Selectie van Sensoren en Actuatoren voor Aktieve Regeling van een Compressor

Selectie van Sensoren en Actuatoren voor Aktieve Regeling van een Compressor Harold Mehagnoul Rapport No. WFW 99.021

Begeleiders

:

Framk Willems Bram de Jager

Eindhoven, Augustus 1999 Technische Universiteit Eindhoven (TUE) Faculteit Werktuigbouwkunde

Samenvatting Het operationele gebied van een compressorsysteem wordt vaak beperkt door het optreden van surge, een verschijnsel waarbij grote fluctuaties in de druk en de massastroom optreden. Het optreden van dit verschijnsel kan onderdrukt worden door gebruik te maken van een aktieve regeling. In dit verslag wordt een Ingang Uitgang selectie uitgevoerd voor ten behoeve van het aktief regelen van een compressorsysteem. Voor elke combinatie van sensoren en actuatoren kan met de Ingang Uitgang selectie bepaald worden of er een stabiliserende regelaar gevonden kan worden waarmee een bepaald prestatieniveau wordt bereikt. Dit prestatieniveau wordt gekwantificeerd door de '&-norm van het gesloten systeem. Het uiteindelijke doel is het vinden van een combinatie van actuatoren en sensoren voor welke het systeem wordt gestabiliseerd bij de aanwezigheid van verschillende exogene verstoringen, waarbij de aan de actuatoren opgelegde beperkingen niet overschreden worden. Bij de Ingang Uigang selectie doet zich liet probleem voor dat het niet eenvoudig is om in het model een goede beschrijving te geven van de in de werkelijkheid optredende verstoringen en van het gedrag van de verschillende actuatoren. Dit terwijl de verschillende keuzes die hierbij gemaakt worden van grote invloed zijn op de uiteindelijke resultaten die gevonden worden. Uit de resultaten blijkt dat de gebruikte methode van regelaarontwerp in combinatie met de gebruikte verstoringen niet de meest geschikte is. Het blijkt dat het gebied dat met de gevonden regeling gestabiliseerd kan worden zonder dat de grenzen die aan de actuatoren zijn opgelegd overschreden worden, vrijwel alleen afhangt van de aanwezigheid van de close-coupled valve en de nominale klepstand hiervan. Indien in plaats van de in eerste instantie gebruikte exponentieel afnemende verstoringen een sinusvormige verstoring wordt toegepast blijkt het met de gebruikte methode van regelaarontwerp vele malen eenvoudiger om tot een geschikte regelaar te komen. Een belmgrijke conclusie is dan ook dat of de wijze waarop de verstoringen zijn gemodelleerd danwel de gebruikte methode van regelaarontwerp heroverwogen dient te worden. Hiermee zou dan opnieuw het proces van Ingang Uitgang selectie en regelaarontwerp doorlopen moeten worden.

i

1 Inleiding

2

2 Ingang Uitgang Selectie 2.1 Standaard Lineair Regelsysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Geldigheidscondities voor IU-combinaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 IU-selectie voor Niet-lineaire Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 5

3 Het 3.1 3.2 3.3

7 7 7

Compressor Regelprobleem Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Het Compressor Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sensoren en Actuatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Vormfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Weegfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Resultaten van de IU-selectie 4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 31, optimalisatie voor de volledige IU set 4.3 Alternatieve verstoring van de inlaatdruk 4.4 IU-selectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

............... ............... ............... ............... ...............

10 11

...................... ....................... ....................... ......................

15 15 15 31 33

9

5 Conclusies en Aanbevelingen

34

A Betekenis van de verschillende symbolen

35

E3 Modellering van het Systeem B.l Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Dimensieloos Compressormodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 36 42

1

Hoofdstuk 1

Inleiding Het operationele gebied van compressoren wordt , voor kleine massastromen, onder andere begrensd door het optreden van surge. Surge is een instabiliteit van de stroming die wordt gekarakteriseerd door grote fluctuaties in druk en massastroom in het compressorsysteem. Als gevolg van deze instabiliteit kunnen grote mechanische en thermische belastingen in de compressor optreden. Aktieve regeling biedt de mogelijkheid het stabiele operationele gebied uit te breiden en de prestatie en efficiëntie van het compressorsysteem te verhogen. Een belangrijk aspect bij het ontwerp van een regeling is een verstandige keuze van type, aantal en positie van sensoren en actuatoren, de zogenaamde Ingang Uitgang (1U)-selectie. Deze keuze beïnvloedt niet alleen de kosten, maar ook het onderhoud, de complexiteit van de benodigde apparatuur en de mogelijke prestaties van het systeem. Daar het aantal mogelijke combinaties van sensoren en actuatoren al snel erg groot kan worden, is een geschikte methode om deze selectie uit te voeren wenselijk. In het geval van het aktief regelen van surge zijn verschillende sensoren en actuatoren te vinden in de literatuur. Voorbeelden hiervan zijn te vinden in [ 3 , 9, 10, 131. In [13] is de geschiktheid van vier sensoren (massastroom, statische druk en totaaldruk voor de inlaat van compressor en de plenumdruk) en drie actuatoren (close-coupled valve, afblaasklep op het plenum en een variabel plenumvolume) onderzocht. Hieruit is gebleken dat met gebruikmaking van deze actuatoren en sensoren de combinatie van een close-coupled valve en een variabel plenumvolume, in combinatie met een massastroommeting het beste voldoet aan de specificaties. Doel van deze stage is het uitbreiden van de IU-set, zoals die gebruikt is in [13], met de volgende actuatoren en sensoren: o

Een air-injector voor de compressor

o

Een afblaasklep vlak na de compressor.

o

Totaal drukmeting vlak na de compressor.

0

Statische drukmeting vlak na de compressor.

Met deze uitgebreide IU-set zal opnieuw de geschiktheid onderzocht worden van de diverse combinaties van sensoren en actuatoren. Voor elke mogelijke combinatie wordt onderzocht of er een stabiele regelaar bestaat en of deze in staat is een gewenste prestatie te realiseren. De combinaties die hiertoe in staat zijn worden toelaatbaar genoemd. De toelaatbare combinaties en hun prestaties worden daarna verder onderzocht door middel van simulaties. Aan de hand van de hiermee verkregen resultaten wordt bepaald welke combinatie het meest geschikt is voor het regelen van het compressorsysteem.

2

De indeling van het verslag is als volgt. In Hoofdstuk 2 wordt de theorie van de gebruikte selectiemethode behandeld. Vervolgens wordt in Hoofdstuk 3 een beschrijving gegeven van het compressorsysteem. Ook wordt hierbij aandacht besteedt aan de wijze waarop de karakteristieken van de sensoren en actuatoren in het model vastgelegd worden. In Hoofdstuk 4 worden de resultaten van de Ingang Uitgang selectie gegeven. Daarnaast worden de resultaten van verschillende simulaties gepresenteerd. Tot slot volgen in Hoofdstuk 5 de conclusies en de aanbevelingen.

3

Hoofdstuk 2

Ingang Uitgang Selectie In dit hoofdstuk wordt de toegepaste IU-selectiemethode toegelicht. Deze methode is identiek aan de methode zoals die gebruikt is in [13], maar wordt hier voor de volledigheid beknopt beschreven. Voor een gedetailleerdere beschrijving wordt dan ook verwezen naar [13]. In paragraaf 2.1 wordt de standaardopzet gegeven van lineaire regelsystemen] zoals die gebruikt wordt bij %!,-regelaarontwerp. Deze opzet wordt gegeven, omdat de basis van de IU-selectie methode gevormd wordt door de %!,-regeltheorie. Ook wordt gekeken naar een manier om de prestaties van een systeem te karakteriseren] waarmee de kwaliteit van een regelaarontwerp kan worden beoordeeld. Vervolgens worden in paragraaf 2.2 de condities besproken, waaraan een specifieke IU-combinatie dient te voldoen. De mogelijkheid van een specifieke IU-combinatie (samen met de bijbehorende regelaar) om aan een bepaald criterium voor de prestatie te voldoen blijkt op relatief eenvoudige wijze gecontroleerd te kunnen worden. Tenslotte wordt in paragraaf 2.3 een mogelijke methode geschetst om de IU-selectie uit te voeren op niet-lineaire systemen, gebaseerd op de IU-selectie methode voor lineaire systemen.

2.1

Standaard Lineair Regelsysteem

De standaardopzet van een eindig dimensionaal, lineair, tijdsinvariant geregeld systeem is weergegeven in figuur 2.1. De variabelen Z en E worden ingevoerd om onderscheid te kunnen maken trissen signalen die gerelateerd zijn aan G en E. Hierbij dient opgemerkt te worden dat de uitgang van het systeem is samengesteld uit de gemeten en de te regelen variabelen. Wanneer in het vervolg over de uitgang gesproken wordt, worden alleen de te regelen variabelen bedoeld. In analogie hiermee worden met ingang alleen de regelingangen bedoeld en niet de exogene variabelen. De Overdrachts Functie Matrix (OFM) (Transfer Function Matrix (TFM)) G wordt het gegeneraliseerde systeem genoemd. Deze bevat het nominale systeem en de specificaties van de prestaties V en W , die verder in dit hoofdstuk besproken zullen worden. De lineaire regelaar wordt aangeduid met K . Het gesloten systeem inclusief de specificaties V en W wordt weergegeven door M . De prestatie van het systeem kan beoordeeld worden door middel van normen. Eenvoudig gesteld geeft een norm weer hoe groot de te regelen variabelen z kunnen worden bij bepaalde verstoringen w. Doel van het regelaarontwerp is het vinden van een regelaar die de norm van het gesloten systeem minimaliseert. In dit verslag zal als norm van het gesloten systeem de %,-norm gebruikt worden. Redenen voor het gebruik van deze norm worden onder andere gegeven in [8] en [li]. De

4

u y z/Z

WIZ

G G

-

Ii' M M V W

: : :

de regelingangen de gemeten variabelen de fysische/genormaliseerde te regelen variabelen de fysische/genormaliseerde exogene variabelen (referentiesignalen, verstoringen)

: : : : : : :

het gegeneraliseerde systeem het nominale systeem de regelaar het gegeneraliseerde gesloten systeem het nominale gesloten systeem het vormfilter voor de exogene variabelen het weegfilter voor de te regelen variabelen

:

Figuur 2.1: Standaardopzet van een geregeld systeem

'Zm-norm van een stabiele OFM T wordt gegeven door de onderstaande relatie [7]: l l ~ ( s ) l l c c:=sup Ü{T(jw)l w

Hierin is ü de maximale singuliere waarde van een matrix. In het tijdsdomein kunnen verschillende betekenissen gegeven worden aan de %,-norm. Hiervoor wordt verwezen naar [13]. De formulering van een realistisch regelprobleem houdt rekening met de relatieve grootte van de exogene variabelen ü7, de verschillende belangen van de te regelen variabelen en de frequentieafhankelijkheid van deze signalen. Met het oog op deze gegevens zijn in Figuur 2.1 de blokken V en W toegevoegd. V wordt gebruikt om de verwachte energieverdeling van de verschillende exogene variabelen in het frequentiedomein te karakteriseren. Om deze reden wordt V het vormfilter genoemd. W geeft weer welke frequenties met name dienen te worden onderdrukt in de te regelen variabelen en wordt daarom het weegfilter genoemd. De gewenste prestatie van een systeem wordt nu weergegeven als de %-!n ,orm van het systeem M : IIMll, < y. Hierin is y een gekozen positieve scalar. Doel van het regelaarontwerp is het vinden van een regelaar Ei zodat aan de relatie IIMII, < y voldaan wordt.

