kecamatan Sukamulia diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k 1

.

12. Kecamatan Suralaga Di Kecamatan Suralaga diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k

 1,387 X k 1 .

13. Kecamatan Selong Di Kecamatan Selong diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k

 1,074 X k 1 .


189

Volume 2


14. Kecamatan Labuhan Haji Di Kecamatan Labuhan Haji diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k 1

.

16. Kecamatan Suela Di

Kecamatan

Suela

diperoleh

Matriks

Leslie

pertumbuhan

jagungnya

yaitu


k

 0,96 X k 1 .

17. Kecamatan Aikmel Di Kecamatan Aikmel diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k

 1,0797 X k 1 .

18. Kecamatan Wanasaba Di Kecamatan Wanasaba diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k

 1,098 X k 1 .

19. Kecamatan Sembalun Di Kecamatan Sembalun diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


k

 1,1274 X k 1 .

20. Kecamatan Sambelia Di Kecamatan Sambelia diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan jagungnya yaitu


190

k

 1,183 X k 1



Volume 2

Secara umum di Kabupaten Lombok Timur diperoleh Matriks Leslie pertumbuhan

0 147,18335   . Akar Perron dari matriks tersebut yaitu 𝜆𝑝 = 0 0.019079 

jagungnya adalah L  

1,6757 sehingga modelnya menjadi X

k

 1,6757 X k 1 .

SIMPULAN DAN SARAN 1. Model

pertumbuhaan jagung di Kabupaten Lombok Timur berdasarkan matriks Leslie

adalah

0 147,18335 k 1  Xk  X 0 0.019079  2. Akar Perron dari Matriks Leslie untuk Kabupaten Lombok Timur adalah 𝜆𝑝 = 1,6757. Karena matriks Leslie dapat diwakili oleh akar Perronnya maka model pertumbuhan jagung di Kabupaten Lombok Timur berdasarkan akar Perron adalah :

X k  1,6757 X k 1 3. Dari hasil peramalan menggunakan akar Perron, maka perkembangan usahatani jagung di kabupaten Lombok Timur dari model Leslie mengalami peningkatan sebesar 1,6757 tiap tahunnya.

DAFTAR PUSTAKA Berliana, 2008.

Analisis Efesiensi dan Produksi Pendapatan Pada Usahatani Jagung

Kabupaten Grobongan; Undip, Semarang Prayanti, B.D.A., Wardhana, I.G.A.W, Romdhini, M.U. 2010. Bumi Sejuta Sapi Economic Policy Analysis Using Leslie Matrix. International Seminar on Economic Culture and Environment, The University of Mataram, Indonesi 11-13 november 2010. Purwono, 2010, Bertanam Jagung Unggul, Penebar Swadaya, Jakarta Richard, 2000. Mathematical Models, Rutgers University, Simanihiruk, Mudin. 2005. Karakteristik Matriks Leslie Ordo Tiga. Jurnal Gradien Vol.2 NO.1 Januari 2006. hlm. 134-138. Susanta, 1989. Model matematika, Depdikbud, Jakarta Yokoyama, Kevin.1997. Population Modeling Using The Leslie Matrix. Prentice Hall, Inc: New Jersey.


191

Volume 2


ANALISIS MODEL PENYEBARAN PENYAKIT TB PARU DI PROVINSI NUSA TENGGARA BARAT Mamika Ujianita Romdhini1, Lailia Awalushaumi2, Marliadi Susanto3 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Mataram Jl. Majapahit 62 Mataram, email: [email protected] Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui model penyebaran penyakit TB-Paru di Nusa Tenggara Barat karena Penyakit TB-Paru termasuk dalam penyakit menular yang paling dominan di Provinsi Nusa Tenggara Barat (Dinas Kesehatan Provinsi NTB, 2010). Dalam penelitian ini digunakan suatu metode analisis persamaan diferensial. Data yang digunakan adalah jumlah kasus TB-Paru di Nusa Tenggara Barat, angka kesembuhan dan angka kematian akibat TB-Paru. Data tersebut kemudian dimodelkan dalam model persamaan diferensial penyebaran penyakit TB-Paru. Dari model tersebut, diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik, yang kemudian dilakukan analisis kestabilan dari model penyebaran penyakit TB-Paru serta melihat bentuk trayektorinya. Kata kunci : persamaan diferensial, analisis kestabilan, TB-Paru

PENDAHULUAN Penyakit tropis adalah penyakit yang lazim terjadi untuk daerah tropis dan subtropis karena terjadinya musim dingin, yang mengontrol populasi serangga dengan memaksa hibernasi. Serangga seperti nyamuk dan lalat adalah pembawa penyakit yang paling umum, atau vektor. Serangga ini dapat membawa parasit, bakteri atau virus yang menular kepada manusia dan hewan. Penyakit tersebut sering ditularkan oleh aktivitas "menggigit" yang dilakukan oleh serangga, yang menyebabkan transmisi agen menular melalui pertukaran darah subkutan. Eksplorasi manusia terhadap hutan hujan tropis, deforestasi, imigrasi naik dan perjalanan udara meningkat internasional dan wisata lainnya ke daerah tropis telah menyebabkan peningkatan insiden penyakit tersebut. Hal ini dimungkinkan juga oleh suhu yang lebih tinggi yang dapat mendukung replikasi agen patogen baik di dalam dan luar organisme biologis. Faktor sosioekonomi mungkin juga beroperasi, karena sebagian besar negara-negara termiskin di dunia berada di tropis. Beberapa negara tropis telah meningkatkan situasi sosial-ekonomi mereka dan berinvestasi dalam kebersihan, kesehatan masyarakat dan memerangi penyakit menular hingga telah mencapai hasil yang dramatis dalam kaitannya dengan penghapusan atau penurunan banyak penyakit tropis endemik di wilayah mereka (Widoyono, 2005). Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang matematika mempunyai kontribusi yang besar dalam mengembangkan ilmu-ilmu dasar, baik itu matematika sendiri maupun dalam bidang-bidang ilmu eksakta lainnya. Dalam bidang ilmu terapan, persamaan diferensial merupakan alat untuk menentukan solusi dari berbagai persoalan yang dihadapi. Pada penelitian ini, permasalahan yang akan diteliti yaitu bagaimana menganalisis persamaan diferensial yang 192



Volume 2

muncul di dalam permasalahan penyebaran penyakit tropis, khususnya di daerah Nusa Tenggara Barat. Berdasarkan latar belakang tersebut, tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis persamaan diferensial yang muncul di dalam permasalahan penyebaran penyakit TB-Paru di daerah Nusa Tenggara Barat dan untuk mengetahui kondisi kestabilan dari masalah penyebaran penyakit TB-Paru di Nusa Tenggara Barat

METODE PENELITIAN Jenis Penelitian Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif dan studi pustaka Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Matematika FMIPA Universitas Mataram selama 6 bulan. Target/Subjek Penelitian Subjek penelitian pada penelitian ini adalah penyebaran penyakit TB-Paru pada tahun 2010 di wilayah Provinsi Nusa Tenggara Barat. Prosedur Data yang diperoleh adalah data sekunder yang diperoleh dari BPS Provinsi Nusa Tenggara Barat dan Dinas Kesehatan Mataram. Data, Intrumen, dan Teknik Pengumpulan Data Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari BPS Provinsi Nusa Tenggara Barat dan Dinas Kesehatan Mataram. Data yang dikumpulkan adalah data jumlah penduduk, data penderita penyakit baru dan lama, jumlah kematian, dan jumlah kesembuhan dari penyebaran penyakit TB-Paru di wilayah Provinsi Nusa Tenggara Barat. Teknik Analisis Data Tahapan penelitian yang akan dilakukan pada penelitian ini yaitu: 1. Membuat pengamatan terhadap pola penyebaran penyakit tropis 2. Mengumpulkan informasi 3. Menyatakan model real ke dalam bahasa matematika 4. Menjelaskan model matematika yang sesuai dengan pola penyebaran penyakit 5. Menganalisa kestabilan sistem 6. Membuat kesimpulan


193

Volume 2


HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Data yang diperoleh dari BPS Provinsi Nusa Tenggara Barat dan Dinas Kesehatan Kota Mataram untuk penyakit TB-Paru pada tahun 2010 yaitu sebagai berikut: Tabel 4. Jumlah Kasus TB Paru dan kematian akibat TB Paru Berdasarkan Kabupaten/Kota di Provinsi NTB tahun 2010 Jumlah

Jumlah

Jumlah

Jumlah

Jumlah

Kasus

Kasus Baru

Kasus Lama

Kesembuhan

kematian

Lombok Barat

434

434

0

354

23

2

Lombok Tengah

1.383

948

435

501

27

3

Lombok Timur

2.218

1067

1151

540

11

4

Sumbawa

209

209

0

116

9

5

Dompu

106

106

0

106

13

6

Bima

449

446

3

399

4

7

Sumbawa Barat

90

87

3

63

2

8

Lombok Utara

100

100

0

70

6

9

Kota Mataram

281

267

14

258

8

10

Kota Bima

163

120

143

58

0

Total

5533

3784

1749

2465

103

No

Kabupaten/Kota

1

sumber: Bidang Pengendalian Penyakit dan Lingkungan Dinas Kesehatan Provinsi NTB

Dari definisi titik tetap, diperoleh titik kesetimbangan dari model penyebaran penyakit TB-Paru tersebut yaitu pada titik (0, 0, 0). Selanjutnya dengan menggunakan software Matlab dengan tool-box p-plane, hasil simulasi dan analisis kestabilan yang terjadi di dalam sistem tersebut yaitu: Untuk 0 < 𝜏𝐴 < 1merupakan stabil asimtotik dengan titik kesetimbangan yang terbentuk adalah simpul. Untuk𝜏𝐴 = 1merupakan stabil dengan titik kesetimbangan yang terbentuk adalah

spiral.Untuk

1 < 𝜏𝐴 <

532 merupakan 17

stabil

kesetimbangan yang terbentuk adalah spiral node.Untuk 𝜏𝐴 >

532 17

asimtotik dengan

titik

merupakan tidak stabil

dengan titik kesetimbangan yang terbentuk adalah titik pelana.Namun untuk 𝜏𝐴 =

532 17

,

kestabilan sistem persamaan dan titik kesetimbangan yang terbentuk belum dapat ditentukan.

SIMPULAN DAN SARAN Untuk waktu tundaan, 0 < 𝜏𝐴 <

532 , 17

titik kesetimbangan yang diperoleh adalah stabil,

artinya pada kondisi tersebut, penyakit hilang dan tidak terjadi penularan penyakit TB-Paru. Hal ini menggambarkan bahwa setiap individu yang terinfeksi penyakit pada suatu populasi, berpotensi kecil menularkan penyakit yang dideritanya kepada individu lain, sehingga banyaknya individu yang terinfeksi akan semakin sedikit yang pada akhirnya tidak ada sama 194



Volume 2

sekali. Sedangkan untuk waktu tundaan, 𝜏𝐴 >

532 , 17

titik kesetimbangan yang diperoleh adalah

tidak stabil, artinya pada kondisi ini, penyakit akan meningkat menjadi wabah. Hal ini menggambarkan bahwa setiap individu yang terinfeksi penyakit pada suatu populasi, berpotensi besar menularkan penyakit yang dideritanya kepada individu-individu lain, sehingga banyaknya individu yang terinfeksi akan semakin banyak yang pada akhirnya penularan penyakit akan menjadi tidak terkendali (terjadi wabah).

DAFTAR PUSTAKA Mukhsar, 2009, Analisis R0 Model Stokastik Penyebaran Dbd Pada Populasi Tertutup, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo, Kendari Profil Kesehatan Provinsi Nusa Tenggara Barat, 2010, Dinas Kesehatan Provinsi Nusa Tenggara Barat Toaha, S., 2008, Model dengan Tundaan Waktu, Jurnal Matematika, Statistika dan Komputasi Widoyono,

2005,

Penyakit

Tropis

;

Epidemiologi,

Penularan,

Pencegahan,

dan

Pemberantasan, Erlangga, Jakarta Zang, et al, 2005, Protective efficacy in chickens, geese and ducks of an H5N1- inactivated vaccine developed by reverse genetics.


195

Volume 2


PEMODELAN BANYAKNYA KASUS PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE DI KECAMATAN KLOJEN KOTA MALANG Umu Sa’adah1), Mila Kurniawaty2), Imam Nurhadi Purwanto3) 1) Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Brawijaya Jl. Veteran, Malang 65145 e-mail: [email protected] 2), 3) Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Brawijaya Jl. Veteran, Malang 65145 e-mail: [email protected] ; [email protected] Abstract Penyakit demam berdarah dengue (DBD) merupakan penyakit endemis yang terjadi di daerah tropis dan subtropis. Penyebab penyakit DBD adalah virus yang disebarkan oleh nyamuk Aedes aegypti. Faktor-faktor yang mempengaruhi perkembangbiakannya adalah tingginya curah hujan, jumlah hari hujan pada periode tertentu, letak geografis daerah, suhu, kelembaban, musim dan keadaan habitat.Sanitasi juga menjadi faktor yang mempengaruhi perkembangbiakan spesies ini, sebab nyamuk tersebut lebih senang memilih tempat yang lembab dan basah pada wadah-wadah air untuk bertelur, seperti kaleng atau ban bekas yang dibuang di sembarang tempat kemudian terisi air ketika musim hujan tiba. Kurangnya kesadaran masyarakat untuk menjaga kebersihan lingkungannya, semakin meningkatkan peluang nyamuk Aedes aegypti berkembang biak dengan leluasa. Kota Malang terdiri dari lima kecamatan yakni Klojen, Sukun, Kedung Kandang, Lowok Waru dan Blimbing. Dalam penelitian ini kami fokuskan pada Kecamatan Klojen yang pernah mengalami jumlah penderita DBD tertinggi di antara kecamatan-kecamatan lain di Kota Malang selama kurun waktu Januari 2003 – September 2013 yaitu pada bulan Pebruari 2010, sebesar 63 penderita. Dari data historis tersebut dibentuk pemodelan banyaknya kasus penyakit DBD di Kecamatan Klojen Kota Malang. Hasil uji jaringan syaraf tiruan Teraesvirta untuk nonlinearitas menunjukkan bahwa data historis penderita DBD di Kecamatan Klojen selama kurun waktu Januari 2003 – September 2012 merupakan model nonlinier. Selanjutnya dibentuk model jaringan syaraf tiruan dengan banyaknya unit input (variabel independen) sesuai dengan variabel independen pada model autoregresi atau autoregresi musiman Box-Jenkins yang mempunyai nilai Mean Square Error (MSE) relatif kecil. Sedangkan banyaknya unit pada lapisan tersembunyi ditentukan berdasarkan Akaike Information Criterion (AIC). Keywords:dengue, Aedes aegypti, jaringan syaraf tiruan, Kecamatan Klojen.

