Sestavení diferenciální a diferenční rovnice. Petr Hušek

Sestavení diferenciální a diferenční rovnice Petr Hušek

Sestavení diferenciální a diferenční rovnice Petr Hušek [email protected] katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze

MAS 2012/13

ČVUT v Praze

2 – Diferenciální a diferenční rovnice 2/17

Co se dnes dozvíme?

Jak popsat dynamický systém Jak vytvořit model mechanického systému pomocí diferenciální a diferenční rovnice Jak převést diferenciální rovnici na diferenční

MAS 2012/13

ČVUT v Praze


Posuvný (translační) pohyb

poloha rychlost zrychlení

x(t) Δx(t − T ) x(t ) − x(t − T ) v(t − T ) = Δt T

a (t − T )

Δx(t ) x(t + T ) − x(t ) dx(t ) = lim = Δt →0 Δt T →0 T dt

v(t ) = lim

Δv(t − T ) v(t ) − v(t − T ) Δv(t ) v(t + T ) − v(t ) dv(t ) = a(t ) = lim = lim = Δt →0 Δt T →0 Δt T T dt

Otáčivý (rotační) pohyb

poloha φ(t) Δϕ (t − T ) ϕ (t ) − ϕ (t − T ) rychlost ω (t − T ) Δt = T zrychlení ε (t − T ) Δω (t − T ) = ω (t ) − ω (t − T )

MAS 2012/13

Δt

ČVUT v Praze

T

Δϕ (t ) ϕ (t + T ) − ϕ (t ) dϕ (t ) = lim = Δt →0 T →0 T dt Δt Δω (t ) ω (t + T ) − ω (t ) dω (t ) ε (t ) = lim = lim = Δt → 0 T →0 T dt Δt

ω (t ) = lim


okamzita rychlost

5

diskretni hodnoty spojity prubeh

4

4 3

x[m]

x[m]

3

dx/dt

x(t0)

2

2

x(t0-T)

1

1 0

diskretni pohled

5

T 0

2

4

6

t0-T

t0 8

0

10

0

2

4

T=0.5s

T=0.05s

MAS 2012/13

2

6

8

10

t[s]

t[s]

t

1

v=dx/dt

0.015

0.060 0.135 0.240

…

1.215 1.500

v=Δx/T

0.009

0.046 0.114 0.211

…

1.149 1.426

t

1

v=dx/dt

0.015

0.060 0.135 0.240

…

1.215 1.500

v=Δx/T

0.014

0.059 0.133 0.237

…

1.208 1.493

2

ČVUT v Praze

3

3

4

4

…

…

9

9

10

10


Výpočty v diskrétním čase v(t) = (x(t)-x(t-T))/T v(t-T)

5

x(t) x(t-T) v(t) v(t-T)

v(t) v(t-T) a(t) a(t-T)

1.2 1 v[m/s],a[m/s2]

x[m],v[m/s]

4

a(t) = (v(t)-v(t-T))/T a(t-T)

1.4

3 2

0.8 0.6 0.4

1 0

0.2 0

2

4

6

8

10

0

0

2

4

t[s]

Δx(t − T ) x(t ) − x(t − T ) v(t − T ) = T Δt

derivace

MAS 2012/13

6

8

10

t[s]

a (t − T )

Δv (t − T ) v(t ) − v(t − T ) = Δt T

dx(t − T ) Δx(t − T ) x(t ) − x(t − T ) ≈ = dt Δt T dv(t − T ) Δv(t − T ) v(t ) − v(t − T ) ≈ = dt Δt T ČVUT v Praze

