SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY

Z´ apadoˇ cesk´ a univerzita v Plzni Fakulta aplikovan´ ych vˇ ed

Katedra matematiky

´ SB´IRKA ULOH Z MATEMATIKY ´ ´I TRANSFORMACE INTEGRALN

ˇ Josef MASEK

Plzeˇ n 1993

3

Pˇ redmluva Ku ´spˇeˇsn´emu studiu t´eto sb´ırky u ´loh je tˇreba dobˇre zn´at ˇradu metod a v´ ysledk˚ u z teorie funkc´ı komplexn´ı promˇenn´e. V uveden´em smyslu je tento uˇcebn´ı text pokraˇcov´an´ım pˇredch´azej´ıc´ı sb´ırky u ´loh [ 4 ] ( seznam literatury na str. 4 ) a zachov´av´a tak´e podobn´ y zp˚ usob zpracov´an´ı. Na zaˇc´atku kaˇzd´e kapitoly jsem opˇet uvedl struˇcn´ y pˇrehled z´akladn´ıch definic a d˚ uleˇzit´ ych teoretick´ ych v´ ysledk˚ u. Snaˇzil jsem se vybrat nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı typy pˇr´ıklad˚ u a uspoˇr´adat je podle obt´ıˇznosti. Bezprostˇrednˇe za zad´an´ım kaˇzd´eho pˇr´ıkladu je uvedeno ˇreˇsen´ı, n´avod nebo v´ ysledek. K tomu, aby pr´ace se sb´ırkou pˇrinesla dobr´e v´ ysledky, je tˇreba co nejv´ıce pracovat samostatnˇe a nedat se ovlivnit uveden´ ym ˇreˇsen´ım. Teprve v pˇr´ıpadˇe ne´ uspˇeˇsn´ ych pokus˚ u nebo po vyˇreˇsen´ı u ´lohy prohl´ednout postup ˇreˇsen´ı a zkontrolovat v´ ysledek. Z mnoha integr´aln´ıch transformac´ı se v t´eto sb´ırce budeme zab´ yvat dvˇema nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ ymi : jednostrannou Laplaceovou transformac´ı a Fourierovou transformac´ı. Podle historick´eho hlediska jsem volil postup od Fourierovy k Laplaceovˇe transformaci. Ale pro ty, kteˇr´ı se nebudou cht´ıt podrobnˇe zab´ yvat Fourierovou transformaci, je moˇzn´e bez probl´em˚ u samostatnˇe studovat Laplaceovu transformaci ( kap. 4 - 8 ) a pouze informativnˇe se sezn´amit s Fourierovou transformac´ı. Takov´ y postup odpov´ıd´a tak´e sylab˚ um pˇredmˇet˚ u MAA4, MAE3, MB2 ( viz [ 3 ] ). K oznaˇcen´ı z´akladn´ıch ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin se pouˇz´ıv´a obvykl´e oznaˇcen´ı N - mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, Z - mnoˇzina vˇsech cel´ ych ˇc´ısel, R - mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel, R+ - mnoˇzina vˇsech nez´aporn´ ych re´aln´ ych ˇc´ısel. C - mnoˇzina vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel. Dˇekuji srdeˇcnˇe vˇsem, kteˇr´ı se pˇriˇcinili o to, aby se poˇcet nedopatˇren´ı a chyb omezil na co nejmenˇs´ı m´ıru. Pˇredevˇs´ım dˇekuji kolegovi doc.Josefu Pol´akovi a vedouc´ımu katedry prof. Pavlu Dr´abkovi, kteˇr´ı pˇrispˇeli mnoha radami ke zlepˇsen´ı v´ ysledn´eho textu. Plzeˇ n, 31. ˇr´ıjna 1993.

Autor

4

Integr´aln´ı transformace

Obsah

1. Fourierova transformace

5

2. Vlastnosti Fourierovy transformace

19

3. Pouˇ zit´ı fourierovy transformace

33

4. Laplaceova transformace

43

5. Vlastnosti Laplaceovy transformace

49

6. Zpˇ etn´ a Laplaceova transformace

71

7. Konvolutorn´ı souˇ cin

85

8. Pouˇ zit´ı Laplaceovy transformace

95

Rejstˇ r´ık

118

Literatura [1] Veit Jan : Integr´aln´ı transformace (Matematika pro VST), Praha 1983 [2] P´ırko Z.,Veit J. : Laplaceova transformace (SNTL / ALFA), Praha 1970 [3] Pol´ak Josef : Integr´aln´ı a diskr´etn´ı transformace (skripta ZU),Plzeˇ n 1991 [4] Maˇsek Josef : Sb´ırka u ´loh z matematiky - Funkce komplexn´ı promˇenn´e (skripta ZU), Plzeˇ n 1992

1.Fourierova transformace

5

1. Fourierova transformace Myˇslenka integr´aln´ıch transformac´ı vyuˇz´ıv´a moˇznosti vyj´adˇren´ı funkce re´aln´e promˇenn´e pomoc´ı dvojn´asobn´eho integr´alu, ve kter´em se vyskytuje pomocn´a promˇenn´a ( parametr ). Jsou zn´am´e r˚ uzn´e typy postaˇcuj´ıc´ıch podm´ınek pro takov´e vyj´adˇren´ı. Pomˇernˇe jednoduch´e jsou r˚ uzn´e varianty podm´ınek, kter´e se ˇcasto naz´ yvaj´ı Dirichletovy. Jeden z jejich moˇzn´ ych tvar˚ u je vyj´adˇren v n´asleduj´ıc´ı definici ( viz [ 2 ] odst.9.2 a 9.5; [ 3 ] str. 111 ). Definice : Budeme ˇr´ıkat, ˇze funkce f re´aln´e promˇenn´e t splˇ nuje v intervalu (a, b) Dirichletovy podm´ınky , jestliˇze plat´ı 1. funkce f je po ˇc´astech spojit´a v intervalu (a, b) , 2. jej´ı derivace f 0 je po ˇc´astech spojit´ a v intervalu (a, b) ,   1 lim f (τ ) + lim f (τ ) . 3. pro kaˇzd´e t ∈ (a, b) plat´ı f (t) = τ →t+ 2 τ →t− Dalˇs´ı definice a vˇeta uv´ad´ı v´ ysledn´ y z´apis funkce f re´aln´e promˇenn´e t pomoc´ı tzv. Fourierova integr´alu ( viz napˇr. [ 2 ] odst. 9.7 ). Definice : Jestliˇze existuje vlastn´ı limita

lim a→∞

Z

a

f (t) dt , potom se na-

−a

+∞ z´ yv´a hlavn´ı hodnota nevlastn´ıho integr´alu −∞ f (t) dt. R +∞ Pro hlavn´ı hodnotu se pouˇz´ıv´a oznaˇcen´ı V.p −∞ f (t) dt ( z francouzsk´eho valeur principal ).

R

Vˇ eta : Jestliˇze pro funkci f re´aln´e promˇenn´e t plat´ı: 1. funkce f je definov´ana pro vˇsechna t ∈ R , 2. splˇ nuje Dirichletovy podm´ınky v kaˇzd´em koneˇcn´em intervalu, R +∞ R +∞ 3. −∞ f (t) dt absolutnˇe konverguje (tj. −∞ |f (t)| dt konverguje), potom plat´ı pro vˇsechna t ∈ R rovnost mezi hodnotou funkce f (t) a tzv. Fourierov´ ym integr´alem t´eto funkce Z +∞ Z +∞ 1 V.p. du f (τ )eiu(t−τ ) dτ = 2π −∞ −∞  Z +∞ Z +∞ 1 −iuτ = V.p. f (τ )e dτ eiut du. 2π −∞ −∞

f (t) =

6

Integr´aln´ı transformace

Je tˇreba znovu zd˚ uraznit, ˇze pˇredch´azej´ıc´ı vˇeta uv´ad´ı postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky pro moˇznost vyj´adˇren´ı f (t) Fourierov´ ym integr´alem. Nad´ale se budeme vˇedomˇe omezovat na takov´e funkce, kter´e splˇ nuj´ı podm´ınky t´eto vˇety a dohodneme se na n´asleduj´ıc´ı definici. Definice : Funkci f , kter´a splˇ nuje podm´ınky pˇredch´azej´ıc´ı vˇety, budeme naz´ yvat zobrazitelnou funkc´ı ve Fourierovˇ e transformaci. Protoˇze integr´al

Z

+∞

|f (t)| dt konverguje ( podle pˇredpokladu vˇety )

−∞ −iut

a plat´ı rovnost | e | = 1 , mus´ı vnitˇrn´ı integr´al ve Fourierovˇe integr´alu stejnomˇernˇe a absolutnˇe konvergovat v R vzhledem k parametru u . Proto je t´ımto integr´alem definov´ana spojit´a funkce F re´aln´e promˇenn´e ( parametru ) u . Definice : Funkce F definovan´a vnitˇrn´ım integr´alem ve Fourierovˇe integr´alu se naz´ yv´a Fourier˚ uv obraz ( zobraziteln´ e ) funkce f . Oznaˇcuje se F (u) nebo F [f (t)] a plat´ı F (u) = F [f (t)] =

Z

+∞

f (t) e−iut dt , u ∈ R .

−∞

Pro definov´an´ı Fourierova obrazu nebyla potˇreba tˇret´ı Dirichletova podm´ınka, protoˇze v´ ypoˇcet hodnoty integr´alu nen´ı z´avisl´ y na hodnotˇe funkce f (t) v bodech nespojitosti. Pˇr´ımo z definice obrazu pomoc´ı integr´alu je zˇrejm´e, ˇze Fourierova transformace je line´arn´ı, tj. plat´ı : Jestliˇze funkce f1 a f2 jsou zobraziteln´e ve Fourierovˇe transformaci, potom plat´ı F[c1 f1 (t) + c2 f2 (t)] = c1 F[f1 (t)] + c2 F[f2 (t)] , c1 ∈ R , c2 ∈ R . Pozn´ amka : V literatuˇre se ˇcasto pouˇz´ıv´a vzhledem k aplikac´ım jako parametr ω a pro obecn´ y z´apis obrazu F (iω) . Dal jsem pˇrednost jednoduˇsˇs´ımu z´apisu u a F (u) . Definovat obraz funkce f by bylo moˇzn´e tak´e jin´ ym stejnomˇernˇe a absolutnˇe konvergentn´ım integr´alem z´avisl´ ym na parametru. D˚ uleˇzit´e vˇsak je, ˇze Fourier˚ uv integr´al umoˇzn ˇuje tak´e jednoznaˇ cnˇ e vyj´adˇrit p˚ uvodn´ı funkci f pomoc´ı obrazu F . Zde je potˇrebn´a tˇret´ı Dirichletova podm´ınka, protoˇze zaruˇcuje tuto jednoznaˇcnost.

1.Fourierova transformace

7

Jestliˇze je tedy funkce F Fourierov´ ym obrazem funkce f , potom se naz´ yv´a funkce f origin´ al ( vzor ) funkce F ve Fourierovˇ e transformaci a pro v´ ypoˇcet origin´alu plat´ı f (t) = F Jestliˇze integr´al

Z

−1

Z +∞ 1 V.p. F (u)eiut du. [F (u)] = 2π −∞

+∞

F (u) du

absolutnˇe konverguje, potom ( vzhle-

−∞ iut

dem k rovnosti | e | = 1 ) nen´ı tˇreba pˇri v´ ypoˇctu origin´alu pouˇz´ıvat hlavn´ı hodnotu integr´alu, integr´al stejnomˇernˇe konverguje v R vzhledem k parametru t a origin´al f (t) mus´ı b´ yt spojit´a funkce parametru t . V pˇr´ıkladech 1.1 - 1.10 rozhodnˇete, zda jsou dan´e funkce zobraziteln´e ve Fourierovˇe transformaci ( ve smyslu naˇs´ı definice ). V kladn´em pˇr´ıpadˇe stanovte podle definice jejich Fourier˚ uv obraz . 1.1.  0  

1 2 −t

f (t) =  

e

pro t < 0 , pro t = 0 , pro t > 0 .

ˇ sen´ı : Funkce a jej´ı derivace maj´ı jedin´ Reˇ y bod nespojitosti t = 0 ,

ve kter´em existuj´ı limity zprava a zleva. Funkce tedy splˇ nuje prvn´ı dvˇe Dirichletovy podm´ınky. Protoˇze lim f (t) = 0 a lim f (t) = 1 , je t→0− t→0+ splnˇena i tˇret´ı podm´ınka. Z Z +∞

+∞

|f (t)| dt =

V´ ypoˇctem zjist´ıme, ˇze

−∞

F (u) =

Z

+∞

−∞

f (t)e−iut dt =

0

Z

+∞

e−t e−iut dt =

0

1.2. f (t) =

 0   1 2

 

1

e−t dt konverguje.

pro t < 0 ∨ t > 1 , pro t = 0 ∨ t = 1 , pro t ∈ (0, 1) .

Z 0

+∞

e−(1+iu)t dt =

1 . 1 + iu

8

Integr´aln´ı transformace

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce splˇ nuje stejnˇe jako v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıpadˇe

Dirichletovy podm´ınky. Protoˇ a pouze v koneˇcn´em Z ze funkce je nenulov´ +∞

intervalu, nevlastn´ı integr´al

f (t) dt se redukuje na urˇcit´ y integr´al,

−∞

kter´ y m´a koneˇcnou hodnotu ( rovn´a se 1 ). F (u) =

Z

+∞

−iut

f (t) e

dt =

−∞

Z

1

e−iut dt = −

0

1 −iu 1 − e−iu (e − e0 ) = . iu iu

1.3. f (t) = et pro t ∈ R . ˇ sen´ı : Pˇri v´ Reˇ ypoˇctu

Z

+∞

et dt = lim et − lim et je prvn´ı limita t→+∞

−∞

t→−∞

nevlastn´ı. Nevlastn´ı integr´al tedy nekonverguje a dan´a funkce nen´ı zobraziteln´a funkce. 1.4.  0  

f (t) =  

1 2

1

V´ ysledek :

pro t < a ∨ t > b pro t = a ∨ t = b pro t ∈ (a, b)

Dan´a funkce je zobraziteln´a a plat´ı F (u) =

1.5. f (t) =

(a < b)

e−iau − e−ibu . iu

t pro t ∈ R . t2 + 1

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce nen´ı zobraziteln´a, protoˇze +∞ 1 ln(t2 + 1) nekonverguje. = −∞ 2

Z

+∞

−∞

t dt = t2 + 1

1.Fourierova transformace

9

1 pro t ∈ R , a ∈ R+ . + a2 ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce i jej´ı derivace jsou spojit´e funkce pro vˇsechna t ∈ R , takˇze Dirichletovy podm´ınky jsou splnˇeny. Z +∞ 1 Snadn´ ym v´ ypoˇctem se d´a zjistit, ˇze nevlastn´ı integr´al dt 2 −∞ t + a2 konverguje, takˇze funkce je zobraziteln´a a jej´ı obraz se d´a urˇcit pro π u = 0 pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem F (0) = . a Pro u < 0 pomoc´ı reziduov´e vˇety (viz [ 4 ] - podobnˇe jako v pˇr. 11.48) π e−au vyjde F (u) = . a Pro u > 0 se nevlastn´ı integr´al poˇc´ıt´a tak´e pomoc´ı reziduov´e vˇety, ale e−iuz pro funkci 2 po z´apornˇe orientovan´e kˇrivce (viz [ 4 ],pˇr. 11.39 ) z + a2 au πe . V´ ysledek se d´a tak´e struˇcnˇeji zapsat ve tvaru a vyjde F (u) = a π e−a|u| F (u) = . a

1.6. f (t) =

t2

1 pro t ∈ R . t2 + 2t + 2 ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce i jej´ı derivace jsou spojit´e funkce pro vˇsechna tZ ∈ R , takˇze Dirichletovy podm´ınky jsou splnˇeny. Nevlastn´ı integr´al +∞ 1 dt konverguje, takˇze funkce je zobraziteln´a a jej´ı obraz 2 −∞ t + 2t + 2 se d´a vypoˇc´ıtat pomoc´ı rezidu´ı ( viz [ 4 ] pˇr. 11.44 ).

1.7. f (t) =

F (u) = π e−u (cos u + i sin u) pro u ≥ 0 ; F (u) = π eu (cos u + i sin u) pro u < 0 . 1.8. f (t) =

(t2

1 pro t ∈ R , a ∈ R+ . + a2 )2

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce i jej´ı derivace jsou spojit´e funkce pro vˇsechna

tZ ∈ R , takˇze Dirichletovy podm´ınky jsou splnˇeny. Nevlastn´ı integr´al +∞ 1 dt konverguje, takˇze funkce je zobraziteln´a a jej´ı obraz 2 −∞ (t + a2 )2 se d´a vypoˇc´ıtat pomoc´ı rezidu´ı ( viz [ 4 ] pˇr. 1.55 ) F (u) =

π e−au (1 + au) π eau (1 + au) pro u ≥ 0 ; F (u) = pro u < 0 . 2 a3 2 a3

10

Integr´aln´ı transformace

1.9. f (t) = cos t pro t ∈ R . ˇ sen´ı : Reˇ

Dan´a funkce nen´ı zobraziteln´a, protoˇze

Z

+∞

| cos t| dt

−∞

nekonverguje. 2

1.10. f (t) = e−t

pro t ∈ R .

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce i jej´ı derivace jsou spojit´e funkce pro vˇsechna

t ∈ R , takˇze Dirichletovy podm´ınky jsou splnˇeny. Nevlastn´ı integr´al Z +∞ √ 2 e−t dt konverguje (m´a hodnotu π ), takˇze funkce je zo−∞

braziteln´a. Z

F (u) =

+∞

−t2

e

−iut

e

dt =

2

=e

+∞

−(t2 +iut)

e

−∞

−∞ − u4

Z

Z

+∞

−τ 2

e

dτ =

√

dt = e

Z

+∞

2 +iut− u2 ) 4

e−(t

dt =

−∞ 2

− u4

πe

−∞

2

− u4



iu po substituci τ = t + 2



.

V pˇr´ıkladech 1.11 - 1.30 vypoˇc´ıtejte Fourier˚ uv obraz dan´ ych funkc´ı a provˇeˇrte spojitost obrazu F (u) a souvislost spojitosti origin´alu s absolutn´ı Z +∞

F (u) du .

konvergenc´ı integr´alu

−∞

1.11 Pro a ∈ R+  0  

f1 (t) =  

1 2 −at

e

pro t < 0 pro t = 0 pro t > 0

1.Fourierova transformace

11 +∞

+∞

1 . a + iu 0 0 V´ ysledek plat´ı i pro a ∈ C . ZObraz je zˇrejmˇe spojit´a funkce; origin´al +∞ du nen´ı spojit´a funkce a integr´al nekonverguje. −∞ |a + iu| ˇ sen´ı : F[f1 (t)] = Reˇ

Z

−at −iut

e

e

dt =

Z

e−(at+iut) dt =

1.12 Pro a ∈ R+  at e  

f2 (t) =  

1 2

0

pro t < 0 pro t = 0 pro t > 0 0

0

1 . a − iu −∞ −∞ V´ ysledek plat´ı i pro a ∈ C . ZObraz je zˇrejmˇe spojit´a funkce; origin´al +∞ du nekonverguje. nen´ı spojit´a funkce a integr´al −∞ |a − iu| ˇ sen´ı : F[f2 (t)] = Reˇ

Z

at −iut

e e

dt =

Z

e−(at−iut) dt =

1.13 Pro a ∈ R+ : f3 (t) = e−a|t| . ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme vyj´adˇrit pomoc´ı pˇredch´azej´ıc´ıch funkc´ı;

zˇrejmˇe plat´ı f3 (t) = f1 (t)+f2 (t) , takˇze F[f3 (t)] = F[f1 (t)]+F[f2 (t)] = 1 1 2a + = 2 . Obraz je zˇrejmˇe spojit´a funkce; origin´al a + iu a − iu a + uZ2 +∞ 2a du je spojit´a funkce a integr´al absolutnˇe konverguje. −∞ a2 + u2

=

1.14 Pro a ∈ R+ f4 (t) =

 at e    

0 −e−at

pro t < 0 pro t = 0 pro t > 0

ˇ sen´ı : Zˇrejmˇ Reˇ e plat´ı f4 (t) = f2 (t)−f1 (t) , takˇze F[f4 (t)] = F[f2 (t)]−

1 1 2ui − = 2 . Obraz je zˇrejmˇe spojit´a a − iu a + iu a + u2 Z +∞ 2ui du funkce; origin´al nen´ı spojit´a funkce a integr´al nekonver−∞ a2 + u2 guje. − F[f1 (t)] =

12

Integr´aln´ı transformace

1.15 Pro a ∈ R+   0

pro t < 0 ∨ t > a pro t = 0 g1 (t) =   a − t pro t ∈ (0, a) 

a 2

ˇ sen´ı : Pro u 6= 0 vypoˇ Reˇ c´ıt´ame F[g1 (t)] =

Z

a

(a − t)e−iut dt =

0 a Z a −iut (a − t) e−iut e −iau + 1 − e−iau = + dt = . Obraz je spojit´a −iu iu u2 0 0 a Z a a2 a2 t2 = funkce, protoˇze F (0) = (a − t) dt = (at − ) = a2 − 2 2 2 0 0

a2 e−iau a2 −iau + 1 − e−iau −ia + ia e−iau = lim = . a lim = lim u→0 u→0 u→0 u2 2u 2 2 Z +∞ a du Origin´al nen´ı spojit´a funkce a integr´al nekonverguje. −∞ |iu| 1.16 Pro a ∈ R+  a+t  

g2 (t) =  

a 2

0

pro t ∈ (−a, 0) pro t = 0 pro t ≤ −a ∨ t > 0

ˇ sen´ı : Pro u 6= 0 vypoˇ Reˇ c´ıt´ame podle definice

F (u) = F[g2 (t)] =

Z

0

(a + t)e−iut dt =

−a

iau + 1 − eiau . u2

Obraz je spojit´a funkce, protoˇze a Z 0 a2 t2 a2 F (0) = (a + t) dt = (at + ) = −a2 + =− a 2 0 2 2 −a iau + 1 − eiau ia − ia eiau −a2 eiau −a2 lim = lim = lim = . u→0 u→0 u2 2u 2 2 Zu→0 +∞ a du Origin´al nen´ı spojit´a funkce a integr´al nekonverguje. −∞ |iu| 1.17 Pro a ∈ R+ (

g3 (t) =

a − |t| pro |t| < a 0 pro |t| ≥ a

1.Fourierova transformace

13

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme zˇrejmˇe vytvoˇrit jako souˇcet pˇredch´azej´ıc´ıch

: g3 (t) = g1 (t) + g2 (t) , takˇze pro u 6= 0 vypoˇc´ıt´ame F[g3 (t)] = 1 − e−iau 1 − eiau 2(1 − cos au) F[g1 (t)] + F[g2 (t)] = + = . 2 2 u u u2 Jako souˇcet spojit´ ych funkc´ı je tento obraz tak´e spojit´a funkce. Origin´al je spojit´a funkce a

Z

+∞

−∞

2(1 − cos au) du absolutnˇe konverguje. u2

1.18 Pro a ∈ R+

g4 (t) =

  −a − t     

a−t 0

pro t ∈ (−a, 0) pro t ∈ (0, a) pro t = 0 ∨ |t| ≥ a

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme zˇrejmˇe vytvoˇrit jako rozd´ıl :

g4 (t) = g1 (t) − g2 (t) , takˇze pro u 6= 0 vypoˇc´ıt´ame 1 − e−iau 1 − eiau 2 i sin au − = . F[g3 (t)] = F[g1 (t)] − F[g2 (t)] = 2 2 u u u2 Jako rozd´ıl spojit´ ych funkc´ıZje tento obraz tak´e spojit´a funkce. Origin´al +∞ 2 i sin au du absolutnˇe konverguje. je spojit´a funkce a integr´al u2 −∞

1.19 Pro a ∈ R+  0  

h1 (t) =  

1 2

1

pro t < 0 ∨ t > a pro t = 0 ∨ t = a pro t ∈ (0, a)

1 − e−iau . iu Spojitost obrazu pro u = 0 je tˇreba ovˇeˇrit . Origin´al nen´ı spojit´a Z +∞ |1 − e−iau | du funkce a integr´al nekonverguje. |iu| −∞ V´ ysledek : Pro u 6= 0 : F[h1 (t)] =

14

Integr´aln´ı transformace

1.20 Pro a ∈ R+ h2 (t) =

 1    

1 2

0

pro t ∈ (−a, 0) pro t = −a ∨ t = 0 pro t < −a ∨ t > 0

eiau − 1 . iu Spojitost obrazu pro u = 0 je tˇreba ovˇeˇrit . Origin´al nen´ı spojit´a Z +∞ iau |e − 1| du funkce a integr´al nekonverguje. |iu| −∞ V´ ysledek: Pro u 6= 0 : F[h2 (t)] =

1.21 Pro a ∈ R+ h3 (t) =

  1     

pro |t| < a pro |t| = a pro |t| > a

1 2

0

2 sin au . u Spojitost obrazu pro u = 0 je tˇreba ovˇeˇrit . Origin´al nen´ı spojit´a Z +∞ 2| sin au| du nekonverguje. funkce a integr´al |u| −∞ V´ ysledek : Pro u 6= 0 : F[h3 (t)] =

1.22 Pro a ∈ R+   0      − 21   

h4 (t) =  −1      1   

1 2

pro pro pro pro pro

|t| > a ∨ t = 0 t = −a t ∈ (−a, 0) t ∈ (0, a) t=a

2(1 − cos au) . iu Spojitost obrazu pro u = 0 je tˇreba ovˇeˇrit . Origin´al nen´ı spojit´a V´ ysledek : Pro u 6= 0 : F[h4 (t)] =

funkce a integr´al

Z

+∞

−∞

2|(1 − cos au)| du nekonverguje. |iu|

1.Fourierova transformace

15

1.23 Pro a ∈ R+  0  

k1 (t) =  

a 2

t

pro t ≤ 0 ∨ t > a pro t = a pro t ∈ (0, a)

a e−iau e−iau − 1 + . 2 iu u Z +∞ a e−iau du nekonverguje. Origin´al nen´ı spojit´a funkce a integr´al |iu| −∞ V´ ysledek : Pro u 6= 0 : F[k1 (t)] = −

Vˇsimnˇete si, ˇze plat´ı k1 (t) = a h1 (t) − g1 (t) ; t´ım je tak´e zaruˇcena spojitost obrazu pro u = 0 . 1.24 Pro a ∈ R+ pro t < a ∨ t ≥ 0 pro t = −a k2 (t) =   −t pro t ∈ (−a, 0)  0   a 2

V´ ysledek : Pro u 6= 0 : F[k2 (t)] =

Origin´al nen´ı spojit´a funkce a integr´al

a eiau eiau − 1 + . iu u2 Z

+∞

−∞

a eiau du nekonverguje. |iu|

Vˇsimnˇete si, ˇze plat´ı k2 (t) = a h2 (t) − g2 (t) ; t´ım je tak´e zaruˇcena spojitost obrazu pro u = 0 .

1.25 Pro a ∈ R+   |t|  

k3 (t) =   

a 2

0

pro |t| < a pro |t| = a pro |t| > a 2a sin au 2(1 − cos au) − . u u2 2a| sin au| du nekonverguje. |u|

V´ ysledek : Pro u 6= 0 : F[k3 (t)] =

Origin´al nen´ı spojit´a funkce a

Z

+∞

−∞

16

Integr´aln´ı transformace Vˇsimnˇete si, ˇze plat´ı k3 (t) = a h3 (t) − g3 (t) ; t´ım je tak´e zaruˇcena spojitost obrazu pro u = 0 .

1.26 Pro a ∈ R+

k4 (t) =

 t      −a 2

    

a 2

0

pro pro pro pro

|t| < a t = −a t=a |t| > a 2a cos au 2 i sin au − . iu u2 2a| cos au| du nekonverguje. |u|

V´ ysledek : Pro u 6= 0 : F[k4 (t)] = −

Origin´al nen´ı spojit´a funkce a

Z

+∞

−∞

Vˇsimnˇete si, ˇze plat´ı k4 (t) = a h4 (t) − g4 (t) ; t´ım je tak´e zaruˇcena spojitost obrazu pro u = 0 .

