IGMEN
Maturitní témata z matematiky 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56) 57) 58) 59) 60)
Výroková logika Množiny - operace, intervaly Algebraické výrazy - práce s mnohočleny, algebraické vzorce Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Lineární funkce, lineární rovnice Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou Soustava lineárních rovnic Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant Kvadratické funkce Kvadratická rovnice - metody řešení Kvadratické nerovnice Iracionální rovnice Shodná zobrazení - konstrukční úlohy Podobná zobrazení - konstrukční úlohy Pythagorova a Eukleidovy věty - konstrukční úlohy Obvody a obsahy rovinných obrazců Polohové a metrické vztahy základních geometrických útvarů v prostoru Povrchy a objemy těles Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku Úpravy výrazů s goniometrickou funkcí užitím vzorců Goniometrické rovnice Řešení obecného trojúhelníku Komplexní číslo - pojem, algebraický tvar, operace Komplexní číslo - goniometrický a exponencionální tvar, operace Moivreova věta, binomické rovnice Lineární lomená funkce Mocninné funkce Exponenciální funkce, exponencionální rovnice Logaritmické funkce, logaritmus, vlastnosti Logaritmické rovnice Vektor, operace s vektory Analytická geometrie - přímky v rovině a prostoru Analytická geometrie - roviny Analytická geometrie - vzájemná poloha přímky a roviny, dvou rovin Analytická geometrie - vzájemná poloha dvou přímek v rovině a prostoru Analytická geometrie - metrické úlohy metodou souřadnic Analytická geometrie kuželoseček - kružnice Analytická geometrie kuželoseček - elipsa Analytická geometrie kuželoseček - hyperbola Analytická geometrie kuželoseček - parabola Analytická geometrie - vzájemná poloha kuželosečky a přímky Limita a spojitost funkce Derivace funkce Fyzikální a geometrický význam derivace Vyšetřování průběhu funkce Aplikace extrémů funkcí v úlohách Neurčitý integrál - metody integrace Určitý integrál - užití Posloupnost - vlastnosti, limita posloupnosti Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Nekonečná geometrická řada Variace, permutace, kombinace Kombinační číslo - vlastnosti, rovnice s kombinačními čísly Pravděpodobnost Statistika Důkazy v matematice
1. Výroková logika Výrok:
Sdělení, o kterém má smysl říct, zda je či není pravdivé.
Hypotéza: Výrok, u něhož jsme v daném okamžiku neurčili jednoznačně pravdivost. (Doměnka) pravdivý výrok → 1 nepravdivý výrok → 0
ZÁKLADNÍ LOGICKÉ SPOJKY: ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔
negace (není pravda, že…) konjunkce (…a… | …a současně… | …a zároveň…) disjunkce (…nebo…) implikace (jestliže… pak… | když… pak… | je-li… pak…) ekvivalence (…právě když… …právě tehdy…)
Př.: A: Dnes prší.
B: Venku je bláto.
¬A: Není pravda, že dnes prší. ¬A: Dnes neprší. ¬B: Není pravda, že je venku bláto. ¬B: Venku není bláto. A∧B: Dnes prší a venku je bláto. A∨B: Dnes prší nebo je venku bláto. A⇒B: Jestliže prší pak je venku bláto. A⇔B: Venku je bláto právě když prší. Jednoduchý výrok:
p; q
Složený výrok:
¬p; p∧q; p∨q; p⇒q; p⇔q; (p∧q) ⇒(¬p∨q)
Výroková formule:
Vzniká kombinací více logických operací (případně výroků). Operace u nich mají nadřazenost v tomto pořadí: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔; pokud není jejich nadřazenost změněna závorkou.
Tautologie:
Výroková formule, která je vždy pravdivá.
Kontradikce:
Výroková formule, která je vždy nepravdivá.
1
IGMEN
Tabulka pravdivostních hodnot a výrokových formulí základních složených výroků: p q ¬p ¬q p∧q p∨q p⇒q p⇔q 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 Př.:
c
(A ⇒ ¬B) ∧ (B ⇔ ¬A) A 1 1 0 0
d
¬A 0 0 1 1
¬B 0 1 0 1
A ⇒ ¬B 0 1 1 1
B ⇔ ¬A 0 1 1 0
¬B 0 1 0 1
A⇒B 1 0 1 1
¬B ⇒ ¬A 1 0 1 1
¬A 0 0 0 0 1 1 1 1
¬B 0 0 1 1 0 0 1 1
(A ⇒ ¬B) ∧ (B ⇔ ¬A) 0 1 1 0
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) A 1 1 0 0
e
B 1 0 1 0
B 1 0 1 0
¬A 0 0 1 1
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) 1 1 1 1 tautologie
(C ⇒ ¬A) ∧ (¬B ⇔ C) A 1 1 1 1 0 0 0 0
B 1 1 0 0 1 1 0 0
C 1 0 1 0 1 0 1 0
C ⇒ ¬A 0 1 0 1 1 1 1 1
2
¬B ⇔ C 0 1 1 0 0 1 1 0
(C ⇒ ¬A) ∧ (¬B ⇔ C) 0 1 0 0 0 1 1 0
IGMEN
KVANTIFIKOVANÉ VÝROKY V ∃ ∃/
obecný kvantifikátor existenční kvantifikátor neexistenční kvantifikátor
Př.:
c
druhá mocnina každého reálného čísla je kladná
d
existuje přirozené číslo, které je kořenem rovnice: x2 – 9 = 0
e
Vx ∈ N : x = 2k ⇒ x 2 = 2l
Vx ∈ R : x 2 > 0
∃x ∈ N : x 2 − 9 = 0 pro všechna přirozená čísla platí, že jestliže je dané číslo sudé, je jeho druhá mocnina sudá
3
IGMEN
2. Množiny – operace, intervaly Množina je souhrn prvků, které chápeme jako celek. Zápis množin: A, B, C … množiny 1) 2)
výčet prvků: interval:
A = {1; 2; 3}
3)
charakteristická vlastnost: A = {x ∈ N; x ≤ 3}
B = − 3; 5)
B = {x ∈ N;−3 ≤ x < 5}
C = {x ∈ N; x − 1 ≤ 4} Operace s množinami: doplněk
A′
rovnost
A=B
podmnožina (inkluze)
A⊂B
sjednocení
A∪B
průnik
A∩B
rozdíl
A-B; B-A
4
IGMEN
Číselné množiny: N ...... přirozená čísla N0 ..... nezáporná přirozená čísla
N = {1;2;3;K} N 0 = {0;1;2;3;K}
Q ...... racionální čísla
Z = {K − 3;−2;−1;0;1;2;3; K} Q = {K − 2;−1,5;−1;−0,75;−0,3;0;0,3;0,75;1;1,5;2;K}
R ...... reálná čísla
R = π; 2
Z....... celá čísla
{ } C = { − 1}
C ...... komplexní čísla Platí: N ⊂ N 0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
ABSOLUTNÍ HODNOTA REÁLNÉHO ČÍSLA Absolutní hodnotou reálného čísla rozumíme číslo a , které má tyto vlastnosti:
a ≥0⇒ a =a a < 0 ⇒ a = −a Př.:
3 3 = 8 8 − 0,5 = 0,5 Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti tohoto čísla od počátku číselné osy.
5
IGMEN
INTERVALY Množina reálných čísel, kterou můžeme znázornit na číselné ose úsečkou, nazýváme omezený interval. Ty množiny, které lze znázornit polopřímkou nebo přímkou nazýváme neomezené intervaly. Omezené intervaly se dělí na: 1. uzavřený 2. otevřený 3. polouzavřený Omezené intervaly: množina znázornění na ose
zápis intervalu
x ∈ R; a ≤ x ≤ b
a; b
x ∈ R; a < x ≤ b
(a; b
x ∈ R; a ≤ x < b x ∈ R; a < x < b
x ∈ R; x ≥ a x ∈ R; x > a x ∈ R; x ≤ a
x ∈ R; x < a
název intervalu uzavřený interval a;b polouzavřený interval a;b
a; b )
(a; b ) a; ∞ ) (a; ∞ ) (− ∞; a (− ∞; a )
polouzavřený interval a;b otevřený interval a;b zleva uzavřený interval a;∞ zleva otevřený interval a; ∞ zprava uzavřený interval -∞;a zprava otevřený interval -∞;a
Př.:
A = {x ∈ R; x − 3 ≥ 5} B = (− 7;0 )
A ∩ B = (− 7;−2
A ∪ B = (− ∞;0 ) ∪ 8; ∞ )
A − B = (− ∞;−7 ∪ 8; ∞ ) B − A = (− 2;0 )
6
IGMEN
3. Algebraické výrazy – práce s mnohočleny, algebraické vzorce Výraz obecně:
(A I B) U C
• množinový
π 1+ 2; 2; ; 3 2 5y − 3 2 ; x + 2 5 a+b ; x a−b
• číselný • výraz s proměnnou • lomený výraz
Legenda: 1; 2; 3; 5; π............konstanty a; b ........................proměnné A; B; C..................množiny U lomených výrazů a výrazů s odmocninou je nutné udat podmínky pro proměnnou, aby měl výraz smysl. Např.:
a+6 c
c≠0
MNOHOČLENY Mnohočlen obecně:
a m x m + a m −1x m −1 + a m − 2 x m − 2 + K + a1x + a 0 Např.: 2x 2 − 3x + 2; 3x 5 + 64x 2 ; 5x 6 −
1 x 3
Sčítání a odčítání mnohočlenů: Sčítat a odčítat se mohou pouze mnohočleny se stejnou proměnnou a stejnou mocninou dané proměnné. Př.:
(x (x
) (
)
3
+ 3x 2 − 4x + 1 + x 4 − 3x 3 + 5x 2 + 2 = x 4 − 2x 3 + 8x 2 − 4x + 3
5
− 6x + 5x − x + 3 − x + 5x − 2x 2 + 4x − 1 = x 5 − 6x 4 + 5x 2 − x + 3 − x 4 − 5x 3 + 2x 2 − 4x + 1 = 4
) (
2
4
3
)
= x − 7x − 5x + 7x − 5x + 4 (a + b − c ) − [− (b − 3c )] = a + b − c − [− b + 3c] = a + b − c + b − 3c = a + 2b − 4c 5
4
3
2
Násobení mnohočlenů: Př.:
(
)
5 3 2 1 2 3 2 2 3 2 x − xy − ⋅ − 24xy = −18x y + 4x y + 40xy 6 3 4 2 3xy + 2x − 3y ⋅ (4x + xy ) = 12x 2 y 2 + 8x 2 − 12xy + 3x 2 y 3 + 2x 2 y − 3xy 2
(
)
7
IGMEN
Dělení mnohočlenů jednočlenem: Čísla se dělí, exponenty odčítají. Př.:
(18a
)
− 27a 3 + 9a 2 − 90a : (9a ) = 2a 3 − 3a 2 + a − 10 podmínka: a ≠ 0 4
Dělení mnohočlenů mnohočlenem: Př.:
8
IGMEN
ALGEBRAICKÉ ROVNICE Součtové vzorce:
(A + B)2 = A 2 + 2AB + B 2 (A − B)2 = A 2 − 2AB + B 2 (A + B + C)2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA (A + B)3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B3 (A − B)3 = A 3 − 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 A 2 − B 2 = (A + B) ⋅ (A − B) A 3 + B 3 = (A + B) ⋅ (A 2 − AB + B 2 ) A 3 − B 3 = (A − B) ⋅ (A 2 + AB + B 2 ) Př.:
c d e
(x − 2y )2 = x 2 − 4xy + 4y 2 (2x + 3y )3 = 8x 3 + 36x 2 y + 54xy 2 + 27y3 3 0,001 + 0,012x + 0,048x 2 + 0,064x 3 = (0,1 + 0,4x )
Vietovy vzorce:
x 2 + px + q = (x − x1 ) ⋅ (x − x 2 ) x1 ⋅ x 2 = p x 1 + x 2 = −q Př.:
x 2 − 8x + 12 = (x − 2) ⋅ (x − 6 ) x1 ⋅ x 2 = 2 ⋅ 6 = 12
x1 + x 2 = 2 + 6 = 12 x1 = 2; x 2 = 6
9
IGMEN
Rozklad výrazu v součin: 1. 2. 3.
vytýkáním pomocí vzorců rozkladem kvadratického trojčlenu pomocí Vietových vzorců
Př.:
c d e
(
)
18a − 45a 2 + 63a 3 = 9a 2 − 5a + 7a 2 1 1 1 x2 − = x + ⋅x − 9 3 3 6 4 3 2 m − m + 2m + 2m = m 4 (m 2 − 1) + 2m 2 (m + 1) = m 4 (m − 1)(m + 1) + 2m 2 (m + 1) =
[
]
(
= m 2 (m + 1) m 2 (m − 1) + 2 = m 2 (m + 1) m 3 − m 2 + 2
f
x 2 − 8x + 12 = (x − 2 )(x − 6 )
)
x 1 ⋅ x 2 = 12 = 2 ⋅ 6 x1 + x 2 = 8 = 2 + 6 x 1 = 2; x 2 = 6
10
IGMEN
4. Lomené výrazy Rozšiřování lomených výrazů: Lomený výraz se rozšiřuje tak, že se čitatel i jmenovatel násobí stejným výrazem. Rozšíření výrazu výrazem r:
a ⋅r ; b ≠ 0, r ≠ 0 b⋅r
Př.:
x výrazem (a + x ) . b x ⋅ (a + x ) ax + x 2 ax ≠ bx = b ⋅ (a + x ) ab + bx
Rozšiř výraz
Krácení lomených výrazů: Lomený výraz se krátí tak, že se čitatel i jmenovatel vydělí stejným výrazem. Krácení výrazu výrazem r:
a:r ; b ≠ 0, r ≠ 0 b:r
Př.:
c d e f
a 5b3 a 3 = b≠0 a 2 b5 b 2 (a − b )(a + b ) = (a − b )(a + b ) = a + b a 2 − b2 = 2 2 2a − 4ab + 2b 2 a 2 − 2ab + b 2 2(a − b ) 2(a − b ) 18a − 30 6(3a − 5) 6 3 = = = a≠0 2 12a − 20a 4a (3a − 5) 4a 2a
(
)
3x 2 − 3xy 3x (x − y ) 3x = = 2 2 (x + y )(x − y ) x + y x −y
Základní tvar zlomku:
a≠b
x≠y
Je to takový tvar zlomku, který nelze dále krátit.
11
IGMEN
Sčítání a odčítání lomených výrazů: Př.:
c d
e
1 2 1⋅ 3 + 2 ⋅ 2 3 + 4 7 1 + = = = =1 2 3 2⋅3 6 6 6 3x − y y − 2 x − y2 (− 1)(3x − y ) − (y − 2 ) − (− 1)(x − 2y ) − 3x + y − y + 2 + x − 2y − − = = = (− 1)(2x − y ) 2x − y y − 2x 2x − y − 2x + y 2 − 2x − 2y = − 2x + y 2x ≠ ± y a +1 2a a +1 a +1 2a a +1 = − 2 + = − + 2 a + 2a a − 4 a (a + 2) a (a + 2 ) (a − 2)(a + 2 ) a (a + 2)
= = =
a (a + 1)(a + 2)(a − 2) − 2a 2 (a + 2)(a − 2) + a (a + 1)(a + 2)(a − 2) = a (a + 2 )(a − 2)
(a
2
)(
) (
)
(
)(
)
+ a a − 4 − 2a + 4a (a − 1) + a + a a + 4 = a a2 − 4 2
3
2
(
)
2
2
a ≠ ±2 a≠0
a 2 + a − 2a − 2 − 2a 2 + a 2 + a + 2a + 2 2a 2 = = 2 2 2 a a −4 a a −4 a −4
(
)
(
)
Násobení lomených výrazů: Lomené výrazy se násobí tak, že se vynásobí čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. Př.:
c
(x − 1)2 ⋅ (x + 1) ⋅ y 2 x −1
y3
d
x −1 x 2 −1 = ⋅ (x + 1) = y y
5x + 5y x − y 2 5(x + y ) (x + y )(x − y ) 5 5(x − y ) ⋅ = ⋅ = ⋅ (x − y ) = 2 2 3x − y (x + y ) 3x − y 3x − y 3x − y (x + y ) 2
12
IGMEN
Dělení lomených výrazů: Dělit lomené zlomky znamená násobit dělenec převrácenou hodnotou dělitele (dělenec/dělitel = podíl):
a b = a ⋅ d = ad c b c bc d Př.:
c
d
32x 2 y 2 2 2 3 2 14a 2 b 3 = 32x y ⋅ 7a b = 4x ⋅ a = 2xa 8xy 2 14a 2 b 3 8xy 2 2b b 3 2 7a b a a − a a 4 − 2a 3 + 8a − 16 a 6a − a − 2 a + 2 = 6a − − = ⋅ 4a 4a a −2 a +2 a 4 − 2a 3 + 8a − 16 a (a + 2 ) − a (a − 2 ) a 4 − 2a 3 + 8a − 16 a 2 + 2a − a 2 + 2a a 4 − 2a 3 + 8a − 16 = 6a − ⋅ = 6a − ⋅ = (a − 2)(a + 2) (a − 2)(a + 2) 4a 4a
(
)
4a a 3 (a − 2 ) + 8(a − 2 ) 4a a 3 + 8 (a − 2 ) = 6a − ⋅ = 6a − ⋅ = (a − 2)(a + 2) (a − 2)(a + 2) 4a 4a
(a = 6a −
)
(
)
( + 8 (a − 2) a3 + 8 a + 2 ) a 2 − 2a + 4 = 6a − = 6a − = 6a − a 2 − 2a + 4 = (a − 2)(a + 2) a+2 a+2
e
3
(
)
= 6a − a 2 + 2a − 4 = −a 2 + 8a − 4 2 x y 1 1 x 2 + y 2 − xy y − x x 2 + y 2 − xy (y − x ) + + 1 − ⋅ ⋅ 2 2 xy xy x y xy = y x x y = = 4 4 3 2 2 2 2 x y x y x y − x y − xy 3 x y x y + − − + − + y2 x 2 y x x 2 y2 y 2 x 2 y x 2
2
(
)
x 2 + y 2 − xy (y − x ) x 2 y2 x 2 + y 2 − xy (y − x ) ⋅ 2 2 ⋅ 4 4 = = xy x y x y − x 3 y − xy 3 xy x 4 y 4 − x 3 y − xy 3 2
=
(
(x + y − xy)(y − x ) = (x + y − xy )(y − x ) = xy[(− x )(y − x ) + y (y − x )] xy(y − x )(y − x ) (x + y − xy )(y − x ) = (x + y − xy)(y − x ) = 1 = xy(y − x ) xy(y − x )(y + xy + x ) xy 2
=
2
2
3
2
2
3
2
3
3
)
2
2
3
2
2
3
2
2
2
13
IGMEN
5. Mocniny a odmocniny MOCNINY a n = a ⋅ a Ka n − krát
a −n =
a0 = 1
(a )
r s
=a
(a ⋅ b )
r ⋅s
1 an
r
a r ⋅ a s = a r +s
as = s ar r
r
= a ⋅b r
ar a = r b b
r
a r : a s = a r −s
ODMOCNINY n
n
a = b ⇔ bn = a
a ⋅n b = n a⋅b
( a) = s
n
n
as
n
a
n
b
=n
a=
n
n ⋅p
a b
m n
k ⋅n
ap
a = m⋅ n a
a k ⋅m = n a m
Př.:
c
a)
2 −1 =
1 2
−1
3−1 4 3 = −1 = 4 3 4
b)
−2
2
4 2 16 3 4 = = 2 = 3 9 4 3
c)
−2
d
1 d) = π 2 π 3 ( − 2) ⋅ 2 2 − 8 ⋅ 4 32 a) = = − = −4 2 8 (− 2) ⋅ 2 4 ⋅ 2
(2 ⋅ 3)
3
3
b) c)
e f
(2 ⋅ 3)2
=
29 ⋅ 33 = 27 ⋅ 3 2 2 2 ⋅3
a 3 b −4 a 3 a 2 a 5 = 4 3 = 7 = a 5 b −7 −2 3 a b bb b −1
2
a 2 b −3 c 4 d −1 a −2 b 3 c8d −2 b 3d 3 a 6 c8 d a 4 c 6 a 4 c 6 d − 2 3 ⋅ −3 2 = 2 −3 ⋅ −6 4 = 2 2 ⋅ 4 2 = ⋅ = cd a b a c bd 1 b b c d a b
14 n +1 ⋅ 352n +3 ⋅ 423n − 4 ⋅ 701− n = (2 ⋅ 7 )
n +1
⋅ (5 ⋅ 7 )
2n + 3
3n − 4
n
2n
2n
3
3
3n
3n
3n
−4
−4
⋅ (2 ⋅ 5 ⋅ 7 )
1− n
−n
=
= 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 −n = n
−4
⋅ (2 ⋅ 3 ⋅ 7 )
−n
= 23n ⋅ 33n ⋅ 5n ⋅ 7 5n ⋅ 2 − 2 ⋅ 3− 4 ⋅ 54 ⋅ 7 = 23n − 2 ⋅ 33n − 4 ⋅ 5n + 4 ⋅ 7 5n +1
14
IGMEN
g
h
3a a ⋅ a −1
3
1 3 1 3 4 5 8−3 5 1 a3 a 15 a5 ⋅a5 a5 10 10 2 = 1 = = = = a = a = a = a 3 3 3 3 − a 2 ⋅ a −1 10 5 10 10 a ⋅a a a
1
3 13 2 1 3 1 1 1 2 3 1 a b 3 6 6 6 6 a b a ⋅ b b = 6 6 6 2 = = = b ⋅ b = b = b = b 2 3 2 1 1 − − 3 −2 6 1 3 a b 3 −2 2 a6 ⋅b 6 b 6 a b
( )
(
i
3 5
( )
(
)
)
(x + y )2a +1 ⋅ (u − v )2a +1 ⋅ (x − y )2a + 2 = (u − v )2a −1 ⋅ (x 2 − y 2 )2a +1 ⋅ (u − v )2 (x + y )2a ⋅ (x + y ) ⋅ (u − v )2a ⋅ (u − v ) ⋅ (x − y )2a ⋅ (x − y )2 = (u − v )2a ⋅ (u − v )−1 ⋅ (x 2 − y 2 )2a ⋅ (x 2 − y 2 )⋅ (u − v )2 (x + y )2a ⋅ (x + y ) ⋅ (x − y )2a ⋅ (x − y )2 = =
(x
=
j
− y2
) ⋅ (x 2a
2
− y2
)
(x + y )2a ⋅ (x + y ) ⋅ (x − y )2a ⋅ (x − y )2 (x − y )2a ⋅ (x + y )2a ⋅ (x − y ) ⋅ (x + y ) 1
5
b2
=x−y
b2 = ⋅ = b b2 5 b2 5 b2
1 5
2
=
5
15
IGMEN
6. Lineární funkce, lineární rovnice LINEÁRNÍ FUNKCE Funkce f definovaná na množině M ⊂ R je pravidlo, které každému prvku x z množiny M přiřadí právě jedno y.
y = f (x ) ...............y je funkcí x Lineární funkce - funkce y = ax + b (a…směrnice, b…úsek), kde a a b jsou reálná čísla, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka nebo její část (úsečka, polopřímka). Graf funkce - grafem funkce y = f (x ) rozumíme množinu všech bodů [x; y] v rovině. Vlastnosti funkce: definiční obor........D(f) ....... množina všech x obor hodnot...........H(f) ....... množina všech y je to množina všech y, ke kterým existuje aspoň jedno x z definičního oboru sudost....................f(x) = f(-x)....... graf funkce je souměrný podle osy y lichost ...................f(x) = -f(-x) ..... graf funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic rostoucí ................. x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) klesající................. x1 > x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 )
prostá .................... x1 ≠ x 2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x 2 ) ... jakýmkoli dvěma x nenáleží totéž y omezenost zdola a shora minimum a maximum
16
IGMEN
Zvláštní případy lineární funkce: a = 0, b = 0 ⇒ y = 0 .............. grafem je osa x a = 0, b ≠ 0 ⇒ y = b ............... grafem je rovnoběžka s osou x - konstantní funkce (b…úsek na ose y) a ≠ 0, b = 0 ⇒ y = ax ............. grafem je přímka procházející počátkem – přímá úměrnost (a…směrnice přímky)
směrnice
a = tgϕ
Př.:
c
y = 3x − 2; D(f ) = − 1;2
H(f ) = − 5;4 ani sudá, ani lichá rostoucí prostá
d
-1,5
-1
5 4 3 2 1 0 -0,5 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6
0,5
1
1,5
2
2,5
0,5
1
1,5
2
y = −0,5x 1 0,8 0,6 0,4
lichá klesající prostá
0,2 -2
-1,5
-1
0 -0,5-0,2 0 -0,4 -0,6 -0,8 -1
17
IGMEN
LINEÁRNÍ ROVNICE Lineární rovnicí o jedné neznámé nazýváme rovnici ve tvaru ax = b , kde a a b jsou reálná čísla a x je neznámá. Ekvivalentní úpravy: • přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice • vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem Řešení lineárních rovnic:
1 2
•
x = 1; x = −
• •
2 = 2; 0 = 0 ⇒ rovnice má nekonečně mnoho řešení 3 = −1; − 2 = 4 ⇒ rovnice nemá řešení
⇒ rovnice má jediné řešení
Př.:
c
3x − 1 1 = 5 10 10(3x − 1) 10 = 5 10 2(3x − 1) = 1
⋅ 10
6x − 2 = 1 6x = 1 + 2 6x = 3 3 6 1 x = = 0,5 2 4x − 5 = x − (1 − x ) 2 4x − 5 = 2x − 2(1 − x ) x=
d
e
⋅2
4x − 5 = 2x − 2 + 2x 4x − 5 = 4x − 2 4x − 4x = 5 − 2 0=3 2(2x + 3) = 8(1 − x ) − 5(x − 2 ) 4x + 6 = 8 − 8x − 5x + 10 4x + 6 = 18 − 13x 17x = 12 12 x= 17
rovnice nemá řešení
18
IGMEN
f
g
3x − 1 1 + x x −1 ⋅ 20 − = 3− 5 2 4 4(3x − 1) − 10(1 + x ) = 60 − 5(x − 1) 12x − 4 − 10 − 10x = 60 − 5x + 5 2x − 14 = 65 − 5x 7x = 79 79 x= 7 3x − 1 3x − 2 x − + = x −1 ⋅6 3 6 2 2(3x − 1) − (3x − 2 ) + 3x = 6x − 6 6x − 2 − 3x + 2 + 3x = 6x − 6 6x − 6x = −6 0 = −6
rovnice nemá řešení
19
IGMEN
7. Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Rovnice s parametrem obsahuje kromě neznámých další proměnné, kterým se říká parametry. Je to zápis množiny všech rovnic, které lze získat dosazením všech hodnot, jichž mohou parametry nabývat. Řešení rovnic s parametry spočívá v určení jejich kořenů v závislosti na přípustných hodnotách parametrů. Při řešení lineární rovnice s parametrem se rovnice postupně upravuje v závislosti na hodnotách parametru. Př.:
c
x … neznámá; p … parametr
p 3 x − 1 = px + p p 3 x − px = p + 1
p(p + 1)(p − 1)x = p + 1 p=0 p≠0
0x = 1 (p + 1)(p − 1)x = p + 1 p P1 = o/ p = −1 p ≠ −1 0x = 0 (p − 1)x = 1 p P2 = R p =1 p ≠1 1 0x = 1 x= p(p − 1) P3 = o/ 1 P4 = p(p − 1)
20
IGMEN
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Př.:
c
x+3 = 6 nulový bod:
x+3
x +3= 0 x 0 = −3
(− ∞;−3
3; ∞ )
(− x − 3)
(x + 3)
−x −3= 6 −9 = x
x+3= 6 x=3
P1 = {− 9}
P2 = 3
P = P1 U P2 = {− 9;3}
d
x − 7 + 4x = 2x − 5
x −7 = 0 nulové body: x0 = 7
x−7 2x − 5
2x − 5 = 0 x0 =
5 2
5 − ∞; 2 −x+7
5 ;7 2
7; ∞ )
−x+7
x−7
− 2x + 5
2x − 5
2x − 5
− x + 7 + 4x = −2x + 5
− x + 7 + 4x = 2x − 5 3x + 7 = 2x − 5 x = −12 P2 = {− 12}
x − 7 + 4x = 2x − 5 5x − 7 = 2x − 5 3x = 2 2 x= 3 2 P3 = 3
3x + 7 = −2x + 5 5x = −2 2 x=− 5 2 P1 = − 5
2 2 P = P1 U P2 U P3 = − 12;− ; 5 3
21
IGMEN
8. Soustava lineárních rovnic 2 ROVNICE O 2 NEZNÁMÝCH Metody řešení: 1) sčítací 2) dosazovací 3) srovnávací (komparační) 4) grafická Př.:
3x + 2y = 8 x − 5y = −3 1)
3x + 2y = 8 x − 5y = −3 3x + 2y = 8 − 3x + 15y = 9 17y = 17 y =1 x − 5y = −3 x − 5 ⋅ 1 = −3 x=2
4)
2)
⋅ (− 3)
3x + 2y = 8 x − 5y = −3 → x = 5y − 3 3(5y − 3) + 2y = 8 15y − 9 + 2y = 8 17y = 17 y =1 x − 5y = −3 x − 5 ⋅ 1 = −3
3)
3x + 2y = 8 x − 5y = −3 2y = −3x + 8 5y = x + 3 3 y=− x+4 2 1 3 y= x+ 5 5 y=y 3 1 3 x+4= x+ 2 5 5 3 1 3 4− = x+ x 5 5 2 20 3 2x + 15x − = 5 5 10 17 17 = x 5 10 17 5 =x 17 10 17 10 ⋅ =x 5 17 2=x
x=2
−
3x + 2y = 8 x − 5y = −3 2y = −3x + 8 5y = x + 3 3 y=− x+4 2 1 3 y= x+ 5 5
x − 5y = −3 2 − 5y = −3 5 = 5y 1= y
22
IGMEN
FROBENIOVA VĚTA A … matice soustavy A … rozšířená matice soustavy Př.:
x1 + 3x 2 − 5x 3 + 4x 4 = 3 2x1 − 4x 3 + 2x 4 = 1 3x1 + 2x 2 − x 3 = 2 1 A = 2 3 1 A = 2 3
3 − 5 4 0 − 4 2 2 − 1 0 3 − 5 4 3 0 − 4 2 1 2 − 1 0 2 soustava lineárních rovnic (m rovnic o n neznámých)
homogenní
nehomogenní
pravé strany všech rovnic soustavy jsou rovny 0
alespoň jedna rovnice soustavy nemá pravou stranu rovnu 0
Př.:
x − y + z =1 3x + y = 2
x + y − 3z = 0 −x+z=0 3x + 2y − z = 0
4x − y + z = 0
soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, jestliže hodnost matice rozšířené se rovná hodnosti matice soustavy
( )
h (A ) = h A
( )
( )
h (A ) = h A = n
h (A ) = h A = n soustava má jediné řešení (Cramerova metoda)
soustava má jediné řešení (triviální)
( )
( )
h (A ) = h A < n
h (A ) = h A < n
soustava má nekonečně mnoho řešení
soustava má nekonečně mnoho řešení
23
IGMEN
Př.:
c
x+y+z =5 3x − 2y + z = 3 4x − y + 2z = 10 1 1 1 A = 3 - 2 1 4 - 1 2 1 1 1 A = 3 − 2 1 4 − 1 2 1 1 1 A = 0 − 5 - 2 0 − 5 - 2
5 ⋅ (− 3) 3 ↵ 10
x + 2y + 5z = 0 3x + 4y + 7z = 0 5x + 6 + 9z = 0 1 2 5 A = 3 4 7 5 6 9
⋅ (- 4)
1 2 5 0 ⋅ (− 3) ⋅ (- 5) A = 3 4 7 0 ↵ 5 6 9 0 ↵ 5 0 1 2 A = 0 − 2 - 8 0 ⋅ (− 2) 0 − 4 - 16 0 ↵
↵
5 - 12 ⋅ (− 1) - 10 ↵
1 5 1 1 A = 0 − 5 - 5 - 12 0 0 0 2
5 0 1 2 A = 0 − 2 - 8 0 0 0 0 0
h (A ) = 2
h (A ) = 2
h A =3
hA =2
( )
e
2)
( )
( )
( )
h (A ) ≠ h A
h (A ) = h A < n
nehomogenní soustava nemá řešení
homogenní soustava má nekonečně mnoho řešení
2x 1 + x 2 − x 3 = 4 3x 1 + x 2 + x 3 = 1 − x 1 + 2x 2 − x 3 = 3 h (A ) = 3
( )
h A =3
( )
h (A ) = h A = n nehomogenní soustava má 1 řešení
2 A = 3 - 1 2 A = 3 - 1
1 - 1 1 1 2 - 1
1 - 1 4 ⋅ (− 3) 1 1 1 ⋅ 2 ↵ ↵ 2 - 1 3 ⋅ 2
2 1 - 1 4 A = 0 - 1 5 - 10 ⋅ 5 0 5 - 3 10 ↵ 2 1 - 1 4 A = 0 - 1 5 - 10 0 0 22 - 40
24
IGMEN
CRAMEROVA METODA Používá se pouze v případě n rovnic o n neznámých. A … matice soustavy D … determinant matice soustavy
D = detA = A A = 0 … soustava nemá řešení A ≠ 0 … soustava má právě jedno řešení x = [x1 ; x 2 ; x 3 ;K x n ] , kde:
Di D i ∈ {1;2;3;K n} xi =
D D D D x1 = 1 ; x 2 = 2 ; x 3 = 3 ;K x n = n D D D D D i … determinant, který vznikne z determinantu soustavy nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy. Př.: viz. 3 rovnice o 3 neznámých
25
IGMEN
3 ROVNICE O 3 NEZNÁMÝCH Metody řešení: 1) dosazovací 2) sčítací 3) Cramerova 4) Gaussova eliminační Př.:
2x + 3y − z = 5 3x − 2y + 2z = 5 4x − y + 3z = 11 1)
2x + 3y − z = 5 → z = 2x + 3y - 5 3x − 2y + 2z = 5
2)
4x − y + 3z = 11 3x − 2y + 2(2x + 3y − 5) = 5 4x − y + 3(2x + 3y − 5) = 11
⋅2
⋅3
3x − 2y + 2z = 5 ↵ 4x − y + 3z = 11
↵
7x + 4y = 15
⋅ (- 2)
10x + 8y = 26
3x − 2y + 4x + 6y − 10 = 5 4x − y + 6x + 9y − 15 = 11 7x + 4y = 15
2x + 3y − z = 5
− 14x − 8y = −30 10x + 8y = 26
⋅ (- 2 )
− 4x = −4 x =1
10x + 8y = 26 − 14x − 8y = −30 10x + 8y = 26
7x + 4y = 15
− 4x = −4
7 ⋅ 1 + 4y = 15 4y = 8 y=2
x =1 7x + 4y = 15 7 ⋅ 1 + 4y = 15
2x + 3y − z = 5 z = 2x + 3y - 5 z = 2 ⋅1 + 3 ⋅ 2 - 5 z=3
4y = 8 y=2 2x + 3y − z = 5 z = 2x + 3y - 5 z = 2 ⋅1 + 3 ⋅ 2 - 5 z=3
26
IGMEN
3)
2 3 − 1 D = 3 − 2 2 = −12 + 24 + 3 − 8 + 4 − 27 = −16 4 − 1 3 5 3 − 1 D1 = 5 − 2 2 = −30 + 66 + 5 − 22 − 45 + 10 = −16 11 − 1 3 2 5 D 2 = 3 5 4 11 2 3 D 3 = 3 − 2 4 − 1
4)
− 1 2 = 30 + 40 − 33 + 20 − 45 − 44 = −32 3 5 5 = −44 + 60 − 15 + 40 − 99 + 10 = −48 11
x=
D − 16 = =1 D1 − 16
y=
D − 16 = =2 D 2 − 32
z=
D − 48 = =3 D 3 − 16
2 3 − 1 5 ⋅ (− 3) ⋅ (- 2 ) 3 − 2 2 5 ⋅ 2 ↵ 4 − 1 3 11 ↵ 2 3 − 1 5 0 − 13 7 − 5 ⋅ (− 7 ) 1 ⋅ 13 ↵ 0 − 7 5 2 3 − 1 5 0 − 13 7 − 5 0 0 16 48 2x + 3y − z = 5 − 13y + 7z = −5 16z = 48 → z = 3 2x + 3y − 3 = 5 − 13y + 7 ⋅ 3 = −5 2x + 3y = 8 − 13y = −26 → y = 2 2x + 3 ⋅ 2 = 8 2x = 2 x =1 27
IGMEN
9. Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé LINEÁRNÍ NEROVNICE Lineární nerovnice je každá nerovnice ve tvaru: • ax + b ≥ 0 • ax + b ≤ 0 • ax + b > 0 • ax + b < 0 Ekvivalentní úpravy: • přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám nerovnice • vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem (záporný výraz obrací znaménko nerovnosti) Řešení lineárních nerovnic – interval Př.:
c
4u − 3 4u − 9 3u − 4 + ≤ ⋅ 30 5 6 2 6(4u − 3) + 5(4u − 9) ≤ 15(3u − 4)
d
24u − 18 + 20u − 45 ≤ 45u − 60 44u − 63 ≤ 45u − 60 −3≤ u
⋅12
6(2x − 1) − 4(3x − 3) ≥
12 4
12x − 6 − 12x + 12 ≥ 3 6≥3 3≥0
P = (− ∞;−3
e
2x − 1 3x − 3 1 − ≥ 2 3 4
P∈R
5x + 2 3x + 4 x + 3 − > ⋅14 7 14 2 2(5x + 2 ) − (3x + 4) > 7(x + 3) 10x + 4 − 3x − 4 > 7x + 21 7x > 7x + 21 0 > 21 nemá řešení
28
IGMEN
Lineární nerovnice v součinovém tvaru: Př.:
c
(3x + 2)(4 − 5x ) ≤ 0 3x + 2 ≥ 0 4 − 5x ≤ 0 3x ≥ −2 4 ≤ 5x 2 x≥− 3 4 ≤x 5 4 P1 = ; ∞ 5
d
2x + 7 ≥ 0 x +3> 0 2x ≥ −7 x > −3 7 x≥− 2 x > −3
3x + 2 ≤ 0 4 − 5x ≥ 0 3x ≤ −2 4 ≥ 5x 2 x≤− 3 4 ≥x 5
P1 = (− 3; ∞ )
2 P2 = − ∞;− 3
2x + 7 ≤ 0 x+3< 0 2x ≤ −7 x < −3 7 2 x < −3 x≤−
7 P2 = − ∞;2
7 P = P1 U P2 = − ∞;- U (− 3; ∞ ) 2
2 4 P = P1 U P2 = − ∞;− U ; ∞ 3 5
e
2x + 7 ≥0 x+3
2x + 2 <3 x −1 2x + 2 −3< 0 x −1 2x + 2 − 3(x − 1) <0 x −1 2x + 2 − 3x + 3 2x + 2 − 3x + 3 <0 <0 x −1 x −1 5− x <0 x −1 5− x < 0 x −1 > 0 5< x x >1 P1 = (5; ∞ )
5− x > 0 x −1 < 0 5>x x <1 P2 = (− ∞;1)
P = P1 U P2 = (− ∞;1) U (5; ∞ )
29
IGMEN
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou: Př.:
c
5−x < 7 nulový bod:
5−x
5−x = 0 5 = x0
(− ∞;5
5; ∞ )
5−x 5− x < 7
x −5 x −5< 7
−2< x
x < 12
P1 = (− 2;5
P2 = 5;12 )
P = P1 U P2 = (− 2;12 )
d
x + 2 − x ≥ 3- x −3 x+2=0
nulové body:
x 0 = -2
x −3= 0 x0 = 3
(− ∞;−2
− 2;3
3; ∞ )
x+2
−x-2
x+2
x+2
x −3
3− x − x − 2− x ≥ 3−3+ x
3− x x + 2− x ≥ 3−3+ x
x −3 x + 2− x ≥ 3− x +3
− 2x − 2 ≥ x − 2 ≥ 3x 2 − ≥x 3 P1 = (− ∞;−2
2≥x
2≥ 6−x x≥4
P2 = − 2;2
P3 = 4; ∞ )
P = P1 U P2 U P3 = (− ∞;2 U 4; ∞ )
30
IGMEN
SOUSTAVA LINEÁRNÍCH NEROVNIC O JEDNÉ NEZNÁMÉ Př.:
c
4(x + 1) − 6(x − 2 ) > 5(x + 1) 3x − 2(x − 1) < 3(x + 2 )
d
4x + 4 − 6x + 12 > 5x + 5 16 − 2x > 5x + 5
2(x − 2 ) − 3(x + 1) ≥ 3x − 1
4(2 − x ) + 2(x − 1) > 5x + 3 7(x − 4 ) − 2x ≥ 3x − 2 2x − 4 − 3x − 3 ≥ 3x − 1
11 > 3x
− x − 7 ≥ 3x − 1 − 6 ≥ 4x 6 − ≥x 4 3 − ≥x 2 3 P1 = − ∞;− 2
11 >x 3 11 P1 = − ∞; 3 3x − 2x + 2 < 3x + 6 x + 2 < 3x + 6 − 4 < 2x
8 − 4x + 2x − 2 > 5x + 3 6 − 2x > 5x + 3 3 > 7x 3 >x 7 3 P2 = − ∞; 7
−2< x
P2 = (− 2; ∞ ) 11 P = P1 I P2 = − 2; 7
e
3x − 2 > 2x + 1 2x + 1 ≥ 7x − 3 x >3
4 ≥ 5x
7x + 28 − 2x ≥ 3x − 2 5x + 28 ≥ 3x − 2 2x ≥ −30 x ≥ −15
4 ≥x 5 4 P2 = − ∞; 5
P = P1 I P2 I P3 = − 15;−
P1 = (3; ∞ )
P3 = − 15; ∞ )
3 2
P = P1 I P2 = o/
31
IGMEN
10. Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant Matice typu (m;n) je množina m ⋅ n čísel uspořádaných do obdelníkového tvaru o m řádcích a n sloupcích.