PENDAHULUAN Curah hujan, suhu, kelembaban, letak geografis daerah, musim dan keadaan habitat merupakan faktor-faktor yang mempengaruhi penyebaran nyamuk Aedes aegypti.Namun menurut Moore (1985), indikator yang lebih tepat adalah tingginya curah hujan dan jumlah hari hujan pada suatu periode tertentu. Selain itu sanitasi juga menjadi faktor yang mempengaruhi pula perkembangbiakan spesies nyamuk Aedes aegypti, sebab nyamuk tersebut lebih senang memilih tempat yang lembab dan basah pada wadah-wadah air untuk bertelur, seperti kaleng bekas atau ban bekas yang dibuang di sembarang tempat, yang pasti berisi air ketika musim hujan tiba (Tinker, 1964; Moore et al., 1978; Nelson et al., 1984; Chambers et al., 1986). Keadaan nyamuk berlimpah-limpah secara musiman terjadi di Victoria (Russell, R.C., 1986) dan nyamuk menyebar merata secara musiman terjadi di Casuarina dan Leanyer, Darwin (Russell, R.C., Whelan, P.I.,1986). Sedangkan di Manila juga terjadi musim penyakit DBD (Schultz, G.W., 1993). 196



Volume 2

Indonesia merupakan salah satu negara yang terletak di daerah beriklim tropis, sangat rentan terhadap penyakit demam berdarah dengue (DBD). Penyakit DBD merupakan penyakit endemis yang terjadi di daerah tropis dan subtropik, yang banyak memakan korban nyawa manusia. Virus DBD disebarkan oleh nyamuk Aedes aegypti.Penyakit DBD dipandang sangat berbahaya sebab jika terlambat penanganannya akan berisiko kematian. Kota Malang merupakan salah satu kota di Indonesia, mempunyai kepadatan penduduk terpadat nomer dua di Propinsi Jawa Timur setelah Kota Surabaya. Terdapat lima kecamatan di kota Malang yakni Klojen, Sukun, Kedung Kandang, Lowok Waru dan Blimbing. Dalam penelitian ini difokuskan pada Kecamatan Klojen karena pernah mengalami jumlah penderita DBD tertinggi di antara kecamatan-kecamatan lain di Kota Malang selama kurun waktu Januari 2003 – September 2013 yaitu pada bulan Pebruari 2010, sebanyak 63 penderita. Meskipun pernah mencapai jumlah kasus penderita DBD yang tertinggi, Kecamatan Klojen juga pernah mengalami tidak terdapat kasus penyakit DBD sebanyak 20 bulan pada kurun waktu tersebut. Berdasarkan data historis perlu diteliti model prediksi banyaknya kasus penyakit DBD di Kecamatan Klojen. Hal ini dilakukan agar dapat menghindari kejadian luar biasa di Kecamatan tersebut. Misalnya pada bulan tertentu diprediksi banyaknya kasus penyakit DBD sangat tinggi, maka dapat segera dilakukan tindakan pencegahan secara efektif dan efisien (dipandang dari segi biaya, waktu maupun tenaga) terhadap penyebaran nyamuk Aedes aegypti, sebagai pembawa virus tersebut, untuk menghindari terjadinya korban. Karena naik turunnya (perubahan) angka kejadian penyakit DBD di Kecamatan Klojen sangat signifikan, maka dapat diduga bahwa model prediksi merupakan model nonlinier. JST merupakan salah satu bentuk model nonlinier dipandang sebagai model representatif untuk memprediksi/meramalkan angka kejadian berdasarkan data historis angka kejadian di tahuntahun sebelumnya. Pada beberapa dekade terakhir ini terjadi perkembangan yang pesat dalam bidang pemodelan statistik, khususnya model-model untuk time series. Seiring dengan perkembangan dan meningkatnya kekuatan komputasi, baik software maupun hardware maka model nonparametrik yang tidak memerlukan asumsi bentuk hubungan fungsional antar variabel telah menjadi lebih mudah untuk diaplikasikan. Model JST merupakan suatu contoh model nonparametrik yang mempunyai bentuk fungsional yang fleksibel, yang mengandung beberapa parameter yang tidak dapat diinterpretasikan seperti pada model parametrik. Banyak penelitian dilakukan dengan motivasi dari adanya kemungkinan untuk menggunakan model JST sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah terapan, antara lain peramalan data time series, pattern recognition, signal processing, dan proses kontrol. Sarle, W (1994) menyatakan bahwa ada tiga penggunaan utama dari JST, yaitu sebagai suatu model dari system syaraf biologi dan kecerdasan, sebagai prosesor signal real-time yang adaptif atau pengontrol yang diimplementasikan dalam hardware untuk suatu terapan seperti robot, dan sebagai metode analisis data.


197

Volume 2


Penelitian dan publikasi ilmiah yang berkaitan dengan pengembangan teori dan aplikasi dari model JST, antara lain White (1989b) yang membahas tentang hasil-hasil asimptotik untuk pembelajaran dalam multilayer perceptrons (MLP) lapisan tersembunyi tunggal, White (1989a) membahas pembelajaran JST dipandang dari sudut statistika. Secara statistik, model JST merupakan suatu bagian dari kelompok pemodelan yaitu model nonlinear regresi dan model diskriminan. Referensi yang lengkap berkaitan dengan perbandingan antara beberapa model JST dengan model-model statistik yang klasik dan modern (Tang, et al, 1991; Cheng dan Titterington, 1994; Sarle,W, 1994). Dalam penerapannya, JST mengandung sejumlah parameter (weight) yang terbatas. Bagaimana mendapatkan model JST yang sesuai, yaitu bagaimana menentukan kombinasi yang tepat antara jumlah variabel input dan jumlah unit pada hidden layer (yang berimplikasi pada jumlah parameter yang optimal), merupakan topik sentral dalam beberapa literatur JST yang telah banyak dibahas pada banyak artikel dan buku seperti pada Bishop (1995), Ripley (1996) atau Haykin (1999). Berdasarkan fakta ini, sangat memungkinkan dibentuk suatu model JST untuk melakukan prediksi kapan terjadinya musim berlimpahnya nyamuk spesies ini berdasarkan data historis angka kejadian bulanan pada tahun-tahun sebelumnya yang mempengaruhi angka kejadian kasus penyakit DBD di Kecamatan Klojen pada bulan-bulan yang akan datang. Pemilihan variabel input model JST yang tepat dan kombinasi yang optimal antara banyaknya unit di lapisan input dan banyaknya unit di lapisan tersembunyi dalam model JST akan dapat menghasilkan prediksi yang akurat. Dari hasil prediksi yang akurat, dapat diambil kebijakan yang tepat untuk melakukan tindakan pencegahan atau pemberantasan yang optimal terhadap penyebaran nyamuk Aedes aegypti tanpa harus menunggu jatuhnya korban sakit, khususnya pada bulan-bulan yang mencapai angka kejadian puncak. Demikian pula penanganan medis dan pengobatan yang cepat terhadap penderita juga lebih dapat dipersiapkan, untuk menghindari risiko kematian. Hal ini tentunya akan dapat menurunkan angka kejadian kasus penyakit DBD secara efisien dan efektif.

METODE PENELITIAN Jenis penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif. Penelitian dilakukan dengan cara kajian komputasi dan terapan terhadap kasus real pada data historis (time series).

Waktu dan Lokasi Penelitian Waktu penelitian diawali dengan persiapan pengajuan ijin penelitian ke Badan Kesatuan Bangsa dan Politik (Bakesbangpol) Kota Malang dan persiapan permohonan data skunder ke Dinas Kesehatan Kota Malang yaitu tanggal 16 September 2013 sampai analisis data berakhir tanggal 1 Nopember 2013. Data diperoleh dari Dinas Kesehatan Kota Malang. Dengan demikian data penelitian yang digunakan merupakan data skunder yaitu data angka kejadian

198



Volume 2

(banyaknya kasus) penderita penyakit DBD di Kecamatan Klojen Kota Malang. Setelah data diperoleh, data ditata dan diidentifikasi untuk keperluan pengolahan dan analisis data. Lokasi penataan, identifikasi, pengolahan dan analisis data dilakukan di Laboratorium Komputer Jurusan Matematika Universitas Brawijaya.

Populasi, Sampel, Data dan Teknik Pengumpulan Data Populasi penelitian adalah banyaknya kasus penderita penyakit DBD perbulan di Kecamatan Klojen Kota Malang yang informasinya diperoleh dari Dinas Kesehatan Kota Malang. Dari populasi ini diambil sampel sekitar 10 tahun terakhir yaitu selama kurun waktu Januari 2003-September 2013 (sebanyak 129 data), dengan tujuan untuk mendapatkan informasi yang terbaru. Data dibagi mejadi 2 bagian yakni bagian pertama adalah selama kurun waktu Januari 2003-September 2012 (sebanyak 117 data) dan bagian kedua adalah selama kurun waktu Oktober 20012-September 2013 (sebanyak 12 data). Data bagian pertama digunakan untuk pembentukan model prediksi banyaknya kasus penderita penyakit DBD di Kecamatan Klojen Kota Malang dan sebagai validasi model digunakan data bagian kedua.

Teknik Analisis Data Teknik analisis data yang digunakan adalah metode Box-Jenkins untuk membentuk model linier SARIMA dan Jaringan Syaraf Tiruan dengan banyaknya unit input (variabel independen) sesuai dengan variabel independen pada model autoregresi atau model autoregresi musiman Box-Jenkins yang mempunyai nilai Mean Square Error (MSE) relatif kecil. Software untuk analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah Minitab dan Open Source Software R.

Prosedur Untuk dapat mencapai tujuan penelitian yang telah disebutkan maka dalam penelitian ini telah dilakukan tahapan-tahapan sebagai berikut: 1. Mendapatkan data dari Dinas Kesehatan Kota Malang adalah data banyaknya kasus penderita penyakit DBD di lima Kecamatan di Kota Malang yaitu Klojen, Sukun, Kedung Kandang, Lowok Waru dan Blimbing selama kurun waktu Januari 2003-September 2013. 2. Mengidentifikasi data untuk mengetahui kecamatan mana yang mengalami banyak kasus penderita penyakit DBD tertinggi. Selanjutnya data ini digunakan dalam penelitian. 3. Menata dan membagi data menjadi dua bagian yaitu data untuk pembentukan model dan data validasi untuk keakuratan model prediksi. 4. Menguji dengan uji jaringan syaraf tiruan Teraesvirta untuk mengetahui apakah model yang akan terbentuk merupakan model linier atau model non linier. 5. Menentukan model SARIMA Box-Jenkins terbaik berdasarkan MSE. Jika hasil uji menunjukkan model linier maka model ini merupakan model prediksi terbaik. Makalah Pendamping: Matematika 2

199

Volume 2


6. Jika hasil uji menunjukkan model nonlinier maka model prediksi terbaik dibentuk menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan. Adapun banyaknya unit input (variabel independen) sesuai dengan variabel independen pada model autoregresi atau model autoregresi musiman Box-Jenkins (pada tahapan 5) yang mempunyai nilai Mean Square Error (MSE) relatif kecil. Sedangkan banyaknya unit pada lapisan tersembunyi ditentukan berdasarkan Akaike Information Criterion (AIC).

