SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh: CINDY NIM: 121414079

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016


SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh: CINDY NIM: 121414079

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016

i




HALAMAN PERSEMBAHAN

On a dark gloomy day, remember that every little drop of rain prepares you to be even stronger to flourish on a sunny day. (HJ Story)

Karya ini untuk: Kedua orang tuaku, Christian Jonatan dan Neli Kakakku, Jhonny Jonatan Almamaterku, Universitas Sanata Dharma Serta setiap orang yang membacanya

iv




ABSTRAK Cindy, 2016. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Segitiga siku-siku pada geometri bola didefinisikan sebagai segitiga yang memiliki paling tidak satu sudut siku-siku. Skripsi ini membahas ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Fakta ini menginspirasi definisi baru untuk segitiga siku-siku pada geometri bola yang disebut dengan Spherical Half-sum Triangle. Spherical Half-sum Triangle adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Kemudian dengan definisi ini akan ditunjukkan bahwa sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki kemiripan dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan tersebut antara lain: sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya lebih dari

, terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras, dan diagonal

persegi panjang selalu membentuk dua buah segitiga siku-siku.

Kata Kunci: Geometri Bola, Segitiga Siku-siku, Spherical Half-sum Triangle.

vii


ABSTRACT Cindy, 2016. The Characteristics of Spherical Half-sum Triangle. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. Right triangle in spherical geometry defines as a triangle which is have at least one right angle. This thesis defines about dissimilarities that arise between the characteristics of right triangle in spherical geometry and in Euclidean geometry. This fact inspired a new definition for spherical right triangle that called Spherical Half-sum Triangle. Spherical Half-sum Triangle defined as a triangle which is one angle equals the sum of the other two. Further, with this new definition will be shown that the characteristics of Spherical Half-sum Triangle more similar like the Euclidean one. The characteristics of Spherical Half-sum Triangle are: measure of an angle which is opposite a diameter of a circle more than

there are squared terms in the spherical Pythagorean theorem, and a

diagonal of spherical rectangle create two traditional right triangles.

Key Word: Spherical Geometry, Spherical Right Triangle, Spherical Halfsum Triangle.

viii


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola”. Skripsi ini disusun untuk melengkapi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Banyak hambatan dan rintangan yang penulis alami selama penyusunan skripsi ini. Namun penulis tetap semangat dan dapat menyelesaikan skripsi karena tidak terlepas dari doa, bantuan, dan dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada beberapa pihak, diantaranya: 1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. 2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahhuan Alam. 3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku ketua Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma. 4. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku Dosen Pembimbing Akademik. 5. Bapak Antonius Yudhi Anggoro, M.Si. selaku dosen pembimbing skripsi yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk membimbing penulis dengan sabar. Terima kasih atas segala masukan dan motivasi selama penyusunan skripsi ini. 6. Bapak Hartono, Ph.D. dan Ibu Veronika Fitri Rianasari, M.Sc. atas berbagai saran untuk proses pencarian informasi dalam skripsi ini. 7. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. dan Ibu C. Novella Krisnamurti, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan untuk skripsi ini.

ix


8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma. 9. Staf

sekretariat

JPMIPA

yang

telah

memberikan

pelayanan

kesekretariatan. 10. Staf Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan pelayanan dan fasilitas selama pengerjaan skripsi ini. 11. Kedua orang tua penulis yang tiada henti memberi semangat, kepercayaan, dan doa dalam studi ini. 12. Teman-teman perantau dan pejuang gelar sarjana, Andita Prastiti, Maria Mater Dei Ayu, Elizabeth Nada, Adhi Kristian, Yunita Maria Ndoi, Bernadette Andika, Namiera Yushendea, Stacia Elvaretta, Nanda Ayu, Stepani Elsa, Fransisca Putri, dan Malvin Choco yang senantiasa berbagi suka duka selama pengerjaan skripsi ini. 13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2012 khususnya kelas B, terlebih Trisona Agustina, Natalia Ika, Yohana Kristin, Scolastika Lintang, Dita Anggraini, Gregoria Yanu, Agustina Galuh, Rara Maharani, Maria Sri Dian, dan Richardus Adelbertus yang telah menyemangati, menemani, berbagi informasi, dan berjuang bersama selama proses pembelajaran di Universitas Sanata Dharma. 14. Teman-teman satu bimbingan skripsi yang saling menyemangati, berbagi informasi, dan berkeluh kesah bersama selama penulisan skripsi ini. 15. Semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat disebutkan satu persatu. Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan wawasan yang lebih kepada setiap pembacanya. Yogyakarta, 22 September 2016

Cindy

x


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii ABSTRACT ......................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi DAFTAR SIMBOL.............................................................................................. xiii DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xvi BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................................ 1 B. Batasan Masalah.......................................................................................... 4 C. Rumusan Masalah ....................................................................................... 4 D. Tujuan Penelitian ........................................................................................ 5 E. Manfaat Penelitian ...................................................................................... 5 F. Metode Penelitian........................................................................................ 6 G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 6 BAB II SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA ........................ 8

xi


A. Sejarah Munculnya Geometri Bola ............................................................. 8 B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola ........................................................ 11 BAB III SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA ............................ 23 A. Spherical Half-sum Triangle ..................................................................... 23 B. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku .................................................................... 37 BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 51 A. Kesimpulan ............................................................................................... 51 B. Saran .......................................................................................................... 52 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 53

xii


DAFTAR SIMBOL

: titik : titik berlawanan : garis : segmen garis dengan titik akhir : panjang

/ jarak

ke

: sudut : besar sudut : segitiga : Persegi panjang =

: sama dengan : tidak sama dengan : lebih besar dari : lebih kecil dari : gabungan : tegak lurus : kongruen

xiii

dan


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Bagan Asal Mula Geometri Bola ...................................................... 3 Gambar 2.1 Ilustrasi Pusat Bola ............................................................................ 11 Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola ......................................................................... 12 Gambar 2.3 Ilustrasi Diameter Bola ..................................................................... 12 Gambar 2.4 Ilustrasi Lingkaran............................................................................. 13 Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar .................................................................. 14 Gambar 2.6 Ilustrasi garis dari Dua Titik.............................................................. 14 Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis ...................................................................... 16 Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan ........................................................................ 17 Gambar 2.9 Ilustrasi II Keantaraan ....................................................................... 17 Gambar 2.10 Ilustrasi III Keantaraan .................................................................... 18 Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut.................................................................................. 19 Gambar 2.12 Ilustrasi Segitiga .............................................................................. 19 Gambar 2.13 Ilustrasi Segitiga Siku-siku ............................................................. 20 Gambar 2.14 Ilustrasi Lingkaran Luar Segitiga .................................................... 21 Gambar 3.1 Ilustrasi I Teorema 3.1 ...................................................................... 24 Gambar 3.2 Ilustrasi II Teorema 3.1 ..................................................................... 25 Gambar 3.3 Ilustrasi III Teorema 3.1 .................................................................... 26 Gambar 3.4 Ilustrasi Rumus Pythagoras ............................................................... 27 Gambar 3.5 Ilustrasi Persegi Panjang