2.2

Geldigheidscondities voor IU-combinat ies

Het blijkt dat op relatief eenvoudige wijze kan worden beoordeeld of er voor een bepaald IU-set een regelaar bestaat die aan de relatie 11M11, < y voldoet. Hiertoe dient het systeem aan 6 voorwaarden te voldoen. Hier wordt slechts een interpretatie gegeven van de betreffende condities, voor een gedetaileerdere beschrijving ervan wordt verwezen naar [7] en [12].

5

1.

2,3.

4,5. 6.

Controleer of de overdracht van w naar z voor het open systeem niet 'te groot' is, aangezien K dit effect niet geheel kan opheffen. Voor de definitie van 'te groot' wordt verwezen naar bijvoorbeeld [6]. Controleer of een regelaar met volledige informatie van w en de toestanden van het systeem aan 11M11, < y kan voldoen. Controleer of een regelaar met volledige informatie van z en de toestanden van het systeem aan IIMII.. < y kan voldoen. Controleer, gebaseerd op de resultaten van 2-5, of de combinatie van de gebruikte Ingangeiì ea Uitgangen llMll, < y kan op!everer,.

In de context van IU selectie zullen deze condities in het vervolg de gelàigheidscondities genoemd worden. De hoofdgedachte achter de IU-selectie is nu als volgt. Allereerst worden de ontwerpeisen uitgedrukt in de filters V en W zodat een realistische systeembeschrijving verkregen wordt. Vervolgens worden alle combinaties van sensoren en actuatoren getoetst aan de 6 geldigheidscondities. Op het moment dat een IU-set niet aan een bepaalde conditie voldoet, is deze IU-set niet in staat het gewenste prestatieniveau te bereiken en valt deze af. De overige condities hoeven dan niet gecontroleerd te worden. De overgebleven combinaties van sensoren en actuatoren worden toelaatbaar genoemd. Op deze manier valt een groot aantal combinaties af. Verdere analyses zoals het tijdrovende proces van regelaarontwerp en simulaties hoeven dan voor minder IU-sets uitgevoerd te worden.

2.3

PU-selectie voor Niet-lineaire Systemen

Voor niet-lineaire systemen kan een equivalent % , -regelprobleem geformuleerd worden. Dit wordt ook wel "niet-lineair %!,-regelen" genoemd. Het is ook voor niet-lineare systemen mogelijk condities af te leiden zoals die voor het lineaire geval kort zijn beschreven. Als aan die condities is voldaan betekent dit dat er een regelaar bestaat die het gewenste prestatieniveau y bereikt. Het %!,-regelprobleem is lokaal oplosbaar als het %!,-regelprobleem voor het gelineariseerde systeem oplosbaar is. Helaas is het niet op voorhand mogelijk aan te geven in welk gebied de oplossing geldig is. In de praktijk is het doel veelal het regelen binnen een bepaalde range in plaats van slechts in één toestand. In dat geval kan de IU-selectie gebaseerd op linearisaties worden toegepast op een grid van toestanden. Dit wil zeggen dat men de IU-selectie uitvoerd op verschillende interressante toestanden. Als nu een IU-set toelaatbaar is voor alle onderzochte toestanden betekent dit dat er voor elke toestand een lineaire regelaar bestaat als oplossing van het %..-regelprobleem in de omgeving van deze toestand. Dit is echter geen garantie voor het geldig zijn van de IU-set tussen de verschillende onderzochte toestanden. Men kan verwachten dat de kans op het geldig zijn van een IU-set tussen de verschillende toestanden groter wordt naarmate de onderzochte toestanden dichter bij elkaar liggen. Met de beschreven IU-selectie zoals beschreven kan dus slechts een eerste indruk worden verkregen van de toelaatbaarheid van een IU-set. Verder onderzoek zal nodig zijn om de toelaatbaarheid verder te toetsen. Een mogelijke wijze wordt beschreven in de onderstaande stappen. Allereerst wordt voor elke onderzochte toestand een lineaire regelaar ontworpen. Vervolgens worden simulaties uitgevoerd van het gesloten systeem voor verschillende begintoestanden. Gekeken wordt of de gebieden waarin de ontworpen regelaars toelaatbaar zijn elkaar overlappen. Indien dit niet het geval is worden voor toestanden die niet binnen de overlappende gebieden liggen toelaatbare regelaars gezocht. Als de gebieden, waarin de IU-set toelaatbaar is, elkaar overlappen is de IU-set toelaatbaar in het hele gebied. Nu dit bekend is kan een geschikte regelaar ontworpen worden.

6

Hoofdstuk 3

Het Compressor Regelprobleem 3.1

Inleiding

In dit hoofdstuk wordt het compressor regelprobleem besproken. In paragraaf 3.2 wordt het model dat gebruikt wordt voor de Ingang Uitgang-selectie (IU-selectie) gepresenteerd. In paragraaf 3.3 worden de kandidaat sensoren en actuatoren besproken, waarna de specificaties in een dusdanige vorm worden geschreven dat ze in het model kunnen worden opgenomen. Ook zullen de verstoringen die van invloed zijn op het systeem worden gespecificeerd.

3.2

Het Compressor Model

In compressor systemen wordt de druk van een gasvormig medium verhoogd door het medium te versnellen in de rotor en vervolgens de kinetische energie om te zetten in potentiële energie. Er kan hierbij onderscheid gemaakt worden tussen axiale en radiale compressors. Bij axiale compressors verlaat het gasvormig medium de compressor in een richting evenwijdig aan de rotatieas, terwijl bij een radiaal compressor het medium de compressor verlaat in een richting loodrecht op de rotatieas. In dit verslag wordt gekeken naar een radiaal compressor, ook wel genoemd een centrifugaal compressor. Het werkgebied van een compressorsysteem wordt, voor lage massastromen, in het algemeen begrensd door het optreden van de twee instabiele stromingsverschijnselen: surge en rotating stall [4, 5,141. Surge kenmerkt zich door grote fluctuaties in de drukopbouw en in de massastroom door de compressor. Rotating stall is een lokale instabiliteit, waarbij de stroming door de compressor in één of meer langs de omtrek van de rotor bewegende gebieden stagneert. Deze verschijnselen leiden beide tot ongewenste mechanische en thermische belastingen. Ook reduceren ze de efficiëntie van het compressorsysteem aanzienlijk. Een mogelijkheid om het optreden van deze instabiliteiten te voorkomen is het toepassen van een aktieve regeling. In dit verslag wordt alleen gekeken naar het verschijnsel surge. De basis voor het compressor model zoals dat ten behoeve van de IU-selectie gebruikt gaat worden is het Greitzer model. Voor de afleiding hiervan wordt verwezen naar [4]. Het Greitzer model is grafisch weergegeven in Figuur 3.1. Het Greitzer model beschrijft de dimensieloze impulsbalans in het compressorkanaal en de dimensieloze massabalans in het plenum:

7

I

I

Figuur 3.1: Het Greitzer model

met

Hierin is T de dimensieloze tijd, qh de dimensieloze massastroom door de compressor, 4 de dimensieloze plenumdruk en B een van de geometrie afhankelijke dimensieloze parameter. QC(qh) is de stationaire compressorkarakteristiek en Q>s (S) representeert de belasting. Voor de betekenis van de andere symbolen wordt verwezen naar Bijlage A. Het model ten behoeve van de IU-selectie, waarin de verschillende actuatoren zijn opgenomen, is grafisch weergegeven in Figuur 3.2.

I

4

Figuur 3.2: Het model ten behoeve van de IU-selectie Het wiskundige model van dit systeem is afgeleid in Bijlage BI hier wordt alleen het uiteindelijke resultaat gepresenteerd:

8

In Tabel 3.3 zijn de in het model voorkomende regelingangen U I , . . . , u5 en de uitgangen y1, . . . , y7 weergegeven. Voor de betekenis van de overige symbolen wordt verwezen naar Appendix A.

3.3

Sensoren en Actuatoren

Het regelen van het compressorsysteem is natuurlijk alleen mogelijk indien er in het systeem sensoren en actuatoren aanwezig zijn, die verstoringen die surge veroorzaken kunnen detecteren en daar een bepaalde corrigerende aktie op kunnen laten volgen. In theorie is het toepassen van een enkele sensor en een enkele actuator voldoende voor stabilisatie, aangezien surge een l-dimensionaal fenomeen is ([13]). In de praktijk zijn er echter beperkingen die grenzen stellen aan wat een sensor kan registreren en de invloed van een actuator begrenzen. Ook zijn er altijd verstoringen aanwezig, wat tot gevolg heeft dat sommige sensoren danwel actuatoren beter geschikt zijn als regelsysteem dan andere. Ten gevolge van begrenzingen van de ingangen en beperkingen van de sensoren kan het zelfs zijn, dat het in de praktijk onmogelijk is om het compressorsyteem te stabiliseren met slechts één sensor en één actuator. Een oplossing kan dan zijn het toepassen van diverse sensoren en actUâtoïen in het systeem. Om een de IU-selectie uit te kunnen voeren waarbij rekening gehouden wordt met de beperkingen van de actuatoren en sensoren, dienen de verstoringen en prestaties van de sensoren en actuatoren gekwantificeerd te worden. Hiertoe zijn de vormfilters V en de weegfilters W ingevoerd, die betrekking hebben op de exogene variabelen ?u*, respectievelijk de te regelen variabelen 2.Deze variabelen zijn weergegeven in de Tabel 3.3. Om het rekenwerk t e beperken worden voor de filters diagonaalmatrices gekozen, waarbij de diagonaalelementen overdrachtsfuncties zijn van een lage orde. Er wordt verondersteld dat lage orde overdrachtsfuncties de werkelijkheid accuraat genoeg kunnen beschrijven.

9

Symbool -

w1

-

w2

203 -

wy Y1 Y2

Y3 Y4

Y5 Y6

y7 -

21

-

22

-

23 U

U1 UZ u3 'Il4 u5

Omschrijving Exogene variabelen E* Verstoring in de inlaatdruk Ap, Verstoring in de uitlaatflow AQ>T Verstoring in de compressordruk A@, Meetruis De gemeten variabelen y Massastroom stroomopwaarts van de air-injector . . . Massasiroom stroomafwaarts iiari de aiï-iiijectoi. (= massastroom door de compressor) Plenumdruk GP Druk vlak voor de compressor Statische druk vlak voor de compressor Druk vlak na de compressor Statische druk vlak na de compressor Te regelen variabelen Y* Dimensieloze massastroom stroomopwaarts van de air-injector 6, Dimensieloze massastroom stroomafwaarts van de air-injector '$d Dimensieloze plenumdruk GP Regelingangen Regelingangen Aangepaste parameter I<,, van de close-coupled valve Parameter I ( b p van de afblaasklep op het plenum Parameter Kbc van de afblaasklep op het compressorkanaal Snelheid van de zuiger/luidspreker w Dimensieloze air-injector druk $i

In de specificaties van de filters V en W , wordt de zogenaamde Helmholtz-frequentie W H (zie Bijlage A) gebruikt, om de frequentie-afhankelijke ontwerpparameters te schalen. De Helmholtzfrequentie correspondeert met de natuurlijke frequentie van de oscillaties van het gas in het plenum en compressorkanaal bij afwezigheid van compressor en belasting [13].

