Sbírka příkladů z matematiky pro 1. ročník tříletých učebních oborů Jméno: ________________________ Třída: ________
Obsah 1. Teorie množin 2. Přirozená čísla Dělitelnost čísel 3. Celá čísla 4. Racionální čísla Zlomky 5. Reálná čísla Intervaly 6. Převody jednotek 7. Poměry Měřítko výkresů Trojčlenka Testové úlohy 8. Procenta Testové úlohy 9. Intervaly a neúplná čísla 10. Mocniny 11. Počítání s mocninami Mocniny s přirozeným mocnitelem Mocniny s celým mocnitelem Zápis čísla ve tvaru a.10 12. Odmocniny Mocniny s racionálním mocnitelem Opakování 13. Planimetrie Shodnost trojúhelníků Shodná zobrazení Podobná zobrazení 14. Vlastnosti trojúhelníka 15. Pythagorova věta Thaletova věta. Středové a obvodové úhly 16. Řešení pravoúhlého trojúhelníku 17. Obvody a obsahy mnohoúhelníků Obsah nepravidelných mnohoúhelníků Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře Kružnice, kruh a jejich části
Test:
3 6 8 10 13 14 21 23 25 29 31 32 34 35 38 39 41 43 43 45 46 49 50 51 54 55 60 64 66 69 72 73 77 80 81 82
J
2
1.Teorie množin Množina je souhrn nějakých předmětů, které chápeme jako celek, O předmětech, jejichž souhrn vytváří danou množinu, mluvíme jako o prvcích této množiny; množina je jednoznačně určena svými prvky. -
Průnik množin A a B (A ∩ B) je množina všech prvků společných množinám A a B
-
Sjednocení množin A a B ( A ∪ B ) je množina všech prvků , patřících do alespoň jedné z množin A nebo B
-
Množina A je podmnožinou množiny B (A ⊂ B), právě když je každý prvek množiny A zároveň prvkem množiny B. Je-li A ⊂ B, pak platí A ∩ B = A a zároveň A ∪ B = B.
-
Doplněk množiny A v množině B ( AB ´ ) je množina všech prvků množiny B, které nepatří do A.Rozdíl množin A a B ( A - B) je množina všech prvků množiny b, které nepatří do A.
x∈ A : prvek x patří do množiny A y ∉A : prvek y nepatří do množiny A : prázdná množina N : množina přirozených čísel - vyjadřuje nenulový počet prvků Z : množina celých čísel – vznikne, jestliže k množině N přidáme nulu a všechna čísla opačná k N Q : množina racionálních čísel – všechna čísla, která můžeme zapsat pomocí zlomku R : množina reálných čísel – všechna čísla ležící na číselné ose °k množině Q přidáme i čísla s neukončeným rozvojem, tzn. čísla, která se nedají vyjádřit pomocí zlomku
celá racionální čísla reálná čísla
přirozená nula záporná
necelá iracionální
3
1) Zapište pomocí matematických symbolů : a) množina A má prvky 1, 2, 3, 4 b) prvek x patří do množiny A c) prvek y nepatří do množiny B d) množina A je podmnožinou množiny B
2) Zapište označení : - množina přirozených : - množina celých čísel
-
množina racionálních čísel množina reálných čísel
3) Je dána množina W={0,1,2,3,4,5,7,8} a množiny A={3,4,1,7}, B={2,4,5}. Určete množiny: d) B´ a) A∪B e) A-B b) A∩B f) B-A c) A´
4) Je dána množina U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} a množiny A={3,5,1,8,4}, B={2,3,4,5}. Určete množiny: d) B´ a) A∪B e) A-B b) A∩B f) B-A c) A´
5) Zapište : a) prvky množiny A b) prvky množiny B c) prvky množiny U d) prvky A∪B e) prvky A∩B f) prvky A´ g) prvky B´ h) prvky A-B i) prvky B-A
4
6) Zapište : a) prvky množiny K b) prvky množiny L c) prvky množiny M d) prvky K ∪ L e) prvky K ∪ M f) prvky K ∪ L ∪ M g) prvky L ∩ M h) prvky K ∩ M i) prvky K v L ∩ M j) prvky K´ k) prvky M´ l) prvky M - L m) prvky K - M
7) Je dána množina V = {a, b, d , h, k , l , r , s, t , u, v, z ,} a množiny H = {h, k , r , u , v, z}, J = {d , h, r , s, z}, K = {a, b, l , r , s , t , u}. Určete množiny : j) k) l) m) n) o) p) q) r)
H∪J J∪K H∩K J∩K H∩J∩K J´ K´ H–J J–K
5
2. Přirozená čísla Přirozené číslo je číslo označující počet prvků konečné množiny. 1) Počítej s výhodou: a. 25 + 232 + 75 b. 32 + 79 + 8 + 11 c. 64 + 32 + 16 + 6 + 4 d. 122 – 19 – 22
e. f. g. h.
134 – 85 + 66 333 + 228 – 83 88 + 64 – 18 524 – 18 + 118 – 24
2) Vypočtěte: a) 5 . 132 . 20 b) 5 . 132 c) 240 : 60 d) 2 . 164 . 5
e) f) g) h)
(25 . 18) : 5 6 . 12 . 2 3 . (5 . 7) 8 + 19 . 8
3) Vypočtěte: a) 24 . 2521 b) 17 . 6217 c) 39 . 748 d) 46 . 1570
e) f) g) h)
27512 : 4 73863 : 3 54725 : 11 74496 : 12
4) Na stavbu bylo dovezeno v jednom týdnu toto množství cihel: jeden den 2500, 5870 a 1225 cihel, druhý den 6205, 4250 a 750 cihel, třetí den 7500 a 2285 cihel, čtvrtý den 750, 985 a 2625 cihel a pátý den 3125, 5250 a 1750 cihel. Kolik cihel bylo celkem?
5) Do osobního výtahu nastoupí 4 osoby, které mají hmotnost 75 kg, 82 kg, 68 kg a 73 kg. Nejvyšší přípustná zátěž výtahu je 400 kg. Jak velkou hmotností by mohl být výtah ještě zatížen?
6) Na opravu školy je třeba 350 bílých obkládaček a modrých obkládaček je potřeba celkem?
o 180 více. Kolik
6
7) V jedné bedně je 30 kg hřebíků, ve druhé je o 12 kg hřebíků méně. Kolik je ve třetí bedně, jestliže ve třech bednách je dohromady 62 kg hřebíků?
8) Skladník si zapsal příjem a výdej hliníkového plechu do tabulky: Den Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek
Přijal 74 kg 22 kg 97 kg 106 kg 35 kg
Vydal 56 kg 68 kg 81 kg 49 kg 53 kg
V pondělí před zahájením pracovní doby měl ve skladu zásobu 160 kg tohoto plechu. Kolik kilogramů bylo ve skladu v pátek po směně?
9) Kolik m3 písku uveze auto o nosnosti 8 tun, když 1 m3 písku má hmotnost 1600 kg? 10) Bylo zjištěno, že na stavbu jedné egyptské pyramidy bylo zapotřebí 72 312 940 kg kamene. Kolik nákladních vlaků po 50 vagónech o nosnosti 20 tun by bylo potřeba k dopravě tohoto kamene a kolik dní by trvala přeprava, kdyby za každé tři hodiny byl naložen jeden vlak.
11) Které číslo patří doplnit? 3 . 2006 = 2005 + 2007 + …….. A) 2005 B) 2006 C) 2007 D) 2008 E) 2009
7
Dělitelnost čísel V celé kapitole bude číslo znamenat kladné přirozené číslo (vyloučíme nulu). 15 : 3 = 5 Číslo 15 je dělitelné číslem 3. Číslo 15 je násobkem čísla 3. Číslo 3 je dělitelem čísla 15 Každá z těchto vět vyjadřuje totéž. Prvočíslo: číslo, které má právě dva dělitele (číslo jedna a sebe sama). Číslo složené : číslo, které má alespoň tři dělitele. Číslo 1 nepočítáme ani mezi prvočíslo, ani mezi čísla složená. Každé složené číslo lze rozložit na součin prvočísel. Soudělná čísla: mají společného dělitele. Nesoudělná čísla: nemají společného dělitele. Znaky dělitelnosti: Číslo je dělitelné dvěma právě tehdy, má-li na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8 (tj. je-li sudé). Číslo je dělitelné třemi právě tehdy, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi. Číslo je dělitelné čtyřmi právě tehdy, je-li poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi. Číslo je dělitelné pěti právě tehdy, má-li na místě jednotek některou z číslic 0, 5. Číslo je dělitelné šesti právě tehdy, je-li dělitelné dvěma a třemi. Číslo je dělitelné devíti právě tehdy, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti. Číslo je dělitelné deseti právě tehdy, má-li na místě jednotek číslici 0. Erastosthenesovo síto 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí 105 ≤ x <126 a zároveň jsou násobkem 3.
2) Najděte všechna přirozená čísla z, pro která platí 116 < z ≤ 132 a zároveň jsou dělitelná 4.
8
3) Doplňte vynechanou číslici tak, aby vzniklo číslo dělitelné 4 a) 2*4 b) 13* c) 1*3 d) 58*2 4) Doplňte chybějící číslici tak, aby vzniklo číslo dělitelné 9 a) 24* b) 1*8 c) 3*0 d) *21 5) Určete všechny přirozené dělitele čísla
48,
150,
63,
236,
96
6) Určete všechny společné dělitele čísel 24 a 14 36 a 40 21 a 16 7) Kolik dělitelů má číslo 36? A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
E. 5 F. 4
8) Rozložte čísla na součin prvočinitelů: 180 = 240 = 460 = 232 = 5000 = 9) Všechny společné dělitele čísel 24 a 30 A) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 B) 1, 2, 3, 6 C) 2, 3, 6
D) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 E) 2, 3, 5, 6, 8
10) Určete největšího společného dělitele čísel 30 a 45
90 a 120
51 a 140
9
11) Určete 3 společné násobky čísel 3a4
10 a 6
12) Určete nejmenší společný násobek čísel 36 a 40 25 a 120 360 a 90 13) Určete kolik různých obdélníků můžeme sestavit ze 60 čtvercových dlaždic? Určete rozměry těchto obdélníků pomocí počtu dlaždic.
14) Tři parníky vypluly ze stejného přístavu ve stejnou dobu na své trsy. První se vracel do tohoto přístavu třetí den, druhý se vracel čtvrtý den a třetí se vracel šestý den. Kolikátý den od vyplutí nejdříve se opět všechny v tomto přístavu setkaly?
3. Celá čísla Přirozeným číslům 1, 2, 3, …říkáme kladná celá čísla. Zapisujeme je také +1, +2, +3, … Opačným číslům k přirozeným číslům 1, 2, 3, … říkáme záporná celá čísla. Zapisujeme je -1, -2, -3, … Všechna přirozená čísla, všechna čísla k nim opačná a nula vytvářejí množinu všech celých čísel. Označujeme ji Z . Opačné číslo ke kladnému číslu je záporné číslo. Opačné číslo k zápornému číslu je kladné číslo. Nula je opačná sama k sobě. Vzdálenosti obrazů navzájem opačných čísel od počátku číselné osy se rovnají.
