´ mky z matematiky Pozna Verze: 14. dubna 2015
Petr Hasil
[email protected] http://user.mendelu.cz/hasil/
´ Ustav matematiky Lesnick´a a dˇrevaˇrsk´a fakulta Mendelova univerzita v Brnˇe
Vytvoˇreno s podporou projektu Pr˚ uˇrezov´a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´e a dˇrevaˇrsk´e fakulty MENDELU v Brnˇe (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇcn´eho z´akladu hhttp://akademie.ldf.mendelu.cz/czi (reg. ˇc. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇen´ı finanˇcn´ıch ˇ e republiky. prostˇredk˚ u EU a st´ atn´ıho rozpoˇctu Cesk´ Tento text je prim´ arnˇe urˇcen pro posluchaˇce kurzu Matematika MT (a MT-K) na Agronomick´e fakultˇe Mendelovy univerzity v Brnˇe, nicm´enˇe je pouˇziteln´ y jako doplˇ nuj´ıc´ı text pro kaˇzd´ y kurz z´ aklad˚ u matematiky. Jsou zde zahrnuty z´aklady line´arn´ı algebry, diferenci´aln´ıho poˇctu a integr´ aln´ıho poˇctu vˇcetnˇe ˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u i pˇr´ıklad˚ u k procviˇcen´ı. C´ılem tohoto kurzu je pˇredevˇs´ım to, aby posluchaˇci z´ıskali povˇedom´ı o z´akladn´ıch n´astroj´ıch v matematice, byli schopni d´ ale prohlubovat sv´e znalosti ve smˇeru dan´em jejich specializac´ı a tyto bezchybnˇe pouˇz´ıvat, nebot’ ke spr´avn´e volbˇe metody, rozpl´anov´an´ı experimentu, nebo napˇr´ıklad vyhodnocen´ı v´ ystupu je nutn´a nejen povrchn´ı znalost typu ’vstup/v´ ystup’, ale tak´e logika a d˚ ukladn´e porozumˇen´ı vnitˇrn´ım princip˚ um metod.
ii Na konci kaˇzd´e kapitoly je uvedena uk´azka zad´an´ı pˇr´ıklad˚ u typick´ ych pro danou kapitolu ve formˇe vhodn´e pro Wolfram|Alpha, coˇz je odpov´ıdac´ı stroj volnˇe dostupn´ y na adrese http://www.wolframalpha.com/ V´ yhodou Wolfram|Alpha oproti program˚ um urˇcen´ ym k ˇreˇsen´ı matematick´ ych u ´loh je jeho dostupnost v s´ıti bez instalace a tak´e jeho univerz´alnost. Ot´azka nemus´ı b´ yt zadan´a pˇresnˇe dan´ ym zp˚ usobem a ˇcasto dokonce ani u ´plnˇe jednoznaˇcnˇe — stroj najde nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı interpretaci ot´ azky a zobraz´ı v´ ysledek, pˇr´ıpadnˇe s´am upozorn´ı na moˇzn´e jin´e interpretace. Toto nefunguje jen pro matematick´e v´ ypoˇcty, ale pro ot´azky vˇseho druhu. Je tedy moˇzn´e zeptat se nejen na v´ ysledek poˇcetn´ıho pˇr´ıkladu, ale tak´e na definici nezn´am´eho pojmu, nebo tˇreba na poˇcas´ı v Amsterdamu. Pˇri pouˇz´ıv´an´ı doporuˇcuji vˇzdy kontrolovat, jak´a interpretace ot´azky byla pouˇzita. Napˇr´ıklad zad´ an´ım ’weather Amsterdam’ z´ısk´ate pˇredpovˇed’ poˇcas´ı pro Amsterdam v Nizozem´ı a ostatn´ı Amsterdamy jsou zobrazeny jako dalˇs´ı moˇzn´e interpretace. Tak´e proto je vhodn´e si Wolfram|Alpha pˇred ˇreˇsen´ım matematick´ ych u ´loh uveden´ ych v textu vyzkouˇset zad´ av´ an´ım jin´ ych dotaz˚ u (od ’How are you?’ po ’5%=123, 72%=?’) a sledov´an´ım odpovˇed´ı. V odpovˇed´ıch je vˇetˇsinou obsaˇzeno mnohem v´ıce informac´ı, neˇz bylo poˇzadov´ano. Napˇr. v odpovˇedi na ot´ azka ohlednˇe vlastn´ıch ˇc´ısel matice (viz str. 38) jsou obsaˇzeny i pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory. Doporuˇcuji vyzkouˇset Wolfram|Alpha na ˇreˇsen´ı vˇsech pˇr´ıklad˚ u uveden´ ych v textu. T´ım z´ısk´ ate pˇredstavu jak vypad´a odpovˇed’ napˇr. kdyˇz ˇreˇsen´ı neexistuje, nebo pˇri nevhodn´e formˇe zad´ an´ı. Za povˇsimnut´ı stoj´ı tak´e moˇznosti typu ’More digits’, nebo ’Show steps’, kter´e jsou u nˇekter´ ych odpovˇed´ı k dispozici. Zvl´aˇstˇe zobrazen´ı krok˚ u pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u m˚ uˇze b´ yt velmi uˇziteˇcn´e (zde ale pozor — zp˚ usob v´ ypoˇctu, kter´ y si vybere stroj, je vˇetˇsinou ten, kter´ y lze nejsnadnˇeji algoritmizovat, coˇz nemus´ı b´ yt nejlepˇs´ı zp˚ usob jak pˇr´ıklad poˇc´ıtat ruˇcnˇe). Na z´avˇer si uved’me nˇekolik uk´ azek jak zad´avat poˇcetn´ı operace: • Poˇcetn´ı operace. 12 + 5 * 3 - 2^3 2 * (1 - 3 / (5 + 1)) • Dalˇs´ı poˇcetn´ı operace (hvˇezdiˇcka jako n´asoben´ı m˚ uˇze b´ yt vynech´ana, nedojde-li k nedorozumˇen´ı). 5*8^(1/3) 5 (8)^(1/3) • Procenta. 20% = 120, 50% = ? • Pomˇer. 52:32
Obsah Strana ´ 1 Uvod
1
§ 1.1
Symboly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
§ 1.2
ˇ ıseln´e obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´
3
2 Vektory
5
§ 2.1
Vektorov´ y prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
§ 2.2
Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§ 2.3
Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3 Matice
11
§ 3.1
Definice a operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 3.2
Gaussova eliminaˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
§ 3.3
Aplikace – Leslieho model r˚ ustu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
§ 3.4
Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
§ 3.5
Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4 Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
23
§ 4.1
Definice a pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
§ 4.2
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
§ 4.3
Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
§ 4.4
Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
iii
iv
OBSAH
5 Determinanty
29
§ 5.1
Definice a determinanty do ˇr´adu 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
§ 5.2
Determinanty vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
§ 5.3
´ Upravy determinant˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
§ 5.4
Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
§ 5.5
Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6 Soustavy line´ arn´ıch rovnic II
35
§ 6.1
Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 6.2
Aplikace – Leslieho model r˚ ustu II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 6.3
Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
§ 6.4
Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
´ 7 Uvod k funkc´ım § 7.1
Definice a pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Polynomy
39 39 45
§ 8.1
Definice a operace s polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 8.2
Koˇreny polynomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
§ 8.3
Hornerovo sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
§ 8.4
Racion´ aln´ı lomen´ a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
§ 8.5
Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
§ 8.6
Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
9 Funkce
55
§ 9.1
Element´ arn´ıch funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
§ 9.2
Operace s funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
§ 9.3
Inverzn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 9.4
Transformace grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
§ 9.5
Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
§ 9.6
Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
OBSAH
v
10 Limita funkce § 10.1 Okol´ı bodu
71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
§ 10.2 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
§ 10.3 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
§ 10.4 V´ ypoˇcet limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
§ 10.5 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
§ 10.6 Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
11 Derivace
83
§ 11.1 Definice a geometrick´ y v´ yznam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
§ 11.2 Pravidla a vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
§ 11.3 Fyzik´ aln´ı v´ yznam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
§ 11.4 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
§ 11.5 Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
12 Pouˇ zit´ı derivac´ı
91
§ 12.1 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
§ 12.2 Teˇcna a norm´ ala ke grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
§ 12.3 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
§ 12.4 Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
13 Pr˚ ubˇ eh funkce
95
§ 13.1 Monotonie a lok´ aln´ı extr´emy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
§ 13.2 Konvexnost, konk´ avnost a inflexn´ı body . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
§ 13.3 Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
§ 13.4 Pr˚ ubˇeh funkce – shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
§ 13.5 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
§ 13.6 Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
vi
OBSAH
14 Neurˇ cit´ y integr´ al
107
§ 14.1 Definice a vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
§ 14.2 Metoda per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
§ 14.3 Substituˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
§ 14.4 Racion´ aln´ı lomen´ a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
§ 14.5 Znaˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
§ 14.6 Goniometrick´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
§ 14.7 Iracion´ aln´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
§ 14.8 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
§ 14.9 Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
15 Urˇ cit´ y (Riemann˚ uv) integr´ al
119
§ 15.1 Definice a vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
§ 15.2 V´ ypoˇcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§ 15.3 Geometrick´e aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
§ 15.4 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
§ 15.5 Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
16 Aproximace
131
§ 16.1 Algebraick´ a rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
§ 16.2 Metoda bisekce (p˚ ulen´ı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
§ 16.3 Taylor˚ uv polynom
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
§ 16.4 Line´ arn´ı interpolace – Lagrange˚ uv interpolaˇcn´ı polynom . . . . . . . . .
136
§ 16.5 Line´ arn´ı regrese – Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u . . . . . . . . . . . . . . .
137
§ 16.6 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
§ 16.7 Wolfram|Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
ˇ sen´ı A Reˇ
143
OBSAH B Vzorce
vii 163
§ B.1 Z´ akladn´ı vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
§ B.2 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
§ B.3 Integr´ aly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
viii
OBSAH
Kapitola
§ 1.1
´ 1 Uvod
Symboly
A∧B A∨B A⇒B A⇔B ∀ ∃ ∃! @ ∈ 6∈ A = {a, b, c} ∅ {x ∈ M : V (x)} [x1 , x2 , . . . , xn ] A×B An A⊆B
A a souˇcasnˇe B (souˇcasn´a platnost, konjunkce) A nebo B (disjunkce) A z toho plyne B; plat´ı-li A, potom plat´ı B (implikace) A pr´ avˇe tehdy kdyˇz B; (ekvivalence, A ⇔ B = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)) pro vˇsechna (obecn´ y kvantifik´ator) existuje (existenˇcn´ı kvantifik´ator) existuje pr´ avˇe jeden neexistuje je prvkem nen´ı prvkem mnoˇzina A s prvky a, b, c pr´ azdn´ a mnoˇzina mnoˇzina takov´ ych x z mnoˇziny M , kter´e splˇ nuj´ı vlastnost V (x) uspoˇr´ adan´ a n-tice kart´ezsk´ y souˇcin mnoˇzin A a B; A × B = {[a, b] : a ∈ A, b ∈ B} n-t´ a kart´ezsk´ a mocnina mnoˇziny A; An = A × A × · · · × A mnoˇzina A je podmnoˇzinou mnoˇziny B; mnoˇzina A je obsaˇzena v mnoˇzinˇe B (je povolena rovnost) A⊂B mnoˇzina A je vlastn´ı podmnoˇzinou mnoˇziny B (nen´ı povolena rovnost) A∩B pr˚ unik mnoˇzin A, B (x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B) A∪B sjednocen´ı mnoˇzin A, B (x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B) f :A→B zobrazen´ı f z mnoˇziny A do mnoˇziny B y = f (x) hodnota zobrazen´ı (funkce) f v bodˇe x; funkce f nez´avisle promˇenn´e x (zde y je z´ avisle promˇenn´a) (f ◦ g)(x), f (g(x)) sloˇzen´e zobrazen´ı (funkce) f po g a=b a je rovno b a 6= b a nen´ı rovno b; a je r˚ uzn´e od b a≈b a je pˇribliˇznˇe rovno b . a=b a je po zaokrouhlen´ı rovno b a
b a je vˇetˇs´ı neˇz b a≤b a je menˇs´ı nebo rovno b a≥b a je vˇetˇs´ı nebo rovno b (a, b) otevˇren´ y interval od a do b; {x ∈ R : a < x < b} 1
´ KAPITOLA 1. UVOD
2 [a, b] (a, b] [a, b) n! |a| max min b P xi i=a b Q
xi
uzavˇren´ y interval od a do b; {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} zleva otevˇren´ y a zprava uzavˇren´ y interval od a do b; {x ∈ R : a < x ≤ b} (t´eˇz polootevˇren´ y) zleva uzavˇren´ y a zprava otevˇren´ y interval od a do b; {x ∈ R : a ≤ x < b} (t´eˇz polouzavˇren´ y) n faktori´ al (0! = 1, 1! = 1, 2! = 2 · 1, 3! = 3 · 2 · 1, . . .) absolutn´ı hodnota ˇc´ısla a; velikost ˇc´ısla a (vzd´alenost od poˇc´atku) maximum minimum souˇcet xa + xa+1 + · · · + xb−1 + xb souˇcin xa · xa+1 · · · · · xb−1 · xb
i=a
∞ e π i z = a + bi Re z Im z z¯ ~v ~0 −~v h~u, ~v i = ~u · ~v Matm×n (R) ai,j , aij O Om×n I In A−1 AT h(A) |A|, det A A∼B sgn x x→a x → a+ x → a− lim f (x) x→a
lim f (x)
x→a+
nekoneˇcno Eulerovo ˇc´ıslo (e = 2, 718 281 828 . . .); z´ aklad pˇrirozen´eho logaritmu Ludolfovo ˇc´ıslo (π = 3, 141 592 654 . . .); pomˇer obvodu kruhu k jeho umˇeru √ pr˚ imagin´ arn´ı jednotka (i = −1, tj. i2 = −1) komplexn´ı ˇc´ıslo z, kde Re z = a, Im z = b re´ aln´ a ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z imagin´ arn´ı ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z komplexnˇe sdruˇzen´e ˇc´ıslo ke komplexn´ımu ˇc´ıslu z; (z = a + bi ⇒ z¯ = a − bi) vektor nulov´ y vektor opaˇcn´ y vektor k vektoru ~v skal´ arn´ı souˇcin vektor˚ u ~u a ~v mnoˇzina matic o m ˇr´adc´ıch a n sloupc´ıch s re´aln´ ymi prvky prvek matice A z ˇr´adku i a sloupce j nulov´ a matice nulov´ a matice o m ˇr´adc´ıch a n sloupc´ıch jednotkov´ a matice jednotkov´ a matice o n ˇr´adc´ıch a n sloupc´ıch inverzn´ı matice k matici A transponovan´ a matice k matici A hodnost matice A determinant matice A matice A ekvivalentn´ı s matici B signum (znam´enko) ˇc´ısla x x se bl´ıˇz´ı k a x se bl´ıˇz´ı k a zprava x se bl´ıˇz´ı k a zleva limita funkce f pro x bl´ıˇz´ıc´ı se k a limita funkce f pro x bl´ıˇz´ıc´ı se k a zprava (jednostrann´a limita)
ˇ ´ISELNE ´ OBORY § 1.2. C lim f (x)
x→a−
D(f ) H(f ) f (a) f (x)|x=a 0 f 0 (x), df dx , y 2
f 00 (x), ddxf2 , y 00
n f (n) (x), ddxnf , y (n)
df dx [x, f (x)] = [x, y] Oδ (x0 ) bδ (x0 ) O Oδ− (x0 ) Oδ+ (x0 ) b− (x0 ) O δ b+ (x0 ) O Rδ f (x)dx b R f (x)dx
3
limita funkce f pro x bl´ıˇz´ıc´ı se k a zleva (jednostrann´a limita) definiˇcn´ı obor funkce f obor hodnot funkce f hodnota funkce f v bodˇe x = a dosazen´ı ˇc´ısla a za nez´avisle promˇennou x do funkce f ; f (a) derivace funkce f podle nez´avisle promˇenn´e x druh´ a derivace funkce f podle nez´avisle promˇenn´e x n-t´ a derivace funkce f podle nez´avisle promˇenn´e x diferenci´ al funkce f diferenci´ al argumentu x (nez´avisle promˇenn´e) bod grafu funkce f o souˇradnic´ıch x, y δ-okol´ı bodu x0 ; (x0 − δ, x0 + δ) prstencov´e (ryz´ı) δ-okol´ı bodu x0 ; (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) lev´e δ-okol´ı bodu x0 ; (x0 − δ, x0 ] prav´e δ-okol´ı bodu x0 ; [x0 , x0 + δ) lev´e prstencov´e δ-okol´ı bodu x0 ; (x0 − δ, x0 ) prav´e prstencov´e δ-okol´ı bodu x0 ; (x0 , x0 + δ) primitivn´ı funkce k funkci f ; (neurˇcit´ y) integr´al funkce f Riemann˚ uv (urˇcit´ y) integr´al funkce f od a do b
a
[F (x)]ba = F (x)|ba
§ 1.2
F (b) − F (a)
ˇ ıseln´ C´ e obory1
• Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla: • Cel´ aˇ c´ısla:
N = {1, 2, 3, . . .}.
Z = {z = n ∨ z = −n ∨ z = 0 : n ∈ N} = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
• Racion´ aln´ı ˇ c´ısla: Q = {q = nz : z ∈ Z, n ∈ N}. ˇ ısla, kter´ C´ a nejsou racion´ aln´ı, tj. nelze je vyj´adˇrit jako pod´ıl cel´eho a pˇrirozen´eho ˇc´ısla, naz´ yv´ ame iracion´ aln´ı a znaˇc´ıme I. • Re´ aln´ aˇ c´ısla: R = Q ∪ I. K re´ aln´ ym ˇc´ısl˚ um lze jednoznaˇcnˇe pˇriˇradit vˇsechny body nekoneˇcn´e pˇr´ımky (ˇc´ıseln´e osy) dle jejich vzd´ alenosti od poˇc´ atku. • Komplexn´ı ˇ c´ısla: C = {z = a + bi : a, b ∈ R, i2 = −1}. Komplexn´ım ˇc´ıslem z naz´ yv´ ame uspoˇr´adanou dvojici re´aln´ ych ˇc´ısel [a, b] a p´ıˇseme z = ˇ ıslu a ˇr´ık´ [a, b] = a + bi. C´ ame re´aln´a ˇc´ast komplexn´ıho ˇc´ısla z (Re z), ˇc´ıslu b imagin´arn´ı ˇc´ast komplexn´ıho ˇc´ısla z (Im z). 1
B˚ uh stvoˇril pˇrirozen´ a ˇc´ısla, vˇse ostatn´ı uˇz je v´ ytvorem ˇclovˇeka. (Leopold Kronecker)
´ KAPITOLA 1. UVOD
4
Pozn´ amka. Obˇcas se pouˇz´ıvaj´ı napˇr. pouze kladn´a re´aln´a ˇc´ısla vˇcetnˇe, nebo bez nuly apod. Proto oznaˇc´ıme: . N0 = N ∪ {0}, . Z+ = {x ∈ Z : x > 0},
Z− = {x ∈ Z : x < 0},
. Z+ 0 = {x ∈ Z : x ≥ 0},
Z− 0 = {x ∈ Z : x ≤ 0},
. Q+ = {x ∈ Q : x > 0},
Q− = {x ∈ Q : x < 0},
. Q+ 0 = {x ∈ Q : x ≥ 0},
Q− 0 = {x ∈ Q : x ≤ 0},
. R+ = {x ∈ R : x > 0},
R− = {x ∈ R : x < 0},
. R+ 0 = {x ∈ R : x ≥ 0},
R− 0 = {x ∈ R : x ≤ 0},
. R∗ = R ∪ {−∞, ∞} (tzv. rozˇs´ıˇren´a mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel).
Kapitola
2 Vektory
§ 2.1
Vektorov´ y prostor
Veliˇciny, kter´ ymi popisujeme svˇet kolem n´as lze rozdˇelit do dvou skupin:
• Skal´ arn´ı veliˇ ciny (skal´ ary) – jsou plnˇe urˇceny jedin´ ym ˇc´ıseln´ ym u ´dajem ud´avaj´ıc´ım jejich velikost – teplota, hmotnost, mnoˇzstv´ı,. . .
• Vektorov´ e veliˇ ciny (vektory) – k jejich popisu je tˇreba v´ıce ˇc´ısel v urˇcen´em poˇrad´ı – rychlost, s´ıla (velikost a smˇer), poloha (souˇradnice), barevn´ y odst´ın (souˇradnice RGB, CMYK), stav populace (poˇcet a ˇcas), . . .
Definice 1 (Vektor). Necht’ n ∈ N. Uspoˇr´ adanou n-tici re´aln´ ych ˇc´ısel v1 , v2 , . . . , vn v1 v2 ~v = . ∈ Rn .. vn ˇ ıslo n potom naz´ naz´ yv´ ame (re´ aln´ ym) vektorem. C´ yv´ame dimenz´ı (rozmˇerem) vektoru ~v a ˇc´ısla v1 , v2 , . . . , vn naz´ yv´ame sloˇzky vektoru ~v .
Pozn´ amka. Vektory se v literatuˇre nˇekdy zapisuj´ı do ˇr´adku, tj. ~v = (v1 , v2 , . . . , vn ). Je-li potom potˇreba pouˇz´ıt ho jako sloupec, pouˇz´ıv´a se na nˇej operace transpozice (viz d´ale v ˇc´asti o matic´ıch, kdy je na vektor nahl´ıˇzeno jako na matici o jedin´em ˇr´adku/sloupci), podobnˇe obr´acenˇe. 5
6
KAPITOLA 2. VEKTORY • Sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u definujeme po sloˇzk´ach, tj. pro ~v , w ~ ∈ Rn m´ame
v 1 + w1 w1 v1 v 2 w2 v 2 + w2 ~v + w ~ = . + . = ∈ Rn . .. .. .. . wn
vn
v n + wn
Je zˇrejm´e, ˇze je moˇzn´e sˇc´ıtat pouze vektory o stejn´e dimenzi. • N´asoben´ı vektoru ~v ∈ Rn skal´ arem α ∈ R definujeme tak, ˇze kaˇzdou sloˇzku vektoru ~v vyn´asob´ıme skal´ arem α, tj.
αv1 v1 v2 αv2 α~v = α . = . ∈ Rn . .. .. vn
αvn
Definice 2 (Nulov´ y vektor). Vektor
0 0 ~0 = .. . 0
naz´ yv´ ame nulov´y vektor.
Pro libovoln´e α ∈ R, ~v ∈ Rn plat´ı: • ~v + ~0 = ~v , • α~0 = ~0.
Definice 3 (Opaˇcn´ y vektor). Vektor −~v = −1~v naz´ yv´ ame opaˇcn´y vektor k vektoru ~v .
Plat´ı ~v + (−~v ) = ~v − ~v = ~0.
´ PROSTOR § 2.1. VEKTOROVY
7
Vlastnosti operac´ı na vektorech Pro vˇsechny vektory ~v , w ~ ∈ Rn a skal´ary α, β ∈ R plat´ı: (i) ~v + w ~ =w ~ + ~v ,
(iv) (α + β)~v = α~v + β~v ,
(ii) α~v = ~v α,
(v) α(β~v ) = (αβ)~v ,
(iii) α(~v + w) ~ = α~v + αw, ~
(vi) 1~v = ~v .
Definice 4 (Vektorov´ y prostor). Mnoˇzinu vˇsech n-rozmˇern´ ych vektor˚ u s operacemi sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u a n´asoben´ı vektoru re´aln´ ym ˇc´ıslem naz´ yv´ ame n-rozmˇern´ y vektorov´y prostor.
Pozn´ amka. Vektorov´ y prostor je uzavˇren na operace sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u a n´asoben´ı vektoru re´aln´ ym ˇc´ıslem. Tj. je-li V vektorov´ y prostor, ~v , w ~ ∈ V , a, b ∈ R, pak • ~v + w ~ ∈V, • a~v ∈ V , • a~v + bw ~ ∈V. Geometricky lze vektory (dimenze 2 a 3) zobrazit jako orientovan´ e pr˚ uvodiˇ u (v rovinˇe, ce bod˚ nebo v prostoru). Na obr. 2.1 jsou zobrazeny vektory ~v = 22 a w ~ = 31 .
Obr. 2.1: Vektory v rovinˇe. Operaci sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u lze snadno zn´azornit pomoc´ı tzv. rovnobˇeˇzn´ıkov´eho pravidla (viz obr. 2.2). N´ asoben´ı konstantou α ∈ R geometricky znamen´a prodlouˇzen´ı vektoru (pro α > 1),
8
KAPITOLA 2. VEKTORY
ˇz´adnou zmˇenu (pro α = 1), nebo jeho zkr´acen´ı (pro α < 1) pˇri zachov´an´ı jeho smˇeru. Vyn´asoben´ı z´ apornou konstantou nav´ıc vektor ot´aˇc´ı (viz obr. 2.3).
Obr. 2.2: Sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u.
Obr. 2.3: N´asoben´ı vektoru konstantou.
−−→ Vektor lze zadat tak´e pomoc´ı jeho poˇc´ateˇcn´ıho a koncov´eho bodu. Vektor w ~ = AB = B − A je orientovan´ au ´seˇcka z bodu A do bodu B, viz obr. 2.4.
Obr. 2.4: Vektor w ~ = B − A. Pozn´ amka. Protoˇze vektor je d´ an jen svou velikost´ı a smˇerem, zelen´e ˇsipky na obr. 2.4 jsou 1 jen r˚ uzn´a um´ıstˇen´ı t´ehoˇz vektoru w ~ = −1 . Definice 5 (Line´ arn´ı kombinace). Necht’ ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn a α1 , α2 , . . . , αm ∈ R. Vektor w ~ = α1~v1 + α2~v2 + · · · + αm~vm =
m X
αi~vi
i=1
naz´ yv´ ame line´ arn´ı kombinace vektor˚ u ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm .
−1 1 −3 5 1 , nebot’ Pˇ r´ıklad 1. Vektor w ~ = je line´ arn´ı kombinac´ı vektor˚ u ~u = 2 ~v = 4 3 −2
´ PROSTOR § 2.1. VEKTOROVY
9
1 −3 2 · 1 + (−3) −1 2·2+1 5 = w. 2~u + ~v = 2 2 + 1 = = ~ 3 −2 2 · 3 + (−2) 4 Definice 6 (Line´ arn´ı z´ avislost). ˇ Rekneme, ˇze vektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn jsou line´ arnˇe z´ avisl´e, jestliˇze je jeden z tˇechto vektor˚ u line´ arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze jsou line´ arnˇe nez´ avisl´e.
Plat´ı 1. Vektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn jsou line´ arnˇe z´ avisl´e pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı takov´ a ˇc´ısla α1 , α2 , . . . , αm ∈ R, ˇze aspoˇ n jedno z nich je nenulov´e a plat´ı m X
αi~vi = α1~v1 + α2~v2 + · · · + αm~vm = ~0.
i=1
Pozn´ amka. Vektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn jsou zcela jistˇe z´avisl´e, jestliˇze: • je mezi nimi aspoˇ n jeden nulov´ y vektor, • jsou mezi nimi aspoˇ n dva vektory stejn´e, • jeden z dan´ ych vektor˚ u je n´ asobkem jin´eho, • m > n (vektor˚ u je vˇetˇs´ı poˇcet, neˇz je jejich dimenze). 1 −3 −1 Pˇ r´ıklad 2. Vektory ~u = 2 , ~v = 1 a w ~ = 5 jsou line´ arnˇe z´ avisl´e, nebot’ w ~ = 3 −2 4 2~u + ~v , tj. 2~u + ~v − w ~ = ~0. Definice 7 (Skal´ arn´ı souˇcin). ˇ ıslo Necht’ ~v , w ~ ∈ Rn . C´ h~v , wi ~ = ~v · w ~ = v1 w1 + v2 w2 + · · · + vm wm =
m X
v i wi
i=1
naz´ yv´ ame skal´ arn´ı souˇcin vektor˚ u ~v , w. ~
Pˇ r´ıklad 3. −3 −1 h 7 , 5 i = (−3) · (−1) + 7 · 5 + (−2) · 4 = 3 + 35 − 8 = 30. −2 4
10
KAPITOLA 2. VEKTORY
§ 2.2
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 4. Jsou d´ any vektory
2 u = 3 , −5
−1 v = 4 , 0
1 w = 2 . 1
Spoˇctˇete: (i) 5w − u,
(iii) hu, vi = u · v,
(ii) 3u − 2v + w,
§ 2.3
(iv) h2u − w, −vi = (2u − w) · (−v).
Wolfram|Alpha
• Souˇcet vektor˚ u. (1,3,2) + (-2,4,5)
• N´asoben´ı vektoru konstantou. -2 (-1,0,2)
• Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u. 4 (-1,0,2) -3 (5,4,-6)
• Skal´arn´ı souˇcin. (-1,0,2).(5,4,-6)
• Line´ arn´ı (ne)z´ avislost. linear independence (-1,0,2),(5,4,-6),(1,2,3),(0,2,5)
Kapitola
3 Matice
§ 3.1
Definice a operace
Definice 8 (Matice). (Re´alnou) matic´ı typu m × n rozum´ıme obd´eln´ıkov´e ˇc´ıseln´e sch´ema a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . .. .. , .. .. . . . am1 am2 · · · amn kde ˇc´ısla aij ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, naz´ yv´ame prvky matice A. Mnoˇzinu vˇsech matic typu m × n znaˇc´ıme M atm×n (R). Matici A s prvky aij znaˇc´ıme tak´e A = (aij ).
Pozn´ amka. V pˇredchoz´ı definici m znaˇc´ı poˇcet ˇr´adk˚ u a n poˇcet sloupc˚ u matice A. Prvek aij se nach´az´ı v i-t´em ˇr´ adku a j-t´em sloupci matice A. • Sˇc´ıt´an´ı matic stejn´ ych rozmˇer˚ u definujeme po sloˇzk´ach, tj. pro A, B ∈ M atm×n (R) m´ame A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) ∈ M atm×n (R). Pˇ r´ıklad 5.
2 −1 −2 7 2 − 2 −1 + 7 0 6 0 1 + 4 −2 = 0 + 4 1 − 2 = 4 −1 5 3 1 8 5+1 3+8 6 11
Pˇ r´ıklad 6. 5 0 7 2 5 + = Nelze seˇc´ıst, matice maj´ı r˚ uzn´e rozmˇery. 4 1 4 1 0 • N´asoben´ı matice A ∈ M atm×n (R) skal´arem α ∈ R definujeme tak, ˇze kaˇzdou sloˇzku matice A vyn´ asob´ıme skal´ arem α, tj. αA = α(aij ) = (αaij ) ∈ M atm×n (R). 11
12
KAPITOLA 3. MATICE
Pˇ r´ıklad 7.
−2 7 7 · (−2) 7·7 −14 49 7 · (−1) = 28 −7 7 4 −1 = 7 · 4 1 8 7·1 7·8 7 56
Vlastnosti operac´ı na matic´ıch Pro vˇsechny matice A, B ∈ M atm×n (R) a skal´ary α, β ∈ R plat´ı: (i) A + B = B + A,
(iv) (α + β)A = αA + βA,
(ii) αA = Aα,
(v) α(βA) = (αβ)A,
(iii) α(A + B) = αA + αB,
(vi) 1A = A.