3.3.1

Vormfilters

In deze paragraaf worden de vormfilters V i , . . . Vg gespecificeerd die corresponderen met de exogene variabelen w. De vormfilters voor de verstoringen El7w2 en E 3 worden gekozen als volgt:

V-

vi

- S/Wi

+ 1, i =

1,2,3

(3.5)

Deze eerste orde overdrachtsfunctie representeert het karakter van de in het model opgenomen verstoringen. Voor lage frequenties geeft vi de grootte van de verstoringen weer. Verder geeft w i weer boven welke frequentie de verstoring klein is. De keuzes van de frequenties w ; en de statische versterking vi voor de verschillende verstoringen zal nu verder uitgewerkt worden. De keuze van deze parameters is gebaseerd op [13]. Verder zijn er verschillende parameters afhankelijk van het werkpunt (&o , $ d o , GPO), ofwel de nominale toestand.

e

Verstoring in de inlaatdruk El: Verondersteld wordt dat de typische frequentie waarmee deze verstoringen optreden 10 [Hz] of kleiner is, waaruit volgt dat w1 = 2 n 1 0 / w ~ . Verder wordt de statische versterking v1 vastgesteld op een fractie A1 = 0.01 van de dimensieloze omgevingsdruk: w1 = A1

o.sP;rrs.

10

= 27rlO/w~. = 0.10 van de nominale massastroom + d o ,

o Verstoring in de massauitstroom E Z : Ook hier wordt gekozen voor wz

De statische versterking wordt vastgelegd op waardoor volgt dat u2 = X2q5do. o

A2

Verstoring in de compressordruk 573: De verstoring in de compressordruk wordt verondersteld gerelateerd te zijn aan het toerental n van de rotor: w 3 = =, waarbij Nb het aantal bladen van de impeller is. De statische versterking 213 wordt vastgesteld op een fractie = 0.05 van de nominale plenumdruk $po in het werkpunt, dus v 3 = X3$,,.

In Figüür 3.3 zijn de voïrnfilteïs weeïgegeven bij het noxinale tûerenta! 3 0 = 25.OGC [omw/mir,], bij de nominale massastromen door de compressor van #do = F en +do = 3 F . Hierbij is zichtbaar dat VI onafhankelijk is van het nominale werkpunt. In deze figuur is ook V3 voor beide nominale werkpunten identiek. Dit komt omdat in deze werkpunten de nominale plenumdruk sipo gelijk is. V3 is echter wel degelijk een functie van de nominale toestand, hoewel dit dus niet zichtbaar is in de figuur.

Figuur 3.3: Vormfilters voor twee nominale massastromen, links voor q5do = 3F. (VI = -, V, = . . . en V3 = -.)

4do

= F en rechts voor

r De exogene variabelen 55 bevatten daarnaast ook de meetruis Ey = [=4 E 5 206 E7 578 Eg 55101. Een schatting van deze ruis is overgenomen uit [13], daar er uit wordt gegaan van gebruik van identieke sensors. De gebruikte vormfilters worden verondersteld een plat frequentiespectrum te hebben. De vormfilters zijn dan de volgende:

Hierbij wordt, op basis van experimentele data [13] van de meetruis, gekozen voor 81 = l.1010-3 [kg/s] en 8 2 = 220 [Pa]. De schalingen p,A,Us en zijn toegepast om de vormfilters dimensieloos te maken.

3.3.2

We egfilt ers

In deze paragraaf worden de weegfilters gespecificeerd voor de te regelen variabelen ??. In sommige gevallen worden , 4 d en $p meegewogen middels W1, W2 en W3. Dit kan noodzakelijk zijn om na het opleggen van de verstoringen het systeem weer in het oorspronkelijke werkpunt te krijgen. 11

Wanneer dit het geval is zal dit expliciet vermeld worden. Voor de eenvoud wordt gekozen voor de volgende constante weegfactoren:

wz

Pz = -

4do

(3.10) Doel hiervan is het schalen van de te regelen variabelen, zodat een betere vergelijking mogelijk is tussen &, 4 d t I/+ en de regelingangen us = [u1 U Z u3 u4 us]. De parameters p i , p2 en p3 kunnen gebruikt worden, om het relatieve belang van de verschillende te regelen variabelen t e kwantificeren. Deze parameters kunnen daarnaast gebruikt worden om het gedrag van het gesloten systeem te beïnvloeden, zodat deze aan de gestelde eisen voldoet. Daarnaast horen bij de te regelen variabelen de regelingangen us = [u1 U Z u3 u4 us].Middels de weegfactoren kan het gedrag van de verschillende actuatoren gespecificeerd worden. Hiermee kan bereikt worden dat de regelingangen binnen grenzen blijven die voor de diverse actuatoren van toepassing zijn. Allereerst zullen de weegfilters W4, W5 en w 6 voor respectievelijk de close-coupled valve en de afblaaskleppen beschouwd worden. De gebruikte filters zijn van dezelfde vorm als in [13], omdat uitgegaan wordt van identieke kleppen. Aangezien de bandbreedte van de kleppen beperkt is, krijgen W4, W5 en w6 de volgende vorm (zie Figuur 3.4): w 4

=

(3.11)

ws

=

(3.12)

ws

=

(3.13)

Om te kunnen voldoen aan de geldigheidscondities uit paragraaf 2.2 wordt parameter wo vastgelegd op W O = l o 6 . In [13] wordt dieper ingegaan op de gekozen vorm van deze filters. Verondersteld wordt dat zowel de close-coupled valve en de beide afblaaskleppen een bandbreedte hebben van 100[Hz], waardoor w4 = w5 = = 2 7 r 1 0 0 / w ~ .De afhankelijkheid van de weegfilters van u l o , U Z , en u3, wordt om twee redenen ingevoerd. Allereerst zijn er de fysieke beperkingen die opleggen dat u1, u2 en u3 binnen bepaalde grenzen moeten blijven. Daarnaast dienen de ingangen klein genoeg te zijn om met het gelineariseerde model nog betrouwbare resultaten te verkrijgen. De waarden voor u l o , U Z , en us0 wordt op de volgende wijze verkregen. Voor ulo wordt gesteld, dat de drukval over de close-coupled valve niet te groot mag zijn. De waarde wordt zo ingesteld dat het maximum van de equivalente compressorkarakteristiek 9,(q5d) @cc(q5u, $ d , u1, u3, us) slechts een fractie afwijkt van de situatie waarin de close-coupled valve volledig geopend is. Rekening houdend met het feit dat de drukopbouw maximaal is als 4 d = 2P volgt voor tilo: Ulo

=

4F2

+ rl(Qc0+ 2H)cf 4F2

(3.14)

Met ri = 0.02 en een toerental n = 25.000[omw/min] volgt hieruit voor u l o de waarde u l o = 1.1933. In Bijlage B is afgeleid dat de ingang u1 moet liggen tussen 1 en co. Om ervoor te zorgen dat de fout ten gevolge van de linearisatie niet te groot is worden de regelgrenzen van u1 vastgesteld op u1 E [i,2 ~ 1 , i]. Voor uz0, de nominale regelingang voor de afblaasklep op het plenum, wordt gesteld dat de maximale massastroom door de afblaasklep slechts een fractie ï 2 mag zijn van de totale massastroom

12

voor het werkpunt waarvoor geldt dat 6 d o = 2 F . Dit punt wordt gekozen omdat in dit werkpunt in het gebied 6 d o E [F,2 F ] de massastroom door de klep het grootst is. Hieruit volgt voor uZ0:

(3.15) Met een toerental n = 25.000[omw/min] en ï 2 = 0.02 volgt hieruit dat u2, = 0.0079. In Bijlage B is gesteld dat voor u2 moet gelden dat u2 E [O, 11. Ook hier wordt niet het volledige bereik van de klep benct om fouten ten gevolge van hearisatie te beperken. De regelgrenzen worden vastgesteld OP u2 E [O,2Uz01. Ook voor us0, de nominale regelingang voor de afblaasklep op het compressorkanaal, wordt gesteld dat de maximale massastroom door deze klep slechts een fractie î 3 mag bedragen van de totale massastroom voor het werkpunt waarvoor geldt dat 4 d o = 2 F . Ervan uitgaande dat de druk door de close-coupled-valve slechts beperkt gereduceerd wordt (het drukverschil over de close-coupled valve is maximaal een fractie îi van de nominale plenumdruk), geldt eenzelfde relatie als voor U Z , . Met r3 = 0.02 wordt voor us0 ook de waarde us, = 0.0079 verkregen. De regelgrenzen voor u3 zijn u3 E [O, 2 ~ 3 ~ 1 . Voor het variabel plenumvolume wordt gekozen voor het volgende weegfilter:

Met dit filter wordt beoogd zowel de maximale snelheid van de zuiger danwel het membraan van de luidspreker te beperken als ook de maximale verplaatsing binnen realistische grenzen te houden. De bandbreedte w7 en de maximaal toelaatbare snelheid en verplaatsing zijn afhankelijk van het type actuator dat gebruikt wordt. Voor een zuiger wordt een bandbreedte w7 = 2?r5o/wH representatief geacht, terwijl bij het gebruik van een luidspreker als actuator een waarde van w7 = 2 7 r 2 0 0 / w ~ realistischer is [a]. In dit verslag wordt in principe uitgegaan van een zuiger. Op plaatsen waar een luidspreker in plaats van een zuiger als actuator gebruikt is zal dat expliciet vermeld worden. De zuiger heeft een maximaal haalbare snelheid van i.O[m/s]. Aangezien de nominale snelheid u4, van de zuiger gelijk is aan O geldt dat ~4~, = l.O/w Hierin . is V, het plenumvolume en is A, Ap het oppervlak van de zuiger. De maximale verplaatsing wordt vastgesteld op 0.05[m], waaruit volgt dat de maximale dimensieloze verplaatsing gelijk is aan ~ 4 , , , , ~ = 0.05/% A,.

&

In W7 wordt de term gebruikt om het de maximale verplaatsing in rekening te brengen. In het geval dat E = O bevat het weegfilter een zuivere integrator. Dit heeft echter tot gevolg dat er een eigenwaarde van het systeem in de oorsprong komt te liggen die niet detecteerbaar is door CL. Dit heeft als gevolg dat niet voldaan kan worden aan de tweede en de zesde eis zoals die in het vorige hoofdstuk zijn beschreven. Om dit probleem te omzeilen wordt gebruik gemaakt van een "bijna integrator", door voor E de waarde E = te gebruiken (zie [13]). Als laatste wordt het filter voor de air-injector gekozen. Deze is van de vorm:

(3.17) Als bandbreedte van de air-injector wordt 200 [Hz] gekozen (zie [i]).De waarde van wg wordt dan wg = 27f200/wH. Aangenomen wordt dat de air-injector in het werkpunt waarvoor geldt dat 6 d o = F maximaal 0.05F kan inblazen. De hierbij behorende maximale injectordruk wordt als volgt bepaald. In stationaire toestand geldt dat:

q i u ( 6 u ,6 d )

1.3

+ u5 = 0

(3.18)

Als in de vergelijking voor *iy voor de dimensieloze massastroom stroomopwaarts van de airinjector & = 0.95F wordt genomen en voor de dimensieloze massastroom stroomafwaarts van de Om ervoor air-injector 4 d = F volgt hieruit een waarde voor de maximale injectordruk u5,,,. te zorgen dat regeling in beide richtingen mogelijk is, wordt de nominale waarde van de injectordruk gekozen op de helft van de maximale injectordruk ug,, = 0.5~5,~,. Bij een toerental n = 25.000[omw/min] volgt hieruit us0 = 0.0012. De maasa-instroom door de injector, bij een werkpunt met een nominale massastroom q4do = 2 F , bedraagt dan ongeveer 6.5% van de massastroom door de compressor. In Figuur 3.4 worden de weegfilters voor de ingangen weergegeven. Hierbij is voor de verschillende p's de waarde 1 gekozen. Deze p's kunnen in het vervolg gebruikt worden om het regelgedrag

dusdanig te beïnvloeden dat de verschillende regelingangen binnen de vastgestelde grenzen blijven. Weegfitters

1o"

+'

1o' 1o"

+++, IO"

Figuur 3.4: Weegfilters met p4 = p5 = -., W7 = . . en W8 = +)

1'O

1OU Frequentie

p6

=

p71

14

=

p72

,

, 1o'

,

1o"

= p~ = 1. (W4 = -, W5 = --,

w6=

Hoofdstuk 4

Resultaten van de IU-selectie 4.1

Inleiding

In dit hoofdstuk zullen de resultaten besproken worden van de verschillende uitgevoerde analyses. In paragraaf 4.2 wordt de volledige IU-set geanalyseerd. Vervolgens wordt in paragraaf 4.4 de IU-selectie uitgevoerd.