10
1) Na číselné ose vyznačte: a) všechna celá čísla větší než - 4 a menší než 5 b) všechna celá čísla větší nebo rovna -3 a menší než 4 c) všechna celá čísla větší nebo rovna - 2 a menší nebo rovna 5 d) { x ∈ Z; - 6 ≤ x < 9 } e) { x ∈ Z; - 3 < x < 6 }
2) Určete opačná čísla k číslům : 2530, -7, 0, 16, -219, -1 226 704,
1,
-37
Sčítaní a odčítání celých čísel Pravidla pro odstranění závorek: +(+= + +(- = -
- (+= - (- = +
3) Doplňte tabulku: + - 15 8 -3 - 20 14 9
-5
16
-11
-16
4) Vypočítejte: (+ 120) + ( - 200) = ( - 100) + ( - 60) = ( + 400) + ( - 200) = ( + 500) + ( + 300) = 200 – ( - 100) = 120 – 200 =
12
3
9
-14
10
-7
17
5
- 100 - 60 = 26 – 32 = - 17 + 9 = - 27 + ( - 54) = 16 – ( -38) = -21 + ( - 14) – ( -4) =
Násobení a dělení celých čísel: Pravidla pro násobení a dělení: + . (:) + = +
+ . (:) - = -
- . (:) + = -
- . (:) - = +
11
5) Vypočítejte : 7.5 = -7 . 5 = -7 . ( - 5) = 7 . ( - 5) = 35 : 5 =
-6 . ( - 4) . ( - 3) = -10 : 2 = -66 : ( - 6) = 155 : ( - 5) = + 120 : ( + 20) =
-35 : ( -5) = -35 : 7 = 35 : ( -7) = -12 . 15 = 9 . ( - 35) = + 36 . ( - 5) =
6) Doplňte tabulky: . 5 -7 -4 10 2
-2
9
-6
3
-5
0
4
-1
8
: -3 8 -6
12
- 24
30
- 48
- 60
72
80 x
- 84
- 96
x
x
x
x x
7) Na stavbě byla večer zaznamenána teplota +3°C. Do rána klesla o 5° C. Jaká byla ranní teplota?
8) Sklep má podlahu 1,5 m pod úrovní terénu. Jímka pro kanalizaci musí mít dno o 1,2 m níže. Zapište záporným číslem, jak hluboko pod terénem je dno jímky
9) Výšková kóta dlažby sklepa je –2,750, kóta terénu pod dlažbou –2,825. Jak tlustá je dlažba sklepa?
10) Na stavbě se na stěně vyznačuje přímka ve výšce 1 m nad budoucí podlahou. Střed výtoku z dřezu má být 70 mm nad touto přímkou, střed vyústění odpadu 430 mm pod ní. a) Udejte výšku odpadu a výtoku nad podlahou. b) Jak vyjádříte kladným a záporným číslem, že výtok je nad přímkou a vyústění odpadu pod přímkou? c) Vypočtěte vzdálenost středů výtoku a vyústění odpadu.
J
12
4. Racionální čísla 1) Která z čísel
11
0,8
-1
13 5
-0,065
−
4 9
3
-7,2
π
jsou
a) přirozená b) celá c) racionální
2) Zapište ve tvaru zlomku: 4:5= 40 = 0,5 = 0,003 = 3) Převeďte zlomky na desetinná čísla: 3 a) = 5 25 b) − = 10 15 c) = 14 100 d) = 16 4) Počítej zpaměti s desetinnými čísly: 74 . 0,1 = (-0,01) . (-546) = 83 . 0,001 =
19 : (-2) = -8,2 = -125 = -0,025 =
0,02 = -1,05 = 0,154 =
1 = 8 3 f) = 1000 3 g) − = 40 42 h) − = 5
e) −
8705 . (-0,1) = 0,0001 . 6 = -270 . 0,01 =
0,25 : 100 = 12,3 : 1000 = -65,8 : 0,1 =
450: 0,1 = -0,49 : (-0,01) = 0,854 : (-0,0001) =
42,5 . 1000 = -53,6 : 10000 = 72 : 0,1 =
6,8 . 0,01 = (-0,026) . (-100) = (-0,0084) : (-0,01) =
13
Zlomky 1) Převeďte zlomky na smíšená čísla a naopak: 25 32 = = 3 3 24 16 − = − = 7 5 2) Převeď na zlomky se jmenovatelem 24 : 2 1 = = 3 6
1 4 = 3 1 −3 = 2
−
5 = 4
8 −1 = 9 7 5 = 10 −7 = 8
3) Převeď na zlomky se jmenovatelem 32 : 3 5 = − = 4 16
13 = 8
−7 = 2
4) Převeď na zlomky s daným jmenovatelem : 5 7 = = 7 35 3 27 4 11 = = 9 63 6 42
14 = 5 25 2 = 3 42
7 = 4 12 3 = 8 96
5) upravte zlomky na základní tvar : 15 16 = = 24 48 3 − 45 = = 12 90 45 21 _ = = 36 45
− 24 = 32 18 = 42 51 = 85
6) Sečtěte a odečtěte zlomky zpaměti: 3 4 a) + = 5 5 1 2 b) + = 4 4 3 5 c) + = 7 7 3 d )1 + = 4 4 e) + 2 = 5 6 3 f) − = 7 7 5 4 g) − = 9 9
3 = 8 2 i )3 − = 7 4 j) − 1 5 2 1 k) + = 3 6 3 l )1 − = 4 1 m) − 3 + = 2 1 n) − 4 − = 3
20 = 52 10 − = 45 63 = 81 −
h)1 −
14
1 1 − = 2 4 1 1 1 p) + − = 10 5 2 1 1 2 q) − − = 3 6 9 1 3 5 = r) + − 2 7 14 3 2 s) + = 4 3
o )2 −
2 1 + = 7 4 5 5 u) + = 9 6 2 1 v) + 2 + = 7 14 1 2 −1− = x) 3 9 1 1 −2+ = y) 5 15 t)
7) Řidič osobního auta spotřeboval při jízdě první den
1 zásoby benzínu v nádrži, druhý den 6
4 původní zásoby. Jakou celkovou část zásoby benzínu v nádrži spotřeboval za oba dny? 9
8) Jaký je celkový odpor R paralelně zapojených rezistorů R1= 5Ω, R2= 4Ω, R3= 2Ω, 1 1 1 1 1 R4= 10Ω? = + + + R R1 R2 R3 R4
6) Vynásobte: 3 5 a) ⋅ = 4 7 3 2 b) ⋅ = 5 7 1 8 c) ⋅ − = 9 5 6 8 d) − ⋅ = 11 7 1 e) − 4 ⋅ = 13 3 f ) ⋅ (− 5) = 4 3 1 g) − ⋅ − = 4 5
3 h) .(− 5) = 2 8 i )3. = 7 3 2 j) . = 5 7 2 k ) − 4. = 13 2 3 l ) . − = 9 8 21 m) .(− 2 ) = 5 3 4 n) − . − = 8 15 15
7) Vypočítejte: 1 z 40 g = 2 1 z 80 t = 4 1 z 6000 m = 3 3 z 21 m2 = 7
8 z 90 km = 15 2 4 ze hl = 3 5 3 z 6,2 dm = 4 2 z 3,4 kg = 5
8) Z tabule obsahu 2 m2 se na jeden výrobek spotřebují
9) Hmotnost odlitku je před opracováním 4 činí-li odpad
3 tabule. Kolik m2 je zbytek tabule? 4
1 kg. Jakou hmotnost má opracovaný výrobek, 5
1 jeho celkové hmotnosti? 7
10) Při zpracování řeziva přichází zpracování 25 m3 řeziva?
3 materiálu do odpadu. Kolik m3 řeziva se využije při 20
11) Skupina montérů spotřebovala dopoledne
1 1 kabelu, odpoledne zbytku. Jaká část 4 2
kabelu zbyla?
16
12) Skupina žáků má omítnout 460 m2 zdiva. Do splnění úkolu jim chybí
1 . Kolik m2 zdiva 5
již omítli?
13) Třetina kůlu byla zatlučená do země. Nad zemí vyčnívaly 4 m kůlu. Jak byl kůl dlouhý?
14) Hliníková tabule byla rozstříhána na tři stejné díly, každý díl byl dále rozdělen na pět stejných dílů. Jakou část tabule je nejmenší díl? Nakreslete.
15) Vypočítejte:
3 12 14 a) ⋅ ⋅ − = 4 21 9 b) −
7 1 ⋅ (− 5) ⋅ 2 = 15 7
1 2 8 c) − 4 ⋅ − 3 ⋅ − = 2 3 55 5 72 7 d )1 ⋅ ⋅ − = 6 18 8
17
16) Vydělte: 1 4 a) : = 3 9 2 14 = b) : 5 15 (− 8) : 4 = c) 11 3 7 21 d − : − = 3 35 1 14 = e)1 : 5 15 1 f )7 : 2 13 g ) − : (− 4) = 16 3 h)(− 1) : = 7 6 1 i) : 2 = 15 5 9 j )7,2 : = 15 3 3 k) : = 4 2 1 5 l) : = 2 6 2 1 m) : = 3 4 1 5 n)1 : = 2 6 3 7 o) 2 : − = 4 2 5 p) − : (− 0,7 ) = 2 1 7 q ) − 3 : − = 3 2 1 1 r )1 : 1 = 2 3 1 2 s )9 : − 1 = 2 5 3 t ) − 3 : 15 = 4
18
17) Zjednodušte: 5 a) 6 = 8 11 16 b) 3 = 4 − 9 6 28 = c) 3 − 7 −
d)
3 = 1 15
18 e) 4 = 4 15 17 = 32 3
1 f)
2 g) 5 = 3 4 4 3 = h) 1 2 1 −2 6 = i) 1 −2 10 −
19
1− j)
3 4
2 3 =
2 3 = k) 2 1− 3 2+
l)
1 3 1 5 + 4 12
=
18) Žák prvního ročníku má splnit úkol v odborném výcviku za 1
1 hodiny. Jakou část úkolu 2
musí splnit za hodinu?
19) Truhlář zhotovil výrobek za 3
2 hodiny. Jakou část práce splnil za hodinu? 5
20) Vypočítejte: 2 3 a) 1 − ⋅ = 5 4 b) 1 −
2 3 ⋅ = 5 4
2 3 c) 1 − : = 5 4 d) 1 −
2 3 : = 5 4
1 3 e) 1 − . = 3 5 20
1 1 f) − 1. − 2 = 6 3 2 4 g) − 3 − : = 5 9 2 1 1 h) − : − 1 = 3 4 2 3 5 12 i) + . = 8 6 29 21) Vypočítejte: 3 2 1 5 a ) + : 1 − = 4 3 2 6 b)
3 2 1 5 + :1 − = 4 3 2 6
1 2 1 1 c) − : 1 − 1 = 3 3 4 2 1 1 5 1 d) 1 + ⋅ − = 7 6 14 2 e)
8 7 5 2 ⋅ − +1 = 13 12 8 3
f)
1 1 1 5 2 9 − : + − . 2 3 4 12 3 10
3 1 g) 2 : 2 − = 4 12 22) Čemu se rovná polovina z jedné setiny? A) 0,005 B) 0,002 C) 0,05
D) 0,02
E) 0,5
J
21
5. Reálná čísla
1) Která z čísel -7
2
8 3
2 4
0
-
1 3
4,5
3
7
-
3 5
π
jsou a) přirozená b) kladná racionální c) celá nezáporná d) záporná reálná e) iracionální f) kladná iracionální g) nekladná iracionální h) záporná celá Absolutní hodnotu čísla si můžeme představit jako vzdálenost tohoto čísla od počátku číselné osy. Zapisujeme ji pomocí svislých čárek
.
