Maturitní otázky z matematiky Pavel Trutman
Vzniklo na gynmáziu Mikulá²e Koperníka v Bílovci v akademickém roce 2011/2012.
0. OBSAH
Obsah
1 Komplexní £ísla
5
(de nice, algebraický tvar, goniometrický tvar, exponenciální tvar, s£ítání, od£ítání, násobení, d¥lení a umoc¬ování £ísel v algebraickém tvaru, násobení, d¥lení a umoc¬ování £ísel v goniometrickém tvaru, gra cký sou£in a podíl, funkce komplexní prom¥nné)
2 Posloupnosti a ady
10
(posloupnosti reálných £ísel de nice, vlastnosti, zp·soby ur£ení, limita, aritmetická a geometrická posloupnost, nekone£né °ady de nice, vlastnosti, °ady s nezápornými £leny, geometrická °ada)
3 Diferenciální po£et
14
(spojitost funkce, limita funkce de nice r·zných typ· limit, v¥ty pro po£ítání s limitami, derivace funkce de nice, pravidla pro výpo£et derivací, derivace vy²²ích °ád·, derivace sloºené funkce, derivace funkce ur£ené implicitn¥)
4 Integrální po£et
18
(de nice neur£itého integrálu p°ímá integrace, metoda per partes, substitu£ní metoda, integrace racionálních funkcí, ur£itý integrál)
5 Aplikace diferenciálního po£tu
21
(te£na ke grafu funkce, zji²´ování pr·b¥hu funkce, L'Hospitalovo pravidlo, slovní úlohy na extrémy)
6 Vektorová algebra, Teorie grafu
23
(de nice vektorového prostoru, pojem vektoru, geometrický model vektorového prostoru, sou°adnice vektoru, velikost vektoru, operace s vektory s£ítání, od£ítání, násobení reálným £íslem, skalární sou£in, vektorový sou£in, smí²ený sou£in, odchylka vektor·, lineární závislost a nezávislost vektor·, lineární kombinace vektor·, graf, kruºnice, strom, Eulerovské grafy, Hamiltonovské grafy, rovinné grafy)
7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic 26 (typy algebraických rovnic a základní metody jejich °e²ení lineární, kvadratické, reciproké rovnice a rovnice vy²²ích °ád·, rovnice a nerovnice nealgebraické s neznámou ve jmenovateli, s absolutními hodnotami, iracionální, lineární a kvadratické nerovnice, základní metody numerického °e²ení rovnice metoda p·lení intervalu, metoda te£en, se£en, itera£ní metoda)
8 Aplikace integrálního po£tu
33
(obsah obrazce, objem rota£ních t¥les, délka k°ivky, povrch rota£ních t¥les, t¥ºi²t¥ elementární oblasti, diferenciální rovnice) 1
0. OBSAH 9 Goniometrie
35
(de nice goniometrických funkcí, vlastnosti a grafy goniometrických funkcí, goniometrické vzorce, goniometrické rovnice a nerovnice, trigonometrie, cyklometrické funkce)
10 Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice
42
(de nice a vlastnosti exponenciální a logaritmické funkce, jejich grafy, pravidla pro po£ítání s logaritmy, exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice)
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
45
(r·zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina£ní metoda, determinanty metody výpo£tu, Cramerovo pravidlo)
12 Binomická v¥ta, Kombinatorika
50
(faktoriál, kombina£ní £íslo, Pascal·v trojúhelník, binomická v¥ta, kombinatorické pravidlo sou£tu a sou£inu, permutace, variace, kombinace s opakováním i bez)
13 Pravd¥podobnost a Statistika
53
(náhodný pokus, pojem pravd¥podobnosti, jev, pravd¥podobnost jevu, s£ítání pravd¥podobností, nezávislé jevy, binomické rozd¥lení, podmín¥ná pravd¥podobnost, statistický soubor, jednotka, znak, modus, medián, aritmetický, geometrický, harmonický pr·m¥r, sm¥rodatná odchylka, rozptyl, korela£ní koe cient)
14 Teorie d¥litelnosti v N, Metody d·kaz· v matematice
57
(d¥litel, násobek, prvo£íslo, sloºené £íslo, znaky d¥litelnosti, základní v¥ta aritmetiky, nejv¥t²í spole£ný d¥litel, nejmen²í spole£ný násobek, Euklid·v algoritmus, diofantovské rovnice, p°ímý a nep°ímý d·kaz, d·kaz sporem, d·kaz matematickou indukcí)
15 Zobrazení, Shodná a podobná zobrazení, Kruhová inverze
61
(pojem zobrazení, osová soum¥rnost, st°edová soum¥rnost, otá£ení, posunutí, posunutá soum¥rnost, skládání zobrazení, stejnolehlost, kruhová inverze, Apolloniovy a Pappovy úlohy)
16 Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice (typy trojúhelník· a jejich vlastnosti, Pythagorova v¥ta, Euklidovy v¥ty, £ty°úhelníky druhy a jejich vlastnosti, kruºnice obvodový a st°edový, úsekový úhel, vzájemná poloha kruºnic, Thaletova kruºnice, Feuerbachova kruºnice, Apolloniova kruºnice)
2
65
0. OBSAH 17 Výrazy, Absolutní hodnota, Mocniny a Odmocniny
71
(úpravy r·zných typ· výraz·, mnoho£leny, operace s nimi, Hornerovo schéma, lomené výrazy, absolutní hodnota a její geometrický význam, de nice mocniny s reálným exponentem, de nice n-té odmocniny v R, pravidla pro po£ítání s mocninami a odmocninami)
18 T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy 74 (°ez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohost¥n·, rota£ních t¥les a jejich £ástí v£etn¥ komolých t¥les, obvody a obsahy mnohoúhelník·, kruhu a jeho £ástí)
19 Výroky a Mnoºiny
81
(výrok, operace s výroky, sloºené výroky a jejich negace, PH-algebra, Booleova algebra a její modely, pojem mnoºiny, ur£ení mnoºin, operace s mnoºinami, slovní úlohy °e²ené pomocí Vennových diagram·, kartézský sou£in, binární relace a jejich grafy, algebraické struktury grupa, okruh, t¥leso)
20 Funkce
86
(de nice funkce, vlastnosti funkce de ni£ní obor, obor hodnot, omezenost, supremum a in mum, sudá a lichá funkce, monotónnost, prostá funkce, periodická funkce, konvexní a konkávní funkce, lokální a globální extrémy, in exní bod, sloºená funkce)
21 Metrické vztahy mezi útvary °e²ené metodou analytickou a syntetickou 88 (vzdálenost dvou bod·, vzdálenost bodu od p°ímky, roviny, vzdálenost dvou rovnob¥ºných p°ímek, rovin, vzdálenost mimob¥ºek, odchylka dvou p°ímek, odchylka dvou rovin, odchylka p°ímky od roviny, osa úhlu, úlohy o kolmosti)
22 Polohové vlastnosti útvar· v rovin¥ a v prostoru °e²ené metodou analytickou a syntetickou 90 (analytické vyjád°ení p°ímky v rovin¥ a v prostoru, analytické vyjád°ení roviny, vzájemná poloha p°ímek, rovin, vzájemná poloha p°ímek a rovin, osa mimob¥ºek)
23 Polynomické funkce, Racionální funkce, Mocninné funkce, Funkce s absolutní hodnotou, Funkce signum, Funkce celá £ást 92 (de nice t¥chto funkcí a jejich vlastnosti, grafy a jejich uºití p°i °e²ení rovnic a nerovnic, jejich soustav)
24 A nní vlastnosti kuºelose£ek
95
(de nice kuºelose£ky, pr·se£íky p°ímky s kuºelose£kou, asymptotický sm¥r, st°ed kuºelose£ky, singulární bod kuºelose£ky, singulární a regulární kuºelose£ky, te£na asymptota a polára kuºelose£ky, vnit°ek a vn¥j²ek kuºelose£ky, sdruºené sm¥ry a pr·m¥ry kuºelose£ky) 3
0. OBSAH 25 Metrické vlastnosti kuºelose£ek, Koule a Kulová plocha
99
(osa kuºelose£ky, kruºnice, elipsa, hyperbola a parabola ve speciálních polohách, analytické vyjád°ení koule a kulové plochy)
A Slovo autora
102
4
1. Komplexní £ísla
1 Komplexní £ísla (de nice, algebraický tvar, goniometrický tvar, exponenciální tvar, s£ítání, od£ítání, násobení, d¥lení a umoc¬ování £ísel v algebraickém tvaru, násobení, d¥lení a umoc¬ování £ísel v goniometrickém tvaru, gra cký sou£in a podíl, funkce komplexní prom¥nné)
Mnoºina komplexních £ísel Mnoºina komplexních £ísel je mnoºina v²ech uspo°ádaných dvojich £ujeme za reálnou £ást komplexního £ísla a
b
a, b ∈ R,
kde
a
ozna-
za imaginární £ást komplexního £ísla.
C = {[a; b]; a, b ∈ R}
[a; 0]
[0; b] ∧ b 6= 0
[a; b] ∧ b 6= 0 ∧ a 6= 0
reálné £íslo ryze imaginární £íslo imaginární £íslo
∀ [a1 ; b1 ], [a2 ; b2 ] ∈ C : [a1 ; b1 ] = [a2 ; b2 ] ⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2 [a1 ; b1 ] ± [a2 ; b2 ] = [a1 ± a2 ; b1 ± b2 ] [a1 ; b1 ] · [a2 ; b2 ] = [a1 a2 − b1 b2 ; a1 b2 + a2 b1 ]
T¥leso komplexních £ísel Nad mnoºinou komplexních £ísel jsou de novány uzav°ené operace + a · . Tato algebraická struktura se nazývá t¥leso komplexních £ísel:
[0; 0]
a neutrálním
(C; +; ·).
[1; 0].
Algebraický tvar z = a + bi; a, b ∈ R i2 = −1 ∀k∈N: i4k+1 i4k+2 i4k+3 i4k
= = = =
5
i −1 −i 1
Nulovým prvkem je £íslo
1. Komplexní £ísla Komplexní £íslo sdruºené z¯ = a − bi
Rovnost komplexních £ísel a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d
S£ítání a od£ítání komplexních £ísel z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
Násobení komplexních £ísel z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i
D¥lení komplexních £ísel z1 a + bi (ac + bd) + (bc − ad)i = = z2 c + di c2 + d2
Absolutní hodnota komplexního £ísla (Modul) |z| =
√
a2 + b 2 =
√
z · z¯
Pro po£ítání s absolutníma hodnotama platí:
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | z1 = |z1 | z2 |z2 |
Goniometrický tvar z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
P°evod z algebraického tvaru a |z| b sin ϕ = |z|
cos ϕ =
Násobení komplexních £ísel z1 · z2 = |z1 | · |z2 | · [cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )]
6
1. Komplexní £ísla D¥lení komplexních £ísel z1 |z1 | = [cos (ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 )] z2 |z2 |
Umocnování komplexní jednotky (Moivreova veta) z n = cos(n · ϕ) + i sin(n · ϕ)
Umocnování komplexních £ísel z n = |z|n [cos(n · ϕ) + i sin(n · ϕ)]
Odmoc¬ování komplexních £ísel Pro
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) √ n
pro
n
platí:
p ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n z = zk = |z| cos + i sin n n
k ∈ {0; 1; . . . ; n − 1}. z0,1,...,n−1
Obrazy £ísel
n-úhelníku
a p°irozené £íslo
leºí pro
n > 2
v Gausov¥ rovin¥ ve vrcholech pravidelného
vepsaného do kruºnice se st°edem v po£átku a polom¥rem
p n
|z|.
Exponenciální tvar cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ Euler·v z = |z|eiϕ
vztah
Gaussova rovina Rovina, jejíº body povaºujeme za obrazy komplexních £ísel. Na osu sloºku komplexního £ísla a na osu
y
x
vyná²íme reálnou
sloºku imaginární.
S£ítání S£ítání v Gaussov¥ rovin¥ provádíme jako s£ítání dvou vektor·, tj dopln¥ním na rovnob¥ºník.
Od£ítání Provádí se op¥t jako od£ítání vektor·. Neprve vytvo°íme opa£né komplexní £íslo od men²itele, poté provedeme vektorový sou£et.
7
1. Komplexní £ísla Násobení Vektor, znázor¬ující první komplexní £íslo, se neprve oto£í o úhel, který svírá druhý vektor s kladným sm¥rem osy
x. Velikost prvního vektoru je potom vynásobena velikostí druhého
vektoru. Tato operace vychází z násobení dvou komplexních £ísel v goniometrickém tvaru.
D¥lení Obdobn¥ jako u násobení, ale naopak. Vektor d¥lence se oto£í v záporném sm¥ru o úhel d¥litele. Jeho velikost je vyd¥lena velikostí vektoru d¥litele.
Funkce komplexní prom¥nné Kaºdé zobrazení
f :C→C
nazýváme funkce komplexní prom¥nné. Protoºe tato funkce
obsahuje £ty°i sloºky, nelze sestrojit graf v 3D. Proto tuto funkci zobrazujeme jako rovinnou transformaci. Kaºdému bodu Gaussovy roviny je p°i°azen dal²í bod Gaussovy roviny.
Rovnob¥ºné posunutí w = z + a; a ∈ C (konst.) Rovnob¥ºné posunutí o vektor
a.
Stejnolehlost w = c · z; c ∈ R (konst.) Stejnolehlost se st°edem v po£átku a koe cientem
c.
Oto£ení w = z · (cos ϕ + i sin ϕ) Oto£ení kolem po£átku o úhel
ϕ.
Spirálová podobnost w = z · a; a ∈ C (konst.) a = |a|(cos ϕ + i sin ϕ) Spirálová podobnost je sloºení stejnolehlosti se st°edem v po£átku a koe cientem oto£ení kolem po£átku o úhel
ϕ.
8
|a|
a
1. Komplexní £ísla Konformní transformace w = z2 Touto transformací se m¥ní p°ímky na paraboly. P°i této transformaci se úhel mezi libovolnými p°ímkami nezm¥ní.
Inerce w=
1 z
Tato transformace je sloºením osové soum¥rnosti a kruhové inverze.
9
2. Posloupnosti a ady
2 Posloupnosti a ady (posloupnosti reálných £ísel de nice, vlastnosti, zp·soby ur£ení, limita, aritmetická a geometrická posloupnost, nekone£né °ady de nice, vlastnosti, °ady s nezápornými £leny, geometrická °ada)
Posloupnosti reálných £ísel Nekone£ná posloupnost Kone£ná posloupnost n0
je kaºdá funkce, jejíº de ni£ním oborem je
je taková funkce
f (n)
pro kterou platí:
N.
∀ n ∈ N; n ≤ n0 ,
kde
je pevn¥ dané p°irozené £íslo.
Zadání posloupností a) Vý£tem prvk· b) Vzorcem pro
n-tý
£len, nap°:
{n}∞ n=1
c) Rekurentn¥ prvním £lenem a vztahem pro
n+1
£len, nap°:
a1 = 1; an+1 = −an
Vlastnosti posloupností Rostoucí:
∀ n ∈ N : an < an+1
Klesající:
∀ n ∈ N : an > an+1
Nerostoucí:
∀ n ∈ N : an ≥ an+1
Neklesající:
∀ n ∈ N : an ≤ an+1
Shora omezená:
∃ h ∈ R; ∀ n ∈ N : an ≤ h
Zdola omezená:
∃ d ∈ R; ∀ n ∈ N : an ≥ d
Omezená: je shora i zdola omezená
Aritmetická posloupnost {an }∞ n=1 se nazývá aritmetická posloupnost, práv¥ tehdy kdyº existuje £íslo d, ºe ∀ n ∈ N : an+1 = an + d, kde d je diference posloupnosti.
Posloupnoust kové reálné
Vztahy an = a1 + (n − 1) · d ar = as + (r − s) · d n sn = (a1 + an ) 2 10
ta-
2. Posloupnosti a ady Geometrická posloupnost {an }∞ n=1 se nazývá geometrická posloupnost, práv¥ tehdy kdyº existuje £íslo q , ºe ∀ n ∈ N : an+1 = an · q , kde q je kvocient posloupnosti.
Posloupnoust kové reálné
ta-
Vztahy an = a1 · q (n−1) ar = as · q (r−s) qn − 1 sn = a1 q−1
Limita posloupnosti {an }∞ n=1 je konvergentní N; n ≥ n0 : |an − a| < ε. Posloupnost
práv¥ tehdy, kdyº
∃ a ∈ R; ∀ ε > 0; ∃ n0 ∈ N; ∀ n ∈
lim an = a
n→∞
Posloupnost, která má vlastní limitu ozna£ujeme jako konvergentní.
Nevlastní limita
{an }∞ n=1 má nevlastní limitu +∞ práv¥ tehdy, kdyº ∀ K ∈ R; ∃ n0 ∈ N; ∀ n ∈ N; n ≥ n0 : an > K . lim an = +∞
Posloupnost
n→∞
∞ Posloupnost {an }n=1 má nevlastní limitu N; n ≥ n0 : an < L.
−∞ práv¥ tehdy, kdyº ∀ L ∈ R; ∃ n0 ∈ N; ∀ n ∈
lim an = −∞
n→∞
Nekone£ná °ada Nekone£nou °adou nazýváme posloupnost £aste£ných sou£t·
∞ X
{sn }∞ n=1 .
an = a1 + a2 + . . . + an
n=1
Geometrická °ada ∞ X
an = a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q n−1 =
n=1
∞ X n=1
Pokud je spln¥na podmínka kongruence
|q| < 1:
s=
a1 1−q
11
a1 q n−1
2. Posloupnosti a ady Nutná, nikoliv posta£ující podmínka pro konvergenci °ady:
Jestliºe °ada kon-
lim an = 0 . n→∞ Jestliºe limita posloupnosti £len· této °ady se nule nerovná, pak °ada diverguje. verguje, pak limita posloupnosti £len· této °ady se rovná nule
ady s nezápornými £leny ada ve které jsou v²echny £leny nezáporná reálná £ísla.
∞ X
an = a1 + a2 + . . . + an ;
a1 , a2 , . . . , an ∈ R+ 0
n=1 Je-li posloupnost £áste£ných sou£t· neklesající a má limitu, pak °ada konverguje a platí
s = lim sn .
n→∞ Jestliºe má posloupnost £áste£ných sou£t· nevlastní limitu k
+∞,
pak °ada diverguje
+∞.
Zji²´ování konvergence °ad Srovnávací kritérium ∞ X
an
Minoritní °ada (minoranta)
Majoritní °ada (majoranta)
n=1
∞ X
bn
n=1
0 ≤ an ≤ bn a)
∞ X
bn
konverguje
⇒
n=1
b)
∞ X
∞ X
an
konverguje
n=1
an
diverguje
⇒
∞ X
bn
diverguje
n=1
n=1 ady pro srovnávání: 1.
2.
∞ X
( |q| < 1 a1 q n−1 |q| ≥ 1 n=1
∞ X n=1
1 n · (n + 1)
3.
∞ X 1 n n=1
4.
∞ X 1 np n=1
konverguje diverguje
konverguje
(harmonická °ada) diverguje
( p > 1 p ≤ 1
konverguje diverguje
12
°ady s nezápornými £leny
2. Posloupnosti a ady Podílové kritérium a)
b)
an+1 <1 an an+1 ∃ lim >1 n→∞ an ∃ lim
n→∞
konverguje
diverguje
Odmocninové kritérium a)
∃ lim
√ n an < 1
konverguje
b)
∃ lim
√ n an > 1
diverguje
n→∞
n→∞
13
3. Diferenciální po£et
3 Diferenciální po£et (spojitost funkce, limita funkce de nice r·zných typ· limit, v¥ty pro po£ítání s limitami, derivace funkce de nice, pravidla pro výpo£et derivací, derivace vy²²ích °ád·, derivace sloºené funkce, derivace funkce ur£ené implicitn¥)
Okolí bodu Okolí bodu
a s polom¥rem δ
Levé okolí bodu
je otev°ený inteval
je interval
Pravé okolí bodu
je kladné reálné £íslo.
(a − δ; ai.
je interval
Vlastní okolí bodu
(a − δ; a + δ), kde δ
ha; a + δ).
je sjednocení interval·
(a − δ; a) ∪ (a; a + δ).
Spojitost funkce Funkce
f
je spojitá v bod¥
a,
takové okolí bodu
zvoleného okolí bodu
a,
jestliºe k libovoln¥ zvolenému okolí bodu
ºe pro v²echna
x
z tohoto okolí bodu
a
f (a)
pat°í hodnoty
existuje
f (x)
do
f (a).
f je spojitá na otev°eném intervalu (a; b), je-li spojitá v kaºdém bod¥ intervalu. f je spojitá na uzav°eném intervalu ha; bi, je-li spojitá v na intervalu (a; b), a zprava a v bod¥ b zleva.