1.27 Funkce (

r1 (t) =

sin t pro t ∈ (0, π) 0 pro t ≤ 0 ∨ t ≥ π

ˇ sen´ı : Pro |u| = Reˇ 6 1 vypoˇc´ıt´ame podle definice #π

e−iut (−iu sin t − cos t) = R1 (u) = F[r1 (t)] = sin t e dt = 1 − u2 0 0 −e−iπu cos π + e0 cos 0 1 + eiπu = = . 1 − u2 1− u2 Z eat (a sin bt − b cos bt) at Pˇri v´ ypoˇctu byl pouˇzit vzorec e sin bt dt = , a2 + b 2 kter´ y se d´a odvodit dvojn´asobn´ ym pouˇzit´ım metody per partes. Z

π

"

−iut

Obraz je spojit´a funkce, protoˇze R1 (1) =

Z 0

π

sin t e−it dt = π

1 Z π it 1 Zπ 1 e−2it π −it −it = (e − e )e dt = (1 − e−2it )dt = t− ) = 2i 0 2i 0 2i −2i 0 2i

1.Fourierova transformace

17

1 + e−iπu πi e−iπ πi(−1) π −πi e−iπu = = = . = lim u→1 1 − u2 u→1 −2u 2 2 2i

a tak´e lim

Podobnˇe ovˇeˇr´ıme spojitost obrazu pro u = −1 . Origin´al je spojit´a funkce a integr´al

Z

+∞

−∞

(1 + e−iπu ) du absolutnˇe konverguje. 1 − u2

1.28 Funkce (

r2 (t) =

sin t pro |t| < π 0 pro |t| ≥ π

2i sin πu . u2 − 1 Spojitost obrazu pro u = 1 a u = −1 je tˇreba ovˇeˇrit. Origin´al je Z +∞ 2i sin πu du spojit´a funkce a integr´al absolutnˇe konverguje. u2 − 1 −∞ V´ ysledek : Pro |u| = 6 1 : F[r2 (t)] =

1.29 Funkce (

s1 (t) =

cos t pro |t| < 0 pro |t| ≥

π 2 π 2

ˇ sen´ı : Pro |u| = Reˇ 6 1 vypoˇc´ıt´ame podle definice

S1 (u) = F[s1 (t)] = π

Z

π 2

− π2

π

−iut

cos t e

e−iut (−iu cos t + sin t) 2 dt = = π 1 − u2 − 2

π

2 cos π2 u e−i 2 u sin π2 − ei 2 u sin(− π2 ) = . = 1 − u2 1 − u2

eat (a cos bt + b sin bt) , a2 + b 2 kter´ y se d´a odvodit dvojn´asobn´ ym pouˇzit´ım πmetody per partes.

Pˇri v´ ypoˇctu byl pouˇzit vzorec

Z

eat cos bt dt =

Obraz je spojit´a funkce, protoˇze S1 (1) =

Z

2

− π2

cos t e−it dt =

1 Z 2 it 1Z 2 1 e−2it −it −it −2it = (e + e )e dt = (1 + e )dt = t + 2 − π2 2 − π2 2 −2i π π 2 cos 2 u −π sin 2 u π a tak´e lim = lim = . u→1 1 − u2 u→1 −2u 2 π

π

"

#π 2

= − π2

π 2

18

Integr´aln´ı transformace Podobnˇe ovˇeˇr´ıme spojitost obrazu pro u = −1 . Origin´al je spojit´a Z +∞ 2 cos π2 u du funkce a integr´al absolutnˇe konverguje. 1 − u2 −∞

1.30 Funkce (

s2 (t) =

cos 2t 0

pro |t| < π pro |t| ≥ π

4 cos πu . 1 − 4u2 Spojitost obrazu pro u = 12 a u = − 12 je tˇreba ovˇeˇrit. Origin´al je Z +∞ 4 cos πu du spojit´a funkce a integr´al absolutnˇe konverguje. 1 − 4u2 −∞ V´ ysledek : Pro |u| = 6

1 2

: F[s2 (t)] = −

2.Vlastnosti Fourierovy transformace

19

2. Vlastnosti Fourierovy transformace Sloˇzitˇejˇs´ı obrazy jiˇz nebudeme urˇcovat podle definice, ale na z´akladˇe vlastnost´ı, kter´e budou v t´eto kapitole odvozeny ve formˇe ˇreˇsen´ ych u ´loh. V ostatn´ıch u ´loh´ach se potom tyto vlastnosti pouˇz´ıvaj´ı k nalezen´ı dalˇs´ıch obraz˚ u.

2.1 Dokaˇzte, ˇze pro a > 0 plat´ı : Jestliˇze F[f (t)] = F (u) , potom F[f (at)] =

u a

1 F a

 

.

ˇ sen´ı : Funkce f (at) mus´ı tak´ Reˇ e splˇ novat Dirichletovy podm´ınky,

protoˇze je splˇ nuje funkce f (t) . V definiˇcn´ım integr´alu provedeme substituci at = τ , a dt = dτ . Pˇritom se nezmˇen´ı meze ( vzhledem k tomu, ˇze a > 0 ) a nem˚ uˇze se zmˇenit konvergence integr´alu. Dostaneme tedy F[f (at)] =

Z

+∞

f (at) e−iut dt =

Z

+∞

u

f (τ ) e−i a τ

−∞

−∞

1 dτ = F a a

u a

 

.

2 2 ˇ sen´ı 2.2 Pro a > 0 najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce f (t) = e−a t . Reˇ 2 √ u 2 : V pˇr. 1.10 jsme naˇsli Fourier˚ uv obraz F[e−t ] = π e− 4 , takˇze 1 √ − u22 2 F[e−(at) ] = π e 4a . a

2.3 Dokaˇzte, ˇze plat´ı : Jestliˇze F[f (t)] = F (u) , potom F[f (−t)] = F (−u) . ˇ sen´ı : Reˇ

Funkce f (−t) mus´ı b´ yt zˇrejmˇe tak´e zobraziteln´a funkce. V definiˇcn´ım integr´alu provedeme substituci −t = τ, −dt = dτ , takˇze dostaneme F[f (−t)] =

+∞

Z

f (−t) e

−∞

=

−iut

Z

+∞

−∞

dt =

Z

−∞

f (τ ) e−i(−u)τ (−dτ ) =

+∞

f (τ ) e−i(−u)τ dτ = F (−u) .

20

Integr´aln´ı transformace

2.4 Dokaˇzte, ˇze Fourierov´ ym obrazem sud´e funkce je sud´a funkce a Fourierov´ ym obrazem lich´e funkce je lich´a funkce. N´ avod : Tvrzen´ı je pˇr´ım´ ym d˚ usledkem pˇredch´azej´ıc´ıho v´ ysledku a definice sud´e a lich´e funkce.

Ovˇeˇrte toto tvrzen´ı pro funkce f3 (t), f4 (t), g3 (t), g4 (t), h3 (t), h4 (t), k3 (t), k4 (t) z kapitoly 1. 2.5 Dokaˇzte, ˇze pro a ∈ R plat´ı : Jestliˇze F[f (t)] = F (u) , potom F[eiat f (t)] = F (u − a) . ˇ sen´ı : Reˇ

V tˇechto pˇr´ıpadech zobrazujeme komplexn´ı funkci re´aln´e promˇenn´e. Dirichletovy podm´ınky pro re´alnou ˇc´ast ( f (t) cos at ) a tak´e pro imagin´arn´ı ˇc´ast ( f (t) sin at ) funkce eiat f (t) jsou splnˇeny a vzhledem k podm´ınce |eiat | = 1 se nem˚ uˇze zmˇenit absolutn´ı konvergence integr´alu. Fourier˚ uv obraz funkce eiat f (t) tedy existuje a vypoˇc´ıt´a se podle definice F[eiat f (t)] =

Z

+∞

−∞

f (t) eiat e−iut dt =

Z

+∞

f (t) e−i(u−a)t dt = F (u − a).

−∞

2.6 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdˇete Fourier˚ uv obraz  0  

p1 (t) =  

1 2 −at

e

pro t < 0 pro t = 0 (cos bt + i sin bt) pro t > 0

ˇ sen´ı : Pro t > 0 m˚ Reˇ uˇzeme zapsat funkci p1 (t) v exponenci´aln´ım

1 , a + iu 1 dostaneme podle vlastnosti z pˇr. 2.5 F[p1 (t)] = F[eibt f2 (t)] = . a + i(u − b)

tvaru p1 (t) = eibt e−at . Protoˇze podle pˇr. 1.11 je F[f1 (t)] =

2.Vlastnosti Fourierovy transformace

21

2.7 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdˇete Fourier˚ uv obraz

p2 (t) =

 at ibt    e e   

1 2

0

pro t < 0 pro t = 0 pro t > 0

V´ ysledek : F[ p2 (t) ] = F[eibt f1 (t)] =

1 . a − i(u − b)

2.8 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdˇete Fourier˚ uv obraz  0  

p3 (t) =  

1 2 −at

e

pro t < 0 pro t = 0 (cos bt − i sin bt) pro t > 0

ˇ sen´ı : Pro t > 0 m˚ Reˇ uˇzeme zapsat funkci p3 (t) v exponenci´aln´ım

1 , a + iu 1 dostaneme podle vlastnosti z pˇr.2.5 F[p3 (t)] = F[e−ibt f1 (t)] = . a + i(u + b) tvaru g3 (t) = e−ibt e−at . Protoˇze podle pˇr. 1.11 je F[f1 (t)] =

2.9 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdˇete Fourier˚ uv obraz  at −ibt    e e

p4 (t) =   

1 2

0

pro t < 0 pro t = 0 pro t > 0

V´ ysledek : F[ p4 (t) ] = F[ e−ibt f2 (t) ] =

1 . a − i(u + b)

2.10 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.5 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce (z pˇr.1.27) (

r1 (t) =

0 pro t ≤ 0 ∨ t ≥ π sin t pro t ∈ (0, π)

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako souˇcin funkce sin t a

funkce h1 (t) z pˇr. 1.19 ( pro a = π ).

22

Integr´aln´ı transformace

Ze znalosti obrazu F[ h1 (t) ] =

1 − e−iπu dostaneme iu

eit − e−it F[ r1 (t) ] = F[ h1 (t) sin t ] = F h1 (t) = 2i "

#

1 1 − e−iπ(u−1) 1 − e−iπ(u+1) =− − = 2 u−1 u+1 "

#

1 1 − e−iπu eiπ e−iπu e−iπ − 1 =− + = 2 u−1 u+1 "

=−

#

1 − iue−iπu sin π − e−iπu cos π 1 + e−iπu 1 + e−iπu = − = . u2 − 1 u2 − 1 1 − u2

V´ ysledek mus´ı souhlasit s v´ ysledkem pˇr. 1.27. 2.11 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.5 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce ( viz pˇr. 1.28 ) (

r2 (t) =

0 pro |t| ≥ π sin t pro |t| < π

N´ avod : Danou funkci m˚ uˇzete ch´apat jako souˇcin sin t a funkce h3 (t) z pˇr. 1.21 pro a = π . 2i sin πu . V´ ysledek : F[ r2 (t) ] = u2 − 1

2.12 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.5 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce ( viz pˇr.1. 29 ) (

s1 (t) =

0 pro |t| ≥ cos t pro |t| <

π 2 π 2

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako souˇcin funkce cos t a

funkce h3 (t) z pˇr. 1.21 ( pro a = π2 ). 2 sin π2 u Ze znalosti obrazu F[ h3 (t) ] = dostaneme u eit + e−it = F[ s1 (t) ] = F[ h3 (t) cos t ] = F h3 (t) 2 "

#

2.Vlastnosti Fourierovy transformace

23

=

sin π2 (u − 1) sin π2(u + 1) sin( π2 u − π2 ) sin( π2 u + π2 ) − = + = u−1 u+1 u−1 u+1

=

2 cos π2 u − cos π2u cos π2u π −u − 1 + u − 1 + = cos u = − . u−1 u+1 2 u2 − 1 u2 − 1

V´ ysledek mus´ı souhlasit s v´ ysledkem pˇr.1.29. 2.13 Najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce (

f (t) =

0 pro |t| ≥ π sin pro |t| < π

N´ avod : Danou funkci m˚ uˇzete ch´apat jako souˇcin funkce cos 2t

funkce h3 (t) z pˇr. 1.21 ( pro a = π ). V´ ysledek mus´ı souhlasit s v´ ysledkem pˇr. 1.30.

2.14 Najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce f (t) = e−|t| cos t . ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze podle pˇr. 1.13 ( pro a = 1 ) zn´ame obraz

F[ f3 (t) ] = F[ e−|t| ] =

2 , dostaneme 1 + u2 "

F[ f (t) ] = F[ f3 (t) cos t ] = F

=

eit + e−it f3 (t) 2

#

=

1 1 1 1 + = 2 + 2 = 2 2 1 + (u − 1) 1 + (u + 1) u − 2u + 2 u + 2u + 2

=

u2 − 2u + 2 + u2 + 2u + 2 2 (u2 + 2) = . (u2 + 2 − 2u)(u2 + 2 + 2u) u4 + 4

2.15 Najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce f (t) = e−|t| sin t . V´ ysledek :

F[ e−|t| sin t ] =

4u . + 4)

i(u4

a

24

Integr´aln´ı transformace

2.16 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdˇete Fourier˚ uv obraz f (t) =

cos bt . t2 + a2

N´ avod : Pouˇ zijte v´ ysledek pˇr. 1.6 a pˇr. 2.5. V´ ysledek : F[ f (t) ] =

1 π(e−a|u−b| + e−a|u+b| ) . F 2 cos bt = t + a2 2a 



2.17 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdˇete Fourier˚ uv obraz f (t) = "

V´ ysledek :

F

sin bt 2 t + a2

#

=

sin bt . t2 + a2

π(e−a|u−b| − e−a|u+b| ) . 2ai

2.18 Dokaˇzte, ˇze pro a ∈ R plat´ı : Jestliˇze F[f (t)] = F (u) , potom F[f (t − a)] = e−iau F (u) . ˇ sen´ı : Funkce f (t − a) znamen´ Reˇ a pouze posunut´ı a t´ım se nemo-

hou zmˇenit podm´ınky zobrazitelnosti funkce. V definiˇcn´ım integr´alu provedeme substituci t − a = τ, dt = dτ F[f (t − a)] =

Z

+∞

−iut

f (t − a) e

=e

+∞

f (τ ) e−iu(a+τ ) dτ =

−∞

−∞ −iau

dt =

Z

Z

+∞

f (τ )e−iuτ d τ = e−iau F (u) .

−∞

2.19 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.18 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce (z pˇr.1.29) (

s1 (t) =

0 pro |t| ≥ cos t pro |t| <

π 2 π 2

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako posunut´ı funkce r1 (t)

z pˇr. 2.11, protoˇze plat´ı cos t = sin(t + π2 ) . Podle pravidla z pˇr. 2.18

2.Vlastnosti Fourierovy transformace

25

dostaneme π π 1 + e−iπ F[s1 (t)] = F[r1 (t+ )] = e−i( 2 )u 2 1 − u2

π

u

=

ei 2

π

+ e−i 2 1 − u2 u

u

2 cos π2 u = . 1 − u2

2.20 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.18 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce k1 (t) z pˇr.1. 23 pomoc´ı obrazu funkce g2 (t) z pˇr. 1.16. ˇ sen´ı : Mezi funkcemi k1 (t) a g2 (t) zˇrejmˇ Reˇ e plat´ı k1 (t) = g2 (t − a)

Podle pravidla z pˇr. 2.18 dostaneme F[k1 (t)] = e−iau F[g2 (t)] = e−iau

iau + 1 − eiau iau e−iau + e−iau − 1 = . u2 u2

2.21 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.18 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce k2 (t) z pˇr.1. 24 pomoc´ı obrazu funkce g1 (t) z pˇr. 1.15. N´ avod : Zˇrejmˇ e plat´ı g1 (t) = k2 (t − a) .

2.22 Jestliˇze funkce f (t) a t f (t) jsou zobraziteln´e ve Fourierovˇe transformaci a F[f (t)] = F (u) , potom dokaˇzte, ˇze plat´ı : F[t f (t)] = i

d F (u) . du

ˇ sen´ı : Zobrazitelnost funkc´ı f (t) a t f (t) zaruˇ Reˇ cuje stejnomˇernou

konvergenci obrazu a jeho derivace. Proto m˚ uˇzeme pˇri derivov´an´ı definiˇcn´ıho integr´alu podle parametru u derivovat uvnitˇr integr´alu a d F (u) Z +∞ −it f (t) e−iut dt = −iF[t f (t)] . = dostaneme du −∞ Po vyn´asoben´ı rovnice imagin´arn´ı jednotkou i dostaneme dokazovan´ y vzorec. 2.23 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.22 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce k1 (t) z pˇr.1.23 pomoc´ı obrazu funkce h1 (t) z pˇr. 1.19. ˇ sen´ı : Pro funkce k1 (t) a h1 (t) zˇrejmˇ Reˇ e plat´ı k1 (t) = t h1 (t)

Podle pravidla z pˇr. 2.22 dostaneme d F[ k1 (t) ] = i du

1 − e−iau iu

!

=

ia e−iau u − (1 − e−iau ) . u2

26

Integr´aln´ı transformace V´ ysledek je v souladu s v´ ysledkem pˇr. 1.19.

2.24 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.22 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce k2 (t) z pˇr. 1.24 pomoc´ı obrazu funkce h2 (t) z pˇr. 1.20. N´ avod : Zˇrejmˇ e plat´ı k2 (t) = −t h2 (t) .

2.25 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.22 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce k3 (t) z pˇr.1.25 pomoc´ı obrazu funkce h4 (t) z pˇr. 1.22. N´ avod : Ovˇ eˇrte, ˇze plat´ı k3 (t) = t h4 (t) .

2.26 Najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce g(t) = t e−|t| . ˇ sen´ı : Pro funkci f3 (t) z pˇr.1.13 ( pro a = 1 ) pouˇ Reˇ zijeme pravidlo

z pˇr. 2.22, takˇze dostaneme F[ t e

−|t|

2 d ]=i du 1 + u2 



=

−4iu . (1 + u2 )2

2.27 Pro a ∈ R+ najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce g(t) = |t| e−a|t| . ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme vyj´adˇrit jako souˇcet funkce t f1 (t)

( viz pˇr. 1.11 ) a funkce −t f2 (t) ( viz pˇr.1.12 ). Podle pravidla z pˇr. 2. 22 dostaneme

d 1 d 1 F[ |t| e ] = F[t f1 (t)]−F[t f2 (t)] = i −i = du a + iu du a − iu −i −(−i) 1 1 −i = + = =i 2 2 2 (a + iu) (a − iu( (a + iu) (a − iu)2 a2 − 2iau − u2 + a2 + 2iau − u2 2(a2 − u2 ) = = 2 . (a2 + u2 )2 (a + u2 )2 −a|t|









2.Vlastnosti Fourierovy transformace

27

2.28 Najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce f (t) = t f1 (t) ( f1 (t) z pˇr. 1.11 ). F[ g(t) ] = F[ t f1 (t) ] =

V´ ysledek :

1 . (a + iu)2

2.29 Najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce g(t) = t f4 (t) ( f4 (t) z pˇr. 1.14 ). F[ g(t) ] = F[ t f4 (t) ] =

V´ ysledek :

−2(a2 − u2 ) . (a2 + u2 )2

Pozn´ amka : Vˇsimnˇ ete si, ˇze plat´ı rovnost |t| f3 (t) = −t f4 (t) .

2.30 Jestliˇze a) funkce f (t) je spojit´a v R, b) funkce f (t) a f 0 (t) jsou zobraziteln´e ve Fourierovˇe transformaci, c) lim f (t) = lim f (t) = t→−∞ t→+∞ 0 , potom dokaˇzte, ˇze plat´ı : F[f 0 (t)] = iu F[f (t)] . ˇ sen´ı : Definiˇ Reˇ cn´ı integr´al pro Fourier˚ uv obraz funkce f 0 (t) m˚ uˇzeme

vzhledem ke spojitosti funkce f (t) poˇc´ıtat metodou per partes, takˇze dostaneme 0

F[f (t)] =

Z

+∞

0

−iut

f (t) e

h

dt = f (t)

−∞

i+∞ e−iut −∞

+ iu

Z

+∞

f (t) e−iut dt =

−∞

= i u F[f (t)] . 2.31 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.30 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce f4 (t) z pˇr. 1.14 pomoc´ı derivace obrazu spojit´e funkce f3 (t) z pˇr. 1.13. ˇ sen´ı : Reˇ

Funkce f3 (t) splˇ nuje vˇsechny pˇredpoklady pro pouˇzit´ı pravidla z pˇr. 2.30 a zˇrejmˇe plat´ı f30 (t) = a f4 (t) . Skuteˇcnˇe podle tohoto pravidla dostaneme F[ f30 (t) ] = i u F[ f3 (t) ] = iu

a2

2a 2ui =a 2 = a F[ f4 (t) ] . 2 +u a + u2

28

Integr´aln´ı transformace

2.32 Pouˇzijte pravidlo z pˇr. 2.30 a najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce h4 (t) z pˇr.1.22 pomoc´ı derivace obrazu spojit´e funkce g3 (t) z pˇr. 1.17. N´ avod : Ovˇ eˇrte, ˇze plat´ı g30 (t) = −h4 (t) .

2.33 Najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce f (t) =

(t2

t . + a2 )2

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme dostat pomoc´ı derivace funkce

t2

1 , + a2

−2t . Podle pravidla z pˇr. 2.30 a v´ ysledku (t2 + a2 )2   −iu e−a|u| 1 1 = . pˇr. 1.6 dostaneme F[ f (t) ] = − i u F 2 2 t + a2 2a 1 d dt t2 + a2 

protoˇze



=

2.34 Najdˇete Fourier˚ uv obraz derivace funkce f2 (t) z pˇr. 1.12. ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce nen´ı spojit´a, takˇze nem˚ uˇzeme pouˇz´ıt pravidlo

z pˇr. 2.30. Definiˇcn´ı integr´al pro Fourier˚ uv obraz funkce f20 (t) mus´ıme poˇc´ıtat metodou per partes v intervalu (−∞, 0) a dostaneme F[f20 (t)]

=

Z

0

−∞

f20 (t)e−iut dt

h

= f2 (t)

= lim f2 (t) + iu F[f2 (t)] = 1 + t→0−

i0 e−iut −∞

+ iu

Z

0

−∞

f2 (t) e−iut dt =

a − iu + iu iu = (= a F[f2 (t)]) . a − iu a − iu

2.35 Najdˇete Fourier˚ uv obraz derivace funkce f1 (t) z pˇr. 1.11. N´ avod : Dan´ a funkce nen´ı spojit´a, takˇze se ned´a pouˇz´ıt pravidlo

z pˇr. 2.30, ale je tˇreba integrovat v intervalu (0, ∞) . Pro kontrolu v´ ysledku pouˇzijte toho, ˇze plat´ı f10 (t) = −a f1 (t) . 2.36 Najdˇete Fourier˚ uv obraz derivace funkce f4 (t) z pˇr. 1.14.

2.Vlastnosti Fourierovy transformace

29

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce nen´ı spojit´a, takˇze nem˚ uˇzeme pouˇz´ıt pravidlo

z pˇr. 2.30. Definiˇcn´ı integr´al pro Fourier˚ uv obraz funkce f40 (t) mus´ıme poˇc´ıtat metodou per partes nejprve v intervalu (−∞, 0) a potom v intervalu (0, ∞) . Dostaneme F[

f40 (t)

]=

Z

0

f40 (t)

−∞

h

= f4 (t) e−iut +

h

−iut

e

dt +

0

i0 −∞

f4 (t) e−iut

+∞

Z

+ iu

Z

0

f4 (t) e−iut dt +

−∞

i+∞

+ iu

0

f40 (t) e−iut dt =

+∞

Z 0

f4 (t) e−iut dt =

= lim f4 (t) + iu F[f2 (t)] − lim f4 (t) + iu F[−f1 (t)] = t→0−

t→0+

iu iu =1+ + 1− = a − iu a + iu a a 2a = + =a 2 ( = a F[ f3 (t) ] ) . a − iu a + iu a + u2

2.37 Jestliˇze F[f (t)] = F (u) a potom dokaˇzte, ˇze plat´ı : F

Z

t



f (τ ) dτ

=

0

ˇ sen´ı : Integr´ Reˇ al

Z

lim

Z

t→−∞ 0

t

f (τ ) dτ = lim

Z

t→+∞ 0

t

f (τ ) dτ = 0 ,

F (u) . iu

t

f (τ ) dτ ( jako funkce horn´ı meze ) je spoji-

0

t´a Zfunkce a splˇ nuje limitn´ı podm´ınky z pˇr. 2.30. Obraz jeho derivace d t f (τ ) dτ = f (t) je podle pˇredpokladu zn´am´a funkce. dt 0 Proto dostaneme "

#

d Zt F f (τ ) dτ = F[f (t)] = iu F dt 0

Z

t



f (τ ) dτ 0

.

30

Integr´aln´ı transformace

2.38 Pro aZ∈ R+ najdˇete Fourier˚ uv obraz funkce t

I(t) =

0

(aτ − 1)f1 (τ ) dτ podle pˇredch´azej´ıc´ıho pravidla.

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ y integr´al vzhledem k definici funkce f1 (t) z pˇr. 1.11 m´a

nenulovou hodnotu pouze pro t > 0 . Jeho hodnotu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat Z t

metodou per partes I(t) = (aτ − 1)f1 (τ ) dτ = −te−at . Je to spojit´a 0 funkce a m´a vˇsechny poˇzadovan´e vlastnosti. Podle pravidla z pˇr. 2.37 "

#

1 1 a 1 F[I(t)] = F[atf1 (t) − f1 (t)] = a − iu = − 2 iu iu (a + iu) a + iu =

1 a − a − iu 1 −iu −1 = = ( = −F[t f1 (t)] ) . iu (a + iu)2 iu (a + iu)2 (a + iu)2

Pro obraz konvolutorn´ıho souˇ cinu dvou zobraziteln´ ych funkc´ı, kter´ y Z +∞

f (τ ) g(t − τ ) dτ , plat´ı

je definov´an integr´alem f (t) ∗ g(t) =

−∞

F[f (t) ∗ g(t)] = F[f (t)] F[g(t)] .

2.39 Vypoˇc´ıtejte konvolutorn´ı souˇcin f3 (t) ∗ f3 (t) ( viz pˇr. 1.13 ) a najdˇete jeho Fourier˚ uv obraz. ˇ sen´ı : Reˇ

V´ ypoˇcet je tˇreba rozdˇelit na nˇekolik pˇr´ıpad˚ u.