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Data yang diperoleh dari Dinas Kesehatan diidentifikasi. Hasil identiikasi menunjukan bahwa data banyaknya kasus penderita DBD di Kecamatan Klojen pernah mencapai angka tertinggi dalam kurun waktu Januari 2003-September 2013. Plot data dapat dilihat pada Gambar 1. Time Series Plot of Dt_DBD_Klojen 70 60

Dt_DBD_Klojen

50 40 30 20 10 0 1

12

24

36

48

60 Index

72

84

96

108

Gambar 1. Plot data banyaknya kasus penderita DBD di Kecamatan Klojen Kota Malang

Berdasarkan Gambar 1. terlihat bahwa angka kejadian yang paling tinggi pada bulan Pebruari 2010 (data ke 86). Disamping itu dapat diduga bahwa data mempunyai pola musiman karena pola data tampak adanya perioditas. Sebelum data dimodelkan terlebih dahulu dilakukan uji jaringan syaraf tiruan Teraesvirta untuk menguji apakah model merupakan model linier atau model nonlinier. Hasil uji menunjukkan bahwa data historis penderita DBD di Kecamatan Klojen selama kurun waktu Januari 2003 – September 2012 merupakan model nonlinier Selanjutnya membentuk model SARIMA metode Box-Jenkins untuk menentukan lag-lag mana yang akan menjadi variabel input dalam model JST. Model SARIMA metode BoxJenkins mensyaratkan data harus stasioner baik stasioner terhadap variansi maupun stasioner terhadap rata-rata. Untuk itu dilakukan pemeriksaan stationeritas terhadap variansi dan mean. Adapun pemeriksaan stasioneritas terhadap variansi dilakukan menggunakan metode Box-Cox. Jika nilai pembulatan estimasi lambda adalah 1, maka data time series stasioner terhadap variansi. Jika nilai pembulatan estimasi lambda tidak sama dengan 1 maka data time series tidak stasioner terhadap variansi. 200



Volume 2

Hasil analisis menggunakan metode Box-Cox menunjukkan bahwa data tidak memenuhi asumsi stasioneritas dalam variansi, karena nilai pembulatan estimasi lambda sama dengan 0. Agar data bisa dimodelkan SARIMA, maka terlebih dahulu data distasionerkan terhadap variansi, yaitu menggunakan transformasi logaritma natural (ln). Selanjutnya dilakukan pemeriksaan stationeritas terhadap data hasil transformasi. Hasil analisis menggunakan metode Box-Cox menunjukkan bahwa data sudah stasioner terhadap variansi, karena pembulatan nilai lambda=1. Pemeriksaan stasioneritas terhadap rata-rata menggunakan pemeriksaan hasil plot autocorrelation function (acf). Plot acf (Gambar 2.) menunjukkan bahwa nilai autokorelasi setelah lag ke-2 sudah berada di dalam selang 

2 , yaitu berada di dalam selang ±0,1849 n

(setelah lag ke-2 nilai acf berada di antara garis putus-putus merah). Hal ini berarti bahwa data sudah stasioner terhadap mean (rata – rata). Autocorrelation Function for Dt_DBD_Klojen (with 5% significance limits for the autocorrelations)

1.0 0.8

Autocorrelation

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

10

20

30

40

50

60 Lag

70

80

90

100

110

Gambar 2. Plot ACF dari data banyaknya kasus penderita DBD di Kecamatan Klojen Kota Malang

Untuk identifikasi model SARIMA metode Box-Jenkins, dilakukan juga pemeriksaan plot partial autocorrelation function (PACF). Hasil plot pacf dapat dilihat pada Gambar 3. Partial Autocorrelation Function for Dt_DBD_Klojen (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

1.0

Partial Autocorrelation

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

10

20

30

40

50

60 Lag

70

80

90

100

110

Gambar 3. Plot PACF dari data banyaknya kasus penderita DBD di Kecamatan Klojen Kota Malang

Gambar 3. menunjukkan bahwa nilai PACF yang nyata terletak pada lag 1, 4, 9, 25. Berdasarkan batasan masalah, identifikasi model SARIMA tidak memperhatikan lag yang jauh Makalah Pendamping: Matematika 2

201

Volume 2


atau hanya sebatas kemampuan minitab sehingga model tentatif yang terbentuk untuk data adalah

ARIMA(0,0,2),

SARIMA(4,0,0)(0,0,1)12,

SARIMA(0,0,2)(0,0,1)12,

SARIMA(0,0,2)(1,0,0)12,

SARIMA(1,0,0)(0,0,1)12,

ARIMA(1,0,0),

ARIMA(4,0,0),

SARIMA(1,0,0)(1,0,0)12 dan SARIMA(4,0,0)(1,0,0)12. Di antara model-model tentatif di atas model SARIMA(4,0,0)(1,0,0)12 mempunyai nilai MSE yang paling kecil yaitu 0,3864, namun koefisien lag 2 dan lag 3 tidak signifikan. Adapun model SARIMA(1,0,0)(1,0,0)12 mempunyai nilai MSE yang sedikit lebih besar dari model SARIMA(4,0,0)(1,0,0)12 yaitu 0,3878 dan semua koefisien lag 1 dan lag 12 adalah signifikan. Selanjutnya model SARIMA(1,0,0)(1,0,0)12 dan SARIMA(4,0,0)(1,0,0)12 tersebut digunakan untuk input model JST. Dari 40 kali ulangan diperoleh hasil adalah sebagai berikut: Tabel 1. Perbandingan Nilai AIC Model

Variabel input JST

JST 1

lag 1 dan lag 12

JST 2

lag 1, lag 2, lag 3, lag 4, lag 12

Banyaknya unit di hidden layer

Rata-rata AIC

1

35.46

2

40.35

1

39.22

2

50.22

Berdasarkan Tabel 1. terlihat bahwa model JST 1 dengan 1 unit di hidden layer merupakan model yang terbaik dibandingkan dengan model JST 1 dengan 2 unit di hidden layer, model JST 2 dengan 1 unit di hidden layer dan model JST 2 dengan 2 unit di hidden layer, karena memiliki nilai AIC yang paling kecil. Model JST 1 dengan 1 unit di hidden layer merupakan model yang relatif akurat untuk memprediksi banyaknya kasus penyakit DBD di Kecamatan Klojen Kota Malang. Adapun plot, nilai AIC, bobot dari model JST 1 dengan 1 unit di hidden layer (satu kali ulangan) adalah sebagai berikut:

202



Volume 2

Gambar 4. Model JST 1 dengan 1 unit di dari hidden layerdata kasus Demam berdarah Dengeu di Kecamatan Klojen Kota Malang

> JST_R_h1_best$result.matrix 1 error

12.455217016625

reached.threshold steps

0.006711252481

780.000000000000

aic

34.910434033251

bic

48.180235784038

Intercept.to.1layhid1 -3.136001540133 Ylag1.to.1layhid1

0.922801798587

Ylag12.to.1layhid1

0.151054635157

Intercept.to.Y 1layhid.1.to.Y

1.182355091400 3.200546427220

Berdasarkan data validasi diperoleh nilai MSE sebesar 5.68.

SIMPULAN DAN SARAN Untuk mendapatkan model prediksi terbaik dari data time series perlu memperhatikan asumsi-asumsi yang disyaratkan, antara lain asumsi stasioneritas. Perlu diuji apakah model merupakan model linier atau model nonlinier. Model JST 1 dengan 1 unit di hidden layer merupakan model yang relatif akurat untuk memprediksi banyaknya kasus penyakit DBD di


203

Volume 2


Kecamatan Klojen Kota Malang. Sebagai saran, bisa digunakan model-model nonlinier lainnya sebagai perbandingan untuk mendapatkan model yang lebih baik lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Bishop, C.M. (1995). Neural Network for Pattern Recognition. Oxford: Clarendon Press. Chambers, D.M., Young, L.F., Hill, H.S., Jr. (1986). Backyard Mosquito Larval Habitat Availability and Use as Influenced by Census Tract Determined Resident Income Levels. Journal of the American Mosquito Control Association, 2, 539-544. Cheng, B. and Titterington, D.M. (1994). Neural Networks: A Review from a Statistical Perspective. Statistical Science, 9, 2-54. Haykin, H. (1999). Neural Networks: A Comprehensive Foundation, 2nd edition.Prentice-Hall, Oxford. Moore, C.G., Cline, B.L., Ruiz-Tiben, E., Lee, A., Romney-Joseph, H., Rivera-Correa, E. (1978). Aedes aegypti in Puerto Rico: Environmental Determinants of Larval Abundance and Relation to Dengue Virus Transmission. American Journal of Tropical Medicine and Hygiene, 27, 1225-1231. Moore, C.G. (1985). Predicting Aedes aegypti Abundance from Climatological Data, pp. 223233. In: Ecology of mosquitoes (eds.) LP Lounibos, JR Rey and JH Frank. Florida Medical Entomology Laboratory, Vero Beach, Florida. Nelson, M.J., Suarez, M.F., Morales, A., Archila, L., Galvis, E. (1984). Aedes aegypti (L.) in Rural

Areas

of

Columbia.

World

Health

Organization

unpublished

document

WHO/VBC/84.890. Ripley, B.D. (1996). Pattern Recognition and Neural Networks. Cambridge University Press, Cambridge. Russell, R.C. (1986). Seasonal Abundance of Mosquitoes in a Native Forest of the Murray Valley of Victoria, 1979-1985. Journal of the Australian Entomological Society,25, 235240. Russell, R.C., Whelan, P.I. (1986). Seasonal Prevalence of Adult Mosquitoes at Casuarina and Leanyer, Darwin. Australian Journal of Ecology, 11, 99-105. Sarle, W. (1994). Neural network and Statistical Models. In Proceeding 19th ASAS Users Group Int. Conf., pp. 1538-1550. Cary: SAS Institute. Schultz, G.W. (1993). Seasonal Abundance of Dengue Vectors in Manila, Republic of the Philippines. Southeast Asian Journal of Tropical Medicine and Public Health, 24, 369-375. Tang, Z., Almeida, C. and Fishwick, P.A. (1991). Time series forecasting using neural networks vs. Box-Jenkins methodology. Simulation, 57:5, pp. 303-310.

204



Volume 2

Tinker, M.E. (1964). Larval Habitats of Aedes aegypti (L.) in the United States. Mosquito News, 24, 426-432. White, H. (1989a). Learning in Artificial Neural Networks: A statistical Perspective. Neural Computation, Vol. 1, pp. 425-464. White, H. (1989b). Some asymptotic results for learning in single hidden layer feedforward networks. Journal of the American Statistical Association, Vol.84, No. 408, pp. 1003-1013.


205

Volume 2


Analisis Sistem Antrian M/M/1: Pendekatan Klasik, Kombinatorial dan Lattice Path Fadhila Alvin Q. A1), Isnandar Slamet2) 1) Jurusan Matematika FMIPA UNS Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta, e-mail: [email protected] 2) Jurusan Matematika FMIPA UNS Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta, email: [email protected] Abstrak Di dalam paper ini dikaji ulang pendekatan klasik, kombinatorial dan representasi lattice path. Hasil pendekatan perilaku transien dari model antrian Markovian seperti harapan panjang antrian, harapan banyaknya unit dalam system, distribusi bersama panjang periode sibuk dan banyaknya unit yang mendapatkan pelayanan diturunkan dan dibuktikan dengan pendekatan di atas. Keywords: Sistem antrian M/M/1, pendekatan klasik, kombinatorial, lattice path.

PENDAHULUAN Fenomena

antrian

sering

dijumpai

dalam

kehidupan

sehari-hari.

Antrianuntukmendapatkanpelayanandisebuah bank danantrian pesawat untukmendarat adalah dua contoh dari banyak contoh antrian. Dalam jaringan komunikasi, data atau pesan dikirim sesuai dengan aturan antrian. Pelanggan (customer)

harus mengantri sebelum mendapat

layanan. Menurut Taha (1987) teori antrian adalah teori yang berkaitan dengan studi matematik terhadap antrian. Dalam teori antrian terdapat sistem antrian. Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan serta pemrosesan masalah antrian. Sistem antrian telah menarik perhatian para peneliti sejak 1909 ketika Erlang pertama kali menganalisis masalah telephone traffic congestion service (Gross dan Harris, 1998). Sejak saat itu, para peneliti telah sukses memodelkan dan menginvestigasi sistem antrian dari berbagai aspek (Gross dan Harris, 1998; Brunell dan Wuyts, 1994; Fallon et al., 2010). Sistem antrian M/M/1 merupakan sistem antrian yang paling sederhana. Meskipun sederhana, studi mengenai sistem ini sangat penting sebagai landasan awal untuk studi lanjut mengenai sistem antrian (Gross and Harris, 1998). Pendekatan klasik dalam menganalisis performan sistem antrian dilakukan dengan menggunakan asumsi sistem mencapai konsisi seimbang (steady-state). Sebagai contoh penggunaan asumsi ini dapat ditemukan dalam Gross dan Harris (1998), Takagi (1991) dan Kleinrock (1975).

Tetapi dalam kehidupan nyata,

terdapat sistem antrian dimana keadaan setimbang (steady state) yang tidak tercapai. Oleh karena itu analisis sistem antrian dalam keadan transien sama pentingnya dengan analisis sistem

206



Volume 2

antrian ketika sistem mencapai keadaan setimbang (steady state). Dalam makalah ini, diturunkan performan sistem antrian M/M/1 dengan pendekatan klasik dimana sistem antrian mencapai keadaan setimbang (steady state) dan pendekatan kombinatorial dan lattice path ketika sistem antrian tidak mencapai keadaan setimbang.

METODE PENELITIAN Metode penelitian yang dilakukan dalam penulisan makalah ini adalah kajian pustaka yaitu dengan mengumpulkan referensi berupa buku-buku dan jurnal tentang model sistem antrian M/M/1, kemudian melakukan analisis terhadap beberapa perilaku dengan pendekatan klasik, pendekatan kombinatorial dan lattice path. Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian dilakukan mulai bulan Agustus 2013 sampai Nopember 2013 di Jurusan Matematika FMIPA UNS.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Di bawah ini akan dijelaskan penurunan performan sistem antrian M/M/1 ketika keadaan setimbang (steady state) tercapai. Sebelumnya akan dijelaskan hubungan

antara

distribusi Poisson dan eksponensial. Hubungan distribusi Poisson dan Eksponensial Banyaknya kedatangan dan kepergian (selesainya pelayanan) selama interval waktu tertentu dinyatakan dalam kondisi sebagai berikut: kondisi 1:

probabilitas terjadinya suatu kejadian (kejadian kedatangan atau kepergian) antara waktu t sampai 𝑡 + 𝑕 hanya bergantung pada kejadian yang terjadi selama selang h saja, artinya banyaknya kejadian yang terjadi sebelum waktu ke-t tidak akan mempengaruhi kejadian selama selang waktu h,

kondisi 2:

probabilitas bahwa dalam selang waktu h yang sangat kecil akan terjadi suatu kejadian adalah positif dan ≤ 1,

kondisi 3:

paling banyak hanya satu kejadian yang bisa terjadi selama selang waktu h yang sangat kecil.

Jika𝑃𝑛 𝑡 adalah probabilitas akan terjadi n kejadian dalam waktu t dan jika 𝑛 = 0 maka sesuai dengan kondisi diatas didapatkan, kondisi 1:

𝑃0 𝑡 + 𝑕 = 𝑃0 𝑡 𝑃0 𝑕 ,

kondisi 2:

0 < 𝑃0 𝑕 ≤ 1, dipenuhi jika 𝑃0 𝑡 = 𝑒 −𝛼𝑡 ; 𝑡 ≥ 0, ∝= konstanta positif. Untuk 𝑕 → 0 maka 𝑃0 𝑕 = 𝑒 −∝𝑕 = 1−∝ 𝑕 +

∝𝑕 2!

