MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS SUSCEPTIBLE EXPOSED INFECTED RECOVERED (DTMC SEIR)
oleh AISYAH AL AZIZAH M0111004
SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016
MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS SUSCEPTIBLE EXPOSED INFECTED RECOVERED (DTMC SEIR)
oleh AISYAH AL AZIZAH M0111004
SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016
i
MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS SUSCEPTIBLE EXPOSED INFECTED RECOVERED (DTMC SEIR) SKRIPSI AISYAH AL AZIZAH M0111004 dibimbing oleh Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dra. Respatiwulan, M.Si. NIP. 19680611 199302 2 001
Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. NIP. 19620815 198703 2 003
telah dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan dinyatakan memenuhi syarat pada hari Selasa, 2 Februari 2016 Dewan Penguji Jabatan Ketua
Nama dan NIP Dr. Sutanto, S.Si., DEA. NIP. 19710302 199603 1 001 Sekretaris Drs. Sutrima, M.Si. NIP. 19661001 199302 1 001 Anggota Penguji Dra. Respatiwulan, M.Si. NIP. 19680611 199302 2 001 Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. NIP. 19620815 198703 2 003
Tanda Tangan
Tanggal
............
............
............
............
............
............
............
............
Disahkan di Surakarta pada tanggal . . . . . . . . . . . . Kepala Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
Supriyadi Wibowo, S.Si., M.Si. NIP. 19681110 199512 1 001
ii
ABSTRAK Aisyah Al Azizah. 2016. MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS SUSCEPTIBLE EXPOSED INFECTED RECOVERED (DTMC SEIR). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu yang sembuh memiliki kekebalan yang permanen terhadap suatu penyakit dapat disajikan dalam model epidemi susceptible infected recovered (SIR). Pada beberapa penyakit, individu sehat yang rentan penyakit akan menunjukkan gejala-gejala klinis sebelum dipastikan terinfeksi penyakit, yang dinamakan individu exposed. Penyebaran penyakit dengan memperhatikan individu yang mengalami gejala-gejala klinis dapat disajikan dalam model epidemi susceptible exposed infected recovered (SEIR). Pada model epidemi SEIR, banyaknya individu pada waktu t + 1 diasumsikan hanya bergantung pada banyaknya individu pada waktu t sehingga dapat dipandang mengikuti proses Markov. Model penyebaran penyakit dengan karakteristik SEIR yang ditinjau dalam selang waktu diskrit dan mengikuti proses Markov dapat digambarkan dengan model epidemi discrete time Markov chains (DTMC ) SEIR. Tujuan penelitian ini yaitu mengonstruksi model epidemi DTMC SEIR, menerapkan model pada penyebaran penyakit cacar air, dan menginterpretasikannya. Model epidemi DTMC SEIR berupa probabilitas transisi yang menjelaskan perubahan banyaknya individu susceptible, exposed, dan infected dalam selang waktu diskrit. Penerapan model epidemi DTMC SEIR pada penyakit cacar air selama 30 hari menghasilkan banyaknya individu susceptible berkurang pada hari ke-8 yang mengakibatkan banyaknya individu exposed bertambah, selanjutnya banyaknya individu infected berkurang pada hari ke-15 sehingga mengakibatkan banyaknya individu recovered bertambah, kemudian tidak terjadi perubahan lagi hingga hari ke-30. Kata Kunci: SIR, masa inkubasi, exposed, SEIR, DTMC, cacar air.
iii
ABSTRACT Aisyah Al Azizah. 2016. DISCRETE TIME MARKOV CHAINS SUSCEPTIBLE EXPOSED INFECTED RECOVERED (DTMC SEIR) EPIDEMIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University. The spread of disease with characteristics that the recovered individuals have permanent immunity to disease can be presented in the susceptible infected recovered (SIR) epidemic model. In some diseases, susceptible individuals show clinical symptoms before they are infected. These are called exposed individuals. The spread of diseases by considering the exposed individuals is called susceptible exposed infected recovered (SEIR) epidemic model. In SEIR epidemic model, the number of susceptible, exposed, infected, and recovered individuals at t + 1 is assumed to depend only on the number of susceptible, exposed, infected, and recovered individuals at t, so it follows a Markov process. The SEIR model which viewed in discrete time and following Markov process can be represented by discrete time Markov chains (DTMC) SEIR epidemic model. The purposes of this research are to construct the DTMC SEIR epidemic model, to apply the model to the spread of chicken pox, and to interpret it. The form of DTMC SEIR epidemic model is transition probability that discuss changes of the number of susceptible, exposed, and infected individual within discrete time. The DTMC SEIR epidemic model was applied on the spread of chicken pox during 30 days. It was obtained the number of susceptible individuals decreased on the 8th day which effected the number of exposed individuals increased, and the number of infected individuals decreased on 15th days which effected the recovered individuals increased, then not change until the 30th day. Keywords: SIR, incubation period, exposed, SEIR, DTMC, chicken pox
iv
KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada 1. Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan materi, saran, dan masukan dalam penulisan skripsi ini, dan 2. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan saran dan motivasi dalam penulisan skripsi ini, dan 3. semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Februari 2016
Penulis
v
MOTO
Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu pasti ada kemudahan (QS. Al-Insyirah : 5 - 6)
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk mamah, bapak, serta kakak-kakakku atas semangat, motivasi, inspirasi, dan do’a yang diberikan.
vii