4.2

?-Lm optimalisatie voor de volledige IU set

In deze paragraaf wordt gekeken naar de volledige IU-set. Om te beginnen worden X m optimalisaties en simulaties uitgevoerd om geschikte parameters van de weegfilters te vinden. Vervolgens zal met die parameterinstellingen de invloed van meetruis en ingangsweging op de norm llM1lm onderzocht worden. Verder zullen de resultaten vergeleken worden bij verschillende compressortoerentallen en nominale werkpunten. Het doel van de regelaar bestaat uit het stabiliseren van het compressorsysteem onder invloed van verstoringen, hierbij rekening houdend met fysieke beperkingen van actuatoren en het optreden van meetruis. De fysieke beperkingen komen tot uitdrukking in een maximale toegestane waarde , norm van de ingangen U I , . . . , u5 en de integraal van 214. De L , norm van een signaal van de C u;(t) is als volgt gedefiniëerd:

Om geschikte waarden van de verschillende p’s in de weegfilters van u te vinden wordt de volgende procedure gevolgd. Allereerst wordt voor de te bestuderen nominale toestand de open-loop versterking bepaald. Hiermee wordt een eerste schatting gemaakt van de verhouding tussen verschillende p’s. Vervolgens wordt een X, optimalisatie uitgevoerd. Vervolgens wordt het gelineariseerde systeem gesimuleerd. Afhankelijk van de resulterende piekwaarden van de verschillende ingangen worden de parameters p4,. . . , pg aangepast. Zo wordt bijvoorbeeld, als u1 de maximale toegestane waarde overschrijdt, de bijbehorende waarde p4 verhoogd. Indien u1 binnen de toegestane grenzen blijft wordt de waarde van p4 verkleind. Met deze nieuwe instellingen wordt wederom een Xm optimalisatie uitgevoerd en wordt het gesloten systeem opnieuw gesimuleerd. Deze procedure wordt herhaald tot voor de verschillende p’s instellingen zijn bereikt waarbij de regelgrenzen niet overschreden worden. Het toerental dat bij deze simulaties gebruikt wordt bedraagt n = 25.000 [omw/min]. De aandacht zal allereerst uitgaan naar het werkpunt waarbij #do = F , aangezien dat het werkpunt is met de eigenwaarde van het systeem met het grootste positieve reële deel. Dientengevolge valt te verwachten dat dit werkpunt de meeste problemen op zou kunnen leveren bij het stabiliseren van 15

het systeem Het gedrag van het gesloten systeem wordt als volgt beoordeeld. Vanuit een stationair werkpunt (&o, # d o , GPO)worden de volgende drie verstoringen opgelegd aan het gesloten systeem [13]: wl(t)

= fvlexp(-wlt}

t E [O,t,],

(4.2)

t E [O, At11 h w 2 exp {-wz(t - At)} t E [At, t e ] -

uJ3(t)

=

{

O *‘u3

(4.3)

t E [O, 2At], (4.4)

exp{-u3(t - Lat)} t E [2At,t,]

In deze vergelijkingen is t, de dimensieloze eindtijd en is At = 2 de dimensieloze tijd tussen de verstoringen. Verder kunnen met betrekking tot de verstoringen de volgende opmerkingen gemaakt worden: 1. De f in vergelijkingen 4.2, 4.3 en 4.4 geven aan in welke richting de verstoringen optreden. 2. De verstoringen El, en O 3 zijn van de klasse die beschreven wordt door de vormfilters VI, V2 en V3 zoals die in paragraaf 3.3.1 zijn beschreven. In feite zijn VI, V2 en V3 direct gerelateerd aan de Laplace transformaties van de verstoringen. Hoewel de verstoringen al, wz en E3 geen fysisch reële verstoringen zijn, worden ze toch gebruikt. Reden hiervoor is dat ze het meest ongunstige geval representeren van de verstoringen zoals die middels de vormfilters zijn gemodelleerd. 3. De invloed van de verstoring O1 ( E Z )is te verwaarlozen wanneer verstoring O 2 (Es) op t = At (t = 2At) wordt opgelegd aan het systeem: = = 2.10 De verstoring E3 is gerelateerd aan het toerental en is dientengevolge veel sneller dan El en E Z : w 1 = w2 = 3.08 terwijl w3 = 7.70 10’. Naast deze verstoringen kan tijdens de simulaties meetruis worden toegevoegd. Deze ruis wordt gekarakteriseerd door uniform verdeelde random signalen in de intervallen [-E, i = 4 , . . . , 9.

x3,

Allereerst wordt dus de open-loop gain van de ingangen u1 , . . . , u5 voor het systeem bepaald met het nominale werkpunt waarvoor geldt dat $do = F . De open-loop gain is weergegeven in Figuur 4.1. Hierin is de open-loop gain geschaald met de desbetreffende maximale regelingang om zo een ’eeïlijke’ vergelijking te kur,ner, maken tussen de verschillende actuatoren. Uit deze figuur wordt duidelijk dat de keuze van de verhoudingen tussen de verschillende p’s op basis van de open-loop gain sterk afhangt van de waarde van de dimensieloze frequentie w. Om een verstandige keuze te kunnen doen wordt de open-loop gain bepaald voor de verstoringen O. Hieruit zou dan blijken bij welke frequentie de open-loop gain van de verstoringen het grootst is. Die frequentie wordt dan als basis genomen voor de eerste keuze van de p’s. De open-loop gain van de verschillende verstoringen is weergegeven in Figuur 4.2. Uit deze figuur blijkt dat de maximale open-loop gain van de verstoringen optreedt in het gebied tussen w = 10-1 en w = 10’. De eerste schatting van de te gebruiken p’s wordt dan ook gemaakt met behulp van Figuur 4.1 bij een frequentie w = 10’. De parameters pi, pa en p3 uit de weegfilters VVI, W2 en Ws krijgen de waarde nul toegekend. Verder wordt ook aan de parameter p72 de waarde nul toegekend. Dit betekent dat de positie van de movable wall niet meegewogen wordt. De eerste

16

Figuur 4.1: Open-loop gain van de ingangen ü naar de toestanden (u1 = -, u2 = --, u3 = -., u4 = . . . en u5 = +)

100

10"

10-2

1 0 . '

100

10' Frequenae s

io*

101

$hd

en

&

met

#do

= F.

.

10s

10'

-

Figuur 4.2: Open-loop gain van de verstoringen w naar de toestanden (201 = -, w2 = -- en w3 = . . .)

$d

en

GP met

4d,,

= F.

schatting voor p4, p5, p6, p71 en pa is de volgende: p4

:

p5 p6

:

p71

:

10-1

ps

:

10-~

Met deze instellingen wordt een 'ffm optimalisatie uitgevoerd. Vervolgens wordt een simulatie uitgevoerd van het gelineariseerde gesloten systeem met de eerder beschreven verstoringen. Hieruit blijkt echter, dat de ingangen niet binnen de vastgestelde regelgrenzen blijven. Om de regelingangen binnen de toegestane grenzen te dwingen worden de p's vergroot. Opnieuw wordt een '&,-optimalisatie uitgevoerd, waarna het gesloten systeem opnieuw gesimuleerd wordt. Het blijkt echter niet mogelijk te zijn om, met de gebruikte methode van regelaarontwerp en de opgelegde verstoringen, een regelaar te ontwerpen waarbij de regelingangen binnen de grenzen blijven. Dien-

17

tengevolge kunnen we concluderen dat het met de gebruikte methode van regelaarontwerp, voor de opgelegde verstoringen en met de gebruikte actuatoren, niet mogelijk is een regelaar te vinden die het systeem in het werkpunt met # d o = F in voldoende mate stabiliseerd.

Om in dit werkpunt toch tot een stabiel gesloten systeem te komen, kunnen verschillende methoden worden gevolgd. Om te beginnen is de keuze van de gebruikte verstoringen mogelijk wel zeer pessimistisch. indien uit een heroverweging van de verstoringen blijkt dat dit inderdaad het geval is kan het systeem geanalyseerd worden bij kleinere verstoringen, waarmee het met de gebruikte methode wei mogelijk kan zijn een geschiiite regelaar te ontwerpen. Aangezien ei op dit moment echter geen verdere gegevens over de grootte van de werkelijk optredende verstoringen beschikbaar zijn wordt er voor gekozen om de gebruikte verstoringen niet te veranderen. Daarnaast kan er voor gekozen worden om gebruik te maken van betere actuatoren. Met betere actuatoren wordt hier bijvoorbeeld een hogere bandbreedte van de kleppen of een hogere maximale snelheid van de zuiger bedoeld. Ook wordt gekeken naar de situatie waarbij de zuiger vervangen is door een luidspreker. Ook kan de invloed van het verhogen van de maximale air-injector druk bepaald worden. Tenslotte kan er gekozen worden voor de mogelijkheid om de nominale instellingen van de actuatoren aan te passen. Dit gaat echter ten koste van de efficiëntie van het systeem. Begonnen wordt met het aanpassen van de gebruikte actuatoren. Indien men een luidspreker implementeert in plaats van een zuiger, dient het model op de volgende wijze aangepast worden. In paragraaf 3.3.2 is reeds vermeld dat een geschikte bandbreedte van de luidspreker 200 [Hz] bedraagt. Dit betekent dat w7 = 2 7 r 2 0 0 / w ~ . De maximale snelheid wordt geschat op 10 [m/s], waaruit volgt dat u4maz,1= l O / y . De maximale verplaatsing wordt verondersteld 0.01 [m] te bedragen. Hieruit volgt dat u4maz,2 = O.Ol/z. Het blijkt echter dat ook in deze situatie, dus met de beschreven verstoringen, de volledige IU-set niet leidt tot een toelaatbare oplossing. Vervolgens wordt de close-coupled valve aangepast. Om te beginnen wordt een twee maal zo grote klep gekozen. Dit betekent dat in dit geval = 320[m3/uur]. Dit leidt echter niet tot een oplossing die in staat is tot het stabiliseren van het systeem zonder dat de gestelde grenzen voor de actuatoren overschreden worden. Ook het verdubbelen van de bandbreedte van de close-coupled valve tot 200 [Hz] en vergroten van de afòlaaskleppen en het verhogen van de bandbreedte van deze kleppen leidt niet tot een toelaatbare oplossing. Het verhogen van de maximale air-injectordruk zodat maximaal 0.1F kan worden ingeblazen en het verdubbelen van de bandbreedte heeft wederom niet een stabiel gesloten systeem tot gevolg waarbij de regelingangen binnen de gestelde grenzen blijven. Ook het gelijktijdig doorvoeren van de hiervoor aangegeven aanpassingen leidt niet tot een oplossing die aan de gestelde eisen voldoet. Aangezien de beschreven aanpassingen niet tot het gewenste resultaat leiden wordt een andere methode gevolgd om het systeem te stabiliseren. De nominale instellingen van de regelaars zijn namelijk zo gekozen dat de efficiëntie van het compressorsysteem daar niet al te zeer onder lijdt. De keuze van deze instellingen is echter nogal arbitrair. Om deze reden wordt gekeken naar de invloed van een verandering van de nominale instellingen en daarmee de regelgrenzen. Hierbij dient men echter ook rekening te houden met het feit dat het model waarvoor we de regelaar ontwerpen gelineariseerd is. De regelgrenzen mogen daarom niet te ver afwijken van de nominale toestand omdat anders de fouten ten gevolge van de linearisatie groter zullen worden. De kans dat een gevonden regelaar voor het lineaire model ook in staat is het niet-lineaire model accuraat te kunnen regelen wordt daarmee verkleind. Om deze reden wordt gekozen voor de volgende aanpassingen : o

I'l = 0.05 voor de close-coupled valve, waaruit volgt dat ulo = 1.4831,

18

o

rz = î 3 = 0.05 voor de beide af’blaaskleppen, waaruit volgt dat uz0 = us0 = 0.0197.