2

−

∝𝑕 3!

3

+ ⋯ (deret Taylor)

𝑃0 𝑕 ≅ 1−∝ 𝑕, Makalah Pendamping: Matematika 2

207

Volume 2


kondisi 3:

𝑃1 𝑕 = 1 − 𝑃0 𝑕 ≅∝ 𝑕.

Misal, 𝑓(𝑡) = pdf dari interval waktu antar dua kejadian yang berurutan 𝑡 ≥ 0 𝐹(𝑡) = fungsi densitas kumulatif dari t=

∞ 0

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Jika T = interval waktu sejak terjadinya kejadian berakhir maka 𝑃 waktu antar 2 kejadian ≥ 𝑇 = 𝑃[tidak ada kejadian yang terjadi selama𝑇] atau 𝑃 𝑡 ≥ 𝑇 = 𝑃0 𝑇 = 𝑒 −∝𝑇 . Jadi, ∞

𝑇

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 −∝𝑇 → 𝑇

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1 − 𝑒 −∝𝑇 → 𝑃 𝑡 < 𝑇 = 1 − 𝑒 −∝𝑇 −∞

𝑃 𝑡 < 𝑇 = 𝐹 𝑇 = 1 − 𝑒 −∝𝑇 → 𝑓 𝑇 =

𝑑 𝐹(𝑇) → 𝑓 𝑇 =∝ 𝑒 −∝𝑇 ; 𝑇 > 0 𝑑𝑇

𝑓(𝑇) = distribusi eksponensial untuk interarrival times atau waktu antar 2 kejadian 1

𝐸 𝑇 = rata-rata interarrival times= ∝ satuan waktu Jika kejadiannya adalah kedatangan maka ∝= 𝜆 adalah laju kedatangan per satuan waktu dan jika kejadiannya adalah kepergian maka ∝= 𝜇 adalah laju kepergian (selesainya pelayanan) per satuan waktu. Hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial (distribusi untuk interarrrival times dan service times) akan ditunjukkan dalam proses kedatangan dan proses kepergian sebagai berikut :

Proses Kedatangan Jika𝑃𝑛 (𝑡) adalah probabilitas terjadi 𝑛kedatangan di mana 𝑛 > 0 selama interval waktu t, maka untuk 𝑕 > 0 dan 𝑕 → 0 berlaku: 𝑃[terdapat𝑛kedatangan selama waktu𝑡] 𝑃[terdapat 0 kedatangan selama waktu𝑕] 𝑃𝑛 𝑡 + 𝑕 =

atau 𝑃[terdapat 𝑛 − 1 kedatangan selama waktu𝑡] 𝑃[terdapat 1 kedatangan selama waktu𝑕] 𝑃𝑛 𝑡 + 𝑕 = 𝑃𝑛 𝑡 𝑃0 𝑕 +𝑃𝑛−1 𝑡 𝑃1 𝑕 ; 𝑛 = 1,2, … 𝑃0 𝑡 + 𝑕 = 𝑃0 𝑡 𝑃0 𝑕 ; 𝑛 = 0

Dengan mengeliminasi persamaan 𝑃0 𝑕 ≅ 1−∝ 𝑕 dan𝑃1 𝑕 = 1 − 𝑃0 𝑕 ≅∝ 𝑕 ke persamaan diatas kemudian dicari 𝑕 → 0 maka didapatkan hasil 𝑃𝑛 𝑡 =

208

𝜆𝑡 𝑛 𝑒 −𝜆𝑕 ; 𝑛!

𝑛 = 0,1,2, …



Volume 2

Distribusi dari banyaknya kedatangan selama interval waktu tadalah Poisson dengan 1 𝜆

mean 𝜆𝑡dan variansi 𝜆𝑡. Distribusi interarrival times adalah eksponensial dengan mean .

Proses Kepergian Diasumsikan bahwa sistem dimulai dengan terdapat N obyek yang masing-masing obyek akan meninggalkanfasilitas pelayanan dengan laju  dengan anggapan bahwa pada saat itu tidak ada obyek baru yang masuk dalam sistem. Jika 𝑞𝑛 𝑡 = probabilitas terjadi n kepergian selama t, maka untuk 𝑕 → 0, 𝑞0 𝑕 = 𝑒 −𝜇𝑕 ≅ 1 − 𝜇𝑕 (tidak terdapat kepergian), 𝑕 > 0, 𝑞1 𝑕 = 1 − 𝑞0 𝑕 ≅ 𝜇𝑕 (terdapat satu kepergian), 𝑞𝑁 𝑡 + 𝑕 ≅ 𝑞𝑁 𝑡 + 𝑞𝑁−1 𝑡 𝜇𝑕; 𝑞𝑛 𝑡 + 𝑕 ≅ 𝑞𝑛 𝑡 1 − 𝜇𝑕 + 𝑞𝑛−1 𝑡 𝜇𝑕;

𝑛 = 𝑁, 1 ≤ 𝑛 < 𝑁,

𝑞0 𝑡 + 𝑕 ≅ 𝑞0 𝑡 1 − 𝜇𝑕 ;

𝑛 = 0.

Dengan cara yang sama seperti proses kedatangan diperoleh 𝑞𝑛 𝑡 =

𝜇𝑡 𝑛 𝑒 −𝜇𝑡 𝑛!

𝑞𝑁 𝑡 = 1 −

;

𝑁−1 𝑛=1 𝑞𝑛

𝑛 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1, 𝑡 ;

𝑛 = 𝑁.

Distribusi dari banyaknya kepergian selama interval waktu tadalah Poisson dengan mean 𝜇𝑡 dan variansi 𝜇𝑡 dengan 𝜇 = laju pelayanan. Distribusi service timesadalah Eksponensial 1

dengan mean= 𝜇 . Model AntrianM/M/1 Di dalam bagian ini sistem antrian M/M/1 akan dibahas. Notasi M yang pertama menunjukkan proses kedatangan adalah memoryless yaitu proses waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial dan i.id (independent and identically distributed).Proses ini dikenal dengan proses Poisson. Notasi M yang kedua menunjukkan

waktu pelayanan (service)

berdistribusi eksponensial. Notasi 1 menunjukkankan banyaknya fasilitas pelayanan.

Skip-Free Markov Processes Proses Markov model antrian M/M/1 memiliki sifat yang menentukan bahwa transisi mengikuti state persekitaran, yaitu 𝑔𝑖𝑗 = 0 untuk state 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁0 dengan |𝑖 − 𝑗| > 1. Sehingga skip-free Markov processes didefinisikan sifat pembangkit 𝐺 = (𝑔𝑖𝑗 )𝑖,𝑗 ∈𝐸 yang memenuhi 𝑔𝑖𝑗 = 0 untuk semua state 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 < 𝑁0 dengan |𝑖 − 𝑗| > 1. Untuk sistem antrian ini berarti hanya ada kedatangan ataukepergian tunggal. Jadi setiap sistem antrian Markov dengan kedatangan dan kepergian tunggal dapat dimodelkan denganskip-free Markov processes. Tingkat transisi sangat kecil yang tersisa dinotasikan dengan λ𝑛 ≔ 𝑔𝑛,𝑛+1 , 𝜇𝑛 ≔ 𝑔𝑛,𝑛−1 . Makalah Pendamping: Matematika 2

209

Volume 2


Masing-masing λ𝑛 dan 𝜇𝑛 adalah rata-rata kedatangan jika terdapat n pelanggan dalam sistem dan rata-rata kepergian jika terdapat n pelanggan dalam sistem. Sehingga diagram transisi antrian M/M/1 diasumsikan sebagai berikut 𝜆0 0

1

𝜇1

𝜆𝑛

𝜆𝑛−1

𝜆1 ....

2

n

n-1 𝜇𝑛

𝜇2

n+1 𝜇𝑛+1

Gambar 1. Diagram Transisi Antrian M/M/1 Dari Gambar 1, terlihat bahwa nilai harapan pelanggan yang masuk sama dengan nilai harapan pelanggan yang keluar, sehingga diperoleh 𝜆𝑛−1 . Pn−1 + μn+1 . Pn+1 = 𝜆𝑛 + 𝜇𝑛 𝑃𝑛 . untuk 𝑛 = 0, maka 𝜇1 . 𝑃1 = 𝜆0 . 𝑃0 ; 𝑛 = 0 untuk semua 𝑛 ∈ 𝑁. Sistem ini adalah penyelesaian yang didapatkan dari eliminasi dengan penyelesaian dalam bentuk berikut 𝑛−1

𝑃𝑛 = 𝑃0 𝑗 =0

𝜆𝑗 𝜆0 . 𝜆1 … 𝜆𝑛−1 = 𝑃0 𝜇𝑗 +1 𝜇1 . 𝜇2 . . . 𝜇𝑛

untuk semua 𝑛 ≥ 1. Solusi P adalah distribusi probabilitas jika dan hanya jika dapatdinormalisasi, yaitu jika

𝑛∈𝐸 𝑃𝑛

= 1. Kondisi ini sama dengan 𝑖−1

1=

𝑃0 𝑛∈𝐸

𝑗 =0

𝜆𝑗 = 𝑃0 𝜇𝑗 +1 𝑖−1

𝑃0 = 𝑛∈𝐸 𝑗 =0

𝑖−1

𝑛∈𝐸 𝑗 =0

𝜆𝑗 𝜇𝑗 +1

−1

𝜆𝑗 𝜇𝑗 +1

.

Dengan demikian, P adalah distribusi probabilitas jika dan hanya jika deret dalam kurung adalahkonvergen. Jadi, distribusi stasioner dari skip-free Markov processes atau steady state adalah 𝑃0 =

𝑛∈𝐸

𝑖−1 𝜆 𝑗 𝑗 =0 𝜇

𝑗 +1

−1

.

Untuk membahas sistem antrian M/M/1, diasumsikan bahwa server tunggal, antrian tunggal, first come first served (FCFS) disiplin antrian, baik sumber input tak terbatas maupun terbatas, waktu antar kedatangan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata waktu antar

210


...


kedatangan

1 , 𝜆

Volume 2

waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata waktu

1 𝜇

pelayanan . Dengan mempertimbangkan sistem antrian M/M/1 dengan sumber input yang tak terbatas, diperoleh persamaan keseimbangan steadystate Pn+1 =

𝜆+𝜇 𝜆 𝑃𝑛 − Pn−1 ; (𝑛 ≥ 1) 𝜇 𝜇

Digunakan fungsi pembangkit untuk memecahkan perbedaan steady-state dengan persamaan {𝑃𝑛 }. Di mulai dengan menulis ulangpersamaan steady-stateuntuk proses kelahiran 𝜆

dan kematian dalam jangka waktu 𝜌 = 𝜇 dan memperoleh Pn+1 = (ρ + 1)𝑃𝑛 − ρPn−1 𝑃1 = 𝜌𝑃0 ; 𝑛 = 0 Jika kedua sisi dikalikan 𝑧 𝑛 , maka Pn+1 𝑧 𝑛 = (ρ + 1)𝑃𝑛 𝑧 𝑛 − ρPn−1 𝑧 𝑛 atau 𝑧 −1 Pn+1 𝑧 𝑛+1 = (ρ + 1)𝑃𝑛 𝑧 𝑛 − ρzPn−1 𝑧 𝑛−1 ∞

𝑧

−1

∞

Pn+1 𝑧

𝑛+1

∞ 𝑛

= ρ+1

𝑛=1

Pn−1 𝑧 𝑛−1

𝑃𝑛 𝑧 − 𝜌𝑧 𝑛=1

𝑛=1

atau 𝑧 −1 𝑃 𝑧 − 𝑃1 𝑧 − 𝑃0 = ρ + 1 𝑃 𝑧 − 𝑃0 − 𝜌𝑧𝑃(𝑧) dari persamaan 𝑃1 = 𝜌𝑃0 , didapatkan 𝑧 −1 𝑃 𝑧 − (𝜌𝑧 + 1)𝑃0 = ρ + 1 𝑃 𝑧 − 𝑃0 − 𝜌𝑧𝑃(𝑧) sehingga penyelesaian untuk P(z), diperoleh

P(z) 

p0 1  z

untuk menentukan 𝑃0 , pertimbangkan 𝑃(1) ∞

∞ 𝑛

𝑃 1 =

𝑃𝑛 1 = 𝑛=0

𝑃𝑛 = 1 = 𝑛=0

𝑃0 1 − 𝑧𝜌

atau 𝑃0 = 1 − 𝑧𝜌 = 1 − 𝜌 Oleh karena itu, diperoleh 𝑃 𝑧 =

1−𝜌 ; 𝜌 < 1, 𝑧 ≤ 1 1 − 𝑧𝜌

karena 𝑧𝜌 < 1, 1 = 1 + 𝑧𝜌 + (𝑧𝜌)2 + (𝑧𝜌)3 + ⋯ 1 − 𝑧𝜌 Oleh karena itu, diperoleh probabilitas fungsi pembangkit Makalah Pendamping: Matematika 2

211

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 ∞

(1 − 𝜌)𝜌𝑛 𝑧 𝑛

𝑃 𝑧 = 𝑛=0

𝑃𝑛 = 1 − 𝜌 𝜌𝑛 ; 𝜌 < 1 Dengan hasil di atas, dapat ditentukan jumlah pelanggan pada sistem saat keadaan setimbang (steady-state). Jika kondisi setimbang tercapai, akan diperoleh hasil seperti berikut Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem, 𝐿=𝐸 𝑁 =

𝜌 𝜆 = . 1−𝜌 𝜇−𝜆

Variabel randomLq yaitu nilai yang diharapkan dari jumlah dalam antrian, 𝜌2 𝜆2 𝐿𝑞 = = . 1 − 𝜌 𝜇(𝜇 − 𝜆) Masing-masing W dan Wqadalah waktu yang diharapkan sebagai pelanggan menghabiskan dalam sistem dan diharapkan waktu pelanggan menunggu dalam antrian, 𝐿 𝑊= , 𝜆 𝐿𝑞 𝑊𝑞 = . 𝜆 Berdasarkan asumsi M/M/1 bahwa populasi masukan terbatas, yaitu memiliki total pelanggan M. Untuk antrian tersebut, rata-rata waktu antar kedatangan antara kedatangan 1

berturut-turut adalah 𝜆 dan 𝜇 adalah tingkat layanan. Probabilitas sistem menganggur, 𝑀! 𝑀−𝑖 !