A (m;n )
a 11 a = 21 M a m1
a 12
a 13
a 22
a 23
M
M
a m2
a m3
L a 1n L a 2n M L a mn
a mn …prvek matice Př.:
− 1 3 2 4 A (3;4 ) = 2 0 5 3 1 − 1 4 7
a 23 = 5 a 34 = 7 a 11 = −1
matice typu (3;4)
TYPY MATIC Nulová matice - každý její prvek je roven nule
0 (m;n )
0 0 0 L 0 0 0 L = M M M 0 0 0 L
0 0 M 0
Čtvercová matice n-tého stupně - má stejný počet řádků i sloupců
a 11 a 12 L a1n a a 22 L a 2n A ( n ) = 21 M M M a n1 a n2 L a nn Diagonální matice - čtvercová matice, která má, kromě diagonály ( a n ), všechny prvky nulové.
a 11 0 L 0 0 a L 0 22 A (n ) = M M M 0 L a nn 0
32
IGMEN
Jednotková matice - diagonální matice, kde všechny prvky diagonály jsou rovny 1.
1 0 L 0 0 1 L 0 E (n ) = M M M 0 0 L 1 Transportovaná matice k matici A(m;n) - je matice AT typu (m;n) ⇔ mění se řádky za sloupce a naopak. Př.:
3 2 − 1 2 2 − 1 3 4 T A= ⇒A =3 1 3 2 1 − 5 4 − 5
OPERACE S MATICEMI Rovnost matic:
[ ]
[ ]
Matice A ( m,n ) = a ij , B(m,n ) = b ij jsou si rovny, jestliže aij = bij. Př.:
1 3 1 3 ,B= A=B⇔A= 5 2 5 2 Sčítání a odčítání matic:
A ± B = C ⇔ a ij ± b ij = c ij Př.:
3 − 1 − 1 A = 1 5 , B = 2 2 8 3 3 + (- 1) C = A + B = 1 + 2 2 + 3
3 − (- 1) C = A − B = 1 − 2 2 − 3
1 − 3 4
(− 1) + 1 3 - 1 5 + (- 3) = 1 + 2
1 - 1 2 0 5 - 3 = 3 2 8 + 4 2 + 3 8 + 4 1 12 (− 1) − 1 3 + 1 - 1 - 1 4 - 2 5 − (- 3) = 1 − 2 5 + 3 = - 1 8 8 − 4 2 − 3 8 − 4 - 1 4
33
IGMEN
Násobení matic konstantou: Matice se násobí číslem k ∈ R tak, že se tímto číslem vynásobí každý člen matice. Př.:
2 5 3 k = 2; A = − 1 − 2 1 2⋅2 2 ⋅ 5 6 4 10 2⋅3 k⋅A = = 2 ⋅ (− 1) 2 ⋅ (− 2 ) 2 ⋅ 1 − 2 − 4 2 Násobení matice maticí: Matici A ( m;n ) můžeme násobit pouze maticí B( n;p ) , tj. matice B má tolik řádků, kolik má matice A sloupců. Součinem takových dvou matic A ⋅ B je matice C ( m;p ) . Př.:
4 1 0 3 - 1 2 A= ; B = 2 2 5 2 3 - 2 2 - 1 4 c12 c13 c C = A ⋅ B = 11 c 21 c 22 c 23 c11 = (3;−1;2 ) ⋅ (4;2;2 ) = 3 ⋅ 4 + (− 1) ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 12 − 2 + 4 = 14
c12 = (3;−1;2 ) ⋅ (1;2;−1) = 3 ⋅ 1 + (− 1) ⋅ 2 + 2 ⋅ (− 1) = 3 − 2 − 2 = −1
c13 = (3;−1;2 ) ⋅ (0;5;4 ) = 3 ⋅ 0 + (− 1) ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 = 0 − 5 + 8 = 3
c 21 = (2;3;−2 ) ⋅ (4;2;2 ) = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ 2 = 8 + 6 − 4 = 10
c 22 = (2;3;−2 ) ⋅ (1;2;−1) = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ (− 1) = 2 + 6 + 2 = 10 c 23 = (2;3;−2 ) ⋅ (0;5;4 ) = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 5 + (− 2 ) ⋅ 4 = 0 + 15 − 8 = 7
14 − 1 3 C= 10 10 7 Násobení matic není obecně komutativní - A ⋅ B ≠ B ⋅ A
HODNOST MATICE Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně závislých řádků matice A:
A ( m;n )
h (A ) ≤ m
.
Lineárně závislé řádky - jeden řádek je násobkem druhého.
34
IGMEN
Hodnost matice se nezmění, při: • záměně pořadí řádků • násobení řádku číslem různým od nuly • přičtení nebo odečtení řádku k jinému řádku • přidání nebo vynechání řádku, který je násobkem řádku jiného Regulární a singulární matice: Čtvercová matice An se nazývá regulární, jestliže hodnost n-té matice je rovna m, jinak se nazývá singulární. Trojúhelníkový tvar matice: Říkáme, že matice má trojúhelníkový tvar, jestliže každý její nenulový řádek začíná větším počtem nul, než řádek předcházející. Má-li matice trojúhelníkový tvar, pak počet jejich nenulových řádků je roven hodnosti matice. Př.:
c
2 3 4 5 A = 0 1 2 3 0 0 3 1 h (A ) = 1
d
1 A = 2 3 1 A = 0 0
3 − 2 4 ⋅ (− 2) ⋅ (− 3) 1 − 1 5 ↵ + 1 2 − 1 ↵+ 3 −2 4 ⋅8 −5 3 − 3 − 8 8 − 13 ⋅ (− 3) ↵ +
1 3 − 2 4 A = 0 − 5 3 − 3 0 0 − 16 41 h (A ) = 1
35
IGMEN
DETERMINANTY a 11 a 12 L a1n a a 22 L a 2n 21 Nechť je dána čtvercová matice A ( n ) = M M M a n1 a n2 L a nn Determinantem řádu n matice A nazýváme číslo D a značíme D = detA = A , které definujeme takto: •
je-li n = 1 pak D = a 11
• • •
je-li n = 2 pak D = a 11 ⋅ a 22 − a 12 ⋅ a 21 je-li n = 3 pak se D vypočítá Sarrusovým pravidlem je-li n = 4 pak se D vypočítá pomocí rozvoje podle libovolného řádku či sloupce
Determinanty 1. řádu: Př.:
− 5 = −5 Determinanty 2. řádu: Př.:
c
1 2 = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = 4 − 6 = −2 3 4
d
5 2 = 5 ⋅1 − 2 ⋅ 0 = 5 − 0 = 5 0 1
e
a a
−1 = a ⋅ a − (− 1) ⋅ a = a + a = 2a a
Determinanty 3. řádu:
a 11
a 12
a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 − a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 − a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33 − a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 = D a 33
Př.:
1 2 3 4 5 6 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + 1 ⋅ 6 ⋅ 8 + 3 ⋅ 4 ⋅ 8 + 2 ⋅ 4 ⋅ 8 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 = 6 + 105 + 48 + 96 + 64 + 84 = 403 7 8 9
36
IGMEN
Determinanty 4. řádu: • hodnota determinantu se nezmění zaměněním řádků za sloupce • jestliže v determinantu jeden řádek tvoří samé nuly, rovná se determinant nule • jestliže se v determinantu zamění dva řádky, determinant změní znaménka • jestliže má determinant dva řádky stejné, rovná se determinant nule • je-li některý řádek determinantu násobkem řádku jiného, rovná se determinant nule • násobí-li se některý řádek determinantu D reálným číslem různým od nuly, vznikne determinant D‘, pro který platí D‘ = -D • přičte-li se k některému řádku determinantu násobek jiného řádku, determinant se nezmění Př.:
1
1
2 −1 D= −1 2 2 2
− 2 −1 1 1 0
2 −1 1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 = +(− 2 ) ⋅ − 1 2 1 − (1) ⋅ − 1 2 1 + (1) ⋅ 2 − 1 1 − (0 ) ⋅ 2 − 1 1 = 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 −1 2 1 1
= (− 2 ) ⋅ (4 − 2 − 2 − 4 − 4 − 1) − (2 + 2 + 2 + 4 − 2 + 1) + (− 1 + 2 − 4 − 2 − 2 − 2) − 0 = = (− 2 ) ⋅ (− 9 ) − 9 + 9 = 18 − 18 = 0
37
IGMEN
11. Kvadratické funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce ve tvaru y = ax 2 + bx + c; a, b, c, x ∈ R; a ≠ 0 . ax2 + bx + c...........kvadratický trojčlen ax2 .........................kvadratický člen bx ..........................lineární člen c ............................absolutní člen Graf kvadratické funkce – parabola.
b b2 V = − ; c − 4a 2a 2 Průsečíky paraboly s osou x: ax + bx + c = 0
Vrchol paraboly:
Vlastnosti funkce: y = x2.......... základní parabola a > 0 ........... parabola otevřená nahoru a < 0 ........... parabola otevřená dolů c ................. průsečík paraboly s osou y Př.:
c
d
y = x2
y = −x 2 + 2
V = [0;0]
V = [0;2]
− b ± b 2 − 4ac 0 ± 0 − 4 ⋅1 ⋅ 0 = = 2a 2 ⋅1 0± 0 = =0 2
− b ± b 2 − 4ac 0 ± 0 + 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = = 2a 2 ⋅1 0± 8 2 = = 2 − 2
x1,2 =
x 1,2 =
38
IGMEN
Rovnice tvaru y = (x + r ) + p : 2
Vlastnosti funkce: Posun vrcholu paraboly ve směru osy y: p > 0........... nahoru p < 0........... dolů Posun vrcholu paraboly ve směru osy x: r > 0............ doleva r < 0............ doprava Př.:
y = -x 2 − 6x − 8
(
)
y = -x 2 − 6x − 8 = − x 2 + 6x + 8 =
(
)
(
)
= − x 2 + 6x + 9 − 9 − 8 = − x 2 + 6x + 9 + 9 − 8 = = −(x + 3) + 1 2
V = [− 3;1]
39
IGMEN
12. Kvadratické rovnice – metody řešení Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar: ax 2 + bx + c = 0; a ≠ 0; a, b, c ∈ R ax2 + bx + c...........kvadratický trojčlen ax2 .........................kvadratický člen bx ..........................lineární člen c ............................absolutní člen Neúplné kvadratické rovnice: Ryze kvadratická rovnice
b=0
Řešení:
ax 2 + c = 0
ax 2 + c = 0 ax 2 = −c c x2 = − a x=± −
c a
Př.:
c
d
4x 2 − 25 = 0 4x 2 = 25 25 x2 = 4 25 x=± 4 5 x=± 2
4 ⋅ (x − 2 ) x−2 (3 + x )(x − 2) = 1(x − 2) + 4(x − 2) (x − 2)
3 + x = 1+
3x − 6 + x 2 − 2x = x − 2 + 4 x2 + x − 6 = x + 2 x2 + x − 6 − x − 2 = 0 x2 − 8 = 0 x2 = 8 x=± 8 x = ±2 2
40
IGMEN
Kvadratická rovnice bez absolutního členu Řešení: c=0
ax 2 + bx = 0 x (ax + b ) = 0 x1 = 0 ax 2 + b = 0
ax 2 + bx = 0
ax 2 = − b x2 = −
b a
Př.:
c
4x 2 − 9x = 0 x (4x − 9) = 0 x1 = 0 4x 2 − 9 = 0 4x 2 = 9 x2 =
9 4
d
3x + 5 4x − 5 = ⋅ (4x - 3)(3x + 3) 4x − 3 3x + 3 (3x + 5)(4x - 3)(3x + 3) = (4x − 5)(4x - 3)(3x + 3) 4x − 3 3x + 3 (3x + 5)(3x + 3) = (4x − 5)(4x - 3) 9x 2 + 9x + 15x + 15 = 16x 2 − 12x − 20x + 15 9x 2 + 24x + 15 = 16x 2 − 32x + 15 9x 2 + 24x + 15 − 16x 2 + 32x − 15 = 0 − 7x 2 + 56x = 0 ⋅ (- 1) 7x 2 − 56x = 0 x (7x − 56 ) = 0 x 1 = 0 7x 2 − 56 = 0 7x 2 = 56 56 7 x2 = 8
x2 =
Podmínky pro zlomky:
4 x − 3 ≠ 0 3x + 3 ≠ 0 4x ≠ 3 3 x≠ 4
3x ≠ −3 x ≠ −1
41
IGMEN
Úplná kvadratická rovnice:
a, b, c ≠ 0 ax 2 + bx + c = 0 Metody řešení: 1) ax 2 + bx + c = 0
x1,2 =
− b ± b 2 − 4ac − b ± D = 2a 2a
D = b 2 − 4ac ...... diskriminant D>0 D=0 D<0 2)
2 řešení (kořeny) 1 řešení (dvojnásobný kořen) 2 řešení (komplexně sdružená čísla)
x 2 + px + q = 0 ...... normalizovaný tvar (a = 1) x1 ⋅ x 2 = q x 1 + x 2 = −p Rovnice nemá normalizovaný tvar:
ax 2 + bx + c = 0 : a x2 +
b c x+ =0 a a
x1 ⋅ x 2 =
c a
x1 + x 2 = −
3)
b a
grafická metoda:
ax 2 + bx + c = 0 ax 2 = − bx − c y = ax 2 y = −bx − c
42
IGMEN
Př.:
2x 2 + 3x + 1 = 0 1)
2x 2 + 3x + 1 = 0 x 1,2
2)
− 3 ± 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 − 3 ± 9 − 8 − 3 ± 1 − 3 ± 1 = = = = = 2⋅2 4 4 4
4 − 3 −1 = − = −1 4 4 2 1 − 3 +1 =− =− 4 4 2
2x 2 + 3x + 1 = 0 : 2 x2 +
3 1 x+ =0 2 2
1 2 1 1 = − ⋅ − = (− 1) ⋅ − 2 2 2 2 3 − 2 −1 2 1 1 x1 + x 2 = − = = − + − = (− 1) + − 2 2 2 2 2 x1 ⋅ x 2 =
3)
2x 2 + 3x + 1 = 0 2x 2 = −3x − 1 y = 2x 2 y = −3x − 1 x1 = −1 x2 = −
1 2
43
IGMEN
KVADRATICKÁ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Př.:
x 2 + 2x − 1 − x − 1 = 0 nulové body:
x 02 + 2x 0 − 1 = 0 x 0 1,2
(
)
− 2 ± 2 2 − 4 ⋅1 ⋅ (− 1) − 2 ± 4 + 4 − 2 ± 8 − 2 ± 2 2 2 − 1 ± 2 = = = = = = −1 ± 2 = 2 ⋅1 2 2 2 2
(− ∞;−1 −
−1− 2 −1+ 2
)
− 1 − 2 ;−1 + 2
− 1 + 2; ∞
x 2 + 2x − 1
− x 2 − 2x + 1
x 2 + 2x − 1
x 2 + 2x − 1 − x − 1 = 0
− x 2 − 2x + 1 − x − 1 = 0
x 2 + 2x − 1 − x − 1 = 0
x 2 + 2x − 1
2
x2 + x − 2 = 0 −1± 1+ 8 = 2 −1± 9 −1± 3 = = = 2 2 −1+ 3 =1 2 = −1− 3 = −2 2
− x 2 − 3x = 0 x (− x − 3) = 0
x 1,2 =
vyhovující kořeny (podle intervalů)
x1 = 0 − x 2 − 3 = 0 − 3 = x2
P2 = {0}
P1 = o/
x2 + x − 2 = 0 −1± 1+ 8 = 2 −1± 9 −1± 3 = = = 2 2 −1+ 3 =1 2 = −1− 3 = −2 2 x 1,2 =
P3 = {1}
P = P1 U P2 U P3 = {0;1;}
44
IGMEN
13. Kvadratické nerovnice Metody řešení: 1) početně 2) graficky Př.:
x 2 − 2x − 15 ≥ 0 1)
(x − 5)(x + 3) ≥ 0
x 2 − 2x − 15 ≥ 0 x 1 ⋅ x 2 = −15 = 3 ⋅ (− 5) x1 + x 2 = 2 = 3 − 5
x 2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3)
x −5≥ 0 x+3≥ 0 x≥5 x ≥ −3
x −5≤ 0 x+3≤ 0 x≤5 x ≤ −3
P1 = − 5; ∞ ) P2 = (− ∞;−3
P = P1 U P2 = (− ∞;−3 U − 5; ∞ ) 2)
x 2 − 2x − 15 ≥ 0
x1,2
2 ± 4 + 60 2 ± 64 2 ± 8 = = = = 2 2 2
a > 0............ parabola otevřená nahoru
2+8 =5 2 2 −8 = −3 2
P = P1 U P2 = (− ∞;−3 U − 5; ∞ )
45
IGMEN
KVADRATICKÉ NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Př.:
x 2 − 2x − 3 < x + 1 nulové body:
x 02 − 2x 0 − 3 = 0 x 0 1,2 =
2±
(- 2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 3) 2 ⋅1
2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4 = = = = 2 2 2
2+4 =3 2 2−4 = −1 2
(− ∞;−1
− 1;3
3; ∞ )
x 2 − 2x − 3
- x 2 + 2x + 3
x 2 − 2x − 3
x 2 − 2x − 3 < x + 1
− x 2 + 2x + 3 < x + 1
x 2 − 2x − 3 < x + 1
x 2 − 2x − x − 3 − 1 < 0
− x 2 + 2x − x + 3 − 1 < 0
x 2 − 2x − x − 3 − 1 < 0
x 2 − 3x − 4 < 0
− x 2 + x + 2 < 0 ⋅ (− 1)
x 2 − 3x − 4 < 0
x 2 − 2x − 3
x2 − x − 2 > 0 3 ± 9 + 16 = 2 3 ± 25 3 ± 5 = = = 2 2 3+5 =4 2 = 3−5 = −1 2 x1,2 =
vyhovující kořeny (podle intervalů)
P1 = (− ∞;−1 I (− 1; ∞ ) = o/
1± 1+ 8 = 2 1± 9 1± 3 = = = 2 2 1+ 3 =2 2 = 1− 3 = −1 2 x1,2 =
P2 = − 1;3 I
I ((− ∞;−1) U (2; ∞ )) = (2;3
3 ± 9 + 16 = 2 3 ± 25 3 ± 5 = = = 2 2 3+5 =4 2 = 3−5 = −1 2 x1,2 =
P3 = 3; ∞ ) I (− 1;4 ) = 3;4 )
P = P1 U P2 U P3 = (2;4)
46
IGMEN
14. Iracionální rovnice Rovnice s neznámou pod odmocninou. Postup řešení: 1. podmínky 2. řešení (zbavení se odmocniny) 3. zkouška Př.:
2(x − 3) = 3 − x
c
podmínky:
2(x − 3) ≥ 0 2x − 6 ≥ 0 2x ≥ 6 x≥3
řešení:
2(x − 3) = 3 − x
(
2
)
2(x − 3) = (3 − x ) 2
2
2(x − 3) = 9 − 6x + x 2 2x − 6 = 9 − 6x + x 2
0 = x 2 − 8x + 15 x1,2 =
8 ± 8 − 4 ⋅1 ⋅15 8 ± 64 − 60 8 ± 4 8 ± 2 = = = = 2 ⋅1 2 2 2 2
Oba výsledky vyhovují podmínce. zkouška:
2(x − 3) = 3 − x
2(x − 3) = 3 − x
2(3 − 3) = 3 − 3
2(5 − 3) = 3 − 5
0=0
8+ 2 =5 2 8−2 =3 2
4 = −2 2 ≠ −2
Zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek.
P = {3}
47
IGMEN
d
2x + 5 + x − 1 = 8 podmínky:
2x + 5 ≥ 0 x − 1 ≥ 0 2x ≥ -5 5 x≥2
x ≥1
řešení:
2x + 5 + x − 1 = 8
2
2x + 5 + 2 (2x + 5)(x − 1) + x − 1 = 64 3x + 4 + 2 (2x + 5)(x − 1) = 64 2 (2x + 5)(x − 1) = 60 − 3x
2
4(2x + 5)(x − 1) = 3600 − 360x + 9x 2
( 4(2x
)
4 2x 2 − 2x + 5x − 5 = 3600 − 360x + 9x 2 2
)
+ 3x − 5 = 3600 − 360x + 9x 2
8x 2 + 12x − 20 = 3600 − 360x + 9x 2 0 = 9x 2 − 8x 2 − 360x − 12x + 3600 + 20 0 = x 2 − 372x + 3620 372 ± 372 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3620 372 ± 138384 − 14480 372 ± 123904 372 ± 352 = = = = 2 ⋅1 2 2 2 372 + 352 = 362 2 372 − 352 = 10 2
x 1,2 = =
Oba výsledky vyhovují podmínce. zkouška:
2x + 5 + x − 1 = 8
2x + 5 + x − 1 = 8
2 ⋅ 362 + 5 + 362 − 1 = 8
2 ⋅10 + 5 + 10 − 1 = 8
724 + 5 + 361 = 8
20 + 5 + 9 = 8
729 + 19 = 8
25 + 3 = 8
27 + 19 = 8
5+3 =8
46 ≠ 8
8=8
Zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek.
P = {10}
48
IGMEN
e
4x 2 − 8x + 5 = 2x + 1 řešení:
4x 2 − 8x + 5 = 2x + 1
2
4x 2 − 8x + 5 = 4x 2 + 4x + 1 4x 2 − 4x 2 − 4x − 1 = 8x + 5 − 4x − 1 = 8x + 5
2
16x 2 + 8x + 1 = 8x + 5 16x 2 + 8x − 8x + 1 − 5 = 0 16x 2 − 4 = 0 16x 2 = 4 4 x2 = 16 4 x=± 16 2 x=± 4 1 x=± 2 zkouška:
4x 2 − 8x + 5 = 2x + 1
4x 2 − 8x + 5 = 2x + 1 2
2
1 1 1 4 ⋅ − − 8⋅ − + 5 = 2 ⋅ − +1 2 2 2
1 1 1 4 ⋅ − 8⋅ + 5 = 2 ⋅ +1 2 2 2
2 1 8 4 ⋅ − − + 5 = − +1 2 4 2
1 8 2 + 5 = +1 4⋅ − 4 2 2
4 − − 4 + 5 = −1 + 1 4
4 − 4 + 5 = 1+1 4
1− 1 = 0
1− 9 = 2
1−1 = 0
1− 3 = 2
0 =0 0=0
−2 = 2 NŘ
Zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek.
1 P = - 2
49
IGMEN
15. Shodná zobrazení – konstrukční úlohy Shodné zobrazení (shodnost) v rovině je každé zobrazení v rovině, které má tu vlastnost, že pro libovolné body A,B této roviny a jejich obrazy A′, B′ platí, že: AB = A′B′ . Samodružný bod – bod, který se zobrazí sám na sebe ( A = A′ ). Samodružný útvar – každý útvar, jehož obraz v daném zobrazení je týž útvar. Př.:
Klasifikace shodnosti: Identita Středová souměrnost
Zobrazení, ve kterém se každý bod zobrazí sám na sebe. Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X se pomocí daného bodu S (střed), ležícího v této rovině zobrazí na svůj obraz X’ takto: 1. X = S ⇒ X = S = X′ 2. X ≠ S ⇒ X je koncový bod úsečky XX’, kde bod S je jejím středem
50
IGMEN
Osová souměrnost
Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X je pomocí dané přímky o (osa) ležící v této rovině zobrazen na svůj obraz X’ takto: 1. X ∈ o → X = X′ 2. X ∉ o → X′ je koncový bod úsečky XX’, jejíž osou je přímka o
Posunutí (translace)
Je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému X přiřadí X’ takové, že orientované úsečky XX’ a AB mají stejnou délku i směr (jsou souhlasně orientovány).