Met deze aanpassingen is opnieuw de iteratieve procedure van ?&-optimalisaties, simulaties en aanpassen van ontwerpparameters p 4 , . . . , ps doorlopen. Ook met deze aanpassingen bleek het echter onmogelijk een regelaar te ontwerpen die het systeem voldoende stabiliseert, zonder dat de regelgrenzen overschreden worden. Zelfs het tegelijkertijd ’vergroten’ van de actuatoren en het veranderen van de nominale instellingen leidt niet tot een situatie waarin een regelaar kan worden ontworpen waarmee bij de opgelegde verstoringen de ingangen binnen de gestelde grenzen blijven. Hierbij dient opgemerkt te worden dat het stabiiiseren van het systeem wei mogeiijk is indien men nog betere actuatoren in het systeem opneemt. Ook het verder aanpassen van de nominale instellingen heeft uiteindelijk een systeem tot gevolg dat in het hele werkgebied stabiel is. De benodigde aanpassingen aan de actuatoren zijn echter dermate dat deze fysisch niet realistisch zijn. Ook de veranderingen in de nominale toestand hebben een dermate grote invloed op d e efficiëntie van het systeem dat deze aanpassingen onwenselijk zouden zijn. Aangezien het met de beschreven aanpassingen aan de actuatoren niet mogelijk is om het systeem in het betreffende werkpunt te stabiliseren, lijkt het zinvoller om het systeem te analyseren in een ander werkpunt. Gekozen wordt voor een werkpunt waarbij het open systeem net niet stabiel is. Hiermee wordt bedoeld dat het systeem stabiel is, zonder dat de actuatoren daadwerkelijk als regelmogelijkheden benut wordt. Het gelineariseerde systeem is nominaal stabiel indien het reële deel van alle eigenwaarden van het gelineariseerde systeem kleiner is dan nul. Om een schatting t e kunnen maken van de nominale massastroom waarvoor het systeem nominaal stabiel is, worden van het ongeregelde systeem in diverse werkpunten de eigenwaarden bepaald. In Figuur 4.3 zijn de reële delen van de eigenwaarden van het systeem weergegeven in het interval 4 d o E [F,28’1. In deze figuur is niet goed zichtbaar voor welke waarde van $do het reële deel van de eigenwaarden negatief zijn. Om deze reden zijn in Figuur 4.4 de grootste eigenwaarden weergegeven in het interval $ d o E [1.3F, 1.6FI. Uit Figuur 4.4 blijkt dat de grens van nominale stabiliteit, bij het gebruikte toerental van 25.000 [omw/min], met e1 = 0.3319 en u l o = 1.1933, ligt in de buurt van het werkpunt waarvoor geldt dat $ d o = 1.41F. Het werkpunt dat gekozen wordt voor de volgende analyse is het werkpunt waarvoor geldt $dn = 1.3F. Om een allereerste schatting voor de ontwerpparameters p 4 , p5, p 6 , p71 en p 8 te kunnen maken wordt de open-loop gain bepaald van de verstoringen en de verschillende actuatoren in het nieuwe werkpunt. De open-loop gain van de verstoringen is weergegeven in Figuur 4.5, de open-loop gain van de ingangen is weergegeven in Figuur 4.6. De parameters pi, p~ en p3 uit de weegfilters Wl , W2 en W3 hebben zoals reeds eerder vermeld de waarde nul. Verder wordt ook aan de parameter p7* de waarde nul toegekend. Dit betekent dat de positie van de movable wall niet meegewogen wordt. De eerste (grove) schatting voor p 4 , p 5 , p 6 , ~7~ en p8 is de volgende:

Met deze instellingen wordt de eerder beschreven iteratieve procedure gevolgd, om tot een betere instelling van de ontwerpparameters te komen. Ook in dit geval blijkt het echter onmogelijk te zijn om een regelaar te ontwerpen die bij de aan het systeem opgelegde verstoringen niet tot overschrijding van de regelgrenzen leidt. In de Figuren 4.7 en 4.8 zijn de resultaten weergegeven van 19

O

-20

-40 a,

Pm m

2a,

-60

u) .al

a,

-80

a, a, a,

IT

-1 O0

-1 20

-140

-1 60

I

I

I

I

I

I

I

I

Nominale massastroom

Figuur 4.3: Eigenwaarden van het systeem op het interval

20

ddo

E [F,28’1

I

-4’

I

I

I

I

I

Nominale massastroom

Figuur 4.4: Eigenwaarden van het systeem op het interval

21

4do

E [1.3F,1.63’1

lo'

,

,

, ,

,,,,,,

, , ,

,

,,,

. , open;~venlejng

,aar,",

, , ,,,,,

, ,

,

, ,,,,,

, ,

,,,,,i

10.'' 10'

10-

10"

10.'

10'

10'

102

10%

104

Frequentieo

-

Figuur 4.5: Open-loop gain van de verstoringen w naar de toestanden (w1= -, w2 = -- en w3 = . . .) lo'

,

, , , , ,,,,,

, , , ,,

,,,,

,

,

op"-loopYerJiel
, , , ,,,,

, , , ,,,,,I

$d

en $;, met

$do

= 1.3F

, , ,

, O P

io4

' '

"""' io-'

'

'

"""' '.01

'

'

"""'

ioo

'

'

"""'

.

'

to1

"""' 10%

'

'

"""'

'

io'

'

"."' io'

'

'

.....,I 10'

Frequentiew

Figuur 4.6: Open-loop gain van de ingangen ü naar de toestanden (u11-, u2 = --, u g 1-. , u4 = . . . en u5 = +)

dd

en

~ ;met , c$do

= 1.3F

een simulatie met de bijbehorende ingangen. Zichtbaar is dat alle ingangen de regelgrenzen ruim overschrijden, terwijl het werkpunt relatief dicht in de buurt van het werkpunt ligt dat nominaal stabiel is. Na verdere analyse van het systeem blijkt de situatie als volgt. Voor massastromen c$do die 'iets' kleiner dan q5do = 1.41F is het onmogelijk het systeem te stabiliseren zonder dat de regelgrenzen overschreden worden. Voor waarden van d d o die 'iets' groter zijn dan +do = 1.41F is het ongeregelde systeem al stabiel. Bij het gebruik van een regelaar wordt daarmee de norm van het gesloten systeem llM1lm vrijwel gelijk aan de bij de berekening gebruikte tolerantie (to2 = Indien men in dit geval de ingangen niet meeweegt (p4, . . . , pg = l o w 5 ) blijkt dat bij een nominale massastroom d d o = 1.45F,de ingang u5 (air-injector) de regelgrenzen overschrijdt. Om dit te voorkomen dient deze ingang wel meegewogen te worden. Het meewegen van de ingangen heeft echter nauwelijks verslechtering van de IIM1lm-norm tot gevolg. Zelfs als voor alle ontwerpparameters p4,. . . , pg de waarde 0.1 wordt gekozen is de norm van het gesloten systeem nog steeds nagenoeg gelijk aan de gebruikte tolerantie. In de Figuren 4.9 en 4.10 zijn de resultaten weerge-

22

_ .

I

, /

4

5

!

6

tijd tau

Figuur 4.7: Simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt

0.5 Cu

3I

Cu

= 1.33'.

0.01

7

o!

4do

3'

01

cl) Cu

0-

0 - -0.01

Y

O -

' i ! o -0.02

I

0.05 I

o.o1

d I o! Cu 3 Y

O -

-0.02'

d

I

O

2

4

6

8

-0.05' O

2

4

6

8

-0.05' O

I

2

4

6

8

2

4

6

8

I

3

I

-2'

O

i

Figuur 4.8: Regelingangen behorende bij de simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt 4 d o = 1.3F.

23

iijd tau

Figuur 4.9: Simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt

4do = 1.453’.

geven van een simulatie in dit werkpunt. Hierbij zijn de ontwerpparameters zo gekozen dat de ingangen in verhouding met de bijbehorende grenzen ongeveer even groot zijn. Met ’iets’ kleiner respectievelijk ’iets’ groter in de vorige stellingen wordt het volgende bedoeld. Rond het gevonden werkpunt +do = 1.415’ ligt namelijk een klein gebiedje waarin met een regelaar het systeem nog wel stabiliteit respectievelijk verkleining van de ((M((,-norm bereikt kan worden. Er kan dus geconcludeerd worden dat het gebied waarin het compressorsysteem stabiel is met de gebruikte actuatoren vooral afhangt van de nominale instelling van de close-coupled valve. Toevoegen van een regelaar en implementatie van andere actuatoren heeft in dit geval geen grote verbetering van de IIMll,-norm tot gevolg. Het compressorsysteem is ook voor andere nominale instellingen van de close-coupled valve geanalyseerd. Hieruit blijkt dat ook in deze gevallen zich eenzelfde situatie voordoet. Dat alleen de nominale toestand van de close-coupled valve de stabiliteit bepaald, wordt met name veroorzaakt door het relatief ’steil’ zijn van de compressorkarakteristiek. Het is te verwachten dat voor een ’vlakkere’ compressorkarakteristiek de nominale toestand van de close-coupled valve minder invloed heeft op de stabiliteit van het systeem. In dit geval is het gebied dat met het gebruik van een aktieve regeling gestabiliseerd kan worden groter. Ook zijn analyses van het compressorsysteem uitgevoerd voor andere toerentallen van de compressor. Het blijkt echter dat ook in die gevallen zich eenzelfde situatie voordoet, namelijk dat enkel de nominale instelling van de close-coupled valve bepaald voor welke werkpunten het systeem stabiel is. Toevoegen van een aktieve regeling heeft in dit geval wederom geen toegevoegde waarde. Nu doet zich dus de volgende situatie voor; in het gebied waar $ d o ’iets’ kleiner is dan qhdo = 1.413’ is het met geen enkele van de gebruikte actuatoren met de daarbij gestelde grenzen aan de ingangen mogeIijk om het systeem te stabiliseren, waardoor er geen uitspraak kan worden gedaan over de invloed van meetruis of de invloed van het al dan niet meewegen van de toestand. In het gebied waar dd,, ’iets’ groter is dan $do = 1.41F, hebben de verschillende actuatoren geen verbetering van de %,-norm van het systeem tot gevolg, aangezien deze zonder regelaar al gelijk is aan de tolerantie van de berekeningen. De invloed van de meetruis wordt bepaald bij een analyse in het kleine gebiedje rond het punt $do = 1.41F dat niet nominaal stabiel is, maar dat middels aktieve regeling wel gestabiliseerd kan worden. Indien in dit gebied het systeem ook gestabiliseerd kan worden onder invloed van meetruis, zonder dat de regelgrenzen overschreden worden, is het te verwachten dat dit het geval zal zijn voor het gehele gebied met een grotere nominale massastroom. Als dat het geval is, is het al dan niet stabiel zijn van het systeem dus onafhankelijk van de aanwezig-

24

I

-0.2’ O

2

4

6

-0.01

8

’

O

I

2

4

6

0.05 I

8 I

I

ml 3

-0.01

’

I

2

O

4

6

-0.05’ O

8

I

2

4

6

8

2 d 3I

0

-0.05‘ O

.