........................................................ 29

Gambar 3.6 Diagonal Persegi Panjang.................................................................. 30

xiv


Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.3 ......................................................................... 31 Gambar 3.8 Ilustrasi Lune ..................................................................................... 39 Gambar 3.9 Ilustrasi Lema 3.1 .............................................................................. 39 Gambar 3.10 Ilustrasi Lema 3.2 ............................................................................ 40 Gambar 3.11 Ilustrasi I Teorema 3.5 .................................................................... 43 Gambar 3.12 Ilustrasi II Teorema 3.5 ................................................................... 43 Gambar 3.13 Ilustrasi III Teorema 3.5 .................................................................. 44 Gambar 3.14 Ilustrasi IV Teorema 3.5.................................................................. 45 Gambar 3.15 Ilustrasi V Teorema 3.5 ................................................................... 46 Gambar 3.16 Ilustrasi Teorema 3.6 ....................................................................... 48 Gambar 3.17 Ilustrasi Teorema 3.7 ....................................................................... 49

xv


DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A.1. Segitiga Kutub Lampiran A.2. Segitiga Kongruen Lampiran A.3. Aturan Segitiga Sama Kaki

xvi


BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Geometri berasal dari dua kata Yunani geo dan metrein. Geo berarti bumi, dan metrein berarti ukuran. Dengan demikian, secara etimologis geometri dapat diartikan sebagai ilmu pengukuran bumi. Meskipun berasal dari kata Yunani, orang-orang Yunani bukanlah yang memulai penggunaan geometri dalam kehidupan sehari-hari. Orang-orang Mesirlah yang pertama kali menggunakan geometri dalam kehidupan sehari-hari. Mereka menggunakan geometri untuk mengatasi masalah banjir tahunan yang terjadi di sungai Nil. Geometri dipandang sebagai sistem deduktif, yaitu suatu sistem yang memiliki pengertian-pengertian pangkal atau unsur-unsur yang tidak memiliki definisi. Sekitar 300 tahun sebelum masehi, muncul seorang matematikawan bernama Euclid yang menulis buku mengenai geometri. Buku yang ditulis oleh Euclid berjudul ‘Elements’ di mana isinya menjelaskan mengenai definisi, postulat, dan teorema. Pada geometri Euclid terdapat lima buah postulat, di mana postulat kelima yang ditulis oleh Euclid disebut sebagai postulat kesejajaran Euclid. Postulat tersebut berbunyi “Pada sebuah bidang, jika sebuah garis dipotongkan dengan dua garis lainnya dan dua garis tersebut diperpanjang hingga bertemu pada satu titik, maka jumlah sudut dalam sepihak pada pihak yang bertemu disatu titik adalah lebih dari

1

.”

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Beberapa matematikawan mengatakan bahwa postulat kesejajaran Euclid dianggap terlalu rumit untuk disebut sebagai postulat. Mereka mengatakan bahwa postulat kesejajaran Euclid dapat dibuktikan dengan empat postulat sebelumnya. Playfair merupakan salah satu matematikawan yang mencoba untuk membuktikan postulat kesejajaran Euclid. Playfair menemukan postulat yang berbunyi “jika diberikan sebuah garis

dan sebuah titik

di luar , maka dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis dan melalui

.” Namun postulat Playfair dianggap masih memiliki makna

yang sama dengan postulat kesejajaran Euclid. Hingga akhirnya BolyaiLobachevsky menemukan postulat kesejajarannya yang berbunyi “jika diberikan sebuah garis

dan sebuah titik

di luar garis tersebut, maka

dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan garis dan melalui .”

dan Riemann menemukan postulat kesejajarannya yang berbunyi

“jika diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P di luar garis tersebut, maka tidak dapat dibuat garis lain yang sejajar dengan garis l dan melalui P.” Karena postulat Bolyai-Lobachevsky dan postulat Riemann tidak berlandaskan pada postulat kesejajaran Euclid, maka muncul yang dinamakan dengan geometri non-Euclid. Berikut merupakan bagan asal mula geometri bola bermula dari geometri Euclid.


Geometri Euclid:

Geometri Non-Euclid:

4 postulat Euclid

4 postulat Euclid

+

+

postulat kesejajaran Euclid

postulat kesejajaran Bolyai / postulat kesejajaran Riemann

Geometri eliptik

Geometri hiperbolik

(berdasarkan postulat Riemann)

(berdasarkan postulat Bolyai)

Geometri

Geometri

eliptik

eliptik

tunggal

rangkap

Geometri bola

Gambar 1.1 Bagan Asal Usul Geometri Bola

Geometri bola memiliki sejumlah konsep dasar dan salah satunya membahas mengenai segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku didefinisikan sebagai segitiga yang memiliki setidaknya satu sudut siku-siku. Namun dengan definisi tersebut terdapat ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Fakta tersebut menginspirasi definisi baru untuk segitiga


siku-siku yang disebut dengan Spherical Half-sum Triangle. Spherical Half-sum Triangle merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Dengan definisi baru ini akan ditunjukkan bahwa sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki kemiripan dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan sifat tersebut antara lain: besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran lebih dari

, terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras,

dan diagonal persegi panjang membentuk dua buah segitiga siku-siku. B. Batasan Masalah Dalam skripsi ini, bola diasumsikan sebagai bola satuan. Bola satuan yang dimaksud adalah bola yang memiliki radius satu satuan. C. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang ada, rumusan masalah dalam penelitian ini yaitu: 1. Bagaimana ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid, berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku? 2. Bagaimana definisi baru segitiga siku-siku pada geometri bola? 3. Bagaimana sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola yang sebelumnya tidak mirip dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid, berdasarkan definisi baru segitiga siku-siku?


D. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk: 1. Untuk mendeskripsikan ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku. 2. Untuk mendeskripsikan definisi baru segitiga siku-siku pada geometri bola. 3. Untuk mendeskripsikan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola yang sebelumnya tidak mirip dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid berdasarkan definisi yang baru. E. Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah: 1. Bagi Pembaca Pembaca dapat mengetahui bagaimana konsep dasar geometri bola, definisi segitiga siku-siku, ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dan geometri Euclid, definisi baru untuk segitiga siku-siku pada geometri bola, dan sifat-sifat segitiga siku-siku berdasarkan definisi baru. 2. Bagi Penulis Penulis dapat menambah pengetahuan baru dalam bidang geometri selain geometri Euclid, mengetahui sejarah munculnya geometri bola, mengetahui konsep dasar dalam geometri bola, dan mendalami sifat-


sifat segitiga siku-siku pada geometri bola berdasarkan dengan definisi yang telah ada maupun definisi yang baru. 3. Bagi Universitas Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang geometri khususnya mengenai geometri bola. Selain itu, skripsi ini dapat menjadi referensi pembelajaran matematika mengenai geometri non-Euclid. F. Metode Penelitian Metode yang digunakan penulis dalam menyusun skripsi ini adalah metode studi pustaka. Metode ini dilakukan dengan mengkaji berbagai referensi berupa jurnal dan buku yang berkaitan dengan geometri bola sehingga penulis tidak menemukan suatu hal baru. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah: 1. Mempelajari berbagai referensi yang diperlukan, khususnya mengenai geometri bola. 2. Menyajikan kembali definisi-definisi serta teorema-teorema yang menjadi dasar dalam geometri bola. 3. Menyusun materi-materi yang telah dikumpulkan secara sistematis untuk memudahkan pembaca dalam memahaminya. G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut. Bab pertama, membahas latar belakang penulisan skripsi, rumusan masalah,


batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan dalam skripsi ini. Bab kedua membahas sejarah munculnya geometri bola serta konsep dasar dalam geometri bola yang akan digunakan pada pembahasan bab berikutnya. Bab ketiga yang merupakan inti dari penulisan skripsi ini, membahas ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dan geometri Euclid, teorema yang mendasari munculnya definisi baru segitiga siku-siku, definisi baru segitiga siku-siku, dan sifatsifat segitiga siku-siku pada geometri bola berdasarkakn definisi baru. Bab keempat berisi kesimpulan dan saran untuk penelitian lebih lanjut.


