Základní poznatky z matematiky
Obsah 1.
Základní poznatky z matematiky ................................................................................................. 2 1.1
Číselné obory......................................................................................................................... 2
1.1.1
Celá čísla ........................................................................................................................ 2
1.1.2
Reálná čísla .................................................................................................................... 2
1.2
Odmocniny .......................................................................................................................... 12
1.3
Mocniny............................................................................................................................... 45
1.3.1
Mocniny se základem 10.............................................................................................. 45
1.3.2
Mocniny s přirozeným mocnitelem ............................................................................. 46
1.4
Množiny............................................................................................................................... 62
1.4.1
Slovní úlohy na Vennovy diagramy............................................................................. 64
1.5
Výroková logika .................................................................................................................. 75
1.6
Absolutní hodnota ............................................................................................................... 86
1.7
Algebraické výrazy a jejich úpravy ..................................................................................... 97
1.7.1
Mnohočleny ................................................................................................................. 97
1.7.2
Dělení mnohočlenu mnohočlenem............................................................................. 104
1.7.3
Druhá a třetí mocnina mnohočlenu ............................................................................ 112
1.7.4
Rozklad na součin ...................................................................................................... 124
1.7.5
Racionální lomené výrazy .......................................................................................... 132
1.8
Dělitelnost ......................................................................................................................... 159
Stránka 1
Základní poznatky z matematiky 1. Základní poznatky z matematiky 1.1 Číselné obory 1.1.1
Celá čísla
1. Vypočtěte: a) 7 10 10 7 8 3 b) 17 20 45 20 : 4 2 2 c) 8 10 2 4 10 2 5 8 d) 12 18 6 8 7 4 3 5 8 9
Řešení: a) 7 10 10 7 8 3 3 3 5 9 5 14 b) 17 20 45 20 : 4 17 25 5 17 25 5 3 c)
8 10 2 2 4 10 2 2 5 8 2 14 6 2 2 3 2 4 36 6 44 44
d)
12 18 6 8 7 43 5 8 9 6 14 3 2 17 8568
1.1.2
Reálná čísla
1. Vypočtěte: a)
0,36 1
2
1 8 2 : 4 7 15
2 5 3 1 1 1 b) 0, 75 : : 1 6 4 4 2 2
Řešení: a)
b)
1 3 1 2,5 8 4 2 c) 1 1 2 1,3 0, 75 5 4 1 4 d) 2, 4 3 2 1: 0, 2 3 5
2
0,36 1 (0,6 1) 2 (0,4) 2 0,16 0,16 4 15 3 1 28 4 25 4 1 8 1 8 1 1 30 2 5 2 : 4 2 7 15 15 7 15 7 15 4 7 15 2 5 3 1 1 1 5 3 4 1 3 1 10 9 4 1 6 1 : 0, 75 : : 1 : 12 3 4 4 6 4 4 2 2 6 4 3 4 2 4
1 4 1 4 1 1 5 9 14 12 3 4 5 9 5 45 45
Stránka 2
Základní poznatky z matematiky c)
d)
1 3 5 5 16 3 5 10 13 1 2,5 8 15 10 13 4 4 2 4 2 2 2 4 2 1 1 11 13 1 3 22 13 2 4 9 2 2 2 1,3 0,75 5 4 5 10 4 4 10 4 25 25 78 103 1 13 17 6 6 6 6 1 4 14 12 14 25 1 2,4 3 2 1 : 0,2 2,4 5 3 5 5 5 5
2. Vypočtěte:
2 3 0, 25 5 a) 2 1 31 4 2 43 3 b) 2 4 : 3 9
3 1 1 1 4 2 6 d) 2 1 1 3 2
2
3
4 1 c) 1, 2 : 0,8 1 0, 4 0,8 9 2
Řešení: 2
2 4 3 0,25 3 0,5 5 25 3 4 1 75 8 1 67 0,67 a) 2 2 50 2 100 2 25 2 1 31 4 1 3 1 3 1 23 5 2 43 3 2 4 2 4 b) 2 3 1 4 4 2 4 : 3 2 3 9 3
3
4 1 12 10 4 3 3 4 9 3 1 c) 1,2 : 0,8 1 0,4 0,8 1 9 2 10 8 9 2 2 9 4 2 2 3 1 1 1 3 3 1 9 18 2 7 6 1 4 2 6 4 2 6 12 d) 2 1 5 1 10 3 12 7 2 1 3 2 3 2 6
3. Vypočtěte: 13 4 5 3 1 1 36 18 5 a) 2 3 2 5 8
1 3 1 5 10 4 b) 2 1 : 5 3
Stránka 3
Základní poznatky z matematiky 3 1 3 1 : 7 2 8 c) 2 2 1 3 7
1 1 5 3 6 : 6 d) 2 30 3 0,3 12 2
Řešení:
13 4 113 62 9 51 1 5 3 1 1 36 18 5 36 5 4 5 51 10 51 2 15 2 5 a) 2 3 12 3 9 20 9 18 18 6 2 5 8 5 8 10 1 3 1 1 65 5 10 4 5 20 4 6 5 5 3 5 1 b) 2 2 1 20 6 20 6 8 (3) : 5 5 3 1 3 6 21 8 15 8 3 1 : 7 2 8 14 3 14 3 20 63 5 9 45 c) 2 4 7 4 2 1 4 1 9 63 7 3 7
d)
1 1 5 3 6 : 6
2 1 6 6 5 2 9 3 30 30 3 0,3 4 10 12 12 2
4. Vypočtěte: 2 5 1 1 0,1 : 5 6 3 2 a) 2 4 2 1,5 5 15 2 3 8 3 4 27 b) 1 0,125 4 2 5 3 1 1 1 c) 0, 75 : : 1 6 4 4 2 2 Řešení: a)
1 6 6 5 1 4 1 9 3 5 12 15 4 4
1 30 3 1 : 7 2 7 d) 2 2 1 3 7
1 2 5 5 1 : 1 24 25 12 5 10 5 6 6 25 1 2 4 4 15 4 2 25 14 7 7 4 2 1,5 25 15 10 25 5 5 15
0,1
2 5 1 1 : 5 6 3 2
Stránka 4
Základní poznatky z matematiky b)
c)
d)
2 3 8 2 2 3 4 27 3 9 6 2 32 4 32 14 2 1 1 5 9 9 9 0,125 4 4 40 2 5 3 1 1 1 5 3 4 1 3 1 0, 75 : : 1 : 6 4 4 2 2 6 4 3 4 2 4 10 9 4 1 4 1 1 14 12 3 4 6 1 9 5 45 1 30 6 14 7 7 15 7 3 1 : 2 7 7 14 30 14 30 1 63 63 3 15 2 4 1 4 4 4 16 16 2 1 9 7 63 3 7
5. Vypočtěte: 2
1 1 1 3 3 3 2 : 2 2 2 3 3,5 1 0,5 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 : 2 5 6 3 20 5 2 3 2 3 3 1,52 2, 25 4 2 4 2 : 125 3 5 7 6 2 3 5 12 2 2 0,5 : 5 3 9 2
a)
b)
c)
d)
Řešení: a)
b)
2
1 1 1 1 21 1 3 3 3 9 3 2 : 2 2 2 2 2 2 21 16 2 1 1 1 3 1 5 4 5 3 3,5 1 0,5 2 4 4 2 4 4 2 84 4 16 5 5 4 1 1 1 1 1 1 1 1 11 20 3 12 1 1 1 1 6 : 8 : 2 5 6 3 20 5 2 6 3 30 60 2 3 2 3 3 1 2 11 60 6 42 6 6 30 11 2
Stránka 5
Základní poznatky z matematiky c)
d)
3 3 152 75 152 3 1,52 2, 25 1,5 4 100 4 100 2 75 152 3 125 2 4 9 9 100 2 9 4 2 : 125 4 125 125 3 77 1 5 385 1 . 16 4 2 3 24 24 5 7 6 35 6 7 7 10 70 5 2 3 5 6 5 7 5 2 13 13 13 1 2 2 1 1 9 1 3 2 15 2 0,5 : 5 2 3 2 5 2 10 5 3 9
6. Vypočtěte: 1 4 1 : 3 9 a) 5 4 3 2
5 13 1 4 3: 6 15 5 d) 3 1 2:2 4 12
3 7 5 3 1 2 8 12 b) : 6 4 4 3 3 7 4 8 2 5 9 2 0, 6 : 5 4 16 c) 1 1 5 : 3 6 3
Řešení: 1 4 1 9 3 43 1 : 1 1 3 9 3 4 4 4 12 1 a) 5 15 8 15 7 4 7 14 4 3 4 2 2 2 2 3 7 9 14 5 3 1 2 10 9 3 8 24 1 12 5 8 5 : b) : 8 12 12 12 6 7 12 11 24 1 33 6 4 4 3 3 7 4 8 8 2 5 9 2 4 5 6 3 1 6 2 0,6 : : 5 4 25 4 10 2 5 10 3 3 30 16 c) 6 2 1 3 3 5 3 1 1 5 : 6 5 30 3 6 3
5 13 1 4 3 : 29 3 : 13 3 29 3 15 29 9 29 27 2 32 4 6 15 5 6 15 6 10 6 2 6 d) 33 1 12 24 6 24 9 3 1 11 1 2 : 2 2 : 2 2: 12 32 32 4 12 4 12
Stránka 6
Základní poznatky z matematiky 7. Vypočtěte: 2 3 3 3 0,5 : 5 8 4 a) 2 5 1 3 2 4
2
2 1 3 0,5 : 5 2 8 d) 2 2 1 2 3 4 5
3 7 5 3 1 2 4 8 b) 6 : : 6 4 4 3 3 7 8 12 2
1 1 2 2 0,5 : 0, 64 4 2 c) 1 2 1 2 2 : 0,1 2 2 3 2 Řešení: a)
b)
2
3 3 3 1 3 3 16 3 2 0,5 : 9 20 12 29 2 58 8 5 8 4 2 5 8 9 10 3 2 5 5 2 5 1 30 5 5 5 25 25 12 12 3 2 4 3 7 67 5 5 3 1 2 4 8 10 9 3 8 1 12 6 : : 6 : : 8 6 24 12 12 9 14 12 11 1 6 4 4 3 3 7 8 12 24 8 6 5 1 6 5 10 : 8 11 24 8 11 24 11
c)
1 1 9 1 1 9 1 10 2 2 0,5 : 0,64 2 : 0,8 4 2 4 2 4 4 4 8 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 : 0,1 2 2 : 4 2 (10) 4 2 3 2 2 3 2 10 23 2 9 5 36 5 31 31 31 3 93 4 16 16 16 16 1 2 15 26 6 26 12 16 32 512 4 2 2 5 4 2 2 3 3 3 23
d)
2 1 3 0,5 : 5 2 8
2
2
2 1 2 3 4 5
2
2 1 1 8 1 2 3 10 5 2 4 3 5 3 15 13 75 65 32 1 1 4 2 2 15 2 2 2 6 25 75 75
8. Vypočtěte: 2
1 2 5 3 5 2 a) 16 49 2 10 6
3 b) 4
3
1 2 3 5 : 3 4 36 4 6
Stránka 7
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) 5 2 3 5 1 2 25 15 1 2 25 1 1 2 2 16 49 4 60 4 7 4 4 7 2 10 6 25 4 7 25 11 175 11 186 93 9 6 4 28 4 28 28 28 14 14 b) 3 3 3 5 1 2 27 5 1 2 27 5 1 3 : 3 : : 64 8 2 6 64 8 2 4 36 4 4 6 27 5 4 27 8 3 : 64 8 64 9 8 9. Vypočtěte: 11 1 1 23 4 a) 11 1 1 23 4 2 3 4 1 2 3 4 5 b) 3 4 3 2 1 2 3 5 4 3
7 5 5 7 : 2 4 3 6 c) 2 3 11 3 4 12
Řešení:
11 1 1 1 1 7 1 7 23 4 2 12 24 31 24 31 1 8 a) 1 1 1 11 1 24 23 23 23 1 1 1 2 12 24 23 4 2 3 4 5 11 19 100 165 228 1 2 3 163 3 4 5 3 4 5 60 1 b) 4 3 2 9 11 11 108 165 220 163 1 2 3 5 4 3 5 4 3 60 7 5 5 7 9 3 : : 2 4 3 6 4 6 9 6 12 9 c) 2 3 11 8 9 11 4 3 6 3 4 12 12 10. Zapište ve tvaru zlomku v základním tvaru: a) 0,4 b) 14,25 c) 1,128
Stránka 8
Základní poznatky z matematiky Řešení: 4 2 10 5 1425 25 1 b) 14, 25 14 14 100 100 4 1128 128 64 32 16 c) 1,128 1 1 1 1 1000 1000 500 250 125
a) 0, 4
11. Převeďte periodické číslo na zlomek. a) 1,5 d) 0, 22
g) 1,3245
j) 1, 234
b) 0, 4
e) 1,15
h) 5, 4321
k) 1,12
c) 1,12
f) 0,124
i)
l)
2,125
0,518
Řešení: a) 1,5 a
15,5 10a 14 9a a
b)
0, 4 a 4, 4 10a 4 9a a
c)
4 9
11, 22 10a 10,1 9a 1,12 a
a
d)
14 9
101 90
22, 22 100a 22 99a
0, 22 a
a
22 2 99 9
Stránka 9
Základní poznatky z matematiky 115,15 100a 114 99a
e)
1,15 a
f)
114 38 99 33 0,124 a
12, 424 100a 12,3 99a 123 41 a 990 330 g) 1,3245 a 132, 4545 100a 231,13 99a 0,124 a
231,13 1457 99 1100 5, 4321 a 543, 2121 100a 537, 78 99a a
h)
537, 78 17926 8963 99 3300 1650 2,125 a 2125,125 1000a 2123 999a 2123 a 999 1, 234 a
i)
j)
1234, 234 1000a 1233 999a 1233 a 999 k) a 1,12 100a 112,12 99a 111 111 a 99 1, 234 a
Stránka 10
Základní poznatky z matematiky l)
a 0,518 10a 5,18 9a 4,67 4,67 9 467 a 900 a
2 66 4 12. Porovnej racionální čísla ;0,67; ; . 3 10 7
Řešení: 2 67 66 4 ; ; ; … nejmenší společný jmenovatel je 210 3 10 10 7 2 140 3 210 67 1407 10 210 4 2 66 0, 67 66 1386 7 3 10 10 210 4 120 7 210
Stránka 11
Základní poznatky z matematiky 1.2 Odmocniny 1. Částečně odmocněte: a) c) 27 45 b) 32 d) 48 Řešení: a) b) c) d) e) f)
e) f)
50 72
27 9 3 9 3 3 3 32 16 2 16 2 4 2 45 9 5 9 5 3 5 48 16 3 16 3 4 3 50 25 2 25 2 5 2
g) h)
108
g) h) i) j)
108 36 3 36 3 6 3
k) l)
72 36 2 36 2 6 2
128
i) j)
147 180
k) l)
192
240
128 64 2 64 2 8 2 147 49 3 49 3 7 3 180 36 5 36 5 6 5 192 64 3 64 3 8 3 240 16 15 16 15 4 15
2. Upravte: a)
12 3
25 16
c)
3. 27
49 16
e)
5. 20
64 9
b)
8 72
36 25
d)
2. 50
36 49
f)
2. 18
16 9
a)
12 3
25 25 5 6 4 5 24 5 29 1 36 6 7 16 4 4 4 4 4 16
b)
8 72
36 36 6 24 5 6 120 6 126 1 576 24 25 25 5 5 5 5 5 25
c)
3. 27
49 49 7 9 4 7 36 7 43 3 81 9 10 16 4 4 4 4 4 16
d)
2. 50
36 36 6 10 7 6 70 6 64 1 100 10 9 49 7 7 7 7 7 49
e)
5. 20
64 64 8 10 3 8 30 8 38 2 100 10 12 9 3 3 3 3 3 9
f)
2. 18
16 16 4 6 3 4 18 4 14 2 36 6 4 9 3 3 3 3 3 9
Řešení:
3. Upravte: 64 121 a) 9 25 b)
36 121 25 64
Řešení: a)
64 121 8 11 8 5 11 3 40 33 73 13 4 9 25 3 5 15 15 15 15 Stránka 12
Základní poznatky z matematiky b)
36 121 6 11 6 8 11 5 48 55 103 23 2 25 64 5 8 40 40 40 40
4. Upravte: a) 2 2 3 2 2 3 3 b) c) d)
2 2 2 3 3 2
3 2 2 3 3 2
3 2
e)
2 3
2 3
f)
2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2
Řešení: a) 2 2 3 2 2 3 3 4 4 6 6 2 6 3 9 8 4 6 9 4 6 1 b) c) d) e) f)
2 2 2 3 3 2 2 3 3 2
3 2 2 3 3 2 2 3 3 2
3 6 2 6 3 6 2 6
2 3 2 4 6 4 6 2 9 43 6 6 3 6 2 2 3 2 3
5. Vypočtěte: a) b) c) d) Řešení: a) b) c) d)
1 1 1 1
2 3 3
2
e)
2
2
f)
2
g)
2
h)
2
2
2
2
2
2
2
2
i) 2
j)
2
k)
2
l)
3 6 6
2 3
2
2
2
2 2
m) n)
6
3 6
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
i)
2 3 3 2
2
2
h)
6 3 4 2 9 6 6 6 6 6 6 5 6
2
2
g)
6 2 9 3 4 6 6 6 6 6 6 7 6 12
2 2 3 3
2
2
f)
6 3 4 2 9 6 6 6 66 6 5 6
1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 4 2 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 6 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 6 4 2 3 3 3 2 3 3 3 9 6 3 3 12 6 3 3 3 3 2 3 3 3 9 6 3 3 12 6 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 6 3 5 2 2
e)
6 2 9 3 4 6 6 6 6 6 6 5 6
2
2
6 Stránka 13
Základní poznatky z matematiky
k)
l)
m)
n)
j)
2 2 6 2 2
3 2 2 6 3 5 2 6 6 6 2 2 12 6 8 2 4 3 8 2 2
2 3
2
2
2 3
2
2
2
2
2
8 4 3
2 2
2 6
2
2 2 6
84 3
3 6
3 2
2
2 3 6
96 2
3 6
3 2
2
2
2 3 6
6
2
6
6
2
2
3
2 2 12 6 8 2 4 3 8 2 2 3
3 2 18 6 9 2 9 2 9 3 3 2
3 2 18 6 9 2 9 2 9 2 3 2
96 2
6. Vypočtěte:
1 a) 1 2
2
1 c) 1 3
1 b) 1 2
2
1 d) 1 3
2
2
Řešení: 2
2
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 4 2 a) 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 3 2 2 4 2 3 4 4 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 22 2 2 2 2 2 2 2 4 2
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 4 2 b) 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 4 2 3 4 4 2 3 2 4 2 2 3 2 2 3 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 4 2
1 1 1 2 1 1 3 3 2 3 1 3 3 3 6 3 c) 1 1 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2
6 4 3 3 6 3 4 9 6 3 4 3 3 2 3 4 2 34 33 3 3 3 3 3 3 3 9 2
1 1 1 2 1 1 3 3 2 3 1 3 3 3 6 3 d) 1 1 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 3 6 3 4 9 6 3 43 6 3 3 4 2 3 42 3 33 3 3 3 3 3 3 3 9
Stránka 14
Základní poznatky z matematiky 7. Vypočtěte:
1 a) 2 2
2
1 e) 6 3
2
1 i) 6 2
2
1 b) 2 2
2
1 f) 6 3
2
1 j) 6 2
2
1 c) 3 3
2
1 g) 3 6
2
1 k) 2 6
2
1 d) 3 3
2
1 h) 3 6
2
1 l) 2 6
2
Řešení: 2
1 a) 2 2 2
1 b) 2 2 2
1 c) 3 3 2
1 d) 3 3 2
1 e) 6 3
2
2
2
2
2 2
2 2
1
2
3 2 3
3
2
6
2
2 3
2
1 1 1 22 2 4 2 2 2
1
2
1 1 1 22 2 2 2 2 2
1 1 1 3 2 3 5 3 3 3
1
2
1 1 1 3 2 3 13 3 3
1
2
1 1 6 1 6 1 2 6 62 6 2 3 3 3 3 3 3
1 6 3 2 2 3 1 18 6 2 1 19 6 2 62 2 3 3 3 3 2
1 f) 6 3
6
2
2
1 1 6 1 6 1 2 6 62 6 2 3 3 3 3 3 3
1 6 3 2 2 3 1 18 2 2 1 19 6 2 62 2 3 3 3 3 2
1 g) 3 6 3 2
3
2
2
1 1 3 1 3 1 2 3 3 2 3 2 6 6 6 6 6 6
1 1 3 6 2 2 6 1 2 18 2 12 2 12 19 2 2 2 6 6 2 6 2 6 2 2
12 2 19 4 12 2 19 2 2 6 2 19 6 2 19 62 6 12 6 4
Stránka 15
Základní poznatky z matematiky 2
3
1 h) 3 6 32
2
1 1 3 1 3 1 2 3 3 2 3 2 6 6 6 6 6 6
2
1 1 3 6 2 2 6 1 2 18 2 12 2 19 2 12 2 2 6 6 2 6 2 6 2 2
19 4 12 2 19 2 12 2 2 19 12 2 19 12 2 62 6 12 6 4 2
1 i) 6 2
6
2
2
1 1 6 1 6 1 2 6 62 6 2 2 2 2 2 2 2
62 3 2
6
1 j) 6 2
2
1 1 6 1 6 1 2 6 62 6 2 2 2 2 2 2 2
2
62 3 2
1 k) 2 6
2
22
2
1 6 2 2 3 2 1 12 4 3 1 13 4 3 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 1 1 2 6 3 2 6 1 3 18 3 12 3 3 6 6 3 6 3
12 19 3 3 12 3 19 9 12 3 19 3 3 4 3 19 63 18 6 3 3 6 9
4 3 19 6
2
1 l) 2 6
2
22
8. Usměrněte: 3 2 a) 4 5 4 3 b) 3 5
1 6 2 2 3 2 1 12 4 3 1 13 4 3 2 2 2 2
2
2
1 1 2 1 2 1 2 2 22 2 2 6 6 6 6 6 6 1 1 2 6 3 2 6 1 3 12 3 12 3 3 6 6 3 6 3
13 3 12 3 13 9 12 3 13 3 12 3 3 13 4 3 63 18 6 3 3 6 9
13 4 3 6
c) d)
2 3 3 5 5 2 3 3
e) f)
5 3 3 2 3 2 2 3
Stránka 16
Základní poznatky z matematiky Řešení: a)
3 2 3 2 5 3 10 3 10 3 10 45 20 4 5 4 5 5 4 25
b)
4 3 4 3 5 4 15 4 15 4 15 35 15 3 5 3 5 5 3 25
c)
2 3 2 3 5 2 15 2 15 2 15 35 15 3 5 3 5 5 3 25
d)
5 2 5 2 3 5 6 5 6 5 6 9 3 3 3 3 3 3 9 3 3
e)
5 3 5 3 2 5 6 5 6 5 6 6 3 2 3 2 2 3 4 3 2
f)
3 2 3 2 3 3 6 3 6 6 2 2 3 2 3 3 2 9 2 3
9. Usměrněte: 2 a) 2 2 2 b) 2 2 6 c) 3 3
6 3 3 1 e) 2 3 1 f) 2 3 d)
Řešení:
g)
15 5 3
h)
18 6 3
a)
2 2 2 2 42 2 42 2 42 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
b)
2 2 2 2 42 2 42 2 42 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
c)
6 6 3 3 18 6 3 18 6 3 18 6 3 6 3 3 3 3 2 93 6 6 3 3 3 3 3 3 32 3
d)
6 6 3 3 18 6 3 18 6 3 18 6 3 6 3 3 3 3 2 93 6 6 3 3 3 3 3 3 32 3
e)
1 1 2 3 2 3 2 3 2 3
f)
1 1 2 3 2 3 2 3 2 3
2 3
2
2 3 2 3 3 2 23 1
2
2 3 2 3 3 2 23 1
2 3 2
2 3
2 3 2
Stránka 17
Základní poznatky z matematiky g)
15 15 5 3 5 3 5 3 5 3
h)
5 3 2
6 3 3 3
10. Usměrněte: 5 3 a) 2 2 3 32 b) 2 3 2
108 54
25 3 9 5 52 3 32 5 53 2
36 3 9 6 62 3 32 6 63 3
6 3 6 3 2 3 6 2 3 2
2
3
c) d)
6
4 3
e)
2 3 2 4 3
f)
2 2 3
Řešení:
a)
2
5 3 3 5 2
18 18 6 3 6 3 6 3 6 3
75 45
5 2 3 2 3 5 2 3 3 2
5 3 2 2 3 5 3 5 3 2 2 3 10 2 5 3 2 6 9 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
10 2 5 3 2 6 3 10 2 5 3 2 6 3 83 5 32 2 3 2 32 32 2 3 2 2 9 6 4 32 2 b) 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
6 6 4 3 2 2 6 6 4 3 2 2 12 2 10 4 3 2 3 2 4 3 4 3 2 3 2 8 34 2 2 9 6 c) 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
8 3 4 2 6 6 8 3 4 2 6 6 12 2 10 4 3 2 2 3 4 3 4 3 2 2 3 8 2 4 32 6 9 d) 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
8 2 4 3 2 6 3 8 2 4 3 2 6 3 83 5
Stránka 18
Základní poznatky z matematiky e)
5 2 3 2 3 5 2 5 2 3 2 3 15 2 5 3 3 4 6 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3
15 2 5 3 6 6 15 2 5 3 6 6 18 3 15 5 2 3 3 2 5 2 5 2 3 3 2 15 3 5 2 3 6 4 f) 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2
11. Usměrněte: 2 5 5 2 a) 3 2 2 5 5 2 b) 3 2
15 3 5 2 3 6 2 15 3 5 2 3 6 2 27 2 25 c)
2 5 5 2
3 2 2 5 5 2 d) 3 2
Řešení: 2 5 5 2 2 5 5 2 3 2 2 15 2 10 5 6 5 4 a) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 15 2 10 5 6 5 2 2 15 2 10 5 6 10 2 15 2 10 5 6 10 3 2 1 2 5 5 2 2 5 5 2 3 2 2 15 2 10 5 6 5 4 b) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 15 2 10 5 6 5 2 2 15 2 10 5 6 10 2 15 2 10 5 6 10 3 2 1 2 5 5 2 2 5 5 2 3 2 2 15 2 10 5 6 5 4 c) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 15 2 10 5 6 5 2 2 15 2 10 5 6 10 2 15 2 10 5 6 10 3 2 1 2 5 5 2 2 5 5 2 3 2 2 15 2 10 5 6 5 4 d) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 15 2 10 5 6 5 2 2 15 2 10 5 6 10 2 15 2 10 5 6 10 3 2 1
12. Usměrněte: 2 3 a) 2 2 3 2 3 b) 2 2 3
c) 3 d) 2
2 3 2 3 3 2 3 2
e) 2 f) 3
2 3 2 3 3 2 3 2 Stránka 19
Základní poznatky z matematiky g) 1
2 1 3
h) 1
Řešení:
a) 2
2 3 2 2 3 2 3 42 3 2 3 6 3 6 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
6 3 2 3 12 6 3 2 3 2 3 2 3 2 3
12 4 3 3 9 4 3 43 1
2 3 2 2 3 2 3 42 3 2 3 23 3 23 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 3 2 3 4 2 3 6 3 3 2 3 2 3 2 3
2 3 3 2 3
2
2
5 4 3 c) 3
9
2
2
94 3
b) 2
2 1 2
2 3 2 3 2 3
9
4 4 3 9 5 4 3 43 1
3 2 3 3 2 3 4 2 2 3 2 3 2 3
2 3 4 4 4 6 2 6 2 2 3 2 3
4 2 2 3 4 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2
2
9
8 2 6 6 2 2 6 2 2 6 23 1 3 2 2 3 2 3 2 2 32 2 3 2 3 3 2 d) 2 3 2 3 2 3 2 3 2
3 2 3 9 3 6 6 3 2 3 2
3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2
4
9
2
92 6 2 72 6 72 6 3 2 1 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 3 e) 2 2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 3 4 3 6 6 2 3 2 3
3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
6 2 6 3 3 2 6 3 2 6 23 1
2
2
Stránka 20
Základní poznatky z matematiky f) 3
3 2 3 3 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3 2 3 2 4 3 2 2 3 2 3 2
3 2 3 2
4 32 2 4 32 2 3 2 3 2 3 2 3 2
4 9 4 6 2 6 2 4
g) 1
3 2 2
2
12 2 6 4 8 2 6 8 2 6 3 2 1
2 2 1 3 22 3 22 3 22 3 1 1 1 1 2 2 1 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3
2 1 3
1
1 1 3 1 1
3 3 2 2 2 1 2 22 2 22 2 22 2 h) 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 12 2
2
3 3 2
1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2
13. Upravte: 3 2 2 3 a) 6 3 22 3 b) 5 3 5 5 3 c) 5
3
3 5 3 3 5
e)
3
2
32 2 3 2 2 3 5 6
2 3 3 3 2 2 3
5 6
3
2 2 3 2 3 3 2
6
6 9 4 4 9 6 6 6 6 9 2 4 3 6 6 6 3 6 3
6 6 18 12 6 6 6 1 3 3 3 6 3 6 3 3 3
3
2 2 3 2 3 3 2 5 3
d)
6 3
b)
Řešení:
a)
3 2 3 3 2
6
6 9 4 4 9 6 6 6 6 9 2 4 3 6 6 5 3 5 3
6 6 18 12 6 6 6 6 3 6 3 6 3 2 3 53 5 15 5 3 5 3 5 3 3
Stránka 21
Základní poznatky z matematiky c)
3
5 5 3 5 3 3 5 5 3
3
32 2 3 2 2 3
2
6 13 5 6 30
13 5
6 6 9 6 4 4 6 13 6 6 3 6 2 5 6 5 6
6
5
2 3 3 3 2 2 3 5 6
9
13 6 18 12 13 6 30 6 13 36 30 6 13 6 30 6 78 30 6 56 30 5 6 5 6 6 5 36
e)
6 3 6 3 2 3 3 3 3
5 6
15 9 25 25 9 15 15 5 3
15 15 9 5 25 3 15 15 15 15 45 75 15 15 30 6 5 3 5 3 5 3 3
d)
15
6
4 4 6 9 6 6 9 5 6 6 2 6 3 5 6 5 6
5 6 12 18 5 6 6 6 5 36 6 6 5 6 6 6 30 6 6 56 30 5 6 5 6 6 5 36
6 5 6 30
5
6
5
14. Upravte: 2 3 5 5 1 5
a)
2 5
b)
3 2 3 c) 1 3 3 1 3 1
2 3 5 5 2 5 1 5
Stránka 22
Základní poznatky z matematiky Řešení: 2 3 5 2 5 3 5 5 1 a) 2 5 2 5 5 1 5 1 5 1 5 5 5
2 5 3 5 3 25 5 2 5 4 5 35 2 5 2 5 5 1 25 5 5 1 5 5
2 5 4 5 8 2 5 4 52 2 5 2 5 5 4 4 5 2 5 5 5 2 2 5 5 2 2 5 2 5 5 1 5
2 5 5 5 10 3 5 10 6 5 20 3 25 10 5 2 5 2 5 5 5 5
b)
4 5 20 3 5 4 5 20 15 4 5 5 5 5 5 2 3 5 2 5 3 5 5 1 5 2 5 2 5 1 5 1 5 1 5 5 5
2 5 3 5 3 25 5 5 2 25 5 5 1 5
2 5 4 5 8 5 2 4 5
2 5 5 2 5 2 1 5
2 5 5 5 10 5 2 5
2 5 4 5 35 5 2 5 1 5
2 5 4 5 2 5 2 5 4 2 5 5 5 2 5 2 5
7 5 10 7 25 10 5 14 5 20 5 2 5 5
7 5 24 5 20 35 24 5 20 55 24 5 5 5 5 3 2 3 3 3 2 3 1 3 3 1 c) 1 3 1 3 3 3 1 3 1 3 1
3 3 2 3 2 3 3 3 3 5 3 15 3 3 5 3 3 18 8 3 3 3 1 3 2 6 6
2 94 3 6
94
3
3
Stránka 23
Základní poznatky z matematiky 15. Upravte:
2 2 2 2
a)
3
c)
3
b) Řešení:
3
b) 2 2
c) 3 3
d) 3 3
e)
23 3 22 2 3 2
e) f)
2 2 2
3
3
2 3
3
2
3
g) h)
6
2 6
3
2
3
8 3 4 2 6 2 8
8 12 2 12 4 2 20 12 2 22 2 20 12 2 2 2 20 14 2
3
3
d)
a) 2 2
3 3 3 3
3
23 3 22 2 3 2
2 2 2
3
8 3 4 2 6 2 8
8 12 2 12 4 2 20 12 2 22 2 20 12 2 2 2 20 14 2 3
3 3 2
33 3 32 3 3 3
3
27 3 9 3 9 3 27
27 27 3 27 9 3 54 27 3 32 3 54 27 3 3 3 54 30 3 3
33 3 32 3 3 3
3 3 2
3
27 3 9 3 9 3 27
27 27 3 27 9 3 54 27 3 32 3 54 27 33 3 54 30 3
2 3
2 3 2 3
3
2
3 3 2
3 3 2
3
8 3 2 3 3 2 3 27 4 2 6 3 9 2 9 3
f)
22 2 6 3 9 2 32 3 2 2 6 3 9 2 3 3 11 2 9 3
2 3
2 3 2 3
3
2
3 3 2
3 3 2
3
8 3 2 3 3 2 3 27 4 2 6 3 9 2 9 3
g)
22 2 6 3 9 2 32 3 2 2 6 3 9 2 3 3 11 2 9 3
2 6
2 3 2 3
3
2
6 3 2
6 6 2
3
8 3 2 6 3 2 6 216 4 2 6 6 18 2 36 6 22 2 6 6 18 2 62 6 2 2 6 6 18 2 6 6
h)
20 2 12 6
2 6
2 3 2 3
3
2
6 3 2
6 6 2
3
8 3 2 6 3 2 6 216 4 2 6 6 18 2 36 6 22 2 6 6 18 2 62 6 2 2 6 6 18 2 6 6 20 2 12 6 16. Upravte:
1 a) 1 2
3
1 b) 1 2
3
1 c) 1 3
3
1 d) 1 3
3
Stránka 24
Základní poznatky z matematiky 1 k) 6 3
3
1 l) 6 3
3
1 m) 2 6
1 h) 3 3
3
1 i) 6 2
3
1 j) 6 2
1 f) 2 2 1 g) 3 3
3
3
1 e) 2 2
3
1 n) 2 6
3
1 o) 3 6
3
1 p) 3 6
3
3
3
Řešení: 3
2
3
1 1 3 3 1 1 1 3 2 a) 1 3 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 23 1
3 3 1 3 3 1 1 2 2 3 2 3 2 1 1 2 2 42 2 2 2 2 2 2
2 2 6 3 2 1 7 5 2 2 7 2 5 4 7 2 5 2 7 2 10 22 4 2 2 2 2 2 2 4
3
2
3
1 1 3 3 1 1 1 3 2 b) 1 3 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 23 1
3 3 1 3 3 1 1 2 2 3 2 3 2 1 1 2 2 42 2 2 2 2 2 2
2 2 6 3 2 1 5 2 7 2 5 4 7 2 5 2 7 2 10 7 2 22 4 2 2 2 2 2 2 4
3
2
3
1 1 3 3 1 1 1 3 2 c) 1 3 1 1 3 1 1 3 3 3 3 3 3 33 1
3 1 3 1 2 3 3 3 3 1 6 3 9 1 1 2 3 93 3 3 3 3 3 3 3
10 6 3 3 10 3 6 9 10 3 6 3 10 3 18 33 9 3 3 3 3 9
3
2
3
1 1 3 3 1 1 1 3 2 d) 1 3 1 1 3 1 1 3 3 3 3 3 3 33 1
3 1 3 1 2 3 3 3 3 1 6 3 9 1 1 2 3 93 3 3 3 3 3 3 3
6 3 10 3 6 9 10 3 6 3 10 3 18 10 3 33 9 3 3 3 3 9
Stránka 25
Základní poznatky z matematiky 3
1 e) 2 2
2
3
3
3
3 2 3 2 1 6 3 2 1 42 3 2 2 2 2 42 2
23 2 2
6 3 2 1 2 2 2 2 6 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2
4 4 12 3 4 1 4 2 12 3 2 1 8 12 6 1 2 2 2 2 2 2
27 2 27 2 27 2 27 2 22 4 2 2 2 2 4
3
1 f) 2 2 23
2
1 1 1 2 3 2 2 2 2 2
2
3
3
2
3
1 1 1 2 3 2 2 2 2 2
3 2 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 42 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 23
2 2 2 2 6 2 3 2 2 1 4 4 12 3 4 1 4 2 12 3 2 1 2 2 2 2 2 2
8 12 6 1 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 22 3
1 g) 3 3 33
3
3
3
2
3
1 1 1 3 3 3 3 3 3 2
33 3 3 1 9 3 3 1 9 3 3 1 93 3 3 3 3 3 3 3 3 93 3 3 3 3
3 3 3 3 9 3 3 3 3 1 9 9 27 3 9 1 9 3 27 3 3 1 3 3 3 3 3 3
27 27 9 1 64 3 64 3 64 3 64 3 33 9 3 3 3 3 3 3 9 3
1 h) 3 3 33
3
3
3
2
3
1 1 1 3 3 3 3 3 3 2
33 3 3 1 9 3 3 1 9 3 3 1 93 3 3 3 3 3 3 3 93 3 3 3 33
3 3 3 3 9 3 3 3 3 1 9 9 27 3 9 1 9 3 27 3 3 1 3 3 3 3 3 3
27 27 9 1 8 3 8 3 8 3 8 3 9 3 3 3 3 3 3 9 33
Stránka 26
Základní poznatky z matematiky 3
6
1 i) 6 2 63
3
3
2
3
1 1 1 6 3 6 2 2 2 2
3 6 3 6 1 18 3 6 1 18 3 6 1 36 6 6 6 3 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2
6 6 2 2 18 2 3 6 2 1 12 12 36 3 12 1 15 12 37 2 2 2 2 2 2 2 2
15 24 37 2 15 4 6 37 2 15 2 6 37 2 30 6 37 2 22 4 4 2 4 3
6
1 j) 6 2 63
3
3
2
3
1 1 1 6 3 6 2 2 2 2
3 6 3 6 1 18 3 6 1 18 3 6 1 36 6 6 6 2 2 2 2 2 42 2 2 2 23
6 6 2 2 18 2 3 6 2 1 12 12 36 3 12 1 15 12 37 2 2 2 2 2 2 2 2
15 24 37 2 15 4 6 37 2 15 2 6 37 2 30 6 37 2 22 4 4 2 4 3
1 k) 6 3 63
6
3
3
2
3
1 1 1 6 3 6 3 3 3 2
3 6 3 6 1 18 3 6 1 18 3 6 1 36 6 6 6 3 3 3 3 3 3 93 3 3 3 3
6 6 3 3 18 3 3 6 3 1 18 18 54 3 18 1 21 18 55 3 3 3 3 3 3 3 3
21 54 55 3 21 9 6 55 3 21 3 6 55 3 63 6 55 3 33 9 9 3 9 3
1 l) 6 3 63
6
3
3
2
3
1 1 1 6 3 6 3 3 3 2
3 6 3 6 1 18 3 6 1 18 3 6 1 36 6 6 6 3 3 3 3 3 93 3 3 3 33
6 6 3 3 18 3 3 6 3 1 18 18 54 3 18 1 21 18 55 3 3 3 3 3 3 3 3
21 54 55 3 21 9 6 55 3 21 3 6 55 3 63 6 55 3 33 9 9 3 9
Stránka 27
Základní poznatky z matematiky 3
1 m) 2 6 23 2 2
2
3
3
2
3
1 1 1 2 3 2 6 6 6 2
3 2 3 2 1 6 2 1 6 2 1 42 2 2 2 2 6 6 6 6 6 36 6 6 63 6 2 1 2 2 6 6 6 6 2 3 6 1 12 12 36 3 12 1 2 6 6 6 6 6 6 6