Funkce Funkce v bod¥
Limita funkce Existence limity v bod¥
nezávisí na tom, zda je nebo není funkce v bod¥
a
de novaná.
a de novaná, pak existence limity ani její hodnota nezávisí na hodnot¥
Je-li funkce v bod¥ funkce v bod¥
a
a.
Vlastní limita ve vlastním bod¥ Funkce
f
má v bod¥
a
f (x)
do okolí bodu
b, jestliºe k libovolnému okolí bodu b, a, ºe pro kaºdé x z vlastního okolí bodu a pat°í hodnoty
vlastní limitu rovnou £íslu
existuje takové vlastní okolí bodu
b. lim f (x) = b
x→a
Nevlastní limita ve vlastním bod¥ Funkce
f
má v bod¥
vlastní okolí bodu
a,
a
nevlastní limitu
ºe pro kaºdé
x
+∞
K existuje f (x) > K .
jestliºe ke kaºdému £íslu
z tohoto okolí bodu platí:
lim f (x) = +∞
x→a
14
takové
3. Diferenciální po£et Vlastní limita v nevlastním bod¥ íslo
b
f v bod¥ +∞, jestliºe kaºdému okolí bodu b, existuje x > K , pat°í hodnoty f (x) do zvoleného okolí bodu b.
£íslo
K
ke kaºdému £íslu
K
je limitou funkce
takové, ºe pro kaºdé
lim f (x) = b
x→+∞
Nevlastní limita v nevlastním bod¥ Funkce
f
má v nevlastním bod¥
existuje takové £íslo
x0 ,
+∞
+∞, jestliºe f (x) > K .
nevlastní limitu
ºe pro v²echna
x > x0
platí:
lim f (x) = +∞
x→+∞
V¥ty o limitách Pro limity 1. 2.
3.
lim f (x) = A
a
x→a
lim g(x) = B
x→a
platí:
lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = A ± B
x→a
x→a
x→a
lim [f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x) = AB
x→a
x→a
x→a
lim f (x) f (x) A x→a = = ; B 6= 0 lim x→a g(x) lim g(x) B x→a
4.
lim Cf (x) = C lim f (x) = CA; C ∈ R
x→a
x→a
Derivace Existuje-li limita
f (x) − f (a) x−a
pro
x → a,
nazýváme ji derivací funkce
f
v bod¥
a.
f (x) − f (a) x→a x−a bod¥ a derivaci, pak
f 0 (a) = lim Jestliºe
f
je funkce, která má v p°ímka procházející bodem 0 [a; f (a)], která má sm¥rnici k = f (a) je te£na ke grafu funkce f v bod¥ [a; f (a)].
Pravidla pro výpo£et derivace u a v mají v bod¥ x0 derivaci, má v(x0 ) 6= 0 i podíl funkcí u a v . Platí:
Jestliºe funkce sou£in a pro 1.
(c · u)0 = c · u0 ; c ∈ R
2.
(u ± v)0 = u0 ± v 0
3.
(u · v)0 = u0 v + uv 0 u 0 u0 v − uv 0 = ; v(x) 6= 0 v v2
4.
15
v bod¥
x0
derivaci i sou£et, rozdíl,
3. Diferenciální po£et Derivace elementárních funkcí Funkce Derivace v bod¥ x y y y y y y
0
c∈R n∈N k∈Z r∈R
=c = xn = xk = xr = sin x = cos x
y y0 y0 y0 y0 y0 y0
y = tg x y = cotg x
y
0
y0 a > 0; a 6= 1 y 0
y = ex y = ax
y0
y = ln x y = loga x
a > 0; a 6= 1 y 0
y = arcsin x
y0
y = arccos x
y0
y = arctg x
y0
y = arccotg x
y0
=0 = n · xn−1 = k · xk−1 = r · xr−1 = cos x = − sin x 1 = cos2 x −1 = sin2 x = ex = ax ln a 1 = x 1 = x ln a 1 =√ 1 − x2 −1 =√ 1 − x2 1 = 1 + x2 −1 = 1 + x2
Interval (−∞ ; +∞) (−∞ ; +∞) (−∞ ; +∞) \{0} (0 ; +∞) (−∞ ; +∞) (−∞ ; +∞) ∪ − π2 + kπ ; π2 + kπ
k∈Z
∪ (kπ ; π + kπ)
k∈Z
(−∞ ; +∞) (−∞ ; +∞) (0 ; +∞) (0 ; +∞) (−1 ; 1) (−1 ; 1) (−∞ ; +∞) (−∞ ; +∞)
Derivace sloºené funkce Jestliºe funkce sloºená funkce
f (x) má derivaci g(f (x)) derivaci v
v bod¥ bod¥
x
x
a funkce
g(x)
má derivaci v bod¥
f (x),
má
a platí:
[g (f (x))]0 = g 0 (f (x)) · f 0 (x)
Derivace vy²²ích °ád· y = f (x) y 0 = f 0 (x) y 00 = f 00 (x) . . .
Derivace funkce dané implicitn¥ Postup °e²ení: zderivujeme ob¥ strany rovnice a vyjád°íme nahradíme jej hodnotou
f (x). 16
y0,
pokud v rovnici zbylo
y,
3. Diferenciální po£et P°íklad:
f : x2 + y 2 = 1 f 0 : 2x + 2yy 0 = 0 −2x −x −x y0 = = =√ 2y y 1 − x2
Logaritmická derivace Posup °e²ení: funkci zlogaritmujeme, poté zderivujeme jako funkci danou implicitn¥ a 0 vyjád°íme y . P°íklad:
y ln y 1 0 y y y0 y0
= xx = x ln x = ln x + 1 = y (ln x + 1) = xx (ln x + 1)
17
4. Integrální po£et
4 Integrální po£et (de nice neur£itého integrálu p°ímá integrace, metoda per partes, substitu£ní metoda, integrace racionálních funkcí, ur£itý integrál)
Integrál Primitivní funkce F (x) a f (x) de nované v otev°eném intervalu J . Jestliºe pro kaºdé x z intervalu J platí: F 0 (x) = f (x), pak °íkáme, ºe funkce F (x) je primitivní k funkci f (x) v intervalu J . M¥jm¥ dány funkce
Neur£itý integrál F (x) v intervalu J primitivní k funkci f (x), f (x) je ve tvaru F (x) + c; c ∈ R. Z f (x) dx = F (x) + c
Je-li funkce k funkci
pak kaºdá primitivní funkce
Integrace primitivních funkcí Integrál Z
Interval
0 dx = c
(−∞ ; +∞)
dx = x + c
(−∞ ; +∞)
Z Z Z
xn dx =
xn+1 +c n+1
1 dx = ln |x| + c Z x ex dx = ex + c Z ax ax dx = +c ln a Z
n ∈ R\{−1}
(0 ; +∞) (−∞ ; +∞) \{0} (−∞ ; +∞)
a > 0; a 6= 1
(−∞ ; +∞)
sin x dx = − cos x + c
(−∞ ; +∞)
cos x dx = sin x + c
(−∞ ; +∞)
Z Z
1 dx = tg x + c Z cos2 x 1 dx = −cotg x + c sin2 x
∪ − π2 + kπ ; π2 + kπ
k∈Z
∪ (kπ ; π + kπ)
k∈Z
18
4. Integrální po£et Integrál Z
Interval
1 √ dx = arcsin x + c 1 − x2 Z −1 √ dx = arccos x + c 1 − x2 Z 1 dx = arctg x + c Z 1 + x2 −1 dx = arccotg x + c 1 + x2
(−1 ; 1) (−1 ; 1) (−∞ ; +∞) (−∞ ; +∞)
Metody integrování Základní pravidla Z
Z
c · f (x) dx = c f (x) dx Z Z Z [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx
Substitu£ní metoda Sloºenou funkci a diferenciál
t
dx
vypo£ítáme a
f (g(x)) zavedením pomocné prom¥nné t = g(x) p°evedeme na funkci f (t) vyjád°íme pomocí diferenciálu dt. Vzniklý jednodu²²í integrál prom¥nné nakonec se op¥t vrátíme k p·vodní prom¥nné x. Z Z 0 f (g(x)) · g (x) dx = f (t) dt; kde t = g(x)
Metoda per partes Metoda per partes (integrace po £ástech) vychází z derivace sou£inu funkcí: u0 v + uv 0 . Integrováním a úpravou dostáváme:
Z
Z
0
u v dx = uv −
uv 0 dx
Integrace racionální funkce Z Pouºívá se pro ingerace funkcí typu:
P (x) dx. Q(x)
1. Vyd¥líme polynomy. 2. Zbytek po d¥lení rozloºíme na parciální zlomky. 3. Vypo£ítáme integrál.
19
(uv)0 =
4. Integrální po£et Eulerovy substituce 1. 2. 3.
√ √ ax2 + bx + c = t ± x a √ √ ax2 + bx + c; c > 0 ⇒ ax2 + bx + c = xt ± c √ ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) ⇒ ax2 + bx + c = (x − x1 )t ∨ (x − x2 )t ax2 + bx + c; a > 0 ⇒
Goniometrické substituce 1. 2.
3.
p p2 x2 + q 2 ⇒ px = q · tg t p q q p2 x2 − q 2 ⇒ px = ∨ cos t sin t p q 2 − p2 x2 ⇒ px = q sin t ∨ q cos t
Univerzální goniometrická substituce x = t 2 x = arctg t 2 2 dx = dt 1 + t2 2t sin x = 1 + t2 1 − t2 cos x = 1 + t2 tg
Ur£itý integrál Nech´
F
je primitivní funkce k funkci
hodnot funkce funkce
f
F
f
v jistém intervalu
v libovolných bodech
v mezích od
a
do
a, b
J . Rozdíl F (b)−F (a) funk£ních
tohoto intervalu se nazývá ur£itý integrál
b.
Zb
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)
a
20
5. Aplikace diferenciálního po£tu
5 Aplikace diferenciálního po£tu (te£na ke grafu funkce, zji²´ování pr·b¥hu funkce, L'Hospitalovo pravidlo, slovní úlohy na extrémy)
Te£na ke grafu funkce Pro rovnici te£ny funkce
f
v bod¥
[x0 , y0 ]
platí:
y = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + y0 .
Pr·b¥h funkce 1. Vy²et°ení de ni£ního oboru funkce a její parity (sudost, lichost, periodicita). 2. První derivace:
f 0 (x0 ) > 0 f 0 (x0 ) = 0 f 0 (x0 ) < 0
Funkce Bod
f
x0
Funkce
je v bod¥
x0
rostoucí
je bod podez°elý z extrému
f
je v bod¥
x0
klesající
3. Druhá derivace:
f 00 (x0 ) > 0 f 00 (x0 ) = 0 f 00 (x0 ) < 0
Funkce Bod
x0
Funkce
f
je v bod¥
x0
konvexní
je in exní bod
f
je v bod¥
x0
konkávní
4. Nalezení pr·se£ík· s osami. 5. Ur£ení jednostranných limit v bodech, kde není funkce de nována. Ur£ení limit
±∞.
v nevlastních bodech 6. Nalezení asymptot:
(a) Asymptoty bez sm¥rnice P°ímka s rovnicí sm¥rnice grafu funkce
f
x=a
se nazývá asymptota bez
práv¥ tehdy, kdyº má funkce
f
v bod¥
a alespo¬ jednu
jednostrannou nevlastní limitu. (b) Asymptoty se sm¥rnicí P°ímky s rovnicí
k = q =
y = kx + q ,
pro které platí:
f (x) f (x) = lim x→−∞ x x lim (f (x) − kx) = lim (f (x) − kx)
lim
x→+∞
x→+∞
x→−∞
7. Ur£ení oboru hodnot. 8. Sestrojení grafu.
21
5. Aplikace diferenciálního po£tu L'Hospitalovo pravidlo Jestliºe pro funkce
f
a
g
platí alespo¬ jedna z podmínek:
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a
x→a
lim f (x) = ±∞; lim g(x) = ±∞
x→a pak platí:
x→a
f (x) f 0 (x) = lim 0 x→a g(x) x→a g (x) lim
22
6. Vektorová algebra, Teorie grafu
6 Vektorová algebra, Teorie grafu (de nice vektorového prostoru, pojem vektoru, geometrický model vektorového prostoru, sou°adnice vektoru, velikost vektoru, operace s vektory s£ítání, od£ítání, násobení reálným £íslem, skalární sou£in, vektorový sou£in, smí²ený sou£in, odchylka vektor·, lineární závislost a nezávislost vektor·, lineární kombinace vektor·, graf, kruºnice, strom, Eulerovské grafy, Hamiltonovské grafy, rovinné grafy)
Vektorový prostor na t¥lese reálných £ísel Vektorový prostor de novaný nad t¥lesem reálných £ísel je mnoºina
V
spole£n¥ se dv¥ma
operacemi:
∀ u, v ∈ V; ∃ (u + v) ∈ V ∀ u ∈ V; ∀ k ∈ R; ∃ (k · u) ∈ V Ty spl¬ují následující podmínky: 1.
∀ u, v ∈ V : u + v = v + u
2.
∀ u, v, w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)
3.
∃ o ∈ V; ∀ u ∈ V : u + o = u
4.
∀ u ∈ V; ∃ − u ∈ V : u + (−u) = o
5.
∀u ∈ V : 1 · u = u
6.
∀ u ∈ V; ∀ k, l ∈ R : (k · l) · u = k · (l · u)
7.
∀ u, v ∈ V; ∀ k ∈ R : k · (u + v) = k · u + k · v
(komutativnost s£ítání) (asociativnost s£ítání) (neutrální prvek) (inverzní prvek) (jednotkový prvek) (asociativnost násobení) (distributivnost násobení reálným
£íslem vzhledem ke s£ítání vektor·) 8.
∀ u ∈ V; ∀ k, l ∈ R : (k + l) · u = k · u + l · u
(distributivnost násobení vektor·
vzhledem ke s£ítání reálných £ísel) Prvky tohoto prostoru jsou vektory. Mnoºinu
V
m·ºeme zvaºovat jako mnoºinu orientovaných úse£ek s po£átkem v po£át-
ku, kde s£ítání je de nováno pomocí rovnob¥ºníku a násobení reálným £íslem je zavedeno uºitím stejnolehlosti se st°edem v po£átku. Za podprostory vektorového prostoru lze vybrat podmnoºiny mnoºina
W
Báze vektorového prostoru stavujících sou°adné osy):
Dimenze
W
z mnoºiny
V,
kde
je sama vektorovým prostorem vzhledem k uvedeným operacím.
je uspo°ádáná
[u1 , u2 , . . . , un ].
udává po£et vektor· báze.
23
n-tice lineárn¥ nezávislých vektor· (p°ed-
6. Vektorová algebra, Teorie grafu Vektor Nenulový vektor
je mnoºina v²ech orientovaných úse£ek, které mají stejnou velikost
i sm¥r.
Nulový vektor (o)
je mnoºina v²ech nulových orientovaných úse£ek.
−→
Sou°adnice vektoru u, který je umíst¥n na orientované úse£ce AB
jsou:
u = B − A = (b1 − a1 ; b2 − a2 ; . . . ; bn − an ) = (u1 ; u2 ; . . . ; un ) kde
n
je dimeze prostoru.
Velikost vektoru u,
je odvozena z Pythagorovy v¥ty. Jestliºe je velikost vektoru 1,
nazývá se jednotkový vektor.
q |u| = u21 + u22 + · · · + u2n
Lineární závislost Dva vektory
u, v
jsou lineárn¥ závislé jestliºe:
∃ k ∈ R\{0} : u = k · v Dva vektory jsou rovnob¥ºné, jestliºe jsou lineárn¥ závislé.
Lineární kombinace vektor· Vektor
w
je lineární kombinací vektor·
u, v
jestliºe:
∃ k, l ∈ R\{0} : w = k · u + l · v T°i vektory leºí v jedné rovin¥, jestliºe jsou svojí lineární kombinací.
Operace s vektory S£ítání vektor·
se gra cky °e²í dopln¥ním na rovnob¥ºník nebo po£etn¥:
u + v = (u1 + v1 ; u2 + v2 ; . . . ; un + vn )
Násobení vektoru reálným £íslem
vznikne vektor s ním lineárn¥ závislý.
k · u = (k · u1 ; k · u2 ; . . . ; k · un ); k 6= 0 Násobením nulového vektoru vznikne op¥t nulový vektor.
24
6. Vektorová algebra, Teorie grafu Skalární sou£in Pro dva nenulové vektory
u, v
a jejjich odchylku
ϕ
platí:
u · v = |u| · |v| · cos ϕ u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + · · · + un · vn u·v = 0 ⇔ u ⊥ v.
u, v = o
je-li alespo¬ jeden z vektor·
Odchylka vektor·
je men²í z úhl· mezi dv¥ma vektory.
cos ϕ =
Vektorový sou£in
nebo jsou oba vektory nenulové a
|u · v| |u| · |v|
je binární operací mezi dv¥ma vektory v trojrozm¥rném prostoru.
Výsledkem je vektor kolmý k ob¥ma vektor·m. Jeho sm¥r je dán pravidlem pravé ruky. Jeho velikost je rovna obsahu rovnob¥ºníku daného ob¥ma vektory. Vektorový sou£in je antikomutativní.
w = u × v = −v × u |w| = |u| · |v| · sin ϕ u×v =o⇔
pokud vektory
Smí²ený sou£in
u, v
jsou lineárn¥ závislé.
je kombinací vektorového a skalárního sou£inu. Jeho absolutní hod-
nota je rovna objemu rovnob¥ºnost¥nu daného t°emi vektory.
u1 u2 u3 [u v w] = (u × v) · w = v1 v2 v3 w 1 w 2 w 3 [u v w] = o ⇔
pokud jsou vektory
u, v
a
w
svými lineárními kombinacemi.
25
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic
7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic
(typy algebraických rovnic a základní metody jejich °e²ení lineární, kvadratické, reciproké rovnice a rovnice vy²²ích °ád·, rovnice a nerovnice nealgebraické s neznámou ve jmenovateli, s absolutními hodnotami, iracionální, lineární a kvadratické nerovnice, základní metody numerického °e²ení rovnice metoda p·lení intervalu, metoda te£en, se£en, itera£ní metoda)
Rovnice a nerovnice Rovnice
s jednou neznámou je zápis rovnosti dvou výraz·, v nichº se vyskytuje ne-
známá (ozna£ená písmenem). Kaºdé £íslo, jehoº dosazení do rovnice dostaneme platnou rovnost, se nazývá °e²ení rovnice ko°en rovnice. Vy°e²it rovnici znamená najít mnoºinu ko°en·.
Nerovnice
s jednou neznámou je zápis nerovnosti dvou výraz·, v nichº se vyskytuje
neznámá (ozna£ená písmenem). Ko°enem nerovnice nazýváme kaºdé £íslo, jehoº dosazením za neznámou dostaneme platnou nerovnost. Vy°e²it nerovnici znamená najít mnoºinu ko°en·. Algebraické rovnice a nerovnice
Polynomické (lineární, kvadratické, vy²²ích stup¬·)
Nealgebraické rovnice a nerovnice
V podílovém tvaru S absolutní hodnotou Iracionální Exponenciální, logaritmické, goniometrické
Úpravy rovnic Ekvivalentní úpravy
jsou úpravy, jimiº se mnoºina ko°en· nem¥ní (s£ítání, od£ítání,
násobení). Po t¥chto úpravách není zkou²ka nutnou sou£ástí °e²ení.
Neekvivalentní úpravy
jsou úpravy, jimiº se mnoºina ko°en· m¥ní (umoc¬ování). Po
t¥chto úpravách je nutné provést zkou²ku.
26
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic Lineární rovnice Rovnice
ax + b = 0,
kde
a, b ∈ R,
se nazývá lineární rovnice.
Mezi ekvivalentní úpravy pat°í: p°i£tení stejného výrazu obsahující neznámou (de novaného pro v²echny hodnoty neznáme z mnoºiny £ísel, v nichº rovnici °e²íme) k ob¥ma stranám rovnice, vynásobení rovnice nenulovým £íslem a ekvivalentní úpravy výraz· na obou stranách.
−b a
a 6= 0 ⇒
a=0∧b=0⇒
kaºdé reálné £íslo
a = 0 ∧ b 6= 0 ⇒
rovnice nemá °e²ení
jediným ko°enem je
x=
x
je ko°enem
Lineární nerovnice Nerovnice
ax + b ax + b ax + b ax + b kde
a, b ∈ R
> ≥ < ≤
0 0 0 0
se nazývají lineární nerovnice.