Absolutní hodnota a) kladného čísla je číslo samo :
+5 = 5
b) záporného čísla je číslo k němu opačné :
−7 = 7
c) nuly je nula
0 =0
1) Znázorněte na číselné ose čísla 2 ; -3 ; 4 ; 0 ; -0,5 ; 3,5 ; -0,5 ; a jejich absolutní hodnoty.
2) Vypočítejte: 15= -15= 0=
-123= 50= -2,45=
-0,35= 1300= -0,21=
22
3) Vypočítejte: --2,5= +-12,8= -6,25= -+0,7= -4+2+-7= --2,2-0,8--3= -5 --3+-6,5= 5 – 10,3--4 - 7= ( − 8 − 1) : 2 =
− 8 −1 : 2 = −3− 6 :2 =
( − 6 − 3) : 2 = ( − 4 − 2).5 = − 4 − 2 .5 = − 4 − 2.5 = − 4 + 2 + − 7 − +1 =
Intervaly Množiny všech reálných čísel, větších (případně větších nebo rovných) než jisté číslo a a menších (menších nebo rovných) než jisté číslo b. Přitom a, b jsou reálná čísla, a < b
Množinový zápis { x∈ R ; x < b }
Grafické znázornění
Symbolický zápis (- ∞ ,b )
{ x∈ R ; x ≤ b }
(- ∞ ,b 〉
{ x∈ R ; x > a }
( a, ∞ )
{ x∈ R ; x ≥ a }
〈 a, ∞ )
{ x∈ R ; a < x < b }
(a , b )
{ x∈ R ; a ≤ x ≤ b }
〈 a , b
{ x∈ R ; a ≤ x < b }
a , b
)
{ x∈ R ; a < x ≤ b }
(
R=(- ∞ ; ∞ )
(- ∞ ; ∞ )
a , b〉
Způsob čtení otevřený interval méně nekonečno, b polouzavřený interval méně nekonečno, b otevřený interval a, nekonečno polouzavřený interval a, nekonečno otevřený interval a, b uzavřený interval a, b polouzavřený interval a, b , uzavřený zdola polouzavřený interval a, b , uzavřený shora interval méně nekonečno,nekonečno
Číslo a nazýváme dolní mez , číslo b horní mez intervalu. Otevřenost či uzavřenost intervalu značíme typem závorky. Závorky ( , ) znamenají, že příslušná mez do intervalu nepatří, závorky 〈 , 〉 znamenají, že příslušná mez do intervalu patří. Symboly
-∞, ∞
nepředstavují čísla.
23
1) Dané množiny zapište jako intervaly a znázorněte na číselné ose: A = {x ∈ R; x ≥ 2,5} B = {x ∈ R; -4 ≤ x ≤ 0} C = {x ∈ R; 1 ≤ x < 2} D = {x ∈ R; x < 5} E = {x ∈ R; -8 < x < -5} F = {x ∈ R; x ≤ -3,5} G = {x ∈ R; x ≥ -2,5} H = {x ∈ R; 4 < x ≤ 8}
2) Dané množiny zapište pomocí charakteristické vlastnosti a znázorněte je na číselné ose: K = ( -8, 0> L = < -6, 2 > M = ( - ∞, 4 ) P = < 0, + ∞ ) S = < 6, 12 > T = ( - ∞ , -3)
24
3) Určete (intervaly z předchozích příkladů): B∪F C∩B
K∪L
K∩L
M∪P
M∩P
L∪T
L∩T
6. Převody jednotek :10
:1 000
km
. 1 000
m
1) Vyjádřete v km:
.10
dm
6500 m =
2) Vyjádřete v m: 2,5 cm = 0,042 km = 7820 cm =
3) Vyjádřete v dm:
:10 .10
:10
cm
.10
mm
158 m =
9800 mm = 0,87 dm = 0,2 mm =
0,75 m =
368 cm =
57,7 m =
121 dm = 5,06 km =
4800 mm =
25
4) Vyjádřete v cm:
3,7 dm =
5) Vyjádřete v mm: 15,3 cm = 6) Upravte na m a sečtěte: a) 315 cm + 36,4 dm + 150 mm =
0,025 m =
156 mm =
0,76 dm =
0,0015 m =
b) 1,5 dm + 3400 mm + 0,47 cm + 0,00045 km = c) 3 600 mm + 0,20 dm + 0,000 19 km = d) 3,25 m = 2 015 mm + 36,5 cm = … m
7) Na bubnu je navinuto 0,75 km lana. Kolik m lana zůstane , jestliže spotřebujeme 184,5 m?
8) Při jedné otáčce se navine na buben zdvihadla 74 cm provazu. O kolik m se zvedne břemeno po 25 otáčkách?
km2
:100
:100 .100
ha
.100
:100
a .100
9) Upravte na mm2: 3,7 cm2=
m2
:100 .100
dm2
0,75 dm2=
:100 .100
cm2
:100 .100
mm2
0,0004 m2=
10) Upravte na cm2: 0,364 dm2=
157 mm2 =
0,0064 m2=
11) Upravte na dm2: 426 cm2=
0,014 m2=
36700 mm2=
12) Upravte na m2:
125 dm2=
1,25 a =
0,046 ha =
13) Upravte na a:
158 m2=
36,4 ha=
0,6 km2=
14) Upravte na ha:
264 a =
77350 m2=
0,058 km2=
15) Upravte na km2
4 675 a =
529 ha =
35 814 m2 =
26
16) Kolik m2 je : a) 3140 cm2 +254 dm2 +1740 mm2= b) 58 m2 + 3 504 cm2 + 5 700 mm2 = c) 3,6 m2 + 31 dm2 + 8 cm2 = 17) Podlaha místnosti měří 18,27 m2, obsah jedné parkety je 174 cm2. Kolik kusů parket bude potřeba na položení podlahy?
18) Kolik čtvercových dlaždiček o rozměru 25 cm je vydláždění chodby, je-li její šířka 3 m a její délka 14 m ?
3
km
:1 000
:1 000 .1 000
3
m
3
.1 000
dm
:1 000 .1 000
3
cm
:1 000 .1 000
mm3
1 m3 = 10 hl , 1 dm3 = 1 l , 1 cm3 = 1 ml :100
hl
.100
:10
l
.10
:10
:10
dl
.10
cl
. 19) Upravte na m3: 4650 dm3= 15,7 hl =
74000 cm3= 0,6 hl =
20) Upravte na dm3: 1400 cm3= 0,7 m3=
75300 mm3= 15,6 hl =
.10
ml
152 l = 848000 mm3 =
1,5 l = 0,0325 dm3=
27
21) Kolik m3 je a) 1,75 hl + 5400 dm3 + 14 l = b) 0,456 hl + 150 l + 750 dm3= 22) Kolik cm3 je 17,4 dm3 + 42500 mm3 + 0,00001 m3= 23) Na 1 m3 kamenného zdiva počítáme 1,25 m3 kamene a 4 hl malty. Kolik m3 kamene a malty se celkem spotřebuje na 25 m3 zdiva?
:10
t
:100
:100
q .10
kg .100
24) Upravte na kg: 1500 g = 0,0075 t =
:1 000
:10
dkg .100
g .10
715 g = 0,4 q =
mg .1 000
0,758 q = 3,5 t
25) Upravte na g:
0,4 kg =
15 kg =
0,00048 q =
26) Upravte na t:
14000kg =
18,6 q =
0,7 q =
27) Na stavbu bylo dodáno 540 pytlů cementu za 18 900,- Kč. Kolik stál 1q cementu, má-li pytel hmotnost 50 kg?
28) Kolik m3 písku lze naložit na nákladní auto nosnosti 8 t, jestliže 1 m3 písku má hmotnost 16 q ?
28
:60
h
.60
:60
min
.60
s
1 1 h , 1s = min 6 min = 0,1 h 60 60 min 29) Upravte na sekundy: 3 min = 0,75 min = 0,1 h =
1 min =
0,5 min = 30) Upravte na minuty:
180 s = 1,75 h =
31) Upravte na hodiny:
240 min =
3h= 30 s = 0,4 h = 5400 s =
,
6 s = 0,1
0,25 min = 15 s = 0,25 h = 15 min =
32) Do kotle přitéká 5 litrů za sekundu. Jak dlouho potrvá jeho naplnění, má-li objem 75 hl?
33) Do vodojemu přitéká 7,5 litrů vody za sekundu. Kolik hl nateče za minutu a kolik m3 za hodinu?
7. Poměry Poměrem porovnáváme dvě čísla nebo dvě hodnoty veličiny téhož druhu, obě vyjádřené ve stejných jednotkách. Zápis: 5 : 2 , čteme 5 ku dvěma ! nejde o dělení ! Poměr můžeme krátit a rozšiřovat. Úpravami se snažíme o to, mít poměr vyjádřený nesoudělnými přirozenými čísly.
1) Zapište poměry v základním tvaru: 45:90 46:82 10:15:35
49:77:105
0,3:1,25
1,5:0,8:0,09
29
2) První dělník smontoval 14 součástek, druhý 16 součástek. V jakém poměru si rozdělí odměnu?
3) Z jedné tuny cukrovky se vyrobí 160 kg cukru. V jakém poměru je množství cukrovky k množství získaného cukru?
4) Plná cihla má hmotnost 4,5kg, děrovaná má hmotnost 2,5kg. Jakém poměru je hmotnost cihel? Tento poměr vyjádřete nejmenšími přirozenými čísly.
5) Řidič nalil do chladiče 3,9 l vody a 2,6 l nemrznoucí kapaliny. V jakém poměru smísil vodu s nemrznoucí kapalinou?
6) Částka 800,-Kč se má rozdělit mezi dva pracovníky v poměru 3:1. Vypočtěte kolik dostane každý.
7) Dva brigádníci dostali za práci, kterou vykonali společně, 490,-Kč. První však pracoval 3 hodiny a druhý 4 hodiny. Kolik dostane každý, jestliže se rozdělí v poměru odpracovaných hodin?
8) Rozdělte částku 5000,-Kč v poměru 2,3:3,2:4,5.
30
9) Písek se štěrkem má být smíšen v poměru 2:3. Kolik písku a kolik štěrku bude ve 3,5m2 směsi?
10) Rozdělte pěti žákům částku 822,50Kč v poměru podle odpracovaných směn 5:7:6:9:8. Kolik dostane každý žák?