BAB II SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA

Bab ini membahas sejarah munculnya geometri bola dan konsep dasar yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab berikutnya. Konsep dasar yang akan dibahas antara lain titik, garis, sudut, lingkaran, keantaraan, segitiga, dan kongruensi segitiga pada geometri bola. Berikut merupakan penjelasan mengenai sejarah munculnya geometri bola. A. Sejarah Munculnya Geometri Bola Euclid menyebutkan lima buah postulat dalam geometri, kelima postulat tersebut antara lain (Own Byer, 2010): 1.

Dari dua titik sembarang dapat dibentuk sebuah garis.

2.

Sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak hingga.

3.

Jika diberikan sebuah titik dan jari-jari, maka dapat dibentuk sebuah lingkaran dengan titik tersebut sebagai pusatnya.

4.

Semua sudut siku-siku sama besar.

5.

Pada sebuah bidang, jika sebuah garis dipotongkan dengan dua garis lainnya dan dua garis tersebut diperpanjang hingga bertemu pada satu titik, maka jumlah sudut dalam sepihak pada pihak yang bertemu disatu titik adalah lebih dari

.

Postulat terakhir dari lima postulat yang ditulis oleh Euclid disebut sebagai postulat kesejajaran. Lima postulat ini bertahan sebagai dasar pembelajaran geometri hingga abad ke-20, sampai akhirnya beberapa

8


matematikawan menganggap bahwa postulat kesejajaran yang ditulis oleh Euclid

terlalu

rumit

untuk

disebut

sebagai

postulat.

Beberapa

matematikawan menganggap bahwa postulat kesejajaran tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan empat postulat sebelumnya. Beberapa matematikawan tersebut antara lain Proclus dari Aleksandria (410-485), John Wallis (1616-1703), dan Girolamo Saccheri dari Italia (1667-1733). Mereka mencoba untuk membuktikan kebenaran dugaan tersebut, namun usaha yang dilakukan gagal hingga akhirnya matematikawan asal Skotlandia yaitu John Playfair (1748-1819) menemukan postulat yang ekuivalen dengan postulat kesejajaran Euclid. Postulat tersebut berbunyi: “jika diberikan sebuah garis

dan sebuah titik

di luar , maka dapat

dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis dan melalui .” Postulat tersebut dinamakan postulat Playfair, dan postulat ini dianggap lebih sederhana jika dibandingkan dengan postulat kesejajaran Euclid. Postulat Playfair dan postulat kesejajaran Euclid dianggap masih memiliki makna yang sama. Karena dua postulat tersebut dirasa masih kurang tepat, maka pada tahun 1830 J.Bolyai dan N.I. Lobachevsky merevisi postulat kesejajaran Euclid dan postulat Playfair. Kemudian mereka memperkenalkan postulat baru yang disebut sebagai postulat Bolyai-Lobachevsky. Postulat tersebut berbunyi “jika diberikan sebuah garis

dan sebuah titik

di luar garis

tersebut, maka dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan garis

dan melalui

.” Felix Klein menyebut empat postulat pertama


Euclid yang digabung dengan postulat Bolyai-Lobachevsky sebagai postulat hiperbolik, dan lima postulat ini menjadi dasar dari geometri hiperbolik. Munculnya geometri hiperbolik dirasa masih belum mampu menjawab sejumlah pertanyaan geometri dalam bidang astronomi. Bernhard Riemann (1826-1866) menawarkan postulat baru untuk menggantikan postulat kesejajaran Euclid guna mengatasi masalah dalam bidang astronomi. Pada postulat yang ditawarkan Riemann, diasumsikan bahwa tidak ada garis yang sejajar. Postulat tersebut berbunyi “jika diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P di luar garis tersebut, maka tidak dapat dibuat garis lain yang sejajar dengan garis l dan melalui P.” Postulat ini menjadi dasar munculnya geometri eliptik guna mengatasi masalah pada bidang astronomi. Geometri eliptik sendiri terbagi menjadi geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap. Geometri eliptik tunggal direpresentasikan dalam setengah bola, sedangkan geometri eliptik rangkap direpresentasikan dalam bola utuh. Geometri bola merupakan bagian dari geometri eliptik rangkap (David Gans, 1973). Geometri hiperbolik dan geometri eliptik berlandaskan pada postulat kesejajarannya masing-masing, bukan berlandaskan pada postulat kesejajaran Euclid. Sehingga geometri hiperbolik dan geometri eliptik merupakan bagian dari geometri non-Euclid.


B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola Dalam pembahasan geometri bola di bawah ini, akan diasumsikan bahwa bola memiliki radius ukuran satu satuan. Definisi 2.1 (Wentworth, 1899: 381) Bola merupakan permukaan di mana setiap titik pada permukaan tersebut berjarak sama dari sebuah titik yang disebut pusat. Titik yang dimaksud pada definisi di atas merupakan titik pusat bola. Pada gambar 2.1, titik

merupakan pusat bola .

Gambar 2.1 Ilustrasi Pusat Bola

Definisi 2.2 (Wentworth, 1899: 381) Segmen garis lurus yang menghubungkan titik pada permukaan bola dengan titik pusat bola disebut sebagai radius. Radius pada bola diilustrasikan pada gambar 2.2, di mana pada gambar tersebut radius dinamai .


Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola Definisi 2.3 (Wentworth, 1899: 381) Segmen garis lurus yang melewati pusat bola dan berhenti pada dua titik di permukaan bola disebut sebagai diameter. Pada gambar 2.3, segmen garis lurus

merupakan diameter bola.

Gambar 2.3 Ilustrasi Diameter Bola Perpotongan bola dengan sebuah bidang menghasilkan sebuah lingkaran. Gambar 2.4, merupakan ilustrasi lingkaran dari perpotongan bola dengan bidang garis tebal.

Pada gambar tersebut, lingkaran dilukiskan dengan


Gambar 2.4 Ilustrasi Lingkaran Jika bidang yang memotong bola melalui pusat bola, maka lingkaran yang terbentuk disebut lingkaran besar. Sedangkan jika bidang tersebut tidak melalui pusat bola maka lingkaran yang terbentuk disebut lingkaran kecil. Nampak pada gambar 2.5, lingkaran besar yang terbentuk dari perpotongan bola dengan bidang . Setiap lingkaran besar memiliki dua buah titik pusat, dan dua titik pusat tersebut berjarak sama terhadap setiap titik pada lingkaran besar. Dua titik pusat dari sebuah lingkaran besar disebut sebagai titik berlawanan. Sehingga setiap titik pada bola menentukan titik lainnya yang disebut sebagai titik lawan. Pada gambar 2.5, titik

dan

merupakan

pusat lingkaran besar dan juga merupakan titik berlawanan. Contoh nyata dari lingkaran besar adalah garis bujur dan garis khatulistiwa. Sedangkan contoh nyata dari dua titik berlawanan adalah kutub utara dan kutub selatan.


Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar Seperti pada geometri Euclid, garis pada geometri bola juga ditentukan melalui dua titik pada permukaan bola. Garis pada geometri bola adalah lingkaran besar. Melalui dua titik yang bukan merupakan titik berlawanan dapat dibentuk sebuah garis. Jika kedua titik tersebut merupakan titik berlawanan, maka dapat dibentuk tak hingga banyak garis. Gambar 2.6 (a) menunjukkan bahwa dari sembarang dua titik pada bola yaitu

dan

yang bukan merupakan titik berlawanan, dapat

dibentuk sebuah garis. Sedangkan pada gambar 2.6 (b) ditunjukkan bahwa dapat dibentuk tak hingga banyak garis melalui titik berlawanan

(a)

(b)

Gambar 2.6 Ilustrasi Garis dari Dua Titik

dan

.


Pada geometri Euclid, sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak hingga panjangnya. Hal tersebut berbeda dengan garis pada geometri bola, karena garis pada geometri bola memiliki batas. Misalkan titik merupakan sebuah titik pada garis, jika lingkaran besar tersebut ditelusuri mulai dari titik

, maka penelusuran tersebut akan berakhir pada titik

juga. Jika pada geometri Euclid terdapat konsep kesejajaran garis, maka pada geometri bola tidak ada konsep kesejajaran garis sebagai akibat dari postulat kesejajaran Riemann. Dua titik pada garis membagi garis menjadi dua buah busur. Jika kedua titik tersebut bukan merupakan titik berlawanan maka garis terbagi menjadi busur panjang dan busur pendek. Dalam geometri bola, busur terpendek dipandang sebagai segmen garis. Suatu segmen garis yang dibatasi oleh titik

dan

dinotasikan dengan

, lalu panjang busur

terpendek tersebut didefinisikan sebagai jarak antara dua titik. Jadi jarak antara kedua titik tersebut disebut juga sebagai panjang segmen garis pada geometri bola. Panjang

dinotasikan dengan

.

Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 2.7 (a). Pada gambar tersebut terdapat dua busur yang terbentuk dari dua titik

dan titik

yang

dilukiskan sebagai garis putus-putus dan garis yang tidak putus-putus. Sesuai dengan penjelasan di atas, putus dan

ditunjukkan oleh garis tak putus-

merupakan jarak antara titik

ke titik . Pada gambar 2.7

(b), jika kedua titik merupakan titik berlawanan, maka jarak kedua titik tersebut sama panjang yaitu

.


(a)

(b)

Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis Berikut merupakan tabel perbandingan konsep jarak pada geometri Euclid dan geometri bola: Tabel 2.1 Perbandingan Konsep Jarak No 1.

Pada geometri Euclid Jarak

dua

sepanjang

titik

Pada geometri bola

diukur Jarak pada lingkaran besar diukur

garis

yang dari

dua

titik

yang

menghubungkan kedua titik menghubungkannya. Terdapat dua tersebut. Hanya ada sebuah jarak yang dapat diukur. Jarak yang jarak yang dapat diukur. 2.

digunakan adalah jarak terpendek.

Tidak ada jarak terpanjang Jarak terpanjang dari dua titik adalah atau terpendek dari dua titik 180˚. yang diberikan.

3.

Dari dua titik yang diberikan Dari dua titik yang bukan merupakan hanya dapat dilukis sebuah titik berlawanan, terdapat sebuah segmen garis.

segmen garis. Jika kedua titik tersebut merupakan titik berlawanan, terdapat tak hingga banyak segmen garis yang terbentuk, dan memiliki panjang yang sama yaitu 180˚.


Definisi 2.4 (Moise, 1990: 60) Pada geometri Euclid, titik

dikatakan berada diantara titik

dan

jika: (i)

, , dan

kolinier

(ii) Gambar 2.8 menunjukkan konsep di atas.

Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan

Konsep keantaraan pada geometri bola didefinisikan seperti pada konsep keantaraan pada geometri Euclid, dengan menggunakan segmen garis. Pada gambar 2.9 tampak bahwa

berada diantara

.

Gambar 2.9 Ilustrasi II Keantaraan Namun terdapat sebuah perbedaan sifat antara konsep keantaraan pada geometri Euclid, dengan konsep keantaraan pada geometri bola. Perbedaan tersebut timbul karena memungkinkannya untuk tidak terdapat keantaraan pada geometri bola. Jika diberikan tiga titik , ,

pada garis


dengan jarak setiap titik adalah 120˚ seperti pada gambar 2.10, maka tidak ada satupun titik yang berada diantara kedua titik lainnya. Hal ini dikarenakan tidak terbuktinya syarat (ii) pada konsep keantaraan. Seharusnya

tetapi pada kasus ini

menyebabkan

tidak berada diantara

dan

menyebabkan


dan

yang menyebabkan


, yang

,

yang

, serta

dan .

Gambar 2.10 Ilustrasi III Keantaraan

Definisi 2.5 (Wentworth, 1899: 389) Sudut pada geometri bola merupakan perpotongan dua buah segmen garis. Pada gambar 2.11, sudut yang terbentuk dari dinotasikan dengan

, sedangkan besar

dan

dinotasikan dengan

. Besar sudut dalam geometri bola didefinisikan sebagai besar sudut antara dua bidang yang memuat dua segmen garis tersebut.


Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut

Definisi 2.6 (Wentworth, 1899: 392) Segitiga pada geometri bola merupakan gabungan tiga segmen garis yang menghubungkan tiga titik non kolinear. Misalkan terdapat tiga titik non kolinear , dibentuk

,

, dan

, dan . Selanjutnya

sehingga terbentuk sebuah segitiga

dinotasikan dengan

yang

. Gambar 2.12 ini merupakan contoh segitiga

dalam geometri bola, yaitu

dan

.

Gambar 2.12 Ilustrasi Segitiga Berbeda dengan geometri Euclid, jumlah besar sudut dalam sebuah segitiga pada geometri bola tidak sama dengan

melainkan lebih dari


dan kurang dari

(Wentworth, 1899: 393), selain itu jumlah dari

ketiga sisinya kurang dari

(Wentworth, 1899: 397) .

Definisi 2.7 (Dickinson, 2008: 24) Segitiga siku-siku pada geometri bola merupakan segitiga yang memiliki paling tidak satu sudut siku-siku. Gambar 2.13 merupakan contoh segitiga siku-siku pada geometri bola. Pada gambar tersebut, yaitu

, dan

memiliki satu sudut yang besarnya

memiliki dua sudut siku-siku yaitu

dan

.

Gambar 2.13 Ilustrasi Segitiga Siku-siku Definisi 2.8 (Dickinson, 2008: 26) Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang memuat semua titik sudut segitiga. Untuk setiap segitiga pada geometri bola, dapat dibuat lingkaran luar segitiga yang memuat ketiga titik sudut segitiga tersebut. Pada gambar 2.14,

memiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat

mamiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat .

dan


Gambar 2.14 Ilustrasi Lingkaran Luar Segitiga Seperti pada geometri Euclid, pada geometri bola juga terdapat aturan kongruensi pada segitiga. Jika maka dinotasikan dengan

kongruen dengan

,

. Pada geometri bola jika dua

buah segitiga terletak pada bola berukuran sama memenuhi satu dari empat syarat di bawah ini, maka kedua segitiga tersebut dikatakan kongruen. Empat syarat tersebut antara lain: 1.