Pro t > 0 dostaneme f3 (t) ∗ f3 (t) =

Z

+∞

−∞

e−a|τ | e−a|t−τ | dτ =

2.Vlastnosti Fourierovy transformace

=

Z

0

aτ −at+aτ

e e

dτ +

−∞

−aτ −at+aτ

e

e

"

dτ +

=e

" −at

+e

e−aτ eat−aτ dτ =

t

#0

e2aτ 2a

+∞

Z

0

−at

=

t

Z

31

[τ ]t0

at

+e

−∞

e−2aτ −2a

#+∞

= t

e−at e−at e−at + te−at + = + teat . 2a 2a a

Pro t < 0 dostaneme Z

f3 (t) ∗ f3 (t) = =

Z

t

+∞

e−a|τ | e−a|t−τ | dτ =

−∞

eaτ e−at+aτ dτ +

−∞

"

= e−at

Z

0

eaτ eat−aτ dτ +

+∞

e−aτ eat−aτ dτ =

0

t

e2aτ 2a

Z

#t

"

+ eat [τ ]0t + eat −∞

e−2aτ −2a

#+∞

= 0

eat eat eat at = − te + = − teat . 2a 2a a Pro t = 0 vyjde f3 (t) ∗ f3 (t) =

Z

+∞

−2a|τ |

e

dτ = 2

−∞

Z

+∞

−2aτ

e

0

e−2aτ dτ = 2 −2a

V´ ysledek m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru f3 (t) ∗ f3 (t) =



inf ty

= 0

1 . a

e−a|t| + |t| e−a|t| . a

Obrazem t´eto funkce je ( viz pˇr. 1.13 a pˇr. 2.24 ) F[ f3 (t) ∗ f3 (t) ] =

1 2a 2(a2 − u2 ) 4a2 + = . a a2 + u 2 (a2 + u2 )2 (a2 + u2 )2

Protoˇze zn´ame obraz funkce f3 (t), m˚ uˇzeme podle v´ ysledku pˇr. 1.13 snadno ovˇeˇrit platnost pravidla pro obraz konvolutorn´ıho souˇcinu 2a F[ f3 (t) ∗ f3 (t) ] = 2 a + u2 

2

=

4a2 . (a2 + u2 )2

32

Integr´aln´ı transformace

2.40 Vypoˇc´ıtejte konvolutorn´ı souˇcin f1 (t) ∗ f1 (t) ( viz pˇr. 1.11 ) a najdˇete jeho Fourier˚ uv obraz. ˇ sen´ı : Reˇ

V tomto pˇr´ıpadˇe se v´ ypoˇcet podstatnˇe zjednoduˇs´ı. Plat´ı : f1 (τ ) = 0 pro τ < 0 a f (t − τ ) = 0 pro τ > t . Takˇze definiˇcn´ı integr´al m´a nenulovou hodnotu pouze pro t > 0 a dostaneme f1 (t) ∗ f1 (t) =

Z

t

−aτ −at+aτ

e

e

0

−at

dτ = e

Z 0

t

dτ = t e−at ( = t f1 (t) ) .

Obraz t´eto funkce mˇ nˇceme vypoˇc´ıtat podle pravidla z pˇr. 2.22 F[ f1 (t) ∗ f1 (t) ] = i

d F[f1 (t)] −i 1 =i = . 2 du (a + iu) (a + iu)2

Stejn´ y v´ ysledek dostaneme podle pravidla pro obraz konvolutorn´ıho souˇcinu F[ f1 (t) ∗ f1 (t) ] = F[ f1 (t) ] F[ f1 (t) ] =

1 1 . a + iu a + iu

3.Pouˇzit´ı Fourierovy transformace

33

3. Pouˇ zit´ı Fourierovy transformace Dohoda o oznaˇcen´ı : V t´eto kapitole budeme oznaˇcovat promˇennou v zobrazovan´e funkci p´ısmenem x , protoˇze v aplikac´ıch ˇcasto znamen´a polohovou souˇradnici. Pouˇzit´ı Fourierovy transformace pˇri ˇreˇsen´ı obyˇcejn´ ych diferenci´aln´ıch rovnic je zaloˇzeno na vlastnosti obrazu derivace, kter´a byla odvozena v pˇr. 2.30. Podle t´eto vlastnosti zobrazen´a rovnice jiˇz neobsahuje derivace a obraz hledan´e funkce m˚ uˇzeme vyj´adˇrit. Probl´emem ovˇsem je nalezen´ı origin´alu. Pˇri ˇreˇsen´ı parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic je moˇzn´e naj´ıt Fourier˚ uv obraz vzhledem k jedn´e promˇenn´e a druhou promˇennou ch´apat jako parametr. Pro obraz derivace funkce f (x, s) podle parametru s plat´ı "

#

∂F (u, s) ∂f (x, s) = . F ∂s ∂s Po zobrazen´ı parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice dostaneme obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici pro promˇennou s , kde naopak promˇennou u ch´apeme jako parametr. Bohuˇzel podm´ınky zobrazitelnosti ( pˇredpoklady vˇety na str. 5, pˇredevˇs´ım poˇzadavek absolutn´ı konvergence integr´alu ) znaˇcnˇe omezuj´ı pouˇzitelnost Fourierovy transformace.

3.1 Najdˇete origin´al k funkci F (u) =

cos 2u , a ∈ R+ . u 2 + a2

ˇ sen´ı : Reˇ

Nejprve rozloˇz´ıme racion´aln´ı lomenou funkci na parci´aln´ı zlomky a uprav´ıme 1 1 1 1 1 1 1 = − = − 2 2 u +a 2ai u − ai u + ai 2a a + iu a − ui 







.

K tˇemto jednoduch´ ym funkc´ım najdeme origin´aly na z´akladˇe zn´am´ ych obraz˚ u ( viz pˇr. 1.11 a 1.12 ) f ∗ (x) =

1 1 −a|x| [f1 (x) + f2 (x)] = e . 2a 2a

34

Integr´aln´ı transformace Dan´ y obraz je vˇsak jeˇstˇe vyn´asoben´ y funkc´ı cos 2u = 21 (e2ui + e−2ui ) , takˇze podle pˇr. 2.18 dostaneme ve v´ ysledku posunut´e funkce f (x) =

1 ( e−a|x+2| + e−a|x−2| ) . 4a

3.2 Pro a ∈ R+ , b ∈ R+ , a 6= b najdˇete origin´al k funkci 1 F (u) = 2 . 2 (u + a )(u2 + b2 ) ˇ sen´ı : Reˇ

M˚ uˇzeme vyuˇz´ıt znalost obrazu z pˇr. 1.13 a rozloˇzit dan´ y zlomek na rozd´ıl zlomk˚ u 1 1 = 2 2 2 2 2 (u + a )(u + b ) b − a2



1 1 − 2 2 2 u +a u + b2



.

K obˇema zlomk˚ um najdeme snadno podle pˇr. 1.13 origin´aly, takˇze 1 f (x) = 2 b − a2

e−a|x| e−b|x| − 2a 2b

!

.

2 u2

3.3 Pro b ∈ R+ najdˇete origin´al k funkci F (u) = e−b

.

ˇ sen´ı : M˚ Reˇ uˇzeme vyuˇz´ıt znalost obrazu z pˇr. 2.2 , kde poloˇz´ıme

b2 =

1 1 neboli a = . Plat´ı tedy 2 4a 2b 

t2

F e− 4b2



= 2b

√

2 u2

π e−b

⇒

Odtud jiˇz dostaneme v´ ysledek 2 u2

F −1 [e−b

]=

1 √

2b π

t2

e− 4b2 .

2 u2

e−b

=

2b

1 √



π

t2

F e− 4b2



.

3.Pouˇzit´ı Fourierovy transformace

35

3.4 Pomoc´ı Fourierovy transformace ˇreˇste diferenci´aln´ı rovnici y (4) + 4 a4 y = h3 (x) , a ∈ R+ , kter´a popisuje pr˚ uhyb nekoneˇcn´eho nosn´ıku na pruˇzn´em podkladˇe pˇri zat´ıˇzen´ı, kter´e je pops´ano funkc´ı h3 (x) ( viz pˇr 1.21 s hodnotou konstanty a = 1 ). Nez´avisle promˇenn´a x oznaˇcuje polohovou souˇradnici bodu a hodnota y(x) oznaˇcuje v´ ychylku v tomto bodˇe. V´ ychylka y(x) mus´ı b´ yt spojit´a i s derivacemi do 3. ˇr´adu a bl´ıˇzit se k nule pro |x| → +∞ . ˇ sen´ı : Za uveden´ Reˇ ych podm´ınek je moˇzn´e danou diferenci´aln´ı rovnici

zobrazit ve Fourierovˇe transformaci. Obraz hledan´e funkce y(x) oznaˇc´ıme F[y(x)] = Y (u) a obraz funkce h3 (x) je podle pˇr. 1.21 F[h3 (x)] =

2 sin u . u

Pro obraz derivace plat´ı podle pˇr. 2.30 F[y (4) ] = (iu)4 Y (u) = u4 Y (u) . Po zobrazen´ı dan´e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme (u4 + 4a4 ) Y (u) =

2 sin u u

⇒ Y (u) =

2 sin u . u(u4 + 4a4 )

1 na parci´aln´ı zlomky. + 4a4 ) Koˇreny jmenovatele oznaˇc´ıme u0 = 0 , u1 = a + ia , u2 = a − ia , u3 = −a + ia , u4 = −a − ia a odpov´ıdaj´ıc´ı koeficienty v rozkladu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat pomoc´ı rezidu´ı a pouˇzit´ım l’Hospitalova pravidla Nejprve rozloˇz´ıme funkci Y1 (u) =

ck = lim

u→uk

u(u4

u − uk 1 1 = lim = 4 . 4 4 4 4 u→u k 5 u + 4a u(u + 4a ) 5uk + 4a4

Dosazen´ım dostaneme 1 1 1 c0 = 4 , c1 = c2 = c3 = c4 = =− . 4 4 4a 5(−4a ) + 4a 16 a4 Pro prvn´ı zlomek najdeme origin´al podle v´ ysledku pˇr. 1.21 ( i s n´asobkem 2 sin u ) F

−1



1 2 sin u 1 = 4 h3 (x) . 4 4a u 4a 

36

Integr´aln´ı transformace Pro zb´ yvaj´ıc´ı zlomky najdeme origin´aly ( bez koeficient˚ u a bez n´asobku 2 sin u ) F

−1



1 i = F −1 = i eiax f1 (x) viz pˇr. 2.6 , u − a − ia iu − ia + a 





−i 1 = F −1 = −i eiax f2 (x) viz pˇr. 2.7 , F u − a + ia −iu + ia + a     1 i −1 −1 F =F = i e−iax f1 (x) viz pˇr. 2.8 , u + a − ia iu + ia + a     −i 1 = F −1 = −i e−iax f2 (x) viz pˇr. 2.9 . F −1 u + a + ia −iu − ia + a −1









Seˇcten´ım 1. a 3. origin´alu dostaneme i f1 (x) 2 cos ax , seˇcten´ım 2. a 4. origin´alu dostaneme −i f2 (x) 2 cos ax . −1 a funkc´ı P˚ uvodn´ı obraz je vˇsak jeˇstˇe vyn´asoben´ y konstantou 16 a4 1 2 sin u = (eiu −e−iu ) , takˇze podle pˇr. 2.18 jsou v koneˇcn´em v´ ysledku i posunut´e funkce : y(x) =

1 [2 h3 (x) − f1 (x + 1) cos a(x + 1) + f2 (x + 1) cos a(x + 1)+ 8a4 +f1 (x − 1) cos a(x − 1) − f2 (x − 1) cos a(x − 1)] .

Vzhledem k definic´ım funkc´ı f1 (x) a f2 (x) plat´ı x < −1

⇒

h3 (x) = f1 (x − 1) = f1 (x + 1) = 0 , takˇze

1 [f2 (x + 1) cos a(x + 1) − f2 (x − 1) cos a(x − 1)] ; 8a4 x>1 ⇒ h3 (x) = f2 (x − 1) = f2 (x + 1) = 0 , takˇze 1 y(x) = 4 [f1 (x − 1) cos a(x − 1) − f1 (x + 1) cos a(x + 1)] ; 8a |x| < 1 ⇒ h3 (x) = 1 ∧ f1 (x − 1) = f2 (x + 1) = 0 , takˇze 1 y(x) = 4 [2 − f1 (x + 1) cos a(x + 1) − f2 (x − 1) cos a(x − 1)]. 8a y(x) =

3.Pouˇzit´ı Fourierovy transformace

37

3.5 Pomoc´ı Fourierovy transformace ˇreˇste diferenci´aln´ı rovnici y (4) + 4 a4 y = f3 (x) , a ∈ R+ , kter´a popisuje jako v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe pr˚ uhyb nekoneˇcn´eho nosn´ıku na pruˇzn´em podkladˇe pˇri zat´ıˇzen´ı, kter´e je pops´ano funkc´ı typu f3 (x) ( viz pˇr 1.13 s dosazenou konstantou a = 1 ). ˇ sen´ı : Danou diferenci´ Reˇ aln´ı rovnici zobraz´ıme ve Fourierovˇe trans-

formaci a dostaneme podobnˇe jako v minul´em pˇr´ıkladˇe (u4 + 4a4 ) Y (u) =

u2

2 +1

⇒ Y (u) =

Nejprve rozloˇz´ıme funkci Y (u) =

(u2

(u2

2 . + 1)(u4 + 4a4 )

2 + 1)(u4 + 4a4 )

na parci´aln´ı

zlomky. Koˇreny jmenovatele oznaˇc´ıme u1 = a + ia, u2 = a − ia, u3 = −a + ia, u4 = −a − ia, u5 = i, u6 = −i a odpov´ıdaj´ıc´ı koeficienty v rozkladu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat pomoc´ı rezidu´ı a pouˇzit´ım l0 Hospitalova pravidla ck = lim

u→uk

(u2

2 2uk 2(u − uk ) = lim = . 6 4 4 5 3 4 u→u k + 1)(u + 4a ) 6 u + 4u + 8a u 6 uk + 4u4k + 8a4 u2k

Dosazen´ım dostaneme c1 =

2a(1 + i) 1+i 1 + 2a2 + i(1 − 2a2 ) = − = − , −24a6 2i − 16a4 + 8a6 2i 8a3 (1 + 2a2 i) 8a3 (1 + 4a4 )

c2 =

2a(1 − i) 1−i 1 + 2a2 − i(1 − 2a2 ) = − = − , 24a6 2i − 16a4 − 8a6 2i 8a3 (1 − 2a2 i) 8a3 (1 + 4a4 )

c3 =

2a(−1 + i) 1+i 1 + 2a2 − i(1 − 2a2 ) = = , 24a6 2i − 16a4 − 8a6 2i 8a3 (1 − 2a2 i) 8a3 (1 + 4a4 )

c4 =

−2a(1 + i) 1+i 1 + 2a2 + i(1 − 2a2 ) = = , −24a6 2i − 16a4 + 8a6 2i 8a3 (1 + 2a2 i) 8a3 (1 + 4a4 )

c5 =

2i −i = , 4 −6 + 4 − 8a 1 + 4a4

c6 =

−2i i = . 4 −6 + 4 − 8a 1 + 4a4

38

Integr´aln´ı transformace Pro prvn´ı ˇctyˇri zlomky najdeme origin´aly jako v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe a zb´ yvaj´ıc´ı dva podle v´ ysledku pˇr. 1.13 y(x) =

n 1 1 [−(1 + 2a2 ) − i(1 − 2a2 )]i eiat f1 (x)+ 8a3 1 + 4a4

+[(1 + 2a2 ) − i(1 − 2a2 )](−i) eiat f2 (x)+ +[(1 + 2a2 ) − i(1 − 2a2 )]i e−iat f1 (x)+ +[−(1 + 2a2 ) − i(1 − 2a2 )](−i) e−iat f2 (x) + 8a3 e−|x| =

o

=

n 1 1 [(1 − 2a2 ) − i(1 + 2a2 )] eiat f1 (x)+ 8a3 1 + 4a4

+[(1 − 2a2 ) + i(1 + 2a2 )] eiat f2 (x)+ +[(1 − 2a2 ) + i(1 + 2a2 )] e−iat f1 (x)+ +[(1 − 2a2 ) − i(1 + 2a2 )] e−iat f2 (x) + 8a3 e−|x|

o

.

Spojen´ım 1. a 3. ˇc´asti a 2. a 4. ˇc´asti dostaneme y(x) =

n 1 1 (1 − 2a2 ) cos ax [f1 (x) + f2 (x)]+ 3 4 4a 1 + 4a

+(1 + 2a2 ) sin ax [f1 (x) − f2 (x)] + 4a3 e−|x| 1 = 1 + 4a4

(

o

=

) i e−a|x| h 2 2 −|x| (1 − 2a ) cos ax + (1 + 2a ) sin a|x| + e . 4a3

3.6 Pomoc´ı Fourierovy transformace ˇreˇste diferenci´aln´ı rovnici y (4) + 4 a4 y = f (x) , a ∈ R+ , kter´a popisuje jako v pˇr. 3.4 pr˚ uhyb nekoneˇcn´eho nosn´ıku na pruˇzn´em podkladˇe pˇri zat´ıˇzen´ı, kter´e je pops´ano zobrazitelnou funkc´ı f (x) . ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı ve Fourierovˇ Reˇ e transformaci dostaneme

(u4 + 4a4 ) Y (u) = F (u)

⇒ Y (u) =

F (u) , F (u) = F[f (x)] . + 4a4

u4

3.Pouˇzit´ı Fourierovy transformace

39

1 na parci´aln´ı zlomky. + 4a4 Koˇreny jmenovatele oznaˇc´ıme u1 = a + ia, u2 = a − ia, u3 = −a + ia, u4 = −a − ia a odpov´ıdaj´ıc´ı koeficienty v rozkladu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat pomoc´ı rezidu´ı a pouˇzit´ım l’Hospitalova pravidla Nejprve rozloˇz´ıme funkci Y1 (u) =

ck = lim

u→uk

u4

u − uk 1 uk uk = = lim = . 4 4 4 3 u→uk 4u u + 4a 4 uk −16a4

Pro jednotliv´e zlomky vyj´adˇr´ıme origin´aly ( bez koeficient˚ u ) stejnˇe jako v pˇr. 3.4. Pro origin´al y1 (x) ( kter´ y je ˇreˇsen´ım homogenn´ı line´arn´ı rovnice ) dostaneme y1 (x) = −

1 h (1 + i)i eiax f1 (x) − (1 − i)i eiax f2 (x)+ 3 16a

+(−1 + i)i e−iax f1 (x) − (−1 − i)i e−iax f2 (x)

i

=

1 h (1 − i) eiax f1 (x) + (1 + i) eiax f2 (x)+ 16a3

=

i

+(1 + i) e−iax f1 (x) + (1 − i) e−iax f2 (x) = = =

1 [(cos ax + sin ax) f1 (x) + (cos ax − sin ax) f2 (x)] = 8a3 e−a|x| ( cos ax + sin a|x| ) . 8a3

V´ ysledn´e ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme zapsat pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu y(x) = y1 (x) ∗ f (x) = =

Z

+∞

−∞

y1 (t) f (x − t) dt =

1 Z +∞ −a|t| e (cos at + sin a|t|) f (x − t) dt . 8a3 −∞

40

Integr´aln´ı transformace

3.7 Pomoc´ı Fourierovy transformace ˇreˇste Cauchyovu u ´lohu, tj. najdˇete funkci y(t, x) , kter´a pro t ∈ (0, +∞) a x ∈ (−∞, +∞) splˇ nuje parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnici 2 ∂ 2 y(t, x) 2 ∂ y(t, x) = a , a ∈ R+ , ∂t2 ∂x2

∂y(t, x) = y2 (x) . t→0+ t→0+ ∂t ∂y Funkce y(t, x) mus´ı b´ yt spojit´a a i se svou parci´aln´ı derivac´ı zo∂x braziteln´a vzhledem k promˇenn´e x . Rovnˇeˇz funkce y1 (x) a y2 (x) mus´ı b´ yt zobraziteln´e. Kromˇe toho mus´ı b´ yt splnˇeny nˇekter´e dalˇs´ı poˇzadavky nutn´e k existenci ˇreˇsen´ı dan´e u ´lohy. ˇ sen´ı t´eto u Reˇ ´lohy napˇr´ıklad popisuje proud nebo napˇet´ı v ide´aln´ım nekoneˇcnˇe dlouh´em veden´ı. Nez´avisle promˇenn´a t oznaˇcuje ˇcas a nez´avisle promˇenn´a x je polohov´a souˇradnice ve zkouman´em m´ıstˇe. a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky lim y(t, x) = y1 (x) a lim

ˇ sen´ı : Danou diferenci´ Reˇ aln´ı rovnici zobraz´ıme ve Fourierovˇe trans-

formaci vzhledem k promˇenn´e x , kde promˇennou t budeme ch´apat jako parametr. Oznaˇc´ıme F[y(t, x)] = Y (t, u) obraz hledan´e funkce. ∂ 2 y(t, x) = −u2 Y (t, u) , dostaneme pro Protoˇze podle pˇr. 2.30 F ∂x2 obraz Y (t, u) vzhledem k promˇenn´e t obyˇcejnou homogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici 2. ˇr´adu s konstantn´ımi koeficienty ( kde u ch´apeme jako parametr ): "

#

d2 Y (t, u) + a2 u2 Y (t, u) = 0 dt2 s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami Y (0, u) = F[y1 (x)] = Y1 (u) , Y 0 (0, u) = F[y2 (x)] = Y2 (u) . Obecn´e ˇreˇsen´ı t´eto rovnice v exponenci´aln´ım tvaru je Y (t, u) = C1 eiaut + C2 e−iaut a z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek vyjde Y1 (u) = C1 + C2 ,

Y2 (u) = iau(C1 − C2 ) .

3.Pouˇzit´ı Fourierovy transformace

41

Odtud dostaneme 1 C1 = 2

"

Y2 (u) Y1 (u) + iau

#

,

"

1 C2 = 2

i 1 1 h Y (t, u) = Y1 (u) eiaut + Y1 (u) e−iaut + 2 2a

Y2 (u) Y1 (u) − iau

"

#

, #

Y2 (u) iaut Y2 (u) −iaut e − e . iu iu

Origin´al k t´eto funkci dostaneme podle vlastnost´ı v pˇr. 2.18 a 2.37 1 1 y(t, x) = [y1 (x + at) + y1 (x − at)]+ 2 2a

Z

x+at

0

f2 (ξ) dξ −

Z 0

x−at



f2 (ξ)dξ =

1 1 Z x+at [y1 (x + at) + y1 (x − at)] + f2 (ξ) dξ . 2 2a x−at Tento v´ ysledek se naz´ yv´a d’Alembert˚ uv vzorec. =

3.8 Pomoc´ı Fourierovy transformace ˇreˇste Cauchyovu u ´lohu, tj. najdˇete funkci y(t, x) , kter´a pro t ∈ (0, +∞) a x ∈ (−∞, +∞) splˇ nuje parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnici ∂ 2 y(t, x) ∂y(t, x) = a2 ( a ∈ R+ ) ∂t ∂x2 a splˇ nuje poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku lim y(t, x) = y1 (x) . t→0+

∂y Funkce y(t, x) mus´ı b´ yt spojit´a a i se svou parci´aln´ı derivac´ı ∂x zobraziteln´a vzhledem k promˇenn´e x . Rovnˇeˇz funkce y1 (x) mus´ı b´ yt zobraziteln´a. Kromˇe toho mus´ı b´ yt splnˇeny nˇekter´e dalˇs´ı poˇzadavky nutn´e k existenci ˇreˇsen´ı dan´e u ´lohy. Tato u ´loha popisuje napˇr´ıklad teplotn´ı pole nekoneˇcnˇe dlouh´e tepelnˇe izolovan´e tyˇce zanedbateln´eho pr˚ umˇeru. Nez´avisle promˇenn´a t oznaˇcuje ˇcas, nez´avisle promˇenn´a x je polohov´a souˇradnice ve zkouman´em m´ıstˇe a hodnota funkce y(t, x) znamen´a teplotu v dan´em m´ıstˇe a v dan´em ˇcase.

ˇ sen´ı : Danou diferenci´ Reˇ aln´ı rovnici zobraz´ıme ve Fourierovˇe trans-

formaci vzhledem k promˇenn´e x , kde promˇennou t budeme ch´apat

42

Integr´aln´ı transformace jako parametr. Oznaˇc´ıme "F[y(t, x)] #= Y (t, u) obraz hledan´e funkce. ∂ 2 y(t, x) Protoˇze podle pˇr. 2.30 F = −u2 Y (t, u) , dostaneme pro ∂x2 obraz Y (t, u) obyˇcejnou line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici 1. ˇr´adu vzhledem k promˇenn´e t ( s parametrem u ) d Y (t, u) = −a2 u2 Y (t, u) dt s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou Y (0, u) = F[y1 (x)] = Y1 (u) . 2 2

Snadno vypoˇc´ıt´ame ˇreˇsen´ı t´eto rovnice Y (t, u) = Y1 (u) e−a u t . Nejprve podle v´ ysledku pˇr. 3.3 ( pro b2 = a2 t ) najdeme origin´al F[e−a

2t

u2

]=

1 √

2a π t

x2

e− 4a2 t .

V´ ysledn´e ˇreˇsen´ı vyj´adˇr´ıme konvolutorn´ım souˇcinem y(t, x) =

1 √

2a π t

Z

+∞

−∞

y1 (ξ) e−

(x−ξ)2 4a2 t

dξ .

4.Laplaceova transformace

43

4. Laplaceova transformace V t´eto a v n´asleduj´ıc´ıch kapitol´ach budeme n´azvem Laplaceova transformace rozumˇet jednostrannou Laplaceovu integr´aln´ı transformaci a budeme vych´azet z urˇcit´ ych dohodnut´ ych omezen´ı pro zobrazovan´e funkce f . Definice : Funkce f re´aln´e promˇenn´e t , kter´a pro t < 0 splˇ nuje podm´ınku f (t) = 0 , se naz´ yv´a jednostrann´ a funkce. Definice : Jestliˇze jednostrann´a funkce f neroste rychleji neˇz exponenci´aln´ı funkce, tj. jestliˇze existuje x1 ∈ R a M ∈ R+ , aby pro vˇsechna t ≥ 0 platilo |f (t)| < M ex1 t , potom se funkce f naz´ yv´a funkce exponenci´ aln´ıho ˇ r´ adu. Jestliˇze existuje re´aln´e ˇc´ıslo x1 v uveden´e definici, potom poˇzadovanou podm´ınku splˇ nuje tak´e kaˇzd´e x > x1 , protoˇze pro tato x plat´ı ex1 t < ext . Jestliˇze existuje infimum mnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel x1 z pˇredch´azej´ıc´ı definice, budeme je oznaˇcovat ξ0 . Definice : Jednostrann´a funkce f re´aln´e promˇenn´e t , kter´a je exponenci´aln´ıho ˇr´adu a splˇ nuje Dirichletovy podm´ınky v libovoln´em intervalu (a, b) ( viz kap. 1, str. 5 ) se naz´ yv´a ( v t´eto sb´ırce ) zobraziteln´ a funkce v Laplaceovˇ e transformaci. Tato definice zd˚ urazˇ nuje souvislost s Fourierovou transformac´ı, ale uv´ad´ı zbyteˇcnˇe siln´e podm´ınky, takˇze se ponˇekud zuˇzuje tˇr´ıda zobraziteln´ ych funkc´ı - nebylo by tˇreba poˇzadovat splnˇen´ı 2. Dirichletovy podm´ınky. Definice : Jestliˇze funkce f je zobraziteln´a v Laplaceovˇe transformaci, potom se funkceR F komplexn´ı promˇenn´e p , definovan´a integr´alem F (p) = 0∞ f (t) e−pt dt naz´ yv´a Laplace˚ uv obraz funkce f a oznaˇcuje se L[f (t)] nebo Lf . Definici je moˇzn´e snadno zobecnit na komplexn´ı funkci re´aln´e promˇenn´e; zobrazujeme samostatnˇe re´alnou a imagin´arn´ı ˇc´ast a poˇzadovan´e podm´ınky potom mus´ı splˇ novat re´aln´a i imagin´arn´ı ˇc´ast funkce. Protoˇze pro jednostrannou funkci exponenci´aln´ıho ˇr´adu existuje aspoˇ n jedno re´aln´e ˇc´ıslo x1 , kter´e splˇ nuje podm´ınku definice, mus´ı pro nevlastn´ı

44

Integr´aln´ı transformace

integr´al definuj´ıc´ı Laplaceˇ nv obraz platit ∞

Z

| f (t) e−pt | dt =

0

Z

∞

| f (t) || e−Re p t | | e−i Im p t | dt ≤

0

≤ M

∞

Z

ex1 t e−Re p t dt = M

0

Z

∞

e(x1 −Re p)t dt .