11) Výkon menšího čerpadla k výkonu většího čerpadla byl 3:8. Jaké množství kapaliny se přečerpalo větším čerpadlem, když za stejnou dobu se menším přečerpalo 324 l kapaliny? 12) Výkony dvou čerpadel jsou v poměru 1,2:1,8. Prvním čerpadlem se za 3 hodiny přečerpá 540 hl vody. Kolik hektolitrů vody se přečerpá za 3 hodiny oběma čerpadly? 13) Nejvýhodnější průřez trámů je udán poměrem šířky k výšce 5:7. Jak široké trámy zvolíte, navrhneme-li výšku 160 mm, 180 mm, 200 mm a 240 mm?
Měřítko výkresů 1) Délka garáže 6,20 m se má nakreslit na výkres v měřítku 1:50. Jakou velikost bude mít na výkrese?
2) Na výkrese nakresleném v měřítku 1:200 byla odměřením zjištěna délka budovy 76 mm. Jaká bude skutečná délka?
31
3) Šířka schodiště podle kóty je 2400 mm. Odměřením na výkrese byla zjištěna šířka 120 mm. Jaké je měřítko výkresu?
4) Skutečná délka místnosti 4,20 m je na výkrese vyznačena úsečkou dlouhou 84 mm. Jaké je měřítko výkresu?
5) Podrobný výkres dřevěného schodiště je narýsován v měřítku 1:20. Jaká bude šířka a výška jednoho stupně na výkrese, je-li jeho skutečná šířka 280 mm a skutečná výška 160 mm? 6) Na výkrese byla zapomenuta kóta výšky komína od půdy nad střechu. Odměřením na výkrese byla zjištěna výška 92 mm. Měřítko výkresu bylo 1:50. Jaká byla skutečná výška komína? 7) Budova dlouhá 6,4 m měří na výkrese 128 mm. Určete měřítko výkresu. 8) Šířka průčelí budovy 14,5 m měří na výkrese 145 mm. Určete měřítko výkresu. 9) Měřením na výkrese byla zjištěna délka sloupku 120 mm, měřítko výkresu bylo 1:20. Jaká byla skutečná délka sloupku. 10) Jaké budou půdorysné rozměry učebny na výkrese v měřítku 1:100 a 1:50, je-li skutečná délka učebny 12,3 a skutečná šířka 7,6 m?
Trojčlenka 1) Vyjadřují následující vztahy přímou nebo nepřímou úměrnost ? a) Doba, kterou svítí žárovka, a množství elektrické energie, kterou za tu dobu spotřebuje. b) Délka strany čtverce a obvod čtverce. c) Délka strany čtverce a obsah čtverce. d) Výška člověka a stáří člověka. e) Počet nákladních automobilů a doba potřebná k dovozu daného množství cihel. km f) Doba chůze člověka a vzdálenost, kterou ujde, jestliže jde stálou rychlosti 4,5 h 2) Na 1 m3 zdiva se spotřebuje 0,28 m3 malty. Kolik malty je třeba na 24 m3 zdiva?
32
3) Dva dělníci nakládali cihly na auto 3 hodiny. Jak dlouho by je nakládali 3 dělníci při stejném výkonu?
4) Pět dlaždičů by vydláždilo náměstí za 12 dní. Za kolik dní by toto náměstí vydláždili 4 dlaždiči?
5) Kolik m2 cihelných stěn omítne 18 žáků za 6 směn, když 5 žáků za tutéž dobu omítne 315 m2 ?
6) Špatně utěsněným kohoutkem uniká 0,8 l vody za hodinu. Kolik litrů vody uniklo v bytě dvěma kohoutky, které netěsnily, když oprava byla provedena až za 10 dní?
7) Příjezdovou cestu k hotelu by opravilo 14 dělníků za 32 pracovních dní. Kolik dělníků je třeba přibrat, má-li být cesta opravena do zahájení provozu, tj. za 28 pracovních dní?
33
8) Podnik potřebuje na splnění zakázky při dvousměnném provozu 21 dní. Za kolik dní by zakázku splnil při třísměnném provozu?
9) Elektrický vařič má spotřebu 10 watthodin za 48 sekund. Jaká bude jeho spotřeba v kilowatthodinách za 1 hodinu?
10) Čerpadlo o výkonu 3,5 litru za sekundu vyprázdní stavební jámu za 10 hodin. a) Za jak dlouho vyprázdní tuto jámu čerpadlo o výkonu 10 litrů za sekundu? b) Jaký výkon musí mít čerpadlu, aby se jáma vyprázdnila za 5 hodin? 11) Auto jede 4 km za 6 minut. a) Jak dlouho pojede vzdálenost 15,5 km? b) Kolik km ujede za 20 minut? c) Kolik km ujede za 1,5 hodiny?
Testové úkoly 1) Veličiny x a y jsou přímo úměrné, jestliže platí: A. o kolik se zvětší veličina x, o tolik se zvětší veličina y B. o kolik se zvětší veličina x, o tolik se zmenší veličina y C. kolikrát se zvětší veličina x, tolikrát se zvětší veličina y D. kolikrát se zvětší veličina x, tolikrát se zmenší veličina y E. kolikrát se zvětší veličina x, o tolik se zvětší veličina y 2) Která dvojice veličin je ve vztahu nepřímé úměrnosti? A. průměr kružnice a délka kružnice B. obsah kruhu a poloměr kruhu C. doba jízdy ujetá při konstantní rychlosti D. doba jízdy a spotřeba benzínu při konstantní rychlosti E. rychlost jízdy a doba jízdy při konstantní vzdálenosti 3) Pět revizorů chytí za 6 dní v průměru 70 černých pasažérů. Kolik černých pasažérů chytí v průměru 9 revizorů za 10 dní? A. 900 B. 630 C. 420 D. 210 E. 110
34
4) Vlak ujel vzdálenost mezi dvěma městy za 3 hodiny a jel průměrnou rychlostí 80 km/h. Jakou průměrnou rychlostí musí jet, aby zkrátil čas této jízdy o hodinu? A. 240 km/h B. 120 km/h C. 110 km/h D. 100 km/h E. 60 km/h 5) Když jsou na poště otevřené tři přihrádky, čekají lidé ve frontě průměrně 15 minut. Jaká bude průměrná čekací doba, jestliže se otevřou další dvě přihrádky? A. 8 minut B. 9 minut C. 10 minut D. 13 minut E. 25 minut
J
8. Procenta Jedno procento (1%) znamená jednu setinu celku, kterému říkáme základ. Zapisujeme: 1% = 0,01 základu V úlohách procentového počtu se setkáte s třemi údaji, mezi nimiž je vzájemný vztah: Jsou to základ, počet procent a procentová část. Př.: ze 450 žáků školy bylo 18 nepřítomných, což jsou 4% těchto žáků. Číslu 450 říkáme základ (z). Základ považujeme za celek představující 100 procent. Číslu 18 říkáme procentová část (č). Je to číslo vyjadřující část základu. Číslo 4 se nazývá počet procent (p). Toto číslo udává, kolik setin základu přísluší procentové části. Výpočet procentové části ze známého počtu procent, který jí přísluší a ze známého základu
1) Vypočítej 1% 2% 10 % 25 % 50 %
25
1 480
800
348
0,25
3,6
10 000
0,064
35
2) Vypočítejte: a) 2% ze 100 kg b) 25% z 80 m
c) 10% ze 6000 g d) 200% z 20 km
Výpočet základu ze známé procentové části a počtu procent, který jí přísluší 3) Vypočítejte základ, jestliže a) 12% je 48 m
c) 2% jsou 5 kg
b) 200% je 40 t
d) 60% je 15 W
Výpočet počtu procent ze známého základu a známé procentové části 4) Kolik procent je : a) 44 kusů ze 110 kusů
c) 4 t z 500 t
b) 2 kg z 16 kg
d) 0,5 kg z 500g
5) Doplň chybějící údaje: (výsledky zaokrouhluj na jedno desetinné místo) základ
p (%) Č
250 63
854 72 96
637
59 158
62 14 36
14
198 35
4 075 67 1 863
6 827
6) Rozpočet na rodinný domek byl 2 546 000,- Kč. Zlepšením pracovního postupu se ušetřilo 9% z celkového rozpočtu. Kolik Kč se ušetřilo?
7) Zlepšením pracovního postupu se ušetřilo 37 400,- Kč, což je 8,5% celkového nákladu na opravu. Jaký byl plánovaný náklad a kolik činí skutečná cena po snížení?
36
8) Žák měl vyzdít 24 m2 příček. Na kolik procent splnil úkol, jestliže vyzdil 20,64 m2?
9) Opravou stoupla hodnota budovy o 15% na hodnotu 2 379 000,- Kč. Jakou cenu měla budova před opravou?
10) Průměrná denní spotřeba vody na stavbě byla 15000 litrů. Je však třeba počítat se špičkovou spotřebou o 20% vyšší. Jakou dodávku vody je třeba zajistit?
11) Hmotnost smrkového dřeva se umělým sušením sníží průměrně o 48%. Jakou hmotnost má 1 m3 dřeva, jestliže po vysušení má hmotnost 420 kg?
12) Skupina 18 žáků pracovala týden na omítkách a splnila úkol na 105%. Kolik m2 omítli, jestliže denní norma byla 20 m2 na jednoho žáka.
13) V závodě pracuje 600 zaměstnanců. Z celkového počtu zaměstnanců je 82% žen. Kolik žen pracuje v závodě?
37
14) V 1 kg bronzu je 150 g olova, 80 g cínu a zbytek je měď. Vyjádřete v procentech.
15) Z 32 žáků mělo na konci školního roku 5 žáků vyznamenání. Kolik procent žáků mělo vyznamenání?
16) Dva žáci mají položit za hodinu 3 m2 hoblovaných podlah. Kolik m2 mají položit za tři dny po 6 pracovních hodinách, když chtějí plnit svoji normu na 105%.
17) Norma na žáka na položení tabulové podlahy byla 6 m2 na 1 žáka za 1 den. Na kolik procent splnili normu 2 žáci, když za tři dny položili 40 m2 podlah? 18) Jeden žák měl vyzdít za 6 hodin 1,4 m3 cihelného zdiva. Kolik měl vyzdít zedník za 8 hodin, jestliže norma na žáka byla jeho 60% normy zedníka? 19) Na kolik procent splnila skupina žáků plán, když místo plánovaných 1500 m3 betonu uložila 1605 m3 betonu? 20) Skupina žáků omítla 500 m2 stěn a splnila úkol na 80%. Jaký byl původní plán? 21) Zboží, které stálo 140,- Kč, bylo zlevněno na 60% z původní ceny. Odhadněte, zda některá z částek 60 Kč 40 Kč 80 Kč Je zlevněnou cenou. Svůj odhad ověřte výpočtem. 22) Zboží bylo v akci zlevněno o 45%, nová cena je 1450,- Kč. Jaká byla původní cena? 23) Kterou ze dvou uvedených slev na zboží, které si chcete koupit, byste více uvítali: a. sleva o 45% b. sleva na 45% 24) Elektrická vrtačka stála původně 2890,- Kč, po inovaci byl tento typ o 10% dražší, ale pak bylo všechno zboží zlevněno o 30%. Kolik za vrtačku zaplatíme? 25) Všechny ceny se snižují o 20% až 40%. Kolik bude stát zboží s původní cenou 960,- Kč?
