Přehled vzorců z matematiky 1) Výrazy:
( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 a 2 − b 2 = ( a + b) ⋅ ( a − b)
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 a 3 + b 3 = ( a + b) ( a 2 − ab + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b) ( a 2 + ab + b 2 ) 2) Mocniny:
n a = a . a . a . a ..... a r s r+s a .a = a r r r (a . b) = a . b ar = a r− s s a
r
a ar = r b b
(a )
r s
= a r.s
a− n = 1 a
−n
a b
−n
1 a
n
1 an
=
= an b = a
m
an =
n
n
am
3) Odmocniny:
a = b ⇔ bn = a a= a
n
2
( a) n
m.p
n
n
=
n
an = a
a m.n =
p
a. b =
n
n
a = b
n
( a) n
an
m n
a. b
1
m
a =
n
a b
n
=
n
n m
am
a =
n.m
a
4) Kvadratická rovnice:
a x2 + b x + c = 0
kde a ≠ 0
D = b2 - 4 . a . c − b± D x1,2 = 2a 5) Komplexní čísla:
−1
i= • • • • • • •
i = ( − 1 )2 = -1 i3 = i2 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1).(-1) = 1 i5 = i4 . i = 1 . i = i i6 = i4 . i2 = -1 2
Algebraický tvar komplexního čísla:
a =
a + a 2 1
a = a1 + a2.i
2 2
a = a1 + a2.i ; b = b1 + b2.i
a + b = (a1 + b1 ) + (a2 + b2)i a - b = (a1 - b1 ) + (a2 - b2)i
a . b = (a1.b1 - a2 b2) +(a1 b2 + a2 b1).i
a a1 + a 2 i b1 − b 2 i (a1 b1 + a 2 b 2 ) + (a 2 b1 − a1 b 2 )i = . = b b1 + b 2 i b1 − b 2 i b12 + b 22
a = a1 + a2i ; a = a1 - a2i
Čísla komplexně sdružená:
Goniometrický tvar komplexního čísla: a
= a .(cos α + i.sinα )
6) Goniometrie:
a c b cos α = c a tg α = b sin α =
cot g α =
b a
0°
30°
45°
60°
90°
sin α
0
1 2
1
tg α
0
3
nedef.
cotg α
nedef.
3 2 3 3 3
3 2 1 2
1
cos α
2 2 2 2 1
1
3 3
0
2
0
sin α cos α tg α cotg α
I
II
III
IV
+ + + +
+ -
+ +
+ -
sin 2 x + cos 2 x = 1 sinx cosx cosx cot g x = sinx 1 tg x = co tg x tg x =
sin2x = 2.sinx. cosx cos2x = cos 2 x − sin 2 x
sin(x + y) = sinx. cosy + cosx.siny sin(x − y) = sinx. cosy − cosx.siny cos(x + y) = cosx. cosy − sinx.siny cos(x − y) = cosx. cosy + sinx.siny x+ y x− y . cos 2 2 x+ y x− y sinx − siny = 2. cos .sin 2 2 x+ y x− y cosx + cosy = 2cos . cos 2 2 x+ y x− y cosx − cosy = − 2sin .sin 2 2 sinx + siny = 2.sin
Sinová věta:
Kosinová věta:
a b c = = sinα sinβ sinγ 2 2 2 a = b + c - 2.b.c.cosα 2 2 2 b = a + c - 2.a.c.cosβ 2 2 2 c = a + b - 2.a.b.cosγ
7) Obsahy ploch: Rovnoběžník:
S = a. v S = a.b. sin α o = 2. (a + b)
Trojúhelník
o=a+b+c 3
S=
1 2
z. v
S=
1 2
a. b.sinγ
s( s − a)( s − b)( s − c)
Heronův vzorec: S =
a + b + c s= 2
abc 4r S = ρ .s S= Lichoběžník
o=a+b+c+d ( a + c) . v S= 2 N - úhelník
180 n 360 S = 12 nr 2sin n 180 S = nρ 2 tg n o = n.a délka kružnice ( obvod kruhu ): l = 2.π.r obsah kruhu: S = π.r2 S = πd2:4 π .r délka kruhového oblouku: l = .α 180 π . r2 obsah kruhové výseče: S= .α 360 S=
obsah kruhové úseče:
1 4