Otočení (rotace)
Otočení je shodné zobrazení, které přiřazuje každému bodu X ≠ S bod X’ takový, že velikost XS = X′S a orientovaný úhel XSX’ má velikost ϕ.
51
IGMEN
SHODNOST TROJÚHELNÍKU ∆ABC ≅ ∆A′B′C′ věta sss
věta sus
věta usu
věta Ssu
AB = A ′B′
AB = A ′B′
AB = A′B′
AC = A′C′
BC = B′C′
AC = A ′C′
BC = B′C′
AC = A ′C′
∠BAC ≅ ∠B′A ′C′
∠BAC ≅ ∠B′A′C′ ∠ABC ≅ ∠A′B′C′
BC > AC ∠BAC ≅ ∠B′A′C′
Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují věta sss ve všech třech stranách
věta sus ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném
věta usu ve straně a v úhlech k ní přilehlých
věta Ssu ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich
Konstrukční úlohy: 1. rozbor 2. popis konstrukce 3. konstrukce
52
IGMEN
16. Podobná zobrazení – konstrukční úlohy Podobností nazýváme každé zobrazení v rovině takové, že existuje reálné číslo k > 0 tak, že pro libovolné body A,B dané roviny a jejich obrazy A′, B′ platí:
A ′B′ = k ⋅ AB . k ............ poměr podobnosti k = 1 ..... shodné zobrazení A ′B′ = AB Dva geometrické útvary jsou podobné právě tehdy, když existuje podobné zobrazení, v němž jeden útvar je obrazem druhého.
PODOBNOST TROJÚHELNÍKU ∆ABC ~ ∆A ′B′C′ věta sss
věta sus
AB = k ⋅ A ′B′
AB = k ⋅ A ′B′
BC = k ⋅ B′C′
AC = k ⋅ A ′C′
AC = k ⋅ A ′C′
∠BAC ≅ ∠B′A ′C′
věta uu
∠BAC ≅ ∠B′A ′C′ ∠ABC ≅ ∠A ′B′C′
Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, když se shodují věta sss ve všech poměrech velikostí sobě odpovídajících stran
věta sus v jednom úhlu a v poměru velikostí sobě odpovídajících stran ležících na jeho ramenech
věta uu ve dvou úhlech
Př.:
c
8 7 cm; b = cm; γ = 55° a trojúhelník A′B′C′ 3 3 7 ′ a = 4cm; b′ = cm; γ′ = 55° . Jsou tyto dva trojúhelníky podobné? 2
Je dán trojúhelník ABC a =
Příklad se řeší podle věty sus.
γ ≅ γ′ 3 12 3 a′ 4 ka = = = 4 ⋅ = = 8 8 2 a 8 3 7 b′ 2 7 3 3 kb = = = ⋅ = b 7 2 7 2 3 ka = kb
Trojúhelníky jsou podobné.
53
IGMEN
d
Je dán trojúhelník ABC (a = 162m; b = 117,5m; c = 180m ) a trojúhelník A′B′C′
(a ′ = 6,5mm; b′ = 4,7mm; c′ = 7,2mm ) . Jsou tyto dva trojúhelníky podobné?
Příklad se řeší podle věty sss.
a ′ 162500 = = 25000 a 6,5 b′ 117500 kb = = = 25000 b 4,7 c′ 180000 kc = = = 25000 c 7,2 ka = kb = kc ka =
Trojúhelníky jsou podobné.
STEJNOLEHLOST Je dán bod S a reálné číslo λ ≠ 0 . Stejnolehlost se středem S a koeficientem λ je zobrazení, které přiřazuje: 1)
2) Př.:
X ≠ S ⇒ X′ tak, že SX′ = λ ⋅ SX λ > 0 ⇒ X′ leží na polopřímce SX λ < 0 ⇒ X′ leží na polopřímce opačné k polopřímce SX S = X ⇒ X′ = X = S
c
H (S; λ = 2 ) : X → X′
d
1 H S; λ = - : AB → A′B′ 2
54
IGMEN
17. Pythagorova a Eukleidovy věty – konstrukční úlohy Platí pouze v pravoúhlém trojúhelníku.
a, b ........odvěsny c............přepona ca, cb ......úseky přepony
EUKLEIDOVA VĚTA O VÝŠCE Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.
vc ca = cb vc v c2 = c a ⋅ c b
55
IGMEN
EUKLEIDOVA VĚTA O ODVĚSNĚ Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.
c b = b cb b2 = c ⋅ cb
c a = a ca a 2 = c ⋅ ca
56
IGMEN
PYTHAGOROVA VĚTA Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.
57
IGMEN
18. Obvody a obsahy rovinných obrazců o ....... obvod S ....... obsah u ....... úhlopříčka Trojúhelník různostranný
o =a+b+c
s=
Or ...... střed kružnice opsané Oρ ...... střed kružnice vepsané
Trojúhelník pravoúhlý
o =a+b+c ab S= 2
o 2
av a bv b cv c = = 2 2 2 S = s(s − a )(s − b )(s − c ) S=
S=
ρ ........ poloměr kružnice vepsané
v.......výška p.......střední příčka r .......poloměr kružnice opsané
ab bc ac ⋅ sinγ = ⋅ sinα = ⋅ sinβ 2 2 2
Trojúhelník rovnoramenný
o = 2a + c
S=
Trojúhelník rovnostranný
cv c 2
o = 3a
58
S=
av a 2 v2 3= = 3 2 4 3
IGMEN
Čtverec
o = 4a
Obdélník
S = a2 =
o = 2(a + b )
u2 2
Kosodélník
Kosočtverec
o = 4a
S = ab
S = av = a 2 ⋅ sinα =
u 1u 2 2 o = 2(a + b )
Lichoběžník
o = a+b+c+d
S = av a = bv b = ab ⋅ sinα
Lichoběžník rovnoramenný
S=
(a + c ) ⋅ v
o = a + 2b + c
2
59
S=
(a + c ) ⋅ v 2
IGMEN
Lichoběžník pravoúhlý
o = a+b+c+d
Různoběžník Deltoid
S=
(a + c ) ⋅ v = (a + c ) ⋅ d 2
2
různoběžník:
o = a+b+c+d
S=
deltoid:
o = 2(a + b ) Kružnice
S=
u ⋅ (v1 + v 2 ) 2
u1 + u 2 2
Mezikruží
o = 2π ⋅ r
S = π ⋅ (r1 + r2 )(r1 − r2 )
π ⋅ d2 S = π⋅r = 4 2
Pravidelný pětiúhelník
Kruhová výseč
πr 2 S= ⋅α 360
o = 5a 5 S = aρ 2
60
IGMEN
Pravidelný šestiúhelník
Pravidelný osmiúhelník
o = 6a
o = 8a
3r 2 S= ⋅ 3 2
S = 4aρ
Pravidelný n-úhelník
o = na oρ S= 2
61
IGMEN
19. Polohové a metrické vztahy základních geometrických útvarů v prostoru STEREOMETRIE Část geometrie, která se zabývá studiem geometrických útvarů v prostoru. Základní geometrické útvary:
Přímka je určena dvěma různými body. Rovina je určena třemi různými body neležícími v jedné přímce. Libovolná rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a je jejich hraniční rovinou. Tělesa: Krychle
Pravidelný n-boký hranol
Kvádr
Hranol s podstavou pravidelného núhelníku (např. kvádr s podstavou čtverce nebo hranol s podstavou pravidelného osmiúhelníku). Kvádr s podstavou čtverce
Rotační válec
Čtyřstěn
62
IGMEN
Jehlan
Rotační kužel
Komolý kužel
Koule
Komolý jehlan
POLOHOVÉ VZTAHY Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami: ⊂, ∈ ...... je incidentní (leží na) ⊄, ∉ ...... není incidentní (neleží na)
A ∉ p; q; r A⊄ρ B∈ p B ∉ q; r B⊄ρ
C ∉ p; q; r C⊂ρ p; r ⊄ ρ q⊂ρ
Přímka leží v rovině, leží-li v rovině alespoň dva její body.
63
IGMEN
Př.: Urči spodní rovinu krychle. Pomocí bodů: ABC; BCD; CDA; DAB; ABD; BCA; CDB; DAC Pomocí přímek: AB, CD; BC, DA; AB, BC; BC, CD; CD, DA; DA, AB; AB, BD; AB, AC; BC, CA; BC, BD; CD, CA; CD, DB; DA, AC; DA, BD Pomocí přímky a bodu: AB, C; AB, D; BC, D; BC, A; CD, A; CD, B; DA, B; DA, C; AC, B; AC, D; BD, A; BD, C Vzájemná poloha dvou přímek: Rovnoběžné • různé (AB, GH) • splývající (totožné; AB, BA) Různoběžné (CG, GH) Mimoběžné – neleží v jedné rovině a nemají žádný společný bod (AB, CG). Příčka mimoběžek – přímka, která obě mimoběžky protíná a je na ně kolmá (BC).
Př.:
různoběžné (společná rovina EFG)
mimoběžné
různoběžné (společná rovina BCE)
64
IGMEN
rovnoběžné (společná rovina BGX)
mimoběžné
Vzájemná poloha dvou rovin: O dvou různých rovinách, které mají společnou přímku říkáme, že jsou různoběžné a tato přímka je jejich průsečnice. Nemají-li dvě roviny žádný společný bod, nazýváme je rovnoběžné. Mají-li roviny všechny body společné, nazýváme je splývající (totožné).
ρ = ABF; α = ABG;β = CDG X ⊂ ρ; S ⊂ α; M ⊂ β AB – průsečnice rovin ρ a α GH – průsečnice α a β
ρ β – rovnoběžné vrstva – průnik v poloprostoru ρ a β šířka (tloušťka) vrstvy – vzdálenost hraničních rovin ρ a β ( BC ) klín – průnik poloprostoru ρ a α hrana klínu – průsečnice hraničních rovin ρ a α (AB)
Vzájemná poloha přímky a roviny: Rovnoběžné • různé (EX, ρ) – nemají žádný společný bod • splývající (totožné; AB, ρ) – mají všechny body společné Různoběžné (EX, ρ) – mají společný jediný bod (průsečík; X)
65
IGMEN
Př.: Urči všechny přímky, které procházejí bodem H a jsou s rovinou ABC: a) rovnoběžné rúzné b) různoběžné a) HE, HF, HG b) HA, HB, HC, HD
Vzájemná poloha tří rovin:
rovnoběžné
2 rovnoběžné, třetí různoběžná
různoběžné (1 průsečnice)
různoběžné (3 průsečnice)
různoběžné (1 bod)
Rovnoběžnost přímky a roviny: Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku.
Kritérium rovnoběžnost přímky a roviny:
p′ ⊂ ρ Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ, obsahuje-li rovina ρ alespoň jednu přímku p’, která je s přímkou p rovnoběžná.
Je-li přímka rovnoběžná se dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí.
66
IGMEN
Rovnoběžnost dvou rovin: Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin:
p, r ⊂ ρ; p′, r′ ⊂ σ Dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje dvě různoběžné přímky, které jsou rovnoběžné s druhou rovinou.
Daným bodem lze k dané rovině vést jedinou rovinu s ní rovnoběžnou.
ŘEZY Řez je průnik tělesa a roviny. Řez je rovinný útvar, jehož hranice tvoří průsečnice roviny řezu a stěn tělesa. Vlastnosti používané při konstrukci řezů:
M, N ⊂ ABE Leží-li dva různé body řezu v rovině stěny tělesa, leží v této stěně i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu.
ABE CDG; BCF ADE; MN M′N′; MM′ NN′ Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s těmito stěnami rovnoběžné.
67
IGMEN
Průsečnice rovin dvou sousedních stěn s rovinou řezu a přímka v níž leží společná hrana dvou stěn se protínají v jediném bodě.
Př.: Sestroj řez ABX.
Sestroj řez BEM.
Sestroj řez MNO
68
IGMEN
PRŮSEČNICE ROVIN Př.: Sestroj průsečnici p rovin AFH a ACE.
Sestroj průsečnici p rovin ABC a AMN.
METRICKÉ VZTAHY Odchylka dvou přímek: Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost každého z ostrých úhlů nebo pravých úhlů, které přímky svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°. Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru, rovnoběžně s danými mimoběžkami. Př.: a) odchylka AH a AE je 45° b) odchylka AH a AC je 60° c) odchylka AH a CF ( DE CF ) je 90° d) odchylka CF a AC je 60
69
IGMEN
Kolmost přímek a rovin: Dvě přímky jsou na sebe kolmé právě když je jejich odchylka 90°. Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě když je přímka kolmá ke dvěma přímkám roviny. Kritérium kolmosti přímky a roviny: Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny, pak je kolmá k rovině. Kolmost dvou rovin: Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Odchylka dvou rovin: Odchylka dvou rovin je odchylka průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Př.: Urči odchylku rovin ABC a BCV ( AB = 5; BC = 5; AV = 7 ). X je polovina AD. Y je polovina BC. Vhodná kolmá rovina pro proložení je XYV. Průsečnice rovin ABC a XYV je XY a rovin BCV a XYV je YV.
XY = AB = BV = 5 Pomocí Pythagorovy věty se vypočítá délka YV: 2
YV =
BC = 49 − 6,25 = 6,54 BV − 2 2
Pomocí kosinusovy věty se vypočítá velikost úhlu α:
XY 5 cosα = 2 = 2 = 0,3823 YV 6,54 α = 67°31′ 13′′ (Výsledky byly zaokrouhleny. Přesný výsledek je 67°31′ 12,3′′ .)
70
IGMEN
Odchylka přímky a roviny: Odchylka přímky a roviny je nejmenší z odchylek přímky a libovolné přímky roviny. Př.: Urči odchylku přímky BH a roviny ABC ( AB = BC = AE = a ). Vhodná kolmá rovina pro proložení je BDH. Průsečnice rovin ABC a BDH je přímka BD. Odchylka přímky BH a roviny ABC je rovna odchylce přímky BH a průsečnice BD. Pomocí Pythagorovy věty se spočítá délka BD:
BD = a 2 + a 2 BD = 2a 2 BD = a 2 Pomocí tangentovy věty se spočítá úhel α:
a a 1 = = BD a 2 2 α = 35°15′51,8′′ tgα =
71
IGMEN
20. Povrchy a objemy těles u.......úhlopříčka stěny tělesa ut ......uhlopříčka tělesa v.......výška tělesa
S ....... povrch V....... objem Sp ...... obsah podstavy Spl ..... obsah pláště Kvádr – podstava obdélník
S = 2(ab + bc + ca )
w........ výška stěny tělesa h ........ boční hrana s......... strana (válce nebo kužele)
Kvádr – podstava čtverec
V = abc
S = 2a (a + 2v )
V = a2 ⋅ v
Kolmý hranol
Krychle
S = 6a 2
V = a3
S = 2Sp + Spl Rotační válec
V = Sp ⋅ v
Čtyřstěn
Sp K ∆ABC Spl K ∆ABV + ∆BCV + ∆CAV
d S = 2 ⋅ πr ⋅ (r + v ) = πd + v 2 2 πd V = πr 2 ⋅ v = ⋅v s=v 4 2
S = Sp + Spl
72
V=
Sp ⋅ v 3
IGMEN
Jehlan – podstava čtverec
Jehlan – podstava obdélník
a2 ⋅ v V= 3
S = a + 2aw 2
S = ab + aw1 + bw 2 Rotační kužel
S = πr (r + s ) =
abv 3
Komolý jehlan – podstava čtverec
πd d ⋅ + s 2 2
πr 2 ⋅ v πd 2 ⋅ v V= = 3 12
s = r 2 + v2
S = a 12 + a 22 + 2w (a 1 + a 2 ) Sp1 = a 12
Rotační komolý kužel, Komolý jehlan
S = Sp1 + Sp2 + Spl
V=
(
v Sp1 + Sp1 ⋅ Sp2 + Sp2 3
Sp2 = a 22
Koule
S = πr12 + πr22 + π(r1 + r2 )s
S = 4 ⋅ πr 2 = πd 2
πv 2 V= ⋅ r1 + r1 r2 + r22 3
(
v 2 a 1 + a 1a 2 + a 22 3 Spl = 2w (a 1 + a 2 ) V=
)
Komolý kužel
(
V=
)
V=
73
4 3 πd 3 ⋅ πr = 3 6 IGMEN
)
21. Goniometrické funkce ORIENTOVANÝ ÚHEL Kladný úhel – otáčí se proti směru hodinových ručiček.
Záporný úhel – otáčí se po směru hodinových ručiček.
Základní úhel (ϕ) je vždy kladný úhel nabývající hodnot 0°;360° . stupňová míra (°)............ ω = ϕ + k ⋅ 360°; ϕ ∈ 0°;360° , k ∈ Z oblouková míra (rad) ...... ω = ϕ + k ⋅ 2 ⋅ π; ϕ ∈ 0;2π , k ∈ Z Př.:
c
ϕ = 198°; k = 4; ω = ?
d
ω = ϕ + k ⋅ 360° ω = 198° + 4 ⋅ 360°
ω = 3832° k=
ω = 1638°
3832° = 10,644 ⇒ k = 10 360°
ω = ϕ + k ⋅ 360° 3832° = ϕ + 10 ⋅ 360° 3832° - 3600° = ϕ 232° = ϕ
74
IGMEN
DEFINICE GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ y =y 1 x cosα = = x 1 y sinα tgα = = x cosα x cosα cotgα = = y sinα
sinα =
Funkce sinus libovolného úhlu α je y souřadnice průsečíku koncového ramene úhlu s jednotkovou kružnicí. Funkce kosinus libovolného úhlu α je x souřadnice průsečíku koncového ramene úhlu s jednotkovou kružnicí. Funkce tangens libovolného úhlu α se nazývá funkce daná vztahem tgα =
sinα . cosα
Funkce kotangens libovolného úhlu α se nazývá funkce daná vztahem cotgα =
sin α cos α tg α cotg α
cosα . sinα
I
II
III
IV
π 0; ; (0°;90°) 2
π ; π ; (90°;180°) 2
3 π; π ; (180°;270°) 2
3 π;2π ; (270°;360°) 2
+ + + +
+ -
+ +
+ -
75
IGMEN
HODNOTY GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ ZÁKLADNÍCH ÚHLŮ POMOCÍ ÚHLU OSTRÉHO
ostrý úhel ............. α ∈ (0°;90°)
základní úhel ....... ϕ ∈ (0°;360°)
II. kvadrant
I. kvadrant
α =ϕ
α = 180° − ϕ
sinϕ = sinα cosϕ = cosα
sinϕ = sinα cosϕ = −cosα tgϕ = − tgα
tgϕ = tgα cotgϕ = cotgα
cotgϕ = −cotgα III. kvadrant
IV. kvadrant
α = ϕ − 180°
α = 360° − ϕ
sinϕ = −sinα cosϕ = −cosα
sinϕ = −sinα cosϕ = cosα
tgϕ = tgα cotgϕ = cotgα
tgϕ = − tgα cotgϕ = −cotgα
0°…0 30°…π/6 45°…π/4 60°…π/3 90°…π/2 sin ϕ
0
cos ϕ
1
tg ϕ
0
cotg ϕ
-
1 2 3 2 3 3 3
2 2 2 2
3 2 1 2
1
3
-
1
3 3
0
1 0
Př.:
c
sin120° = sin60° =
d
3 2
II. kvadrant
e
sin (− 1935)° = sin (− 135)° = sin45° =
III. kvadrant
f
2 2
I. kvadrant
g
7 1 3 tg π = tg π = 6 6 3 cos135° = −cos45° = −
2 2
II. kvadrant
h
tg300° = − tg45° = − 3 IV. kvadrant
76
cotg135° = −cotg45° = −1
II. kvadrant
IGMEN
URČENÍ GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ LIBOVOLNÉHO ORIENTOVANÉHO ÚHLU libovolný orientovaný úhel ....... ω základní úhel............................. ϕ ostrý úhel .................................. α
sinω = sin (k ⋅ 360° + ϕ ) ⇒ sinϕ cosω = cos(k ⋅ 360° + ϕ ) ⇒ cosϕ tgω = tg (k ⋅ 360° + ϕ ) ⇒ tgϕ cotgω = cotg(k ⋅ 360° + ϕ ) ⇒ cotgϕ Př.:
c d e f
27 3 3 1 2 π = sin 3 ⋅ 2π + π = sin π = sin π = 4 4 4 4 2 17 1 1 cotg π = cotg 4 ⋅ 2π + π = cotg π = 0 2 2 2 cos1620° = cos(4 ⋅ 360° + 180°) = cos180° = 1
sin
sin (− 1485°) = sin (4 ⋅ (− 360°) − 45°) = sin (− 45°) = −
2 2
g
tg870° = tg (2 ⋅ 360° + 150°) = tg150° = − tg30° = −
h
3 2 cotg(− 1650°) = cotg(4 ⋅ (− 360°) − 210°) = cotg(− 210°) = −cotg30° = − 3 sin135° ⋅ cos45° − cos225° ⋅ sin315° − 3 = = sin45° ⋅ cos45° − (− cos45°)(− sin45°) − 3 =
i j
3 3
cos330° = cos30° =
2 2 2 2 4 4 − −3 = ⋅ − − − − 3 = −3 2 2 2 2 4 4 47 5 5 π 3 cotg π = cotg 7 ⋅ 2π + π = cotg π = −cotg = − 3 3 3 3 3 =
k
77
IGMEN
GRAFY GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ funkce sinx
funkce cosx
funkce tgx
78
IGMEN
funkce cotgx
VLASTNOSTI GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ y = sinx D(f) H(f) sudost, lichost periodičnost omezenost rostoucí klesající max. v bodě min. v bodě nulové body
y = cosx R <-1;1>
lichá sudá T = 2π … periodická omezená rostoucí … k∈Z rostoucí … k∈Z <-π/2+k2π; 3π/2+k2π>
<π+k2π; 2π+k2π>
klesající … k∈Z
klesající … k∈Z
<π/2+k2π; 3π/2+k2π>
<0+k2π; π+k2π>
y=1 x = π/2+k2π y = -1 x = -π/2+k2π y=0 x = 0+kπ
y=1 x = 0+k2π y = -1 x = π+k2π y=0 x = π/2+kπ
y = tgx R-{π/2+kπ}
y = cotgx R-{kπ}
R lichá T = π … periodická neomezená rostoucí
klesající
neexistuje x = kπ
x = π/2+kπ
Definiční obor D(f) – množina všech x, pro které má daná funkce smysl. Obor hodnot H(f) – množina všech y, pro které má daná funkce smysl. Sudá funkce – graf funkce je souměrný podle osy y.
f (x ) = f (− x ); x ∈ D(f )
Lichá funkce – graf funkce je souměrný podle počátku.
f (x ) = −f (− x ); x ∈ D(f )
79
IGMEN
y = ±a ⋅ sin (± bx ± c ) ± d
HARMONICKÁ FUNKCE
± ................. zrcadlí graf kolem osy x a ................. ovlivňuje amplitudu ± ................. zrcadlí graf kolem osy y b ................. ovlivňuje periodu ± bx ± c .... posun grafu po ose x (posun se zjistí porovnáním závorky s 0) ±d ............... posun grafu po ose y Př.:
y = cos2x + 1
80
IGMEN
22. Řešení pravoúhlého trojúhelníku a, b ........odvěsny c............přepona ca, cb ......úseky přepony Při řešení pravoúhlého trojúhelníku se využívá Pythagorova věta, Eukleidovy věty, goniometrická jednička a goniometrické funkce ostrého úhlu (viz téma 17, 21 a 23). Pythagorova věta .................... c 2 = a 2 + b 2 Eukleidova věta o výšce.......... v c2 = c a ⋅ c b Eukleidova věta o odvěsně ..... a 2 = c ⋅ c a ; b 2 = c ⋅ c b Goniometrická jednička......... sin 2 x + cos 2 x = 1 Goniometrické funkce ostrého úhlu vyplývající z pravoúhlého trojúhelníka:
a sinα = ; cosα = c b sinβ = ; cosβ = c
b a b ; tgα = ; cotgα = c b a a b a ; tgβ = ; cotgβ = c a b
Obecné vztahy pro úhlu v pravoúhlém trojúhelníku:
γ = 90° α + β = 90° α + β + γ = 180° Př.:
c
Jaké jsou délky zbývajících stran a velikosti zbývajících vnitřních úhlů v pravoúhlém trojúhelníku, je-li dáno: c = 12cm; α = 72°50′
γ = 90° α + β = 90° ⇒ β = 90° − α = 90° − 72°50′ = 17°10′ a sinα = ⇒ a = c ⋅ sinα = 12 ⋅ sin72°50′ = 11,47cm c a 2 + b 2 = c 2 ⇒ b = c 2 − a 2 = 12 2 − 11,47 2 = 144 − 131,56 = 12,44 = 3,53cm
d
Silnice stoupá rovnoměrně o 12 m na 1 km. Jaký je úhel jejího stoupání?
sinα =
81
a 12m = = 0,012 ⇒ α = 0°41′ 15′′ c 1000m
IGMEN
23. Úpravy výrazů s goniometrickou funkcí užitím vzorců Goniometrická jednička......... sin 2 x + cos 2 x = 1 Základní vzorce:
sinx 1 = cosx cotgx cosx 1 cotgx = = sinx cotgx tgx =
Součtové vzorce:
sin (x + y ) = sinx ⋅ cosy + siny ⋅ cosx sin (x − y ) = sinx ⋅ cosy − siny ⋅ cosx cos(x + y ) = cosx ⋅ cosy − siny ⋅ sinx cos(x − y ) = cosx ⋅ cosy + siny ⋅ sinx
Vzorce pro dvojnásobný a poloviční úhel:
sin2x = 2sinx ⋅ cosx cos2x = cos 2 x − sin 2 x sin
x 1 − cosx = 2 2
cos
x 1 + cosx = 2 2
Vzorce pro součet a rozdíl goniometrických funkcí:
x+y x−y ⋅ cos 2 2 x+y x−y ⋅ sin sinx − siny = 2cos 2 2 x+y x−y ⋅ cos cosx + cosy = 2cos 2 2 x+y x−y ⋅ sin cosx − cosy = −2sin 2 2 sinx + siny = 2sin
82
IGMEN
Př.:
c
Jakou hodnotu mají ostatní goniometrické funkce, je-li dáno: cosx =
4 3 ; x ∈ π;2π 5 2
3 x ∈ π;2π ⇒ 4. kvadrant 2 2
16 25 16 9 3 4 sin x + cos x = 1 ⇒ sinx = ± 1 − cos x = − 1 − = − 1 − =− − =− =− 25 25 25 25 5 5 3 − sinx 3 3 5/ tgx = = 5 = − ⋅ = − 4 cosx 4 5/ 4 5 1 4 =− cotgx = tgx 3 2
d
2
2
Zjednodušit výraz:
tgz 1 + tg 2 z
sinz sinz tgz sinz cos 2 z sinz ⋅ cosz cosz = cosz = = = ⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 1 + tg z sin z cos z sin z cosz cos z + sin z cos z + 1 − cos 2 z 1+ + cos 2 z cos 2 z cos 2 z sinz ⋅ cosz sinz ⋅ cosz = = sinz ⋅ cosz = 2 2 1 cos z + 1 − cos z
(
e
)
Důkaz: sin (x + y ) ⋅ sin (x − y ) = sin 2 x − sin 2 y; x ∈ R
sin (x + y ) ⋅ sin (x − y ) = (sinx ⋅ cosy + siny ⋅ cosx ) ⋅ (sinx ⋅ cosy − siny ⋅ cosx ) = = sin 2 x ⋅ cos 2 y − sinx ⋅ siny ⋅ cosx ⋅ cosy + sinx ⋅ siny ⋅ cosx ⋅ cosy − sin 2 y ⋅ cos 2 x =
(
)
(
)
= sin 2 x ⋅ cos 2 y − sin 2 y ⋅ cos 2 x = sin 2 x ⋅ 1 − sin 2 y − sin 2 y ⋅ 1 − sin 2 x = = sin x − sin x ⋅ sin y − sin y + sin x ⋅ sin y = sin x − sin y 2
f
2
2
2
2
2
2
2
π π + x − sin − x 4 4 π π π π π π sin + x − sin − x = sin ⋅ cosx + sinx ⋅ cos − sin ⋅ cosx − sinx ⋅ cos = 4 4 4 4 4 4
Zjednodušit výraz: sin
= sin
π π π π π 2 ⋅ cosx + sinx ⋅ cos − sin ⋅ cosx + sinx ⋅ cos = 2sinx ⋅ cos = 2 ⋅ ⋅ sinx = 2 ⋅ sinx 4 4 4 4 4 2 123 2 2
g
sin195° = sin (150° + 45°) = sin (30° + 45°) = sin30° ⋅ cos45° + sin45° ⋅ (− cos30°) = =
1 2 2 3 2 6 = ⋅ + ⋅ − − = 2 2 2 2 4 4
2− 6 4
83
IGMEN
h
Důkaz: sin3x = 3sinx − 4sin 3 x; x ∈ R
(
)
sin3x = sin (2x + x ) = sin2x ⋅ cosx + sinx ⋅ cos2x = 2sinx ⋅ cosx ⋅ cosx + sinx ⋅ cos 2 x − sin 2 x =
(
)
= 2sinx ⋅ cos x + sinx ⋅ cos x − sin x = 3sinx ⋅ cos x − sin x = 3sinx ⋅ 1 − sin x − sin x = 2
2
3
2
3
2
3
= 3sinx − 3sin x − sin x = 3sinx − 4sin x 3
i
3
3
Důkaz: cos3x = 4cos 3 x − 3cosx; x ∈ R
(
)
cos3x = cos(2x + x ) = cos2x ⋅ cosx − sin2x ⋅ sinx = cos 2 x − sin 2 x ⋅ cosx − 2sinx ⋅ cosx ⋅ sinx =
(
)
(
)
= cos 3 x − sin 2 x ⋅ cosx − 2sin 2 x ⋅ cosx = cos 3 x − cosx ⋅ 1 − cos 2 x − 2cosx ⋅ 1 − cos 2 x = = cos 3 x − cosx + cos 3 x − 2cosx + 2cos 3 x = 4cos 3 x − 3cosx
j
75° + 15° 75° − 15° 90° 60° ⋅ cos = 2sin ⋅ cos = 2sin45° ⋅ cos30° = 2 2 2 2 2 3 6 6 = 2⋅ ⋅ = 2⋅ = 2 2 4 2
sin75° + sin15° = 2sin
84
IGMEN
24. Goniometrické rovnice 1. typ - v goniometrické rovnici se vyskytuje jediná goniometrická funkce. 2. typ - v goniometrické rovnici se vyskytuje více goniometrických funkcí téhož argumentu. 3. typ - v goniometrické rovnici se vyskytuje více goniometrických funkcí různých argumentů nebo jedna goniometrická funkce s různými argumenty. Goniometrické rovnice 1. typu: Př.:
c
sinx + 2 =5 sinx sinx + 2 = 5sinx 2 = 5sinx − sinx 2 = 4sinx 2 = sinx 4 1 = sinx 2
podmínky:
sinx ≠ 0 + k ⋅180° sinx ≠ k ⋅180°
x = 30° + k ⋅ 360° x = 150° + k ⋅ 360°
d
2cos(3v + 33°) = − 2 2 cos(3v + 33°) = − 1424 3 2 x cosx = −
2 2
x = 45°
x1 = 135° + k ⋅ 360°
x 2 = 225° + k ⋅ 360°
3v1 + 33° = 135° + k ⋅ 360°
3v 2 + 33° = 225° + k ⋅ 360°
3v1 = 102° + k ⋅ 360° : 3
3v 2 = 192° + k ⋅ 360° : 3
v1 = 34° + k ⋅120°
v 2 = 64° + k ⋅120°
funkce kosinus je záporná ve II. a III. kvadrantu
x1 = 135° + k ⋅ 360° x 2 = 225° + k ⋅ 360°
85
IGMEN
e
4cos 2 t + 4cost − 3 = 0 2 − b ± b 2 − 4ac − 4 ± 4 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 3) − 4 ± 16 + 48 − 4 ± 64 = = = = cost 1,2 = 2a 2⋅4 8 8 − 4−8 12 3 =− =− −4±8 8 8 2 = = − + 4 8 4 1 8 = = 8 8 2
3 2 nemá smysl
cost1 = −
1 2 t 2 = 60° + k ⋅ 360°
cost 2 =
t 2 = 300° + k ⋅ 360° Goniometrické rovnice 2. typu: Př.:
c
6cos 2 t + sint − 5 = 0
(
)
6 1 − sin 2 t + sint − 5 = 0 6 − 6sin t + sint − 5 = 0 2
− 6sin 2 t + sint + 1 = 0 2 − b ± b 2 − 4ac − 1 ± 1 − 4 ⋅ (− 6 ) ⋅ 1 − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 25 sint 1,2 = = = = = 2a 2 ⋅ (− 6 ) − 12 − 12 −1− 5 6 1 = = −1± 5 12 2 − 12 = = 4 1 −1+ 5 − 12 =− =− 12 3 − 12
1 2 t1 = 30° + k ⋅ 360°
d
1 3 t 2 = 19°28′
sint 1 =
sint 2 = −
t1 = 150° + k ⋅ 360°
t 2 = 199°28′ + k ⋅ 360° t 2 = 340°32′ + k ⋅ 360°
3sinx − 2cosx = 0 3sinx = 2cosx sinx 2 = cosx 3 2 tgx = 3
podmínky:
cosx ≠ 0
x ≠ 90° + k ⋅180°
x = 33°41′ + k ⋅180°
86
IGMEN
e
4sin 2 t = − 3 ⋅ tgt sint 4sin 2 t = − 3 ⋅ cost 2 4sin t ⋅ cost = − 3 ⋅ sint 4sin 2 t ⋅ cost + 3 ⋅ sint = 0
sint1 = 0 t1 = 0° + k ⋅ 360° t1 = k ⋅ 360°
( ) sint ⋅ (2 ⋅ 2sint ⋅ cost + 3 ) = 0 sint ⋅ (2sin2t + 3 ) = 0 sint ⋅ 4sint ⋅ cost + 3 = 0
2sin2t 2 + 3 = 0 2sin2t 2 = − 3 3 2 2t 2 = 240° + k ⋅ 360°
sin2t 2 = −
2t 2 = 300° + k ⋅ 360° t 2 = 120° + k ⋅180° t 2 = 150° + k ⋅180°
87
IGMEN
Goniometrické rovnice 2. typu - speciální případ: Př.:
8sinx + 6cosx = 9 1) rovnice se převede na poloviční úhel
8sinx + 6cosx = 9
x x x x x x 8 2sin ⋅ cos + 6 cos 2 − sin 2 = 9 sin 2 + cos 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x 16sin ⋅ cos + 6cos 2 − 6sin 2 = 9sin 2 + 9cos 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x 16sin ⋅ cos + 6cos 2 − 6sin 2 − 9sin 2 − 9cos 2 = 0 2 2 2 2 2 2 x x x x 16sin ⋅ cos − 3cos 2 − 15sin 2 = 0 2 2 2 2 2) rovnice se převede na funkci tangens
x x x x x ⋅ cos − 3cos 2 − 15sin 2 = 0 : cos 2 2 2 2 2 2 x x x x 16sin ⋅ cos 3cos 2 15sin 2 2 2− 2− 2 =0 x x x cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 x x 16sin 15sin 2 2 −3− 2 =0 x x cos cos 2 2 2 x x 16tg − 3 − 15tg 2 = 0 2 2 x x − 15tg 2 + 16tg − 3 = 0 ⋅ (- 1) 2 2 x x 15tg 2 − 16tg + 3 = 0 2 2
16sin
x 1,2
− b ± b 2 − 4ac 16 ± 256 − 180 16 ± 76 tg = = = = 2 2a 30 30 tg
x1 16 + 76 = 2 30
x1 = 39°29′ + k ⋅180° ⋅ 2 2 x1 = 78°58′ + k ⋅ 360°
tg
16 + 76 30 16 − 76 30
x 2 16 − 76 = 2 30
x2 = 13°38′ + k ⋅180° ⋅ 2 2 x 2 = 27°16′ + k ⋅ 360°
88
IGMEN
Goniometrické rovnice 3. typu: Př.:
c
sin2x = cos3x ⋅ sin2x sin2x − cos3x ⋅ sin2x = 0 sin2x ⋅ (1 − cos3x ) = 0
d
sin2x1 = 0
1 − cos3x 2 = 0
2x1 = 0° + k ⋅180°
1 = cos3x 2
x1 = 0° + k ⋅ 90°
3x 2 = 0° + k ⋅ 360°
x1 = k ⋅ 90°
x 2 = 0° + k ⋅120°
sin (t + 15°) + sin (t + 75°) = 3 t + 15° + t + 75° t + 15° − t − 75° 2sin ⋅ cos = 3 2 2 2t + 90° − 60° 2sin ⋅ cos = 3 2 2 2sin (t + 45°) ⋅ cos(− 30°) = 3 sin (t + 45°) ⋅ cos(− 30°) =
x 2 = k ⋅120°
3 2
3 3 = 2 2 sin (t + 45°) = 1 (t + 45°) = 90° + k ⋅ 360° t = 45° + k ⋅ 360°
sin (t + 45°) ⋅
89
IGMEN
25. Řešení obecného trojúhelníku SINOVA VĚTA Nechť ABC je trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ a strany délky a, b, c, pak platí:
a b c = = sinα sinβ sinλ Poměr délky strany a hodnoty sinu protilehlého úhlu je v trojúhelníku konstantní.