37 15 12 6 37 6 15 72 37 6 15 36 2 37 6 15 6 2 66 36 6 6 6 6 36
37 6 90 2 36 3
1 n) 2 6 23 2 2
2
3
3
2
3
1 1 1 2 3 2 6 6 6 2
3 2 3 2 1 6 2 1 6 2 1 42 2 2 3 2 2 6 6 6 6 6 36 6 6 6 6 2 1 2 2 6 6 6 6 2 3 6 1 12 12 36 3 12 1 2 6 6 6 6 6 6 6
15 12 37 6 15 72 37 6 15 36 2 37 6 15 6 2 37 6 66 36 6 6 6 6 36
90 2 37 6 36 3
1 o) 3 6 33 3 3
3
3
3
2
3
1 1 1 3 3 3 6 6 6 2
33 3 3 1 9 3 1 9 3 1 93 3 3 6 6 6 2 36 6 6 2 6 6 63 9 3 1 3 3 6 6 9 6 3 3 6 1 18 18 54 3 18 1 6 2 6 6 6 6 6 6
55 21 18 6 55 6 21 108 55 6 21 36 3 55 6 21 6 3 66 36 6 6 6 6 36
55 6 126 3 36
Stránka 28
Základní poznatky z matematiky 3
1 p) 3 6 33
3
3
3
2
3
1 1 1 3 3 3 6 6 6 2
33 3 3 1 9 3 1 9 3 1 93 3 3 6 6 6 2 36 6 6 2 6 6 63 9 3 1 3 3 6 6 9 6 3 3 6 1 18 18 54 3 18 1 6 2 6 6 6 6 6 6
3 3
21 18 55 6 21 108 55 6 21 36 3 55 6 21 6 3 55 6 66 36 6 6 6 6 36
126 3 55 6 36
17. Upravte: 27 3 125 a) 3 64
b)
3
125 3 64 27
Řešení: a)
3
27 3 3 3 125 5 5 64 4 4
b)
3
125 3 5 5 4 3 5 12 17 2 64 4 5 27 3 3 3 3 3
18. Upravte:
a) b)
3
3
233
3
3
23
3
Řešení: a)
b)
c)
3
233
c) d)
2 3
3
3
3
2 3
2
236
3
3
23
3
233
2 3
3
3
3
2 3
2
236
2 3 2 3
3
3
3
2
f)
3 33 2
3 3
3
3 33 2
3 3
6 33 2
6 6
1 3 3 12 3 3 18
3
e)
3
5 3 3 12 3 3 18
3
6
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
3
3
3
3
6
3
3 3 6
3
3
33
3
2 33 4 3 3 33 2 3 9 3
2 33 4 3 3 33 2 3 9 3
2 3 3 4 3 6 3 3 2 3 36 6
8 3 3 24 3 3 72 8 3 3 8 3 3 3 8 9 8 3 3 23 3 3 3 23 9
d)
8 3 2 3 3 3 2 3 9 8 6 3 3 6 3 9
3
236
2 3 2 3
3
3
3
2
3
6 33 2
6 6 3
2
3
3
2 3 3 4 3 6 3 3 2 3 36 6
4 3 3 24 3 3 72 4 3 3 8 3 3 3 8 9 4 3 3 23 3 3 3 23 9 4 3 2 3 3 3 2 3 9 4 6 3 3 6 3 9
Stránka 29
Základní poznatky z matematiky e)
3
3 3 3 3
3 3 6
3
3
3
2
3
6 6
6 33 3
3
2
3
3
3 3 3 9 3 6 3 3 3 3 36 6
9 3 3 54 3 3 108 9 3 3 27 2 3 3 27 4 9 3 3 33 2 3 3 33 4
f)
9 3 33 2 3 33 4 9 9 3 2 9 3 4
3
33 6
3 3 3 3
3
3
3
2
3
6 33 3
6 6 3
2
3
3
3 3 3 9 3 6 3 3 3 3 36 6
3 3 3 54 3 3 108 3 3 3 27 2 3 3 27 4 3 3 3 33 2 3 3 33 4 3 3 3 3 2 3 3 3 4 3 9 3 2 9 3 4 19. Upravte:
1 g) 3 6 3 3
3
1 h) 3 6 3 3
3
1 i) 3 2 3 6
1 d) 3 3 3 3
3
1 e) 3 6 3 2
3
1 f) 3 6 3 2
1 b) 3 2 3 2 1 c) 3 3 3 3
3
3
1 a) 3 2 3 2
3
1 j) 3 2 3 6
3
1 k) 3 3 3 6
3
1 l) 3 3 3 6
3
3
3
Řešení: 3
1 a) 3 2 3 2 2
3
2 3
3
2 3
3
3
3
2
3
2
3
1 1 1 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2
2
3
2
2 3
2
1 3 1 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 1 3 2 2 33 2 3 2 2 2 23 2
4 3 2 6 3 4 6 3 2 6 5 3 2 6 3 4 3 4 6 3 4 5 3 8 6 3 16 3 23 2 23 2 4 23 8
3 3 6 3 4 5 2 6 3 8 2 6 3 4 10 6 2 3 2 10 12 3 2 6 3 4 2 5 6 2 3 4 22 4 4 4
5 6 3 2 33 4 2
Stránka 30
Základní poznatky z matematiky 3
1 b) 3 2 3 2 2
3
2 3
3
2 3
3
3
3
2
2
3
1 1 1 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2
3
2
2
3
2
2 3
2
1 3 1 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 1 2 3 2 2 33 2 3 2 2 2 23 2
4 3 2 6 3 4 6 3 2 6 3 3 2 6 3 4 3 4 6 3 4 3 3 8 6 3 16 3 23 2 23 2 4 23 8
3 3 6 3 4 3 2 6 3 8 2 6 3 4 6 6 2 3 2 6 12 3 2 6 3 4 2 3 6 2 3 4 22 4 4 4
3 6 3 2 33 4 2 3
1 c) 3 3 3 3 3
3
3 3
3
3 3
3
3
3
3
3
2
3
1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2
2
3
3
3 3
1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 3 3 33 3
2
9 3 3 9 3 9 9 3 3 9 10 3 3 9 3 9 3 9 9 3 9 10 3 27 9 3 81 3 33 3 33 3 9 3 3 27
9 3 9 10 3 9 3 27 3 9 3 9 30 9 3 3 3 30 27 3 3 9 3 3 33 9 9
3 10 9 3 3 3 3 9 9 3
1 d) 3 3 3 3 3
3
3 3
3
3
3 3
10 9
3
3
3
3
3
3
3 33 9 3 2
3
1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2
2
3
3 3
2
1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 3 3 33 3
9 3 3 9 3 9 9 3 3 9 8 3 3 9 3 9 3 9 9 3 9 8 3 27 9 3 81 3 33 3 33 3 9 3 3 27
9 3 9 8 3 9 3 27 3 9 3 9 24 9 3 3 3 24 27 3 3 9 3 9 33 9 9
3 8 9 3 3 33 9 9
89
3
3 33 9 3
Stránka 31
Základní poznatky z matematiky 3
1 e) 3 6 3 2 6 33
6 3
3
3
3
2
3
3 1 3 3 36 6 1 1 1 6 3 3 3 6 3 3 6 3 3 3 2 2 4 2 2 2 2
36 3 3 6 1 3 3 6 1 6 2 3 4 3 3 18 2 3 4 3 3 6 2 1 3 4 3 6 3 3 18 3 2 4 2 4 2 23 4
12 3 4 6 3 72 6 3 6 3 4 13 3 4 6 3 8 9 6 3 6 13 3 4 6 2 3 9 6 3 6 23 4 23 4 23 4
13 3 4 12 3 9 6 3 6 3 2 13 3 8 12 3 18 6 3 12 13 2 12 3 18 6 3 12 3 22 23 4 2 23 8
3 3 26 12 3 18 6 3 12 2 13 6 18 3 12 13 6 3 18 3 3 12 4 2 4 3
1 f) 3 6 3 2
6 3
3
3
3
2
3
3 1 3 3 36 6 1 1 1 6 3 3 3 6 3 3 6 3 3 3 2 2 4 2 2 2 2
36 3 3 6 1 3 3 6 1 6 2 3 4 3 3 18 2 3 4 3 3 6 2 1 3 4 3 63 3 6 3 18 3 2 4 2 4 2 23 4 3
12 3 4 6 3 72 6 3 6 3 4 113 4 6 3 8 9 6 3 6 113 4 6 2 3 9 6 3 6 23 4 23 4 23 4
113 4 12 3 9 6 3 6 3 2 113 8 12 3 18 6 3 12 11 2 12 3 18 6 3 12 3 22 23 4 2 23 8
3 3 22 12 3 18 6 3 12 2 11 6 18 3 12 11 6 3 18 3 3 12 4 2 4 3
1 g) 3 6 3 3 6 33
6 3
3
3
3
2
3
3 1 3 3 36 6 1 1 1 6 3 3 3 6 3 3 6 3 3 3 3 3 9 3 3 3 2
36 3 3 6 1 3 3 6 1 6 3 3 9 3 3 12 3 3 9 3 3 6 3 1 3 9 3 6 3 3 12 3 3 9 3 9 3 33 9
18 3 9 9 3 108 9 3 6 3 9 19 3 9 9 3 27 4 9 3 6 19 3 9 9 3 3 4 9 3 6 33 9 33 9 33 9
19 3 9 27 3 4 9 3 6 3 3 19 3 27 27 3 12 9 3 18 19 3 27 3 12 9 3 18 3 33 33 9 3 3 3 27
3 3 57 27 3 12 9 3 18 3 19 9 12 3 18 19 9 3 12 3 3 18 9 3 9
Stránka 32
Základní poznatky z matematiky 3
1 h) 3 6 3 3 6 33
6 3
3
3
3
2
3
3 1 3 3 36 6 1 1 1 6 3 3 3 6 3 3 6 3 3 3 3 3 9 3 3 3 2
36 3 3 6 1 3 3 6 1 6 3 3 9 3 3 12 3 3 9 3 3 6 3 1 3 9 3 6 3 3 12 3 3 9 3 9 3 33 9
18 3 9 9 3 108 9 3 6 3 9 17 3 9 9 3 27 4 9 3 6 17 3 9 9 3 3 4 9 3 6 33 9 33 9 33 9
17 3 9 27 3 4 9 3 6 3 3 17 3 27 27 3 12 9 3 18 17 3 27 3 12 9 3 18 3 33 33 9 3 3 3 27
3 3 51 27 3 12 9 3 18 3 17 9 12 3 18 17 9 3 12 3 3 18 9 3 9 3
1 i) 3 2 3 6 2 33
2 3
3
3
3
2
3
3 1 33 4 2 1 1 1 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 6 6 36 6 6 6 2
3 3 4 2 1 2 1 1 2 1 1 33 2 33 33 23 3 3 3 3 3 18 6 6 36 6 3 3 6 6
2 6 3 3 3 6 3 3 2 6 3 6 3 3 1 6 1 3 3 3 6 12 3 18 18 3 12 18 3 18 63 3 3 6 6 3 18
18 13 3 18 18 3 12 3 182 18 3 182 13 3 183 18 3 12 182 3 6 3 18 182 6 3 183
18 3 324 13 18 18 3 3888 18 6 18
3
3
324 13 3 3888 6 18
324 13 3 3888 6
3
27 12 13 3 216 18 3 33 12 13 3 63 18 3 3 12 13 6 3 18 6 6 6 3
1 j) 3 2 3 6 2 33
2 3
3
3
3
2
3
3 1 33 4 2 1 1 1 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 6 6 36 6 6 6 2
3 3 4 2 1 2 1 1 2 1 1 33 2 33 33 23 3 3 3 3 3 18 6 6 36 6 3 3 6 6
2 6 3 3 3 6 3 3 2 6 3 6 3 3 1 6 1 3 3 3 6 12 3 18 18 3 12 18 3 18 63 3 3 6 6 3 18
18 113 18 18 3 12 3 182 18 3 182 113 183 18 3 12 182 3 6 3 18 182 6 3 183
18 3 324 1118 18 3 3888 18 6 18
3
3
324 11 3 3888 6 18
3
324 11 3 3888 6
27 12 11 3 216 18 3 33 12 11 3 63 18 3 3 12 11 6 3 18 6 6 6
Stránka 33
Základní poznatky z matematiky 3
1 k) 3 3 3 6 3 33
3 3
3
3
3
2
3
3 1 33 9 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 36 6 6 6 2
3 3 9 3 1 3 1 1 3 1 1 33 3 33 33 3 3 3 3 3 3 2 12 6 6 36 6 2 2 6 6
3 6 3 2 3 6 3 3 3 6 3 6 3 1 6 1 3 2 3 6 18 3 12 18 3 18 18 3 12 63 2 3 6 6 3 12
18 19 3 12 18 3 18 3 122 18 3 122 19 3 123 18 3 18 122 3 6 3 12 122 6 3 123
3 3 18 3 144 19 12 18 3 2592 6 3 144 19 2 3 2592 3 3 144 38 3 3 2592 6 12 12 6 12
8 18 38 3 216 12 3 23 18 38 3 63 12 2 3 18 38 6 3 12 12 12 12 3
2
3
18 19 3 3 12 12 3
1 l) 3 3 3 6 3 33
3 3
3
3
3
18 19 3 3 12 6
3
2
3
3 1 33 9 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 36 6 6 6 2
3 3 9 3 1 3 1 1 3 1 1 33 3 33 33 33 3 3 3 3 2 12 6 6 36 6 2 2 6 6
3 6 3 2 3 6 3 3 3 6 3 6 3 1 6 1 3 2 3 6 18 3 12 18 3 18 18 3 12 63 2 3 6 6 3 12
18 17 3 12 18 3 18 3 122 18 3 122 17 3 123 18 3 18 122 3 6 3 12 122 6 3 123
3 3 18 3 144 17 12 18 3 2592 6 3 144 17 2 3 2592 3 3 144 34 3 3 2592 6 12 12 6 12
8 18 34 3 216 12 3 23 18 34 3 63 12 2 3 18 34 6 3 12 12 12 12 3
2
3
18 17 3 3 12
20. Upravte: 2 a) 1 2 2 b) 1 2 2 c) 1 2
12
3
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
18 17 3 3 12 6 2 d) 1 2 2 e) 1 2 2 f) 1 2
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
Stránka 34
Základní poznatky z matematiky 2 g) 1 2 2 h) 1 2 2 i) 1 2 2 j) 1 2 2 k) 1 2
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 l) 1 2 2 m) 1 2 2 n) 1 2 2 o) 1 2 2 p) 1 2
Řešení:
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 a) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
4 2 2 8 2 8 2 8 2 4 3 2 32 2 24 4 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
32 2 24 2 32 2 48 32 2 48 2 16 2 24 24 16 2 16 9 2 16 18 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 b) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
4 2 2 8 2 8 2 8 2 4 2 32 2 8 4 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 16 4
32 2 8 2 32 2 16 2 16 2 8 16 2 8 16 2 14 7 14
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 c) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
4 2 2 8 2 8 2 8 2 8 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 d) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
4 2 2 8 2 8 2 8 2 4 3 2 32 2 24 4 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
32 2 24 2 32 2 48 32 2 48 2 16 2 24 24 16 2 16 9 2 16 18 2 2
Stránka 35
Základní poznatky z matematiky
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 e) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2
8 4 3 2 32 24 2 32 24 2 32 24 2 32 24 2 2 16 12 2 16 9 2 16 18 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
12 2 16
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 f) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4
4 2 8 2 8 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 g) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4
4 2 8 2 8 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 h) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2
8 4 3 2 32 24 2 32 24 2 32 24 2 32 24 2 2 16 12 2 16 9 2 16 18 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
12 2 16 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 i) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
8 8 8 4 3 2 32 24 2 32 24 2 16 9 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
32 24 2 32 24 2 2 16 12 2 12 2 16 16 18 2 2
Stránka 36
Základní poznatky z matematiky 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 j) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 8 8 8 2 8 22 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 k) 1 1 2 2 2 2 1 2
2 8 2 4 2 2 4 2 1 2 4 2 1 2 2 2 1 2
8 8 8 2 8 2 8 2 4 2 2 22 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 l) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
8 8 8 4 3 2 32 24 2 32 24 2 16 9 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
32 24 2 32 24 2 2 16 12 2 12 2 16 16 18 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 m) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 3 2 16 2 12 4 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
16 2 12 2 16 2 24 16 2 24 2 8 2 12 12 8 2 16 9 2 16 18 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 n) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 o) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 p) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 3 2 16 2 12 4 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
16 2 12 2 16 2 24 16 2 24 2 8 2 12 12 8 2 16 9 2 16 18 2 2
Stránka 37
Základní poznatky z matematiky 21. Upravte:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 6 8 2 3 6 8 1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
2
1
2
3
2
3
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
4
3
2
2
1
3
1 1 1 1 n) 3 3 3 3 1
2
1
2
1
2
4
4
3
1 1 1 1 o) 3 3 3 3
4
3
3
1 1 1 1 m) 2 2 2 2
4
1
3
2
1
4
3
3
1 1 1 1 l) 2 2 2 2
4
3
2 3 6 8 3
k)
2
4
3
1 1 1 1 p) 2 2 2 2
4
3
1 1 1 1 q) 3 3 3 3
4
4
Řešení:
1
a)
2
b)
2
2
3
2
2
4
1 2
1
1
1
2 2 2 2
3
4
1 1 1 1 2 2 2 2 4
1 4 1 2 2 1 2 1 2 4 2 2 2 2 6 3 2 2 6 2 3 4 4 2 4 2 4 2 2 4 4
6 2 3 2 6 2 6 2 3 2 3 3 42 8 8 1 2 3 4 1 3 3 3 3 3
c)
2 3 4 1 2 3
1
1
3 3 3
4
1 1 1 1 3 3 3 3 9
1 9 1 3 3 1 3 1 3 9 3 3 3 3 12 4 3 3 12 3 4 9 9 3 9 3 9 3 3 9 9
12 3 4 3 12 3 12 3 4 3 4 4 34 93 27 9 27 1 2 3 4 1 1 1 2 3 2 3 2 2 3 2
1
3 3
4
1 1 1 1 2 3 2 2 9
118 1 6 2 1 9 1 2 2 18 6 2 9 2 2 27 8 2 2 27 2 8 4 18 2 18 2 18 2 2 18 4
27 2 8 2 27 2 16 18 2 36
Stránka 38
Základní poznatky z matematiky
3 2 3 2 1
d)
2 2 2 2
1
1
1
2 3 2 2
3
2
3
4
2
1
2
2
2
1
3
2
2 4 1 2 2 2 4 1 4 2 2 8 2 1 12 2 3 4 4 4 1 2 3 4 3 1 1 3 3 3 3 3 3 2 3 3
4
1 1 1 1 3 2 3 3 4
1 1 3 3 3 3 9
4
2
1 1 2 2 2 2 4
4
3 9 1 3 3 3 9 1 9 3 3 27 3 1 36 3 4 9 9 9 1 2 3 4 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2
4
1 1 2 4 2 2 2
1 2 2 2 2 1 4 2 2 2 4 2 1 8 2 3 12 2 2 3 2 12 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4
3 2 12 2 3 2 24 22 4
3 3 3 3 2
3
4
1 3
3
2
1
3
3
3
4
1 1 3 9 3 3 3
1 3 3 3 3 1 9 3 3 3 9 3 1 27 3 4 36 3 3 4 3 36 9 3 3 3 3 3 3 3 3 9
4 3 36 3 4 3 108 33 9
2 3 6 8 1
i)
1 3
16 3 9 3 16 3 27 12 3 36
1
h)
g)
4
112 1 6 3 1 4 1 3 3 12 6 3 4 3 3 16 9 3 3 16 3 9 9 12 3 12 3 12 3 3 12 9
f)
3
1
e)
2
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 8 2 3 2 3 2 2
1 2 3 1 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 6 2 6 2 6 2 6 6
3 18 2 12 2 6 3 9 2 2 4 3 2 6 3 3 2 2 2 3 2 6 9 2 4 3 2 6 26 12 12 2 36 2 2 2 2 1 1 1 1 112 1 8 1 4 1 3 j) 2 3 6 8 2 3 6 8 24 12 8 4 3 27 9 24 24 8
Stránka 39
Základní poznatky z matematiky
2 3 6 8 3
k)
1 2 2 1 2 2
3
1 3 3 1 3 3
3
1 6 6
1 8 8
3
1
2
1 2 2
1
1
1
3
1 3 3
3
3
3
6
3
8
1 1 6 2 3 82 2
1 1 1 24 3 1 16 2 1 8 3 3 6 2 3 16 2 48 6
24 3 16 2 8 3 3 27 3 16 2 8 6 27 18 16 12 8 6 48 6 48 6 6 48 36
27 9 2 16 4 3 8 6 27 3 2 16 2 3 8 6 81 2 32 3 8 6 48 6 288 288 2
1
4
3
3
1 1 1 1 1 1 1 1 l) 2 4 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4 2 4 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 1 4 2 2 2 4 2 1 8 2 3 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 12 4 3 2 12 2 24 3 2 22 4 2 4 1
3
2
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m) 1 2 3 1 1 2 4 2 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 1 2 2 2 4 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 4 2 2 8 2 1 3 12 2 4 4 1
2
3
4
3
1 1 1 1 1 1 1 1 n) 2 4 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 9 3 9 3 1 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 9 3 3 3 3 1 9 3 3 3 9 3 1 27 3 4 36 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 3 36 9 4 3 36 3 108 4 3 33 9 3 9
Stránka 40
Základní poznatky z matematiky 1
3
2
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o) 1 3 3 1 3 1 9 3 3 3 3 1 9 3 3 3 3 3 1 1 1 1 3 9 1 3 3 3 9 1 1 3 1 3 3 3 3 3 3 9 3 9 9
9 3 3 27 3 1 4 36 3 9 9 1
2
1
2
3
4
1 1 1 1 1 1 1 1 p) 1 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 4 2 2 2 2 4 6 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 3
4
1 1 1 1 1 1 1 1 q) 1 2 3 4 3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 3 1 9 3 3 3 3 9 12 4 3 1 1 1 1 3 3 3 3 9
22. Upravte: 2 2 a) 2 2 1 2 1
2
b)
2 3 2
c)
1 2 1 2 2 1 2
d)
2
2 3
2 3
2
2 3
3 2
e)
1 1 3 2
f)
3 2 3 2 3 2 3 2 2 3
g)
2
h) 4
i) j)
2
3 2
2
2 3 2 2 3 2 3 3 2
2 3 6 3 3 3 3 2 15 3 3 3 6
2 3 2 5
2 3
2 3
Stránka 41
Základní poznatky z matematiky Řešení: a)
2 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2
2
2 3 2
2 1
3 2
2 1
2 2 2 2 2 2
b)
2 3
2 3
e)
2
2 3
2
2 3
3 2
2
f)
3 2 3 2 3 2 3 2 2 3
i) j)
3 2 6 23 6 2
3 2
2 3
2 2 6 3 2 2 6 3 3 2 6 2
3 2 1 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 1
h)
2 2 5 2 10 2 2 2 5 2 2 2 5 2 3 2 8 24 2 2 2 2 2 2
10 2 2 6 3 5 2 6
g)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2
d)
2 3 2 2 6 3 2 4 3 2 6 1 3 3 2 6
c)
2 2 2 2 2 2
3
3 2
3 2
3 2
3 2 3
3 2
3 2
3 2 3 2
2 2 3
6 22 6 4 6 4 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 6 2
4 2 3 2 2 3 6 3 2 3 4 2 4 3 2 2 2 3 18 2 6 5 3 3 3 2 15 3 15 2 75 9 2 45 3 15 2 75 9 6 5 2 3 3 3 6 3 6 12 9 18 3 6 2 3 9 3 2 2
23. Vyjádři pomocí jedné odmocniny: a) 3 5 : 5 3 b) 2 3 3
3 16 2
2 15 3 5 d) 3 3 2 c)
Řešení: a) 3 5 : 5 3
45 9 3 75 15 5
b) 2 3 3 3 24 c)
2 15 60 12 4 45 9 3 3 5 Stránka 42
Základní poznatky z matematiky d) 3 3 2 3 54 24. Částečně odmocni: a) 2 18 5 50 2 32 b)
3
128 2 16 1024 3
3
c) 8 50 4 32 2 162 d)
3
32 2 3 4 8 3 500
Řešení: a) 2 18 5 50 2 32 2 9 2 5 25 2 2 16 2 2 3 2 5 5 2 2 4 2
6 2 25 2 8 2 23 2 3 128 2 3 16 3 1024 3 64 2 2 3 8 2 3 512 2 4 3 2 4 3 2 8 3 2 0
b) c)
8 50 4 32 2 162 8 25 2 4 16 2 2 81 2 8 5 2 4 4 2 2 9 2
d)
40 2 16 2 18 2 38 2 3 32 2 3 4 8 3 500 3 8 4 2 3 4 8 3 125 4 2 3 4 2 3 4 8 5 3 4 36 3 4
25. Usměrni zlomek: 3 2 a) 3 5 3
b)
3
5 2
c)
3 3 1 3 1
d)
3 2 1 2 2 1
Řešení: 3
a)
2 3 25 3 50 3 5 5 3 25
b)
5 3 4 3 20 3 2 2 34
c)
3 3 1 3 1 9 4 3 1 10 4 3 52 3 3 1 2 3 1 3 1
d)
3 2 1 2 2 1 12 5 2 1 13 5 2 8 1 7 2 2 1 2 2 1
3
26. Vypočítej: a) b)
3 2
2
2 2 3
2
5 3
2
c)
2 3 3 3 3 3 3
d)
5 2 2 2 2 2 2
Stránka 43
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) b)
3 2
2
2 2 3
2
18 2 6 6 12 30 12 6
5 3
2
4 5 2 6 10 9 2 38 12 10
c)
2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 6 3 63 3 3 3 3 9 3 3 93 6 6 2 3 3 3 3
d)
5 2 2 2 2 2 2 10 2 10 2 2 2 8 2 12 5 2 2 64 2 42 2 2 2 2 2 2
Stránka 44
Základní poznatky z matematiky 1.3 Mocniny 1.3.1
Mocniny se základem 10
1. Převeďte daná čísla na tvar a 10n , kde 1 a 10, n N . a) 720 000 000 b) 42 000 20 Řešení: a) 720 000 000 7, 2 108 b) 42 000 20 8, 4 105 2. Vypočtěte a výsledek převeďte na tvar a 10n , kde 1 a 10, n Z . a) 7,9 4 105 b) 0,000 005 0,000 4 c) 0,000 007 : 0,000 2 d) 400 000 : 0,002 Řešení: a) 7,9 4 105 3,16 106 b) 0,000 005 0,000 4 = 2 109 c) 0,000 007 : 0,000 2 = 7 106 : 2 104 = 3,5 102 d) 400 000 : 0,002 = 4 105 : 2 103 2 108 3. Převeďte na jednotku uvedenou v závorce a výsledek zapište ve tvaru a 10n , kde 1 a 10, n Z . a) 25 hod (s) b) 50 m2 (cm2 ) c) 0,07 kg (t) Řešení: a) 25 hod (s) 25 3 600 s = 90 000 s = 9 104 s b) 50 m2 (cm2 ) = 5 105 cm2 c) 0,07 kg (t) = 7 105 t 4. Zaokrouhlete na dvě platné číslice a vyjádřete ve tvaru a 10n , kde 1 a 10, n N . a) 17 358 000 b) 555 327 c) 81 504 d) 3 015 Řešení: a) 17 358 000 = 17 000 000 = 1,7 107 b) 555 327 = 560 000 = 5,6 105 c) 81 504 = 82 000 = 8,2 104 Stránka 45
Základní poznatky z matematiky d) 3 015 = 3 000 = 3 103 5. Převeďte na jednotku uvedenou v závorce a výsledek zapište ve tvaru a 10n , kde 1 a 10, n Z . a) 78,2 km2 ha
b) 346 hl m3 Řešení: a) 78, 2 km2
ha
7 820 ha 7,82 103 ha
b) 346 hl m3 346 dm3 0,346 m3 3, 46 101 m3 6. Vypočítej pomocí mocnin prvočísel a mocniny čísla 10. 21600000 2250000 a) : 0, 000120 0, 000625 Řešení: a) 1.3.2
21600000 2250000 216 105 625 106 23 33 105 54 : 2 25 50 0, 000120 0, 000625 12 105 225 104 22 3 105 52 32 Mocniny s přirozeným mocnitelem
1. Vypočítejte: a) 102 b) ( 2)4
1 c) 3 d) 010
3
e) 18 f) ( 1)35
Řešení: a) 102 100
b) ( 2) 4 (2) (2) ( 2) ( 2) 16 3
1 1 1 1 1 c) 3 3 3 3 27 d) 010 0 e) 18 1 f) ( 1)35 = 1 2. Vypočítejte: a) 057 b) 54 c) ( 3)4
d) e)
1
89
1
5
f)
1 2 1 2
5
3
1
Stránka 46
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) 057 0
b) 54 625 c) ( 3) 4 81
d)
1
1
e)
89
1
5
1
1
1 2 1 2
f)
5
1
3
3. Vypočtěte: 3 2 0 a) 1 1 1 14 b) 13 1 1 1 0
2
d)
5
2
2
2
2
e) 12 12 1 12 2
c) 12 1 12 12 2
1 1 1 1
f)
1
2
12 1 12 2
Řešení: a) 1 1 1 14 1 2
3
b) 13 1 1 1 0
1
0
2
5
1
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 1 1
1 1 1 1 11 11 1 11 1 2 5 3 1 1 1 1
c) 12 1 12 12 1 2
1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 4 2 1 1 d) 12 12 12 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 e) 12 12 1 12 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1
1 2 2 1 f) 1 12 1 12 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 1 4. Vypočtěte: 1
a) 2 2 2
2
2
3
2
1 5 1 2
1 1 b) 2 1 1 2 3 11 2 2 1 1 5 c) 2 1 2 1 2 3 2 2 2
2 12 1 1 13 2 2 2 1 2 2 1 1 1 e) 2 12 1 2 3 2 2 2 2 1 1 5 1 f) 1 2 2 2 3 2 2
d)
Stránka 47
Základní poznatky z matematiky Řešení:
a) 2 2 2 1
2
3
2
1 1 1 12 1 1 1 1 5 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 2 2 2 4 8 4 2
1 1 1 1 4 2 1 2 8 13 5 1 1 2 4 8 4 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) 21 1 23 11 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1 8 1 2 2 1 2 21 4 2 2 1 4 1 1 2 1 1 1 4 8 4 2 8 1 8 32 4 16 1 8 1 4 2 1 1 1 2 1 1 8 2 8 8 8 3 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 c) 2 1 21 23 2 1 3 5 2 1 1 4 1 2 8 2 2 2 1 2 2 2 2 4 1 4 1 1 1 1 1 1 4 8 2 8 4 8 32 2 8 4 1 1 4 1 1 1 4 2 8 4 2 8 8 8 17 5 1 8 8 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 d) 1 13 22 21 1 3 2 2 1 22 2 2 2 1 1 2 2 1 1 4 1 2 2 1 1 2 1 1 1 4 2 8 8 2 4 8 4 16 8 2 32 1 4 2 1 4 2 1 1 4 2 4 8 8 18 9 1 2 4 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 e) 2 12 1 23 2 3 1 2 2 2 2 1 11 2 12 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 2 4 2 1 1 8 1 2 1 1 8 1 1 2 8 2 4 4 8 2 8 1 4 8 4 8 16 1 32 53 5 6 8 8 8 8
Stránka 48
Základní poznatky z matematiky 2
1 1 1 1 1 1 1 5 1 f) 3 1 2 22 2 2 5 1 1 1 1 2 2 2 2 23 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 4 1 1 2 1 1 1 1 2 4 1 1 1 2 4 1 1 1 1 2 4 2 8 2 8 4 1 1 8 8 4 8 8 4 2 64 32 8 4 2 26 13 1 8 4 1 3 2 4 8 8 4 4 8 5. Vypočtěte: 2
a) 2 1 1
1
3 3 1 1 2 3 5
b) 54 21 2 2 2
2
1 c) 2 5
0
3
2
1 25
3
1 13 3
2
2
4
5
2
3
8 1 10 1 2
2
14 22 1 5 1
2
0
7 1 5 11 1 5 2
2
Řešení: 2
2 3 3 3 8 1 0 a) 2 1 1 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 2 1 1 2 3 3 8 2 2 1 1 1 1 1 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 3 1 1 1 2 2 2 2 4 3 4 9 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 4 0 2 2 2 2 2 3 2 2 1 0 1 b) 54 21 2 2 2 14 22 1 5 25 1
1
5
1 1 1 2 2 2 4 5 2
1 22 4 5
1 1 1 4 1 1 1 1 1 4 4 1 4 1 4 5 2 1 1 5 2 54 2
1 1 1 1 4 4 1 4 1 1 4 5 2 5 2
2
1 2 2
3
1 625
1
1 22 1 14 11
2
2
Stránka 49
Základní poznatky z matematiky 2
3
2
2
0 4 1 7 1 1 5 3 1 c) 2 3 1 5 1 1 5 2 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 7 2 5 1 1 1 5 2 1 5 3 5 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 27 1 1 1 1 25 1 1 5 25 1 1 1 25 5 25 25 27 25 4 5 1 4 1 27 1 1 1 25 2 25 25 25
6. Vypočtěte: 104 105 a) 1010
b)
81 34 273
c)
12 2 9 23
Řešení: 104 105 1 104510 101 0,1 10 10 10 4 81 3 1 b) 34 49 31 3 27 3 2 12 c) 243 32 2 2 9 23 a)
7. Vypočítejte: 2 4 2 25 a) 26
b)
32 37 33 35 34
Řešení:
2 4 2 25 24156 24 32 26 32 37 33 b) 32 7 35 4 33 27 5 4 3 3
a)
8. Vypočtěte: 12 1
a)
1
2
2
b)
12
1
2
12 12 12
c)
12 12
1
2
12
Řešení:
a)
12 1
1
2
2
1
2
1 1 12
1
1
2
1
1 1 11 2
Stránka 50
Základní poznatky z matematiky 1
1 2 1 1 1 1 11 2 b) 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 12 12 12 12 1 1 1 1 2 c) 1 2 1 11 11 2 1 12 1 2 1 2
2
2
9. Vypočítejte: ( 3)5 ( 3)4 ( 3)1 a) ( 3)7 ( 3)2
b)
( 5) 2 ( 5)3 ( 5)0 ( 5)5
Řešení:
a)
(3)5 (3) 4 (3)1 (3)5 417 2 (3)1 3 (3)7 (3) 2
b)
(5) 2 (5)3 (5) 2305 (5)0 1 (5)0 (5)5
10. Vypočítejte: 2 4 16 a) 8 24 16
25 33 b) 5 2 3 2
2
c)
103 32 13 23 54
Řešení:
4 16 24 4344 23 1 8 24 16 8 2
a)
2
25 33 210 36 26 64 b) 5 2 10 4 4 3 81 3 2 3 2 c)
103 32 13 23 5 4
1031 2 5 103
11. Vypočítejte: (22 33 ) 4 a) (2 33 )3
b)
(50 43 )2 52 28 5
Řešení:
a)
(22 33 ) 4 2 8 312 3 9 283 3129 25.33 32 27 864 (2 33 )3 2 3
b)
(50 43 )2 52 1 212 52 2128 521 23 5 40 28 5 28 5
Stránka 51
Základní poznatky z matematiky 12. Vypočítejte: 4
72 3 3
4
72 38 76 3 4 3 34 7 2 81 49 3969 7 3 3
32 a) 7
3
43 b) 5
2
52 2 4
3
Řešení:
32 a) 7
43 b) 5
3
2
3
52 46 56 2 2 6 466 562 54 625 5 4 4
13. Vypočítejte:
2 32 a) 3 4
5
22 3 3 3 4
3
4 52 b) 3 2 2 3
2
5 2 2 3
3
Řešení: 5
3
2 32 22 3 25 310 26 33 211 313 1 1 a) 3 5 10 9 6 16 14 5 1 2 3 2 3 96 3 4 3 4 3 2 3 2 4 52 b) 3 2 2 3
2
4 4 6 3 24 5 80 5 2 5 2 3 2 6 4 3 5 3 3 2 3 2 3 3
14. Vypočítejte: 4
3
43 32 162 : 4 a) 3 81 2 9
1 2 3 3 b) 3 2
Řešení: 4
43 32 162 224 38 38 24 a) : 4 16 12 8 16 3 3 2 2 1 81 2 9 3
1 2 3 3 1 33 1 1 b) 6 3 3 3 3 2 216 3 2 3 2 15. Vypočtěte: 2 1 1 1 1 2 23 2 a) 3 1 2 2 23 2
2 d)
2
1 1 1 3 1 2 2 2 b) 2 2 1 2 23 1
2
1 1 1 2 3 2 2 2 c) 1 2 3 1 2 2
3
1
2
1 21 2
2 1 3 1 2 2 2 1 2 1 2 23 2 e) 3 1 1 2 1 2 2 2
Stránka 52
Základní poznatky z matematiky 0
1 5 0,1 51 7 4 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0,5 2 20 4
5
f)
g)
2
2 1 2 5 2 2 3
3 0, 6 0,1 3 h) 1 3 1 3 3 1 3 2 2 3 0
2
1
2
Řešení: 2
1
1 1 1 3 2 2 2 a) 3 3 1 22 2
1 1 1 1 1 1 4 8 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 8 1 2 4 8 1 1 4 8 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 4 8 1 4 8 1 22 2 1 4 8