0

Podle srovn´avac´ıho krit´eria definiˇcn´ı integr´al konverguje stejnomˇernˇe a absolutnˇe vzhledem k parametru p pro Re p ≥ x1 . Jestliˇze existuje infimum ξ0 , definiˇcn´ı integr´al konverguje stejnomˇernˇe a absolutnˇe pro Re p > ξ0 . V t´eto oblasti ( polorovinˇe ) je tedy Laplace˚ uv obraz F (p) holomorfn´ı funkce komplexn´ı promˇenn´e p a ˇc´ıslo ξ0 se naz´ yv´a u ´ seˇ cka konvergence . Jestliˇze infimum ξ0 neexistuje, je obraz F (p) holomorfn´ı funkce v cel´e Gaussovˇe rovinˇe. Pro x > ξ0 m˚ uˇzeme Laplace˚ uv obraz ch´apat tak´e jako Fourier˚ uv obraz jednostrann´e funkce f (t) e−xt , kde poloˇz´ıme x + iu = p . Jestliˇze f (t) splˇ nuje Dirichletovy podm´ınky, potom tak´e funkce f (t) e−xt splˇ nuje Dirichletovy podm´ınky. Plat´ı tedy −xt

F[f (t) e

]=

Z

∞

−xt −iut

f (t) e

0

e

dt =

Z

∞

−(x+iu)t

f (t)e

dt =

0

Z

∞

f (t)e−pt dt .

0

´ Umluva : Pro jednoduchost budeme v Laplaceovˇe transformaci vˇsechny zobrazovan´e funkce f (t) zapisovat obvykl´ ym zp˚ usobem, ale budeme je vˇzdy ch´apat jako jednostrann´e funkce, kter´e splˇ nuj´ı tˇret´ı t Dirichletovu podm´ınku. Napˇr. z´apisem funkce f (t) = e budeme rozumˇet funkci  0  

f (t) =  

1 2 t

e

pro t < 0 , pro t = 0 , pro t > 0 .

Zvl´aˇstˇe z´apisem 1(t) budeme rozumˇet funkci 1(t) =

 0   1 2

 

1

pro t < 0 , pro t = 0 , pro t > 0 .

V pˇr´ıkladech 4. 1 - 4. 14 rozhodnˇete , zda jsou dan´e funkce zobraziteln´e v Laplaceovˇe transformaci. V kladn´em pˇr´ıpadˇe vypoˇc´ıtejte podle definice jejich Laplaceovy obrazy a urˇcete jejich u ´seˇcku absolutn´ı konvergence.

4.Laplaceova transformace

45

4.1.  0  

f (t) = 1(t) =  

pro t < 0 , pro t = 0 , pro t > 0 .

1 2

1

ˇ sen´ı : Reˇ

Jednostrann´a funkce a jej´ı derivace maj´ı jedin´ y bod nespojitosti t = 0 , ve kter´em existuj´ı limity zprava a zleva. Protoˇze lim f (t) = 0 a lim f (t) = 1 , jsou splnˇeny vˇsechny Dirichletovy t→0−

t→0+

Z

+∞

Z

+∞

podm´ınky. V´ ypoˇctem se snadno zjist´ı, ˇze f (t) e−xt dt = e−xt dt 0 0 absolutnˇe konverguje pro libovoln´e x > 0, takˇze u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 0. F (p) =

Z

e−pt dt = p "

+∞

−pt

f (t)e

0

#+∞

= 0

1 . p

4.2.

f (t) =

pro t < 0 ∨ t > 1 , pro t = 0 ∨ t = 1 , pro t ∈ (0, 1) .

 0   1 2

 

1

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce splˇ nuje stejnˇe jako v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıpadˇe

Dirichletovy podm´ınky. Podm´ınka pro funkci exponenci´aln´ıho ˇr´adu je splnˇena pro libovoln´e x1 ∈ R . Laplace˚ uv obraz se redukuje na urˇcit´ y integr´al, kter´ y pro p 6= 0 snadno vypoˇc´ıt´ame F (p) =

Z

∞

−pt

f (t) e

dt =

Z

0

Pro p = 0 vyjde F (0) =

0

Z 0

1

−pt

e

1 −p 1 − e−p 0 dt = − (e − e ) = . p p

1

dt = 1 a souˇcasnˇe plat´ı lim F (p) = 1, p→0

takˇze definiˇcn´ı integr´al konverguje v cel´e Gaussovˇe rovinˇe.

4.3. f (t) = eat , kde a ∈ C .

46

Integr´aln´ı transformace ˇ sen´ı : Reˇ

Funkci ch´apeme podle u ´mluvy jako jednostrannou, takˇze m´a jedin´ y bod nespojitosti a splˇ nuje Dirichletovy podm´ınky. Je zˇrejmˇe exponenci´aln´ıho ˇr´adu ( staˇc´ı volit x1 > Re a = ξ0 ). Snadno vypoˇc´ıt´ame Z

∞

at −pt

e e

dt =

0

4.4. f (t) =

Z

∞

at−pt

e

dt =

0 1 t

Z

∞

e−(p−a)t dt =

0

1 . p−a

.

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce nen´ı zobraziteln´a, protoˇze nesplˇ nuje prvn´ı Dirich-

letovu podm´ınku (neexistuje vlastn´ı limita lim+ t→0

1 ). t

t2

4.5. f (t) = e . ˇ sen´ı : Funkce nen´ı zobraziteln´ Reˇ a, protoˇze nen´ı exponenci´aln´ıho ˇr´adu.

Muselo by existovat x1 ∈ R a M ∈ R+ , aby platilo 2

et ≤ M ex1 t = eln M +x1 t , neboli t2 ≤ ln M + x1 t . Tato nerovnost nen´ı splnˇena pro t > t1 , kde t1 je kladn´ y koˇren kvadratick´e rovnice t2 − x1 t − ln M = 0 . 4.6. f (t) = tn , kde n ∈ N . ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce i jej´ı derivace jsou spojit´e funkce. Uk´aˇzeme, ˇze

funkce f (t) = tn je exponenci´aln´ıho ˇr´adu. Pro t > 0 m´a platit tn = g(t) . ex1 t Funkce g(t) je spojit´a, g(0) = 0 a (n + 1)-n´asobn´ ym pouˇzit´ım 0 l Hospitalova pravidla dostaneme lim g(t) = 0 . Pˇritom derivace t→+∞ n 0 n−1 −x1 t n −x1 t n−1 −x1 t . g (t) = nt e − t x1 e =t e (n − tx1 ) = 0 pro t = x1 V tomto bodˇe tedy nast´av´a maximum funkce g(t) a pro libovoln´e x1 > 0 staˇc´ı volit za M tuto maxim´aln´ı hodnotu. Zˇrejmˇe u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 0 . tn ≤ M ex1 t ⇒

M≥

V´ ypoˇcet obrazu pro Re p > 0 provedeme opakovanˇe metodou per partes n

L[t ] =

Z 0

∞

"

n −pt

t e

1 dt = − tn e−pt p

#∞ 0

n Z ∞ n−1 −pt n + t e dt = L[tn−1 ] . p 0 p

4.Laplaceova transformace

47

n! . pn

Odtud L[tn ] =

Jestliˇze funkce f1 (t) a f2 (t) jsou zobraziteln´e v Laplaceovˇe transformaci, potom pro libovoln´e c1 ∈ C , c2 ∈ C plat´ı L [ c1 f1 (t) + c2 f2 (t) ] = ˇ ık´ame, ˇze Laplaceova transformace je line´arn´ı. = c1 L[ f1 (t) ] + c2 L[ f2 (t) ] . R´ 4.7. f (t) = cos t . ˇ sen´ı : Zobrazovan´ Reˇ a jednostrann´a funkce spIˇ nuje vˇsechny Dirichle-

tovy podm´ınky a je exponenci´aln´ıho ˇr´adu ( M = 1, x1 > 0 ). Zˇrejmˇe u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 0 . eit + e−it najdeme podle v´ ysledku Podle vyj´adˇren´ı funkce cos t = 2 pˇr´ıkladu 4. 3 1 1 L[ cos t ] = (L[ eit ] + L[ e−it ]) = 2 2

1 1 + p−i p+i

!

=

p . p2 + 1

4.8. f (t) = sin t . V´ ysledek : Funkce je zobraziteln´ a, u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 0 a

L[ sin t ] =

1 . p2 + 1

4.9. f (t) = cos 2t . V´ ysledek : Funkce je zobraziteln´ a, u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 0 a

L[ cos 2t ] =

4.10. f (t) = sin

p2

p . +4

t 2

.

V´ ysledek : Funkce je zobraziteln´ a, u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 0 a

L[ sin

2 t ]= 2 . 2 4p + 1

48

Integr´aln´ı transformace

4.11. f (t) = cos2 t . ˇ sen´ı : Pouˇ Reˇ zijeme vyj´adˇren´ı cos2 t = 12 (1+cos 2t) . Podle pˇredch´azej´ıc´ıch

pˇr´ıklad˚ u jsou obˇe funkce zobraziteln´e a u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 0 . 1 1 L[ cos t ] = (L[ 1(t) ] + L[ cos 2t ]) = 2 2 2

1 p + 2 p p +4

!

=

p2 + 2 . p(p2 + 4)

4.12. f (t) = sin2 t . V´ ysledek : Funkce je zobraziteln´ a, u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 0 a

L[ sin2 t ] =

2 . p(p2 + 4)

4.13. f (t) = sinh t . ˇ sen´ı : Pouˇ Reˇ zijeme vyj´adˇren´ı sinh t = 12 (et − e−t ) . Obˇe exponenci´aln´ı

funkce splˇ nuj´ı Dirichletovy podm´ınky a jsou exponenci´aln´ıho ˇr´adu. Zˇrejmˇe u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 1 . 1 1 L[ sinh t ] = (L[ et ] − L[ e−t ]) = 2 2

1 1 − p−1 p+1

!

=

p2

1 . −1

4.14. f (t) = cosh t . V´ ysledek : Funkce je zobraziteln´ a, u ´seˇcka konvergence je ξ0 = 1 a

L[ cosh t ] =

p2

p . −1

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

49

5. Vlastnosti Laplaceovy transformace Sloˇzitˇejˇs´ı obrazy jiˇz nebudeme urˇcovat podle definice, ale na z´akladˇe vlastnost´ı, kter´e budou v t´eto kapitole odvozeny ve formˇe u ´loh. V ostatn´ıch u ´loh´ach se potom tyto vlastnosti pouˇz´ıvaj´ı k nalezen´ı dalˇs´ıch obraz˚ u. Vzhledem k pˇr´ıbuznosti Laplaceovy a Fourierovy transformace m´a pochopitelnˇe Laplaceova i Fourierova transformace velmi podobn´e vlastnost´ı. Protoˇze vych´az´ıme z obraz˚ u funkc´ı, kter´e jsme ve 4. kapitole vypoˇc´ıtali a nalezli jsme pro nˇe u ´seˇcku konvergence, nebudeme jiˇz podm´ınky konvergence obraz˚ u zapisovat. Kromˇe toho z teorie funkc´ı komplexn´ı promˇenn´e je zn´amo, ˇze definiˇcn´ı obor kaˇzd´e funkce, kter´a je holomorfn´ı v urˇcit´e oblasti, lze rozˇsiˇrovat. Takˇze vˇsechny nalezen´e obrazy ( pokud nemaj´ı sloˇzitˇejˇs´ı singul´arn´ı body neˇz poly ) m˚ uˇzeme ch´apat jako holomorfn´ı funkce komplexn´ı promˇenn´e definovan´e v cel´e Gaussovˇe rovinˇe s v´ yjimkou tˇechto singul´arn´ıch bod˚ u.

5.1 Dokaˇzte, ˇze pro a ∈ R+ plat´ı : Jestliˇze L[f (t)] = F (p) , potom L[f (at)] =

1 F a

p a

 

.

ˇ sen´ı : V definiˇ Reˇ cn´ım integr´alu provedeme substituci at = τ ,

dt =

dτ a

, takˇze dostaneme

L[f (at)] =

Z

+∞

−pt

f (at) e

0

dt =

Z

+∞

− ap τ

f (τ ) e

0

dτ 1 = F a a

p a

 

.

V pˇr´ıkladech 5.2 - 5.8 vypoˇc´ıtejte na z´akladˇe vlastnosti z pˇr. 5.1 Laplaceovy obrazy dan´ ych funkc´ı. 5.2 f (t) = cos ωt , ω ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 4.7

L[ cos t ] =

p 2 p +1

⇒

L[ cos ωt ] =

p 1 p ω = 2 .  2 ω p +1 p + ω2 ω

50

Integr´aln´ı transformace

5.3 f (t) = sinh at , a ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 4.13

L[ sinh t ] =

1 p2 − 1

⇒

L[ sinh at ] =

1 1 a = 2 .  2 a p −1 p − a2 a

5.4 f (t) = sin ωt , ω ∈ R+ . V´ ysledek : Podle v´ ysledku pˇr. 4.9 plat´ı L[ sin ωt ] =

ω . p2 + ω 2

5.5 f (t) = cosh at , a ∈ R+ . V´ ysledek : Podle v´ ysledku pˇr. 4.14 plat´ı L[ cosh at ] =

p2

p . − a2

5.6 f (t) = cos2 ωt , ω ∈ R+ . V´ ysledek : Na z´ akladˇe v´ ysledku pˇr. 4.11 dostanete

L[ cos2 ωt ] =

p2 + 2 ω 2 . p(p2 + 4 ω 2 )

5.8 f (t) = sin2 ωt , ω ∈ R+ . V´ ysledek : Na z´ akladˇe v´ ysledku pˇr. 4.12 dostanete

L[ sin2 ωt ] =

2 ω2 . p(p2 + 4 ω 2 )

5.9 Dokaˇzte, ˇze pro a ∈ C plat´ı : Jestliˇze L[f (t)] = F (p) , potom L[ eat f (t) ] = F (p − a) . ˇ sen´ı : Poˇ Reˇ c´ıt´ame Laplace˚ uv obraz podle definice

L[eat f (t)] =

Z 0

+∞

f (t) eat e−pt dt =

Z 0

+∞

f (t) e−(p−a)t dt = F (p − a) .

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

51

V pˇr´ıkladech 5.10 - 5.17 vypoˇc´ıtejte na z´akladˇe vlastnosti z pˇr. 5.9 Laplaceovy obrazy dan´ ych funkc´ı. 5.10 f (t) = e−2t cos t . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 4.7 dostaneme

L[ cos t ] =

p2

p +1

⇒

L[ e−2t cos t ] =

p+2 p+2 = 2 . 2 (p + 2) + 1 p + 4p + 5

5.11 f (t) = e3t sinh t . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 4.13 dostaneme

L[ sinh t ] =

p2

1 −1

⇒

L[ e3t sinh t ] =

1 1 = 2 . 2 (p − 3) − 1 p − 6p + 8

5.12 f (t) = e−t sin 2t . V´ ysledek : Na z´ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.4 dostanete

L[ e−t sin 2t ] =

p2

2 . + 2p + 5

5.13 f (t) = e−t cosh 2t . V´ ysledek : Na z´ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.5 dostanete

L[ e−t cosh 2t ] =

p2

p+1 . + 2p − 3

5.14 f (t) = e−at cos ωt , a ∈ C , ω ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.2 dostaneme

L[cos ωt] =

p2

p p+a p+a ⇒ L[e−at cos ωt] = = 2 . 2 2 2 +ω (p + a) + ω p + 2ap + a2 + ω 2

5.15 f (t) = eat sinh bt , a ∈ C , b ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.3 dostaneme

L[sinh bt] =

p2

b b b ⇒ L[eat sinh bt] = = 2 . 2 2 2 −b (p − a) − b p − 2ap + a2 − b2

Pozn´ amka : Ovˇ eˇrte, ˇze v´ ysledek je spr´avn´ y i pro pˇr´ıpad a = b .

52

Integr´aln´ı transformace

5.16 f (t) = e−at sin ωt , a ∈ C , ω ∈ R+ . V´ ysledek : Na z´ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.4 dostanete

L[ e−at sin ωt ] =

ω ω = . (p + a)2 + ω 2 p2 + 2ap + a2 + ω 2

5.17 f (t) = eat cosh bt , a ∈ C , b ∈ R+ . V´ ysledek : Na z´ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.5 dostanete

L[ eat cosh bt ] =

p−a p−a = . (p − a)2 − b2 p2 − 2ap + a2 − b2

5.18 Dokaˇzte, ˇze pro a ∈ R+ plat´ı : Jestliˇze L[f (t)] = F (p) , potom pro funkci g(t) = f (t − a) , kter´a pro t < a splˇ nuje podm´ınku g(t) = f (t − a) = 0 , plat´ı L[g(t)] = L[f (t − a)] = e−ap F (p) . ˇ sen´ı : V definiˇ Reˇ cn´ım integr´alu provedeme substituci t−a = τ, dt = dτ

L[ g(t) ] = L[ f (t − a) ] =

Z

+∞

f (t − a) e−pt dt =

a

=

Z 0

+∞

f (τ ) e−p(a+τ ) dτ = e−ap

Z

+∞

f (τ )e−pτ d τ = e−ap F (p) .

0

´ Umluva : Funkce g(t) = f (t − a) definovan´a v pˇr. 5.18 se obvykle naz´ yv´a zpoˇ zdˇ en´ a funkce a uveden´ y v´ ysledek se ˇcasto oznaˇcuje jako vˇ eta o translaci . V pˇr´ıkladech 5.19 - 5.29 najdˇete na z´akladˇe vlastnosti z pˇr. 5.18 Laplaceovy obrazy dan´ ych funkc´ı.

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

53

5.19 Pro a ∈ R+  0   1 2

g1 (t) =

 

1

pro t < a pro t = a pro t > a

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako zpoˇzdˇenou jednotkovou

funkci g1 (t) = 1(t − a) . Podle pravidla z pˇr. 5.18 dostaneme L[ g1 (t) ] = e−ap L[ 1(t) ] =

e−ap . p

5.20 Pro a ∈ R+ , b ∈ R+ , b > a

g(t) =

 0   1 2

 

1

pro t < a ∨ t > b pro t = a ∨ t = b pro t ∈ (a, b)

ˇ sen´ı : Reˇ

Danou funkci m˚ uˇzeme ch´apat jako rozd´ıl zpoˇzdˇen´e jednotkov´e funkce g1 (t) = 1(t − a) a zpoˇzdˇen´e jednotkov´e funkce g2 (t) = 1(t − b) . Pro hledan´ y obraz dostaneme L[g(t)] = L[g1 (t) − g2 (t)] = e−ap L[1(t)] − e−bp L[1(t)] = 5.21 Pro a ∈ R+ , E ∈ R+

g3 (t) =

 0   E 2

 

E

V´ ysledek :

pro t < 0 ∨ t > a pro t = 0 ∨ t = a pro t ∈< 0, a > L[ g3 (t) ] =

E (1 − e−ap ) . p

e−ap − e−bp . p

54

Integr´aln´ı transformace

5.22 Pro a ∈ R+ , E ∈ R+ , n ∈ N   0  

g4 (t) =   

pro t < 0 ∨ t ∈ ( (2n − 1)a, 2na ) pro t = 0 ∨ t = na pro t ∈< 2(n − 1)a, (2n − 1)a >

E 2

E

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako nekoneˇcn´ y souˇcet zpoˇzdˇen´ ych

funkc´ı g4 (t) =

+∞ X

g3 (t − 2ka) = g3 (t) + g3 (t − 2a) + g3 (t − 4a) + ... Pro

k=0

v´ ypoˇcet obrazu dostaneme jako souˇcet geometrick´e ˇrady s kvocientem q = e−2ap L[ g4 (t) ] =

+∞ X E E 1 + e−ap (1 + e−ap ) e−2ap = . p p 1 − e−2ap k=0

5.23 (

h1 (t) =

0 pro t < π sin t pro t ≥ π

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako zpoˇzdˇenou funkci h1 (t) =

= sin(t − π) . Podle v´ ysledku pˇr. 4.9 a pravidla z pˇr. 5.18 dostaneme L[ h1 (t) ] = e−πp L[ sin t ] =

e−πp . p2 + 1

5.24 (

h2 (t) =

0 pro t < 2π sin t pro t ≥ 2π

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako zpoˇzdˇenou funkci h2 (t) =

= sin(t − 2π) . Podle v´ ysledku pˇr. 4.9 a pravidla z pˇr. 5.18 dostaneme L[ h2 (t) ] = e−2πp L[ sin t ] =

e−2πp . p2 + 1

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

55

Pozn´ amka : Protoˇze pro t ∈ R plat´ı sin(t − 2π) = sin t , je tˇreba zd˚ uraznit rozd´ıl mezi obrazem zpoˇzdˇen´e funkce h2 (t) a obrazem jednostrann´e funkce sin(t − 2π) .

5.25 Pro a ∈ R+ (

h3 (t) =

0 pro t < a sin(t − a) pro t ≥ a

L[ h3 (t) ] =

V´ ysledek :

e−ap . p2 + 1

5.26 Pro a ∈ R+  0  

pro t < 0 pro t = 0 h4 (t) =   sin(t − a) pro t > 0 − sin2 a

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a funkce n e n ´ı

zpoˇzdˇen´a funkce. Podle goniometrick´eho vzorce plat´ı sin(t − a) = sin t cos a − cos t sin a , takˇze pro obraz dostaneme L[ h4 (t) ] = cos a L[sin t] − sin a L[cos t] =

cos a − p sin a . p2 + 1

5.27 (

h5 (t) =

0 pro t < 0 ∨ t > π sin t pro t ∈< 0, π >

ˇ sen´ı : Reˇ

Danou funkci m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako souˇcet jednostrann´e funkce sin t a zpoˇzdˇen´e funkce h1 (t) = sin(t − π) . Podle v´ ysledk˚ u pˇr. 4.9 a 5.21 dostaneme L[ h5 (t) ] = L[sin t] + e−πp L[sin(t)] =

1 + e−πp . p2 + 1

56

Integr´aln´ı transformace

5.28 h6 (t) = | sin t| . ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako nekoneˇcn´ y souˇcet zpoˇzdˇen´ ych

funkc´ı h6 (t) =

+∞ X

h5 (t − kπ) = h5 (t) + h5 (t − π) + h5 (t − 2π) + ... Pro

k=0

v´ ypoˇcet obrazu dostaneme jako souˇcet geometrick´e ˇrady s kvocientem q = e−πp L[ h6 (t) ] =

X 1 + e−πp +∞ 1 1 + e−πp −kπp e = . p2 + 1 k=0 p2 + 1 1 − e−πp

5.29 Pro n ∈ N (

h7 (t) =

0 pro t < 0 ∨ t ∈ ( (2n − 1)π, 2nπ ) sin t pro t ∈< 2(n − 1)π, (2n − 1)π >

N´ avod : Dan´ a funkce je nekoneˇcn´ y souˇcet zpoˇzdˇen´ ych funkc´ı h6 (t) = h5 (t) + h5 (t − 2π) + h5 (t − 4π) + ... V´ ysledek :

L[ h6 (t) ] =

1 + e−πp 1 . p2 + 1 1 − e−2πp

5.30  0   

pro t < 0 sin t pro t ∈< 0, π2 > f1 (t) =    1 pro t > π2 ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme v intervalu < 0, π > ch´apat jako

rozd´ıl jednostrann´e funkce sin t a zpoˇzdˇen´e funkci cos(t − π2 ) . K t´eto funkci je tˇreba pˇriˇc´ıst zpoˇzdˇenou jednotkovou funkci 1(t − π2 ) . Pro hledan´ y obraz tedy dostaneme L[ f1 (t) ] = L[ sin t ] − L[ cos(t − π

π π ) ] + L[ 1(t − ) ] = 2 2 π

π

1 p e− 2 p e− 2 p 1 e− 2 p = 2 − 2 + = 2 + . p +1 p +1 p p + 1 p(p2 + 1)

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

57

5.31  0  

pro t < 0 1 − cos t pro t ∈< 0, π > f2 (t) =   2 pro t > π N´ avod : Pro t > π plat´ı 1 − cos t + 1 − cos(t − π) = 2 , protoˇ ze cos(t − π) = cos t cos π + sin t sin π = − cos t . 1 + e−πp V´ ysledek : L[ f2 (t) ] = . p(p2 + 1)

5.32 Pro a ∈ R+ f3 (t) =

 0    

−t

1−e e−(t−a) − e−t

pro t < 0 pro t ∈< 0, a > pro t > a

ˇ sen´ı : Reˇ

Z definice nen´ı zˇrejm´e chov´an´ı funkce v okol´ı t = a . Protoˇze f3 (a) = 1 − e−a a = lim e−(t−a) − e−t = e0 − e−a , je funkce t→a+

f3 (t) spojit´a. Danou funkci m˚ uˇzeme ch´apat jako rozd´ıl funkce f3 (t) a zpoˇzdˇen´e funkce f3 (t − a) , protoˇze pro t > a se konstanty 1 vyruˇs´ı. Podle pravidla z pˇr. 5. 18 dostaneme L[ f3 (t) ] =

1 e−ap e−ap 1 − e−ap 1 − − + = . p p+1 p p+1 p(p + 1)

5.33 Jestliˇze L[f (t)] = F (p) , potom dokaˇzte, ˇze plat´ı : L[ t f (t) ] = −

d F (p) . dp

ˇ sen´ı : Jestliˇ Reˇ ze existuje Laplace˚ uv obraz funkce f (t) , je F (p) v

urˇcit´e oblasti holomorfn´ı funkce, takˇze m˚ uˇzeme pˇri derivov´an´ı definiˇcn´ıho integr´alu podle parametru p derivovat uvnitˇr integr´alu a dostaneme d F (p) Z ∞ = (−t) f (t) e−pt dt = −L[ t f (t) ] . dp 0

58

Integr´aln´ı transformace

V pˇr´ıkladech 5.34 - 5.56 najdˇete podle vlastnosti z pˇr. 5. 33 Laplaceovy obrazy dan´ ych funkc´ı na z´akladˇe doposud vypoˇc´ıtan´ ych obraz˚ u.

5.34

f (t) = t . ˇ sen´ı : L[ 1(t) ] = 1 Reˇ

⇒

p

5.35

2

L[ t + 2t ] = 2

1 1 + 2 3 p p

!

.

f (t) = tn , n ∈ N . V´ ysledek :

5.37

d 1 1 = 2 . dp p p

f (t) = t2 + 2t . V´ ysledek :

5.36

L[ t 1(t) ] = −

L[ tn ] =

n! . pn+1

f (t) = t eat , a ∈ R+ . ˇ sen´ı : L[ eat ] = Reˇ

1 p−a

⇒

L[ t eat ] =

1 . (p − a)2

M˚ uˇzeme postupovat tak´e podle pravidla z pˇr. 5.9 a dostaneme 1 1 L[ t ] = 2 ⇒ L[ t eat ] = . p (p − a)2 5.38

f (t) =

t . e2t

V´ ysledek :

5.39

L



1 t −2t . = L[ t e ] = e2t (p + 2)2 

f (t) = t2 eat , a ∈ R+ .