a sinα a sinα b sinβ ; = ; = = b sinβ c sinγ c sinγ a : b : c = sinα : sinβ : sinγ Užití sinovy věty: ssu 2 strany 1 úhel
uus 1 strany 2 úhly
Př.:
c
b = 8cm; α = 45°; γ = 30° α + β + γ = 180° ⇒ β = 180° − (α + β ) = 180° − (45° + 30°) = 180° − 75° = 105° a sinα sinα sin45° = ⇒ a = b⋅ = 8⋅ = 5,86cm b sinβ sinβ sin105° c sinγ sinγ sin30° = ⇒ c = b⋅ = 8⋅ = 4,14cm b sinβ sinβ sin105°
90
IGMEN
d
a = 38; b = 48; α = 37° 48 b a sinα = ⇒ sinβ = ⋅ sinα = ⋅ sin37° = 0,76 ⇒ β = 49°27 ′51′′ 38 a b sinβ funkce sinus je sudá v I. a II. kvadrantu β1 = 49°27 ′51′′
γ 1 = 180° − (α + β1 ) = 180° − 87°27 ′51′′ = 92°32′09′′ sinγ 1 sin92°32′09′′ a sinα = 63,1 = ⇒ c1 = a ⋅ = 38 ⋅ sin37° sinα c1 sinγ 1
β 2 = 130°32′09′′
γ 2 = 180° − (α + β 2 ) = 180° − 168°32′09′′ = 11°27 ′51′′ sinγ 2 sin11°27 ′51′′ a sinα = 12,55 = ⇒ c1 = a ⋅ = 38 ⋅ sin37° sinα c 2 sinγ 2
KOSINOVA VĚTA Nechť ABC je trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ a strany délky a, b, c, pak platí:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cosα b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cosβ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cosγ
Užití kosinovy věty: sss 3 strany
sus 2 strany a úhel jimi sevřený
91
IGMEN
Př.:
c
a = 5; b = 4; γ = 60° c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cosγ ⇒ c = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cosγ = 5 2 + 4 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ cos60° = = 25 + 16 − 40 ⋅ cos60° = 21 = 4,58 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cosα ⇒ cosα =
b 2 + c 2 − a 2 4 2 + 4,58 2 − 5 2 16 + 20,9764 − 25 = = = 2bc 2 ⋅ 4 ⋅ 4,58 36,64
= 0,3269 ⇒ α = 70°55′09′′
α + β + γ = 180° ⇒ β = 180° − (α + γ ) = 180° − (70°55′09′′ + 60°) = 180° − 130°55′09′′ = 49°04′51′′
d
a = 26; b = 16,9; c = 27,3
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cosλ ⇒ cosγ =
a 2 + b 2 − c 2 26 2 + 16,9 2 − 27,3 2 676 + 285,61 − 745,29 = = = 2ab 2 ⋅ 26 ⋅ 16,9 878,8
= 0,2462 ⇒ γ = 75°44′50′′ b 2 + c 2 − a 2 16,9 2 + 27,3 2 − 26 2 285,61 + 745,29 − 676 = = = a = b + c − 2bc ⋅ cosα ⇒ cosα = 2bc 2 ⋅ 16,9 ⋅ 27,3 922,74 = 0,3846 ⇒ α = 67°22′52′′ 2
2
2
α + β + λ = 180° ⇒ β = 180° − (α + γ ) = 180° − (67°22′52′′ + 75°44′50′′) = 180° − 143°07 ′42′′ = = 36°52′18′′
92
IGMEN
26. Komplexní číslo – pojem, algebraický tvar, operace Komplexním číslem c nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel a, b, kde a je reálná část a b je imaginární část komplexního čísla.
ALGEBRAICKÝ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA c = a + bi a ....... reální část komplexního čísla b ....... imaginární část komplexního čísla i ........ imaginární jednotka i 2 = −1
(
)
Reálné číslo je komplexní číslo, které má imaginární část rovnu nule. Ryze imaginární číslo je komplexní číslo, které má reálnou část rovnu nule. Mocniny imaginární jednotky:
i 4k = 1 i 4k +1 = i i 4k + 2 = −1 i 4k +3 = −i Př.:
i83 = i 4⋅20+3 = −i i10 = i 4⋅2+ 2 = −1 i121 = i 4⋅30+1 = i Operace s komplexními čísly: rovnost a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d součet (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i rozdíl součin
(a + bi ) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d )i (a + bi ) ⋅ (c + di ) = a ⋅ c + a ⋅ di + bi ⋅ c +
bi ⋅3 di 12
b⋅d ⋅i 2 = ( −1)⋅b⋅d
podíl
z = a + bi ........... komplexní číslo − z = −a − bi ..... opačné číslo k číslu z z = a − bi ........... komplexně sdružené číslo k číslu z Komplexní čísla se dělí rozšířením zlomku komplexně sdruženým číslem ke jmenovateli.
Př.:
c d e f
a = 2 + 3i; b = 2 + 3i a=b (2 + 3i ) + (1 − i ) = 2 + 3i + 1 − i = 3 + 2i (5 + 4i ) − (9 − 4i ) = 5 + 4i − 9 + 4i = −4 + 8i
(1 + 2i ) ⋅ (3 − i ) = 1 ⋅ 3 − 1i + 2i ⋅ 3 − 2i ⋅ i = 3 − i + 6i − 2i{2 = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i -1
93
IGMEN
g
1 − i 1 − i 2 − i (1 − i )(2 − i ) 2 − i − 2i + i 2 2 − 3i − 1 1 − 3i 1 3 = = = − i = ⋅ = = 2 2 + i 2 + i 2 − i (2 + i )(2 − i ) 4 +1 5 5 5 4 i − 14243 ( A+ B )( A− B )
GEOMETRICKÝ MODEL KOMPLEXNÍCH ČÍSEL Každé komplexní číslo lze zobrazit jako vektor v Gaussově rovině. Sčítání komplexních čísel pak odpovídá sčítání vektorů, odčítání komplexních čísel odčítání vektorů.
Př.:
c
d
94
IGMEN
ABSOLUTNÍ HODNOTA KOMPLEXNÍHO ČÍSLA z = a 2 + b2 Geometrický výzman absolutní hodnoty komplexního čísla: Vzdálenost obrazu komplexního čísla od počátku v Gaussově rovině. Komplexní jednotka – komplexní číslo, jehož absolutní hodnota se rovná jedné.
Př.:
c
z = 1 − 2i z = 12 + (− 2 ) = 1 + 4 = 5 2
d e
z = (1 + 2i ) = 12 + 2 ⋅ 2i + 2 2 i 2 = 1 + 4i + 4 ⋅ (− 1) = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i 2
z=
(− 3)2 + 4 2
z=
3 − 2i 3 2 = − i 4 4 4 2
f
= 9 + 16 = 25 = 5
2
9 4 13 13 3 2 + = = z = + = 16 16 16 4 4 4 7i 7i 2 − i 7i(2 − i ) 14i − 7i 2 14i − 7(− 1) 14i + 7 7 + 14i 7 14 z= = ⋅ = = = = = = + i 2 + i 2 + i 2 − i (2 + i )(2 − i ) 4 − i2 4 − (− 1) 4 +1 5 5 5 2
2
49 196 245 245 7 14 + = = z = + = 25 25 25 25 5 5
95
IGMEN
ZOBRAZOVÁNÍ KOMPLEXNÍCH ČÍSEL V GAUSSOVĚ ROVINĚ Př.:
c
d
96
IGMEN
e
97
IGMEN
27. Komplexní číslo – goniometrický a exponenciální tvar, operace GONIOMETRICKÝ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA z = z ⋅ (cosϕ + i ⋅ sinϕ) z ....absolutní hodnota komplexního čísla ϕ ......argument komplexního čísla 0°;360°
z = a + bi a cosϕ = ⇒ a = z ⋅ cosϕ z sinϕ =
b ⇒ b = z ⋅ sinϕ z
Př.:
z = 1+ i
c
d
z = 1− i
z = 12 + 12 = 1 + 1 = 2
z = 12 + (− 1) = 1 − 1 = 2
a 1 2 2 = ⋅ = z 2 2 2 ϕ 0 = 45° b 1 2 2 sinϕ = = ⋅ = z 2 2 2
a 1 = ⋅ z 2 b −1 ⋅ sinϕ = = z 2
sinus i kosinus jsou kladné, což znamená, že se jedná o 1. kvadrant ⇒ ϕ = 45°
jedná se o 4. kvadrant, neboť je sinus záporný a kosinus kladný ⇒ ϕ = 315°
z = 2 ⋅ (cos45° + i ⋅ sin45°)
z = 2 ⋅ (cos315° + i ⋅ sin315°)
2
cosϕ =
cosϕ =
2 2 = 2 2 ϕ0 = 45° 2 2 =− 2 2
Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru:
z1 = a ⋅ (cosα + i ⋅ sinα )
z 2 = b ⋅ (cosβ + i ⋅ sinβ ) součin podíl
z1 ⋅ z 2 = a ⋅ b ⋅ (cos(α + β ) + i ⋅ sin (α + β )) z1 a = ⋅ (cos(α − β ) + i ⋅ sin (α − β )) z2 b
98
IGMEN
Př.:
π π z 1 = 6 cos + i ⋅ sin 6 6 π π z 2 = 3 cos + i ⋅ sin 3 3 π π π + 2π π + 2π 3π 3π π π z 1 ⋅ z 2 = 6 ⋅ 3 cos + + i ⋅ sin + = 18 cos + i ⋅ sin = 18 cos + i ⋅ sin = 6 6 6 6 6 3 6 3 π π = 18 cos + i ⋅ sin 2 2 z1 6 π π π π − 2π π − 2π π π π = cos − + i ⋅ sin − = 2 cos + i ⋅ sin = 2 cos − + i ⋅ sin − = z2 3 6 3 6 6 6 3 6 6 11π 11π = 2 cos + i ⋅ sin 6 6
EXPONENCIÁLNÍ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA z = z ⋅ e iϕ z ....absolutní hodnota komplexního čísla e.......Eulerovo číslo (e ≅ 2,72 ) ϕ ......argument komplexního čísla (vždy v radiánech 0;2π )
99
IGMEN
Př.:
3π 3π z = 2 cos + i ⋅ sin 4 4 z = 2e
i⋅
3π 4
3π = 135° 4 cos135° = −cos45° = − sin135° = sin45° =
2 2
2 2
cosϕ =
a 2 =− 2 ⇒ a = z ⋅ cosϕ = 2 ⋅ − z 2
sinϕ =
b 2 ⇒ b = z ⋅ sinϕ = 2 ⋅ = 2 z 2
z = a + bi = − 2 + i 2 Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru:
z1 = a ⋅ e iα z 2 = b ⋅ e iβ
z1 ⋅ z 2 = a ⋅ b ⋅ e i⋅(α +β ) z 1 a i⋅(α −β ) = ⋅e z2 b
součin podíl
Př.: i
π
z1 = 6e 6 i
π
z 2 = 3e 3
z1 ⋅ z 2 = 6 ⋅ 3 ⋅ e
π π i + 6 3
π π
= 18e π − 2π 6
i z1 6 i 6 − 3 = ⋅e = 2e z2 3
π + 2π i 6
= 18e
π i − 6
= 2e
i
3π 6
= 2e
i
π
= 18e 2 i
11π 6
100
IGMEN
28. Moivreova věta, binomické rovnice MOIVREOVA VĚTA Pro všechna přirozená čísla n a pro libovolné reálné číslo ϕ platí: (cosϕ + i ⋅ sinϕ)n = cos(nϕ) + i ⋅ sin (nϕ) . Pro všechna přirozená čísla n a pro všechna komplexní čísla ve tvaru
z (cosϕ + i ⋅ sinϕ) platí: [ z (cosϕ + i ⋅ sinϕ)] = z (cos(nϕ) + i ⋅ sin (nϕ)) . n
n
Př.:
c
π π cos + i ⋅ sin 4 4
50
= cos
50π 50π 2π 2π π π + i ⋅ sin = cos + i ⋅ sin = cos + i ⋅ sin = 0 + i ⋅ 1 = i 4 4 4 4 123 2 2 { 0
d
1
70
2π 2π 70 ⋅ 2π 70 ⋅ 2π 140π 140π 2π 2π + i ⋅ sin = cos + i ⋅ sin = cos + i ⋅ sin cos + i ⋅ sin = cos 3 3 3 3 3 3 3 3 2π se nachází ve 2. kvadrantu, což znamená, že v základním úhlu bude kosinus záporný a sinus úhel 3 kladný
π 1 3 π cos − + i ⋅ sin = − + i 33 3 2 2 { 1424 −
3 2
1 2
BINOMICKÉ ROVNICE n
a se nazývá komplexní číslo z, pro které platí, že z n = a . Rovnice typu z n = a se
nazývá binomická rovnice, kde z je každý kořen binomické rovnice. Postup řešení: 1) 2)
n
a = z → zn = a
komplexní čísla z a a se vyjádří v goniometrickém tvaru
[ z ⋅ (cosx + i ⋅ sinx )]
n
3)
= a ⋅ (cosα + i ⋅ sinα )
umocnit podle Moivreovy věty
z ⋅ (cos(nx ) + i ⋅ sin (nx )) = a ⋅ (cosα + i ⋅ sinα ) n
4)
porovnat komplexní čísla na obou stranách n
z = a ∧ nx = α + 2kπ z =n a ∧ x=
α + 2kπ n
5)
zapsání všech n kořenů v goniometrickém tvaru
6)
obrazy všech kořenů binomické rovnice leží na kružnici se středem v počátku a poloměrem r = n a a tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku
101
IGMEN
Př.: 4
1) 2)
−1+ i = z 4
− 1 + i = z → z 4 = −1 + i
a =
(− 1)2 + 12
= 1+1 = 2
a −1 = a 2 2. kvadrant ⇒ α = 135° b 1 sinα = = a 2 cosα =
[ z ⋅ (cosx + i ⋅ sinx )]
4
= 2 ⋅ (cos135° + i ⋅ sin135°)
3)
z ⋅ (cos4x + i ⋅ sin4x ) = 2 ⋅ (cos135° + i ⋅ sin135°)
4)
z = 2 ∧ 4x = 135° + k ⋅ 360°
4
4
360° 135° +k⋅ 4 4 8 z = 2 ∧ x = 33°45′ + k ⋅ 90° z =4
5)
2 ∧ x=
k = 0 z 1 = 8 2 (cos33°45′ + i ⋅ sin33°45′) k = 1 z 2 = 8 2 (cos123°45′ + i ⋅ sin123°45′) k = 2 z 3 = 8 2 (cos213°45′ + i ⋅ sin213°45′) k = 3 z 4 = 8 2 (cos303°45′ + i ⋅ sin303°45′)
6)
102
IGMEN
29. Lineární lomená funkce LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE Lineární lomená funkce je každá funkce ve tvaru: y =
a, b, c, d ∈ R; c ≠ 0; ad ≠ bc .
ax + b , kde cx + d
d a ; c c
Graf funkce .........rovnoosá hyperbola, jenž má střed v bodě − Základní grafy:
y=
k x
k>0
D(f ) = R − {0} H(f ) = R − {0} lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum
k<0
D(f ) = R − {0} H(f ) = R − {0} lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum
Postup řešení: 1) 2) 3)
ax + b , kterým je funkce určena se podělí (dělení mnohočlenu mnohočlenem, viz téma číslo 3) cx + d k k + b , kde y = udává základní graf funkce, b je posun po ose y a z rovnice vznikne výraz y = x x+a x + a = 0 ⇒ x = −a vyjde posun po ose x výraz
graf funkce
103
IGMEN
Př.:
y1 = y2 = y3 = 1)
2x 1 + 3 x1 − 1 1 2x 2 − 1 x3 − 2 2x 3 − 3
(2x 1 + 3) : (x 1 − 1) = 2 +
5 x1 − 1
1 2x 2 − 1
(x 3a − 2) : (2x 3a − 3) = 0,5 −
0,5 2x 3a − 3
0,5 2x 3b − 3 1 y2 = 2x 2
(− x 3b + 2) : (2x 3b − 3) = −0,5 + 2)
y1 =
5 x1
y 3a =
− 0,5 2x 3a
y 3b =
0,5 2x 3b
y 01 = 2
y 02 = 0
y 03a = 0,5
y 03b = −0,5
x 01 = 1
x 02 = 1
x 03a = 3
x 03b = 3
3)
104
IGMEN
105
IGMEN
NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST Nepřímá úměrnost je každá funkce definovaná na množině R − {0}, která je dána vztahem y =
k , kdy k ∈ R, k ≠ 0 . x
Je to tedy taková lineární lomená funkce y =
⇒y=
0x + b b k = = cx + 0 cx x
ax + b , kde a = 0 a d = 0 . cx + d
d a ; c c
Graf funkce .........rovnoosá hyperbola, jenž má střed v bodě − Základní grafy:
y= k>0
k x D(f ) = R − {0} H(f ) = R − {0} lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum
k<0
D(f ) = R − {0} H(f ) = R − {0} lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum
106
IGMEN
Př.:
1 x 2 y2 = x y1 =
y3 = −
1 x
107
IGMEN
30. Mocninné funkce Mocninná funkce je funkce dána vztahem y = x n , kde n ∈ N . Základní grafy:
n>0 sudé
D(f ) = R
H(f ) = 0; ∞ ) sudá pro (− ∞;0 klesající pro 0; ∞ ) rostoucí není prostá omezená zdola minimum v bodě [0;0] nemá maximum
n>0 liché
D(f ) = R H(f ) = R
lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum
n<0 sudé
D(f ) = R − {0} H(f ) = (0; ∞ ) sudá pro (− ∞;0 ) rostoucí
pro (0; ∞ ) klesající není prostá neomezená ani maximum, ani minimum
n<0 liché
D(f ) = R − {0} H(f ) = R − {0} lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum
108
IGMEN
Př.:
y1 = x13 + 1 ⇒ y1 = x13 ; y 01 = 1 y 2 = (x 2 + 2 ) − 3 ⇒ y 2 = x 2− 2 ; −2
x 02 + 2 = 0 x 02 = −2
; y 02 = −3
109
IGMEN
31. Exponenciální funkce, exponenciální rovnice EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Každá funkce na množině R daná výrazem y = a x , kde a je základ mocniny a > 0, a ≠ 1 . Graf funkce .........exponenciála Základní grafy:
D(f ) = R H(f ) = (0; ∞ )
0 < a <1
ani sudá, ani lichá klesající prostá omezená zdola ani maximum, ani minimum inverzní k funkci logaritmické
D(f ) = R H(f ) = (0; ∞ )
a >1
ani sudá, ani lichá rostoucí prostá omezená zdola ani maximum, ani minimum inverzní k funkci logaritmické
Přirozená exponenciální funkce:
y = ex
e ....... Eulerovo číslo (e ≅ 2,72 ) Inverzní funkce ........funkce, jejíž graf je ke grafu dané funkce souměrný podle osy 1. a 3. kvadrantu
f : y = ax + b
f −1 : x = ay + b ⇒ y =
x−b a
(funkce inverzní)
110
IGMEN
Př.:
y1 = 0,3x1 −1 − 2 ⇒ y1 = 0,3x1 ; y 2 = 3x 2 + 2 − 0,5 ⇒ y 2 = 3x 2 ;
x 01 − 1 = 0 ; y 01 = −2 x 01 = 1
x 02 + 2 = 0 ; y 02 = −0,5 x 02 = −2
EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Exponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v exponentu. Základní rovnice a f ( x ) = a g ( x ) , kde levá i pravá strana mají stejný základ mocniny a > 0, a ≠ 1 se řeší porovnáním exponentů. Rovnice typu a f ( x ) = b g ( x ) , kde levá a pravá strana nemají stejný základ mocniny a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 se řeší
pomocí logaritmů f (x ) ⋅ loga = g(x ) ⋅ logb . Složitější exponenciální rovnice se převádějí na jeden z výše uvedených tvarů. Př.:
c
5 x = 625 5x = 54 x=4
d
3 5
2x −5
3 5
2x −5
5 = 3
3
3 = 5
−3
2x − 5 = −3 2x = −3 + 5 2x = 2 x =1 111
e
1 25 = 5
x2
x
52x = 5− x
2
2x = − x 2 x 2 + 2x = 0 x (x + 2 ) = 0 x1 = 0 x 2 + 2 = 0 x 2 = −2 IGMEN
f
g
2 −3x
1 = 5x 3 33x − 2 = 5 x
21 8
2 x 21 + 2 x 2 −1 + 2 x 2 3 =
log33x − 2 = log5x
2 x (2 + 0,5 + 8) =
(3x − 2)log3 = xlog5
3xlog3 − 2log3 = xlog5
21 8
21 8
21 8 21 21 2x ⋅ = 2 8 21 21 2 2 1 2x = 8 = ⋅ = = 21 8 21 8 4 2 x 2 = 2 −2 x = −2 2 x ⋅ 10,5 =
xlog3 − xlog5 = 2log3 3
x (log27 − log5) = log32 log9 log27 − log5 x ≅ 1,3
x=
h
2 x +1 + 2 x −1 + 2 x +3 =
i
2 2x ⋅ 5 x − 2 2x −1 ⋅ 5x +1 = −600 2 2x ⋅ 5 x − 2 2x ⋅ 2 −1 ⋅ 5x ⋅ 51 = −600 1 2 2x ⋅ 5 x ⋅ 1 − ⋅ 5 = −600 2 2 5 2 2x ⋅ 5 x ⋅ − = −600 2 2 3 2 2x ⋅ 5 x ⋅ − = −600 2 600 2 2x ⋅ 5 x = 3 2 2 2 2x ⋅ 5 x = 600 ⋅ 3 1200 2 2x ⋅ 5 x = 3 x x 4 ⋅ 5 = 400
1 x 1 x ⋅2 + ⋅4 = 9 ⋅4 4 2 4 x 4 x ⋅ 2 + ⋅ 4 = 36 4 2 x 2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 2 x = 36 2
2 ⋅ 2 x + 2 x − 36 = 0 2x = y 2y 2 + y − 36 = 0 − 1 ± 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 36 ) − 1 ± 289 = = 2⋅2 4 − 1 + 17 16 = =4 − 1 ± 17 4 4 = = − 1 − 17 18 4 = − = −4,5 4 4 y12 =
20 x = 20 2
y1 = 4
y 2 = −4,5
x=2
2 x1 = 4
2 x 2 = −4,5
2 x1 = 2 2 x1 = 2
112
log2 x 2 = log(− 4,5) 1424 3 nemá smysl
IGMEN
32. Logaritmické funkce, logaritmus, vlastnosti LOGARITMICKÁ FUNKCE Logaritmická funkce o základu a je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci y = a x , kde a je libovolné kladné číslo různé od 1. Logaritmická funkce je dána výrazem y = log a x . Graf funkce .........logaritmická křivka Základní grafy:
0 < a <1
D(f ) = (0; ∞ ) H(f ) = R ani sudá, ani lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum inverzní k funkci exponenciální
a >1
D(f ) = (0; ∞ ) H(f ) = R ani sudá, ani lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum inverzní k funkci exponenciální
Přirozená logaritmická funkce:
y = ln a x
e ....... Eulerovo číslo (e ≅ 2,72 )
113
IGMEN
Př.:
y1 = log 2 (x 1 + 4 ) − 1 ⇒ y1 = log 2 x 1 ;
x 01 + 4 = 0 x 01 = −4
y 2 = −log 5 (− x 2 + 2 ) ⇒ y 2 = −log 5 (− x 2 );
; y 01 = −1
− x 02 + 2 = 0 x 02 = 2
; y 02 = 0
y 3 = log x 3 ⇒ y 3 = log x 3 ; x 03 = 0; y 03 = 0
LOGARITMUS Logaritmus je číslo, na které se musí umocnit základ, aby vzniklo logaritmované číslo.
log a r = v ⇔ a v = r log a a = 1
log a (rs ) = log a r + log a s
log a 1 = 0
r log a = log a r − log a s s a ∈ R + − {1}; r ∈ R + ; s ∈ R +
log b a =
log c a log c b
log a s r = r ⋅ log a s
a ∈ R + − {1}; r ∈ R; s ∈ R +
114
IGMEN
Typy logaritmů: dekadický logaritmus........... log10 a = loga přirozený logaritmus............ log e a = lna e ....... Eulerovo číslo (e ≅ 2,72 )
Př.:
c
log 3 x = 4 x =3
g
4
x = 81
d
logx =
a −3
h
1 loga + 2logb 2 1 2
logx = loga + logb
1 2
x = a b2
f
xy = logxy − logz = logx + logy − logz z
i
2
1
= loga − logb 1 2
1 2
− loga − logb 2 3
2 3
logx = log(a + b ) − log(a − b ) logx = log
j
3 a3 a a2 a2 = log − log = log 1 − log 2 = 3 b b2 b2 b3 1 2
logx = 2log(a + b ) − 3log(a − b ) 2
a b2 a − log3 2 = log b = log a b b2 3 2 a
1 2
1 8
1 4
= log2 + log2 + log2 = 1 1 1 7 = log2 + log2 + log2 = log2 2 4 8 8
logx = log a b 2
log
log 2 2 2 = log 2 4 2 8 2 = = log 2 + log 4 2 + log8 2 =
2
logx = log a + logb 2
e
1 = −3 27 1 1 = = 3 = 3− 3 27 3
log a
2 3
3
(a + b )2 (a − b )3
x=
(a + b )2 (a − b )3
log
5x 2 ⋅ y = log5x 2 ⋅ y − logy3 = 3 y
= log5 + logx 2 + log y − logy3 =
=
1 2
= log5 + 2logx + logy − 3logy = 1 6 = log5 + 2logx + logy − logy = 2 2 5 = log5 + 2logx − logy 2
2 3
= loga − logb − loga + logb = 2 2 1 1 loga − logb − loga + logb = 3 3 2 2 4 4 3 3 = loga − logb − loga + logb = 6 6 6 6 1 1 = − loga + logb 6 6 =
115
IGMEN
33. Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice jsou rovnice, které mají neznámou jako logaritmovaný výraz nebo se neznámá vyskytuje jako základ logaritmu. Do řešení logaritmických rovnic patří kromě podmínky také zkouška. Př.:
c
5logx + 3 logx + 5 − 2 ⋅(3logx − 4) = 3logx − 4 3logx − 4 (5logx + 3)(3logx − 4) = (logx + 5)(3logx − 4) − 2(3logx − 4) 3logx − 4 3logx − 4 5logx + 3 = logx + 5 − 2(3logx − 4)
Podmínky:
5logx + 3 = logx + 5 − (6logx − 8)
x>0 3logx − 4 ≠ 0 3logx ≠ 4 4 logx ≠ 3
5logx + 3 = logx + 5 − 6logx + 8
x ≠ 10
5logx + 3 = −5logx + 13
4 3
10logx = 10 10 10 logx = 1
Zkouška:
logx =
5logx + 3 logx + 5 −2 = 3logx − 4 3logx − 4 5log10 + 3 log10 + 5 = −2 3log10 − 4 3log10 − 4 5 + 3 1+ 5 −2 = 3− 4 3− 4 8 6 − = − −2 1 1 − 8 = −6 − 2 − 8 = −8
x = 10
116
IGMEN
d
e
log(x + 2) − log(x − 1) = 2 − log4 x+2 = log100 − log4 log x −1 100 x+2 log = log 4 x −1 x+2 log = log25 x −1 x+2 = 25 ⋅ (x − 1) x −1 (x + 2)(x − 1) = 25(x − 1) x −1 x + 2 = 25x − 25 27 = 24x 27 =x 24 9 =x 8
Podmínky:
x+2>0 x −1 > 0 x > −2 x >1 x >1
Zkouška:
log(x + 2) − log(x − 1) = 2 − log4
9 9 log + 2 − log − 1 = 2 − log4 8 8 9 8 9 16 log + − log − = 2 − log4 8 8 8 8 25 1 log − log = log100 − log4 8 8 25 100 log 8 = log 1 4 8 25 8 log ⋅ = log25 8 1 log25 = log25 Podmínky:
log 2 x + 2logx − 3 = 0
x>0
(logx )2 + 2logx − 3 = 0 logx = y y 2 + 2y − 3 = 0
Zkouška:
− 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 3) − 2 ± 4 + 12 y12 = = = 2 ⋅1 2 −2+4 2 = =1 − 2 ± 16 − 2 ± 4 2 2 = = = −2−4 6 2 2 = − = −3 2 2 y1 = 1 y 2 = −3
log 2 x 1 + 2logx 1 − 3 = 0
logx 1 = 1 logx 2 = −3 x 1 = 10
log 2 10 + 2log10 − 3 = 0 12 + 2 − 3 = 0 1+ 2 − 3 = 0 0=0 log 2 x 2 + 2logx 2 − 3 = 0 log 2 0,001 + 2log0,001 − 3 = 0
x 2 = 0,001
(− 3)2 + 2 ⋅ (− 3) − 3 = 0 9−6−3= 0 0=0
117
IGMEN
34. Vektor, operace s vektory SOUSTAVA SOUŘADNIC, SOUŘADNICE BODŮ Kartézská soustava souřadnic (ortonormální soustava souřadnic) – je to taková soustava souřadnic, která má všechny osy navzájem kolmé a na všech osách jsou jednotky stejné délky. Dělí se podle počtu os: • přímka – jednorozměrný prostor E1 – A[x A ] • rovina – dvojrozměrný prostor E 2 – A[x A ; y A ]
• prostor – trojrozměrný prostor E 3 – A[x A ; y A ; z A ]
Př.:
c
A1 [1]
A 2 [4]
A 3 [− 2]
d
A1 [1;2]
A 2 [2;−3]
A 3 [− 2;1,5]
118
IGMEN
e
A 1 [2;4;4]
A 2 [2;−3;1,5]
A 3 [− 2;1,5;−1]
VZDÁLENOST DVOU BODŮ Vzdálenost bodů A, B je rovna velikosti úsečky AB . Vzdálenost na přímce:
AB = x A − x B = x B − x A
119
IGMEN
Vzdálenost v rovině:
AB = x A − x B CD = y C − y D ∆EFG je pravoúhlý 2
2
EF = EG + FG 2
2
2
EF = x E − x F + y E − y F
2
EF = (x F − x E ) + (y F − y E ) 2
EF =
2
2
(x F − x E )2 + ( y F − y E )2
Vzdálenost v prostoru:
(x A − x B )2 + (y A − y B )2 + (z A − z B )2
AB =
Př.: Jaká je vzdálenost mezi danými body?
c
A = [− 2]; B = [7]
AB = x A − x B = − 2 − 7 = − 9 = 9
d
A = [− 1;−1]; B = [11;−6] AB =
(x B − x A )2 + (y B − y A )2
=
[11 − (− 1)]2 + [− 6 − (− 1)]2
=
(11 + 1)2 + (− 6 + 1)2
=
= 12 2 + (− 5) = 144 + 25 = 169 = 13 2
e
A = [− 1;5;1]; B = [1;1;−2] AB = =
(x B − x A )2 + (y B − y A )2 + (z B − z A )2
(1 + 1)2 + (− 4)2 + (− 3)2
[1 − (− 1)]2 + (1 − 5)2 + (− 2 − 1)2
=
=
= 2 2 + (− 4 ) + (− 3) = 4 + 16 + 9 = 29 2
120
2
IGMEN
STŘED ÚSEČKY xA + xB 2 A+B yA + yB ⇒ yS = S= 2 2 zA + zB zS = 2 xS =
Souřadnice středu úsečky jsou aritmetickým průměrem souřadnic obou krajních bodů.