𝑃0

𝜆 𝜇

𝑖 −1

.

Probabilitas n pelanggan dalam sistem, 𝜆 𝑛 𝑀! 𝑃 ; 0 < 𝑛 ≤ 𝑀, 𝑃= 𝜇 𝑀−𝑖 ! 0; 𝑛 > 𝑀. Rata-rata panjang antrian, 𝐿𝑞 = 𝑀 −

𝜆+𝜇 1 − 𝑃0 . 𝜆

Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem, 𝐿 = 𝐿𝑞 + 1 − 𝑃0 = 𝑀 −

𝜇 1 − 𝑃0 . 𝜆

Rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam antrian, 𝑊𝑞 =

𝐿𝑞 1 𝑀 𝜆+𝜇 = − . 𝜇 1 − 𝑃0 𝜇 1 − 𝑃0 𝜆

Rata-rata waktu yang dihabiskan pelnaggan dalam sistem, 𝑊 = 𝑊𝑞 + 212

1 1 𝑀 𝜆+𝜇 = − +1 . 𝜇 𝜇 1 − 𝑃0 𝜆 Makalah Pendamping: Matematika 2


Volume 2

Pendekatan Kombinatorial dan Representasi Lattice Path Pendekatan kombinatorial dilakukan dengan terlebih dahulu memodelkan waktu yaitu waktu diskrit. Untuk itu interval waktu (0, 𝑡)yang dibagi menjadi barisan 𝑡/𝑕 (slot waktu) yang masing-masing mempunyai durasi 𝑕 > 0. Dalam hal ini diasumsikan kemungkinan ada lebih dari satu unit kedatangan atau kepergian dalam subinterval dan kejadian-kejadian di subinterval yang berbeda adalah independen. Kemudian barisan variabel random 𝑋𝑖 dikaitkan dengan barisan 𝑡/𝑕 slot waktu, sehingga, 𝑖 = 1,2, … , 𝑡/𝑕, dimana

+ l jika ada kedatangan pada slot ke-I, 𝑋𝑖 =

- l jika ada kepergian pada slot ke-I, 0 jika tidak ada kedatangan dan kepergian pada slot ke-i.

Sistem antrian M/M/1 dapat didiskripsikan oleh suatu barisan variabel random {𝑋𝑖 } yang independen, yang mana distribusinya tidak diketahui. Oleh karena itu, dapat direpresentasikan dengan lattice path. Sen (1991) merepresentasikan kedatangan dengan satu langkah horisontal (horizontal step) dan kepergian dengan satu langkah vertikal (vertical step) dan ketika tidak ada kedatangan dan kepergian pada sistem maka dapat direpresentasikan dengan tidak adanya pergerakan pada lattice point. Jika keadaan (state) pada sistem antrian pada waktu ke i, direpresentasikan oleh sistem antrian, sebut (𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 ), dimana adalah jumlah kedatangan 𝑃 kedatangan pada slot ke − 𝑛 = 𝑃(𝑋𝑛 = 1) = 𝑃{ 𝛼𝑛−1 , 𝛽𝑖−1 → 𝛼𝑛−1 + 1, 𝛽𝑖−1 = 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 } = 𝜆𝑕 + 𝑜 𝑕 jika𝛼𝑛−1 ≥ 𝛽𝑖−1 𝑃 kepergian pada slot ke − 𝑛 = 𝑃(𝑋𝑛 = −1) = 𝑃{ 𝛼𝑛−1 , 𝛽𝑖−1 → 𝛼𝑛−1 , 𝛽𝑖−1 + 1 = 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 }

=

𝜇𝑕 + 𝑜 𝑕 jika αn−1 > 𝛽𝑖−1 , 0 jika𝛼𝑛−1 ≤ 𝛽𝑖−1 ,

𝑃 tidakberpindah pada slot ke − 𝑛 = 𝑃(𝑋𝑛 = 0) =

1 − 𝜆 + 𝜇 𝑕 + 𝑜 𝑕 jika αn−1 > 𝛽𝑖−1 , 1 − 𝜆𝑕 + 𝑜 𝑕 jika αn−1 = 𝛽𝑖−1 ,

Proses antrian M/M/1 ↔ 𝑋1, 𝑋2 , … → {𝐿𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑃𝑎𝑡𝑕} → 𝑃{kejadian yang berhubungan dengan proses antrian 𝑀/𝑀/1 = lim𝑕→0 𝑃(lattice path yang memenuhi kejadian yang berhubungan dengan prosen antrian) Banyaknya Lattice Path Di bawah ini diberikan dua lema yang berguna bagi analisis performan ketika sistem antrian tidak mencapai keadan setimbang dan satu teorema. Lema dan teorema diambil dari (Sen, 1991), dimana bukti-bukti tidak diberikan. Di bawah ini bukti-bukti berhasil diturunkan.


213

Volume 2


Lema 1.Jika 𝑁 𝑖; 𝑚, 𝑛; 𝑎 menunjukkan jumlah lattice path dari 𝐴(𝑖, 0) ke 𝐵(𝑚, 𝑛) yang selalu berada dibawah garis 𝑦 = 𝑥 − 𝑎 dan tidak menyentuh diantara keduanya, kemudian untuk 𝑖 > 𝑎 ≥ 0, 𝑚 > 𝑛 ≥ 0, 𝑚 ≥ 𝑖 𝑁 𝑖; 𝑚, 𝑛; 𝑎 =

𝑚+𝑛−𝑖 𝑚+𝑛−𝑖 − 𝑛 𝑚−𝑎

Bukti.Dengan menggunakan prinsip refleksi. Lema 2. Jika 𝑁(𝑖; 𝑚, 𝑚)𝑓 menunjukkan jumlah lattice path dari (𝑖, 0) ke (𝑚, 𝑚) yang menyentuh garis 𝑦 = 𝑥 untuk pertama kalinya hanya pada lattice point (𝑚, 𝑚) yang diberikan oleh 𝑁(𝑖; 𝑚, 𝑚)𝑓 =

𝑖 2𝑚 − 𝑖 , 𝑚 ≥ 𝑖 > 0, … 2𝑚 − 𝑖 𝑚

Bukti.Jumlah lattice path dapat dihitung dengan menggunakan lema. 1 dengan menempatkan a = 0 dan mengganti n dengan 𝑚 − 1. 𝑁(𝑖; 𝑚, 𝑚)𝑓 = 𝑁 𝑖; 𝑚, 𝑚 − 1; 0 =

𝑚+ 𝑚−1 −𝑖 𝑚+ 𝑚−1 −𝑖 − 𝑚−1 𝑚−0

=

2𝑚 − 1 − 𝑖 2𝑚 − 1 − 𝑖 − 𝑚−1 𝑚

=𝑝+0 =

(2𝑚 − 1 − 𝑖)! 2𝑚 − 1 − 𝑖 ! − 𝑚 − 1 ! 𝑚 − 𝑖 ! 𝑚! 𝑚 − 1 − 𝑖 !

=

(2𝑚 − 1 − 𝑖)! 1 1 − 𝑚−1 ! 𝑚−1−𝑖 ! 𝑚−𝑖 𝑚

=

2𝑚 − 1 − 𝑖 ! 𝑚− 𝑚−𝑖 𝑚−1 ! 𝑚−1−𝑖 ! 𝑚 𝑚−𝑖

=

2𝑚 − 1 − 𝑖 ! 𝑖 𝑚−1 ! 𝑚−1−𝑖 ! 𝑚 𝑚−𝑖

=

2𝑚 − 1 − 𝑖 ! 𝑖 𝑚! 𝑚 − 𝑖 !

=

𝑖 2𝑚 − 𝑖 2𝑚 − 1 − 𝑖 ! (2𝑚 − 𝑖) 𝑚! 𝑚 − 𝑖 !

=

𝑖 2𝑚 − 𝑖 ! (2𝑚 − 𝑖) 𝑚! 𝑚 − 𝑖 !

=

𝑖 2𝑚 − 𝑖 ,𝑚 ≥ 𝑖 (2𝑚 − 𝑖) 𝑚 >0

214

∎



Volume 2

Teorema 1. Jika 𝑝𝑖0 (𝑡) menunjukkan probabilitas bahwa dimulai dengan i unit sistemyang mana dapat menjadi kosong di beberapa titik waktu (≤ 𝑡) untuk waktu kontinu pertama menjadi kosong sampai waktu t. Kemudian 𝑡

= 0

−𝑖

𝑖 𝜆 (𝑡 − 𝑡1 ) 𝜇

2

𝑒 −𝜆𝑡 1 𝑒 −(𝜆+𝜇 )(𝑡−𝑡 1 ) 𝐼𝑖 2 𝜆𝜇(𝑡 − 𝑡1 )

Bukti. 𝑡

1

𝑕 −𝑖 2

𝑡

𝑕 =0

𝑦 =𝑖

𝑕 +𝑖

𝑖 2𝑦 − 𝑖 2𝑦 − 𝑖 𝑦

𝑝𝑖0 𝑡 = lim

𝑕→0

𝑡1

𝜆𝑕 + 𝑜(𝑕) = lim

𝑕→0

𝑡1

𝑕

𝑦−𝑖

= lim

𝑡1

𝑕

𝑦=𝑖

𝑦−𝑖

𝜇𝑕 + 𝑜(𝑕)

𝑖 1 𝑦 − 𝑖 ! 𝑦! 𝑕

𝑡1

−1

1 − 𝜆𝑕 + 𝜇𝑕 + 𝑜(𝑕)

𝑦

𝑕+1−1 1−1

2𝑦 − 𝑖 − 1

𝑡−𝑡 1 −2𝑦+𝑖 𝑕

𝑡−𝑡 1 −1 ! 𝑕 𝑡−𝑡 1 −1− 𝑕

𝑖 (2𝑦 − 𝑖)! 2𝑦 − 𝑖 𝑦! (𝑦 − 𝑖)! 2𝑦 − 𝑖 − 1 ! 𝑦=𝑖

𝜆𝑕 + 𝑜(𝑕) 𝑕→0

𝑦

𝜇𝑕 + 𝑜(𝑕)

𝑡−𝑡 1 𝑕

1 − 𝜆𝑕 + 𝜇𝑕 + 𝑜(𝑕)

1 − 𝜆𝑕 + 𝑜(𝑕)

𝑡1

𝑕

2𝑦 + 𝑖 + 1 !

𝑡−𝑡 1 −2𝑦+𝑖 𝑕

1 − 𝜆𝑕 + 𝑜(𝑕)

𝑡1

𝑕

2𝑦−𝑖−1

𝑡 − 𝑡1 − 𝑕 𝑡 − 𝑡1 − 2𝑕 … 𝑡 − 𝑡1

− 𝑕 2𝑦 − 𝑖 − 1 𝜆𝑕 + 𝑜(𝑕) 𝑡 ∞

= 0 𝑦=𝑖 𝑡

= 0 𝑡

= 0

𝑦−𝑖

𝜇𝑕 + 𝑜(𝑕)

𝑖 (𝑡 − 𝑡1 )

𝑖 𝜆 (𝑡 − 𝑡1 ) 𝜇 𝑖 𝜆 (𝑡 − 𝑡1 ) 𝜇

𝑦

𝜆𝜇(𝑡 − 𝑡𝑖1 ) 𝑦 − 𝑖 ! 𝑦! −𝑖

1 − 𝜆𝑕 + 𝜇𝑕 + 𝑜(𝑕) 2𝑦−𝑖

𝜆 𝜇

−𝑖

2

𝑒

−𝜆𝑡 1 −(𝜆+𝜇 )(𝑡−𝑡 1 )

𝑒

𝑑𝑡1 𝑦=𝑖

−𝑖

2

𝑒

−𝜆𝑡 1 −(𝜆+𝜇 )(𝑡−𝑡 1 )

𝑒

1 − 𝜆𝑕 + 𝑜(𝑕)

𝑡1

𝑕

𝑒 −𝜆𝑡 1 𝑒 −(𝜆+𝜇 )(𝑡−𝑡𝑖 ) 𝑑𝑡1 ∞

2

𝑡−𝑡 1 −2𝑦+𝑖 𝑕

2𝑦−𝑖

𝜆𝜇(𝑡 − 𝑡1 ) 𝑦 − 𝑖 ! 𝑦! ∞

𝑖

𝜆𝜇(𝑡 − 𝑡1 ) 𝑑𝑡1 𝑦=𝑖

2𝑦−2𝑖

𝜆𝜇(𝑡 − 𝑡𝑖 ) 𝑦 − 𝑖 ! 𝑦!

dengan mengambil 𝑘 = 𝑦 − 𝑖 𝑡

= 0 𝑡

= 0

𝑖 𝜆 (𝑡 − 𝑡1 ) 𝜇 𝑖 𝜆 (𝑡 − 𝑡1 ) 𝜇

−𝑖

−𝑖

2

2

𝑒 −𝜆𝑡 1 𝑒 −(𝜆+𝜇 )(𝑡−𝑡 1 )

𝜆𝜇(𝑡 − 𝑡1 ) 2

𝑖

𝑒 −𝜆𝑡 1 𝑒 −(𝜆+𝜇 )(𝑡−𝑡 1 ) 𝐼𝑖 2 𝜆𝜇(𝑡 − 𝑡1 )

∞

𝑑𝑡1 𝑘=0

𝑘 4𝜆𝜇 𝑡−𝑡 𝑖 2 4

𝑘! 𝑖 + 𝑘 + 1 ! ∎

SIMPULAN DAN SARAN Dari pembahasan dapat ditarik beberapa kesimpulan:


215

Volume 2


1. dengan pendekatan klasik, beberapa performan dari sistem antrian M/M/1 dapat diturunkn melalui kombinasi analisis transformasi dan teknik numerik analisis berdasarkan keadaan setimbang. 2. dengan pendekatan kombinatorial dan lattice path, 𝑝𝑖0 (𝑡) menunjukkan probabilitas bahwa dimulai dengan i unit sistemyang mana dapat menjadi kosong di beberapa titik waktu (≤ 𝑡) untuk waktu kontinu pertama menjadi kosong sampai waktu t dapat diturunkan dengan terlebih dahulu mengkonstruksikan banyaknya lattice path yang bersesuaian.