V´ ysledek :

L[ t2 eat ] =

2 . (p − a)3

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace 5.40

59

f (t) = tn eat , a ∈ R+ , n ∈ N . V´ ysledek :

L[ tn eat ] =

n! . (p − a)n+1

5.41 f (t) = t cos ωt , ω ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5. 2 dostaneme

L[ cos ωt ] =

p2

p + ω2

⇒ L[ t cos ωt ] = −

⇒

d p p2 + ω 2 − 2p2 p2 − ω 2 = − = . dp p2 + ω 2 (p2 + ω 2 )2 (p2 + ω 2 )2

5.42 f (t) = t sinh at , a ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5. 3 dostaneme

L[ sinh at ] = 5.43

⇒ L[ t sinh at ] = −

f (t) = t sin ωt , ω ∈ R+ . V´ ysledek :

5.44

a p 2 − a2

L[ t sin ωt ] =

(p2

2ωp . + ω 2 )2

f (t) = t cosh at , a ∈ R+ . V´ ysledek :

L[ t cosh at ] =

5.45 f (t) = t2 cos ωt , ω ∈ R+ .

p 2 + a2 . (p2 − a2 )2

d a 2ap = . dp p2 − a2 (p2 − a2 )2

60

Integr´aln´ı transformace ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5. 41 dostaneme

L[ t2 cos ωt ] = −

=−

d d p2 − ω 2 L[ t cos ωt ] = − = dp dp p2 + ω 2

2p(p2 + ω 2 )2 − (p2 − ω 2 )2(p2 + ω 2 )2p = (p2 + ω 2 )4

=−

2p(p2 − 3ω 2 ) 2p(p2 + ω 2 ) − 4p(p2 − ω 2 ) = . (p2 + ω 2 )3 (p2 + ω 2 )3

5.46 f (t) = t2 cosh at , a ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5. 44 dostaneme

L[ t2 cosh at ] = −

5.47

d p + 2 + a2 d L[ t cosh at ] = − = dp dp p2 − a2

=−

2p(p2 − a2 )2 − (p2 + a2 )2(p2 − a2 )2p = (p2 − a2 )4

=−

2p(p2 − a2 ) − 4p(p2 + a2 ) 2p(p2 + 3 a2 ) = . (p2 − a2 )3 (p2 − a2 )3

f (t) = t2 sin ωt , ω ∈ R+ . V´ ysledek : Na z´ akladˇe nalezen´eho v´ ysledku v pˇr. 5.43 vyjde

L[ t2 sin ωt ] =

5.48

2ω(3p2 − ω 2 ) . (p2 + ω 2 )3

f (t) = t2 sinh at , a ∈ R+ . V´ ysledek : Na z´ akladˇe nalezn´eho v´ ysledku v pˇr. 5.42 vyjde

L[ t2 sinh at ] =

2a(3p2 + a2 ) . (p2 − a2 )3

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

61

5.49 f (t) = t e−at cos ωt , a ∈ C , ω ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5. 14 vypoˇc´ıt´ame

L[ t e−at cos ωt ] = −

d p+a = dp (p + a)2 + ω 2

(p + a)2 + ω 2 − (p + a)2(p + a) (p + a)2 − ω 2 = . [(p + a)2 + ω 2 ]2 [(p + a)2 + ω 2 ]2 M˚ uˇzeme postupovat tak´e podle pravidla z pˇr. 5.9 a dostaneme =−

L[ t cos ωt ] =

(p + a)2 − ω 2 p2 − ω 2 −at ⇒ L[ t e cos ωt ] = . (p2 + ω 2 )2 [(p + a)2 + ω 2 ]2

. 5.50 f (t) = t e−at sin ωt , a ∈ C , ω ∈ R+ . V´ ysledek : Na z´ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.16 dostanete

L[ t e−at sin ωt ] =

2ω(p + a) . [(p + a)2 + ω 2 ]2

5.51 f (t) = t at , a ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe identity at = eln a ln a t

L[ t e

t

dostaneme

1 1 d = . ]=− dp p − ln a (p − ln a)2

5.52 Pro E ∈ R+ pro t < 0 ∨ t > 1 Et pro t ∈< 0, 1 > k1 (t) =    E pro t = 1 2  0   

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme vytvoˇrit pomoc´ı funkc´ı f (t) = Et a

zpoˇzdˇen´ ych funkc´ı f (t − 1) a 1(t − 1) ,a to k1 (t) = f (t) − f (t − 1) − − E 1(t − 1) . Pro hledan´ y obraz dostaneme L[k1 (t)] = L[Et] − L[E(t − 1)] − E L[ 1(t − 1)] =

E (1 − e−p − pe−p ) . p2

62

Integr´aln´ı transformace

5.53 Pro E ∈ R+ a n ∈ N (

k2 (t) =

0 pro t < 0 E(t − n + 1) pro t ∈< n − 1, n >

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme ch´apat jako nekoneˇcn´ y souˇcet zpoˇzdˇen´ ych

funkc´ı k2 (t) =

+∞ X

k1 (t − k) = k1 (t) + k1 (t − 1) + k1 (t − 2) + . . . .

k=0

Po zobrazen´ı dostaneme nekoneˇcnou ˇradu, ve kter´e pozn´ame geometrickou ˇradu s kvocientem q = e−p , jej´ıˇz souˇcet snadno najdeme. X 1 − e−p − pe−p +∞ E 1 − e−p − pe−p E E e−p −kp L[k2 (t)] = E e = = − . p2 p2 1 − e−p p2 p(1 − e−p ) k=0

5.54 Pro E ∈ R+ a n ∈ N  0      E(t − 2n + 2)   

k3 (t) =        

pro pro −E(t − 2n + 1) pro E pro 2 E −2 pro

V´ ysledek :

L[ k3 (t) ] =

t<0 t ∈ ( 2(n − 1), 2n − 1 ) t ∈ ( 2n − 1, 2n ) t = 2n − 1 t = 2n

E 1 − e−p − pe−p . p2 1 + e−p

5.55 Pro E ∈ R+ a n ∈ N  0  

pro t < 0 E(t − 2n + 2) pro t ∈ ( 2(n − 1), 2n − 1 ) k4 (t) =   E − E(t − 2n + 1) pro t ∈ ( 2n − 1, 2n )

V´ ysledek :

L[ k4 (t) ] =

E 1 − e−p . p2 1 + e−p

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

63

5.56 Pro a ∈ R+ f4 (t) =

 0   

pro t < 0 pro t ∈< 0, a1 > pro t > a1

at

   1

ˇ sen´ı : Danou funkci m˚ Reˇ uˇzeme v intervalu < 0, +∞ > ch´apat jako

rozd´ıl jednostrann´e funkce at a zpoˇzdˇen´e funkce a(t − a1 ) . p a(1 − e− a ) 1 Pro hledan´ y obraz vyjde L[ f4 (t) ] = L[at] − L[a(t − )] = . a p2 5.57 Jestliˇze funkce f (t) a f 0 (t) jsou zobraziteln´e v Laplaceovˇe transformaci ( L[f (t)] = F (p) ) a funkce f (t) je spojit´a s pˇr´ıpadnou v´ yjimkou v bodˇe t = 0 , potom dokaˇzte, ˇze plat´ı : F[f 0 (t)] = p F (p) − lim+ f (t) . t→0

ˇ sen´ı : Definiˇ Reˇ cn´ı integr´al pro Laplace˚ uv obraz funkce f 0 (t) m˚ uˇzeme

vzhledem ke spojitosti funkce f (t) v intervalu (0, +∞) poˇc´ıtat metodou per partes, takˇze dostaneme L[f 0 (t)] =

Z

+∞

h

f 0 (t) e−pt dt = f (t) e−pt

0

i+∞ 0

+p

Z

+∞

f (t) e−pt dt =

0

= − lim+ f (t) e−pt + p L[f (t)] . t→0

V pˇr. 5.58 - 5.62 najdˇete podle vlastnosti z pˇr. 5. 57 Laplaceovy obrazy derivac´ı dan´ ych funkc´ı a v´ ysledky srovnejte se zn´am´ ymi obrazy. 5.58 f (t) = cos ωt , ω ∈ R+ . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.57 dostaneme "

L

#

p d cos ωt = ( L[−ω sin ωt] = ) p 2 − lim cos ωt = dt p + ω 2 t→0+

=

p2 p2 − p2 − ω 2 −ω 2 ω − 1 = = = −ω 2 . 2 2 2 2 2 2 p +ω p +ω p +ω p + ω2

64

Integr´aln´ı transformace

5.59

f (t) = sin ωt , ω ∈ R+ .

V´ ysledek : Protoˇ ze lim sin ωt = 0 vyjde t→0+

d ωp L[ sin ωt ] = ( L[ ω cos ωt ] = ) L[ ω cos ωt ] = 2 . dt p + ω2 5.60 g(t) = eat f (t) , kde a ∈ R+ a L[f (t)] = F (p) je obraz jednostrann´e funkce f (t) . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.57 vypoˇc´ıt´ame

L[ g 0 (t) ] = p L [ g(t) ] − lim g(t) = p L [ aat f (t) ] − e0 lim f (t) = t→0+

t→0+

= p F (p − a) − lim f (t) . t→0+

Protoˇze vˇsak plat´ı pro derivaci souˇcinu g 0 (t) = a eat f (t) + eat f 0 (t) , dostaneme tak´e L[ g 0 (t) ] = a F (p − a) + (p − a) F (p − a) − lim f (t) . t→0+

5.61 g(t) = f [a(t − t0 )] , kde a ∈ R+ , t0 ∈ R+ a L[f (t)] = F (p) je obraz jednostrann´e funkce f (t) . ˇ sen´ı : Funkce g(t) je zpoˇ Reˇ zdˇen´a jednostrann´a funkce, takˇze limita

lim g(t) = g(0) = 0 a na z´akladˇe v´ ysledku pˇr. 5. 57 dostaneme

t→0+

#

"

p d f (a(t − t0 )) = p L[f (a(t−t0 ))] = p e−t0 p L[f (at)] = e−t0 p F L dt a 5.62 Pro ω ∈ R+ , ϕ ∈ R+ (

f (t) =

0 pro t < sin(ωt − ϕ) pro t ≥

V´ ysledek :

L[sin( ωt − ϕ) ] =

ϕ ω ϕ ω

p −ϕp e ω F ω



p ω

p . a

 



.

5.63 Jestliˇze L[ f (t) ] = F (p) , vyj´adˇrete obraz druh´e derivace f 00 (t) .

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

65

ˇ sen´ı : Vypoˇ Reˇ c´ıt´ame obraz derivace z prvn´ı derivace

d 0 f (t) ] = p L[ f 0 (t) ] − lim f 0 (t) = t→0+ dt

L[ f 00 (t) ] = L[ 



= p p F (p) − lim+ f (t) − lim+ f 0 (t) = p2 F (p)−p lim+ f (t) − lim+ f 0 (t) . t→0

t→0

t→0

t→0

5.64 Ovˇeˇrte pravidlo pro v´ ypoˇcet obrazu druh´e derivace na pˇr´ıkladu funkce f (t) = cos ωt . ˇ sen´ı : Podle pˇredch´ Reˇ azej´ıc´ıho pˇr´ıkladu

L[ f 00 (t) ] = p2 L[ cos ωt ] − p =

p3 − p(p2 + ω 2 ) −ω 2 p = . p2 + ω 2 p2 + ω 2

f (t) 5.65 Jestliˇze L[f (t)] = F (p) a existuje vlastn´ı limita lim , potom t→0+ t dokaˇzte, ˇze plat´ı : "

f (t) L t

#

=

+∞

Z

F (q) dq ,

p

kde holomorfn´ı funkci komplexn´ı promˇenn´e integrujeme z bodu p po jednoduch´e kˇrivce, na kter´e Rep → +∞ . f (t) ˇ sen´ı : Jestliˇ Reˇ ze funkce f (t) je zobraziteln´a, potom funkce t by nemusela splˇ novat podm´ınky zobrazitelnosti v okol´ı t = 0 . Ale f (t) poˇzadovan´a existence vlastn´ı limity lim tuto moˇznost vyluˇcuje. t→0+ t Pˇri integraci definiˇcn´ıho integr´alu podle parametru q po poˇzadovan´e kˇrivce m˚ uˇzeme zamˇenit poˇrad´ı integrace a dostaneme Z

+∞

F (q)dq =

p

=

Z

+∞

Z

0

+∞

"

f (t) e−qt −t

−qt

f (t)e

p

Z

+∞

0

#+∞

dt = p



dt dq =

Z 0

Z 0

+∞

+∞

Z

+∞

−qt



f (t)e

dq dt =

lim

e−qt = 0 .

p

f (t) −pt e dt , protoˇze t

Re q→+∞

V pˇr´ıkladech 5.66 - 5.69 najdˇete podle vlastnosti z pˇr. 5.65 Laplaceovy obrazy dan´ ych funkc´ı na z´akladˇe doposud vypoˇc´ıtan´ ych obraz˚ u. V´ ysledn´e

66

Integr´aln´ı transformace

obrazy jsou v tˇechto pˇr´ıpadech funkce, kter´e maj´ı rozvˇetvovac´ı body jako singul´arn´ı body. Obor konvergence z definiˇcn´ıho integr´alu nelze v tˇechto pˇr´ıpadech rozˇsiˇrovat.

1 − et . t

5.66 f (t) =

1 − et ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze lim = 1 , dostaneme na z´akladˇe pravidla t→0+

z pˇr. 5.65 "

L

t

Z +∞ 1 1 − et 1 = − t q q−1 p

5.67 f (t) =

#

!

dq = ln

p−1 . p

1 − cos t . t

1 − cos t ˇ sen´ı : Protoˇ = 0 , dostaneme na z´akladˇe pravidla Reˇ ze lim t→0+

z pˇr. 5.65 L

5.68 f (t) =



t

Z +∞ 1 q 1 − cos t = − 2 t q q +1 p 

!

dq =

1 p2 + 1 ln . 2 p2

1 − cos t . t2

1 1 − cos t ˇ sen´ı : Protoˇ = , dostaneme na z´akladˇe pˇredch´azej´ıc´ıho Reˇ ze lim 2

t→0+ t v´ ysledku a pravidla z pˇr. 5.65

2

1 Z +∞ q 2 + 1 1 p2 + 1 Z +∞ dq 1 − cos t L = ln dq = − p ln + = t2 2 p q2 2 p2 q2 + 1 p 

=− 5.69



1 p2 + 1 1 p2 + 1 π +∞ + [ arctg q ] = − + − arctg p . p ln p ln p 2 p2 2 p2 2

f (t) =

sin t . t

V´ ysledek :

L



sin t = arccotg p . t 

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

5.70

67

t − sin t . t2   1 t − sin t = − arccotg p . V´ ysledek : L 2 t p f (t) =

5.71 Jestliˇze L[f (t)] = F (p) , potom dokaˇzte, ˇze plat´ı : L

Z

t



f (τ ) dτ

=

0

F (p) . p

ˇ sen´ı : Pro kaˇ Reˇ zdou zobrazitelnou funkci f promˇenn´e t existuje Z t

integr´al f (τ ) dτ ( jako spojit´a funkce horn´ı meze ). Pro jeho derivaci Z0 t d plat´ı f (τ ) dτ = f (t) a obraz t´eto derivace je podle pˇredpokladu dt 0 zn´am´a funkce. Proto m˚ uˇzeme podle pravidla z pˇr. 5.57 vyj´adˇrit "

#

d Zt f (τ ) dτ = p L L[f (t)] = L dt 0

Z

t



f (τ ) dτ

.

0

Odtud jiˇz snadno dostaneme poˇzadovan´ y v´ ysledek. V pˇr. 5.72 - 5.78 vypoˇc´ıtejte podle vlastnosti z pˇr. 5.71 Laplaceovy obrazy integr´al˚ u dan´ ych funkc´ı a v´ ysledky srovnejte se zn´am´ ymi obrazy. 5.72

f (t) = t . ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.71 dostaneme

L

t

Z



τ dτ 0

1 1 = L[ t ] = 3 p p



1 = L [ t2 ] 2



.

f (t) = eat , a ∈ R+ .

5.73

ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.71 dostaneme

L

Z 0

t

1 1 1 e dτ = L[eat ] = = p p(p − a) a aτ



1 1 − p−a p

!

!

1 = L[eat − 1] . a

68

Integr´aln´ı transformace f (t) = cos ωt , ω ∈ R+ .

5.74

ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.71 dostaneme

L

Z

t



cos ωτ dτ

=

0

1 p L[ cos ωt ] = p ωp(p2 + ω 2 )

ω 1 1 = = L[ sin ωt ] 2 2 ω p +ω ω

.

f (t) = sin ωt , ω ∈ R+ .

5.76

V´ ysledek :

L

t

Z



sin ωτ dτ

=

0

1 1 p − . 2 ωp ω p + ω 2

f (t) = e−t cos t .

5.77

V´ ysledek :

L

t

Z

e−τ cos τ dτ



0



5.78

!

=

p+1 p(p2 + 2p +2)

1 = ( L[ 1(t) ] + L[ e−t sin t ] − L[ e−t cos t ] ) 2

.

f (t) = t e−t . V´ ysledek : L

Z

t

−τ



τ e dτ = 0

  1 −t −t = L[1(t)] − L[t e ] − L[e ] . p(p + 1)2

Pˇripomeˇ nme z´akladn´ı vlastnosti funkce Γ(x) ( gama ), kter´a je pro kladn´e hodnoty parametru x definov´ana nevlastn´ım integr´alem Γ(x) =

Z

+∞

tx−1 e−t dt .

0

D´a se uk´azat, ˇze pro x ∈ R+√plat´ı rovnost Γ(x + 1) = x Γ(x) a vypoˇc´ıtat hodnoty Γ(1) = 1 a Γ( 12 ) = π . Na z´akladˇe tˇechto hodnot a podle uveden´e rovnosti m˚ uˇzeme dostat nˇekter´e dalˇs´ı hodnoty :

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace

69

3 1 Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1 Γ(1) = 1 , Γ =Γ 1+ =  2  2 5 3 3 3 Γ(3) = Γ(1 + 2) = 2 Γ(2) = 2 , Γ = Γ = 2 2 2 2  





  1 1 1 √ Γ π, = 2 2 2 1 √ π , atd. 2

5.79 Dokaˇzte, ˇze pro a > −1 plat´ı : L[ ta ] =

Γ(a + 1) , Re p > 0 . pa+1

ˇ sen´ı : V definiˇ Reˇ cn´ım integr´alu

t = pτ , τ = Z

+∞

a −pτ

τ e

R +∞ 0

τ a e−pτ dτ provedeme substituci

t dt , dτ = a dostaneme p p

dτ =

Z 0

0

+∞

ta −t dt 1 Z +∞ (a+1)−1 −t Γ(a + 1) e = a+1 t e dt = . a p p p pa+1 0

Hodnotu pa+1 je tˇreba ch´apat tak, aby byla pro kladn´e re´aln´e hodnoty totoˇzn´a s obvykle definovanou funkc´ı re´aln´e promˇenn´e xa+1 . Pozn´ amka : Pro α ∈ (−1, 0) nen´ı funkce tα podle definice v t´eto sb´ırce zobraziteln´a. Protoˇze vˇsak definiˇcn´ı integr´al pro Laplace˚ uv obraz α funkce t konverguje, pˇrid´ame funkci z pˇr. 5.79 mezi obrazy. Jako obrazy dostaneme pro p 6= 0, 1, 2, 3, . . . funkce, jejichˇz singul´arn´ı body jsou rozvˇetvovac´ı body. Obor konvergence z definiˇcn´ıho integr´alu nelze v tˇechto pˇr´ıpadech rozˇsiˇrovat.

V pˇr. 5.80 - 5.84 najdˇete podle obecn´eho vzorce z pˇr. 5.79 Laplaceovy obrazy dan´ ych funkc´ı.

5.80

1+t f (t) = √ . t

70

Integr´aln´ı transformace ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe v´ ysledku pˇr. 5.79 najdeme

# √ h i Γ( 32 ) Γ( 21 ) 1 1+t π − 12 2 √ = L t +t = L + 3 = = = 1 3 (2p + 1 ) t p2 p2 2 p2 ! √ π 1 , Re p > 0 . √ 1+ p 2p "

5.81

√

f (t) = (1 + V´ ysledek :

t)2 .

√ √ 1 √ L [ (1 + t)2 ] = L [ 1 + 2 t + t ] = 2 ( p + π p + 1 ), p

Re p > 0. 5.82

√ f (t) = et t . L

V´ ysledek :

5.83

h

√ i e t =

√ f (t) = t t . L[t

V´ ysledek :

√

t

√

2(p − 1)

π √

p−1

, Re p > 1 .

√ 3 π t]= √ , Re p > 0 . 4 p2 p

5.84 Pro a ∈ R+ (

f (t) =

0 √

pro t < a pro t ≥ a

t−a

ˇ sen´ı : M´ Reˇ ame zobrazit zpoˇzdˇenou funkci

L[

√

√

t]=

2p

π √

p

⇒

L[

√

√ e−ap π t−a ]= √ . 2p p

6.Zpˇetn´a Laplaceova transformace

71

6. Zpˇ etn´ a Laplaceova transformace V t´eto kapitole se budeme zab´ yvat metodami hled´an´ı funkce, ze kter´e vznikl dan´ y Laplace˚ uv obraz. Definice : Jestliˇze funkce F je Laplace˚ uv obraz zobraziteln´e funkce f , potom se funkce f naz´ yv´a origin´ al (pˇ redmˇ et, vzor) funkce F −1 a budeme pouˇz´ıvat z´apis f = L [F ] nebo f (t) = L−1 [F (p)] . Vzhledem k tomu, ˇze jsme v 1. a 4. kapitole poˇzadovali splnˇen´ı tˇret´ı Dirichletovy podm´ınky, je v naˇsem pojet´ı origin´al k funkci F urˇcen jednoznaˇcnˇe (pokud existuje). Proto m˚ uˇzeme bezprostˇrednˇe nebo po rozloˇzen´ı na souˇcet jednoduˇsˇs´ıch obraz˚ u pouˇz´ıt k nalezen´ı origin´alu znalost obraz˚ u z´akladn´ıch funkc´ı. Existence origin´alu je pro nˇekter´e typy funkc´ı F (p) zaruˇcena. Napˇr. pro ryze lomenou racion´aln´ı funkci (a tento pˇr´ıpad je ve skuteˇcnosti velmi ˇcast´ y ) vˇzdy existuje origin´al. Obecn´ y probl´em existence origin´alu k funkci F je velmi sloˇzit´ y a nebudeme se j´ım v t´eto sb´ırce u ´loh zab´ yvat. V naˇsich formulac´ıch se mu vyhneme pˇredpokladem, ˇze funkce F je obrazem nˇejak´e funkce f . Pro nalezen´ı origin´alu f funkce F se d´a dok´azat n´asleduj´ıc´ı obecn´ y v´ ysledek. Vˇ eta : Jestliˇze F je Laplace˚ uv obraz funkce f a ξ0 jeho u ´seˇcka konvergence, potom plat´ı 1 Z x+i∞ 1 Z F (p) ept dp = F (p) ept dp , L−1 [F (p)] = f (t) = 2πi C 2πi x−i∞ kde kˇrivka C je libovoln´a pˇr´ımka Re p = x > ξ0 orientovan´a souhlasnˇe s imagin´arn´ı osou. Druh´ y tvar z´apisu n´azornˇe vyjadˇruje pr´avˇe tuto integraˇcn´ı cestu, pˇriˇcemˇz nevlastn´ı integr´al je tˇreba ch´apat ve smyslu hlavn´ı hodnoty.

Jestliˇze F (p) je Laplace˚ uv obraz funkce f (t) a tento obraz F (p) m´a

72

Integr´aln´ı transformace

v komplexn´ı rovinˇe ( v mnoˇzinˇe C ) pouze izolovan´e singul´arn´ı body (kter´ ych m˚ uˇze b´ yt i nekoneˇcn´ y poˇcet), potom je moˇzn´e poˇc´ıtat pˇredchoz´ı integr´al pomoc´ı rezidu´ı a dostaneme X 1 Z −1 L [F (p)] = f (t) = F (p) ept dt = res F (p) ept , p=p i 2πi C kde pi jsou vˇsechny singul´arn´ı body obrazu F (p) . Zvl´aˇstˇe tento v´ ysledek plat´ı pro meromorfn´ı funkce, tj. takov´e, kter´e maj´ı v mnoˇzinˇe C pouze poly. P (p) , kter´a m´a Pro zvl´aˇstn´ı pˇr´ıpad racion´aln´ı lomen´e funkce F (p) = Q(p) pouze jednoduch´e koˇreny jmenovatele ( oznaˇc´ıme je pi ), jejichˇz poˇcet n je pro racion´aln´ı lomenou funkci koneˇcn´ y, plat´ı tzv. 2. Heaviside˚ uv vzorec " −1

L

n X P (p) P (pi ) pi t = e . Q(p) i=1 Q(pi )

#

Pouˇzit´ı Heavisideova vzorce je zvl´aˇstˇe v´ yhodn´e pro re´aln´e koˇreny. Vzorec se d´a zobecnit i na v´ıcen´asobn´e koˇreny, ale t´ım se znaˇcnˇe zkomplikuje stejnˇe jako v´ ypoˇcet rezidua pro poly vyˇsˇs´ıho ˇr´adu. V pˇr´ıkladech 6. 1 - 6. 16 najdˇete origin´aly k dan´ ym funkc´ım na z´akladˇe znalosti jednoduch´ ych obraz˚ u po pˇr´ıpadn´ ych jednoduch´ ych u ´prav´ach.

6.1. F (p) =

a , a∈R. p

ˇ sen´ı : Podle pˇr. 4.1 po vytknut´ı konstanty zˇrejmˇ Reˇ e dostaneme " #

L−1

a p

6.2. F (p) =

= a 1(t) . 1 . p+2 "

ˇ sen´ı : Podle pˇr. 4.3 pro a = −2 dostaneme L−1 Reˇ

6.3. F (p) =

#

1 = e−2t . p+2

1 , a ∈ R+ . p − ln a "

ˇ sen´ı : Podle pˇr. 4.3 vyjde L−1 Reˇ

#

 t 1 = e(ln a)t = eln a = at . p − ln a

6.Zpˇetn´a Laplaceova transformace

6.4. F (p) =

73

2(p + 1) . p2 + 2

ˇ sen´ı : Obraz rozloˇ Reˇ zime na souˇ u, vyjdeme z v´ "cet dvou obaz˚ " # #ysled-

2(p + 1) p ku pˇr. 5.2 a 5.4 a dostaneme L−1 = 2 L−1 2 + 2 p + 2 p + 2 " √ # √ √ √ 2 2 −1 = 2 cos 2 t + 2 sin 2t. +√ L p2 + 2 2 6.5. F (p) =

p2

3p . +p+1

ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze jmenovatel tohoto obrazu m´a komplexn´ı koˇreny, up-

√ !2  1 2 3 rav´ıme nejdˇr´ıve jmenovatel zlomku na tvar p − + . 2 2 Podle v´ ysledk˚ u pˇ ıme, ˇze takov´ y jmenovatel maj´ı obrazy √r. 5.14 a 5.16 vid´ √ t t 3 3 t a e− 2 sin t . Proto dan´ y obraz uprav´ıme na funkc´ı e− 2 cos 2 2 souˇcet obraz˚ u tˇechto funkc´ı avzhledem k jednoznaˇcnosti m˚ uˇzeme ihned zapsat hledan´ y origin´al √ # " # " # " p + 12 3 2 3 3p −1 −1 −1 =3L − √ L = L p2 + p + 1 p2 + p + 1 2 3 p2 + p + 1 

√

− 2t

=3e

√ √ √ ! √ t 3 √ −t 3 3 3 − cos t− 3 e 2 sin t = e 2 3 cos t − 3 sin t . 2 2 2 2

6.6. F (p) =

p2

p−1 . + 2p + 2 "

V´ ysledek :

6.7. F (p) =

p2

−1

L

2p . + 2p + 5 "

V´ ysledek :

6.8. F (p) =

#

p−1 = e−t (cos t − 2 sin t) . 2 p + 2p + 2

−1

L

#

2p = e−t (2 cos 2t − sin 2t) . 2 p + 2p + 2

Mp + N , a ∈ R+ , b ∈ R+ , a2 − b2 < 0 . p2 + 2ap + b2

74

Integr´aln´ı transformace ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze jmenovatel obrazu m´a pˇri splnˇen´ı dan´e podm´ınky

komplexn´ı koˇreny, budeme postupovat stejnˇe jako v pˇredch´azej´ıc´ıch pˇr´ıkladech. Jmenovatel zlomku uprav´ ıme na tvar √ 2 2 2 2 (p + a) + b − a a oznaˇc´ıme b − a2 = ω . Potom provedeme opˇet takov´e u ´pravy, abychom mohli pouˇz´ıt v´ ysledky pˇr. 5.14 a 5.16 a zapsat hledan´e origin´aly " −1

L

"

#

#

Mp + N −1 M (p + a) + N − M a = L = p2 + 2ap + b2 (p + a)2 + b2 − a2 −at

=e



N − Ma M cos ω t − sin ω t ω



.

p . p2 + 2p + 1 ˇ sen´ı : V tomto pˇr´ıpadˇ Reˇ e m´a jmenovatel obrazu dvojn´asobn´ y koˇren, 2 2 takˇze m˚ uˇzeme zapsat p +2p+1 = (p+1) . Obraz je tˇreba zjednoduˇsit (u ´pravou nebo rozloˇzen´ım na parci´aln´ı zlomky ) a podle v´ ysledk˚ u pˇr. 4.3 a 5.37 dostaneme

6.9. F (p) =

" −1

L

#

"

#

"

#

"

#

p 1 1 −1 p + 1 − 1 −1 −1 = L = L −L = p2 + 2p + 1 (p + 1)2 p+1 (p + 1)2 = e−t − t e−t = e−t (1 − t) .