2 1 2 8 17 17 8 17 8 8 8 2 1 5 8 5 5 8 8 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 8 1 22 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 8 2 1 b) 1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 4 8 4 8 1 2 2 1 1 4 4 1 15 4 2 4 4 8 22 15 8 2 4 4 4 6 1 1 1 1 1 1 8 2 1 5 4 5 1 1 1 4 8 4 8 4 8 8 8 1 1 1 1 22 1 1 1 2 2 1 8 1 1 1 1 1 1 8 1 22 1 1 4 2 2 2 2 23 2 2 8 1 1 4 c) 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 4 8 1 4 8 1 2 2 1 1 1 1 2 1 4 8 2 1 32 33 4 4 2 33 8 11 8 8 2 8 4 8 8 1 1 1 1 1 1 8 2 1 8 2 1 9 8 9 3 1 4 8 1 4 8 8 8 8
Stránka 53
Základní poznatky z matematiky 1
1
1 21
1 1 1 1 1 1 4 1 1 2 8 2 2 8 1 1 2 4 d) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 4 4 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 23 8 2 1 1 1 1 1 4 8 4 27 4 4 27 10 135 8 2 2 8 8 8 1 8 2 8 4 10 10 4 8 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 1 4 8 2 2 2 2 2 e) 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 1 1 2 1 22 2 2 2 8 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 8 1 2 2 4 1 1 8 4 8 8 8 4 1 8 2 4 2 1 1 8 1 1 1 4 1 8 4 8 2 2 1 1 1 2 1 1 2 4 15 15 2 15 8 17 68 8 17 2 1 1 1 1 0 4 4 5 5 1 5 1 1 1 4 1 55 0,1 51 1 55 10 51 7 10 f) 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 4 1 1 4 1 1 2 2 16 2 2 2 3
2
1 21 2
2
3
2
4 4 1 1 1 1 1 4 4 1 2 5 1 1 4 4 110 1 2 5 1 2 5 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 4 2 2 2 1 16 1 2 4
24 1 16 1 15 1 1 1 3 1 4 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2
Stránka 54
Základní poznatky z matematiky 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 5 5 2 2 2 4 4 2 2 1 1 4 9 2 3 1
0,5
1
22 20 g) 2 2 2 1 2 5 2 2 3
1 1 4 5 1 4 5 5 5 1 2 5 1 1 4 = 2 2 2 2 5 9 5 9 4 4 1 5 2 5 2 1 4 1 4 4 4 4 4 4 4 3 3 1 3 1 3 3 1 3 2 2 3
0, 6 0,1 0
h)
1
2
1
1 1 1 1 2 0,1 1 3 9 1 3 1 110 1 3 3 10 9 1 27 1 1 27 1 8 27 3 8 1 3 8 1 1 3 8 1 3 23 3 8 3
1 10 3 12 2 93 6
16. Vypočtěte:
212 24
a)
49 16
b)
3
Řešení:
a)
212 24 49 16 2 3
3 b)
2
3
3
182
3 7
23 3
2
7 2 24
3
1
3 2
2
3
2 3
3 3
7 2 1 2 3
33
4 3
3
32 7 2 29 33 7 2 212
3
3 2 3 12 2 3 2 3
1
32 7 2 1 2 3
3
182 12
2
23 8 3 2 1 3 3
9 12
27 2 24
27 2 24
3
2 2
6 2 4 3
3 22
2
3
2
1
1
22
2
3
33
332 1 2
3 2
22 322 1 2 3
32
2 3
33
36 1 26 32 2
22 34 1 26 33 3
1 33 33 27 2 2 2 2 4
17. Zjednodušte: a) 5a 2 3a 2 a 3 3a 3 b) 13a3 5b4 3c6 16a 4 16a3 28b4 7c6 6a3 2 2 3 3 c) 20 x 2 5 x 6 x 3 11 x 19 x 4 x 3 x 2 2 x 3
Stránka 55
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) 5a 2 3a 2 a 3 3a 3 8a 2 2a 3
b) 13a 3 5b 4 3c 6 16a 4 16a 3 28b 4 7c 6 6a 3 9a 3 16a 4 23b 4 4c 6 c) 20 x 2 5 x 6 x3 11 x 19 x 4 x 3 x 2 2 x 3 2
2
3
3
= 20 x 2 5 x 2 6 x3 11x 2 19 x3 4 x3 3 x 2 2 x3 17 x 2 11x3 18. Zjednodušte: 3 2 a) 2 x 3 2 x 2 x 2 x 3x 2 x 3 b) 13a3 5b4 3c6 16a 4 16a3 28b4 7c6 6a3 c) 2 x 2 8 x 7 x 3 16 x 12 x 2 x 5 x 2
2
3
3
2
Řešení:
a) 2 x3 2 x 2 x 2 x 3x 2 x3 2 x3 2 x 2 x3 2 x 2 3 x 2 x3 3
2
= 2x3 3 x 2 b) 13a 3 5b 4 3c 6 16a 4 16a 3 28b 4 7c 6 6a 3 16a 4 9a 3 23b 4 4c 6 c) 2 x 2 8 x 7 x3 16 x 12 x 2 x 5 x 2
2
3
3
2
2x 2 8 x 2 7 x3 16 x 2 12 x3 2 x3 5 x 2 11x 2 7 x3 19. Zjednodušte: a) 2 x 2 3x 4 3x
b) x a 5 x a 4
c) x a 5 : x a 3
Řešení: a) 2 x 2 3x 4 3x 18 x 241 18 x 7 b) x a 5 x a 4 x a 5a 4 x 2 a 1 c) x a 5 : x a 3 x a 5a 3 x 8 , x 0
20. Zjednodušte:
3x 2 y 5 x 3 y 2 a) 2 xy 3 x 2 y
2
b)
ab b
2
1 : a
3
Řešení: 2
3x 2 y 5 x 3 y 2 3xy 2 x 6 y 4 3x 3 y 4 a) ; x, y 0 2 xy 3 x 2 y 2 x4 y2 2 b)
ab b
2
3
2 2 1 a b : a 3 a 5b; a, b 0 b a
21. Zjednodušte: a)
2a 5b3
2a b 2
2
a 2b : 2ab
3
3 3 2 2 xy 5 x y b) 5x 2 y x5 y 3
2
Stránka 56
Základní poznatky z matematiky Řešení: 3
a 2b ab 23 a 3b3 4b : 2 a 6b 3 a 2 ; a , b 0 2ab
2a 5b3
a)
2a b 2
2
3 3 2 2 xy 5 x y 2 x 3 y 3 52 x 6 y 4 b) 10 x 2 y 3 ; x, y 0 5x 2 y x5 y 3 5x 2 y x5 y 3 2
22. Zjednodušte: x6 y 2 z a) x4 y3z3 3 a 2 3 . b2 b) 4 3 a b
15a 2bc 3 5ab2 c 3 z : : d) 3 2 16 x y 8 xyz 2bx
2
2
2
2 xy 3 x 2 y 4 y4 : c) 2 . 3 2 3x y 8 xy 27 x y Řešení:
a)
x6 y 2 z x2 64 2 3 13 x y z ; x 0, y 0, z 0 x4 y 3z3 y z2
3 a 2 3 . b2 9a12 b4 a 8 b) ; a, b 0 4 81a 4 b4 9 3 a b 2
2
2 xy 3 x 2 y 4 y4 22 x 2 y 6 xy 27 x 2 3xy 2 c) 2 . : 3 ; x, y 0 3 2 2 4 2 y 2 3x y 8 xy 27 x y 3 x y 8 2
15a 2bc 3 5ab2 c 3 z 3 5a 2bc 3 23 xyz 2 22 b 2 x 2 6ab d) : : 24 x 3 y 5ab 2 c 6 z 2 c 3 ; a, b, c, x, y, z 0 3 2 16 x y 8 xyz 2bx 23. Vypočtěte: 1 x 2 y 3 x 2 y 3 a) x 2 y 2 x 2 y 4 3
x
b)
2
d)
2
y 3 x 3 y 4
2
3 3
2
c)
3
2 2
3
2 2
e)
4
2
4
y 2 x3 y 1 3
x y x y x y x y x y 4
y 2 3
x y x y x y x y x y x y 1
x
x
2
1
3 2
1 3
3
4
2
4 2 3
2 2
3 3
5
Řešení:
x y x y a) x y x y 2
2
3 1
2
2
2
x 6 y 10
3
4 3
y x 2 y 3 x 2 y 3 x 2 y 3 x 2 2 46 y 33 212 4 2 6 12 2 2 2 2 3 4 3 x y x y x y x y x
2 1
3 1
1 x y10 6
Stránka 57
Základní poznatky z matematiky b)
x
2
y 3 x 3 y 4 2
x y x 1
2
3
y 2
2
1 x y5
x 15 y 5
15
x y x y c) x y x y 3 3
2
d)
x
4
4
3 3
5
3
1
x
x 11 y 5
2
3
y 4
x y x3 y 1 x 12 y 6 x3 y 1 12 3 4 6 6 1 2 8 4 1 2 1 3 2 4 2 4 2 6 8 x y x y x y x y x y
2
2 3
1 x y5 3
4
x y x 4 y 3 x 6 y 6 x 4 y 3 6 4 6 4 6 33 4 x y 6 3 4 4 2 3 1 3 2 2 2 2 x y x y x y x y 3 2
2 2
2
x 0 y 4
3 3
11
3 2
1 3
y
4 3
x y x y e) x y x y 3
2 3
x 2 y 4 x 6 y 9 x 2 y 4 x 6 2615 y 9 4 49 6 4 15 9 3 2 2 2 5 3 3 3 x y x y x y x y x
25
y 2 x3 y 1
y 2
1 x y18
x 25 y 18
x
4
2
2 2
3
x 22 y 32 x 3 y 4 x 4 y 6 x 3 y 4 x 4326 y 6 414 x 2 y 1 x 6 y 4 x 2 1 y 1 x 3 2 y 2 2
3 2
1 y4
24. Vypočtěte:
x xy y : x y x y x y x x y x x y y : x y x y x y x x y x xy y : x y x y x y x x y 2 3
a)
2 4
2
3 2
b)
2
3 2
c)
2
3
2
4
2
1
3
2 4
1 2
2
4
4
3
1
:
x y
2 2
e)
3
2
2 2
f)
3
2
3 3
2 2
x4 y 2 x2 y 3
1 3
2
3
3
d)
2 2
2
x x y y x y x x x y y x y x x x y y x y x 4 2
2 2
3
2 4
1 2
2
3
2
3
x xy y a) x y x 2
2
1 2
Řešení:
2 3
4
x
2 3
3
4
2
2 3
3
2 3
2
:
2
1 2
1
2
3
2 2
3
x 3 y x 2 y 1
x y x y x y : x y x y x y : x y 3
3
3
2 2
2
6
2 3
2
1
3 1
2
4
2
3
4
2 2
x 4 y 24 y 3 x 4 y 2 x y 3 : x 22 y 12 x x3 2 y 2 2 2 3
x 6 x 4 y 8 y 3 x 4 y 2 x 6 y 3 x 6 x 4 y 8 y 3 x 6 y 4 : x 4 y 2 x x 6 y 4 x 4 y 2 x1 x 4 y 2 x 6 y 3
x 6 4 416 4 6 y 83 2423 x 11 y 4
y4 x11
Stránka 58
Základní poznatky z matematiky
x x y b) x y x 3 2
2
2
2
y 3 x 2 y 4 x 2 y 1 : 2 x3 y 2
4
1
3
x
3 2
x 24 y 4 y 3 x 2 y 4 x y : x 22 y 2 x 1 x 3 2 y 2 2 2 3
1 3
x 6 x8 y 4 y 3 x 2 y 4 x 6 y 3 x 6 x8 y 4 y 3 x 6 y 4 : x 4 y 2 x 1 x 6 y 4 x 4 y 2 x 1 x 2 y 4 x 6 y 3
x
6 8 4 1 6 2 6
x xy c) x y x
x5 x y 6 y
1 2
6
5
y 3 x 4 y 2 x 2 y : 2 1 x 3 y 2
2 4
3 2 2
y
4 3 2 4 4 3
3
x x 4 y y 3 x 4 y 2 x y 3 : 2 2 1 2 3 2 2 2 x y x 1 x y 3 2
2 4
2 3
x 6 x 4 y 8 y 3 x 4 y 2 x 6 y 3 x 6 x 4 y 8 y 3 x 6 y 4 : x 4 y 2 x 1 x 6 y 4 x 4 y 2 x 1 x 4 y 2 x 6 y 3 1 x 6 4 41 6 46 y 83 2 4 23 x 1 y 10 10 xy
x x y d) x y x 4 2
2
2
2 3
y 3 x 3 y x 2 y 1 : 2 2 x3 y 2 4
3
x x y 4 y 3 x 3 y x y : 2 3 2 3 x32 y 22 x y x 2 4 2
2 4
2 3
1 3
x 8 x 8 y 4 y 3 x 3 y x 6 y 3 x 8 x 8 y 4 y 3 x6 y 4 : x 6 y 6 x 2 x6 y 4 x 6 y 6 x 2 x 3 y x 6 y 3 1 x 88 6 2 636 y 436 413 x 5 y 5 5 5 x y
x x y e) x y x 3 3
2
2
3 3 2 3 2 1 3 1 y 3 x3 y 2 x 2 y 3 x x 23 y y 3 x 3 y 2 x y : 2 2 1 2 1 : 3 4 3 2 3 1 x y x x y x4 y 2 1
2 3
1 2
x 9 x 6 y 6 y 3 x 3 y 2 x 2 y 3 x 9 x 6 y 6 y 3 x 12 y 6 : x 4 y 2 x 1 x 12 y 6 x 4 y 2 x 1 x3 y 2 x 2 y 3 1 1 x 9 6 41123 2 y 63 2 6 23 x 15 y 0 15 0 15 x y x
x x y f) x y x 2 2
3
2
2 2
3
3
y 2 x 6 y x 2 y : 2 x1 y 2
4
x
2 2
x
2 3
y y 2 x 6 y x y 4 : x 3 2 y 2 2 x 3 x 12 y 22 3
2 4
x 4 x 6 y 3 y 2 x 6 y x 8 y 4 x 4 x 6 y 3 y 2 x 2 y 4 : x 6 y 4 x 3 x 2 y 4 x 6 y 4 x 3 x 6 y1 x 8 y 4
x 4 663 2 68 y 3 2 4 41 4 x11 y 2 x11 y 2
25. Vypočtěte: 1
8a 0b 2 9a 1 a) : 2 3 6 18c 2b c
2
15a 3b 2 b) 4 9c
2
27c 6 a 6 : 6 25b
1
Stránka 59
Základní poznatky z matematiky Řešení: 1
1
3 1 0 1 2 1 8a 0b 2 9a 1 23 a 0b 2 32 a 1 2 a b 322 a 12 a) : : : 2 3 2 3 6 2 6 2 22 32 2 1 6 1 21 3 c 2 b c 18c 2b c 2 3 c 2b c 2
2
23 a 0 b 2 34 a 2 23 a 0 b 2 22 b 4 c 6 2 1 2 6 : 2 4 6 1 2 6 4 2 2 4 2 3 c 2 b c 2 3 c 3 a 3 0 2 2 2 2 2 1 ab ab 2 a 2 b 2 c 0 2 a 2 b 2 1 2 3 3 3 9
3 2 1
15a 3b 2 b) 4 9c
2
1
27c 6 a 6 3 5 a 3 b 2 : 6 2 4 25b 3 c
2
a
0 2
b 2 4 c
6 6
1
33 c 6 a 6 : 2 6 5 b
32 52 a 32 b 22 33 1 c 6 1 a 6 1 32 52 a 6 b 4 33 c 6 a 6 : : 322 c 42 34 c8 52 b6 52 1 b 6 1 4 6 2 32 52 a 6 b 4 52 b6 3b 2 2 4 3 22 6 6 b 1 0 0 b 3 6 6 3 5 a 8 6 3 5 a 2 2 34 c8 3 c a c c c
26. Vypočtěte: a3b 3 a) 2 4 c d
3
1
4c 0 d 2a 2b 4 5 : 3 5 a b c d
3
2
2
3a3b 31 c 3d 3 3b 7 c 2 b) 1 2 1 5 : 7 0 c d a b a d 1
25a 2b3 5c 4 d 1 c) 2 2 3 2 c d a b
2
a 2 d 0 : 1 3 b c
1
2
Řešení: a 3b 3 a) 2 4 c d
3
1
2
3 3 0 1 1 2 2 4 2 4c 0 d 2a 2b 4 a 33b 41 c d 22 a b 5 : 3 5 23 43 5 1 1 : 3 2 5 2 c d a b c d a b c d
2 0 1 a 9b 9 2 c d 22 a 4b 8 a 9b 9 22 1 c 0 d 1 c 6 d 10 6 12 : 6 10 6 12 2 4 8 cd a 5b 1 cd cd a 5b 1 2 ab 1
a 95 4b 9 1 8 c 0 66 d 1 10 12 22 2 a 0b 0c 0 d 1 20 d
Stránka 60
Základní poznatky z matematiky 3
2
1
3a 3b 31 c 3d 3 3b 7 c 2 33 a 3 3b 3 3 1 2 c 3 2 d 3 2 31 b 7 1c 2 1 b) 1 2 1 5 : 7 0 1 3 2 3 : 1 2 5 2 7 1 0 1 c d a b a d c d a b a d 33 a 9b 3 32 c 6 d 6 31 b7 c 2 33 a 9b 3 32 c 6 d 6 a 7 d 0 3 6 2 10 : 7 0 3 6 2 10 1 7 2 cd ab a d cd ab 3 bc 9 7 2 3 10 7 6 3 2 6 0 6 3 2 1 0 0 1 0 a b c d 3 a b c d 30 c 1
25a 2b 3 5c 4 d 1 c) 2 2 3 2 c d a b
2
2
2 1 3 1 1 2 2 2 0 2 a 2 d 0 251 a b 52 c 42 d a d : 1 3 32 22 : 1 2 3 2 c 2 1 d 2 1 a b b c b c
5
2 1
a 2b3 52 c8 d 2 a 4 d 0 52 a 2b3 52 c8 d 2 b 2c 6 6 4 : 2 6 2 2 6 4 4 0 c 2 d 2 a b bc cd a b ad
a 2 6 4b3 2 4c86 2 d 2 20 52 2 a 0b1c 0 d 0 30 b
Stránka 61
Základní poznatky z matematiky 1.4 Množiny 1. Zapište všechny podmnožiny množiny: a) 1; 2; 3
b)
4; 5; 6
Řešení: a) ; 1 ; 2; 3; 1; 2; 1; 3; 2; 3; 1; 2; 3
b) ;4 ;5 ;6 ;4;5; 4;6; 5;6; 4;5;6
2. Určete A B , B A , A \ B , B \ A pro dané množiny: a) A 1; 2; 5; 8, B 1; 3; 5; 7 b) A 3; 4; 7; 10, B 3; 5; 7; 9 Řešení: a) A B 1; 2; 3; 5; 7; 8, A B 1; 5, A \ B 2; 8, B \ A 3; 7
b) A B 3; 4; 5; 7; 9; 10 , A B 3; 7 , A\B 4; 10 , B\A 5; 9
3. Určete A B , B A , A\B , B\A , A R/ , B R/ pro dané množiny: a) A 3; 1 , B 0; 2
c) A 2; 3 , B 1; 5
b) A 4; 3 , B 2; 5 Řešení: a)
A B 0; 1 , A B 3; 2 , A\B 3; 0 , B\A 1; 2 , AR/ ; 3 1; , BR/ ; 0 2; b)
A B 2; 3 , A B 4; 5 , A\B 4; 2 , B\A 3; 5 , AR/ ; 4 3; , BR/ ; 2 5;
Stránka 62
Základní poznatky z matematiky
A B 1; 3 , A B 2; 5 , A\B 2; 1 , B\A 3; 5 , AR/ ; 2 3; , BR/ ; 1 5; 4. Určete A B C , C B A , C B A , A B C pro dané množiny: a) A ; 2 , B 1; 3 , C 1; 1 2;
b) A ; 1 , B 0; 2 , C 2; 0 1; Řešení: a)
A B C
1; 1 2; 3 , C B A 1; 2 , C B A 1, A B C R
A B C
2; 0 1; 2 , C B A 2; 1 , C B A 0 , A B C R
b)
5. Určete doplněk dané množiny v množině Z: a) A x Z; x 5
b) A x Z; x 4
Řešení: a) A /Z x Z; x 5
b) A /Z x Z; x 4
6. Jsou dány dvě množiny A, B. Určete: a) A B A b) A B A
Stránka 63
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) A B A A b)
A B A A
7. Do Vennova diagramu pro množiny A, B, C znázorni: a) A B /Z C /Z b) A B /Z C c) A /Z B C /Z d) A B C /Z e) A /Z B /Z C Řešení: a)
b)
c)
d)
e)
1.4.1
Slovní úlohy na Vennovy diagramy
1. V obci Malá dělali průzkum jazyků, kterými hovoří středoškolsky vzdělaní lidé. Německy hovoří 320 osob, anglicky 216 osob, z nichž 152 mluví jen anglicky. Kolik osob umí jen německy? Stránka 64
Základní poznatky z matematiky Řešení:
a b 320 b c 216 c 152 Postupným dosazováním získáme: a 256
b 64 c 152
Jen německy hovoří (a) 256 občanů. 2. Malá firma má 41 zaměstnanců. Z toho 25 má řidičský průkaz a 8 má svářečský průkaz, 10 nemá nic. Kolik zaměstnanců má oba průkazy? Řešení:
a b c d a b b c d
41 25 d 10 8 10
a b c 31 c 31 25 6 a b 25 b 8 6 2 b c 8 a 25 2 23
(postupným dosazováním do rovnic) Kolik zaměstnanců má oba průkazy? Oba průkazy vyjadřuje pole b . Oba průkazy mají 2 zaměstnanci. 3. Na malé základní škole je 123 žáků. 95 má psa nebo kočku, 113 má nejvýše jedno z těchto zvířat. Psa má o 15 žáků víc než na kočku. Kolik žáků má obě zvířata a kolik žáků nemá kočku? Řešení:
Stránka 65
Základní poznatky z matematiky a b c d a b c a c d a b b c
123 95 d 28 (z první a druhé rovnice) 113 15
a b c 95 2a 100 a 50 a c 85 c 35 a c 15 b 10 (z druhé a třetí rovnice vypočítáme a; c a dosazením do první rovnice získáme b )
Kolik žáků má obě zvířata (pole b ) a kolik žáků nemá kočku (pole a d )? Obě zvířata má 10 žáků, kočku nemá 78 žáků. 4. Z 15 kontrolovaných lavic je buď poškrábaných, nebo popsaných 14 kusů. 10 lavic má nejvýše 1 druh poškození. Poškrábaných je o 3 více než popsaných. a) Kolik lavic je jen poškrábaných b) Kolik lavic je jen pošpiněných c) Kolik lavic nemá žádné poškození d) Kolik lavic je čistých nebo má obě poškození? Řešení:
a b c d a b c a c d a b b c
15 14 d 1 10 3
(z první a druhé rovnice)
a b c 14 2a 12 a 6 a c 9 c3 a c 3 b5 (z druhé a třetí rovnice vypočítáme a; c a dosazením do první rovnice získáme b )
a) Kolik lavic je jen poškrábaných: a 6 lavic b) Kolik lavic je jen pošpiněných: c 3 lavice c) Kolik lavic nemá žádné poškození: d 1 lavice d) Kolik lavic je čistých nebo má obě poškození: b d 6 lavic
Stránka 66
Základní poznatky z matematiky 5. Ze 45 žáků 40 mluví německy nebo anglicky. 37 žáků mluví nejvýše jedním z těchto jazyků. Anglicky mluví o 4 více než německy. (Řešte pomocí Vennových diagramů) a) Kolik žáků neumí ani jeden z těchto jazyků? b) Kolik žáků mluví jen anglicky c) Kolik žáků mluví jen německy d) Kolik žáků nemluví ani jedním z těchto jazyků nebo oběma? Řešení:
a b c d a b c a c d a b b c
45 40 d 5 37 4
a b c 40 2a 36 a 18 ¨ a c 32 c 14 a c 4 b8
a) Kolik žáků neumí ani jeden z těchto jazyků: d 5 žáků b) Kolik žáků mluví jen anglicky: a 18 žáků c) Kolik žáků mluví jen německy: c 14 žáků d) Kolik žáků nemluví ani jedním z těchto jazyků nebo oběma: b d 13 žáků 6. K obědu byla svíčková s knedlíkem. Kuchařky u okénka se špinavým nádobím provedly výzkum vrácených talířů od hlavního jídla. Alespoň kus knedlíku vrátilo 301, kus knedle nebo masa 328 strávníků. Ani kousek masa nebyl na 554 talířích, pouze maso nebo knedlík vrátilo 250 obědvajících. a) Kolik lidí snědlo všechno? b) Kolik strávníků tento den jedlo? c) Kolik vrátilo maso i knedlíky? Řešení:
Stránka 67
Základní poznatky z matematiky a b a b c c d a c
301 c 328 d 554 a 250 b
27 527 223 78
a) Kolik lidí snědlo všechno: d 527 strávníků b) Kolik strávníků tento den jedlo: a b c d 855 strávníků c) Kolik vrátilo maso i knedlíky: b 78 strávníků 7. 45 účastníků mělo k dispozici 3 výlety. První výlet absolvovalo 23 rekreantů, první i druhý výlet 7 rekreantů, 15 účastníků jelo na první výlet a přitom nejelo na třetí výlet. 10 jelo pouze na první výlet a 3 pouze na třetí výlet. Právě jeden z výletů si zvolilo 17 osob. Jedna třetina z počtu účastníků se nezúčastnila žádného z výletů. Kolik účastníků si vybralo: a) jeden výlet b) druhý výlet c) právě dva výlety d) druhý a třetí výlet a přitom si nevybralo první výlet? Řešení:
a b c d
e f
a b b a b
e e
d
g
a a c a b c d
e f
g g g
h 45 a 23 b 7 c 15 d 10 e 3 f 17 g h 3h h
10 5 4 6 2 0 3 15
a) jeden výlet: a c g 17 účastníků b) druhý výlet: b c e f 11 účastníků c) právě dva výlety: b d f 11 účastníků d) druhý a třetí výlet a přitom si nevybralo první výlet: f 0 účastníků 8. 820 osob bylo oslovených během výzkumu. Šetřením se zjistilo že: 380 osob používá počítač doma nebo ve škole. Počet těch, kteří užívají počítač doma je 2x větší než těch, kteří jej používají doma i v zaměstnání a počet těch, kteří počítač používají doma je o 40 menší než těch, kteří jej používají jen v zaměstnání. a) Kolik jich používá počítač pouze doma? b) Doma? Stránka 68
Základní poznatky z matematiky Řešení:
a a a a
b c d b c b b
820 380 d 40 2b c 40
a b c 380 a a b c
b 40
2b c 380 2b c 40 4b 420 b 105 a 105 c 170
a) Kolik jich používá počítač pouze doma: a 105 osob b) Doma: a b 210 osob 9. Studenti jedné třídy psali během jednoho dne dva testy; z matematiky a dějepisu. Test z matematiky napsalo jen 10 studentů. Těch, kteří napsali oba testy nebo žádný, bylo 8. Matematiku nenapsalo 22 studentů, zatímco oba testy napsalo jen 6 lidí. Zodpovězte následující otázky: a) Kolik žáků je ve třídě? b) Kolik žáků nenapsalo test z dějepisu? c) Kolik žáků nenapsalo žádný test? d) Kolik žáků napsalo test z matematiky nebo test z dějepisu? Řešení:
Stránka 69
Základní poznatky z matematiky a b b c c d b
10 a 4 8 b 6 22 c 4 6 d 18 a) Kolik žáků je ve třídě: a b c d 32 žáků b) Kolik žáků nenapsalo test z dějepisu: a d 22 žáků c) Kolik žáků nenapsalo žádný test: d 18 žáků d) Kolik žáků napsalo test z matematiky nebo test z dějepisu: a b c 14 žáků 10. Devadesát osm lidí navštívilo jisté sportovní centrum. Ze sportovních zařízení si mohou vybrat mezi saunou, posilovnou a bazénem. V bazénu bylo 25 lidí, saunu navštívilo 38 lidí. Lidí, kteří navštívili pouze saunu, bylo o 2 méně než těch, kteří byli ve všech zařízeních. 53 lidé využili pouze zdejší bar. V bazéně i v sauně bylo 25 lidí. Ve všech třech zařízeních bylo dvanáct lidí. Zodpověz následující otázky: a) Kolik lidí navštívilo posilovnu? b) Kolik lidí bylo v posilovně i v sauně? c) Kolik lidí navštívilo právě jedno ze zařízení? d) Bar nebo posilovnu navštívilo kolik lidí? Řešení:
a 10 b3 c7 d 13
25 38 e h 53 e 12 d e 25 f 0 e 12 g 0 h 53 a) Kolik lidí navštívilo posilovnu: b c e f 22 b) Kolik lidí bylo v posilovně i v sauně: b e 15 c) Kolik lidí navštívilo právě jedno ze zařízení: a c g 17 d) Bar nebo posilovnu navštívilo kolik lidí: b c e f h 75 d a a
e f b d 2
g e
Stránka 70
Základní poznatky z matematiky 11. Studenti jedné třídy si mohli vybrat a navštívit zdarma některé ze dvou divadelních představení – Othella nebo Carmen. Někteří studenti navštívili obě představení. Tři studenti neviděli ani jedno z představení. Othella vidělo devět a Carmen dvanáct studentů. Právě jedno představení navštívilo 17 studentů. a) Kolik studentů bylo ve třídě? b) Kolik studentů vidělo obě představení? Řešení:
d a b b c a c
3 a4 9 b2 12 c 10 17 d 3
a) Kolik studentů bylo ve třídě: a b c 14 b) Kolik studentů vidělo obě představení: b 2 12. V nejmenované obci byl proveden průzkum třídění odpadu. Bylo zjištěno, že nejčastěji tříděnými odpadky jsou papír, PET láhve a sklo. Papír třídí 397 domácností, PET láhve 436 a sklo 394 dotázaných domácností. 7 lidí přiznalo, že doma odpad netřídí. 238 dotázaných třídí všechny tři zmíněné druhy odpadu. Papír a zároveň PET láhve třídí 314 domácností a 299 jich třídí zároveň papír a sklo. PET láhve nebo sklo třídí 509 dotázaných domácností. Určete kolik domácností: a) třídí pouze PET láhve, b) třídí papír nebo sklo, c) třídí alespoň dva druhy uvedeného odpadu, d) bylo dotázáno Řešení:
Stránka 71
Základní poznatky z matematiky a b e d 397 b c e f 436 d e f g 394 h7 e 238
a 375 b 76 c 39 d 61 e 238 b e 314 f 83 d e 299 g 12 b c e f d g 509 h7 a) třídí pouze PET láhve: a 375 b) třídí papír nebo sklo: a b d e f g 845 c) třídí alespoň dva druhy uvedeného odpadu: b e f g 409 d) bylo dotázáno: a b c d e f g h 891 13. Vytápění zemním plynem je v současné době nejrozšířenějším zdrojem tepla pro vytápění bytů a rodinných domů. Podle statistik však mnozí lidé kromě plynových kotlů používají i kamna na tuhá paliva, kde topí uhlím, dřevem či biomasou. Ze 683 dotázaných domácností vytápí buď plynem, nebo tuhými palivy 624 dojmů. 308 jich topí nejvýše jedním druhem vytápění. Plynové topení má o 93 domácností více než kamna na tuhá paliva. Kolik domácností topí: a) jen zemním plynem, b) zemním plynem i kamny. Řešení:
a b c d 683 a b c 624 d 59 a c d 308 a b b c 93 a b c 624 b 375 a c 249 a 171 a 93 c c 78 a) jen zemním plynem: a 171 b) zemním plynem i kamny: b 375
Stránka 72
Základní poznatky z matematiky 14. 35 dětí si vybíralo mezi pastelkami, barvami a voskovkami. Všechny děti si něco vybraly. Dvě děti si vybrali jen pastelky a tři děti jen barvy. Pastelky a barvy si vybralo 16 dětí, barvy a voskovky 14 dětí. Všechny tři si vzalo 10 dětí, pastelky nebo voskovky 31 dětí a 3 děti si nevzaly pastelky ani barvy. Kolik dětí si vzalo: a) aspoň dvě malovátka? b) pastelky? Řešení:
a2 b6 c3 e f 14 d 12 e 10 e 10 a d e f g 31 f 4 g 3 g 3
a2 c3 b e 16
a) aspoň dvě malovátka: b d e f 32 b) pastelky: a b d e 23 15. Ženy na koncertě měly náušnice, náhrdelníky a náramky. Náhrdelník mělo 34 žen, náramek 36 a náušnice 38. Žádnou ozdobu nemá 35 žen. Pouze dvě ženy mají všechny tři šperky najednou. Náhrdelník i náramek si vzalo 6 žen a 3 ženy se ozdobily zároveň náhrdelníkem a náušnicemi. Jenom náramek měla pouze 1 žena. Náramek nebo náušnice má 65 žen. Urči kolik žen: a) Má pouze náušnice? b) Má náušnice nebo náhrdelník? c) Má alespoň dva šperky? d) Je přítomno na koncertě? Řešení:
Stránka 73
Základní poznatky z matematiky b c e f 34
a 28 d e f g 36 b 1 a b d e 38 c 27 h 35 d 29 e2 e2 e f 6 f 4 be 3 g 1 g 1 h 35 a b d e g f 65 a) Má pouze náušnice: a 7 b) Má náušnice nebo náhrdelník: a b d e f g 65 c) Má alespoň dva šperky: b e d f 36 d) Je přítomno na koncertě: a b c d e f g h 127 16. Každý student ve třídě chodí do nějakého kroužku. Do matematického kroužku chodí 16 studentů, do výtvarného 17 a do jazykového 14 studentů. 8 studentů chodí současně do matematického i výtvarného kroužku, 6 do matematického i jazykového kroužku, 4 do výtvarného i jazykového kroužku. Tři studenti navštěvují všechny tři kroužky. a) Kolik je žáků ve třídě? b) Kolik žáků má právě dva kroužky? c) Kolik žáků chodí jen do jednoho kroužku? Řešení:
a5 a b d e 16 b5 b c e f 17 c 8 d e f g 14 d 3 be 8 e3 d e 6 f 1 e f 4 g 7 e3 h0
a) Kolik je žáků ve třídě: a b c d e f g h 32 b) Kolik žáků má právě dva kroužky: b d f 9 c) Kolik žáků chodí jen do jednoho kroužku: a c g 20
Stránka 74
Základní poznatky z matematiky 1.5 Výroková logika 1. U následujících tvrzení rozhodněte, zda se jedná o výroky. a) Praha je hlavní město ČR. l) Prší. b) Vesnicí teče potok. m) ČR je členem EU. c) Číslo x je kladné. n) Je teplý podzim. o) Číslo x je nezáporné. d) 2 3 5 e) Za tři týdny budou Vánoce. p) 4 3 6 f) Sněží. q) Byly dva dny ředitelského volna. g) Prezidentem ČR je Václav Havel. r) Svítí slunce. h) Je zima. s) Začněte se učit! i) Číslo x je záporné. t) Nemám moc času. u) Trojúhelník ABC je rovnostranný. j) 9 3 6 k) Za 21 dní budou Vánoce. Řešení: a) ano b) ne c) ne d) ano
e) f) g) h)
ano ne ano ne
i) j) k) l)
ne ano ano ne
m) n) o) p)
ano ne ne ano
q) r) s) t)
ano ne ne ne
u) ne
2. U následujících tvrzení rozhodněte, zda se jedná o výroky. a) Rozsviťte. k) Zítra píšeme písemnou práci. b) Číslo 8 je větší než 5. l) Úhlopříčky čtverce svírají úhel 90 . c) 3 6 m) Obsah obdélníku je 16 cm 2 . d) Číslo 12 je dělitelné 5. n) Dnes chybí jeden student. e) Kolik je hodin? o) Číslo x je sudé. p) 7 je prvočíslo. f) x 3; 2 q) Obdélníku lze opsat kružnici. g) Isaac Newton se narodil v roce 1643. r) Čtverec má čtyři osy souměrnosti. h) Venku prší. s) x y 3 i) Zítra je pondělí. j)
2 x 8 10
Řešení: a) ne b) ano c) ano d) ano
e) f) g) h)
ne ne ano ano
i) j) k) l)
ano ne ano ano
3. Utvořte negace následujících výroků: a) Dnes jsem se učil. b) Zítra půjdu do kina. c) Zítra bude pršet. d) Daný trojúhelník ABC je tupoúhlý. e) Daný trojúhelník ABC je ostroúhlý. f) Číslo 5 je prvočíslo. g) Dané dvě přímky se protínají. h) 8 je sudé číslo i) Číslo 6 je kladné. j) Číslo 3 je záporné.
m) n) o) p)
ne ano ne ano
q) ano r) ano s) ne
k) l) m) n) o) p) q) r) s)
Číslo 5 není rovno nule. 2 3 6. 11 3 . 1 3 5 . 6 8 2. 3 4 6. 65 3 5 4. 4 3. Stránka 75
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) Dnes jsem se neučil. b) Zítra nepůjdu do kina. c) Zítra nebude pršet. d) Daný trojúhelník ABC je ostroúhlý nebo pravoúhlý. e) Daný trojúhelník ABC je tupoúhlý nebo pravoúhlý. f) Číslo 5 není prvočíslo. g) Dané dvě přímky se neprotínají. h) 8 není sudé číslo i) Číslo 6 je nekladné.
j) k) l) m) n) o) p) q) r) s)
Číslo 3 je nezáporné. Číslo 5 je rovno nule. 23 6. 11 3 . 1 3 5 6 8 2. 3 4 6. 65 3 5 4. 4 3.