Dua buah sisi yang bersesuaian sama panjang dan sebuah sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.

2.

Dua buah sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi di antara kedua sudut tersebut sama panjang.

3.

Setiap sisi yang bersesuaian sama panjang.

4.

Setiap sudut yang bersesuaian sama besar. Selain aturan kongruensi, aturan segitiga sama kaki pada geometri

bola juga serupa dengan aturan segitiga sama kaki pada geometri Euclid. Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi yang sama panjang akan memiliki besar sudut yang sama. Sebaliknya, sisisisi yang berhadapan dengan sudut yang sama besar akan memiliki


panjang sisi yang sama. Penjelasan lebih lanjut mengenai pembuktian aturan kongruensi dan aturan segitiga sama kaki dapat dilihat pada lampiran A1-A3.


BAB III SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA

A. Spherical Half-sum Triangle Pada bab sebelumnya telah disebutkan definisi dari segitiga sikusiku pada geometri bola, yaitu segitiga yang memiliki paling tidak satu sudut siku-siku. Bab ini membahas definisi baru segitiga siku-siku yang disebut dengan Spherical Half-sum Triangle sebagai akibat dari adanya ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa Spherical Half-sum Triangle memiliki kemiripan sifat dengan segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Segitiga siku-siku pada geometri bola dan geometri Euclid memiliki sejumlah kesamaan sifat, misalnya aturan kongruensi dan aturan segitiga sama kaki. Namun nampak juga tiga ketidakmiripan sifat berdasarkan fakta-fakta berikut: 1. Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya selalu lebih dari

.

Teorema 3.1 (Dickinson, 2008: 24) Jika

merupakan sudut keliling yang menghadap diameter

lingkaran yang berpusat pada titik maka

lebih dari

.

23

seperti nampak pada gambar 3.1,


Gambar 3.1 Ilustrasi I Teorema 3.1 Bukti: Pada gambar 3.1, perhatikan bahwa membentuk yaitu

yaitu dengan

dan

Karena

membentuk sebuah segitiga,

sebagai titik pusat lingkaran luar

merupakan pusat lingkaran dan sehingga

dan segmen garis yang

berada pada

dan

merupakan diameter lingkaran, membagi dua

sama panjang.

merupakan titik pada lingkaran dan

lingkaran, mengakibatkan maka

dan

merupakan pusat

. Karena merupakan segitiga sama kaki, hal ini

menyebabkan itu, karena

. Titik

dan berada pada

. Selain

, menyebabkan

dan

. Karena jumlah sudut dalam segitiga lebih dari , maka

sehingga:


Gambar 3.2 Ilustrasi II Teorema 3.1 Sekarang

perhatikan

gambar

3.2,

gambar

tersebut

mengilustrasikan sudut keliling yang menghadap sebuah diameter lingkaran pada geometri Euclid. Pada geometri Euclid, besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah

, sehingga

. Sehingga segitiga yang terbentuk dari segmen garis lurus

,

, dan

selalu segitiga siku-siku karena salah satu

sudutnya merupakan sudut siku-siku. Kemudian jika kita perhatikan kembali gambar 3.1, sudut yang menghadap diameter lingkaran yaitu besarnya lebih dari ,

, dan atau

. Sehingga segitiga yang terbentuk dari

belum tentu merupakan segitiga siku-siku. Jika besarnya tidak sama dengan

, maka

bukan merupakan segitiga siku-siku. Dari sini nampak ketidakmiripan antara sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid dan geometri bola. Gambar 3.3 berikut merupakan contoh bahwa segitiga yang terbentuk belum tentu merupakan segitiga siku-siku. Contoh berikut telah diuji kebenarannya dan tidak perlu diragukan lagi.


Gambar 3.3 Ilustrasi III Teorema 3.1 Perhatikan gambar 3.3,

merupakan sudut yang

menghadap diameter lingkaran yaitu

. Selain itu,

membentuk sebuah segitiga yaitu

di mana

, dan

dan ,

. Tidak terbentuk satupun

sudut siku-siku pada

sehingga

bukan merupakan

segitiga siku-siku. 2. Pada geometri Euclid dan geometri bola terdapat teorema Pythagoras, namun ada perbedaan diantara keduanya. Perbedaan tersebut timbul karena tidak terdapat bentuk kuadrat pada rumus Pythagoras geometri bola. Diberikan

di mana

, dan

Jika

, maka rumus Pythagoras pada geometri Euclid adalah . Sedangkan pada geometri bola rumusnya adalah . Teorema 3.2 (Brink, 1942) Pada maka Bukti:

di mana

, dan .

. Jika

,


(a) (b) Gambar 3.4 Ilustrasi Rumus Pythagoras merupakan segitiga siku-siku pada geometri bola dan Pada gambar 3.4 (a),

diandaikan sebagai segmen

garis yang melalui garis khatulistiwa dan

merupakan segmen garis

yang melalui garis lintang. Pada gambar 3.4 (b) diberikan bidang yang memotong tegak lurus segmen garis lurus garis lurus lurus

pada

pada

dan segmen

. Bidang tersebut juga memotong segmen garis

.

siku-siku pada siku-siku pada siku-siku pada siku-siku pada Dari

pada

didapatkan bahwa:


Dari persamaan (1) dan (2) :


3. Diagonal persegi panjang tidak selalu membentuk dua buah segitiga siku-siku pada geometri bola. Persegi panjang pada geometri bola didefinisikan sebagai segi empat yang keempat sudutnya kongruen. Suatu persegi panjang yang titik sudutnya ,

, , dan

dinotasikan dengan

. Diagonal

persegi panjang tidak selalu membentuk segitiga siku-siku pada geometri bola. Gambar 3.5 merupakan

.

Gambar 3.5 Ilustrasi Persegi Panjang Berikut merupakan contoh persegi panjang pada geometri bola yang diagonalnya tidak membentuk dua buah segitiga siku-siku, dan semua ukuran pada contoh berikut telah diuji kebenarannya, sehingga tidak perlu diragukan lagi.


Gambar 3.6 Diagonal Persegi Panjang Tidak Membentuk Dua Segitiga Siku-siku

Perhatikan gambar 3.6, terbentuk

di mana dan ini sesuai dengan

definisi persegi panjang yang telah disebutkan sebelumnya. Jika dilukis sebuah diagonal yaitu

, maka terbentuk

dan

Pada kedua segitiga tersebut,

dan Pada

satupun sudut yang besarnya diagonal

.

dan

tidak terdapat

, berarti segitiga yang terbentuk dari

bukan merupakan segitiga siku-siku.

Karena terdapat beberapa perbedaan ini, timbul inspirasi untuk definisi baru segitiga siku-siku. Definisi baru tersebut didapatkan melalui pembuktikan teorema di bawah ini. Teorema ini berhubungan dengan lokasi dari pusat lingkaran luar segitiga, berikut pembuktiannya:


Teorema 3.3 (Dickinson, 2008: 26) Jika diberikan a.

dan

dengan pusat lingkaran luar segitiga , maka:

berada pada sisi yang sama terhadap

jika dan hanya jika

. b.

berada pada

jika dan hanya jika

. c.

dan

berada pada sisi yang berlawanan dengan

jika

jika dan hanya

.

Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.3 Bukti (a) :

Misalkan

dan


seperti pada gambar 3.7 (a). Jika

merupakan jari-

jari lingkaran luar segitiga, maka

. Jika

dan

, maka

dan

kaki. Karena hal tersebut, menyebabkan . Di lain pihak, sehingga:

merupakan segitiga sama dan dan


Jadi,

Misalkan benar bahwa Maka

. Andaikan tidak

dan


berada pada

berbeda terhadap

atau

.

dan

berada pada sisi yang

, maka

dan

.

Kasus 1 Jika

berada pada . Karena

lingkaran luar segitiga, maka , maka Karena

dan

dan

. Jika

dan

merupakan segitiga sama kaki. merupakan segitiga sama kaki, maka

dan

Jadi,

merupakan jari-jari

, sehingga:


Telah didapatkan bahwa , hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa . Kasus 2 Jika

dan

berada pada sisi yang berbeda terhadap

maka

dan

,

. Karena

merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga, maka . Karena

dan

maka

merupakan segitiga sama kaki. Karena

dan dan

merupakan segitiga sama kaki, maka

dan

, sehingga:

Jadi,

.

Telah didapatkan bahwa , hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa . Dari dua kasus tersebut, ternyata muncul kontardiksi dan hal ini menunjukkan bahwa asumsi salah.


Bukti (b):

Misalkan

berada pada

Karena

seperti pada gambar 3.7 (b).

merupakan jari-jari lingkaran luar

segitiga, maka maka

. Karena

dan

merupakan segitiga sama kaki. Hal ini

menyebabkan

dan

lain pihak,

sehingga:

.

Misalkan

dan andaikan tidak benar berada pada

sama terhadap terhadap

. Di

dan

Jadi,

bahwa

dan

atau

, maka dan

dan

berada pada sisi yang

berada pada sisi yang berbeda

.

Menurut teorema 3.3 (a) didapatkan , hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa . Pada pembuktian kasus 2 teorema 3.3 (a) didapatkan ,


hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa . Dari kedua kasus tersebut ternyata muncul kontardiksi, hal ini menunjukkan bahwa asumsi salah. Bukti (c) :

Misalkan

dan


seperti pada gambar 3.7 (c). Karena merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga, maka Karena

dan

.

, maka

dan

merupakan segitiga sama kaki. Hal tersebut menyebabkan dan

.

dan

Jadi,

Dilain

pihak,

, sehingga:

.

Misalkan

. Andaikan tidak

benar bahwa

dan

maka


dan

berada pada


.

Menurut teorema 3.3 (a) didapatkan

atau


, hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa . Selain itu, pada teorema 3.3 (a) kasus 1 didapatkan , hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa . Dari kedua kasus tersebut ternyata muncul kontardiksi, hal ini menunjukkan bahwa asumsi salah.

Teorema 3.3 juga berlaku pada geometri Euclid, di mana pusat lingkaran lu r segitig ber

‘ i

l m’ segitig jik

h y jik

semua sudut pada segitiga merupakan sudut lancip, pusat lingkaran luar segitiga berada pada segitiga jika dan hanya jika salah satu sudut pada segitiga merupakan sudut siku-siku, pusat lingkaran luar segitiga berada ‘ i lu r’ segitig merup k

jik

h y jik

su ut tumpul. Ko sep ‘ i

s l h s tu su ut p l m’

‘ i lu r’

segitig

p t ip h mi

dengan mudah dalam geometri Euclid karena bidang terbagi dalam daerah e g

lu s

berhi gg

ti k berhi gg . Su tu titik ber

‘ i

l m’

segitiga jika titik berada pada luasan daerah berhingga. Sedangkan suatu titik ber

‘ i lu r’ segitig jik titik ber

p

lu s

er h t k

berhingga. Namun karena segitiga pada geometri bola membagi bola menjadi dua bagian yang masing-masingnya berhingga, m k ko sep ‘ i


l m’

‘ i lu r’ segitig ti k

p t i

pt si sec r l gsu g. Oleh

karena itu, pada geometri bola, konsep ini digantikan dengan konsep ‘ber

p

sisi y g s m ’

‘ber

p

sisi y g berbe ’ e g

hipotenusa, seperti nampak dalam teorema 3.3 di atas. Salah satu sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid adalah pusat lingkar luarnya berada pada hipotenusa. Melihat hal tersebut, timbul inspirasi dalam membuat definisi baru untuk segitiga siku-siku pada geometri bola. Karena diinginkan adanya kemiripan antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid, maka dinyatakan bahwa pusat lingkaran luar segitiga siku-siku pada geometri bola juga terletak pada hipotenusanya. Menurut teorema 3.3 (b) hal ini berarti salah satu besar sudut pada segitiga tersebut merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Oleh karena itu, segitiga siku-siku didefinisikan sebagai berikut: Definisi 3.1 (Dickinson 2008: 28) Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Istilah lain untuk segitiga siku-siku baru tersebut adalah Spherical Half-sum Triangle. Dalam skripsi ini Spherical Half-sum Triangle akan tetap disebut sebagai segitiga siku-siku. B. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku Berikutnya akan dijelaskan mengenai sifat-sifat dalam segitiga siku-siku yang telah disebutkan pada awal bab ini dengan menggunakan


definisi baru segitiga siku-siku. Penjelasan sifat-sifat segitiga siku-siku tersebut akan dibahas melalui teorema dan lema. Pada awal bab ini, melalui teorema 3.1 telah dibuktikan bahwa besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran lebih dari

.

Pada teorema tersebut telah ditunjukkan bahwa gabungan diameter lingkaran dan segmen garis yang membentuk sudut keliling yang menghadap diameter membentuk sebuah segitiga. Di mana sudut yang menghadap diameter lingkaran, besarnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Oleh karena itu, melalui definisi baru segitiga siku-siku, segitiga yang terbentuk merupakan segitiga siku-siku. Dari sini muncul kemiripan dengan sifat segitiga siku-siku yang ada pada geometri Euclid. Berikutnya akan ditunjukkan bahwa besar sudut yang menghadap diameter

Berikut pembuktiannya melalui sebuah teorema:

Teorema 3.4 (Dickinson, 2008: 27) Jika

merupakan segitiga siku-siku yang memenuhi aturan ,

maka . Untuk membuktikan teorema ini dibutuhkan istilah lune dan dua buah lema. Definisi lune akan dibahas beserta dengan pembuktian lema mengenai rumus luas lune dan rumus luas segitiga sebagai berikut: Definisi 3.2 (Todhunter, 1886: 71)


Lune merupakan bagian pada permukaan bola yang dibatasi oleh dua buah setengah lingkaran besar.

Gambar 3.8 Ilustrasi Lune Seperti pada gambar 3.8, dua buah sudut yaitu , kemudian

dan

dan

merupakan lune yang memiliki . Besar kedua sudut tersebut sama yaitu

disebut sebagai sudut pada lune.