6.10. F (p) =

p2

1 . − 6p + 9 "

V´ ysledek :

6.11. F (p) =

−1

L

p . (p + 2)3 "

V´ ysledek :

6.12. F (p) =

#

1 = t e3t . 2 p − 6p + 9

−1

L

#

2 = e−2t (t − t2 ) . 3 (p + 2)

p+2 . (p − 2)3 "

V´ ysledek :

−1

L

#

p+2 = e2t (t + 2 t2 ) . (p − 2)3

6.Zpˇetn´a Laplaceova transformace

6.13. F (p) =

1 , n∈N . (p + 1)n " −1

L

V´ ysledek :

6.14. F (p) =

75

#

1 1 = e−t tn−1 ( viz pˇr. 5.40 ). n (p + 1) (n − 1)!

p3 . (p2 + 4)2

ˇ sen´ı : Jmenovatel obrazu tohoto typu se vyskytoval ve v´ Reˇ ysledku pˇr.

5.41 a 5.43. Pokus´ıme se upravit dan´ y obraz na takov´ y tvar ( v tomto pˇr´ıpadˇe se to podaˇr´ı ) a zap´ıˇseme hledan´ y origin´al " −1

L

3 p3 −1 p + 4p − 4p = L = (p2 + 4)2 (p2 + 4)2

#

" −1

=L

6.15. F (p) =

"

#

#

"

#

p 4p − L−1 = cos 2t − t sin 2t . 2 2 p + 4) (p + 22 )2

(p2

p+1 . + 2p + 5)2

ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze jmenovatel obrazu m´a komplexn´ı koˇreny, uprav´ıme 2



jmenovatel zlomku na tvar (p + 1)2 + 22 . Dan´ y obraz srovn´ame s v´ ysledkem pˇr. 5.50 a m˚ uˇzeme zapsat hledan´ y origin´al " −1

L

#

"

#

1 −1 4(p + 1) p+1 1 −t = L e sin 2 t . = 2 (p2 + 2p + 5)2 4 4 [(p + 1)2 + 22 ]

6.16. F (p) =

(p2

2p + 1 . + p + 1)2 "

V´ ysledek :

6.17. F (p) =

L−1

√ √ # t 2p + 1 3 2 3 t e− 2 sin t. = 2 2 (p + p + 1) 3 2

p2 . (p2 + 1)2

ˇ sen´ı : Na tomto pˇr´ıkladˇ Reˇ e uk´aˇzeme jeden z moˇzn´ ych postup˚ u, kter´ ym

m˚ uˇzeme tento dosti sloˇzit´ y probl´em vyˇreˇsit. Jako obrazy, ze kter´ ych by mohl vzniknout dan´ y obraz, pˇrich´azej´ı v u ´vahu obrazy funkc´ı sin t , cos t,   2p t sin t podle pˇr. 5.43 pro ω = 1 , t cos t (p2 +1)2

76

Integr´aln´ı transformace 

p2 −1 (p2 +1)2



podle pˇr. 5.41 . Z´ıskat spr´avnou kombinaci tˇechto obraz˚ u odhadem je velmi obt´ıˇzn´e, takˇze provedeme rozklad na souˇcet uveden´ ych ˇctyˇr obraz˚ u metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u. Mus´ı platit Bp 2Cp p2 A D(p2 − 1) + + = + , odtud (p2 + 1)2 p2 + 1 p2 + 1 (p2 + 1)2 (p2 + 1)2 p2 = (A + Bp)(p2 + 1) + 2Cp + D(p2 − 1) . Podm´ınky pro rovnost mnohoˇclen˚ u vedou k jednoduch´e soustavˇe line´arn´ıch y orirovnic, kter´a m´a jedin´ e ˇreˇsen´ ı A = D = 21 , B = C = 0 . Hledan´ " # 2 p 1 gin´al je tedy L−1 = (sin t + t cos t) . 2 2 (p + 1) 2 6.18. F (p) =

p3 + 16 . (p2 + 4)2

ˇ sen´ı : Jako v pˇredch´ Reˇ azej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe usuzujeme, ˇze hledan´ y obraz 

m˚ uˇze vzniknout z obraz˚ u funkc´ı sin 2t , cos 2t , t sin 2t 

2

2

4p (p2 +22 )2 

p −2 podle pˇr. 5.41 . podle pˇr. 5.43 pro ω = 2 ) , t cos 2t (p2 +22 )2 Provedeme rozklad na souˇcet uveden´ ych ˇctyˇr obraz˚ u metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u, takˇze mus´ı platit

2A Bp 4Cp D(p2 − 4) p3 + 16 = + + + , odtud (p2 + 4)2 p2 + 4 p2 + 4 (p2 + 4)2 (p2 + 4)2 p3 + 16 = (2A + Bp)(p2 + 4) + 4Cp + D(p2 − 4) . Podm´ınky pro rovnost mnohoˇclen˚ u vedou k jednoduch´e soustavˇe line´arn´ıch rovnic, kter´a"m´a jedin´e#ˇreˇsen´ı A = B = 1, C = −1, D = −2 . Origin´al p3 + 16 = sin 2t + cos 2t − t sin 2t − 2t cos 2t . je tedy L−1 (p2 + 4)2 6.19. F (p) =

(p2

1 . + 1)2 "

V´ ysledek :

−1

L

#

1 1 = (sin t − t cos t) . 2 2 (p + 1) 2

−− −− −− −− −−

6.Zpˇetn´a Laplaceova transformace

77

ap3 + bp2 + cp + d (p2 + ω 2 )2 + ( ω ∈ R ) je moˇzn´e jednoznaˇcnˇe rozloˇzit na souˇcet Laplaceov´ ych obraz˚ u funkc´ı sin ωt , cos ωt , t sin ωt , t cos ωt .

6.20. Dokaˇzte, ˇze libovoln´ y Laplace˚ uv obraz F (p) =

ˇ sen´ı : Pro rozklad dan´ Reˇ eho zlomku na souˇcet uveden´ ych ˇctyˇr zlomk˚ u

metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u dostaneme ap3 + bp2 + cp + d Aω Bp 2Cωp D(p2 − ω 2 ) = + + + . (p2 + ω 2 )2 p2 + ω 2 p2 + ω 2 (p2 + ω)2 (p2 + ω 2 )2 Z rovnosti mnohoˇclen˚ u ap3 + bp2 + cp + d = (Aω + Bp)(p2 + ω 2 ) + 2Cωp + D(p2 − ω 2 ) tj ap3 + bp2 + cp + d = Aωp2 + Aω 3 + Bp3 + Bω 2 p + 2Cωp + Dp2 − Dω 2 dostaneme soustavu line´arn´ıch rovnic B Aω +D 2 Bω +2Cω 3 Aω −Dω 2

= = = =

a b c d

Pro ω ∈ R+ je splnˇena nutn´a a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro to, aby tato soustava line´arn´ıch rovnic mˇela jedin´e ˇreˇsen´ı, tj.

0 1 0 0 ω 0 0 1 0 ω 2 2ω 0 3 ω 0 0 −ω 2

= 4 ω 4 6= 0 .

V pˇr´ıkladech 6. 21 - 6. 42 najdˇete re´aln´e vyj´adˇren´ı origin´al˚ u k racion´aln´ım ryze lomen´ ym obraz˚ um. Vyuˇzijte znalosti z´akladn´ıch typ˚ u obraz˚ u a prov´adˇejte rozklad na souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u. Tvar tˇechto zlomk˚ u nemus´ı b´ yt stejn´ y jako byl v integr´aln´ım poˇctu ( viz pˇr. 6.20 ). V´ ypoˇcet koeficient˚ u v rozkladu se d´a prov´est pomoc´ı rezidu´ı ( pro jednoduch´e re´aln´e koˇreny ) a kombinovat s ˇreˇsen´ım soustavy line´arn´ıch rovnic. Podrobn´e v´ ypoˇcty koeficient˚ u nebudou v ˇreˇsen´ı uv´adˇeny.

78

Integr´aln´ı transformace p+2 . + 2p − 3 ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze jmenovatel obrazu m´a re´aln´e koˇreny ( p1 = 1, p2 = −3 ), je vhodn´e obraz rozloˇzit na souˇcet p+2 A B 3 1 = + , kde pro rovnost vyjde A = , B = . 2 p + 2p − 3 p−1 p+3 4 4 1 Hledan´ y origin´al je tedy f (t) = (3 et + e−3t ) . 4

6.21. F (p) =

6.22. F (p) =

p2

(p + 1)(p + 2) . (p + 3)(p + 4)(p + 5)

ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze jmenovatel obrazu m´a re´aln´e koˇreny ( p1 = −3 ,

p2 = −4 , p3 = −5 ), rozloˇz´ıme obraz na souˇcet (p + 1)(p + 2) A B C = + + . (p + 3)(p + 4)(p + 5) p+3 p+4 p+5 Koeficienty vypoˇc´ıt´ame napˇr. pomoc´ı rezidu´ı : A = 1, B = −6, C = 6. Hledan´ y origin´al je tedy f (t) = e−3t − 6 e−4t + 6 e−5t . p . (p + 1)(p + 2)(p + 3) 1 V´ ysledek : f (t) = (−e−t + 4e−2t − e−3t ) . 2

6.23. F (p) =

p2 + p + 1 . (p2 − 1)(p + 2) 1 V´ ysledek : f (t) = (et − e−t + 2e−2t ) . 2 p 6.25. F (p) = 4 . p − 5p2 + 4 1 V´ ysledek : f (t) = (e2t + e−2t − et − e−t ) . 6 6.24. F (p) =

6.26. F (p) =

p2 . (p2 − 3p + 2)2

ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze jmenovatel obrazu m´a dvojn´asobn´e re´aln´e koˇreny

( p1 = 1, p2 = 2 ), rozloˇz´ıme obraz na souˇcet p2 A B C D = + + + . 2 2 2 (p − 3p + 2) p − 1 p − 2 (p − 1) (p − 2)2

6.Zpˇetn´a Laplaceova transformace

79

Koeficienty A a B m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat pomoc´ı rezidu´ı : A = 4, B = −4 . Zb´ yvaj´ıc´ı koeficienty m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat z rovnosti zlomk˚ u nebo pomoc´ı limit ( viz [ 4 ], pˇr. 10.23 ) : C = 1, D = 4 . Hledan´ y origin´al je tedy f (t) = 4 et − 4 e2t + t et + 4 t e2t . p2 + 1 . (p2 − 1)(p − 1) 1 V´ ysledek : f (t) = (et + e−t − 2 t e−t ) . 2 p 6.28. F (p) = 3 . 2 p −p −p+1 1 V´ ysledek : f (t) = (et − e−t − 2 t et ) . 4

6.27. F (p) =

6.29. F (p) =

6p . +8

p3

ˇ sen´ı : Jmenovatel zlomku rozloˇ Reˇ z´ıme podle vzorce na souˇcin p3 +8 =

= (p + 2)(p2 − 2p + 4) . Protoˇze kvadratick´ √ 2 y trojˇclen m´a komplexn´ı 2 koˇreny, uprav´ıme jej na tvar (p−1) +( 3) . Racion´aln´ı ryze lomenou funkci rozloˇz´ıme na souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u. Zlomky odpov´ıdaj´ıc´ı kvadratick´emu trojˇclenu zap´ıˇseme tak, aby odpov´ıdaly v´ ysledk˚ um pˇr. 5.14 a 5.16. Takˇze √ A B 3 C(p − 1) 3p √ √ = + + 3 2 2 p +8 p + 2 (p − 1) + ( 3) (p − 1)2 + ( 3)2 a odtud vyjde rovnost mnohoˇclen˚ u √ 3p = A(p2 − 2p + 4) + 3B(p + 2) + C(p − 1)(p + 2) . Podm´ınky pro rovnost vedou k soustavˇ √ e line´arn´ıch rovnic, kter´a m´a jedin´e ˇreˇsen´ı A = −1, C = 1, B = 3 . √ √ √ Hledan´ y origin´al je tedy f (t) = −e−2t + et ( 3 sin 3t + cos 3t ) . 6.30. F (p) =

2(3p + 1) . (p − 1)(p2 + 2p + 5)

V´ ysledek :

f (t) = et − e−t ( cos 2t + 2 sin 2t ) .

80

Integr´aln´ı transformace 2p2 + 1 . p3 − p2 + p − 1 1 V´ ysledek : f (t) = ( 3 et + cos t + sin t ) . 2

6.31. F (p) =

6.32. F (p) =

3(p + 1) . 1 − p3 f (t) = 2 (e

V´ ysledek :

6.33. F (p) =

√ − 2t

(p2

sin

3 t − et ) . 2

8p . + 2p + 1)(p2 + 2p + 5)

ˇ sen´ı : Jmenovatel zlomku rozloˇ Reˇ z´ıme na souˇcin (p +1)2 (p2 +2p + 5) .

Protoˇze druh´ y kvadratick´ y trojˇclen m´a komplexn´ı koˇreny, uprav´ıme jej 2 2 na tvar (p + 1) + 2 . Ryze lomenou racion´aln´ı funkci pak rozloˇz´ıme na souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u. A B C (p + 1) 2D 8p = + + + (p + 1)2 (p2 + 2p + 5) (p + 1)2 p + 1 (p + 1)2 + 22 (p + 1) + 22 a odtud vyjde rovnost mnohoˇclen˚ u 8p = A(p2 + 2p + 5) + B(p + 1)(p2 + 2p + 5) + C(p + 1)3 + 2D (p + 1)2 . Podm´ınky pro rovnost vedou k soustavˇe line´arn´ıch rovnic, kter´a m´a jedin´e ˇreˇsen´ı A = −2, B = 2, C = −2, D = 1 . Hledan´ y origin´al je tedy f (t) = e−t ( 2 − 2t + sin 2t − 2 cos 2t ) . 4 . −1 V´ ysledek : f (t) = et − e−t − 2 sin t .

6.34. F (p) =

6.35. F (p) =

p4

p4

V´ ysledek :

p . + 3p2 + 2 f (t) = cos t −

√

2 cos t .

6 . + 5p2 + 4 V´ ysledek : f (t) = 2 sin t − sin 2t .

6.36. F (p) =

p4

6.Zpˇetn´a Laplaceova transformace

6.37. F (p) =

1 (p2

V´ ysledek :

6.38. F (p) =

f (t) =

+ b2 )

, a ∈ R+ , b ∈ R+ , a 6= b .

1 (a sin bt − b sin at ) . − b2 )

ab(a2

p2 , a ∈ R+ , b ∈ R+ , a 6= b . (p2 + a2 )(p2 + b2 )

V´ ysledek :

6.39. F (p) =

+

a2 )(p2

81

f (t) =

(a2

1 (a sin at − b sin bt ) . − b2 )

(p + 1)2 . (p2 + p + 1)(p2 + 2p + 3)

ˇ sen´ı : Kvadratick´ Reˇ e trojˇcleny ve jmenovateli maj´ı komplexn´ı koˇreny 2  √ 2  √ a (p + 1)2 + ( 2)2 . a m˚ uˇzeme je zapsat ve tvaru p + 12 + 23 Zlomek proto m˚ uˇzeme rozloˇzit na souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u

A(p + 12 ) + B C(p + 1) + D (p + 1)2 = + 2 . (p2 + p + 1)(p2 + 2p + 3) p2 + p + 1 p + 2p + 3 Odtud vyjde rovnost mnohoˇclen˚ u     1 p2 +2p+1 = A p + + B (p2 +2p+3)+[C(p+1)+D](p2 +p+1) . 2 Podm´ınky pro rovnost vedou k soustavˇe line´arn´ıch rovnic, kter´a m´a 2 2 jedin´e ˇreˇsen´ı A = D = , B = 0, C = − . 3 3 Hledan´ y origin´al je tedy √ √ √ √ 1 3 − 2t t + 2 e−t sin 2 t − 2 e−t cos 2 t ) . f (t) = ( 2 e cos 2 3 6.40. F (p) =

2(p2 + 2p + 3) . (p2 + 2p + 5)(p2 + 4p + 5)

V´ ysledek : f (t) =

i 1 h −t e ( 2 cos 2t + sin 2t ) + e−2t ( 6 sin t − 2 cos t ) . 5

82

Integr´aln´ı transformace

6.41. F (p) =

p(p2

400 . + 2p + 5)2

ˇ sen´ı : Kvadratick´ Reˇ y trojˇclen ve jmenovateli m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru

(p + 1)2 + 22 a zlomek proto m˚ uˇzeme rozloˇzit na souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u ( viz pˇr. 6.20 ) 400 A B(p + 1) + 2C D[(p + 1)2 − 22 ] + 4E(p + 1) + 2 + = . p(p2 + 2p + 5)2 p p + 2p + 5 (p2 + 2p + 5)2 Podm´ınky pro rovnost vedou k soustavˇe line´arn´ıch rovnic, kter´a m´a jedin´e ˇreˇsen´ı A = −B = 16, C = −13, D = 10 , E = −20 . Hledan´ y origin´al je tedy f (t) = 16 + e−t ( 10 t cos 2t − 20 t sin 2t − 16 cos 2t − 13 sin 2t ) .

6.42. F (p) =

p3 (p2

V´ ysledek :

1 , ω ∈ R+ . + ω 2 )2

f (t) =

1 ( 4 cos ωt + ωt sin ωt − 4 + ω 2 t2 ) . 2 ω6

V pˇr´ıkladech 6.43 - 6.52 pouˇzijte k nalezen´ı origin´alu 2. Heaviside˚ uv vzorec a pˇritom m˚ uˇzete zhodnotit jeho efektivnost. 17p2 + 3p − 26 . p4 − 5p + 4 ˇ sen´ı : Trojˇ Reˇ clen ve jmenovateli obrazu se d´a rozloˇzit na souˇcin 2 2 (p − 1)(p − 4) , takˇze snadno dostaneme singul´arn´ı body obrazu : p1 = 1, p2 = −1, p3 = 2, p4 = −2 . Pro jednoduch´e koˇreny jmenovatele je moˇzn´e pouˇz´ıt Heaviside˚ uv vzorec a pro re´aln´e koˇreny je to tak´e v´ yhodn´e. Staˇc´ı vypoˇc´ıtat derivaci jmenovatele ( 4p3 − 10p ) a dosazovat postupnˇe do vzorce vˇsechny koˇreny. Hledan´ y origin´al je tedy f (t) = t −t 2t −2t e + 2e + 4e − 3e .

6.43. F (p) =

6.Zpˇetn´a Laplaceova transformace

6.44. F (p) =

83

2p2 + 7p + 3 . (p + 2)(p2 − 1)

V´ ysledek :

f (t) = 2et + e−t − e−2t .

p2 + p + 6 . p(p + 2)(p2 − p − 2) 1 V´ ysledek : f (t) = ( e2t + 4 e−t − 2 e−2t − 3 ) . 2 p 6.46. F (p) = . (p − 1)(p + 2)(p2 + 4p + 3) 1 ( et + 6 e−t − 16 e−2t + 9 e−3t ) . V´ ysledek : f (t) = 24

6.45. F (p) =

6.47. F (p) =

p2 − 1 . (p + 2)(p2 + 1)

ˇ sen´ı : Jmenovatel m´ Reˇ a jednoduch´e koˇreny p1 = −2, p2 = i, p3 =

−i . Dva koˇreny jsou sice imagin´arn´ı, ale daj´ı se snadno dosazovat do mnohoˇclen˚ u, takˇze v´ yhodnost pouˇzit´ı Heavisideova vzorce se jeˇstˇe zachov´av´a. Vypoˇc´ıt´ame derivaci jmenovatele ( 3p2 +4p+1 ) a dosazujeme do vzorce vˇsechny koˇreny. Koeficienty, kter´e odpov´ıdaj´ı imagin´arn´ ım   1 1 + 2i −2 = = , koˇren˚ um, je vhodn´e upravit napˇr. −2 + 4i 1 − 2i 5 1 takˇze pro origin´al vyjde f (t) = ( 3 e−2t + (1 + 2i) eit + (1 − 2i) e−it ). 5 V´ ysledek bychom ovˇsem chtˇeli m´ıt v re´aln´em tvaru, takˇze je tˇreba prov´est dalˇs´ı u ´pravy, kter´e v tomto pˇr´ıpadˇe naˇstˇest´ı nejsou pˇr´ıliˇs sloˇzit´e.  1  −2t 3e + eit + e−it + 2i( eit − e−it ) = Hledan´ y origin´al vyjde f (t) = 5 1 = ( 3 e−2t + 2 cos t − 4 sin t ) . 5 6.48. F (p) =

p2 + 2p + 2 . (p − 2)(p2 + 1)

V´ ysledek :

f (t) = 2 e2t − cos t .

6 . + 5p2 + 4 V´ ysledek : f (t) = 2 sin t − sin 2t ( viz pˇr. 6.36 ).

6.49. F (p) =

p4

84

Integr´aln´ı transformace

6.50. F (p) =

2(p2 + 2p + 3) . (p2 + 2p + 5)(p2 + 4p + 5)

ˇ sen´ı : Jmenovatel m´ Reˇ a jednoduch´e komplexn´ı koˇreny p1 = −1 + 2i,

p2 = −1 − 2i, p3 = −2 + i, p4 = −2 − i , kter´e je tˇreba dosazovat do ˇcitatele ( 2 (p2 + 2p + 3) ) a do derivace jmenovatele ( 2 (2p3 + 9p2 + + 18p + 15) ). Toto dosazov´an´ı je velmi zdlouhav´e, takˇze je vhodn´e pˇredem vypoˇc´ıtat alespoˇ n mocniny koˇren˚ u 2 p p p3 −1 + 2i −3 − 4i 11 − 2i −1 − 2i −3 + 4i 11 + 2i −2 + i 3 − 4i −2 + 11i −2 − i 3 + 4i −2 − 11i V´ ysledn´e hodnoty zlomk˚ u je tˇreba upravit a pro origin´al dostaneme e−2t e−t [ (2−i) e2it +(2+i) e−2it ]− [ (1+3i) eit +(1−3i) e−it ] . f (t) = 10 5 V´ ysledek je tˇreba d´ale upravit na re´aln´ y tvar i 1 h −t ( e ( 2 cos 2t + sin 2t ) − e−2t ( 2 cos t − 6 sin t ) . f (t) = 5 Sloˇzitost vˇsech v´ ypoˇct˚ u ukazuje, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe je pouˇzit´ı Heavisideova vzorce velmi problematick´e ( viz postup pˇri ˇreˇsen´ı pˇr. 6.40).

7.Konvolutorn´ı souˇcin

85

7. Konvolutorn´ı souˇ cin Konvolutorn´ı souˇ cin f1 (t) ∗ f2 (t) dvou jednostrann´ ych funkc´ı definujeme pro t ≥ 0 integr´alem ( stejnˇe jako v obecnˇejˇs´ım pˇr´ıpadˇe v kap.2 na str. 29 ) f1 (t) ∗ f2 (t) =

Z 0

t

f1 (τ ) f2 (t − τ ) dτ .

Rozd´ıl je pouze v tom, ˇze pro jednostrann´e funkce f1 (τ ) = 0 pro τ < 0 a souˇcasnˇe f2 (t − τ ) = 0 pro τ > t , takˇze se integruje pouze od 0 do t . Konvolutorn´ı souˇcin jako funkce horn´ı meze mus´ı b´ yt spojit´a funkce. Konvolutorn´ı souˇcin m´a podobn´e vlastnosti jako n´asoben´ı ˇc´ısel, zvl´aˇstˇe plat´ı komutativn´ı z´akon f1 (t) ∗ f2 (t) = f2 (t) ∗ f1 (t) . Pro obraz konvolutorn´ıho souˇcinu dvou zobraziteln´ ych funkc´ı plat´ı stejnˇe jako ve Fourierovˇe transformaci v kap. 2 L [ f1 (t) ∗ f2 (t) ] = L [ f1 (t) ] L [ f2 (t) ] . Jestliˇze kromˇe zobrazitelnosti obou z´akladn´ıch funkc´ı je tak´e funkce f20 (t) zobraziteln´a a funkce f2 (t) je spojit´a pro t > 0 , potom plat´ı pro obraz derivace konvolutorn´ıho souˇcinu "

L

#

d [ f1 (t) ∗ f2 (t) ] = p L [ f1 (t) ] L [ f2 (t) ] . dt

Za uveden´ ych pˇredpoklad˚ u plat´ı pro derivov´an´ı konvolutorn´ıho souˇcinu ( tj. integr´alu s parametrem t tak´e v horn´ı mezi ) podle parametru t Z t d f1 (τ ) f20 (t − τ ) dτ + f1 (t) lim f2 (t) . [ f1 (t) ∗ f2 (t) ] = t→0+ dt 0 Vzhledem ke komutativnosti konvolutorn´ıho souˇcinu m˚ uˇzeme derivaci konvolutorn´ıho souˇcinu poˇc´ıtat tak´e podle vzorce Z t d [ f1 (t) ∗ f2 (t) ] = f2 (τ ) f10 (t − τ ) dτ + f2 (t) lim f1 (t) , t→0+ dt 0 pokud poˇzadovan´e podm´ınky splˇ nuje funkce f1 (t) . Uveden´e vlastnosti umoˇzn ˇuj´ı zapsat origin´al k souˇcinu obraz˚ u a vypoˇc´ıtat jej explicitnˇe nebo pˇr´ıpadnˇe alespoˇ n numericky.

86

Integr´aln´ı transformace

V pˇr´ıkladech 7.1 - 7.10 vypoˇc´ıtejte podle definice dan´ y konvolutorn´ı souˇcin dvou jednostrann´ ych funkc´ı.

7.1

eat ∗ ebt , a 6= b . ˇ sen´ı : Podle definice mus´ıme poˇ Reˇ c´ıtat urˇcit´ y integr´al s integraˇcn´ı

promˇennou τ a s parametrem t > 0 eat ∗ ebt =

t

Z

eaτ eb(t−τ ) dτ = ebt

Z

t

e(a−b)τ dτ =

0

0

ebt (e(a−b)t−1) = a−b

eat − ebt = . Snadno se d´a zjistit, ˇze je to spojit´a funkce vˇcetnˇe t = 0 . a−b 7.2

t ∗ t. V´ ysledek :

7.3

t3 . 6

t ∗ eat , a 6= 0 . V´ ysledek :

7.4

t ∗ t=

t ∗ eat =

eat − at − 1 ( ovˇeˇrte spojitost pro t = 0 ). a2

sin t ∗ cos t . ˇ sen´ı : sin t ∗ cos t = Reˇ

Z

t

sin τ cos(t − τ ) dτ =

0

"

#t

1Z t 1 cos(2τ − t) = [ sin t + sin(2τ − t) ] dτ = τ sin t − = 2 "0 2 2 0 # 1 cos t cos(−t) 1 = t sin t − + = t sin t . 2 2 2 2 Pˇri v´ ypoˇctu integr´alu jsme pouˇzili pˇrevod souˇcinu goniometrick´ ych 1 funkc´ı na souˇcet podle vzorce sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)] . 2 7.5

sin t ∗ sin t . V´ ysledek : sin t ∗ sin t =

7.6

1 ( sin t − t cos t ) . 2

cos t ∗ cos t . V´ ysledek : cos t ∗ cos t =

1 ( sin t + t cos t ) . 2

7.Konvolutorn´ı souˇcin

87

eat ∗ sin bt .

7.7

ˇ sen´ı : eat ∗ sin bt = Reˇ

Z

t

ea(t−τ ) sin bτ dτ =

0

Z

t

eat e−aτ ) sin bτ dτ =

0

#t

e−aτ (a sin bτ + b cos bτ ) = eat e−aτ sin bτ dτ = − eat = a2 + b 2 0 0 b eat − a sin bt − b cos bt eat −at [ e (a sin bt + b cos bt − b ) ] = =− 2 a + b2 a2 + b2 ( pˇri v´ ypoˇctu integr´alu je tˇreba pouˇz´ıt dvakr´at metodu per partes ). Snadno se d´a zjistit, ˇze v´ ysledn´a funkce je spojit´a i pro t = 0 . Z

"

t

sin at ∗ cos at , a 6= 0 .