0

5

r

I

2

4

6

-21 O

8

2

4

6

8

tijd tau

tijd tau

Figuur 4.10: Regelingangen behorende bij de simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt $do = 1.45F.

25

heid van meetruis. In het genoemde gebied zal ook de invloed van toestandweging bepaald worden. Uit analyse blijkt dat het werkpunt met +do = 1.419 binnen het (erg kleine) gebiedje valt dat in nominale toestand niet stabiel is, maar dat door aktieve regeling nog wel gestabiliseerd kan worden. Na het doorlopen van de iteratieve procedure van achtereenvolgende ‘Hm-optimalisaties en simulaties worden de volgende instellingen van de ontwerpparameters bereikt: p4

:

0.0609

p5

:

0.0103

ptj

:

0.0229

~7~

:

pF3

0.1146

3.0730

Met deze waarden voor de ontwerpparameters wordt een norm ,ereikt van het gelineariseerc e gesloten systeem llM1lw = 0.1009. Hierbij blijven alle regelingangen binnen de gestelde grenzen. Hoewel de verplaatsing van de movable wall niet is meegewogen, blijkt ook die binnen de vastgestelde grenzen te blijven. Met deze instellingen wordt het geregelde gelineariseerde systeem gesimuleerd. De simulaties worden uitgevoerd voor het werkpunt met (bda = 1.4198’. Ook zal de invloed van het toevoegen van meetruis en het meewegen van de toestanden &, # d en Gp beoordeeld worden. In Tabel 4.2 is een overzicht gegeven van de waarden van de ontwerpparameters.

Ingangweging

Meegewogen el = 1.10.10-5 e 2 = 2.20.102 p4 = 0.0609 p5 = 0.0103 p6 = 0.0229 p71 = 0.1146 pa = 3.0730

Toestandweging

pl

Meetruis

pa

= 10-1 = 10-1

Niet meegewogen Q~ = 10-4 01 = 10 p4 = 10-5 p5 = 10-5 p6 = i o w 5 p71 = l o p 5 = 10-5 pi = 10-5 Pa = 10-5

In de Figuren 4.11 en 4.12 worden de resultaten van de simulaties weergegeven. De bijbehorende regelingangen zijn weergegeven in Figuren 4.13 en 4.14. In Figuur 4.11 is zichtbaar dat het al dan niet aanwezig zijn van meetruis nauwelijks invloed heeft op de prestatie van het systeem. Uit Figuur 4.13 blijkt dat ook de regelgrenzen bij het aanwezig zijn van meetruis, met de gekozen ontwerpparameters, binnen de vastgestelde grenzen blijven. Er kan dus geconcludeerd worden dat meetruis niet van invloed is op de stabiliteit van het systeem. In de Figuren 4.11 en 4.12 is zichtbaar dat meewegen van de toestandsvariabelen &, 4 d en GP een snellere en kleinere respons tot gevolg heeft. Uit Figuur 4.14 blijkt echter dat door het meewegen van de toestand bij de huidige instellingen van de ontwerpparameters de grenzen van de ingangen overschreden worden. Het is wel mogelijk de weegfactoren zo aan te passen dat de regelgrenzen niet overschreden worden. Dit gaat dan wel ten koste van de respons van het systeem. In het volgende zal nog enige aandacht besteedt worden aan de prestaties van het systeem voor andere nominale massastromen dan 4 d o = 1.419. Zoals reeds is gebleken is het niet mogelijk om voor kleinere massastromen het systeem te stabiliseren zonder de regelgrenzen te overschrijden.

26

Figuur 4.11: Simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt met ingangweging. Simulaties: zonder meetruis = -, met meetruis = --.

$do

= 1.419F

I

i

2

3

4

5

6

7

mjd 7

Figuur 4.12: Simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt q5do = 1.419F met ingang- en toestandweging. Simulaties: zonder meetruis = -, met meetruis = --.

27

0.01 I 7

1

0.1

3

-0.2

0.005 3

'

I 2

O

4

6

0.01 I

0.005 3

-0.01

al c

c

-0.01

8

O

'

2

4

6

8

'

2

4

6

8

O

2

4 Tijd z

6

8

I

t

'

I 2

O

4

6

-0.04

O

8

I

o b - /

p 0.02 0 .

m

I

0

4

-

1

- -0.02

-0.04

O

2

4 Tijd 7

6

-2'

a

I

Figuur 4.13: Regelingangen behorende bij de simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt 4 d o = 1.419F, zonder dat de toestanden meegewogen worden. De regelgrenzen worden weergegeven door de doorgetrokken rechte lijnen. Voor alle plots geldt: zonder meetruis - -, met meetruis = --. -

28

Y

3 -0.01 -1

'

O

2

4

6

I 8

-0.02

'

'

O

I

2

4

6

0.04 I

8 I

-0.02

-0.04

'

O

t

2

4

6

-0.04

8

O

2

4

6

8

x I"

3d

I

I

0.02 0.04----7

-0.04

'

O

I

2

4 Tijd T

6

-5

8

O

2

4 Tijd 7

6

8

Figuur 4.14: Regelingangen behorende bij de simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt $do = 1.419F, waarbij de toestanden meegewogen wordt. De regelgrenzen worden weergegeven door de doorgetrokken rechte lijnen. Voor alle plots geldt: zonder meetruis = -, met meetruis = --.

29

i.

y

‘. ‘.

\.

‘. -.

y.

\

\

._ .

!

1o-6

I

I

I

I

I

Figuur 4.15: H,-normen van het gesloten systeem voor de nominale massastromen +do E [1.4F, 2.13‘1, zonder ingangweging = -, met ingangweging = -- en met ingangweging en meetruis - ’. . . 7 .

Dit gebied zal dan ook buiten beschouwing gelaten worden. Wel is het interessant om te controleren of het meewegen van de ingangen inderdaad slechts een geringe invloed heeft op de %,-norm van het gesloten systeem. Hiertoe wordt de norm van het gesloten systeem bepaald in het gebied tussen d d o = 1.43’ en 4 d o = 2 . W . De norm wordt bepaald zonder ingangweging en met ingangweging. Ook wordt de invloed van meetruis op de norm van het systeem bepaald. Bij de analyse worden de ontwerpparameters gebruikt, zoals die voor het werkpunt met 4 d o = 1.4193’ gevonden zijn. In figuur 4.15 zijn de resultaten van de H,-optimalisaties weergegeven. Het interval waarop de analyse is uitgevoerd is dus 4do E [1.4F, 2.13’1. In Figuur 4.15 zichtbaar dat alleen in het meest linkse gebied, waar voor de massastroom geldt dat +do 1.43’, verschillen optreden. In dit gebied blijken bij simulaties van het systeem zonder ingangweging de ingangen de regelgrenzen te overschrijden. Het meewegen van de ingangen zorgt er weliswaar voor dat de norm van het gesloten systeem groter wordt, maar zorgt er tevens voor dat in dat gebied de regelgrenzen niet meer overschreden worden. Indien men in het meest linkse gebied de simulaties uitvoert zonder het systeem aktief te regelen is dit gebied instabiel. Verder blijkt uit de figuur dat het al dan niet meemodelleren van meetruis geen invloed heeft op de norm van het gesloten systeem (de lijnen vallen over elkaar). Ook heeft het aanwezig zijn van meetruis geen overschrijding van de regelgrenzen tot gevolg.

30

Figuur 4.16: Simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt sinusvormige verstoring in de inlaatdruk.

4.3

4do

= F , bij een

Alternatieve verstoring van de inlaatdruk

Uit het voorgaande bleek dat met de gebruikte methode van regelaarontwerp er geen regelaar gevonden kan worden die in staat is de aan de eisen voor de prestatie t e voldoen bij de gebruikte verstoringen. Dat dit afhankelijk is van de vorm van de verstoring blijkt uit het feit dat het met een ander type verstoring wel mogelijk is om een regelaar te ontwerpen die voldoet aan de eisen voor de prestatie zonder de regelgrenzen te overschrijden. Als alternatieve verstoring van de inlaatdruk wordt een sinusvormig signaal gekozen: -

Wl(t)

= vlsin(2?Tfst)

(4.5)

Hierin is de amplitude w1 = X i o,5~,oT gelijk aan de amplitude van de eerder gebruikte verstoring en is fs gelijk aan de frequentie waarmee in het ongeregelde systeem het verschijnsel surge optreedt. Met de volledige IU-set wordt, in het werkpunt waarvoor geldt dat q4do = F, het iteratieve proces van regelaarontwerp en simulaties doorlopen. Het blijkt dat, om ervoor te zorgen dat de grenzen die opgelegd zijn aan de positie van de zuiger niet te overschrijden, het noodzakelijk is dat p72 ongelijk is aan 3. Ook de positie vzii de zuiger dient in dit geval d w mxgewoger, te worder,. Na drie iteraties wordt een norm van het gesloten systeem bereikt van IIMII FI: 0.0681. De hierbij behorende waarden van de verschillende p’s zijn: p4 p5

0.0066 : 0.0034 :

pfj : 0.0033 ~7~ ~7~

pg

0.0017 : 0.0196 : 0.9940 :

In Figuur 4.16 zijn de resultaten weergegeven van de simulatie. In Figuur 4.17 zijn de bij de simulatie behorende regelingangen weergegeven. Uit de resultaten blijkt dat het sterk afhankelijk is van de opgelegde verstoringen of er met de gebruikte methode van regelaarontwerp een regelaar kan worden gevonden die aan de gestelde eisen voor de prestatie voldoet.

31

0.01 I

-0.2'

O

20

40

I

-0.01

60

'

O

20

40

60

20

40

60

20

40

60

0.05

*1

c)

I

S

sa

S

o

2 a Y

Y

O -

O -

I

-0.01 I

O

d

o.

I I

20

40

60

20

40

60

-0.05'

O

I

3

-0.05'

O

-21

I

O

tijd tau

I

tijd tau

Figuur 4.17: Regelingangen behorende bij de simulaties van het gesloten gelineariseerde systeem in het werkpunt $do = F , bij een sinusvormige verstoring van de inlaatdruk. De regelgrenzen worden weergegeven door de doorgetrokken rechte lijnen.

32

4.4

IU-selectie

Uit het bovenstaande volgt, omdat de stabiliteit vrijwel alleen afhangt van de nominale instelling van de close-coupled valve, dat het alleen in het hele kleine gebiedje rond $hdo = 1 . 4 F van belang is welke actuatoren of sensoren naast de close-coupled valve in het systeem zijn opgenomen. Voor de prestatie van het systeem in andere werkpunten heeft het aanwezig zijn van andere actuatoren geen verandering in de prestatie tot gevolg. Een direct gevolg hiervan, is dat een IU-selectie zoals die is uitgevoerd in [13] onmogelijk is. Op voorhand kan namelijk gesteld worden dat in het gebied 4do E [F,M 2F3 met de gehrzikte methede van ITJ-sekctie a h e r , de IU-sets wziarin de c!ose-coxn!ec! r valve is opgenomen toelaatbaar zijn en waarbij het simuleren van het systeem geen overschrijding van de regelgrenzen tot gevolg heeft. Om dit te controleren wordt eerst het toelaatbaar zijn van de typische IU-sets gecontroleerd. De typische IU-sets zijn die IU-sets die of alle sensoren en slechts één actuator bevatten of die alle actuatoren en slechts één sensor bevatten. De typische IU- sets zijn weergegeven in de onderstaande tabel. IU-set

Uitgangen

1 2 3 4 5

y1,. . . , y7 Y l , . . . ,y7 Yl,...,Y7 Ylt...,Y7 Y i , . . . ,y7 YI,...,Y~ Y1 Y2 Y3 Y4

6 7 8 9 10 11 12 13

Y5

Y6 Y7

Ingangen . . , u5

UI,.

u1 U2

u3 u4

u5

. . . , u5 U I , . . . , u5 U I , . . . , u5 U I , . . . , u5 U I , . . . , u5

UI,

UI,.