Definice 9. Necht’ A = (aij ) ∈ M atm×n (R). • Plat´ı-li m = n, naz´ yv´ ame matici A ˇctvercov´ a matice ˇr´adu m (ˇr´adu n). • Prvky aii ˇctvercov´e matice naz´ yv´ame prvky hlavn´ı diagon´ aly. • Matice, jej´ıˇz vˇsechny prvky jsou nulov´e, naz´ yv´ame nulov´ a matice a znaˇc´ıme O. ˇ • Ctvercovou matici, kter´ a m´a na hlavn´ı diagon´ale jedniˇcky a vˇsude jinde nuly, naz´ yv´ ame jednotkovou matic´ı a znaˇc´ıme I. • Matici, jej´ıˇz kaˇzd´ y ˇr´ adek zaˇc´ın´a vˇetˇs´ım poˇctem nul neˇz ˇr´adek pˇrech´azej´ıc´ı, naz´ yv´ ame schodovitou matic´ı. • Matici AT = (aji ) ∈ M atn×m (R) naz´ yv´ ame transponovan´ a matice k matici A. (Transponovan´a matice vznikne z´ amˇenou ˇr´ adk˚ u a sloupc˚ u p˚ uvodn´ı matice.)
Pˇ r´ıklad 8. Jsou d´ any matice 2 −1 0 1 0 1 0 1 2 3 A= ,B = , C = 0 1 3 , D = 2 0 . 0 1 0 0 −4 0 1 0 3 −4 • Matice A je ˇctvercovou matic´ı ˇr´ adu 2, je to jednotkov´ a matice a je schodovit´ a. • Matice B je schodovit´ a.
§ 3.1. DEFINICE A OPERACE
13
• Matice C je ˇctvercov´ a ˇr´ adu 3, nen´ı schodovit´ a. • Matice D je transponovan´ a k matici B, tj. D = B T a B = DT . Definice 10 (N´ asoben´ı matic). Necht’ matice A je typu m × p a B je matice typu p × n. Souˇcinem matic A a B (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme matici C typu m × n, pro jej´ıˇz prvky plat´ı cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · aip bpj = =
p X
aik bkj ,
k=1
pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. P´ıˇseme C = AB
Pozn´ amka. Pˇri n´ asoben´ı matic v pˇredchoz´ı definici vznikl prvek cij jako skal´arn´ı souˇcin i-t´eho ˇr´adku matice A a j-t´eho sloupce matice B. Pˇ r´ıklad 9. 3 0 −2 2 1 1 4 3 · 0 −4 = 2 7 1 5 9 −4 −15 3 · 2 + 0 · 0 + (−2) · 5 3 · 1 + 0 · (−4) + (−2) · 9 1 · 1 + 4 · (−4) + 3 · 9 = 17 12 = 1·2+4·0+3·5 9 −17 2·2+7·0+1·5 2 · 1 + 7 · (−4) + 1 · 9
3 0 −2 2 1 0 −4 · 1 4 3 = × 2 7 1 5 9 Matice nelze n´ asobit, nemaj´ı spr´ avn´e rozmˇery [(3 × 2)(3 × 3)].
Vˇ eta 1. Necht’ A, B, C jsou matice vhodn´ ych rozmˇer˚ u. Pak plat´ı (AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC.
Pozn´ amka. Souˇcin matic nen´ı komutativn´ı, tj. obecnˇe nelze zamˇen ˇovat poˇrad´ı n´asoben´ı matic.
14
KAPITOLA 3. MATICE Vˇ eta 2. Necht’ A ∈ M atm×n (R). Potom plat´ı A · In = A, Im · A = A.
ˇ Definice 11 (ERO). N´asleduj´ıc´ı u ´pravy matic naz´ yv´ame ekvivalentn´ı ˇr´ adkov´e operace (´ upravy) • v´ ymˇena dvou ˇr´ adk˚ u, • vyn´ asoben´ı ˇr´ adku nenulov´ ym ˇc´ıslem, • pˇriˇcten´ı jednoho ˇr´ adku k jin´emu, • vynech´ an´ı nulov´eho ˇr´ adku. ˇ Rekneme, ˇze matice A a B jsou ekvivalentn´ı a p´ıˇseme A ∼ B, jestliˇze lze matici A pˇrev´est koneˇcn´ ym poˇctem ekvivalentn´ıch u ´prav na matici B.
Vˇ eta 3. Kaˇzdou matici lze koneˇcn´ ym poˇctem ekvivalentn´ıch ˇr´adkov´ ych u ´prav pˇrev´est do schodovit´eho tvaru.
§ 3.2
Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda
Pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody (GEM) lze pˇrev´est libovolnou matici do schodovit´eho tvaru.
ˇ ´I METODA § 3.2. GAUSSOVA ELIMINACN
15
Postup (i) V matici najdeme sloupec nejv´ıce vlevo s alespoˇ n jedn´ım nenulov´ ym prvkem. (ii) Zvol´ıme v tomto sloupci jeden z nenulov´ ych prvk˚ u (tzv. pivota) a pˇrem´ıst´ıme ˇr´ adek, ve kter´em se nach´ az´ı, na pozici prvn´ıho ˇr´adku (pomoc´ı v´ ymˇeny ˇr´adk˚ u). ˇ vynulujeme prvky pod pivotem. Vznikne-li nulov´ (iii) Pomoc´ı ERO y ˇr´adek, vynech´ ame ho. (iv) Kroky (i)–(iii) opakujeme na podmatici vznikl´e z p˚ uvodn´ı matice vynech´an´ım ˇr´ adku s pivotem. (v) Postup opakujeme, dokud nen´ı matice ve schodovit´em tvaru
Pozn´ amka. Kdykoliv bˇehem postupu m˚ uˇzeme nˇekter´ y ˇr´adek vyn´asobit, nebo vydˇelit vhodn´ ym ˇc´ıslem tak, abychom matici zjednoduˇsili. Pˇ r´ıklad 10.
0 −1 A= 1 3 2 1 1 3 ∼ 0 -1 0 −5
2 6 1 3 −3 0 I ↔ II ∼ 0 −1 2 6 −3 0 2 1 4 1 III − 2 · I 4 1 −3 0 1 3 −3 0 6 ∼ 0 −1 2 2 6 0 0 0 −29 10 1 III − 5 · II
Definice 12 (Hodnost matice). Necht’ A ∈ M atm×n (R). Hodnost´ı h(A) matice A rozum´ıme maxim´aln´ı poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ ych ˇr´ adk˚ u (= poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ ych sloupc˚ u).
Vˇ eta 4. • Hodnost matice ve schodovit´em tvaru je rovna poˇctu jej´ıch nenulov´ ych ˇr´adk˚ u. • Matice transponovan´ a m´ a stejnou hodnost jako matice p˚ uvodn´ı. • Ekvivalentn´ı matice maj´ı stejnou hodnost.
Pˇ r´ıklad 11. V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu 0 −1 A= 1 3 2 1
jsme zjistili, ˇze 2 6 1 3 −3 0 −3 0 ∼ 0 −1 2 6 , 4 1 0 0 0 −29
16
KAPITOLA 3. MATICE
tedy h(A) = 3. Pozn´ amka. T´ımto zp˚ usobem lze tak´e snadno zjistit, zda jsou dan´e vektory line´arnˇe z´avisl´e, popˇr. z nich dokonce vybrat maxim´ aln´ı poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ ych vektor˚ u. Vektory naskl´ ad´ ame jako sloupce do matice, tu pˇrevedeme do schodovit´eho tvaru. Line´arnˇe nez´avisl´e vektory jsou ty, kter´e se nach´azely ve sloupc´ıch s pivoty. Definice 13. Necht’ A je ˇctvercov´ a matice ˇr´ adu n. Jestliˇze existuje ˇctvercov´a matice A−1 ˇr´adu n takov´ a, ˇze plat´ı A · A−1 = I = A−1 · A, naz´ yv´ ame matici A−1 inverzn´ı matic´ı k matici A.
Vˇ eta 5. Necht’ je A ˇctvercov´ a matice ˇr´ adu n. Potom k n´ı existuje inverzn´ı matice A−1 pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´ a matice A line´ arnˇe nez´avisl´e ˇr´adky (ˇr´ık´ame, ˇze je regul´arn´ı).
Z pˇredchoz´ı vˇety plyne, ˇze inverzn´ı matici lze naj´ıt jen ke ˇctvercov´e matici, kter´a m´a plnou hodnost. To znamen´ a, ˇze ve schodovit´em tvaru jsou vˇsichni pivoti na jej´ı hlavn´ı diagon´ale a v pr˚ ubˇehu GEM se neobjevil ˇz´ adn´ y nulov´ y ˇr´adek. J´adrem algoritmu pro v´ ypoˇcet inverzn´ı matice je tzv. u ´pln´ a Gaussova eliminace, kter´a spoˇc´ıv´a v tom, ˇze po z´ısk´an´ı schodovit´eho tvaru pokraˇcujeme stejn´ ym zp˚ usobem v nulov´an´ı prvk˚ u nad pivoty (se kter´ ymi se uˇz neh´ ybe), a to zprava doleva. Postup 1. K matici A pˇrid´ ame jednotkovou matici stejn´e velikosti. T´ım z´ısk´ame rozˇs´ıˇrenou matici (A|I). 2. Pomoc´ı u ´pln´e Gaussovy eliminace pˇrevedeme matici A na diagon´aln´ı matici ˇ (tj. matici, kter´ a m´ a nenulov´e prvky pouze na hlavn´ı diagon´ale). Vˇsechny ERO pˇritom prov´ ad´ıme s cel´ymi ˇr´adky matice (A|I). 3. Kaˇzd´ y ˇr´ adek matice (A|I) vydˇel´ıme diagon´aln´ım prvkem matice A, kter´ y se v nˇem nach´ az´ı. 4. T´ım jsme matici A pˇrevedli na matici I a matici I na matici A−1 . V´ ysledn´a −1 rozˇs´ıˇren´ a matice je tedy (I|A ).
ˇ ´I METODA § 3.2. GAUSSOVA ELIMINACN
17
Pozn´ amka. Opˇet jako u ne´ upln´e“ Gaussovy eliminaˇcn´ı metody m˚ uˇzeme kdykoliv to jde ” matici zjednoduˇsit vhodnou u ´pravou (zvl´aˇstˇe vydˇelen´ı ˇr´adku spoleˇcn´ ym dˇelitelem vˇsech jeho prvk˚ u). Pˇ r´ıklad 12. Najdˇete inverzn´ı matice k matic´ım A, B a C.
1 2 1 3 2 2 3 −1 2 A = 3 4 , B = −1 0 4 , C = 4 1 5 6 2 3 3 2 −2 3
Matice A nen´ı ˇctvercov´ a, tedy k n´ı neexistuje inverzn´ı matice.
1 3 2 1 0 (B|I) = −1 0 4 0 1 2 3 3 0 0 1 3 2 1 ∼ 0 3 6 1 0 −3 −1 −2 1 3 2 1 0 ∼ 0 3 6 1 1 0 0 5 −1 1 1 1 3 2 1 ∼ 0 3 6 0 0 1 −1/5 1 3 0 7/5 ∼ 0 3 0 11/5 0 0 1 −1/5
0 0 II + I III − 2 · I 1 0 0 1 0 III + II 0 1 0 0 1 · 51 0 0 I − 2 · III 1 0 II − 6 · III 1/5 1/5 −2/5 −2/5 I − II −1/5 −6/5 1/5 1/5
1 0 0 −4/5 −1/5 4/5 ∼ 0 3 0 11/5 −1/5 −6/5 · 13 0 0 1 −1/5 1/5 1/5 1 0 0 −4/5 −1/5 4/5 ∼ 0 1 0 11/15 −1/15 −6/15 = (I|B −1 ) 0 0 1 −1/5 1/5 1/5 Tedy
B −1
−4/5 −1/5 4/5 −12 −3 12 1 = 11/15 −1/15 −6/15 = · 11 −1 −6 15 −1/5 1/5 1/5 −3 3 3
18
KAPITOLA 3. MATICE
2 (C|I) = 4 2 2 ∼ 0 0 2 0 ∼ 0
3 −1 1 0 0 1 2 0 1 0 II − 2I III − I −2 3 0 0 1 3 −1 1 0 0 -5 4 −2 1 0 III − II −5 4 −1 0 1 0 0 3 −1 1 −5 4 −2 1 0 0 0 1 −1 1
Matice C nen´ı regul´ arn´ı (h(C) = 2), tedy k n´ı neexistuje inverzn´ı matice.
§ 3.3
Aplikace – Leslieho model r˚ ustu
Pomoc´ı Leslieho modelu je moˇzn´e odhadnout v´ yvoj populace. Pop´ıˇseme si pouze jej´ı vytvoˇren´ı a pouˇzit´ı. Zkoum´ ame nˇejak´ y syst´em jednotlivc˚ u (zv´ıˇrata, hmyz, bunˇeˇcn´e kultury,. . . ) rozdˇelen´ y do n skupin (st´ aˇr´ı, f´ aze v´ yvoje,. . . ). Stav v ˇcase k je tedy d´an vektorem
a1 a2 xk = . , .. an kde ai , i = 1, . . . , n, je poˇcet jedinc˚ u skupiny i v ˇcase k. (Line´arn´ı) model v´ yvoje takov´eho syst´emu je d´ an matic´ı A ∈ M atn×n (R), kter´a popisuje zmˇenu z xk na xk+1 (jde o iterovan´ y proces): xk+1 = Axk . Leslieho matice m´ a tvar
f1 f2 f3 τ1 0 0 0 τ2 0 A = 0 0 τ 3 0 0 0 0 0 0
··· ··· ··· ··· .. .
fn 0 0 0
, 0
· · · τn−1
kde fi je relativn´ı plodnost a τi relativn´ı pˇreˇzit´ı skupiny i. Pˇ r´ıklad 13. Uvaˇzujme populaci nezmar˚ u, kteˇr´ı se doˇz´ıvaj´ı tˇr´ı mˇes´ıc˚ u. Kaˇzd´y nezmar splod´ı mezi prvn´ım a druh´ym mˇes´ıcem dva mal´e nezm´ arky, stejnˇe tak mezi druh´ym a tˇret´ım mˇes´ıcem ˇzivota. Mlad´ı nezmaˇri (do st´ aˇr´ı jednoho mˇes´ıce) neplod´ı. Polovina nezmar˚ u po dovrˇsen´ı druh´eho mˇes´ıce um´ır´ a, po dovrˇsen´ı tˇret´ıho mˇes´ıce um´ıraj´ı vˇsichni. Napiˇste Leslieho matici nezmaˇr´ıho modelu a urˇcete sloˇzen´ı populace, o sloˇzen´ı (17, 102, 191) po tˇrech mˇes´ıc´ıch.
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 3.4. PR
19
ˇ sen´ı: Leslieho matice je Reˇ 0 2 2 A = 1 0 0 . 0 1/2 0 Dan´a populace bude m´ıt po tˇrech mˇes´ıc´ıch sloˇzen´ı 3 0 2 2 17 1189 A3 · (poˇc´ ateˇcn´ı sloˇzen´ı) = 1 0 0 · 102 = 136 . 0 1/2 0 191 293 Pozn´ amka. Z modelu dan´eho Leslieho matic´ı lze snadno urˇcit i pˇr´ır˚ ustek za obdob´ı a tak´e k jak´emu sloˇzen´ı (vzhledem k “vˇekov´ ym” skupin´am) populace spˇeje. K oboj´ımu se vr´at´ıme po probr´an´ı n´ aleˇzit´ ych matematick´ ych n´astroj˚ u. Populace z nezmaˇr´ıho pˇr´ıkladu m´a pˇr´ır˚ ustek cca 62% a ust´ al´ı se na sloˇzen´ı cca 52 : 32 : 10. Tedy nejmladˇs´ıch bude (cca) 55, 32%, stˇredn´ıho vˇeku 34, 04% a senior˚ u 10, 64%.
§ 3.4
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı1
Pˇ r´ıklad 14. Jsou d´ any matice 1 2 A = 3 4 , 5 6
−2 8 B = 0 3 . 2 1
Spoˇctˇete: (iv) AB T ,
(i) A + B, (ii) 3A − 2B, (iii) A − 3B T ,
(v) AB.
Pˇ r´ıklad 15. Jsou d´ any matice
1 5 −2 A = 0 4 3 , 2 0 1
−4 0 1 1 B= 2 0 1 −3
2 1 , 0 2
−2 5 C = 0 3 . 1 1
Urˇcete, v jak´em poˇrad´ı je lze vyn´ asobit a n´ asoben´ı proved’te. Pˇ r´ıklad 16. Proved’te tot´eˇz, co v pˇr´ıkladu 15, pro transponovan´e matice AT , B T , C T . Pˇ r´ıklad 17. Pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody pˇreved’te matici D na schodovit´y tvar. 1 2 1 D = 3 1 −1 . −2 1 3 1
Nejvˇetˇs´ı matice v testu bude 3 × 3 nebo 4 × 4. Je to test, ne re´ aln´ y ˇzivot. (Michael Sand)
20
KAPITOLA 3. MATICE
Pˇ r´ıklad 18. Urˇcete hodnost matice
1 5 3 0 E = −1 −2 0 −4 . 0 2 2 0 D´ ale urˇcete, kter´e sloupce v matici E jsou line´ arnˇe nez´ avisl´e. Pˇ r´ıklad 19. Najdˇete matici inverzn´ı k zadan´ym matic´ım.
2 1 A = −1 3 , 4 5
2 −1 0 1 0 3 , F = −3 1 2
4 2 −3 G = 1 0 2 , 2 2 −7
1 −2 0 1 3 1 2 −2 H= 0 1 3 0 . 2 −2 3 1
Pˇ r´ıklad 20. Jsou d´ any matice
0 −2 1 . B= 3 −1 2
Spoˇctˇete 3A − 2B, AB T , AT B. Pˇ r´ıklad 21. Jsou d´ any vektory −2 u = 0 , 1
3 v = −1 . 4
Spoˇctˇete hu, vi, uv T , uT v. Pˇ r´ıklad 22. Urˇcete hodnost matice
2 −1 0 3 3 2 −3 . A= 1 −1 4 2 −6 Pˇ r´ıklad 23. Napiˇste pˇr´ıklady matic o hodnosti 1, 2, 3 a 4 a hodnost zd˚ uvodnˇete. Pˇ r´ıklad 24. Jsou d´ any vektory 1 −1 −6 1 0 u1 = 4 , u2 = 2 , u3 = 0 , u4 = −2 , u5 = 2 . 0 1 4 3 −1 Vyberte z nich co nejv´ıce line´ arnˇe nez´ avisl´ych vektor˚ u. Pˇ r´ıklad 25. Najdˇete inverzn´ı matici k matic´ım −2 1 3 A = 2 −2 1 , 1 −3 3
3 2 0 1 B= 2 1 2 −3
1 −2 0 −1 . 1 −2 0 3
§ 3.5. WOLFRAM|ALPHA
§ 3.5
21
Wolfram|Alpha
• Souˇcet matic. {(-1,0,2),(5,4,-6),(1,2,3)} + {(2,1,0),(6,-3,4),(2,2,5)}
• N´asoben´ı matice konstantou. 3 {(5,-3,0),(2,1,-3),(4,0,3)}
• Line´ arn´ı kombinace matic. -2 {(3,3,2),(-2,1,6),(1,5,3)} +5 {(2,2,-2),(3,-6,1),(0,2,7)}
• Souˇcin matic. {(-1,1,0,2),(5,4,-4,-6),(3,5,2,-3)}.{(0,1),(3,-3),(2,-1),(5,0)}
• Hodnost matice. rank{(5,-4,8),(3,-3,4),(3,-3,4),(2,-1,4)}
• Transponovan´ a matice. transpose{(4,2,-1),(3,9,5),(2,-1,1),(1,6,-2)}
• Inverzn´ı matice. inverse{(2,-1,3),(0,-3,2),(2,-1,5)}
22
KAPITOLA 3. MATICE
Kapitola
4 Soustavy line´arn´ıch rovnic I
§ 4.1
Definice a pojmy
Definice 14 (Soustava line´ arn´ıch rovnic). Necht’ aij ∈ R, bi ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Soustavou m line´arn´ıch rovnic o n nezn´am´ ych x1 , x2 , . . . , xn rozum´ıme soustavu rovnic a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .
(SLR)
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
Vˇ eta 6. ˇ sen´ı soustavy line´ Reˇ arn´ıch rovnic (SLR) rozum´ıme uspoˇr´adanou n-tici re´aln´ ych ˇc´ısel r1 , r2 , . . . , rn , po jejichˇz dosazen´ı za nezn´am´e x1 , x2 , . . . , xn (v tomto poˇrad´ı) do soustavy line´ arn´ıch rovnic dostaneme ve vˇsech rovnic´ıch identity.
23
´ ´ICH ROVNIC I KAPITOLA 4. SOUSTAVY LINEARN
24
Definice 15 (Matice soustavy). • Matici
a11 a21 A= . ..
a12 a22 .. .
a1n a2n .. .
··· ··· .. .
am1 am2 · · · amn naz´ yv´ ame matic´ı soustavy (SLR). • Matici
Ar =
a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
··· ··· .. .
a1n a2n .. .
b1 b2 .. .
am1 am2 · · · amn bm naz´ yv´ ame rozˇs´ıˇrenou matic´ı soustavy (SLR).
Pozn´ amka. Soustavu (SLR) m˚ uˇzeme a11 a12 a21 a22 .. .. . .
zapsat v maticov´e formˇe: · · · a1n x1 b1 x2 b2 · · · a2n .. · .. = .. , .. . . . .
am1 am2 · · · amn
xn
bm
po pˇr´ısluˇsn´em oznaˇcen´ı Ax = b. Definice 16 (Homogenn´ı soustava line´arn´ıch rovnic). Jestliˇze v soustavˇe (SLR) plat´ı b1 = b2 = · · · = bm = 0, naz´ yv´ ame tuto soustavu homogenn´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se naz´ yv´a soustava nehomogenn´ı.
Pozn´ amka. Homogenn´ı soustava line´arn´ıch rovnic m´a bud’ pouze trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı (jestliˇze h(A) = n), nebo nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı (jestliˇze h(A) < n), kter´a lze vyj´adˇrit pomoc´ı n − h(A) nez´ avisl´ ych parametr˚ u. Vˇ eta 7 (Frobeniova). Soustava line´ arn´ıch rovnic Ax = b je ˇreˇsiteln´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz matice soustavy A a rozˇs´ıˇren´ a matice soustavy Ar = (A|b) maj´ı stejnou hodnost.
ˇ SEN ˇ ´I SOUSTAV LINEARN ´ ´ICH ROVNIC § 4.2. RE
25
Poˇ cet ˇ reˇ sen´ı SLR • Jestliˇze h(A) 6= h(Ar ), soustava nem´ a ˇreˇsen´ı. • Jestliˇze h(A) = h(Ar ) = n, soustava m´ a pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı. • Jestliˇze h(A) = h(Ar ) < n, soustava m´ a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, kter´a lze vyj´ adˇrit pomoc´ı n − h(A) nez´avisl´ ych parametr˚ u.
§ 4.2
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic
Definice 17 (Ekvivalentn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic). Dvˇe soustavy line´ arn´ıch rovnic se naz´ yvaj´ı ekvivalentn´ı, jestliˇze maj´ı shodn´e ˇreˇsen´ı.
Postup (i) Pomoc´ı GEM pˇrevedeme rozˇs´ıˇrenou matici soustavy Ar = (A|b) na schodovit´ y tvar. (ii) Pomoc´ı Frobeniovy vˇety rozhodneme, zda m´a soustava ˇreˇsen´ı. (iii) Je-li soustava ˇreˇsiteln´ a, pˇriˇrad´ıme schodovit´e matici soustavu line´arn´ıch rovnic. Tato je ekvivalentn´ı s p˚ uvodn´ı soustavou. (iv) Postupnˇe ˇreˇs´ıme rovnice od posledn´ı a z´ıskan´e v´ ysledky dosazujeme do n´ asleduj´ıc´ıch rovnic. M´ a-li soustava nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, zvol´ıme vhodn´e promˇenn´e za nez´ avisl´e parametry.
Pozn´ amka. Je-li matice A soustavy Ax = b regul´arn´ı, pak m´a tato soustava vˇzdy jedin´e ˇreˇsen´ı. Toto ˇreˇsen´ı je moˇzn´e z´ıskat pouˇzit´ım inverzn´ı matice A−1 . −1 /A −−→ A−1 Ax = A−1 b
Ax = b
Ix = A−1 b x = A−1 b.
Pozor, obˇe strany rovnice mus´ıme vyn´asobit matic´ı ze stejn´e strany (zde zleva), protoˇze n´asoben´ı matic nen´ı komutativn´ı.
´ ´ICH ROVNIC I KAPITOLA 4. SOUSTAVY LINEARN
26 Pˇ r´ıklad 26.
x+y+z =3 2x + 7y + z = −2 x + 2y + z = 4
1 1 1 3 5 1 −6 1 A = 2 7 1 , b = −2 , A−1 = −1 0 1 2 1 4 −3 −1 5 x 5 1 −6 3 −11 y = A−1 · b = −1 0 1 · −2 = 1 z −3 −1 5 4 13 ˇ sen´ı je tedy x = −11, y = 1, z = 13. Reˇ
§ 4.3
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 27. Vyˇreˇste soustavu line´ arn´ıch rovnic: (i)
(v) x + y + z = 6,
2x + 3y − z = 9,
x − y + z = 2,
x − y + z = −2,
x − 2y − 2z = −6,
−x + 2y − 3z = 6, (vi)
(ii)
x + y + z = 6, x + 3y + 2z = −1,
x + 2y − 2z = 4,
2x + 7y + 6z = 3,
2x + 3y − z = 10,
x + 5y + 6z = 13, (vii) (iii)
2x + 2y + z = −1, −3x + y = 0,
2x − 3y − 6z = −13,
2x + 3y − z = 1,
x − y − 2z = −5,
4x + 5y = 0,
−x + 2y + 4z = 8, (viii) (iv)
−3x + y − 2z = 4, 2x1 + 3x2 − x4 = 1, 3x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 3, x1 − x2 + 4x3 − x4 = 2,
−3x + y − z = 2, x + 3y − 5z = −2, 4x + 5y − 3z = 1,
§ 4.4. WOLFRAM|ALPHA (ix)
27 (x)
x + y − 2z − w = 2,
x1 + x2 − 2x3 − x4 = 2,
−2x + 3y − z + 2w = 1,
2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 3,
3x + 2y − z − 3w = −2, 4x − 2y − 3z − 2w = 1.
§ 4.4
x1 − 3x2 + 3x3 + 3x4 = 1, 4x1 − 4x2 + 2x3 + 4x4 = 6.
Wolfram|Alpha
ˇ sen´ı soustavy line´ • Reˇ arn´ıch rovnic. solve 2x+3y-z=2,5x-y-4z=7,x-y+6z=1 solve x1+3x2-5x3+x4=12,2x1-x2+x3-x4=-5,x3-5x4=1
28
´ ´ICH ROVNIC I KAPITOLA 4. SOUSTAVY LINEARN
Kapitola
5 Determinanty
§ 5.1
Definice a determinanty do ˇ r´ adu 3
Definice 18 (Permutace). Necht’ jsou d´ ana ˇc´ısla 1, 2, . . . , n. Permutac´ı tˇechto prvk˚ u rozum´ıme uspoˇr´adanou n-tici, kter´ a vznikla jejich pˇreskl´ad´an´ım. Inverz´ı rozum´ıme z´amˇenu i-t´eho a j-t´eho prvku v permutaci.
Pozn´ amka. Poˇcet permutac´ı n-prvkov´e mnoˇziny je n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1. Napˇr. permutac´ı prvk˚ u 1, 2, 3 je 3! = 3 · 2 · 1 = 6, konkr´etnˇe: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Definice 19 (Determinant). Necht’ A je ˇctvercov´ a matice ˇr´ adu n. Determinant matice A je ˇc´ıslo det A = |A| ∈ R, X det A = (−1)p a1k1 a2k2 · · · ankn , ˇ ıslo p kde sˇc´ıt´ ame pˇres vˇsechny permutace (k1 , k2 , . . . , kn ) sloupcov´ ych index˚ u. C´ znaˇc´ı poˇcet inverz´ı pˇr´ısluˇsn´e permutace.
Pozn´ amka. Podle definice tedy staˇc´ı“ vz´ıt po jednom prvku z kaˇzd´eho ˇr´adku tak, aby ˇz´adn´e ” dva nebyly ze stejn´eho sloupce. Tyto prvky mezi sebou vyn´asobit. Determinant je pr´avˇe souˇctem vˇsech tˇechto souˇcin˚ u. Z toho je vidˇet, ˇze definice nen´ı vhodn´a pro poˇc´ıt´an´ı determinant˚ u matic vˇetˇs´ıch rozmˇer˚ u. 29
30
KAPITOLA 5. DETERMINANTY V´ ypoˇ cet determinant˚ u niˇ zˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u • Determinant ˇr´ adu 1: det(a11 ) = a11 .
• Determinant ˇr´ adu 2 – kˇr´ıˇzov´e pravidlo: a11 a12 a11 a12 = a11 a22 −a21 a12 . det = a21 a22 a21 a22 • Determinant ˇr´ adu 3 – Sarrusovo pravidlo a11 a21 a11 a12 a13 det A = det a21 a22 a23 = a31 a31 a32 a33 a11 a21
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 −a31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33 .
§ 5.2
Determinanty vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u
Definice 20. Necht’ A je ˇctvercov´ a matice ˇr´ adu n. Vynech´ame-li v matici A i-t´ y ˇr´adek j-t´ y sloupec, oznaˇcujeme derminant vznikl´e submatice Mij a naz´ yv´ame jej minor pˇr´ısluˇsn´ y prvku ˇ ıslo aij . C´ Aij = (−1)i+j Mij naz´ yv´ ame algebraick´y doplnˇek prvku aij .
ˇS ˇ´ICH R ˇ AD ´ ˚ § 5.2. DETERMINANTY VYS U
31
Vˇ eta 8 (Laplace˚ uv rozvoj). Necht’ A je ˇctvercov´ a matice ˇr´adu n. Pro libovoln´ y ˇr´adek (sloupec) determinantu det A plat´ı det A = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj =
det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain =
n X
aij Aij
i=1 n X
aij Aij .
j=1
Pˇ r´ıklad 28. Je d´ an determinant −2 3 1 5 0 . det A = 4 3 −1 −4 Protoˇze druh´ y ˇr´ adek a tˇret´ı sloupec obsahuje nulu, je vhodn´e zvolit pro Laplace˚ uv rozvoj jeden z nich. Zvolme druh´ y ˇr´ adek a poˇc´ıtejme: −2 3 1 3 1 , 4 5 0 , a21 = 4, M21 = −1 −4 3 −1 −4 A21 = (−1)2+1 · M21 = (−1) · [−12 − (−1)] = 11 −2 3 1 4 0 , 5 3 −1 −4
a22 = 5,
M22
−2 1 , = 3 −4
A22 = (−1)2+2 · M22 = 1 · [8 − 3] = 5 −2 3 1 4 5 0 , 3 −1 −4
a23 = 0,
M23
−2 3 , = 3 −1
A23 = (−1)2+3 · M23 = (−1) · [2 − 9] = 7. Odtud det A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 = 4 · 11 + 5 · 5 + 0 · 7 = 69. Pozn´ amka. Determinant ˇr´ adu n se pomoc´ı Laplaceova rozvoje pˇrevede na nejv´ yˇse n determinant˚ u ˇr´adu n − 1. Pˇritom c´ılem je pˇrev´est determinant vyˇsˇs´ıho ˇr´adu na determinanty ˇr´adu 2 nebo 3, kter´e lze snadno spoˇc´ıtat kˇr´ıˇzov´ ym, resp. Sarrusov´ ym pravidlem. Napˇr. determinant ˇr´adu 5 vede na nejv´ yˇse 5 determinant˚ u ˇr´adu 4. Z nich kaˇzd´ y vede na nejv´ yˇse 4 determinanty ˇr´adu 3. Celkem tedy determinant ˇr´ adu 5 vede na nejv´ yˇse 20 determinant˚ u ˇr´adu 3, popˇr. na 60 determinant˚ u ˇr´ adu 2. Proto je velmi vhodn´e vyb´ırat pro rozvoj ˇr´adek, nebo sloupec obsahuj´ıc´ı co nejvˇetˇs´ı poˇcet nulov´ ych prvk˚ u.