Mezi ekvivalentní úpravy pat°í: p°i£tení stejného výrazu obsahující neznámou (de novaného pro v²echny hodnoty neznáme z mnoºiny £ísel, v nichº nerovnici °e²íme) k ob¥ma stranám nerovnice, vynásobení nerovnice kladným £íslem, vynásobení nerovnice záporným £íslem a sou£asné obrácení znaku nerovnosti, ekvivalentní úpravy výraz· na obou stranách.
a>0⇒x>
−b a
a<0⇒x<
−b a
a=0∧b>0⇒
kaºdé reálné £íslo
a=0∧b≤0⇒
rovnice nemá °e²ení
x
je ko°enem
Gra cké °e²ení lineárních rovnic a nerovnic Levou i pravou stranu rovnice si vyjád°íme jako funkci a narýsujeme grafy. Pr·se£ík grafu funkcí je ko°en rovnice. Pokud jsou grafy rovnob¥ºné r·zné p°ímky, rovnice nemá °e²ení. Pokud grafy splynou v jedné p°ímce, má rovnice nekone£n¥ mnoho °e²ení. U nerovnic postupujeme stejn¥, hledáme intervaly, v nichº je graf první funkce nad (pod) grafem druhé.
27
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 kde a, b, c ∈ R, a 6= 0 se nazývá kvadratický £len, bx je lineární £len a c absolutní £len.
Rovnice
c=0
kvadratická rovnice;
ax2
je její
Rovnice bez absolutního £lenu
−b , x2 = 0 a =0
b 6= 0 ⇒ x1 = b = 0 ⇒ x12
b=0
Ryze kvadratická rovnice
r
x12 = ±
−c a
Obecná kvadratická rovnice
b − 4ac > 0 ⇒ x12 = 2
−b ±
√
b2 − 4ac 2a
−b 2a p −b ± |b2 − 4ac|i = 2a
b2 − 4ac = 0 ⇒ x12 = b2 − 4ac < 0 ⇒ x12
a=1
Normovaný tvar kvadratické rovnice
Viètovy vztahy Mezi ko°eny kvadratické rovnice a jejími koe cienty platí následující vztahy:
−b a c = a
x1 + x 2 = x1 · x2
Rovnice vy²²ích stup¬· Rovnice vy²²ích stup¬· °e²íme rozloºením na sou£inový tvar (nap°. Hornerovo schéma). Poté se sou£in n¥kolika £ísel rovná nule práv¥ tehdy, kdyº alespo¬ jeden z £initel· se rovná nule.
(x + a1 ) · (x + a2 ) · (x + a3 ) · . . . · (x + an ) = 0 x1,2,...,n = −a1,2,...,n
28
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic Reciproké rovnice Je-li ko°enem reciproké rovnice
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
hodnota
x,
je i
1 x
ko°enem rovnice. Reciproká rovnice I. druhu:
Rovnice lichého stupn¥ jedním z ko°en· je hodnota líme hodnotou
an = a0 ; an−1 = a1 ; . . .
x + 1,
−1,
proto rovnici vyd¥-
£ímº dostaneme rovnici sudého stupn¥
Rovnice sudého stupn¥ rovnici vyd¥líme neznámou v tolikáté mocnin¥, v
a n2
(ov¥°íme, zda jsme ned¥lili nulou). Povytýkáme stejné 1 koe cienty a zavedeme Lagrangeovu substituci x + = b a rovnici do°e²íme. x jaké je u koe cientu
an = −a0 ; an−1 = −a1 ; . . . Jedním z ko°en· je hodnota 1, proto rovnici vyd¥líme výrazem x−1, £ímº dostaneme
Reciproká rovnice II. druhu, lichého stupn¥: reciprokou rovnici I. druhu sudého stupn¥.
Binomické rovnice xn − a = 0, kde x ∈ C; n ∈ N; a = |a|(cos α + i sin α), má komplexních £ísel práv¥ n r·zných ko°en· ve tvaru: p α + 2kπ α + 2kπ n + i sin ; k = {0; 1; . . . ; n − 1} xk = |a| cos n n
Binomická rovnice
v oboru
n > 2 v Gausov¥ rovin¥ ve vrcholech pravidelného n-úhelníku p n st°edem v po£átku a polom¥rem |a|.
Ko°eny této rovnice leºí pro vepsaného do kruºnice se
Trinomická rovnice Rovnici ve tvaru
ax2n + bxn + c = 0
°e²íme zavedením substituce
xn = y .
Vy°e²íme
výslednou kvadratickou rovnici a dále zbylé binomické rovnice.
Nerovnice vy²²ích stup¬· Nerovnice vy²²ích stup¬· °e²íme jejich p°evedením na sou£inový tvar. Sou£in dvou £ísel je v¥t²í neº nula práv¥ tehdy, kdyº jsou bu¤ oba £initelé v¥t²í neº nula, nebo oba men²í neº nula. Zavedením t¥chto podmínek vy°e²íme danou nerovnici. Nerovnici v sou£inovém tvaru m·ºeme také °e²it metodou nulových bod·. Sou£in n¥kolika nenulových £ísel je záporný práv¥ tehdy, kdyº lichý po£et £initel· je záporný, jinak je sou£in kladný.
29
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic Rovnice v podílovém tvaru Ekvivalentní úprava: vynásobení obou stran rovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je de nován pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny £ísel, v níº rovnici °e²íme. Moºnosti °e²ení: Ode£teme pravou stranu. Zlomek je roven nule, pokud je roven nule £itatel. Stanovíme podmínky °e²itelnosti a potom rovnici vynásobíme jmenovatelem.
Nerovnice v podílovém tvaru Ekvivalentní úpravy: vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je de nován a kladný pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny £ísel, v níº nerovnici °e²íme; vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je de nován a záporný pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny £ísel, v níº nerovnici °e²íme a sou£asné obrácení znaku nerovnosti. Metody °e²ení: Ode£teme pravou stranu, zlomek je nezáporný práv¥ tehdy, kdyº bu¤ je £itatel nezáporný a jmenovatel kladný nebo £itatel nekladný a jmenovatel záporný. Ode£teme pravou stranu a nerovnici vy°e²íme metodou nulových bod·: je-li alespo¬ jeden z £initel· ve jmenovateli nulový, nemá zlomek smysl; jsou-li v²ichni £initelé ve jmenovateli nenuloví a alespo¬ jeden £initel v £itateli nulový, je zlomek roven nule; jsou-li v²ichni £initelé v £itateli i ve jmenovateli nenuloví, je zlomek záporný práv¥ tehdy, kdyº je lichý po£et £initel· záporný, jinak je zlomek kladný. Stanovíme podmínky, vynásobíme nerovnici jmenovatelem a diskutujeme, zda je kladný nebo záporný.
Rovnice s absolutními hodnotami Rovnici s absolutní hodnotou
|x + a| = b
m·ºeme °e²it t¥mito zp·soby:
Vyuºijeme geometrického významu absolutní hodnoty (vzdálenost dvou £ísel na £íselné ose).
|x − (−a)| = b x12 = −a ± b Vyuºijeme de nici absolutní hodnoty: pokud hodnotu, pokud bíme
−1.
x+a < 0
x + a ≥ 0 p°ímo odstraníme absolutní
odstraníme absolutní hodnotu a její vnit°ek vynáso-
Tuto metodu si uleh£íme sestavením tabulky.
30
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic Nerovnice s absolutními hodnotami e²íme st¥jn¥ jako rovnice s absolutními hodnotami s tím rozdílem, ºe v záv¥ru °e²íme nerovnici, jejíº obor °e²itelnosti je omezen ur£itým intervalem.
Iracionální rovnice Iracionální rovnice jsou rovnice s neznámou pod odmocninou. e²íme umocn¥ním obou stran na druhou, coº je d·sledková úprava, proto musíme provézt zkou²ku. Pokud jsou ob¥ strany nezáporné nebo nekladné, je umocn¥ní ekvivalentní úprava.
Iracionální nerovnice e²íme stejn¥ jako iracionální rovnice, s tím rozdílem, ºe pokud umoc¬ujeme, musíme si dát pozor, zda jsou ob¥ strany nerovnice nezáporné, pokud jsou záporné, musíme zm¥nit znak nerovnosti. Platí: ∀ a, b ∈ R+ 0 : a < b ⇔ − ∀ c, d ∈ R0 : c < d ⇔
a2 < b2 c2 > d2
Numerické °e²ení rovnic M¥jme funkci
f
spojitou na intervalu
zaru£uje, ºe na intervalu
ha; bi
ha; bi,
pro kterou platí
f (a) · f (b) < 0,
coº nám
má alespo¬ jeden nulový bod.
Metoda p·lení interval· Interval
ha; bi
rozp·líme bodem
c=
a+b . 2
Mohou nastat tyto moºnosti:
f (c) = 0 ⇒
f (a) · f (c) < 0 ⇒
pokra£ujeme dále na intervalu
ha; ci
f (c) · f (b) < 0 ⇒
pokra£ujeme dále na intervalu
hc; bi
výpo£et ukon£íme, bod
Pokra£ujeme tak dlouho dokud
c
|b − a| < ε
je °e²ením rovnice
p°esnost výpo£tu. e²ením rovnice je
c.
Metoda te£en (Newtonova metoda) Newtonova metoda vyuºívá k p°esn¥j²ímu nalezení ko°ene rovnici te£ny k funkci v bod¥
c. Pr·se£ík te£ny s osou x je nový bod c. Pro výpo£et bodu c m·ºeme pouºít jednoduchý vzorec:
ck+1 = ck − Algoritmus opakujeme tak dlouho, dokud dované p°esnosti:
|ck+1 − ck | < ε. 31
f (ck ) f 0 (ck )
f (ck ) = 0
nebo dokud nedosáhneme poºa-
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické °e²ení rovnic Metoda t¥tiv (se£en) Tuto metodu vyuºíváme p°edev²ím v p°ípad¥, kdy derivace
f 0 (x)
je dána p°íli² sloºitým
vztahem. Z krajních bod· intervalu vedeme se£nu, která protne osu
x
v bod¥
c,
který
m·ºeme ur£it následujícím vztahem:
c=
b · f (a) − a · f (b) f (a) − f (b)
Dále mohou nastat tyto moºnosti:
f (c) = 0 ⇒
f (a) · f (c) < 0 ⇒
pokra£ujeme dále na intervalu
ha; ci
f (c) · f (b) < 0 ⇒
pokra£ujeme dále na intervalu
hc; bi
výpo£et ukon£íme, °e²ením je bod
c
Výpo£et opakujeme stále dokola do té doby, dokud nedosáhneme poºadované p°esnosti:
|cn − cn−1 | < ε.
Itera£ní metoda V této metod¥ rovnici
f (x) = 0
nahradíme rovnocenou rovnicí
x = F (x). Funkci F (x) x0 a dále provádíme
nazýváme itera£ní funkcí. Na po£átku zvolíme aproximaci ko°ene aproximace podle následujícího vzorce:
xn+1 = F (xn ) |xn+1 − xn | < ε. F (x). Funkce F (x)
Algoritmus op¥t provádíme dokud nedosáhneme poºadované p°esnosti P°i pouºití této metody je vhodné správn¥ zvolit itera£ní funkci 0
musí být na daném intervalu spojitá a musí pro ni platit:
32
|F (x)| < 1.
8. Aplikace integrálního po£tu
8 Aplikace integrálního po£tu (obsah obrazce, objem rota£ních t¥les, délka k°ivky, povrch rota£ních t¥les, t¥ºi²t¥ elementární oblasti, diferenciální rovnice)
Elementární oblast
x je taková oblast, kterou m·ºeme na ose x omezit hranice oblasti podél osy y leºí mezi funkcemi f (x) a
vzhledem k ose
konstantními hodnotami, zatímco
g(x).
Obsah plochy pod k°ivkou Zb f (x) − g(x) dx
S= a
Objem rota£ního t¥lesa Zb
f 2 (x) − g 2 (x) dx
V =π a
Délka k°ivky Zb p 1 + (f 0 (x))2 dx l= a
Povrch rota£ního t¥lesa Zb S = 2π
f (x)
p 1 + (f 0 (x))2 dx
a
Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice jsou rovnice, které obsahují derivace neznámé funkce. e²ením diferenciální rovnice je funkce, které rovnici vyhovuje.
Metoda separace prom¥nných y0 =
dy dx
Kaºdou prom¥nnou i s její derivací separujeme na jednu stranu rovnice. Potom ob¥ strany rovnice integruje a výsledky porovnáme.
33
8. Aplikace integrálního po£tu P°íklad:
y0 dy dx dy 1 + y2 arctg y y
= 1 + y2 = 1 + y2 =
dx
= x+c = tg (x + c); c ∈ R
Metoda variace konstanty f (x)y 0 + g(x)y = h(x) Rovnici vy°e²íme bez pravé strany (pomocí metody separace prom¥nných), konstanta ve výsledku °e²ení je vhodn¥ zvolená funkce
u(x),
která vyhovuje zadání.
y 0 cos x + y sin x y 0 cos x + y sin x dy y ln |y| y
= a = 0 − sin x dx = cos x = ln | cos x| + ln c = c · cos x
y = u(x) · cos x y 0 = u0 (x) cos x − u(x) sin x u0 (x) cos2 x − u(x) sin x cos x + u(x) cos x sin x = a a u0 (x) = cos2 x u(x) = a tg x + c y = a sin x + c cos x; c ∈ R
34
9. Goniometrie
9 Goniometrie (de nice goniometrických funkcí, vlastnosti a grafy goniometrických funkcí, goniometrické vzorce, goniometrické rovnice a nerovnice, trigonometrie, cyklometrické funkce)
De nince goniometrických funkcí Sinus
úhlu
α
je y-ová sou°adnice bodu
M,
který je pr·se£íkem ramene úhlu s jednot-
kovou kruºnicí.
D(f ) = R
H(f ) = h−1; 1i
Lichá Periodická s periodou
2π
Omezená shora i zdola
1
0.5
0
-0.5
-1 -2.0π
-1.5π
-1.0π
-0.5π
0.0π
Obrázek 1:
Kosinus
úhlu
α
je x-ová sou°adnice bodu
D(f ) = R
H(f ) = h−1; 1i
1.0π
1.5π
2.0π
y = sin(x)
M,
notkovou kruºnicí.
0.5π
Sudá
35
který je pr·se£íkem ramene úhlu s jed-
9. Goniometrie Periodická s periodou
2π
Omezená shora i zdola
1
0.5
0
-0.5
-1 -2.0π
-1.5π
-1.0π
-0.5π
0.0π
Obrázek 2:
Tangens
α je de nován jako D(f ) = R\ π2 + kπ ; k ∈ Z
H(f ) = R
úhlu
0.5π
1.0π
y = cos(x)
podíl jeho sinu a kosinu.
Lichá Periodická s periodou
π
Neomezená
Kotangens
úhlu
α
je de nován jako podíl jeho kosinu a sinu.
D(f ) = R\ {kπ} ; k ∈ Z
H(f ) = R
Lichá Periodická s periodou
π
Neomezená
36
1.5π
2.0π
9. Goniometrie 10
5
0
-5
-10 -1.5π
-1.0π
-0.5π
0.0π
Obrázek 3:
Goniometrické vzorce
y =
0.5π
1.0π
tg(x)
sin x cos x cos x cotg x = sin x 2 2 sin x + cos x = 1 tg x · cotg x = 1 tg x
=
Sou£tové vzorce sin(x + y) sin(x − y) cos(x + y) cos(x − y)
= = = =
sin x · cos y + cos x · sin y sin x · cos y − cos x · sin y cos x · cos y − sin x · sin y cos x · cos y + sin x · sin y
Sou£ty hodnot goniometrických funkcí x−y x+y · cos 2 2 x+y x−y sin x − sin y = 2 cos · sin 2 2 x+y x−y cos x + cos y = 2 cos · cos 2 2 x+y x−y cos x − cos y = −2 sin · sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin
37
1.5π
9. Goniometrie 10
5
0
-5
-10 -1.5π
-1.0π
-0.5π
Obrázek 4:
0.0π
y =
0.5π
cotg(x)
Vzorce dvojnásobného argumentu sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x
Vzorce polovi£ního argumentu r x 1 − cos x sin = 2 2 r x 1 + cos x cos = 2 2
Trigoniometrie Sinová v¥ta
Kosinová v¥ta
a b c = = = 2r sin α sin β sin γ
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α
Obvod o=a+b+c
38
1.0π
1.5π
9. Goniometrie Obsah S = S = S = S = S = kde
s
a · va 2 ab · sin γ p 2 s(s − a)(s − b)(s − c) %·s abc 4r
je polovina obvodu.
s=
a+b+c 2
Cyklometrické funkce Arkus sinus
D(f ) = h−1; 1i
H(f ) = − π2 ; π2
Lichá
0.5π
0.0π
-0.5π -1
-0.5
Obrázek 5:
0
y =
39
0.5
arcsin(x)
1
9. Goniometrie Arkus kosinus
D(f ) = h−1; 1i
H(f ) = h0; πi
1.0π
0.5π
0.0π -1
-0.5
Obrázek 6:
0
y =
Arkus tangens
D(f ) = R
H(f ) = − π2 ; π2
Lichá
Arkus kotangens
D(f ) = R
H(f ) = (0; π)
40
0.5
arccos(x)
1
9. Goniometrie
0.5π
0.0π
-0.5π -10
-5
0
Obrázek 7:
y =
5
10
5
10
arctg(x)
1.0π
0.5π
0.0π -10
-5
0
Obrázek 8:
y =
41
arccotg(x)
10. Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice
10 Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice (de nice a vlastnosti exponenciální a logaritmické funkce, jejich grafy, pravidla pro po£ítání s logaritmy, exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice)
Exponenciální funkce 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
Obrázek 9:
Exponenciální funkce se základem x ve tvaru y = a , kde a > 0, a 6= 1.
a
0.5
1
1.5
2
y = ex , y = e−x
je funkce na mnoºin¥ reálných £ísel, vyjád°ená
f (x) : y = ax , a ∈ R+ \ {1} D(f ) = R H(f ) = R+ Na celém svém de ni£ním oboru je spojitá, prostá, ryze monotónní a konvexní. Rostoucí pokud
a ∈ (1; ∞), klesající pokud a ∈ (0; 1). Nemá
v ºádném svém bod¥ maximum
ani minimum, ale je zdola omezená. Na jedné stran¥ de ni£ního oboru konverguje k nule, na druhé k nekone£nu, ale nemá asymptoty.
Logaritmická funkce Logaritmická funkce je inverzní funkcí k funkci exponenciální.
42
10. Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0.5
1
1.5
2
Obrázek 10:
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y = log(x), y = − log(x)
f (x) : y = loga x, a ∈ R+ \ {1} D(f ) = R+ H(f ) = R Kde
a
se nazývá základem logaritmické funkce. Na celém svém de ni£ním oboru je
spojitá a ryze monotónní. Je to funkce prostá. Pokud je konvexní a pokud
a ∈ (0; 1)
a ∈ (1; ∞)
je funkce rostoucí a
je funkce klesající a konkávní. Není omezená, konverguje k
nekone£nu a v nule má zprava nevlastní limitu, nemá asymptoty.
Exponenciální rovnice a nerovnice Pokud jsou si rovny základy, jsou si rovny i exponenty.
ax = ay ⇒ x = y Jsou-li si rovny exponenty, jsou si rovny i základy.
ax = b x ⇒ a = b
43
10. Exponenciální a logaritmická funkce, rovnice a nerovnice Logaritmické rovnice a nerovnice Platí:
loga xy = y loga x loga xy = loga x + loga y x loga = loga x − loga y y logb x loga x = logb a Pokud jsou si rovny základy jsou si rovny i argumenty.
loga x = loga y ⇒ x = y Pokud se rovnají argumenty, rovnají se i základy.
loga x = logb x ⇒ a = b
44
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r·zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina£ní metoda, determinanty metody výpo£tu, Cramerovo pravidlo)
Soustavy rovnic Ekvivalentní úpravy 1. Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy 2. Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjád°íme n¥kterou neznámou, do jiné rovnice 3. P°i£tení nenulového násobku rovnice k jiné rovnici nebo jejímu nenulovému násobku 4. Zám¥na po°adí rovnic 5. Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy
Metody °e²ení 1. Dosazovací (substitu£ní) 2. S£ítací (aditivní) 3. Srovnávací 4. Gra cky
Soustava m rovnic o n neznámých
m > n:
n
Ze zadné soustavy vybereme
rovnic a tuto soustavu vy°e²íme. Ov¥°íme,
zda toto °e²ení vyhovuje i v²em vynechaným rovnicím.
m < n:
Ozna£íme si
(m − n)
neznámých jako parametry a soustavu vy°e²íme
v závislosti na nich.