4. Utvořte negace následujících výroků: a) Ve třídě je 16 lavic. a) Ve třídě je 23 chlapců. b) Ve třídě je 10 dívek. c) Ve třídě je 7 oken. d) Ve třídě je 32 židlí. e) Ve škole je právě 22 vyučujících matematiky. Řešení: a) Ve třídě není 16 lavic. a) Ve třídě není 23 chlapců. b) Ve třídě není 10 dívek. c) Ve třídě není 7 oken. d) Ve třídě není 32 židlí. e) Ve škole není 22 vyučujících matematiky. 5. Utvořte negace následujících výroků: a) Nejvýše 7 studentů je nemocných. b) Nejvýše 28 studentů není nemocných. c) Nejvýše 3 studenti nepřišli. d) Ve třídě je nemocných nejvýše 8 studentů. e) Ve třídě je nejvýše 10 dívek. f) Ve třídě je nejvýše 5 oken. g) Ve škole je nejvýše 480 dívek. h) Nejvýše tři studenti ve třídě nebudou psát písemnou práci. i) Písemnou práci píše nejvýše 31 studentů. Řešení: a) Aspoň 8 studentů je nemocných. b) Alespoň 29 studentů není nemocných. c) Alespoň 4 studenti nepřišli. d) Ve třídě je nemocných alespoň 9 studentů. e) Ve třídě je alespoň 11 dívek. f) Ve třídě je alespoň 6 oken g) Ve škole je alespoň 481 dívek. h) Alespoň čtyři studenti ve třídě nebudou psát písemnou práci. i) Písemnou práci píše alespoň 32 studentů. Stránka 76
Základní poznatky z matematiky 6. Utvořte negace následujících výroků: a) Na písemnou práci přišlo alespoň 25 studentů. b) Ve třídě je alespoň 15 chlapců. c) Alespoň 3 studenti jsou nemocní. d) Alespoň 5 dní bude ještě teplo. e) Alespoň 20 studentů napsalo domácí úkol. f) Ve škole je alespoň 550 chlapců g) Ve třídě je alespoň 6 oken. Řešení: a) Na písemnou práci přišlo nejvýše 24 studentů. b) Ve třídě je nejvýše 14 chlapců. c) Nejvýše 2 studenti jsou nemocní. d) Nejvýše 4 dny bude ještě teplo. e) Nejvýše 19 studentů napsalo domácí úkol. f) Ve škole je nejvýše 549 chlapců. g) Ve třídě je nejvýše 5 oken. 7. Utvořte disjunkci výroků a a b, jestliže: a) a: Číslo x je liché.; b: Číslo x je dělitelné 5. b) a: Číslo x 3 .; b: Číslo x 5 . Řešení: a) Číslo x liché nebo je dělitelné 5. b) Číslo x 5 . 8. Utvořte konjunkci výroků a a b, jestliže: a) a: Číslo x je sudé.; b: Číslo x je prvočíslo. b) a: Číslo x 4 .; b: Číslo x 7 . Řešení: a) Číslo x je rovno 2. b) Číslo x 4; 7 . 9. Jsou dány výroky a: Číslo 12 je násobkem čísla 2 a b: Číslo 12 je násobkem čísla 3. Utvořte následující složené výroky a určete jejich pravdivostní hodnotu: a) a b b) a b c) a b Řešení: a) Číslo 12 je násobkem čísla 2 a zároveň násobkem čísla 3. (pravdivostní hodnota 1) b) Číslo 12 je násobkem čísla 2 nebo násobkem čísla 3. (pravdivostní hodnota 1) c) Jestliže je číslo 12 násobkem čísla 2, pak není násobkem čísla 3. (pravdivostní hodnota 0) 10. Jsou dány výroky a: Číslo 15 je násobkem čísla 3 a b: Číslo 15 je násobkem čísla 5. Utvořte následující složené výroky a určete jejich pravdivostní hodnotu: a) a b b) a b c) a b Řešení: a) Číslo 15 je násobkem čísla 3 a zároveň násobkem čísla 5. (pravdivostní hodnota 1) b) Číslo 15 je násobkem čísla 3 nebo násobkem čísla 5. (pravdivostní hodnota 1) c) Jestliže je číslo 15 násobkem čísla 3, pak není násobkem čísla 5. (pravdivostní hodnota 0) Stránka 77
Základní poznatky z matematiky 11. Jsou dány výroky a: Číslo 15 je dělitelné číslem 3 a b: Číslo 15 je dělitelné číslem 5. Utvořte následující složené výroky a určete jejich pravdivostní hodnotu: a) a b b) a b c) a b Řešení: a) Číslo 15 je dělitelné číslem 3 a zároveň číslem 5. (pravdivostní hodnota 1) b) Číslo 15 je dělitelné číslem 3 nebo číslem 5. (pravdivostní hodnota 1) c) Jestliže je číslo 15 dělitelné číslem 3, pak není dělitelné číslem 5. (pravdivostní hodnota 0) 12. Utvořte negace následujících výroků: a) Pojedeme do Brna nebo do Prahy. b) V Praze navštívíme Pražský hrad nebo Národní galerii. c) Půjdeme do kina nebo do divadla. d) Půjdu domů nebo do města. e) Budu se učit fyziku nebo chemii. f) Půjdu studovat ekonomii nebo práva. g) Dnes máme matematiku nebo fyziku. h) Číslo 15 je dělitelné třemi nebo pěti. i) Vypočítám první nebo třetí příklad. j) Z písemné práce dostanu jedničku nebo dvojku. Řešení: a) Nepojedeme do Brna ani do Prahy. b) V Praze nenavštívíme Pražský hrad ani Národní galerii. c) Nepůjdeme do kina a nepůjdeme do divadla. d) Nepůjdu domů a nepůjdu do města. e) Nebudu se učit fyziku a chemii. f) Nepůjdu studovat ekonomii ani práva. g) Dnes nemáme matematiku ani fyziku. h) Číslo 15 není dělitelné třemi a není dělitelné pěti. i) Nevypočítám první ani třetí příklad. j) Z písemné práce nedostanu ani jedničku ani dvojku. 13. Utvořte negace následujících výroků: a) V Praze navštívíme Pražský hrad a Národní galerii. b) Pojedeme do Brna a do Prahy. c) Dnes máme matematiku a český jazyk. d) Ve třídě jsou židle a lavice. e) Do školy chodí chlapci a dívky. f) Pavel sbírá známky a pohledy. g) Číslo 18 je dělitelné dvěma a třemi. h) Dnes prší a sněží. i) Na lavici leží pero a tužka. j) Na parkovišti jsou auta a motocykly.
Stránka 78
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) V Praze nenavštívíme Pražský hrad nebo nenavštívíme Národní galerii. b) Nepojedeme do Brna nebo do Prahy. c) Dnes nemáme matematiku nebo český jazyk. d) Ve třídě nejsou židle nebo lavice. e) Do školy nechodí chlapci nebo dívky. f) Pavel nesbírá známky nebo pohledy. g) Číslo 18 není dělitelné dvěma nebo není dělitelné třemi. h) Dnes neprší nebo nesněží. i) Na lavici neleží pero nebo neleží tužka. j) Na parkovišti nejsou auta nebo nejsou motocykly. 14. Utvořte negace následujících výroků: a) Jestliže bude sněžit, pojedeme lyžovat. b) Jestliže bude zítra pěkně, pojedeme na výlet. c) Jestliže bude epidemie, budou chřipkové prázdniny. d) Jestliže se budu učit, budu mít dobré známky. e) Jestliže se naučím, budu všemu rozumět. f) Je-li člověk ctižádostivý, hodně toho dokáže. g) Jestliže budeme psát test z fyziky, dostanu jedničku. h) Jestliže dnes bude matematika, budeme psát test. i) Jestliže bude zima, musím se teple obléci. j) Jestliže bude mrznout, půjdeme bruslit. Řešení: a) Bude sněžit a nepojedeme lyžovat. b) Zítra bude pěkně a nepojedeme na výlet. c) Bude epidemie a nebudou chřipkové prázdniny. d) Budu se učit a nebudu mít dobré známky. e) Naučím se a nebudu všemu rozumět. f) Člověk je ctižádostivý a hodně toho nedokáže. g) Budeme psát test z fyziky a nedostanu jedničku. h) Dnes bude matematika a nebudeme psát test. i) Bude zima a nemusím se teple obléci. j) Bude mrznout a nepůjdeme bruslit. 15. Utvořte negace následujících výroků: a) Nikdo nekouří. b) Nikdo nepřišel. c) Nikdo nebyl nemocný. d) Dnes nikdo nechybí. Řešení: a) Aspoň jeden kouří. b) Aspoň jeden přišel. c) Aspoň jeden byl nemocný. d) Aspoň jeden dnes chybí. 16. Utvořte negace následujících výroků: a) Každý kouří. b) Každý přišel. c) Každý byl nemocný. Stránka 79
Základní poznatky z matematiky d) e) f) g) h) i)
Každý student ve třídě má občanský průkaz. Každý student ve třídě měl 15 let. Každý student dostane o pololetí vysvědčení. Každý student napsal domácí úkol. Každý student ve třídě je připraven na písemnou práci. Všechna auta na parkovišti jsou červená.
Řešení: a) Aspoň jeden nekouří. b) Aspoň jeden nepřišel. c) Aspoň jeden nebyl nemocný. d) Aspoň jeden student ve třídě nemá občanský průkaz. e) Alespoň jeden student ve třídě neměl 15 let. f) Alespoň jeden student nedostane o pololetí vysvědčení. g) Alespoň jeden student nenapsal domácí úkol. h) Alespoň jeden student ve třídě není připraven na písemnou práci. i) Alespoň jedno auto na parkovišti není červené. 17. Utvořte negace následujících výroků: a) Aspoň jeden nekouří. b) Aspoň jeden nepřišel. c) Aspoň jeden byl nemocný. d) Alespoň jeden student ve třídě má jedničku z matematiky. e) Alespoň jeden politik to s námi myslí dobře. f) Alespoň jeden semafor ve městě funguje. g) Aspoň jeden student napsal domácí úkol. h) Aspoň jeden student dnes chybí. i) Alespoň jeden student ve třídě vypočítá všechny příklady. j) V rybníku je alespoň jeden kapr. Řešení: a) Každý kouří. Všichni kouří. b) Každý přišel. Všichni přišli. c) Nikdo nebyl nemocný. d) Nikdo ve třídě nemá jedničku z matematiky. e) Všichni politici to s námi nemyslí dobře. f) Žádný semafor ve městě nefunguje. g) Žádný student nenapsal domácí úkol. h) Žádný student dnes nechybí. i) Žádný student ve třídě nevypočítá všechny příklady. j) V rybníku není žádný kapr. 18. Za předpokladu, že uvedená tvrzení považujeme za výroky, utvořte jejich negace: a) Až naprší a uschne. b) Hloupost a pýcha na jednom dřevě rostou. c) Ševcova žena a kovářova kobyla chodí bosy. d) Nebude-li pršet, nezmoknem. e) Neuč se, život tě naučí. f) Když krtek v listopadu ryje, budou o Vánocích létat komáři. g) Kdo se moc ptá, moc se dozví. h) Mráz kopřivu nespálí. Stránka 80
Základní poznatky z matematiky i) Každý dobrý skutek je po zásluze potrestán. Řešení: a) Nenaprší nebo neuschne. b) Hloupost nebo pýcha nerostou na jednom dřevě. c) Ševcova žena nebo kovářova kobyla nechodí bosy. d) Nebude pršet a zmokneme. e) Uč se nebo tě život nenaučí. f) Krtek v listopadu ryje a o vánocích nebudou létat komáři. g) Moc se ptá a nic se nedozví. h) Aspoň jednu kopřivu mráz spálí. i) Aspoň jeden dobrý skutek není po zásluze potrestán. 19. Utvořte negace následujících výroků: a) a b b) a b
c) a b
Řešení: a) a b a b
c) a b a b
b) a b a b
d) a b
d) a b a b
20. Pomocí tabulkové metody určete pravdivostní hodnoty následujících složených výroků: a) a a e) a a i) a a m) a a b) a a f) a a j) a a c) a a g) a a k) a a d) a a h) a a l) a a Řešení: a)
a a a 0 0 0 0 1 1 1 1 b)
f) tautologie a a a 0 0 1 1 1 1 1 0 g)
a a a 0 0 0 0 1 1 1 1
a a a 0 0 1 1 1 1 0 0
c) tautologie a a a 0 0 1 0 1 1 1 1
h)
d) tautologie a a a 0 0 1 0 1 1 1 1
i) kontradikce a a a 0 0 0 1 1 1 0 0
e) kontradikce a a a 0 0 0 1 1 1 0 0
j)
a a a 0 1 0 0 1 0 1 1
a a a 0 1 1 1 1 0 0 0 Stránka 81
Základní poznatky z matematiky k)
m) tautologie a a a 0 1 1 1 1 0 1 0
a a a 0 1 1 1 1 0 0 0
l) tautologie a a a 0 1 1 1 1 0 1 0 21. Pomocí tabulkové metody určete pravdivostní hodnoty následujících složených výroků: a) (a a) h) a a a a b) (a a) i) a a a c) (a a) j) a a a d) (a a) a k) a a a a e) (a a) a l) a a a a f) a a a a g)
a a a a
Řešení: a)
a a a 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0
b) tautologie
a a a 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0
c) tautologie
a a a 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0
d) tautologie a 0 1 e) a 0 1 f)
a 1 0
a 1 0
a a 0 0 1 0 1 1 1 1
a a 0 0 0 0 0 1 1 1
a a a 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1
a a 0 1
Stránka 82
Základní poznatky z matematiky g) tautologie
h) tautologie
a a a 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1
a a
a a a 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1
a a
i) tautologie a 0 1 j) a 0 1 k)
a 1 0
a 1 0
a 0 1
a 1 0
0 1
a a 0 0 1 1 0 1 1 0 a a 1 0 1 1 1 1 0 0
a a a 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
l)
0 1
a 0 0 1 1 1 0
a 0 1
a 0 1
a 1 1 1 0 a 0 1 0 0
22. Pomocí tabulkové metody určete pravdivostní hodnoty následujících složených výroků: a) a (a b) i) (a b) (a b) b) (a b) (a b) j) (a b) (a b) c) (a b) (a b) k) (a b) (a b) d) (a b) (a b) l) (a b) (a b) e) a b a b m) a b a b f) a b a b n) a b a b g) a b a b h) (a b) (a b) Řešení: a) tautologie a 0 0 1 1
b a 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1
a b 1 1 0 1
Stránka 83
Základní poznatky z matematiky b) tautologie a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
1 1 1 0
a b
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
1 0 0 0
a b
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
0 0 1 0
a b
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 0
c) tautologie
d) tautologie
e) tautologie
f)
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
0 1 1 1
a
1 1 1 1
a
1 1 0 1
a 0 0 1 1
a 0 0 1 1
g)
h)
0 0 0 1
1 1 1 1
a 1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 1 1
a 0 0 1 1
b 1 1 0 0 0 1 0 0
b 0 1 0 0 1 1 0 0
b 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
a b
b 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
a b
b 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
a b
a b 1 1 0 1
1 1 0 0
b 1 1 1 0 1 1 0 0
1 1 0 0
a 1 1 0 0
0 1 1 1
0 0 0 1
0 0 0 1 b 1 1 1 0 1 1 0 0
Stránka 84
Základní poznatky z matematiky i) a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
j) tautologie
k)
a 1 1 0 0
a 1 1 0 0
a 0 0 1 1
l)
b 0 1 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
n)
a 0 0 1 1
a b 1 0 0 1
a
b 0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 1 0
a
a 1 1 0 0
b 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1
0 1 1 0
1 1 0 0
a 0 0 1 1
a b
b 0 1 0 0 1 1 0 0
a
m) tautologie
b 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
b 0 1 0 1
b 0 1 0 0 1 1 0 0
b 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
a b
b 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1
a b
1 1 0 1
1 0 0 1
Stránka 85
Základní poznatky z matematiky 1.6 Absolutní hodnota 1. Na číselné ose vyznač čísla, pro která platí: a) x 3 e) x 3 4 b)
x 2 1
f)
x 5
c)
x 2 4
g)
x 5 2
d) 2 x 4 6
h)
x 2 4
i)
3x 6 9
j)
x2 3
Řešení: a) x 3 hledáme čísla na číselné ose, jejichž vzdálenost od počátku je menší nebo rovna 3 jednotky
b)
x 2 1 hledáme čísla na číselné ose, jejichž vzdálenost od čísla 2 je menší než 1 jednotka
c)
x 2 4 Vzdálenost všech čísel od čísla 2 je větší než 4 . Vzdálenost je vždy kladné číslo
d)
2x 4 6 2 x 2 6 x 2 3 Z výrazu můžeme vytknout kladné číslo 2, kterým pak nerovnici vydělíme
e)
x 3 4 x 3 4
Stránka 86
Základní poznatky z matematiky f)
x 5
g)
x 5 2
h)
x 2 4 žádné reálné číslo nemá od druhého čísla zápornou vzdálenost
i)
3x 6 9 x 2 3
j)
x2 3
2. Pomocí absolutních hodnot zapiš vztah pro čísla vyznačená na číselné ose.
a)
b)
c)
d)
e)
Stránka 87
Základní poznatky z matematiky f)
g)
h)
i)
j)
Řešení: a)
x 2 b)
x 3 c)
x 3 d)
x3 2 e)
x 3 1
Stránka 88
Základní poznatky z matematiky f)
x 1 2 g)
x4 2 h)
x 1 2 i)
x 3 3 j)
x 5 5 3. Urči hodnoty výrazů v uvedených intervalech: a) x 3 x 1
x ; 3 ; x 3; 1 ; x 1; b)
x2 x2 x ; 2 ; x 2; 2 ; x 2;
c)
1 x 2 x x ;1 ; x 1; 2 ; x 2;
d)
x4 2 x x ; 2 ; x 2; 4 ; x 4;
e)
x 3 1 x x ;1 ; x 1;3 ; x 3;
f)
x2 2 x3 x x ; 3 ; x 3;0 ; x 0; 2 ; x 2;
g)
3 x x x 1 x ;0 ; x 0;1 ; x 1;3 ; x 3; :
Stránka 89
Základní poznatky z matematiky h) i) j)
x 1 1 x x ;1 ; x 1; 2 x 4 x 1 x 3 3 x ; 2 ; x 2;1 ; x 1; x 3
x2
x 3 x 2 x ; 2 ; x 2;3 ; x 3; Řešení: a) x 3 x 1
x ; 3 : x 3 0, x 1 0 x 3 x 1 x 3 x 1 2 x 3; 1 : x 3 0, x 1 0 x 3 x 1 x 3 x 1 2 x 4 x 1; : x 3 0, x 1 0 x 3 x 1 x 3 x 1 2 b)
x2 x2 x ; 2 : x 3 0, x 2 0 x 2 x 2 x 2 x 2 4 x 2;2 : x 2 0, x 2 0 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x x 2; : x 2 0, x 2 0 x 2 x 2 x 2 x 2 4
c)
1 x 2 x x ;1 : 1 x 0, 2 x 0 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1;2 : 1 x 0, 2 x 0 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 2; : 1 x 0, 2 x 0 1 x 2 x 1 x 2 x 1
d)
x4 2 x x ;2 : x 4 0, 2 x 0 x 4 2 x x 4 2 x 2 x 2; 4 : x 4 0, 2 x 0 x 4 2 x x 4 2 x 2 x 6 x 4; : x 4 0, 2 x 0 x 4 2 x x 4 2 x 2
e)
x 3 1 x x ;1 : x 3 0, 1 x 0 x 3 1 x x 3 1 x 2 x 1; 3 : x 3 0, 1 x 0 x 3 1 x x 3 1 x 2 x 4 x 3; : x 3 0, 1 x 0 x 3 1 x x 3 1 x 2
f)
x2 2 x3 x
x ; 3 : x 2 0, x 3 0, x 0 x 2 2 x 3 x x 2 2x 6 x 8 x 3;0 : x 2 0, x 3 0, x 0 x 2 2 x 3 x x 2 2 x 6 x 4 x 4 x 0; 2 : x 2 0, x 3 0, x 0 x 2 2 x 3 x
x 2 2 x 6 x 2 x 4 Stránka 90
Základní poznatky z matematiky x 2; : x 2 0, x 3 0, x 0 x 2 2 x 3 x g)
x 2 2 x 6 x 8 3 x x x 1 x ;0 : 3 x 0, x 0, x 1 0 3 x ( x) x 1 3 x x x 1 x 4 x 0;1 : 3 x 0, x 0, x 1 0 3 x x x 1
3 x x x 1 3x 4 x 1;3 : 3 x 0, x 0, x 1 0 3 x x x 1 3 x x x 1 x 2 x 3; : 3 x 0, x 0, x 1 0 3 x x x 1 h)
3 x x x 1 x 4 x 1 1 x x ;1 : 1 x 0 x 11 x 1 x2
x 1; : 1 x 0 x 1 1 x x2 1 i)
2 x 4 x 1 x 3 3
x ; 2 : 2 x 4 0, x 1 0 2 x 4 x 1 x 3 3 2 x 4 x 1 x 3 3 1 x 2;1 : 2 x 4 0, x 1 0 2 x 4 x 1 x 3 3
2x 4 x 1 x 3 3 4x 9 x 1; : 2 x 4 0, x 1 0 2 x 4 x 1 x 3 3 j)
2 x 4 x 1 x 3 3 2 x 11 x 3 x 2 x 3 x 2
x 3 x 2 1 1 2 x 3 x2 x 3 x 2 x 2;3 : x 3 0, x 2 0 1 1 0 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3; : x 3 0, x 2 0 11 2 x 3 x 2 x ; 2 : x 3 0, x 2 0
4. Vypočtěte: a) 1 2 2 3 2 b) 2 1 2 2 3
c)
2 1 1 3
d) 1 2 3 1
Řešení: a) 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 5 b) 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1
c) 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 4 2 1 4 2 4 24 6 6 Stránka 91
Základní poznatky z matematiky d) 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 4 1 2 4 1 8 1 8 9 9 5. Vypočtěte: a) 2 2 2
2 2
f) 2 3 2 3 2 3
b) 2 2 2 2 2
g)
6
2 3 12 3 2
c) 2 1 3 3 3 1
h)
12
2 3 6 3 2
d) 3 1 2 2 2 1
i)
6 2 2 3 6 2 3 2
e) 2 2 3 3 3 2
j)
12 3 3 2 12 2 2 3
Řešení: a) 2 2 2 b) c) d)
e)
2 2 2 2 2 22 2 2 2 4 2 3 2 2 6 3 2 2 1 3 3 3 1 2 1 3 3 3 1 2 2 3 3 3 3 5 3 5 3 1 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 3 3 2 2 2 2 5 2 5 2 2 3 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 42 3 2 2 63 2
2 3 f) 2 3 2 3 2 3 2
2 3 g)
6
2 3 12
3 2 3
3 2 6
3 2 2 3 2 2 3 3 3 2
3 2 12
3 2
18 12 36 24 9 2 4 3 6 4 6 3 2 2 3 62 6 h) 12
2 3 6
3 2 12
3 2 6
3 2
36 24 18 12 6 4 6 9 2 4 3 62 6 3 2 2 3 i)
6 2 2 3 6 2 3 2 6 2 2 3 6 2 3 2 2 12 18 2 18 12 18 12 9 2 43 3 2 2 3
j)
12 3 3 2 12 2 2 3 12 3 3 2 12 2 2 3 3 36 24 2 24 36 2 36 24 2 6 4 6 12 2 6
Stránka 92
Základní poznatky z matematiky 6. Vypočtěte: 1 a) 1 2
1
b)
1
c)
1 3 1
d)
2 1
e) f)
3 1
1 2 3 1 3 2
Řešení:
1
a)
1 2 1
b)
2 1 1
c)
1 3 1
d)
3 1
1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1
1 3 1 3 1 3 1
1 3 1 3 1 3 1
1
e)
2 3 1
f)
3 2
2 1
2
2
1
2 1
2
2
1
3 1
3
2
1
3 1
3
2
1
1 3 2 3 2 3 2
1 3 2 3 2 3 2
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 2
3 1 3 1 3 1 2 3 2
3 2 2
2
3 2 3 2 3 2
2
3 2 3 2 3 2
3 2
3 2 2
7. Vypočtěte: 3 2 a) 2 1 2 4 Řešení:
3 2 a)
2 1 2 4
3 2
2
2 1 4
3 2 3 2 3 2 6 2 4 2 4 2 2 4 6 2 6 2
18 3 2 6 2 4 18 3 2 2 16 3 2 36 2 34 36 4 8. Vypočtěte: 2 1 2 1 a) c) 2 1 2 3 2 1 3 1 2 2 2 1
b)
2 1 3 1 2 2
2 1
d)
3 1
2 1 3 2 1 3
Stránka 93
Sbírka řešených úloh z matematiky 1 3
e)
2 3 1 2
2 2 5
k)
3 1
2 3
f)
2 3 5
l)
3 3 2 2 2 2 3 2 3
g)
5 3 2 32 5 42 2
m)
3 3 2 2 2 2 3
3 2
h)
2 5 2 5 2 2
2 1 8 2 2 1 8 4
n)
2 2 3 3 3 2 2
4 1 2 2 2 3
1 2
i)
2 2 1 2 2 2 2 2
j)
2 1 2 2 2 1
Řešení:
a)
2 1
2 1 2 3 2 1
b)
2 1 3 1 2 2
2 1 3 1 2 2
2 1 2 3
3 2 2 3 2 2 1 2 1
2 1 22 2 3 2 3
2 1
2 1 33 2 2 2 2
2 1 2 5 4 5 2 2 5 26 2 5 2 25 2 5 2 5 4 25 76 2 6 2 7 23 23 2 1
3 1 2 2
2 1
2 1
2 1 2 1 4 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1
3 1 2 2
2 1
c)
2 1
2 1
2 1 33 2 2 2 2
2 1 2 1 4 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 3 2 2 3 2 2 1
Stránka 94
Základní poznatky z matematiky d)
3 1
2
2 1 3 2 1 3
1 3 2 3 1 2
2
3 1
3 3 2 2 2 2 3
1 2 6 1 2 6 24 24 2 3
3 3 2 2 2 2 3
3 1
1 3 2 3 22 3 2
3
3 2
3 2 2 2 2 3
3 2 3 3 3 2 4 2 2 3
3
3 2
3 2 2 2 2 3
3 2 3 3 3 2 4 2 2 3
3 2 3 2 9 6 6 4 3 2 6 2 1 2 6 1 2 6 3 2 1 3 2 3 2 9 4
3 2 h)
3 1 2
3 2 5 3 7 2 5 9 7 6 5 6 7 4 5 3 2 6 7 2 15 2 6 14 25 3 49 2 75 98 5 3 7 2 5 3 7 2 25 9 49 4
g)
3 1 2 3 222 3
1 3 3 3 9 3 3 3 3 43 12 4 3 3 4 9
2 3
1 3
f)
3 1 2 1 3
3 1 3 9 3 3 3 3 3 43 12 4 3 3 4 9
e)
3 1
2 2 3 3 3 2 2
2
3 2
3 2 3 2 2 3
3 2 2 3 2 2 6 2 3 3
3 2 5 3 8 2 5 9 8 6 5 6 8 4 53 3 6 8 2 25 3 64 2 5 3 8 2 5 3 8 2 25 9 64 4
15 2 6 16 2 6 1 1 2 6 75 128 53 53 1 2 2 1 2 1 i) 2 2 242 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2
2 1 4 2 6 4 4 6 2 4 2 6 4 2 2 2 6 16 2 36 4 2 6 4 2 6 16 4 36
8 2 2 6 2 2 2 2 2 1 2 1 32 36 4 2 4
2 2 j)
2 1 2 2 2 1
2
2 2
2 1 2
2 1
2 2 2 2 4 2 4 2 2 22 2 2 4 2 4 4 2 4
8 2 8 4 4 4 2 4 2 8 42 4 2 88 4 2 2 16 2 16 32 16 4 16 16 4 16 Stránka 95
Základní poznatky z matematiky 2 2 5 k)
2 5 2 5 2 2 =
5 2 2 2 2 5
2 2 5 5 2 4 2 2 5
2 2 5 3 5 5 2 6 10 10 4 3 25 5 10 10 10 2 3 5 9 5 25 2 3 5 5 2 3 5 5 2 9 25 25 4 10 20 15 10 5 45 50 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 5 34 52 3 5 3 2 32 5 5 32 2 5 3
l)
2 3 5 3 3 5 2 9 6 15 15 3 25 2 3 5 15 3 5 3 95 3 3 5 3 3 5 9 9 25
6 5 15 15 9 5 15 9 5 15 3 45 42 42 42 2
m)
2 1 8 2 2 1
4 1 2 2 2 3
2
42 2
8 1 2
42 2 42 2 2 8 2 2 2 2 22 2 2 2 4
42 2 42 2 4 2 4 6 2 2 6 2 10
2 1
42 2 42 2 1 4 2 2 2 4 2 2 4
84 n)
2 2 5
2 3
4
4 8
2 2 3 2 5 3 2 5 3
2 2 2
2 1 2 3 2
2 5 6 2 10 3 4 5 2 2 10 3 2 9 2 25 2 5 9 4 25
2 10 6 24 24 18 25 7 7
Stránka 96
Základní poznatky z matematiky 1.7 Algebraické výrazy a jejich úpravy 1.7.1
Mnohočleny
1. Jsou dány mnohočleny Ax 5x 2 6 x 2 , Bx 2 x 3 4 x 2 3x 5 , C x 3x 5 1 . a) Určete jejich stupně. b) Určete kvadratický člen mnohočlenu Ax , lineární člen mnohočlenu Bx , absolutní člen mnohočlenu C x . c) Vypočtěte A3 d) Vypočtěte B 2 e) Vypočtěte Ax Bx . f) Vypočtěte Bx Ax Řešení: a) Ax - stupeň 2, Bx - stupeň 3, C x - stupeň 3, b) kvadratický člen mnohočlenu Ax : 5x 2 , lineární člen mnohočlenu Bx : 4 x 2 , absolutní člen mnohočlenu C x : 1 . c) A3 5 32 6 3 2 5 9 18 2 45 20 25 d) B 2 2 23 4 22 3 2 5 2 8 4 4 6 5 16 16 11 43 e) f)
Ax Bx 5x 2 6 x 2 2 x 3 4 x 2 3x 5 2 x 3 x 2 3x 7
Bx Ax 2 x 3 4 x 2 3x 5 (5 x 2 6 x 2) 2 x 3 4 x 2 3x 5 5 x 2 6 x 2 2x 3 9x 2 9x 3
2. Zjednodušte:
2 2 2 2 2 a) 4 x 5 x 7 x 3x 9 x 3 3x 6 x 2 x 5
2 3 2 b) 3a 2b 2a 4 a 3b b 4 2b 3a 1
c) 4 x 2 y 5 x 7 y 2 x 3 y 2 3x 4 y
d) 2a 3b 4c 2a 8a c 2b 3a 3b 2c 4a 3c e)
5x 2 y z 2 x 3 y 4 z y x z 6 x 2 z 6 y 3z 2 y 6 z
Řešení: a) 4 x 2 5 x 7 x 2 3x 2 9 x 3 3x 6 x 2 2 x 2 5
4 x 2 5x 7 x 2 3x 2 9 x 3 3x 6 x 2 2 x 2 5 b)
4 x 2 5 x 7 x 2 3x 2 9 x 9 x 18 x 2 6 x 2 15 32 x 2 23x 15 3a 2 2b3 2a 4 a 3b b2 4 2b 3a 1 3a 2 2b3 8a 2a 2 3b3 12b 2b 3a 1 3a 2 2b3 8a 2a 2 3b3 12b 2b 3a 1 5b3 5a 2 5a 10b 1 Stránka 97
Základní poznatky z matematiky c)
4 x 2 y 5 x 7 y 2 x 3 y 2 3x 4 y 4 x 2 y 5 x 7 y 2 x 3 y 6 x 8 y 4 x 2 y 5 x 7 y 2 x 3 y 6 x 8 y 4 x 2 y 5x 7 y 2 x 3 y 6 x 8 y 13x 14 y
d)
2a 3b 4c 2a 8a c 2b 3a 3b 2c 4a 3c 2a 3b 4c 2a 8a c 2b 3a 3b 2c 4a 3c 2a 3b 4c 2a 8a c 2b 3a 3b 2c 4a 3c
e)
2a 3b 4c 2a 8a c 2b 3a 3b 2c 4a 3c 15a 2b 5x 2 y z 2 x 3 y 4 z y x z 6 x 2 z 6 y 3z 2 y 6 z
5 x 2 y z 2 x 3 y 4 z y x z 6 x 2 z 6 y 3z 2 y 6 z 5 x 2 y z 2 x 3 y 4 z y x z 6 x 2 z 6 y 3z 2 y 6 z