32
KAPITOLA 5. DETERMINANTY
§ 5.3
´ Upravy determinant˚ u
Vˇ eta 9 (Operace nemˇen´ıc´ı hodnotu determinantu). Ponech´ an´ı jednoho ˇr´ adku/sloupce beze zmˇeny a pˇriˇcten´ı jeho n´asobku k jin´emu ˇr´adku/sloupci nemˇen´ı hodnotu determinantu.
Pˇ r´ıklad 29.
1 2 1 2 3 I 3 2 0 1 II − 2I = 0 −4 −5 0 8 −3 2 −1 III + 3I 8 1+1 −4 −5 = 1 · (−32 + 40) = 8. = 1 · (−1) · 8 8
Vˇ eta 10 (Operace mˇen´ıc´ı hodnotu determinantu). • Z´ amˇena dvou ˇr´ adk˚ u/sloupc˚ u determinantu zmˇen´ı jeho znam´enko. • Vyn´ asoben´ı ˇr´ adku/sloupce nenulov´ ym ˇc´ıslem α zvˇetˇs´ı hodnotu determinantu α-kr´ at. (Tj. z ˇr´ adk˚ u/sloupc˚ u lze vyt´ ykat pˇred determinant.)
Pˇ r´ıklad 30.
4 2 8 1 0 2 1 0 2 I ↔ II 1 0 2 = − 4 2 8 = −2 · 2 1 4 3 5 4 3 5 4 3 5 4
Vˇ eta 11. Jsou d´ any ˇctvercov´e matice A, B ˇr´adu n. (i) |A| = 0 ⇔ ˇr´ adky nebo sloupce matice A jsou line´arnˇe z´avisl´e, (ii) matice A obsahuje nulov´ y ˇr´adek nebo sloupec ⇒ |A| = 0, (iii) |AT | = |A|, (iv) jestliˇze je |A| = 6 0, pak |A−1 | =
1 |A| ,
(v) |A · B| = |A| · |B|, (vi) determinant matice ve schodovit´em tvaru je roven souˇcinu prvk˚ u na jej´ı hlavn´ı diagon´ ale.
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 5.4. PR
§ 5.4
33
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 31. Urˇcete determinanty: (i) −8 ,
5 0 1 (iv) 2 3 0 , 1 8 −3 2 x 1 − x , (v) 5x 3 a − b 3 2a (vi) b − 1 −2a a + 2b , b 3a ab
2 −3 , (ii) 1 5 1 5 1 (iii) −1 3 2 , 2 −1 3 Pˇ r´ıklad 32. 1 2 3 1 (i) 2 4 −2 1
Urˇcete determinanty: 1 0 0 3 , (ii) 3 1 3 1
−2 1 0 2
1 0 4 3 2 1 , 2 −4 −1 3 1 4
−1 2 (iii) 3 1 0
Pˇ r´ıklad 33. Vypoˇctˇete determinant: −2 4 3 −1 3 −3 2 4 2 −2 0 1 . 1 2 0 −2
§ 5.5
Wolfram|Alpha
• V´ ypoˇcet determinantu. det{(2,-1,1,3),(6,2,0,1),(-2,5,3,1),(2,2,0,1)}
2 1 3 2 0 1 −1 2 4 −2 1 −1 . 0 3 1 2 1 2 −2 1
34
KAPITOLA 5. DETERMINANTY
Kapitola
6 Soustavy line´arn´ıch rovnic II
§ 6.1
Cramerovo pravidlo
Uvaˇzujme soustavu n line´ arn´ıch rovnic o n nezn´am´ ych Ax = b. Matice A takov´eto soustavy je tedy ˇctvercov´ a matice ˇr´ adu n. Jestliˇze je determinant matice A nenulov´ y, tedy soustava Ax = b m´ a pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı, lze pouˇz´ıt k jej´ımu vyˇreˇsen´ı tzv. Cramerovo pavidlo. Jeho v´ yhodou je, ˇze je moˇzn´e spoˇc´ıtat libovolnou nezn´amou bez znalosti ostatn´ıch. Vˇ eta 12 (Cramerovo pravidlo). Necht’ je A ˇctvercov´ a regul´ arn´ı matice ˇr´adu n. Potom m´a soustava line´arn´ıch rovnic Ax = b jedin´e ˇreˇsen´ı x, pro jehoˇz i-tou sloˇzku plat´ı xi =
Di , D
kde D = det A a Di je determinant matice ˇr´adu n vznikl´e z matice A n´ahradou jej´ıho i-t´eho sloupce za sloupec prav´ ych stran b.
Pˇ r´ıklad 34. Urˇcete hodnotu nezn´ am´e promˇenn´e x2 ze soustavy line´ arn´ıch rovnic 2x1 + x2 − x3 = 1 x1 + 3x2 + x3 = 0 −x1 + 2x2 + x3 = 3. ˇ s´ıme tedy soustavu line´ Reˇ arn´ıch rovnic 2 1 1 3 −1 2
Ax = b −1 x1 1 1 · x2 = 0 . 1 x3 3
Pro v´ ypoˇcet nezn´ am´e x2 je nutn´e urˇcit determinanty D a D2 : 2 1 −1 D = det A = 1 3 1 = −5. −1 2 1 35
´ ´ICH ROVNIC II KAPITOLA 6. SOUSTAVY LINEARN
36
Protoˇze je det A 6= 0, lze pouˇz´ıt Cramerovo pravidlo. 2 1 −1 D2 = 1 0 1 = −11. −1 3 1 Tedy x2 =
§ 6.2
D2 D
=
−11 −5
=
11 5 .
Aplikace – Leslieho model r˚ ustu II
Pˇ r´ıklad 35. Mˇejme d´ an zjednoduˇsen´y model populace jist´eho modr´eho pt´ aˇcka (lat. Ptacchus modrus). Populace je rozdˇelena do ˇctyˇr vˇekov´ych skupin – vaj´ıˇcko, ml´ adˇe v hn´ızdˇe, l´etaj´ıc´ı ml´ adˇe a dospˇel´y jedinec. Je zn´ amo, ˇze b´yv´ a zniˇceno sedm vaj´ıˇcek ze ˇsestn´ acti, osmina ml´ ad’at v hn´ızdˇe uhyne a dalˇs´ı osmina zemˇre pˇri pokusu o prvn´ı let. Z l´etaj´ıc´ıch ml´ ad’at se dospˇelosti doˇzij´ı tˇri ze ˇctyˇr a p´ ar dospˇel´ych pt´ aˇck˚ u pˇrivede na svˇet pr˚ umˇernˇe 32 vaj´ıˇcek. Napiˇste matici modelu, urˇcete pˇr´ır˚ ustek populace a v´ysledn´y pomˇer mezi vˇekov´ymi skupinami. ˇ sen´ı: Leslieho matice je Reˇ
0
9 16 A= 0 0
0 0 3 4
0
0 16 0 0 . 0 0 3 0 4
Pˇr´ır˚ ustek a v´ ysledn´ y pomˇer populace z´ısk´ame pomoc´ı tzv. vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u. Protoˇze n´as zaj´ım´ a jen algoritmick´e ˇreˇsen´ı dan´eho probl´emu, nebudeme se zab´ yvat teori´ı na pozad´ı. Vlastn´ı ˇc´ısla z´ısk´ ame tak, ˇze od kaˇzd´eho prvku na hlavn´ı diagon´ale Leslieho matice odeˇcteme nezn´ amou λ a spoˇc´ıt´ ame determinant. Determinantem je polynom s promˇennou λ a jeho koˇreny jsou pr´ avˇe vlastn´ı ˇc´ısla naˇs´ı matice. Z nich n´as zaj´ım´a pouze jedin´e – nejvˇetˇs´ı re´aln´e. To ud´ av´ a pˇr´ır˚ ustek dan´e populace. −λ 0 0 16 9 4 3 0 0 4 16 −λ 3 0 =λ − 2 . −λ 0 4 3 0 0 −λ 4 4 Tedy ˇreˇs´ıme rovnici λ4 − 32 = 0. Ta m´a pouze dva re´aln´e koˇreny a to − 32 a 32 . Vˇetˇs´ı je 3 ze po jednom obdob´ı bude m´ıt populace 1, 5 n´asobek Ptacchus˚ u. Populace tedy 2 = 1, 5, takˇ roste s pˇr´ır˚ ustkem 50%. Nyn´ı zb´ yv´ a urˇcit v´ ysledn´e sloˇzen´ı populace. To ud´av´a vlastn´ı vektor pˇr´ısluˇsn´ y jiˇz pouˇzit´emu (dominantn´ımu) vlastn´ımu ˇc´ıslu. Z´ısk´ame ho jako ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic dan´e Leslieho matic´ı, ve kter´e od kaˇzd´eho prvku na hlavn´ı diagon´ale odeˇcteme pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı ˇc´ıslo.
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 6.3. PR
− 32
9 16 0 0
37
− 32 x1 + 16x4 = 0
0
0
16
− 23
0
3 4
− 23
0 0
0
3 4
9 16 x1 3 4 x2 3 4 x3
− 32
− 32 x2 = 0 − 32 x3 = 0 − 32 x4 = 0
Soustava m´ a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı z´avisl´ ych na jednom parametru: 32 x1 3 p x2 4p = , x3 2p p x4
p ∈ R.
N´am staˇc´ı kter´ekoli nenulov´e z nich. Zvolme tedy napˇr. parametr p = 1. T´ım z´ısk´eme jedin´e ˇreˇsen´ı (jedin´ y vlastn´ı vektor), jehoˇz sloˇzky ud´avaj´ı pomˇer sloˇzen´ı ke kter´emu populace smˇeˇruje, tedy 32 3
: 4 : 2 : 1.
Srozumitelnˇejˇs´ı je samozˇrejmˇe ud´ avat v´ ysledn´e sloˇzen´ı v procentech. Nejprve se zbav´ıme zlomku – cel´ y vektor vyn´ asob´ıme trojkou ⇒ 32 : 12 : 6 : 3, pot´e vydˇel´ıme jejich souˇctem a vyn´asob´ıme stovkou (tj. kr´ at 100 ı z´ısk´ame sloˇzen´ı populace v pro53 ). Odtud po zaokrouklen´ centech: 60 : 23 : 11 : 6. Tedy na 60 vaj´ıˇcek pˇripad´ a 23 ml´ ad’at v hn´ızdˇe, 11 ml´ad’at letc˚ u a 6 dospˇel´ ych.
§ 6.3
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 36. Najdˇete ˇreˇsen´ı n´ asleduj´ıc´ıch soustav line´ arn´ıch rovnic pomoc´ı Cramerova pravidla (je-li to moˇzn´e): (i)
(iii) 2x + 3y − z = 9,
2x − 3y − 6z = −13,
x − y + z = −2,
x − y − 2z = −5,
−x + 2y − 3z = 6, (ii)
−x + 2y + 4z = 8, (iv)
x + 3y + 2z = −1, 2x + 7y + 6z = 3, x + 5y + 6z = 13,
x + y + z = 6, x − y + z = 2, x − 2y − 2z = −6.
´ ´ICH ROVNIC II KAPITOLA 6. SOUSTAVY LINEARN
38
Pˇ r´ıklad 37. Vyˇreˇste soustavu line´ arn´ıch rovnic. x + 3y + z = 2, 2x + 2y − z = −1, 2x + 5y + 3z = 8. Pˇ r´ıklad 38. Vyˇreˇste soustavu line´ arn´ıch rovnic. x + 3y + z = 2, 2x + 2y+6z = −1, 2x + 5y + 3z = 8. Pˇ r´ıklad 39. Vyˇreˇste soustavu line´ arn´ıch rovnic. x + 3y + z = 2, 2x + 2y+6z = 20, 2x + 5y + 3z = 8. Pˇ r´ıklad 40. Urˇcete nezn´ amou x2 ze SLR. −2x1 + 4x2 + 3x3 − x4 = 1, 3x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3, 2x1 − 2x2 + x4 = 0, x1 + 2x2 − 2x4 = 1.
§ 6.4
Wolfram|Alpha
• V´ ypoˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel matice. eigenvalues{(0,0,0,16),(9/16,0,0,0),(0,3/4,0,0),(0,0,3/4,0)}
• V´ ypoˇcet vlastn´ıch vektor˚ u matice. eigenvectors{(0,0,0,16),(9/16,0,0,0),(0,3/4,0,0),(0,0,3/4,0)}
Kapitola
´ 7 Uvod k funkc´ım
§ 7.1
Definice a pojmy
Definice 21. Necht’ D 6= ∅, D ⊆ R. Pravidlo f , kter´e kaˇzd´emu prvku x ∈ D pˇriˇrad´ı pr´avˇe jedno re´aln´e ˇc´ıslo y ∈ R, se naz´ yv´ a re´ aln´ a funkce re´ aln´e promˇenn´e. Zapisujeme y = f (x).
• Mnoˇzina D = D(f ) se naz´ yv´ a definiˇcn´ı obor funkce f . • Mnoˇzina vˇsech y ∈ R, pro kter´a existuje x ∈ D takov´e, ˇze f (x) = y se naz´ yv´a obor hodnot funkce f a znaˇc´ıme jej H(f ). • x se naz´ yv´ a nez´ avisle promˇenn´ a (argument) funkce f . • y se naz´ yv´ a z´ avisle promˇenn´ a funkce f . ˇ ıslo f (x0 ) ∈ R se naz´ • C´ yv´ a funkˇcn´ı hodnota funkce f v bodˇe x0 . Pozn´ amka. Nen´ı-li definiˇcn´ı obor funkce zad´an, jedn´a se o mnoˇzinu vˇsech x ∈ R, pro kter´ a m´a dan´a funkce smysl. Pˇ r´ıklad 41.
• Definiˇcn´ı obor funkce f (x) =
• Definiˇcn´ı obor funkce g(x) =
√
1 x−1
je D(f ) = R \ {1}.
−x je D(g) = (−∞, 0].
Definice 22. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u roviny dan´ ych souˇradnicemi [x, f (x)] se naz´ yv´a graf funkce f .
39
´ KAPITOLA 7. UVOD K FUNKC´IM
40
Pˇ r´ıklad 42. Kˇrivka na obr. 7.1 je grafem funkce, kˇrivka na obr. 7.2 ne.
Obr. 7.1: Funkce f (x) = x2 .
Obr. 7.2: Nejde o graf funkce.
Definice 23 (Ohraniˇcenost). ˇ Bud’ f funkce a M ⊆ D(f ). Rekneme, ˇze funkce f je na mnoˇzinˇe M • zdola ohraniˇcen´ a, jestliˇze existuje d ∈ R takov´e, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ M plat´ı f (x) ≥ d, • shora ohraniˇcen´ a, jestliˇze existuje h ∈ R takov´e, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ M plat´ı f (x) ≤ h, • ohraniˇcen´ a, jestliˇze existuj´ı d, h ∈ R takov´e, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ M plat´ı d ≤ f (x) ≤ h.
Pˇ r´ıklad 43. Funkce na obr. 7.3 je ohraniˇcen´ a shora, na obr. 7.4 je ohraniˇcen´e funkce.
Obr. 7.3: Funkce ohraniˇcen´ a shora.
Obr. 7.4: Ohraniˇcen´a funkce.
§ 7.1. DEFINICE A POJMY
41
Definice 24 (Parita). Bud’ f takov´ a funkce, ˇze pro jej´ı definiˇcn´ı obor plat´ı x ∈ D(f )
⇒
−x ∈ D(f ).
ˇ • Rekneme, ˇze funkce f je sud´a, jestliˇze pro ∀x ∈ D(f ) plat´ı, ˇze f (−x) = f (x). ˇ • Rekneme, ˇze funkce f je lich´a, jestliˇze pro ∀x ∈ D(f ) plat´ı, ˇze f (−x) = −f (x).
Pˇ r´ıklad 44. Funkce na obr. 7.5 je sud´ a, funkce na obr. 7.6 je lich´ a.
Obr. 7.5: Graf sud´e funkce je symetrick´ y Obr. 7.6: Graf lich´e funkce je symetrick´ y podle osy y. podle poˇc´atku.
Definice 25 (Periodiˇcnost). ˇ Necht’ p ∈ R, p > 0. Rekneme, ˇze funkce f je periodick´a s periodou p, jestliˇze pro ∀x ∈ D(f ) plat´ı x ± p ∈ D(f ), f (x ± p) = f (x).
´ KAPITOLA 7. UVOD K FUNKC´IM
42
Pˇ r´ıklad 45. Funkce na obr. 7.7 je periodick´ a s periodou π.
Obr. 7.7: Periodick´a funkce.
Definice 26. ˇ Bud’ f funkce a M ⊆ D(f ). Rekneme, ˇze funkce f je na mnoˇzinˇe M • rostouc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ M : x1 < x2
⇒
f (x1 ) < f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ M : x1 < x2
⇒
f (x1 ) ≤ f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ M : x1 < x2
⇒
f (x1 ) > f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ M : x1 < x2
⇒
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
• neklesaj´ıc´ı, jestliˇze • klesaj´ıc´ı, jestliˇze • nerostouc´ı, jestliˇze
Definice 27. Je-li funkce f na mnoˇzinˇe M neklesaj´ıc´ı, nebo nerostouc´ı, naz´ yv´ame ji monot´ onn´ı. Je-li funkce f na mnoˇzinˇe M rostouc´ı, nebo klesaj´ıc´ı, naz´ yv´ame ji ryze monot´ onn´ı.
§ 7.1. DEFINICE A POJMY
43
Pˇ r´ıklad 46. Funkce na obr. 7.8 je rostouc´ı, funkce na obr. 7.9 je neklesaj´ıc´ı.
Obr. 7.8: Rostouc´ı funkce.
Obr. 7.9: Neklesaj´ıc´ı funkce.
Dalˇ s´ı pojmy Bud’ f funkce a M ⊆ D(f ). • Je-li f (x) > 0 pro ∀x ∈ M , ˇrekneme, ˇze f je na mnoˇzinˇe M kladn´ a. • Je-li f (x) ≥ 0 pro ∀x ∈ M , ˇrekneme, ˇze f je na mnoˇzinˇe M nez´ aporn´ a. • Je-li f (x) < 0 pro ∀x ∈ M , ˇrekneme, ˇze f je na mnoˇzinˇe M z´ aporn´ a. • Je-li f (x) ≤ 0 pro ∀x ∈ M , ˇrekneme, ˇze f je na mnoˇzinˇe M nekladn´ a. • Bod [0, f (0)] naz´ yv´ ame pr˚ useˇc´ık funkce f s osou y. • Je-li f (x0 ) = 0, pak naz´ yv´ame bod [x0 , 0] pr˚ useˇc´ık funkce f s osou x.
N´ asleduj´ıc´ı pojmy budou pˇ resnˇ eji definov´ any pozdˇ eji Bud’ f funkce a M ⊆ D(f ). • Je-li graf funkce f pro ∀x ∈ M nad teˇcnou sestrojenou v libovoln´em bodˇe x0 ∈ M , ˇrekneme, ˇze f je na mnoˇzinˇe M konvexn´ı. • Je-li graf funkce f pro ∀x ∈ M pod teˇcnou sestrojenou v libovoln´em bodˇe x0 ∈ M , ˇrekneme, ˇze f je na mnoˇzinˇe M konk´ avn´ı. • Pˇr´ımku naz´ yv´ ame asymptotou grafu funkce f , jestliˇze se jej´ı vzd´alenost od grafu funkce s rostouc´ı souˇradnic´ı neust´ale zmenˇsuje.
44
´ KAPITOLA 7. UVOD K FUNKC´IM
Pˇ r´ıklad 47. Popiˇste zobrazenou funkci pomoc´ı v´yˇse uveden´ych pojm˚ u.
Kapitola
8 Polynomy
§ 8.1
Definice a operace s polynomy
Definice 28 (Polynom). Funkci P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , ˇ ısla a0 , . . . , an naz´ kde a0 , . . . , an ∈ R, an 6= 0 naz´ yv´ame polynom stupnˇe n. C´ yv´ame koeficienty polynomu P . Koeficient an naz´ yv´ame vedouc´ı koeficient, koeficient a0 naz´ yv´ ame absolutn´ı ˇclen. Je-li an = 1 ˇr´ık´ame, ˇze polynom P je normovan´ y.
Obr. 8.1: P (x) = 2.
Obr. 8.2: P (x) = 2x − 1.
Obr. 8.3: P (x) = x2 − 2.
Protoˇze z´akladn´ı operace s polynomy jsou dobˇre zn´am´e ze stˇredn´ı ˇskoly, pˇripomeˇ nme si je jen na pˇr´ıkladech. (Pro vzorce t´ ykaj´ıc´ı se n´asoben´ı a dˇelen´ı mocninn´ ych funkc´ı viz § B.1.) Pˇ r´ıklad 48 (Sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı konstantou). (3x2 − 2x + 4) − 2(x3 + x2 + 2x − 1) = 3x2 − 2x + 4 − 2x3 − 2x2 − 4x + 2 = −2x3 + x2 − 6x + 6 45
46
KAPITOLA 8. POLYNOMY
Pˇ r´ıklad 49 (N´ asoben´ı). (2x2 − 3)(x3 + 2x + 3) = 2x2 (x3 + 2x + 3) − 3(x3 + 2x + 3) = 2x5 + 4x3 + 6x2 − 3x3 − 6x − 9 = 2x5 + x3 + 6x2 − 6x − 9 Pˇ r´ıklad 50 (Dˇelen´ı). (4x4 − x3 + x2 − 3x + 7) : (x2 + 2) = 4x2 − x − 7 +
−x+21 x2 +2
−(4x4 + 8x2 ) 0 − x3 − 7x2 − 3x + 7 −(−x3 − 2x) 0 − 7x2 − x + 7 −(−7x2 − 14) 0 − x + 21
§ 8.2
Koˇ reny polynomu
Definice 29 (Koˇren polynomu). ˇ ıslo x0 ∈ C, pro kter´e plat´ı P (x0 ) = 0 naz´ C´ yv´ame koˇren polynomu P .
Vˇ eta 13. Je-li ˇc´ıslo x0 ∈ C koˇren polynomu P , pak existuje polynom Q(x) takov´ y, ˇze P (x) = (x − x0 )Q(x).
Definice 30 (Koˇrenov´ y ˇcinitel a n´asobn´ y koˇren). Je-li ˇc´ıslo x0 ∈ C koˇren polynomu P , naz´ yv´ame line´arn´ı polynom x − x0 koˇrenov´y ˇ ıslo x0 je k-n´asobn´ ˇcinitel pˇr´ısluˇsn´ y ke koˇrenu x0 . C´ ym koˇrenem polynomu P , jestliˇze existuje polynom G(x) takov´ y, ˇze P (x) = (x − x0 )k G(x),
G(x0 ) 6= 0.
´ § 8.3. HORNEROVO SCHEMA
47
Vˇ eta 14 (Z´ akladn´ı vˇeta algebry). Polynom stupnˇe n m´ a pr´ avˇe n komplexn´ıch koˇren˚ u.
Pozn´ amka. • Je-li komplexn´ı ˇc´ıslo a + bi, a, b ∈ R, b 6= 0 koˇrenem polynomu P , pak je jeho koˇrenem i ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e a − bi. • Poˇcet re´ aln´ ych koˇren˚ u polynomu stupnˇe n je bud’ n, nebo o sud´ y poˇcet menˇs´ı. • Polynom lich´eho stupnˇe m´ a aspoˇ n jeden re´aln´ y koˇren. • Polynomy jsou jedin´ a kapitola, ve kter´e budeme pracovat s komplexn´ımi ˇc´ısly.
Vˇ eta 15 (Rozklad na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u). Kaˇzd´ y polynom je v re´ aln´em oboru moˇzn´e zapsat jako souˇcin vedouc´ıho koeficientu, koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u a kvadratick´ ych polynom˚ u s komplexn´ımi koˇreny .
Vˇ eta 16 (Celoˇc´ıseln´e koˇreny). Necht’ P je polynom s celoˇc´ıseln´ ymi koeficienty. Pak jsou vˇsechny jeho celoˇc´ıseln´e koˇreny dˇelitel´e jeho absolutn´ıho ˇclene.
Pˇ r´ıklad 51. P (x) = x4 − 5x3 + x2 + 21x − 18,
tedy a0 = −18.
Vˇsechny celoˇc´ıseln´e koˇreny jsou tedy mezi dˇeliteli ˇc´ısla −18: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Skuteˇcnˇe P (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)2 .
§ 8.3
Hornerovo sch´ ema
Hornerovo sch´ema je algoritmus pouˇz´ıvan´ y pˇri rozkladu polynomu na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u.
48
KAPITOLA 8. POLYNOMY Vˇ eta 17. Necht’ jsou d´ any polynomy P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , Q(x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0 . Jestliˇze existuj´ı α, b−1 ∈ R takov´e, ˇze P (x) = (x − α)Q(x) + b−1 , pak bn−1 = an ,
bk−1 = αbk + ak ,
k = 0, . . . , n − 1.
Pozn´ amka. P (α) = b−1 , tedy je-li b−1 = 0, pak je α koˇrenem polynomu P . Postup Koeficienty polynomu P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 spolu s ˇc´ıslem α sep´ıˇseme do tabulky
α
an
an−1
···
a1
a0
bn−1
bn−2
···
b0
b−1
A dopoˇc´ıt´ ame ˇc´ısla bn−1 , . . . , b−1 : bn−1 = an ,
bk−1 = αbk + ak ,
k = 0, . . . , n − 1.
T´ım z´ısk´ ame polynom Q(x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0 a ˇc´ıslo b−1 takov´e, ˇze plat´ı P (x) = (x − α)Q(x) + b−1 .
Pˇ r´ıklad 52. Rozloˇzte polynom P (x) = x4 −5x3 +x2 +21x−18 na souˇcin koˇrenov´ych ˇcinitel˚ u. Celoˇc´ıseln´e koˇreny jsou mezi ˇc´ısly ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. 1
-5
1
21
-18
1
1
-4
-3
18
k0
1 -1 2 -2 .. .
1 1 1 1 .. .
-3 -5 -2 -6 .. .
-6 2 -7 9 .. .
12 16 4 k0
– – – –
–
–
X Naˇsli jsme koˇreny 1, −2. X Q(x) = x2 − 6x + 9 X P (x) = (x − 1)(x + 2)Q(x)
´ ´I LOMENA ´ FUNKCE § 8.4. RACIONALN
49
Protoˇze Q(x) je kvadratick´y polynom, nen´ı nutn´e d´ al pokraˇcovat v Hornerovˇe sch´ematu. Zb´yvaj´ıc´ı koˇreny dopoˇc´ıt´ ame pomoc´ı diskriminantu.
Q(x) = x2 − 6x + 9
⇒
D = 36 − 36 = 0
⇒
x1,2 =
6±0 =3 2
Tedy polynom P m´ a dva jednoduch´e koˇreny 1, −2 a jeden dvojn´ asobn´y koˇren 3. Odtud
P (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)2 .
§ 8.4
Racion´ aln´ı lomen´ a funkce
Definice 31. Necht’ je Pn polynom stupnˇe n a Qm polynom stupnˇe m. Funkci tvaru R(x) =
Pn Qm
naz´ yv´ ame racion´ aln´ı lomen´ a funkce. Nav´ıc funkci R(x) oznaˇcujeme jako • ryze lomenou, jestliˇze n < m, • neryze lomenou, jestliˇze n ≥ m.
Vˇ eta 18. Kaˇzdou neryze lomenou funkci je moˇzn´e (pomoc´ı dˇelen´ı polynom˚ u) vyj´adˇrit jako souˇcet polynomu a ryze lomen´e racion´aln´ı funkce.
50
KAPITOLA 8. POLYNOMY Kvadratick´ y polynom P (x) = ax2 + bx + c
• D = b2 − 4ac, • x1,2 =
√ −b± D , 2a
• P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
• D>0
⇒
x1 6= x2 ,
x1,2 ∈ R,
• D=0
⇒
x1 = x2 ,
x1,2 ∈ R,
• D<0
⇒
x1 = x ¯2 ,
x1,2 ∈ C.
Obr. 8.4: P (x) = ax2 + bx + c, a > 0.
Obr. 8.5: P (x) = ax2 + bx + c, a < 0.
Doplnˇ en´ı na ˇ ctverec ax2 + bx + c = a(x2 + ab x + ac ),
x2 + px + q = (x + p2 )2 −
p2 4
+ q.
Pˇ r´ıklad 53. Upravme kvadratick´y polynom y = x2 + 6x + 5 doplnˇen´ım na ˇctverec.
y = x2 + 6x + 5, y = (x + 3)2 − 9 + 5, y = (x + 3)2 − 4, y = (x + 3)2 − 4, y + 4 = (x + 3)2 .
T´ım jsme z´ıskali rovnici paraboly v tzv. vrcholov´em tvaru, tedy ve tvaru y − n = (x − m)2 , kde bod [m, n] je vrcholem dan´e paraboly. Naˇse parabola m´ a tedy vrchol v bodˇe [−3, −4] a protoˇze 2 koeficient u x v z´ akladn´ım tvaru je kladn´y, je otevˇrena smˇerem nahoru.
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 8.5. PR
§ 8.5
51
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 54. Jsou d´ any polynomy P1 (x) = 3x4 − 2x3 + 5x2 − 4x + 12, P2 (x) = 3x3 − 4x2 + 5x − 2, P3 (x) = 2x2 − 3x + 1, P4 (x) = −5x2 + 4x − 4. Spoˇctˇete: (iii) P3 (x) · P4 (x),
(i) P1 (x) + P2 (x), (ii) 3P1 (x) − 2P2 (x),
(iv) 2P1 (x) · (3P4 − P2 (x)) + P3 (x).
Pˇ r´ıklad 55. Proved’te dˇelen´ı polynom˚ u (i) (2x5 − 5x4 + 5x3 − 3x2 + 10x − 3) : (x4 − x3 − x + 1), (ii) (3x7 + 2x3 − x + 5) : (2x3 − 1). Pˇ r´ıklad 56. Najdˇete vˇsechny celoˇc´ıseln´e koˇreny dan´eho polynomu a) dosazov´ an´ım, b) Hornerov´ym sch´ematem a rozloˇzte ho na souˇcin koˇrenov´ych ˇcinitel˚ u. (i) P (x) = x5 − 8x3 − 6x2 + 7x + 6, (ii) Q(x) = x6 − 2x5 − 2x4 + 8x3 − 7x2 + 2x. Pˇ r´ıklad 57. Pomoc´ı Hornerova sch´ematu rozhodnˇete, kolikan´ asobn´ym koˇrenem polynomu (i) P (x) = x5 − 3x4 − 9x3 + 23x2 + 24x − 36 (ii) G(x) = 3x5 − 12x4 + 13x3 − 12x + 16
je ˇc´ıslo
je ˇc´ıslo
3,
2.
Pˇ r´ıklad 58. Urˇcete, zda je dan´ a funkce ryze lomen´ a. Pokud ano, zd˚ uvodnˇete. Pokud ne, ’ pˇreved te ji na souˇcet polynomu a ryze lomen´e funkce. (i)
12x6 −3x5 −6x2 +x−2 , x9 +5x2 −4
(ii)
x6 +2x5 −2x4 +7x2 +2x , x3 +1
Pˇ r´ıklad 59. Vyˇreˇste kvadratickou rovnici (i) 2x2 − x − 3 = 0,
a) v R,
(i) 2x2 − x − 3, (ii) x2 + 4x + 4,
(iii) x2 − 4x + 29 = 0. a) kladn´y,
(iii) x2 − 4x + 29, (iv)
2x9 +12x6 −4x2 +5 . 9x9 +2x8 −1
b) v C.