Testové úkoly 1) Procento je A. pětina celku B. desetina celku C. setina celku
D. tisícina celku E. desetitisícina celku
38
2) Kolik procent jsou 3 metry ze 120 metrů? D. 25 % A. 0,25 % E. 40 % B. 2,5 % C. 4 % 3) 18 % z 320 kg je D. 90 kg A. 9 kg E. 576 kg B. 18 kg C. 57,6 kg 4) Kolik gramů kuchyňské soli je nutno rozpustit v 400 gramech vody, abychom dostali 20% roztok? D. 40 g A. 100 g E. 20 g B. 80 g C. 60 g 5) Kovboj Joe ukradl koně. Šerif určil škodu na 768 dolarů. Kolik dolarů stál kůň, jestliže sedlo bylo o 40% levnější než kůň? A. 288 dolarů D. 520 dolarů B. 460 dolarů E. 728 dolarů C. 480 dolarů
9. Intervaly a neúplná čísla 1)
Neúplné číslo znázorněte na číselné ose. Určete střední hodnotu ao a absolutní chybu α. Zapište ve tvarech a = ao ± α, a ∈ < ao-α, ao+α >. a) 9 ≤ a ≤ 11 b) 3 ≤ a ≤ 4 c) 101 ≤ a ≤ 109 d) 21,6 ≤ a ≤ 22,8
2)
Neúplné číslo znázorněte na číselné ose. Určete střední hodnotu ao a absolutní chybu α. Zapište ve tvarech a = ao ± α, ao-α ≤ a ≤ ao+α . a) a ∈ < -0,3 ; 0,3 > b) a ∈ < 24,34 >
39
c) a ∈ < 18,0 ; 18,6 > d) a ∈ < 128,130>
3)
Neúplné číslo znázorněte na číselné ose. Určete střední hodnotu ao a absolutní chybu α. Zapište ve tvarech ao-α ≤ a ≤ ao+α, a ∈ < ao-α, ao+α >. a) a = 13 ± 0,5 b) a = 7,5 ± 0,1 c) a = 10 ±1
4)
d) a = 2,75 ± 0,25 Uveďte alespoň pět přípustných hodnot neúplného čísla: a) 20 ± 0,5 b) < 1,3 ; 1,7 > c) 4 ≤ a ≤ 5 d) 0,27 ± 0,005
5) Jsou dána neúplná čísla a = 64,2 ± 0,4; b = 25,7 ± 0,2. Vypočtěte a + b, a – b.
6) Hřídel má části o délkách (12,7 ± 0,05)mm, (10,0 ± 0,05)mm, (3,8 ± 0,5)mm. Vypočtěte její délku.
7) Plechovka s 1 kg barvy vystačí na 7 m2 až 10 m2 natírané plochy. Má se natřít 62 m2 stěny. a) Kolik kilogramových plechovek barvy je třeba koupit, aby barva určitě stačila?
b) Kolik plechovek by mohlo zbýt?
40
8) Pramen dodává do studny nejméně 6 l vody za 1 min. Vypočtěte, jaký největší objem vody lze ze studny odebrat, aby bylo zaručeno, že voda bude během další hodiny vždy znovu doplněna.
9) Při zapojení jednoho čerpadla s objemovým průtokem 150l za 1 min hladina v jímce nepřestala stoupat. Při zapojení dalšího čerpadla se stejným objemovým průtokem začala hladina klesat. Vyjádřete neúplným číslem, jaký byl přítok do jímky.
J
10. Mocniny
Pro každé přirozené číslo n > 1 a pro každé reálné číslo a je an součin n stejných činitelů rovných číslu a, tj. an = a . a . a . …. . a n činitelů Platí: a1 = a pro každé reálné číslo a0 = 1 pro každé reálné a ≠ 0 0n = 0
00 není definováno
Výraz an (čteme a na entou ) je mocnina ; a je základ, n je mocnitel neboli exponent
41
Určete zpaměti: a) 82 =
802 =
8002 =
80002 =
b) 92=
0,92=
0,092=
0,0092=
c) 32=
(-3)2=
-32=
(-0,3)2=
d) 112=
(-1,1)2=
0,112=
-1102=
e) 152=
1502=
(-1,5)2=
-0,152=
2) Vypočítejte obsah čtverce se stranou a, doplňte tabulku: a 12 m 3,6 dm 0,019 km S=a2 3) Zapište ve tvaru mocniny: 2.2.2.2=
(-4).(-4)=
a.a.a=
(-2k).(-2k).(-2k)=
3a.3a.3a.3a.3a=
3a2b.3a2b.3a2 b.3a2b.3a2b=
4) Zapište ve tvaru součinu: 32=
(-1,2)3=
(-2)6=
(9a)3=
(-50)2=
-2b5=
(-12)5=
(x+1)2=
-3,24=
(y-2)3=
5) Vypočítejte: 113=
0,33=
6003=
114=
0,143=
(-2)6=
(-5)3=
-34=
-403=
0,115=
6)
Vypočítejte objem krychle s hranou a, doplňte tabulku: A 5 dm 3,2 cm 0,05 m 3 V=a
15,4 cm
231 mm
42
7)
Porovnejte hodnoty výrazů 3k a k3, doplňte tabulku: K 1 -2 3 3k k3
0
10
8) Vypočítejte: 10 – 25=
-(-10)2 – (-10)3=
5.(-2)4=
(33 – 4.5):104=
(-10 + 2.4)5=
(2+32)(2–3)2=
[(-5)3 + (-5)2]2=
[(-3)+(+2)]11=
(5.0,2 – 2)20=
[(-4).5 + 62 – 24]7=
[ (-3)2 – (-2)3 – (-3)2 .5] - (-7 + 2)2 =
(7 − 11)2 − (− 3 + 5)3 − (− 3)2
(
− 32 − − 3
=
) − [− (− 2) ] = 2
9) Vypočítejte : 54 = 83 = (-6)6 = -74 = (-4)5 = -27 =
3
0,34 = 0,002 1 = 0,25 0 = (-1)5 = (-1)14 = -(-0,5)2 =
-(-30)5 = 1451 = -2160 = -(-1)15 = -(-2)4 = (-0,251)0 =
11. Počítání s mocninami Mocniny s přirozeným mocnitelem S mocninami s přirozenými mocniteli počítáme podle vzorců : a n . b n = (a.b) n a n : b n = (a : b) n a r. a s =a r+s a r : a s= a r-s (a r) s = a r.s Ve všech vzorcích můžeme pořadí stran zaměnit. Sčítat a odčítat můžeme pouze mocniny se stejným základem i mocnitelem.
43
1) Zjednodušte sčítáním a odčítáním: 2a2 + 3a2 – 4a2 = 4b3 – 7b3 + b3 = 2x3 – 3x2 – x3 + 5x2 = 2a3 + 5x2 – 3a3 + 4a3 – x2 = 6x2 – 4x – 9x - 6 – 3x2 + x = 6a2 + 3a2b – 4a2 – b3 + 3b3 – 4a2b = (-2a)2 + (-3a)2 – (+4a)2 + (+2a)2 = 8a2 – (+4b)2 + (-5a2) – 1 + 2b2 - 3a2 + 2 =
2) Vynásobte, vydělte: ap .aq = a2.a3 = x4.x2 .x3 = m10 .m2 = x2 .x = m2 .m .m6 = 42 .420 = (-2)3 .(-2)6 = (-1)2 .(-1)5 .(-1)8 = mx .nx = m2 .n2 = 3 2
2
a3 .b3 .c3 = 56 .26 = 0,1 10. 2010 = ap : bp = m6: m2 = 75 : 7 = x2 : x2 = (-2)8 : (-2)3 = m7 = m5
3
3
2 . = 3
5 0,42 . = 3 2 (25 . 103) : (56 . 8)
2
1 − .9 = 3 (5 . 10)4 : (5 . 102 =
2
4
2 3 − . = 3 2
3
2
3 2 .8 = 4 2 5.6 4 = 8 3.9 2 3) Umocněte: (ar)s = (32)3 = (x7)4 = (106)2 = [(-4)2]5 =
10 20 = 1018 23 . (-1)5 = 43 = 16 50 3 = 25 2 49 = 73
81 1 . = 93 3 2
3 8 : = 8 3 [(-3)4]2 = [(-1)3]4 = [(-0,5)2]2= (a.b)s = (3x)5 = (0,1y)3 =
(-0,5r)2 = (-2.10)4 = (6xy)3 = m2 2
3
=
44
4) Zjednodušte výrazy: 2a2.a3 – 3a3.a2 =
(3p3.2p2)4 : p4 =
(3p3.2p2)4 =
(2.102)3 : (4.105) =
(m ) ⋅ (− 6m ) = (m ) 2
5
3 3
Mocniny s celým mocnitelem Pro libovolné celé číslo k a pro a ≠ 0 je a
1 1 = k = a a
−k
k
a b
−k
b = a
k
Vzorce pro počítání s mocninami zůstávají v platnosti i pro mocniny s celočíselnými mocniteli.