DAFTAR PUSTAKA Bruneel, H. and Wuyts, I. (1994). Analysis of discrete-time multiserver queueing models with constants service times. Operations Research Letters, 15:231–236, 1994. Fallon, J., S. Gao and Niederhausen, H. (2010). Proof of a lattice paths conjecture connected to the tennis ball problem. Journal of Statistical Planning and Inference, 140:2227–2229, 2010. Gross, D. and Harris, C. M. (1998). Fundamentals of Queueing Theory: Third edition. John Wiley & Sons, Canada. Kleinrock, L. (1975). Queueing Systems: Volume 1. John Wiley & Sons, New York. Sen, K and Jain, J. L. (1991). Combinatorial Approach to Markovian Queueing Models. Journal of Statistical Planning and Inference 34 (1), 269-279. Taha, H. A. (1987). Operations Research. (4thed.). New York: Macmillan. Takagi, H. (1991). Queueing Analysis: A foundation of performance evaluation. Volume 1. John Wiley & Sons, New York.

216



Volume 2

MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) Felin Yunita1, Purnami Widyaningsih2, Respatiwulan3 JurusanMatematika FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam UniversitasSebelasMaret Surakarta [email protected] Abstrak Model susceptible infected recovered (SIR) menjelaskan penyebaran penyakit dari individu susceptible menjadi infected, kemudian individu infected akan sembuh (recovered) dan tidak terinfeksi kembali karena memiliki kekebalan. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variable lwaktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered merupakan proses stokastik dalam selang waktu dan variabel random kontinu sehinggadapat dijelaskan dengan model stokastik SIR. Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIR. Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak 𝛽, laju kesembuhan 𝛾, dan individu awal yang terinfeksi I(0) yang berbeda. Hasil simulasi menunjukkan bahwa jika semakin besar nilai 𝛽 maka puncak epidemi semakin tinggi dan semakin besar nilai I(0) maka puncak epidemi juga semakin tinggi. Akan tetapi jika semakin besar nilai 𝛾 maka puncak epidemi semakin rendah. Kata kunci: model SIR, model stokastik.

1. PENDAHULUAN Penyakit menular seperti measles (campak), hepatitis, smallpox, dan poliomyelitis (polio) merupakan penyakit yang disebabkan oleh virus yang dapat menyebar melalui kontak langsung, udara, batuk, dan bersin. Penyakit ini perlu diwaspadai karena dapat mengakibatkan komplikasi, kerusakan organ tubuh, cacat, kelumpuhan bahkan kematian. Pada beberapa penyakit, individu yang telah sembuh dari infeksi akan memiliki kekebalan terhadap penyakit tersebut dalam tubuhnya sehingga individu tersebut tidak berpotensi untuk terinfeksi kembali. Menurut Hethcote [3], model matematika yang dapat digunakan untuk menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik tersebut adalah model susceptible infected recovered (SIR). Sebagaimana yang ditulis Parzen [5], perubahan banyaknya individu susceptible, infected dan recovered pada suatu populasi tidak dapat diketahui dengan pasti. Hal tersebut menunjukkan bahwa penyebaran penyakit merupakan suatu kejadian random yang bergantung pada variabel waktu dan berkaitan dengan probabilitas sehingga bias disebut proses stokastik. Dengan demikian, model yang dapat menggambarkan peristiwa tersebut yaitu model stokastik SIR. Model tersebut mengkaji perubahan banyakya individu susceptible, infected dan recovered dalam selang waktu kontinu. Makalah Pendamping: Matematika 2

217

Volume 2


Pada penelitian ini penulis menurunkan ulang model stokastik SIR dan melakukan penerapan dan simulasi model stokastik SIR. Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan mengenai model stokastik dalam hubungannya dengan penyebaran penyakit, khususnya SIR. 2. PEMBAHASAN 2.1 Model Stokastik SIR Menurut Hethcote [3] populasi pada SIR dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok individu rentan penyakit atau susceptible (𝑆), kelompok individu yang terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit ke sejumlah individu lain atau infected (𝐼) dan kelompok individu yang sudah sembuh atau recovered (𝑅). Banyaknya individu pada kelompok 𝑆, 𝐼 dan 𝑅 pada waktu 𝑡 dinyatakan sebagai 𝑆 𝑡 , 𝐼 𝑡 , dan 𝑅(𝑡). Berikut adalah asumsi yang digunakan pada model SIR menurut Hethcote [3]. 1. Populasi tertutup dan jumlah individu pada populasi konstan 𝑁. 2. Populasi bercampur secara homogen. 3. Laju kelahiran dan laju kematian diabaikan, sehingga model hanya dipengaruhi laju kontak dan laju kesembuhan. 4. Hanya satu penyakit yang menyebar dalam populasi. Penurunan model stokastik SIR mengacu pada Allen [2]. Banyaknya individu susceptible dan infected pada waktu yang akan dating hanya dipengaruhi banyaknya individu susceptible dan infected pada saat ini. Kejadian ini menunjukkan bahwa penyebaran penyakit merupakan suatu proses Markov. Penyebaran penyakit dengan karakteristik tersebut dapat digambarkan dengan model continous time Markov chain (CTMC) SIR. Dalam penelitian ini terdapat asumsi tambahan yaitu perubahan banyaknya individu susceptible dan infected mengikuti proses Wiener yang merupakan proses stokastik 𝑊 𝑡 . Sehingga, perubahan banyaknya individu susceptible dan infected dapat dipandang sebagai proses stokastik. Model stokastik diturunkan ulang berdasarkan asumsi-asumsi tersebut. Dimisalkan banyaknya individu 𝑆 saat 𝑡 adalah 𝑠 dan banyaknya individu 𝐼 saat 𝑡 adalah 𝑖. Banyaknya individu susceptible dan infected dapat berubah setiap waktu dalam interval waktu 𝑡 = [0, ∞). Jika besarnya perubahan individu 𝑆 pada selang waktu ∆𝑡 yaitu 𝑘 dan besarnya perubahan individu 𝐼 pada selang waktu ∆𝑡 yaitu 𝑗, maka perpindahan dari state 𝑠 ke 𝑠 + 𝑘 dan dari state 𝑖 ke 𝑖 + 𝑗 disebut transisi. Probabilitas perubahan banyaknya individu infected dari state 𝑠 ke state 𝑠 + 𝑘 dan dari state 𝑖ke state 𝑖 + 𝑗 pada selang waktu ∆𝑡 disebut probabilitas transisi yang dapat dituliskan sebagai

𝑝

𝑠,𝑖 , 𝑠+𝑘,𝑖+𝑗

218

∆𝑡 = 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑆 𝑡 + ∆𝑡 , 𝐼 𝑡 + ∆𝑡

= 𝑠 + 𝑘, 𝑖 + 𝑗 𝑆 𝑡 , 𝐼 𝑡

= (𝑠, 𝑖)]. (2.1)



Volume 2

Transisi terjadi pada selang waktu ∆𝑡 → 0 dan diasumsikan hanya ada satu individu yang bertransisi dari state (𝑠, 𝑖) ke 𝑠 + 𝑘, 𝑖 + 𝑗 . Oleh karena itu, ada tiga kemungkinan transisi yang terjadi yaitu dari state (𝑠, 𝑖) ke state (𝑠 − 1, 𝑖 + 1), dari state (𝑠, 𝑖) ke state (𝑠, 𝑖 − 1), dan dari state (𝑠, 𝑖)ke state 𝑠, 𝑖 . Pada saat individu bertransisi dari state (𝑠, 𝑖) ke state (𝑠 − 1, 𝑖 + 1) terjadi perpindahan satu individu dari kelompok 𝑆 ke 𝐼. Jika 𝛽 adalah laju kontak dan terdapat sebanyak 𝑠 individu susceptible yang melakukan kontak dengan individu infected, maka probabilitas transisi dari state 𝑠, 𝑖 ke state (𝑠 − 1, 𝑖 + 1) adalah 𝑝

𝑠,𝑖 ,(𝑠−1,𝑖+1)

𝑠𝑖 𝑁

= 𝛽 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 .

(2.2)

Pada saat terjadi transisi dari state (𝑠, 𝑖) ke state (𝑠, 𝑖 − 1) berarti banyaknya individu infected berkurang satu. Pengurangan satu individu tersebut terjadi karena adanya kesembuhan alami dengan laju kesembuhan sebesar 𝛾. Sehingga probabilitas transisi dari state (𝑠, 𝑖) ke state (𝑠, 𝑖 − 1) adalah 𝑝

𝑠,𝑖 ,(𝑠,𝑖−1)

(2.3)

= 𝛾𝑖∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 .

Pada saat individu infected tetap berada pada state(𝑠, 𝑖) berarti tidak terjadi penambahan maupun pengurangan banyaknya individu infected. Sehingga besarnya probabilitas transisi dari state(𝑠, 𝑖)ke state(𝑠, 𝑖)adalah 𝑝

𝑠,𝑖 ,(𝑠,𝑖)

= 1 − (𝛽

𝑠𝑖 + 𝛾𝑖)∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 . 𝑁

(2.4)

Perpindahan individu dari suatu state ke state yang lain pada selang waktu yang sangat kecil hanya dimungkinkan terdapat satu individu yang bertransisi. Kemungkinan banyaknya individu yang bertransisi lebih dari atau sama dengan dua sangatlah kecil. Sehingga besarnya probabilitas transisi dengan banyaknya individu yang bertransisi lebih dari atau sama dengan dua dalam selang waktu ∆𝑡 adalah 𝑜 ∆𝑡 . Persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4) dapat dituliskan dalam suatu sistem persamaan

𝑝

𝑠,𝑖 , 𝑠+𝑘,𝑖+𝑗

∆𝑡 =

𝛽𝑠𝑖 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 , 𝑁 𝛾𝑖∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 , 1−

𝑠愰 𝛽 𝑁

𝑘, 𝑗 = (−1,1) 𝑘, 𝑗 = (0, −1)

(2.5)

+ 𝛾𝑖 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 , 𝑘, 𝑗 = (0,0)

𝑜 ∆𝑡 ,

𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛.

Perubahan banyaknya individu mengikuti proses Wiener. Diasumsikan bahwa ∆𝑆 dan ∆𝐼

berdistribusi

normal

sehingga


dapat

dituliskan

∆𝑆(𝑡)~𝑁(𝜇 𝑆 ∆𝑡, 𝜎 2 𝑆 ∆𝑡)

dan

219

Volume 2


∆𝐼(𝑡)~𝑁(𝜇 𝐼 ∆𝑡, 𝜎 2 𝐼 ∆𝑡). Menurut Allen [2], model stokastik SIR yang mengikuti proses Wiener dapat ditulis

𝑑𝑆 = 𝜇 𝑡, 𝑆 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑡, 𝑆 𝑡 𝑑𝑊(𝑡)

(2.6)

𝑑𝐼 = 𝜇 𝑡, 𝐼 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑡, 𝐼 𝑡 𝑑𝑊(𝑡)

Model stokastik (2.6) dapat disajikan sebagai

𝑑𝑋 = 𝜇 𝑡, 𝑋 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑡, 𝑋 𝑡 𝑑𝑊(𝑡)

(2.7)

dengan

𝑋 𝑡 =

𝑆(𝑡) , 𝐼(𝑡)

𝜇 𝑡, 𝑋(𝑡) =

𝜇(𝑡, 𝑆 𝑡 ) 𝜎(𝑡, 𝑆 𝑡 ) , dan 𝜎 𝑡, 𝑋(𝑡) = 𝜇(𝑡, 𝐼 𝑡 ) 𝜎(𝑡, 𝐼 𝑡 )

yang merupakan fungsi bernilai real serta 𝑊(𝑡) merupakan suatu proses Wiener. Model stokastik (2.7) memerlukan nilai 𝜇 𝑡, 𝑋(𝑡) dan 𝜎 𝑡, 𝑋(𝑡) yang masing-masing merupakan mean dan standar deviasi 𝑋 𝑡

(Allen [1]).

Nilai-nilai tersebut diperoleh

berdasarkan perubahan state dan probabilitas transisi (2.5). Model stokastik SIR pada penelitian ini hanya memperhatikan variabel 𝑆 dan 𝐼 sehingga perubahan state yang diperhatikan adalah perubahan dari state(𝑠, 𝑖) ke state(𝑠 − 1, 𝑖 + 1) dan perubahan dari state(𝑠, 𝑖) ke state 𝑠, 𝑖 − 1 . Berdasarkan persamaan (2.5), besar probabilitas transisi untuk perubahan state 𝑘, 𝑗 = (−1,1) adalah

𝛽𝑠𝑖 𝑁

dan probabilitas transisi untuk

perubahan state 𝑘, 𝑗 = (0, −1) sebesar 𝛾𝑖. Nilai mean dapat diketahui dengan menghitung perkalian antara probabilitas transisi dan perubahan state. Untuk menghitung standar deviasi, terlebih dahulu menghitung nilai variansi yaitu perkalian probabilitas transisi dan kuadrat dari perubahan state sehingga diperoleh mean dan standar deviasi yaitu

𝜇 ∆𝑋 =

− 𝛽𝑠𝑖 𝑁

𝛽𝑠𝑖 𝑁

− 쳤𝑖

− 𝑑𝑎𝑛 𝜎 ∆𝑋 =

𝛽𝑠𝑖 𝑁 𝛽𝑠𝑖 𝑁

0 , − 𝛾𝑖

dengan ∆𝑋 = (∆𝑆, ∆𝐼) yaitu perubahan banyaknya individu susceptible dan infected.