5 x 2 y z 2 x 3 y 4 z y x z 6 x 2 z 6 y 3z 2 y 6 z 8 x 8 y 13z 3. Jsou dány mnohočleny: A x 4 3x 3 y 5x 2 y 2 6 xy 3 2 y 4 , B 2 x 4 3x 3 y 5x 2 y 2 6 xy 3 4 y 4 C 4 x 4 6 x 3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 . a) Vypočtěte A B C b) Vypočtěte C A B c) Vypočtěte B A C d) Vypočtěte 2 A 3B C e) Vypočtěte A B Řešení: a) A B C x 4 3x 3 y 5x 2 y 2 6 xy 3 2 y 4 2 x 4 3x 3 y 5x 2 y 2 6 xy 3 4 y 4
4 x 4 6 x 3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 4 x 3 6 x 3 y 10 x 2 y 2 6 y 4 4 x 4 6 x 3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 5 x 4 12 x 3 y 12 x 2 y 2 3xy 3 y 4
b)
C A B 4 x 4 6 x3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 x 4 3x 3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 2 y 4 2 x 4 3x3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 4 y 4 4 x 4 6 x3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 x 4 3x 3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 2 y 4 2 x 4 3x3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 4 y 4 5 x 4 12 x3 y 12 x 2 y 2 3xy 3 y 4
c)
B A C 2 x 4 3x3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 4 y 4 x 4 3x 3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 2 y 4
4 x 4 6 x3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 2 x 4 3x3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 4 y 4 x 4 3x 3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 2 y 4 4 x 4 6 x3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 2 x 4 6 x3 y 2 x 2 y 2 9 xy 3 7 y 4
d)
2 A 3B C 2 x 4 3x 3 y 5x 2 y 2 6 xy 3 2 y 4 3 2 x 4 3x 3 y 5x 2 y 2 6 xy 3 4 y 4 4 x 4 6 x 3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 2 x 4 6 x 3 y 10 x 2 y 2 12 xy 3 4 y 4 6 x 4 9 x 3 y 15 x 2 y 2 18 xy 3 12 y 4 4 x 4 6 x 3 y 2 x 2 y 2 3xy 3 5 y 4 12 x 4 9 x 3 y 7 x 2 y 2 33xy 3 3 y 4
Stránka 98
Základní poznatky z matematiky e)
A B x 4 3x3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 2 y 4 2 x 4 3x 3 y 5 x 2 y 2 6 xy 3 4 y 4 2 x8 3x 7 y 5 x 6 y 2 6 x 5 y 3 4 x 4 y 4 6 x 7 y 9 x 6 y 2 15 x 5 y 3 18x 4 y 4 12 x 3 y 5 10 x 6 y 2 15 x5 y 3 25 x 4 y 4 30 x3 y 5 20 x 2 y 6 12 x 5 y 3 18 x 4 y 4 30 x 3 y 5 36 x 2 y 6 24 xy 7 4 x 4 y 4 6 x3 y 5 10 x 2 y 6 12 xy 7 8 y 8 2 x8 3x 7 y 14 x 6 y 2 12 x 5 y 3 25 x 4 y 4 18 x3 y 5 6 x 2 y 6 12 xy 7 8 y 8
4. Určete hodnotu výrazu: a) 2 x 3 3x 2 5x 4,x 2 b) x 3 x 2 y xy 2 y 3 ,x 1,y 2
2 x y yz 3xyz 2 y z 3x 4 yz 3xyz 2 y z ,x 0, y 1,z 2 xyz 3x z 2 xyz 3xz 2 x y 5xz 2 xy 3 yz ,x 1, y 2,z 2
c) 3xyz 2 x 2 y xyz 4 xy 2 3x 2 y ,x 1, y 2,z 3 d) e)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Řešení: a) 2 23 3 22 5 2 4 2 8 3 2 10 4 16 6 10 4 36 b) 13 12 2 1 2 2 23 1 2 4 8 15 c) 3 1 2 3 2 1 2 2 1 2 3 4 1 2 2 3 1 2 2
18 4 6 16 6 18 4 6 10 18 4 4 18 8 10
d)
2 2 0 1 1 2 3 0 1 2 2 1 2 3 0
2 4 1 2 3 0 1 2 2 1 2 0 2 4 8 4 6 4 10
e)
1 2 2 3 1 2 2 1 2 2 3 1 2
2
2
2 2 1 2
2 5 1 2 2 1 22 3 2 2
4 6 8 12 4 10 8 24 4 6 8 8 42 4 22 42 4 22 42 68
5. Vypočtěte: a) 2a 4b 3a 5b 4a 9b 3a 2b
b) 9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a c) 4 x 2 y 8x 5 y 7 x d) 6a 2b 3a 5b 7a e) 5x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y
Stránka 99
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) 2a 4b 3a 5b 4a 9b 3a 2b 2a 4b 3a 5b 4a 9b 3a 2b a 2b 7a 14b a 2b 7a 14b 8a 12b
b)
9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a 9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a 9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a 9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a 3a b
c) d)
e)
4x 2 y 8x 5 y 7 x 4x 2 y 8x 5 y 7 y 4x 2 y 8x 5 y 7 y 12x 6a 2b 3a 5b 7a 6a 2b 3a 5b 7a 6a 2b 3a 5b 7a 6a 2b 3a 5b 7a 16a 3b 5 x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y 5 x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y 5 x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y 5 x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y 21x 9 y
6. Sečtěte a výsledek uspořádejte sestupně podle exponentů. a) 2a 4 4 5a3 9a 4 2a3 5 2a 2 7a 3 5a 2 b) 3a 2 4a 5a 2 7a 3 6a a 2 3a 3 7 c) 12 x5 6 x3 5x5 10 x 4 3x5 9 x3
d) 10a 4 6a 2 2a3 8a3 6a 4 2a 2 9a3 7a 2 5a 4 e) 5a 7 9a5 4a 8a 7a 7 4a5 6a 7 3a Řešení: a) 2a4 4 5a3 9a4 2a3 5 2a2 7a3 5a 2 11a 4 14a3 7a 2 9 b) 3a 2 4a 5a 2 7a 3 6a a 2 3a 3 7 3a 2 4a 5a 2 7a 3 6a a 2 3a 3 7 c)
10a 3 2a 2 2a 7 12 x 5 6 x 3 5x 5 10 x 4 3x 5 9 x 3 12 x 5 6 x 3 5 x 5 10 x 4 3x 5 9 x 3
d)
12 x 5 6 x 3 5x 5 10 x 4 3x 5 9 x 3 14 x 5 10 x 4 3x 3 10a 4 6a 2 2a 3 8a 3 6a 4 2a 2 9a 3 7a 2 5a 4
10a 4 6a 2 2a 3 8a 3 6a 4 2a 2 9a 3 7a 2 5a 4 10a 4 6a 2 2a 3 8a 3 6a 4 2a 2 9a 3 7a 2 5a 4 e)
10a 4 6a 2 2a 3 8a 3 6a 4 2a 2 9a 3 7a 2 5a 4 a 4 a 3 15a 2 5a 7 9a 5 4a 8a 7a 7 4a 5 6a 7 3a 5a 7 9a 5 4a 8a 7a 7 4a 5 6a 7 3a 5a 7 9a 5 4a 8a 7a 7 4a 5 6a 7 3a 18a 7 14a 5 a
Stránka 100
Základní poznatky z matematiky 7. Vynásobte a sečtěte: a) 3x (2 y) (4 x) (5 y) b)
4a
2a 2 3a 5 6a
c)
3x3 y 2 (2 x2 y3 4 xy5 5x 4 y 2 )
3
d) 4a 2a 2 3ab2 2 4 a 2b2 3a 5a3 2ab 2 e)
2a 5a n 3
Řešení: a) b)
6 2 n
2a 3n3 4a n1
3x (2 y) (4 x) (5 y) 6 xy 10 xy 16 xy
4a
3
2a 2 3a 5 6a 24a 4 12a3 18a 2 30a
3x3 y 2 (2 x2 y3 4 xy5 5x4 y 2 ) 6 x5 y5 12 x4 y7 15x7 y 4
c) d)
4a 2a 2 3ab2 2 4 a 2b2 3a 5a 3 2ab2
8a 3 12a 2b2 8a 4a 2b2 12a 20a 3 2ab2
28a 3 16a 2b2 4a 2ab2 56a 4b2 32a 3b4 8a 2b2
2a 5a n 3
e)
6 2 n
2a 3n3 4a n1 10a 3n 4a 4n 8a 2n4
8. Vynásobte a sečtěte: a) x 3 x 5 b) c) d)
x 4 x 3 x 2 3a 4 5 2a 3 4a a 2 4a3 2a2 3a 5 a 6
e) 6a 3 3a 2 4a 1 2a 2 5a 7 f) 3a 3 4ab 2 2a 2 b 5b 3 a 2 2ab b 2 g) 4 x 3 3x 2 x 2 2 x 5x 2 3x 4 h) 3a 2b a b 3a 2b 2a 3b 3a 4ba b i) a 2 b 2 c 2 b 2 a 2 1 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 1 j) 3 2 x x 1 3 2 x 4 x 5 61 4 x 3x 5
Řešení: a) x 3 x 5 x 2 5x 3x 15 x 2 8x 15 b) x 4 x 3 x 2 x 2 3x 4 x 12 x 2 x 2 x 12 x 2
c) d)
x3 2 x 2 x 2 2 x 12 x 24 x3 3x 2 10 x 24 3a 4 5 2a 3 4a a 2 15a 6a 2 20 8a 3a 6 4a 2 8a 10a 2 18a 14 4a3 2a2 3a 5 a 6 4a4 24a3 2a3 12a2 3a2 18a 5a 30
4a 4 26a3 14a 2 23a 30
Stránka 101
Základní poznatky z matematiky e)
6a
3
3a 2 4a 1 2a 2 5a 7
12a 5 60a 4 42a 3 6a 4 15a 3 21a 2 8a 3 20a 2 28a a 2 5a 7
f)
12a 5 54a 4 65a 3 2a 2 33a 7 3a 3 4ab2 2a 2b 5b3 a 2 2ab b2 3a 5 6a 4b 3a 3b2 4a 3b2 8a 2b3 4ab4 2a 4b 4a 3b 2 2a 2b3 5a 2b3 10ab 4 5b5
g)
3a 5 4a 4b 5a 3b2 5a 2b3 6ab4 5b5 4 x 3 3x 2 x 2 2 x 5 x 2 3x 4
8 x 3 4 x 4 6 x 2 3x 3 2 x x 2 4 2 x 5 x 2 3x 4 11x 3 4 x 4 7 x 2 4 x 4 5 x 2 3x 4 55 x 5 33x 4 44 x 3 20 x 6 12 x 5 16 x 4 35 x 4 21x 3 28 x 2 20 x 3 12 x 2 16 x 20 x 2 12 x 16
h)
20 x 6 55 x 5 52 x 4 3x 3 4 x 2 4 x 16 3a 2b a b 3a 2b 2a 3b 3a 4b a b
3a 2b a b 3a 2b 2a 3b 3a 2 3ab 4ab 4b 2
3a 2b a b 3a 2b 3a 2a 3b ab 4b 3a 2b a b 9a 6a 9ab 3ab 12ab 6a b 4ab 6b 3a 2b a b 9a 6a 7ab 14ab 6a b 6b 8b 3a 2b a b 3a 2b 2a 3b 3a 2 3ab 4ab 4b 2 2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2ab 2 8b3
3
3a 2b a b 9a 3 6a 2 7ab 14ab 2 6a 2b 6b 2 8b3 3a 2 3ab 27a 4 18a 3 21a 2b 42a 2b 2 18a 3b 18ab 2 24ab3 2ab 2b 2 18a 3b 12a 2b 14ab 2 28ab 2 12ab 2 12b3 16b 4 i) j)
3a 2 5ab 27 a 4 18a 3 9a 2b 42a 2b 2 32ab 2 24ab3 2b 2 18a 3b 12b3 16b 4 a 2 b2 c 2 b2 a 2 1 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 1
a 2b 2 a 2 c 2 a 2b 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 b 2 c 2 b 2 0 3 2 x x 1 3 2 x 4 x 5 6 1 4 x 3x 5 3x 3 2 x 2 2 x 12 x 15 8 x 2 10 x 6 24 x 3x 5 3x 3 2 x 2 2 x 12 x 15 8 x 2 10 x 18 x 30 72 x 2 120 x 60 x 2 121x 12
9. Vynásobte: a) 4a 3b 5b 2a b) 4 x 2 2 xy 2 x 2 xy c) 4 y 3 5xy 2 2 xy 3 4 x 2 d) x 4 3x 3 5x 2 2 x 1 x 2 3x 2 Stránka 102
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) 4a 3b 5b 2a 20ab 8a 2 15b 2 6ab 8a 2 26ab 15b 2 b) 4 x 2 2 xy 2 x 2 xy 8x 4 4 x 3 y 4 x 3 y 2 x 2 y 2 8x 4 8x 3 y 2 x 2 y 2 c) 4 y 3 5xy 2 2 xy 3 4 x 2 8xy 6 16 x 2 y 3 10 x 2 y 5 20 x 3 y 2 d) x 4 3x 3 5x 2 2 x 1 x 2 3x 2 x 6 3x 5 2 x 4 3x 5 9 x 4 6 x 3 5x 4 15x 3 10 x 2 2 x 3 6 x 2 4 x x 2 3x 2 x 6 6 x 5 16 x 4 23x 3 17 x 2 7 x 2
10. Vypočtěte použitím vzorců a pak sečtěte: a) 2 x - 3 2 x 3 2 3x 2 3x b) c) d) e)
4a - 5 5 4a 3a 7 7 3a 0, 2 x - 0,1 0, 2 x 0,1 0,1x 0,3 0,3 0,1x
a b 2ab a b ab x y x y x y x y x y x y x y x y 2
2
2
4
3
2
2
2
4
3
3
2
4
3
2
4
Řešení: a) 2 x 3 2 x 3 2 3x 2 3x 4 x2 9 (4 9 x2 ) 4 x2 9 4 9 x2 13x2 13 b) 4a 5 5 4a 3a 7 7 3a 16a 2 25 (9a 2 49) 16a 2 25 9a 2 49 c)
5a 2 24 0,2 x - 0,1 0,2 x 0,1 0,1x 0,3 0,3 0,1x 0,04 x 2 0,01 0,01x 2 0,09
d)
0,05x 2 0,1 a2b 2ab2 a2b ab2 a4b2 4a2b4
e)
x
2
y 4 x3 y x2 y 4 x3 y x3 y x 2 y 4 x3 y x 2 y 4
x4 y8 x6 y 2 ( x6 y 2 x4 y8 ) x4 y8 x6 y 2 x6 y 2 x4 y8 2 x4 y8 2 x6 y 2 11. Vypočtěte: a) 2a 4b 3a 5b - 4a 9b 3a b b) 9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a c) d) e)
4x 2 y 8x 5 y 7 x 6a 2b 3a 5b 7a 5x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y
Řešení: a) 2a 4b 3a 5b - 4a 9b 3a b 2a 4b 3a 5b 4a 9b 3a 2b a 2b 7a 14b a 2b 7a 14b 8a 12b
b)
9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a 9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a 9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a 9a 6b 3a 2b 5a 7b 4a 3a b
c)
4x 2 y 8x 5 y 7 x 4x 2 y 8x 5 y 7 y 4x 2 y 8x 5 y 7 y 12x Stránka 103
Základní poznatky z matematiky d)
6a 2b 3a 5b 7a 6a 2b 3a 5b 7a 6a 2b 3a 5b 7a 6a 2b 3a 5b 7a 16a 3b
e)
5 x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y 5 x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y 5 x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y 5 x 2 y 3x 9 y 4 y 7 x 6 x 8 y 10 y 21x 9 y
12. Sečtěte a výsledek uspořádejte sestupně podle exponentů: a) 2a 4 4 5a3 9a 4 2a3 5 2a 2 7a 3 5a 2 b) 3a 2 4a 5a 2 7a 3 6a a 2 3a 3 7 c) 12x5 6 x3 5 x5 10 x 4 3x5 9 x3
d) 10a 4 6a 2 2a3 8a3 6a 4 2a 2 9a3 7a 2 5a 4 e) 5a 7 9a5 4a 8a 7a 7 4a5 6a 7 3a Řešení: a) 2a 4 4 5a3 9a 4 2a 3 5 2a 2 7a3 5a 2 11a 4 14a 3 7a 2 9 b) 3a 2 4a 5a 2 7a 3 6a a 2 3a 3 7 10a 3 2a 2 2a 7 c) d)
12 x5 6 x3 5 x5 10 x 4 3x5 9 x3 12 x5 6 x3 5 x5 10 x 4 3x5 9 x3 12 x5 6 x3 5 x5 10 x 4 3x5 9 x3 14 x5 10 x 4 3x3 10a 4 6a 2 2a 3 8a 3 6a 4 2a 2 9a 3 7a 2 5a 4
10a 4 6a 2 2a 3 8a 3 6a 4 2a 2 9a 3 7a 2 5a 4 10a 4 6a 2 2a 3 8a 3 6a 4 2a 2 9a 3 7a 2 5a 4 e)
10a 4 6a 2 2a 3 8a 3 6a 4 2a 2 9a 3 7a 2 5a 4 a 4 a 3 15a 2 5a 7 9a 5 4a 8a 7a 7 4a 5 6a 7 3a 5a 7 9a 5 4a 8a 7a 7 4a 5 6a 7 3a 5a 7 9a 5 4a 8a 7a 7 4a 5 6a 7 3a 18a 7 14a 5 a
1.7.2
Dělení mnohočlenu mnohočlenem
1. Dělte a uveďte podmínky pro dělitele: a) 6a 3 5a 2 6a 5 : 2a 1 b) x a 1 5x a 6 x a 1 : x 3 c) 6 x 4 9 x 3 4 x 2 18x 20 : 2 x 3 d) 8a 4 14a3 19a 2 12a 5 : 4a 1 e) 2 x5 x 4 21x3 22 x 2 16 x 32 : x 2 2 x 8
Stránka 104
Základní poznatky z matematiky Řešení: a)
6a 5a 6a 5 : 2a 1 3a 6a 3a 3
2
3
2
2
4a 5, 2a 1 0 a
1 2
8a 2 6a 5 8a 2 4a 10a 5 10a 5
b)
x x
a 1
x 6x
a 1
a
a 1
0 : x 3 x a 2 x a1 , x 3 0 x 3
3x a 2 x a 6 x a-1
2 x a 6 x a 1 0 c)
6x 6x
4
9 x 3 4 x 2 18 x 20 : 2 x 3 3x 3 2 x 6
4
9 x3
2 3 , 2x 3 0 x 2x 3 2
4x 2 18 x 20 4 x 2 6 x 12x-20 12 x 18 2 d)
8a 8a
4
14a 3 19a 2 12a 5 : 4a 1 2a 3 3a 2 4a 2
4
2a 3
3 1 , 4a 1 0 a 4a 1 4
12a 3 19a 2 12a 5 12a 3 3a 2 16a 2 12a 5 16a 2 4a 8a 5 8a 5 3
Stránka 105
Základní poznatky z matematiky e)
2x 2x
5
x 4 21x 3 22 x 2 16 x 32 : x 2 2 x 8 2 x 3 3x 2 x 4, x1 4, x2 2
5
4 x 4 16 x 3
3x 4 5 x 3 22 x 2 16 x 32 3x 4 6 x 3 24 x 2 x 3 2 x 2 16 x 32 x 3 2 x 2 8x 4 x 2 8 x 32 4 x 2 8 x 32 0
2. Dělte a uveďte podmínky pro dělitele: a) 2 x 2 n 3x 2 n1 4 x n1 : x n1 b) c)
9x 4x
4 4
9 x3 14 x 2 7 x 1 : 3x 1 19 x 2 17 x 3 : 2 x 3
Řešení: a) podmínka: x 0 2x2n 3x2n1 4xn1 : xn1 2xn1 3xn 4x2 b)
1 3 4 3 2 9 x 9 x 14 x 7 x 1 : 3x 1 3x3 2 x 2 4 x 1
podmínka: 3x 1 0 x 9 x 4 3x3
6 x 3 14 x 2 7 x 1 6 x 3 2 x 2 12 x 2 7 x 1 12 x 2 4 x 3x 1 3x 1 0
Stránka 106
Základní poznatky z matematiky c)
3 2 4 2 4 x 19 x 17 x 3 : 2 x 3 2 x3 3x 2 5x 1
podmínka: 2 x 3 0 x 4 x 4 6 x3 6 x3 - 19 x 2 17 x 3 6 x3 9 x 2 - 10 x 2 17 x 3 10 x 2 15 x 2x -3 2 x 3 0
3. Vypočtěte: a) 12 x5 14 x4 x3 7 x2 5x 1 : 3x2 2 x 1 b) c) d) e) f)
12x 14x 17 x 11x 5x 1 : 3x 2x 1 12x 2x 13x 3x 2x : 3x 2x 8x 16x 12x 7 x 3x : 2 x 3x 12x 14x 13x 3x 2x : 3x 2x 10x 21x 13x 2x 12x : 2x 3x 5
5
5
4
3
2
2
4
3
2
2
4
3
2
2
5
4
3
2
5
4
3
2
2
2
Řešení: a) 12 x5 14 x 4 x3 7 x 2 5 x 1 : 3 x 2 2 x 1 4 x 3 2 x 2 3 x 1
12 x5 8 x 4 4 x 3 6 x 4 5 x3 7 x 2 5 x 1 6 x 4 4 x3 2 x 2 9 x3 9 x 2 5 x 1 9 x3 6 x 2 3 x 3x2 2 x 1 3 x 2 2 x 1 0
Stránka 107
Základní poznatky z matematiky b) 12 x5 14 x 4 17 x3 11x 2 5 x 1 : 3 x 2 2 x 1 4 x 3 2 x 2 3 x 1 12 x5 8 x 4 4 x3 6 x 4 13 x3 11x 2 5 x 1 6 x 4 4 x3 2 x 2 9 x3 9 x 2 5 x 1 9 x3 6 x 2 3 x 3x2 2 x 1 3 x 2 2 x 1 0 5 4 3 2 c) 12 x 2 x 13x 3x 2 x : 3 x 2 2 x 4 x 3 2 x 2 3 x 1 12 x5 8 x 4 6 x 4 13 x3 3 x 2 2 x 6 x 4 4 x3 9 x3 3 x 2 2 x 9 x3 6 x 2 3x 2 2 x 3 x 2 2 x 0 5 4 3 2 d) 8 x 16 x 12 x 7 x 3 x : 2 x 2 3 x 4 x 3 2 x 2 3 x 1 8 x5 12 x 4 4 x 4 12 x3 7 x 2 3 x 4 x 4 6 x3 6 x3 7 x 2 3 x 6 x3 9 x 2 2 x 2 3x 2 x 2 3 x 0 5 4 3 2 e) 12 x 14 x 13 x 3 x 2 x : 3 x 2 2 x 4 x 3 2 x 2 3 x 1 12 x5 8 x 4 6 x 4 13 x3 3 x 2 2 x 6 x 4 4 x3 9 x3 3 x 2 2 x 9 x3 6 x 2 3x 2 2 x 3 x 2 2 x 0 Stránka 108
Základní poznatky z matematiky f) 10 x5 21x 4 13x3 2 x 2 12 x : 2 x 2 3x 5 x 3 3x 2 2 x 4 10 x5 15 x 4 6 x 4 13 x3 2 x 2 12 x 6 x 4 9 x3 4 x3 2 x 2 12 x 9 x3 6 x 2 8 x 2 12 x 8 x 2 12 x 0 4. Vypočtěte: a) 2 x6 x5 12 x 4 22 x3 17 x 2 15x 25 : x 2 2 x 5 b)
3x
6
7 x5 x 4 21x3 18x 2 4 x 16 : x 2 3x 4
Řešení: a) 2 x 6 x 5 12 x 4 22 x 3 17 x 2 15 x 25 : x 2 2 x 5 2 x 4 3 x 3 4 x 2 x 5 2 x 6 4 x 5 10 x 4 3 x5 2 x 4 22 x 3 3 x5 6 x 4 15 x 3 4 x 4 7 x 3 17 x 2 4 x 4 8 x 3 20 x 2 x3 3 x 2 15 x x3 2 x 2 5 x 5 x 2 10 x +25 5 x 2 10 x 25 0 b) 3x 7 x x 21x 18 x 4 x 16 : x 2 3x 4 3x 4 2 x 3 5 x 2 2 x 4 6
5
4
3
2
3 x 6 9 x 5 12 x 4 2 x5 11x 4 21x 3 2 x5 6 x 4 8 x 3 5 x 4 13 x3 18 x 2 5 x 4 15 x 3 20 x 2 2 x3 2 x 2 4 x 2 x3 6 x 2 8 x 4 x 2 12 x 16 4 x 2 12 x 16 0
Stránka 109
Základní poznatky z matematiky 5. Vypočtěte: a) 3x6 x5 x 4 5x3 8x 4 : x 2 x 1
2x 4x 6x 3x 5x
b) c) d)
6 6 6
6
e)
6
f)
6 x5 9 x4 9 x3 8x 2 2 x 1 : x 2 x 1
4 x5 4 x4 9 x2 7 x 5 : 2 x 2 2 x 1
10 x5 17 x4 20 x3 19 x2 12 x : 2 x2 2 x 1
3x5 10 x4 6 x3 9 x2 9 x 8 : x 2 2 x 2
12 x5 3x 4 7 x3 6 x 2 4 x 7 : x 2 2 x 2
Řešení: a) 3 x 6 x 5 x 4 5 x 3 8 x 4 : x 2 x 1 3x 4 2 x 3 4 x 2 x 5
2x 1 x x 1 2
3 x 6 3 x 5 3 x 4 2 x5 2 x 4 5 x3 8 x 4 2 x5 2 x 4 2 x 3 4 x 4 3 x3 8 x 4 4 x 4 4 x 3 4 x 2 x3 4 x 2 8 x 4 x3 x 2 x 5 x2 7 x 4 5 x 2 5 x 5 2x 1 b) 2 x 6 6 x 5 9 x 4 9 x 3 8 x 2 2 x 1 : x 2 x 1 2 x 4 4 x 3 3 x 2 2 x 3
3x 2 x x 1 2
2 x 6 2 x5 2 x 4 4 x5 7 x 4 9 x3 8 x 2 2 x 1 4 x5 4 x 4 4 x 3 3x 4 5 x 3 8 x 2 2 x 1 3 x 4 3 x3 3 x 2 2x 3 5 x 2 2 x 1 2 x3 2 x 2 2 x 3x2
1
3 x 3 x 3 2
3x 2
Stránka 110
Základní poznatky z matematiky c) 4 x 6 4 x5 4 x 4 9 x 2 7 x 5 : 2 x 2 2 x 1 2 x 4 4 x 3 3 x 2 5 x 11
20 x 6 2x2 2x 1
4 x 6 4 x 5 2 x 4 8 x5 2 x 4 9 x 2 7 x 5 8 x5 8 x 4 4 x3 6 x 4 4 x3 9 x 2 7 x 5 6 x 4 6 x3 3 x 2 10 x3 12 x 2 7 x 5 10 x3 10 x 2 5 x 22 x 2 2 x 5 22 x 2 22 x 11 20 x 6 d) 6 x 6 10 x5 17 x 4 20 x 3 19 x 2 12 x : 2 x 2 2 x 1 3 x 4 2 x 3 5 x 2 4 x 3
2x 3 2x 2x 1 2
6 x 6 6 x5 3 x 4 4 x5 14 x 4 20 x 3 19 x 2 12 x 4 x5 4 x 4 2 x 3 10 x 4 18 x3 19 x 2 12 x 10 x 4 10 x 3 5 x 2 8 x3 14 x 2 12 x 8 x3 8 x 2 4 x 6x2 8x 6 x 2 6 x 3 2x 3 e) 3 x 6 3 x5 10 x 4 6 x 3 9 x 2 9 x 8 : x 2 2 x 2 3 x 4 3 x 3 2 x 2 4 x 3
5x 2 x 2x 2 2
3 x 6 6 x 5 6 x 4 3x5 4 x 4 6 x3 9 x 2 9 x 8 3 x5 6 x 4 6 x 3 2 x4
9 x2 9 x 8
2 x 4 4 x 3 4 x 2 4 x3 5 x 2 9 x 8 4 x3 8 x 2 8 x 3x2 x 8 3 x 2 6 x 6 5x 2
Stránka 111
Základní poznatky z matematiky f) 5 x 6 12 x5 3 x 4 7 x 3 6 x 2 4 x 7 : x 2 2 x 2 5 x 4 2 x 3 3 x 2 5 x 2
2x 3 x 2x 2 2
5 x 6 10 x 5 10 x 4 2 x5 7 x 4 7 x3 6 x 2 4 x 7 2 x5 4 x 4 4 x 3 3 x 4 11x 3 6 x 2 4 x 7 3 x 4 6 x 3 6 x 2 5 x3 12 x 2 4 x 7 5 x3 10 x 2 10 x 2 x2 6 x 7 2 x 2 4 x 4 2x 3
1.7.3
Druhá a třetí mocnina mnohočlenu
1. Vypočtěte použitím vzorců: a) b)
3x x 3ab 2a b 2 2
3
3a 2 2 c) 3 3a 2
2 2
2
d)
0,3x
a 1
2
0,2 x 43a
e)
a
3
a2 a
2
2
Řešení: 2 a) 3x 3 x 2 9 x 6 6 x 5 x 4 b) 3ab 2a 2 b 2 2 9a 2 b 2 12a 3b 3 4a 4 b 4 2 c) 3a 2 2 9a 4 6a 2 4 9a 4 1 4 3 3 6 6 4 4 3a 6a 9a a 9a 2 2 d) 0,3x a 1 0,2 x 43a 0,09 x 2a 2 1,2 x 32a 0,04 x 86a
e)
a
3
a2 a
a 2
a2
3
2
2 a 3 a 2 a a 2 a 6 2 a 5 a 2 2a 4 2 a 3 a 2
a 6 2 a 5 2a 4 2 a 3 2 a 2 2. Umocněte: a)
4a
2
3a 3
2
2 3 b) x 2 y 1 x 3 y 2 2 3
c)
0,3a
2
b 0,1a 1b 3
2
2
Řešení: a) 4a 2 3a 3 2 16a 4 24a 1 9a 6 b) 2 2 1 3 3 2 2 4 4 2 2 3 1 9 6 4 4 4 2 9 6 4 1 x y x y x y 2 x y x y x y 2 x y x y 2 9 3 2 4 9 4 3 2 c) 0,3a 2 b 0,1a 1b 3 0,09a 4 b 2 0,03a 3b 2 0,01a 2 b 6 Stránka 112
Základní poznatky z matematiky 3. Vypočtěte:
a 2b 2a b
2 2
3
a)
2
b) Řešení:
c) d)
a b
b) Řešení: a) b) c) d) e) f)
4
2a 3
2
e)
2
f)
2a 2 2 2a 2 b3 b3 4a 4 4a 2b3 b6
4
3 2
a 4 2 a 4 2b3 2b3 a8 4a 4b3 4b6
4
3 2
b4 2 b4 2a3 2a3 b8 4a3b4 4a 6
2 2
2a3 2 2a3 b2 b2 4a 6 4a3b2 b4
3 2
a3 2 a3 2b3 2b3 a6 4a3b3 4b6
2
2
2b3
2
2a 3
2
2
2
c)
3 2
3
2
2
2
2
2
c)
2
d)
2a 2b
4
b3
4
a3
2
e)
2
f)
2
3 2
a 2 2 a 2 2b3 2b3 a 4 4a 2b3 4b6
2
3 2
b2 2 b2 2a3 2a3 b4 4a3b2 4a 6
4
3 2
2a 4 2 2a 4 b3 b3 4a8 4a 4b3 b6
4
3 2
2b4 2 2b4 a3 a3 4b8 4b4 a3 a 6
4
3 2
a 4 2 a 4 2b3 2b3 a8 4a 4b3 4b6
4
3 2
b4 2 b4 2a3 2a3 b8 4b4 a3 4a 6
2
a b
4
2b3
4
2a 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2a b 3ab 3a b 4ab 2a b 3ab 3a b 4ab 3a b 2ab 4a b 3ab
b)
2 2
2
5. Vypočtěte: a)
3
2
2
a 2b b 2a 2a b 2b a a 2b b 2a
2a b a 2b
2
4. Vypočtěte: a)
2b3
3 2
3
f)
4
a3 2 a3 2b2 2b2 a6 4a3b2 4b4
3
e)
d)
a b
2 2
2
b)
3 2
a 2b 2a b a 2b b 2a 2a b a 2b 3
a)
c)
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
d) e) f)
3a b 2ab 4a b 3ab 4a b 3ab 5a b 4ab 4a b 3ab 5a b 4ab 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
Řešení:
a) 2a 2b 3ab 2 3a 2b 4ab 2 4a 4b 2 12a 3b3 9a 2b 4 9a 4b 2 24a 3b3 16a 2b 4 2
2
4a 4b 2 12a 3b3 9a 2b 4 9a 4b 2 24a 3b3 16a 2b 4 5a 4b 2 36a 3b3 7a 2b 4 a 2b 2 5a 2 36ab 7b 2
Stránka 113
Základní poznatky z matematiky b) 2a 2b 3ab 2 3a 2b 4ab 2 4a 4b 2 12a 3b3 9a 2b 4 9a 4b 2 24a 3b3 16a 2b 4 2
2
4a 4b 2 12a 3b3 9a 2b 4 9a 4b 2 24a 3b3 16a 2b 4 5a 4b 2 36a 3b3 7a 2b 4 a 2b 2 5a 2 36ab 7b 2 c) 3a 2b 2ab 2 4a 2b 3ab 2 9a 4b 2 12a 3b3 4a 2b 4 16a 4b 2 24a 3b3 9a 2b 4 2
2
9a 4b 2 12a3b3 4a 2b 4 16a 4b 2 24a 3b3 9a 2b 4 7a 4b 2 36a 3b3 5a 2b 4 a 2b 2 7a 2 36ab 5b 2 d) 3a 2b 2ab 2 4a 2b 3ab 2 9a 4b 2 12a 3b3 4a 2b 4 16a 4b 2 24a 3b3 9a 2b 4 2
2
9a 4b 2 12a3b3 4a 2b 4 16a 4b 2 24a 3b3 9a 2b 4 7a 4b 2 36a3b3 5a 2b 4 a 2b 2 7a 2 36ab 5b 2 e) 4a 2b 3ab 2 5a 2b 4ab 2 16a 4b 2 24a 3b3 9a 2b 4 25a 4b 2 40a 3b3 16a 2b 4 2
2
16a 4b 2 24a3b3 9a 2b 4 25a 4b 2 40a 3b3 16a 2b 4 9a 4b 2 64a 3b3 7a 2b 4 a 2b 2 9a 2 64ab 7b 2 f) 4a 2b 3ab 2 5a 2b 4ab 2 16a 4b 2 24a 3b3 9a 2b 4 25a 4b 2 40a 3b3 16a 2b 4 2
2
16a 4b 2 24a3b3 9a 2b 4 25a 4b 2 40a 3b3 16a 2b 4 9a 4b 2 64a 3b3 7a 2b 4 a 2b 2 9a 2 64ab 7b 2 6. Vypočtěte: a) b) Řešení: a) b) c) d) e) f)
a 2b 2a b
3
2
2 3
b) Řešení: a)
2 3
2
e)
2 3
2
d)
a 2b 2a b
3 3
2
2 3
3
f)
a 2b a 3 a 2b 3 a 2b 2b a 6a b 12a b 8b 2a b 2a 3 2a b 3 2a b b 8a 12a b 6ab b a 2b a 3 a 2b 3 a 2b 2b a 6a b 12a b 8b 2a b 2a 3 2a b 3 2a b b 8a 12a b 6a b b a 2b a 3 a 2b 3 a 2b 2b a 6a b 12a b 8b 2a b 2a 3 2a b 3 2a b b 8a 12a b 6a b b 3
2 3
2 3
3
2
2 3
2 2
2
2 3
2
2
2 3
3 3
2
3
2 3
2 2
2 3
2 3
2
2
2 2
2 2
3 3
a b
2b
c)
3
2a
d)
a
3
2 2
2 3
2 2
2
a b
3
3 3
2 2
3
4
2 3
2 2
2 2
6
2 3
3 2
2
6
2 3
2 2
2
3
3
3
3
2
2
3 2
3
2
2
7. Vypočtěte: a)
a 2b 2a b
c)
6
2 6
6 2
2b2
e)
3
2a 2
f)
3
2 4
4 3
9
6
2 4
4 2
3
3
4
4 2
6
3
6
9
3 4
2a 2b
6
3
b4
3
a4
6
3
3
2b a3 3 a3 2b 3 a3 2b 2b a9 6a 6b 12a3b 2 8b3 3
3
2
2
3
Stránka 114
Základní poznatky z matematiky
b 2a b 3 b 2a 3 b 2a 2a b 6ab 12a b 8a a 2b a 3 a 2b 3 a 2b 2b a 6a b 12a b 8b b 2a b 3 b 2a 3 b 2a 2a b 6b a 12b a 8a 2a b 2a 3 2a b 3 2a b b 8a 12a b 6a b b 2b a 2b 3 2b a 3 2b a a 8b 12b a 6b a a
b) c) d) e) f)
3
3
3 3
3 2
3
2 3
3 3
3 2
2
3
2 2
2 3
9
6 2
3 4
6
3
2 3
3 3
3 2
2
3
2 2
2 3
9
6
3 4
6
2
3
3
2 3
3
2
4 3
3 3
3 2
4
3
4 2
4 3
9
6 4
3 8
12
3
4 3
3 3
3 2
4
3
4 2
4 3
9
6
3 8
12
2a 3a
b)
6
3
8. Vypočtěte: a)
9
2
3 3a 2 2
c)
2
2 2a 2 3
d)
3
3
3
3
2a 3a
4
2
3 3a 2 2
2
2 2a 2 3
3
3
3
3
Řešení:
a) 2a 2 3 3a 2 2 8a 6 36a 4 54a 2 27 27a 6 54a 4 36a 2 8 3
3
8a 6 36a 4 54a 2 27 27a 6 54a 4 36a 2 8 35a 6 18a 4 90a 2 19
b) 3a 2 2 2a 2 3 27a 6 54a 4 36a 2 8 8a 6 36a 4 54a 2 27 3
3
27a 6 54a 4 36a 2 8 8a 6 36a 4 54a 2 27 35a 6 18a 4 90a 2 19
c) 2a 2 3 3a 2 2 8a 6 36a 4 54a 2 27 27a 6 54a 4 36a 2 8 3
3
8a 6 36a 4 54a 2 27 27a 6 54a 4 36a 2 8 35a 6 90a 4 90a 2 35
d) 3a 2 2 2a 2 3 27a 6 54a 4 36a 2 8 8a 6 36a 4 54a 2 27 3
3
27a 6 54a 4 36a 2 8 8a 6 36a 4 54a 2 27 35a 6 90a 4 90a 2 35
9. Vypočtěte:
a a a
a) b) c)
2
3b 2a 3b
d)
2
3b 2a 3b
e)
2
3b2 b2 3a 2
3
3
3
3
3
3
f)
3a 2a 3a
2
b2 3b2 a 2
2
3b2 2b2 3a 2
2
2b2 3b2 2a 2
3
3
3
3
3
3
Řešení:
a) a 2 3b 2a 3b a 6 9a 4b 27a 2b 2 27b3 8a 3 36a 2b 54ab 2 27b3 3
3
a 6 9a 4b 27a 2b 2 27b3 8a 3 36a 2b 54ab 2 27b3 a 6 9a 4b 8a 3 27a 2b 2 36a 2b 54ab 2 a a 5 9a 3b 8a 2 27ab 2 36ab 54b 2 b) a 2 3b 2a 3b a 6 9a 4b 27a 2b 2 27b3 8a 3 36a 2b 54ab 2 27b3 3
3
a 6 9a 4b 27a 2b 2 27b3 8a 3 36a 2b 54ab 2 27b3 a 6 9a 4b 8a 3 27a 2b 2 36a 2b 54ab 2 a a 5 9a 3b 8a 2 27ab 2 36ab 54b 2
Stránka 115
Základní poznatky z matematiky c) a 2 3b 2 b 2 3a 2 a 6 9a 4b 2 27a 2b 4 27b6 b6 9b 4 a 2 27b 2 a 4 27a 6 3
3
a 6 9a 4b 2 27a 2b 4 27b6 b6 9b 4 a 2 27b 2 a 4 27a 6 28a 6 18a 4b 2 36a 2b 4 26b6 2 14a 6 9a 4b 2 18a 2b 4 13b6 d) 3a 2 b 2 3b 2 a 2 27a 6 27a 4b 2 9a 2b 4 b6 27b6 27b 4 a 2 9b 2 a 4 a 6 3
3
27a 6 27a 4b 2 9a 2b 4 b6 27b6 27b 4 a 2 9b 2 a 4 a 6 28a 6 18a 4b 2 36a 2b 4 26b 6 2 14a 6 9a 4b 2 18a 2b 4 13b6 e) 2a 2 3b2 2b2 3a 2 8a 6 36a 4b 2 54a 2b 4 27b6 8b6 36b 4 a 2 54b 2 a 4 27a 6 3
3
8a 6 36a 4b2 54a 2b 4 27b6 8b6 36b 4 a 2 54b 2 a 4 27a 6 19a 6 90a 4b 2 18a 2b 4 35b6
f) 3a 2 2b2 3b2 2a 2 27a 6 54a 4b 2 36a 2b 4 8b6 27b6 54b 4 a 2 36b 2 a 4 8a 6 3
3
27a 6 54a 4b2 36a 2b 4 8b6 27b6 54b 4 a 2 36b 2 a 4 8a 6 19a 6 90a 4b 2 18a 2b 4 35b 6 10. Vypočtěte: 2 a) a ab b b) c) d) e) f) g) h) i) j)
k)
a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a ab b a a b b 2 2
l)
3 2
2
2
2
2 2
2
3 2
3
2
3
2 2
3
3 2
m) n) o) p) q) r) s)
a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b 2
2 2
2
3 2
3
2
3
2 2
3
3 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
3 2
3 2
2
a a b u) a a b v) a a b w) a a b x) a a b y) a a b z) a a b aa) a a b t)
3 2
b2
3 2
b3
2 3
b
2 3
b2
2 3
b3
3 3
b
3 3
b2
3 3
b3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Řešení: 2 2 a) a ab b a 2 ab b 2 2 a ab 2 a b 2 ab b