1) Zapište jako mocninu s kladným mocnitelem: a-n =
4-2 =
(-8)-2 =
x-2 =
60 =
(-x)-7 =
2-4 =
(-7)-1 =
(-10)-3 =
2) Vypočítej: p q
−n
1 6
−3
3 5
−1
6 7
−2
=
1 − 10
−4
=
0
= =
7 − = 4 0,9 −2 =
(− 1,5) -1
=
−3
3 = 5-3 = (-2)-5 = (-1)-2 = 10-6 =
=
3-5 = 0,1-3 = 20-4 = 3 5
−2
4 7
−3
= = 0
8 = 9
45
3) Zjednodušte: a-2 .a-3 = a2.a-3 = x-4.x2 .x-3 = 115 .11-2 = 3-2 .3 = 52 .5 .5-6 = 42 .420 = (-2)-3 .(-2)-2 = (-1)-2 .(-1)5 .(-1)-5 = m-x .n-x = m-2 .n-2 =
[(-3)-4]-2 = [(-1)3]-4 = [(-0,5)-2]2= (a.b)-s = (3x)-5 = (0,1y)-3 = (-0,5r)-2 = (-2.10)-4 = (6xy)-3 =
a-3 .b-3 .c-3 = 5-6 .2-6 = 5-3 : 510 = a-2 : a4 = m-6: m2 = 7-5 : 7 = (ar)-s = (3-2)3 = (x-7)-4 = (106)-2 = [(-4)-2]5 = 10-3 : 1010 = 100 : 107 =
4a-2.a3 – 7a-3.a2 = (5p-3.2p2)-4 = (3p3.2p-2)4 : p-4 = (4.10-2)3 : (4.10-5) = 10-2 .10-5 = 102 .10-2 = 103 .10-3 .10-6 = 10-6 : 10-6 =
−3
−1
2 9 − : = 3 4 2 −1 1 1 2 ⋅ ⋅ (− 5) = 5 25
Zápis čísla ve tvaru a.10n Platí: Kladný mocnitel udává počet nul za číslicí 1, takže např. 1011 = 100 000 000 000 Záporný mocnitel udává počet desetinných míst včetně číslice 1, takže např. 10-14 = 0,000 000 000 000 01 Používané předpony v označení jednotek: zkratka
zápis
zkratka
zápis
deka
dk
101
deci
d
10-1
hekto
h
102
centi
c
10-2
Kilo
k
103
mili
m
10-3
mega
M
106
mikro
m
10-6
giga
G
109
nano
n
10-9
tera
T
1012
piko
p
10-12
Násobné
Dílčí
46
1) Zapište ve tvaru a.10n: 2000 0,0003 8
0,18 11 52000
50 0,7 270
2) Zapište bez mocnin čísla 10: 3.103 2.10-1 4.102 5.10-2
5,6.10-1 3,71.102 6,05.101 9,98.100
3) Zapište ve tvaru a.10n: 5 320 000 Kč 0,003 1 kW
52 000 000 km 0,000 01 m
4) Zapište ve tvaru a.10n s jednotkou bez předpony: 9 cm 0,3 kg 3t 0,006 m 8 dm 12 mm 1 hl 11 kW 5) Zapište bez mocnin čísla 10: 2. 10-2 m 5. 103 m 8. 10-3 kg 4. 10-1 m
6,5. 10-2 m 3,1. 103 W 2,687. 10-3 A 9,9. 106 Pa
6) Zapište, co vyjadřují údaje, které se objevily na displeji kalkulačky: 4.6892 02 1.1520 -01 2.123 10 8.3006 06 6.7041 -08 5.1000 -16 7) Zapište výsledek ve tvaru a.10n: 10 000 . 100 . 1 000 000 = 0,01 . 10 000 . 0,000 01 = 105 . 100 = 0,14 . 1003 = 300 . 70 . 2 000 = 400 . 0,000 6 = 220 . 0,000 1 . 80 = 1 100 . 0,9 . 0,01 = 28 000 : 1 400 = 490 : 0,07 = 3 200 : 0,08 =
0,055 : 0,001 1 = 100 ⋅ 0,001 = 0,01 ⋅ 10000 2
10 2 10 ⋅ 3 = 10 3
( )
0,1−2 ⋅ 0,12
(10 )
3 −2
3
⋅ 10000
=
47
8) Vypočítejte: 5,2.104 – 4,5.103 - 6.10 = 4,3.103 + 7,5.102 – 6,75.10 = 9,8.107 + 5,6.106 + 3.105 = 6.105 – 0,8.104 + 11.102 =
9)
Dospělý člověk má asi 5,5 l krve. V 1 mm3 krve je asi 5 miliónů červených krvinek, 10 tisíc bílých krvinek a 250 tisíc krevních destiček. Vypočítejte a zapište množství červených a bílých krvinek a krevních destiček v krvi dospělého člověka.
10)
List papíru má tloušťku 0,2 mm. Odhadněte a potom vypočítejte, kolik listů papíru je narovnáno ve sloupci vysokém 1 m.
11)
Odhadněte a vypočítejte, kolik krychlí o hraně 1 mm se vejde do krabice délky 1 m, šířky 5 dm a výšky 10 cm. Předpokládejte, že krychle krabici zcela vyplňují.
12)
Porovnejte hmotnost Země s hmotností Měsíce a Slunce. Hmotnost Země je 6 . 1024 kg, hmotnost Měsíce je 7,4 . 1022 kg a hmotnost Slunce2 . 1030 kg.
13)
Jak dlouho letí ze Slunce na Zemi světelný paprsek? Vzdálenost Země od Slunce je asi 1,5 . 108 km, světlo se ve vakuu šíří rychlostí 300 000 km.s-1. Za jak dlouho by km tuto vzdálenost uletělo letadlo letící rychlostí 1 200 ? h
48
12. Odmocniny 1) Vypočítejte druhé a třetí odmocniny: 3 8 49 3 1000 144 3 121 125 81 0,01 3 3 27 64 2) Použijte kapesní kalkulačku: 5,736 = 2973,5 = 3) Určete hodnotu výrazu: 9 + 16 = 49 − 25 = 4 + 100 = 1 + 81 =
100 0,0001
0,0025 3
0,001
0,16 3
0,008 1,44 0,0561 =
726,359
10 2 − 9 2 = 7 2 + 82 = 212 − 19 2 = 112 + 8 2 =
82 – 2.32 + 6 2 =
( 16 −
)
2
25 − 3.2 3 =
− 4 2.(− 1) + 2 + 4.8 − 7 2 = 3
1 + 0,03. 10 2 − 8 2 − 100
( 3)
2
=
4) Vypočítejte. Výsledky zaokrouhlujte na dvě desetinná místa: 3 ⋅ 25 = 15
2 ⋅ 3 1000 = 1,53
7 ⋅ 3 16
3 − 2 ⋅ 0,1 = 0,1
49
=
5) Jakou délku strany má čtverec, jehož obsah je: S 64 dm2 0,694 m2 a 6) Jakou délku hrany má krychle, jejíž objem je: V 1000 dm3 300 m3 a
a= S 864 cm2
0,00935 km2
a= 3V 5 cm3
0,08 km3
49
Mocniny s racionálním exponentem
a =a
q
a =a
p
1 2
p q 3
a =a
1 3
...
6
a =a
1 6
1) Napište jako mocniny: 3
a2 =
5
23 =
m −2 = 7 −3 =
4
10 3 =
p −1 =
2) Napište jako odmocniny: 3
1
b2 =
m3 =
2 3
24 =
10
1 2
3,5 =
q
−
3 − 2
2 3
= =
q
3) Mocniny zapište jako odmocniny a vypočtěte je: 5 25 0, 5 = 2 16 = 9 −1, 5 = 3 42 = 36 64
81
3 − 2 −
1 2
( a) q
p 1
64 2 = 25
=
16 49
=
2 3
ap =
−
1 2
=
= 4
64 3 = 125 4 3
27 = 8 1 49 1 81
−
1 3
=
1 2
= 3 2
0,064 = 0,008
−1,5
−
2 3
=
0,09 = 2
0,125 3 = 0,36-0,5= 0,243
2 3
50
4) Vypočtěte: 5
4 20 =
16
1 2
125 =
1 2
1 2
1 − 2
1 2
49 + 36 = 49 + 36 49
− 36
49 ⋅ 36
=
1 − 2
1 2
=
x :x
1 2
1 2
=
m ⋅3 m =
a1,5 ⋅ a = − 0 ,5
1 2
49 ⋅ 36 =
1 3
4 3
=
512 =
1 2
1 − 2
1 2 1 3
36 = 1000,5= 6
−
3
=
p2 :
p3 =
OPAKOVÁNÍ: 1) Zapište ve tvaru mocniny: 3.3.3.3.3= a.a= 4a.4a.4a.4a.4a= 2) Vypočti: 52 = 0,92 = 0,0032 = 0,072 = 0,0012 = 3) Vypočti: √81= √64= √0,36= √0,0016= √0,09= √0,000025= 4) Vypočti zpaměti: 302 = 3002 = 30002 = 0,32 =
(-5).(-5).(-5)= (-3k).(-3k).(-3k).(-3k)= a2b. a2b. a2b. a2b. a2b= 0,082 = 562 = 5602 = 56002 = 12,52 =
1,46522 = 715,82 = 0,48592 = 19,3762 =
√870= √8700= √87000= √400= √4000= √40000=
√0,15= √1,5= √0,015= √0,0015=
0,032 = 0,0032 = √64=
√6400= √640000= √0,64=
√0,0064= √0,000064=
5) Vypočítej: 1202 +122 +1,22 +0,122 =
51
Slovní úlohy: 1) Kolik m2 tapet je třeba k vytapetování stropu čtvercové místnosti s délkou strany 4,75 m?
2) Nádrž tvaru krychle (bez víka) má hranu délky 1,8 m. Kolik m2 plechu je třeba k její výrobě, počítáme-li 4% materiálu na spoje a odpad?
3) Normy předepisují jako nejmenší průřez komínového průduchu 0,0225 m2. Vypočítejte potřebnou délku strany čtvercového průduchu.
4) Čtvercová deska má mít plochu 0,5 m2 . Kolik mm bude měřit délka jedné strany?
5) Jaký odpad v % bude, jestliže z čtvercové překližky o straně 0,8 m vyřízneme největší možnou kruhovou desku?
6) Čtvercová podlaha hudební síně má být pokryta podlahovou krytinou, 1 m2 této krytiny stojí 235,- Kč. Kolik bude stát krytina na celou podlahu, je-li strana čtverce 18,5 m?
52
7) Z kmene, jehož průměr na užším konci je 280 mm, se má vytesat trám čtvercového průřezu. Vypočtěte délku strany největšího možného čtvercového průřezu.
8) Chodník tvaru obdélníku má délku 52 m a šířku 2 m. Chodník má být vydlážděn čtvercovými dlaždicemi o straně 250 mm. Kolik dlaždic bude potřeba?
9) Čtverec má stejný obsah jako obdélník o stranách 18,85 m a 23,60 m. Vypočtěte stranu čtverce.
10) Deska má tvar čtverce o straně 0,75 m, Jaký má obsah, má-li 2 otvory o průměru 15 cm a 1 otvor o průměru 9 cm?
11) Kolik vody je ve studni s kruhovým průřezem o průměru 0,89 m, je-li hloubka vodního sloupce 3,24m?
12) Vypočítejte délku úhlopříčky ve čtverci se stranou 18 m.
13) Vypočítejte poloměr kruhu, který je opsaný čtverci se stranou 15 cm.
53
14) Otevřená plechová nádrž na vodu tvaru krychle má objem 0,5 m3. Jaká je délka její hrany? Kolik plechu je potřeba na její výrobu?
15) Věž tvaru válce má kruhový půdorys. Jaký je objem jejího zdiva, je-li vnitřní průměr 5,4 m a tloušťka zdí 1 m? Výška zdiva je 12 m.
16) Vodní nádrž má přibližně čtvercové dno o rozloze 1 ha a je v ní právě milión litrů vody. Může v ní být uspořádána plavecká soutěž?
J
13. Planimetrie Geometrické symboly a jejich zápisy: Zápis
Význam
AB
úsečka AB
|AB|
délka úsečky BA
↔ AB , p
přímka AB
a AB
polopřímka AB
AB
polopřímka AB opačná k polopřímce AB
ABC
Konvexní úhel ABC
ABC
Nekonvexní (konkávní) úhel ABC
|ABC|
Velikost úhlu ABC
| X, o |
Vzdálenost bodu X od přímky o
∆ ABC
Trojúhelník ABC
Zobrazení je shodné, má-li tuto vlastnost: Libovolná úsečka a její obraz jsou shodné (XY ≅ X´Y´). 54
1) Užitím geometrických symbolů zapište body, přímky, polopřímky, úsečky, roviny, poloroviny a úhly, které jsou vyznačeny na obrázku.
2) Zapište vzájemné polohy přímek na obrázku.
Zapište, které úsečky jsou na obrázku shodné.
Zapište, které úhly jsou na obrázku shodné.