(ii) x2 + 4x + 4 = 0,
Pˇ r´ıklad 60. Urˇcete, pro kter´ a x ∈ R je dan´y v´yraz
(iii)
1−x x+2 ,
b) nez´ aporn´y.
52
KAPITOLA 8. POLYNOMY
(v) (vi)
1 x (x
+ 1)2 (x − 3),
(vii)
x2 +x−6 . 2x2 +3x−1
x2 +x−6 , 2x2 +3x+1
Pˇ r´ıklad 61. Najdˇete pr˚ useˇc´ıky grafu funkce f se souˇradn´ymi osami. f (x) =
(x − 3)(x + 5) . x−1
Pˇ r´ıklad 62. Zjistˇete, pro kter´ a x je dan´ a funkce nez´ aporn´ a. f (x) =
x2 − 2x − 3 . 1 − 3x
Pˇ r´ıklad 63. Rozhodnˇete, zda je dan´ a RLF ryze lomen´ a, ˇci nikoli. Pokud nen´ı, pˇreved’te ji na souˇcet polynomu a ryze lomen´e RLF. R(x) =
§ 8.6
2x4 + 3x3 − 4x2 + x − 5 . 3x3 − 2x + 1
Wolfram|Alpha
• Line´ arn´ı kombinace polynom˚ u. 4(2x^3-x^2+5x+7)-5(x^4+3x^3-6x^2-x+15)
• N´asoben´ı polynom˚ u. expand (x-3)(x+2)^2(x^2-x+1)
• Dˇelen´ı polynom˚ u. quotient and remainder of (x^5+3x^4-2x^3-5x^2+4x-1)/(2x^2+x-3)
• Rozklad na souˇcin. factor x^5-8x^3-3x^2+4x-12
• Dosazen´ı do polynomu. {x^4+3x^3-6x^2-x+15, x=2}
• Koˇreny polynomu.
§ 8.6. WOLFRAM|ALPHA roots of x^5+4x^4+x^3-2x^2-12x-72 solve x^5+4x^4+x^3-2x^2-12x-72=0
• Rovnice. solve x^4-3x^4+2(x^3-x+1)=5(x-4)(x^2-2)
• Nerovnice. solve (x^2+2x-3)/(x+1)>=0
53
54
KAPITOLA 8. POLYNOMY
Kapitola
9 Funkce
§ 9.1
Element´ arn´ıch funkce
Definice 32 (Z´ akladn´ı element´arn´ı funkce). Obecn´ a mocnina, mnohoˇcleny, goniometrick´e, cyklometrick´e, exponenci´aln´ı a logaritmick´e (a hyperbolick´e a hyperbolometrick´e) funkce se naz´ yvaj´ı z´ akladn´ı element´ arn´ı funkce.
Definice 33 (Element´ arn´ı funkce). Funkce, kter´e lze z´ıskat koneˇcn´ ym poˇctem seˇcten´ı, odeˇcten´ı, vyn´asoben´ı, podˇelen´ı a sloˇzen´ı z´ akladn´ıch element´ arn´ıch funkc´ı se naz´ yvaj´ı element´ arn´ı funkce.
Grafem funkce y = x2 je parabola (viz obr. 9.1), D(x2 ) = R, H(x2 ) = R+ 0 , jde o sudou funkci. Jak se mˇen´ı tvar grafu pˇri zvyˇsuj´ıc´ı se mocninˇe je zn´azornˇeno na obr. 9.2.
Obr. 9.2: x2 , x4
Obr. 9.1: x2 55
56
KAPITOLA 9. FUNKCE
Podobnˇe jsou na obr. 9.3 a 9.4 zn´ azornˇeny lich´e mocniny, kter´e jsou typick´ ymi z´astupci lich´ ych funkc´ı. D´ale je vidˇet, ˇze D(x3 ) = R a H(x3 ) = R.
Obr. 9.4: x3 , x5
Obr. 9.3: x3
Vznik odmocniny z prost´e ˇc´ asti grafu mocniny, jakoˇzto jej´ı inverze, je zobrazen na obr. 9.5, √ √ kde je tak´e vidˇet, ˇze D( x) = H( x) = R+ 0.
Obr. 9.5: x2 ,
√ x
´ ´ICH FUNKCE § 9.1. ELEMENTARN
57
Grafem funkce y = x−1 je hyperbola, je to funkce lich´a, D(x−1 ) = H(x−1 ) = R \ {0}. Oproti tomu je funkce y = x−2 sud´ a, D(x−2 ) = R \ {0} a H(x−2 ) = R+ (viz obr. 9.6). Podobnˇe pro vyˇsˇs´ı mocniny.
Obr. 9.6: x1 ,
1 x2
Grafem exponenci´ aln´ı funkce y = ax , a ∈ R+ \ {1} (pro a = 1 funkce degeneruje na konstantn´ı funkci) je exponenci´ ala, D(ax ) = R a H(ax ) = R+ . Funkce je na cel´em sv´em definiˇcn´ım oboru rostouc´ı jestliˇze a > 1 a klesaj´ıc´ı jestliˇze a < 1 (viz obr. 9.7).
Obr. 9.7: 2x ,
1 x 2 Obr. 9.8: log2 x, log 1 x 2
58
KAPITOLA 9. FUNKCE
Inverzn´ı funkc´ı k funkci exponenci´ aln´ı je logaritmus y = loga x, a ∈ R+ \ {1}, jehoˇz grafem je logaritmick´ a kˇrivka, D(loga x) = R+ a H(loga x) = R. Logaritmus je, stejnˇe jako exponenci´ala, rostouc´ı, jestliˇze je jeho z´ aklad a > 1 a klesaj´ıc´ı jestliˇze a < 1. (Viz obr. 9.8 a 9.9). Pˇripomeˇ nme, ˇze logaritmus o z´ akladu e (Eulerovo ˇc´ıslo) se naz´ yv´a pˇrirozen´ y logaritmus (logaritmus naturalis) a znaˇc´ı se ln x.
Obr. 9.9: 2x ,
1 x 2 ,
log2 x, log 1 x 2
Mezi goniometrick´e funkce patˇr´ı sinus, kosinus, tangens a kotangens. Vˇsechny tyto funkce jsou periodick´e, pˇriˇcemˇz sinus a kosinus s periodou 2π, tangens a kotangens s periodou π. Sinus, tangens a kotangens jsou funkce lich´e, kosinus je funkce sud´a. Na obr. 9.10 a 9.11 vid´ıme,ˇze D(sin x) = D(cos x) = R a H(sin x) = H(cos x) = [−1, 1].
Obr. 9.10: sin x
´ ´ICH FUNKCE § 9.1. ELEMENTARN
59
Obr. 9.11: cos x
D´ale na obr. 9.12 je vidˇet, ˇze grafy sinu a kosinu jsou aˇz na posunut´ı π/2 totoˇzn´e.
Obr. 9.12: sin x, cos x
Funkce tangens a kotangens jsou zobrazeny na obr. 9.13 a 9.14 a podobnost jejich graf˚ u je dobˇre patrn´ a z obr. 9.15 (aˇz na posunut´ı o π/2 a zrcadlen´ı jsou totoˇzn´e). D´ale je vidˇet, ˇze D(tg x) = R \ {(2k + 1) π2 : k ∈ Z} (vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla bez lich´ ych n´asobk˚ u π/2), D(cotg x) = R\{kπ : k ∈ Z} (vˇsechna re´ aln´ a ˇc´ısla bez celoˇc´ıseln´ ych n´asobk˚ u π) a H(tg x) = H(cotg x) = R.
Obr. 9.13: tg x
Obr. 9.14: cotg x
60
KAPITOLA 9. FUNKCE
Obr. 9.15: tg x, cotg x
Inverzn´ı funkce k funkc´ım goniometrick´ ym se naz´ yvaj´ı cyklometrick´e a patˇr´ı sem arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens. Jejich graf a vznik z pˇr´ısluˇsn´e prost´e ˇc´asti grafu goniometrick´e funkce je zobrazen na obr. 9.16, 9.17, 9.18 a 9.19. Zd˚ uraznˇeme, ˇze funkce arkussinus je lich´ a, rostouc´ı a D(arcsin x) = [−1, 1], H(arcsin x) = [−π/2, π/2].
Obr. 9.16: sin x, arcsin x
´ ´ICH FUNKCE § 9.1. ELEMENTARN
61
Funkce arkuskosinus nen´ı ani lich´ a, ani sud´a, je klesaj´ıc´ı a D(arccos x) = [−1, 1], H(arccos x) = [0, π].
Obr. 9.17: cos x, arccos x Funkce arkustangens je lich´ a, rostouc´ı a D(arctg x) = R, H(arctg x) = [−π/2, π/2].
Obr. 9.18: tg x, arctg x
62
KAPITOLA 9. FUNKCE
Funkce arkuskotangens nen´ı ani lich´ a, ani sud´a, je klesaj´ıc´ı a D(arccotg x) = R, H(arccotg x) = [0, π].
Obr. 9.19: cotg x, arccotg x
§ 9.2. OPERACE S FUNKCEMI
§ 9.2
63
Operace s funkcemi
Operace s funkcemi • Plat´ı (f ± g)(x) = f (x) ± g(x), (f · g)(x) = f (x) · g(x). Definiˇcn´ı obor tˇechto funkc´ı je pr˚ unikem definiˇcn´ıch obor˚ u p˚ uvodn´ıch funkc´ı, tj. D(f ± g) = D(f ) ∩ D(g) = D(f · g). • Plat´ı
f f (x) (x) = . g g(x)
Definiˇcn´ı obor nov´e funkce je pr˚ unikem definiˇcn´ıch obor˚ u funkc´ı f a g zmenˇsen´ y o body, v nichˇz je g(x) = 0, tj. f D = D(f ) ∩ D(g) \ {x : g(x) = 0}. g
Dalˇs´ı operac´ı je skl´ ad´ an´ı funkc´ı. Definice 34 (Sloˇzen´ a funkce). Necht’ u = g(x) je funkce s definiˇcn´ım oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Necht’ y = f (u) je funkce s definiˇcn´ım oborem D(f ) ⊇ H(g). Sloˇzenou funkc´ı (f ◦ g)(x) rozum´ıme pˇriˇrazen´ı, kter´e ∀x ∈ D(g) pˇriˇrad´ı y = f (u) = f g(x) . Funkci g naz´ yv´ ame vnitˇrn´ı sloˇzkou a funkci f vnˇejˇs´ı sloˇzkou sloˇzen´e funkce.
Obr. 9.20: Sloˇzen´a funkce.
64
KAPITOLA 9. FUNKCE
Pˇ r´ıklad 64.
• Funkce F (x) = sin x2
je sloˇzena z funkc´ı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak, ˇze F (x) = (f ◦ g)(x) = f g(x) . • Funkce G(x) =
√ 3
e2x−4
√ 3
x, g(x) = ex , h(x) = 2x − 4 tak, ˇze G(x) = (f ◦ g ◦ h)(x) = f g h(x) .
je sloˇzena z funkc´ı f (x) =
Pozn´ amka. Pˇri urˇcov´ an´ı definiˇcn´ıch obor˚ u sloˇzen´ ych funkc´ı je vhodn´e postupovat zevnitˇ r. p Kaˇzd´ y definiˇcn´ı obor je pr˚ unikem vˇsech z´ıskan´ ych podm´ınek. Napˇr. je-li F (x) = f (x), najdeme nejprve D(f ), pot´e zjist´ıme, ve kter´ ych bodech je f (x) < 0 a ty odstran´ıme, tj. D(F ) = D(f ) \ {x : f (x) < 0}. Tedy mimo definiˇcn´ı obory z´ akladn´ıch funkc´ı mus´ıme br´at v u ´vahu napˇr. u funkce • F (x) =
f (x) g(x) ,
• F (x) =
p f (x), ˇze f (x) ≥ 0,
ˇze g(x) 6= 0,
• F (x) = loga f (x), ˇze f (x) > 0, • F (x) = tg f (x), ˇze f (x) 6= (2k + 1) π2 , k ∈ Z, • F (x) = cotg f (x), ˇze f (x) 6= kπ, k ∈ Z, • F (x) = arcsin f (x), ˇze f (x) ∈ [−1, 1], • F (x) = arccos f (x), ˇze f (x) ∈ [−1, 1].
§ 9.3
Inverzn´ı funkce
Definice 35 (Prost´ a funkce). ˇ Necht’ f je funkce a M ⊆ D(f ). Rekneme, ˇze funkce f je na mnoˇzinˇe M prost´ a, jestliˇze pro kaˇzdou dvojici x1 , x2 ∈ M plat´ı x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
Pozn´ amka. Plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı.
§ 9.3. INVERZN´I FUNKCE
65
• Graf prost´e funkce prot´ın´ a vˇsechny vodorovn´e pˇr´ımky nejv´ yˇse jednou.
Obr. 9.21: Zobrazen´ a funkce je prost´a.
Obr. 9.22: Zobrazen´a funkce nen´ı prost´a.
• Je-li funkce na mnoˇzinˇe M ryze monot´onn´ı, pak je na n´ı prost´a. Definice 36 (Inverzn´ı funkce). Necht’ f je prost´ a funkce. Funkci f −1 , kter´a kaˇzd´emu y ∈ H(f ) pˇriˇrazuje pr´avˇe to x, pro kter´e plat´ı y = f (x), se naz´ yv´a inverzn´ı funkc´ı k funkci f . P´ıˇseme x = f −1 (y).
Obr. 9.23: Inverzn´ı funkce. Plat´ı Necht’ funkce f je prost´ a, potom plat´ı (resp. plat´ı pro prostou ˇc´ast funkce f ): • D(f −1 ) = H(f ), H(f −1 ) = D(f ), −1 • f −1 = f. • Grafy funkc´ı f a f −1 jsou symetrick´e podle osy I. a III. kvadrantu (pˇr´ımky y = x). • Je-li funkce f rostouc´ı/klesaj´ıc´ı, je tak´e funkce f −1 rostouc´ı/klesaj´ıc´ı.
66
KAPITOLA 9. FUNKCE
Obr. 9.24: Graf inverzn´ı funkce. V´ ypoˇ cet inverzn´ı funkce Iverzn´ı funkci k funkci f urˇc´ıme tak, ˇze v pˇredpisu y = f (x) zamˇen´ıme promˇenn´e x a y, t´ım dostaneme x = f (y). Z t´eto rovnice pak vyj´adˇr´ıme, je-li to moˇzn´e, promˇennou y.
K element´ arn´ı funkci je inverzn´ı funkc´ı jin´a element´arn´ı funkce: f (x) x2 (x ≥ 0) x2 (x ≤ 0) x3 ex ax (a 6= 1) sin x (x ∈ [− π2 , π2 ]) cos x (x ∈ [0, π]) tg x (x ∈ (− π2 , π2 )) cotg x (x ∈ (0, π))
f −1 (x) √ x √ − x √ 3 x ln x loga x arcsin x arccos x arctg x arccotg x
Pozn´ amka. Pro vˇsechna x, pro kter´ a m´a z´apis smysl, plat´ı (f ◦ f −1 )(x) = x = (f −1 ◦ f )(x). Pˇ r´ıklad 65. Urˇcete inverzn´ı funkci k funkci f a urˇcete D(f ), H(f ), D(f −1 ) a H(f −1 ). a) f (x) = a) f (x) =
3x−4 2 ,
b) f (x) = esin x .
3x−4 2
y=
3x − 4 2
3y − 4 2 2x = 3y − 4 x=
3y = 2x + 4 2x + 4 y= 3
⇒
f −1 (x) =
2x + 4 . 3
§ 9.4. TRANSFORMACE GRAFU FUNKCE
67
D(f ) = H(f ) = D(f −1 ) = H(f −1 ) = R. b) f (x) = esin x y = esin x
x = esin y ln x = sin y
/ ln(·) / arcsin(·)
arcsin ln x = y ⇒ f −1 (x) = arcsin ln x. D(f ) = R, funkce f je prost´ a pro x ∈ − π2 , π2 = H(f −1 ) D(f −1 ) : . ln x ⇒ x > 0 ⇒ x ∈ (0, ∞) . arcsin ln x ⇒ ln x ∈ [−1, 1] −1 ≤ ln x ≤ 1
(·)
/e
⇒
−1
e
≤x≤e
⇒
1 ,e x∈ e
D(f −1 ) = (0, ∞) ∩ 1e , e = 1e , e. Celkem tedy H(f ) = D(f −1 ) = 1e , e .
§ 9.4
Transformace grafu funkce
Transformace grafu funkce Necht’ je d´ ana funkce y = f (x) a nenulov´a re´aln´a ˇc´ısla a, b. • Uvaˇzujme funkci y˜ = f (x + a). Tato funkce m´a v˚ uˇci p˚ uvodn´ı funkci graf posunut´ y bud’ doleva (je-li a > 0), nebo doprava (pro a < 0), a to o velikost ˇc´ısla a. • Uvaˇzujme funkci yˆ = f (x) + b. Tato funkce m´a v˚ uˇci p˚ uvodn´ı funkci graf posunut´ y bud’ nahoru (je-li b > 0), nebo dol˚ u (pro b < 0), a to o velikost ˇc´ısla b.
Obr. 9.25: f (x) = (x + 1)3
Obr. 9.26: f (x) = x3 + 1
68
§ 9.5
KAPITOLA 9. FUNKCE
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 66. Naˇcrtnˇete graf funkce. (i) y = x2 ,
(iii) y = (−x)2 ,
(ii) y = −x2 ,
(v) y = x2 + 1,
(iv) y = (x + 1)2 ,
(vi) y = (1 − x)3 .
Pˇ r´ıklad 67. Naˇcrtnˇete graf funkce. √
(i) y = 2 − (ii) y =
1 3−x
x,
(iii) y = ln(x − 3),
− 1,
(iv) y = 2 + e1−x .
Pˇ r´ıklad 68. Naˇcrtnˇete graf funkce. (i) y = sin x, ‡(ii) y = sin(3x), ‡(iii) y = sin x5 ,
‡(iv) y = 2 sin x,
‡(vii) y = tg(3x).
(v) y = sin(x − 1), (vi) y = 3 + sin x,
Pˇ r´ıklad 69. K dan´emu grafu vyberte spr´ avn´y funkˇcn´ı pˇredpis. a) tg(x + π2 ) − 1, b) (x + 1, 5)3 − 1, c)
1 x+1,5
− 1,
d) − cotg(x + π2 ) + 1, e) (x − 1, 5)3 + 1.
Pˇ r´ıklad 70. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce. (i) f (x) = (ii) f (x) =
1 x+2 ,
√
3 − x,
(iii) f (x) =
√x , x+3
(iv) f (x) =
3 , e1−x
(v) f (x) = (vi) f (x) =
ln x , 2x2 +3x−2 1 sin x ,
(vii) f (x) = tg(x − 1), √ 3x (viii) f (x) = 2x−8 + 10 − x − ln(x + 2).
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 9.5. PR
69
Pˇ r´ıklad 71. Jsou d´ any funkce f (x) = x2 , g(x) = (i) f ◦ g,
(ii) g ◦ f ,
2x 1−x
a h(x) = ln x. Urˇcete sloˇzen´e funkce
(iii) f ◦ g ◦ h,
(iv) f ◦ h ◦ f .
Pˇ r´ıklad 72. Urˇcete sloˇzky dan´e funkce. (i) y = cotg5 x, p (ii) y = 3 sin(x3 + 3),
(iii) y = cos x7 , p (iv) y = log2 tg(2 + x).
akladn´ıch funkc´ı. Pˇ r´ıklad 73. Funkci y = sin 51x lze povaˇzovat za sloˇzeninu dvou, nebo tˇr´ı z´ Kter´ych? (Popiˇste obˇe moˇznosti.) Pˇ r´ıklad 74. K dan´e funkci f urˇcete funkci inverzn´ı a naˇcrtnˇete grafy obou funkc´ı. (iii) f (x) = log3 (x − 2),
(i) f (x) = 2x + 1, (ii) f (x) =
2x2 −1 3 ,
(iv) f (x) =
1 5x .
Pˇ r´ıklad 75. Popiˇste vlastnosti cyklometrick´ych funkc´ı (arcsin, arccos, arctg a arccotg) a jejich vznik jakoˇzto inverz´ı. Pˇ r´ıklad 76. Urˇcete a nakreslete funkci inverzn´ı k funkci f : y = 2x3 − 1. Pˇ r´ıklad 77. Urˇcete definiˇcn´ı obor dan´e funkce. (i) f (x) = ln(x2 + 4x − 5) +
2 √2x , 2x+6
(ii) g(x) = arcsin x+3 2 +
Pˇ r´ıklad 78. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce x−1 f : y = arccotg √ + log−2 1 (2x + 21). 3 1−x Pˇ r´ıklad 79. Naˇcrtnˇete graf funkce f (x) = 2 − arcsin(x + 1). Pˇ r´ıklad 80. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x) = ln
x−1 x − arcsin . 2+x 4
Pˇ r´ıklad 81. Urˇcete definiˇcn´ı obor dan´e funkce. f (x) =
√
1−x+
1 , x
g(x) = √
1 − ln x. 1−x
Pˇ r´ıklad 82. Rozhodnˇete, zda je dan´ a funkce sud´ a, nebo lich´ a. f (x) =
3x2 − 2 , x3
g(x) = cos x − sin x2 − 2 sin2 x,
h1 (x) = x3 + 2x2 − x + 4,
h2 (x) = ln(x − 3).
q
x+4 x−2 .
70
KAPITOLA 9. FUNKCE
§ 9.6
Wolfram|Alpha
• Definiˇcn´ı obor funkce. domain of sqrt(x+2)/(x-1)
• Obor hodnot funkce. range of x^2-5x+3
• Graf funkce. plot y=x^3-1 for x from -2 to 2.5 plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10
• Inverzn´ı funkce. inverse of x^5
• Pr˚ useˇc´ıky graf˚ u funkc´ı. intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6
Kapitola
10 Limita funkce
§ 10.1
Okol´ı bodu
Definice 37 (Okol´ı bodu). Libovoln´ y otevˇren´ y interval I ∈ R obsahuj´ıc´ı bod x0 ∈ R naz´ yv´ame okol´ı bodu x0 oznaˇc´ıme jej O(x0 ).
Speci´ aln´ı typy okol´ı bodu • δ-okol´ı bodu x0 Oδ (x0 ) = (x0 − δ, x0 + δ). • Prstencov´e (ryz´ı) δ-okol´ı bodu x0 bδ (x0 ) = Oδ (x0 ) \ {x0 } = (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ). O • Lev´e a prav´e δ-okol´ı bodu x0 Oδ− (x0 ) = (x0 − δ, x0 ],
Oδ+ (x0 ) = [x0 , x0 + δ).
• Lev´e a prav´e prstencov´e δ-okol´ı bodu x0 b− (x0 ) = (x0 − δ, x0 ), O δ
71
b+ (x0 ) = (x0 , x0 + δ). O δ
72
KAPITOLA 10. LIMITA FUNKCE
§ 10.2
Limita funkce
Definice 38 (Limita funkce). ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´ a v bodˇe x0 limitu rovnu ˇc´ıslu L, jestliˇze pro ∀ε > 0 existuje bδ (x0 ) plat´ı f (x) ∈ Oε (L). P´ıˇseme δ > 0 takov´e, ˇze pro ∀x ∈ O lim f (x) = L,
x→x0
popˇr.
x→x
0 f (x) −−−→ L.
Nepˇresnˇe, ale ilustrativnˇe: “Je-li x bl´ızko x0 , pak je f (x) bl´ızko L.”
Obr. 10.1: Limita funkce.
Definice 39 (Jednostrann´e limity). bδ (x0 ), z´ısk´ame definici limity zprava b+ (x0 ) m´ısto O Pouˇzijeme-li v definici limity O δ lim f (x) = L.
x→x+ 0
b− (x0 ) m´ısto O bδ (x0 ), z´ısk´ame definici limity Podobnˇe, pouˇzijeme-li v definici limity O δ zleva lim f (x) = L. x→x− 0
Vˇ eta 19 (Jednoznaˇcnost). Funkce m´ a v kaˇzd´em bodˇe nejv´ yˇse jednu limitu / limitu zprava / limitu zleva.
§ 10.2. LIMITA FUNKCE
73
Definice 40 (Rozˇs´ıˇren´ a mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel). Rozˇs´ıˇrenou mnoˇzinou re´ aln´ych ˇc´ısel R∗ rozum´ıme mnoˇzinu re´aln´ ych ˇc´ısel R rozˇs´ıˇrenou o body −∞ a +∞, tj R∗ = R ∪ {−∞, +∞}. Body ±∞ naz´ yv´ ame nevlastn´ı body, zat´ımco body mnoˇziny R naz´ yv´ame vlastn´ı body.
Pro a ∈ R definujeme: • a + ∞ = ∞,
• −∞ − ∞ = −∞,
• ∞ · (−∞) = −∞,
• a − ∞ = −∞,
• ∞ · ∞ = ∞,
• | ± ∞| = ∞,
• ∞ + ∞ = ∞,
• (−∞) · (−∞) = ∞,
•
a ±∞
= 0.
• Je-li a > 0, pak a · ∞ = ∞, a · (−∞) = −∞. • Je-li a < 0, pak a · ∞ = −∞, a · (−∞) = ∞. Pozn´ amka. Nejsou definov´ any v´ yrazy ∞ − ∞,
±∞ · 0,
±∞ . ±∞
Tyto v´ yrazy naz´ yv´ ame neurˇcit´e v´yrazy. Samozˇrejmˇe nen´ı definov´ ano dˇelen´ı nulou. Definice 41 (Okol´ı nevlastn´ıho bodu). Okol´ım O(∞) bodu ∞ rozum´ıme libovoln´ y interval tvaru (a, ∞), a ∈ R, a podobnˇe okol´ım bodu −∞ interval tvaru (−∞, a). Ryz´ım okol´ım nevlastn´ıch bod˚ u rozum´ıme tot´eˇz, co okol´ım tˇechto bod˚ u.
Pouˇzit´ım okol´ı nevlastn´ıch bod˚ u v definici limity z´ısk´ame definici tzv. nevlastn´ı limity a limity v nevlastn´ım bodˇe. Definice limity se pak pro tyto speci´aln´ı pˇr´ıpady zjednoduˇs´ı. Definice 42 (Nevlastn´ı limita). ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´ a v bodˇe x0 nevlastn´ı limitu +∞ (−∞), jestliˇze pro ∀Y > 0 bδ (x0 ) plat´ı f (x) > Y (f (x) < −Y ). existuje δ > 0 takov´e, ˇze pro ∀x ∈ O
74
KAPITOLA 10. LIMITA FUNKCE
Obr. 10.2: Nevlastn´ı limita.
Definice 43 (Limita v nevlastn´ım bodˇe). ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´ a limitu L v nevlastn´ım bodˇe +∞ (−∞), jestliˇze pro ∀ε > 0 existuje X > 0 takov´e, ˇze pro ∀x > X (∀x < −X) plat´ı f (x) ∈ Oε (L).
Obr. 10.3: Limita v nevlastn´ım bodˇe.
§ 10.2. LIMITA FUNKCE
75
Pouˇ zit´ e pojmy Limitu lim f (x) = L
x→x0
naz´ yv´ ame • vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe, jestliˇze x0 , L ∈ R, • nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe, jestliˇze x0 ∈ R, L ∈ {±∞}, • vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe, jestliˇze x0 ∈ {±∞}, L ∈ R, • nevlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe, jestliˇze x0 , L ∈ {±∞}.
Vˇ eta 20 (Existence limity). Funkce f m´ a ve vlastn´ım bodˇe x0 limitu pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´a v tomto bodˇe obˇe jednostrann´e limity a ty si jsou rovny, tj. lim f (x) = L
x→x0
⇔
lim f (x) = lim f (x) = L.
x→x− 0
x→x+ 0
Pozn´ amka. Limita neexistuje, jestliˇze . neexistuje nˇekter´ a (nebo obˇe) jednostrann´e limity, . jednostrann´e limity jsou r˚ uzn´e. Toho lze v´ yhodnˇe vyuˇz´ıt pˇri d˚ ukazu neexistence limity.
Obr. 10.4: Limita v x0 neexistuje.
76
KAPITOLA 10. LIMITA FUNKCE
Nen´ı-li moˇzn´e ˇc´ıslo do funkce dosadit jinak neˇz “limitnˇe”, m˚ uˇzeme pˇredstavu o limitn´ım chov´an´ı funkce z´ıskat i empiricky a to dosazov´an´ım bl´ızk´ ych ˇc´ısel. Pod´ıvejme se na chov´an´ı funkce sinx x pro x → 0+ . x
1
0, 1
0, 01
0, 001
0, 0001
sin x x
0, 841470985
0, 998334167
0, 999983333
0, 999999833
0, 999999998
Z tabulky vid´ıme, ˇze hodnoty se bl´ıˇz´ı jedniˇcce. A skuteˇcnˇe lim
x→0+
Obr. 10.5: Graf funkce f (x) =
sin x x
sin x x .
POZOR – nejde o nepr˚ ustˇrelnou metodu: x sin
π x
1
0, 1
0, 01
0, 001
0, 0001
···
0
0
0
0
0
···
Pˇritom lim sin πx neexistuje. x→0+
Obr. 10.6: Graf funkce f (x) = sin πx . (Zkuste dosazovat n´ ahodn´ a ˇc´ısla bl´ıˇz´ıc´ı se k nule zprava. . π Napˇr. sin 0,003 = −0, 8660253055.)
= 1.
§ 10.3. SPOJITOST FUNKCE
§ 10.3
77
Spojitost funkce
Definice 44 (Spojitost). ˇ • Rekneme, ˇze funkce f je spojit´a v bodˇe x0 ∈ R, jestliˇze x0 ∈ D(f )
a
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
ˇ • Rekneme, ˇze funkce f je spojit´a zleva v bodˇe x0 ∈ R, jestliˇze x0 ∈ D(f )
a
lim f (x) = f (x0 ).
x→x− 0
ˇ • Rekneme, ˇze funkce f je spojit´a zprava v bodˇe x0 ∈ R, jestliˇze x0 ∈ D(f )
a
lim f (x) = f (x0 ).
x→x+ 0
Definice 45 (Spojitost na intervalu). ˇ Rekneme, ˇze funkce je spojit´ a na intervalu I, je-li spojit´a v kaˇzd´em jeho vnitˇrn´ım bodˇe a v krajn´ıch bodech (pokud patˇr´ı do I) je spojit´a zleva, resp. zprava.
Definice 46 (Body nespojitosti). Body, ve kter´ ych nen´ı funkce f spojit´a, naz´ yv´ame body nespojistosti.
Pozn´ amka. Element´ arn´ı funkce jsou spojit´e v kaˇzd´em bodˇe sv´eho definiˇcn´ıho oboru.
Vˇ eta 21 (Weierstrassova vˇeta). Necht’ je funkce f spojit´ a na uzavˇren´em intervalu I. Pak je f na I ohraniˇcen´a a nab´ yv´ a zde sv´e nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnoty.
78
KAPITOLA 10. LIMITA FUNKCE Vˇ eta 22 (Prvn´ı Bolzanova vˇeta). Necht’ je funkce f spojit´ a na uzavˇren´em intervalu I = [a, b] a necht’ plat´ı f (a)·f (b) < 0. Pak existuje alespoˇ n jedno ˇc´ıslo c ∈ (a, b) takov´e, ˇze f (c) = 0.
Vˇ eta 23 (Druh´ a Bolzanova vˇeta). Necht’ je funkce f spojit´ a na uzavˇren´em intervalu I. Pak f nab´ yv´a vˇsech hodnot mezi svou nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnotou.
Obr. 10.7: Funkce spojit´a na uzavˇren´em intervalu.