UI,.

. . , u5 . . , u5

Kenmerk Volledige IU-set Close-coupled valve Afblaasklep op plenum Afblaasklep op compressorkanaal Variabel plenumvolume Air-inj ector Massastroom stroomopwaarts van de air-injector Massastroom stroomafwaarts van de air-injector Plenumdruk Druk voor compressor Statische druk voor compressor Druk na compressor Statische druk na compressor

Het toelaatbaar zijn van de IU-sets wordt bepaald in het werkpunt waarvoor geldt +do = 1.93’. Dit gebeurt bij een toerental van 25.000[omw/min],de instellingen van de ontwerpparameters zijn zoals die voor het werkpunt $ d o = 1.419F gevonden zijn. De toelaatbare IU-sets zijn de IU-sets 1,2,5,7,8,9,10,11,12en 13. IU-set 5, die wel toelaatbaar wordt bevonden, blijkt echter bij simulatie van het systeem niet in staat het systeem te stabiliseren zonder dat de regelgrenzen overschreden worden. De bereikte norm van het gesloten systeem is voor alle IU-sets waarin de close-coupled valve is opgenomen gelijk aan de tolerantie tol = Vervolgens is voor alle mogelijke IU-sets bepaald of deze in het werkpunt bda = 1.9F toelaatbaar zijn. Hieruit volgde dat alle IU-sets waarin de close-coupled valve of het variabel plenumvolume is opgenomen toelaatbaar zijn. Om te controleren of het dan toch mogelijk zou zijn het systeem in dit werkpunt te stabiliseren zonder gebruik van de close-coupled valve, is de IU-set waarin alle sensoren en actuatoren zijn opgenomen, met uitzondering van de close-coupled valve, in het werkpunt 4 d o = 1.93’ geëvalueerd. Het bleek echter niet mogelijk een regelaar te ontwerpen waarbij het systeem stabiel was zonder dat de ingangen de regelgrenzen overschreden. Op grond van deze bevindingen blijken dus inderdaad alleen de IU-sets waarin de close-coupled valve is opgenomen toelaatbaar te zijn en bij simulatie geen overschrijding van de regelgrenzen te geven. Eenzelfde analyse zoals die hiervoor is beschreven is ook uitgevoerd voor andere toerentallen van de compressor. Ook daar bleek zich dezelfde situatie voor te doen.

33

Hoofdstuk 5

Conclusies en Aanbevelingen Uit de resultaten blijkt dat het niet eenvoudig is om met de gebruikte methode een regelaar te ontwerpen die het systeem in voldoende mate stabiliseerd bij het aanwezig zijn van de gemodelleerde verstoringen. Hieraan liggen verschillende oorzaken ten grondslag. Allereerst kan gesteld worden dat de methode van regelaarontwerp niet de meest geschikte is om om te gaan met de verstoringen zoals die aan het systeem zijn opgelegd. Het verdient dan ook de aanbeveling om de methode van regelaarontwerp danwel de verstoringen op het systeem te heroverwegen. Aangezien de opgelegde verstoringen niet gebaseerd zijn op experimentele data maar op ervaringen en intuïtie is het mogelijk dat de verstoringen die in de werkelijkheid optreden hiervan verschillen. Het verdient dan ook de aanbeveling om middels experimenten informatie te verkrijgen over de verstoringen die op het werkelijke systeem van invloed zijn. Mogelijk blijkt hieruit dat de verstoringen dusdanig zijn dat de gebruikte methode van regelaarontwerp en IU-selectie wel tot bevredigende resultaten leiden. Mocht daarintegen uit experimenten blijken dat de gekozen verstoringen de werkelijkheid in voldoende mate benaderen, dan dient de methode van regelaarontwerp heroverwogen te worden. Daarnaast is het niet eenvoudig om een goede keuze t e maken voor de verschillende ontwerpparameters. Dit is met name een gevolg van het grote aantal parameters dat van invloed is op het uiteindelijke gedrag van het gesloten systeem. Het blijkt dat de gebruikte iteratieve methode van aanpassen van ontwerpparameters na analyse van het gesloten systeem niet altijd tot een bevredigende oplossing leidt. Het is echter niet eenvoudig (zo niet onmogelijk) om op voorhand een geschikte keuze voor de ontwerpparameters te maken. Daarnaast is het kiezen van de nominale instellingen van de verschillende actuatoren afhankelijk van een tamelijk arbitraire keuze van het maximaal toegestane verlies van efficiëntie. Dit terwijl uit de resultaten blijkt dat met name de nominale instellingen van de close-coupled valve in belangrijke mate bepaald in welk gebied het compressor systeem stabiel is bij de opgelegde verstoringen. Uit de resultaten blijkt dat bij de huidige verstoringen en gebruikte methode van regelaarontwerp het gebied waarin de verstoringen in voldoende mate gestabiliseerd kunnen worden vrijwel alleen afhangt van de nominale instelling van de close-coupled valve. Het toevoegen van een aktieve regeling vergroot dit gebied slechts weinig. Verder heeft het al dan niet aanwezig zijn van meetruis op de verschiIlende sensoren nauwelijks (geen) invloed op de prestatie van het systeem. Verwacht wordt dat, indien de verstoringen of de methode van regelaarontwerp wordt aangepast, het gebied waarin met aktieve regeling de verstoringen in voldoende mate gestabiliseerd kunnen worden zonder dat de actuatoren de regelgrenzen overschrijden vergroot zal kunnen worden.

34

Bijlage A

Betekenis van de verschillende symbolen Symbool

Omschrijving Dimensieloze tijd 7- = t W H Helmholtzfrequentie Snelheid van het rotoruiteinde Machget al van het ro toruiteinde Geluidssnelheid Plenumvolume Dichtheid in het plenum Dichtheid onder omgevingscondities Doorsnede van het compressorkanaal Doorsnede compressorkanaal ter hoogt van de air-injector (hier A = A,) Doorsnede air-injector Oppervlak van de zuiger danwel luidspreker in plenum Dimensieloze verplaatsing van de zuiger Equivalente lengte van het compressorkanaal Equivalente lengte compressorkanaaldeel 1 Equivalente lengte compressorkanaaldeel 2 Toerental van de compressor Parameter die de kiepopening van de belasting bepaald Massastroom stroomopwaarts van de air-injector Massastroom stroomafwaarts van de air-injector Massastroom door afblaasklep op plenum Massastroom door afblaasklep op compressorkanaal Massastroom door de belasting Absolute druk op positie 2 Absolute omgevingsdruk Absolute drukverschil over de compressor Absolute drukverschil over de close-coupled valve Dimensieloze drukstijging over de compressor Dimensieloze plenumdruk Dimensieloze massastroom stroomopwaarts van de air-injector Dimensieloze massastroom stroomafwaarts van de air-injector Dimensieloze massastroom door afblaasklep op plenum Dimensieloze massastroom door afblaasklep op compressorkanaal Dimensieloze massastroom door de belasting

35

Eenheid

[-I

Bijlage B

Modellering van het Systeem B.1 Inleiding In deze bijlage wordt het model afgeleid, dat gebruikt zal gaan worden ten behoeve van de IUselectie. Het model ten behoeve van de IU-selectie, waarin de verschillende genoemde actuatoren zijn opgenomen, is grafisch weergegeven in Figuur B.1. Voor de modellering van de al eerder opgenomen actuatoren wordt met name verwezen naar [13]. De modellering van de air-injector is gebaseerd op [9].

Figuur B.l: Het modei ten behoeve van de IU-selectie

Modellering van de Compressor Het compressormodel wordt gevormd door een directe koppeling van de massastroom door de compressor met de drukopbouw over de compressor. Hierbij zijn de volgende aannames van belang: o

De compressor wordt gemodelleerd als een actuator disk, dat wil zeggen een in axiale richting infinitesimaal kleine schijf waarover de druk een discontinue verandering ondergaat. Dit heeft tot gevolg dat er geen massaophoping kan plaatsvinden in de compressor.

o

In stationaire toestand is de drukopbouw over de compressor een functie van de massastroom door de compressor en het toerental n van de compressor.

De stijging van de totale druk over de compressor wordt gegeven door:

36

met

Hierin is pa de dichtheid onder omgevingscondities, UT de snelheid van het uiteinde van een rotorblad, r de straal van de rotor en n het toerental van de compressor. Qc is de dimensieloze compressorkarakteristiek. Deze functie wordt benaderd met een polynoom in de dimensieloze massastroom door de compressor q5d = &/paUsAc. Om het gebied met negatieve massastroom voldoende nauwkeurig te kunnen beschrijven dient dit minimaal een derde orde poiynoom te zijn. De gebruikte polynoom is:

Q C ( h

n ) = co

+ c14; + c24d

03.3)

De data die verkregen wordt met metingen aan de compressor wordt gebruikt om de coëfficiënten te bepalen. Het resultaat hiervan voor de gebruikte BBC centrifugaal compressor is het volgende:

+

= 1.2727 3.5281. 10-6n q ( n ) = -22.2641 5.7477. 10-3n - 1.3541 . 10-7n2

(B.4) (B.5)

+ 1.5193. 10-6n2

(B.6)

cg(n)

c2(n)

+

= 368.5538 - 6.0031 .10-'n

(B.7) De compressorkarakteristiek kan ook geschreven worden in de volgende vorm, zoals die ook in [13] is gebruikt:

In dit geval geldt voor de coëfficiënten Q c o ( n )H, ( n ) en F ( n ) : Q.e,(n)

= co

(B.9) (B.lO)

H ( n ) = p2 F ( n ) '

(B.ll)

In Figuur B.2 is de compressorkarakteristiek weergegeven voor drie verschillende toerentallen.

Figuur B.2: De BBC compressorkarakteristiek bij verschillende toerentallen: 1.8 lo4 [omw/min]= -, 2.2 i o 4 [omwlmin]= --, 2.4 i o 4 [Omw/min] = -.

37

Mo dellering van het Compressorkanaal Het compressorkanaal is, ten behoeve van de modellering van de air-injector, opgedeeld in twee segmenten; één deel stroomopwaarts (van positie 1 tot positie 2) en één stroomafwaarts ten opzichte van de air-injector (van positie 3 tot positie 4). Hierbij is de volgende aanname gedaan: o

De massastroom in het compressorkanaal wordt incompressibel, 1-dimensionaal en wrijvingsloos (geen visceuze effecten) verondersteld.

Ge rnassasiroornveiandering in de tijd door het deel van het compressorkanaal stroomopwaarts van de injector wordt verkregen uit de impulsbalans over dit kanaaldeel.

(B.12) Hierin is mu de massastroom door dit kanaaldeel, A, de doorsnede van de compressorinlaat, Cu de equivalente lengte van het kanaaldeel stroomopwaarts van de air-injector met A, als referentieoppervlak', en zijn pol en pos de totaaldrukken op de posities 1 en 2 zoals weergegeven in Figuur B.1. Op identieke wijze geldt voor het gedeelte van het compressorkanaal stroomafwaarts van de air-injector: (B.13) Hierin is A p e de drukopbouw over de compressor en A p e , de drukval over de close-coupled valve, waarop verder in deze bijlage nog zal worden ingegaan.