Shodnost trojúhelníků
Konstrukce trojúhelníků Dáno
Podmínka
Věta
délka všech tří stran
součet délek dvou libovolných stran je větší než délka třetí strany
Sss
délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného
velikost daného úhlu je menší než 180°
Sus
délka jedné strany a velikost dvou úhlů k ní přilehlých
součet velikostí daných úhlů je menší než 180°
Usu
délky dvou stran a velikost velikost daného úhlu je menší úhlu ležícího proti delší z nich než 180°
Ssu
55
1) Sestrojte dvojice daných trojúhelníků. Zapište, podle které věty o shodnosti trojúhelníků jsou shodné. a) ∆ABC: a = 2,5 cm, b = 4 cm, c = 5 cm ∆A’B’C‘: a‘= 2,5 cm, b‘= 4 cm, c‘= 5 cm
b) ∆ABC: a = 5 cm, b = 7 cm, γ = 60° ∆A’B’C‘: a‘ = 5 cm, b‘ = 7 cm, γ‘ = 60°
c) ∆ABC: a = 6 cm, β = 47°, γ = 75° ∆A’B’C‘: a‘ = 6 cm, β‘ = 47°, γ‘ = 75°
56
d) ∆ABC: b = 5 cm, c = 6 cm, γ = 90° ∆A’B’C‘: b‘ = 5 cm, c‘ = 6 cm, γ = 90°
2) Zapište velikosti prvků trojúhelníků, které mají být shodné s trojúhelníky danými. (Udělejte si náčrty) a) ∆ABC ≅ ∆ MNP, ∆ABC: AB= 6 cm, ∠BAC= 30°, ∠ABC= 45°
b) ∆KLM ≅ ∆ PQR, ∆KLM: LM= 7 cm, LK= 4 cm, KM= 6 cm
3) Sestrojte dané trojúhelníky, zapište věty o shodnosti trojúhelníků, které při konstrukci používáte. a. ∆PQR: PQ= 7 cm, QR= 11 cm, ∠PQR= 65°
57
b. ∆MNP: p = 6,5 cm, m = 8 cm, n = 10 cm
c. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C: ∠CAB= 37°, b = 5 cm
d. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C: c = 9,5 cm, a = 3,7 cm
58
4) Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC o straně a = 6 cm. Zapište věty o shodnosti trojúhelníků, které můžeme ke konstrukci použít.
5) Rovnoramenný trojúhelník ABC má základnu c, ramena a,b. Sestrojte trojúhelník ABC podle zadání a zapište větu o shodnosti trojúhelníků, pomocí níž konstrukci provádíte: a. c = 5 cm, a = 8 cm
b. c = 8,4 cm, α = 30°
59
c. b = 5 cm, γ = 32°
d. α = 74°, γ = 45°
Shodná zobrazení
1) Sestrojte osu: úsečky
ostrého úhlu
tupého úhlu
přímého úhlu
60
2) U narýsované kružnice není zřetelná poloha středu. Jak střed kružnice najdete?
3) Narýsujte a sestrojte osy souměrnosti těchto útvarů: a) čtverec o straně a = 4 cm
b) obdélník o základně délky 8 cm a poloviční výšce
c) kružnici o průměru d = 5 cm
61
d) rovnostranný trojúhelník o straně délky a = 5 cm
4) Narýsujte libovolný: a) kosočtverec b) kosodélník c) rovnoramenný trojúhelník d) obecný trojúhelník e) polokruh f) čtvrtkruh g) pravidelný šestiúhelník h) pravoúhlý lichoběžník Narýsujte všechny osy souměrnosti těchto útvarů, pokud existují.
62
Osová souměrnost
Středová souměrnost
6) Sestrojte obraz A1B1C1 rovnostranného trojúhelníku ABC (a = 4 cm) v osové souměrnosti s osou AC. Dále sestrojte obraz A2B2C2 trojúhelníku A1B1C1 ve středové souměrnosti se středem v bodě A.
7) V soustavě souřadnic Oxy jsou dány body S[-1,3], D[-1,0]. Sestrojte kružnici k(S, r =SD). Dále sestrojte obraz této kružnice v osových souměrnostech s osami x a y. V obou souměrnostech určete samodružné body.
63
8) V soustavě souřadnic Oxy jsou dány body A[1,1], B[3,0], C[0,3]. Sestrojte trojúhelník ABC. a) Sestrojte jeho obraz A’B’C‘ v osové souměrnosti s osou x b) Sestrojte jeho obraz A‘‘B‘‘C‘‘ v osové souměrnosti s osou y c) Sestrojte obraz trojúhelníku A’B’C‘ v osové souměrnosti s osou y Vyšrafujte obrazec vzniklý z trojúhelníků. Zapište souřadnice samodružných bodů a uveďte vždy příslušnou osovou souměrnost. 9) V soustavě souřadnic Oxy jsou dány body A[2,1], B[4,1] a C[3,3]. Sestrojte trojúhelník ABC a jeho obraz A’B’C‘ středově souměrný podle bodu S[0,0]. 10) Který z uvedených útvarů je osově i středově souměrný? A) rovnostranný trojúhelník B) rovnoramenný lichoběžník C) pravidelný pětiúhelník D) pravidelný šestiúhelník E) kosodélník 11) Kolik os souměrnosti má pravidelný šestiúhelník? 1. 3 2. 6 3. 9 4. 12 5. více něž 100
Podobná zobrazení 1) Narýsujte dvojici podobných trojúhelníků podle zadání. a) ∆ ABC má strany AB = 3 cm, BC = 4,5 cm, AC = 3,5 cm, ∆A1B1C1 má odpovídající strany dvojnásobné délky.
64
b) Pravoúhlý trojúhelník ABC má vnitřní úhel o velikosti β = 60˚ a strana a = 4 cm, podobný pravoúhlý trojúhelník A1B1C1 má vnitřní úhel β1 = 60˚ a strana a1 = 5,5 cm.
c) ∆ABC má strany c = 2,5 cm, b = 2 cm a úhel α = 40˚ , podobný ∆A1B1C1 je |A1B1| = 5 cm, α1 = 40˚, |A1C1| = 4 cm.
2) Úsečku AB délky |AB| = 10 cm rozdělte na a) sedm dílů b) devět dílů c) dva díly v poměru 2 : 1 d) tři díly v poměru 1 : 2 : 3
65
2) V plánu v měřítku 1 : 1000 je zahrada znázorněna rovnoramenným pravoúhlým trojúhelníkem o délce ramene 6 cm. Určete skutečnou rozlohu zahrady ( využijte vlastnosti podobnosti).
J
14. Vlastnosti trojúhelníka 1) Jak rozdělujeme trojúhelníky a) podle stran
b) podle úhlů
2) Užitím trojúhelníkové nerovnosti rozhodněte, zda existují trojúhelníky s délkami stran: a) 65 m, 82 m, 101m
b) 50 m, 20 m, 29 m
c) 0,3 km, 0,42 km, 510m
d) 210 m, 0,4 km, 190 m e) 3200 mm, 400 cm, 72 dm f) 4 m, 5000 mm, 0,007 km
66
3) V ∆ABC určete velikosti zbývajících vnitřních úhlů, jestliže: a) α = 52˚, β = 41˚
b) a = b = 10 cm, γ = 62˚
c) α = 67˚40´, β = 41˚25´
d) pravoúhlý trojúhelník, β = 21,5˚
e) a = b = c = 5 cm f) b = c = 7 cm, β = 80˚ g) pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník h) β = 31˚50´, γ = 112,5˚ 4) Který z trojúhelníků se zadanými úhly nelze sestrojit: A) 52˚, 110˚ B) 90˚, 50˚ C) 110˚, 90˚ 5) Určete velikosti vnitřních úhlů: a. v kosočtverci ABCD, je-li ∠ABD= 55°10´ b. v pravidelném pětiúhelníku
6) V ∆ABC (a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm) sestrojte střední příčky, výšky a těžnice.
67
7) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou c je dáno: a = 6 cm, b = 5 cm. Sestrojte jeho výšky a těžnice.
8) Sestrojte v ∆ABC ( α = 120°, c = 6 cm, b = 3 cm) všechny výšky.
9) Sestrojte ∆ABC ( a = 3 cm, b = 4 cm, γ = 90°), sestrojte kružnici opsanou.
10)Sestrojte ∆ABC (a = 7 cm, β = 60°, γ = 75°), sestrojte kružnici vepsanou.
68
11) Narýsujte plánek pozemku ABCD v měřítku 1 : 10000, jsou-li změřeny tyto údaje: AB= 700 m, AD= 300m, BD= 600m, ∠BDC= 60°, ∠ABC= 45°.
15. Pythagorova věta Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců nad oběma odvěsnami. c2 = a2 + b2
Obrácená Pythagorova věta: Jestliže je v trojúhelníku součet druhých mocnin délek kratších stran roven druhé mocnině délky nejdelší strany, potom je tento trojúhelník pravoúhlý.
1) Vypočítej délky zbývajících stran pravoúhlých trojúhelníků ABC s pravým úhlem při vrcholu C: a) a = 3 m, b = 4 m
b) c = 13 cm, b = 12 cm
c) c = 1 dm, a = 6 cm
d) c = 26 mm, b = 24 mm
2) Žebřík dlouhý 8,5 m je opřen o zeď. Spodní konec žebříku je 175 cm od zdi domu. Do jaké výšky dosahuje žebřík? (načrtni)
69
3) Rozhodni, jestli je trojúhelník se zadanými stranami pravoúhlý: a) 18,6 cm, 7,5 cm a 12,4 cm
b) 4,5 m, 6 m a 7,5 m
4) Vypočítej výšku rovnostranného trojúhelníka se stranou 12 cm.
5) Vypočítej délku úhlopříčky v obdélníku se stranami 23,6 cm a 15,9 cm.
6) Vypočítej délku úhlopříčky ve čtverci se stranou 18 m.
7) Jak vysoko dosáhne dvojitý žebřík (tzv. štafle), který má délku 4 m a dolní konce jsou od sebe vzdáleny 2,5 m.
70
8) Příčný řez odvodňovacího kanálu má tvar rovnoramenného lichoběžníka. Základny měří 1,8 m a 90 cm, ramena měří 60 cm. Vypočti hloubku tohoto kanálu. (načrtni)
9) V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou odvěsny dlouhé 6 cm a 8 cm. Poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC je A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm E. 10 cm
10) Pomocí Pythagorovy věty proveďte kontrolu pravých úhlů v místnosti o rozměrech 3,60 m a 3,50 m.
11) Pomocí pásma, z kterého použijeme 12 m, máme vytyčit pravý úhel. Vypočtěte příslušné délky stran pravoúhlého trojúhelníku.
12) Nejdelší lať, kterou máme po ruce, je dlouhá 1500 mm. Jak dlouhé musí být další dvě, chceme-li vytyčit pravý úhel?
71
Thaletova věta.
Středové a obvodové úhly
Množinu vrcholů pravých úhlů všech pravoúhlých trojúhelníků s přeponou AB je kružnice k s průměrem AB s výjimkou bodů A,B. Kružnici k nazýváme Thaletova kružnice.
1) Sestrojte rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou délky 6 cm.
2) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou délky 5 cm a výškou k přeponě 2 cm.
3) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c = 8 cm a úhlem α = 60°.
72
16. Řešení pravoúhlého trojúhelníku Vztahy mezi stranami a ostrými úhly pravoúhlého trojúhelníka ABC:
Sinus úhlu je poměr délky protilehlé odvěsny a přepony : sin α =
a c
Kosinus úhlu je poměr délky přilehlé odvěsny a přepony : cosα =
Tangens úhlu je poměr délky protilehlé a přilehlé odvěsny : tg α =
b c a b
Kotangens úhlu je poměr délky přilehlé a protilehlé odvěsny :cotg α =
b a
1) V pravoúhlých trojúhelnících ABC s přeponou c vypočtěte délky zbývajících stran: a) c = 20 cm, α = 30°
b) c = 17,5 cm, β = 65°
c) b = 27 cm, β = 15°
d) a = 0,5 km, β= 30°
e) c = 1 km, α = 23°30´ 73
f) b = 12 cm, α = 47°10´
2) Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c, je-li dáno: a) a = 8 cm, c = 10 cm
b) a = 13 cm, b = 10 cm,
c) b = 75 mm, c = 100 mm
d) a = 100 cm, b = 1 m
3) Řešte pravoúhlý trojúhelník, jehož výška v = 4 cm dělí přeponu na úseky o délkách 2 cm a 8 cm. Vypočtěte jeho obsah.
4) Osovým řezem šachty vysoké pece je rovnoramenný lichoběžník, jehož základny mají délky 8 m, 6,6 m a výška je 15 m. Vypočítejte úhel sklonu zdiva.
74
5) Profil příkopu je rovnoramenný lichoběžník. Šířka příkopu je 1200 mm, šířka na dně je 400 mm. Vypočítejte hloubku příkopu.
6) Jak vysoko na zdi sahá žebřík, který s vodorovnou rovinou svírá úhel 72° a jeho dolní konec je od zdi vzdálen 1,2m.
7) Na natření plochy 6,5 m2 se spotřebuje 1 kg barvy. Jakou hmotnost má barva, která se spotřebuje na natření plochy na obr.?
8) Vypočítejte vzdálenost teodolitu od telegrafní tyče vysoké 8,8 m. Úhel α = 6°50´.
75
9) Vypočítejte výšku budovy, jestliže jste trigonometrickým měřením zjistili vzdálenost optického stroje od budovy 85 m a úhel α = 10°30´. Výška přístroje od země je 1200 mm. Zhotovte nákres.
10) V jakém úhlu stoupá schodiště, jehož schody jsou 300 mm široké a 150 mm vysoké.
11) Žebřík 8,5 m dlouhý je umístěn ve studni a svým dolním koncem vzdálen 0,9 m od stěny studně. Horní část žebříku je opřena o stěnu studně. Jak velký úhel svírá žebřík se dnem studně? 12) Dalekohled měřícího přístroje je 1,7 m nad vodorovnou rovinou a je vzdálen 185 m od paty komína. Vypočtěte výšku komína, je-li změřen výškový úhel 29°22´. 13) Dvě stejné síly F1 = F2 = 500 N mají společné působiště a svírají úhel o velikosti 65°. Určete velikost jejich výslednice (silový rovnoběžník je kosočtverec). 14) Vypočtěte velikost výslednice kolmých sil o velikostech F1 = 750 N a F2 = N. Jak velký úhel svírá výslednice se složkou F2? 15) Balon je upoután na laně dlouhém 30 m. Vlivem bočního větru lano svírá s vodorovným směrem úhel o velikosti 65°. Jak vysoko je balon nad zemí? 16) K vybudování dálničního úseku je nutno odstranit výběžek skalního masívu. Vypočtěte délku úseku, na němž budou tyto práce probíhat, znáte-li údaje zeměměřičů určené při vytyčování tělesa dálnice.
76
17. Obvody a obsahy mnohoúhelníků Trojúhelník : - o = a + b +c
a ⋅ va 2
-
S=
-
o = 4.a S=a
Čtverec :
Obdélník : -
o = 2.(a + b) S = a.b
Rovnoběžník: Kosočtverec : - o = 4.a - S = a . v ; S = u1 . u2
Kosodélník : - o = 2.( a + b ) - S = a . va
Lichoběžník : - o=a+b+c+d -
S=
(a + c ) ⋅ v 2
1) Vypočtěte délku obvodové lišty ve čtvercové hale s délkou strany 6 m. V každé stěně jsou dvojité dveře. Šířka dveřních otvorů je 1500 mm.
77
2) Kolik metrů podlažní lišty v místnosti lichoběžníkového půdorysu, jehož rovnoběžné strany jsou 4800 mm a 4400 mm dlouhé a šikmé strany 4600 mm a 5100 mm dlouhé. V místnosti jsou dveře široké 900 mm.
3) Pozemek má tvar čtverce o straně 32,8 m. Vypočtěte kolik drátěného pletiva je potřeba na oplocení pozemku, počítáme-li s vjezdem širokým 4 m.
4) Na oplocení obdélníkového pozemku se spotřebovalo 820 m pletiva. Jedna strana pozemku je dlouhá 180m. Jak velká je druhá strana?
5) Hřiště má tvar čtverce. Délka plotu je 280 m. Jak dlouhá je strana hřiště?
6) Vypočtěte plochu stropu čtvercové místnosti o délce strany 4650 mm.
7) Stavební parcela tvaru obdélníku má 990 m2. Stanovte délku, když šířka parcely je 27,5 m.
78
8) Parketa tvaru obdélníku má rozměry 75 mm a 270 mm. Kolik takových parket nejméně je potřeba na pokrytí podlahy s rozměry 3,5 m a 6,2 m?
9) Kolik arů měří parcela tvaru kosodélníku o rozměrech na obrázku?
10) Okno střešního vikýře má tvar rovnostranného trojúhelníku o straně 0,6 m. Kolik skla je třeba na zasklení okna. Je-li dvojité?
11) Střecha chaty se skládá ze 4 shodných rovnoramenných trojúhelníků o základně 3,4 m a výšce 1,8 m. Pro stanovení spotřeby krytiny vypočítejte obsah střechy. 12) Průřez chodby má tvar rovnoramenného lichoběžníku. Spodní základna je dlouhá 3,6 m a stropnice 2,8 m. Výška chodby je 2,6 m. Jak dlouhé jsou stojky? Jak velký je průřez? 13) Pro určení spotřeby krytiny vypočtěte plochu střechy budovy, která se skládá ze dvou shodných lichoběžníků (a = 17 m, c = 8 m, v = 6 m) a ze dvou shodných trojúhelníků (a = 10 m, va = 6 m). 14) Vypočtěte plochu dlaždice tvaru pravidelného šestiúhelníku o poloměru opsané kružnice 60 mm. 15) Kolik dlaždic tvaru pravidelného šestiúhelníku o poloměru kružnice opsané 80 mm bude potřeba na vydláždění plochy 1 m2 ? 16) Vypočtěte, kolik m2 skla je třeba na zasklení okna tvaru pravidelného pětiúhelníku o straně 1 m? 17) Z čtvercové tabule překližky o straně 70 cm jsme zhotovili víko tvaru pravidelného pětiúhelníku o straně 40 cm. Kolik % bylo odpadu? 18) Kolik různých obdélníků s celočíselnými délkami stran má obsah 60 cm2 ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8 19) Obvod kosočtverce je 21,6 cm, jeho obsah je 21,6 cm2. Výška tohoto kosočtverce měří a) 8 cm b) 5,4 cm c) 5 cm d) 4 cm e) žádná z možností A – D není správná
79
Obsah nepravidelných mnohoúhelníků 1) Vypočítejte plochu:
80
3) Vypočítejte plošný obsah stěn místnosti 6,30 m dlouhé, 4,80 m široké a 2,6 m vysoké.
4) Kolik m2 měří omítky stěn a stropu místnosti 4650 mm široké, 5 m dlouhé a 2800 mm vysoké?
5) Vypočítejte plochu omítek stěn a stropu místnosti obdélníkového půdorysu o rozměrech stran 500 mm a 4200 mm, vysoké 2800 mm. V místnosti jsou tři čtvercová okna o straně 1500 mm a jedny dveře široké 900 mm a 2 m vysoké. Od omítky stěn odečtěte plochu oken a dveří.
Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře π = 3,14159 = 180° 1) Velikost úhlů danou ve stupních vyjádřete v radiánech: 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 225°, 240°, 270°, 360°
2) Velikost úhlu danou v radiánech vyjádřete ve stupních: 2π 3π π 5π π 3 2 6 6
π 12
7 π 6
π 4
π 2
11 π 12
5π 12
3 π 4
π 12
π 3
11 π 3
81
3) Převeďte velikosti úhlů v radiánech na stupně: 2,3562 = 4,7124 = 1,62806 = 3,05430 = 0,26175 =
Kružnice, kruh a jejich části Kružnice, kruh: - o = 2.π . r = π. d - S = π . r2
1) Vypočtěte délku kružnice, je-li dáno: a) r = 5 cm
c) r = 0,7 m
b) d = 20 cm
d) d = 2,6 m
2) Vypočtěte obsah kruhu, je-li dáno: a) r = 3,0 dm
b) d = 8 mm
c) r = 0,4 m
d) d = 15,6 cm
3) Je dána délka kružnice. Vypočtěte její průměr. a) 10 m
b) 6,3 dm
82
4) Je dán obsah kruhu. Vypočtěte poloměr kruhu. a) 320 cm2
b) 0,48 m2
5) Průřez roury z plechu má být : a) 314 cm2 b) 1 dm2 Jaká musí být šířka plechu, z něhož bude roura stočena?
6) Mosazná podložka tvaru mezikruží s průměry 72 mm a 26 mm má hmotnost 46 g. Jaká je hmotnost 1 m2 materiálu, z něhož je zhotovena?
7) Obvod kmene stromu měří 2,3 m. Jaký je přibližný průměr a průřez kmene v tomto místě?
83
8) Obvod komínu kruhového průřezu je 4,775 m. Vypočtěte jeho vnější průměr.
9) Rumpál výtahu o průměru 300 mm má 3 otáčky za 1 sekundu. Jakou rychlostí se pohybuje výtah za 1 sekundu?
10) Kolik m2 dřeva bude třeba na prozatímní dveře o rozměrech na obrázku? Na prořez připočítejte 8%.
J
84
Seznam použité literatury: Barták, J. a kol.: Matematika I pro učební obory středních odborných učilišť SPN Praha, 1990. Barták, J. a kol.: Matematika II pro učební obory středních odborných učilišť SPN Praha, 1988. Barták, J. a kol.: Matematika III pro učební obory středních odborných učilišť SPN Praha, 1986. Hudcová, M., Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ Prométheus, Praha 1994 Běloun, F. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro základní školy SPN, Praha 1985 Nováková, E.: Aplikovaná matematika pro učební obory ve stavebnictví a stavební praxi Raport, Rakovník
2. vydání Květen 2007
Zpracovala: RNDr. Dagmar Fialová Mgr. Vlastislava Kolmanová
85