Lema 3.1 (Todhunter, 1886: 72) Jika diberikan lune

dengan besar sudut pada lune adalah , maka

luas lune Bukti:

Gambar 3.9 Ilustrasi Lema 3.1


Bentuk lune yang besar sudutnya sama yaitu titik

dan

. Titik

dan

membagi dua sama panjang

lingkaran besar yang melalui titik sehingga

dan

. Untuk mendapatkan luas lune, dibentuk

lu s lu e bol

lu s lu e

lu s permuk

bol

lu s lu e lu s lu e

Lema 3.2 (Todhunter, 1886: 73) Jika

. Lukis

seperti pada gambar 3.9

persamaan sebagai berikut: lu s permuk

dan terletak pada

merupakan segitiga pada geometri bola dan

merupakan besar sudut pada segitiga, maka berlaku luas . Bukti:

Gambar 3.10 Ilustrasi Lema 3.2


Perhatikan

pada gambar 3.10 di atas. Bentuklah tiga buah

lingkaran besar yang memuat sisi-sisi pada gambar. Titik

seperti nampak pada

berturut-turut merupakan titik lawan dari

sehingga lu s

lu s

. Ketiga lingkaran besar

saling berpotongan dan membentuk enam buah lune, di mana masingmasing lune memuat (selanjutnya ditulis

atau

. Sehingga luas permukaan bola

) menjadi:

lu s bu h lu e

Pada geometri bola, lema 3.2 di atas disebut sebagai teorema Girard. Melalui teorema tersebut dapat dibuktikan bahwa jumlah besar sudut pada segitiga lebih dari

. Sebelumnya, karena luas selalu

bernilai positif maka:

Terbukti bahwa jumlah besar sudut pada segitiga bola lebih dari

.


Selanjutnya, dengan menggunakan kedua lema di atas, akan dibuktikan teorema 3.4. Bukti: Menurut lema 3.2, luas

,

dengan demikian: lu s lu s lu s lu s lu s

Berikutnya akan dibahas mengenai teorema Pythagoras dengan menggunakan definisi baru segitiga siku-siku. Dari definisi ini diharapkan teorema Pythagoras pada geometri bola juga memiliki bentuk kuadrat seperti teorema Pythagoras pada geometri Euclid. Berikut pembuktiannya: Teorema 3.5 (Dickinson, 2008: 27) Jika

merupakan segitiga siku-siku yang memenuhi aturan bahwa di mana

dan Bukti:

, maka berlaku

berturut-turut merupakan .


Gambar 3.11 Ilustrasi I Teorema 3.5

Perhatikan gambar 3.11,

merupakan pusat bola,

panjang segmen garis yang menghubungkan

dan

panjang segmen garis lurus yang menghubungkan garis lurus melalui

yang membagi

, dan

merupakan merupakan

dan . Lukis segmen

menjadi dua bagian sama panjang,

sehingga:

Gambar 3.12 Ilustrasi II Teorema 3.5

Perhatikan gambar 3.12,



dan

, dan

merupakan merupakan


panjang segmen garis lurus yang menghubungkan garis lurus melalui

yang membagi

dan . Lukis segmen


sehingga:

Gambar 3.13 Ilustrasi II Teorema 3.5 Perhatikan gambar 3.13,



dan

panjang segmen garis lurus yang menghubungkan garis lurus melalui sehingga:

yang membagi

, dan

merupakan merupakan

dan . Lukis segmen



Gambar 3.14 Ilustrasi IV Teorema 3.5 Bentuk lingkaran luar lingkaran luar maka

, di mana

merupakan pusat

. Karena menurut teorema 3.3

,

berada pada

segitiga

, maka

. Karena

merupakan pusat lingkaran luar

membagi

sama panjang sehingga

Selanjutnya dibentuk bidang datar proyeksikan proyeksi

pada bidang

pada bidang

yang melalui ,

. Karena

terletak pada segmen garis lurus

berada pada

. Titik

, maka


.

Perhatikan

,

karena

, maka berlaku

. Selanjutnya, karena , maka berturut-turut menghubungkan maka

kemudian

seperti pada gambar 3.14. Notasikan

dengan

sehingga

, dan

.

.

merupakan ke

,

, . Berikutnya,

panjang ke

, dan

segmen ke

garis

. Karena

, dan , y, dan lurus

yang


Selanjutnya perhatikan , dan dan

dan

. Telah diketehui

segme g ris lurus

, ini mengakibatkan

,

memenuhi teorema Pythagoras, sehingga:

Gambar 3.15 Ilustrasi V Teorema 3.5 Sekarang perhatikan pusat lingkaran luar

dan

, maka

, maka dan

pada gambar 3.15, karena . Karena panjang segmen garis

. Lalu karena , maka

,

. Selanjutnya

panjang segmen garis lurus yang menghubungkan , maka

g

t r

pada

merupakan . Karena

.

Selanjutnya perhatikan bi

ke

,

dan

, karena

, maka semua garis yang melalui

pada bidang


akan tegak lurus dengan Berikutnya karena

,

segme g ris lurus

segme g ris lurus

sehingga

segme g ris lurus

, menyebabkan

dan

.

, dan

memenuhi

teorema Pythagoras, sehingga:

Karena telah didapatkan bahwa merupakan pusat lingkaran luar pada segmen garis lurus

pada bidang . Karena

, maka

dengan segmen garis lurus

, maka berada

merupakan segitiga siku-siku

sebagai hipotenusa. Hal ini menyebabkan

berlakunya Setelah didapat bahwa

, subtitusi sehingga menjadi:

dengan


Rumus inilah yang kemudian diyakini sebagai teorema Pythagoras pada geometri bola. Hal ini disebabkan karena teorema Pythagoras ini lebih memiliki kemiripan dengan teorema Pythagoras pada geometri Euclid, sebab pada keduanya terdapat bentuk kuadrat. Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat diagonal pada persegi panjang. Pada pembahasan di bawah ini, akan dibuktikan bahwa diagonal pada persegi panjang akan membagi persegi panjang menjadi dua buah segitiga siku-siku yang kongruen. Untuk menunjukkan hal tersebut, akan dibuktikan terlebih dahulu teorema berikut: Teorema 3.6 (M’Clelland, 1893: 32) Jika diberikan sebuah

dengan

,

maka panjang sisi-sisi yang bersebrangan sama panjang. Bukti:

Gambar 3.16 Ilustrasi Teorema 3.6 Perpanjang titik yaitu

dan

dan

hingga keduanya berpotongan pada dua

yang merupakan titik berlawanan seperti nampak pada

gambar 3.16. Karena segitiga sama kaki, sehingga

maka

merupakan

. Selanjutnya, karena diketahui


bahwa

maka

sehingga

merupakan segitiga sama kaki dan mengakibatkan

. Dengan

demikian:

Dengan cara yang serupa, dapat dibuktikan bahwa

.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa diagonal persegi panjang membentuk dua buah segitiga siku-siku. Teorema 3.7 (Dickinson, 2008: 31) Jika

merupakan diagonal

, maka

membagi

menjadi dua buah segitiga siku-siku yang kongruen. Bukti:

Gambar 3.17 Ilustrasi Teorema 3.7

Diberikan Menurut teorema 3.6,

dengan diagonal dan

seperti pada gambar 3.17. , telah diketahui juga bahwa


. Karena ketiga hal tersebut, maka Selanjutnya, karena

Ini berarti bahwa

, maka

. . Sehingga:

merupakan segitiga siku-siku.