Modellering van het Plenum Bij de modellering van het plenum zijn de volgende aannames gedaan: o

De dichtheid is overal in het plenum gelijk.

o

Temperatuureffecten worden verwaarloosd

o

Stroomsnelheden in het plenum worden verwaarloosbaar klein verondersteld.

Voor de massabalans over het plenum geldt dan: mT

(B.14)

Hierin is p p de dichtheid in het plenum, V, het volume van het plenum, rjZd de massastroom stroomafwaarts van de air-injector, m b , de massastroom door de op het compressorkanaal aangesloten afblaasklep, m b p de massastroom door de op het plenum aangesloten afblaasklep en h~de massastroom door de belasting.

Modellering van de Belasting In de werkelijkheid is in het compressorsysteem een belasting aangesloten op het plenum. In het model wordt deze belasting gerepresenteerd door een klep die op het plenum is aangesloten. Hierbij wordt de volgende aanname gedaan: o

De massastroom door de klep wordt als quasi-stationair en 1-dimensionaal beschouwd.

'De equivalente lengte voor een kanaal met een niet constante doorsnede is gedefinieerd als d e lengte met een gegeven constante doorsnede waarbij de massastroom een identieke versnelling krijgt als in het geval van de niet constante doorsnede bij een identiek drukverschil. Met A , als referentieoppervlak wordt C gegeven door: C = A, l/A(z)dz, waarbij A ( z ) de doorsnede van het kanaal als functie van d e plaats is.

st

38

De massastroom

m~ door de belasting m~

wordt gegeven door:

= ~ , U T A ~ @(GP, T KT).

(B.15)

Hierbij is qP = ( p p - p u ) / $ p a U ; de dimensieloze plenumdrukopbouw en is GJT de zogeheten klepkarakteristiek2 : (B.16)

KT wo& bepaald door de eigenschapper, V ~ de E ep het plenurr, aangesloten Ye!zsting. Een gegeven I
Modellering van de Air-injector De modellering van de air-injector is gebaseerd op [9]. De air-injector wordt gemodelleerd als een kort stuk compressorkanaal waarin de extra massastroom in axiale richting wordt geïnjecteerd, zie Figuur B.3. Hierbij zijn de volgende aanname’s van belang: o

Het gedrag van de air-injector is quasi-stationair.

o

De stroming wordt incompressibel en l-dimensionaal beschouwd.

o

Wrijving aan de wand is verwaarloosbaar.

o

De stroming van vlak 2 naar vlak i* is wrijvingsloos en rotatievrij. De statische druk over vlak i* is uniform.

o

De stroomsnelheid op vlak i* heeft twee verschillende waarden, de snelheid ui aan het einde van de injector en de snelheid u, van de omringende stroom.

o

De stroomsnelheid en de statische druk over vlak 3 is uniform.

Definiëer het drukverschil van de vlakken 2 en 3 ten opzichte van vlak i, APO,

APO,

(B.19) (B.20)

= poz --poi = pos -po,.

We willen nu deze drukverschillen uitdrukken in termen van mu (de massastroom stroomopwaarts van de injector), m d (de massastroom stroomafwaarts van de injector), hi (de geïnjecteerde massastroom) en de geometrie van de injector. Als eerste wordt de uitdrukking voor Apo3 afgeleid. Voor het kanaaldeel tussen vlak i* en vlak 3 geldt volgens de impulsbalans:

pi*Ac

+ riZ;Ui +

~

U

U

,

= p3Ac

+mdu3

(B.21)

’Hierbij dient opgemerkt te worden d a t deze relatie alleen geldig is bij subsone stromingen. Voor lucht geldt dat de stroming subsoon is als geldt dat p z / p i 2 0.53 waarbij p i en p~ de druk voor resp. na de klep is.

39

Figuur B.3: Modellering van de air-injector

waarbij A, de doorsnede van het stroomkanaal is. Met de aanname, dat de statische druk op vlak 'i uniform is, en dat de stroming van vlak i naar vlak 'i wrijvingsloos, constant en rotatievrij is geldt volgens de wet van Bernoulli: 1 2 pi* = p o i - -pui 2

(B.22)

P3 = Po3 - -1P U , 2 2

(B.23)

Voor de druk op vlak 3 geldt:

Substitutie hiervan in B.20 levert: (B.24) Behoud van massa leidt tot:

(B.26) u, u3

=

h

U

(B.27)

p(AC - Ai) m d

= PAC

Hierin is Ai de doorsnede van de air-injector in het vlak'i levert:

(B.28) Substitutie hiervan in vergelijking B.24

(B.29)

Op een vrijwel identieke wijze, met gebruikmaking van (B.30) volgt voor Apo2:

1

(-

APO,= 2pA,"

mi

( h d - hu)' +

40

(i - 2(Ai/A,)

+ (Ai/A,)2

(B.31)

Modellering van de Close-coupled Valve De close-coupled valve bevindt zich direct na de uitgang van de compressor. Bij de modellering van de close-coupled valve zijn de volgende aannames van belang: e

Er is geen massa ophoping tussen de compressor en de close-coupled valve. Dit houdt in dat de massastroom door de compressor ten alle tijden gelijk is aan de som van de massastroom door de close-coupled valve en de massastroom door de tussen de compressor en de closecoupled valve geplaatste afblaasklep. De close-coupled valve wordt gemodelleerd als actuator disk.

De totale drukval over de close-coupled valve wordt gegeven door onderstaande relatie: 1

APcc = -PaU;*cc 2

( 4 d i '$bei

Ui)

(B.32)

Gee is de klepkarakteristiek, deze is een functie van de dimensieloze massastromen d d en &e door:

= =A en van U1, de fractie van de klep die open is. Deze karakteristiek wordt gegeven P,UTA, (B.33)

Ook hier geldt dat deze relatie alleen geldig is indien de stroming door de klep subsoon is. De klep is gesloten als U 1 = O, en is helemaal geopend als U1 = 1. Parameter e1 is onder ander afhankelijk van het type klep en wordt gegeven door de onderstaande relatie: ~1

(B.34)

0.143-

Hierin is I<,,,, [rn3/uur]de maximale capaciteit van de klep, Ac[rn2] de doorsnede van het compressorkanaal, pau[bar] de absolute druk achter de klep en T b v [I<]de temperatuur voor de klep. Voor de afleiding van deze relatie wordt verwezen naar [13]. We definiëren u1 = ( 1 / U 1 ) 2 , zodat voor Q,, de volgende uitdrukking verkregen wordt: Qcc

1 = -u1

('$d - 4 b c ) 2

4

(B.35)

Let op dat u 1 = 1 nu een voiledig open klep betekent, terwijl u 1 = co betekent dat de klep gesloten is. Gevolg hiervan is dat een volledig geopende klep niet kan worden beschreven door het model. Dit is echter geen probleem omdat aan U I , zoals in Hoofdstuk 3 is uitgewerkt, grenzen worden opgelegd waarbinnen u1 mag variëren.

Modellering van de Afblaaskleppen De afblaaskleppen worden in essentie hetzelfde gemodelleerd als de belasting, er worden dan ook dezelfde aannames gedaan. Dit resulteert in de volgende uitdrukkingen: mbc,bp

P a U T A c @ b c , b p ('$be,bp, u b c , b p )

(B.36)

De indices be of bp duiden respectievelijk de op het compressorkanaal aangesloten afblaasklep of de op het plenum aangesloten afblaasklep. Verder is $bc,bp = ( p b c , b p - p , ) / $ p a u $ het dimensieloze drukverschil over de afblaasklep. Voor @bc,bp geldt (voor subsone stromingen) : (B.37) Parameter c b c , b p is van het type klep afhankelijk [13] en u b c , b p geeft de stand van de klep weer ( u b c , b p = 0 voor een gesloten klep, ub,,bp = 1 als de klep geheel geopend is). 41

B.2

Dimensieloos Compressormodel

In deze paragraaf zijn de verschillende gemodelleerde onderdelen samengevoegd in één model. Dit model is dimensieloos gemaakt, waarmee het geschikt is voor de uitvoering van de IU-selectie. De massastromen zijn dimensieloos gemaakt met p a A e U ~de , druk met +pall$ en de tijd met W H . Verder is de volgende parameter gedefinieerd:

(B.38) Het dimensieloos maken van het model resulteert in de hieronder gegeven vergelijkingen. Hierin komen de volgende regelingangen voor:

u4

: : : :

u5

:

u1 u2 u3

regelingang van de close-coupled valve regelingang van de afblaasklep op het plenum regelingang van de afblaasklep op het compressorkanaal regelingang van de movable wall u4 = met q de dimensieloze verplaatsing van de movable wall regelingang van de air-injector u5 =

2

-

Verder zijn 7 1 , 7 2 en Z3 de te regelen variabelen en zijn yl,. . , , y7 de uitgangen van het systeem. w1,ui2 en Z3 zijn de aan het systeem opgelegde verstoringen, terwijl U 4 , . . . ,G10 de meetruis representeerd. Voor de betekenis van de overige symbolen wordt verwezen naar Bijlage A.

-

-

G:

(B.39) Hierin geldt, met

(Y

= Á/Ác en ,8 = Ai/&:

42

Bibliografie [i] Raffaello D’Andrea, Robert L. Behnken en Richard M. Murray. Active control of an axial flow compressor via pulsed air injection. Technical report, California Institute of Technology (CALTECH), CIT/CSD 95-029, Juli 1996. [2] J.E. Ffowcs Williams, M.F.L. Harper en D.J. Alwright. Active stabilization of compressor instability and surge in a working engine. ASME J. Turbomachinery, 115(1):68-75, Januari 1993. [3] D.A. Fink, N.A. Cumpsty, and E.M. Greitzer. Surge dynamics in a free-spool centrifugal compressor. ASME J. Turbomachinery, 114(2):321-332, April 1992. [4] E.M. Greitzer. The stability of pumping systems - The 1980 Freeman scholar lecture. ASME J. Fluids Dynamics, 103(2):193-242, Juni 1981. [5] Bram de Jager. Rotating stall and surge control: a survey. In Proc. of the 34th IEEE Conference on Decision and Control, volume 2, pages 1857-1862, New Orleans, LA, December 1995. [6] P.P. Khargonekar J.C. Doyle, K. Glover and B.A. Francis. State-space solutions to standard H z and H , control problems. IEEE Transactions on Automatic Control, 34(8):831-846, Augustus 1989. [7] John C. Doyle Kemin Zhou and Keith Glover. Robust and optimal control. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996. [8] Jan M. Maciejowski. Multivariable feedback design. Addison-Wesley, Amsterdam, 1989. [9] J.S. Simon. Feedback stabilization of compression systems. Technical Report GTL report 216, Gas Turbine Labratory, Massachusetts Institute of Technology, Maart 1993.

[lo] J.S. Simon, L. Valavani, A.H. Epstein, and E.M Greitzer. Evaluation of approaches to active compressor surge stabilization. ASME J. Turbomachinery, 115(1):57-67, Januari 1993. [I11 Sigurd Skogestad and Ian Postlethwaite. Multivariable feedback control: Analysis and design. John Wiley & Sons, Chichester, UK, 1996. [la] Marc van de Wal. Input output selection based on nominal performance and robust stability against unstructured uncertainties: An active suspension application. Technical Report WFW 96.005, Fac. of Mechanical Engineering, Eindhoven University of Technology, 1996. [13] Marc van de Wal and Frank Willems. Selection of actuators and sensors for compressor control. Technical Report WFW 96.155, Fac. of Mechanical Engineering, Eindhoven University of Technology, December 1996. [i41 Frank Willems. Modeling and control of compressor flow instabilities. Technical Report WFW 96.151, Fac. of Mechanical Engineering, Eindhoven University of Technology, Juni 1997.

43