7.8

V´ ysledek :

1 ( cos 2at − 1 ) 4a

sin at ∗ cos at =

pro t = 0 ).

( ovˇeˇrte spojitost

sin at ∗ cos bt , |a| = 6 |b| .

7.9

V´ ysledek :

sin at ∗ cos bt =

a2

a ( cos at − cos bt ) − b2

( ovˇeˇrte

spojitost pro t = 0 ). 7.10

sin at ∗ sin at , |a| = 6 |b| . V´ ysledek :

sin at ∗ sin bt =

a sin bt − b sin at a2 − b 2

( ovˇeˇrte spojitost

pro t = 0 ).

7.11 Zapiˇste integr´al najdˇete jeho obraz.

t

Z

τ 2 et−τ dτ

pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu a

0

ˇ sen´ı : Pˇr´ım´ Reˇ ym srovn´ an´ım s definic´ı konvolutorn´ıho souˇcinu je vidˇet, Z t

ˇze m˚ uˇzeme zapsat

0

τ 2 et−τ dτ = t2 ∗ et a pro obraz mus´ı platit

88

Integr´aln´ı transformace Z

L

t



τ 2 et−τ dτ = L [ t2 ] ∗ L [ et ] =

0

Γ(3) 1 2 = 3 . 3 p p−1 p (p − 1)

t

Z

7.12 Zapiˇste integr´al (t − τ ) sin τ dτ pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu 0 a najdˇete jeho obraz. ˇ sen´ı : Pˇr´ım´ Reˇ ym srovn´ an´ım s definic´ı konvolutorn´ıho souˇcinu je vidˇet, Z t

(t−τ ) sin τ dτ = t ∗ sin t a pro obraz mus´ı platit  t 1 1 1 (t − τ ) sin τ dτ = L [ t ] ∗ L [ sin t ] = 2 2 = 2 2 . p p +1 p (p + 1) 0

ˇze m˚ uˇzeme zapsat

0

Z

L

7.13 Zapiˇste integr´al jeho obraz.

t

Z

τ e−τ dτ pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu a najdˇete

0

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ y integr´al m˚ uˇzeme jednoduchou u ´pravou pˇrev´est na tvar

konvolutorn´ıho souˇcinu Z

t

−τ

−t

Z

t

τ e e dτ = e

t

Z

7.14 Zapiˇste integr´al najdˇete jeho obraz. V´ ysledek :

−t

Z

t

τ et−τ dτ = e−t ( t ∗ et ) . 0 0 0 1 . Zobraz´ıme nejprve konvolutorn´ı souˇcin L[ t ∗ et ] = 2 p (p − 1) Potom pouˇzijeme pravidlo pro n´asoben´ı origin´ aln´ı funkc´ı Z at lu exponenci´  1 −τ (pˇr. 5.9), takˇze pro v´ ysledn´ y obraz vyjde L τ e dτ = . (p + 1)2 p 0 τ e dτ = e

t −τ

e−τ cos τ dτ pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu a

0

L [ e−t (et ∗ cos t)] =

7.15 Zapiˇste integr´al jeho obraz.

Z 0

t

p(p2

p+1 . + 2p + 2)

τ 2 eτ dτ pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu a najdˇete

7.Konvolutorn´ı souˇcin

V´ ysledek :

89

L [ et (t2 ∗ e−t ] = t

Z

7.16 Zapiˇste integr´al najdˇete jeho obraz.

(t − τ )

√

2 . p(p − 1)3

τ dτ pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu a

0

ˇ sen´ı : Vzhledem k definici konvolutorn´ıho souˇ Reˇ cinu dostaneme

L

Z

t

(t − τ )

√



τ dτ = L[ t ∗

0

7.17

√

t]=L[t]L[

√

t]=

√ 1 Γ( 21 ) π = 2 √ = 3√ . p p p 2p p Z

Zapiˇste integr´al

t

√

0

e2τ dτ t−τ

pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu a

najdˇete jeho obraz. "

V´ ysledek :

L

2t

e

# √ 1 π ∗ √ = √ . (p − 2) p t

7.18 Pro zobrazitelnou funkci f (t) zapiˇste integr´al konvolutorn´ıho souˇcinu a najdˇete jeho obraz.

Z

t

f (τ ) dτ pomoc´ı

0

ˇ sen´ı : Integrovanou funkci si m˚ Reˇ uˇzeme pˇredstavit vyn´asobenou jed-

notkovou funkc´ı, takˇze

Z 0

t

f (τ ) dτ =

Z

t

f (τ ) 1(t−τ ) dτ = f (t) ∗ 1(t) .

0

Po zobrazen´ı v Laplaceovˇe transformaci vyjde L[ f (t) ∗ 1(t) ] = T´ım jsme vlastnˇe znovu odvodili v´ ysledek z pˇr´ıkladu 5.71.

− − − − − − − − −−

F (p) . p

90

Integr´aln´ı transformace

V pˇr´ıkladech 7.19 - 7.27 najdˇete pomoc´ı obrazu konvolutorn´ıho souˇcinu hodnotu dan´eho integr´alu ( t > 0 ) . Z

7.19

t

(t − τ ) cos τ dτ .

0

ˇ sen´ı : Integr´ Reˇ al m´a tvar konvolutorn´ıho souˇcinu, takˇze snadno na-

jdeme jeho obraz L

Z

t



(t − τ ) cos τ dτ = L [ t ∗ cos t ] =

0

1 1 p = . p2 p2 + 1 p(p2 + 1)

Po rozkladu na parci´aln´ı zlomky snadno dostaneme poˇzadovan´ y integr´al jako origin´al k tomuto obrazu "

t

Z

−1

(t − τ ) cos τ dτ = t ∗ cos t = L

0

" # −1

=L

7.20

Z

"

#

1 = p(p2 + 1)

#

1 p − L−1 2 = 1 − cos t . p p +1

t

sin τ cos(t − τ ) dτ .

0 t

Z

sin τ cos(t − τ ) dτ = sin t ∗ cos t =

V´ ysledek : 0

" −1

=L 7.21

Z

t

(t − τ )2

√

#

p 1 = t sin t ( podle pˇr. 5.43 ) . 2 2 (p + 1) 2

τ dτ .

0

ˇ sen´ı : Integr´ Reˇ al m´a tvar konvolutorn´ıho souˇcinu a m˚ uˇzeme naj´ıt

jeho obraz ( viz pˇr. 5.79 ) √ √ Z t  √ √ 2 π π 2 2 L (t − τ ) τ dτ = L [ t ∗ t ] = 3 √ = 4√ . p 2p p p p 0

7.Konvolutorn´ı souˇcin

91

Origin´al k tomuto obrazu najdeme opˇet podle v´ ysledku pˇr. 5.79 " # √ √ 7 √ 7 Z t √ π π t2 π t2 16 3 √ 2 −1 √ (t − τ ) τ dτ = L = t t. = = 9 7531 105 Γ( 92 ) π 0 p2 2222 7.22

Z

t

(t − τ ) τ

√

τ dτ .

0

Z

t

(t − τ ) τ

V´ ysledek :

√

τ dτ =

0

7.23

Z

t

dτ q

τ (t − τ )

0

Z 0

7.24

Z

π

.

t

V´ ysledek :

4 3√ t t. 35

dτ q

τ (t − τ )

=π .

eτ sin 2τ dτ .

0

ˇ sen´ı : Vzhledem k tomu, ˇ Reˇ ze sin 2τ = sin(2π −2τ ) = sin 2(π −τ ) , je

dan´ y integr´al roven hodnotˇe konvolutorn´ıho souˇcinu et ∗sin t pro t = π . Jeho hodnotu m˚ uˇzeme naj´ıt zobrazen´ım v Laplaceovˇe transformaci L [ et ∗ sin t ] =

2 (p − 1)(p2 + 4)

a potom zpˇetn´ ym nalezen´ım origin´alu rozkladem na parci´aln´ı zlomky " −1

L

#

2 1 −1 = L (p − 1)(p2 + 4) 5 =

"

#

2 2p 1 − 2 − 2 = p−1 p +4 p +4

1 ( 2et − 2 cos 2t − sin 2t ) . 5

Po dosazen´ı t = π dostaneme hledanou hodnotu integr´alu

2 π (e − 1) . 5

92

Integr´aln´ı transformace Z

7.25

π

eτ cos τ dτ .

0 π

Z

V´ ysledek :

eτ cos τ dτ = −

0

Z

7.26

1

1 ( eπ + 1) . 2

(1 − τ )2 τ 2 dτ .

0

ˇ sen´ı : Reˇ

Dan´ y integr´al je roven hodnotˇe konvolutorn´ıho souˇcinu t ∗ t2 pro t = 1 . Jeho hodnotu m˚ uˇzeme naj´ıt zobrazen´ım a potom zpˇetn´ ym nalezen´ım origin´alu 2

" −1

L

#

2 2 1 −1 L = 3 3 p p 30

"

#

5! 1 5 t . = 6 p 30

Po dosazen´ı t = 1 dostaneme hledanou hodnotu integr´alu 1

Z

(1 − τ )2 τ 2 dτ =

0

7.27

Z

1

√

0

1 . 30

τ dτ . t−τ Z

1

V´ ysledek : 0

√

τ 4 dτ = . 3 t−τ

V pˇr´ıkladech 7.28 - 7.32 najdˇete pomoc´ı konvolutorn´ıho souˇcinu origin´al k dan´emu obrazu.

7.28

F (p) =

(p2

4 . + 4)2

ˇ sen´ı : Reˇ

Dan´ y obraz m˚ uˇzeme ch´apat jako obraz konvolutorn´ıho souˇcinu sin 2t ∗ sin 2t , takˇze pro origin´al plat´ı " −1

L

#

Z t 4 = sin 2τ sin 2(t − τ ) dτ = (p2 + 4)2 0

1Z t 1 [cos 2(2τ − t) − cos 2t] dτ = = 2 0 2



t

1 sin 2(2τ − t) − τ cos 2t 4

= 0

7.Konvolutorn´ı souˇcin

93

1 1 1 1 [ sin 2t − sin(−2t)] − t cos 2t ] = sin 2t − t cos 2t . 8 2 4 2 Pˇri v´ ypoˇctu integr´alu jsme pouˇzili pˇrevod souˇcinu goniometrick´ ych funkc´ı na souˇcet podle vzorce 1 sin α sin β = [ cos (α − β) − cos (α + β) ] . 2 =

7.29

F (p) =

p2 . (p2 + 4)2 "

V´ ysledek : L−1

7.30

F (p) =

1 1 p2 = sin 2t + t cos 2t . 2 2 (p + 4) 4 2

1 , a 6= b . (p − a)(p − b) " −1

V´ ysledek : L

7.31

F (p) =

#

1 eat − ebt = ( viz pˇr. 7.1 ). (p − a)(p − b) a−b #

p , a 6= b . (p − a)(p − b)

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ y obraz m˚ uˇzeme ch´apat jako obraz derivace konvolu-

torn´ıho souˇcinu eat ∗ ebt , takˇze pro origin´al plat´ı "

Z t p d eaτ b eb(t−τ ) dτ + eat = = ( eat ∗ ebt ) = (p − a)(p − b) dt 0

Z

t

−1

L

=b

#

e(a−b)τ ebt dτ + eat = b ebt

0

7.32

F (p) =

e(a−b)t − 1 a eat − b ebt + eat = . a−b a−b

p3 . (p2 + 1)2

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ y obraz m˚ uˇzeme ch´apat jako obraz derivace konvolu-

torn´ıho souˇcinu cos t ∗ cos t , takˇze pro origin´al plat´ı " −1

L

p3 = L−1 (p2 + 1)2 #

"

p p p 2 2 p +1 p +1

#

=

d ( cos t ∗ cos t ) = dt

94

Integr´aln´ı transformace t

1 t sin t + cos t ( viz pˇr. 7.20 ). 2 0 V´ ysledek m˚ uˇzeme srovnat s v´ ysledkem pˇr. 6.14. =−

Z

sin τ cos(t − τ ) dτ + cos t = −

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

95

8. Pouˇ zit´ı Laplaceovy transformace Z´akladn´ı myˇslenka pˇri pouˇz´ıv´an´ı Laplaceovy transformace je pomˇernˇe jednoduch´a. Dan´ y probl´em neˇreˇs´ıme v p˚ uvodn´ım tvaru, ale po zobrazen´ı v Laplaceovˇe transformaci. Pokud se podaˇr´ı naj´ıt Laplace˚ uv obraz hledan´e funkce, mus´ıme potom samozˇrejmˇe k tomuto v´ ysledku naj´ıt origin´al ( a to ˇcasto nen´ı snadn´e ). Tento postup pouˇzijeme pro diferenci´aln´ı rovnice, soustavy diferenci´aln´ıch rovnic a pro ˇreˇsen´ı nˇekter´ ych elektrick´ ych obvod˚ u. Obrazy dan´ ych funkc´ı budeme oznaˇcovat odpov´ıdaj´ıc´ımi velk´ ymi p´ısmeny. V pˇr´ıkladech 8.1 - 8.17 ˇreˇste pomoc´ı Laplaceovy transformace line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. Zamyslete se nad t´ım, jak souvis´ı tento postup v´ ypoˇctu s klasick´ ym postupem pˇri ˇreˇsen´ı line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic. Metodou Laplaceovy transformace vyjde pˇr´ımo jedin´e poˇzadovan´e ˇreˇsen´ı a nen´ı tˇreba zn´at obecnou teorii a metody ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic.

8.1

dx(t) d2 x(t) +4 + 3 x(t) = 3 e−2t ; x(0) = 1 , 2 dt dt

dx(t) dt

!

=0. 0

ˇ sen´ı : Pˇredpokl´ Reˇ ad´ame, ˇze hledan´a nezn´am´a funkce x(t) a jej´ı

derivace jsou spojit´e pro t > 0 . Jej´ı obraz oznaˇc´ıme L [x(t)] = X(p) a potom obrazy derivac´ı jsou L [x0 (t)] = p X(p) − x(0) = p X(p) − 1 ( podle pˇr. 5.57 ) a L [x00 (t)] = p2 X(p) − p x(0) − x0 (0) = p2 X(p) − p ( podle pˇr. 5.63 ). Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky ch´apeme jako limity pˇr´ısluˇsn´ ych funkc´ı pro t → 0+ . Je ovˇsem tˇreba zobrazit tak´e funkci na prav´e stranˇe rovnice. Jako obraz dan´e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme rovnici 3 p2 X(p) − p + 4 [p X(p) − 1] + 3 X(p) = p+2 a odtud najdeme obraz hledan´e funkce (p2 + 4p + 3) X(p) = X(p) =

3 p2 + 6p + 11 +p+4= , p+2 p+2

p2 + 6p + 11 . (p + 2)(p2 + 4p + 3)

96

Integr´aln´ı transformace Tento obraz byl vypoˇc´ıt´an na z´akladˇe konkr´etn´ıch poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek, takˇze vede jednoznaˇcnˇe k v´ ysledn´emu origin´alu. Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a re´aln´e koˇreny ( totoˇzn´e s koˇreny charakteristick´e rovnice pˇri klasick´em ˇreˇsen´ı ), takˇze origin´al m˚ uˇzeme naj´ıt napˇr. podle Heavisideova vzorce ( derivace jmenovatele je 3p2 + 12p + 11 ) x(t) = 3 e−t − 3 e−2t + e−3t .

8.2

x00 + 3 x0 + 2 x = 6 et , x(0) = 1, x0 (0) = 2 . V´ ysledek :

x(t) = e−t − e−2t + et .

8.3. x00 − 2 x0 − 3 x = 3 − 4 et , x(0) = 2, x0 (0) = 3 . V´ ysledek :

8.4

x(t) = e−t + e3t + et − 1 .

x00 + 2 x0 + 5 x = e2t , x(0) = 2, x0 (0) = −1 . ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme

p2 X(p) − 2p + 1 + 2 [p X(p) − 2] + 5 X(p) =

13 p−2

a odtud po u ´prav´ach dostaneme obraz hledan´e funkce (p2 + 2p + 5) X(p) =

2p2 − p + 7 13 + 2p − 1 + 4 = , p−2 p−2

2p2 − p + 7 X(p) = . (p − 2)(p2 + 2p + 5) Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a komplexn´ı koˇreny −1 + 2i , −1 − 2i , ( Tyto koˇreny jsou totoˇzn´e s koˇreny charakteristick´e rovnice pˇri klasick´em ˇreˇsen´ı a podle obecn´e teorie jim odpov´ıdaj´ı re´aln´a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı e−t cos 2t, e−t sin 2t ; takov´e funkce skuteˇcnˇe ve v´ ysledku vyjdou.) Pro hled´an´ı origin´alu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr. rozklad obrazu na parci´aln´ı zlomky 2p2 − p + 7 A B(p + 1) + 2C = + . 2 (p − 2)(p + 2p + 5) p−2 p2 + 2p + 5

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

97

Z rovnosti ˇcitatel˚ u 2p2 −p+7 = A(p2 +2p+5)+B(p+1)(p−2)+2C(p−2) dostaneme soustavu line´arn´ıch rovnic A + B = 2 , 2 A − B + 2 C = −1 , 5 A − 2 B − 4 C = 7 , kter´a m´a jedin´e ˇreˇsen´ı A = 1, B = 1, C = −1 . Hledan´ y origin´al je tedy x(t) = e2t + e−t ( cos 2t − sin 2t ) . x00 + 2 x0 + 2 x = e−t , x(0) = 2, x0 (0) = 1 .

8.5

V´ ysledek :

x00 + 4 x0 + 8 x = 1 , x(0) = 0, x0 (0) = 1 .

8.6

V´ ysledek :

x(t) =

i 1h 1 + e−2t ( 3 sin 2t − cos 2t ) . 8

x00 + x = 3 sin 2t , x(0) = 1, x0 (0) = 0 .

8.7

V´ ysledek :

8.8

x(t) = e−t ( cos t + sin t + 1 ) .

x(t) = cos t + 2 sin t − sin 2t .

x00 + (a + b) x0 + ab x = 0 , x(0) = x0 , x0 (0) = 0 , a ∈ R+ , b ∈ R+ , a 6= b . V´ ysledek :

8.9

x0 ( a e−bt − b e−at ) . a−b

x00 + 2a x0 + (a2 + b2 ) x = 0 , x(0) = 0 , x0 (0) = 1 , b ∈ R+ . V´ ysledek :

8.10

x(t) =

x(t) =

1 −at e sin bt . b

x00 (t) + 3 x(t) + 2 x(t) = 2t2 + 1 ; x(0) = 2 , x0 (0) = 0 . ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme

p2 X(p) − 2p + 3 [ p X(p) − 2] + 2 X(p) = 2

1 2 + p3 p

98

Integr´aln´ı transformace a odtud vypoˇc´ıt´ame obraz hledan´e funkce (p2 + 3p + 2) X(p) =

4 + p2 4 + p2 + 6p3 + 2p4 + 2p + 6 = , p3 p3

4 + p2 + 6p3 + 2p4 . p3 (p2 + 3p + 2) Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a dva nenulov´e re´aln´e r˚ uzn´e koˇreny a kromˇe toho p3 = 0 je trojn´asobn´ y koˇren jmenovatele. Podle klasick´e teorie mus´ı m´ıt partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice tvar At+Bt+C a takov´a funkce ve v´ ysledku skuteˇcnˇe vyjde. Pro hled´an´ı origin´alu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr. rozklad obrazu na parci´aln´ı zlomky X(p) =

2A B D E C 4 + p2 + 6p3 + 2p4 = 3 + 2+ + + , 3 2 p (p + 3p + 2) p p p p+1 p+2 kde vyjde A = 1, B = −3, C = 4, D = E = −1 . Hledan´ y origin´al je tedy x(t) = t2 − 3 t + 4 − e−t − e−2t . 8.11

x00 + 2 x0 + 5 x = 10 t , x(0) = 0 , x0 (0) = 0 . V´ ysledek :

8.12

i 1 h 10 t − 4 + e−t ( 4 cos 2t − 3 sin 2t ) . 5

x00 + 4 x0 + 5 x = 8 sin t , x(0) = 0 , x0 (0) = 1 . V´ ysledek :

8.13

x(t) =

x(t) = e−2t ( cos t + 2 sin t ) + sin t − cos t .

x00 (t) + 3 x(t) + 2 x(t) = e−t ; x(0) = 2 , x0 (0) = 0 . ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme

p2 X(p) − 2p + 3 [p X(p) − 2] + 2 X(p) =

1 p+1

a odtud vypoˇc´ıt´ame obraz hledan´e funkce (p2 + 3p + 2) X(p) =

1 2p2 + 8p + 7 + 2p + 6 = , p+1 p+1

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

X(p) =

99

2p2 + 8p + 7 . (p + 1)(p2 + 3p + 2)

Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a re´aln´e koˇreny ( totoˇzn´e s koˇreny charakteristick´e rovnice pˇri klasick´em ˇreˇsen´ı ), ale jeden ( p1 = −1 ) je stejn´ y jako koˇren jmenovatele obrazu prav´e strany. Znamen´a to, ˇze funkce e−t z prav´e strany je ˇreˇsen´ım pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice. Podle klasick´e teorie mus´ı m´ıt ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice tvar Ate−t . Tato funkce ve v´ ysledku skuteˇcnˇe vyjde, protoˇze ve jmenovateli obrazu se objev´ı (p + 1)2 . Pro hled´an´ı origin´alu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr. rozklad obrazu na parci´aln´ı zlomky A C B 2p2 + 8p + 7 = + . + 2 2 (p + 1) (p + 2) (p + 1) p+1 p+2 Z rovnosti ˇcitatel˚ u 2p2 +8p+7 = A(p+2)+B(p+1)(p+2)+C(p+1)2 dostaneme soustavu line´arn´ıch rovnic B + C =2 , A+3 B+2 C =8 , 2 A+2 B+C =7 , kter´a m´a jedin´e ˇreˇsen´ı A = 1 , B = 3 , C = −1 . Hledan´ y origin´al je tedy x(t) = t e−t + 3 e−t − e−2t . 8.14

x00 − 3 x0 + 2 x = e2t , x(0) = 1 , x0 (0) = 1 . V´ ysledek :

8.15

x(t) = 2 et − e2t + t e2t .

x00 (t) + 2 x(t) + 2 x(t) = 2 e−t cos t ; x(0) = 1 , x0 (0) = −3 . ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme

p2 X(p) − p + 3 + 2 [p X(p) − 1] + 2 X(p) =

2(p + 1) + 2p + 2

p2

a odtud vypoˇc´ıt´ame obraz hledan´e funkce (p2 + 2p + 2) X(p) = X(p) =

2(p + 1) p3 + p2 + 2p + p − 1 = , p2 + 2p + 2 p2 + 2p + 2

p3 + p2 + 2p . (p2 + 2p + 2)2

100

Integr´aln´ı transformace Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a komplexn´ı koˇreny ( totoˇzn´e s koˇreny charakteristick´e rovnice pˇri klasick´em ˇreˇsen´ı ), kter´e jsou souˇcasnˇe koˇreny obrazu prav´e strany. Znamen´a to, ˇze funkce e−t cos t je ˇreˇsen´ım pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice. Podle klasick´e teorie mus´ı m´ıt ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice tvar t e−t (A cos t + B sin t) a takov´a funkce ve v´ ysledku skuteˇcnˇe vyjde. Obraz rozloˇz´ıme na parci´aln´ı zlomky ( viz pˇr. 6.41 ) p3 + p2 + 2p A[(p + 1)2 − 1] + 2B(p + 1) C(p + 1) + D , = + 2 (p2 + 2p + 2)2 (p2 + 2p + 2)2 p + 2p + 2 kde vyjde A = 0, B = 1, C = 1, D = −2 . Hledan´ y origin´al je tedy x(t) = e−t ( t sin t + cos t − 2 sin t ) .

8.16

x00 + 4 x = 4 sin 2t , x(0) = 1 , x0 (0) = 1 . V´ ysledek :

8.17

x(t) = cos 2t + sin 2t − t cos 2t .

x00 + 4 x0 + 8 x = 4 e−2t sin 2t , x(0) = 1 , x0 (0) = −1 . V´ ysledek :

x(t) = e−2t ( cos 2t + sin 2t − t cos 2t ) .

V pˇr´ıkladech 8. 18 - 8. 22 ˇreˇste pro r˚ uzn´e funkce u(t) diferenci´aln´ı rovnici d i(t) L + R i(t) = u(t) , i(0) = 0 , L ∈ R+ , R ∈ R+ , dt kter´a popisuje pr˚ ubˇeh proudu se s´eriovˇe zapojenou c´ıvkou ( indukˇcnost L ) a ohmick´ ym odporem R po pˇripojen´ı elektromotorick´eho napˇet´ı u(t) . V tˇechto pˇr´ıkladech bude vidˇet, ˇze pouˇzit´ı Laplaceovy transformace je zvl´aˇstˇe v´ yhodn´e v pˇr´ıpadˇe, kdy na prav´e stranˇe rovnice je jednoduch´a funkce, kter´a se vˇsak ned´a analyticky vyj´adˇrit jedin´ ym z´apisem pro vˇsechna t > 0 . 8.18

u(t) = E sin ωt , E ∈ R+ , ω ∈ R+ . ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme

L p I(p) + R I(p) =

Eω Eω a odtud I(p) = . 2 +ω (Lp + R)(p2 + ω 2

p2

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

101

Obraz rozloˇz´ıme na parci´aln´ı zlomky Eω E = (Lp + R)(p2 + ω 2 ) L

"

Bp + Cω A L + p2 + ω 2 p+ R

#

.

R ) vyjde L L2 ω L2 ω LR A= 2 , B = − , C= 2 . 2 2 2 2 2 R +L ω R +L ω R + L2 ω 2 Odtud dostaneme hledan´ y origin´al Z rovnosti mnohoˇclen˚ u ω = A (p2 + ω 2 ) + (Bp + C)(p +

i(t) =

R2

R E ( e− L t − L ω cos ωt + R sin ωt ) . 2 2 +L ω

Goniometrick´e funkce se ˇcasto upravuj´ı podle souˇctov´eho vzorce na jedinou sinovou funkci. Existuje jedin´ y ostr´ yu ´hel ϕ , pro kter´ y plat´ı cos ϕ = √

R2

R , + L2 ω 2

sin ϕ = √

R2

Lω . + L2 ω 2

Nalezen´ y origin´al m˚ uˇzeme tedy upravit na tvar i(t) =

R2

=

R E E e− L t + √ 2 ( sin ωt cos ϕ − cos ωt sin ϕ ) = 2 2 +L ω R + L2 ω 2

E E −R t L + √ e sin (ωt − ϕ) . R 2 + L2 ω 2 R 2 + L2 ω 2

Z v´ ysledku je vidˇet, ˇze pro vˇetˇs´ı hodnoty t se stane vliv exponenci´aln´ı funkce zanedbateln´ y a pr˚ ubˇeh proudu je d´an funkc´ı sinus, kter´a m´a stejnou frekvenc´ı ω , ale p˚ usoben´ım c´ıvky je vzhledem k u(t) zpoˇzdˇen´a. 8.19

u(t) = u0 ( konstanta ).

i R u0 h 1(t) − e− L t . R Pro vˇetˇs´ı hodnoty t bude m´ıt proud t´emˇeˇr konstantn´ı hodnotu, jako by v obvodu c´ıvka nebyla.