Dengan demikian, telah terbukti jika ketiga sifat tersebut ditelusuri dengan menggunakan definisi baru, maka ketiga sifat yang sebelumya tidak mirip dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid menjadi lebih mirip. Dengan definisi bahwa segitiga siku-siku merupakan segitiga yang besar salah satu sudutnya merupakan jumlah dari dua sudut lainnya, menjadi benar bila besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran lebih dari

, terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras

geometri bola, dan diagonal pada persegi panjang terbukti membentuk dua buah segitiga siku-siku.


BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diambil kesimpulan bahwa: 1. Berdasarkan definisi segitiga siku-siku sebagai segitiga yang memiliki setidaknya satu sudut siku-siku, terdapat tiga ketidakmiripan sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Ketidakmiripan tersebut antara lain: Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya selalu lebih dari , tidak terdapatnya bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras geometri bola, dan diagonal persegi panjang tidak selalu membentuk dua buah segitiga siku-siku pada geometri bola. 2. Definisi baru segitiga siku-siku yang dinamai Spherical Half-sum Triangle adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Definisi ini terinspirasi dari salah satu sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid dimana pusat lingkaran luar segitiga siku-siku harus berada pada hipotenusa. 3. Berdasarkan definisi baru segitiga siku-siku, tiga sifat segitiga siku-siku pada geometri bola yang sebelumya tidak mirip dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid menjadi lebih mirip. Karena dengan definisi baru ini, menjadi benar bila sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya selalu lebih dari

51

, terdapat bentuk


kuadrat dalam rumus Pythagoras geometri bola, dan diagonal pada persegi panjang terbukti membentuk dua buah segitiga siku-siku. B. Saran Untuk penelitian selanjutnya, dapat dibahas mengenai sifat-sifat segitiga lancip pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga lancip pada geometri Euclid maupun sifat-sifat segitiga tumpul pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga tumpul pada geometri Euclid.

52


DAFTAR PUSTAKA Brenke, W. (1943). Plane and Spherical Trigonometry. New York: The Dryden Press. Brink, R.W. (1942). Spherical Trigonometry. New York: Appleton Century Crofts. Byer, Owen, dkk. (2010). Methods of Euclidean geometry. United States of America: The Mathematical Association of America. Dickinson, W. & Salmassi, M. (2008). The Right Right Triangle on the Sphere. The College Mathematics Journal, Vol. 39, 24-33. Gans, D. (1973). An Introduction to Non-Euclidean Geometry. New York and London: Academic Press M’Clelland, W.J. & Preston, T. (1893). A Treatise on Spherical Trigonometry With Applications Spherical Geometry and Numerous Examples Part.I (ed.4). London: Macmillan. M’Clelland, W.J. & Preston, T. (1886). A Treatise on Spherical Trigonometry With Applications Spherical Geometry and Numerous Examples Part.II. London: Macmillan. Moise, E.E. (1990). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (ed. 3). USA: Addison-Wesley. Todhunter, I. (1886). Spherical Trigonometry for the use of colleges and Schools with Numerous Examples (ed.5). London: Macmillan. Wentworth, G.A. (1899). Plane and Solid Geometry. Boston, U.S.A: Ginn & Company.

53

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Lampiran A.1.

SEGITIGA KUTUB

Definisi 1 (M’Clellan,1893 :26) Segitiga kutub merupakan segitiga yang setiap titik sudut nya merupakan pusat lingkaran besar dari setiap segmen garis segitiga lainnya.

Ilustrasi Segitiga Kutub Pada ilustrasi segitiga kutub karena

merupakan segitiga kutub dari

merupakan pusat lingkaran besar yang memuat


,

,

merupakan pusat

lingkaran besar yang memuat

. Sebaliknya, karena

merupakan pusat

lingkaran besar yang memuat

,

yang memuat maka

, dan

merupakan pusat lingkaran besar




SEGITIGA KONGRUEN

Teorema 1 (Wentworth, 1899 : 399) Jika melalui pusat bola lurus

dilukiskan tiga buah diameter yaitu segmen garis

, dan melalui titik

maka

dan

dibentuk lingkaran besar,

merupakan segitiga yang kongruen.

Bukti:

Ilustrasi Teorema 1 Titik

berturut-turut merupakan titik lawan dari titik ,

hal ini menyebabkan

,

,

,

,

. Karena ukuran pada kedua segitiga tersebut sama, maka

.


Teorema 2 (Wentworth, 1899: 401) Jika dua buah segitiga berada pada bola berukuran sama, di mana dua buah sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar, maka kedua segitiga tersebut kongruen. Bukti:

Ilustrasi Teorema 2 Pada Ilustrasi Teorema 2.1, terdapat di mana

, . Karena

maka

,

, dan dan

. Selanjutnya karena

dan

maka

Dengan cara serupa dapat pula dibuktikan bahwa jika dua buah segitiga, di mana dua buah sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi diantara kedua sudut tersebut sama panjang, maka kedua segitiga tersebut kongruen.


Teorema 3 (Wentworth, 1899: 382) Jika dua buah segitiga terletak pada bola yang berukuran sama dan meliliki besar sudut yang sama pada sudut-sudut yang bersesuaian, maka keduanya memiliki panjang sisi yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian dan kedua segitiga tersebut kongruen. Bukti:

Ilustrasi Teorema 3

Diberikan



seperti pada Ilustrasi Teorema 3.

Diketahui bahwa sudut-sudut yang bersesuaian pada besar. Karena hal tersebut, dan

maupun

maka sisi-sisi yang bersesuaian pada sisi-sisi yang bersesuaian pada sudut yang bersesuaian pada

dan

dan dan

menyebabkan

.

dan

dan

sama

merupakan segitiga kutub, sama panjang. Karena

sama panjang, maka sudutsama besar. Karena

berturut-turut merupakan segitiga kutub dari yang bersesuaian pada

dan

dan

dan

maka sisi-sisi

sama panjang. Hal tersebut


Dengan cara serupa dapat dibuktikan jika dua buah segitiga terletak pada bola yang berukuran sama dan meliliki panjang sisi yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian, maka keduanya memiliki besar sudut yang sama pada sudut-sudut yang bersesuaian dan kedua segitiga tersebut kongruen.


ATURAN SEGITIGA SAMA KAKI

Teorema 4 (Wentworth, 1899: 405) Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi yang sama panjang akan memiliki sudut yang sama besar. Bukti:

Ilustrasi Teorema 4 Pada Ilustrasi teorema 4, mana

. Lukis

di mana

merupakan segitiga sama kaki di merupakan titik yang membagi

sama panjang. Perhatikan bahwa sisi-sisi yang bersesuaian pada sama panjang. Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Karena sudutsudut yang bersesuaian sama besar maka


Teorema 5 (Wentworth, 1899: 406) Jika pada sebuah segitiga terdapat dua buah sudut yang sama besar, maka sisi-sisi di hadapan kedua sudut tersebut sama panjang dan segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki. Bukti:

Ilustrasi Teorema 5 Diberikan

merupakan segitiga kutub dari seperti nampak pada Ilustrasi teorema 5. Kemudian

karena

, maka dan hal ini menyebabkan

segitiga sama kaki.

. Karena dan

, maka merupakan

SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Recommend Documents