diference


Δv(t − 2T ) Δ ⎛ Δx(t − 2T ) ⎞ Δ 2 x(t − 2T ) dv(t ) d ⎛ dx(t ) ⎞ d 2 x(t ) = ⎜ = ⎜ = a (t ) a(t − 2T ) = ⎟= ⎟= (Δt ) 2 Δt Δt ⎝ Δt dt dt ⎝ dt ⎠ dt 2 ⎠ Δ 2 x(t − 2T ) = Δ(Δx(t − 2T )) = Δ( x(t − T ) − x(t − 2T )) = Δx(t − T ) − Δx(t − 2T ) 2.derivace = x(t ) − x(t − T ) − ( x(t − T ) − x(t − 2T ) ) 2.diference = x(t ) − 2 x(t − T ) + x(t − 2T ) x(t ) − x(t − T ) x(t − T ) − x(t − 2T ) − v(t − T ) − v(t − 2T ) x(t ) − 2 x(t − T ) + x(t − 2T ) T T = = a (t − 2T ) T T T2 5

5 x(t) x(t-2T)

x(t) x(t-T) x(t-2T) a(t) a(t-T)

4 x[m],a[m/s2]

4

x[m]

3 2 1 0

a(t) = (x(t)-2x(t-T)+x(t-2T))/T 2 a(t-T)

x(t) a x(t-2T

3 2 1

0

2

4

6

8

t[s]

MAS 2012/13

10

0

0

2

4

6

8

10

t[s]

ČVUT v Praze


Pohybové zákony

1. Newtonův zákon (o setrvačnosti) 2. Newtonův zákon (o síle)

posuvný pohyb

mΔv m = konst.: ΣF = = ma Δt

Δ (mv) ΣF = Δt

Isaac Newton (1642-1727)

rotační pohyb

Δ( J ω ) ΣM = Δt

J Δω J = konst.: ΣM = = Jε Δt

J [kgm2] – moment setrvačnosti: J =

∑m r

2

i i

i

3. Newtonův zákon (akce a reakce)

MAS 2012/13

ČVUT v Praze

Jean d’Alembert (1717-1783)


Prvky mechanických systémů posuvný pohyb v1

tlumič

pružina

rotační pohyb

v2

ω1

F F = B(v1- v2)

M M = B(ω1- ω2) x2

x1

φ2

φ1

F F = k(x1- x2)

hmota

M

M

a F = ma

MAS 2012/13

M = k(φ1- φ2) ε

F

ω2

ČVUT v Praze

M = Jε 2 – Diferenciální a diferenční rovnice 9/17

Popis mechanických systémů

volný pád vstupní veličina – není m

výstupní veličina – rychlost v(t) v

ma (t ) = Fg dv(t ) =g dt

pohybová rovnice diferenciální rovnice dv(t − T ) =g dt

diferenční rovnice

MAS 2012/13

parametr – hmotnost m

Fg

Δv(t − T ) =g Δt

ČVUT v Praze

v(0) = v0

v(t ) − v(t − T ) =g T


seskok padákem B

vstupní veličina – není výstupní veličina – rychlost v(t)

m

parametr – hmotnost m

v

tlumení B

Fg

m

pohybová rovnice diferenciální rovnice

ma (t ) = Fg − Bv(t ) dv(t ) m + Bv(t ) = mg dt

dv(t − T ) + Bv(t − T ) = mg Δv(t − T ) dt m + Bv(t − T ) = mg Δt

diferenční rovnice

MAS 2012/13

ČVUT v Praze

v(0) = v0

m m⎞ ⎛ v(t ) + ⎜ B − ⎟ v(t − T ) = mg T T⎠ ⎝


cyklistický trenažer

J r

vstup – síla do pedálů F(t)

ω,v

výstup – obvodová rychlost v(t)

r

parametry – r, R, J, B

F

B – koeficient viskózního tření

R

Mz(t) – zatěžovací moment (porucha)

pohybová rovnice diferenciální rovnice

F (t )r − Bω(t ) − M z (t ) = J ε(t ) J dv(t ) B + v(t ) = F (t )r − M z (t ) R dt R

J dv(t − T ) B + v(t − T ) = F (t − T ) r − M z (t − T ) R dt R

v(0) = v0

diferenční rovnice Jv(t ) − ( J − BT )v(t − T ) = rRTF (t − T ) − RTM z (t − T )