V´ ysledek :

i(t) =

102

Integr´aln´ı transformace

8.20 Pro a ∈ R+ , E ∈ R+

u(t) =

 0  

E 2

 

E

pro t < 0 ∨ t > a pro t = 0 ∨ t = a pro t ∈ ( 0, a )

ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme

1 − e−ap E E e−ap (Lp+R) I(p) = E a odtud I(p) = − . p p(Lp + R) p(Lp + R) Nejprve najdeme origin´al k prvn´ı funkci rozloˇzen´ım na parci´aln´ı zlomky E E = p(Lp + R) R

1 1 − p p+

! R L

, takˇze i1 (t) =

 R E  1 − e− L t . R

Origin´al druh´e funkce je zpoˇzdˇen´a funkce i1 (t − a) , kter´a je pro t < a rovna nule. V´ ysledn´ y origin´al je proto v intervalu ( 0, a ) roven funkci i1 (t) a pro t > a je roven rozd´ılu i1 (t) − i1 (t − a) . Takˇze   R E    1 − e− L t  

pro t ∈< 0, a ) R i(t) = R    E  R R E e− L t  R a   (t−a) − t −  −e L = e L e L − 1 pro t > a . R R  R E 1 − e− L a , R takˇze funkce i(t) je spojit´a ( obr. 1 ). Po v´ ypoˇctu derivac´ı se d´a ovˇeˇrit. ˇze tak´e derivace i0 (t) je spojit´a funkce.

Dosazen´ım t = a do obou ˇc´ast´ı dostaneme i(a) =

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

103

8.21 Pro E ∈ R+ u(t) =

 0    

t E

pro t < 0 pro t ∈< 0, E > pro t > E

V´ ysledek : V´ ysledn´ y proud se d´a zapsat ve tvaru

i(t) =

    

t R E R

− −

L R2 L



R

1 − e− L t

−Rt e L R2



e



R E L

pro t ∈< 0, E > 

−1

pro t > E .

Ovˇeˇrte, ˇze funkce i(t) a tak´e i0 (t) jsou spojit´e ( obr. 2 ).

8.22 (

u(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > π sin t pro t ∈< 0, π >

ˇ sen´ı : Obraz funkce u(t) najdeme pomoc´ı obrazu zpoˇ Reˇ zdˇen´e funkce

( viz. pˇr. 5.27 ). Po zobrazen´ı dan´e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme (Lp + R) I(p) =

1 + e−πp p2 + 1

a odtud I(p) =

1 + e−πp . (p2 + 1)(Lp + R)

Nejprve najdeme podobnˇe jako v pˇr. 8.20 origin´al k prvn´ı ˇc´asti zlomku ( s ˇcitatelem 1 ) rozloˇzen´ım na parci´aln´ı zlomky 1 1 = 2 (p + 1)(Lp + R) L

Ap + B C + 2 p +1 p+ R L

!

.

104

Integr´aln´ı transformace R Z rovnosti ˇcitatel˚ u zlomk˚ u 1 = (Ap+B)(p+ )+C(p2 +1) dostaneme L R R soustavu line´arn´ıch rovnic B + C = 1 , B + A = 0 , A+C = 0 . L L Tato soustava m´a jedin´e ˇreˇsen´ı A=−

L2 RL L2 , B = , C = . R 2 + L2 R 2 + L2 R 2 + L2

Origin´al k prvn´ı ˇc´asti zlomku ( s ˇcitatelem 1 ) je tedy   1 −R t L − L cos t + R sin t L e . R 2 + L2

i1 (t) =

Origin´al druh´e ˇc´asti zlomku je zpoˇzdˇen´a funkce i1 (t − π) , kter´a je pro t < π rovna nule. V´ ysledn´ y origin´al je proto v intervalu < 0, π > roven funkci i1 (t) a pro t > π je roven souˇctu i1 (t) + i1 (t − a) , kde se obˇe goniometrick´e funkce anuluj´ı. Takˇze   

i(t) =  

1 R2 +L2 L R2 +L2



R

L e− L t − L cos t + R sin t R

e− L t



R

1 + eL

π





pro t ∈< 0, π ) pro t > π .

  L π −R L + 1 , e R 2 + L2 takˇze funkce i(t) je spojit´a. Po v´ ypoˇctu derivac´ı se d´a ovˇeˇrit, ˇze tak´e derivace i0 (t) je spojit´a funkce.

Dosazen´ım t = π do obou ˇc´ast´ı dostaneme i(π) =

V pˇr´ıkladech 8. 23 - 8. 25 ˇreˇste pro r˚ uzn´e funkce f (t) diferenci´aln´ı rovnici d2 x(t) + c x(t) = f (t) , x(0) = 0 , x0 (0) = 0 , m ∈ R+ , c ∈ R+ , m dt2 kter´a popisuje pohyb tˇelesa s hmotnost´ı m na pruˇzinˇe s elastickou konstantou c pˇri zanedbateln´em odporu ( tˇren´ı ) a pˇri p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ı s´ıly f (t) . Nezn´am´a funkce x(t) popisuje v´ ychylku tˇelesa z rovnov´aˇzn´e polohy v z´avislosti na ˇcase. 8.23 Pro a ∈ R+ , F ∈ R+ f (t) =

 0  

F 2

 

F

pro t < 0 ∨ t > a pro t = 0 ∨ t = a pro t ∈ ( 0, a )

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

105

ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dostaneme algebraickou rovnici Reˇ

m p2 X(p) + c X(p) = F

1 − e−ap F 1 − e−ap a odtud X(p) = . p m p(p2 + mc )

Nejprve rozloˇz´ıme na parci´aln´ı zlomky prvn´ı ˇc´ast zlomku : 1 F 2 m p(p +

1 p − 2 p p +

F = c c ) m

! c m

.

Origin´al k t´eto funkci je F x1 (t) = c



r

1 − cos

c t m



.

Druh´a ˇc´ast origin´alu je zpoˇzdˇen´a funkce x1 (t − a) . Hledan´ y origin´al m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru   

x(t) =  

F c



F c



1 − cos cos

q

c m

q

c m

t



pro t ∈< 0, a )

(t − a) − cos

q

c m



t

pro t > a .

Funkce x(t) je zn´azornˇena na obr. 3. D´a se dok´azat, ˇze pro t = a jsou funkce x(t) a x0 (t) spojit´e ( ovˇeˇrte ). Rozd´ıl kosin˚ u v druh´e ˇc´asti v´ ysledku ( pro t > a ) m˚ uˇzeme upravit podle goniometrick´eho vzorce na jedinou sinovou funkci x(t) =

a 2F sin c 2

r

2t − a c sin m 2

r

c . m

a Vid´ıme, ˇze pro t > a se ve funkci x(t) n´asob´ı konstantou sin 2 r m ). kter´a m˚ uˇze b´ yt tak´e rovna nule ( napˇr. pro a = 2π c

r

c , m

106

Integr´aln´ı transformace

8.24 Pro a ∈ R+ , F ∈ R+  0  

f (t) =  

V´ ysledek :

8.25

F 2

F

pro t < 0 pro t = 0 pro t > 0 F x(t) = c



r

1 − cos

c t m



.

f (t) = F sin ωt , F ∈ R+ , ω ∈ R+ . ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e diferenci´aln´ı rovnice dostaneme

m p2 X(p) + c X(p) =

F ω F ω . a odtud X(p) = 2 2 +ω (mp + c)(p2 + ω 2 )

p2

Mohou nastat dvˇe moˇznosti : r c . 1) ω 6= m V tomto pˇr´ıpadˇe obraz rozloˇz´ıme na parci´aln´ı zlomky "

F ω F = 2 2 2 (mp + c)(p + ω ) m

Ap + B Cp + D + 2 p2 + mc p + ω2

#

.

Z rovnosti mnohoˇclen˚ u ω = (Ap+B) (p2 +ω 2 )+(Cp+D)(p2 + A = 0 , C = 0 ,B =

ω2

ω −

c m

, D=−

ω2

ω −

c ) vyjde m

.

c m

Odtud dostaneme hledan´ y origin´al F x(t) = m ω2 − c

r



ω

m sin c

r

c t − sin ωt m



.

c . m F ω V tomto pˇr´ıpadˇe dostaneme obraz X(p) = . 2 m (p + ω 2 )2 Origin´al ke zlomku se d´a hledat pomoc´ı konvoluce nebo uˇzit´ım obrazu derivace x1 (t) ( s podm´ınkou x1 (0) = 0 ) r

2) ω =

L[x01 (t)] = p X1 (p) =

(p2

pω . + ω 2 )2

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

107

1 Odtud dostaneme snadno ( viz pˇr. 5.43 ) x01 (t) = t sin ωt a integrac´ı 2 1 ( per partes ) x1 (t) = (sin ωt − ω t cos ωt ) . 2 ω2 F Hledan´ y origin´al je tedy x(t) = ( sin ωt − ω t cos ωt ) . 2mω V tomto pˇr´ıpadˇe p˚ usob´ıc´ı s´ıla f (t) = F sin ωt m´a stejnou frekvenci jako vlastn´ı kmity soustavy a zp˚ usob´ı rozkmit´an´ı soustavy ( vlivem funkce t cos ωt ).

V pˇr´ıkladech 8. 26 - 8. 35 ˇreˇste soustavy line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic s dan´ ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. Jako ˇreˇsen´ı vyjdou konkr´etn´ı hledan´e funkce a nen´ı tˇreba zn´at ˇz´adnou obecnou teorii pro ˇreˇsen´ı soustav. 8.26

dx = x + y + et , dt dy = −2x + 4y − et , x(0) = 1 , y(0) = 1 . dt ˇ sen´ı : Oznaˇ Reˇ c´ıme Laplaceovy obrazy nezn´am´ ych funkc´ı X(p) , Y (p) .

Po zobrazen´ı dan´e soustavy diferenci´aln´ıch rovnic dostaneme soustavu line´arn´ıch algebraick´ ych rovnic pro nezn´am´e obrazy 1 , p−1 1 pY − 1 = −2 X + 4 Y − . p−1 p X −1 =

X + Y +

Po u ´pravˇe dostaneme soustavu p (p − 1) X = Y + , p−1 p−2 . (p − 4) Y = −2 X + p−1 Do prvn´ı rovnice vyn´asoben´e vypoˇc´ıt´ame

p−4

(p − 1)(p − 4) X = −2X +

dosad´ıme z druh´e rovnice a

p − 2 p(p − 4) + , takˇze p−1 p−1

108

Integr´aln´ı transformace

X(p) =

p2 − 3p − 2 . (p2 − 5p + 6)(p − 1)

Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a re´aln´e koˇreny, takˇze pro v´ ypoˇcet origin´alu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt Heaviside˚ uv vzorec a vyjde x(t) = 4 e2t − e3t − 2 et . Pˇri v´ ypoˇctu y(t) bychom mohli postupovat podobn´ ym zp˚ usobem, ale m˚ uˇzeme tak´e y(t) vypoˇc´ıtat dosazen´ım x(t) do prvn´ı zadan´e rovnice. Dostaneme y(t) = 4 e2t − 2 e3t − et .

8.27

dx =x+y , dt dy = −2x + 4y , x(0) = 0 , y(0) = −1 . dt V´ ysledek :

8.28

x(t) = e2t − e3t , y(t) = e2t − 2 e3t .

dx = 2x + y , dt dy = 4x − y , x(0) = 0 , y(0) = 1 . dt V´ ysledek :

8.29

1 1 x(t) = ( e3t − e−2t ) , y(t) = ( e3t + 4 e−2t ) . 5 5

dx = 2x − y + 3 e−t , dt dy = x + 2y + e−t , x(0) = 1 , y(0) = 1 . dt ˇ sen´ı : Oznaˇ Reˇ c´ıme Laplaceovy obrazy nezn´am´ ych funkc´ı X(p) , Y (p) .

Po zobrazen´ı dan´e soustavy diferenci´aln´ıch rovnic dostaneme po u ´pravˇe soustavu rovnic pro nezn´am´e obrazy p+4 , p+1 p+2 X+ . p+1

(p − 2) X = −Y + (p − 2) Y =

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace Do prvn´ı rovnice vyn´asoben´e vypoˇc´ıt´ame (p − 2)(p − 2) X = −X − X(p) =

109 p−2

dosad´ıme z druh´e rovnice a

p + 2 (p − 2)(p + 4) + , takˇze p+1 p+1

p2 + p − 10 . (p2 − 4p + 5)(p + 1)

Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a komplexn´ı koˇreny. Po rozkladu na parci´aln´ı zlomky p2 + p − 10 A(p − 2) + B C = 2 + 2 (p − 4p + 5)(p + 1) p − 4p + 5 p+1 vypoˇc´ıt´ame z rovnosti ˇcitatel˚ u p2 + p − 10 = [A(p − 2) + B](p + 1) + + C(p2 − 4p + 5) nezn´am´e koeficienty A = 2 , B = −1 , C = −1 . Potom jiˇz snadno dostaneme hledan´ y origin´al x(t) = e2t ( 2 cos t − sin t ) − e−t . Dosazen´ım x(t) do prvn´ı zadan´e rovnice dostaneme y(t) = e2t ( 2 sin t + cos t ) .

8.30

dx = 2x − y + 2 , dt dy = x + 2y + 1 , x(0) = 0 , y(0) = 1 . dt V´ ysledek :

8.31

x(t) = e2t ( cos t + sin t ) − 1 , y(t) = e2t ( sin t − cos t ) .

dx = 2x − y + 5t , dt dy = x + 2y + 2 , x(0) = 1 , y(0) = 1 . dt

x(t) = e2t ( 2 cos t − sin t ) − 2t − 1 , y(t) = e2t ( 2 sin t + cos t ) + t . V´ ysledek :

110

Integr´aln´ı transformace

8.32

dx = −2x − y + sin t , dt dy = 4x + 2y + cos t , x(0) = 0 , y(0) = 0 . dt x(t) = −2t + 2 sin t , y(t) = 4t + 2 − 2 cos t − 3 sin t .

V´ ysledek :

8.33

dx + 3x − y + 3 = 2 , dt dy + 2x + y = 3 , x(0) = 0 , y(0) = 1 . dt ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e soustavy diferenci´aln´ıch rovnic dostaneme

po u ´pravˇe soustavu rovnic pro nezn´am´e obrazy 2 , p p+3 (p + 1) Y = −2 X + . p

(p + 3) X =

Y +

Do prvn´ı rovnice vyn´asoben´e vypoˇc´ıt´ame

p+1

(p + 1)(p + 3) X = −2 X − X(p) =

dosad´ıme z druh´e rovnice a

2(p + 1) p + 3 + , p p

takˇze

3p + 5 . + 4p + 5)

p(p2

Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a komplexn´ı koˇreny. Po rozkladu na parci´aln´ı zlomky 3p + 5 A(p + 2) + B C = 2 + + 4p + 5) p + 4p + 5 p

p(p2

vypoˇc´ıt´ame z rovnosti ˇcitatel˚ u zlomk˚ u 3p + 5 = A(p + 2)p + Bp + 2 + C(p + 4p + 5) nezn´am´e koeficienty A = −1 , B = 1 , C = 1 . Potom jiˇz snadno dostaneme hledan´ y origin´al x(t) = e−2t ( sin t − cos t ) + 1 .

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

111

Dosazen´ım x(t) do prvn´ı zadan´e rovnice dostaneme y(t) = e−2t 2 sin t + 1 . 8.34

dx − y = cos t , dt dy + x = 0 , x(0) = −1 , y(0) = 1 . dt ˇ sen´ı : Po zobrazen´ı dan´ Reˇ e soustavy diferenci´aln´ıch rovnic dostaneme

po u ´pravˇe soustavu rovnic pro nezn´am´e obrazy p p X = Y −1 + 2 , p +1 p Y = −X + 1 . Do prvn´ı rovnice vyn´asoben´e p dosad´ıme z druh´e rovnice a vypoˇc´ıt´ame p2 X = − X − p +

p2 +1 , p2 + 1

takˇze X(p) =

−p3 + 2p2 − p + 1 . (p2 + 1)2

Kvadratick´ y trojˇclen ve jmenovateli m´a dvojn´asobn´e komplexn´ı koˇreny. V tomto komplikovanˇejˇs´ım pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme postupovat podobnˇe jako v pˇr. 6.17 a dostaneme rozklad −p3 + 2p2 − p + 1 3 p 1 p2 − 1 1 = − + . (p2 + 1)2 2 p2 + 1 p2 + 1 2 (p2 + 1)2 3 1 Potom jiˇz dostaneme hledan´ y origin´al x(t) = (sin t−cos t)+ t cos t . 2 2 Dosazen´ım x(t) do prvn´ı zadan´e rovnice dostaneme 1 y(t) = sin t + cos t − t sin t . 2 dx 8.35 − y = cos t , dt dy 1 + x = 1 , x(0) = 2 , y(0) = . dt 2 1 V´ ysledek : x(t) = sin t + cos t + t cos t + 1 , 2 1 1 y(t) = cos t − sin t − t cos t . 2 2

112

Integr´aln´ı transformace

V pˇr´ıkladech 8. 36 - 8. 39 ˇreˇste pomoc´ı obrazov´e impedance ( viz [ 2 ], str. 156 ) u ´lohy v elektrick´em obvodu s nulov´ ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. V tomto jednoduˇsˇs´ım pˇripadˇe je pro ohmick´ y odpor Z = R , pro c´ıvku 1 Z = L p a pro kondenz´ator Z = ( vˇsechny konstanty ch´apeme jako Cp kladn´a re´aln´a ˇc´ısla ). Pˇri tomto oznaˇcen´ı tedy pro kaˇzd´ y z tˇechto elektrick´ ych prvk˚ u plat´ı U (p) = Z(p) I(p) . Pˇri seriov´em zapojen´ı je v´ ysledn´a impedance n n X X 1 1 = . Z= Zi a pˇri paraleln´ım zapojen´ı plat´ı Z i=1 Zi i=1 Vˇsechny impedance Z(p) jako funkce komplexn´ı promˇenn´e maj´ı urˇcit´e spoleˇcn´e vlastnosti ( viz [ 2 ], str.160 - Bruneovy funkce ). 8.36 Urˇcete pr˚ ubˇeh proudu v obvodu na obr. 4 , kdyˇz v ˇcase t = 0 pˇripoj´ıme zdroj konstantn´ıho elektromotorick´eho napˇet´ı u0 , u0 ∈ R .

ˇ sen´ı : Vˇsechny prvky jsou v obvodu zapojeny s´ Reˇ eriovˇe, takˇze obra-

zov´a impedance je Z(p) = R + Lp + I(p) =

1 a m˚ uˇzeme snadno vypoˇc´ıtat Cp

u0 u0 U (p) Cp 1 = = R 2 Z(p) p LCp + RCp + 1 L p2 + L p +

Pro struˇcnost oznaˇc´ıme a =

1 CL

.

R 1 R2 4L − R2 C a ω2 = − 2 = . 2L LC 4L 4L2 C

1. Pro c´ıvku s dosti velkou indukˇcnost´ı je ω 2 > 0 ( 4L > R2 C ) a m˚ uˇzeme zapsat koˇreny jmenovatele p1,2 = −a ± i ω . V´ ysledn´ y proud u0 −at vznikl´ y po sepnut´ı m´a tvar i(t) = e sin ωt a je vidˇet, ˇze se Lω po urˇcit´e dobˇe utlum´ı. Je to celkem zˇrejm´e, protoˇze pˇri konstantn´ım napˇet´ı v obvodu s kondenz´atorem nem˚ uˇze prot´ekat proud. 2. Pro c´ıvku s malou indukˇcnost´ı je ω 2 < 0 ( 4L < R2 C ) a koˇreny

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

113

√ jmenovatele jsou re´aln´e p1,2 = −a ± −ω 2 . V´ ysledn´ y proud vznikl´ y u0 p1 t p2 t √ po sepnut´ı m´a tvar i(t) = ( e − e ) . Po urˇcit´e dobˇe se 2 L −ω 2 tak´e utlum´ı , protoˇze obˇe hodnoty p1 , p2 jsou z´aporn´e ( dokaˇzte ). u0 −at te . 3. V pˇr´ıpadˇe, ˇze ω = 0 dostaneme pro v´ ysledn´ y proud i(t) = L I v tomto pˇr´ıpadˇe se proud po urˇcit´e dobˇe utlum´ı. 8.37 Urˇcete pr˚ ubˇeh proudu v obvodu na obr. 5 , kdyˇz v ˇcase t = 0 pˇripoj´ıme zdroj konstantn´ıho elektromotorick´eho napˇet´ı u0 , u0 ∈ R .

ˇ sen´ı : Kondenz´ Reˇ ator a odpor R2 jsou zapojeny paralelnˇe, takˇze

odpov´ıdaj´ıc´ı obrazov´a impedance je Z3 =

1 R2

1 R2 . = 1 + CR2 p +C p

Dalˇs´ı zapojen´ı v obvodu je seriov´e, takˇze v´ ysledn´a obrazov´a impedance R2 R1 + CR1 R2 p + L p + CLR2 p2 + R2 = 1 + R2 C p 1 + CR2 p a m˚ uˇzeme snadno vypoˇc´ıtat Z(p) = R + Lp +

I(p) =

u0 U (p) 1 + CR2 p = . 2 Z(p) p CLR2 p + (L + CR1 R2 )p + R1 + R2

Pro struˇcnost oznaˇc´ıme a = b2 =

L + CR1 R2 , 2CLR2

(L + CR1 R2 )2 − CLR2 (R1 + R2 ) (L − CR1 R2 )2 − 4CLR22 = . 4C 2 L2 R22 4C 2 L2 R22

114

Integr´aln´ı transformace Vyˇreˇs´ıme pˇr´ıpad, kdy b2 > 0 . M˚ uˇzeme zvolit b ∈ R+ a zapsat koˇreny kvadratick´eho trojˇclenu ve tvaru p1,2 = −a ± b . Provedeme rozklad na parci´aln´ı zlomky u0 1 u0 I(p) = + R1 + R2 p CLR2 (p1 − p2 )

1 + CR2 p1 1 + CR2 p2 − p1 (p − p1 ) p2 (p − p2 )

!

.

V´ ysledn´ y proud vznikl´ y po sepnut´ı je tedy i(t) =

(1 + CR2 p1 )p2 ep1 t − (1 + CR2 p2 )p1 ep2 t u0 1(t) + u0 . R1 + R2 CLR2 (p1 − p2 )p1 p2

D´a se ovˇeˇrit, ˇze oba koˇreny p1 , p2 mus´ı b´ yt z´aporn´e, takˇze exponenci´aln´ı funkce se po urˇcit´e dobˇe utlum´ı. Potom nastane situace, jako by celkov´ y odpor byl R1 + R2 ( pˇri konstantn´ım napˇet´ı c´ıvka neklade odpor a kondenz´atorem proud neproch´az´ı ). 8.38 Urˇcete pr˚ ubˇeh proudu v obvodu na obr. 6 , kdyˇz v ˇcase t = 0 pˇripoj´ıme zdroj elektromotorick´eho napˇet´ı u(t) = u0 sin ωt , u0 ∈ R , ω ∈ R+ .

R u0 ( L ω e− L t + R sin ωt − L ω cos ωt ) . 2 2 +L ω Na rozd´ıl od ˇreˇsen´ı pˇr. 8.20 se postupuje form´alnˇe a tvoˇr´ı se souˇcet impedanc´ı R + L p . Vyjde samozˇrejmˇe stejn´ y v´ ysledek.

V´ ysledek :

i(t) =

R2

8.Pouˇzit´ı Laplaceovy transformace

115

8.39 Urˇcete pr˚ ubˇeh napˇet´ı u2 v obvodu podle obr. 7 , kdyˇz v ˇcase t = 0 pˇripoj´ıme konstantn´ı zdroj elektromotorick´eho napˇet´ı u0 , u0 ∈ R .

V´ ysledek : 

D=

 R2 L  u2 (t) = u0 √ p1 ep1 t − p2 ep2 t , kde D

L R1 R2 − C

2

−(R1 R2 + CL ) ± 4LR22 − a p1,2 = C 2L(R1 + R2 )

√

D

.

Tento v´ ysledek se d´a pouˇz´ıt i v pˇr´ıpadˇe, ˇze D < 0 . V tomto pˇr´ıpadˇe m´a napˇet´ı tlumen´ y harmonick´ y pr˚ ubˇeh. Zvl´aˇstn´ı situace nastane pro D=0.

Posledn´ı u ´loha je jednoduch´ y pˇr´ıklad pouˇzit´ı Laplaceovy transformace pˇri ˇreˇsen´ı parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice. Je tˇreba zd˚ uraznit, ˇze poˇcet u ´loh v parci´aln´ıch rovnic´ıch, kter´e lze t´ımto zp˚ usobem efektivnˇe ˇreˇsit, je dost omezen´ y. V ˇz´adn´em pˇr´ıpadˇe nem˚ uˇzeme Laplaceovu transformaci ch´apat jako univerz´aln´ı metodu.

116

Integr´aln´ı transformace

ˇ ste parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnici ( tzv. sm´ıˇsenou u 8.40 Reˇ ´lohu ) a2

∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = , x ∈ R+ , t ∈ R∗ , a ∈ R+ , ∂x2 ∂t2

∂u(x, 0) = 0 , u(0, t) = f (t) , ∂t kter´a umoˇzn ˇuje stanovit napˇetovou vlnu u(x, t) pro ide´aln´ı polonekoneˇcn´e veden´ı bez napˇet´ı a proudu, kdy v okamˇziku t = 0 na zaˇc´atek veden´ı ( x = 0 ) pˇripoj´ıme elektromotorick´e napˇet´ı f (t) . u(x, 0) = 0 ,

ˇ sen´ı : Najdeme Laplace˚ Reˇ uv obraz dan´e parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice

vzhledem k promˇenn´e t a v obrazech ponech´ame x jako parametr. Vzhledem k nulov´ ym poˇc´ateˇcn´ım podm´ınk´am pro t dostaneme velmi jednoduchou obyˇcejnou line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici 2. ˇr´adu a2

d2 U (x, p) = p2 U (x, p) , U (0, p) = L[f (t)] = F (p) , neboli dp2

d2 U (x, p) − dp2

 2

p a

U (x, p) = 0 , U (0, p) = F (p) .

x nez´avis´ı na promˇenn´e p . m´a obecn´e ˇreˇsen´ı t´eto a diferenci´aln´ı rovnice tvar ( jako u rovnice s konstantn´ımi koeficienty ) Protoˇze koeficient

x

x

U (p, x) = C1 (p) e a p + C2 (p) e− a p , x x > 0 , neexistoval by origin´al k funkci e a p . Proto zvol´ıme a C1 (p) = 0 ( moˇznost volby m´ame vzhledem k jedn´e chybˇej´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce ) a potom vyjde C2 (p) = F (p) . Obraz hledan´e funkce je x tedy U (x, p) = F (p) e− a . Tato funkce m´a tvar obrazu zpoˇzdˇen´e funkce x ( viz pˇr. 5.18 ), takˇze snadno najdeme origin´al u(x, t) = f (t − ) . a

Protoˇze

118

Integr´aln´ı transformace

Rejstˇ r ´ı k

derivace obrazu ve Four. transf. 25 derivace obrayu v Lapl. transf. 57 Dirichletovy podm´ınky 5 Fourier˚ uv integr´al Fourier˚ uv obraz funkce exponenci´aln´ıho ˇr´adu funkce gamma funkce jednostrann´a funkce zobraziteln´a ve Four. tr. funkce zobraziteln´a v Lapl. tr. funkce zpoˇzdˇen´a

5 6 43 69 43 6 43 52

Heaviside˚ uv vzorec hlavn´ı hodnota nevl. integr´alu

72 5

obraz derivace ve Four. transf. obraz derivace v Lapl. transf. obraz Fourier˚ uv obraz integr´alu ve Four. transf. obraz integr´alu v Lapl. transf. obraz Laplace˚ uv obraz zpoˇzdˇen´e funkce ve F. tr. obraz zpoˇzdˇen´e funkce v L. tr. origin´al ve Fourierovˇe transf. origin´al v Laplaceovˇe transf.

27 63 6 30 67 43 24 52 7 71

podm´ınky Dirichletovy

5

u ´seˇcka konvergence

44

vˇeta o translaci vzor ve Fourierovˇe transf. vzor v Laplaceovˇe transf.

52 7 71

integrace obrazu v Lapl. transf. integr´al Fourier˚ uv

65 5

konvolutorn´ı souˇcin

31,85 zobraziteln´a funkce ve Four. tr. 6 zobraziteln´a funkce v Lapl. tr. 43 43 zpoˇzdˇen´a funkce 52

Laplace˚ uv obraz