§ 10.3. SPOJITOST FUNKCE
79
Vˇ eta 24 (Pravidla pro poˇc´ıt´ an´ı s limitami). Necht’ a ∈ R∗ , k ∈ R a necht’ f, g : R → R. Jestliˇze maj´ı funkce f a g v bodˇe a limitu, pak plat´ı • lim k = k, x→a
• lim f (x) ± g(x) = lim f (x) ± lim g(x), x→a
x→a
x→a
• lim f (x) · g(x) = lim f (x) · lim g(x), x→a
x→a
x→a
• lim k · f (x) = k · lim f (x), x→a
x→a
f (x) x→a g(x)
• lim
lim f (x)
=
x→a
lim g(x) ,
pro lim g(x) 6= 0. x→a
x→a
• lim (x2 + 3x) = 4 + 3 · 2 = 10,
Pˇ r´ıklad 83.
x→2
• lim (arctg x + arccotg x) = x→∞
• lim
x→0−
1 x
+ 0 = π2 ,
cos x = −∞ · 1 = −∞,
1 x x→∞ x·e
• lim
π 2
=
1 ∞·∞
= 0,
• lim ( x1 + ln x) = ∞ − ∞ = neurˇcit´y v´yraz. x→0+
Vˇ eta 25 (Limita sloˇzen´e funkce). Je-li funkce f spojit´ a, pak plat´ı lim f g(x) = f lim g(x) .
x→x0
x→x0
Pozn´ amka. Pˇri v´ ypoˇctech limit vˇzdy nejprve dosad´ıme x = x0 .
Pˇ r´ıklad 84. • limx→0+ ln x1 = ln ∞ = ∞,
• limx→−∞ arctg e−x = arctg e+∞ = arctg ∞ = π2 ,
• limx→0+ ln sin x = ln 0+ = −∞,
• limx→0− sin1 x = sin10− = 01− = −∞,
• limx→0+ sin1 x = sin10+ = 01+ = ∞.
80
KAPITOLA 10. LIMITA FUNKCE
§ 10.4
V´ ypoˇ cet limit
Vˇ eta 26. bδ (x0 ) plat´ı f (x) = g(x) a existuje limita lim g(x) = L, Jestliˇze pro vˇsechna x ∈ O x→x0
pak lim f (x) = L.
x→x0
Odtud plyne, ˇze funkci lze pˇri v´ ypoˇctu limity vhodnˇe upravovat. Pˇ r´ıklad 85.
(x − 2)(x + 1) x2 − x − 2 = 00 = lim = lim (x + 1) = 3. x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 lim
N´asleduj´ıc´ı vˇeta jiˇz byla pouˇzita v nˇekter´ ych pˇr´ıkladech. Vˇ eta 27. Necht’ limx→x0 f (x) = k 6= 0 a limx→x0 g(x) = 0. Existuje-li prstencov´e okol´ı bodu x0 , takov´e, ˇze pro kaˇzd´e x z tohoto okol´ı plat´ı •
f (x) g(x)
> 0,
pak
limx→x0
f (x) g(x)
= +∞,
•
f (x) g(x)
< 0,
pak
limx→x0
f (x) g(x)
= −∞.
→ Vˇeta plat´ı i pro jednostrann´e okol´ı a limity.
→ Pˇri v´ ypoˇctu limity typu k0 , kde k 6= 0, k ∈ R je potˇreba urˇcit obˇe jednostrann´e limity a zjisit, zda jsou si rovny. Pokud ne, limita neexistuje.1 Pˇ r´ıklad 86.
• Limita
x = 10 x→1 x − 1 lim
neexistuje, nebot’ lim
x→1+ 1
x = 01+ = +∞, x−1
Matematika uˇc´ı: nepˇrehl´ıˇzejte nuly. (Gabriel Laub)
lim
x→1−
x = 01− = −∞. x−1
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 10.5. PR • Limita
81
x = 10 = +∞, 2 x→1 (x − 1) lim
nebot’
1 x
+ = +∞, = 0 x→1+ (x − 1)2
k
(x) , k ∈ R = 0. Pozn´ amka. limx→x0 fg(x) = ±∞ lim
lim
x→1−
1 x
+ = +∞. = 0 (x − 1)2
Vˇ eta 28 (Limita polynomu a rac. lom. funkce v ±∞). Plat´ı • lim (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ) = lim an xn ,
x→±∞
•
x→±∞
an xn + · · · + a0 an xn = lim . x→±∞ bm xm + · · · + b0 x→±∞ bm xm lim
Pˇ r´ıklad 87. • lim (−2x5 + 3x4 − 2x + 8) = lim (−2x5 ) x→−∞ x→−∞
= −2 · (−∞) = +∞ 2x3 +3x2 −1 4 x→∞ x −2x+2
• lim
•
2x3 4 x→∞ x
= lim
2 lim 3x 2+2x−1 x→−∞ −x −8x+5
3x2 2 x→−∞ −x
= lim
x4 +3x2 +2x−1 2 x→∞ −4x +3x+5
• lim
2 x→∞ x
= lim
= lim (−3) = −3
x4 2 x→∞ −4x
= lim
Pozn´ amka. Neurˇcit´e v´ yrazy typu 00 , pravidla.
§ 10.5
2
=0 = ∞
x→−∞
x2 x→∞ −4
= lim ∞ ∞
=
1 −4
· lim x2 = −∞. x→∞
lze ˇreˇsit pomoc´ı derivac´ı, pouˇzit´ım tzv. L’Hospitalova
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 88. Urˇcete limitu z grafu funkce. 1 2, x→0 x
(i) lim 3x + 1,
(iii) lim
(ii) lim arctg x,
(iv) lim
x→5
x→∞
x→0−
1 x,
(v) lim x1 , x→0
(vi)
lim ln(x + 3).
x→−3+
82
KAPITOLA 10. LIMITA FUNKCE
Pˇ r´ıklad 89. Urˇcete limitu. 2x2 −5x+5 , 2 x→2 x −x−2
sin x , x→2 x
(i) lim
(ii) lim
x→∞
(iv) lim
sin x x ,
2x−3 , x→0 sin x
(v) lim
x3 −2x2 +3+log3 (1−x) , x−sin πx +2 4 x→−2
x2 −1 . x→0 cos x−1
(iii) lim
(vi) lim
Pˇ r´ıklad 90. Urˇcete limitu. x3 −3x2 +2 3 −3x−4 , 2x x→∞
(iv) lim
2x +x4 +1 , x 2 x→∞ 3·2 +x −1
(v) lim
7x2 −2x+12 , 3 2 x→∞ x −4x +2
(i) lim
(ii) lim
x3 +2x−2 3 +4x2 +x+3 , 4x x→∞
(iii) lim
x→∞
−2x7 −x+1 , x2 +1
2 log6 x−3x+1 +15x6 x 6 . x→∞ 3 log6 x+3 −5x
‡(vi) lim
Pˇ r´ıklad 91. Z graf˚ u z´ akladn´ıch funkc´ı a nebo v´ypoˇctem urˇcete limitu. 1
(i) lim (5 x + 2), x→∞
§ 10.6
(ii)
lim ecotg x .
x→2π −
Wolfram|Alpha
• V´ ypoˇcet limity. limit (x+3)/(2-x^2) as x->1 limit 3^(1/x)-7 as x->-infinity
• Jednostrann´ a limita. limit e^(cot(x)) as x->2pi from left lim_(x->(2 pi)^-) e^(cot(x))
Kapitola
11 Derivace
§ 11.1
Definice a geometrick´ y v´ yznam derivace
Definice 47 (Derivace v bodˇe). Bud’ f funkce a x0 ∈ D(f ). Existuje-li
f (x0 + h) − f (x0 ) lim h→0 h
f (x) − f (x0 ) = lim x→x0 x − x0
naz´ yv´ ame tuto limitu derivace funkce f v bodˇe x0 a znaˇc´ıme ji f 0 (x0 ). Je-li tato limita vlastn´ı, naz´ yv´ ame ji vlastn´ı derivace, je-li nevlastn´ı, naz´ yv´ame ji nevlastn´ı derivace. Jestliˇze tato limita neexistuje ˇrekneme, ˇze funkce f v bodˇe x0 derivaci nem´ a.
Geometrick´ y v´ yznam derivace Seˇcna grafu funkce f proch´ azej´ıc´ı body [x0 , f (x0 )] a [x0 + h, f (x0 + h)] m´a smˇernici tg ϕ =
f (x0 + h) − f (x0 ) . h
Jestliˇze se s bodem x0 + h bl´ıˇz´ıme k bodu x0 (tj. prov´ad´ıme limitn´ı pˇrechod h → 0), pˇrejde tato seˇcna v teˇcnu v bodˇe [x0 , f (x0 )]. Smˇernice teˇcny ke grafu funkce f v bodˇe x0 je tedy f (x0 + h) − f (x0 ) lim , h→0 h coˇz je pˇresnˇe derivace funkce f v bodˇe x0 .
83
84
KAPITOLA 11. DERIVACE
Obr. 11.1: Geometrick´ y v´ yznam derivace. Vˇ eta 29. M´a-li funkce f v bodˇe x0 derivaci, pak je v tomto bodˇe spojit´a.
Pozn´ amka. Obr´ acen´ a vˇeta neplat´ı. Napˇr. funkce f (x) = |x| je spojit´a na cel´em R, ale v x0 = 0 nem´a derivaci.
Obr. 11.2: Graf funkce f (x) = |x|. Definice 48 (Derivace na intervalu). Necht’ m´ a funkce f derivaci v kaˇzd´em bodˇe otevˇren´eho intervalu I. Pˇredpisem, kter´ y kaˇzd´emu bodu x z intervalu I pˇriˇrad´ı derivaci funkce f v bodˇe x, je definov´ana funkce, kterou naz´ yv´ ame derivace funkce f na intervalu I a oznaˇcujeme ji f 0 .
§ 11.2. PRAVIDLA A VZORCE
85
dy • Derivaci funkce y = f (x) se mimo f 0 tak´e znaˇc´ıv´a y 0 , df dx , dx .
Pozn´ amka.
• V´ yraz df (x) = f 0 (x)dx naz´ yv´ ame diferenci´al funkce f v bodˇe x. • Funkce f m´ a v bodˇe x0 diferenci´al (je diferencovateln´a v bodˇe x0 ) ⇔ existuje vlastn´ı 0 derivace f (x0 ).
§ 11.2
Pravidla a vzorce1
Pravidla Necht’ f a g jsou funkce, c ∈ R. • (f ± g)0 = f 0 ± g 0 , • (c · f )0 = c · f 0 , • (f · g)0 = f 0 g + f g 0 , 0 0 g0 . • fg = f g−f g2
Vzorce Necht’ a, b, c, α ∈ R, a, b > 0, α 6= 0, b 6= 1. • (sin x)0 = cos x, • (c)0 = 0,
• (cos x)0 = − sin x.
• (xα )0 = αxα−1 ,
• (tg x)0 =
• (ex )0 = ex ,
• (cotg x)0 = − sin12 x ,
• (ax )0 = ax · ln a,
• (arcsin x)0 =
• (ln x)0 = x1 ,
1 • (arccos x)0 = − √1−x , 2
• (logb x)0 =
1 x·ln b ,
1 , cos2 x
• (arctg x)0 =
√ 1 , 1−x2
1 , 1+x2
1 • (arccotg x)0 = − 1+x 2.
1
Pro derivov´ an´ı je potˇreba jen slab´ a mysl a siln´ a pravaˇcka. (Ron Getoor)
86
KAPITOLA 11. DERIVACE Vˇ eta 30. Pro sloˇzenou funkci plat´ı (f ◦ g)0 (x) = [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x), kde existence derivace vlevo (a uprostˇred) plyne z existence derivac´ı vpravo.
Pozn´ amka.
• V´ yraz f 0 (g(x)) znamen´a derivaci funkce f vypoˇctenou v bodˇe g(x).
• Pˇri derivov´ an´ı sloˇzen´e funkce je vhodn´e zaˇc´ıt od vnˇejˇs´ı sloˇzky a pokraˇcovat dovnitˇr (jako loup´ an´ı cibule), tj. (f ◦ g ◦ h)0 (x) = [f (g(h(x)))]0 = f 0 (g(h(x))) · g 0 (h(x)) · h0 (x).
Definice 49 (Derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u). Necht’ f je funkce a f 0 jej´ı derivace. Existuje-li derivace (f 0 )0 funkce f 0 , naz´ yv´ame ji druh´ a derivace funkce f a znaˇc´ıme ji f 00 . 0 Obecnˇe n-tou derivac´ı, n ∈ N, funkce f rozum´ıme funkci f (n) = f (n−1) .
Pozn´ amka.
• Pro derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u budeme pouˇz´ıvat znaˇcen´ı f 0 , f 00 , f 000 , f (4) , f (5) , . . . , f (n) .
• V ostatn´ıch typech znaˇcen´ı se n-t´a derivace p´ıˇse jako y (n) ,
§ 11.3
dn f dn y , . dxn dxn
Fyzik´ aln´ı v´ yznam
Fyzik´ aln´ı v´ yznam derivace • Derivace f 0 (x0 ) vyjadˇruje okamˇzitou rychlost zmˇeny funkˇcn´ı hodnoty funkce f v bodˇe x0 . Tj. je-li f 0 (x0 ) = c ∈ R, potom na jednu jednotku zmˇeny hodnoty nez´ avisle promˇenn´e x pˇripad´a c jednotek zmˇeny z´avisle promˇenn´e y. • Zejm´ena z toho plyne, ˇze je-li c > 0, pak s rostouc´ım x roste i y, a je-li c < 0, pak s rostouc´ım x y kles´ a.
´ ´I VYZNAM ´ § 11.3. FYZIKALN
87
Obr. 11.3: Rychlost zmˇeny. Snadno m˚ uˇzeme pomoc´ı derivac´ı odvodit z´akony klasick´e mechaniky:
• Rychlost je zmˇena polohy v ˇcase v = st . Potom okamˇzit´a rychlost v ˇcase t je s(t + h) − s(t) ds = . h→0 h dt
v(t) = lim
• Zrychlen´ı je zmˇena rychlosti v ˇcase, tedy podobnˇe obdrˇz´ıme a(t) =
dv d2 s = 2. dt dt
• Hybnost p je rovna rychlosti na jednotku hmotnosti, tedy p = mv. • S´ıla je derivac´ı hybnosti dle ˇcasu F =
dp d(mv) dm dv dv = = v+m =0+m = ma. dt dt dt dt dt
T´ım jsme odvodili 2. Newton˚ uv pohybov´ y z´akon (a =
F m ):
Z´ akon s´ıly Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundam lineam rectam qua vis illa imprimitur. (= Jestliˇze na tˇeleso p˚ usob´ı s´ıla, pak se tˇeleso pohybuje se zrychlen´ım, kter´e je pˇr´ımo u ´mˇern´e p˚ usob´ıc´ı s´ıle a nepˇr´ımo u ´mˇern´e hmotnosti tˇelesa.)
88
§ 11.4
KAPITOLA 11. DERIVACE
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 92. Urˇcete derivaci n´ asleduj´ıc´ıch funkc´ı. (i) f (x) = 0,
(v) f (x) =
(ii) f (x) = −18, (iii) f (x) = −2x3 + x2 − 4x + 3, √ √ 5 (iv) f (x) = x − 5x22 + 6 x3 ,
(vi) f (x) =
√ 5 x+7x2 −3 , 2x x+8 , 3x2 −1
(vii) f (x) = 2 sin x + cotg x, (viii) f (x) = x tg x.
Pˇ r´ıklad 93. Urˇcete derivaci funkce f v bodˇe x0 . (i) f (x) = 3x2 + 2x − 8, x0 = −1,
(ii) f (x) = ln(tg x), x0 = π4 .
Pˇ r´ıklad 94. Urˇcete funkˇcn´ı hodnotu a hodnotu prvn´ı a druh´e derivaci funkce f v bodˇe x0 . (i) f (x) =
√
3x4 + 1, x0 = −1,
(ii) f (x) = x sin(2x), x0 = π4 .
Pˇ r´ıklad 95. Zderivujte a upravte. (i) f (x) = x2 ex sin x, (ii) f (x) = x3 6x , √ (iii) f (x) = x2 − 1,
(iv) f (x) = (v) f (x) =
1 ln x , 1−x , x2 +1
(vi) f (x) = arccotg(2x).
Pˇ r´ıklad 96. Zderivujte a upravte. (i) f (x) = 3x2 ex (sin x − 3 ln x), (ii) f (x) = (2x + 6)4x , √ (iii) f (x) = 3x3 − 2x2 + 5x − 1, (iv) f (x) = (v) f (x) =
7 , ln(x2 +1)
q
1−x , x2 +1
(vi) f (x) = cos2 x3 , (vii) f (x) = x sin2 (2x), (viii) f (x) =
−2 ln cos x ,
(ix) f (x) = 72x
3 +x−9
,
(x) f (x) = arccotg x22x−1 .
Pˇ r´ıklad 97. Zderivujte a upravte. (i) f (x) = x5 + 5x , ‡(ii) f (x) = xx ,
‡(iii) f (x) = (sin x)cos x , ‡(iv) f (x) = (ln x)tg x .
§ 11.5. WOLFRAM|ALPHA
89
Pˇ r´ıklad 98. Zderivujte a upravte. (Nenechte se odradit t´ım, jak hroznˇe vypad´ a zad´ an´ı. Derivov´ an´ı je ˇcistˇe mechanick´ a z´ aleˇzitost a staˇc´ı se v tom “jen” neztratit.) √ (i) f (x) = 5x5 5 5x ,
(iv) f (x) = ln ln(x − 3) + arcsin x−5 2 ,
(ii) f (x) = ln2 cos3 x5 ,
(v) f (x) =
(iii) f (x) = arccos log 2 x2 ,
1 , ln(sin2 x)
(vi) f (x) = sin x2 sin2 x.
3
Pˇ r´ıklad 99. Zderivujte: f (x) = 5x3 − 2 cos x +
3 , 4x2
g(x) =
x4 , ln x
h(x) =
p 3
sin(2x).
Pˇ r´ıklad 100. Urˇcete hodnotu 3. derivace funkce f (x) = 5x5 + 4x3 − x2 + 1 v bodˇe x0 = −2.
§ 11.5
Wolfram|Alpha
• V´ ypoˇcet derivace. derivative of cos(2x^3)(5x-1)
• Derivace vyˇsˇs´ıho ˇr´ adu. second derivative of sqrt(ln(x)) third derivative of ln(x^(1/3)) 4th derivative of ln(x^(1/3)) 5th derivative of sin(2x) d^5/dx^5(sin(2 x))
• Hodnota derivace v dan´em bodˇe. 7th derivative of sqrt(x) where x=1
90
KAPITOLA 11. DERIVACE
Kapitola
12 Pouˇzit´ı derivac´ı
§ 12.1
L’Hospitalovo pravidlo
Vˇ eta 31 (L’Hospitalovo pravidlo). Necht’ α ∈ R∗ a necht’ funkce f a g jsou definovan´e v nˇejak´em ryz´ım okol´ı bodu α a maj´ı zde derivaci. Necht’ d´ ale plat´ı bud’ lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→α
x→α
nebo lim |g(x)| = ∞.
x→α
Pak plat´ı
f (x) f 0 (x) = lim 0 , x→α g(x) x→α g (x) lim
pokud limita na prav´e stranˇe existuje. Stejn´e tvrzen´ı plat´ı i pro obˇe jednostrann´e limity.
Pozn´ amka.
• L’Hospitalovo pravidlo m˚ uˇzeme pouˇz´ıt opakovanˇe.
• Lze ho pouˇz´ıt pˇr´ımo na limity typu
0 0
a
∞ ∞.
• Vhodnou u ´pravou lze pˇrev´est neurˇcit´e v´ yrazy typu 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 0∞ a ∞0 na jeden 0 ∞ z typ˚ u 0, ∞.
Pozor! (x) Pˇri pouˇzit´ı L’Hospitalova pravidla nederivujeme v´ yraz fg(x) jako pod´ıl, ale derivujeme zvl´aˇst’ funkci v ˇcitateli a zvl´ aˇst’ funkci ve jmenovateli.
91
ˇ ´I DERIVAC´I KAPITOLA 12. POUZIT
92
§ 12.2
Teˇ cna a norm´ ala ke grafu funkce
Definice 50. Necht’ je f (x) funkce spojit´ a a m´a derivaci v bodˇe x0 ∈ D(f ). Potom pˇr´ımku y − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) naz´ yv´ ame teˇcna ke grafu funkce f v bodˇe x0 a pˇr´ımku y − f (x0 ) = −
1 · (x − x0 ) f 0 (x0 )
naz´ yv´ ame norm´ ala ke grafu funkce f v bodˇe x0 (v pˇr´ıpadˇe, ˇze f 0 (x0 ) 6= 0).
Obr. 12.1: Teˇcna a norm´ala.
§ 12.3
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 101. Urˇcete limity. x3 +x2 +4 , 4 3 x x→−2 +3x +8
(i) lim
sin x , x→0 x
(ii) lim
x 2 , x→∞ ln x
(iii) lim
(iv) lim
x→0
(v) lim
ln(1+sin x) sin 3x ,
x→∞
ln √x , x
ln(1+sin x) . x→0 sin 4x arccos x
(vi) lim
§ 12.4. WOLFRAM|ALPHA
93
Pˇ r´ıklad 102. Urˇcete limity. 1
‡(i) limπ (1 − sin x) tg x,
‡(iii) lim x e x , x→0+
x→ 2
‡(ii)
lim tg 2x ln(tg x),
1
‡(iv) lim x e x .
x→ π4 −
x→0−
Pˇ r´ıklad 103. Urˇcete rovnici teˇcny funkce f v bodˇe x0 . (i) f (x) =
1−x , x2 −3
x0 = −2,
(ii) f (x) = 2x + sin x,
x0 = π.
Pˇ r´ıklad 104. Urˇcete rovnici norm´ aly funkce f v bodˇe x0 . (i) f (x) = x2 + ln x,
§ 12.4
x0 = 1,
(ii) f (x) =
Wolfram|Alpha
• Teˇcna. tangent to y=x^2 at 2
• Norm´ ala. normal to y=x^(2/3) at 8
• Limita. limit (ln^5(x))/(x-3) as x->infinity
√ 3
1 − x,
x0 = 9.
94
ˇ ´I DERIVAC´I KAPITOLA 12. POUZIT
Kapitola
13 Pr˚ ubˇeh funkce
§ 13.1
Monotonie a lok´ aln´ı extr´ emy
Vˇ eta 32. Necht’ je funkce f spojit´ a na intervalu [a, b] a m´a derivaci na intervalu (a, b). Pak plat´ı • Funkce f je v [a, b] konstantn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz ∀x ∈ (a, b) : f 0 (x) = 0. • Je-li f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), pak je funkce f na intervalu [a, b] rostouc´ı. • Je-li f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), pak je funkce f na intervalu [a, b] klesaj´ıc´ı.
Pozor!
Obr´acen´e tvrzen´ı neplat´ı. Napˇr. funkce f (x) = x3 je na cel´em R rostouc´ı, ale v bodˇe x = 0 m´ a nulovou derivaci.
Definice 51. ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´ a v bodˇe x0 lok´ aln´ı maximum (minimum), jestliˇze pro kaˇzd´e x v nˇejak´em okol´ı bodu x0 plat´ı f (x) ≤ f (x0 ), f (x) ≥ f (x0 ) . Pokud pro x 6= x0 plat´ı pˇredchoz´ı nerovnosti ostˇre, mluv´ıme o ostr´em lok´aln´ım maximu (minimu). Souhrnnˇe naz´ yv´ame (ostr´e) lok´aln´ı maximum a minimum (ostr´e) lok´ aln´ı extr´emy.
95
ˇ FUNKCE KAPITOLA 13. PR˚ UBEH
96 Vˇ eta 33.
M´a-li funkce f v bodˇe x0 lok´ aln´ı extr´em, pak f 0 (x0 ) = 0, nebo f 0 (x0 ) neexistuje.
Obr. 13.1: Najdˇete vˇsechny extr´emy zobrazen´e funkce a rozhodnˇete, kter´e z nich jsou ostr´e.
Definice 52. Je-li f 0 (x0 ) = 0, pak bod x0 naz´ yv´ame stacion´ arn´ı bod funkce f .
Vˇ eta 34. Necht’ je funkce f spojit´ a v bodˇe x0 a necht’ existuje jej´ı derivace v nˇejak´em prstencov´em okol´ı tohoto bodu. Oznaˇcme L lev´e prstencov´e okol´ı bodu x0 a R prav´e prstencov´e okol´ı bodu x0 . • Jestliˇze plat´ı f 0 (x) > 0 pro x ∈ L a f 0 (x) < 0 pro x ∈ R, pak m´ a funkce f v bodˇe x0 ostr´e lok´aln´ı maximum. • Jestliˇze plat´ı f 0 (x) < 0 pro x ∈ L a f 0 (x) > 0 pro x ∈ R, pak m´ a funkce f v bodˇe x0 ostr´e lok´aln´ı minimum.
´ ´I EXTREMY ´ § 13.1. MONOTONIE A LOKALN
97
Vˇ eta 35. Necht’ f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) 6= 0. Pak m´a funkce f v bodˇe x0 lok´aln´ı extr´em a to • lok´ aln´ı maximum, jestliˇze f 00 (x0 ) < 0, • lok´ aln´ı minimum, jestliˇze f 00 (x0 ) > 0.
Pˇ r´ıklad 105. Najdˇete lok´ aln´ı extr´emy funkce f (x) = −x2 + 4x − 3.
ˇ sen´ı: Reˇ
(i) f 0 (x) = −2x + 4 = 0
⇔
x = 2.
x
(−∞, 2)
(2, ∞)
sgn f 0
+
−
f
%
&
Funkce f m´ a tedy v x = 2 lok´ aln´ı maximum s hodnotou f (2) = 1.
(ii) f 0 (x) = −2x + 4 = 0 ⇔ x = 2. f 00 (x) = −2 ⇒ f 00 (2) = −2 < 0. Funkce f m´ a tedy v x = 2 lok´ aln´ı maximum s hodnotou f (2) = 1.
Obr. 13.2: Graf funkce f (x) = −x2 + 4x − 3.
ˇ FUNKCE KAPITOLA 13. PR˚ UBEH
98
§ 13.2
Konvexnost, konk´ avnost a inflexn´ı body
Definice 53. Funkci nazveme konvexn´ı (konk´ avn´ı) v bodˇe x0 , jestliˇze jej´ı graf leˇz´ı v prstencov´em okol´ı bodu x0 nad (pod) teˇcnou v tomto bodˇe. Funkci nazveme konvexn´ı (konk´avn´ı) na intervalu I, jestliˇze je konvexn´ı (konk´avn´ı) v kaˇzd´em bodˇe tohoto intervalu.
Vˇ eta 36. Necht’ funkce f (x) m´ a derivaci na intervalu (a, b). Pak plat´ı • jestliˇze ∀x ∈ (a, b) plat´ı f 00 (x) > 0, pak je funkce f konvexn´ı na intervalu (a, b), • jestliˇze ∀x ∈ (a, b) plat´ı f 00 (x) < 0, pak je funkce f konk´avn´ı na intervalu (a, b).
Pozn´ amka. Opaˇcn´e tvrzen´ı neplat´ı. Napˇr. funkce f (x) = x4 je konvexn´ı na R, ale f 00 (0) = 0.
Obr. 13.3: Graf funkce f (x) = x4 .
Definice 54. ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´ a v bodˇe x0 inflexn´ı bod, jestliˇze v bodˇe x0 existuje teˇcna ke grafu funkce a f 00 zde mˇen´ı znam´enko (tj. graf funkce se mˇen´ı z konvexn´ıho na konk´ avn´ı, nebo opaˇcnˇe).
´ § 13.2. KONVEXNOST, KONKAVNOST A INFLEXN´I BODY
99
Pozn´ amka. Funkce f m˚ uˇze m´ıt inflexn´ı bod v bodˇe x0 , ve kter´em: • f 00 (x0 ) = 0,
f 00 (x0 ) neexistuje.
•
Obr. 13.4: Graf funkce f (x) = x3 s inflexn´ım bodem.
Obr. 13.5: f (x) =
√ 3
x s inflexn´ım bodem.
Vˇ eta 37. Necht’ m´ a funkce f v bodˇe x0 spojitou prvn´ı derivaci a necht’ existuje ryz´ı okol´ı bodu x0 , v nˇemˇz existuje druh´ a derivace funkce f . Oznaˇcme L lev´e ryz´ı okol´ı bodu x0 a R prav´e ryz´ı okol´ı bodu x0 . Pak jestliˇze f 00 (x) > 0 ∀x ∈ L a f 00 (x) < 0
∀x ∈ R
nebo naopak,
pak m´ a funkce f v bodˇe x0 inflexn´ı bod.
Pˇ r´ıklad 106. Zjistˇete, pro kter´ a x ∈ R je funkce f (x) = x3 − 6x2 + 6x − 3 konk´ avn´ı/konvexn´ı a najdˇete jej´ı inflexn´ı body.
ˇ sen´ı: f 0 (x) = 3x2 − 12x + 6, Reˇ
f 00 (x) = 6x − 12 = 0
⇔
x
(−∞, 2)
(2, ∞)
sgn f 00
−
+
f
∩
∪
x = 2.
Funkce je konk´ avn´ı pro x ∈ (−∞, 2) konvexn´ı pro x ∈ (2, ∞) a v x = 2 m´a inflexn´ı bod s hodnotou f (2) = −7.
ˇ FUNKCE KAPITOLA 13. PR˚ UBEH
100
Obr. 13.6: Graf funkce f (x) = x3 − 6x2 + 6x − 3.
§ 13.3
Asymptoty
Definice 55. Pˇr´ımku, kter´ a je teˇcnou ke grafu funkce f v nˇekter´em nevlastn´ım bodˇe, naz´ yv´ame asymptota funkce f .
Vˇ eta 38. Funkce m´ a • asymptotu bez smˇernice x = x0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´a v bodˇe x0 nevlastn´ı limitu zleva nebo zprava, • asymptotu se smˇernic´ı y = ax + b pro x → ±∞ pr´avˇe tehdy, kdyˇz a = lim
x→±∞
f (x) ∈R x
a
b = lim (f (x) − ax) ∈ R. x→±∞
Pozn´ amka. Je-li limita limx→x+ f (x) = ±∞ nebo limx→x− f (x) = ±∞, pak je svisl´a pˇr´ımka 0 0 x = x0 asymptotou bez smˇernice funkce f v bodˇe x0 . Tedy asymptoty bez smˇernice hled´ame ”v d´ır´ach”nebo na okraji definiˇcn´ıho oboru.
ˇ FUNKCE – SHRNUT´I § 13.4. PR˚ UBEH
101
Obr. 13.7: Jedna asymptota bez smˇernice, dvˇe vodorovn´e se smˇernic´ı.
Obr. 13.8: Jedna asymptota bez smˇernice, dvˇe ˇsikm´e se smˇernic´ı.
§ 13.4
Pr˚ ubˇ eh funkce – shrnut´ı
Postup pˇ ri vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce (i) Pˇr´ımo z funkce: • D(f ), sudost/lichost, nost/z´ apornost,
periodiˇcnost,
pr˚ useˇc´ıky
s
osami,
klad-
• asymptoty (se smˇernic´ı, bez smˇernice). (ii) Z prvn´ı derivace: rostouc´ı/klesaj´ıc´ı, lok´aln´ı extr´emy. (iii) Z druh´e derivace: konvexn´ı/konk´avn´ı, inflexn´ı body. (iv) Naˇcrtnut´ı grafu: ke vˇsem v´ yˇse zm´ınˇen´ ym bod˚ um dopoˇc´ıt´ame funkˇcn´ı hodnoty a zkombinujeme zjiˇstˇen´e informace.