Př.: Jaké souřadnice mají středy daných úseček?
c
A = [− 2]; B = [7]
xA + xB − 2 + 7 5 = = 2 2 2 5 S= 2 xS =
d
A = [− 1;−1]; B = [11;−6] x A + x B − 1 + 11 10 = = =5 2 2 2 y + y B − 1 + (− 6 ) − 1 − 6 7 yS = A = = =− 2 2 2 2 7 S = 5;− 2 xS =
e
A = [− 1;5;1]; B = [1;1;−2] x A + x B −1+1 0 = = =0 2 2 2 y + yB 5 + 1 6 yS = A = = =3 2 2 2 z + z B 1 + (− 2) 1 − 2 1 zS = A = = =− 2 2 2 2 1 S = 0;3;− 2 xS =
121
IGMEN
VEKTORY Vektor je množina všech souhlasně orientovaných úseček téže velikosti. Orientovaná úsečka AB A … počáteční bod B … koncový bod Nulová orientovaná úsečka – úsečka, u které počáteční a koncový bod splývají Rovnoběžnost orientovaných úseček: souhlasně rovnoběžné orientované úsečky koncové body náleží téže polorovině
splývající rovnoběžné orientované úsečky
nesouhlasně rovnoběžné orientované úsečky koncové body nenáleží téže polorovině
Velikost orientované úsečky AB - AB = AB
Vektor – množina všech orientovaných úseček, které mají stejný směr a velikost.
Označení vektoru AB - AB = u Souřadnice vektoru:
A = [x A ; y A ; z A ]; B = [x B ; y B ; z B ] xu = xB − xA yu = yB − yA
zu = zB − zA u = (x u ; y u ; z u )
122
IGMEN
Př.: Jaké souřadnice má vektor daný dvěma body?
A = [3;2]; B = [7;10] xu = xB − xA = 7 − 3 = 4 y u = y B − y A = 10 − 2 = 8 u = (4;8) Velikost vektoru:
u = AB = AB u = x 2u + y 2u + z 2u Operace s vektory: rovnost vektorů u = (x u ; y u ; z u ); v = (x v ; y v ; z v )
xu = xv u = v ⇔ yu = yv zu = zv opačný vektor
AB = u BA = −u opačný vektor má stejnou velikost a je nesouhlasně rovnoběžný
u = (x u ; y u ; z u );− u = (− x u ;− y u ;−z u )
( )
u+ −u = 0 násobení konstantou
u = (x u ; y u ; z u ); v = (x v ; y v ; z v ) xu = k ⋅ xv u = k ⋅ v ⇔ yu = k ⋅ yv zu = k ⋅ zv
123
IGMEN
sčítání vektorů
u = (x u ; y u ; z u ) v = (x v ; y v ; z v ) w =u+v xw = xu + xv yw = yu + yv zw = zu + zv w = (x w ; y w ; z w )
rozdíl vektorů
u = (x u ; y u ; z u ) v = (x v ; y v ; z v )
( )
w =u+ −v
xw = xu − xv yw = yu − yv zw = zu − zv w = (x w ; y w ; z w ) Př.:
u = (− 2;3); v = (4;5) w =u+v w =u−v x w = x u + x v = −2 + 4 = 2 x w = x u − x v = −2 − 4 = −6 yw = yu + yv = 3 + 5 = 8 w = (2;8)
y w = y u − y v = 3 − 5 = −2 w = (− 6;−2)
LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST VEKTORŮ Dva vektory u , v jsou lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru.
u = k ⋅ v; k ∈ R Tři vektory u , v, w jsou lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit ve tvaru:
w = k ⋅ u + l ⋅ v; k, l ∈ R . Vektor w se pak nazývá lineární kombinací vektorů u a v .
124
IGMEN
Př.:
c
u = (2;−1;0 ); v = (4;−2;0 ) u = k⋅v x u = k ⋅ x v ⇒ 2 = 4k ⇒ k =
1 2
y u = k ⋅ y v ⇒ −1 = −2k ⇒ k = z u = k ⋅ z v ⇒ 0 = 0k ⇒ k = u=
1 2
1 2
1 v 2
vektory jsou lineárně závislé
d
u = (1;2;3); v = (2;−1;1); w = (− 4;7;3) w = k ⋅u + l⋅v x w = k ⋅ x u + l ⋅ x v ⇒ −4 = k + 2l → k = −4 − 2l
y w = k ⋅ y u + l ⋅ y v ⇒ 7 = 2k − l → 7 = 2(− 4 − 2l ) − l 7 = −8 − 4l − l 7 = −8 − 5l 5l = −8 − 7 5l = −15 l = −3
z w = k ⋅ z u + l ⋅ z v ⇒ 3 = 3k + l → 3 = 3(− 4 − 2l ) + l 3 = −12 − 6l + l 3 = −12 − 5l 5l = −12 − 3 5l = −15 l = −3 k = −4 − 2l = −4 − 2 ⋅ (− 3) = −4 + 6 = 2 7 = 2k − l
3 = 3k + l
7 = 2k + 3
3 + 3 = 3k
7 − 3 = 2k
6 = 3k
4 = 2k
2=k
7 = 2k − (− 3) 3 = 3k − 3
2=k
125
IGMEN
k=2 l = −3 3 = 3k + l 3 = 3 ⋅ 2 + (− 3) 3= 6−3 3=3
7 = 2k − l 7 = 2 ⋅ 2 − (− 3) 7 = 4+3 7=7
− 4 = k + 2l − 4 = 2 + 2 ⋅ (− 3) −4 = 2−6 − 4 = −4 w = 2u − 3v
vektory jsou lineárně závislé
ÚHEL DVOU VEKTORŮ
( ) nesouhlasně rovnoběžné vektory … ∠(u , v ) = 180° souhlasně rovnoběžné vektory … ∠ u , v = 0°
v rovině
cosϕ =
v prostoru
cosϕ =
u⋅v u⋅v u⋅v u⋅v
=
x u ⋅ x v + yu ⋅ yv
=
x u ⋅ x v + yu ⋅ yv + zu ⋅ zv
u⋅v
u⋅v
Př.:
u = (− 2;1;2 ); v = (− 2;−2;1) u = x 2u + y 2u + z 2u =
(− 2)2 + 12 + 2 2
v = x 2v + y 2v + z 2v =
(− 2)2 + (− 2)2 + 12
cosϕ =
u⋅v u⋅v
=
= 4 +1+ 4 = 9 = 3
x u ⋅ x v + yu ⋅ yv + zu ⋅ z v u⋅v
=
= 4 + 4 +1 = 9 = 3
(− 2) ⋅ (− 2) + 1⋅ (− 2) + 2 ⋅1 = 4 − 2 + 2 = 4 3⋅3
9
9
ϕ = 63°36′44′′
126
IGMEN
SKALÁRNÍ SOUČIN VEKTORŮ na přímce
u ⋅ v = xu ⋅ xv
v rovině
u ⋅ v = x u ⋅ x v + yu ⋅ yv
v prostoru
u ⋅ v = x u ⋅ x v + yu ⋅ yv + zu ⋅ zv
Je-li výsledek skalárního součinu vektrorů nulový, pak jsou vektory na sebe kolmé. Př.: Jakou velikost má yv?
u = (1;−2;3); v = (4; y v ;−2 ); u ⋅ v = −2
u ⋅ v = x u ⋅ x v + yu ⋅ yv + zu ⋅ zv − 2 = 1 ⋅ 4 + (− 2 ) ⋅ y v + 3 ⋅ (− 2) − 2 = 4 − 2y v − 6 − 2 = −2 − 2y v 2y v = −2 + 2 2y v = 0 yv = 0
VEKTOROVÝ SOUČIN DVOU VEKTORŮ Vektorový součin dvou vektorů, které leží na jedné přímce je nulový vektor. Vektorový součin dvou vektorů u a v neležících na jedné přímce je vektor w , který má tyto vlastnosti: • vektor w je kolmý k vektorům u a v • směr vektoru w se dá určit pravidlem pravé ruky •
w = u ⋅ v ⋅ sinϕ
w = u×v u = (x u ; y u ; z u ) v = (x v ; y v ; z v ) w = u×v yu yv
zu zv
xu xv
yu yv
x w = yu ⋅ zv − zu ⋅ yv yw = zu ⋅ x v − x u ⋅ zv x w = x u ⋅ yv − yu ⋅ x v w = (x w ; y w ; z w )
127
IGMEN
Př.:
u = (1;3;−1); v = (2;4;5) w = u×v 3 −1 1 3 4 5 2 4 x w = y u ⋅ z v − z u ⋅ y v = 3 ⋅ 5 − (− 1) ⋅ 4 = 15 + 4 = 19
y w = z u ⋅ x v − x u ⋅ z v = (− 1) ⋅ 2 − 1 ⋅ 5 = −2 − 5 = −7
x w = x u ⋅ y v − y u ⋅ x v = 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = 4 − 6 = −2 w = (x w ; y w ; z w ) = (19;−7;−2 ) w = v× u w = (− 19;7;2 )
128
IGMEN
35. Analytická geometrie - přímky v rovině a prostoru V ROVINĚ p … přímka q … úsek
u … směrový vektor přímky n … normálový vektor přímky A = [x A ; y A ] B = [x B ; y B ] X = [x; y]
u = AB = (x B − x A ; y B − y A ) = (x u ; y u ) n = (x n ; y n ) = (y u ;− x u ) = (− y u ; x u )
Parametrické rovnice přímky:
AX u
t … parametr, t ∈ R
AX = t ⋅ u X − A = t⋅u X = A + t⋅u x = xA + xut y = yA + yu t
129
IGMEN
Př.:
c
a) jaké jsou parametrické rovnice přímky p, je-li dán bod A a směrový vektor u ? b) jaké souřadnice mají body B ležící na dané přímce, je-li parametr t roven 0; 1; -2; a)
A = [1;−2]; u = (− 2;3) x = x A + x u t = 1 + (− 2)t = 1 − 2t
b)
y1 = y A + y u t − 2 + 3t 1 = −2 + 3 ⋅ 0 = −2
B1 = [1;−2] t2 =1
Náleží body M a N přímce p?
x 2 = 1 − 2t 2 = 1 − 2 ⋅ 1 = −1
M = [5;3]; N = [− 15,5;0] x = −5 + 3t p: y = 7 + 2t M = [5;3]
y 2 = −2 + 3t 2 = −2 + 3 ⋅ 1 = 1
B 2 = [− 1;1] t 3 = −2
N = [− 15,5;0]
x = −5 + 3t y = 7 + 2t
x = −5 + 3t y = 7 + 2t
5 = −5 + 3t 3 = 7 + 2t 5 + 5 = 3t 3 − 7 = 2t 10 = 3t − 4 = 2t 10 =t 3 −2= t M∉p
− 15,5 = −5 + 3t 0 = 7 + 2t − 15,5 + 5 = 3t − 7 = 2t − 10,5 = 3t − 3,5 = t
t1 = 0 x 1 = x A + x u t = 1 − 2t 1 = 1 − 2 ⋅ 0 = 1
y = y A + y u t = −2 + 3t
d
1 ? 2
x 3 = 1 − 2t 3 = 1 − 2 ⋅ (− 2 ) = 1 + 4 = 5
y 3 = −2 + 3t 3 = −2 + 3 ⋅ (− 2 ) = −2 − 6 = −8
B 3 = [5;−8] t4 =
1 2
1 =0 2 1 4 3 1 y 4 = −2 + 3t 4 = −2 + 3 ⋅ = − + = − 2 2 2 2 1 B 4 = 0;− 2 x 4 = 1 − 2t 4 = 1 − 2 ⋅
− 3,5 = t − 3,5 = t
N∈p
Obecná rovnice přímky:
ax + by + c = 0 n = (a; b ) … normálový vektor přímky je nenulový vektor, který je k dané přímce kolmý
130
IGMEN
Př.: Jaká je obecná rovnice přímky p, je-li dán bod A a normálový vektor n ?
A = [− 1;2]; n = (3;2 ) ax + by + c = 0 3x + 2y + c = 0
3 ⋅ (− 1) + 2 ⋅ 2 + c = 0 −3+ 4+ c = 0 1+ c = 0 c = −1 3x + 2y − 1 = 0 Směrnicový tvar přímky:
y = kx + q k = tgα =
yB − yA … směrnice přímky xB − xA
q … úsek – bod, ve kterém přímka protíná osu y Př.: Jaký je směrnicový tvar přímky p, jsou-li dány bod A a B?
[
A = [0;0]; B = 1; 3
k = tgα =
]
yB − yA 3 −0 3 = = = 3 ⇒ α = 60° xB − xA 1− 0 1
A = [0;0] ⇒ q = 0
y = 3x + 0 = 3x
131
IGMEN
Převody rovnic přímek:
u = (x u ; y u ) n = (x n ; y n ) = (y u ;− x u ) = (− y u ; x u ) u ⋅ n = x u ⋅ x n + yu ⋅ yn = x u ⋅ yu − yu ⋅ x u = −x u ⋅ yu + yu ⋅ x u = 0 parametrická → obecná
obecná → parametrická
y = yA + yu t
⇓ A = [a; b] = [x A ; y A ]
ax + by + c = 0
x = xA + xut
⇓ A = [x A ; y A ] = [a; b] u = (x u ; y u ) ⇒ n = (y u ;− x u ) = (− y u ; x u ) = (x n ; y n )
n = (x n ; y n ) ⇒ u = (y n ;− x n ) = (− y n ; x n ) = (x u ; y u ) ⇓ x = xA + xut
⇓ ax + by + c = 0
y = yA + yu t
obecná → směrnicová
ax + by + c = 0 ⇓ by = −ax − c − ax − c y= b a c y=− x− b b ⇓ x = kx + q
Př.: Jaké jsou ostatní rovnice přímky − 2x + 3y − 1 = 0 ? parametrické rovnice
směrnicový tvar
n = (− 2;3) ⇒ u = (3;2 ) = (− 3;−2) A : volba : x = 1 − 2 ⋅1 + 3 y − 1 = 0
3y = 2x + 1 2x + 1 3 2 1 y= x+ 3 3
y=
y =1 A = [1;1]
⇓ x = 1 + 3t y = 1 + 2t
132
IGMEN
V PROSTORU Parametrické rovnice přímky:
X = A + u⋅t x = xA + xut y = yA + yu t z = zA + zu t Př.:
c
Jakou rovnici má přímka, je-li dána body A a B?
A = [3;−2;5]; B = [4;2;−2]
u = AB = (4 − 3;2 + 2;−2 − 5) = (1;4;−7 ) x = 3+ t y = −2 + 4t z = 5 − 7t
d
Leží dané body na přímce?
p : x = 5 − 2t A = [7;−7;6] y = −3 + 4t B = [0;0;0] z = 2 − 4t C = [2;−2;8] x A = 5 − 2t A
y A = −3 + 4t A
z A = 2 − 4t A
7 = 5 − 2t A
− 7 = −3 + 4t A
6 = 2 − 4t A
2t A = 5 − 7
− 7 + 3 = 4t A
4t A = 2 − 6
2t A = −2
− 4 = 4t A
4t A = −4
t A = −1
−1 = t A
t A = −1
A∈p
133
IGMEN
36. Analytická geometrie - roviny ρ … rovina
u , v … směrové vektor roviny n … normálový vektor roviny
A = [x A ; y A ; z A ]
B = [x B ; y B ; z B ]
C = [x C ; y C ; z C ] X = [x; y; z ]
u = AB = (x B − x A ; y B − y A ) = (x u ; y u ; z u ) v = AC = (x C − x A ; y C − y A ) = (x v ; y v ; z v ) n = (x n ; y n ; z n ) Parametrické rovnice roviny:
AX = k ⋅ u + l ⋅ v X − A = t⋅u +s⋅v X = A + t⋅u +s⋅v x = x A + x u t + x vs y = y A + y u t + y vs z = z A + z u t + z vs Př.: Jakou rovnici má rovina, je-li dána body A, B a C?
A = [0;0;4]; B = [3;2;−1]; C = [0;5;2]
u = AB = (3 − 0;2 − 0;−1 − 4) = (3;2;−5) v = AC = (0 − 0;5 − 0;2 − 4 ) = (0;5;−2 ) x = 0 + 3t + 0s = 3t y = 0 + 2t + 5s = 2t + 5s z = 4 − 5t − 2s
134
IGMEN
Obecná rovnice roviny:
ax + by + cz + d = 0 n = (a; b; c ) … normálový vektor roviny je nenulový vektor, který je k dané rovině kolmý a je tedy kolmý ke směrovým vektorům dané roviny Př.: Jakou rovnici má rovina, je-li dána bodem A a normálovým vektorem n ?
A = [2;2;5]; n = (3;2;−1)
3x + 2y − z + d = 0 3⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 5 + d = 0 6+ 4−5+d = 0 5+d = 0 d = −5 3x + 2y − z − 5 = 0 Zvláštní případy obecné rovnice: a) b) c) d) e) f)
d = 0 … rovina prochází počátkem z = 0 … rovina je rovnoběžná s osou z x = 0, d = 0 … rovina obsahuje osu x y = 0, z = 0 … rovina je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou yz y = 0, z = 0, d = 0 … rovina yz x = 0, y = 0 … rovina je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou xy
135
3x − 2y − z = 0 3x − 2y − 10 = 0 y − 3x = 0 2x + 3 = 0 x=0 z − 1,5 = 0
IGMEN
Převod parametrických rovnic na rovnici obecnou:
n = u×v Př.: Jakou má rovina obecnou rovnici, je-li dána rovnicemi parametrickými?
x = 3 − 2t + 3s y = 1 + t − 2s z = 3 − 4t + s
A = [3;1;3]; u = (− 2;1;−4 ); v = (3;−2;1) n = u×v x n = y u ⋅ z v − z u ⋅ y v = 1⋅1 − (− 4 ) ⋅ (− 2) = 1 − 8 = −7
y n = z u ⋅ x v − x u ⋅ z v = (− 4) ⋅ 3 − (− 2) ⋅1 = −12 − (− 2) = −12 + 2 = −10
x n = x u ⋅ y v − y u ⋅ x v = (− 2) ⋅ (− 2) − 1 ⋅ 3 = 4 − 3 = 1 n = (− 7;−10;1) − 7x − 10y + z + d = 0 (− 7 ) ⋅ 3 − 10 ⋅1 + 3 + d = 0 − 21 − 10 + 3 + d = 0 − 28 + d = 0 d = 28 − 7x − 10y + z + 28 = 0
136
IGMEN
37. Analytická geometrie - vzájemná poloha přímky a roviny, dvou rovin VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A ROVINY p … přímka ρ … rovina rovnoběžné
různoběžné
up ⋅ nρ = 0
up ⋅ nρ ≠ 0
splývající p ⊂ ρ
různé p ⊄ ρ
A∈p A ∈ρ
A∈p A ∉ρ
průsečík P – z parametrické rovnice přímky p se dosadí do rovnice roviny ρ → vyjádří se parametr tp → parametr se dosadí zpět do parametrických rovnic přímky p a vyjdou souřadnice průsečíku P
Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny?
c
p : xp = tp
d
p : xp = 2 + tp
yp = 1− t p
y p = 3 + 2t p
z p = 3 − 2t p
zp = 1− tp
ρ : 3x + 5y − z − 2 = 0
ρ : x − 2y + z − 5 = 0
u p = (1;−1;−2 ); n p = (3;5;−1)
u p = (1;2;−1); n p = (1;−2;1)
u p ⋅ n p = 1 ⋅ 3 + (− 1) ⋅ 5 + (− 2 ) ⋅ (− 1) =
u p ⋅ n p = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (− 2) + (− 1) ⋅ 1 =
= 3−5+ 2 = 0
= 1 − 4 − 1 = −4
A = [0;1;3]
rovnoběžné
3 ⋅ 0 + 5 ⋅1 − 3 − 2 = 0
x − 2y + z − 5 = 0 (2 + t p ) − 2(3 + 2t p ) + (1 − t p ) − 5 = 0
5−3− 2 = 0
2 + t p − 6 − 4t p + 1 − t p − 5 = 0
0=0
− 8 − 4t p = 0
A∈ρ splývající
různoběžné
− 8 = 4t p − 2 = tp
x = 2 + t p = 2 + (− 2 ) = 2 − 2 = 0
y = 3 + 2t p = 3 + 2 ⋅ (− 2 ) = 3 − 4 = −1
z = 1 − t p = 1 − (− 2) = 1 + 2 = 3 P = [0;−1;3]
137
IGMEN
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU ROVIN ρ, σ … rovina rovnoběžné
různoběžné
nρ = k ⋅ nσ
nρ ≠ k ⋅ nσ
splývající jedna obecná rovnice roviny je násobkem druhé obecné rovnice roviny
různé jedna obecná rovnice roviny není násobkem druhé obecné rovnice roviny
průsečnice p – přímka, jejíž směrový vektor u p se vypočítá vektorovým součinem normálových vektorů
n ρ a n σ rovin ρ a σ → směrový vektor u p přímky p se dosadí do obecných rovnic rovin ρ a σ → vypočítají se souřadnice bodu A tak, že se dosadí do jedné ze souřadnic libovolné číslo (např. x = 0 ) a zbylé souřadnice se dopočítají jako soustava dvou rovnic o dvou neznámých → z bodu A a směrového vektoru u p přímky p lze vytvořit parametrické rovnice průsečnice p Př.: Jaká je vzájemná poloha dvou rovin?
c
ρ : 3x ρ + y ρ − 5z ρ − 12 = 0
d
ρ : 3x ρ + 7y ρ + z ρ + 4 = 0
σ : 2x σ + 6z σ − 3 = 0
σ : 9x σ + 21y σ + 3z σ + 12 = 0
n ρ = (3;1;−5); n σ = (2;0;−3)
n ρ = (3;7;1); n σ = (9;21;3)
nρ ≠ k ⋅ nσ
nρ =
různoběžné
up = nρ × nσ
1 ⋅ nσ 3 rovnoběžné
9x σ + 21y σ + 3z σ + 12 = 0
x p = y ρ ⋅ z σ − z ρ ⋅ y σ = 1 ⋅ 6 − (− 5) ⋅ 0 =
3 ⋅ (3x σ + 7y σ + z σ + 4) = 0
= 6−0 = 6
splývající
y p = z ρ ⋅ x σ − x ρ ⋅ z σ = (− 5) ⋅ 2 − 3 ⋅ 6 =
= −10 − 18 = −28 z p = x ρ ⋅ y σ − y ρ ⋅ x σ = 3 ⋅ 0 − 1 ⋅ 2 = 0 − 2 = −2 u p = (6;−28;−2 ) x=0 2 ⋅ 0 + 6z − 3 = 6z − 3 ⇒ 6z = 3 ⇒ z =
1 2
p : x p = 6t p
3 ⋅ 0 + y − 5z − 12 = y − 5z − 12 ⇒ y = 5z + 12 = 27 1 A = 0; ; 2 2 138
5 5 + 24 27 + 12 = = 2 2 2
27 − 28t p 2 1 z p = − 2t p 2 yp =
IGMEN
38. Analytická geometrie - vzájemná poloha dvou přímek v rovině a prostoru V ROVINĚ p, q … přímky
u p , u q … směrové vektory přímek p a q n p , n q … normálové vektory přímek p a q rovnoběžné
různoběžné
up = k ⋅ uq; np = k ⋅ nq
up ≠ k ⋅ uq; np ≠ k ⋅ nq
splývající jedna obecná rovnice přímky je násobkem druhé obecné rovnice přímky
různé jedna obecná rovnice přímky není násobkem druhé obecné rovnice přímky
průsečík P – bod, ve kterém se přímky p a q protínají – vypočítá se převedením rovnic přímek p a q na parametrické rovnice, u kterých se porovnají x-ové a yové části, z nichž vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých – parametry t a s, poté se jeden z těchto parametrů dosadí do parametrických rovnic přímky (t do p nebo s do q) a vypočítá se průsečík P
Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny?
c
p : x p = 1 + 3t q : x q = 2 − 4s yp = 2 − t
d
yq = 1 + s
p : 3x p + 2y p − 1 = 0 q : − 6x q − 4y q + 2 = 0
u p = (3;−1); u q = (− 4;1)
n p = (3;2 ); n q = (− 6;−4 )
up ≠ k ⋅ uq
1 np = − nq 2
xp = xq
yp = yq
1 + 3t = 2 − 4s 3t + 4s = 2 − 1 3t + 4s = 1
2 − t = 1+ s 2 −1 = t + s t +s =1
3t + 4s = 1 t + s = 1⇒ t = 1− s 3(1 − s ) + 4s = 1 3 − 3s + 4s = 1 s = 1− 3 s = −2
t t t t
různoběžné
− 6x q − 4y q + 2 = 0
rovnoběžné
(− 2) ⋅ (3x q + 2y q − 1) = 0 splývající
= 1− s = 1 − (− 2 ) = 1+ 2 =3
P : x p = 1 + 3t = 1 + 3 ⋅ 3 = 1 + 9 = 10 y p = 2 − t = 2 − 3 = −1
P = [10;−1]
139
IGMEN
V PROSTORU p, q … přímky
u p , u q … směrové vektory přímek p a q n p , n q … normálové vektory přímek p a q rovnoběžné
nerovnoběžné
up = k ⋅ uq; np = k ⋅ nq
up ≠ k ⋅ uq; np ≠ k ⋅ nq
splývající
různé
A∈q
A∉q
A∈p
různoběžné P existuje
A∈p
mimoběžné P neexistuje
průsečík P – bod, ve kterém se přímky p a q protínají – vypočítá se z parametrických rovnic přímek p a q, u kterých se porovnají x-ové, y-ové a z-ové části, z nichž vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých – parametry t a s, poté se jeden z těchto parametrů dosadí do parametrických rovnic přímky (t do p nebo s do q) a vypočítá se průsečík P Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny?