Dengan demikian, diperoleh model stokastik SIR yaitu 𝑑𝑆 = −

220

𝛽𝑆𝐼 𝛽𝑆𝐼 𝑑𝑡 − 𝑑𝑊𝑆 (𝑡) 𝑁 𝑁



𝑑𝐼 =

𝛽𝑆𝐼 𝑁

− 𝛾𝐼 𝑑𝑡 +

Volume 2

𝛽𝑆𝐼 𝑁

𝑑𝑊𝑆 𝑡 − 𝛾𝐼 𝑑𝑊𝐼 (𝑡)

(2.8)

2.2 Penerapan dan Simulasi Menurut Hethcote [3], cacar air adalah salah salah satu contoh penyakit dengan tipe penyebaran SIR. Cacar air merupakan suatu penyakit akut dengan daya penularan tinggi yang disebabkan karena virus dan dapat menyebabkan penyakit luar biasa serta menyebar dengan cepat. Penyakit ini mudah ditularkan melalui udara, makanan, dan bersentuhan langsung dengan luka yang diakibatkan oleh penyakit ini. Pada bagian ini diberikan penerapan model (2.8) pada penyakit cacar air. Parameter untuk model tersebut diambil dari Johnson [4]. Nilai laju kontak cacar air yaitu 0.65 ≤ 𝛽 ≤ 0.85per hari dan laju kesembuhan penyakit 𝛾 = 0.3dengan N =100. Pada penerapan ini ingin diketahui perilaku penyebaran penyakit cacar air dengan nilai laju kontakminimal, untuk itu digunakan laju kontak minimal 𝛽 = 0.65 per hari dan laju kesembuhan penyakit 𝛾 = 0.3 per hari dengan 𝑁 = 100. Dengan demikian, model (2.8) dapat dituliskan sebagai

𝑑𝑆 = −0.0065 𝑆𝐼 𝑑𝑡 − 0.0065 𝑆𝐼 𝑑𝑊𝑆 (𝑡)

(2.9)

𝑑𝐼 = 0.0065 𝑆𝐼 − 0.3 𝐼 𝑑𝑡 + 0.0065 𝑆𝐼 𝑑𝑊𝑆 𝑡 − 0.3 𝐼 𝑑𝑊𝐼 (𝑡) Proses Wiener pada persamaan (2.9), yaitu 𝑑𝑊𝑆 (𝑡) dan 𝑑𝑊𝐼 (𝑡), didekati dengan 𝜀 𝑑𝑡,𝜀merupakan suatu variabel random yang berdistribusi normal standar 𝜀~𝑁(0,1) , dan diambil nilai 𝐼 0 = 2 dan 𝑆 0 = 98. Banyaknya individu infected dalam selang waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 40 dapat dilihat pada Gambar 1. Garis berwarna biru menunjukkan banyaknya individu infected model stokastik. Dari garis tersebut terlihat bahwa dengan bertambahnya waktu banyaknya individu infected semakin bertambah. Kemudian setelah mencapai waktu 𝑡 tertentu banyaknya individu infected menurun. Peningkatan dan penurunan banyaknya individu infected pada model stokastik SIR tidak berupa garis yang mulus, tetapi berfluktuasi naik turun. Dari waktu 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 11, banyaknya individu infected meningkat dari 2 sampai mencapai maksimal yaitu 24. Saat 𝑡 = 11sampai 𝑡 = 32,banyaknya individu infected menurun dari 24 sampai 0 dan kemudian tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Hal ini berarti bahwa penyakit tersebut sudah tidak menyebar.


221

Volume 2


banyaknya individu infected

30

24 19

2 0

0

11

3840 waktu (hari)

Gambar 1. Banyaknya individu infected pada selang waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 40 dengan 𝛽 = 0.65, 𝛾 = 0.3,𝐼(0) = 2 Untuk melihat pengaruh𝛽, 𝛾, dan individu awal yang terinfeksi 𝐼(0) terhadap perubahan banyaknya individu infected, model stokastik SIR pada persamaan (2.7) disimulasikan. 1) Nilai parameter 𝛾 = 0.3 dan nilai 𝛽 = 0.55, 0.65, dan 0.75 Hasil simulasi ditunjukkan dengan Gambar 2. Garis berwarna biru menggambarkan penyebaran penyakit dengan 𝛽 = 0.55, garis berwarna merah menggambarkan penyebaran penyakit dengan 𝛽 = 0.65dan garis berwarna hijau menggambarkan penyebaran penyakit dengan 𝛽 = 0.75. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 2, terlihat bahwa jika semakin besar nilai laju kontak (𝛽) maka puncak epidemi semakin tinggi.


40

32 27

20

2 0

0

10

20 waktu (hari)

30

40

Gambar 2. Banyaknya individu infected pada selang waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 40 dengan 𝛽 = 0.55, 0.65, 𝑑𝑎𝑛 0.75, 𝛾 = 0.3, 𝐼(0) = 2 222



Volume 2

2) Nilai parameter 𝛽 = 0.65 dan nilai 𝛾 = 0.2, 0.3, dan 0.4 Hasil simulasi ditunjukkan dengan Gambar 3. Garis berwarna biru menggambarkan penyebaran penyakit dengan 𝛾 = 0.2, garis berwarna merah

menggambarkan

penyebaran penyakit dengan 𝛾 = 0.3dan garis berwarna hijau menggambarkan penyebaran penyakit dengan 𝛾 = 0.4. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar

3,

terlihat bahwa jika semakin besar nilai laju kesembuhan 𝛾 maka puncak epidemi semakin rendah. 3) Nilai parameter 𝛽 = 0.65, 𝛾 = 0.3 dan nilai 𝐼 0 = 2,5, dan 8 Hasil simulasi ditunjukkan dengan Gambar 4. Garis berwarna biru menggambarkan penyebaran penyakit dengan 𝐼(0) = 2, garis berwarna merah menggambarkan penyebaran penyakit dengan 𝐼(0) = 5, garis berwarna hijau menggambarkan penyebaran penyakit dengan 𝐼(0) = 8. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 4, terlihat bahwa jika semakin besar nilai 𝐼(0) maka puncak epidemi semakin tinggi.


50 42

27

15

2 0

0

10

20 waktu (hari)

30

40

Gambar 3. Banyaknya individu infected pada selang waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 40 dengan 𝛽 = 0.65, 𝛾 = 0.2, 0.3, 0.4 dan 𝐼(0) = 2

3. SIMPULAN Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan 1. Model stokastik SIR dinyatakan sebagai 𝑑𝑆 = −

𝑑𝐼 = Makalah Pendamping: Matematika 2

𝛽𝑆𝐼 𝛽𝑆𝐼 𝑑𝑡 − 𝑑𝑊𝑆 (𝑡) 𝑁 𝑁

𝛽𝑆𝐼 𝛽𝑆𝐼 − 𝛾𝐼 𝑑𝑡 + 𝑑𝑊𝑆 𝑡 − 𝛾𝐼 𝑑𝑊𝐼 𝑡 . 𝑁 𝑁 223

Volume 2


2. Simulasi menunjukkan bahwa jika semakin besar nilai 𝛽 maka puncak epidemi semakin tinggi dan semakin besar nilai 𝐼(0) maka puncak epidemi juga semakin tinggi, tetapi jika semakin besar nilai 𝛾 maka puncak epidemi semakin rendah.


40

32 25

17

8 5 2 0

0

10

20 waktu (hari)

30

40

Gambar 4. Banyaknya individu infected pada selang waktu0 ≤ 𝑡 ≤ 40 dengan 𝛽 = 0.65, 𝛾 = 0.3, 𝐼 0 = 2,5, 𝑑𝑎𝑛 8

4. DAFTAR PUSTAKA [1] Allen, E. J. S., Allen., L. J. S., Arcinigea, A., and Greenwood, P. E., Construction of Equivalent

Stochastic

Differential

Equation Models, Stochastic

Analysis

and

Applications (2008), no. 26, 274-297. [2] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Epidemic Models, Mathematical Epidemiology (2008). [3] Hethcote, H. W., The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Review 42 (2000), no. 4, 599-653. [4] Johnson, T., Mathematical Modeling of Diseases : Susceptible-Infected-Recovered (SIR) Model, Math 4901 Senior Seminar (2009). [5] Parzen, E., Stochastic Processes, Holden-Day, Inc, United States of America, 1962,

224



Volume 2

MODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)

Silvia Kristanti1, Sri Kuntari2, Respatiwulan3 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta [email protected] Abstrak Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS) merupakan model yang menggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu sembuh dapat terinfeksi kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh permanen. Banyaknya individu terinfeksi tidak dapat diprediksi dengan pasti, sehingga penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variabel waktu atau disebut proses stokastik. Jika perubahan banyaknya individu terinfeksi ditinjau dalam selang waktu kontinu, maka penyebaran penyakit dengan karakter tersebut dapat digambarkan dengan menggunakan model stokastik SIS. Penyelesaian secara eksak sulit diperoleh, sehingga digunakan penyelesaian pendekatan. Model yang diperoleh disimulasikan dengan mengambil nilai parameter 𝛽dan 𝛾 berbeda. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh jika semakin besar nilai parameter 𝛽 maka semakin cepat peningkatan penyebaran penyakit dan semakin banyak juga jumlah individu terinfeksi. Jika semakin besar nilai parameter 𝛾, maka semakin lama peningkatan penyebaran penyakit dan semakin sedikit jumlah individu terinfeksi. Kata kunci: model stokastik SIS, simulasi.

1. PENDAHULUAN Kesehatan merupakan bagian terpenting dalam kehidupan setiap individu. Jika individu tersebut sehat, maka aktivitasnya dapat dilakukan dengan baik. Pada kenyataannya, sebagian individu belum tentu dapat mempertahankan kondisi kesehatannya. Hal itu dikarenakan terdapat penyakit yang menyerang pada tubuh individu tersebut. Penyakit tersebut dapat menular dari individu satu ke individu yang lain melalui kontak langsung (Hetchcote [4]). Pada beberapa jenis penyakit, individu yang sembuh dapat terinfeksi kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh permanen (Ianelli [5]). Model matematika yang dapat menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik tersebut disebut model SIS. Penyakit yang memiliki karakteristik model SIS adalah influenza, severe acute respiratory syndrome(SARS), malaria, pertussis, dan tuberculosis. Menurut Parzen [6], banyaknya individu yang terinfeksi tidak dapat diprediksi dengan pasti. Hal tersebut menunjukkan bahwa penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variabel waktu sehingga dapat disebut proses stokastik. Jika perubahan banyaknya individu terinfeksi ditinjau dalam selang waktu kontinu, maka penyebaran penyakit Makalah Pendamping: Matematika 2

225

Volume 2


dengan karakter tersebut dapat digambarkan menggunakan model stokastik SIS. Penelitian ini bertujuan untuk menurunkan model stokastik SIS, menerapkan dan menginterpretasikan model stokastik SIS melalui simulasi. Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan mengenai model matematika yaitu model stokastik SIS pada penyebaran penyakit.

2. PEMBAHASAN 2.1 Model Stokastik SIS Hetchcote [4] menyebutkan bahwa pada model SIS, populasi dikelompokkan menjadi dua yaitu kelompok susceptible(S) dan kelompok infected(I). Kelompok susceptible adalah kelompok individu sehat tetapi berisiko terinfeksi penyakit dan kelompok infected adalah kelompok individu terinfeksi penyakit. Asumsi yang digunakan pada model SIS yaitu 1. populasi tertutup dan banyaknya individu pada populasi konstan, 2. populasi bercampur secara homogen, 3. laju kelahiran sama dengan laju kematian, 4. individu yang lahir merupakan individu yang sehat tetapi rentan penyakit, 5. individu yang telah sembuh dianggap tidak memiliki kekebalan permanen sehingga dapat tertular penyakit kembali, 6. hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi tersebut. Banyaknya individu pada kelompok S dan I pada waktu t masing-masing dinyatakan sebagai S(t) dan I(t), serta S(t)+I(t)=N dengan N adalah jumlah total individu pada populasi. Pada model stokastik SIS mempunyai variabel random, yaitu I(t). Jika banyaknya I(t) sebesar i, maka fungsi probabilitas banyaknya individu terinfeksi pada waktu t adalah 𝑝𝑖 𝑡 = 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝐼 𝑡 = 𝑖 dengan 𝑖 ∈ [0, 𝑁], 𝑡 ∈ [0, ∞] . Banyaknya individu terinfeksi dapat berubah setiap waktu pada interval 𝑡 ∈ [0, ∞]. Pada selang waktu 𝑡 + ∆ 𝑡, banyaknya I(t) sebesar j. Selanjutnya i dan j disebut sebagai state. Perpindahan dari statei ke j disebut sebagai transisi. Probabilitas perubahan banyaknya individu terinfeksi dari statei ke j pada selang waktu ∆ 𝑡 disebut probabilitas transisi, dapat dituliskan sebagai 𝑝𝑖𝑗 ∆𝑡 = 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝐼 𝑡 + ∆ 𝑡 = 𝑗|𝐼 𝑡 = 𝑖 .