ˇ FUNKCE KAPITOLA 13. PR˚ UBEH
102 Postupnˇe tedy pln´ıme n´ asleduj´ıc´ı body: a) definiˇcn´ı obor,
j) druhou derivaci,
b) sudost/lichost (periodiˇcnost),
k) kde je f konvexn´ı/konk´avn´ı,
c) asymptoty bez smˇernice,
l) inflexn´ı body,
d) asymptoty se smˇernic´ı, e) pr˚ useˇc´ıky s osami, f) kladnost/z´ apornost, g) prvn´ı derivaci, h) kde je f rostouc´ı/klesaj´ıc´ı,
m) funkˇcn´ı hodnoty ve v´ yznamn´ ych bodech,
i) lok´aln´ı extr´emy,
n) naˇcrtneme graf.
Pˇ r´ıklad 107. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f (x) = −
x2 x+1
ˇ sen´ı: Reˇ a) Funkˇcn´ımu pˇredpisu vyhovuj´ı vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla takov´a, ˇze x + 1 6= 0. Proto m´ame D(f ) = R \ {−1}. b) O sudosti/lichosti funkce snadno rozhodneme dosazen´ım −x. Ponˇevadˇz plat´ı f (−x) = −
x2 6= ±f (x), −x + 1
nen´ı zadan´ a funkce ani lich´ a, ani sud´a (coˇz je vidˇet uˇz z nesymetrie definiˇcn´ıho oboru). Vzhledem k definiˇcn´ımu oboru je zˇrejm´e, ˇze funkce nem˚ uˇze b´ yt periodick´a. c) Asymptoty bez smˇernice popisuj´ı limitn´ı chov´an´ı funkce v bodech nespojitosti (nebo na okraji definiˇcn´ıho oboru), proto pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem ihned dostaneme x2 x2 = − lim = −(+∞) = −∞, x+1 x→−1+ x→−1+ x + 1 x2 x2 lim − = lim − = −(−∞) = ∞. x + 1 x→−1− x + 1 x→−1− lim −
Funkce m´ a jednu svislou asymptotu x = −1.
ˇ FUNKCE – SHRNUT´I § 13.4. PR˚ UBEH
103
d) Pomoc´ı vzorc˚ u urˇc´ıme asymptoty se smˇernic´ı (pokud existuj´ı). x2 = −1, x→±∞ x2 + x x2 x b = lim − + x = lim = 1. x→±∞ x + 1 x→±∞ x + 1
a = lim −
Funkce f (x) m´ a tedy v +∞ i −∞ asymptotu se smˇernic´ı, kter´a je d´ana rovnic´ı y = −x + 1. e) Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky s osou x (⇒ y = 0): ⇐⇒
f (x) = 0
x2 = 0
⇐⇒
x = 0,
tedy Px = [0, 0], a s osou y (⇒ x = 0): y=−
02 =0 0+1
⇐⇒
y = 0,
tedy Py = [0, 0] = Px . f) Nyn´ı z´ısk´ ame intervaly, kde je funkce f (x) kladn´a a z´aporn´a: x
(−∞, −1)
(−1, 0)
(0, ∞)
sgn f
+
−
−
f
kladn´a
z´aporn´a
z´aporn´a
g) Spoˇc´ıt´ ame prvn´ı derivaci a jej´ı definiˇcn´ı obor, tj. f 0 (x) =
−x2 − 2x , (x + 1)2
D(f 0 ) = R \ {−1}.
h) Nyn´ı urˇc´ıme stacion´ arn´ı body a intervaly monotonie, tj. f 0 (x) = 0
⇐⇒
−x(x + 2) = 0
⇐⇒
x1 = 0, x2 = −2.
x
(−∞, −2)
(−2, −1)
(−1, 0)
(0, ∞)
sgn f 0
−
+
+
−
f
&
%
%
&
i) Z tabulky vid´ıme, ˇze funkce m´ a v x = −2 lok´aln´ı minimum a v x = 0 lok´aln´ı maximum.
ˇ FUNKCE KAPITOLA 13. PR˚ UBEH
104
j) Spoˇc´ıt´ ame druhou derivaci a urˇc´ıme jej´ı definiˇcn´ı obor −2x − 2 −2 = , 4 (x + 1) (x + 1)3 D(f 00 ) = R \ {−1}. f 00 (x) =
k) Urˇc´ıme kritick´e body a intervaly konvexnosti a konk´avnosti, tj. f 00 (x) = 0
⇐⇒
−2 = 0,
coˇz je nesmysl. Druh´ a derivace tedy nem´a ˇz´adn´ y nulov´ y bod. Nesm´ıme ovˇsem zapomenout, ˇze jej´ı znam´enko se m˚ uˇze zmˇenit i v bodech, ve kter´ ych nen´ı definov´ana (tj. v d´ır´ach“ jej´ıho definiˇcn´ıho oboru). ” x
(−∞, −1)
(−1, ∞)
sgn f 00
+
−
f
∪
∩
l) Funkce nem´ a ˇz´ adn´ y inflexn´ı bod (−1 6∈ D(f )). m) Zrekapitulujme v´ yznaˇcn´e body a spoˇctˇeme v nich funkˇcn´ı hodnoty. – Pr˚ useˇc´ıky s osami Px = Py = [0, 0]. – Lok´ aln´ı minimum v x = −2, f (−2) = 4, tedy jde o bod [−2, 4]. – Lok´ aln´ı maximum v x = 0, f (0) = 0, tedy jde o bod [0, 0]. n) Nyn´ı zkombinujeme vˇsechny z´ıskan´e informace a obdrˇz´ıme graf funkce
2
x Obr. 13.9: Graf funkce f (x) = − x+1 .
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 13.5. PR
§ 13.5
105
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 108. Urˇcete pr˚ ubˇeh funkce. (i) f (x) =
x , 4−x2
(vi) f (x) =
x−3 , x2
(ii) f (x) =
x , x2 +1
(vii) f (x) =
x2 −1 , x2 +1
(iii) f (x) =
x2 x+1 ,
(viii) f (x) =
1−2x , 3x2
(iv) f (x) =
x2 +1 2x ,
‡(ix) f (x) = x e−
(v) f (x) =
x2 +1 , x2 −1
‡(x) f (x) =
1 x
x2 2
,
+ ln x.
Pˇ r´ıklad 109. Je d´ ana funkce f (x) = x2 e−x . Urˇcete: (i) Pro kter´ a x je tato funkce klesaj´ıc´ı. (ii) Pro kter´ a x je tato funkce konk´ avn´ı. (iii) Asymptoty bez smˇernice.
(iv) Vodorovn´e asymptoty. (v) Najdˇete lok´ aln´ı maxima. (vi) Najdˇete inflexn´ı body.
Pozn´ amka. Vyzkouˇsejte dopoˇc´ıtat vˇse k dokonˇcen´ı vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce z pˇr´ıkladu 109. Jej´ı graf vypad´ a takto:
Obr. 13.10: Graf funkce f (x) = x2 e−x . Pˇ r´ıklad 110. Urˇcete inflexn´ı body funkce f (x) = ln(2x2 − 3x + 4).
ˇ FUNKCE KAPITOLA 13. PR˚ UBEH
106
Pˇ r´ıklad 111. Kter´e tvrzen´ı NEPLATI´ pro funkci f (x) = a) je sud´ a,
§ 13.6
x2 . x2 −1
3 b) jej´ı derivace m´ a v bodˇe 3 hodnotu − 32 , c) je klesaj´ıc´ı pro x > 8, d) v bodˇe 2 je konk´ avn´ı, e) m´ a lok´ aln´ı maximum v x = 0.
Wolfram|Alpha
• Lok´aln´ı extr´emy. local extrema of (x-1)/(x^2+1)
• Inflexn´ı body. inflection points of (x-1)/(x^2+1)
• Asymptoty. asymptotes y=(x^2-1)/(5-x)
• Graf funkce. plot y=(x^2-3)/(x^2+9) plot y=(x-1)/(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 0.5
Kapitola
14 Neurˇcit´y integr´al
§ 14.1
Definice a vlastnosti
Definice 56 (Neurˇcit´ y integr´ al). Necht’ jsou F a f funkce definovan´e na otevˇren´em intervalu I ⊆ R. Jestliˇze plat´ı F 0 (x) = f (x)
∀x ∈ I,
pak funkci F naz´ yv´ ame primitivn´ı funkce k funkci f , nebo neurˇcit´y integr´ al funkce f na intervalu I. P´ıˇseme Z f (x) dx = F (x). Existuje-li k funkce f primitivn´ı funkce na intervalu I, pak ˇr´ık´ame, ˇze funkce f je na I integrovateln´ a.
Z definice je vidˇet, ˇze integr´ al je jak´ asi antiderivace, tj. integrov´an´ım z´ısk´ame ze zn´am´e derivace zpˇet p˚ uvodn´ı funkci. Proto je tak´e vˇetˇsina vzorc˚ u pro integrov´an´ı element´arn´ıch funkc´ı shodn´a se vzorci pro derivace, jen ˇcteno zprava doleva (a upraveno).
Vˇ eta 39. Je-li funkce f spojit´ a v intervalu I, pak je zde integrovateln´a.
Pozn´ amka. Primitivn´ı funkce (tedy v´ ysledek po integraci) je vˇzdy spojit´a, nebot’ k n´ı existuje derivace (je diferencovateln´ a).
Vˇ eta 40 (Jednoznaˇcnost). Primitivn´ı funkce je urˇcena jednoznaˇcnˇe aˇz na aditivn´ı konstantu.
107
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 14. NEURCIT
108
0 Napˇr. protoˇze plat´ı x2 = 2x, je funkce x2 primitvn´ı funkc´ı k funkci 2x. Podobnˇe ale tak´e 0 0 x2 + 4 = x2 − 8 = 2x. Tedy x2 + c je primitvn´ı funkce k funkci 2x pro libovoln´e c ∈ R. Konstantu c naz´ yv´ ame aditivn´ı (integraˇcn´ı) konstanta. Z toho je zˇrejm´e, ˇze primitivn´ı funkce nen´ı jedin´a funkce, ale cel´ a mnoˇzina funkc´ı liˇs´ıc´ıch se o konstantu.
Vzorce Necht’ A, B, a, c, k, n ∈ R, a > 0, n 6= −1. 1.
R
2.
R
3.
R
1 x
4.
R
ax dx =
5.
R
6.
R
7.
R
k dx = kx + c,
8.
R
1 cos2 x
dx = tg x + c,
+ c,
9.
R
1 sin2 x
dx = − cotg x + c,
dx = ln |x| + c,
10.
R
√ 1 A2 −x2
11.
R
√ 1 x2 ±B
12.
R
1 A2 +x2
13.
R
1 A2 −x2
xn dx =
xn+1 n+1
ax ln a
+ c,
ex dx = ex +c, sin x dx = − cos x + c, cos x dx = sin x + c,
x dx = arcsin A + c,
dx = ln |x +
√
x2 ± B| + c,
x arctg A + c, 1 ln A+x dx = 2A A−x + c.
dx =
1 A
Vˇ eta 41 (Linearita). Necht’ f a g jsou funkce integrovateln´e na intervalu I a a, b jsou re´aln´a ˇc´ısla. Pak na I plat´ı Z Z Z af (x) + bg(x) dx = a f (x) dx + b g(x) dx.
Pˇ r´ıklad 112. Z
√ 3x − sin x + 5 x dx = 3 3
=3
Z
3
x dx −
Z
Z sin x dx +
x1/5 dx
x4 x6/5 + c1 + cos x + c2 + + c3 4 6/5
3 5√ 5 = x4 + cos x + x6 + c. 4 6 Pozn´ amka. Pˇri derivov´ an´ı ˇslo jen o spr´avn´e pouˇzit´ı vzorc˚ u a jejich znalost. Integrace je ˇcasto mnohem obt´ıˇznˇejˇs´ı. Pˇredevˇs´ım proto, ˇze neexistuj´ı vzorce pro integr´al souˇcinu, pod´ılu a sloˇzen´e funkce.
§ 14.2. METODA PER PARTES
§ 14.2
109
Metoda per partes
Metoda per partes ˇc´ asteˇcnˇe nahrazuje chybˇej´ıc´ı pravidlo pro integraci souˇcinu.
Vˇ eta 42. Necht’ jsou funkce u a v diferencovateln´e na intervalu I. Pak na I plat´ı Z Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x) dx, jestliˇze integr´ aly na prav´e stranˇe rovnosti existuj´ı.
Pozn´ amka. Jako funkci u, tedy tu, kterou pˇri pouˇzit´ı vˇety derivujeme, vol´ıme zpravidla funkci, kter´a se pˇri derivov´ an´ı “v´ıce zlepˇs´ı”. Protoˇze n´as budou zaj´ımat v´ yhradnˇe integrandy typu polynom kr´ at jin´ a funkce, volba bude vypadat n´asledovnˇe. Je d´an integr´al Z P (x)f (x) dx,
kde P (x) je polynom, ˇreˇs´ıme pomoc´ı metody per partes takto:
. Je-li f (x) jedna z funkc´ı ekx , sin(kx), cos(kx), pak vol´ıme u = P (x).
. Je-li f (x) jedna z funkc´ı ln x, arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x, pak vol´ıme u = f (x).
Metodu per partes lze pouˇz´ıt opakovanˇe. Pˇ r´ıklad 113. u=x u0 = 1 x sin x dx = 0 v = sin x v = − cos x Z Z = x · (− cos x) − 1 · (− cos x) dx = −x cos x + cos x dx
Z
= −x cos x + sin x + c. Pozn´ amka. Zkouˇsku provedeme zderivov´an´ım v´ ysledku.
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 14. NEURCIT
110 Pˇ r´ıklad 114.
u = ln2 x u0 = 2 ln x · 3x ln x dx = v = x3 v 0 = 3x2 Z 1 = x3 ln2 x − 2 · ln x · · x3 dx x Z u = ln x 3 2 2 = x · ln x − 2 x ln x dx = v 0 = x2 Z x3 1 x3 3 2 − · dx = x · ln x − 2 ln x · 3 3 x Z x3 2 3 2 = x · ln x − 2 ln x + x2 dx 3 3 2 x3 2 +c = x3 · ln2 x − x3 ln x + · 3 3 3 2 2 = x3 · ln2 x − x3 ln x + x3 + c. 3 9
Z
§ 14.3
2
2
1 x
u0 = x1 x3 v= 3
Substituˇ cn´ı metoda
Substituˇcn´ı metoda se pouˇz´ıv´ a pro v´ ypoˇcet nˇekter´ ych integr´al˚ u ze sloˇzen´ ych funkc´ı a tak´e pro v´ ypoˇcet nˇekter´ ych integr´ al˚ u ze souˇcinu ˇci pod´ılu funkc´ı.
Vˇ eta 43 (Substituˇcn´ı metoda I). Necht’ f (t) je funkce spojit´ a na intervalu I, necht’ m´a funkce ϕ(x) derivaci na intervalu J a necht’ plat´ı ϕ(J) = I. Potom na J plat´ı Z Z f (ϕ(x)) · ϕ0 (x) dx = f (t) dt, dosad´ıme-li do v´ yrazu na prav´e stranˇe t = ϕ(x).
Pozn´ amka. Za novou promˇennou t vol´ıme vnitˇrn´ı sloˇzku sloˇzen´e funkce f (ϕ(x)), tedy t = ϕ(x). Odtud diferenciac´ı dost´ av´ ame dt = ϕ0 (x) dx (porovnejte se vzorcem ve znˇen´ı vˇety). Pˇ r´ıklad 115. t = ln x 1 sin(ln x) · dx = 1 dt = x dx x Z = sin t dt = − cos t + c = − cos(ln x) + c.
Z
ˇ ´I METODA § 14.3. SUBSTITUCN
111
Vˇ eta 44 (Substituˇcn´ı metoda II). Necht’ f (x) je funkce spojit´ a na intervalu I, necht’ m´a funkce ϕ(t) na intervalu J nenulovou derivaci a necht’ plat´ı ϕ(J) = I. Potom na I plat´ı Z Z f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt, dosad´ıme-li do v´ yrazu na prav´e stranˇe t = ϕ−1 (x), kde ϕ−1 (x) je funkce inverzn´ı k funkci ϕ(x).
Pozn´ amka. • Pˇrestoˇze prav´ a strana vztahu pro substituci vypad´a sloˇzitˇeji neˇz lev´a strana, vhodnou volbou substituce dodjde ˇcasto naopak k v´ yrazn´emu zjednoduˇsen´ı. • Porovn´ ame-li obˇe uveden´e substituˇcn´ı metody, zjist´ıme, ˇze jde o jedin´ y vztah, kter´ y lze vyuˇz´ıt zprava doleva, nebo naopak. Pˇ r´ıklad 116. Pˇr´ım´e pouˇzit´ı vˇety: Z t−1 x = 2 sin(2x + 1) dx = 1 dx = 2 dt Z Z 1 t−1 1 + 1 · dt = sin t dt = sin 2 · 2 2 2 1 1 x = t−1 2 = − cos t + c = = − cos(2x + 1) + c. t = 2x + 1 2 2 V tomto pˇr´ıpadˇe snadnˇeji: t = 2x + 1 dt = 2 dx sin(2x + 1) dx = 1 dx = 2 dt Z 1 1 1 = sin t · dt = − cos t + c = − cos(2x + 1) + c. 2 2 2
Z
Je uˇziteˇcn´e m´ıt na pamˇeti i n´ asleduj´ıc´ı dva d˚ usledky substituˇcn´ı metody, protoˇze mohou v´ yraznˇe uˇsetˇrit ˇcas pˇri v´ ypoˇctu sloˇzitˇejˇs´ıch integr´al˚ u. D˚ usledek. Je-li F primitivn´ı funkce k funkci f , pak plat´ı Z 1 f (αx + β) dx = F (αx + β) + c. α Pˇ r´ıklad 117. Z
=
√
Z 4x + 5 dx =
(4x + 5)1/2 dx
1 (4x + 5)3/2 1p + c = (4x + 5)3 + c. 3 4 6 2
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 14. NEURCIT
112 D˚ usledek. Plat´ı
f 0 (x) dx = ln |f (x)| + c. f (x)
Z
Pˇ r´ıklad 118. Z
=
§ 14.4
5x dx = 5 2 3x + 5
Z
x 5 dx = 2 3x + 5 6
Z
6x dx +5
3x2
5 5 ln |3x2 + 5| + c = ln(3x2 + 5) + c. 6 6
Racion´ aln´ı lomen´ a funkce
Pozn´ amka. Jiˇz v´ıme, ˇze kaˇzdou racion´aln´ı lomenou funkci, kter´a nen´ı ryze lomen´a, lze pomoc´ı dˇelen´ı polynom˚ u pˇrev´est na souˇcet polynomu a ryze lomen´e racion´aln´ı funkce. Budeme se tedy zaj´ımat pouze o integr´aly z ryze lomen´ ych racion´aln´ıch funkc´ı. Zamˇeˇr´ıme se na 4 typy integr´ al˚ u: 1.
R
A ax+b
2.
R
A (ax+b)n
dx, dx, n ∈ N,
3.
R
A ax2 +bx+c
dx,
4.
R
Ax+B ax2 +px+q
dx,
kde A, B, a, b, c, p, q jsou re´ aln´ a ˇc´ısla. Typ 1 a 2 ˇreˇs´ıme substituc´ı t = ax + b. Pˇ r´ıklad 119 (Typ 1). Z
Z Z t = 2x − 8 3 3 1 3 1 dx = · dt = dt dt = 21dx = 2x − 8 t 2 2 t dx = 2 dt =
3 3 ln |t| + c = ln |2x − 8| + c. 2 2
Pˇ r´ıklad 120 (Typ 2). Z
Z Z t = 2x − 8 31 3 1 3 dt = 2 dx = dt = dx = dt 32 3 (2x − 8)3 t 2 t dx = 12 dt 3 = 2 =
Z
t−3 dt =
3 t−2 +c 2 −2
3 1 −3 +c= + c. 2 −4 t 4(2x − 8)2
´ ´I LOMENA ´ FUNKCE § 14.4. RACIONALN
113
Typ 3 ˇreˇs´ıme doplnˇen´ım jmenovatele na ˇctverec a pouˇzit´ım vzorce pro R 1 dx. A2 −x2
R
1 A2 +x2
Pˇ r´ıklad 121 (Typ 3). Z
3 3 dx = 2 2x − 4x + 10 2
Z
1 3 dx = 2 x − 2x + 5 2
Z
1 dx (x − 1)2 + 4
3Z 1 t = x − 1 dt = = 2 dx = dt 2 t + 22 =
3 1 t 3 x−1 · · arctg + c = arctg + c. 2 2 2 4 2
Typ 4 ˇreˇs´ıme pˇreveden´ım na souˇcet integr´alu typu
R
f 0 (x) f (x)
dx a integr´alu typu 3.
Pˇ r´ıklad 122 (Typ 4). Z
3x − 6 dx = 3 2 x + 2x − 3
Z
3 = 2
Z
3 = 2
Z
Z I1 =
Z x2
2x − 4 dx + 2x − 3
2x + 2 − 2 − 4 dx x2 + 2x − 3
x2
2x + 2 −6 + 2 dx + 2x − 3 x + 2x − 3
2x + 2 dx = ln |x2 + 2x − 3| + c x2 + 2x − 3
Z
1 dx = −6 2 x + 2x − 3
Z
1 dt = 6 2 t −4
I2 = −6
= −6
x−2 1 dx = 3 · 2 x + 2x − 3 2
Z
Z
1 t = x + 1 dx = 2 dt = dx (x + 1) − 4
2 + t 1 1 +c dt = 6 ln 4 − t2 2 · 2 2 − t
3 x + 3 = ln +c 2 1 − x Celkem Z
3x − 6 3 dx = 2 x + 2x − 3 2
3 x + 3 2 ln |x + 2x − 3| + ln +c 2 1 − x
dx, nebo
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 14. NEURCIT
114
§ 14.5
Znaˇ cen´ı
Racion´aln´ı lomenou funkci v promˇenn´ ych α, β, γ, . . . budeme znaˇcit R(α, β, γ, . . . ), tj. R(α, β) je pod´ıl dvou polynom˚ u, ve kter´ ych m´ısto x vystupuj´ı α, β. Napˇr. R(x, sin x) jsou funkce x2 −2 sin3 x x−x4 , 2x + sin x, x2sin apod. sin2 x −2 sin3 x
§ 14.6
Goniometrick´ e funkce
Volba substituce Necht’ je integrand (integrovan´a funkce) typu R(sin x, cos x). Je-li integrand lich´a funkce v˚ uˇci sinu, vol´ıme substituci t = cos x. Je-li lich´a v˚ uˇci kosinu, vol´ıme t = sin x.
Pozn´ amka. Pˇripomeˇ nme sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin2 x = 1 − cos2 x ⇒ cos2 x = 1 − sin2 x. Tedy napˇr. cos6 x = (1 − sin2 x)3 . Pˇ r´ıklad 123. Z
Z t = sin x = sin2 x cos4 x cos x dx sin x · cos x dx = dt = cos x dx 2
Z
sin2 x(cos2 x)2 cos x dx =
Z
t2 (1 − t2 )2 dt =
=
=
=
5
Z
Z
sin2 x(1 − sin2 x)2 cos x dx
t2 − 2t4 + t6 dt =
1 2 1 sin3 x − sin5 x + sin7 x + c. 3 5 7
t3 t5 t7 −2 + +c 3 5 7
´ ´I FUNKCE § 14.7. IRACIONALN
§ 14.7
115
Iracion´ aln´ı funkce
Volba substituce I √ n
ax + b), n ∈ N, vol´ıme substituci √ n tn = ax + b, t = ax + b .
Je-li je integrand typu R(x,
T´ım pˇrevedeme integr´ al na integr´al z racion´aln´ı lomen´e funkce.
Pˇ r´ıklad 124.
Z
3 Z 2 · t3 +1 3 2x t3 = 4x − 1 ⇒ x = t 4+1 4 √ dx = · t2 dt = 3 2 2 3 t 4 3t dt = 4 dx ⇒ dx = 4 t dt 4x − 1 Z 3 Z 2 3 (t + 1)t2 3 = · dt = (t3 + 1)t dt 4 4 t 8 Z 3 t5 t2 3 4 t + t dt = + +c = 8 8 5 2 5 1 √ 2 3 1 √ 3 3 = 4x − 1 + 4x − 1 +c 8 5 2 h i 3 p 3 = (4x − 1)2 2(4x − 1) + 5 · 1 + c 80 3 p 3 = (4x − 1)2 · (8x + 3) + c. 80
Volba substituce II Je-li je integrand typu R(x,
√
n1
x,
√
n2
x, . . . ,
ts = x,
√
x), n1 , . . . , nk ∈ N, vol´ıme substituci √ t= sx , nk
kde s je nejmenˇs´ım spoleˇcn´ ym n´asobkem ˇc´ısel n1 , . . . , nk . T´ım pˇrevedeme integr´al z iracion´ aln´ı funkce na integr´ al z racion´aln´ı lomen´e funkce.
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 14. NEURCIT
116 Pˇ r´ıklad 125.
√ Z √ √ 5 x−3 x t10 = x ⇒ t = 10 x dx = 9 10t dt = dx x Z 10/5 t − 3 · t10/2 · 10t9 dt = t10 Z 2 Z t − 3t5 9 10t dt = 10 t − 3t4 dt = t10 2 t t5 = 10 +c −3 2 5 √ √ √ √ 10 10 = 5 x2 − 6 x5 + c = 5 5 x − 6 x + c.
§ 14.8
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 126. Spoˇctˇete integr´ aly: (i)
(ii)
R
6x2 −
R √ 3
x2
·
√4 x
(x2
+
2 x
dx,
+ 1) dx,
Pˇ r´ıklad 127. Integrujte pomoc´ı substituce R (i) cos 32 x dx, R 3 (ii) √2−8x dx, R 4 (iii) 2x−1 dx,
(iii)
R 2x3 + 4x − 8 dx, x2
(iv)
R 2x3 − 3x2 + 1 dx. x−3
(iv)
R
53x dx,
(v)
R
1 4x2 +1
R
x2 ln x dx.
dx
Pˇ r´ıklad 128. Pomoc´ı metody per partes integrujte (i)
R
x2 ex dx,
(ii)
Pˇ r´ıklad 129. S pouˇzit´ım vzorce Z
f 0 (x) dx = ln |f (x)| + c f (x)
spoˇc´ıtejte integr´ aly (i)
R
4x 2x2 −8
dx,
Pˇ r´ıklad 130. S pouˇzit´ım vzorce Z
(ii)
R
x 2x2 −8
dx,
1 1 x dx = arctg + c A2 + x2 A A
(iii)
R
tg x dx.
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 14.8. PR
117
spoˇc´ıtejte integr´ al Z
1 dx. 16 + 9x2
Pˇ r´ıklad 131. S pouˇzit´ım vzorce Z
A + x 1 1 +c dx = ln A2 − x2 2A A − x
spoˇc´ıtejte integr´ al Z
Pˇ r´ıklad 132. S pouˇzit´ım vzorce Z
√
3 dx. 16 − 9x2
1 x dx = arcsin + c 2 A −x
A2
spoˇc´ıtejte integr´ al Z
√
−7 dx. 16 − 3x2
Pˇ r´ıklad 133. S pouˇzit´ım vzorce Z p 1 √ dx = ln |x + x2 ± B| + c x2 ± B spoˇc´ıtejte integr´ al Z
√
2 dx. 4x2 − 3
Pˇ r´ıklad 134. Pouˇzit´ım doplnˇen´ı na ˇctverec spoˇc´ıtejte integr´ al Z 3 dx. 2x2 + 8x − 10 Pˇ r´ıklad 135. Integrujte. (i)
R
8x3 − 2x2 + x − 1 dx,
(ii)
R
(x + 3)(2x − 7) dx,
(iii)
R
2x6 −3x3 +6x−2 4x2
dx,
√ 3
√ 5 x2√ −2 x3 4 3 x
(iv)
R
(v)
R
√ −2 5−5x2
(vi)
R
14x −5·7x 4·7x
(iv)
R
x ln x dx,
(v)
R
x arctg x dx,
‡(vi)
R
ex cos x dx.
dx,
dx, dx.
Pˇ r´ıklad 136. Integrujte. (i)
R
(2x + 3) sin x dx,
(ii)
R
(x2 + 3x − 1) ex dx,
(iii)
R
ln x dx,
Pˇ r´ıklad 137. Integrujte.
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 14. NEURCIT
118 (i)
R
7 3x
(ii)
R
2 5−9x
dx, dx,
R√
3 − 4x dx, R √ 5 (iv) 2x − 3 dx,
(iii)
√
(v)
R
x 2x+3
[subst. x = t2 ]
dx,
(12x + 3)−4 dx,
(vi)
R
(vii)
R
(viii)
R
(ix)
R
tg x dx,
(x)
R
2x−3 x2 −3x+7
(iv)
R
sin x cos2 x dx,
√ 3x dx, 3x2 −5 √ ln x x dx,
dx.
Pˇ r´ıklad 138. Integrujte. (i)
R
ex 4−ex
(ii)
R
arctg3 x 1+x2
dx,
(v)
R
cos3 x sin2 x
(iii)
R
e−x x3 dx,
(vi)
R
cos x cotg2 x dx.
(iv)
R
√
(v)
R
(vi)
R
√ 7x 4 2x + 1 dx.
(iv)
R
2x−2 x2 −2x+3
dx,
(v)
R
4x+3 x2 −2x+3
dx,
(vi)
R
3x−1 x2 +x+1
dx,
4
dx,
Pˇ r´ıklad 139. Integrujte. √ √ 20 x−2 30 x
(i)
R
(ii)
R
√ 2 4−9x2
(iii)
R
4 2x2 +8x+11
2
√ √ 15 x− 12 x
dx,
dx, dx,
√
3 x2 +2x+5 3x−1 2x
dx,
dx,
Pˇ r´ıklad 140. Integrujte. (i)
R
2 3x−4
(ii)
R
2 (3x−4)3
(iii)
R
2 x2 −2x+3
§ 14.9
dx, dx, dx,
Wolfram|Alpha
• Neurˇcit´ y integr´ al. integrate x^5 ln(x) integrate sqrt(ln(x))/x
dx.
Kapitola
15 Urˇcit´y (Riemann˚ uv) integr´al
§ 15.1
Definice a vlastnosti
Definice 57 (Dˇelen´ı intervalu). Uvaˇzujme uzavˇren´ y interval I = [a, b], −∞ < a < b < ∞. Dˇelen´ım intervalu I rozum´ıme koneˇcnou posloupnost D = {x0 , x1 , . . . , xn } bod˚ u z intervalu I takov´ ych, ˇze a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b. ˇc´ısla x0 , x1 , . . . , xn naz´ yv´ ame dˇel´ıc´ı body. Normou ν(D) dˇelen´ı D rozum´ıme maxim´aln´ı vzd´alenost sousedn´ıch dˇel´ıc´ıch bod˚ u, tedy ν(D) = max{xi − xi−1 , i = 1, . . . , n}.
Definice 58 (Integr´ aln´ı souˇcet). Necht’ f je funkce definovan´ a a ohraniˇcen´a na uzavˇren´em intervalu I = [a, b] a necht’ D = {x0 , x1 , . . . , xn } je dˇelen´ı intervalu I a R = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } je posloupnost ˇc´ısel z intervalu I takov´ ych, ˇze xi−1 ≤ ξi ≤ xi , Potom souˇcet σ(f, D, R) =
n X
i = 1, . . . , n.
f (ξi )(xi − xi−1 )
i=1
naz´ yv´ ame integr´ aln´ı souˇcet funkce f pˇr´ısluˇsn´ y dˇelen´ı D a v´ ybˇeru reprezentant˚ u R.