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých a11 x1 + a21 x1 + . . .
a12 x2 + a22 x2 + . . .
a13 x3 + . . . + a23 x3 + . . . + . . .
..
.
a1n xn = b1 a2n xn = b2 . . .
. . .
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm aij ∈ R; bi ∈ R Absolutní £leny; i = {1; 2; . . . ; m}; j = {1; 2; . . . ; n}
xj ∈ R
45
Neznámé
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
b1 = b2 = . . . = bm = 0 homogenní soustava, má triviální °e²ení: x1 = . . . = xn = 0
alespo¬ jeden ze £len·
bi 6= 0
nehomogenní soustava
Soustavu °e²íme Gaussovou elimina£ní metodou nebo Cramerovým pravidlem (pokud
m = n).
Viz dále.
Kaºdá
n-tice [x1 ; x2 ; . . . ; xn ]
reálných £ísel, která vyhovuje dané soustav¥, se nazývá
partikulární °e²ení. V²echna partikulární °e²ení tvo°í tzv. obecné °e²ení.
Soustava nerovnic o jedné neznámé Nejd°íve vy°e²íme kaºdou nerovnici zvlá²´. Mnoºina v²ech °e²ení soustavy je pak pr·nik mnoºin v²ech °e²ení jednotlivých nerovnic.
Matice m × n reálných £ísel do m °ádk· a n sloupc·. aij (i °ádkový index; j sloupcový index). Matice
Matice je schéma, ve kterém je uspo°ádáno Tato £ísla nazýváme prvky matice:
ozna£ujeme velkými tiskacími písmeny.
A(m;n)
Hlavní diagonála
a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n = .. . . . .. . . . . . . . . am1 am2 am3 . . . amn
je tvo°ena prvky
Vedlej²í diagonála
a11 , a22 , a33 , . . . , amn ,
musí platit
m = n.
je opa£ná diagonála k hlavní diagonále.
Bodová matice m = n = 1 ádková matice m = 1 Sloupcová matice n = 1 tvercová matice m = n. |A| = 0
Determinant £tvercové matice
pak je tato matice singulární. Pokud
|A| 6= 0,
A
ozna£me
|A|.
Pokud je
ozna£ujeme tuto matici jako
regulární.
Nulová matice
je taková matice, v²echny prvky jsou nulové.
Jednotková matice
je £tvercová matice, která má na hlavní diagonále jedni£ky a
ostatní prvky jsou nuly.
46
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice Trojúhelníková matice
má nad nebo pod hlavní diagonálou samé nuly.
Transponovaná matice
vznikne z p·vodní matice zám¥nou °ádk· a sloupc·.
Inverzní matice
je taková £tvercová matice
A−1 ,
A · A−1 = A−1 · A = P·vodní matici A upravíme
pro kterou platí
jednotková matice. Inverzní matici ur£íme tímto zp·sobem:
na jednotkovou matici. Tyto úpravy provádíme na jednotkové matici stejného °ádu. Ma−1 tice, která vznikne t¥mito úpravami je inverzní maticí A k matici A.
Hodnost matice A ozna£ujeme h(A). Matice A má hodnost h, práv¥ tehdy kdyº z ní lze vybrat determinant °ádu
h,
který je r·zný od nuly a v²echny determinanty vy²²ích
°ád· jsou nulové. Hodnost matice m·ºeme ur£it tak, ºe matici upravíme na trojúhelníkový tvar a po£et nenulových °ádk· ur£ují hodnost matice. K úprav¥ matice na trojúhelníkový tvar m·ºeme pouºít tyto úpravy: zám¥na °ádk· za sloupce nebo °ádk· nebo sloupc· mezi sebou násobení °ádeku nebo sloupce nenulovým £íslem p°i£tení k libovolnému °ádku nebo sloupci lineární kombinací ostatních °ádk· nebo sloupc· vynechání °ádku nebo sloupce, který je lineární kombinací ostatních °ádk· nebo sloupc·
Operace s maticemi
Rovnost matic:
Dv¥ matice stejného typu se sob¥ rovnají, mají-li ma stejných
místech stejné prvky.
A = B ⇔ aij = bij
S£ítání matic:
Sou£et matic stejného typu je sou£et odpovídajících prvk·. Platí
komutativní a asociativní zákon.
A + B = C ⇔ cij = aij + bij
Násobení matice reálným £íslem:
Násobení matice reálným £íslem je vynáso-
bení v²ech prvk· matice tímto £íslem.
k · A = B ⇔ bij = k · aij
Násobení matice maticí: Je-li první matice A typu (m, n) a druhá matice B typu (n, p),
pak sou£inem t¥chto matic v tomto po°adí
A·B
pro niº platí:
A · B = C ⇔ cik =
n X
aij · bjk
j=1
i = {1; 2; . . . ; m}; k = {1; 2; . . . ; p} 47
je matice
C
typu
(m, p),
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice Gaussova elimina£ní metoda Pouºívá se k °e²ení soustavy lineárních rovnic o
n
neznámých. P°i °e²ení postupujeme
takto: 1. Koe cienty rovnic zapí²eme do matice s roz²í°ením pravé strany tak, aby prvek
a11
nebyl nulový. 2. Roz²í°enou matici dané soustavy transponujeme úpravami, které zachovávají její hodnost, na trojúhelníkovitý tvar. 3. Vypo£ítáme hodnost p·vodní a roz²í°ené matice a podle Frobenovy v¥ty ur£íme °e²itelnost soustavy:
h = h0 = n ⇒
h = h0 < n ⇒
soustava má jedno °e²ení soustava má nekone£n¥ mnoho °e²ení,
(n − h)
neznámých
p°evedeme na pravou stranu jako parametry
h 6= h0 ⇒
soustava nemá °e²ení
4. P°epí²eme °ádky matice op¥t do rovnic a ur£íme ko°eny.
Determinanty Uspo°ádáme-li
n2
reálných £ísel do £tvercového schématu o
taneme determinant
n-tého
n
°ádcích a
n
sloupcích, dos-
°ádu. Kaºdému takovému determinantu lze p°i°adit reálné
£íslo, které nazýváme hodnotou tohoto determinantu.
Hodnota determinantu Determinant 1. °ádu:
a11 = a11 Determinant 2. °ádu: pomocí Sarrusova pravidla
a11 a12 a21 a22 = a11 · a22 − a21 · a12 Determinant 3. °ádu: pomocí Sarrusova pravidla
a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33 = a11 ·a22 ·a33 +a12 ·a23 ·a31 +a21 ·a32 ·a13 −a13 ·a22 ·a31 −a21 ·a12 ·a33 −a23 ·a32 ·a11 Determinanty jiného °ádu: úpravou na trojúhelníkový tvar. Na úpravu m·ºeme pouºít tyto metody:
48
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
Hodnota determinantu se nezm¥ní zam¥níme-li i-tý °ádek za i-tý sloupec nebo naopak.
Zam¥níme-li v determinantu dv¥ rovnob¥ºné °ady (°ádek nebo sloupec), hodnota determinantu se zm¥ní v opa£nou
Vynásobíme-li prvky n¥které °ady reálným £íslem
k,
zm¥ní se jeho hodnota
k -krát.
Hodnota determinantu se nezm¥ní, p°ipo£teme-li k n¥které jeho °ad¥ lineární kombinaci °ad s ní rovnob¥ºných.
Je-li v determinantu n¥která jeho °ada lineární kombinací °ad s ní rovnob¥ºných, je hodnota determinantu rovna nule.
Jsou-li prvky n¥které °ady rovny nule, je hodnota determinantu rovna nule. Pokud má determinant trojúhelníkový tvar, pak je jeho hodnota rovna sou£inu prvk· na hlavní diagonále.
Cramerovo pravidlo 1. Ur£íme hodnotu derminantu
D sestaveného z koe cient· na levých stranách rovnic.
2. Ur£íme hodnoty derminant·
Di sestavených z koe cient· na levých stranách rovnic.
Vºdy
i-tý
sloupec nahradíme hodnotami na pravých stranách rovnic.
3. Spo£ítáme hodnoty prom¥nných následujícím zp·sobem:
D = 0 ∧ Di = 0:
D=0∧
Di 6= 0: ádné Dn D1 D2 ; ;...; D D D
alespo¬ jeden z
Nekone£n¥ mnoho °e²ení
D 6= 0: K =
49
°e²ení
12. Binomická v¥ta, Kombinatorika
12 Binomická v¥ta, Kombinatorika (faktoriál, kombina£ní £íslo, Pascal·v trojúhelník, binomická v¥ta, kombinatorické pravidlo sou£tu a sou£inu, permutace, variace, kombinace s opakováním i bez)
Faktoriál Je sou£in £ísel od
1
n (n ∈ N0 ).
do
n! = 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n 0! = 1
Kombina£ní £íslo Pro
n, k ∈ N0 ; n ≥ k
platí:
n n! = k (n − k)! · k! n n = k n−k n n n+1 + = k k+1 k+1
n =1 0 n =1 n n =n 1
Pascal·v trojúhelník Pascal·v schéma z kombina£ních £ísel. Je soum¥rné podle svislé osy, protoºe trojúhelník platí:
n k
=
n n−k
. Libovolné £íslo v Pascalov¥ trojúhelníku lze získat se£tením dvou
£ísel leºících bezprost°edn¥ nad ním, platí:
Sou£et v²ech £ísel v
n n n+1 + = . k k+1 k+1
n-tém °ádku je roven n-té mocnin¥ dvojky: n n n n + + ... + + = 2n 0 1 n−1 n 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 50
12. Binomická v¥ta, Kombinatorika Binomická v¥ta Pomocí binomické v¥ty lze rozepsat
n-tou
∀ a, b ∈ C; ∀ n ∈ N : n
(a + b) =
mocninu dvou s£ítanc· na
n X n
k
k=0
k -tý
n+1
s£ítanc·.
· an−k · bk
n
(a + b) se dá zapsat: n Ak = · an−k+1 · bk−1 k−1
£len binomického rozvoje
Základní kombinatorická pravidla Pravidlo sou£inu Po£et v²ech uspo°ádaných
k -tic,
jejichº první £len lze vybrat
n1
zp·soby, druhý £len po
n2 zp·soby atd. aº k -tý £len po výb¥ru v²ech p°edcházejících £len· n1 · n2 · . . . · nk .
výb¥ru prvního £lenu
nk
zp·soby, je roven
Pravidlo sou£tu Jsou-li
A1 , A2 , . . . , An
kaºdé dv¥ z t¥chto mnoºin disjunktní, pak po£et prvk· roven
p1 , p2 , . . . , pn prvk·, a jsou-li mnoºiny A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An je
kone£né mnoºiny, které mají po °ad¥
p1 + p2 + . . . + pn .
Permutace Bez opakování
z
n
n-tice
prvk· je uspo°ádaná
sestavená z t¥chto prvk· tak, ºe kaºdý
se v ní vyskytuje práv¥ jednou.
P (n) = n!
S opakováním k-té t°ídy z n prvk· je uspo°ádaná k-tice sestavená z t¥chto prvk· tak, ºe se v ní kaºdý prvek vyskytuje alespo¬ jednou.
P 0 (k1 , k2 , . . . , kn ) =
(k1 + k2 + . . . + kn )! k1 ! · k2 ! · . . . · kn !
Variace Bez opakování k-té t°ídy z n prvk· je uspo°ádaná k-tice sestavená z t¥chto prvk· tak, ºe kaºdý se v ní vyskytuje nejvý²e jednou.
V (k, n) =
51
n! (n − k)!
12. Binomická v¥ta, Kombinatorika S opakováním k-té t°ídy z n prvk· je uspo°ádaná k-tice sestavená z t¥chto prvk· tak, ºe kaºdý se v ní vyskytuje nejvý²e
k -krát. V 0 (k, n) = nk
Kombinace Bez opakování k-té
t°ídy z
n
prvk· je neuspo°ádaná
k -tice
sestavená z t¥chto prvk·
tak, ºe kaºdý se v ní vyskytuje nejvý²e jednou.
n n! C(k, n) = = k (n − k)! · k!
S opakováním k-té
t°ídy z
n
prvk· je neuspo°ádaná
k -krát. n+k−1 0 C (k, n) = k
tak, ºe kaºdý se v ní vyskytuje nejvý²e
52
k -tice
sestavená z t¥chto prvk·
13. Pravd¥podobnost a Statistika
13 Pravd¥podobnost a Statistika (náhodný pokus, pojem pravd¥podobnosti, jev, pravd¥podobnost jevu, s£ítání pravd¥podobností, nezávislé jevy, binomické rozd¥lení, podmín¥ná pravd¥podobnost, statistický soubor, jednotka, znak, modus, medián, aritmetický, geometrický, harmonický pr·m¥r, sm¥rodatná odchylka, rozptyl, korela£ní koe cient)
Pravd¥podobnost Náhodný pokus
je takový pokus, který závisí na p°edepsaných podmínkách, ale i na
náhod¥. Mnoºinu v²ech moºných výsledk· pokusu zna£íme
Ω. Jednotlivé moºné výsledky pokusu
ω . Ω = {ω1 , ω2 , . . . ωn } m moºných výsledk· a jsou-li tyto výsledky stejn¥ pravd¥podobné, 1 . kaºdém z nich °ekneme, ºe má pravd¥podobnost m
zna£íme
Má-li náhodný pokus pak o
Jev
je podmnoºina mnoºiny
Nemoºný jev = Jistý jev =
Ω.
Zna£íme velkými tiskacími písmeny latinské abacedy.
∅
Ω
O jevech platí v²e co podmoºinách:
ω∈A A⊂B
výsledek jev
A
ω
je p°íznivý jevu
je podjevem jevu
A
B
A∪B
jev nastává práv¥ tehdy, nastane-li alspo¬ jeden z jev·
A, B
A∩B
jev nastává práv¥ tehdy, nastanou-li spu£asn¥ oba jevy
A, B
A∩B =∅ A0
jevy
A, B
jev opa£ný k jevu
se vzájemn¥ vylu£ují
A
Pravd¥podobnost jevu A zna£íme P (A). P (A) = kde
m
je po£et p°íznivých výsledk· a
n
m n
je po£et v²ech moºných výsledk·.
0 ≤ P (A) ≤ 1
53
13. Pravd¥podobnost a Statistika S£ítaní pravd¥podobností Pokud se jevy
A, B
P (A) + P (A0 ) = 1
vzájemn¥ vylu£ují:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Pokud se jevy
A, B
vzájemn¥ nevylu£ují:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Nezávislé jevy Nezávislostí dvou jev· rozumíme to, ºe nastání jednoho jevu nemá vliv na nastání jevu druhého. Dva jevy
A, B
jsou nezávislé pokud platí:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Binomické rozd¥lení (Bernoulliho schéma) n nezávislých pokus·, z nichº kaºdý skon£í bu¤ zdarem s pravd¥podobností p nebo nezdarem s pravd¥podobností q . Potom pravd¥podobnost jevu Ak , ºe práv¥ k pokus· bude M¥jme
zda°ilých je:
n P (Ak ) = · pk · q n−k k
Podmín¥ná pravd¥podobnost Pravd¥podobnost nastání jevu
A
za podmínky nastání jevu
P (A|B) = Pokud jsou jevy
A, B
B:
P (A ∩ B) P (B)
nezávislé, platí:
P (A|B) = P (A)
Celková pravd¥podobnost M¥jme dva nezávislé jevy
B1 , B2 .
V tom p°ípad¥ pro libovolný jev
A
platí:
P (A) = P (B1 ) · P (A|B1 ) + P (B2 ) · P (A|B2 )
Statistika Zkoumá hromadné jevy na dostate£n¥ rozsáhlém souboru objekt·.
Statistický soubor
je neprázdná kone£ná mnoºina prvk·, na které se provádí statis-
tické zkoumání ur£itého hromadného jevu.
54
13. Pravd¥podobnost a Statistika Statistická jednotka Statistický znak
je prvkem statistického souboru.
je spole£ná vlastnost prvk· souboru, jejíº prom¥nnost je p°edm¥tem
x. Kaºdé statistické jednotce je p°id¥lena práv¥ jedna hodnota znaku. kvantitativní dá se popsat reálným £íslem, nebo kvalitativní je popsán slovy.
zkoumání. Zna£í se M·ºe být
Rozsah souboru etnost znaku
je po£et v²ech jeho prvk·. Zna£í se
n.
udává po£et statistických jednotek daného statistického souboru, kte-
rým v²em p°íslu²í stejná hodnota znaku. Zna£í se
Relativní £etnost znaku vj =
nj .
nj n
Gra cké znázorn¥ní Polygon (Spojnicový diagram) Histogram (Sloupkový diagram) Kruhový diagram
Aritmetický pr·m¥r n
x¯ =
1X x1 + x2 + . . . + xn = xj n n j=1
Harmnonický pr·m¥r x¯H =
1 x1
+
n + ... +
1 x2
Geometrický pr·m¥r x¯G =
√ n
1 xn
n X 1 =n: x j=1 j
x1 · x2 · . . . · xn
Vztahy mezi pr·m¥ry x¯H ≤ x¯G ≤ x¯
Modus Medián
znaku
x
je hodnota toho znaku, který má nejv¥t²í £etnost. Zna£íme
M od(x).
je prost°ední hodnota znaku (p°ípadn¥ aritmetický pr·m¥r dvou prost°edních
hodnot) v se°azeném souboru. Zna£íme
M ed(x). 55
13. Pravd¥podobnost a Statistika Varia£ní rozp¥tí R = xmax − xmin
Pr·m¥rná absolutní odchylka n
1X |x1 − x¯| + |x2 − x¯| + . . . + |xn − x¯| = |xj − x¯| d¯ = n n j=1
Rozptyl n
s2x
(x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + . . . + (xn − x¯)2 1X = = (xj − x¯)2 n n j=1
Sm¥rodatná odchylka sx =
p
Varia£ní koe cient vx =
Koe cient korelace
s2x
sx x¯
ur£uje závislost dvou znak·.
r=
1 n
Pn
− x¯) · (yj − y¯) sx · sy
j=1 (xj
56
14. Teorie d¥litelnosti v N, Metody d·kaz· v matematice
14 Teorie d¥litelnosti v N, Metody d·kaz· v matematice (d¥litel, násobek, prvo£íslo, sloºené £íslo, znaky d¥litelnosti, základní v¥ta aritmetiky, nejv¥t²í spole£ný d¥litel, nejmen²í spole£ný násobek, Euklid·v algoritmus, diofantovské rovnice, p°ímý a nep°ímý d·kaz, d·kaz sporem, d·kaz matematickou indukcí)
D¥litelnost v N íslo £íslo
a je d¥litelem £ísla b (£íslo b je násobkem £ísla a), práv¥ tehdy, kdyº existuje p°irozené k takové, ºe platí b = k · a. a | b ⇔ ∃k ∈ N : b = k · a
D¥litelnost je re exivní
Samoz°ejmí d¥litelé
a | a, tranzitivní a | b ∧ b | c ⇒ a | c, není sysmetrická a | b < b | a £ísla
n jsou £íslo 1 a n, ostatní d¥litelé se nazývají nesamoz°ejmí
d¥litelé.
Nesoud¥lná £ísla Soud¥lná £ísla Prvo£íslo
jsou taková £ísla, jejichº nejv¥t²í spole£ný násobek je 1.
jsou taková £ísla, jejichº nejv¥t²í spole£ný násobek je v¥t²í neº 1.
je takové p°irozené £íslo v¥t²í neº 1, které má pouze samoz°ejmé d¥litele (tj.
1 a samo sebe).
Sloºené £íslo
je takové p°irozené £íslo v¥t²í neº 1, které má alespo¬ jednoho nesamo-
z°ejméhé d¥litele.
íslo 1
není asi prvo£íslo, ani £íslo sloºené.
Kritéria d¥litelnosti 2 sudé £íslo 3 cifený sou£et je d¥litelný t°emi 4 poslední dvoj£íslí je d¥litelné £ty°mi 5 poslední £íslice je 0 nebo 5 6 sudé £íslo a jeho ciferný sou£et je d¥litelný t°emi 7 sou£et lichých a rozdíl sudých trojic cifer d¥litelný sedmi 57
14. Teorie d¥litelnosti v N, Metody d·kaz· v matematice 8 poslední troj£íslí je d¥litelné osmi 9 ciferný sou£et je d¥litelný devíti 10 poslední cifra je 0 11 sou£et lichých £íslic a rozdíl sudých £íslic d¥litelný jedenácti 12 je d¥litelné £ty°mi a t°emi
Základní v¥ta aritmetiky ∀ n > 1 ∈ N : n = pr11 · pr22 · . . . · prkk p1 , p2 , . . . , pk prvo£ísla r1 , r2 , . . . , rk ∈ N0
Po£et v²ech d¥litel· τ (n) = (r1 + 1) · (r2 + 1) · . . . · (rk + 1)
Sou£et v²ech d¥litel· σ(n) =
Sdruºenými d¥liteli platí:
£ísla
pr11 +1 − 1 pr22 +1 − 1 prk +1 − 1 · · ... · k p1 − 1 p2 − 1 pk − 1 n
nazýváme takovou dvojci jeho d¥litel·
d1 , d2 ,
pro kterou
d1 · d2 = n.