226



Volume 2

Proses transisi terjadi pada selang waktu yang sangat kecil sehingga diasumsikan hanya ada satu individu yang bertransisi dari statei ke j. Oleh karena itu, terdapat tiga kemungkinan transisi yang terjadi yaitu dari state i ke state j=i+1, dari state i ke state j=i-1dan state i ke state j=i. Pada saat individu bertransisi dari state i ke state j=i+1, berarti banyaknya individu terinfeksi bertambah satu. Dengan kata lain, terjadi perpindahan satu individu dari kelompok S ke I karena suatu kontak. Karena diasumsikan populasi homogen sehingga setiap individu pada kelompok S mempunyai kemungkinan yang sama dapat melakukan kontak dengan individu pada kelompok I. Jika terdapat i individu terinfeksi pada kelompok I, maka probabilitas individu 𝑖

kelompok I yang melakukan kontak dengan individu kelompok S sebesar 𝑁 . Jika besar laju kontak sebesar 𝛽 , maka besarnya probabilitas transisi dari state i ke state j=i+1 pada selang waktu ∆ 𝑡 adalah 𝑝

𝑖 ,(𝑗 =𝑖+1)

=

𝛽𝑠𝑖 𝑁

∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 .

(2.1)

Ketika individu terinfeksi bertransisi dari state i ke state j=i-1, berarti banyaknya individu terinfeksi berkurang satu. Pengurangan satu individu tersebut disebabkan oleh dua hal. Pertama, akibat terjadinya perpindahan individu dari kelompok I ke S karena faktor kesembuhan dengan laju kesembuhan sebesar 𝛾. Kedua, akibat adanya kematian dalam kelompok I dengan laju kematian sebesar 𝛼. Jadi, besarnya probabilitas transisi dari state i ke state j=i-1 pada selang waktu ∆ 𝑡 adalah 𝑝

𝑖 ,(𝑗 =𝑖−1)

= 𝛼 + 𝛾 𝑖∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 .

(2.2)

Selanjutnya, individu terinfeksi tetap berada pada state i, berarti tidak terjadi penambahan maupun pengurangan banyaknya individu terinfeksi. Besarnya probabilitas transisi dari state i ke state j=i pada selang waktu ∆ 𝑡 adalah selisih antara total probabilitas semua kejadian dengan probabilitas transisi saat terjadi perubahan state i → i+1 dan i → i-1 , sehingga dapat dituliskan sebagai 𝑝

𝑖 ,(𝑗 =𝑖−1)

=1−

𝛽𝑠𝑖 𝑁

+ 𝛼 + 𝛾 𝑖 ∆𝑡.

(2.3)

Pada selang waktu yang sangat kecil, dimungkinkan hanya terdapat satu individu yang bertransisi. Dari suatu state ke state lain, kemungkinan banyaknya individu yang bertransisi lebih dari atau sama dengan dua adalah sangat kecil. Oleh karena itu, besarnya probabilitas transisi dengan banyaknya individu yang bertransisi lebih dari atau sama dengan dua dalam selang waktu ∆ 𝑡 yaitu 𝑜 ∆ 𝑡 . Persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3), dapat dituliskan dalam suatu sistem persamaan


227

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 𝛽𝑠𝑖 𝑁

𝑝𝑖𝑗 (∆𝑡) =

∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 = 𝑏 𝑖 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 ,

𝑗 =𝑖+1

𝛼 + 𝛾 𝑖∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 = 𝑑 𝑖 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 , 1−

𝛽𝑠𝑖 + 𝑁

𝛼+𝛾 𝑖 ∆𝑡+𝑜 ∆𝑡 ,

𝑗 =𝑖−1 𝑗 =𝑖

𝑜 ∆𝑡 ,

(2.4)

𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

Sistem persamaan (2.4) merupakan model continuous time Markov chain SIS(CTMC SIS) dengan variabel random I(t) diskrit dan waktu kontinu. Menurut Allen [2], diasumsikan model stokastik SIS memiliki variabel random I(t) kontinu dan waktu kontinu, sehingga model CTMC SIS pada persamaan (2.4) dapat dipandang menjadi model stokastik SIS. Perubahan banyaknya individu terinfeksi adalah selisih antara banyaknya individu terinfeksi pada waktu 𝑡 + ∆ 𝑡 dengan banyaknya individu terinfeksi pada waktu t yang dapat dituliskan menjadi ∆𝐼 = 𝐼(𝑡 + ∆ 𝑡) − 𝐼(𝑡). Diasumsikan bahwa ∆𝐼 berdistribusi normal, ∆𝐼 𝑡 ~𝑁 𝜇 𝐼 ∆𝑡, 𝜎 2 𝐼 ∆𝑡 . Menurut Allen [2], perubahan banyaknya individu terinfeksi yang mengikuti proses Wiener pada selang waktu 𝑡 + ∆ 𝑡 untuk ∆ 𝑡 yang sangat kecil, dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial stokastik yang kemudian disebut dengan model stokastik. Dengan demikian, model stokastik SIS dapat dituliskan (2.5)

𝑑𝐼 = 𝜇 𝐼 𝑑𝑡 + 𝜎 𝐼 𝑑𝑊 𝑡 .

Sistem persamaan diferensial stokastik tersusun atas dua bagian yaitu bagian deterministik dan bagian stokastik. Suku 𝜇 𝐼 merupakan bagian deterministik yang tidak dipengaruhi proses stokastik, sedangkan 𝜎 𝐼 merupakan bagian stokastik yang dipengaruhi proses stokastik. Berdasarkan persamaan (2.4), besar probabilitas transisi dari statei ke j=i+1 yaitu

𝛽𝑠𝑖 𝑁

∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 dan probabilitas transisi dari statei ke j=i-1 yaitu 𝛼 + 𝛾 𝑖∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 .

Menurut Allen [1], nilai harapan dari ∆𝐼 adalah 𝑚

𝐸 ∆𝐼 =

∆𝐼 𝑝𝑖𝑗 (∆𝑡) 𝑗 =1

=

𝛽𝑠𝑖 − 𝛼 + 𝛾 𝑖 ∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡) 𝑁

= 𝜇 𝐼 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 , dengan ∆𝐼 merupakan perubahan banyaknya individu terinfeksi dan 𝑝𝑖𝑗 (∆𝑡) merupakan probabilitas transisi banyaknya individu terinfeksi. Variansi dari ∆𝐼 adalah 𝑉𝑎𝑟 ∆𝐼 = 𝐸 ∆𝐼 =

2

− 𝐸(∆𝐼)

2

𝛽𝑆𝐼 + 𝛼 + 𝛾 𝐼 ∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡) 𝑁

= 𝜎 2 𝐼 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 . 228



Volume 2

Berdasarkan nilai variansi 𝜎 2 𝐼 ∆𝑡 diperoleh 𝜎 𝐼 = Dengan

demikian,

persamaan

â𝑆𝐼 + 𝛼 + 𝛾 𝐼. 𝑁

(2.5)

merupakan

𝜇 𝐼 =

𝛽𝑆𝐼 − 𝛼+𝛾 𝐼 𝑁

model

stokastik

SIS

dengan

dan 𝜎 𝐼 =

𝛽𝑆𝐼 + 𝛼+𝛾 𝐼 𝑁

merupakan suatu proses Wiener. Sehingga persamaan (2.5) dapat dituliskan menjadi 𝑑𝐼 =

𝛽𝑆𝐼 𝑁

− 𝛼 + 𝛾 𝐼𝑑𝑡 +

𝛽𝑆𝐼 𝑁

+ 𝛼 + 𝛾 𝐼𝑑𝑊 𝑡 .

(2.6)

2.2 Penerapan dan Simulasi Pada bagian ini diberikan penerapan model stokastik SIS (2.6) terhadap penyebaran penyakit pertussis yang merujuk pada Arino [3]. Penyakit pertussis merupakan penyakit infeksi saluran nafas akut yang disebabkan oleh bakteri Bordetella pertussis. Nilai laju penularan 𝛽 = 0.4 per hari, laju kesembuhan 𝛾 = 0.04per hari, laju kelahiran sama dengan laju kematian 𝛼 = 0.1per hari dengan 𝑁 = 1000sehingga persamaan (2.6) dapat disajikan dengan 𝑑𝐼 = 0.0004𝑆𝐼 − 0.14𝐼 𝑑𝑡 + 0.0004𝑆𝐼 − 0.14𝐼 𝑑𝑊 𝑡 . Dalam penerapan ini diambil nilai 𝑆(0) = 996 dan 𝐼(0) = 4. Dengan menggunakan program (2.7) pada Allen [1], diperoleh Gambar 1 yang menyajikan banyaknya individu terinfeksi pada model stokastik SIS dalam selang waktu 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 70. 800

Banyaknya individu terinfeksi

640

0

0

34 Hari

70

Gambar 1. Banyaknya individu terinfeksi pada selang waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 70 Makalah Pendamping: Matematika 2

229

Volume 2


Dari Gambar 1, garis putus-putus berwarna hitam menunjukkan banyaknya individu terinfeksi yang hanya mempertimbangkan nilai 𝜇 𝐼 . Sedangkan garis yang berwarna biru menunjukkan banyaknya individu terinfeksi dengan mempertimbangkan nilai 𝜇 𝐼 dan 𝜎 𝐼 . Dari kedua garis terlihat bahwa dengan bertambahnya waktu, banyaknya individu terinfeksi mengalami peningkatan secara tajam. Kemudian meningkat terus-menerus secara perlahanlahan dan cenderung konstan sekitar 𝑡 = 34. Selanjutnya banyaknya individu terinfeksi tidak turun karena pada karakteristik model SIS, individu I yang sudah sembuh menjadi individu S. Selanjutnya persamaan (2.7) disimulasikan dengan mengambil nilai parameter 𝛽 yang berbeda. Hasil simulasi ditunjukkan pada Gambar 2 dan Gambar 3.


1000

750 620 500 370

0

0

23

35

47 54 Hari

100

Gambar 2. Banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.25,0.3,0.4,0.55 dan 𝛾 = 0.04 pada selang waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 100


7

4

0 0

8.7

13.515.5 Hari

23.7

30

Gambar 3. Banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.025,0.01,0.075,0.005 dan 𝛾 = 0.04 pada selang waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 30 230



Volume 2

Gambar 2 menunjukkan perubahan banyaknya individu pada waktu ke-t dengan nilai parameter 𝛽 > 𝛾. Garis berwarna biru menggambarkan banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.25 mengalami peningkatan yang tajam dari 4 menjadi 370 pada hari ke-0 sampai ke-54 lalu meningkat secara perlahan dan cenderung konstan. Garis berwarna merah menggambarkan banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.3 mengalami peningkatan yang tajam dari 4 menjadi 500 pada hari ke-0 sampai ke-47 lalu meningkat secara perlahan dan cenderung konstan. Garis berwarna hijau menggambarkan banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.4 mengalami peningkatan yang tajam dari 4 menjadi 620 pada hari ke-0 sampai ke-35 lalu meningkat secara perlahan dan cenderung konstan. Garis berwarna hitam menggambarkan banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.55 mengalami peningkatan yang tajam dari 4 menjadi 750 pada hari ke-0 sampai ke-23 lalu meningkat secara perlahan dan cenderung konstan. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 2 jika nilai parameter 𝛽 > 𝛾, maka semakin cepat peningkatan penyebaran penyakit dan semakin banyak juga individu yang terinfeksi. Gambar 3 menunjukkan perubahan banyaknya individu pada waktu ke-𝑡 dengan nilai parameter 𝛽 < 𝛾 Garis berwarna biru menggambarkan banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.025 mengalami penurunan yang tajam dari 4 menjadi 0 pada hari ke-0 sampai ke-23.7. Garis berwarna merah menggambarkan banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.01 mengalami penurunan yang tajam dari 4 menjadi 0 pada hari ke-0 sampai ke-15.5. Garis berwarna hijau menggambarkan banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.0075 mengalami penurunan yang tajam dari 4 menjadi 0 pada hari ke-0 sampai ke-13.5. Garis berwarna hitam menggambarkan banyaknya individu terinfeksi dengan 𝛽 = 0.005 mengalami penurunan yang tajam dari 4 menjadi 0 pada hari ke-0 sampai ke-8.5. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 3 jika nilai parameter 𝛽 < 𝛾, maka semakin cepat penurunan penyebaran penyakit dan individu yang terinfeksi mencapai nol artinya tidak terjadi penularan penyakit lagi.

3. SIMPULAN Kesimpulan berdasarkan hasil pembahasan adalah sebagai berikut. 1. Model stokastik SIS dinyatakan sebagai 𝑑𝐼 = 𝜇 𝐼 𝑑𝑡 + 𝜎 𝐼 𝑑𝑊 𝑡 , dengan 𝜇 𝐼 =

𝛽𝑆𝐼 𝑁

− 𝛼 + 𝛾 𝐼dan 𝜎 𝐼 =

𝛽𝑆𝐼 𝑁

+ 𝛼 + 𝛾 𝐼.

2. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh jika semakin besar nilai parameter 𝛽 maka semakin cepat peningkatan penyebaran penyakit dan semakin banyak juga individu yang terinfeksi. Jika semakin besar nilai parameter 𝛾 maka semakin lama peningkatan penyebaran penyakit dan semakin sedikit juga individu yang terinfeksi. Makalah Pendamping: Matematika 2

231

Volume 2


4. DAFTAR PUSTAKA [1] Allen, E. J. S., Allen L. J. S., A. Armando, and Greenwood P. E., Construction of Equivalent Stochastic Differential Equation Models, Stochastic Analysis and Aplication (2008, no. 26, 274-297. [2] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Epidemic Models, Tech. report, Departement of Mathematics and Statistics, Texas Tech University, Lubbock, Texas, 2008. [3] Arino, J., K. L. Cooke, and J. Velasco Hernandz, An Epidemiology Model That Includes A Leakly with General Waning Function, AIMsciences 4 (2004), no. 2, 479-495. [4] Hetchote, H. W., The Mathematics of Infections Disease, SIAM Review 42(2000), no. 4, 599-653 [5] Ianelli, M., The Mathematical Modelling of Epidemic, Tech. report, Mathematics Departement, University of Trento, Italy, 2005. [6] Parzen, E., Stochastic Process, Holden-Day, Inc., United States of America, 1962.

232


MODEL EPIDEMI ROUTING

Recommend Documents