a 2 a 2b2 b 2 2a 2b 2ab 2ab 2 a 2 2a 2b a 2b 2 2ab 2ab 2 b 2
b) a ab b 2 a 2 ab b 2 2 a ab 2 a b 2 2 ab b 2 2
2
2
a 2 a 2b 2 b 4 2a 2b 2ab 2 2ab3 a 2 2a 2b a 2b 2 2ab 2 2ab3 b 4
c) a ab b3 a 2 ab b3 2 a ab 2 a b3 2 ab b3 2
2
2
a 2 a 2b 2 b6 2a 2b 2ab3 2ab 4 a 2 2a 2b a 2b 2 2ab3 2ab 4 b 6
d) a ab2 b a 2 ab 2 b 2 2 a ab 2 2 a b 2 ab 2 b 2
2
a 2 a 2b 4 b 2 2a 2b 2 2ab 2ab3 a 2 2a 2b 2 a 2b 4 2ab 2ab3 b 2
Stránka 116
Základní poznatky z matematiky e) a ab2 b 2 a 2 ab 2 b 2 2 a ab 2 2 a b 2 2 ab 2 b 2 2
2
2
a 2 a 2b 4 b 4 2a 2b 2 2ab 2 2ab4 a 2 2a 2b 2 a 2b 4 2ab 2 2ab 4 b 4
f) a ab2 b3 a 2 ab 2 b3 2 a ab 2 2 a b3 2 ab 2 b3 2
2
2
a 2 a 2b 4 b6 2a 2b 2 2ab3 2ab5 a 2 2a 2b 2 a 2b 4 2ab3 2ab5 b6
g) a ab3 b a 2 ab3 b 2 2 a ab3 2 a b 2 ab3 b 2
2
a 2 a 2b6 b 2 2a 2b3 2ab 2ab 4 a 2 2a 2b3 a 2b 6 2ab 2ab 4 b 2
h) a ab3 b2 a 2 ab3 b2 2 a ab3 2 a b2 2 ab3 b 2 2
2
2
a 2 a 2b6 b 4 2a 2b3 2ab 2 2ab5 a 2 2a 2b3 a 2b6 2ab 2 2ab5 b 4
i) a ab3 b3 a 2 ab3 b3 2 a ab3 2 a b3 2 ab3 b3 2
2
2
a 2 a 2b6 b6 2a 2b3 2ab3 2ab6 a 2 2a 2b3 a 2b6 2ab3 2ab6 b6
j) a a 2b b a 2 a 2b b 2 2 a a 2b 2 a b 2 a 2b b 2
2
a 2 a 4b 2 b 2 2a3b 2ab 2a 2b 2 a 4b 2 2a 3b 2a 2b 2 a 2 2ab b 2
k) a a 2b b 2 a 2 a 2b b 2 2 a a 2b 2 a b 2 2 a 2b b 2 2
2
2
a 2 a 4b 2 b 4 2a3b 2ab 2 2a 2b3 a 4b 2 2a 3b 2a 2b3 a 2 2ab 2 b 4
l) a a 2b b3 a 2 a 2b b3 2 a a 2b 2 a b3 2 a 2b b3 2
2
2
a 2 a 4b 2 b6 2a3b 2ab3 2a 2b 4 a 4b 2 2a 3b 2a 2b 4 a 2 2ab3 b 6
m) a a3b b a 2 a3b b 2 2 a a 3b 2 a b 2 a 3b b 2
2
a 2 a 6b2 b2 2a 4b 2ab 2a 3b 2 a 6b 2 2a 4b 2a 3b 2 a 2 2ab b 2
n) a a3b b 2 a 2 a3b b 2 2 a a 3b 2 a b 2 2 a 3b b 2 2
2
2
a 2 a 6b 2 b 4 2a 4b 2ab 2 2a3b3 a 6b 2 2a 4b 2a 3b3 a 2 2ab 2 b 4
o) a a3b b3 a 2 a3b b3 2 a a 3b 2 a b3 2 a 3b b3 2
2
2
a 2 a 6b 2 b6 2a 4b 2ab3 2a3b 4 a 6b 2 2a 4b 2a 3b 4 a 2 2ab3 b 6
p) a a 2b2 b a 2 a 2b 2 b 2 2 a a 2b 2 2 a b 2 a 2b 2 b 2
2
a 2 a 4b4 b2 2a3b2 2ab 2a 2b3 a 4b 4 2a 3b 2 2a 2b3 a 2 2ab b 2
q) a a 2b2 b 2 a 2 a 2b 2 b 2 2 a a 2b 2 2 a b 2 2 a 2b 2 b 2 2
2
2
a 2 a 4b 4 b 4 2a3b 2 2ab 2 2a 2b 4 a 4b 4 2a3b 2 2a 2b 4 a 2 2ab 2 b 4
r) a a 2b2 b3 a 2 a 2b 2 b3 2 a a 2b 2 2 a b3 2 a 2b 2 b3 2
2
2
a 2 a 4b 4 b6 2a3b 2 2ab3 2a 2b5 a 4b 4 2a 3b 2 2a 2b5 a 2 2ab3 b6
s) a a3b 2 b a 2 a3b 2 b 2 2 a a 3b 2 2 a b 2 a 3b 2 b 2
2
a 2 a 6b4 b2 2a 4b2 2ab 2a3b3 a 6b 4 2a 4b 2 2a 3b3 a 2 2ab b 2
t) a a3b2 b2 a 2 a3b 2 b 2 2 a a 3b 2 2 a b 2 2 a 3b 2 b 2 2
2
2
a 2 a 6b 4 b 4 2a 4b 2 2ab 2 2a3b 4 a 6b 4 2a 4b 2 2a3b 4 a 2 2ab 2 b 4
Stránka 117
Základní poznatky z matematiky u) a a3b2 b3 a 2 a3b 2 b3 2 a a 3b 2 2 a b3 2 a 3b 2 b3 2
2
2
a 2 a 6b 4 b6 2a 4b 2 2ab3 2a3b5 a 6b 4 2a 4b 2 2a 3b5 a 2 2ab3 b6
v) a a 2b3 b a 2 a 2b3 b 2 2 a a 2b3 2 a b 2 a 2b3 b 2
2
a 2 a 4b6 b 2 2a3b3 2ab 2a 2b 4 a 4b6 2a 3b3 2a 2b 4 a 2 2ab b 2
w) a a 2b3 b 2 a 2 a 2b3 b 2 2 a a 2b3 2 a b 2 2 a 2b3 b 2 2
2
2
a 2 a 4b6 b 4 2a3b3 2ab 2 2a 2b5 a 4b6 2a 3b3 2a 2b5 a 2 2ab 2 b 4
x) a a 2b3 b3 a 2 a 2b3 b3 2 a a 2b3 2 a b3 2 a 2b3 b3 2
2
2
a 2 a 4b6 b6 2a3b3 2ab3 2a 2b6 a 4b6 2a 3b3 2a 2b 6 a 2 2ab3 b 6
y) a a3b3 b a 2 a3b3 b 2 2 a a 3b3 2 a b 2 a 3b3 b 2
2
a 2 a 6b6 b 2 2a 4b3 2ab 2a3b 4 a 6b6 2a 4b3 2a 3b 4 a 2 2ab b 2
z) a a3b3 b 2 a 2 a3b3 b 2 2 a a 3b3 2 a b 2 2 a 3b3 b 2 2
2
2
a 2 a 6b6 b 4 2a 4b3 2ab 2 2a3b5 a 6b6 2a 4b3 2a 3b5 a 2 2ab 2 b 4
aa) a a3b3 b3 a 2 a3b3 b3 2 a a 3b3 2 a b3 2 a 3b3 b3 2
2
2
a 2 a 6b6 b6 2a 4b3 2ab3 2a3b6 a 6b6 2a 4b3 2a 3b6 a 2 2ab3 b6 11. Vypočtěte:
a a a a a a a a a
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
2
ab b
2
ab b2
2
ab b3
2
ab2 b
2
ab2 b2
2
ab2 b3
2
ab3 b
2
ab3 b2
2
ab3 b3
2
j) 2
k)
2
l)
2
m) 2
n)
2
o)
2
p) 2
q)
2
r)
a a a a a a a a a
2
a 2b b
2
a 2b b 2
2
a 2b b 3
2
a3b b
2
a3b b2
2
a3b b3
2
a 2b 2 b
2
a 2b 2 b 2
2
a 2b 2 b3
2
a t) a u) a v) a w) a x) a y) a z) a aa) a s)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a3b2 b
2
a3b2 b2
2
a3b2 b3
2
a 2b3 b
2
a 2b3 b 2
2
a 2b3 b3
2
a3b3 b
2
a3b3 b2
2
a3b3 b3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Řešení:
a) a 2 ab b a 2 ab b 2 2 a 2 ab 2 a 2 b 2 ab b 2
2
2
a 4 a 2b 2 b 2 2a3b 2a 2b 2ab 2 a 4 2a 3b a 2b 2 2a 2b 2ab 2 b 2
b) a 2 ab b2 a 2 ab b 2 2 a 2 ab 2 a 2 b 2 2 ab b 2 2
2
2
2
a 4 a 2b 2 b 4 2a3b 2a 2b 2 2ab3 a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab3 b 4
c) a 2 ab b3 a 2 ab b3 2 a 2 ab 2 a 2 b3 2 ab b3 2
2
2
2
a 4 a 2b 2 b6 2a3b 2a 2b3 2ab 4 a 4 2a 3b a 2b 2 2a 2b3 2ab 4 b6 Stránka 118
Základní poznatky z matematiky d) a 2 ab2 b a 2 ab 2 b 2 2 a 2 ab 2 2 a 2 b 2 ab 2 b 2
2
2
a 4 a 2b 4 b 2 2a3b 2 2a 2b 2ab3 a 4 2a 3b 2 a 2b 4 2a 2b 2ab3 b 2
e) a 2 ab2 b2 a 2 ab2 b2 2 a 2 ab 2 2 a 2 b 2 2 ab 2 b 2 2
2
2
2
a 4 a 2b 4 b 4 2a3b 2 2a 2b 2 2ab 4 a 4 2a3b 2 a 2b 4 2a 2b 2 2ab 4 b 4
f) a 2 ab2 b3 a 2 ab 2 b3 2 a 2 ab 2 2 a 2 b3 2 ab 2 b3 2
2
2
2
a 4 a 2b 4 b6 2a3b 2 2a 2b3 2ab5 a 4 2a3b 2 a 2b 4 2a 2b3 2ab5 b6
g) a 2 ab3 b a 2 ab3 b 2 2 a 2 ab3 2 a 2 b 2 ab3 b 2
2
2
a 4 a 2b6 b 2 2a3b3 2a 2b 2ab 4 a 4 2a 3b3 a 2b 6 2a 2b 2ab 4 b 2
h) a 2 ab3 b2 a 2 ab3 b2 2 a 2 ab3 2 a 2 b 2 2 ab3 b 2 2
2
2
2
a 4 a 2b6 b 4 2a3b3 2a 2b 2 2ab5 a 4 2a 3b3 a 2b 6 2a 2b 2 2ab5 b 4
i) a 2 ab3 b3 a 2 ab3 b3 2 a 2 ab3 2 a 2 b3 2 ab3 b3 2
2
2
2
a 4 a 2b6 b6 2a3b3 2a 2b3 2ab6 a 4 2a 3b3 a 2b 6 2a 2b3 2ab6 b6
j) a 2 a 2b b a 2 a 2b b 2 2 a 2 a 2b 2 a 2 b 2 a 2b b 2
2
2
a 4 a 4b 2 b 2 2a 4b 2a 2b 2a 2b 2 a 4 a 4b 2 2a 4b 2a 2b 2 2a 2b b 2
k) a 2 a 2b b 2 a 2 a 2b b 2 2 a 2 a 2b 2 a 2 b 2 2 a 2b b 2 2
2
2
2
a 4 a 4b 2 b 4 2a 4b 2a 2b 2 2a 2b3 a 4 2a 4b a 4b 2 2a 2b 2 2a 2b3 b 4
l) a 2 a 2b b3 a 2 a 2b b3 2 a 2 a 2b 2 a 2 b3 2 a 2b b3 2
2
2
2
a 4 a 4b 2 b6 2a 4b 2a 2b3 2a 2b 4 a 4 2a 4b a 4b 2 2a 2b3 2a 2b 4 b 6
m) a 2 a3b b a 2 a 3b b 2 2 a 2 a 3b 2 a 2 b 2 a 3b b 2
2
2
a 4 a 6b2 b2 2a5b 2a 2b 2a 3b 2 a 6b 2 2a 5b a 4 2a 3b 2 2a 2b b 2
n) a 2 a3b b 2 a 2 a 3b b 2 2 a 2 a 3b 2 a 2 b 2 2 a 3b b 2 2
2
2
2
a 4 a 6b 2 b 4 2a5b 2a 2b 2 2a 3b3 a 6b 2 2a 5b a 4 2a 3b3 2a 2b 2 b 4
o) a 2 a3b b3 a 2 a 3b b3 2 a 2 a 3b 2 a 2 b3 2 a 3b b3 2
2
2
2
a 4 a 6b 2 b6 2a5b 2a 2b3 2a 3b 4 a 6b 2 2a 5b a 4 2a 3b 4 2a 2b3 b 6
p) a 2 a 2b2 b a 2 a 2b 2 b 2 2 a 2 a 2b 2 2 a 2 b 2 a 2b 2 b 2
2
2
a 4 a 4b 4 b 2 2a 4b 2 2a 2b 2a 2b3 a 4 2a 4b 2 a 4b 4 2a 2b 2a 2b3 b 2
q) a 2 a 2b 2 b 2 a 2 a 2b 2 b 2 2 a 2 a 2b 2 2 a 2 b 2 2 a 2b 2 b 2 2
2
2
2
a 4 a 4b 4 b 4 2a3b 2 2a 2b 2 2a 2b 4 a 4 a 4b 4 2a 3b 2 2a 2b 2 2a 2b 4 b 4
r) a 2 a 2b 2 b3 a 2 a 2b 2 b3 2 a 2 a 2b 2 2 a 2 b3 2 a 2b 2 b3 2
2
2
2
a 4 a 4b 4 b6 2a 4b 2 2a 2b3 2a 2b5 a 4 2a 4b 2 a 4b 4 2a 2b3 2a 2b5 b 6
s) a 2 a3b 2 b a 2 a 3b 2 b 2 2 a 2 a 3b 2 2 a 2 b 2 a 3b 2 b 2
2
2
a 4 a 6b 4 b 2 2a5b 2 2a 2b 2a 3b3 a 6b 4 2a 5b 2 a 4 2a 3b3 2a 2b b 2
Stránka 119
Základní poznatky z matematiky t) a 2 a3b2 b2 a 2 a3b2 b2 2 a 2 a3b 2 2 a 2 b 2 2 a 3b 2 b 2 2
2
2
2
a 4 a 6b 4 b 4 2a5b 2 2a 2b 2 2a3b 4 a 6b 4 2a 5b 2 a 4 2a 3b 4 2a 2b 2 b 4
u) a 2 a3b2 b3 a 2 a3b2 b3 2 a 2 a3b 2 2 a 2 b3 2 a 3b 2 b3 2
2
2
2
a 4 a 6b 4 b6 2a5b 2 2a 2b3 2a3b5 a 6b 4 2a 5b 2 a 4 2a 3b5 2a 2b3 b 6
v) a 2 a 2b3 b a 2 a 2b3 b 2 2 a 2 a 2b3 2 a 2 b 2 a 2b3 b 2
2
2
a 4 a 4b6 b 2 2a 4b3 2a 2b 2a 2b 4 a 4 2a 4b3 a 4b 6 2a 2b 2ab 4 b 2
w) a 2 a 2b3 b 2 a 2 a 2b3 b 2 2 a 2 a 2b3 2 a 2 b 2 2 a 2b3 b 2 2
2
2
2
a 4 a 4b6 b 4 2a 4b3 2a 2b 2 2a 2b5 a 4 2a 4b3 a 4b 6 2a 2b 2 2a 2b5 b 4
x) a 2 a 2b3 b3 a 2 a 2b3 b3 2 a 2 a 2b3 2 a 2 b3 2 a 2b3 b3 2
2
2
2
a 4 a 4b6 b6 2a 4b3 2a 2b3 2a 2b6 a 4 2a 4b3 a 4b 6 2a 2b3 2a 2b 6 b 6
y) a 2 a3b3 b a 2 a 3b3 b 2 2 a 2 a 3b3 2 a 2 b 2 a 3b3 b 2
2
2
a 4 a 6b6 b 2 2a5b3 2a 2b 2a 3b 4 a 6b 6 2a 5b3 a 4 2a 3b 4 2a 2b b 2
z) a 2 a3b3 b 2 a 2 a3b3 b 2 2 a 2 a 3b3 2 a 2 b 2 2 a 3b3 b 2 2
2
2
2
a 4 a 6b6 b 4 2a5b3 2a 2b 2 2a 3b5 a 6b 6 2a 5b3 a 4 2a 3b5 2a 2b 2 b 4
aa) a 2 a3b3 b3 a 2 a3b3 b3 2 a 2 a 3b3 2 a 2 b3 2 a 3b3 b3 2
2
2
2
a 4 a 6b6 b6 2a5b3 2a 2b3 2a 3b6 a 6b 6 2a 5b3 a 4 2a 3b 6 2a 2b3 b 6 12. Vypočtěte:
a a a a a a a a a
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
3
ab b
3
ab b 2
3
ab b3
3
ab2 b
3
ab2 b2
3
ab2 b3
3
a 2b b
3
a 2b b 2
3
a 2b b 3
2
a a a a a a a a a
j) 2
k)
2
l)
2
m) 2
n)
2
o)
2
p) 2
q)
2
r)
3
a 2b 2 b
3
a 2b 2 b 2
3
a 2 b 2 b3
3
a3b b
3
a3b b2
3
a3b b3
3
a3b2 b
3
a3b2 b2
3
a3b2 b3
2
a t) a u) a v) a w) a x) a y) a z) a aa) a s)
2
2
2
2
2
2
2
2
3
a3b3 b
3
a3b3 b2
3
a3b3 b3
3
ab3 b
3
ab3 b2
3
ab3 b3
3
a 2b3 b
3
a 2 b3 b 2
3
a 2 b3 b3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Řešení:
a) a3 ab b a3 ab b 2 a3 ab 2 a3 b 2 ab b 2
2
2
2
a 6 a 2b 2 b 2 2a 4b 2a 3b 2ab 2 a 6 2a 4b 2a 3b a 2b 2 2ab 2 b 2
b) a3 ab b 2 a3 ab b 2 2 a3 ab 2 a3 b 2 2 ab b 2 2
2
2
2
a 6 a 2b 2 b 4 2a 4b 2a 3b 2 2ab3 a 6 2a 4b 2a 3b 2 a 2b 2 2ab3 b 4 Stránka 120
Základní poznatky z matematiky c) a3 ab b3 a 3 ab b3 2 a 3 ab 2 a 3 b3 2 ab b3 2
2
2
2
a 6 a 2b 2 b6 2a 4b 2a 3b3 2ab 4 a 6 2a 4b 2a 3b3 a 2b 2 2ab 4 b 6
d) a3 ab2 b a3 ab2 b 2 a3 ab2 2 a3 b 2 ab 2 b 2
2
2
2
a 6 a 2b 4 b 2 2a 4b 2 2a3b 2ab3 a 6 2a 4b 2 2a 3b a 2b 4 2ab3 b 2
e) a3 ab2 b2 a3 ab2 b2 2 a3 ab 2 2 a3 b 2 2 ab 2 b 2 2
2
2
2
a 6 a 2b 4 b 4 2a 4b 2 2a3b 2 2ab 4 a 6 2a 4b 2 2a3b 2 a 2b 4 2ab 4 b 4
f) a3 ab2 b3 a3 ab 2 b3 2 a3 ab 2 2 a3 b3 2 ab 2 b3 2
2
2
2
a 6 a 2b 4 b6 2a 4b 2 2a3b3 2ab5 a 6 2a 4b 2 2a3b3 a 2b 4 2ab5 b6
g) a3 a 2b b a 3 a 2b b 2 a 3 a 2b 2 a 3 b 2 a 2b b 2
2
2
2
a 6 a 4b 2 b 2 2a5b 2a 3b 2a 2b 2 a 6 2a 5b a 4b 2 2a 3b 2a 2b 2 b 2
h) a3 a 2b b 2 a 3 a 2b b 2 2 a 3 a 2b 2 a 3 b 2 2 a 2b b 2 2
2
2
2
a 6 a 4b 2 b 4 2a5b 2a 3b 2 2a 2b3 a 6 2a 5b a 4b 2 2a 3b 2 2a 2b3 b 4
i) a3 a 2b b3 a3 a 2b b3 2 a 3 a 2b 2 a 3 b3 2 a 2b b3 2
2
2
2
a 6 a 4b 2 b6 2a5b 2a 3b3 2a 2b 4 a 6 2a 5b a 4b 2 2a 3b3 2a 2b 4 b 6
j) a3 a 2b 2 b a 3 a 2b 2 b 2 a 3 a 2b 2 2 a 3 b 2 a 2b 2 b 2
2
2
2
a 6 a 4b 4 b 2 2a5b 2 2a3b 2a 2b3 a 6 2a 5b 2 a 4b 4 2a 3b 2a 2b3 b 2
k) a3 a 2b2 b2 a3 a 2b 2 b 2 2 a3 a 2b 2 2 a 3 b 2 2 a 2b 2 b 2 2
2
2
2
a 6 a 4b 4 b 4 2a5b 2 2a3b 2 2a 2b 4 a 6 2a 5b 2 a 4b 4 2a 3b 2 2a 2b 4 b 4
l) a3 a 2b 2 b3 a3 a 2b 2 b3 2 a 3 a 2b 2 2 a 3 b3 2 a 2b 2 b3 2
2
2
2
a 6 a 4b 4 b6 2a5b 2 2a3b3 2a 2b5 a 6 2a 5b 2 a 4b 4 2a 3b3 2a 2b5 b 6
m) a 3 a 3b b a 3 a 3b b 2 a 3 a 3b 2 a 3 b 2 a 3b b 2
2
2
2
a 6 a 6b 2 b 2 2a 6b 2a 3b 2a 3b 2 a 6 a 6b 2 2a 6b 2a 3b 2 2a 3b b 2 a 6 1 b 2 2b 2a 3b b 1 b 2 n) a3 a3b b 2 a 3 a 3b b 2 2 a 3 a 3b 2 a 3 b 2 2 a 3b b 2 2
2
2
2
a 6 a 6b 2 b 4 2a 6b 2a 3b 2 2a 3b3 a 6 a 6b 2 2a 6b 2a 3b3 2a 3b 2 b 4 a 6 1 b 2 2b 2a 3b 2 b 1 b 4 o) a 3 a 3b b3 a 3 a 3b b3 2 a 3 a 3b 2 a 3 b3 2 a 3b b3 2
2
2
2
a 6 a 6b 2 b6 2a 6b 2a 3b3 2a 3b 4 a 6 a 6b 2 2a 6b 2a 3b 4 2a 3b3 b 6 a 6 1 b 2 2b 2a 3b3 b 1 b6 p) a3 a3b 2 b a 3 a 3b 2 b 2 a 3 a 3b 2 2 a 3 b 2 a 3b 2 b 2
2
2
2
a 6 a 6b 4 b 2 2a 6b 2 2a 3b 2a 3b3 a 6 a 6b 4 2a 6b 2 2a 3b3 2a 3b b 2 a 6 1 b 4 2b 2 2a 3b b 2 1 b 2 Stránka 121
Základní poznatky z matematiky q) a 3 a 3b 2 b 2 a 3 a 3b 2 b 2 2 a 3 a 3b 2 2 a 3 b 2 2 a 3b 2 b 2 2
2
2
2
a 6 a 6b 4 b 4 2a 6b 2 2a 3b 2 2a 3b 4 a 6 a 6b 4 2a 6b 2 2a 3b 4 2a 3b 2 b 4 a 6 1 b 4 2b 2 2a 3b 2 b 2 1 b 4 r) a 3 a 3b 2 b3 a 3 a 3b 2 b3 2 a 3 a 3b 2 2 a 3 b3 2 a 3b 2 b3 2
2
2
2
a 6 a 6b 4 b6 2a 6b 2 2a 3b3 2a 3b5 a 6 a 6b 4 2a 6b 2 2a 3b5 2a 3b3 b 6 a 6 1 b 4 2b 2 2a 3b3 b 2 1 b6 s) a 3 a 3b3 b a 3 a 3b3 b 2 a 3 a 3b3 2 a 3 b 2 a 3b3 b 2
2
2
2
a 6 a 6b6 b 2 2a 6b3 2a 3b 2a 3b 4 a 6 a 6b 6 2a 6b3 2a 3b 4 2a 3b b 2 a 6 1 b6 2b3 2a 3b b3 1 b 2 t) a3 a3b3 b 2 a 3 a 3b3 b 2 2 a 3 a 3b3 2 a 3 b 2 2 a 3b3 b 2 2
2
2
2
a 6 a 6b6 b 4 2a 6b3 2a 3b 2 2a 3b5 a 6 a 6b 6 2a 6b3 2a 3b5 2a 3b 2 b 4 a 6 1 b6 2b3 2a 3b 2 b3 1 b 4 u) a3 a3b3 b3 a3 a 3b3 b3 2 a 3 a 3b3 2 a 3 b3 2 a 3b3 b3 2
2
2
2
a 6 a 6b6 b6 2a 6b3 2a 3b3 2a 3b6 a 6 a 6b 6 2a 6b3 2a 3b 6 2a 3b3 b 6 a 6 1 b6 2b3 2a 3b3 b3 1 b6 v) a3 ab3 b a3 ab3 b 2 a3 ab3 2 a3 b 2 ab3 b 2
2
2
2
a 6 a 2b6 b 2 2a 4b3 2a3b 2ab 4 a 6 2a 4b3 2a 3b a 2b6 2ab 4 b 2
w) a3 ab3 b2 a3 ab3 b 2 2 a3 ab3 2 a3 b 2 2 ab3 b 2 2
2
2
2
a 6 a 2b6 b 4 2a 4b3 2a3b 2 2ab5 a 6 2a 4b3 2a3b 2 a 2b6 2ab5 b 4
x) a3 ab3 b3 a3 ab3 b3 2 a3 ab3 2 a3 b3 2 ab3 b3 2
2
2
2
a 6 a 2b6 b6 2a 4b3 2a3b3 2ab6 a 6 2a 4b3 2a 3b3 a 2b 6 2ab6 b6
y) a3 a 2b3 b a 3 a 2b3 b 2 a 3 a 2b3 2 a 3 b 2 a 2b3 b 2
2
2
2
a 6 a 4b6 b 2 2a5b3 2a 3b 2a 2b 4 a 6 2a 5b3 a 4b 6 2a 3b 2a 2b 4 b 2
z) a3 a 2b3 b 2 a3 a 2b3 b 2 2 a 3 a 2b3 2 a 3 b 2 2 a 2b3 b 2 2
2
2
2
a 6 a 4b6 b 4 2a5b3 2a 3b 2 2a 2b5 a 6 2a 5b3 a 4b 6 2a 3b 2 2a 2b5 b 4
aa) a3 a 2b3 b3 a3 a 2b3 b3 2 a 3 a 2b3 2 a 3 b3 2 a 2b3 b3 2
2
2
2
a 6 a 4b6 b6 2a5b3 2a 3b3 2a 2b6 a 6 2a 5b3 a 4b 6 2a 3b3 2a 2b 6 b 6 13. Vypočtěte: a) b)
a b
3
a 2b b 2
3
ab2 a 2
2
2
c) d)
a a
3
ab b3
3
ab a 2
2
2
e) f)
a b
3
a 2b a 2
3
ab2 b2
2
2
Stránka 122
Základní poznatky z matematiky Řešení:
a) a3 a 2b b 2 a 3 a 2b b 2 2 a 3 a 2b 2 a 3 b 2 2 a 2b b 2 2
2
2
2
a 6 2a5b a 4b2 2a3b2 2a 2b3 b4
b) b3 ab2 a 2 b3 ab2 a 2 2 b3 ab 2 2 b3 a 2 2 ab 2 a 2 2
2
2
2
b6 2b5 a b 4 a 2 2b3a 2 2b 2 a 3 a 4
c) a3 ab b3 a3 ab b3 2 a 3 ab 2 a 3 b3 2 ab b3 2
2
2
2
a 6 2a 4b 2a3b3 a 2b 2 2ab 4 b6
d) a3 ab a 2 a3 ab a 2 2 a3 ab 2 a 3 a 2 2 ab a 2 2
2
2
2
a 6 2a5 a 4 2a 4b 2a 3b a 2b 2
e) a3 a 2b a 2 a3 a 2b a 2 2 a3 a 2b 2 a 3 a 2 2 a 2b a 2 2
2
2
2
a 6 2 a 5 2 a 5b 2 a 4 b a 4 b 2 a 4
f) b3 ab2 b2 b3 ab2 b2 2 b3 ab2 2 b3 b 2 2 ab 2 b 2 2
2
2
2
b6 2b5 2b5 a 2b 4 a b 4 a 2 b 4 14. Vypočtěte:
3x 2x 4x 3x
a) b) c) d)
2
2 x 1 2 x 2 3x 1
2
3x 1 3x 2 2 x 1
2
3x 1 3x 2 4 x 1
2
4 x 1 4 x 2 3x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
e) f) g) h)
4x 5x 3x 3x
2
5x 2 5x2 4 x 2
2
4 x 2 4 x2 5x 2
2
3x 1 2 x 2 2 x 1
2
2 x 1 2 x 2 3x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
Řešení:
a) 3x 2 2 x 1 2 x 2 3x 1 9 x 4 4 x 2 1 12 x3 6 x 2 4 x 4 x 4 9 x 2 1 12 x3 2
2
4 x 2 6 x 9 x 4 4 x 2 1 12 x3 6 x 2 4 x 4 x 4 9 x 2 1 12 x3 4 x 2 6 x 5 x 4 24 x3 15 x 2 2 x x 5 x3 24 x 2 15 x 2 b) 2 x 2 3x 1 3x 2 2 x 1 4 x 4 9 x 2 1 12 x 3 4 x 2 6 x 9 x 4 4 x 2 1 12 x3 2
2
6 x 2 4 x 4 x 4 9 x 2 1 12 x3 4 x 2 6 x 9 x 4 4 x 2 1 12 x3 6 x 2 4 x 5 x 4 24 x3 5 x 2 2 x x 5 x3 24 x 2 5 x 2 c) 4 x 2 3x 1 3x 2 4 x 1 16 x 4 9 x 2 1 24 x 3 8 x 2 6 x 9 x 4 16 x 2 1 24 x 3 2
2
6 x 2 8 x 16 x 4 9 x 2 1 24 x3 8 x 2 6 x 9 x 4 16 x 2 1 24 x 3 6 x 2 8 x 7 x 4 48 x 3 9 x 2 14 x x 7 x3 48 x 2 9 x 14 d) 3x 2 4 x 1 4 x 2 3x 1 9 x 4 16 x 2 1 24 x 3 6 x 2 8 x 16 x 4 9 x 2 1 24 x 3 2
2
8 x 2 6 x 9 x 4 16 x 2 1 24 x3 6 x 2 8 x 16 x 4 9 x 2 1 24 x3 8 x 2 6 x 7 x 4 48 x 3 9 x 2 14 x x 7 x3 48 x 2 9 x 14
Stránka 123
Základní poznatky z matematiky e) 4 x 2 5 x 2 5 x 2 4 x 2 16 x 4 25 x 2 4 40 x3 16 x 2 20 x 25 x 4 16 x 2 2
2
4 40 x3 20 x 2 16 x 16 x 4 25 x 2 4 40 x3 16 x 2 20 x 25 x 4 16 x 2 4 40 x 3 20 x 2 16 x 9 x 4 80 x3 13x 2 36 x x 9 x 3 80 x 2 13x 36
f) 5 x 2 4 x 2 4 x 2 5 x 2 25 x 4 16 x 2 4 40 x3 20 x 2 16 x 16 x 4 25 x 2 2
2
4 40 x3 16 x 2 20 x 25 x 4 16 x 2 4 40 x3 20 x 2 16 x 16 x 4 25 x 2 4 40 x 3 16 x 2 20 x 9 x 4 80 x3 13x 2 36 x x 9 x3 80 x 2 13x 36
g) 3x 2 3x 1 2 x 2 2 x 1 9 x 4 9 x 2 1 18 x3 6 x 2 6 x 4 x 4 4 x 2 1 8 x3 2
2
4 x 2 4 x 9 x 4 9 x 2 1 18 x3 6 x 2 6 x 4 x 4 4 x 2 1 8 x3 4 x 2 4 x 5 x 4 26 x3 5 x 2 2 x x 5 x3 26 x 2 5 x 2
h) 3x 2 2 x 1 2 x 2 3x 1 9 x 4 4 x 2 1 12 x 3 6 x 2 4 x 4 x 4 9 x 2 1 12 x 3 2
2
4 x 2 6 x 9 x 4 4 x 2 1 12 x3 6 x 2 4 x 4 x 4 9 x 2 1 12 x3 4 x 2 6 x 5 x 4 24 x3 15 x 2 2 x x 5 x3 24 x 2 15 x 2
1.7.4
Rozklad na součin
1. Rozložte na součin: a) a 3x 4 5b 4 3x b) 3ab 6a 2c bc c) 5bx ab 5ax a 2 d) x 4 2 x 2 2 x 3 2 x 1 2 e) x 2 y 2 a 2 b 2 ax by Řešení: a) b) c) d)
a 3x 4 5b 4 3x a 3x 4 5b 3x 4 3x 4 a 3b 3ab 6a 2c bc 3a b 2 c 2 b 2 b 3a c 5bx ab 5ax a 2 5bx 5ax ab a 2 5x b a a b a b a 5x a
x 4 2 x 2 2 x3 2 x 1 x 4 x 2 x 2 2 x3 2 x 1 x 2 x 2 1 x 2 1 2 x 1 2 x
x 2 x 2 1 1 2 x x 2 1 x 2 1 x 2 1 2 x x 2 1 x 2 2 x 1 x 2 1 x 1
e)
x
2
2
y 2 a 2 b2 ax by a 2 x 2 b2 x 2 a 2 y 2 b2 y 2 a 2 x 2 2axby b 2 y 2 2
a 2 x 2 b2 x 2 a 2 y 2 b2 y 2 a 2 x 2 2axby b 2 y 2 b 2 x 2 2axby a 2 y 2 bx ay
2. Rozložte na součin: a) 3a2 x 6ax2 12a3 x b) 4 x2 y 8xy 2 12 x3 y c) 6a3 x 4a2 x3 8a2 x2
2
d) 15ax3 10a 2 x3 20a 2 x 2 e) 6ax3 4a2 x2 8a 2 x3 f) 6a2 x2 9a3 x 15a3 x2
Stránka 124
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) 3a 2 x 6ax 2 12a3 x 3ax a 2 x 4a 2
b) 4 x2 y 8xy 2 12 x3 y 4 xy x 2 y 3x 2
c) 6a3 x 4a 2 x3 8a 2 x 2 2a 2 x 3a 2 x 2 4 x d) 15ax3 10a 2 x3 20a 2 x2 5ax 2 3x 2ax 4a e) 6ax3 4a 2 x 2 8a 2 x3 2ax 2 3x 2a 4ax f) 6a 2 x2 9a3 x 15a3 x2 3a 2 x 2 x 3a 5ax 3. Rozložte na součin: a) 2ax 6ay bx 3by b) 6bx 2by 3ax ay c) 4ax 2ay 6bx 3by
d) 3ax 6ay 2bx 4by e) 6ax 4ay 9bx 6by f) 6bx 9by 4ax 6ay
Řešení: a) 2ax 6ay bx 3by 2a x 3 y b x 3 y x 3 y 2a b b) 6bx 2by 3ax ay 2b 3x y a 3x y 3x y 2b a c) 4ax 2ay 6bx 3by 2a 2 x y 3b 2 x y 2 x y 2a 3b d) 3ax 6ay 2bx 4by 3a x 2 y 2b x 2 y x 2 y 3a 2b e) 6ax 4ay 9bx 6by 2a 3x 2 y 3b 3x 2 y 3x 2 y 2a 3b f) 6bx 9by 4ax 6ay 3b 2 x 3 y 2a 2 x 3 y 2 x 3 y 3b 2a 4. Rozložte na součin: a) 3ay 2ax2 3xy 2 x3 b) 6 x2 2 xy 2 3ax ay 2
c) 6 x3 2 x2 y 2 3xy y3 d) 6 x3 3x2 y 2 2 xy y3
Řešení: a) 3ay 2ax2 3xy 2 x3 a 3 y 2 x 2 x 3 y 2 x 2 a x 3 y 2 x 2 b) 6 x2 2 xy 2 3ax ay 2 2 x 3x y 2 a 3x y 2 2 x a 3x y 2
c) 6 x3 2 x2 y 2 3xy y 3 2 x 2 3x 2 y 2 y 3x 2 y 2 3x 2 y 2 2 x 2 y d) 6 x3 3x2 y 2 2 xy y3 3x 2 2 x y 2 y 2 x y 2 2x y 2 3x 2 y 5. Rozložte na součin: a) 16a 4 9b2 b) 25a 4 4b2
c) 25a6 4b4 d) 16a 4 9b6
e) 4a6 9b4 f) 9a6 4b4
Řešení:
a) 16a 4 9b2 4a 2 3b 4a 2 3b 4a 2 3b 2
2
b) 25a 4 4b2 5a 2 2b 5a 2 2b 5a 2 2b 2
2
c) 25a6 4b4 5a3 2b2 5a3 2b2 5a3 2b2 2
2
Stránka 125
Základní poznatky z matematiky d) 16a 4 9b6 4a 2 3b3 4a 2 3b3 4a 2 3b3 2
2
e) 4a6 9b4 2a3 3b2 2a3 3b2 2a3 3b2 2
2
f) 9a6 4b4 3a3 2b2 3a3 2b2 3a3 2b2 2
2
6. Rozložte na součin: a) 16a 4b2 25a 2b6 b) 25a6b2 16a 2b4
c) 9a6b4 16a 4b2 d) 16a 2b4 9a6b2
e) 9a 4b4 4a 2b6 f) 4a8b2 9a 4b4
Řešení: a) 16a 4b2 25a 2b6 a 2b2 16a 2 25b4 a 2b2 4a 5b2 4a 5b2 b) 25a6b2 16a 2b4 a 2b2 25a 4 16b2 a 2b2 5a 2 4b 5a 2 4b c) 9a6b4 16a 4b2 a 4b2 9a 2b2 16 a 4b2 3ab 4 3ab 4 d) 16a 2b4 9a6b2 a 2b2 16b2 9a 4 a 2b2 4b 3a 2 4b 3a 2 e) 9a 4b4 4a 2b6 a 2b4 9a 2 4b2 a 2b4 3a 2b 3a 2b f) 4a8b2 9a 4b4 a 4b2 4a 4 9b2 a 4b2 2a 2 3b 2a 2 3b 7. Rozložte na součin: 2 2 a) 25 a 2b 4 2a b
e) 25 a 2b 16 2a b
2 2
2
b) 9 2a b 16 a 2b
2
f) 16 a 2b 25 2a b
c) 16 2a b 9 a 2b
2
g) 16 a 3b 25 2a b
2
2
d) 4 a 2b 25 2a b 2
2
2
h) 9 3a b 16 a 2b
2
2
2
2
Řešení:
a) 25 a 2b 4 2a b 5 a 2b 2 2a b 5 a 2b 2 2a b 5 a 2b 2 2a b 5a 10b 4a 2b 5a 10b 4a 2b a 8b 9a 12b 2
2
2
2
3 3a 4b a 8b
b) 9 2a b 16 a 2b 3 2a b 4 a 2b 3 2a b 4 a 2b 3 2a b 4 a 2b 6a 3b 4a 8b 6a 3b 4a 8b 2a 5b 10a 11b 2
2
2
2
c) 16 2a b 9 a 2b 4 2a b 3 a 2b 4 2a b 3 a 2b 4 2a b 3 a 2b 8a 4b 3a 6b 8a 4b 3a 6b 5a 2b 11a 10b 2
2
2
2
d) 4 a 2b 25 2a b 2 a 2b 5 2a b 2 a 2b 5 2a b 2 a 2b 5 2a b 2a 4b 10a 5b 2a 4b 10a 5b 2
2
2
2
8a 15b 12a 9b 3 8a 15b 4a 3b
Stránka 126
Základní poznatky z matematiky e) 25 a 2b 16 2a b 5 a 2b 4 2a b 5 a 2b 4 2a b 5 a 2b 4 2a b 5a 10b 8a 4b 5a 10b 8a 4b 2
2
2
2
3a 6b 13a 14b 3 a 2b 13a 14b
f) 16 a 2b 25 2a b 4 a 2b 5 2a b 4 a 2b 5 2a b 4 a 2b 5 2a b 4a 8b 10a 5b 4a 8b 10a 5b 2
2
2
2
6a 3b 14a 13b 3 2a b 14a 13b
g) 16 a 3b 25 2a b 4 a 3b 5 2a b 4 a 3b 5 2a b 4 a 3b 5 2a b 4a 12b 10a 5b 4a 12b 10a 5b 2
2
2
2
6a 17b 14a 7b 7 6a 17b 2a b
h) 9 3a b 16 a 2b 3 3a b 4 a 2b 3 3a b 4 a 2b 3 3a b 4 a 2b 9a 3b 4a 8b 9a 3b 4a 8b 5a 11b 13a 5b 2
8. Rozložte na součin: a) a3 64b3 b) 8a3 27b3
2
2
c) a3 8b3 d) 27a3 64b3
2
e) a3 27b3 f) 8a3 b3
Řešení: a) a3 64b3 a 4b a 2 4ab 16b2
b) 8a3 27b3 2a 3b 4a 2 6ab 9b2 c) a3 8b3 a 2b a 2 2ab 4b2
d) 27a3 64b3 3a 4b 9a 2 12ab 16b2 e) a3 27b3 a 3b a 2 3ab 9b2 f) 8a3 b3 2a b 4a 2 2ab b2 9. Rozložte na součin: a) 8a3 27b3 b) a3 64b3
c) 27a3 64b3 d) a3 8b3
e) 8a3 b3 f) a3 27b3
Řešení: a) 8a3 27b3 2a 3b 4a 2 6ab 9b2 b) a3 64b3 a 4b a 2 4ab 16b2
c) 27a3 64b3 3a 4b 9a 2 12ab 16b2 d) a3 8b3 a 2b a 2 2ab 4b2 e) 8a3 b3 2a b a 2 2ab b2
f) a3 27b3 a 3b a 2 3ab 9b2
Stránka 127
Základní poznatky z matematiky 10. Rozložte na součin: a) 27a3b6 64a6b3 b) 64a6b3 27a3b6
c) 8a6b6 27a3b9 d) 27a9b3 8a6b6
e) a6b6 8a3b9 f) 27a6b3 a3b6
Řešení: a) 27a3b6 64a6b3 a3b3 27b3 64a3 a3b3 3b 4a 9b2 12ab 16a 2 b) 64a6b3 27a3b6 a3b3 64a3 27b3 a3b3 4a 3b 16a 2 12ab 9b2 c) 8a6b6 27a3b9 a3b6 8a3 27b3 a3b6 2a 3b 4a 2 6ab 9b2 d) 27a9b3 8a6b6 a6b3 27a3 8b3 a6b3 3a 2b 9a 2 6ab 4b2 e) a6b6 8a3b9 a3b6 a3 8b3 a3b6 a 2b a 2 ab 4b2
f) 27a6b3 a3b6 a3b3 27a3 b3 a3b3 3a b 9a 2 3ab b2 11. Rozložte na součin: a) 27a3b6 8a6b3 b) 8a6b6 27a3b9
c) 64a6b3 27a3b6 d) 27a3b6 64a6b3
e) 27a6b3 a3b6 f) a6b6 8a3b9
Řešení: a) 27a3b6 8a6b3 a3b3 27b3 8a3 a3b3 3b 2a 9b2 6ab 4a 2
b) 8a6b6 27a3b9 a3b6 8a3 27b3 a3b6 2a 3b 4a 2 6ab 9b2
c) 64a6b3 27a3b6 a3b3 64a3 27b3 a3b3 4a 3b 16a 2 12ab 9b2 d) 27a3b6 64a6b3 a3b3 27b3 64a3 a3b3 3b 4a 9b 2 12ab 16a 2 e) 27a6b3 a3b6 a3b3 27a3 b3 a3b3 3a b 9a 2 3ab b2 f) a6b6 8a3b9 a3b6 a3 8b3 a3b6 a 2b a 2 2ab 4b2 12. Rozložte na součin: a) a 2 2a 1 b2 b) a 2 4a 4 b2
c) a 2 6a 9 b2 d) a 2 8a 16 b2
e) a 2 10a 25 b2 f) a 2 12a 36 b2
Řešení: 2 a) a 2 2a 1 b2 a 1 b2 a 1 b a 1 b a 1 b a 1 b b) a 2 4a 4 b2 a 2 b2 a 2 b a 2 b a 2 b a 2 b 2
c) a 2 6a 9 b2 a 3 b2 a 3 b a 3 b a 3 b a 3 b 2
d) a 2 8a 16 b2 a 4 b2 a 4 b a 4 b a 4 b a 4 b 2
e) a 2 10a 25 b2 a 5 b2 a 5 b a 5 b a 5 b a 5 b 2
f) a 2 12a 36 b2 a 6 b2 a 6 b a 6 b a 6 b a 6 b 2
13. Rozložte na součin: a) a 2 2a 1 b2 b) a 2 4a 4 b2
c) a 2 6a 9 b2 d) a 2 8a 16 b2
e) a 2 10a 25 b2 f) a 2 12a 36 b2 Stránka 128
Základní poznatky z matematiky Řešení: 2 a) a 2 2a 1 b2 a 1 b2 a 1 b a 1 b a 1 b a 1 b b) a 2 4a 4 b2 a 2 b2 a 2 b a 2 b a 2 b a 2 b 2
c) a 2 6a 9 b2 a 3 b2 a 3 b a 3 b a 3 b a 3 b 2
d) a 2 8a 16 b2 a 4 b2 a 4 b a 4 b a 4 b a 4 b 2
e) a 2 10a 25 b2 a 5 b2 a 5 b a 5 b a 5 b a 5 b 2
f) a 2 12a 36 b2 a 6 b2 a 6 b a 6 b a 6 b a 6 b 2
14. Rozložte na součin: a) a 2 b2 2b 1 b) a 2 b2 4b 4
c) a 2 b2 6b 9 d) a 2 b2 8b 16
e) a 2 b2 10b 25 f) a 2 b2 12b 36
Řešení: 2 a) a 2 b 2 2b 1 a 2 b 2 2b 1 a 2 b 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b 1 b) a 2 b 2 4b 4 a 2 b 2 4b 4 a 2 b 2 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 2
c) a 2 b 2 6b 9 a 2 b 2 6b 9 a 2 b 3 a b 3 a b 3 a b 3 a b 3 2
d) a 2 b2 8b 16 a 2 b 2 8b 16 a 2 b 4 a b 4 a b 4 a b 4 a b 4 2
e) a 2 b2 10b 25 a 2 b 2 10b 25 a 2 b 5 a b 5 a b 5 a b 5 a b 5 2
f) a 2 b 2 12b 36 a 2 b 2 12b 36 a 2 b 6 a b 6 a b 6 a b 6 a b 6 2
15. Rozložte na součin: a) a 2 b2 2b 1 b) a 2 b2 4b 4
c) a 2 b2 6b 9 d) a 2 b2 8b 16