119
120
ˇ Y ´ (RIEMANN˚ ´ KAPITOLA 15. URCIT UV) INTEGRAL
Obr. 15.1: Integr´aln´ı souˇcet kladn´e funkce.
Jak je vidˇet na obr. 15.1, geometricky je integr´aln´ı souˇcet kladn´e funkce roven souˇctu obsah˚ u obd´eln´ık˚ u, jejichˇz z´ akladny maj´ı d´elku rovnu d´elce jednotliv´ ych podinterval˚ u v dˇelen´ı D a jejichˇz v´ yˇska je rovna funkˇcn´ı hodnotˇe v reprezentantu z pˇr´ısluˇsn´eho podintervalu. Je-li funkˇcn´ı hodnota v reprezentantu z´ aporn´a, tedy obd´eln´ıˇcek je pod osou x, potom je samozˇrejmˇe pˇr´ıspˇevek tohoto obd´eln´ıˇcku (podintervalu) do integr´aln´ıho souˇctu z´aporn´ y. Obecnˇe je tedy integr´aln´ı souˇcet roven souˇctu obsah˚ u obd´eln´ık˚ u nad osou x zmenˇsen´ y o obsah obd´eln´ık˚ u pod n´ı (viz obr. 15.2).
Obr. 15.2: Integr´ aln´ı souˇcet funkce mˇen´ıc´ı znam´enko.
§ 15.1. DEFINICE A VLASTNOSTI
121
Definice 59 (Urˇcit´ y (Riemann˚ uv) integr´al). Necht’ f je funkce definovan´ a a ohraniˇcen´a na uzavˇren´em intervalu I = [a, b]. D´ale necht’ Dn je posloupnost dˇelen´ı intervalu I takov´a, ˇze limn→∞ ν(Dn ) = 0 a Rn ˇ posloupnost reprezentant˚ u z tˇechto dˇelen´ı. Rekneme, ˇze funkce f je Riemannovsky integrovateln´ a na I, jestliˇze existuje ˇc´ıslo R ∈ R takov´e, ˇze lim σ(f, Dn , Rn ) = R.
n→∞
ˇ ıslo R naz´ C´ yv´ ame Riemann˚ uv (urˇcit´y) integr´ al funkce f na intervalu I a znaˇc´ıme jej Z b f (x) dx. a
ˇ ıslo a naz´ C´ yv´ ame doln´ı mez a ˇc´ıslo b horn´ı mez Riemannova integr´alu.
Riemann˚ uv integr´ al tedy pro funkci f spojitou na intervalu I = [a, b] z´ısk´ame takto: • Interval rozdˇel´ıme na podintervaly. Z kaˇzd´eho podintervalu vybereme reprezentanta urˇc´ıme integr´ aln´ı souˇcet. • Dˇelen´ı zjemn´ıme (vybereme nov´e dˇelen´ı s menˇs´ı normou) a postup opakujeme. • Dˇelen´ı zjemˇ nujeme dokud se integr´aln´ı souˇcty neust´al´ı. Hodnota, na kter´e se ust´al´ı je Riemann˚ uv integr´ al funkce f na intervalu I. Vˇ eta 45 (Aditivita vzhledem k mez´ım). Necht’ f je funkce integrovateln´a na intervalu [a, b] a necht’ c ∈ (a, b). Potom je f integrovateln´ a na intervalech [a, c] a [c, b] a plat´ı Z
b
Z f (x) dx =
a
c
Z f (x) dx +
a
b
f (x) dx. c
Vˇ eta 46 (Linearita vzhledem k funkci). Necht’ f a g jsou funkce integrovateln´e na intervalu [a, b] a necht’ c ∈ R. Pak plat´ı Z
b
f (x) + g(x) dx =
a
Z
b
Z f (x) dx +
a
Z
b
cf (x) dx = c a
g(x) dx, a
Z
b
f (x) dx. a
b
ˇ Y ´ (RIEMANN˚ ´ KAPITOLA 15. URCIT UV) INTEGRAL
122 Meze integr´ alu Necht’ a < b. Plat´ı Z
a
Z f (x) dx = −
b
f (x) dx, a
b
Z
a
f (x) dx = 0. a
Vˇ eta 47 (Monotonie vzhledem k funkci). Necht’ f a g jsou funkce integrovateln´e na intervalu [a, b] takov´e, ˇze pro x ∈ (a, b) je f (x) ≤ g(x). Pak plat´ı Z b Z b g(x) dx. f (x) dx ≤ a
a
D˚ usledek (Integr´ al z nez´ aporn´e funkce). Uvaˇzujeme-li v pˇredchoz´ı vˇetˇe f ≡ 0 dostaneme, ˇze integr´al z funkce nez´ aporn´e na cel´em intervalu, pˇres nejˇz integrujeme, je nez´aporn´ y. Pozn´ amka. Obdobn´e tvrzen´ı snadno obdrˇz´ıme pro funkci nekladnou. Vˇ eta 48 (Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky integrovatelnosti). Funkce f je Riemannovsky integrovateln´a na intervalu I = [a, b], jestliˇze splˇ nuje aspoˇ n jednu z n´ asleduj´ıc´ıch podm´ınek. • Funkce f je na I spojit´ a. • Funkce f je na I monotonn´ı. • Funkce f je na I ohraniˇcen´a a m´a na I koneˇcn´ y poˇcet bod˚ u nespojitosti.
§ 15.2
V´ ypoˇ cet
Vˇ eta 49 (Newton–Leibnizova formule). Necht’ je funkce f Riemannovsky integrovateln´a na intervalu I = [a, b]. D´ale necht’ je funkce F na intervalu (a, b) primitivn´ı funkce k funkci f a je spojit´a na I. Pak plat´ı Z b b f (x) dx = F (x) a = F (b) − F (a). a
´ ˇ § 15.2. VYPO CET
123
Pˇ r´ıklad 141. 5
x3 x dx = 3 −2
Z
2
5 = −2
53 (−2)3 133 − = . 3 3 3
Vˇ eta 50 (Metoda per partes pro urˇcit´ y integr´al). Necht’ jsou funkce u, v a jejich derivace spojit´e na intervalu [a, b]. Pak plat´ı Z a
b
b u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) a −
Z
b
u0 (x)v(x) dx.
a
Pˇ r´ıklad 142.
Z 1
3
2 3 Z 3 u = ln x u0 = x1 1 x2 x − x ln x dx = ln x dx 2 = x 0 v =x v= 2 2 1 x 2 1 =
Z 9 1 1 3 ln 3 − ln 1 − x dx 2 2 2 1
9 1 = ln 3 − 2 2
9 1 − 2 2
9 ln 3 − 2 2
=
Vˇ eta 51 (Substituˇcn´ı metoda pro urˇcit´ y integr´al). Necht’ jsou funkce f, ϕ a ϕ0 spojit´e na pˇr´ısluˇsn´ ych intervalech a necht’ je funkce ϕ ryze monotonn´ı. Pak plat´ı b
Z
Z
0
ϕ(b)
f (ϕ(x))ϕ (x) dx = a
Z
b
Z
ϕ−1 (b)
f (x) dx = a
f (t) dt, ϕ(a)
ϕ−1 (a)
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt.
ˇ Y ´ (RIEMANN˚ ´ KAPITOLA 15. URCIT UV) INTEGRAL
124 Pˇ r´ıklad 143.
Z 1
5√
t = 2x − 1 x = 5 ⇒ t = 9 dt = 2 dx x = 1 ⇒ t = 1 2x − 1 dx = 1 dx = 2 dt 9√
Z = 1
1 1 t dt = 2 2
Z 1
9
" 3 #9 1 t2 t dt = 2 32 1 2
1
26 1 2 h 3 i9 1 t 2 = (27 − 1) = 23 3 3 1
=
Pˇ r´ıklad 144.
Z 0
1
t = 5 − 2x3 x = 1 ⇒ t = 3 2 3 4 2 dt = −6x dx x = 0 ⇒ t = 5 x (5 − 2x ) dx = 1 2 x dx = − 6 dt Z =
3
t 5
4
1 − 6
1 dt = − 6
Z 5
3
1 t dt = 6 4
Z
5
3
5 1 t5 1 2882 1441 = = (55 − 35 ) = = 6 5 3 30 30 15
t4 dt
´ APLIKACE § 15.3. GEOMETRICKE
§ 15.3
125
Geometrick´ e aplikace
F Plocha podgrafu kladn´e funkce na intervalu [a, b]: Z b f (x) dx. a
Obr. 15.3: Plocha podgrafu kladn´e funkce. Pˇ r´ıklad 145. Urˇcete plochu podgrafu funkce f (x) = x2 + 1 na intervalu I = [−1, 2]. Protoˇze x2 + 1 = 0 nem´ a ˇz´ adn´e re´ aln´e koˇreny, je tato funkce bud’ st´ale kladn´a, nebo st´ale z´aporn´a. Dosazen´ım libovoln´eho ˇc´ısla zjist´ıme, kter´ y z tˇechto pˇr´ıpad˚ u nast´av´a. Nebot’ f (0) = 1 > 0, funkce je kladn´ a.
Z
2
P =
f (x) dx −1 Z 2
=
x2 + 1 dx
−1
= ... = 6
Obr. 15.4: Graf funkce f (x) = x2 + 1.
ˇ Y ´ (RIEMANN˚ ´ KAPITOLA 15. URCIT UV) INTEGRAL
126
F Plocha mezi grafem funkce f a osou x na intervalu [a, b]: Z
b
|f (x)| dx. a
Obr. 15.5: Plocha mezi grafem funkce f mˇen´ıc´ı znam´enko a osou x. Pˇ r´ıklad 146. Urˇcete plochu ohraniˇcenou grafem funkce f (x) = x2 − x − 2 a osou x na intervalu I = [−2, 3]. Protoˇze x2 − x − 2 = 0 m´ a koˇreny x1 = −1 a x2 = 2, snadno zjist´ıme, ˇze funkce f je na intervalu I kladn´ a pro x ∈ (−2, −1) ∪ (2, 3) a z´aporn´a pro x ∈ (−1, 2).
Z
3
|f (x)| dx
P =
−2 Z −1
=
Z
2
f (x) dx + −2
(−f (x)) dx −1
3
Z +
f (x) dx 2
= ... =
49 6
Obr. 15.6: Graf funkce f (x) = x2 − x − 2.
´ APLIKACE § 15.3. GEOMETRICKE
127
F D´elka kˇrivky grafu funkce f na intervalu [a, b]: Z bp `= 1 + f 02 (x) dx. a
Obr. 15.7: D´elka grafu funkce. 3
Pˇ r´ıklad 147. Urˇcete d´elka kˇrivky grafu funkce f (x) = 34 x 2 na intervalu I = [0, 6].
6√ `= 1+ = 1 + 4x dx 0 0 1 Z 25 √ t = 1 + 4x x = 6 ⇒ t = 25 t dt = dt = 4 dx x = 0 ⇒ t = 1 4 1 62 = ... = 3
Z
6p
f 02 (x) dx
Z
3
Obr. 15.8: Graf funkce f (x) = 43 x 2 .
ˇ Y ´ (RIEMANN˚ ´ KAPITOLA 15. URCIT UV) INTEGRAL
128
F Objem a povrch pl´ aˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa (rotace nez´aporn´e funkce f kolem osy x na intervalu [a, b]): Z b Z b p f (x) 1 + f 02 (x) dx, V = π P = 2π f 2 (x) dx. a
a
Obr. 15.9: Vznik rotaˇcn´ıho tˇelesa. Pˇ r´ıklad 148. Urˇcete plochu ohraniˇcenou grafy funkc´ı f (x) = x2 + 1 a g(x) = x + 3.
f (x) = g(x) x2 + 1 = x + 3 x2 − x − 2 = 0 x1 = −1, x2 = 2
Obr. 15.10: Funkce f a g.
Z
2
Z
2
g(x) − f (x) dx = −1
2
(x + 3) − (x + 1) dx = −1
Z
2
9 2 + x − x2 dx = . . . = . 2 −1
ˇ ´IKLADY K PROCVICEN ˇ ´I § 15.4. PR
129
Pˇ r´ıklad 149. Urˇcete objem tˇelesa vznikl´eho rotac´ı plochy omezen´e grafy funkc´ı f (x) = x2 + 1 a g(x) = x + 3 kolem osy x.
Z
2 2
Z
2
g (x) dx − π
V =π −1 2
Z
f 2 (x) dx
−1
(x + 3)2 − (x2 + 1)2 dx
=π −1 Z 2
=π
8 + 6x − x2 − x4 dx
−1
= ... =
117 π. 5
Obr. 15.11: Rotace plochy mezi grafy funkc´ı f a g.
§ 15.4
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 150. Integrujte. R5 (i) −3 3x2 − 5x + 7 dx, (ii)
Rπ
(iii)
R1
(iv)
R
0
x + sin x dx,
3 0 1+x2 π 2 π 6
dx,
(2 − x) cos x dx,
(v)
R1
(vi)
R e8
(vii)
R2
(viii)
R0
−2 3x(2x
1
0
2
− 7)3 dx,
√ 1 x ln x+1 2
√ 5x 2x3 +9
x2 −2 ex3
dx,
dx,
dx.
Pˇ r´ıklad 151. Pomoc´ı v´yˇse uveden´ych vzorc˚ u: (i) Spoˇctˇete objem tˇelesa vznikl´eho rotac´ı ˇc´ asti sinusoidy na intervalu [0, π2 ] kolem osy x. (ii) Spoˇctˇete povrch pl´ aˇstˇe tˇelesa vznikl´eho rotac´ı pˇr´ımky y = 2x+1 kolem osy x na intervalu [0, 1].
ˇ Y ´ (RIEMANN˚ ´ KAPITOLA 15. URCIT UV) INTEGRAL
130
(iii) Urˇcete cel´y povrch tˇelesa z bodu (ii). Pˇ r´ıklad 152. Jsou d´ any funkce f (x) = 2 − x a g(x) = x2 . Urˇcete: (i) Obsah plochy ohraniˇcen´y jejich grafy. (ii) Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa vznikl´eho rotac´ı t´eto plochy kolem osy x. Pˇ r´ıklad 153. Jsou d´ any funkce f (x) = x2 + 1,
g(x) = 2x + 4.
Naˇcrtnˇete obr´ azek a poˇc´ıtan´y objekt na obr´ azku vyznaˇcte. (i) Vypoˇc´ıtejte obsah plochy ohraniˇcen´e grafy funkc´ı f a g. (ii) Pˇr´ımka g vyt´ın´ a z paraboly f ohraniˇcen´y kus. Jak´y je objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı tohoto kusu paraboly f kolem osy x? (iii) Parabola f ohraniˇcuje kus pˇr´ımky g. Jak´y je povrch pl´ aˇstˇe komol´eho kuˇzele, kter´y vznikne rotac´ı tohoto kusu pˇr´ımky g kolem osy x? (iv) Urˇcete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy tˇemito funkcemi omezen´e kolem osy x. (v) Pˇr´ımka g vyt´ın´ a z paraboly f ohraniˇcen´y kus. Napiˇste integr´ al popisuj´ıc´ı d´elku tohoto kusu paraboly f . (vi) Parabola f ohraniˇcuje kus pˇr´ımky g. Urˇcete d´elku tohoto kusu pˇr´ımky g.
§ 15.5
Wolfram|Alpha
• Urˇcit´ y integr´ al. integrate (x^3-2)^2 cos(x) for x from 2 to 5 integrate sin(x)/(cos(x)+2) for x from -pi to 0
Kapitola
16 Aproximace
§ 16.1
Algebraick´ a rovnice
Algebraick´ a rovnice je rovnice typu Pn (x) = 0, kde Pn (x) je polynom stupnˇe n v promˇenn´e x. Protoˇze ˇreˇsit algebraickou rovnici je tot´eˇz, jako hledat koˇreny polynomu Pn , zn´ ame jiˇz zp˚ usob, jak naj´ıt vˇsechny celoˇc´ıseln´e koˇreny takov´e rovnice (dˇelitel´e absolutn´ıho ˇclene, Hornerovo sch´ema). Pˇripomeˇ nme, ˇze je-li komplexn´ı ˇc´ıslo z = α + βi koˇrenem polynomu P , pak je jeho koˇrenem i ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e z¯ = α − βi. Protoˇze (dle z´ akladn´ı vˇety algebry) m´a polynom stupnˇe n v C pr´avˇe n koˇren˚ u (poˇc´ıt´ano vˇcetnˇe n´asobnosti), m´ a polynom lich´eho stupnˇe aspoˇ n jeden re´aln´ y koˇren.
Vˇ eta 52 (Odhad velikosti koˇren˚ u). Bud’ Pn (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 normovan´ y polynom stupnˇe n. Pak pro koˇreny x1 , . . . , xn rovnice Pn (x) = 0 plat´ı |xi | ≤ 1 + A,
(i = 1, . . . , n),
kde A = max{|an−1 |, |an−2 |, . . . , |a1 |, |a0 |}.
Vˇ eta 53 (Descartes I). Poˇcet kladn´ ych koˇren˚ u polynomu Pn (x) (poˇc´ıt´ano s n´asobnost´ı) je roven poˇctu znam´enkov´ ych zmˇen v posloupnosti jeho koeficient˚ u nebo o sud´e ˇc´ıslo menˇs´ı.
131
132
KAPITOLA 16. APROXIMACE Vˇ eta 54 (Descartes II). Poˇcet z´ aporn´ ych koˇren˚ u polynomu Pn (x) (poˇc´ıt´ano s n´asobnost´ı) je roven poˇctu znam´enkov´ ych zmˇen v posloupnosti koeficient˚ u polynomu Pn (−x) nebo o sud´e ˇc´ıslo menˇs´ı.
Pˇ r´ıklad 154. Pouˇzijte pˇredchoz´ı tvrzen´ı na polynom P (x) = x7 − 14x5 + 3x2 + 1.
• st P = 7 ⇒ Vˇeta 14).
P m´ a (vˇcetnˇe n´asobnosti) 7 koˇren˚ u, nejm´enˇe jeden je re´aln´ y (pouˇzita
• Koeficienty P jsou (nuly pro pˇrehlednost vynech´ame) 1, −14, 3, 1 zmˇeny ⇒ 2 nebo 0 kladn´ ych koˇren˚ u (pouˇzita Vˇeta 53).
⇒
2 znam´enkov´e
• P (−x) = −x7 +14x5 +3x2 +1. Koeficienty P (−x) jsou (nuly pro pˇrehlednost vynech´ame) −1, 14, 3, 1 ⇒ 1 znam´enkov´a zmˇena ⇒ 1 z´aporn´ y koˇren (pouˇzita Vˇeta 54). • A = max{| − 14|, |3|, |1|} = 14
⇒
|xi | ≤ 15,
i = 1, . . . , 7 (pouˇzita Vˇeta 52).
Celkem: Pro koˇreny polynom P (x) = x7 − 14x5 + 3x2 + 1 jsou 2 moˇznosti.
1. 1 z´aporn´ y R a 6 C, 2. 1 z´aporn´ y R, 2 kladn´e R a 4 C. Pˇriˇcemˇz vˇsechny re´ aln´e koˇreny leˇz´ı v intervalu [−15, 15]. p (Velikost vˇsech koˇren˚ u, i komplexn´ıch, je ≤ 15, |z| = |α + βi| = α2 + β 2 .)
§ 16.2
Metoda bisekce (p˚ ulen´ı)
Definice 60 (Koˇren s pˇresnost´ı ε). ˇ ıslo x C´ ˜ ∈ R naz´ yv´ ame koˇren polynomu P (x) s pˇresnost´ı ε (0 < ε ∈ R), jestliˇze skuteˇcn´ y koˇren polynomu P (x) leˇz´ı v intervalu (˜ x − ε, x ˜ + ε).
§ 16.2. METODA BISEKCE (P˚ ULEN´I)
133
Napˇr.: P (x) = 4x4 − 31x3 − 121x2 + 244x + 660,
P (2) = 480,
P (3) = −210,
tedy (podle prvn´ı Bolzanovy vˇety) v intervalu (2, 3) m´a polynom P koˇren. Stˇred tohoto intervalu, tj. ˇc´ıslo x ˜ = 2, 5, je tedy koˇrenem polynomu P s pˇresnost´ı ε = 0, 5. (Skuteˇcn´ ym koˇrenem je ˇc´ıslo 2, 75.) Z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu je zˇrejm´e, ˇze koˇren lich´eho stupnˇe polynomu P lze urˇcit s libovolnou pˇresnost´ı tak, ˇze najdeme interval, ve kter´em leˇz´ı jen tento koˇren (napˇr. pomoc´ı vˇety o odhadu velikosti koˇren˚ u a uˇzit´ım Hornerova sch´ematu). Oznaˇcme si tento interval jako (a, b). Stˇred tohoto intervalu x ˜1 = a+b ım odhadem 2 je prvn´ b−a koˇrene, tedy je koˇrenem dan´eho polynomu s pˇresnost´ı 2 . Nav´ıc zˇrejmˇe P (a) · P (b) < 0 (hodnoty polynomu P v krajn´ıch bodech intervalu (a, b) maj´ı opaˇcn´a znam´enka). a+b u (a, a+b z Spoˇcteme tedy hodnotu P (˜ x1 ) = P ( a+b 2 ) a z interval˚ 2 ), ( 2 , b) vybereme ten, v jehoˇ krajn´ıch bodech nab´ yv´ a polynom P opaˇcn´a znam´enka, protoˇze koˇren jistˇe leˇz´ı v t´eto polovinˇe intervalu.
Stˇred tohoto podintervalu oznaˇc´ıme jako druh´e pˇribl´ıˇzen´ı ke koˇreni x ˜2 , tedy jde o koˇren b−a polynomu P s pˇresnost´ı 4 . Stejnˇe m˚ uˇzeme postupovat libovolnˇe dlouho a z´ıskat tak koˇren polynomu s libovolnou pˇresnost´ı. Pozn´ amka. • Jestliˇze kdykoli dostaneme P (˜ xi ) = 0, pak je ˇc´ıslo x ˜i (pˇresn´ ym) koˇrenem polynomu P . • Metodu bisekce je nejvhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıvat na aproximaci jednon´asobn´ ych koˇren˚ u. Existuj´ı metody, kter´e pˇrevedou dan´ y polynom na jin´ y, kter´ y m´a stejn´e koˇreny, ale vˇsechny jednon´ asobn´e. • Existuj´ı tak´e r˚ uzn´ a vylepˇsen´ı metody bisekce (napˇr. metoda zlat´eho ˇrezu), pomoc´ı kter´ ych je moˇzn´e koˇren s danou pˇresnost´ı naj´ıt rychleji. Pˇ r´ıklad 155. Odhadnˇete nez´ aporn´y koˇren polynomu P (x) = x3 − 3x − 1 s pˇresnost´ı aspoˇ n 0, 02. Nejprve pomoc´ı vˇety o odhadu velikosti koˇren˚ u udˇel´ame z´akladn´ı odhad: ⇒
max{1, 3, 1} = 3
xi ∈ [−4, 4].
N´as zaj´ımaj´ı jen kladn´e koˇreny, proto se omez´ıme na interval [0, 4] a na nˇem provedeme tzv. separaci koˇren˚ u — tj. interval rozdˇel´ıme na vˇetˇs´ı poˇcet subinterval˚ u a v dˇel´ıc´ıch bodech urˇc´ıme hodnotu polynomu P . x P (x)
0 -1
1 -3
2 1
3 17
4 51
134
KAPITOLA 16. APROXIMACE
Vzhledem ke znam´enkov´e zmˇenˇe (pouˇz´ıv´ame prvn´ı Bolzanovu vˇetu) se hledan´ y koˇren nach´az´ı ˇ ıslo 1 ani 2 koˇrenem nen´ı, nebot’ v nich nem´a polynom hodnotu nula.) v intervalu (1, 2). (C´ Pr˚ ubˇeh bisekce pˇrehlednˇe shrˇ nme do tabulky.
a
x ˜i =
a+b 2
b
P (a)
P (˜ xi )
P (b)
chyba
b−a 2
1
1,5
2
–
–
+
0,5
1,5
1,75
2
–
–
+
0,25
1,75
1,875
2
–
–
+
0,125
1,875
1,9375
2
–
+
+
0,0625
1,875
1,90625
1,9375
–
+
+
0,03125
1,875
1,890625
1,90625
0,015625
ˇ sen´ım zadan´eho probl´emu je tedy ˇc´ıslo 1, 890625, kter´e je koˇrenem polynomu P s pˇresnost´ı Reˇ 0, 015625.
§ 16.3
Taylor˚ uv polynom
Vˇ eta 55 (Taylorova vˇeta). Necht’ m´ a funkce f v okol´ı bodu x0 vlastn´ı derivace aˇz do ˇr´adu n + 1 pro nˇejak´e n ∈ N ∪ {0}. Pak pro vˇsechna x z tohoto okol´ı plat´ı f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · 1! 2! f (n) (x0 ) ··· + (x − x0 )n + Rn (x), n! Rn (x) =
f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 , (n + 1)!
kde ξ je vhodn´e ˇc´ıslo leˇz´ıc´ı mezi x0 a x.
Vynech´ame-li zbytek Rn (x), obdrˇz´ıme tzv. Taylor˚ uv polynom: f (x) ≈
n X f (i) (x0 ) i=0
i!
(x − x0 )i .
§ 16.3. TAYLOR˚ UV POLYNOM
135
Pokud poloˇz´ıme x0 = 0, z´ısk´ ame tzv. Maclaurin˚ uv polynom: f (x) ≈
n X f (i) (0) i=0
i!
xi .
Pˇ r´ıklad 156. Urˇcete Taylor˚ uv polynom 4. ˇr´ adu se stˇredem v bodˇe x0 = 1 funkce f (x) = x ln x.
f 0 (x) = 1 + ln x, f 00 (x) = x1 , f 000 (x) =
−1 , x2
f (4) (x) =
2 . x3
f (1) = 0, f 0 (1) = 1, f 00 (1) = 1, f 000 (1) = −1, f (4) (1) = 2. Tedy T (x) = 0 + =
1 1! (x 4
1 12 (x
− 1) +
1 2! (x 2
− 1)2 +
−1 3! (x
− 1)3 +
2 4! (x
− 1)4
− 6x3 + 18x − 10x − 3).
Obr. 16.1: Graf Taylorova polynomu funkce f (x) = x ln x ˇr´adu 0 − 4. Pˇ r´ıklad 157. Urˇcete Maclaurin˚ uv polynom 5. ˇr´ adu funkce f (x) = cos x.
f (x) = cos x, f 0 (x) = − sin x, f 00 (x) = − cos x, f 000 (x) = sin x, f (4) = cos x, f (5) = − sin x. f (0) = 1, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = −1, f 000 (0) = 0, f (4) (0) = 1, f (5) (0) = 0.
136
KAPITOLA 16. APROXIMACE
Tedy 0 −1 2 0 3 1! x + 2! x + 3! x 1 4 1 2 24 x − 2 x + 1.
M (x) = 1 + =
§ 16.4
+
1 4 4! x
+
0 5 5! x
Line´ arn´ı interpolace – Lagrange˚ uv interpolaˇ cn´ı polynom
Jsou d´any navz´ ajem r˚ uzn´e body xi , i = 1, . . . , n+1, a hodnoty funkce f v tˇechto bodech. C´ılem je naj´ıt polynom Pn stupnˇe nejv´ yˇse n takov´ y, aby platilo Pn (xi ) = f (xi ) pro i = 1, . . . , n + 1. Body xi se naz´ yvaj´ı uzly a polynom Pn interpolaˇcn´ı polynom. Vˇ eta 56. Pro (n + 1) dan´ ych dvojic ˇc´ısel [xi , f (xi )], i = 1, . . . , n, xi 6= xk pro i 6= k, existuje pr´avˇe jeden interpolaˇcn´ı polynom Pn (stupnˇe nejv´ yˇse n) takov´ y, ˇze plat´ı Pn (xi ) = f (xi ) pro i = 1, . . . , n.
Definice 61. Lagrange˚ uv interpolaˇcn´ı polynom definujeme vztahem Pn (x) = `1 (x)f (x1 ) + `2 (x)f (x2 ) + · · · + `n+1 (x)f (xn+1 ) =
n+1 X
`i (x)f (xi ),
i=1
kde polynomy `i (x) jsou tvaru `i (x) =
(x − x1 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn+1 ) . (xi − x1 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn+1 )
Pˇ r´ıklad 158. Pro funkci zadanou tabulkou najdˇete interpolaˇcn´ı polynom. xi f (xi )
0 1
1 2
2 4
3 8
Nejprve sestroj´ıme polynomy `i : (x − 1)(x − 2)(x − 3) (0 − 1)(0 − 2)(0 − 3) (x − 0)(x − 2)(x − 3) `2 (x) = (1 − 0)(1 − 2)(1 − 3) `1 (x) =
(x − 0)(x − 1)(x − 3) (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3) (x − 0)(x − 1)(x − 2) `4 (x) = . (3 − 0)(3 − 1)(3 − 2) `3 (x) =
´ ´I REGRESE – METODA NEJMENS ˇ´ICH CTVERC ˇ ˚ § 16.5. LINEARN U
137
Pak
P3 (x) = 1 · `1 (x) + 2 · `2 (x) + 4 · `3 (x) + 8 · `4 (x) x3 − 6x2 + 11x − 6 x3 − 5x2 + 6x +2· −6 2 3 2 x − 4x + 3x x3 − 3x2 + 2x +4· +8· −2 6 x3 5x + +1 = 6 6 =1·
16 14
funkce int. polynom body
12 10 8 6 4 2 0 −1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 158. Obr. 16.2: Reˇ
§ 16.5
Line´ arn´ı regrese – Metoda nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u
Pomoc´ı jednoduch´e line´ arn´ı regrese popisujeme vztah mezi promˇenn´ ymi x a y. Snaˇz´ıme se naj´ıt funkci f tak, aby vztah y = f (x) co nejl´epe vystihoval z´avislost mezi x a y.
138
KAPITOLA 16. APROXIMACE
Obr. 16.3: Prokl´ad´an´ı pˇr´ımky mnoˇzinou bod˚ u.
Mˇeˇr´ıtkem kvality vybran´e funkce f je nejmenˇs´ı hodnota souˇctu ˇctverc˚ u vzd´alenost´ı n X 2 yi − f (xi ) → min . i=1
Odtud plyne jej´ı n´ azev – metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u.
Obr. 16.4: Pˇr´ımka z´ıskan´a metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u.
Regresn´ı pˇr´ımka f (x) = ax + b vyjadˇruje nejjednoduˇsˇs´ı z´avislost x na y. Pomoc´ı metody
´ ´I REGRESE – METODA NEJMENS ˇ´ICH CTVERC ˇ ˚ § 16.5. LINEARN U
139
nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u urˇc´ıme jej´ı parametry a a b: a·
n X
x2i
+b·
n X
i=1
a·
xi =
i=1 n X
xi + b · n =
i=1
n X i=1 n X
xi · yi , yi .
i=1
Napˇr´ıklad pˇri d´ avkov´ an´ı l´ek˚ u ovc´ım je nˇekdy nezbytn´e v´aˇzit ovce, coˇz je ovˇsem spjato s praktick´ ymi probl´emy. Proto je snaha naj´ıt jednoduˇsˇs´ı zp˚ usob, takov´ ym m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad odhad hmotnosti na z´ akladˇe obvodu hrudn´ıku. Pˇ r´ıklad 159. Deset ovc´ı bylo zv´ aˇzeno a byl jim zmˇeˇren obvod hrudn´ıku. Najdˇete vztah, kter´y nejl´epe popisuje z´ avislost hmotnosti na obvodu hrudn´ıku. 80 88 88 83 86 80 83 87 86 88 obvod [cm] hmotnost [kg] 30 35 35 33 33 31 31 35 34 35 x = obvod hrudn´ıku, y = hmotnost 10 X i=1
xi = 849,
10 X
x2i = 72171,
i=1
yi = 332,
i=1
Odtud 72171a + 849b = 28239 849a + 10b = 332
10 X
⇒
10 X
xi yi = 28239.
i=1
. a = 58/101 = 0.57 . b = −1571/101 = −15.55
Rovnice pˇr´ımky vyjadˇruj´ıc´ı z´ avislost hmotnosti na obvodu hrudn´ıku je y = 0.57x − 15.55.
ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 159. Obr. 16.5: Reˇ
140
§ 16.6
KAPITOLA 16. APROXIMACE
Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı
Pˇ r´ıklad 160. Odhadnˇete vˇsechny re´ aln´e koˇreny polynomu P (x) = 6x3 + 19x2 + 2x − 3 s chybou nejv´ıce 0, 05. (POZOR! Vˇeta o odhadu velikosti koˇren˚ u funguje jen pro normovan´e polynomy.) Pˇ r´ıklad 161. Pomoc´ı Taylorova polynomu tˇret´ıho ˇr´ adu poˇc´ıtan´eho se stˇredem x0 = hadnˇete hodnotu funkce f (x) = ln(2x)
1 2
od-
v bodˇe x = 1. Pˇ r´ıklad 162. Pomoc´ı Maclaurinova polynomu ˇctvrt´eho ˇr´ adu odhadnˇete hodnotu funkce f (x) = x3 + cos x v bodˇe 21 . Pˇ r´ıklad 163. Sestrojte Taylor˚ uv polynom ˇctvrt´eho ˇr´ adu se stˇredem x0 = −1 pro funkci 1 . x Pˇ r´ıklad 164. Sestrojte Maclaurin˚ uv polynom tˇret´ıho ˇr´ adu pro funkci f (x) =
(a)
f (x) = ecos x ,
(b)
g(x) = arctg x.
Pˇ r´ıklad 165. V tabulce jsou uvedeny ˇctyˇri mˇeˇren´ı. Odhadnˇete pomoc´ı Lagrangeova interpolaˇcn´ıho polynomu hodnotu mˇeˇren´e veliˇciny v ˇcase 2, 5. (Polynom nen´ı nutn´e pˇred dosazen´ım upravovat.) ˇcas 1 2 3 4 . namˇeˇreno -2 0 1 1 Pˇ r´ıklad 166. V n´ asleduj´ıc´ı tabulce jsou uvedeny ˇctyˇri hodnoty funkce f . Aproximujte tuto funkci pomoc´ı Lagrangeova interpolaˇcn´ıho polynomu. Polynom upravte. Pot´e odhadnˇete pomoc´ı z´ıskan´eho polynomu hodnotu funkce f pro x = 21 . x f (x)
-1 6
0 -4
1 -2
2 . 0
Pˇ r´ıklad 167. Pomoc´ı metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u najdˇete vztah popisuj´ıc´ı line´ arn´ı z´ avislost teploty na ˇcase zjiˇstˇenou mˇeˇren´ım zaznamenan´ym v tabulce ˇcas teplota
1 -2
2 -1
3 2
4 . 1
Jak´ a teplota odpov´ıd´ a ˇcasu 52 ? Pˇ r´ıklad 168. Pomoc´ı metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u najdˇete vztah popisuj´ıc´ı line´ arn´ı z´ avislost teploty na ˇcase zjiˇstˇenou mˇeˇren´ım zaznamenan´ym v tabulce ˇcas teplota
-1 3
0 -1
1 0
2 . 2
Body a pˇr´ımku naˇcrtnˇete a na obr´ azku popiˇste metodu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u.
§ 16.7. WOLFRAM|ALPHA
141
Pˇ r´ıklad 169. Sestrojte Lagrange˚ uv interpolaˇcn´ı polynom pro funkci, pro niˇz plat´ı f (−1) = 2,
f (1) = −2,
f (3) = 1.
Pˇ r´ıklad 170. Sestrojte Lagrange˚ uv interpolaˇcn´ı polynom proch´ azej´ıc´ı body [−2, 5], [−1, 3], [0, 1], [1, 0]. Pˇ r´ıklad 171. Metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u proloˇzte pˇr´ımku body (i) [0, 1], [1, 3], [2, −1], [3, 3], (ii) [1, 1], [2, 0], [0, 3], [−2, 5]. Pˇ r´ıklad 172. Aproximujte vˇsechny koˇreny rovnice x3 − 7x + 5 = 0 s chybou menˇs´ı neˇz 0, 1.
§ 16.7
Wolfram|Alpha
• Koˇreny algebraick´e rovnice. solve x^5+5x^4-4x^3+12x-1=0
• Taylor˚ uv polynom. series of xln(x) at x=1, order 7
• Lagrange˚ uv interpolaˇcn´ı polynom. interpolating polynomial [0,1],[1,2],[2,4],[3,8]
• Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. linear fit [-1,3],[0,-1],[1,0],[2,2]
142
KAPITOLA 16. APROXIMACE
Pˇ rı ´loha
ˇ sen´ı A Reˇ
Pˇr´ıklad 4: 3 (i) 7 , 10
9 (ii) 3 , −14 (iv) −13.
(iii) 10, Pˇr´ıklad 14: −1 (i) 3 7 7 (ii) 9 11
10 7 , 7 −10 6 , 16
(iii) nelze, 14 6 4 (iv) 26 12 10 , 38 18 16 (v) nelze.
Pˇr´ıklad 15:
10 −50 −4 44 . BAC = −8 36 −19 −5
Pˇr´ıklad 16: C T AT B T = (BAC)T . Pˇr´ıklad 17: Matice m´ a plnou hodnost, je tedy ekvivalentn´ı s jednotkovou matic´ı. Podle pouˇzit´ ych u ´prav m˚ uˇze vyj´ıt jak´ akoli horn´ı troj´ uheln´ıkov´a matice pln´e hodnosti. Pˇr´ıklad 18: h(E) = 3, nez´ avisl´e jsou sloupce 1, 2 a 4, nebo 1, 3 a 4. Pˇr´ıklad 19:
F −1
−3 2 −3 1 = −11 4 −6 , 5 1 1 1
H −1
143
17 3 9 −11 1 21 3 13 −15 , = 5 4 −7 −1 −3 29 3 17 −19
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
144 G−1 neexistuje (matice G je singul´ arn´ı). Pˇr´ıklad 20:
6 7 3A − 2B = −9 7 , 14 11 Pˇr´ıklad 21: hu, vi = −2,
−2 7 0 AB T = −6 0 7 , −10 17 6
−6 2 −8 0 0 , uv T = 0 3 −1 4
−7 3 A B= . 4 11 T
uT v = (−2).
Pˇr´ıklad 22: h(A) = 2. Pˇr´ıklad 23: Napˇr. 1 2 3 h 0 0 0 = 1, 0 0 0 1 2 3 h 0 4 5 = 3, 0 0 6
1 2 h 0 4 0 0 1 0 0 −2 h 0 0 0 0
3 5 = 2, 0 0 0 5 3 = 4. 6 1 0 2
(Matice jsou ve schodovit´em tvaru v nˇemˇz hodnost = poˇcet nenulov´ ych ˇr´adk˚ u.) Pˇr´ıklad 24: Napˇr. u1 , u2 , u4 . Pˇr´ıklad 25: 3 12 −7 1 5 9 −8 , = 11 4 5 −2
A−1
Pˇr´ıklad 27: x 1 (i) y = 2 , z −1
B −1
0 3 0 1 1 2 −3 −2 −1 . = 2 2 −13 0 −3 2 −5 −2 −1
1 x1 5 (7 − 12p + 4q) x2 1 (8p − q − 3) , 5 (iv) x3 = p x4 q
(ii) nem´ a ˇreˇsen´ı, x −2 (iii) y = 3 − 2p , p ∈ R, z p
x 2 (v) y = 2 , z 2
145 x 8 − 4p (vi) y = 3p − 2 , p ∈ R, z p
−17/8 x y −3/4 (ix) z = −7/4 , −11/8 w 1 x1 4 (3q + 7) x2 1 (4p + 5q + 1) , p, q ∈ R. 4 (x) x3 = q p x4
x 0 (vii) y = 0 , z −1 (viii) nem´ a ˇreˇsen´ı, Pˇr´ıklad 31: (i) −8,
(iv) −32, (v) 8x2 − 5x,
(ii) 13,
(vi) −2a3 b − 3a3 + 7a2 b + 2a2 b2 + 3ab2 + + 6ab − 6a2 + 6b2 .
(iii) 41, Pˇr´ıklad 32: (i) −10,
(iii) −310.
(ii) 189,
Pˇr´ıklad 33: 25. Pˇr´ıklad 36: x 1 (i) y = 2 , z −1 (ii) determinant je nulov´ y - Cramerovo pravidlo nelze pouˇz´ıt,
(iii) determinant je nulov´ y - Cramerovo pravidlo nelze pouˇz´ıt, x 2 (iv) y = 2 . z 2
Pˇr´ıklad 37: x = 2, y = −1, z = 3. Pˇr´ıklad 38: SLR nem´ a ˇreˇsen´ı. Pˇr´ıklad 39:
x 14 − 4p y = p − 4 , p ∈ R. z p
Pˇr´ıklad 40: x2 = 2.
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
146 Pˇr´ıklad 54: (i) 3x4 + x3 + x2 + x + 10, (ii) 9x4 − 12x3 + 23x2 − 22x + 40, (iii) −10x4 + 23x3 − 25x2 + 16x − 4, (iv) −54x6 + 56x5 − 174x4 − 18x7 + 126x3 − 418x2 + 245x − 239. Pˇr´ıklad 55: (i) 2x − 3 +
2x3 −x2 +5x , x4 −x3 −x+1
(ii)
3 4 2x
+ 34 x + 1 +
− x4 +6 . 2x3 −1
Pˇr´ıklad 56: (i) P (x) = (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)(x − 3), Pˇr´ıklad 57: (i) Dvojn´ asobn´ ym,
(ii) Q(x) = (x + 2)x(x − 1)4 .
(ii) dvojn´asobn´ ym.
Pˇr´ıklad 58: (i) ryze lomen´ a,
(iii)
(ii) x3 + 2x2 − 2x − 1 +
5x2 +4x+1 x3 +1
2 9
+
− 49 x8 +12x6 −4x2 + 47 9 9x9 +2x8 −1
.
,
Pˇr´ıklad 59: (i) v R i C {−1, 23 },
(ii) v R i C {−2},
(iii) v R nem´a ˇreˇsen´ı, v C {2 ± 5i}.
Pˇr´ıklad 60: (i) a) x ∈ (−∞, −1) ∪ ( 23 , ∞), (ii) a) x ∈ R − {−2},
b) x ∈ (−∞, −1] ∪ [ 32 , ∞),
b) x ∈ R,
(iii) x ∈ R, (iv) a) x ∈ (−2, 1),
b) x ∈ (−2, 1],
(v) a) x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (3, ∞),
b) x ∈ (−∞, 0) ∪ [3, ∞),
(vi) a) x ∈ (−∞, −3) ∪ (−1, −1/2) ∪ (2, ∞), b) x ∈ (−∞, −3] ∪ (−1, −1/2) ∪ [2, ∞), √ 17 −3+ 17 , ) ∪ (2, ∞), 4 √ √ ( −3−4 17 , −3+4 17 ) ∪ [2, ∞). √
(vii) a) x ∈ (−∞, −3) ∪ ( −3−4 b) x ∈ (−∞, −3] ∪
147 Pˇr´ıklad 61:
• f ∩x:
[3, 0], [−5, 0],
• f ∩y :
[0, 15].
Pˇr´ıklad 62: x ∈ (−∞, −1] ∪ ( 31 , 3].
Pˇr´ıklad 63: 2 −8x2 + 7x − 18 R(x) = x + 1 + . 3 3(3x3 − 2x + 1)
Pˇr´ıklad 66:
Obr. A.1: (i) a (iii)
Obr. A.2: (ii)
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
148
Obr. A.4: (v)
Obr. A.3: (iv) Obr. A.5: (vi)
Pˇr´ıklad 67:
Obr. A.6: (i)
Obr. A.7: (ii)
149
Obr. A.8: (iii)
Obr. A.9: (iv)
Pˇr´ıklad 68:
Obr. A.11: (ii)
Obr. A.10: (i)
Obr. A.12: (iii)
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
150
Obr. A.14: (v) Obr. A.13: (iv)
Obr. A.15: (vi)
Obr. A.16: (vii)
Pˇr´ıklad 69: b Pˇr´ıklad 70: (i) D(f ) = R − {−2},
(v) D(f ) = (0, 12 ) ∪ ( 12 , ∞),
(ii) D(f ) = (−∞, 3],
(vi) D(f ) = R − {kπ; k ∈ Z},
(iii) D(f ) = (−3, ∞),
(vii) D(f ) = R − {(2k + 1) π2 + 1; k ∈ Z},
(iv) D(f ) = R,
(viii) D(f ) = (−2, 4) ∪ (4, 10].
151 Pˇr´ıklad 71: (i)
2x 1−x
2
(ii)
,
2x2 , 1−x2
(iii)
2 ln x 1−ln x
2
(iv) ln2 x2 .
,
Pˇr´ıklad 72: (i) x5 , cotg x, √ (ii) 3 x, sin x, x3 + 3,
(iii) cos x, x7 , √ (iv) log2 x, x, tg x, 2 + x.
Pˇr´ıklad 73: a) sin x,
1 x 5 ,
b) sin x, x1 , 5x .
Pˇr´ıklad 74: (i) f −1 (x) = (ii) f −1 (x) =
x−1 2 ,
(iii) f −1 (x) = 3x + 2,
q
(iv) f −1 (x) = log 1 x = − log5 x.
3x+1 2 ,
5
Pˇr´ıklad 76:
r f −1 (x) =
3
x−1 . 2
Pˇr´ıklad 77: (i) D(f ) = (1, ∞), Pˇr´ıklad 78: D(f ) = (− 21 2 , −10) ∪ (−10, 1). Pˇr´ıklad 79:
(ii) D(g) = [−5, −4].
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
152 Pˇr´ıklad 80: D(f ) = [−4, −2) ∪ (1, 4]. Pˇr´ıklad 81: D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, 1],
D(g) = (0, 1).
Pˇr´ıklad 82: Funkce f je lich´ a, g sud´ a a funkce h1 a h2 nejsou ani lich´e, ani sud´e. Pˇr´ıklad 88: (i) 16, (ii)
π 2,
(iii) ∞,
(v) neexistuje,
(iv) −∞,
(vi) −∞.
(iii) −12,
(v) neexistuje,
(iv) neexistuje,
(vi) ∞.
Pˇr´ıklad 89: (i)
sin 2 2 ,
(ii) 0,
Pˇr´ıklad 90: (i)
1 2,
(iii)
(ii)
1 3,
(iv) 0,
1 4,
(v) −∞, (vi) −3.
Pˇr´ıklad 91: (i) 3,
(ii) 0.
Pˇr´ıklad 92: 7 2
3 2x2
−
√5 , 4 x3
(i) 0,
(v)
(ii) 0,
(vi) − 3x(3x+48x+1 2 −1)2 ,
(iii) −6x2 + 2x − 4,
(vii) 2 cos x −
(iv)
1 √ 2 x
2
+
4 5x3
+
5
18 √ 5 2, x
(viii) tg x +
Pˇr´ıklad 93: (i) −4,
+
(ii) 2.
1 , sin2 x
x . cos2 x
153 Pˇr´ıklad 94: (i) 2, −3, 29 ,
(ii)
π 4 , 1, −4.
Pˇr´ıklad 95: (i) x ex (2 sin x + x sin x + x cos x),
(iv)
(ii) f (x) = x2 6x (3 + x ln 6),
(v)
(iii)
√ x , x2 −1
(vi)
−1 , x ln2 x x2 −2x−1 , (x2 +1)2 −2 . 1+4x2
Pˇr´ıklad 96: (i) 3x ex [(sin x − 3 ln x)(x + 2) + x cos x − 3],
(vi) −6x2 sin x3 cos x3 ,
(ii) 4x [2 + (2x + 6) ln 4],
(vii) sin2 (2x) + 2x sin(4x),
(iii)
2 √ 9x −4x+5 , 2 3x3 −2x2 +5x−1
(iv)
−14x , (x2 +1) ln2 (x2 +1)
(v)
x2 −2x−1 2(x2 +1)2
q
(viii)
−2 sin x , cos x ln2 cos x
(ix) 72x
x2 +1 1−x ,
(x)
3 +x−9
ln 7(6x2 + 1),
2 . x2 +1
Pˇr´ıklad 97: (i) 5x4 + 5x ln 5,
(iii) (sin x)cos x (cos x cotg x − sin x ln sin x), ln x (iv) (ln x)tg x ( ln + cos2 x
(ii) xx (1 + ln x), Pˇr´ıklad 98: √ (i) x4 5 5x (25 + x ln 5),
(iv)
(ii) −30x4 tg x5 ln cos3 x5 , (iii) x ln
2 3
(v)
r−2 , 1−log22 x2
Pˇr´ıklad 99:
1 (x−3) ln(x−3)
+
√
tg x x ln x ).
1 , −x2 +10x−21
−2 cotg x , ln2 (sin2 x)
(vi) 2 sin x(x sin x cos x2 + sin x2 cos x).
3
3 4 ln x − 1 , g(x) = x3 , 2x3 ln2 x 2 cos(2x) . h(x) = p 3 3 sin2 (2x)
f 0 (x) = 15x2 + 2 sin x −
Pˇr´ıklad 100: f 000 (−2) = 1 224.
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
154 Pˇr´ıklad 101: 1 3,
(i) 2,
(iv)
(ii) 1,
(v) 0,
(iii) ∞,
(vi)
1 2π .
Pˇr´ıklad 102: (i) 0,
(iii) ∞,
(ii) −1,
(iv) −∞.
Pˇr´ıklad 103: (i) y = 11x + 25,
(ii) x − y + π = 0.
Pˇr´ıklad 104: (i) y =
4−x 3 ,
(ii) y = 12x − 110.
Pˇr´ıklad 108:
Obr. A.17: (i)
Obr. A.18: (ii)
155
Obr. A.19: (iii)
Obr. A.20: (iv)
Obr. A.21: (v)
Obr. A.22: (vi)
Obr. A.23: (vii)
Obr. A.24: (viii)
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
156
Obr. A.25: (ix)
Obr. A.26: (x)
Pˇr´ıklad 109: (i) x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞) √ √ (ii) x ∈ (2 − 2, 2 + 2),
(iv) y = 0,
(iii) nem´ a,
(vi) x ∈ {2 −
Pˇr´ıklady 110:
3 4
√
±
92 8 .
Pˇr´ıklady 111: D. Pˇr´ıklady 126: √ (i) 2x3 − 8 x + 2 ln |x| + c, √ √ 3 3 3 11 (ii) 11 x + 35 x5 + c, (iii) x2 + 4 ln |x| + (iv)
2 3 3x
8 x
+ 32 x2 + 9x + 28 ln |x − 3| + c.
Pˇr´ıklady 127: sin 32 x + c, √ (ii) − 43 2 − 8x + c, (i)
2 3
(iii) 2 ln |2x − 1| + c, (iv) (v)
53x 3 ln 5 1 2
+ c,
+ c,
arctg(2x) + c.
(v) x = 2, √
2, 2 +
√
2}.
157 Pˇr´ıklady 128: (i) ex x2 − 2x + 2 + c, (ii)
x3 3
ln x −
x3 9
+ c.
Pˇr´ıklady 129: (i) ln |2x2 − 8| + c, 1 4
· ln |2x2 − 8| + c, R − sin x R sin x (iii) = cos x dx = − cos x dx = − ln |cos x| + c. (ii)
Pˇr´ıklady 130: Z
=
1 dx = 16 + 9x2
Z 42
1 dx + (3x)2
3x 1 3x 1 1 · · arctg +c= arctg + c. 3 4 4 12 4
Pˇr´ıklady 131: Z
3 dx = 3 16 − 9x2
Z 42
1 dx − (3x)2
4 + 3x 1 1 1 4 + 3x · ln =3· · + c = ln + c. 3 2·4 4 − 3x 8 4 − 3x Pˇr´ıklady 132: Z
−7 √ dx = −7 16 − 3x2
Z
1 q dx √ 42 − ( 3x)2
√ √ √ 3x −7 3 3x 1 = −7 √ arcsin +c= arcsin + c. 4 3 4 3 Pˇr´ıklady 133: Z
√
2 dx = 2 4x2 − 3
Z
1 p
(2x)2 − 3
dx
p p 1 = 2 ln |2x + 4x2 − 3| + c = ln |2x + 4x2 − 3| + c. 2
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
158 Pˇr´ıklady 134: Z
3 3 dx = 2 2x + 8x − 10 2
3 = 2
Z
Z x2
1 3 dx = − 2 (x + 2) − 9 2
1 dx + 4x − 5
Z
1 dx 9 − (x + 2)2
3 + x + 2 1 x + 5 3 1 + c = − ln + c. =− · ln 2 2 · 3 3 − x − 2 4 1 − x Pˇr´ıklad 135: (i) 2x4 − 32 x3 + (ii)
2 3 3x
−
x2 2
x2 2
− x + c,
(iv)
12 11
√
12
x11 −
2x 4 ln 2
(i) 2 sin x − (2x + 3) cos x + c,
(iv)
x2 2
(ii) ex (x2 + x − 2) + c,
(v)
(iii) x(ln x − 1) + c,
(vi)
ex 2 (sin x
(vi)
−1 36(12x+3)3
x5 10
− 38 x2 + 32 ln |x| +
√ x17 + c,
20
(v) − √25 arcsin x + c,
− 21x + c,
(vi)
(iii)
40 17
1 2x
+ c,
− 54 x + c.
Pˇr´ıklad 136: ln x −
x2 4
1 2 2 (x arctg x
+ c, − x + arctg x) + c,
+ cos x) + c.
Pˇr´ıklad 137: (i)
7 3
ln |x| + c,
(ii) − 29 ln |5 − 9x| + c, p (iii) − 61 (3 − 4x)3 + c, p 5 5 (2x − 3)6 + c, (iv) 12 q q √ (v) x − 32 arctg 2x 3 + c,
+ c,
√
3x2 − 5 + c, √ (viii) 23 ln3 x + c, (vii)
(ix) − ln | cos x| + c, (x) ln(x2 − 3x + 7) + c.
Pˇr´ıklad 138: (i) − ln |4 − ex | + c, (ii)
arctg4 x 4
+ c, 4
(iii) − 41 e−x +c,
3
(iv) − cos3
x
+ c,
(v) − sin1 x − sin x + c, (vi) − sin1 x − sin x + c.
159 Pˇr´ıklad 139: √
30
(i) − 30 29 (ii)
2 3
x29 ,
arcsin 3x 2 + c,
q hq i 2 (iii) 2 23 arctg (x + 2) + c, 3 i √ + 1 + x2 + 2x + 5) + c1 , nebo (dle pouˇzit´eho vzorce) h i √ 3 ln (x + 1 + x2 + 2x + 5) + c2 , kde c2 = c1 + 3 ln 12 ,
(iv) 3 ln
(v) (vi)
√
h
1 2 (x
3x − 1 − arctg
7 9 (2x
√
9
3x − 1 + c, 5
+ 1) 4 − 75 (2x + 1) 4 + c =
14 45 (2x
5
+ 1) 4 (5x − 2) + c.
Pˇr´ıklad 140: (i) (ii) (iii)
2 3
ln |3x − 4| + c,
−1 3(3x−4)2
√
+ c,
√ + c, 2 arctg x−1 2
(iv) ln(x2 − 2x + 3) + c, (v) 2 ln(x2 − 2x + 3) + (vi)
3 2
ln(x2 + x + 1) −
Pˇr´ıklad 150: (i) 168, (ii) 2 + (iii)
(v) 117, π2 2 ,
(vi) 4,
3 4 π,
(vii) √
(iv) 1 +
3 2
−
5 12 π,
(viii)
10 3 , e8 −1 3 .
Pˇr´ıklad 151: (i)
π2 4 ,
√ (iii) π(4 5 + 10).
√ (ii) 4π 5,
Pˇr´ıklad 152: (i)
9 2,
(ii)
72 5 π.
√ 7 2 2
√ 5 3 3
√ + c, arctg x−1 2
√ arctg 2x+1 + c. 3
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
160 Pˇr´ıklad 153: (i) (ii)
32 3 ,
(iv)
1408 15 π,
R3 √ 2 −1 1 + 4x dx, √ (vi) 4 5.
1072 15 π,
(v)
√ (iii) 48π 5,
Pˇr´ıklad 160: Koˇreny jsou −3, − 21 a 31 . V´ ysledn´e odhady koˇren˚ u tedy mus´ı vyj´ıt nejv´ yˇse o danou ˇ sen´ı pˇr´ıkladu nelze jednoznaˇcnˇe napsat, protoˇze jin´a volba prvn´ıho odhadu chybu jinak. (Reˇ m˚ uˇze v´est k jin´emu v´ ysledku, kter´ y je sice tak´e dostateˇcnˇe pˇresnou aproximac´ı hledan´eho koˇrene, ale napˇr. z druh´e strany, nebo v r´amci povolen´e chyby posunut´ y.) Pˇr´ıklad 161: Polynom = 83 x3 − 6x2 + 6x − Pˇr´ıklad 162: Polynom =
1 4 24 (x
11 6 .
V´ ysledn´a hodnota = 65 .
+ 24x3 − 12x2 + 24). V´ ysledn´a hodnota =
385 384 .
Pˇr´ıklad 163: −x4 − 5x3 − 10x2 − 10x − 5. Pˇr´ıklad 164: (a)
1−
x2 2 ,
(b)
x−
x3 3 .
ysledn´a hodnota = 85 . Pˇr´ıklad 165: Polynom = − 21 x2 + 27 x − 5. V´ Pˇr´ıklad 166: − 15 4 . Pˇr´ıklad 167: y = 65 x − 3. Hodnota v Pˇr´ıklad 168: y = − x5 +
5 2
je 0.
11 10 .
Hled´ ame pˇ r´ ımku (line´ arn´ ı z´ avislost) pro n´ ıˇ z je souˇ cet ploch naznaˇ cen´ ych ˇ ctverc˚ u minim´ aln´ ı.
Pˇr´ıklad 169:
Pˇr´ıklad 170:
7 7 P (x) = x2 − 2x − . 8 8 1 1 5 P (x) = x3 + x2 − x + 1. 6 2 3
161 Pˇr´ıklad 171: (i) y =
x 5
+ 56 .
(ii) y = − 97 x +
18 7 .
Pˇr´ıklad 172: Odhady vyjdou pˇribliˇznˇe −2, 948828358; 0, 7828156787 a 2, 166012680. V´ ysledky se mohou liˇsit dle zvolen´eho prvn´ıho dˇelen´ı intervalu. (Nikdy ale o v´ıc, neˇz o pˇr´ısluˇsnou chybu).
162
ˇ ´ILOHA A. RE ˇ SEN ˇ ´I PR
Pˇ rı ´loha
B Vzorce
§ B.1
Z´ akladn´ı vzorce
Mnohoˇ cleny (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , a2 − b2 = (a − b)(a + b),
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 , a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 ).
Mocninn´ a funkce a−r =
a0 = 1,
1
1 ar ,
ar =
√ r
a,
ar as = ar+s ,
(ar )s = ars .
Logaritmus a exponenci´ ala log ab = log a − log b, loga ax = x = aloga x , ln x = lg x = loge x, e = 2, 71828 . . . , logc b ln b loga b = log a = ln a .
loga x = y ⇔ x = ay , log 1 = 0, loga a = 1, log ab = b log a, log(ab) = log a + log b,
c
Goniometrick´ e funkce sin x tg x = cos x, x cotg x = cos sin x , sin2 x + cos2 x = 1, sin 2x = 2 sin x cos x,
x
0
π 6
sin x
0
1 2 √ 3 2
cos x
1
cos 2x = cos2 x − sin2 x, x sin2 x2 = 1−cos , 2 1+cos x x 2 cos 2 = 2 .
π 4 √ 2 2 √ 2 2
π 3 √ 3 2
π 2
x
0
1
tg x
0
1 2
0
cotg x
163
−
π 6 √ 3 3
1
3
1
√
π 4
π 3
√
π 2
3
−
3 3
0
√
ˇ ´ILOHA B. VZORCE PR
164
Zlomky a c ad±cb b ± d = bd , ac ac b d = bd , a ad ad b c = b c = bc , d
( ab )−1 = ab , r ( ab )r = abr , ca a cb = b ,
c 1 cb = b , a a = 1.
a + ib = a − ib,
a2 + b2 = (a − ib)(a + ib)
Ostatn´ı . Komplexn´ı ˇ c´ısla (C) i2 = −1,
. Kvadratick´ y polynom P (x) = ax2 + bx + c D = b2 − 4ac,
x1,2 =
√ −b± D , 2a
P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
. Doplnˇ en´ı na ˇ ctverec ax2 + bx + c = a(x2 + ab x + ac ),
§ B.2
x2 + px + q = (x + p2 )2 −
Derivace
Necht’ f a g jsou funkce, c ∈ R. • (f ± g)0 = f 0 ± g 0 , • (c · f )0 = c · f 0 ,
• (f · g)0 = f 0 g + f g 0 , 0 0 g0 • fg = f g−f . g2
Necht’ a, b, c, α ∈ R, a, b > 0, α 6= 0, b 6= 1. • (sin x)0 = cos x, • (c)0 = 0,
• (cos x)0 = − sin x.
• (xα )0 = αxα−1 ,
• (tg x)0 =
• (ex )0 = ex ,
• (cotg x)0 =
• (ax )0 = ax · ln a,
• (arcsin x)0 =
√ 1 , 1−x2
• (ln x)0 = x1 ,
• (arccos x)0 =
√ −1 , 1−x2
• (logb x)0 =
1 x·ln b ,
1 , cos2 x −1 , sin2 x
• (arctg x)0 =
1 , 1+x2
• (arccotg x)0 =
−1 . 1+x2
p2 4
+ q.
´ § B.3. INTEGRALY
§ B.3
165
Integr´ aly
Necht’ f a g jsou funkce, k, c ∈ R. R R [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx, R R • k · f (x) dx = k · f (x) dx, R 0 (x) • ff (x) dx = ln |f (x)| + c.
•
R
Necht’ A, B, a, c, k, n ∈ R, a > 0, n 6= −1. R • k dx = kx + c, R n+1 • xn dx = xn+1 + c, R • x1 dx = ln |x| + c, R x • ax dx = lna a + c, R • ex dx = ex +c, R • sin x dx = − cos x + c, R • cos x dx = sin x + c,
Integrov´ an´ı per partes u = u(x), v = v(x) . Z Z uv 0 dx = uv − u0 v dx.
•
R
1 cos2 x
dx = tg x + c,
•
R
1 sin2 x
dx = − cotg x + c,
•
R
√ 1 A2 −x2
•
R
√ 1 x2 ±B
•
R
1 A2 +x2
•
R
1 A2 −x2
x dx = arcsin A + c,
dx = ln |x +
√
x2 ± B| + c,
1 A
x arctg A + c, A+x 1 dx = 2A ln A−x + c.
dx =
D´elka kˇrivky. b
Z
p 1 + f 02 (x) dx.
`= a
Substituˇcn´ı metoda. Z Z x = h(t) = f (h(t))h0 (t) dt, f (x) dx = dx = h0 (t) dt Z
Z g(x) = t 0 = f (t) dt. f (g(x))g (x) dx = 0 g (x) dx = dt
Povrch pl´aˇstˇe a objem rotaˇcn´ıho tˇelesa (rotace f kolem osy x). Z P = 2π Z V =π a
b
p f (x) 1 + f 02 (x) dx,
a b
f 2 (x) dx.