Nejv¥t²í spole£ný d¥litel Nejv¥t²í spole£ný d¥litel n¥kolika daných celých £ísel je nejv¥t²í p°irozené £íslo takové, ºe beze zbytku d¥lí v²echna tato £ísla.
N SD(a; b) = max{n ∈ N : n | a ∧ n | b}
Euklid·v algoritmus
je algoritmus, kterým lze ur£it nejv¥t²ího spole£ného d¥litele
dvou p°irozených £ísel. íslo
a d¥líme £íslem b. P°i nenulovém zbytku d¥líme tímto zbytkem £íslo b a ur£íme op¥t
zbytek. Pokud je tento zbytek nenulový, d¥líme jím p°ede²lý zbytek. Takto postupujeme, dokud není zbytek nulový. Potom je nejv¥t²ím spole£ným d¥litelem zbytek p°edcházející tomuto nulovému zbytku.
58
14. Teorie d¥litelnosti v N, Metody d·kaz· v matematice Nejmen²í spole£ný násobek Nejmen²í spole£ný násobek n¥kolika daných celých £ísel je nejmen²í p°irozené £íslo takové, které je celo£íselným násobkem v²ech daných £ísel.
N SN (a; b) = min{n ∈ N : n = k · a ∧ n = l · b} Obecn¥ platí:
N SD(a; b) · N SN (a; b) = a · b
Diofantovské rovnice Diofantovská rovnice je rovnice, která má více prom¥nných neº jednu a jejíº °e²ení se hledá pouze v oboru celých £ísel.
ax + by = c Aby rovnice m¥la °e²ení, musí být spln¥na následující podmínka:
N SD(a; b) | c
D·kazy V matematice je d·kaz demonstrace pravdivosti n¥jakého tvrzení za ur£itých p°edpoklad· (axiom·). Matematický d·kaz musí být zaloºen výhradn¥ na nezpochybnitelných pravidlech rozumu. Tvrzení, ke kterému je znám matematický d·kaz, se nazývá matematická v¥ta.
P°ímý d·kaz °ady výrok·
se pouºívá k dokázání v¥t tvaru implikace
A1 , A2 , . . . , An ,
P ⇒ T.
Spo£ívá v nalezení
tak aby platilo:
P ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ . . . ⇒ An ⇒ T
D·kaz sporem
je zaloºen na zákonu o vylou£ení t°etího. Je to d·kaz ve kterém se
prokáºe, ºe p°edpoklad vede k nepravdivému tvrzení (ke sporu), coº znamená, ºe p°edpoklad je nepravdivý, a platí tedy jeho negace. 1. Chceme dokázat, ºe platí výrok 2. Zformulujeme výrok 3. Z výroku
¬T
T
¬T
odvozujeme °et¥zec implikací, aº dojdeme k nepravdivému tvrzení
4. Nastane spor s p°edpokladem, ºe výrok
Nep°ímý d·kaz
¬T
je pravdivý, je tedy pravdivý výrok
se pouºívá k dokázání v¥t tvaru implikace
lentní s její obm¥n¥nou v¥tou
¬T ⇒ ¬P .
P ⇒ T,
T
která je ekviva-
Kterou dále dokazujeme p°ímo. Je-li dokázána
obm¥n¥ná v¥ta, platí i p·vodní tvrzení.
59
14. Teorie d¥litelnosti v N, Metody d·kaz· v matematice D·kaz matematickou indukcí
se pouºívá, pokud chceme dokázat, ºe dané tvrzení
platí pro v²echna p°irozená £ísla, p°ípadn¥ jinou nekone£nou posloupnost. 1.
První krok picky
2.
Dokáºeme, ºe tvrzení platí pro nejmen²í prvkek dané mnoºiny (ty-
n = 1)
Induk£ní krok
Ukáºeme, ºe pokud tvrzení platí pro libolné
pak platí i pro jeho následovníka (k
+ 1)
60
k
z dané mnoºiny,
15. Zobrazení, Shodná a podobná zobrazení, Kruhová inverze
15 Zobrazení, Shodná a podobná zobrazení, Kruhová inverze (pojem zobrazení, osová soum¥rnost, st°edová soum¥rnost, otá£ení, posunutí, posunutá soum¥rnost, skládání zobrazení, stejnolehlost, kruhová inverze, Apolloniovy a Pappovy úlohy)
Zobrazení v rovin¥ Zobrazení je p°edpis, který kaºdému bodu v rovin¥ p°i°azuje práv¥ jeden bod z roviny.
Z : X → X0
Samodruºný bod Mnoºina bod·
A
(vzor
→
obraz)
je takový bod, pro kteý platí, ºe jeho obraz splývá se vzorem.
je siln¥ samodruºná, pokud je samodruºná a kaºdý bod
X ∈ A
je
samodruºný. Mnoºina bod·
B
je slab¥ samodruºná, pokud je samodruºná, ale existuje bod
X ∈ B,
který není samodruºný.
Shodná zobrazení Jsou zobrazení, ve který se zachovávají vzdálenosti.
P°ímá shodnost
obraz lze p°emístit tak, aby se kryl se vzorem.
Nep°ímá shodnost
obraz nelze p°emístit tak, aby se kryl se vzorem.
Identita Je takové zobrazení, ve kterém je kaºdý bod samodruºný.
Osová soum¥rnost Osová soum¥rnost je dána p°ímkou (osou), jejíº body jsou siln¥ samodruºné. Vzor a obraz bodu jsou od osy stejn¥ vzdálené, p°i£emº jejich pravoúhlý pr·m¥t na osu je shodný. Proto jsou také v²echny p°ímky kolmé na osu slab¥ samodruºné.
O(o) : X → X 0
St°edová soum¥rnost St°edová soum¥rnost je dána bodem (st°edem), který je samodruºný. Vzor a obraz bodu leºí na opa£ných polop°ímkách s po£átkem ve st°edu, ve stejné vzdálenosti od n¥j. V²echny p°ímky procházející st°edem jsou slab¥ samodruºné.
S(S) : X → X 0 61
15. Zobrazení, Shodná a podobná zobrazení, Kruhová inverze St°edovou soum¥rnost lze sloºit ze dvou kolmých osových soum¥rností, kde nebo ji lze brát jako oto£ení o
π
{S} = o1 ∩ o2 ,
kolem daného st°edu.
Oto£ení Neboli rotace. Je dána bodem (st°edem) a orientovaným úhlem. St°ed je samodruºný a 0 v²echny ostatní body se zobrazují tak, ºe | XSX | je shodná s velikostí úhlu oto£ení a 0 zárov¥¬ |XS| = |X S|. 0
R(S; α) : X → X
Posunutí Neboli translace. Je dáno vektorem posunutí. Nemá ºádné samodruºné body, ale v²echny p°ímky ve sm¥ru vektoru posunutí jsou slab¥ samodruºné.
T (~u) : X → X 0
Skládání zobrazení M¥jme dv¥ zobrazení
Z1 : X → X 0 ; Z2 : X 0 → X 00 .
Zobrazení
Z
je sloºené zobrazení,
pokud platí:
Z = Z2 ◦ Z1 Z : X → X 00 Skládání zobrazení není komutativní. Sloºením dvou osových soum¥rností vznikne vºdy jedno z p°ímých shodných zobrazení: identita, posunutí, oto£ení (st°edová soum¥rnost). Sloºením t°í osových soum¥rností vznikne vºdy jedno z nep°ímých zobrazení: osová soum¥rnost nebo posunutá soum¥rnost (sloºení osové soum¥rnosti a posunutí).
Podobná zobrazení Podobnost je geometrické zobrazení v rovin¥, pro které existuje kladné reálné £íslo κ tak, 0 0 0 0 ºe pro kaºdé dv¥ dvojice A, A , B, B vzoru a obrazu je spln¥n vztah |A B | = κ |AB|. V podobném zobrazení se zachovává rovnob¥ºnost a pom¥ry délek. Podobnost s koe cientem
κ=1
je shodnost.
Stejnolehlost (Homotetie) κ ∈ R∗ . Kaºdému bodu X roviny, 0 0 který nesplývá se st°edem, p°i°azuje jednozna£n¥ bod X , tak ºe platí: |SX | = |κ| · |SX|. −→ 0 0 Pro kladné κ leºí bod X na polop°ímce SX , pokud je κ záporné, leºí bod X na opa£né −→ polop°ímce k SX . H(S; κ) : X → X 0 Je dána bodem (st°edem) a koefcientem podobnosti
62
15. Zobrazení, Shodná a podobná zobrazení, Kruhová inverze St°ed je samodruºný, stejn¥ tak jako v²echny p°ímky jím procházející. P°ímka a její obraz ve stejnolehlosti jsou rovnob¥ºné. Pom¥r délek obrazu úse£ky a jejího vzoru se rovná
|κ|.
Stejnolehlost zachovává pom¥ry délek a rovnob¥ºnost.
Kruhová inverze k(S; r) v rovin¥ a kaºdému bodu X z roviny, který nesplývá se st°edem, −→ 0 0 0 2 p°i°azuje p°áv¥ jeden bod X z roviny, pro který platí: X ∈ SX a |SX| · |SX | = r . Kruºnici k ozna£ujeme jako základní kruºnici kruhové inverze; S je st°edem kruhové 2 inverze (pól) a r je mocnost kruhové inverze. Je dána kruºnicí
V kruhové inverzi ozna£ujeme kruºnice a p°ímky spole£ným názvem kruhové k°ivky. Obrazem kruhové k°ivky je op¥t kruhová k°ivka. Základní kruºnice je siln¥ samodruºná a kaºdá p°ímka procházející st°edem je slab¥ samodruºná. Kruhová inverze zobrazuje v²echny body ve vnit°ní oblasti kruºnice vn¥ a naopak. P°ímky neprocházející st°edem zobrazuje na kruºnice st°edem procházející a kruºnice procházející st°edem zobrazuje na p°ímky. Ostatní kruºnice zobrazuje op¥t na kruºnice.
e²ení Apolloniových úloh V²echny Apolloniovy úlohy lze °e²it pomocí kruhové inverze, v¥t²inou ov²em existuje jednodu²²í °e²ení. 1. Vhodná volba kruhové inverze. Pokud je v úloze zadán bod, volíme ho za st°ed kruhové inverze. Jsou-li v úloze zadány kruºnice a ºádný bod, volíme st°ed kruhové inverze v jejich spole£ném bod¥. Polom¥r základní kruºnice m·ºeme volit libovoln¥, výhodné je ale zvolit délku te£ny k n¥které zadané kruºnici. 2. Ke v²em útvar·m sestrojíme inverzní útvary. 3. Úlohu vy°e²íme pro inverzní útvary. 4. e²ení p°evedeme zp¥t kruhovou inverzí.
Apolloniovy úlohy Apolloniova úloha je hledání kruºnice, která má t°i vlastnosti. Kaºdá z t¥ch vlastností m·ºe být mít následující podobu: prochází bodem, dotýká se p°ímky, dotýká se kruºnice. Kombinací t¥chto t°í moºností dostáváme deset druh· Apolloniových úloh.
63
15. Zobrazení, Shodná a podobná zobrazení, Kruhová inverze Pappovy úlohy Pappovy úlohy jsou speciální p°ípady Apolloniových úloh. Omezení je v tom, ºe hledaná kruºnice se dotýká kruºnice nebo p°ímky v zadaném bod¥. Tento bod tedy leºí bu¤ na p°ímce nebo na kruºnici. Existuje ²est druh· Pappových úloh.
64
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice
16 Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice (typy trojúhelník· a jejich vlastnosti, Pythagorova v¥ta, Euklidovy v¥ty, £ty°úhelníky druhy a jejich vlastnosti, kruºnice obvodový a st°edový, úsekový úhel, vzájemná poloha kruºnic, Thaletova kruºnice, Feuerbachova kruºnice, Apolloniova kruºnice)
Trojúhelník −−−→ A, B, C ur£ují trojúhelník ABC , jenº je pr·nikem polorovin ABC , −−−→ −−−→ BCA, CAB . Úse£ky |AB|, |BC|, |CA|, téº ozna£ovány po°ad¥ c, a, b, jsou stranami trojúhelníku. Úhly CAB , ABC , BCA, ozna£ované také jako α, β, γ , jsou jeho vnit°ními T°i nekolineární body
úhly. Vn¥j²í úhly jsou dopl¬kovými k t¥mto úhl·m. V kaºdém trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180◦ α0 = β + γ
obdobn¥ cyklicky
Rozd¥lení podle délek stran R·znostranný (obecný) ºádné dv¥ strany nejsou st¥jn¥ dlouhé Rovnoramenný dv¥ strany (ramena) jsou stejn¥ dlouhé, t°etí strana je základna Rovnostranný v²echny strany jsou st¥jn¥ dlouhé
Rozd¥lení podle velikosti vnit°ních úhl· Ostroúhlý v²echny vnit°ní úhly jsou ostré Pravoúhlý jeden z vnit°ních úhl· je pravý Tupoúhlý jeden z vnit°ních úhl· je tupý
Trojúhelníková nerovnost
pro strany trojúhelníku platí:
|b − c| < a < b + c
St°ední p°í£ka
je úse£ka, spojující st°edy dvou stran trojúhelníku. Kaºdá st°ední p°í£ka
trojúhelníku je rovnob¥ºná s tou stranou, jejíº st°ed nespojuje. Její délka je rovna polovin¥ délky této strany.
Vý²ka
je úse£ka, jejímiº krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené
tímto vrcholem na prot¥j²í stranu. Pr·se£ík vý²ky s p°íslu²nou stranou se nazývá pata vý²ky. Vý²ky trojúhelníku se protínají v ortocentru.
65
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice T¥ºnice
je úse£ka, jejímiº krajními body jsou st°ed strany a protilehlý vrchol trojú-
helníku. T¥ºnice se protínají v jednom bod¥, který se nazývá t¥ºi²t¥. T¥ºi²t¥ rozd¥luje kaºdou t¥ºnici na dva díly v pom¥ru
2 : 1.
Kaºdá t¥ºnice rozd¥luje trojúhelník na dva
díly se stejným obsahem.
Kruºnice opsaná
je kruºnice, která prochází v²emi vrcholy trojúhelníku. St°ed kruº-
nice opsané leºí v pr·se£íku os stran, polom¥r (r ) se rovná vzdálenosti st°edu od libovolného vrcholu.
Kruºnice vepsaná
je kruºnice, která se dotýká v²ech stran trojúhelníku. St°ed kruº-
nice vepsané leºí v pr·se£íku os vnit°ních úhl·, polom¥r (%) se rovná kolmé vzdálenosti st°edu od libovolné strany.
Kruºnice p°ipsaná
je kruºnice, která se dotýká jedné strany trojúhelníku a dvou
p°ímek, které jsou prodlouºením zbývajících stran trojúhelníku. St°ed kruºnice p°ipsané leºí v pr·se£íku osy jednoho vnit°ního úhlu a dvou vn¥j²ích úhl· p°i zbývajících dvou vrcholech.
Sinová v¥ta
b c a = = = 2r sin α sin β sin γ
Ze Sinové v¥ty vyplývá, ºe proti nejv¥t²ímu z úhl· leºí nejv¥t²í strana a naopak.
Pythagorova v¥ta
platí v kaºdém pravoúhlém trojúhelníku. Obsah £tverce sestroje-
ného nad p°eponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven sou£tu obsah· £tverc· nad jeho odv¥snami.
c 2 = a2 + b 2 Platí i obrácen¥: Platí-li pro délky stran trojúhelníka vztah helník pravoúhlý a
Kosinová v¥ta
c
c 2 = a2 + b 2 ,
je tento trojú-
je jeho p°epona.
platí pro obecný trojúhelník.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Euklidova v¥ta o vý²ce
Obsah £tverce sestrojeného nad vý²kou pravoúhlého trojú-
helníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úsek· p°epony.
vc2 = ca · cb
66
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice Euklidova v¥ta o odv¥sn¥
Obsah £tverce sestrojeného nad odv¥snou pravoúhlého
trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z p°epony a úseku p°epony k této odv¥sn¥ p°ilehlé.
a2 = c · c a b2 = c · c b
Meneláova v¥ta body
D, E
a
Máme-li dány body A, B a C , které tvo°í trojúhelník ABC , a jiné F , které leºí na p°ímkách BC , AC a AB , pak body D, E a F leºí na p°ímce
práv¥ tehdy, kdyº platí:
AF BD CE · · = −1 BF DC EA
Ce`vova v¥ta D, E
a
F,
A, B a C , které tvo°í trojúhelník ABC , a jiné body BC , AC a AB , pak p°ímky AD, BE a CF procházejí
Máme-li dány body
které leºí na p°ímkách
jedním bodem nebo jsou rovnob¥ºné práv¥ tehdy, kdyº platí:
AF BD CE · · =1 BF DC EA
Eulerova p°ímka
je p°ímka nacházející se v kaºdém nerovnostranném trojúhelníku.
Tato p°ímka prochází pr·se£íkem jeho vý²ek (ortocentrem), t¥ºi²t¥m a st°edem opsané kruºnice. T¥ºi²t¥ d¥lí spojnici st°edu vý²ek a st°edu kruºnice opsané v pom¥ru
2 : 1.
Na Eulerov¥ p°ímce leºí také st°ed Feuerbachovy kruºnice devíti bod·, který je stejnolehlým obrazem st°edu kruºnice opsané se st°edem stejnolehlosti v t¥ºi²ti trojúhelníka a koe cientem
κ = −0, 5.
Feuerbachova kruºnice devíti bod·
je taková kruºnice trojúhelníku, na níº leºí
st°edy stran, paty vý²ek a st°edy spojnic vrchol· s ortocentrem. Dotýká se kruºnice vepsané a kruºnic p°ipsaných. Kruºnice devíti bod· je stejnolehlým obrazem kruºnice opsané se st°edem stejnolehlosti v t¥ºi²ti trojúhelníka a koe cientem
κ = −0, 5.
Z toho
plyne, ºe její st°ed leºí na Eulerov¥ p°ímce ve st°edu úse£ky, spojující ortocentrum se st°edem kruºnice opsané. Její polom¥r je polovinou polom¥ru kruºnice opsané.
ty°úhelník V kaºdém £ty°úhelníku platí:
α + β + γ + δ = 360◦
Rozd¥l¥ní podle konvexnosti Konvexní úse£ka mezi jeho libovolnými body leºí uvnit° £ty°úhelníku Nekovexní existuje úse£ka mezi jeho dv¥ma body, která celá neleºí uvnit° £ty°úhelníku
67
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice Rozd¥l¥ní podle stran 1. R·znob¥ºník (obecný) ºádné jeho dv¥ strany nejsou rovnob¥ºné 2. Lichob¥ºník dv¥ jeho prot¥j²í strany jsou rovnob¥ºné (základny) a zbývající dv¥ rovnob¥ºné nejsou (ramena). Sou£et vnit°ních úhl· p°i kaºdém rameni je úhel p°ímý. St°ední p°í£ka je úse£ka spojující st°edy ramen, je rovnob¥ºná s ob¥ma základnami, její délka je rovna aritmetickému pr·m¥ru délek obou základen. (a) Rovnoramenný jeho dv¥ ramena mají shodnou délku (b) Pravoúhlý jedno jeho rameno je kolmé k základn¥ 3. Rovnob¥ºník kaºdé dv¥ jeho prot¥j²í strany jsou rovnob¥ºné a mají shodnou délku. Prot¥j²í vnit°ní úhly jsou shodné. Úhlop°í£ky se navzájem p·lí, jejich spole£ný bod je st°ed rovnob¥ºníku. (a) Pravoúhlý v²echny jeho vnit°ní úhly jsou shodné (tj. mají velikost (b) Kosoúhlý úhel mezi jeho stranami není
90◦ )
90◦
(a) Rovnostranný v²echny jeho strany jsou shodné (b) R·znostranný pouze jeho protilehlé strany mají shodnou délku
T¥tivový £ty°úhelník
je takový £ty°úhelník kterému lze opsat kruºnici (jeho strany
jsou pak její t¥tivy). Platí pro n¥j:
α+γ =β+δ Platí pro n¥j Ptolemaiova v¥ta:
ac + bd = ef
Te£nový £ty°úhelník
je takový £ty°úhelník kterému lze vepsat kruºnici (jeho strany
jsou pak její te£ny). Pro jeho strany platí:
a+c=b+d
Dvojst°edový £ty°úhelník Deltoid
je takový £ty°úhelník kterému lze opsat i vepsat kruºnici
je £ty°úhelník jehoº úhlop°í£ky jsou k sob¥ kolmé a hlavní úhlop°í£ka p·lí
vedlej²í. Je to te£nový £ty°úhelník.