e) a 2 b2 10b 25 f) a 2 b2 12b 36
Řešení: 2 a) a 2 b 2 2b 1 a 2 b 2 2b 1 a 2 b 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b 1 b) a 2 b 2 4b 4 a 2 b 2 4b 4 a 2 b 2 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 2
c) a 2 b 2 6b 9 a 2 b 2 6b 9 a 2 b 3 a b 3 a b 3 a b 3 a b 3 2
Stránka 129
Základní poznatky z matematiky d) a 2 b2 8b 16 a 2 b 2 8b 16 a 2 b 4 a b 4 a b 4 a b 4 a b 4 2
e) a 2 b2 10b 25 a 2 b 2 10b 25 a 2 b 5 a b 5 a b 5 a b 5 a b 5 2
f) a 2 b 2 12b 36 a 2 b 2 12b 36 a 2 b 6 a b 6 a b 6 a b 6 a b 6 2
16. Rozložte na součin: a) a4b 2a3b a 2b a 2b3 b) a3b2 4a2b2 4ab2 ab4 c) a4b2 6a3b2 9a 2b2 a 2b4
d) a3b 8a2b 16ab ab3 e) a4b 10a3b 25a 2b a 2b3 f) a3b2 12a2b2 36ab2 ab4
Řešení:
a) a 4b 2a 3b a 2b a 2b3 a 2b a 2 2a 1 b 2 a 2b a 1 b 2 2 2 a b a 1 b a 1 b a b a 1 b a 1 b 2
b) a3b 2 4a 2b 2 4ab 2 ab 4 ab 2 a 2 4a 4 b 2 ab 2 a 2 b 2 2 2 ab a 2 b a 2 b ab a 2 b a 2 b 2
c) a 4b 2 6a 3b 2 9a 2b 2 a 2b 4 a 2b 2 a 2 6a 9 b 2 a 2b 2 a 3 b 2 2 2 2 2 a b a 3 b a 3 b a b a 3 b a 3 b 2
d) a3b 8a 2b 16ab ab3 ab a 2 8a 16 b 2 ab a 4 b 2 ab a 4 b a 4 b ab a 4 b a 4 b 2
e) a 4b 10a3b 25a 2b a 2b3 a 2b a 2 10a 25 b 2 a 2b a 5 b 2 2 2 a b a 5 b a 5 b a b a 5 b a 5 b 2
f) a3b 2 12a 2b 2 36ab 2 ab 4 ab 2 a 2 12a 36 b 2 ab 2 a 6 b 2 2 2 ab a 6 b a 6 b ab a 6 b a 6 b 2
17. Rozložte na součin: a) a3b2 2a2b2 ab2 ab4 b) a4b2 4a3b2 4a2b2 a2b4 c) a4b 6a3b 9a 2b a 2b3
d) a3b 8a2b 16ab ab3 e) a3b 10a2b 25ab ab3 f) a4b2 12a3b2 36a2b2 a2b4
Řešení:
a) a3b 2 2a 2b 2 ab 2 ab 4 ab 2 a 2 2a 1 b 2 ab 2 a 1 b 2 2 2 ab a 1 b a 1 b ab a 1 b a 1 b 2
b) a 4b 2 4a 3b 2 4a 2b 2 a 2b 4 a 2b 2 a 2 4a 4 b 2 a 2b 2 a 2 b 2 2 2 2 2 a b a 2 b a 2 b a b a 2 b a 2 b 2
Stránka 130
Základní poznatky z matematiky c) a 4b 6a 3b 9a 2b a 2b3 a 2b a 2 6a 9 b 2 a 2b a 3 b 2 a 2b a 3 b a 3 b a 2b a 3 b a 3 b 2
d) a3b 8a 2b 16ab ab3 ab a 2 8a 16 b 2 ab a 4 b 2 ab a 4 b a 4 b ab a 4 b a 4 b 2
e) a3b 10a 2b 25ab ab3 ab a 2 10a 25 b 2 ab a 5 b 2 ab a 5 b a 5 b ab a 5 b a 5 b 2
f) a 4b 2 12a3b 2 36a 2b 2 a 2b 4 a 2b 2 a 2 12a 36 b 2 a 2b 2 a 6 b 2 2 2 2 2 a b a 6 b a 6 b a b a 6 b a 6 b 2
18. Rozložte na součin: a) a3b2 ab4 2ab3 ab2 b) a3b ab3 4ab2 4ab c) a4b a2b3 6a2b2 9a 2b
d) a4b2 a2b4 8a2b3 16a 2b2 e) a4b2 a2b4 10a2b3 25a2b2 f) a4b a 2b3 12a 2b2 36a 2b
Řešení: a) a3b 2 ab 4 2ab3 ab2 ab 2 a 2 b 2 2b 1 ab 2 a 2 b 2 2b 1 2 ab 2 a 2 b 1 ab 2 a b 1 a b 1 ab 2 a b 1 a b 1 3 3 2 b) a b ab 4ab 4ab ab a 2 b 2 4b 4 ab a 2 b 2 4b 4
2 ab a 2 b 2 ab a b 2 a b 2 ab a b 2 a b 2 4 2 3 2 2 c) a b a b 6a b 9a 2b a 2b a 2 b 2 6b 9 a 2b a 2 b 2 6b 9 2 a 2b a 2 b 3 a 2b a b 3 a b 3 a 2b a b 3 a b 3 4 2 2 4 2 3 d) a b a b 8a b 16a 2b 2 a 2b 2 a 2 b 2 8b 16 a 2b 2 a 2 b 2 8b 16
2 a 2b 2 a 2 b 4 a 2b 2 a b 4 a b 4 a 2b a b 4 a b 4 4 2 2 4 2 3 e) a b a b 10a b 25a 2b2 a 2b2 a 2 b2 10b 25 a 2b 2 a 2 b 2 10b 25 2 a 2b2 a 2 b 5 a 2b2 a b 5 a b 5 a 2b a b 5 a b 5 4 2 3 2 2 f) a b a b 12a b 36a 2b a 2b a 2 b 2 12b 36 a 2b a 2 b 2 12b 36
2 a 2b a 2 b 6 a 2b a b 6 a b 6 a 2b a b 6 a b 6
19. Rozložte na součin: a) a3b ab3 2ab2 ab b) a4b a2b3 4a 2b2 4a 2b c) a3b2 ab4 6ab3 9ab2
d) a4b2 a 2b4 8a 2b2 16a 2b2 e) a4b a 2b3 10a 2b2 25a 2b f) a3b ab3 12ab2 36ab
Stránka 131
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) a3b ab3 2ab 2 ab ab a 2 b 2 2b 1 ab a 2 b 2 2b 1 ab a 2 b 1 ab a b 1 a b 1 ab a b 1 a b 1 4 2 3 2 2 b) a b a b 4a b 4a 2b a 2b a 2 b 2 4b 4 a 2b a 2 b 2 4b 4 2
a 2b a 2 b 2 a 2b a b 2 a b 2 a 2b a b 2 a b 2 3 2 4 3 c) a b ab 6ab 9ab2 ab 2 a 2 b 2 6b 9 ab 2 a 2 b 2 6b 9 2
2 ab2 a 2 b 3 ab2 a b 3 a b 3 ab 2 a b 3 a b 3 4 2 2 4 2 2 d) a b a b 8a b 16a 2b 2 a 2b 2 a 2 b 2 8b 16 a 2b 2 a 2 b 2 8b 16
2 a 2b 2 a 2 b 4 a 2b 2 a b 4 a b 4 a 2b 2 a b 4 a b 4 4 2 3 2 2 e) a b a b 10a b 25a 2b a 2b a 2 b 2 10b 25 a 2b a 2 b 2 10b 25
a 2b a 2 b 5 a 2b a b 5 a b 5 a 2b a b 5 a b 5 3 3 2 f) a b ab 12ab 36ab ab a 2 b 2 12b 36 ab a 2 b 2 12b 36 2
2 ab a 2 b 6 ab a b 6 a b 6 ab a b 6 a b 6
Racionální lomené výrazy
1.7.5
1. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 2a 1 2a 4 1 1 a) d) 2 1 2 1 a 1 a 1 a a 4 a 16 a 2a 2 2a 5 1 1 b) e) 2 2 1 1 a 2 a 4 a a 5 a 25 a 2a 3 2a 6 1 1 c) f) 2 2 1 1 a 3 a 9 a a 6 a 36 a Řešení: 1 a 2a 1 1 2a a 1 2a 1 a 1 a) 2 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a
a 1 a 1 1 a 1 1 a a a a 1 a 1 a a 1 a 1
podm.: a 1; a 0 2a 2a 2 1 2a a 2 2a 2a 1 b) 2 1 a 2 a 2 a a 2 a 4 a a 2 a 2 a 2 a
a 2 a 2 1 a 2 2a a a a 2 a 2 a a 2 a 2
podm.: a 2; a 0
Stránka 132
Základní poznatky z matematiky 3 a 2a 3 1 2a a 3 2a 3 a 1 c) 2 1 a 3 a 3 a a 3 a 9 a a 3 a 3 a 3 a
a 3 a 3 1 a 3 3 a a a a 3 a 3 a a 3 a 3
podm.: a 3; a 0 4a 2a 4 1 2a a 4 2a 4a 1 d) 2 1 a 4 a 4 a a 4 a 16 a a 4 a 4 a 4 a
a 4 a 4 1 a 4 4a a a a 4 a 4 a a 4 a 4
podm.: a 4; a 0 5a 2a 5 1 2a a 5 2a 5 a 1 e) 2 1 a 5 a 5 a a 5 a 25 a a 5 a 5 a 5 a
a 5 a 5 1 a 5 5a a a a 5 a 5 a a 5 a 5
podm.: a 5; a 0 6a 2a 6 1 2a a 6 2a 6 a 1 f) 2 1 a 6 a 6 a a 6 a 36 a a 6 a 6 a 6 a
a 6 a 6 1 a 6 6a a a a 6 a 6 a a 6 a 6
podm.: a 6; a 0
2. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 1 1 1 a) a 2 1 d) a 2 16 1 1 a 1 a 1 a4 a4 1 1 1 1 b) a 2 4 e) a 2 25 1 1 a2 a2 a 5 a 5 1 1 1 1 c) a 2 9 f) a 2 36 1 1 a 3 a 3 a6 a6 Řešení:
a 1 a 1 a 1 a 1 1 1 a) a 2 1 1 a 2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 1
a 1 a 1 a2 1 a 1 2
3 a2
podm.: a 1
Stránka 133
Základní poznatky z matematiky a 2 a 2 a 2 a 2 1 1 b) a 2 4 1 a 2 4 a 2 a 2 a2 a2 a 4 2
a 2 a 2 a2 4 a 4 2
8 a2
podm.: a 2
a 3 a 3 a 3 a 3 1 1 c) a 2 9 1 a 2 9 a 3 a 3 a 3 a 3 a 9 2
a 3 a 3 a2 9 a 9 2
15 a 2
podm.: a 2 a 4 a 4 a 4 a 4 1 1 d) a 2 16 1 a 2 16 a 4 a 4 a4 a4 a 16 2
a 4 a 4 a 2 16 a 16 2
24 a 2
podm.: a 4 a 5 a 5 a 5 a 5 1 1 e) a 2 25 1 a 2 25 a 5 a 5 a 5 a 5 a 2 25
a 5 a 5 a 2 25 a 25 2
35 a 2
podm.: a 5
a 6 a 6 a 6 a 6 1 1 f) a 2 36 1 a 2 36 a 6 a 6 a6 a6 a 2 36
a 6 a 6 a 2 36 a 36 2
48 a 2
podm.: a 6
3. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: a3 2a 3 a 1 3 a 4 a) d) 2 2 2a 2 1 a a 1 2a 4 2 a a 4 a3 2a 3 a 1 2 a 3 b) e) 2 2 2a 2 a 1 1 a 2a 6 3 a a 9 a 1 3 a 4 a 1 2 a 3 c) f) 2 2 2a 4 2 a a 4 2a 6 3 a a 9
Stránka 134
Základní poznatky z matematiky Řešení:
a)
a3 2a 3 a3 2a 3 a3 2a 3 2 2a 2 1 a a 1 2 a 1 1 a a 1 a 1 2 a 1 a 1 a 1 a 1 2 2 a 3 a 1 2 2 a a 1 2 3 a a 3a 3 2 2a 2 a a 6 2 a 1 a 1 2 a 1 a 1
a 2 2a 3 4a 4 2a 2 2a 6 a 2 4a 13 a 2 4a 13 2 a 1 a 1 2 a 1 a 1 2 a 2 1
podm.: a 1 a3 2a 3 a3 2a 3 a3 2a 3 b) 2 2a 2 a 1 1 a 2 a 1 a 1 1 a 1 a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 2 2 a 3 a 1 2 2 a a 1 2 3 a a 3a 3 2 2a 2 a a 6 2 a 1 a 1 2 a 2 1
a 2 2a 3 4a 4 2a 2 2a 6 a 2 4a 1 a 2 4a 1 2 a 1 a 1 2 a 1 a 1 2 a 1 a 1
podm.: a 1 a 1 3 a 4 a 1 3 a 4 a 1 3 a 4 c) 2 2a 4 2 a a 4 2 a 2 2 a a 2 a 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2 2 2 a 1 a 2 2 3 a a 2 2 4 a 2a a 2 2 3a 6 a 2a 8 2 a 2 a 2 2 a 2 a 2
a 2 a 2 6a 12 2a 2 4a 8 a 2 11a 22 a 2 11a 22 2 a 2 a 2 2 a 2 a 2 2 a2 4
podm.: a 2 a 1 3 a 4 a 1 3 a 4 a 1 3 a 4 d) 2 2a 4 2 a a 4 2 a 2 2 a a 2 a 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2
a 1 a 2 2 3 a a 2 2 4 a 2 2a a 2 2 3a 6 a 2 2a 8 2 a 2 a 2 2 a 2 a 2
a 2 a 2 6a 12 2a 2 4a 8 3a 2 9a 2 2 a 2 a 2 2 a2 4
podm.: a 2 a 1 2 a 3 a 1 2a 3 a 1 2a 3 e) 2 2a 6 3 a a 9 2 a 3 3 a a 3 a 3 2 a 3 a 3 a 3 a 3 2 2 a 1 a 3 2 2 a a 3 2 3 a 3a a 3 2 2a 6 a 3a 6 2 a 3 a 3 2 a 3 a 3
a 2 2a 3 4a 12 2a 2 6a 6 a 2 12a 21 a 2 12a 21 2 a 3 a 3 2 a 3 a 3 2 a2 9
podm.: a 3 Stránka 135
Základní poznatky z matematiky
f)
a 1 2 a 3 a 1 2a 3 a 1 2a 3 2 2a 6 3 a a 9 2 a 3 3 a a 3 a 3 2 a 3 a 3 a 3 a 3
a 1 a 3 2 2 a a 3 2 3 a 2 3a a 3 2 2a 6 a 2 3a 6 2 a 3 a 3 2 a 3 a 3
a 2 2a 3 4a 12 2a 2 6a 6 3a 2 82a 3 2 a 3 a 3 2 a2 9
podm.: a 3 4. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 12a 3a 9 3 a a) 1 2 2 a 6a 9 2 a 6 a 6 a 9 16a a 2 4a 4a b) 1 2 2 a 8a 16 8 2a a 8a 16 24a 9 3a a 3 c) 2 2 2 : a 6 a 9 2 a 6 a 6a 9 32a a 2 4a 4a : d) 2 2 a 8a 16 2a 8 a 2 8a 16 12a 9 3a a 3 e) 1 2 2 a 6a 9 2 a 6 a 6 a 9 16a a 2 4a 4a f) 1 2 2 a 8a 16 2a 8 a 8a 16
Řešení: 12a 3a 9 a 2 6a 9 12a 3 a 3a 9 3 a a) 1 2 2 2 a 2 6a 9 a 6a 9 2a 6 a 6a 9 2 a 3 a 3 a 2 6a 9 3 a a 3 2 3a 9 a 3 a 2 9 6a 18 a 3 a 2 6a 9 2 2 2 2 2 2 a 6a 9 2 a 3 2 a 3 a 3 a 3 2 a 3 2
a 3
2
a 3
2
a 3
2
2
2 a 3
2
1 2
podm.: a 3
Stránka 136
Základní poznatky z matematiky 16a a 2 4a a 2 8a 16 16a 4 a a 2 4a 4a b) 1 2 2 2 a 2 8a 16 a 8a 16 8 2a a 8a 16 2 4 a 4 a 2 2 a 2 8a 16 4 a 4 a 2 a 4a 4 a 16 a 2 2a 2 8a 2 2 2 2 a 8a 16 24 a 24 a 4 a 2 4 a a 2 8a 16 4 a 2 2 2 4 a 24 a 4 a 2
4 a
2
2 4 a
2
1 2
podm.: a 4
2 24a 9 3a 2 a 6a 9 24a a 3 9 3a a 3 c) 2 2 2 : : 2 2 a 6a 9 2a 6 a 6a 9 a 6a 9 2 a 3 a 3
2a 2 12a 18 24a a 3 a 3 2 9 3a 2a 2 12a 18 a 2 9 18 6a : : 2 2 a 2 6a 9 a 2 6a 9 2 a 3 2 a 3
2 a 3 2 a 3 2 a 2 6a 9 a 2 6a 9 2 a 3 2 a 3 2 : : 22 4 2 2 2 2 2 a 2 6a 9 2 a 3 a 3 2 a 3 a 3 a 3 2
2
podm.: a 3
2 32a a 2 4a 2 a 8a 16 32a 4 a a 2 4a 4a d) 2 2 : : 2 a 8a 16 2a 8 a 2 8a 16 a 2 8a 16 2 a 4 a 4 2 2a 2 16a 32 32a 4 a a 4 2 a 4a 2a 2 16a 32 16 a 2 2a 2 8a : 2 : 2 2 a 2 8a 16 a 8a 16 2 a 4 2 a 4
2 a 4 2 a 4 2 a 2 8a 16 a 2 8a 16 2 a 4 2 a 4 2 : : 22 4 2 2 2 2 2 2 a 8a 16 2 a 4 a 4 2 a 4 a 4 a 4 2
2
podm.: a 4 12a 9 3a a 2 6a 9 12a a 3 9 3a a 3 e) 1 2 2 2 2 a 6a 9 a 6a 9 2a 6 a 6a 9 2 a 3 a 3 a 2 6a 9 a 3 a 3 2 9 3a a 3 a 2 9 18 6a a 3 a 2 6a 9 2 2 2 2 2 2 a 6a 9 2 a 3 2 a 3 a 3 a 3 2 a 3 2
a 3
2
a 3
2
a 3
2
2
2 a 3
2
1 2
podm.: a 3
Stránka 137
Základní poznatky z matematiky 16a a 2 4a a 2 8a 16 16a 4 a a 2 4a 4a f) 1 2 2 2 a 2 8a 16 a 8a 16 2a 8 a 8a 16 2 a 4 a 4 2 2 a 2 8a 16 4 a 4 a 2 a 4a 4 a 16 a 2 2a 2 8a 2 2 2 2 a 8a 16 2 a 4 2 a 4 4 a 2 4 a a 2 8a 16 4 a 2 2 2 4 a 2 a 4 4 a
2
4 a
2
2 a 4
2
1 2
podm.: a 4
5. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 3a 2a 3 a 12 3 a) 2 1 2a 4 3a 6 a 4 a 5 3a 1 2a 3 a 12 3 b) 2 1 2a 4 3a 6 a 4 a 5 Řešení: 2 1 3a 2a 3 a 12 a 1 3 1 3a 2a 3 3 a) 2 1 1 2a 4 3a 6 a 4 a 5 2 a 2 3 a 2 a 2 a 2 a 5
3 1 3a a 2 2 2a 3 a 2 6 a 12 a 5 3 = 6 a 2 a 2 a 5
3 9a a 2 4a 6 a 2 6 a 2 2a 1 6 a 2 a 2
2
a2 a5
3a 6 9a 2 18a 4a 2 8a 6a 12 6a 2 12a 6 a 2 6 a 2 a 2 a5
3a 6 9a 2 18a 4a 2 8a 6a 12 6a 2 12a 6 a 2 a 2 5a a2 6 a 2 a 2 a 5 6 a 2 a 2 a 5 a a 5 6 a 2 a 2
a2 a 6 a 2 a5
podm.: a 2; a 5
Stránka 138
Základní poznatky z matematiky 2 3a 1 2a 3 a 12 a 1 3 3a 1 2a 3 3 b) 2 1 1 2a 4 3a 6 a 4 a 5 2 a 2 3 a 2 a 2 a 2 a 5
3 3a 1 a 2 2 2a 3 a 2 6 a 12 a 5 3 = 6 a 2 a 2 a 5
9a 3 a 2 4a 6 a 2 6 a 2 2a 1 6 a 2 a 2
2
a2 a 5
9a 2 18a 3a 6 4a 2 8a 6a 12 6a 2 12a 6 a 2 6 a 2 a 2 a 5
9a 2 18a 3a 6 4a 2 8a 6a 12 6a 2 12a 6 a 2 a 2 5a a2 6 a 2 a 2 a 5 6 a 2 a 2 a 5 a a 5 6 a 2 a 2
a2 a 6 a 2 a 5
podm.: a 2; a 5 6. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 1 1 1 a) 1 a d) 1 a 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 1 1 1 b) 1 a e) 1 a 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 1 1 1 c) 1 a f) 1 a 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a Řešení: 1 1 1 a 1 2a 1 1 a 1 2a 1 a) 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2 a a 2 a 2 1 1 2 a a 2 a 2 1 a 2 a 2 a 2a 2 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a a 1 2a a 1 2a a 2 1 2a 1 2a 1 podm.: a 2
Stránka 139
Základní poznatky z matematiky 1 1 1 a 1 2a 1 1 a 1 2a 1 b) 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a a 2a 2 1 1 2a a 2a 2 1 a 2a 2 a 2a 2 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a a 1 2a a 1 2a a2 1 2a 1 2a 1 podm.: a 2 1 1 1 a 1 2a 1 1 a 1 2a 1 c) 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a
1 2a a 2a 2 1 1 2a a 2a 2 1 a 2a 2 3a 2a 2 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a a 1 2a 3a 2a 2 3a 2 2a 3 1 2a 1 2a 1 2a 1 podm.: a 2 1 1 1 a 1 2a 1 1 a 1 2a 1 d) 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a a 2a 2 1 1 2a a 2a 2 1 3a 2a 2 a 2a 2 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 3a 2a 2 a 1 2a 3a 2 2a 3 3a 2 2a 3 1 2a 1 2a 2a 1 1 2a 1 podm.: a 2 1 1 1 a 1 2a 1 1 a 1 2a 1 e) 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a
2 2 1 2a a 2a 2 1 1 2a a 2a 2 1 3a 2a 2 3a 2a 2 3a 2a 3a 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a
9a 2 4a 4 1 4a 2
podm.: a
1 2
Stránka 140
Základní poznatky z matematiky 1 1 1 a 1 2a 1 1 a 1 2a 1 f) 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a a 2a 2 1 1 2a a 2a 2 1 a 2a 2 3a 2a 2 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a a 1 2a 3a 2a 2 3a 2 2a 3 1 2a 1 2a 1 2a 1 podm.: a 2
7. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: a 2 5 4a a) 1 : a 3 3 a a 3 18 14a a 2 5 6a b) 1 : a 2 2 a a 2 12 14a a 6 9 7a c) 1 : a 1 1 a a 1 2 10a a 2 6 5a d) 1 : a 4 4 a a 4 6 3a 5 6a 2a 3 e) 2 : a4 4 a a 4 5 5a 4 7a 2a 2 f) 2 : a 3 3 a a 3 3 3a Řešení:
a 2 5 4a a 3 a 2 a 3 5 3 a 4a a) 1 : : a 3 3 a a 3 2 9 7a a 3 3 a a 3 18 14a
3 2a 6 15 5a 2a 3 7a 9 2a : : a 3 3 a a 3 9 7 a a 3 3 a a 3 9 7 a
3 a 3 3 3 a a 3 2a 2a 3a 9 2a 3a 9 2a 5a 9 7a 9 9 7a 7a 9 9 7a 7a 9 7a 9 7a 9 7a 9 a 3 9 podm.: a 3; a 7
Stránka 141
Základní poznatky z matematiky a 2 5 6a a 2 a 2 a 2 5 2 a 6a b) 1 : : a 2 2 a a 2 2 6 7a a 2 2 a a 2 12 14a
2 2a 4 10 5a 3a 2 7a 6 3a : : a 2 2 a a 2 6 7a a 2 2 a a 2 6 7a
2 a 2 2 2 a a 2 3a 3a 2a 4 3a 2a 4 3a 7a 6 6 7a 7a 6 6 7a 7a 6 7a 6 7a 6 a2 5a 4 7a 6 6 podm.: a 2; a 7 a 6 9 7a a 1 a 6 a 1 9 1 a 7a c) 1 : : a 1 1 a a 1 2 10a a 1 1 a a 1 2 10a
1 6a 6 9 9a 7a 1 15a 3 7a : : a 1 1 a a 1 2 10a a 1 1 a a 1 2 10a
1 1 a a 1 7a a 1 7a a 1 7a 15a 3 2 10a 3 5a 1 2 1 5a 3 5a 1 2 5a 1 a 1
2 a 1 3 7 a 2a 2 21a 23a 2 6 5a 1 6 5a 1 6 5a 1
podm.: a 1; a
1 5
a 2 6 5a a 4 a 2 a 4 6 4 a 5a d) 1 : : a 4 4 a a 4 6 3a a 4 4 a a 4 6 3a
4 2a 8 24 6a 5a 4 8a 16 5a : : a 4 4 a a 4 6 3a a 4 4 a a 4 6 3a
4 a 4 4 4 a a 4 5a 5a a4 5a 8a 16 6 3a 8 a 2 3 2 a 2 a 2 3 a 2 a4
3 a 4 2 5a 3a 12 10a 13a 12 6 a 2 6 a 2 6 a 2
podm.: a 1; a 2
Stránka 142
Základní poznatky z matematiky 2a 2 a 4 3 a 4 5 4 a 5 6a 6a 2a 3 e) 2 : : a4 a4 4 a a 4 5 5a 4 a a 4 5 5a
2a 2a 8 3a 12 20 5a 6a 8 8a 8 6a : : a4 4 a a 4 5 5a a 4 4 a a 4 5 5a
4 a a 4 6a a 4 8 4 a a 4 6a 8 6a a4 8a 8 5 5a a 4 5 5a a 1 5 1 a 8 a 1
5 a 4 6a 5a 20 6a 11a 20 a4 6a 1 a 5 1 a 5 1 a 5 1 a 5 1 a
podm.: a 4; a 1
2a 2 a 3 2 a 3 4 3 a 4 7a 7a 2a 2 f) 2 : : a 3 3 a a 3 3 3 a a 3 3 a a 3 3 3a
2a 2a 6 2a 6 12 4a 7a 6 6a 6 7a : : a 3 3 a a 3 3 3a a 3 3 a a 3 3 3a
3 a a 3 7 a a 3 6 3 a a 3 7a 6 7a a 3 6a 6 3 3a a 3 3 3a a 1 3 1 a 6 a 1
3 a 3 7 a 3a 9 7a 10a 9 a3 7a 1 a 3 1 a 3 1 a 3 1 a 3 1 a
podm.: a 3; a 1 8. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: b a b a b b 2 a b 2a b a 2a a) d) : : a 2a a b a b b 2a b 2 a b b a ba ba 3b 2a 3b 2a 3b b 2a b) e) : : b 2a ba ba a 2a 3b 2a 3b 3b 2b a 2b a 2b 2b 3a 2b 3a 2b a 3a c) f) : : a 3a a 2b a 2b 2b 3a 2b 3a 2b 2b Řešení: b a b a b a a b b a b a a b b a b a a) : : a ab a b a b a b a b b
a 2 ab ab b 2 a 2 ab ab b 2 a 2 b2 ab ab : 2 2 ab a b a b a b a b a b2 a b2 podm.: a b; a 0; b 0
Stránka 143
Základní poznatky z matematiky a b a b a b b a a b a b b a a b a b b) : : b ab b a b a ba ba a b 2 ab ab a 2 b 2 ab ab a 2 b2 a 2 ab ab : 2 2 ab b a b a b a b a b a 2 b a 2 podm.: b a; a 0; b 0
2b a 2b a 2b a a 2b 2b a 2b a a 2b 2b a 2b a c) : : a 2ab a 2b a 2b a 2b a 2b 2b a 2 2ab 2ab 4b 2 a 2 2ab 2ab 4b 2 a 2 4b 2 2ab 2ab : 2 2 2 2ab a 2b a 2b a 2b a 2b a 4b a 4b2 podm.: a 2b; a 0; b 0
b 2 a b 2 a b 2 a 2 a b b 2 a b 2 a 2 a b b 2a b 2a d) : : 2a 2ab 2a b 2a b 2a b 2a b b 4a 2 2ab 2ab b 2 4a 2 2ab 2ab b 2 4a 2 b 2 2ab 2ab : 2 2 2 2 2ab 2a b 2a b 2a b 2a b 4a b 4a b b podm.: a ; a 0; b 0 2 3b 2a 3b 2a 3b 2a e) : 2a 2a 3b 2a 3b 3b 2a 2a 3b 3b 2a 3b 2a 2a 3b 3b 2a 3b : 6ab 2a 3b 2a 3b
4a 2 6ab 6ab 9b 2 4a 2 6ab 6ab 9b 2 4a 2 9b 2 6ab 6ab : 2 2 6ab 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 4a 9b2 4a 9b2 3b podm.: a ; a 0; b 0 2 2b 3a 2b 3a 2b 3a f) : 3a 3a 2b 3a 2b 2b 3a 3a 2b 2b 3a 2b 3a 3a 2b 2b 3a 2b : 6ab 3a 2b 3a 2b
9a 2 6ab 6ab 4b 2 9a 2 6ab 6ab 4b 2 9a 2 4b 2 6ab 6ab : 2 2 6ab 3a 2b 3a 2b 3a 2b 3a 2b 9a 4b2 9a 4b2 2 podm.: a b; a 0; b 0 3
9. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 2 1 2 4 1 a) 1 b) 1 a 1 a 1 1 a 2 a 1 2 a 1 a2
Stránka 144
Základní poznatky z matematiky 3 6 1 c) 1 a 3 a 1 3 a 3 4 8 1 d) 1 a 4 a 1 4 a4
5 10 1 e) 1 a 5 a 1 5 a 5 6 12 1 f) 1 a 6 a 1 6 a6
Řešení:
1 2 1 a 1 1 2 1 a 2 1 a) 1 a a 1 a a 1 1 a 1 a a 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 a 1 1 a 1 a a a 1 a a a 1 a a 1 a podm.: a 1; a 0 2 4 1 a 2 2 4 1 a 4 1 b) 1 a a2 a a22 a2 a a 2 a 1 2 a2 a2 a2 a 4 a2 a 4 a2 a 4a2 a 2a 1 1 a2 a a a2 a a a2 a a2 a podm.: a 2; a 0 a 33 6 3 6 1 1 a 6 1 c) 1 a a 3 a a 33 a 3 a a 3 a 1 3 a 3 a 3 a 3 a 6 a 3 a 6 a 3 a 6 a 3 a 3 a 1 1 a3 a a a3 a a a3 a a3 a podm.: a 3; a 0 a44 8 4 8 1 1 a 8 1 d) 1 a a4 a a44 a4 a a 4 a 1 4 a4 a4 a4 a 8 a4 a 8 a4 a 8a 4 a 4a 1 1 a4 a a a4 a a a4 a a4 a podm.: a 4; a 0
Stránka 145
Základní poznatky z matematiky 5 10 1 a 5 5 10 1 a 10 1 e) 1 a a 5 a a 55 a 5 a a 5 a 1 5 a 5 a 5 a 5 a 10 a 5 a 10 a 5 a 10 a 5 a 5a 1 1 a5 a a a5 a a a5 a a5 a podm.: a 5; a 0 6 12 1 a 6 6 12 1 a 12 1 f) 1 a a6 a a66 a6 a a 6 a 1 6 a6 a6 a6 a 12 a6 a 12 a 6 a 12 a 6 a 6a 1 1 a6 a a a6 a a a6 a a6 a podm.: a 6; a 0 10. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 3 1 1 a2 a6 a) c) 1 9 a a 2a 6a 2 4 1 1 a4 a 8 b) d) 4 16 a a 4a 8a
5 a 10 e) 25 a 10 a 6 1 a 12 f) 36 a 12 a 1
Řešení:
1 a 2 1 a 1 a 1 a 1 a2 a2 a2 a 2 a 1 2 a a) a 22 2 1 a 2 a 1 2a a 1 a 2 2a 1 a 2 a 1 2 a 1 a 2a 2a 2a 2 a 2a 1 a 1 podm.: a 1; a 2 2 a42 a2 a2 a2 1 a4 a4 a4 a4 a 4 a 2 4 a b) 2 4 a 4 a 4 4a a 2 4 a 2 4a 4 a 4 a 2 2 a 2 a 4a 4a 4a 4a 4a 1 a2 podm.: a 2; a 4 1
Stránka 146
Základní poznatky z matematiky 3 a63 a 3 a 3 a 3 a6 a6 a6 a6 a 6 a 3 6 a c) 2 9 a 6 a 9 6a a 2 9 a 2 6a 9 a 6 a 3 2 a 3 a 6a 6a 6a 6a 6a 1 a 3 podm.: a 3; a 6 4 a 8 4 a4 a4 a4 1 a 8 a 8 a 8 a 8 d) a 8 2 16 a 8 a 16 8a a 2 16 a 2 8a 16 a 4 a 8a 8a 8a 8a 8a a 4 8a 1 2 a 8 a 4 a 4 podm.: a 4; a 8 5 a 10 5 a 5 a 5 a 5 1 a 10 a 10 a 10 a 10 e) a 10 2 25 a 10 a 25 10a a 2 25 a 2 10a 25 a 5 a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a a 5 10 a 1 2 a 10 a 5 a 5 podm.: a 5; a 10 6 a 12 6 a6 a6 a6 1 a 12 a 12 a 12 a 12 f) a 12 2 2 2 36 a 12 a 36 12a a 36 a 12a 36 a 6 a 12 a 12 a 12 a 12 a 12 a a 6 12 a 1 2 a 12 a 6 a 6 podm.: a 6; a 12 1
11. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: a a a a a) a 1 a 3 c) a 2 a 4 a a a a a 1 a 3 a2 a4 a a a a b) a 1 a 3 d) a 2 a 4 a a a a a 1 a 3 a2 a4
e)
f)
a a a 3 a 1 a a a 3 a 1 a a a 1 a 3 a a a 1 a 3
Stránka 147
Základní poznatky z matematiky Řešení:
a a 3 a a 1 a 2 3a a 2 a 4a a a a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a) a 1 a 3 a a a a 3 a a 1 a 2 3a a 2 a 2a 2 2a a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3
a 1 a 3 4a 4a 2 4a 2a 2 2a 2a a 1 a 1 a 1 a 3 2a 2 2a
podm.: a 1; a 3; a 0 a a 3 a a 1 a 2 3a a 2 a 2a a a a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 b) a 1 a 3 a a a a 3 a a 1 a 2 3a a 2 a 2a 2 4a a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3
a 1 a 3 2a 2a 1 2a 2a 2 4a 2a a 2 a 2 a 1 a 3 2a 2 4a
podm.: a 3; a 2; a 1; a 0 a a 4 a a 2 a 2 4a a 2 2a 6a a a a 2 a 4 a 2 a 4 a 2 a 4 c) a 2 a 4 a a a a 4 a a 2 a 2 4a a 2 2a 2a 2 2a a2 a4 a 2 a 4 a 2 a 4 a 2 a 4
a 2 a 4 6a 6a 3 6a 2a 2 2a 2a a 1 a 1 a 2 a 4 2a 2 2a
podm.: a 2; a 0; a 1; a 4 a a 4 a a 2 a 2 4a a 2 2a 6a a a a 2 a 4 a 2 a 4 a 2 a 4 d) a 2 a 4 a a a a 4 a a 2 a 2 4a a 2 2a 2a 2 2a a2 a4 a 2 a 4 a 2 a 4 a 2 a 4
a 2 a 4 6a 6a 3 6a 2a 2 2a 2a a 1 a 1 a 2 a 4 2a 2 2a
podm.: a 4; a 1; a 0; a 2 a a 1 a a 3 a 2 a a 2 3a 4a a a a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 e) a 3 a 1 a a a a 1 a a 3 a 2 a a 2 3a 2a 2 2a a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1
a 3 a 1 4a 4a 2 4a 2a 2 2a 2a a 1 a 1 a 3 a 1 2a 2 2a
podm.: a 1; a 0; a 3
Stránka 148
Základní poznatky z matematiky a a 3 a a 1 a 2 3a a 2 a 2a a a a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 f) a 1 a 3 a a a a 3 a a 1 a 2 3a a 2 a 2a 2 4a a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3
a 1 a 3 2a 2a 1 2a 2a 2 4a 2a a 2 a2 a 1 a 3 2a 2 4a
podm.: a 0; a 1; a 2; a 3 12. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 2 4a 6a 3 2 2 a) a 2 a 4 c) a 9 a 3 3 4 3 4 a2 a 3 3 6a 4a 2 2 2 b) a 3 a 9 d) a 4 a 2 5 4 5 4 a 3 a2
e)
f)
10a 5 2 a 16 a 4 2 2 a4 4 8a 2 a 4 a 16 1 1 a4
Řešení:
2 a 2 4a 2 4a 2a 4 4a 2 4a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a) a 2 a 4 3 3a 6 3 3a 9 3 a 2 3 3 a2 a2 a2 a2 2a 4 a 2 a 2 2a 4 a 2 2 a 2 a 2 2 3a 9 a 2 a 2 3a 9 a 2 a 2 3 a 3 3 a 3 a2 podm.: a 2; a 3 3 a 3 6a 3 6a 3a 9 6a 3 6a 2 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 b) a 3 a 9 5 5a 15 5 5a 20 5 a 3 5 5 a 3 a 3 a 3 a 3 3a 9 a 3 a 3 3a 9 a 3 3 a 3 a 3 3 5a 20 a 3 a 3 5a 20 a 3 a 3 5 a 4 5 a 4 a 3 podm.: a 3; a 4
Stránka 149
Základní poznatky z matematiky
c)
d)
e)
f)
6a 3 a 3 6a 3 6a 3a 9 6a 3 a 2 9 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 4 4a 12 4 4a 8 4 a 3 4 4 a 3 a 3 a 3 a 3 3a 9 a 3 a 3 3a 9 a 3 3 a 3 a 3 3 4a 8 a 3 a 3 4a 8 a 3 a 3 4 a 2 4 a 2 a 3 podm.: a 3; a 2 4a 2 a 2 4a 2 4a 2a 4 4a 2 2 a 4 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 4 4a 8 4 4a 4 4 a 2 4 4 a2 a2 a2 a2 2a 4 a 2 a 2 2a 4 a 2 2 a 2 a 2 1 4a 4 a 2 a 2 4a 4 a 2 a 2 4 a 1 2 a 1 a2 podm.: a 2; a 1 10a 5 a 4 10a 5a 20 10a 5 10a 5 a 2 16 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 2 2a 8 2 2a 6 2 a 4 2 2 a4 a4 a4 a4 5a 20 a 4 a 4 5a 20 a 4 5 a 4 a 4 5 2a 6 a 4 a 4 2a 6 a 4 a 4 2 a 3 2 a 3 a4 podm.: a 4; a 3 4 a 4 8a 4 8a 4a 16 8a 4 8a 2 a 4 a 16 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 1 a 4 1 a 5 1 a 4 1 1 a4 a4 a4 a4 4a 16 a 4 a 4 4a 16 a 4 4 a 4 a 4 4 a 5 a 5 a 4 a 4 a 5 a 4 a 4 a 5 a4 podm.: a 4; a 5
13. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 4 1 9 1 2 2 2 2 a) a 4 a 1 b) a 9 a 1 3a a 2a a a 3 a 1 a 2 a 1
16 1 2 a 16 a 1 4a a a 4 a 1 2
c)
Stránka 150
Základní poznatky z matematiky 16 4 2 d) a 16 a 4 4a 2a a4 a2 2
9 4 2 a 9 a 4 3a 2a a3 a2 2
e)
16 9 2 a 16 a 9 4a 3a a 4 a 3 2
f)
Řešení:
4 a 2 1 1 a 2 4 4a 2 4 a 2 4 3a 2 4 1 2 a 2 1 a 2 4 a 2 1 a 2 4 a 2 1 a 2 4 2 a 4 a 1 a) 2a a 2a a 1 a a 2 2a 2 2a a 2 2a 3a 2 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1
3a 2