c
p : x p = −1 + 3t q : x q = −49 + 48s yp = 3 + t
y q = −37 + 37s
z p = 2t
z q = 4s
3t − 48s = −48 3 ⋅ 2s − 48s = −48 6s − 48s = −48 − 42s = −48
n p = (3;1;2 ); n q = (48;37;4 )
48 42 8 s= 7
s=
np ≠ k ⋅ nq nerovnoběžné
x p = xq
y p = yq
− 1 + 3t = −49 + 48s 3t − 48s = −48
3 + t = −37 + 37 s t − 37 s = −40
z p = zq 2t = 4s t = 2s
140
P:
t − 37s = −40 2s − 37s = −40 − 35s = −40 40 s= 35 8 s= 7
8 = 7 384 − 343 + 384 41 = −49 + = = 7 7 7 8 yq = −37 + 37s = −37 + 37 ⋅ = 7 296 − 343 + 296 47 = −37 + = =− 7 7 7 8 32 z q = 4s = 4 ⋅ = 7 7 41 47 32 P = ;− ; 7 7 7 x q = −49 + 48s = −49 + 48 ⋅
IGMEN
d
p : x p = 1 + 3t
q : x q = 3 − 6s
yp = 2 − t
y q = 1 + 2s
z p = 3 + 2t
z q = −1 − 4s
n p = (3;−1;2 ); n q = (− 6;2;−4 ) 1 np = − nq 2 A ∈ p; A = [1;2;3]
rovnoběžné
1 3 1 y q = 1 + 2s ⇒ 2 = 1 + 2s ⇒ 1 = 2s ⇒ s = 2 z q = −1 − 4s ⇒ 3 = −1 − 4s ⇒ 4s = −4 ⇒ s = −1 x q = 3 − 6s ⇒ 1 = 3 − 6s ⇒ 6s = 2 ⇒ s =
různé
141
IGMEN
39. Analytická geometrie - metrické úlohy metodou souřadnic ODCHYLKY Dvě přímky v rovině:
ϕ ∈ 0°;90°
Odchylka
dvou
(
)
přímek
ze směrových
(normálových) vektorů u p , u q n p , n q se vypočítá podle vzorce:
cosϕ =
up ⋅ uq
=
up ⋅ uq
np ⋅ nq np ⋅ nq
Př.:
p : 2x − 3y + 3 = 0 q : 5x − y − 10 = 0 n p = (2;−3); n q = (5;−1) n p ⋅ n q = 2 ⋅ 5 + (− 3) ⋅ (− 1) = 10 + 3 = 13 = 13
cosϕ =
n p = 2 2 + (− 3) = 4 + 9 = 13 2
=
n q = 5 + (− 1) = 25 + 1 = 26 2
2
13 13 2
np ⋅ nq np ⋅ nq =
1 2
⋅
= 2 2
13 13 ⋅ 26 =
=
13 13 ⋅ 13 ⋅ 2
2 ⇒ ϕ = 45° 2
Dvě přímky v prostoru:
cosϕ =
up ⋅ uq up ⋅ uq
Dvě roviny v prostoru:
cosϕ =
nρ ⋅ nσ nρ ⋅ nσ
142
IGMEN
=
Přímka a rovina:
cosβ =
up ⋅ nρ up ⋅ nρ
ϕ = 90° − β Př.:
c
p : x = 1+ t
q : x = 2s
y = −4t z = −3 + t
y = −2 − 2s z = −s
u p = (1;−4;1)
u q = (2;−2;−1)
d
p : x = 1+ t y = −4t z = −3 + t
ρ : 2x − 2y − z + 1 = 0 n ρ = (2;−2;−1)
u p = (1;−4;1)
u p ⋅ u q = 1 ⋅ 2 + (− 4 ) ⋅ (− 2 ) + 1 ⋅ (− 1) =
u p ⋅ n ρ = 1⋅ 2 + (− 4) ⋅ (− 2) + 1⋅ (− 1) =
= 2 + 8 −1 = 9 = 9
= 2 + 8 −1 = 9 = 9
u p = 12 + (− 4) + 12 = 1 + 16 + 1 =
u p = 12 + (− 4 ) + 12 = 1 + 16 + 1 =
= 18 = 9 ⋅ 2 = 3 2
= 18 = 9 ⋅ 2 = 3 2
2
2
u q = 2 2 + (− 2) + (− 1) = 4 + 4 + 1 =
n ρ = 2 2 + (− 2 ) + (− 1) = 4 + 4 + 1 =
= 9 =3
= 9 =3
2
cosϕ =
=
up ⋅ uq up ⋅ uq
=
2
2
9 9 1 2 = = ⋅ = 3 2 ⋅3 9 2 2 2
2 ⇒ ϕ = 45° 2
cosβ =
u p ⋅ nρ u p ⋅ nρ
=
2
9 9 1 2 = = ⋅ = 3 2 ⋅3 9 2 2 2
2 ⇒ β = 45° 2 ϕ = 90° − β = 90° − 45° = 45° =
143
IGMEN
VZDÁLENOSTI Bod a přímka v rovině:
p : ax + by + c = 0 A = [x A ; y A ]
v=
Bod a přímka v prostoru:
ax A + by A + c np
X = [x X ; y X ; z X ]
p : x = xA + xut y = yA + yu t z = zA + zut
Vypočítat obecnou rovnici roviny ρ, která je kolmá k přímce p a obsahuje bod X:
u p = (x u ; y u ; z u ) = (a; b; c )
ρ : ax X + by X + cz X + d = 0 ⇒ d ax + by + cz + d = 0 Vypočítat souřadnice bodu P, který je průsečíkem přímky p s rovinou ρ:
P : a (x A + x u t ) + b(y A + y u t ) + c(z A + z u t ) + d = 0 ⇒ t xP = xA + xut yP = yA + yu t zP = zA + zu t
P = [x P ; y P ; z P ]
Vzdálenost bodu a přímky:
v = XP Bod a rovina:
ρ : ax + by + cz + d = 0 A = [x A ; y A ; z A ]
v=
ax A + by A + cz A + d nρ
Př.:
c
p : 3x − 4y + 5 = 0
A = [− 1;1]
v=
ax A + by A + c np
=
3 ⋅ (− 1) − 4 ⋅1 + 5 32 + (− 4 )
2
=
−3− 4+5 9 + 16
144
=
−2 25
=
2 5
IGMEN
d
p: x = 3+ t
X = [0;2;3]
y = 5 + 2t z = −t u p = (1;2;−1) ρ : ax X + by X + cz X + d = 0
1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + (− 1) ⋅ 3 + d = 0 0+ 4−3+ d = 0
1+ d = 0 d = −1 x + 2y − z − 1 = 0 P : a (x A + x u t ) + b(y A + y u t ) + c(z A + z u t ) + d = 0
(3 + t ) + 2(5 + 2t ) − (− t ) − 1 = 0
3 + t + 10 + 4t + t − 1 = 0 6t + 12 = 0 6t = −12 t = −2
x P = x A + x u t = 3 + t = 3 + (− 2 ) = 3 − 2 = 1
y P = y A + y u t = 5 + 2t = 5 + 2(− 2 ) = 5 − 4 = 1
z P = z A + z u t = − t = −(− 2 ) = 2 P = [x P ; y P ; z P ] = [1;1;2]
XP = (x p − x X ; y P − y X ; z P − z X ) = (1 − 0;1 − 2;2 − 3) = (1;−1;−1) v = XP = 12 + (− 1) + (− 1) = 1 + 1 + 1 = 3 2
2
145
IGMEN
40. Analytická geometrie kuželoseček – kružnice Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu S stejnou vzdálenost r.
r = XS … poloměr kružnice
S = [m; n ] … střed kružnice X = [x; y] … bod ležící na kružnici
x 2 + y 2 = r 2 … středová rovnice kružnice se středem v bodě S = [0;0]
(x − m )2 + (y − n )2 = r 2 … středová rovnice kružnice se středem v bodě S = [m; n ] x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 … obecná rovnice kružnice Poloha bodů na kružnici dané středovou rovnicí:
x 2 + y 2 = r 2 … bod leží na kružnici x 2 + y 2 < r 2 … bod leží uvnitř kružnice x 2 + y 2 > r 2 … bod leží vně kružnice Toto platí i pro kružnice dané středovou rovnicí (x − m ) + (y − n ) = r 2 . 2
2
Převod rovnic: středová → obecná
(x − m )
(x
2
2
+ (y − n ) = r 2
obecná → středová
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
2
) (
)
x 2 + ax + y 2 + by + c = 0
− 2xm + m 2 + y 2 − 2yn + n 2 = r 2
výrazy x 2 + ax a y 2 + by se doplní na vzorec typu
x 2 − 2xm + m 2 + y 2 − 2yn + n 2 − r 2 = 0
A 2 + 2AB + B2 = (A + B)
2
x 2 + y2 − 2yn + m 2 4 + n 243 −4 r2 = 0 12xm 23 − 123 142 a
b
⇓
c
x + y + ax + by + c = 0 2
2
(x − m ) + (y − n )2 − r 2 = 0 (x − m )2 + ( y − n )2 = r 2 2
146
IGMEN
Př.:
c
d
Jaká je středová rovnice kružnice?
S = [0;0]; X = [− 3;2]
S = [0;0]; r = 2
x 2 + y2 = r 2
(− 3)2 + 2 2 = r 2
x 2 + y2 = r 2 ⇒ x 2 + y2 = 4
9 + 4 = r2
A = [4;3]
B = [1;1]
C = [2;0]
4 2 + 32 = 4
12 + 12 = 4
22 + 02 = 4
16 + 9 = 4
1+1 = 4
4+0 = 4
25 > 4
2<4
4=4
13 = r 2 x 2 + y 2 = 13
e
Jakou polohu mají dané body vzhledem ke kružnici?
Jaká bude středová a obecná rovnice kružnice?
S = [1;−2]; r = 3
f
2
(x
2
)
(
)
+ 8x + 16 − 16 + y 2 − 10y + 25 − 25 − 75 = 0
(x + 16) + (y − 5) − 116 = 0 (x + 16)2 + (y − 5)2 = 116 2
− 2x + 1) + (y 2 + 4y + 4) = 9
x 2 − 2x + 1 + y 2 + 4y + 4 − 9 = 0
g
x 2 + y 2 − 2x + 4y + 1 + 4 − 9 = 0 x + y − 2x + 4y + −4 = 0 2
x 2 + y 2 + 8x − 10y − 75 = 0 x 2 + 8x + y 2 − 10y − 75 = 0
(x − m )2 + (y − n )2 = r 2 (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9
(x
Jaká bude středová rovnice kružnice?
2
2
Jaká bude středová rovnice kružnice?
x 2 + y 2 − 2x + 4y + 7 = 0 x 2 − 2x + y 2 + 4y + 7 = 0
(x
2
)
(
)
− 2x + 1 − 1 + y 2 + 4y + 4 − 4 + 7 = 0
(x − 1) + (y + 2) + 2 = 0 (x − 1)2 + (y + 2)2 = −2 2
2
r 2 ≠ −2
x 2 + y 2 − 2x + 4y + 7 = 0 není rovnice kružnice
147
IGMEN
41. Analytická geometrie kuželoseček – elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou stálých bodů F1 , F2 (ohnisek) stálý součet vzdáleností, který je větší, než vzdálenost těchto bodů (2e).
S = [m; n ] … střed elipsy F1 , F2 … ohniska elipsy X = [x; y] … bod ležící na elipse A, B … hlavní vrcholy elipsy C, D … vedlejší vrcholy elipsy přímka F1 F2 … hlavní osa elipsy vedlejší osa elipsy … přímka, která je kolmá na hlavní osu elipsy a prochází středem S
a = AS = BS … velikost hlavní poloosy elipsy b = CS = DS … velikost vedlejší poloosy elipsy
a 2 = b2 + e2
e = F1S = F2S … výstřednost (excentricita) elipsy Středové rovnice elipsy: hlavní osa je rovnoběžná s osou x
x 2 y2 + =1 a 2 b2
hlavní osa je rovnoběžná s osou y
S = [0;0]
S = [m; n ]
S = [0;0]
(x − m ) 2 + ( y − n )2 a2
b2
=1
x 2 y2 + =1 b2 a 2
S = [m; n ]
(x − m )2 + (y − n )2 b2
Obecná rovnice elipsy:
Poloha bodů na kružnici dané středovou rovnicí:
x + y + ax + by + c = 0 A > 0; B > 0; A ≠ B
x 2 y2 + = 1 … bod leží na elipse a 2 b2 x 2 y2 + < 1 … bod leží uvnitř elipsy a 2 b2 x 2 y2 + > 1 … bod leží vně elipsy a 2 b2
2
2
Toto platí i pro elipsy dané středovou rovnicí
a2
(x − m ) 2 + ( y − n )2 a2
b2
Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice.
148
IGMEN
=1
= 1.
Př.:
c
d
Jaká je středová rovnice elipsy?
a = 3; b = 5; S = [0;0] x 2 y2 + =1 b2 a 2 x 2 y2 + =1 5 2 32 x 2 y2 + =1 25 9
Jaká je obecná rovnice elipsy?
(x +
(y − 2 ) 2) + 4
2
2
=1
(x + 2 ) + (y − 4 2 ) = 1 ⋅ 4 4(y − 2 ) =4 4(x + 2 ) + 2
2
2
2
( 4(x
4
) + (y − 2 ) + 2 2 x + 2) + (y
4x+ 2 2
2
2
=4
2
− 2 2y + 2 = 4
)
4x 2 + 8 2 x + 8 + y 2 − 2 2 y + 2 − 4 = 0 4x 2 + y 2 + 8 2 x − 2 2 y + 8 + 2 − 4 = 0 4x 2 + y 2 + 8 2 x − 2 2 y + 6 = 0 4x 2 + y 2 + 8 2 x − 2 2 y = −6
e
Jaké jsou středová rovnice elipsy, velikost a, b, e a souřadnice S, F1, F2, A, B, C a D?
4x 2 + 9y 2 − 8x − 36y + 4 = 0 4x 2 − 8x + 9y 2 − 36y + 4 = 0
S = [m; n ] = [1;2]
4 x 2 − 2x + 9 y 2 − 4y + 4 = 0
a2 = 9 ⇒ a = 3
( 4(x
2
) ( ) − 2x + 1) − 1 ⋅ 4 + 9(y
2
)
− 4y + 4 − 4 ⋅ 9 + 4 = 0
4(x − 1) + 9(y − 2 ) − 4 − 36 + 4 = 0 2
2
4(x − 1) + 9(y − 2 ) = 36 2
2
a 2 = b2 + e2 ⇒ e = a 2 − b2 = 9 − 4 = 5
: 36
[ = [m + e; n ] = [1 +
] 5 ;2]
F1 = [m − e; n ] = 1 − 5 ;2
4(x − 1) 9(y − 2 ) 36 + = 36 36 36 2 2 (x − 1) + (y − 2) = 1 9 4 2
b2 = 4 ⇒ b = 2
2
F2
A = [m − a; n ] = [− 2;2] B = [m + a; n ] = [4;2] C = [m; n + b] = [1;4] D = [m; n − b] = [1;0]
149
IGMEN
42. Analytická geometrie kuželoseček – hyperbola Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od bodů F1 , F2 (ohnisek) je rovna kladné konstantě.
S = [m; n ] … střed hyperboly F1 , F2 … ohniska hyperboly A, B … hlavní hyperboly přímka F1 F2 … hlavní osa hyperboly vedlejší osa hyperboly … přímka, která je kolmá na hlavní osu a prochází středem S
a = AS = BS … velikost hlavní poloosy hyperboly e = F1S = F2S … výstřednost (excentricita) hyperboly
e2 = a 2 + b2
b = e 2 − a 2 … velikost vedlejší poloosy hyperboly Středové rovnice hyperboly: hlavní osa je rovnoběžná s osou x
x 2 y2 − =1 a 2 b2
hlavní osa je rovnoběžná s osou y
S = [m; n ]
S = [0;0]
(x − m ) 2 − ( y − n )2 a2
b2
S = [m; n ]
S = [0;0] =1
−
x 2 y2 + =1 b2 a 2
−
(x − m ) 2 + ( y − n )2 b2
asymptoty hyperboly
asymptoty hyperboly
(y − n ) = ± b (x − m ) a
(y − n ) = ± a (x − m )
a2
b
Obecná rovnice hyperboly:
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice.
150
IGMEN
=1
Př.:
c
d
Jaká je středová rovnice hyperboly?
a = 12; e = 20; S = [2;4]
Jaká je obecná rovnice hyperboly?
−
(x + 3)2 + (y + 2)2
−
(x + 3)2 + (y + 2)2
b = e 2 − a 2 = 20 2 − 12 2 = 400 − 144 = = 256 = 16
−
9
9
=1
= 1 ⋅9 9 9 2 2 9(x + 3) 9(y + 2) − + = 1⋅ 9 9 9 2 2 − (x + 3) + (y + 2) = −9
(x − m )2 + ( y − n )2
=1 b2 a2 (x − 2 )2 + ( y − 4 )2 = 1 − 16 2 12 2 2 2 ( ( x − 2) y − 4) − + =1 256 144
(
) (
)
− x 2 + 6x + 9 + y 2 + 4y + 4 − 9 = 0 − x − 6x − 9 + y + 4y + 4 − 9 = 0 2
2
− x 2 + y 2 − 6x + 4y − 9 + 4 − 9 = 0 − x 2 + y 2 − 6x + 4y − 14 = 0
⋅ (− 1)
x 2 − y 2 + 6x − 4y + 14 = 0
e
Jaké jsou středová rovnice hyperboly, velikost a, b, e a souřadnice S, F1, F2, A a B?
4x 2 − 9y 2 + 18y − 45 = 0
( − 9(y
)
4x 2 − 9 y 2 − 2y − 45 = 0 4x 2
2
)
− 2y + 1 + 9 − 45 = 0
S = [m; n ] = [0;1] a2 = 9 ⇒ a = 3
4x 2 − 9(y − 1) − 36 = 0
b2 = 4 ⇒ b = 2
4x 2 − 9(y − 1) = 36
e 2 = a 2 + b 2 ⇒ e = a 2 + b 2 = 9 + 4 = 13
2 2
4x 2 9(y − 1) 36 − = 36 36 36 2 2 (y − 1) = 1 x − 9 4
: 36
2
F1 = [m − a; n ] = [− 3;1] F2 = [m + a; n ] = [3;1]
[ ] B = [m + e; n ] = [ 13;1] A = [m − e; n ] = − 13;1
151
IGMEN
43. Analytická geometrie kuželoseček – parabola Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od bodu F a od dané přímky d, F∉d . F … ohnisko paraboly V … vrchol paraboly (střed FD) d … řídící přímka paraboly o … osa paraboly (F ∈ o, o⊥d )
p = FD … parametr paraboly (vzdálenost ohniska od řídicí přímky)
Vrcholové rovnice paraboly: osa paraboly je rovnoběžná s osou x
osa paraboly je rovnoběžná s osou y
V = [0;0]
V = [0;0]
V = [0;0]
V = [0;0]
kladná poloosa
záporná poloosa
kladná poloosa
záporná poloosa
y = 2px
y = −2px
x = 2py
x 2 = −2py
V = [m; n ]
V = [m; n ]
V = [m; n ]
V = [m; n ]
kladná poloosa
záporná poloosa
kladná poloosa
záporná poloosa
2
(y − n )
2
2
= 2p(x − m )
(y − n )
2
2
= −2p(x − m )
Obecné rovnice paraboly: osa paraboly je rovnoběžná s osou x
(x − m )
2
= 2p(y − n )
(x − m )2 = −2p(y − n )
osa paraboly je rovnoběžná s osou y
y + ax + by + c = 0 a≠0
x 2 + ax + by + c = 0 b≠0
2
Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice.
152
IGMEN
Př.:
c
Jaké bude mít daná parabola souřadnice ohniska, vrcholu, parametr a rovnici řídící přímky?
d
y = 6x ⇒ o x; V = [0;0] 2
Jaká bude rovnice paraboly?
V = [0;0], F = [0;−2] ⇒ x 2 = −2py 1 1 ⋅p ⇒ 2 = ⋅p ⇒ 2⋅2 = p ⇒ 4 = p 2 2 2 2 x = −2 ⋅ 4y ⇒ x = −8y VF =
y = 6x 2p = 6 ⇒ p = 3 y 2 = 2px 1 1 3 3 VF = ⋅ p = ⋅ 3 = ⇒ F = ;0 2 2 2 2 2
3 1 1 3 ⋅ p = ⋅ 3 = ⇒ D = − ;0 2 2 2 2 d: 3 x=− 2 DV =
e
f
Jaká bude rovnice paraboly, která prochází bodem A a má osu rovnoběžnou s osou y?
V = [− 2;1], A = [0;3], o y
Jaká bude vrcholová rovnice paraboly?
2x 2 − 6x − 10y − 3 = 0
(
)
2 x 2 − 3x − 10y − 3 = 0 9 9 2 x 2 − 3x + − − 10y − 3 = 0 4 4 9 9 2 x 2 − 3x + − 2 ⋅ − 10y − 3 = 0 4 4
(x − m )2 = 2p(y − n ) (x + 2)2 = 2p(y − 1) (0 + 2)2 = 2p(3 − 1)
2
2 2 = 2p ⋅ 2
3 18 2 x − − − 10y − 3 = 0 2 4
4 = 4p 1= p
2
3 9 6 2 x − − − 10y − = 0 2 2 2
(x + 2)2 = 2 ⋅1(y − 1) (x + 2)2 = 2(y − 1)
2
3 15 2 x − − 10y − = 0 2 2 2
3 15 2 x − = 10y + 2 2 15 2 3 x − = 5y + 2 2 2
:2
2
3 15 1 x − = 5y + ⋅ 2 2 2 2
3 15 x − = 5y + 2 4 2
3 3 x − = 5 y + 2 4
153
IGMEN
44. Analytická geometrie – vzájemná poloha kuželosečky a přímky VZÁJEMNÁ POLOHA KUŽELOSEČKY A PŘÍMKY Kružnice:
p : y = kx + q
Elipsa:
k: x +y =r 2
2
p : y = kx + q
2
řešení soustavy dvou rovnic – kvadratická rovnice: 2 řešení → sečna 1 řešení → tečna 0 řešení → vnější přímka
řešení soustavy dvou rovnic – kvadratická rovnice: 2 řešení → sečna 1 řešení → tečna 0 řešení → vnější přímka
Hyperbola:
p : y = kx + q
e : x 2 y2 + =1 a 2 b2
Parabola:
př : y = kx + q
h : x 2 y2 − =1 a 2 b2
pa : y 2 = 2px
řešení soustavy dvou rovnic – kvadratická rovnice: 2 řešení → sečna 1 řešení → tečna 0 řešení → vnější přímka řešení soustavy dvou rovnic – lineární rovnice: → rovnoběžka s osou paraboly
řešení soustavy dvou rovnic – kvadratická rovnice: 2 řešení → sečna 1 řešení → tečna 0 řešení → vnější přímka řešení soustavy dvou rovnic – lineární rovnice: 1 řešení → rovnoběžka s asymptotou 0 řešení → asymptota
TEČNY KUŽELOSEČEK
rovnice tečny v bodě T = [x T ; y T ]
rovnice kuželosečky Kružnice:
Elipsa:
x +y =r 2
2
x ⋅ x T + y ⋅ yT = r 2
2
(x − m )2 + (y − n )2 = r 2
(x − m )(x T − m ) + (y − n )(y T − n ) = r 2
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
x ⋅ x T + y ⋅ yT +
x 2 y2 + =1 a 2 b2 (x − m )2 + (y − n )2 = 1 a2 b2 x 2 y2 + =1 b2 a 2 (x − m ) 2 + ( y − n )2 = 1 a2 b2
x ⋅ x T y ⋅ yT + 2 =1 a2 b (x − m )(¸x T − m ) (y − n )(y T − n ) + =1 a2 b2 x ⋅ x T y ⋅ yT + 2 =1 a b2 (x − m )(x T − m ) (y − n )(y T − n ) + =1 b2 a2 a b x ⋅ x T + y ⋅ y T + (x + x T ) + (y + y T ) + c = 0 2 2
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
154
a (x + x T ) + b (y + y T ) + c = 0 2 2
IGMEN
x ⋅ x T y ⋅ yT − 2 =1 a2 b (x − m )(¸x T − m ) (y − n )(y T − n ) − =1 a2 b2 x⋅x y⋅y − 2 T + 2 T =1 b a (x − m )(x T − m ) (y − n )(y T − n ) − + =1 b2 a2 a b x ⋅ x T + y ⋅ y T + (x + x T ) + (y + y T ) + c = 0 2 2 y ⋅ y T = ± p(x + x T )
x 2 y2 − =1 a 2 b2 (x − m ) 2 − ( y − n )2 = 1 b2 a2 x 2 y2 − 2 + 2 =1 a b (x − m ) 2 + ( y − n )2 = 1 − a2 b2
Hyperbola:
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 y 2 = ±2px
Parabola:
(y − n )(y T − n ) = ± p(x + x T − 2m ) x ⋅ x T = ± p(y + y T ) (x − m )(x T − m ) = ± p(y + y T − 2n )
(y − n )2 = ±2p(x − m ) x = ±2py 2
(x − m )2 = ±2p(y − n )
a (x + x T ) + b ( y + y T ) + c = 0 2 2 a b x ⋅ x T + (x + x T ) + ( y + y T ) + c = 0 2 2 y ⋅ yT +
y 2 + ax + by + c = 0 x 2 + ax + by + c = 0 Př.:
c
d
Jaká je vzájemná poloha přímky a paraboly?
př :
3x − 7y + 30 = 0 ⇒ x =
7y − 30 3
Jaká je vzájemná poloha přímky a paraboly?
př :
y−3 = 0 ⇒ y = 3
pa : y 2 = −4x
pa : y = 9x 2
y 2 = −4x
y 2 = 9x
32 = −4x
7y − 30 3 9(7y − 30 ) y2 = 3 2 y = 3(7y − 30 )
9 = −4x
y2 = 9 ⋅
−
: (− 4 )
9 =x 4
Vyšla lineární rovnice → přímka je rovnoběžná
9 ;3 4
s osou paraboly a protíná jí v bodě M = −
y = 21y − 90 2
y 2 − 21y + 90 = 0 21 ± 212 − 4 ⋅ 1 ⋅ 90 = 2 ⋅1 21 ± 441 − 360 21 ± 81 = = = 2 2 21 + 9 30 = = 15 21 ± 9 2 2 = 21 − 9 12 2 = =6 2 2 y1,2 =
7 ⋅15 − 30 = 25 3 7 ⋅ 6 − 30 x 2 = 6 ⇒ y2 = =4 3 x1 = 15 ⇒ y1 =
Přímka je sečna a protíná parabolu v bodech M1 = [25;15] a M 2 = [4;6] .
155
IGMEN
e
f
Jaká je vzájemná poloha přímky a elipsy?
p: x = t
y = 10 + t
Jaká bude rovnice tečny?
(x − 3)2 + (y − 2)2 16
e : 8x 2 + 20y 2 = 160
16 4 (x − 3)(2 − 3) + (y − 2)(1 − 2) = 1 16 4 (x − 3)(− 1) + (y − 2)(− 1) = 1 16 4 (x − 3) − (y − 2) = 1 ⋅16 − 16 4 − (x − 3) − 4(y − 2 ) = 16 − x + 3 − 4y + 8 = 16 − 4y + 11 = x + 16 − 4y = x + 16 − 11
2
(
= 1; T = [2;1]
(x − 3)(x T − 3) + (y − 2)(y T − 2) = 1
8x 2 + 20y 2 = 160 8t 2 + 20(10 + t ) = 160
4
)
8t 2 + 20 100 + 20t + t 2 = 160 8t 2 + 2000 + 400t + 20t 2 − 160 = 0 28t 2 + 400t − 1840 = 0 − 400 ± 400 2 − 4 ⋅ 28 ⋅ (− 1840 ) = 2 ⋅ 28 − 400 ± 160000 + 206080 = = 56 − 400 ± − 46080 = 2 ⋅ 28 t 1,2 =
− 4y = x + 5
vnější přímka
156
y=−
: (− 4)
x 5 − 4 4
IGMEN
45. Limita a spojitost funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET – OKOLÍ BODU ε okolí bodu a je množina všech bodů x, jejichž vzdálenost od bodu a je menší než ε. Způsoby zápisů:
x = a − ε; a + ε a −ε < x < a +ε x −a < ε
LIMITA FUNKCE Funkce y = f (x ) je definována v okolí bodu a. Říká se, že funkce y = f (x ) má v bodě a limitu L, jestliže ke každému ε-okolí bodu L existuje takové δokolí bodu a, že pro každé x z δ-okolí bodu a leží jeho funkční hodnota f (x ) v ε-okolí bodu L.
lim f (x ) = L ⇔ Vε ∈ R∃δ ∈ R; Vx ∈ (a − δ; a + δ ) ⇒ x →a
⇒ f (x ) ∈ (L − ε; L + ε )
Limita a spojitost funkce: Funkce y = f (x ) je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a definována a má limitu rovnu funkční hodnotě. Pravidla pro počítání s limitami:
lim f (x ) = L; lim g(x ) = K x →a
1 =0 x →∞ x 1 lim = 0 x → −∞ x sinx lim =1 x →0 x x lim =1 x →0 sinx lim
x →a
lim[f (x ) ± g(x )] = lim f (x ) ± lim g(x ) = L ± K x →a
x →a
x →a
lim[f (x ) ⋅ g(x )] = lim f (x ) ⋅ lim g(x ) = L ⋅ K x →a
x →a
x →a
f (x ) L f (x ) lim = x →a = ; g(x ) ≠ 0, K ≠ 0 x → a g (x ) lim g(x ) K
lim
x →a
lim c ⋅ f (x ) = c ⋅ lim f (x ) = c ⋅ L; c ∈ R x →a
x →a
157
IGMEN
Nevlastní limity ve vlastních bodech: Říká se, že funkce f (x ) má v bodě a limitu ∞ právě tehdy, když ke každému reálnému číslu K existuje takové δ-okolí bodu a, že pro všechna x z okolí bodu a platí, že f (x ) > K . Vlastní limity v nevlastních bodech:
Nevlastní limity v nevlastních bodech:
158
IGMEN
Jednostranné limity:
1 x 1 lim = ∃/ x →0 x 1 lim = −∞ x →0 − x 1 lim = ∞ x →0 + x y=
Př.:
x 2 − 3 22 − 3 4 − 3 1 = = = lim x →2 x + 4 2+4 6 6 3 2 2x 2 + 3x − 5 2 ⋅ 0 2 + 3 ⋅ 0 − 5 0 + 0 − 5 5 x 2x 2 + 3x − 5 2x + 3x − 5x = lim = lim = = = − = −1 lim x →0 x →0 x →0 5 5 5 5 5x 5x 2 −1 1 −1 t −1 t (t + 1) t +t = = = = lim = = lim lim x → −1 3 t 2 − 1 x → −1 3(t − 1)(t + 1) x → −1 3(t − 1) 3(− 1 − 1) 3 ⋅ (− 2 ) − 6 6 1 1 cosx − sinx cosx − sinx cosx − sinx = lim = = = lim = lim lim 2 2 π π π π cos2x 2 2 x → cosx + sinx x → cos x − sin x x → (cosx − sinx )(cosx + sinx ) x→ 4 4 4 4 + 2 2 1 2 2 1 = = ⋅ = 2 2 2 2 2
(
(
)
)
2 x 2 + x − 12 = lim 2 x →3 2x − x − 15 −1− 7 − 8 = = −4 − 1 ± 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 12) − 1 ± 1 + 48 − 1 ± 49 − 1 ± 7 2 2 = = = x 1,2 = −1+ 7 6 ⋅ 2 1 2 2 2 = =3 2 2 = = − − 1 11 10 = = −2,5 1 ± 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 15) 1 ± 1 + 120 1 ± 121 1 ± 11 4 4 = = = x 1,2 = 1 + 11 12 2⋅2 4 4 4 = =3 4 4 (x + 4)(x − 3) = lim x + 4 = lim x + 4 = 3 + 4 = 7 = 7 = lim x →3 2(x + 2,5)(x − 3) x →3 2(x + 2,5) x →3 2x + 5 2 ⋅ 3 + 5 6 + 5 11
159
IGMEN
46. Derivace funkce Nechť je dána funkce y = f (x ) . Jestliže v bodě x0
f (x ) − f (x 0 ) , pak se říká, že funkce x →x 0 x − x0
existuje limita lim
y = f (x ) má v bodě x0 derivaci rovnu této limitě.
Geometrický význam derivace – směrnice tečny v daném bodě ( y = kx + q ) . Značení derivace funkce y = f (x ) :
y′ = f ′(x ) =
df (x ) df = dx dx
Derivace elementárních funkcí:
y=c y=x y = xn y = x −n y = xa y = ax y = ex y = log a x y = lnx y = sinx y = cosx y = tgx y = cotgx
y′ = 0 y′ = 1 y′ = nx n −1 y′ = −nx x −1 y′ = ax a −1 y′ = a x lna y′ = e x 1 y′ = xlna 1 y′ = x y′ = cosx y′ = −sinx 1 y′ = cos 2 x 1 y′ = − 2 sin x
c∈R x∈R x∈R x ∈ R − {0}; x ≠ 0; n ∈ N; n ≥ 1 x > 0; a ∈ R − {0} x ∈ R; a > 0; a ≠ 1 x∈R x > 0; a > 0; a ≠ 1 x>0 x∈R x∈R π x ≠ (2k + 1) ; k ∈ Z 2 x ≠ k ⋅ π; k ∈ Z
Pravidla pro počítání s derivacemi: Násobení konstantou ′ Součet a rozdíl Součin
Podíl
(c ⋅ f (x )) = c ⋅ f ′(x ) (f (x ) ± g(x ))′ = f ′(x ) ± g′(x ) f (x ) = u; g(x ) = v (u ⋅ v )′ = u′ ⋅ v + u ⋅ v′ f (x ) = u; g(x ) = v
′ u u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ = v2 v
160
IGMEN
Př.:
c
d
e
1 1 = x −1 ⇒ y′ = −1x −1−1 = − x − 2 = − 2 ; x ≠ 0 x x 1 1 1 3 2 3 3 3 1 −1 1 − 1 − 1 1 1 x x x y = 3 x = x 3 ⇒ y′ = x 3 = x 3 3 = x 3 = ⋅ 2 = ⋅3 = = ;x ≠ 0 3 3 3 3 3 33 x 2 x 33 x 3 3x x 6 y = 3 − 5 = 6x −3 − 5 x 18 y′ = 6 ⋅ (− 3)x −3−1 − 0 = −18x − 4 = − 4 ; x ≠ 0 x sinx + cosx y= sinx − cosx (cosx − sinx )(sinx − cosx ) − (sinx + cosx )(cosx + sinx ) = y′ = (sinx − cosx )2 y=
= = =
(cosx ⋅ sinx − cos x − sin 2
2
) (
x + sinx ⋅ cosx − sinx ⋅ cosx + sin 2 x + cos 2 x + cosx ⋅ sinx
(sinx − cosx )
2
cosx ⋅ sinx − cos x − sin x + sinx ⋅ cosx − sinx ⋅ cosx − sin 2 x − cos 2 x − cosx ⋅ sinx 2
2
(sinx − cosx )2
)=
=
− 2cos 2 x − 2sin 2 x
(sinx − cosx )2
Derivace složené funkce:
y = f [g(x )]
g(x ) = v y = f (v ) y′ = f ′(v ) ⋅ v′ Př.:
c d
y = sin (3x − 1) y′ = cos(3x − 1) ⋅ (3 − 0) = 3cos(3x − 1) y = ln (2x + 4 ) 1 2 2 1 y′ = ⋅ (2 + 0) = = = ; x ≠ −2 2x + 4 2x + 4 2(x + 2) x + 2
161
IGMEN
Derivace funkce dané implicitně: Př.:
c
x 2 + xy + y 2 = 0 2x + y + xy ′ + 2yy′ = 0 xy ′ + 2yy ′ = −2x − y y ′(x + 2y ) = −2x − y y′ =
− 2x − y ; x ≠ −2y x + 2y
d
e
x 2 + y2 − 5 = 0 2x + 2yy′ − 0 = 0 2yy′ = −2x 2x y′ = − 2y x y′ = − ; y ≠ 0 y
y 2 − 4x = 0 2yy′ − 4 = 0 2yy′ = 4 4 2y 2 y′ = ; y ≠ 0 y
y′ =
Logaritmická derivace: Př.:
c
d
1
y = xx
y = x sinx lny = lnx sinx lny = sinx ⋅ lnx 1 1 ⋅ y′ = cosx ⋅ lnx + sinx x y
1 x
lny = lnx 1 lny = lnx x lnx lny = x 1 ⋅ x − lnx ⋅1 1 x ⋅ y′ = x2 y 1 − lnx 1 ⋅ y′ = x2 y 1 − lnx ⋅y y′ = x2 1 1 − lnx x ⋅x ;x > 0 y′ = x2
sinx y′ = cosx ⋅ lnx + ⋅ y x sinx sinx y′ = cosx ⋅ lnx + ⋅x ;x > 0 x
162
IGMEN
47. Fyzikální a geometrický význam derivace GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE f (x ) − f (x 0 ) y − y0 = lim x→x 0 x →x 0 x − x x − x0 0
y ′ = lim
Derivace v bodě x0 je směrnicí tečny v daném bodě.
y′(x 0 ) = k = tgα
t : y − y 0 = k (x − x 0 ) T = [x 0 ; y 0 ]
Př.:
c
k : y = x 2 − 2x T = [1; y T ] y T : y T = x 2 − 2x = 12 − 2 ⋅1 = 1 − 2 = −1 T = [1;−1]
k : y = x 2 − 2x y′ = 2x − 2 y′(x T ) = 2 ⋅1 − 2 = 2 − 2 = 0 = k t : y − y 0 = k (x − x 0 )
y − (− 1) = 0 ⋅ (x − 1) y +1 = 0 y = −1
FYZIKÁLNÍ VÝZNAM DERIVACE ds = s′ dt dv zrychlení .............. a = = v′ dt rychlost ................ v =
163
IGMEN
Př.:
c
m = 10kg; t = 5s; E k = ? s = 1+ t + t2; Ek =
1 mv 2 2
v = s′ = 0 + 1 + 2t = 1 + 2 ⋅ 5 = 11 m
s
1 10 ⋅121 1210 ⋅10 ⋅112 = = = 605J 2 2 2 t = 10s; v = ?