Mnohoúhelník Uzav°ená lomená £ára s £ástí roviny ohrani£enou touto lomenou £árou se nazývá mnohoúhelník.
68
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice Konvexní mnohoúhelník Úhlop°í£ka
180◦ .
má v²echny vnit°ní úhly men²í neº
je spojnice dvou nesousedních vrchol·.
Po£et úhlop°í£ek
je dán vztahem
Sou£et vni°ních úhl· Pravidený n-úhelník
je
n(n − 3) . 2
(n − 2)180◦ .
je mnohoúhelník, jehoº v²echny strany i vnit°ní úhly jsou shod-
né. Pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kruºnici.
Kruºnice, Kruh Kruºnice
je mnoºina v²ech bod· roviny, které mají od bodu
S
vzdálenost
r.
k = {X ∈ %; |SX| = r; r > 0}
Kruh rovnu
je mnoºina v²ech bod· roviny, které mají od bodu
S
vzdálenost men²í nebo
r. K = {X ∈ %; |SX| ≤ r; r > 0}
se£na a p°ímka dotýkající se kruhu na jedte£na. Te£ny jsou vºdy kolmé k spojnici bodu doteku a st°edu. ást se£ny obklopená kruºnicí se nazývá t¥tiva. Nejdel²ími t¥tivami jsou ty, které prochází st°edem pr·m¥ry. ást kruhu odseknutá t¥tivou je kruhová úse£. ást kruºnice mezi dv¥ma polom¥ry se nazývá kruhový oblouk a oblast (tedy vý°ez kruhu) mezi polom¥ry a obloukem se nazývá kruhová výse£. P°ímka d¥lící kruh na dv¥ £ásti se nazývá
nom míst¥ se nazývá
St°edový úhel body oblouku
je úhel, jehoº vrcholem je st°ed kruºnice a ramena procházejí krajními
˜ AB
kruºnice.
Obvodový úhel
je úhel, jehoº vrcholem V je bod kruºnice a ramena procházejí kraj˜ ními body oblouku AB kruºnice. V²echny obvodové úhly p°íslu²né k danému oblouku jsou
shodné. Obvodový úhel p°íslu²ný k men²ímu oblouku je ostrý, obvodový úhel p°íslu²ný k v¥t²ímu oblouku tupý.
Úsekový úhel
je úhel, jenº svírá t¥tiva
AB
kruºnice s te£nou kruºnice v bod¥
A.
Velikost st°edového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu p°íslu²ného k témuº oblouku. Úsekový úhel p°íslu²ný k danému oblouku je shodný s obvodovými úhly p°íslu²nými k témuº oblouku.
69
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kruºnice Thaletova v¥ta
V²echny obvodové úhly sestrojené nad pr·m¥rem kruºnice jsou pra-
vé. Dal²í zn¥ní: V²echny trojúhelníky, jejichº st°ed kruºnice opsané p·lí nejdel²í stranu, jsou pravoúhlé.
Vzájemná poloha dvou kruºnic Pro dv¥ kruºnice
k1 (S1 ; r1 )
a
1. ádný spole£ný bod 2. Vn¥j²í dotyk
k2 (S2 ; r2 ),
r1 > r2 :
|S1 S2 | > r1 + r2
|S1 S2 | = r1 + r2
3. Dva spole£né body 4. Vnit°ní dotyk
r1 − r2 < |S1 S2 | < r1 + r2
|S1 S2 | = r1 − r2
5. Jedna kruºnice uvnit° druhé 6. Soust°edné
kde
|S1 S2 | < r1 − r2
S1 ≡ S2
70
17. Výrazy, Absolutní hodnota, Mocniny a Odmocniny
17 Výrazy, Absolutní hodnota, Mocniny a Odmocniny (úpravy r·zných typ· výraz·, mnoho£leny, operace s nimi, Hornerovo schéma, lomené výrazy, absolutní hodnota a její geometrický význam, de nice mocniny s reálným exponentem, de nice n-té odmocniny v R, pravidla pro po£ítání s mocninami a odmocninami)
Výraz
je kaºdý zápis, který je správn¥ vytvo°en podle úmluv o zápisech £ísel, prom¥n-
ných, výsledk· operací a hodnot funkcí.
Mnoho£leny an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a1 x + a0 , kde an , an−1 , . . . , a0 ∈ R (koe cienty), an 6= 0, n ∈ N se nazývá mnoho£len (polynom) n-tého stupn¥ s prom¥nnou x. Jednotlivé Výraz
s£ítance jsou £leny mnoho£lenu.
Nulový bod mnoho£lenu
je takové
x,
ve kterém nabývá polynom nulovou hodnotu.
Hornerovo schéma Hornerovo schéma vyuºíváme k výpo£tu hodnoty mnoho£lenu v ur£itém bod¥, p°ípadn¥ k nalezení nulových bod· mnoho£lenu. Postup výpo£tu: Jednotlivé koe cienty sepí²eme do prvního °ádku tabulky. Do prvního sloupce druhého °ádku sepí²eme bod, ve kterém chceme ur£it hodnotu polynomu. První koe cient sepí²eme o °ádek níº. Vynásobíme jej s £íslem úpln¥ nalevo, se£teme s druhým koe cientem a zapí²eme jej na dal²í poli£ko v druhém °ádku. Takto se v tabulce posunujeme, dokud nedojdeme na konec. Poslední £íslo v druhém °ádku je hodnota mnoho£lenu v daném bod¥. P°i hledání nulových bod· mnoho£lenu zku²íme v²echny hodnoty ve tvaru jsou d¥litelé absolutního £lenu a
q
d¥litelé hodnoty
an .
Vzorce pro úpravu mnoho£len· (A ± B)2 A2 − B 2 (A ± B)3 A3 ± B 3
= = = =
A2 ± 2AB + B 2 (A − B)(A + B) A3 ± 3A2 B + 3AB 2 ± B 3 (A ± B)(A2 ∓ AB + B 2 )
Rozklad na sou£in Úpravou podle vzorc· Vytýkáním
71
±p , kde q
p
17. Výrazy, Absolutní hodnota, Mocniny a Odmocniny Lomené výrazy Lomený výraz je podíl dvou polynom·. P°i úpravách je t°eba ur£it de ni£ní obor výrazu.
Absolutní hodnota Absolutní hodnota vyjad°uje vzdálenost obrazu £ísla na £íselné ose od nuly.
∀x∈R:
x ≥ 0 ⇒ |x| = x
x < 0 ⇒ |x| = −x
Geometrický význam absolutní hodnoty Absolutní hodnota rozdílu dvou £ísel je vzdálenost t¥chto £ísel na £íselné ose.
Výrazy s absolutními hodnotami Odstran¥ní absolutní hodnoty provedeme tak, ºe ur£íme hodnoty prom¥nné, pro které výraz v absolutní hodnot¥ nabývá hodnoty nula, tzv. nulové body. Tyto body d¥lí de ni£ní obor výrazu v absolutní hodnot¥ na intervaly, v nichº se znaménko výrazu nem¥ní. Proto lze na kaºdém takovém intervalu nahradit
|a|
výrazem
a
nebo
−a.
Mocniny a odmocniny Mocnina a
je sou£in n¥kolika stejných £initel·. Obecn¥
je mocn¥nec (základ mocniny),
n
n stejných £initel· a·a·. . .·a = an ;
je mocnitel (exponent).
Odmocnina n-tá odmocnina √ z nezáporného £ísla a je nezáporné £íslo x, pro které platí x n = a.
Zapisujeme
x =
n
a.
íslo
a
se nazývá základ (odmocn¥nec),
(odmocnitel).
72
n
je exponent
17. Výrazy, Absolutní hodnota, Mocniny a Odmocniny Výrazy s mocninami a odmocninami ∀ a, b ∈ R+ ; ∀ r, s ∈ R : ar · as = ar+s ar = ar−s s a 1 a−r = r a (ar )s = ar·s (a · b)r = ar · br a r ar = r b b √ r s a = s ar a0 = 1 00 není de nován
73
18. T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy
18 T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy (°ez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohost¥n·, rota£ních t¥les a jejich £ástí v£etn¥ komolých t¥les, obvody a obsahy mnohoúhelník·, kruhu a jeho £ástí)
T¥lesa Geometrické t¥leso je prostorov¥ omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzav°ená plocha.
Mnohost¥n
je kaºdé t¥leso, jehoº hranice je sjednocením
n mnohoúhelník· takových, ºe
strana kaºdého z nich je zárove¬ stranou sousedního a ºádné dva sousední mnohoúhelníky neleºí v téºe rovin¥.
St¥ny mnohost¥nu jsou mnohoúhelníky, kterými je mnohost¥n uzav°en.
Hrany mnohost¥nu jsou stranami mnohoúhelník·.
Vrcholy mnohost¥nu jsou vrcholy mnohoúhelník·.
St¥nová úhlop°í£ka
je úse£ka spojující dva vrcholy mnohost¥nu, která není jeho
hranou.
T¥lesová úhlop°í£ka
je úse£ka spojující dva vrcholy mnohost¥nu, které neleºí
v jedné st¥n¥.
Plá²´ mnohost¥nu je sjednocení bo£ních st¥n mnohost¥nu
Pravidelný mnohost¥n
je mnohost¥n ohrani£en pravidelnými mnohoúhelníky.
Kaºdému pravidelnému mnohost¥nu lze sestrojit vepsanou i opsanou kulovou plochu. (£ty°st¥n, ²estist¥n (krychle), osmist¥n, dvanáctist¥n a dvacetist¥n)
Konvexní mnohost¥n je
takový mnohost¥n, ve kterém spojnice kaºdých 2 bod·
leºí v mnohost¥nu. Pro konvexní mnohost¥ny platí Eulerova v¥ta:
s+v =h+2
Sí´ mnohost¥nu jsou st¥ny mnohost¥nu narýsované do jedné roviny.
Hranol
ídící mnohoúhelník je n-úhelník A1 , A2 , . . . , An
Sm¥rová p°ímka (rovina) je kaºdá p°ímka (rovina) rovnob¥ºná s p°ímkou s.
74
leºící v rovin¥.
18. T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy
n-boký hranolový prostor s,
je sjednocení v²ech p°ímek rovnob¥ºných s p°ímkou
které protínají °ídící mnohoúhelník.
n-boká hranolová plocha je sjednocení v²ech p°ímek rovnob¥ºných s p°ímkou s, které protínají hranici °ídícího mnohoúhelníku. Hranolová plocha je hranice hranolového prostoru.
n-boký hranol je pr·nik hranolového prostoru a vrstvy, jejíº hrani£ní roviny nejsou sm¥rové.
Vý²ka hranolu je tlou²´ka vrstvy.
Podstavy hranolu jsou mnohoúhelníky, které jsou pr·niky hrani£ních rovin vrstvy s hranolovým prostorem.
Bo£ní st¥ny
Plá²´ hranolu je sjednocení v²ech jeho bo£ních st¥n.
Podstavné hrany
Bo£ní hrany
jsou ostatní st¥ny hranolu, které nejsou podstavami.
jsou strany podstav hranolu.
jsou ostatní hrany hranolu, které nejsou podstavnými hranami.
1.
Kolmý hranol bo£ní st¥ny jsou kolmé k rovin¥ podstavy
2.
Kosý hranol bo£ní st¥ny nejsou kolmé k rovin¥ podstavy
3.
Rovnob¥ºnost¥n prot¥j²í st¥ny rovnob¥ºné (krychle, kvádr, klenec)
4.
Kvádr kolmý hranol s obdélníkovou podstavou
5.
Krychle kvádr jehoº st¥nami jsou £tverce
6.
Klenec rovnob¥ºnost¥n omezen 6 shodnými koso£tverci Hranol
Kvádr
V = Sp · v S = 2Sp + Spl
V = abc S = 2(ab + ac + bc)
Krychle V = a3 S = 6a2
Jehlan
ídící mnohoúhelník je n-úhelník A1 , A2 , . . . , An
Hlavní vrchol je bod V , který neleºí v °ídícím mnohoúhelníku.
n-boký jehlanový prostor
leºící v rovin¥.
je sjednocení v²ech p°ímek procházejících bodem
které protínají °ídící mnohoúhelník.
75
V,
18. T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy
n-boká jehlanová plocha
je sjednocení v²ech p°ímek procházejících bodem
V,
které protínají hranici °ídícího mnohoúhelníku. Jehlanová plocha je hranice jehlanového prostoru.
Vrcholová p°ímka (rovina) je kaºdá p°ímka (rovina) procházející bodem V .
n-boký jehlan
je pr·nik n-bokého jehlanového prostoru a vrstvy, jejíº hrani£ní
rovina má s tímto prostorem jediný spole£ný bod
Vý²ka jehlanu je tlou²´ka vrstvy.
Podstava jehlanu
V.
je mnohoúhelník, který je pr·nikem hrani£ní roviny vrstvy
neprocházející vrcholem s jehlanovým prostorem.
Bo£ní st¥ny
Plá²´ jehlanu je sjednocení v²ech jeho bo£ních st¥n.
Podstavné hrany
Bo£ní hrany
St¥nová vý²ka je vzdálenost hlavního vrcholu od podstavné hrany v bo£ní st¥n¥.
1.
Kolmý jehlan p°ímka ur£ená st°edem soum¥rnosti podstavy a vrcholem je kolmá
jsou st¥ny jehlanu, které obsahují hlavní vrchol.
jsou strany podstavy jehlanu.
jsou ostatní hrany jehlanu, které nejsou podstavnými hranami.
k podstav¥ 2.
Kosý jehlan jehlan který není kolmý
3.
ty°st¥n trojboký jehlan
4.
Komolý jehlan
protneme-li jehlan rovinou rovnob¥ºnou s rovinou podstavy,
vzniknou dv¥ t¥lesa jehlan a komolý jehlan, který má dv¥ podstavy mnohoúhelníky, bo£ní st¥ny jsou lichob¥ºníky
Jehlan
1 V = Sp · v 3 S = Sp + Spl
Rota£ní válec
Komolý jehlan
p 1 V = v(Sp1 + Sp1 Sp2 + Sp2 ) 3 S = Sp1 + Sp2 + Spl
vznikne rotací obdélníka
ABCD
kolem jeho strany
BC .
Rota£ní válcová plocha vznikne rotací p°ímky AD.
Rota£ní válcový prostor je prostor omezený rota£ní válcovou plochou.
Podstavné hrany válce vzniknou rotací bod· A a D, jsou to kruºnice.
Podstavy válce vzniknou rotací úse£ek AB 76
a
CD,
jsou to kruhy.
18. T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy
Hranice válce vznikne rotací úse£ek AB , CD
Plá²´ válce vznikne rotací úse£ky AD.
Osa válce je p°ímka BC .
Vý²ka válce je délka úse£ky BC .
Polom¥r podstavy válce je délka úse£ky AB .
a
AD.
Válec
V = Sp · v = πr2 v S = 2Sp + Spl = 2πr2 + 2πrv
Rota£ní kuºel
vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem p°ímky obsahující jednu
jeho odv¥snu.
Rota£ní kuºelová plocha vznikne rotací p°epony CA.
Rota£ní kuºelový prostor je prostor omezený rota£ní kuºelovou plochou.
Podstavná hrany kuºele vznikne rotací bodu A, je to kruºnice.
Podstava kuºele vznikne rotací úse£ky AB , je to kruh.
Vrchol kuºele je bod C .
Hranice kuºele vznikne rotací úse£ek AB
Plá²´ kuºele vznikne rotací úse£ky CA.
Osa kuºele je p°ímka BC .
Vý²ka kuºele je délka úse£ky BC .
Polom¥r podstavy kuºele je délka úse£ky AB .
1.
a
CA.
Rota£ní komolý kuºel vzniká rotací pravoúhlého lichob¥ºníku kolem p°ímky, v níº leºí jeho krat²í rameno.
Kuºel
1 1 V = Sp · v = πr2 v 3 3 S = Sp + Spl = πr2 + πrs
Komolý kuºel
1 V = πv(r12 + r1 r2 + r22 ) 3 S = πr12 + πr22 + π(r1 + r2 )s
77
18. T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy Koule
vznikne rotací p·lkruhu kolem p°ímky, která obsahuje jeho pr·m¥r.
Kulová plocha vznikne rotací p·lkruºnice, která ohrani£uje daný p·lkruh.
St°ed koule, kulové plochy
Polom¥r koule, kulové plochy
je st°edem daného p·lkruhu. je polom¥rem daného p·lkruhu.
Hlavní kruºnice je kaºdá kruºnice, která vznikne pr·nikem kulové plochy a roviny, která prochází jejím st°edem.
Vedlej²í kruºnice
je kaºdá kruºnice, která vznikne pr·nikem kulové plochy a
roviny, která neprochází jejím st°edem. 1.
Kulový vrchlík £ást kulové plochy omezená její libovolnou kruºnicí
2.
Kulová úse£ vzniká po protnutí koule rovinou
3.
Kulová výse£
sjednocení kulové úse£e a rota£ního kuºele, který má s kulovou
úse£í spole£nou podstavu a jeho vrchol je st°edem koule 4.
Kulová vrstva
pr·nik kulové plochy a vrstvy s hrani£ními rovinami, jejíchº
vzdálenost od st°edu je men²í neº polom¥r
Koule
Kulová úse£
4 V = πr3 3 S = 4πr2
1 V = πv(3%2 + v 2 ) 6 S = Sp + Spl = π%2 + 2πrv
Kulová vrstva
Kulová výse£
1 V = πv(3%21 + 3%22 + v 2 ) 6 S = Sp + Spl = π%21 + π%22 + 2πrv
Anuloid (torus)
2 V = πvr2 3 S = 2πrv + πr%
vzniká rotací kruhu kolem p°ímky, která leºí v rovin¥ tohoto kruhu
a tento kruh neprotíná.
Objem a povrch t¥les Objem t¥lesa
je kladné reálné £íslo p°i°azené t¥lesu tak, ºe platí:
1. Shodná t¥lesa mají objemy sob¥ rovné. 2. Jestliºe je t¥leso sloºeno z n¥kolika navzájem se neprotínajících t¥les, je jeho objem roven sou£tu objem· t¥chto t¥les. 3. Objem krychle, jejíº hrana má délku 1 (jednotková krychle) je 1.
78
18. T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy Povrch t¥lesa
je obsah jeho hranice.
Cavalieriho princip
Jestliºe pro dv¥ t¥lesa existuje taková rovina, ºe kaºdá rovina
s ní rovnob¥ºná protíná ob¥ t¥lesa v rovinných útvarech se stejnými obsahy, mají t¥lesa stejný objem.
První Guldinova v¥ta
Objem rota£ního t¥lesa je roven objemu hranolu, jehoº pod-
stava má stejný obsah jako rotující obrazec a jehoº vý²ka je rovna délce kruºnice o polom¥ru rovném vzdálenosti t¥ºi²t¥ rotujícího obrazce od osy rotace. Je-li tedy plocha rotujícího obrazce
S
a vzdálenost jeho t¥ºi²t¥ od osy otá£ení
yT ,
pak objem vzniklého
rota£ního t¥lesa je ur£en vztahem
V = 2πyT S
Druhá Guldinova v¥ta
Obsah plá²t¥ rota£ního t¥lesa je roven obsahu obdélníku,
jehoº délky stran jsou rovny délce obvodu rotujícího obrazce a délce kruºnice o polom¥ru rovném vzdálenosti t¥ºi²t¥ rotujícího obrazce od osy rotace. Je-li tedy délka obvodu rotujícího obrazce
l
a vzdálenost t¥ºi²t¥ rotujícího obrazce od osy otá£ení
yT ,
pak plocha
rotujícího t¥lesa má obsah
S = 2πyT l
ez t¥lesa Jedná se o rovinný útvar, jehoº hranice je pr·nik hranice t¥lesa a roviny °ezu. Sestrojit °ez rovinu znamená sestrojit pr·se£nice dané roviny s rovinami jednotlivých st¥n.
V¥ta 1:
Leºí-li dva r·zné body v rovin¥, leºí v této rovin¥ i p°ímka jimi ur£ená.