na 2 cotg
r2 π .α S= − sin α 2 180
8) Stereometrie: Kvádr:
Krychle:
Válec:
Jehlan:
Kužel:
V = a.b.c S = 2.(ab+bc+ac) V = a3 S = 6. a 2 V = π r2.v S = 2 π r.(r+v) 1 V = P. v 3 S = P + plášť
P - plocha podstavy
1 π . r2. v 3 S = π . r(r + s) V=
s - strana kužele
4
V=
Komolý jehlan:
1 v(Sp1 + 3
Sp1Sp 2 + Sp 2 )
S = Spláště + Sp1 + Sp2 Komolý kužel:
1 π . v(r12 + r1 r2 + r22 ) 3 S = π . r12 + π . r22 + π ( r1 + r2 ) .s V=
Koule a její části:
Celá koule:
Kulová úseč: Kulový vrchlík: Kulová výseč: Kulová vrstva: Kulový pás:
4 π . r3 3 S = 4. π . r 2 π . r12 . v π . v 3 V= + 2 6 S = 2. π . r. v 2 V = .π . r 2 . v 3 π . r12 . v π . r22 . v π . v 3 V= + + 2 2 6 S = 2. π . r. v V=
9) Analytická geometrie v rovině
( xA −
xB ) + ( y A − yB ) 2
2
vzdálenost dvou bodů v rovině:
AB=
střed úsečky v rovině:
xs =
souřadnice vektoru :
v = AB A = [ xA,yA ] ; B = [xB,yB ] v = (v1,v2 ) = (xB - xA, yB - yA )
velikost vektoru: skalární součin vektorů: úhel dvou vektorů:
v =
x A + xB 2
y A + yB 2
v12 + v 22
u ο v = u1. v1 + u2. v2 cos α =
uv u. v u1. v1 + u 2 . v 2
cos α =
parametrická rovnice přímky:
ys =
u 12 + u 22 . v 12 + v 22 X = A + t. v
obecná rovnice přímky:
x = a1 + t.v1 y = a2 + t.v2 ax + by + c = 0
úhel přímek:
cos α =
p:
vzdálenost bodu A= [x0,y0] od přímky p:
10)
u 1 v1 + u 2 v 2
uv = u. v
d=
u 12 + u 22 ⋅ v 12 + v 22
ax 0 + by 0 + c a2 + b 2
Analytická geometrie v prostoru
X = A + t. v
přímka v prostoru :
p:
x = a1 + t.v1 y = a2 + t.v2 z = a3 + t.v3 5
úhel přímek v prostoru :
u 1v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3
cos α =
parametrická rovnice roviny: X
u + u 22 + u 32 ⋅ v 12 + v 22 + v 32 2 1
= A + t. v + k.u ρ:
x = a1 + t.v1 +k.u1 y = a2 + t.v2+ k.u2 z = a3 + t.v3+ k.u3 ax + by + cz + d = 0
obecná rovnice roviny:
d=
vzdálenost bodu A= [x0,y0,z0 ] od roviny:
ax 0 + by 0 + cz 0 + d a2 + b 2 + c2
11) Analytická geometrie kvadratických křivek
rovnice elipsy:
( x − m) 2 + ( y − n) 2 = r 2 ( x − m) 2 + ( y − n) 2 = 1
rovnice hyperboly:
( x − m) 2 − ( y − n) 2
rovnice kružnice:
a2
a
S = [ m, n]
a2 = b2 + e2
b2
2
b
2
=1
(y - n) =
asymptoty hyperboly:
e2 = b2 + a 2
b (x - m) a
(y - n) = −
b (x - m) a
rovnice paraboly :
a) (y - n)2 = 2p (x - m) b) (y - n)2 = - 2p (x - m) c) (x - m)2 = 2p (y - n) d) (x - m)2 = - 2p (y - n) c) d)
12) Logaritmus:
ay = x
log ax = y
pravidla pro logaritmování
a)
loga x.y = logax + loga y loga
x = logax - loga y y
loga xn = n. loga x loga
n
1 1 x = loga x n = .loga x n
13) Posloupnosti aritmetická
an+1 = an+d
6
b)
an = a1+(n-1)d as = ar+(s-r)d
sn = geometrická
n 2
( a1 +
an )
an+ 1 = q an a n = a1 . q n − 1
ar = as . q r − s sn = a1 .