Ek =
d
s = 2t 3 − 3 v = s′ = 2 ⋅ 3t 2 − 0 = 6 ⋅10 2 = 6 ⋅100 = 600 m
e
s
v = 0m ;t = ? s 1 s = t 4 − 4t 3 + 16t 2 4
(
)
1 3 ⋅ 4t − 4 ⋅ 3t 2 + 16 ⋅ 2t = t 3 − 12t 2 + 32t = t t 2 − 12t + 32 4 2 0 = t t − 12t + 32 t1 = 0 2 12 ± (− 12) − 4 ⋅1⋅ 32 12 ± 144 − 128 12 ± 16 12 ± 4 t 2,3 = = = = 2 ⋅1 2 2 2 v = s′ =
(
)
12 + 4 16 = =8 2 2 12 − 4 8 = =4 2 2
t1 = 0s; t 2 = 8s; t 3 = 4s
164
IGMEN
48. Vyšetřování průběhu funkce Při vyšetřování průběhu funkce se používá následující postup: 1) Určení definičního oboru D(f ) , průsečíků s osami a spojitosti funkce.
D(f ) … definiční obor – všechna x, pro která má daná funkce smysl
2) Určení sudosti, lichosti funkce. sudost ......... f (− x ) = f (x ) ............funkce je souměrná podle osy y
lichost ......... f (− x ) = −f (x ) ..........funkce je souměrná podle počátku soustavy souřadnic 3) Určení stacionárních bodů – bodů podezřelých z extrému.
y′ = 0
4) Určení rostoucích, klesajících intervalů funkcí zjištěných pomocí stacionárních bodů. → jakýkoli bod z intervalu se dosadí do y′ : y′ > 0 ........rostoucí y′ < 0 ........klesající 5) Určení lokálních extrémů podle velikosti y′′ ve stacionárních bodech.
y ′′(x s ) > 0 ..... ve stacionárním bodě je lokální minimum y′′(x s ) < 0 ...... ve stacionárním bodě je lokální maximum
6) Určení inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. inflexní bod ............... bod, ve kterém se funkce mění z konvexní na konkávní nebo naopak
y′′ = 0 konvexní funkce ........ y′′ > 0
konkávní funkce ........ y′′ < 0
7) Určení asymptot funkce. a) asymptoty rovnoběžné s osou y lim f (x ) = ∞ , pak přímka x = x 0 je asymptota x→x 0
x 0 … bod nespojitosti b) asymptoty rovnoběžné s osou x lim f (x ) = a , pak přímka y = a je asymptota x →∞
c) asymptoty směrnicového typu y = kx + q za podmínky, že lim f (x ) = ∞ , platí k = lim x →∞
x →∞
f (x ) a q = lim[f (x ) − kx ] x →∞ x
8) Načrtnutí grafu funkce do soustavy souřadnic s využitím zjištěných vlastností.
165
IGMEN
Př.:
x 2 − 2x + 1 1+ x2 1) D(f ) = R y=
průsečík s osou x: y = 0 ⇒
x 2 − 2x + 1 =0 1+ x2 x 2 − 2x + 1 = 0 2 ± 2 2 − 4 ⋅1 ⋅1 2 ± 4 − 4 2 ± 0 = = =1 2 ⋅1 2 2 P1 = [1;0] x 1,2 =
průsečík s osou y: x = 0 ⇒
02 − 2 ⋅ 0 + 1 0 − 0 + 1 = =1 1 + 02 1+ 0 P2 = [0;1] y=
funkce je spojitá 2)
(− x )2 − 2(− x ) + 1 = (− 1)2 ⋅ x 2 + 2x + 1 = x 2 + 2x + 1 2 2 1+ x2 1 + (− x ) 1 + (− 1) ⋅ x 2 f (− x ) ≠ f (x ) f (− x ) ≠ −f (x ) f (− x ) =
funkce není ani sudá, ani lichá 3)
y′ = =
(2x − 2 + 0)(1 + x 2 ) − (x 2 − 2x + 1)(0 + 2x ) = (2x − 2)(1 + x 2 ) − 2x (x 2 − 2x + 1) =
(1 + x )
2 2
2 2
y′ = 0 ⇒
2
2 2
2
(− 1)2 − 2(− 1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2 2 1+1 2 1 + (− 1) S1 = [− 1;2] y s1 =
2
x 2 −1 = 0 x2 =1 x 1,2 = ±1
(− ∞;−1) 2 2((− 2) − 1) y′ = (1 + (− 2)2 )2 2(4 − 1) y′ = (1 + 4)2 y′
2
2 2
2 2
4)
2 2
2x + 2x 3 − 2 − 2x 2 − 2x 3 + 4x 2
(1 + x ) 2(x − 1) =0 (1 + x ) 2(x − 1) = 0
(1 + x ) − 2x 2x − 2 2(x − 1) = = (1 + x ) (1 + x )
6 25 y′ > 0 rostoucí y′ =
12 − 2 ⋅ 1 + 1 1 − 2 + 1 0 = = =0 1+1 2 1 + 12 S 2 = [1;0] (− 1;1) (1; ∞ ) 2 22 − 1 2 ′ y = 2 0 −1 2 y′ = 1 + 22 2 2 1+ 0 2(4 − 1) 2(0 − 1) y′ = (1 + 4)2 y′ = 2 (1 + 0) 6 y′ = −2 25 y′ = 1 y′ > 0 y′ = −2 rostoucí y′ < 0 y s2 =
(
(
)
)
(
(
)
)
klesající 166
IGMEN
5)
y′ =
2x 2 − 2
(1 + x )
2 2
2 2 ( 4x − 0)(1 + x 2 ) − (2x 2 − 2) ⋅ 2(1 + x 2 )(0 + 2x ) 4x (1 + x 2 ) − (2x 2 − 2) ⋅ 4x (1 + x 2 ) y ′′ = = =
(1 + x ) (1 + x )[4x (1 + x ) − 4x (2x − 2)] = 4x(1 + x ) − 4x (2x = (1 + x ) (1 + x ) 4x (3 − x ) = (1 + x )
(1 + x )
2 4
2 4
2
2
2
2
2
−2
3
3
+ 8x
2 3
2 3
2 4
) = 4x + 4x − 8x (1 + x )
=
12x − 4x 3
(1 + x )
2 3
2
2 3
y ′′(− 1) = y ′′(1) =
6)
(
4(− 1) 3 − (− 1)
2
(1 + (− 1) )
2 3
(
4 ⋅ 1 3 − 12
) = − 4(3 − 1) = − 8 = − 8 = −1 < 0 ⇒ lokální maximum (1 + 1)3
) = 4(3 − 1) =
(1 + 1 ) (1 + 1) y′′ = 0 ⇒ 4x (3 − x ) =0 (1 + x ) 4x (3 − x ) = 0 2 3
3
23
8
8 8 = = 1 > 0 ⇒ lokální minimum 23 8
2
2 3
2
x1 = 0 3 − x 22 = 0 3 = x 22 ± 3 = x2
(− ∞;− 3 ) 4(− 2 )(3 − (− 2 ) ) y′′ = (1 + (− 2) ) 2
2 3
− 8(3 − 4 ) (1 + 4)2 8 y′′ = 25 y′′ > 0
y′′ =
)
3;0 2 4(− 1) 3 − (− 1)
(
(1 + (− 1) )
)
2 3
− 4(3 − 1) (1 + 1)2 −8 y′′ = 4 ′ ′ y <0
y′′ =
y′′ = y′′
(−
konvexní funkce 7) x − 2x + 1 y= 1+ x2
konkávní funkce
(0; 3 ) y′′ =
(
4 ⋅1 3 − 1
2
(1 + 1 )
2 3
4(3 − 1) (1 + 1)2 8 y′′ = 4 ′ ′ y >0
y′′ =
)
( y′′ =
)
3; ∞ 4 ⋅ 2 3 − 22
(
(1 + 2 )
)
2 3
8(3 − 4 ) (1 + 4)2 −8 y′′ = 25 y′′ < 0
y′′ =
konvexní funkce konkávní funkce
2
1 x 2 2x 1 2 1 1− + 2 − 2+ 2 2 x − 2x + 1 x − 2x + 1 x 2 x x = lim x x = 1− 0 + 0 = 1 lim = lim ⋅ = lim x 2 2 2 x →∞ x →∞ x →∞ 1 x →∞ 1 1 x 1+ x 1+ x 0 +1 +1 + 2 2 2 2 x x x x rovnice asymptoty je y = 1 2
2
167
IGMEN
=
8)
168
IGMEN
49. Aplikace extrémů funkcí v úlohách Využití derivací při řešení slovních úloh. Př.:
c
V rovině jsou dány body A = [0;3] a B = [4;5] . Jaké musí mít bod M souřadnice, aby ležel na ose x a součet AM + BM byl minimální?
M ∈ x ⇒ M = [x;0] y = AM + BM AM =
(x A − x M )2 + (y A − y M )2
BM =
(x B − x M ) 2 + ( y B − y M )2
(0 − x )2 + (3 − 0)2
y=
(4 − x )2 + (5 − 0)2
+
= x 2 + 32 +
(4 − x )2 + 5 2
(
= x + 9 + 16 − 8x + x + 25 = x + 9 + 41 − 8x + x = x + 9 2
2
2
2
2
=
) + (41 − 8x + x ) 1 2
1 2 2
Derivace funkce:
(
1 2 x +9 2
y′ =
(
2x 2 x +9 2
=
x
=
x2 + 9
)
) ⋅ (2x + 0 ) + 12 (x
−
−
1 2
1 2
+
− 8x + 41
2
(
1 2 x − 8x + 41 2
)
−
1 2
) ⋅ (2x − 8 + 0 ) = −
1 2
⋅ 2(x − 4 ) =
x
(x
2
+9
)
1 2
+
2(x − 4 )
(
2 x − 8x + 41 2
)
−
1 2
=
x−4
+
x 2 − 8x + 41
Určení stacionárních bodů:
y′ = 0 x
x2 + 9
+
x−4 x 2 − 8x + 41
=0
x−4 = − 2 x2 + 9 x − 8x + 41 x
(x
x2 2
+9
)
2
= (− 1) ⋅ 2
(x
2
(x − 4 )2
2
− 8x + 41
)
2
x2 x 2 − 8x + 16 = x 2 + 9 x 2 − 8x + 41 x 2 x 2 − 8x + 41 = x 2 − 8x + 16 x 2 + 9
(
) (
)(
)
x − 8x + 41x = x + 9x − 8x − 72x + 16x 2 + 144 4
3
2
4
2
3
x 4 − 8x 3 + 41x 2 − x 4 − 9x 2 + 8x 3 + 72x − 16x 2 − 144 = 0 16x 2 + 72x − 144 = 0
:4
169
IGMEN
2x 2 + 9x − 18 = 0 x1,2 =
− 9 − 15 24 =− = −6 4 4 − 9 + 15 6 3 = = 4 4 2
− 9 ± 9 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 18) − 9 ± 81 + 144 − 9 ± 225 − 9 ± 15 = = = 2⋅2 4 4 4 2
x1 = −6; x 2 =
3 2
Druhá derivace funkce – důkaz minima:
(
y′ = x x 2 + 9
(
)
−
y ′′ = 1 ⋅ x 2 + 9
(
1 2
)
−
)
+ (x − 4) x 2 − 8x + 41 1 2
(
1 + x ⋅− x2 + 9 2
(
−
1 2
) ⋅ (2x + 0) + (1 − 0)(x −
3 2
2
)
− 8x + 41
−
1 2
+
)
3 − 1 + (x − 4) ⋅ − x 2 − 8x + 41 2 ⋅ (2x − 8 + 0) = 2 3 − (x − 4)(2x − 8) ⋅ x 2 − 8x + 41 − 32 = 1 1 2x 2 2 2 + x 9 = − ⋅ + − 1 1 2 2 x 2 − 8x + 41 2 x2 + 9 2
(
= =
(
)
1 x2 + 9 1 x2 + 9
(x
− −
x2
(x (x
2
+9
)
x 2 − 8x + 41
x2
2
)
)
1
+
3
(
+ 9 ⋅ x2 + 9
2
+ 9 − x2
2
2
2
(x
2
=
(x
2
+
−
2(x − 4)(x − 4)
(
)
2 x − 8x + 41
1 x 2 − 8x + 41
2
−
)
+ 9 ⋅ x2 + 9
)
9
+9 ⋅ x +9 2
− 8x + 41 − (x − 4 )
(x
( x − 4 )2 2
2
+
(x
2
) (x
− 8x + 41 ⋅
2
)
− 8x + 41
=
2
2
x 2 − 8x + 41 − x 2 + 8x − 16
(x
=
2
2
+
3
)
2
2
2
9
2
2
2
2
=
(x
+
(
) = (x + 9)⋅ x + 9 (x − 8x + 41)⋅ (x − 8x + 41) x +9−x x − 8x + 41 − (x − 8x + 16 ) = + = (x + 9)⋅ x + 9 (x − 8x + 41)⋅ (x − 8x + 41) =
)
)
) (x
− 8x + 41 ⋅
− 8x + 41
2
− 8x + 41
25
) (x
− 8x + 41 ⋅
)
2
=
)
y′′ > 0 pro každé x ⇒ x 1,2 jsou lokální minima
170
IGMEN
Určení velikosti funkčních hodnot stacionárních bodů:
y = x 2 + 9 + 41 − 8x + x 2 2
2
3 3 3 3 y = + 9 + 41 − 8 ⋅ + = 2 2 2 2 =
9 36 164 48 9 + + − + = 4 4 4 4 4
45 125 + = 4 4
9 25 3 5 8 3 5 ⋅ 5+ ⋅ 5 = ⋅ 5 + ⋅ 5 = 5 + = 5 ⋅ = 4 5 4 4 2 2 2 2 2
y(− 6 ) =
(− 6)2 + 9 +
41 − 8 ⋅ (− 6 ) + (− 6 ) = 36 + 9 + 41 + 48 + 36 = 45 + 125 = 2
= 9 ⋅ 5 + 25 ⋅ 5 = 3 5 + 5 5 = 5 (3 + 5) = 8 5
3
Minimálního součtu nabývá funkce v bodě M = ;0 . 2
d
Jaké budou rozměry rotačního válce o maximálním objemu vepsaného do koule o poloměru R? objem válce .... V = πr 2 ⋅ v objem koule.... V =
4 3 πR 3
Vztah mezi poloměrem válce a poloměrem koule:
v r = R − 2 2
2
2
Funkce pro objem válce:
v2 v3 V = π R 2 − v = πR 2 ⋅ v − π 4 4 Určení extrémních hodnot z první derivace:
R = konst.
v3 4 3 3v 2 = πR 2 − πv 2 V ′ = πR 2 ⋅ 1 − π 4 4 V′ = 0 ⇒ 3 πR 2 − πv 2 = 0 4 3 πR 2 = πv 2 : π 4 3 R 2 = v2 4 4 2 R = v2 3 4 3 2 3 4 2 ⋅ R R = R= v= 3 3 3 3 V = πR 2 ⋅ v − π
171
IGMEN
Určení poloměru podstavy válce: 2
2 3 2 2 2 R 2 3 2 3 1 v 2 2 2 2 3 r = R − = R − R ⋅ = R − R = = R − 2 3 2 6 2 = R2 − =
2 2 33 2 3R 2 R 2 12 2 4⋅3 2 2 2 = − = − R = − = R R R R 3 3 36 36 62
2R 2 = 3
2 3
⋅
3 3
⋅R =
6 ⋅R 3
Důkaz extrému pomocí druhé derivace:
3 V′ = πR 2 − πv 2 4 3 6 3 V′′ = 0 − π ⋅ 2v = − πv = − πv 4 4 2 2 3 3 2 3 6 3 3 V′′ R = − π ⋅ R=− πR = − πR 6 2 6 12 2 2 3 V′′ R < 0 6 jedná se o lokální minimum
172
IGMEN
50. Neurčitý integrál - metody integrace NEURČITÝ INTEGRÁL – PRIMITIVNÍ FUNKCE Je dána funkce f definována na intervalu (a, b ) . Říká se, že funkce F je primitivní funkcí f na intervalu (a, b ) , jestliže platí: F′(x ) = f (x ); Vx ∈ (a, b ) .
Libovolná primitivní funkce F k funkci f na intervalu (a, b ) se nazývá neurčitý integrál funkce f a označuje se
∫ f (x )dx = F(x ) + c .
Neurčité integrály elementárních funkcí:
y = xn y=c y = xn y = x −1 = y = sinx y = cosx
x n +1 n +1 y = cx x n +1 y= n +1 y=
1 x
x ∈ R; n ∈ N x ∈ R; c ∈ R x > 0; n ∈ R; n ≠ −1
y = ln x
x≠0
y = −cosx y = sinx
x∈R x∈R (2k + 1)π x≠ 2 x ≠ kπ x∈R
y = tgx
y = −ln cosx
y = cotgx y = ex
y = ln sinx y = ex ax y= lna y = x (lnx − 1)
y = ax y = lnx 1 y= cos 2 x 1 y=− 2 sin x
y = tgx y = cotgx
x > 0; a > 0 x>0 (2k + 1)π x≠ 2 x ≠ kπ
Pravidla pro počítání s integrály: Násobení konstantou c ⋅ f (x )dx = c ⋅ f (x )dx Součet a rozdíl Integrál lineární funkce
∫ ∫ ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx F(ax + b ) ∫ f (ax + b )dx = a + c
173
IGMEN
Př.: 4 ∫ x dx =
x5 +c 5 8 3
5 3
8
x 3 33 ∫ x dx = ∫ x dx = 8 + c = x 3 ⋅ 8 + c = 8 8 3 1 x −3 1 −4 dx x dx = = +c= − 3 +c ∫ x4 ∫ −3 3x 2 1 1 − 32 2 − 12 x2 x2 − x x x x 2 2 dx dx dx x x x x dx x x = − = − = − = ⋅ − ⋅ ∫ x ∫ x x ∫ 1 1 ∫ ∫ dx = x2 x2 3
5
5
3
x2 x2 2 5 2 3 = − +c= x − x +c 5 3 5 3 2 2
(e x ) − 1 dx = (e x − 1)(e x + 1) dx = (e x + 1)dx = e x + x + c e 2x − 1 dx = ∫ ex −1 ∫ ex −1 ∫ ex −1 ∫ 2
∫2
−6
dx = 2 −6 x + c
METODY INTEGRACE Substituční metoda:
t = ϕ(x )
′(x )dx = (x3)) ⋅ ϕ1 = f (t )dt ∫ f (1ϕ2 424 3 dt = ϕ′(x )dx ∫ t
dt
Př.:
1 − x = t 6 − dx = dt = t 5 (− 1)dt = − t 5 dt = − t + c = − 1 (1 − x )6 + c ( ) 1 x dx − = ∫ ∫ ∫ 6 6 dx = −dt 5
3 e x − 1 = t 1 x dt t2 2 3 2 x x x 2 e e 1 dx e dx dt e t t d t dt t +c= − = = = = = = +c= x ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 3 e dt 2 dx = x e lnx = t 1 lnx 1 1 t2 ln 2 x dx lnx dx dx dt t xdt tdt c = ⋅ = = + = +c = = = ∫ x ∫ x ∫ 2 2 ∫ x x dx = xdt
174
(e
x
)
3
−1 + c
IGMEN
cosx = t 2 2 5 4 2 2 ∫ sin xdx = ∫ sinx ⋅ sin xdx = ∫ sinx ⋅ sin x dx = ∫ sinx ⋅ 1 − cos x dx = − sinxdx = dt = dt dx = − sinx 2 4 dt t3 t5 t3 t5 = ∫ sinx ⋅ 1 − t 2 ⋅ (− 1) = − ∫ 1 − t 2 dt = − ∫ 1 − 2t 2 + t 4 dt = − t − 2 + + c − t + 2 − + c = sinx 3 5 3 5
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
cos 3 x cos 5 x = −cosx + 2 − +c 3 5 cosx = t sinx sinx dt 1 ∫ tgxdx = ∫ cosx dx = − sinxdx = dt = ∫ t ⋅ (− 1) sinx = −∫ t dt = −ln t + c = −ln cosx + c dt dx = − sinx 3x − 2 = t dt 1 1 1 ∫ cos(3x − 2)dx = 3dx = dt = ∫ cost 3 = 3 ∫ costdt = 3 sint + c = 3 sin (3x − 2) + c dt dx = 3 8x 3 + 27 = t 1 8 ⋅ 3x 2 dx = dt 2 2 1 t3 x 1 −3 x2 dt 1 1 1 1 dx = 24x 2 dx = dt = ∫ ⋅ = 2 ∫3 3 ∫ 3 t 2 dt = 24 ∫ 2 dt = 24 ∫ t dt = 24 ⋅ 1 + c = 2 3 2 24 24x t 8x + 27 t3 dt 3 dx = 24x 2 1 3 3 3 3 1 8x + 27 + c = 3 8x 3 + 27 + c = ⋅3 t + c = 24 24 8 − 2x + 1 = t 1 1 1 t 1 at a − 2x +1 t − 2x +1 dx a dx 2dx dt a dt a dt c = ⋅ − = = − = = − = − ⋅ + = − +c ∫ ∫ a 2x −1 ∫ ∫ 2 2 2 lna 2lna dt dx = − 2 1 − x 2 = t 3x 3x 1 dt 1 3 3 1 3 3 2 dx 2xdx dt = − = = ∫ t ⋅ − 2 x = − 2 ∫ t dt = − 2 ∫ t dt = − 2 ln t + c = − 2 ln 1 − x + c 2 ∫1− x dt dx = − 2x sinx = t dt sinx t t t sinx cosx e dx cosxdx dt ⋅ = = = ∫ cosx ⋅ e cosx = ∫ e dt = e + c = e + c ∫ dt dx = cosx
(
)
175
IGMEN
sinx = t 2 3 2 2 2 2 ∫ sin x ⋅ cos xdx = ∫ sin x ⋅ cos x ⋅ cosxdx = ∫ sin x ⋅ 1 − sin x ⋅ cosxdx = cosxdx = dt = dt dx = cosx sin 3 x sin 5 x t3 t5 dt = ∫ t 2 ⋅ 1 − t 2 ⋅ cosx = ∫ t 2 ⋅ 1 − t 2 dt = ∫ t 2 − t 4 dt = − + c = − +c 3 5 3 5 cosx sinx = t dt 3 2 2 2 ∫ cos xdx = ∫ cos x ⋅ cosxdx = ∫ 1 − sin x ⋅ cosxdx = cosxdx = dt = ∫ 1 − t ⋅ cosx cosx = dt dx = cosx sin 3 x t3 2 = ∫ 1 − t dt = t − + c = sinx − +c 3 3 e 2x + 1 = t 2x e 2x dt 1 e 2x = ⋅ 2x = ∫ dt = ln t + c = ln e 2x + 1 + c = = dx e dx dt ∫ ∫ e 2x + 1 t e t dt dx = 2x e
(
(
)
(
(
(
)
(
)
)
)
(
)
)
Metoda „per partes“:
∫ u′vdx = uv − ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx Př.:
u = x v ′ = e x x x x x x x x x ⋅ = x e dx = x ⋅ e − ∫ 1 ⋅ e =x ⋅ e − ∫ e =x ⋅ e − e + c = e (x − 1) + c x x ∫ ′ u = 1 v = ∫ e dx = e u = x v ′ = sinx ⋅ = x sinxdx u ′ = 1 v = sinxdx = −cosx = − x ⋅ cosx − ∫ 1 ⋅ (− cosx )dx = − x ⋅ cosx + ∫ cosxdx = ∫ ∫ = − x ⋅ cosx + sinx + c
176
IGMEN
u = x v′ = cos3x 3x = t = dt 1 1 1 ⋅ = x cos3xdx ∫ u ′ = 1 v = ∫ cos3xdx = 3dx = dt = ∫ cost = ∫ costdt = sint + c = sin3x + c 3 3 3 3 dt dx = 3 3x = t x x 1 x 1 1 dt x 1 sin3x − ∫ 1 ⋅ sin3xdx = sin3x − ∫ sin3xdx = 3dx = dt = sin3x − ∫ sint = sin3x − ∫ sintdt = 3 3 3 3 3 3 3 3 9 dt dx = 3 x 1 x 1 = sin3x − cost + c = sin3x − cos3x + c 3 9 3 9
177
IGMEN
51. Určitý integrál - užití URČITÝ INTEGRÁL Nechť je funkce y = f (x ) spojitá v intervalu a; b . b
Newton-Lebnitzova formule - I = f (x )dx = [F(x )]a = F(b ) − F(a )
∫
b
a
Př.:
x3 x2 23 2 2 (− 1)3 (− 1)2 = ( ) − + = − + = − + ⋅ − − + ⋅ − x x 5 dx 5x 5 2 5 1 ∫−1 3 3 3 2 2 2 −1 −1 1 8 4 8 1 1 16 − 12 + 60 + 2 + 3 + 30 99 33 = − + 10 − + − (− 5) = − 2 + 10 + + + 5 = = = 3 2 3 2 3 3 2 6 6 2 2 π π π π 2 2 2 x 2 x π2 1 2 2 π 02 = ⋅ + 0 − (0 + 1) = ( ) ( ) − = − − − + = + x sinx dx cosx cosx cos cos0 + = ∫0 2 2 2 0 2 4 2 0 2 2 π = −1 8 2
(
2
2
)
UŽITÍ URČITÉHO INTEGRÁLU Výpočet obsahu plochy ohraničené křivkami:
b
b
S = ∫ [f (x ) − g(x )]dx
S = ∫ f (x )dx a
a
b
c
a
g
S = S1 + S 2 = ∫ [f (x ) − g(x )]dx + ∫ [g(x ) − f (x )]dx
b
S = − ∫ f (x )dx a
Postup výpočtu: 1. načrtnutí grafů funkcí do soustavy souřadnic a určení obrazce, jehož plocha se má vypočítat 2. určení horní a dolní meze integrálu jako x-ových souřadnic průsečíků funkcí omezujících plochu 3. sestavení funkce f (x ) do určitého integrálu (funkce je dána rozdílem horní a dolní funkce omezujících plochu) 4. výpočet určitého integrálu
178
IGMEN
Př.: Jaký bude obsah obrazce ohraničeného křivkami y = sinx; y = cosx a x =
y=y y = sinx ⇒ sinx = cosx y = cosx ⇓ π x = + kπ 4 π 3 meze: ; π 4 4 3 π 4
3
∫ (sinx − cosx )dx = [− cosx − sinx ]4π π 4
π
4
3 π? 4
3 3 π π = − cos π − sin π − − cos − sin = 4 4 4 4
3 3 π π 2 2 2 2 2 = −cos π − sin π + cos + sin = − + + =2 = 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 Výpočet objemu tělesa rotujícího kolem osy x:
b
b
V = π ⋅ ∫ f (x )dx
[
]
V = π ⋅ ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx
2
a
a
Postup výpočtu: 1. načrtnutí grafů funkcí do soustavy souřadnic a určení obrazce rotujícího kolem osy x 2. určení horní a dolní meze integrálu jako x-ových souřadnic průsečíků funkcí omezujících plochu 3. sestavení funkcí určujících nalezený obrazec (je-li obrazec tvořen několika funkcemi, rozděluje se pak na několik jednodušších těles tvořených jednou funkcí) 4. určení objemu vzniklého tělesa jako rozdílu objemů těles vzniklých rotací horní a dolní křivky ohraničující obrazec
179
IGMEN
Př.: Jaký bude objem tělesa, které vznikne rotací obrazce kolem osy x ohraničeného křivkami y = 2x a y = 2x 2 ?
y=y y = 2x ⇒ 2 y = 2x 2x = 2x 2 2x 2 1= 2x 1= x meze: 0; 1
1
[
V = π ⋅ ∫ (2x ) − (2x 0
2
)]
2 2
1
13 x3 x5 15 0 3 0 5 − 4 = π ⋅ 4 − 4 − 4 − 4 = dx = π ⋅ ∫ 4x − 4x dx = π ⋅ 4 5 0 5 3 5 3 0 3 1
[
2
4
]
8 20 − 12 4 4 π= π = π ⋅ − − 0 − 0 = 15 15 3 5 Výpočet délky oblouku rovinné křivky: b
s = ∫ 1 + y′2 dx a
180
IGMEN
52. Posloupnost – vlastnosti, limita posloupnosti POSLOUPNOSTI Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel N se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel n ≤ n 0 , kde n 0 je pevně dané číslo z množiny N, se nazývá konečná posloupnost. Typy zadání posloupností: 1. výčtem prvků
2;5;8;11;14;17;20;23;K
2. vzorcem pro n-tý člen
a n = 3n − 1; n ∈ N
{3n − 1}∞n =1 3. rekurentně – je zadán jeden člen posloupnosti (většinou první) a předpis, jak se z předcházejícího členu dostane následující
a 1 = 2; a n +1 = a n + 3 Př.:
c d e
3;4;5;6;7;8;K 2;6;12;20;K 1 2 3 4 ; ; ; ;K 2 3 4 5
an = n + 2 a n = n (n + 1) n an = n +1
a 1 = 3; a n +1 = a n + 1 a 1 = 2; a n +1 = a n + 2n + 2 1 n a 1 = ; a n +1 = 2 a n (n + 2)
Graf posloupnosti: Př.:
181
IGMEN
Vlastnosti posloupností:
nerostoucí
a n +1 > a n ; n ∈ N a n +1 < a n ; n ∈ N a n +1 ≥ a n ; n ∈ N a n +1 ≤ a n ; n ∈ N
shora omezená
existuje takové reálné číslo h, že a n ≤ h; n ∈ N
zdola omezená omezená
existuje takové reálné číslo d, že a n ≥ d; n ∈ N je omezená shora i zdola
rostoucí klesající neklesající
LIMITA POSLOUPNOSTI Říká se, že posloupnost {a n }n =1 je konvergentní, právě když existuje reálné číslo a takové, že platí: ∞
lim a n = L ⇔ Vε L > 0 ∃ n 0 ∈ N;
n →∞
Vn ≥ n 0 : a n ∈ (L − ε; L + ε ) Posloupnosti, které nejsou konvergentní se nazývají divergentní.