V¥ta 2:
Dv¥ rovnob¥ºné roviny protíná t°etí rovina ve dvou rovnob¥ºných p°ímkách.
V¥ta 3:
Jestliºe jsou kaºdé dv¥ ze t°í rovin r·znob¥ºné a tyto t°i roviny mají jediný
spole£ný bod, procházejí tímto spole£ným bodem v²echny t°i pr·se£nice.
79
18. T¥lesa °ezy, objemy a povrchy, Rovinné obrazce obvody a obsahy Obvody a obsahy rovinných útvar· Pravidelný n-úhelník
o=n·a
Trojúhelník
o=a+b+c
Obdélník tverec
o = 2(a + b) o = 4a
Kosodélník Koso£tverec
o = 2(a + b) o = 4a
Lichob¥ºník Kruh Mezikruºí
o=a+b+c+d
Kruhová výse£ Kruhová úse£
o = 2πr o = 2πr1 + 2πr2 απr o= + 2r 180◦ απr α + 2r sin o= ◦ 180 2
80
1 ·n·a·% 2 1 S = a · va 2 1 S = ab sin γ 2 p S = s(s − a)(s − b)(s − c) s = a+b+c 2 S = s% S = ab S = a2 1 S = e2 2 S = a · va S =a·v 1 S = ef 2 1 S = (a + c)v 2 S = πr2 S = πr12 − πr22 απr2 S= 360◦ 1 2 απ S= r − sin α 2 180◦ S=
19. Výroky a Mnoºiny
19 Výroky a Mnoºiny (výrok, operace s výroky, sloºené výroky a jejich negace, PH-algebra, Booleova algebra a její modely, pojem mnoºiny, ur£ení mnoºin, operace s mnoºinami, slovní úlohy °e²ené pomocí Vennových diagram·, kartézský sou£in, binární relace a jejich grafy, algebraické struktury grupa, okruh, t¥leso)
Výroky Výrok
je kaºdá oznamovací v¥ta, u které má smysl uvaºovat, zda je pravdivá nebo ne-
pravdivá. Kaºdý výrok je bu¤ pravdivý (nabývá pravdivostní hodnoty 1) nebo nepravdivý (nabývá pravdivostní hodnoty 0).
Hypotéza Negace sujeme
je výrok, jehoº pravdivostní hodnotu jsme dosud neur£ili.
je logická operace, která m¥ní pravdivostní hodnotu výroku na opa£nou. Zapi-
¬V
a £teme Není pravda, ºe . . . nebo pouºíváme gramaticky lep²í tvary negace.
Kvanti kátory Obecný kvanti kátor
∀
Existen£ní kvanti kátor
výrok se vztahuje pro kaºdý uvaºovaný prvek
∃
výrok platí pro alespo¬ jeden z uvaºovaných prvk·
Sloºené výroky Spojováním a negováním m·ºeme vytvá°et takzvané sloºené výroky. K vytvá°ení sloºených výrok· se pouºívají takzvané logické spojky. Výroky sloºené pomocí logických spojek se nazývají výrokové formule. Tautologií nazýváme vºdy pravdivou výrokovou formuli a kontradikcí výrokovou formuli, která je vºdy nepravdivá. Splnitelná formule je výroková formule, která je v n¥kterých p°ípadech pravdivá a v n¥kterých nepravdivá.
Spojka
Vyjád°ení
Konjunkce
Výroky platí sou£asn¥
Disjunkce
Platí alespo¬ jeden z výrok·
Implikace
Pokud platí první výrok, platí i
Symbol
teme
∧ ∨ ⇒
... a ... Jestliºe . . . , pak . . .
⇔
. . . práv¥ tehdy, kdyº . . .
. . . nebo . . .
druhý výrok Ekvivalence
Výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu
A B
A∧B
A∨B
A⇒B
A⇔B
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
81
19. Výroky a Mnoºiny Negace sloºených výrok·
Ke kaºdé implikaci
Výrok
Negace
A∧B A∨B A⇒B A⇔B
¬A ∨ ¬B ¬A ∧ ¬B A ∧ ¬B (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A)
A⇒B
m·ºeme vytvo°it implikaci obrácenou
B ⇒ A, která nemá ¬B ⇒ ¬A,
stejnou pravdivostní hodnotu jako p·vodní implikace, a implikaci obm¥n¥nou která má stejnou pravdivostní hodnotu jako p·vodní implikace.
Mnoºiny Mnoºina
je souhrn vzájemn¥ rozli²itelných prvk· o nichº se dokáºeme jednozna£n¥
rozhodnout, zda do mnoºiny pat°í nebo ne.
Zadaní mnoºiny Vý£tem prvk·
A = {1; 2; 3}
Charakteristickou vlastností
Prázdná mnoºina mnoºiny. Zna£í se
B = {x ∈ N; 1 ≤ x ≤ 3}
je mnoºina, která neobsahuje ºádné prvky. Je podmnoºinou kaºdé
∅.
Rovnost mnoºin A = B ⇔ (∀x ∈ A : x ∈ B) ∧ (∀x ∈ B : x ∈ A)
Podmnoºina A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A : x ∈ B
Operace s mnoºinami
Pr·nik mnoºin A ∩ B = {x ∈ Z; x ∈ A ∧ x ∈ B}
Sjednocení mnoºin A ∪ B = {x ∈ Z; x ∈ A ∨ x ∈ B}
Dopl¬ek mnoºiny
Rozdíl mnoºin A − B = {x ∈ Z; x ∈ A ∧ x ∈/ B}
A0Z = {x ∈ Z; x ∈ / A}
82
19. Výroky a Mnoºiny Vlastnosti mnoºinových operací A∪A A∪∅ A∪B A ∪ (B ∪ C) A ∪ (B ∩ C) A−A A ∪ A0 (A0 )0
= = = = = = = =
A A B∪A (A ∪ B) ∪ C (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∅ Z A
A∩A A∩∅ A∩B A ∩ (B ∩ C) A ∩ (B ∪ C) A−∅ A ∩ A0 ∅0
= = = = = = = =
A ∅ B∩A (A ∩ B) ∩ C (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∅ Z
De Morganovy zákony (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0
Kartézský sou£in Nech´ jsou dány dv¥ mnoºiny prvk·
x1 ∈ A, x2 ∈ B .
A, B . Vytvo°íme mnoºinu v²ech uspo°ádaných dvojic [x1 ; x2 ] A, B .
Tuto mnoºinu nazýváme kartézským sou£inem mnoºin
Kartézský sou£in není komutativní.
A × B = {[x1 ; x2 ]; x1 ∈ A; x2 ∈ B}
Binární relace Binární relací z mnoºiny sou£inu
A×
A
do mnoºiny
B
se nazývá kaºdá podmnoºina z kartézského B . Po£et binárních relaci u£íme vzorcem 2|A||B| .
Grafy relací Kartézský graf Uzlový graf
Vlastností relací Relace
U
v mnoºin¥
Re exivní:
A
se nazývá:
∀ x ∈ A : [x; x] ∈ U
Symetrická:
∀ x, y ∈ A : [x; y] ∈ U ⇒ [y; x] ∈ U
Tranzitivní:
∀ x, y, z ∈ A : ([x; y] ∈ U ∧ [y; z] ∈ U ) ⇒ [x; z] ∈ U
Pokud je relace re exivní, symetrická i tranzitivní, °íkáme, ºe je to ekvivalence.
83
19. Výroky a Mnoºiny Algebraické struktury Na mnoºin¥
A
jsou de novány operace ∗ a ◦ .
1.
∀ x, y ∈ A : x ∗ y ∈ A
uzav°enost operace ∗ vzhledem k mnoºin¥
A
2.
∀ x, y, z ∈ A : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
3.
∀ x ∈ A; ∃ n ∈ A : x ∗ n = n ∗ x = x
4.
∀ x ∈ A; ∃ x0 ∈ A : x ∗ x0 = x0 ∗ x = n
5.
∀ x, y ∈ A : x ∗ y = y ∗ x
6.
∀ x, y ∈ A : x ◦ y ∈ A
7.
∀ x, y, z ∈ A : x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z
8.
∀ x, y, z ∈ A : x ◦ (y ∗ z) = (x ◦ y) ∗ (x ◦ z) = (y ∗ z) ◦ x = (y ◦ x) ∗ (z ◦ x) distributivita operace ◦ v·£i operaci ∗
9.
∀ x, y ∈ A : x ◦ y = y ◦ x
asociativita operace ∗
n
je neutrální prvek operace ∗
x0
je inverzní prvek operace ∗ komutativita operace ∗
uzav°enost operace ◦ vzhledem k mnoºin¥
A
asociativita operace ◦
komutativita operace ◦
10.
∀ x ∈ A; ∃ n0 ∈ A : x ◦ n0 = n0 ◦ x = x
11.
∀ x ∈ A; ∃ x00 ∈ A : x ◦ x00 = x00 ◦ x = n0
n0
je neutrální prvek operace ◦
x00
je inverzní prvek operace ◦
Druhy algebraických struktur
Grupa (A; ∗) platí 1 4
Komutativní grupa (Abelovská grupa) (A; ∗) platí 1 5
Okruh (A; ∗; ◦) platí 1 4, 6 8
Komutativní okruh (A; ∗; ◦) platí 1 9
T¥leso (A; ∗; ◦) platí 1 11
Booleova algebra Neprázná mnoºina
B,
na níº je de nována rovnost prvk· ( = ), tvo°ena dv¥ma r·znými
prvky 0 a 1 spolu s binárními operacemi s£ítání ( + ), násobení ( · ) a unární operací 0 0 tvo°ení dopl¬ku ( ) tvo°í algebraickou strukturu (B; +; ·; ) Booleovu algebru.
84
19. Výroky a Mnoºiny Axiomy Booleovy algebry ∀ x, y, z ∈ B : 1. 3. 5. 7. 9.
x+y =y+x (x + y) + z = x + (y + z) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) x+0=x x + x0 = 1
2. 4. 6. 8. 10.
x·y =y·x (x · y) · z = x · (y · z) x + (y · z) = (x + y) · (x + z) x·1=x x · x0 = 0
PH algebra Mnoºina
H = {0; 1}
spolu s operacemi + , · a tvo°ení dopl¬ku tvo°í algebraickou
strukturu algebru pravdivostních hodnot = PH algebra. PH algebra je modelem Booleovy algebry. Pro PH algebru platí:
∨ B) = ph(A ∧ B) = [ph(A)]0 =
ph(A
ph(A)
+ ph(B) ph(A) · ph(B) ph(¬A)
Pravidla pro po£ítání v PH algeb°e ∀ x, y, z ∈ H : 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 16. 18. 20.
x+y =y+x (x + y) + z = x + (y + z) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) x+0=x x+1=1 x + x0 = 1 x+x=x (x0 )0 = x (x + y)0 = x0 · y 0 x + (x · y) = x x + (x0 · y) = x + y
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 17. 19. 21.
85
x·y =y·x (x · y) · z = x · (y · z) x + (y · z) = (x + y) · (x + z) x·1=x x·0=0 x · x0 = 0 x·x=x (x · y)0 = x0 + y 0 x · (x + y) = x x · (x0 + y) = x · y
20. Funkce
20 Funkce (de nice funkce, vlastnosti funkce de ni£ní obor, obor hodnot, omezenost, supremum a in mum, sudá a lichá funkce, monotónnost, prostá funkce, periodická funkce, konvexní a konkávní funkce, lokální a globální extrémy, in exní bod, sloºená funkce)
Funkce Funkce
na mnoºin¥
A⊂R
je p°edpis, který kaºdému £íslu zmnoºiny
A
p°i°adí práv¥
jedno reálné £íslo.
y = f (x)
De ni£ní obor D(f ) Obor hodnot H(f )
je mnoºina v²ech
x ∈ R,
pro která je funkce de nována.
y ∈ R, y = f (x).
je mnoºina v²ech
z de ni£ného oboru funkce, tak ºe platí
ke kterým existuje alespo¬ jedno
x
Omezenost Funkce Funkce Funkce
f f f
se nazývá shora omezená, pokud platí: se nazývá zdola omezená, pokud platí:
∀ x ∈ D(f ), ∃ h ∈ R : f (x) ≤ h. ∀ x ∈ D(f ), ∃ d ∈ R : f (x) ≥ d.
se nazývá omezená, pokud je omezená zárove¬ shora i zdola.
Supremum funkce je nejmen²í z horních mezí. In mum funkce je nejv¥t²í z dolních mezí.
Sudá funkce
je taková funkce pro kterou platí:
∀ x ∈ D(f ), ∃ − x ∈ D(f ) : f (x) = f (−x)
Lichá funkce
je taková funkce pro kterou platí:
∀ x ∈ D(f ), ∃ − x ∈ D(f ) : −f (x) = f (−x)
Monotónní funkce
je taková funkce, která je rostoucí, klesající, neklesající nebo ne-
rostoucí.
∀ x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 > x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ∀ x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 > x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Neklesající funkce: ∀ x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) Nerostoucí funce: ∀ x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) Rostoucí funkce:
Klesající funkce:
Prostá funkce
je taková funkce, pro kterou platí:
∀ x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
86
20. Funkce Periodická funkce
je taková funkce, pro kterou platí:
∃ p ∈ R∗ ; ∀ x ∈ D(f ), ∃ (x + p) ∈ D(f ) : f (x + p) = f (x)
Konvexní funkce x3 : bod
Zárove¬ platí:
[x2 ; f (x2 )] leºí pod ∀ x ∈ D(f ) : f 00 (x) > 0.
Konkávní funkce x3 : bod
[x2 ; f (x2 )] leºí nad ∀ x ∈ D(f ) : f 00 (x) < 0.
Lokální extrémy Funkce
f f
funkce
má na intervalu má na intervalu
I I
f
∀ x1 , x2 , x3 ∈ D(f ), x1 < x2 < [x1 ; f (x1 )] a [x3 ; f (x3 )].
p°ímkou mezi body
je taková funkce, pro kterou platí:
o sou°adnicích
Zárove¬ platí:
Funkce
je taková funkce, pro kterou platí:
o sou°adnicích
∀ x1 , x2 , x3 ∈ D(f ), x1 < x2 < [x1 ; f (x1 )] a [x3 ; f (x3 )].
p°ímkou mezi body
I, x0 ∈ I : x0 : ∀ x ∈ I : f (x) ≥ f (x0 ). bod¥ x0 : ∀ x ∈ I : f (x) ≤ f (x0 ).
musí být de novaná na intervalu
lokální minimum v bod¥ lokální maximum v
Globální extrémy Funkce Funkce
f f
má v bod¥ má v bod¥
In exní bod Funkce
f
x0 ∈ D(f ) x0 ∈ D(f )
∀ x ∈ D(f ) : f (x) ≥ f (x0 ). maximum: ∀ x ∈ D(f ) : f (x) ≤ f (x0 ).
globální minimum: globální
je bod, ve kterém se m¥ní konvexnost na konkávnost nebo naopak. x0 in exní bod, pokud platí: x0 ∈ D(f ) : f 00 (x0 ) = 0.
má v bod¥
Sloºená funkce Máme-li funkci
y = g(u)
s de ni£ním oborem
oborem D(h), potom funkci f = g ◦ h y = g(h(x)) a H(h) = D(g).
D(g)
a funkci
u = h(x)
s de ni£ním
ozna£ujeme jako sloºenou funkci, pro kterou platí:
87
21. Metrické vztahy mezi útvary °e²ené metodou analytickou a syntetickou
21 Metrické vztahy mezi útvary °e²ené metodou analytickou a syntetickou (vzdálenost dvou bod·, vzdálenost bodu od p°ímky, roviny, vzdálenost dvou rovnob¥ºných p°ímek, rovin, vzdálenost mimob¥ºek, odchylka dvou p°ímek, odchylka dvou rovin, odchylka p°ímky od roviny, osa úhlu, úlohy o kolmosti)
Vzdálenosti Vzdálenost dvou bod·
je ur£nena uºitím Pythagorovy v¥ty.
p |AB| = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + · · · + (bn − an )2
Vzdálenost bodu od p°ímky p
procházející bodem
A.
AP , kde bod P je pata kolmice k p°ímce p°ímce p, pak |Ap| = 0.
je délka úse£ky
Leºí-li bod
A
na
V rovin¥:
|Ap| =
|ax + by + c| √ a2 + b 2
V prostoru: 1.
τ; A ∈ τ; τ ⊥ p
2.
P;P ∈ τ ∩ p
3.
|Ap| = |AP |
Vzdálenost bodu od roviny do roviny
%.
Leºí-li bod
A
je vzdálenost bodu
v rovin¥
%,
pak
|A%| =
Vzdálenost rovnob¥ºných p°ímek p°ímky
τ; τ ⊥ p ∧ τ ⊥ q
2.
P;P ∈ τ ∩ p
3.
Q; Q ∈ τ ∩ q
4.
|pq| = |P Q|
Vzdálenost rovnob¥ºných rovin β.
od jeho pravoúhlého pr·m¥tu
A0
|A%| = 0.
|ax + by + cz + d| √ a2 + b 2 + c 2 je vzdálenost libovnolného bodu z p°ímky
p
od
q.
1.
viny
A
je vzdálenost libovolného bodu z roviny
|d0 − d| |αβ| = √ a2 + b 2 + c 2 88
α
od ro-
21. Metrické vztahy mezi útvary °e²ené metodou analytickou a syntetickou Vzdálenost p°ímky od roviny
je vzdálenost libovolného bodu z p°ímky
p
od roviny
%.
Vydálenost dvou mimob¥ºek
je délka úse£ky
P Q,
kde body
P, Q
jsou pr·se£íky
mimob¥ºek s jejich osou.
|pq| = kde
A ∈ p; B ∈ q
a vektory
u
a
v
|[AB u v]| |u × v|
jsou sm¥rovými vektory p°ímek
p, q .
Odchylky Odchylka p°ímek
je velikost ostrého úhlu, který tyto p°ímky svírají. Odchylka dvou 0◦ . Odchylka dvou mimob¥ºných p°ímek je odchylka r·znob¥º-
rovnob¥ºných p°ímek je
ných p°ímek vedených libovolným bodem prostoru rovnob¥ºn¥ s danými mimob¥ºkami.
cos ϕ =
|u · v| |u| · |v|
P°ímky jsou na sebe kolmé, práv¥ tehdy kdyº je jejich odchylka rovna
90◦ .
p⊥q ⇔u·v =0
Odchylka rovin
je odchylka pr·se£nic t¥chto rovin s rovinou kolmou k ob¥ma t¥mto
rovinám.
cos ϕ =
|nα · nβ | |nα | · |nβ |
Dv¥ roviny jsou k sob¥ kolmé práv¥ tehdy, kdyº jedna z nich obsahuje p°ímku kolmou k druhé rovin¥.
α ⊥ β ⇔ nα · nβ = 0
Odchylka p°ímky a roviny
je odchylka p°ímky a jejího pravoúhlého pr·m¥tu do 90◦ .
roviny. Je-li p°ímka kolmá na rovinu, je odchylka
sin ϕ =
|nα · u| |nα | · |u|
P°ímka a rovina jsou k sob¥ kolmé práv¥ tehdy, kdyº je p°ímka kolmá ke v²em p°ímkám roviny, tj. je-li p°ímka kolmá ke dv¥ma r·znob¥ºkám roviny, pak je k rovin¥ kolmá.
p ⊥ α ⇔ nα = k · u
Osa úhlu
je p°ímka, která d¥lí tento úhel na dv¥ shodné £ásti dva shodné úhly. Osa
úhlu je mnoºina bod·, které mají od obou ramen úhlu stejnou vzdálenost.
|a1 x + b1 y + c1 | |a2 x + b2 y + c2 | p p = 2 2 a1 + b 1 a22 + b22 89
22. Polohové vlastnosti útvar· v rovin¥ a v prostoru °e²ené metodou analytickou a syntetickou
22 Polohové vlastnosti útvar· v rovin¥ a v prostoru °e²ené metodou analytickou a syntetickou (analytické vyjád°ení p°ímky v rovin¥ a v prostoru, analytické vyjád°ení roviny, vzájemná poloha p°ímek, rovin, vzájemná poloha p°ímek a rovin, osa mimob¥ºek)
Anylytické vyjád°ení p°ímky Parametrické vyjád°ení p°ímky
je dáno bodem
A
a sm¥rovým vektorem
u.
X = A + tu; t ∈ R
Obecná rovnice p°ímky
je dána normálovým vektorem
np (a; b).
ax + by + c = 0; a, b, c ∈ R alespo¬ jeden z a, b, c je nenulový.