qn − 1 q− 1
(q ≠ 1)
14) Nekonečná geometrická řada:
s=
a1 1− q
q < 1
15) Kombinatorika: Vk(n) = n.(n-1).(n-2).....(n-k+1) V´k(n) = nk
variace k- té třídy z n prvků variace k- té třídy z n prvků s opakováním
P(n) = n! n! = n.(n-1).(n-2)......2.1 n! Pr′( n ) = ( r prvků se opakuje ) r! n n! Ck(n)= = k k !( n − k ) !
permutace bez opakování permutace s opakováním
kombinace k -té třídy z n prvků
vlastnosti kombinač. čísel: n = 1 0 0 = 1 0 n = n 1 n n = k n − k
n n− k k ⋅ a ⋅ b k= 0 k n
( a + b) n = ∑
binomická věta
16) Pravděpodobnost:
P( A) = doplňkový jev : sjednocení jevů: průnik jevů:
m n
P( A ) = 1 - P(A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
B)
7
17) Diferenciální počet: definice derivace:
lim x→ 0
f ( x0 + x) − f ( x 0 ) x
f(x)
f ´( x )
c xn sin x cos x tg x
0 n.x n-1 cos x - sin x
1 cos 2 x 1 − sin 2 x
cotg x ex
ex
ax
a x ln a
ln x
1 x
log x
1 . log e x
derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí:
f (x) = u , g ( x) = v ( u + v)´= u´ + v´ ( u - v)´= u´ - v´ ( k.u ) ´= k . u ´ kde k je libovolná konstanta ( u . v )´ = u´. v + u . v´
Pro jednoduchost nahradíme
/
u´v − uv´ u = v2 v derivace složené funkce: Pro zjednodušení označujeme vnitřní funkci proměnnou t
.
yx´ = yt ´ . t x ´
tečna funkce v bodě T = [ x0,y0 ]
y − y 0 = f ´(x 0 )( x − x 0 ) 18) Integrální počet: pravidla pro integrování
∫ ( f ( x) +
g ( x))dx =
∫
f ( x)dx +
∫ g ( x)dx
∫ k. f ( x)dx = k.∫
f ( x)dx
integrace per partes ( po částech): funkce pro zjednodušení označíme jinými proměnnými
∫ u´.v dx =
: f(x) = u , g(x) = v
u.v − ∫ u.v´ dx
b
určitý integrál:
:
∫
f (x) dx = F (b) - F(a)
a b
výpočet objemu tělesa:
V = π ⋅ ∫ f 2(x) dx
( f rotuje okolo osy x )
a
8
∫
f (x )
f (x)
c
x+c
xn
x n+ 1 + c n+ 1
1 x cos x
ln x + c sin x + c
sin x
− cos x + c
1 cos 2 x
tg x + c
1 sin 2 x
− cot g x + c
ex
ex + c
ax
ax + c ln a
19) Výroková logika Pravdivostní tabulky:
p
p´
1 0
0 1
p
q
p∧q
p∨q
p⇒q
p⇔q
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
1 1 1 0
1 0 1 1
1 0 0 1
9