Věty: 1. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. 2. Každá konvergentní posloupnost je omezená. 3.
Nechť posloupnosti {a n }n =1 a {b n }n =1 mají limity lim a n = a a lim b n = b . ∞
∞
lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = a ± b
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
lim (a n ⋅ b n ) = lim a n ⋅ lim b n = a ⋅ b
n →∞
n →∞
n →∞
lim (c ⋅ a n ) = c ⋅ lim a n = c ⋅ a; c ∈ R
n →∞
n →∞
an a a n nlim = →∞ = ; b n ≠ 0, b ≠ 0 n →∞ b lim b n b n
lim
n →∞
4.
Každá geometrická posloupnost {a n }n =1 pro jejíž kvocient platí, že q < 1; q ∈ (− 1;1) má limitu rovnu 0. ∞
1 =0 n →∞ n lim
Př.: ∞
5 n n =1 5 1 1 lim = lim 5 ⋅ = 5 ⋅ lim = 5 ⋅ 0 = 0 n →∞ n n →∞ n → ∞ n n
182
IGMEN
53. Aritmetická posloupnost Posloupnost {a n }n =1 se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové reálné číslo d, že pro všechna přirozená čísla n platí: a n +1 = a n + d . ∞
a n = a 1 + (n − 1)d
a r = a s + (r − s )d sn =
n (a 1 + a n ) 2
d … diference aritmetické posloupnosti sn … součet prvních n-členů posloupnosti Př.:
c
d
Jaké hodnoty bude mít prvních 6 členů aritmetické posloupnosti?
a 1 = −1; d = 3
Jaký bude 1. člen a diference posloupnosti?
a 2 + a 6 = 32 a 4 + a 5 = 36 a 1 + d + a 1 + 5d = 32
a 1 = −1
a 1 + 3d + a 1 + 4d = 36
a 2 = −1 + (2 − 1) ⋅ 3 = −1 + 3 = 2 a 3 = −1 + (3 − 1) ⋅ 3 = −1 + 6 = 5
2a 1 + 6d = 32 ⇒ a 1 =
a 4 = −1 + (4 − 1) ⋅ 3 = −1 + 9 = 8
32 − 6d = 16 − 3d 2
2a 1 + 7d = 36
a 5 = −1 + (5 − 1) ⋅ 3 = −1 + 12 = 11
2(16 − 3d ) + 7d = 36 32 − 6d + 7d = 36
a 6 = −1 + (6 − 1) ⋅ 3 = −1 + 15 = 14
d = 36 − 32 d=4 a 1 = 16 − 3 ⋅ 4 = 16 − 12 = 4
183
IGMEN
54. Geometrická posloupnost Posloupnost {a n }n =1 se nazývá geometrická právě tehdy, když existuje takové reálné číslo q, že pro všechna přirozená čísla n platí: a n +1 = a n ⋅ q . ∞
a n = a 1 ⋅ q n −1 a r = a s ⋅ q r −s s n = a1 ⋅
qn −1 q −1
q … kvocient geometrické posloupnosti sn … součet prvních n-členů posloupnosti Př.: Jaké hodnoty bude mít prvních 5 členů geometrické posloupnosti?
184
IGMEN
55. Nekonečná geometrická řada Nechť je dána posloupnost
{a n }∞n =1 .
Výraz, který obsahuje její členy a má tvar
a 1 + a 2 + a 3 + K se nazývá nekonečná řada. Členy a 1 + a 2 + a 3 + K se nazývají členy nekonečné řady. Jestliže je daná posloupnost geometrická, pak se příslušná řada nazývá nekonečná geometrická řada: a 1 + a 1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 + a 1 ⋅ q 3 + K Nekonečná geometrická řada je konvergentní právě tehdy, jestliže q < 1 . V opačném případě je řada divergentní. Je-li nekonečná geometrická řada konvergentní, pak lze sečíst a součet je dán vztahem
s=
a1 . 1− q
Př.: Jestliže je daná geometrická řada konvergentní, jaký bude její součet?
c
1+
1 1 1 + + +K 2 4 8
1 a 1 a 2 = a 1 ⋅ q ⇒ q = 2 = 2 = ⇒ q ∈ (− 1;1) a1 1 2 daná geometrická řada je konvergentní
s=
d
∞
a1 1 1 2 = = = 1⋅ = 2 1 1 1− q 1− 1 2 2
∑ (− 1)
n
n =1
a 2 = a1 ⋅ q ⇒ q =
a2 1 = = −1 ⇒ q ∈ (− 1;1) a1 − 1
daná geometrická řada je divergentní
185
IGMEN
56. Variace, permutace, kombinace FAKTORIÁL ČÍSLA
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ (n − 2 ) ⋅ (n − 1) ⋅ n Př.:
2!= 1 ⋅ 2 = 2 3!= 1⋅ 2 ⋅ 3 = 2!⋅3 = 6 4!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 2!⋅3 ⋅ 4 = 3!⋅4 = 24 5!= 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 2!⋅3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 3!⋅4 ⋅ 5 = 4!⋅5 = 120 1 1 1⋅ 4 − 1 3 3 1 1 − = = = = = 3! 4! 4! 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2! 4 ⋅ 2! 8 8! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = = = = 8 ⋅ 7 = 56 5!⋅3! 5!⋅3! 3! 6 n! n! = =1 n (n − 1)! n! (2n + 1)! = (2n + 1)⋅ 2n ⋅ (2n − 1)! = 2n (2n + 1) (2n − 1)! (2n − 1)!
KOMBINATORIKA Variace bez opakování: Variace k-té třídy z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou.
Vk (n ) =
n! (n − k )!
Permutace bez opakování: Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto prvků bez opakování.
P(n ) = Vn (n ) =
n! n! n! = = = n! (n − n )! 0! 1
Kombinace bez opakování: Kombinace k-té třídy z n prvků bez opakování je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvíce jednou.
n n! C k (n ) = = k k!(n − k )!
186
IGMEN
Př.:
c
Kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat: a) trojici políček b) trojici políček neležících v témže sloupci c) trojici políček neležících v témže sloupci ani v téže řadě d) trojici políček, která nejsou všechna téže barvy
64! 64! = = 41664 3!(64 − 3)! 3!⋅61! 8! 8! = 8⋅ = 8 ⋅ 56 = 448 b) 8 ⋅ C3 (8) = 8 ⋅ 3!(8 − 3)! 3!⋅5! a)
C3 (8 ⋅ 8) = C3 (64 ) =
existuje 448 trojic políček, která leží v témže sloupci
41664 − 448 = 41216 8! 8! = 16 ⋅ = 16 ⋅ 56 = 896 c) 2 ⋅ 8 ⋅ C 3 (8) = 16 ⋅ 3!(8 − 3)! 3!⋅5! existuje 896 trojic políček, která neleží v témže sloupci ani v téže řadě
41664 − 896 = 40768 32! 32! = 2⋅ = 2 ⋅ 4960 = 9920 d) 2 ⋅ C 3 (32 ) = 2 ⋅ 3!(32 − 3)! 3!⋅29!
existuje 9920 trojic políček, která jsou všehna bílá nebo všechna černá
41664 − 9920 = 31744
d
Kolika způsoby je možno ze 7 mužů a 4 žen vybrat 6-člennou skupinu, v níž jsou právě 2 ženy?
e
K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici barvy bílá, červená, zelená, modrá a žlutá. a) Kolik vlajek se může z těchto barev sestavit? b) Kolik vlajek sestavených z těchto barev má modrý pruh uprostřed?
C 4 (7 ) ⋅ C 2 (4) =
7! 4! 7! 4! 7! ⋅ = ⋅ = = 210 4!(7 − 4)! 2!(4 − 2)! 4!⋅3! 2!⋅2! 3!⋅2!⋅2!
Záleží na pořadí barev. a)
V3 (5) =
5! 5! = = 60 (5 − 3)! 2!
b) S modrým pruhem uprostřed se vybírá pouze ze 4 barev pro dva pruhy.
V2 (4) =
f
4! 4! = = 12 (4 − 2)! 2!
Kolik různých přirozených čísel lze sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, jestliže se cifry v čísle neopakují?
P(5) = 5!= 120
187
IGMEN
Variace s opakováním: Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.
Vk′ (n ) = n k Permutace s opakováním: Permutace s opakováním z n prvků je k-tice uspořádaná z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje aspoň jednou.
P ′(k 1 ; k 2 ; k 3 ;K k n ) =
(k 1 + k 2 + k 3 + K + k n )! k 1!⋅k 2 !⋅k 3 !⋅K ⋅ k n !
Kombinace s opakováním: Kombinace k-té třídy z n prvků s opakování je každá neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.
n + k - 1 (n + k - 1)! = C′k (n ) = k k!(n − 1)! Př.:
c
Kolik přirozených čtyřciferných čísel je možné sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? a) Kolik z nich bude sudých? b) Kolik z nich bude lichých?
V4′ (7 ) = 7 4 = 2401 a) Sudá čísla mohou mít na konci pouze 2, 4 a 6, takže se počítají možnosti jen pro první 3 místa a výsledný počet se násobí 3.
3 ⋅ V3′ (7 ) = 3 ⋅ 7 3 = 1029
b) Lichá čísla mohou mít na konci pouze 1, 3, 5 a 7, takže se počítají možnosti jen pro první 3 místa a výsledný počet se násobí 4.
4 ⋅ V3′ (7 ) = 4 ⋅ 7 3 = 1372
188
IGMEN
d
Kolik přirozených pěticiferných čísel lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li být v každém z nich číslo 5: a) 3-krát b) nejvýše 3-krát c) alespoň 3-krát
b) 3x…5, 2x…7 ⇒ 2x…5, 3x…7 ⇒ 1x…5, 4x…7 ⇒ 0x…5, 5x…7 ⇒
(3 + 2)! =
5! = 10 3!⋅2! 3!⋅2! (3 + 2)! = 5! = 10 P′(3;2 ) = 3!⋅2! 3!⋅2! (2 + 3)! = 5! = 10 P′(2;3) = 2!⋅3! 2!⋅3! (1 + 4)! = 5! = 5 P′(1;4) = 1!⋅4! 1!⋅4! ( 0 + 5)! 5! P ′(0;5) = = =1 0!⋅5! 0!⋅5!
a) 3x…5, 2x…7 ⇒ P′(3;2 ) =
Čísel lze sestavit 26 (součet všech výsledných hodnot).
(3 + 2)! =
5! = 10 3!⋅2! 3!⋅2! (4 + 1)! = 5! = 5 4x…5, 1x…7 ⇒ P ′(4;1) = 4!⋅1! 4!⋅1! (5 + 0)! = 5! = 1 5x…5, 0x…7 ⇒ P′(5;0 ) = 5!⋅0! 5!⋅0!
c) 3x…5, 2x…7 ⇒ P′(3;2 ) =
Čísel lze sestavit 16 (součet všech výsledných hodnot).
e
Jaký je počet kvádrů, jejichž velikosti hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti?
10 + 3 − 1 12 12! 12! = = C′3 (10) = = = 220 3 3 3!(10 − 1)! 3!⋅9!
189
IGMEN
57. Kombinační číslo - vlastnosti, rovnice s kombinačními čísly KOMBINAČNÍ ČÍSLO n n! = k k!(n − k )! Vlastnosti a hodnoty kombinačních čísel:
n = n 1 0 = 1 0
n = 1 n n n = k n − k
n = 1 0 n n n + 1 + = k k + 1 k + 1
Př.:
6 6 7 + = 2 3 3 12 12 12 12 13 + = + = 3 8 9 8 9 50 50 50 50 51 51 + = + = = 4 45 46 45 46 5 41 40 40 41 40 40 41 41 41 41 42 42 + + = + + = + = + = = 6 7 34 6 33 34 6 34 35 34 35 7
PASCALŮV TROJÚHELNÍK 1. řádek
n=0
2. řádek
n =1
3. řádek
n=2
4. řádek
n=3
(k + 1) . řádek
n=k
0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 k 0
k 1
k k L 2 k − 1
190
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1
k k
IGMEN
BINOMICKÁ VĚTA
(a + b )n =
n n 0 n n −1 1 n n − 2 2 n 1 n −1 n 0 n ⋅ a ⋅ b + ⋅ a ⋅ b + ⋅ a ⋅ b + L + ⋅ a ⋅ b + ⋅ a ⋅ b 0 1 2 n − 1 n
Př.:
4 4 0 4 3 1 4 2 2 4 1 3 4 0 4 ⋅ a ⋅ b + ⋅ a ⋅ b + ⋅ a ⋅ b + ⋅ a ⋅ b + ⋅ a ⋅ b = 0 1 2 3 4 = 1 ⋅ a 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ a 3 ⋅ b1 + 6 ⋅ a 2 ⋅ b 2 + 4 ⋅ a 1 ⋅ b 3 + 1 ⋅ 1 ⋅ b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b )4 =
7 7 7 7 7 0 1 2 3 4 = ⋅ 17 ⋅ (− m ) + ⋅ 16 ⋅ (− m ) + ⋅ 15 ⋅ (− m ) + ⋅ 14 ⋅ (− m ) + ⋅ 13 ⋅ (− m ) + 0 1 2 3 4 7 7 7 5 6 7 + ⋅ 12 ⋅ (− m ) + ⋅ 11 ⋅ (− m ) + ⋅ 10 ⋅ (− m ) = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 7 ⋅ 1 ⋅ (− m ) + 21 ⋅ 1 ⋅ m 2 + 35 ⋅ 1 ⋅ − m 3 + 5 6 7 4 5 6 + 35 ⋅ 1 ⋅ m + 21 ⋅ 1 ⋅ − m + 7 ⋅ 1 ⋅ m + 1 ⋅ 1 ⋅ − m 7 = 1 − 7 m + 21m 2 − 35m 3 + 35m 4 − 21m 5 + 7 m 6 − m 7
(1 − m )7
(
(
)
(
)
)
191
IGMEN
58. Pravděpodobnost NÁHODNÉ POKUSY Výsledky náhodných pokusů závisí nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě. Množina možných výsledků pokusů: Předpokládá se, že u každého náhodného pokusu je možno předem určit všechny možné výsledky, které se Ω navzájem vylučují (nastane jeden, nemůže nastat druhý) a že jeden z nich nastane vždy. Náhodné jevy: Jev je podmnožinou množiny možných výsledků pokusů. Náhodný jev – výsledek náhodného pokusu Elementární jev – výsledek pokusu, který nelze v dané situaci dále rozdělit Nemožný jev (∅)– jev, který nikdy nenastane Jistý jev (Ω)– jev, který nastane vždy Vztahy mezi jevy: ω∈A výsledek ω je příznivý jevu A jev A je podjevem jevu B A⊂B jevy A a B jsou si rovny A=B
A = B ⇔ A ⊂ B∧B ⊂ A
AUB AIB AIB=∅ A′
nastává právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů A, B a nazývá se sjednocení jevů A, B nastává právě tehdy, nastanou-li oba jevy A, B – průnik jevů A, B jevy A, B se navzájem vylučují (neslučitelné, disjunktní jevy) nastává, jestliže jev A nenastane (jev opačný k jevu A – doplňkový)
PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÉHO JEVU Pokud jde o takový náhodný pokus, u něhož jsou výsledky stejně možné, je jich konečný počet a vzájemně se vylučují, potom se číselná hodnota pravděpodobnosti jevu A určí podle vzorce P(A ) =
m , kde m je počet všech příznivých výsledků jevu A a n je počet n
všech možných výsledků. Př.: V loterii je 5000 losů, z nichž 100 je vítězných. Jaká je pravděpodobnost, že zakoupený los je vítězný?
P(A ) =
100 1 = = 0,02 ⇒ 2% 5000 50
192
IGMEN
STATISTICKÁ PRAVDĚPODOBNOST Je založena na relativní četnosti. Relativní četnost p(A ) - podíl počtu pokusů, ve kterých jev A nastal a celkového počtu provedených pokusů.
p(A ) =
n (A ) n
n (A ) .... absolutní četnost n ............ počet náhodných pokusů Př.: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet roven 5? Existují 4 příznivé možnosti, kdy 2 kostky dají součet 5. Počet všech možných výsledků se určí použitím variace s opakováním.
p(A ) =
4 4 4 1 = 2 = = ⇒ 11% V2′ (6) 6 36 9
PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST A PRAVDĚPODOBNOST PRŮNIKU Dva jevy jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnost jednoho jevu nezávisí na nastoupení jevu druhého.
n (A I B) P(A I B) = n (B) P(B) n (A I B) P(A I B) = P(B A ) = n (A ) P(A )
P(A ) = P(A B ) P(B) = P(B A )
P(A B ) =
Pravděpodobnost průniku:
závislé jevy ........... P(A I B) = P(A ) ⋅ P(B A ) = P(B) ⋅ P(A B ) nezávislé jevy ....... P(A I B) = P(A ) ⋅ P(B) Př.:
4 1 = . Je-li tažená karta eso a vytáhne-li hráč 32 8 3 další kartu, pak pravděpodobnost, že tažená karta je opět eso je P(B A ) = . Vytáhne-li hráč z uvedeného balíčku 31 1 3 karet dvě karty, pak pravděpodobnost, že to budou dvě esa je P = P(A ) ⋅ P(B A ) = ⋅ = 0,012 ⇒ 1,2% . 8 31 Pravděpodobnost, že hráč vytáhne z balíčku 32 karet eso je P(A ) =
193
IGMEN
PRAVDĚPODOBNOST SJEDNOCENÍ A, B – disjunktní jevy
P(A U B) = P(A ) + P(B)
A, B – nejsou disjunktní jevy
P(A U B) = P(A ) + P(B) − P(A I B)
Př.:
c
A – na kostce padne sudé číslo B – na kostce padne liché číslo Jevy se navzájem vylučují.
3 1 = 6 2 3 1 P(B) = = 6 2
P(A ) =
d
P(A U B) = P(A ) + P(B) =
1 1 + =1 2 2
A – na kostce padne sudé číslo B – na kostce padne číslo 6 Jevy se navzájem nevylučují, protože 6 je sudé číslo.
3 1 = 6 2 1 P(B) = 6 P(A ) =
P(A U B) = P(A ) + P(B) − P(A I B) =
1 1 1 1 + − = 2 6 6 2
BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI (BERNOULLIHO SCHÉMA, NEZÁVISLÉ POKUSY) Náhodné pokusy jsou považovány za nezávislé, jestliže pravděpodobnost výsledku kteréhokoli pokusu nezávisí na výsledcích ostatních pokusů. Bernoulliho vzorec:
P(A ) = p ....... jev nastane
( )
n P(x ) = ⋅ p x ⋅ q n − x x
P A = q ........ jev nenastane n ..................... počet pokusů x ..................... počet pokusů, při kterých jev nastane
Př.: Jaká je pravděpodobnost, že při opakování 5 hodů hrací kostkou za sebou padne šestka právě třikrát? Protože pravděpodobnost jevu A: „padne šestka“ je stále stejná: p =
5 1 n = 5, k = 3 : P(3) = ⋅ 3 6
3
5 ⋅ 6
5−3
= 10 ⋅
1 , může se dosadit do Bernoulliho vzorce 6
1 25 ⋅ = 0,03215 . 216 36
194
IGMEN
59. Statistika Statistika zkoumá společenské, přírodní a technické jevy vždy na dostatečně velkém souboru případů (hledá ty vlastnosti, které se projevují teprve v souboru případů, ne jednotlivě). Statistický soubor – množina osob, věcí, událostí, časových období apod. Jeho prvky nazýváme statistické jednotky. Rozsah statistického souboru (n) – počet jednotek v souboru. Statistické jednotky se vždy vyšetřují z hlediska zvoleného znaku. U každé jednotky se zjišťují a zaznamenávají hodnoty znaku (hodnoty znaku jsou navzájem neslučitelné). Znaky: kvantitativní – jejich hodnoty se liší číselnou velikostí (výška postavy) kvalitativní Tabulka rozdělení četnosti: Četnost hodnoty znaku ( n i ) – udává, kolikrát se hodnota znaku vyskytuje v celém souboru Relativní četnost –
ni n
Př.: Tabulka známek ze čtvrtletní práce. četnost - n i známka
n1 = 6 n2 = 7 n3 = 3 n4 = 1 n5 = 0
relativní četnost
1
6
0,3529
2
7
0,4118
3
3
0,1765
4
1
0,0588
5
0 17
0,0000 1,0000
celkově
Znaky se také mohou zadat pomocí intervalů. Potom se jako konkrétní údaj pro další výpočty berou středy jednotlivých intervalů. Vhodný počet intervalů určuje Sturgesovo pravidlo: k = 1 + 3,3logn Př.: Tabulka udávající výšku postavy. střed četnost - n i výška intervalu 173 – 177 175 5 178 – 182 180 6 183 – 187 185 3 188 – 192 190 3 celkově 17
195
IGMEN
GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ Spojnicový diagram (polygon četností): Získává se spojením bodů, jejichž 1. souřadnice je hodnota znaku a 2. souřadnice je odpovídající četnost.
Sloupkový diagram (histogram): Používá se nejčastěji, jsou-li hodnoty znaku zadány pomocí intervalů. Tyto intervaly tvoří základny sloupků a četnosti udávají výšku.
Kruhový diagram: Znázorňuje se jím rozdělení četnosti kvalitativního znaku, kde různým hodnotám znaku odpovídají kruhové výseče, jejichž plošné obsahy jsou úměrné četnostem.
196
IGMEN
CHARAKTERISTIKA POLOHY Nejstručnější informace o daném souboru. Udává jediné číslo, které charakterizuje polohu znaku na číselné ose. Aritmetický průměr x : vážený tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
prostý tvar n
x + x 2 + x3 + L + x n = x= 1 n
r
∑ xi
x ⋅ n + x 2 ⋅ n 2 + x3 ⋅ n3 + L + x r ⋅ n r = x= 1 1 n
i =1
n
∑x i =1
i
⋅ ni
n
Harmonický průměr x h : Používá se, jsou-li hodnoty znaku nerovnoměrně rozloženy kolem aritmetického průměru, nebo když jsou hodnoty extrémě nízké či vysoké. Harmonický průměr z nenulových hodnot statistického souboru je definován jako podíl rozsahu souboru a součtu převrácených hodnot znaků. vážený tvar prostý tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
xh =
n n
xh =
1
∑x i =1
i
n ni ∑ i =1 x i r
Geometrický průměr x g : prostý tvar
vážený tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
x g = n x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅L ⋅ x n
x g = n x1n1 ⋅ x n2 2 ⋅ x 3n 3 ⋅ L ⋅ x nr r
Modus znaku mod(x ) : Je to hodnota znaku x s největší četností. Medián znaku med(x ) : Je to prostřední hodnota znaku, jsou-li hodnoty uspořádány podle velikosti. n je liché číslo ⇒ med(x ) = x n +1 2
n je sudé číslo ⇒ med(x ) =
xn + xn 2
2
+1
2
197
IGMEN
CHARAKTERISTIKA VARIABILITY Průměrná čtvercová odchylka od aritmetického průměru – rozptyl s 2x : vážený tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
prostý tvar
∑ (x − x ) n
s 2x =
i
i =1
∑ (x r
2
s 2x =
n
i =1
)
2
i
− x ⋅ ni
n
Průměrná absolutní odchylka d : vážený tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
prostý tvar n
d=
∑x i =1
i
r
−x
d=
n
∑x i =1
i
− x ⋅ ni
n
Směrodatná odchylka s x :
s x = s 2x Variační koeficient v x : Je to podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru a používá se pro srovnání variability dvou nebo více souborů v různých měřících jednotkách nebo v různých úrovních.
vx =
sx x
Variační rozpětí R: Doplňková charakteristika variability.
R = x max − x min
198
IGMEN
Př.: Při měření výšky 100 stromků byly zjištěny tyto hodnoty: 130, 132, 137, 139, 139, 139, 142, 143, 146, 146, 147, 147, 148, 149, 150, 150, 150, 153, 153, 156, 157, 158, 159, 159, 159, 159, 162, 162, 164, 166, 166, 166, 167, 169, 169, 169, 169, 170, 170, 171, 172, 172, 172, 173, 173, 174, 175, 176, 176, 176, 177, 177, 178, 179, 180, 180, 181, 181, 181, 182, 183, 184, 184, 185, 186, 187, 187, 187, 190, 192, 192, 193, 194, 194, 194, 195, 195, 195, 196, 197, 198, 198, 200, 201, 201, 201, 202, 202, 203, 204, 206, 206, 209, 209, 209, 214, 216, 219, 219, 219.
n = 100 k = 1 + 3,3log100 = 7,6 ≅ 8 výška ≈ x i
ni
128 − 139 ≈ 133,5 140 − 151 ≈ 145,5 152 − 163 ≈ 157,5 164 − 175 ≈ 169,5 176 − 187 ≈ 181,5 188 − 199 ≈ 193,5 200 − 211 ≈ 205,5 212 − 223 ≈ 217,5
6 11 11 19 21 14 13 5
8
∑x
x=
i
relativní xi − x četnost 0,06 − 42,84 0,11 − 30,84 0,11 − 18,84 0,19 − 6,84 0,21 5,16 0,14 17,16 0,13 29,16 0,05 41,16
xi − x
(x − x )
2
i
42,84 1835,27 30,84 951,11 18,84 354,95 6,84 46,79 5,16 26,63 17,16 294,47 29,16 850,31 41,16 1694,15
⋅ ni
= 176,34 100 mod(x ) = 181,5 x + x 51 181,5 + 181,5 = = 181,5 med(x ) = 50 2 2 i =1
∑ (x 8
s 2x =
i =1
− x ⋅ ni
100 8
d=
)
2
i
∑x i =1
i
− x ⋅ ni
100
= 504,74
= 18,67
s x = s 2x = 504,74 = 22,47 vx = x max
s x 22,47 = = 0,1274 x 176,34 = 223
x min = 128 R = x max − x min = 223 − 128 = 95
199
IGMEN
60. Důkazy v matematice LOGICKÁ VÝSTAVBA MATEMATIKY Axiony (postuláty) – výchozí matematické výroky, které se prohlásí za pravdivé bez dokazování. Definice – zavádí nové matematické pojmy pomocí pojmů již definovaných. Věta: Pravdivý matematický výrok, který se dá odvodit pomocí logiky na základě axionů, definic a dříve dokázaných vět. tvar věty: P ⇒ T P … předpoklad T … tvrzení obměněná věta..... ¬T ⇒ ¬P obrácená věta ...... T ⇒ P (nemusí být vždy větou) negace věty........... P ∧ ¬T Kvantifikátory: V … obecný kvantifikátor ∃ … existenční kvantifikátor
Při negaci věty se V mění na ∃ a naopak.
DŮKAZY MATEMATICKÝCH VĚT Přímý důkaz:
P⇒T D! P ⇒ T1 ; T1 ⇒ T2 ; T2 ⇒ T3 ;K Tn −1 ⇒ Tn ; Tn ⇒ T V - výrok 1) nalézt výrok A, který platí 2) dokázat A ⇒ V 3) platí výrok V
200
IGMEN
Př.: Úkolem je dokázat, že platí následující výroky. c Pro všechna n ∈ N platí, že výraz n 3 + 2n je dělitelný 3. Všechna přirozená čísla mohou být rozdělena do tří skupin: 3k;3k + 1;3k + 2 .
(
)
n = 3k
n 3 + 2n = (3k ) + 2 ⋅ 3k = 27k 3 + 6k = 3 9k 3 + 2k
n = 3k + 1
n 3 + 2n = (3k + 1) + 2 ⋅ (3k + 1) = 27k 3 + 27k 2 + 9k + 1 + 6k + 2 =
3
3
(
)
= 27k 3 + 27k 2 + 15k + 3 = 3 9k 3 + 9k 2 + 3k + 1 n = 3k + 2
n 3 + 2n = (3k + 2 ) + 2 ⋅ (3k + 2 ) = 27k 3 + 54k 2 + 36k + 8 + 6k + 4 = 3
(
= 27k 3 + 54k 2 + 42k + 12 = 3 9k 3 + 18k 2 + 14k + 4
d
)
Součin dvou za sebou jdoucích čísel je dělitelný 2. Součin dvou za sebou jdoucích čísel: n (n + 1) Všechna přirozená čísla mohou být rozdělena do dvou skupin: 2k;2k + 1 .
(
)
n = 2k
n (n + 1) = 2k (2k + 1) = 4k 2 + 2k = 2 2k 2 + k
n = 2k + 1
n (n + 1) = (2k + 1)(2k + 1 + 1) = (2k + 1)(2k + 2 ) =
(
)
= 4k 2 + 4k + 2k + 2 = 4k 2 + 6k + 2 = 2 2k 2 + 3k + 1 Nepřímý důkaz: Místo věty v podmínkovém tvaru P ⇒ T se přímo dokáže věta obměněná. Př.: Úkolem je nepřímo dokázat, že platí následující výroky. c Jestliže n 2 + 1 je dělitelné 5, pak n není dělitelné 5. Věta obměněná: Jestliže n je dělitelné 5, pak n 2 + 1 není dělitelné 5.
n = 5k
( )
n 2 + 1 = (5k ) + 1 = 25k 2 + 1 = 5 5k 2 + 1 2
výraz není dělitelný 5
d
Jestliže n 2 je sudé, pak n je sudé. Věta obměněná: Jestliže n je liché, pak n 2 je liché.
n = 2k + 1
(
)
n 2 = (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 = 2 2k 2 + 2k + 1 2
výraz je lichý
201
IGMEN
Důkaz sporem:
Předpokládá se, že daná věta P ⇒ T neplatí, a tudíž platí její negace: ¬(P ⇒ T ) = P ∧ ¬T .
(P ∧ ¬T ) = Z1; Z1 ⇒ Z2 ;K Zn ⇒ Z Př.: Pro všechna kladná reálná čísla a, b platí:
a+b ≥ ab 2
Negace věty: Pro všechna kladná reálná čísla a, b platí:
a+b 2 < ab 2 (a + b )2 < ab ⋅ 4 4 (a + b )2 < 4ab
a+b < ab 2
a 2 + 2ab + b 2 < 4ab a 2 + 2ab + b 2 − 4ab < 0 a 2 − 2ab + b 2 < 0
(a − b )2 < 0 toto není pravda – spor Důkaz matematickou indukcí:
Vn ∈ N a : V(n ) I. základ indukce II. indukční krok Závěr
Věta se dokáže pro první nejmenší prvek dané množiny N a . Indukční předpoklad – předpokládá se, že věta platí pro přirozené číslo k. Pomocí tohoto indukčního předpokladu se dokáže, že věta platí i pro číslo (k + 1) . Platí-li věta pro nejmenší přirozené číslo a, pak se ve druhém kroku volí k = a a dokáže se, že to platí i pro (k + 1) . Opakováním 2. kroku se dokáže, že to platí pro každé n z množiny
Na .
202
IGMEN
Př.:
Vn ∈ N : 12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 = I.
n =1 n (n + 1)(2n + 1) 12 = 6 1⋅ (1 + 1)(2 ⋅1 + 1) 12 = 6 1⋅ 2 ⋅ 3 1= 6 6 1= 6 1=1
II.
předpoklad: n = k
12 + 2 2 + 3 2 + L + k 2 = D!
n (n + 1)(2n + 1) 6
k (k + 1)(2k + 1) 6
n = k +1 12 + 2 2 + 32 + L + k 2 + (k + 1) = 2
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) k (k + 1)(2k + 1) 2 + (k + 1) = 6 6 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1) = 6 6 k +1 k +1 ⋅ [k (2k + 1) + 6(k + 1)] = ⋅ (k + 2 )(2k + 3) 6 6 k +1 k +1 ⋅ 2k 2 + k + 6k + 6 = ⋅ (k + 2 )(2k + 3) 6 6 k +1 k +1 ⋅ 2k 2 + 7k + 6 = ⋅ (k + 2 )(2k + 3) 6 6 − 7 ± 7 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 6 − 7 ± 49 − 48 − 7 ± 1 − 7 ± 1 = = = k1,2 = 2⋅2 4 4 4 k +1 k +1 ⋅ 2(k − k1 )(k − k 2 ) = ⋅ (k + 2 )(2k + 3) 6 6 k +1 3 k +1 ⋅ (k + 2)(2k + 3) ⋅ (k + 2 ) ⋅ 2 k + = 6 2 6 k +1 k +1 ⋅ (k + 2) ⋅ (2k + 3) = ⋅ (k + 2)(2k + 3) 6 6
( (
)
)
203
− 7 −1 8 = − = −2 4 4 − 7 +1 6 3 =− =− 4 4 2
IGMEN