Sm¥rnicový tvar y = kx + q k = tan ϕ pkq ⇔ kp = kq −1 p ⊥ q ⇔ kp = kq Sm¥rnicový tvar nelze pouºít pro p°ímky rovnob¥ºné s osou
Úsekový tvar Parametry
p, q
y.
x y + = 1; p, q 6= 0 p q jsou úseky, které vytíná p°ímka na sou°adnicových osách. Úsekový tvar
p°ímky nelze pouºít pro p°ímky rovnob¥ºné s osami.
Analytické vyjád°ení roviny Parametrické vyjád°ení roviny
, která je dána bodem
A a dv¥ma sm¥rovými vektory
u, v. X = A + tu + sv; s, t ∈ R u 6= kv
90
22. Polohové vlastnosti útvar· v rovin¥ a v prostoru °e²ené metodou analytickou a syntetickou Obecná rovnice roviny
je dána normálovým vektorem roviny
n% (a; b; c).
ax + by + cz + d = 0; a, b, c, d ∈ R alespo¬ jeden z a, b, c, d je nenulový.
Vzájemná poloha p°ímek M¥jme dány tyto p°ímky:
p(A; u); q(B; v)
1.
p ≡ q : u = k · v ∧ BA = l · v
2.
pkq : u = k · v ∧ BA 6= l · v
3.
p, q
r·znob¥ºky:
p ∩ q ≡ {P } ∧ u 6= k · v
4.
p, q
mimob¥ºky:
p ∩ q ≡ {∅} ∧ u 6= k · v
P°í£ka mimob¥ºek Osa mimob¥ºek Mimob¥ºky
je jakákoliv p°ímka protínající ob¥ mimob¥ºky.
je taková p°í£ka, která je sou£asn¥ kolmá na ob¥ mimob¥ºky.
p(A; u); q(B; v),
osa mimob¥ºek
w ⊥u∧w ⊥v P ∈p Q∈q QP k·w
⇒ ⇒ ⇒ = =
o(P ; w).
w =u×v P = A + t0 · u Q = B + s0 · v k·w A − B + t0 · u − s0 · v
Vzájemná poloha p°ímky a roviny M¥jme p°ímku
p(A; u); %(B; n% ).
1.
p ⊂ %: n% ⊥ u ∧ A ∈ %
2.
p k %: n% ⊥ u ∧ A ∈ /%
3.
p ∦ %: p ∩ % ≡ {P }
Vzájemná poloha dvou rovin M¥jme roviny
%(A; n% ); σ(B; nσ ).
1.
% ≡ σ : n% k nσ ∧ A ∈ σ
2.
% k σ : n% k nσ ∧ % ∩ σ ≡ {∅}
3.
% ∦ σ : n% ∦ nσ ∧ % ∩ σ ≡ p; wp = n% × nσ 91
23. Polynomické funkce, Racionální funkce, Mocninné funkce, Funkce s absolutní hodnotou, Funkce signum, Funkce celá £ást
23 Polynomické funkce, Racionální funkce, Mocninné funkce, Funkce s absolutní hodnotou, Funkce signum, Funkce celá £ást (de nice t¥chto funkcí a jejich vlastnosti, grafy a jejich uºití p°i °e²ení rovnic a nerovnic, jejich soustav)
Polynomická funkce Je dána p°edpisem
y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 kde
x
je prom¥nná a
ai (i = 0, 1, 2, . . . , n; an 6= 0)
jsou reálné koe cienty. Polynomické
funkce jsou speciálním p°ípadem funkce racionální. De ni£ním oborem jsou v²echna reálná £ísla.
Konstantní funkce a
je speciální p°ípad lineární funkce. Je dána p°edpisem
y = a,
je reálné £íslo. De ni£ním oborem jsou v²echna reálná £ísla a oborem hodnot je
Funkce není prostá, tedy není ani rostoucí ani klesající. V kaºdém
x∈R
kde
{a}.
má minimum i
maximum. Funkce je sudá a je omezená shora i zdola.
Lineární funkce £ísla (a
6= 0).
je kaºdá funkce, která je dána rovnicí
y = ax + b, kde a, b jsou reálná
De ni£ním oborem a oborem hodnot jsou v²echna reálná £ísla. Je prostá,
není shora ani zdola omezená a nemá maximum ani minimum. Není ani sudá ani lichá a je spojitá na celém svém de ni£ním oboru.
Kvadratická funkce 0.
je kaºdá funkce daná rovnicí
y = ax2 + bx + c, kde a, b, c ∈ R, a 6=
Jejím de ni£ním oborem jsou v²echna reálná £ísla a na polovin¥ intervalu je rostoucí
a na polovin¥ klesající. Není prostá, je omezená a má vºdy maximum nebo minimum (ve vrcholu paraboly). Je bu¤ konvexní nebo konkávní.
Racionální funkce Racionální funkce je kaºdá funkce daná p°edpisem
y= kde
m, n
am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0 bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0
jsou celá kladná £ísla,
am , . . . , a0 , bn , . . . , b0
tvaru
y=
P (x) Q(x)
92
jsou reálná £ísla. Zjednodu²en¥ ve
23. Polynomické funkce, Racionální funkce, Mocninné funkce, Funkce s absolutní hodnotou, Funkce signum, Funkce celá £ást kde
P (x)
a
Q(x)
jsou nenulové polynomy. De ni£ním oborem této funkce jsou v²echna
Q(x) 6= 0. Funkce je ryze lomená pokud stupe¬ P (x) < stupe¬ pokud stupe¬ P (x) > stupe¬ Q(x).
reálná £ísla, pro která platí
Q(x)
a neryze lomená
Mocninná funkce Mocninná funkce je kaºdá funkce, která je dána vztahem
y = xn kde
n ∈ Z∗ .
Pro n > 0 liché
jsou de ni£ním oborem a oborem hodnot v²echna reálná £ísla. Funkce
je rostoucí a lichá. Není omezená a nemá ani maximum ani minimum.
Pro n > 0 sudé
jsou de ni£ním oborem v²echna reálná £ísla, oborem hodnot
Funkce je rostoucí pro
x ∈ h0; ∞),
klesající pro
x ∈ (−∞; 0i.
h0; ∞).
Funkce je sudá, shora
omezená a v bod¥ 0 má minimum.
Pro n < 0 liché
jsou de ni£ním oborem a oborem hodnot v²echna reálná £ísla krom¥
(−∞; 0i
nuly. Funkce je klesající na intervalech
a
h0; ∞).
Je lichá, není omezená a nemá
ani maximum ani minimum.
Pro n < 0 sudé hodnot
(0; ∞).
jsou de ni£ním oborem v²echna reálná £ísla krom¥ nuly a oborem
Funkce je rostoucí na intervalu
(−∞; 0i
a klesající na
h0; ∞).
Je sudá,
zdola omezená a nemá ani maximum ani minimum.
Funkce s absolutní hodnotou Funkce s absolutní hodnotou je kaºdá funkce, která obsahuje aspo¬ jednu absolutní hodnotu. Nap°.
y = |x| De ni£ním oborem jsou v²echna reálná £ísla, oborem hodnot interval
h0; ∞).
Je rostoucí
i klesající, není prostá. Je zdola omezená, má minimum, ale nemá maximum. Je sudá.
x≥0 ⇒ y=x x < 0 ⇒ y = −x
Funkce signum Funkce signum je funkce s p°edpisem
y = sgn(x) 93
23. Polynomické funkce, Racionální funkce, Mocninné funkce, Funkce s absolutní hodnotou, Funkce signum, Funkce celá £ást pro kterou platí:
x < 0 ⇒ y = −1 x=0 ⇒ y=0 x>0 ⇒ y=1 {−1; 0; 1}. Funkce je lichá, není prostá a je nespojitá. V kaºdém x > 0 má maximum, v kaºdém x < 0 má minimum.
De ni£ním oborem jsou v²echna reálná £ísla, oborem hodnot je Je omezená.
Funkce celá £ást Celá £ást reálného £ísla
x, p°edstavuje nejv¥t²í celé £íslo, které je men²í nebo rovno £íslu x. y = bxc
De ni£ním oborem jsou v²echna reálná £ísla, oborem hodnot v²echna celá £ísla. Funkce je lichá, není prostá. Není klesající ani rostoucí. Není omezená a nemá extrémy.
94
24. Afinní vlastnosti kuºelose£ek
24 A nní vlastnosti kuºelose£ek (de nice kuºelose£ky, pr·se£íky p°ímky s kuºelose£kou, asymptotický sm¥r, st°ed kuºelose£ky, singulární bod kuºelose£ky, singulární a regulární kuºelose£ky, te£na asymptota a polára kuºelose£ky, vnit°ek a vn¥j²ek kuºelose£ky, sdruºené sm¥ry a pr·m¥ry kuºelose£ky)
Kuºelose£ka Nech´ je dána rovnice
ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 kde alespo¬ jeden z koe cient· mnoºinu bod·
X[x; y]
a, b, c
(1)
se nerovná nule, nebo její nenulový násobek. Pak
jejichº sou°adnice vyhovují rovnici (1) nazveme kuºelose£kou.
De nice kuºelose£ky není závislá na volb¥ sou°adného systému. Maticový zápis:
a b d x x y 1 · b c e · y = 0 d e f 1
Bodov¥ reálná kuºelose£ka ∃ X ∈ R : X ∈ K Formáln¥ reálná kuºelose£ka 6 ∃ X ∈ R : X ∈ K
Pr·se£ík p°ímky s kuºelose£kou K : ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 p : (M ; ~u); M [m; n]; ~u(u; v) x = m + tu y = n + tv; t ∈ R a(m + ut)2 + 2b(m + ut)(n + vt) + c(n + vt)2 + 2d(m + ut) + 2e(n + vt) + f = 0 2 2 2 + (bm + cn + e)v] t+ au {z + cv} t + 2 |[(am + bn + d)u {z | + 2buv } A
B
+ am2 + 2bmn + cn2 + 2dm + 2en + f = 0 | {z } C
At2 + 2Bt + C = 0
A 6= 0 ∧ B 2 − AC > 0 ⇒
2 body
A 6= 0 ∧ B 2 − AC = 0 ⇒
1 bod
95
24. Afinní vlastnosti kuºelose£ek
A 6= 0 ∧ B 2 − AC < 0 ⇒
A=0∧B =0∧C =0⇒
Celá p°ímka náleºí kuºelose£ce
A = 0 ∧ B = 0 ∧ C 6= 0 ⇒
ádný bod
A = 0 ∧ B 6= 0 ⇒
ádný bod
1 bod
Asymptotické sm¥ry Sm¥r v rovin¥, který je dán nenulovým vektorem
~u(u; v) se nazývá asymptotickým sm¥rem
kuºelose£ky, jestliºe platí:
au2 + 2buv + cv 2 = 0
ac − b2 > 0 ⇒
nemá asymptotický sm¥r
ac − b2 = 0 ⇒
1 asymptotický sm¥r
ac − b2 < 0 ⇒
2 r·zné asymptotické sm¥ry
St°ed kuºelose£ky St°ed kuºelose£ky je takový bod
S[m; n],
který je st°edem soum¥rnosti kuºelose£ky.
am + bn + d = 0 bm + cn + e = 0
Singulární bod Pokud je bod
S[m; n]
st°ed kuºelose£ky a zárove¬ na ní leºí, jedná se o singulární bod.
am + bn + d = 0 bm + cn + e = 0 dm + en + f = 0
Singulární kuºelose£ky Pokud kuºelose£ka obsahuje p°ímku, jedná se singulární kuºelose£ku. Platí pro ni:
a b d ∆ = b c e = 0 d e f
96
24. Afinní vlastnosti kuºelose£ek Klasi kace singulárních kuºelose£ek
ac − b2 > 0 ⇒
1 bod (singulární)
ac − b2 < 0 ⇒
2 r·znob¥ºky, protnou se v singulárním bod¥
ac − b2 = 0
af − d2 > 0 ⇒
Formáln¥ reálná kuºelose£ka
af − d2 = 0 ⇒
Dvojce rovnob¥ºných splývajících p°ímek
af − d2 < 0 ⇒
Dvojce rovnob¥ºných r·zných p°ímek
Regulární kuºelose£ky Regulární kuºelose£ka je taková kuºelose£ka, která neobsahuje p°ímku. Platí pro ni:
a b d ∆ = b c e 6= 0 d e f
Te£na P°ímka, která má s kuºelose£kou spole£ný pouze bod nazývá te£na kuºelose£ky v bod¥
T.
Bod
T [r; s]
T
a nemá asymptotický sm¥r, se
se nazývá bod dotyku. Rovnice te£ny je
ve tvaru:
(ar + bs + d)x + (br + cs + e)y + (dr + es + f ) = 0
Polára Polára bodu
R[r; s]
vzhledem ke kuºelose£ce je p°ímka o rovnici:
(ar + bs + d)x + (br + cs + e)y + (dr + es + f ) = 0 Body dotyku te£en bodem
R
ke kuºelose£ce leºí na polá°e. Te£na kaºdého bodu kuºelo-
se£ky, který leºí na polá°e bodu
R,
prochází bodem
R.
Asymptota P°ímka, která má asymptotický sm¥r kuºelose£ky a nemá s kuºelose£kou ºádný spole£ný bod, se nazývá asymptota.
Vnit°ek a vn¥j²ek kuºelose£ky Kaºdá regulární kuºelose£ka d¥lí v²echny body mimo kuºelose£ku na body vn¥j²í a vnit°ní. Pro bod
R[r; s]
platí:
V = −∆(ar2 + 2brs + cs2 + 2dr + 2es + f ) 97
24. Afinní vlastnosti kuºelose£ek
V <0
z bodu
R
nelze vést ani te£ny ani asymptoty (vnit°ní bod)
V >0
z bodu
R
lze vést dv¥ r·zné asymptoty nebo dv¥ r·zné te£ny nebo te£nu
a asymptotu (vn¥j²í bod)
V =0
bod
R
náleºí kuºelose£ce, lze z n¥j vést jednu te£nu a ºádnou asymptotu
Sdruºené sm¥ry a sdruºené pr·m¥ry kuºelose£ky Nech´
~u(u; v)
je nenulový vektor, který není asymptotickým sm¥rem kuºelose£ky. St°edy
v²ech t¥tiv, které na kuºelose£ce vytínají p°ímky s tímto sm¥rovým vektorem, leºí na
q , která se nazývá pr·m¥r sdruºený s vektorem ~u. Pro p°ímku q se sm¥rovým w(u ~ 0 ; v 0 ) platí:
jedné p°ímce vektorem
q:
(au + bv)x + (bu + cv)y + (du + ev) = 0 w(−bu ~ − cv; au + bv)
Pro dvojci sdruºených pr·m¥r· platí:
auu0 + b(uv 0 + u0 v) + cvv 0 = 0
A nní klasi kace regulárních kuºelose£ek
ac − b2 > 0
a∆ > 0 ⇒Formáln¥
a∆ < 0 ⇒Elipsa
ac − b2 < 0 ⇒
Hyperbola
ac − b2 = 0 ⇒
Parabola
reálná kuºelose£ka
98
25. Metrické vlastnosti kuºelose£ek, Koule a Kulová plocha
25 Metrické vlastnosti kuºelose£ek, Koule a Kulová plocha (osa kuºelose£ky, kruºnice, elipsa, hyperbola a parabola ve speciálních polohách, analytické vyjád°ení koule a kulové plochy)
Osa kuºelose£ky M¥jme v kartézké soustav¥ sou°adnic bodov¥ reálnou regulární kuºelose£ku s rovnicí: ax2 +2bxy +cy 2 +2dx+2ey +f = 0, kde alespo¬ jeden z koe cient· a, b, c se nerovná nule.
~u(u; v), který není asymptotickým sm¥rem kuºelose£ky a k n¥mu sdruºený w ~ , který je k n¥mu zárove¬ kolmý. Sdruºený pr·m¥r se sm¥rem ~u se nazývá osou
M¥jme vektor sm¥r
kuºelose£ky. Pr·se£ík osy kuºelose£ky s kuºelose£kou se nazývá vrchol kuºelose£ky.
au + bv = %u bu + cv = %v (a − %)u + bv = 0 bu + (c − %)v = 0 a−% b b c−%
=0
%2 − (a + c)% + ac − b2 = 0 Kaºdá elipsa, která není kruºnicí a kaºdá hyperbola má práv¥ 2 osy na sebe kolmé. Kaºdá parabola má práv¥ 1 osu, jejíº sm¥r je asymptotickým sm¥rem.
Kruºnice Kruºnice je mnoºina v²ech bod· z roviny, které mají od st°edu
S
konstantní vzdálenost
r.
k = {X ∈ %; |SX| = r; r > 0}
t:
(x − m)2 + (y − n)2 = r2 (x − m)(x − Tx ) + (y − n)(y − Ty ) = r2
Elipsa Elipsa je mnoºina v²ech bod· z roviny, které mají sou£et vzdáleností od dvou ohnisek
E, F
konstantní, roven
2a.
E = {X ∈ %; |EX| + |F X| = 2a; 2a > |EF |} e 2 = a2 − b 2 99
25. Metrické vlastnosti kuºelose£ek, Koule a Kulová plocha t:
(x − m)2 (y − n)2 + = 1 a2 b2 (x − m)(x − Tx ) (y − n)(y − Ty ) + = 1 a2 b2
Hyperbola Hyperbola je mnoºina v²ech bod· z roviny, které mají rozdíl vzdáleností od dvou ohnisek
E, F
konstantní, roven
2a.
H = {X ∈ %; |EX| − |F X| = 2a; 2a < |EF |} e2 = a2 + b2
t:
(x − m)2 (y − n)2 − = 1 a2 b2 (x − m)(x − Tx ) (y − n)(y − Ty ) − = 1 a2 b2
Parabola Parabola je mnoºina v²ech bod· z roviny, které mají stejnou vzdálenost od °ídící p°ímky
d
a ohniska
F. P = {X ∈ %; |Xd| = |XF |} (x − m)2 (y − n)2 t: (x − m)(x − Tx ) t: (y − n)(y − Ty )
= = = =
2p(y − n) osa k s osou y 2p(x − m) osa k s osou x p(y − n) + p(y − Ty ) p(x − m) + p(x − Tx )
Koule Koule je mnoºina v²ech bod· z prostoru, které mají od st°edu
S
vzdálenost
K = {X ∈ E3 ; |SX| ≤ r; r > 0} (x − m)2 + (y − n)2 + (z − p)2 ≤ r2 %t : (x − m)(x − Tx ) + (y − n)(y − Ty ) + (z − Tz ) = r2
100
r nebo men²í.
25. Metrické vlastnosti kuºelose£ek, Koule a Kulová plocha Kulová plocha Kulová plocha je mnoºina v²ech bod· z prostoru, které mají od st°edu vzdálenost
S
r. K = {X ∈ E3 ; |SX| = r; r > 0} (x − m)2 + (y − n)2 + (z − p)2 = r2 %t : (x − m)(x − Tx ) + (y − n)(y − Ty ) + (z − p)(z − Tz ) = r2
101
konstantní
A. Slovo autora
A Slovo autora Tato publikace vznikla p°i mé p°íprav¥ k maturitní zkou²ce z matematiky. Vzhledem ke skute£nosti, ºe jsem studoval matematické gymnázium v Bílovci, bylo po mn¥ poºádováno více znalostí, neº po b¥ºném studentovi gymnázia. Tedy i tato publikace zahrnuje v¥t²í rozsah informací, neº je pot°eba ke sloºení maturitní zkou²ky z matematiky na b¥ºném gymnáziu. Nemluv¥ o státní maturitní zkou²ce z matematiky, jejíº nároky na studentovy znalosti jsou minimální. P°esto v²ak v¥°ím, ºe i b¥ºnému gymnazistovi tato publikace pom·ºe p°i jeho p°íprav¥ k maturit¥ a zahrnutý v¥t²í obsah informací mu nebude na ²kodu, ale naopak mu nabídne získat v¥t²í nadhled na probíranou tématikou a tedy i její lep²í pochopení. Tuto publikaci tedy v¥nuji v²em student·m se zájmem o matematiku a doufám, ºe jim bude uºite£ná a najdou v ní informace, které jim pomohou p°i studiu a p°i p°íprav¥ k maturit¥. Nikdo není neomylný, a autor teprve ne. Proto se v textu mohou objevovat chyby v²eho druhu, a proto T¥ £tená°i prosím, nalezne²-li chybu nebo p°eklep, prosím po²li mi ji na adresu
[email protected] a já s ní zato£ím. Tímto zp·sobem se snad text £asem od chyb vy£istí. Záv¥rem bych Ti uº jenom rád pop°ál hodn¥ radosti p°i studiu nových informací a p°ipravuje²-li se k maturitní zkou²ce, pak také hodn¥ ²t¥stí u jejího skládání.
Pavel Trutman
102