MAS 2012/13

ČVUT v Praze


mincíř vstupní veličina – není k

výstupní veličina – x(t) x

m

délka pružiny v klidu - xp

mg − k ( x − x p ) = ma Fg

diferenciální rovnice

m x(t ) + kx(t ) = mg + kx p

Δ 2 x(t − 2T ) x(0) = x0 ; x (0) = v0 m + kx(t − 2T ) = mg + kx p 2 (Δt ) m 2 ⎛ 1 ⎞ x t − x t − T + + k ( ) ( ) diferenční rovnice ⎜ 2 ⎟ x(t − 2T ) = mg + kx p 2 2 T T ⎝T ⎠ Δx(0) xT − x0 x x ( 0 ) ; v0 = = x(0) = x0 ; x(T ) = xT 0 T T MAS 2012/13

ČVUT v Praze


kyvadlo vstupní veličina – není výstupní veličina – φ(t) délka kyvadla – l φ m

hmotnost závaží - m

m

pohybová rovnice

(t )l mg sin ϕ(t ) = −mϕ

diferenciální rovnice

(t ) = − ϕ

gT 2 ϕ(t ) − 2ϕ(t − T ) + ϕ(t − 2T ) + sin ϕ(t − 2T ) = 0 l diferenční rovnice Δϕ(0) ϕT − ϕ0 ϕ ( 0 ) = ϕ , = ω(0) ϕ(0) = ϕ0 , ϕ(T ) = ϕT 0 T T

MAS 2012/13

ČVUT v Praze

g sin ϕ(t ) l

ϕ(0) = ϕ0 , ϕ (0) = ω0


kulička na tyči r

x

R Fm

FN

φ Fg

vstupní veličina – φ(t) výstupní veličina – x(t) poloměr kuličky – R poloměr odvalování - r

a (t ) 2 2 ma ( t ) J mg sin ( ), + = ϕ t J = mR pohybová rovnice k k 5 r2 g x ( t ) = sin ϕ(t ) = K sin ϕ(t ) diferenciální rovnice 2 2⎛ R⎞ 1+ ⎜ ⎟ x(0) = x0 , x (0) = v0 5⎝ r ⎠

diferenční rovnice x(t ) − 2 x(t − T ) + x(t − 2T ) = KT 2 sin ϕ(t − 2T ) x(0) = x0 , x(T ) = xT

MAS 2012/13

ČVUT v Praze

x(0) = x0 , Δx(0) =

xT − x0 v0 T


Kontrolní otázky

Závislost úhlu na čase rotujícího tělesa je ϕ(t ) = t . V čase t = 5 sekund určete jeho skutečnou úhlovou rychlost a její aproximaci pomocí diference pro T = 0.1 a 0.01 sekundy. Určete hodnoty úhlového zrychlení pro tentýž pohyb jednak z hodnot rychlostí, jednak z hodnot úhlu pro stejné hodnoty T. Napište diferenciální a diferenční rovnici pro volný pád, jestliže jako výstupní veličinu budeme uvažovat polohu závaží x(t). m

x Fg

Napište diferenciální a diferenční rovnici následujícího systému, jestliže jako vstupní veličinu uvažujeme sílu F(t) a výstupní polohu závaží x(t). x k

MAS 2012/13

ČVUT v Praze

F m 2 – Diferenciální a diferenční rovnice 16/17

Harddisk, který se v čase t = 0 točí úhlovou rychlostí ω0, je brzděn momentem M(t). Moment setrvačnosti harddisku je J. Napište diferenciální a diferenční rovnici popisující brzdění harddisku, uvažujeme-li brzdicí moment M(t) jako vstupní veličinu a úhlovou rychlost ω(t) jako výstupní veličinu. Tření zanedbejte. ω

M

J

Krasobruslaři mají při piruetách nejprve ruce upažené a pak je sepnou natažené nad hlavou, čímž se začnou točit rychleji. Proč?

MAS 2012/13

ČVUT v Praze


Sestavení diferenciální a diferenční rovnice. Petr Hušek

Recommend Documents