a 1 a 1 a 2 a 2
a 2 a 1 3a
2
1
a 1 a 2
podm.: a 1; a 2; a 0
9 a 2 1 1 a 2 9 9a 2 9 a 2 9 8a 2 9 1 2 a 2 1 a 2 9 a 2 1 a 2 9 a 2 1 a 2 9 2 a 9 a 1 b) 3a a 3a a 1 a a 3 3a 2 3a a 2 3a 4a 2 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1
8a 2
a 1 a 1 a 3 a 3
a 3 a 1 4a
2
2
a 1 a 3
podm.: a 1; a 3; a 0
16 a 2 1 1 a 2 16 16a 2 16 a 2 16 15a 2 16 1 2 a 2 16 a 2 1 a 2 16 a 2 1 a 2 16 a 2 1 2 a 16 a 1 c) 2 2 2 4a a 4a a 1 a a 4 4 a 4 a a 4 a 5 a a 4 a 1 a 4 a 1 a 4 a 1 a 4 a 1
15a 2
a 4 a 4 a 1 a 1
a 4 a 1 5a
2
3
a 4 a 1
podm.: a 1; a 4; a 0
16 a 2 4 4 a 2 16
16a 2 64 4a 2 64 12a 2 16 4 2 a 2 16 a 2 4 a 2 16 a 2 4 a 2 16 a 2 4 2 a 16 a 4 d) 2 2 2 4a 2a 4a a 2 2a a 4 4 a 8 a 2 a 8 a 6 a a4 a2 a 4 a 2 a 4 a 2 a 4 a 2
12a 2
a 4 a 4 a 2 a 2
a 4 a 2 6a
2
2
a 4 a 2
podm.: a 2; a 4; a 0
Stránka 151
Základní poznatky z matematiky 9 a2 4 4 a2 9
9a 2 36 4a 2 36 5a 2 9 4 2 a 2 9 a 2 4 a 2 9 a 2 4 a 2 9 a 2 4 2 a 9 a 4 e) 2 3a 2a 3a a 2 2a a 3 3a 2 6a 2a 2 6a 5 a a3 a2 a 3 a 2 a 3 a 2 a 3 a 2
5a 2
a 3 a 3 a 2 a 2
a 3 a 2 5a
2
1
a 3 a 2
podm.: a 2; a 3; a 0
16 a 2 9 9 a 2 16
16a 2 144 9a 2 144 7a 2 16 9 2 a 2 16 a 2 9 a 2 16 a 2 9 a 2 16 a 2 9 2 a 16 a 9 f) 2 2 2 4a 3a 4a a 3 3a a 4 4 a 12 a 3 a 12 a 7 a a 4 a 3 a 4 a 3 a 4 a 3 a 4 a 3
7a 2
a 4 a 4 a 3 a 3
a 4 a 3 7a
2
1
a 4 a 3
podm.: a 3; a 4; a 0 14. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 1 1 1 x x a) c) 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 1 1 1 x x b) d) 1 1 1 1 1 1 1 1 x x
1 e)
1
1 x 1
1 1 f)
1
1 x
1 x 1
1
1 x
Řešení:
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x x x x x a) 1 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x podm.: x 0; x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x2 1 x x x x x b) x 1 1 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x podm.: x 0; x 1 1
1 x 1
Stránka 152
Základní poznatky z matematiky x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 x x x x c) x 2 1 1 x x x 1 x 2x 1 x 2x 1 2x x 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 podm.: x 0; x 1; x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 x 1 x 1 x 1 x x x x x d) x 2 1 1 1 x x x 1 x 2x 1 x 2x 1 2x x 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 podm.: x 0; x 1; x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 x 1 x 1 x 1 x x x x x x e) 2 1 1 1 x x x 1 x 2x 1 x 2 x 1 2x x 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 podm.: x 0; x 1; x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 x 1 x 1 x 1 x x x x x x f) 1 1 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x podm.: x 0; x 1 1
1 x 1
15. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 1 a) 1 c) 1 1 1 1 1 a 1 a 1 1 1 b) 1 d) 1 1 1 1 1 a 1 a 1
1
e) 1
1 a 1 1 f) 1 1 1 a 1 1
Řešení: 1 1 1 a 1 a 1 a a 1 2a 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a a a a 1 a 1 a 1 a 1 podm.: a 0; a 1 1 1 1 1 a 1 a 1 a a 1 2a 1 b) 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a a a a 1 a 1 a 1 a 1 podm.: a 0; a 1
a) 1
1
Stránka 153
Základní poznatky z matematiky 1 1 1 a 1 a 1 a 2 a 1 2a 3 1 1 1 1 a 11 a2 1 a2 a2 a2 a2 1 a 1 a 1 a 1 podm.: a 2; a 1 1 1 1 1 a 1 a 1 a 2 a 1 1 d) 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a2 1 a2 a2 a2 a2 1 a 1 a 1 a 1 podm.: a 1; a 2 1 1 1 1 a 1 a 1 a a 1 1 e) 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a a a a 1 a 1 a 1 a 1 podm.: a 0; a 1 1 1 1 1 a 1 a 1 a a 1 1 f) 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a a a a 1 a 1 a 1 a 1 podm.: a 0; a 1 c) 1
1
1
16. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 1 1 1 a 1 a 1 a) c) 1 1 1 1 1 1 1 1 a a 1 1 1 1 a 1 a 1 b) d) 1 1 1 1 1 1 1 1 a a
1 a 1 e) 1 1 1 1 a 1 1 a 1 f) 1 1 1 1 a 1
Řešení:
1 a 1 1 a a a a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a a a) 1 1 1 a a a 1 a 1 a 1 1 a 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 1 a a podm.: a 1; a 0; a 1 1 a 1 1 a2 a2 a2 a2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 b) 1 1 1 a a a 1 a 2a 1 a 1 2a 1 2a 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 1 a a 1 podm.: a 0; a ; a 1 2 1
Stránka 154
Základní poznatky z matematiky 1 a 1 1 a a a a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a c) 1 1 1 a a a 1 a 2a 1 a 1 2a 1 2a 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 1 a a 1 podm.: a 1; a ; a 0 2 1 a 11 a2 a2 a2 a2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 d) 1 1 1 a a a 1 a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 1 a a podm.: a 1; a 0 1 a 11 a2 a2 a2 a2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 e) 1 1 1 a a a 1 a 2a 1 a 1 2a 1 2a 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 1 a a 1 podm.: a 1; a ; a 0 2 1 a 1 1 a2 a2 a2 a2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 f) 1 1 1 a a a 1 a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 1 a a podm.: a 0; a 1 1
17. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 3 1 1 a2 a6 a) c) 1 9 a a 2a 6a 2 4 1 1 a4 a 8 b) d) 4 16 a a 4a 8a
5 a 10 e) 25 a 10 a 6 1 a 12 f) 36 a 12 a 1
Řešení:
1 a 2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2a a2 a2 a2 a) a 22 a2 2 2 1 a 2 a 1 2a a 1 a 2a 1 a 1 a 2 a 1 2 a 2a 2a 2a 2a 2a 1 a 1 podm.: a 1; a 2 1
Stránka 155
Základní poznatky z matematiky 2 a42 a2 a2 a2 a2 4a a4 a4 a4 a4 b) a4 2 2 2 2 4 a 4 a 4 4a a 4 a 4a 4 a 2 a 4 a 2 a 4a 4a 4a 4a 4a 1 a2 podm.: a 2; a 4 3 a63 a 3 a 3 a 3 1 a 3 6a a6 a6 a6 a6 c) a6 2 2 2 2 9 a 6 a 9 6a a 9 a 6a 9 a 3 a 6 a 3 a 6a 6a 6a 6a 6a 1 a 3 podm.: a 3; a 6 4 a 8 4 a4 a4 a4 1 a4 8a a 8 a 8 a 8 a 8 d) a 8 2 2 2 2 16 a 8 a 16 8a a 16 a 8a 16 a 4 a 8 a 4 a 8a 8a 8a 8a 8a 1 a4 podm.: a 4; a 8 5 a 10 5 a 5 a 5 a 5 1 a 10 a 10 a 10 a 10 e) a 10 25 a 10 a 25 10a a 2 25 a 2 10a 25 a 5 2 a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a 1
a 5 10 a 1 a 10 a 5 2 a 5
podm.: a 5; a 10 6 a 12 6 a6 a6 a6 1 a 12 a 12 a 12 a 12 f) a 12 36 a 12 a 36 12a a 2 36 a 2 12a 36 a 6 2 a 12 a 12 a 12 a 12 a 12 a
a6 12 a 1 2 a6 a 12 a 6
podm.: a 6; a 12 18. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: 1 2 a 1 a) 1 2 a Stránka 156
Základní poznatky z matematiky Řešení:
2 a 1 1 2a 2 1 2a 1 1 2a 1 a a a 1 a 1 a) a 1 a 1 1 2 a 1 2a 1 2a 1 a 1 2a 1 a 1 2 a a a a 1 podm.: a 1; a 0; a 2 2
19. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti: a a 2 a b3 a a2 a 27b3 a) 1 2 1 3 3 d) 1 2 1 3 3 b b b a b 3b 9b 3b a 27b
a a2 a 8b3 b) 1 2 1 3 3 2b 4b 2b a 8b b b2 b 8a3 2 1 3 c) 1 3 2a 4a 2a b 8a
b b2 b 27a3 e) 1 2 1 3 3 3a 9a 3a b 27a 2a 4a 2 2a 27b3 2 1 3 f) 1 3 3b 9b 3b 8a 27b
Řešení: a a 2 a b3 b 2 ab a 2 b a b3 a) 1 2 1 3 3 b2 b a b a 2 ab b 2 b b b a b
a
2
ab b 2 1 a b b3
b3 a b a 2 ab b 2
1
podm.: a b; b 0 a a2 a 8b3 4b 2 2ab a 2 2b a 8b3 b) 1 2 1 3 3 4b 2 2b a 2b a 2 2ab 4b 2 2b 4b 2b a 8b
a
2
2ab 4b 2 1 a 2b 8b3
8b3 a 2b a 2 2ab 4b 2
1
podm.: a 2b; b 0
b b2 b 8a 3 4a 2 2ab b 2 2a b 8a 3 c) 1 2 1 3 3 4a 2 2a b 2a b 2 2ab 4a 2 2a 4a 2a b 8a
b
2
2ab 4a 2 1 b 2a 8a 3
8a 3 b 2a b 2 2ab 4a 2
1
podm.: b 2a; a 0
Stránka 157
Základní poznatky z matematiky a a2 a 27b3 9b 2 3ab a 2 3b a 27b3 d) 1 2 1 3 3 9b 2 3b a 3b a 2 3ab 9b 2 3b 9b 3b a 27b
a
2
3ab 9b 2 1 a 3b 27b3
27b3 a 3b a 2 3ab 9b 2
1
podm.: a 3b; b 0
b b2 b 27a 3 9a 2 3ab b 2 3a b 27a 3 e) 1 2 1 3 3 9a 2 3a b 3a b 2 3ab 9a 2 3a 9a 3a b 27a
b
2
3ab 9a 2 1 b 3a 27a 3
27a 3 b 3a b 2 3ab 9a 2
1
podm.: b 3a; a 0
2a 4a 2 2a 27b3 9b 2 6ab 4a 2 3b 2a 27b3 f) 1 2 1 3 3 9b 2 3b 2a 3b 4a 2 6ab 9b2 3b 9b 3b 8a 27b
4a
2
6ab 9b 2 1 2a 3b 27b3
27b3 2a 3b 4a 2 6ab 9b 2
1
3 podm.: a b; b 0 2
Stránka 158
Základní poznatky z matematiky 1.8 Dělitelnost 1. Dokažte: a) součin dvou sudých čísel je číslo sudé b) součinem dvou sudých čísel je číslo dělitelné čtyřmi c) součet dvou sudých čísel je číslo sudé d) součet sudého a lichého čísla je číslo liché e) součtem dvou lichých čísel je číslo sudé. Řešení: a) součin dvou sudých čísel je číslo sudé Nechť: a 2k ; k Z 0 b 2l ; l Z 0
a b 2k 2l 2 2kl číslo je sudé b) součin dvou sudých čísel je číslo dělitelné čtyřmi Nechť: a 2k ; k Z 0 b 2l ; l Z 0
a b 2k 2l 4kl číslo je dělitelné čtyřmi c) součet dvou sudých čísel je číslo sudé Nechť: a 2k ; k Z 0
b 2l ; l Z 0
a b 2k 2l 2 k l číslo je sudé d) součet sudého a lichého čísla je číslo liché Nechť: a 2k ; k Z 0 b 2l 1; l Z 0
a b 2k 2l 1 2 k l 1 číslo je liché e) součtem dvou lichých čísel je číslo sudé Nechť: a 2k 1; k Z 0
b 2l 1; l Z 0
a b 2k 1 2l 1 2k 2l 2 2 k l 1 číslo je sudé
2. Dokažte, že platí: a) n N : 3 n3 5n b) n N : 3 n3 7n c) n N : 3 n3 2n 3 d) n N : 3 n3 4n 3 e) n N : 4 n4 2n3 n2 2n f) n N : 4 n4 2n3 n2 2n g) n 2k 1, k N0 : 96 n4 2n2 2013 Stránka 159
Základní poznatky z matematiky Řešení: a) n N : 3 n3 5n n N : 3 n n 2 5 1. způsob n3 5n n n 2 5 n n 2 1 6 n n 2 1 6n n 1 n n 1 6n 3 n 1 n n 1 3 3 n 5n 3 6n 2. způsob 2 n 3k 3k 3k 5 3k 9k 2 5 je dělitelné 3 2 n 3k 1 3k 1 3k 1 5 3k 1 9k 2 6k 1 5 3k 1 9k 2 6k 6
3 3k 1 3k 2 2k 2 je dělitelné 3
2 n 3k 2 3k 2 3k 2 5 3k 2 9k 2 12k 4 5 3k 2 9k 2 12k 9
3 3k 2 3k 2 4k 3 je dělitelné 3
platí tedy, žen N : 3 n3 5n
b)
n N : 3 n3 7n n N : 3 n n 2 7 1. způsob n3 7n n n 2 7 n n 2 1 6 n n 2 1 6n n 1 n n 1 6n 3 n 1 n n 1 3 3 n 7n 3 6n 2. způsob 2 n 3k 3k 3k 7 3k 9k 2 7 je dělitelné 3 2 n 3k 1 3k 1 3k 1 7 3k 1 9k 2 6k 1 7 3k 1 9k 2 6k 6
3 3k 1 3k 2 2k 2 je dělitelné 3
2 n 3k 2 3k 2 3k 2 7 3k 2 9k 2 12k 4 7 3k 2 9k 2 12k 3
3 3k 2 3k 2 4k 1 je dělitelné 3
platí tedy, žen N : 3 n3 7 n
Stránka 160
Základní poznatky z matematiky c)
n N : 3 n3 2n 3 1. způsob n3 2n 3 n n 2 2 3 n n 2 1 3 3 n n 2 1 3n 3 n 1 n n 1 3n 3
n 1 n n 1 3 n 1 3 n 1 n n 1 3 3 n 2n 3 3 3 n 1 2. způsob 3 n 3k 3k 2 3k 3 27 k 3 6k 3 3 9k 3 2k 1 je dělitelné 3 3 n 3k 1 3k 1 2 3k 1 3 27k 3 27k 2 9k 1 6k 2 3
27 k 3 27k 2 15k 6 3 9k 3 9k 2 5k 2 je dělitelné 3
n 3k 2 3k 2 2 3k 2 3 27 k 3 54k 2 36k 8 6k 4 3 3
27 k 3 54k 2 42k 15 3 9k 3 18k 2 14k 5 je dělitelné 3
platí tedy, žen N : 3 n3 2n 3
d)
n N : 3 n3 4n 3 1. způsob n3 4n 3 n n 2 4 3 n n 2 1 3 3 n n 2 1 3n 3 n 1 n n 1 3n 3
n 1 n n 1 3 n 1 3 n 1 n n 1 3 3 n 4n 3 3 3 n 1 2. způsob 3 n 3k 3k 4 3k 3 27k 3 12k 3 3 9k 3 4k 1 je dělitelné 3 3 n 3k 1 3k 1 4 3k 1 3 27 k 3 27 k 2 9k 1 12k 4 3
27 k 3 27 k 2 3k 3 9k 3 9k 2 k je dělitelné 3
3 n 3k 2 3k 2 4 3k 2 3 27 k 3 54k 2 36k 8 12k 8 3
27 k 3 54k 2 24k 3 3 9k 3 18k 2 8k 1 je dělitelné 3
platí tedy, žen N : 3 n3 4n 3
e)
n N : 4 n 4 2n3 n 2 2n n 4 2n3 n 2 2n n3 n 2 n n 2 n 2 n3 n n 2 n n 2 1 n 2 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 2
n 1 n n 1 n 2 je součin čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel, který je dělitelný čtyřmi Stránka 161
Základní poznatky z matematiky f)
n N : 4 n 4 2n3 n 2 2n n 4 2n3 n 2 2n n3 n 2 n n 2 n 2 n3 n n 2 n n 2 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 n 1 n n 1
n 2 n 1 n n 1 je součin čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel, který je dělitelný čtyřmi g)
2k 1
4
2 2k 1 2013 4k 2 4k 1 2 4k 2 4k 1 2013 2
2
16k 4 16k 2 1 32k 3 8k 2 8k 8k 2 8k 2 2013 16k 4 32k 3 32k 2 16k 2016 16 k 4 2k 3 2k 2 k 16 126 16k k 3 2k 2 2k 1 16 126 16k k 3 1 2k k 1 16 126 16k k 1 k 2 k 1 2k k 1 16 126 16k k 1 k 2 k 1 2k 16 126 16k k 1 k 2 k 1 16 126
16k k 1 k 2 2k 3k 1 16 126 16k k 1 k 2 2k 1 3k 16 126 16k k 1 k 1 3k 16 126 16 k k 1 k 1 3k 2 k 1 126 2
2
2 2 2 2 k k 1 k 1 3 k k 1 k 1 6 k k 1 k 1 2 2 2 2 3k k 1 3 3k k 1 6 3k k 1 4 2 96 n 2n 2013 2 126 3 126 6 126 2 16 k k 1 k 1 3k 2 k 1 126
3. Najděte prvočíselný rozklad uvedených čísel: a) 13770 b) 4788 c) 2808 d) 760 Řešení: a) 13770 2 34 5 17 b) 4788 22 32 7 19 c) 2808 23 33 13 d) 760 23 5 19 4. Vypište všechny dělitele čísla: a) 24 e) 48 b) 30 f) 60 c) 36 g) 72 d) 40 h) 80
i) j) k) l)
90 100 150 160
m) 180 n) 252
Řešení: a) číslo 24 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 b) číslo 30 je dělitelné: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 c) číslo 36 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 d) číslo 40 je dělitelné: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Stránka 162
Základní poznatky z matematiky e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)
číslo 48 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 číslo 60 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 číslo 72 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 číslo 80 je dělitelné: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 číslo 90 je dělitelné: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 číslo 100 je dělitelné: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 číslo 150 je dělitelné: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 číslo 160 je dělitelné: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160 číslo 180 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 číslo 252 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252
5. Rozhodněte, zda daná čísla jsou prvočísla: a) 331 b) 481 c) 563 d) 1537 Řešení: a) 331
b)
331 18, 2 Číslo 331 není dělitelné 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Proto se jedná o prvočíslo 481
c)
481 21,9 Číslo 481 je dělitelné prvočíslem 13, nejedná se o prvočíslo 563
d)
563 23, 7 Číslo 331 není dělitelné 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Proto se jedná o prvočíslo 1537 1537 39, 2 Číslo 481 je dělitelné prvočíslem 29, nejedná se o prvočíslo
6. Zjistěte, zda uvedené číslo je prvočíslo: a) 851 e) 997 b) 899 f) 1009 c) 943 g) 1073 d) 989 h) 1189
i) j) k) l)
1591 1739 1763 1927
m) 2139 n) 3515
Řešení: a) 851 23 37 není prvočíslo b) 899 29 31 není prvočíslo c) 943 23 41 není prvočíslo d) 989 23 43 není prvočíslo e) 997 je prvočíslo f) 1009 je prvočíslo g) 1073 29 37 není prvočíslo h) 1189 29 41 není prvočíslo i) 1591 37 43 není prvočíslo j) 1739 37 47 není prvočíslo Stránka 163
Základní poznatky z matematiky k) l) m) n)
1763 41 43 není prvočíslo 1927 41 47 není prvočíslo 2139 3 23 31 není prvočíslo 3515 5 19 37 není prvočíslo
7. Určete nejmenší společný násobek čísel: a) 24 a 30 d) 32 a 36 b) 28 a 42 e) 36 a 42 c) 30 a 44 f) 28 a 50
g) 72 a 108 h) 54 a 120
Řešení: a) 24 2 2 2 3 n 24; 30 2 2 2 3 5 120 30 2 3 5
b) 28 2 2 7 n 28; 42 2 2 3 7 84 42 2 3 7 c) 30 2 3 5 n 30; 44 2 2 3 5 11 660 44 2 2 11 d) 32 2 2 2 2 2 n 32; 36 2 2 2 2 2 3 3 288 36 2 2 3 3 e) 36 2 2 3 3 n 36; 42 2 2 3 3 7 252 42 2 3 7 f) 28 2 2 7 n 28; 50 2 2 5 5 7 700 50 2 5 5 g) 72 2 2 2 3 3 n 72; 108 2 2 2 3 3 3 216 108 2 2 3 3 3 h) 54 2 3 3 3 n 54; 120 2 2 2 3 3 3 5 1080 120 2 2 2 3 5 8. Určete nejmenší společný násobek čísel: a) 168 a 180 c) 270 a 420 b) 120 a 300 d) 252 a 378
e) 420 a 450 f) 504 a 540
Řešení: a) 168 2 2 2 3 7 n 168; 180 2 2 2 3 3 5 7 2520 180 2 2 3 3 5
b) 120 2 2 2 3 5 n 120; 300 2 2 2 3 5 5 600 300 2 2 3 5 5 c) 270 2 3 3 3 5 n 270; 420 2 2 3 3 3 5 7 3780 420 2 2 3 5 7 d) 252 2 2 3 3 7 n 252; 378 2 2 3 3 3 7 756 378 2 3 3 3 7 e) 420 2 2 3 5 7 n 420; 450 2 2 3 3 5 5 7 6300 450 2 3 3 5 5 Stránka 164
Základní poznatky z matematiky f) 504 2 2 2 3 3 7 n 504; 540 2 2 2 3 3 3 5 7 7560 540 2 2 3 3 3 5 9. Určete největší společný dělitel čísel: a) 480 a 672 f) 3528 a 3780 b) 540 a 756 g) 5040 a 5400 c) 1200 a 1680 h) 5880 a 6300 d) 1260 a 1620 i) 7056 a 7560 e) 2520 a 2700 j) 8400 a 17640
k) l) m) n)
8820 a 9450 10584 a 11340 17640 a 18900 18480 a 19800
Řešení: a) 480 2 2 2 2 2 3 5 D 480; 672 2 2 2 2 2 3 96 672 2 2 2 2 2 3 7
b) 540 2 2 3 3 3 5 D 540; 756 2 2 3 3 3 108 756 2 2 3 3 3 7 c) 1200 2 2 2 2 3 5 5 D 1200; 1680 2 2 2 2 3 5 240 1680 2 2 2 2 3 5 7 d) 1260 2 2 3 3 5 7 D 1260; 1620 2 2 3 3 5 180 1620 2 2 3 3 3 3 5 e) 2520 2 2 2 3 3 5 7 D 2520; 2700 2 2 3 3 5 180 2700 2 2 3 3 3 5 5 f) 3528 2 2 2 3 3 7 7 D 3528; 3780 2 2 3 3 7 252 3780 2 2 3 3 3 5 7 g) 5040 2 2 2 2 3 3 5 7 D 5040; 5400 2 2 2 3 3 5 360 5400 2 2 2 3 3 3 5 5 h) 5880 2 2 2 3 5 7 7 D 5880; 6300 2 2 3 5 7 420 6300 2 2 3 3 5 5 7 i) 7056 2 2 2 2 3 3 7 7 D 7056; 7560 2 2 2 3 3 7 504 7560 2 2 2 3 3 3 5 7 j) 8400 2 2 2 2 3 5 5 7 D 17640; 8400 2 2 2 3 5 7 840 17640 2 2 2 3 3 5 7 7 k) 8820 2 2 3 3 5 7 7 D 8820; 9450 2 3 3 5 7 630 9450 2 3 3 3 5 5 7 l) 10584 2 2 2 3 3 3 7 7 D 10584; 11340 2 2 3 3 3 7 756 11340 2 2 3 3 3 3 5 7 m) 17640 2 2 2 3 3 5 7 7 D 17640; 18900 2 2 3 3 5 7 1260 18900 2 2 3 3 3 5 5 7 n) 18480 2 2 2 2 3 5 7 11 D 18480; 19800 2 2 2 3 5 11 1320 19800 2 2 2 3 3 5 5 11
Stránka 165
Základní poznatky z matematiky 10. Najděte nejmenší společný násobek a největší společný dělitel čísel: a) 18; 20; 90 e) 110; 132; 154 b) 70; 25; 98 f) 6; 12; 14; 35 c) 20; 22; 24 g) 72; 90; 150; 240 d) 124; 186; 248 h) 18; 42; 126; 252 Řešení: a) 18; 20; 90
c)
n 18, 20,90 22 32 5 180 20 2 5 D 18, 20,90 2 90 2 32 5 70; 25; 98 70 2 5 7 2 2 n 25, 70,98 2 5 7 2450 25 52 D(25, 70,98) 1 2 98 2 7 20; 22; 24
d)
20 22 5 3 n 20, 22, 24 2 3 5 11 1320 22 2 11 D 20, 22, 24 2 24 23 3 124; 186; 248
18 2 32 2
b)
e)
f)
124 22 31 3 n 124,186, 248 2 3 31 744 186 2 3 31 D 124,186, 248 2 31 62 248 23 31 110; 132; 154 110 2 5 11 n 110,132,154 2 5 6 7 11 4620 132 2 6 11 D 110,132,154 2 11 22 154 2 7 11 6; 12; 14; 35 6 23 2 12 22 3 n 6,12,14,35 2 3 5 7 420 D 6,12,14,35 1 14 2 7 35 5 7
Stránka 166
Základní poznatky z matematiky g)
72; 90; 150; 240
h)
90 2 32 5 n 72,90,150, 240 24 32 52 3600 D 72,90,150, 240 2 3 6 150 2 3 52 240 24 3 5 18; 42; 126; 252 72 23 32
2 2 n 18, 42,126, 252 2 3 7 252 D 18, 42,126, 252 2 3 6 126 2 32 7 252 22 32 7 18 2 32 42 2 3 7
11. Najděte čísla, která splňují následující podmínky: a) Společné násobky čísel 12 a 42, která jsou menší, než jejich součin b) Nejmenší čtyřciferné číslo, které je společným násobkem čísel 21 a 35 c) Společný násobek čísel 72 a 90, který je větší než 1000 d) Společný násobek čísel 60 a 84, který je menší než 1000 a větší než 500 Řešení: a) Společné násobky čísel 12 a 42, která jsou menší než jejich součin. 12 42 504
12 22 3 2 n 12, 42 2 3 7 84 42 2 3 7 84, 3 84 168, 4 84 252, 5 84 336, 6 84 420, 7 84 504 b)
c)
d)
násobky splňující podmínku: 84, 168, 252, 336, 420 Nejmenší čtyřciferné číslo, které je společným násobkem čísel 21 a 35 21 3 7 n 21,35 3 5 7 105 35 5 7
9 105 945, 10 105 1050 násobek splňující podmínku: 1050 Nejmenší společný násobek čísel 72 a 90, který je větší než 1000 72 23 32 3 2 n 72,90 2 3 5 360 2 90 2 3 5 3 360 1080
násobek splňující podmínku: 1080 Společný násobek čísel 60 a 84, který je menší než 1000 a větší než 500 60 22 3 5 2 n 60,84 2 3 5 7 420 2 84 2 3 7 2 420 840, 3 420 1260 násobek splňující podmínku: 840 a 1260 Stránka 167
Základní poznatky z matematiky 12. Hřiště má běžeckou dráhu délky 250 m. Ze startovní čáry vybíhají současně dva běžci. První uběhne jedno kolo za 56 sekund, druhý za 1 minutu a 4 sekundy. Kolik kol by museli uběhnout, aby se opět setkali na startovní čáře? Za jakou dobu se tak stane? Kolik km uběhne do té doby každý z nich? Řešení: t1 56 s t2 64 s 56 23 7 6 n 56, 64 2 7 448 6 64 2 448 7 min 28 s 448 : 56 8 kol 8 250 2000 m 448 : 64 7 kol 7 250 1750 m
Běžci se potkají za 7 min 28s , první uběhne v 8 kolech 2 000 m, druhá v 7 kolech 1750 m. 13. Určete nejmenší možný počet stromů, které by se daly zasadit v řadách po 6, 8, 9 nebo 10 stromech. Řešení: 6 23 8 23 3 2 n 6,8,9,10 2 3 5 360 2 93 10 2 5 Nejmenší počet stromů je 360. 14. Při sokolských sletech se připravují k nástupu cvičenci, kterých je méně než 100. Když se cvičenci postaví do dvojstupu, trojstupu, čtyřstupu nebo pěti stupu, vždy je jeden cvičenec navíc. Kolik cvičenců je na nástupu? Řešení: 22 3 3 n 2,3, 4,5, 22 3 5 60 2 42 5 5 60 1 61 Na nástupu je 61 cvičenců. 15. Obdélník s rozměry 72 cm a 48 cm máme rozdělit na co nejmenší počet shodných čtverců. Určete počet čtverců a jejich rozměry.
Stránka 168
Základní poznatky z matematiky Řešení: 72 23 32 3 D 72, 48 2 3 24 4 48 2 3 72 : 24 3
48 : 24 2 3 2 6 Obdélník je rozdělen na 6 čtverců se stranou 24 cm. 16. Tři ocelové tyče o délkách 24 dm, 3 m a 160 cm mají být rozřezány na stejně dlouhé části. Určete jejich největší možnou délku a počet. Řešení: 24 dm 240 cm 3 m 300 cm 160 cm 240 24 3 5 300 22 3 52 D 160, 240,300 2 2 5 20 160 25 5 240 : 20 12 300 : 20 15 160 : 20 8 12 15 8 35
Tyče jsou rozděleny na 35 částí o velikosti 20 cm. 17. Cihly tvaru kvádru o rozměrech 290 mm, 140 mm a 65 mm chceme naskládat do formátu tvaru krychle. Určete nejmenší možnou délku hrany této krychle, jestliže má být úplně plná. Dále určete počet kusů cihel, které se do ní vejdou. Řešení: 280 23 5 7 140 22 5 7 n 12,140, 280 23 32 5 7 2520 72 23 32 2520 : 280 9 2520 :140 6 2520 : 72 35 9 6 35 1890
Krychle by měla hranu 2,52 m a naskládáme do ní 1890 cihel. 18. Určitý počet fazolí skládáme po 3, 4, 5, 6 a 8 a přitom vždy zbydou 2 fazole. Pouze jestliže je poskládáme po 7, nezbyde žádná fazole.
Stránka 169
Základní poznatky z matematiky Řešení: n 3, 4,5, 6,8 120
Vyzkoušíme, který násobek 120 zvětšený o 2 je dělitelný 7: 120 2 122 122 : 7 17, 4 240 2 242 242 : 7 34, 6 360 2 362 362 : 7 51,8 600 2 602 602 : 86 Podmínku dělitelnosti 7 splňuje pouze číslo 602. Fazolí je 602. 19. Dvě děti četly stejnou knihu. Starší z dětí denně přečetl 15 stran, mladší 12 stran. Starší knihu přečetl o 4 dny dříve. Kolik měla kniha stran? Řešení: n 12,15 60
60 :12 5 5 4 1 60 :15 4 120 :12 10 10 8 2 120 :15 8 180 :12 15 15 12 3 180 :15 12 240 :12 20 20 16 4 dny 240 :15 16 Kniha měla 240 stran. 20. Jestliže se posadí 7 žáků do každé řady, zůstane pro poslední řadu jen jeden žák. Jestliže se posadí do každé lavice jen šest žáků, nezůstane pro jednoho žáka místo. Kolik žáků a kolik lavic je v této třídě? Řešení: Jestliže při obsazení řad po 7 zůstane 1 žák navíc, jedná se o násobky 7 zvětšené o 1 Jestliže při obsazení řad po 6 jedná se o násobky 6, zvětšené o 5 8,15, 22, 29,36 Násobky 7 zvětšené o 1: 11,17, 23, 29,35 Násobky 6 zvětšené o 5: Tato čísla se shodují v čísle 29. 29 : 7 4 (zb. 1) Ve třídě je 29 žáků, kteří sedí ve 4 plně obsazených řadách a v jedné obsazené jen částečně. 21. Najděte všechny dvojice přirozených čísel x, y, tak aby jejich největší společný dělitel byl 12 a nejmenší společný násobek byl 180.
Stránka 170
Základní poznatky z matematiky Řešení: D( x, y ) 12 22 3
n( x, y ) 180 22 32 5 a) x 22 32 36 y 22 3 5 60 b) x 22 3 12 y 22 32 5 180 Podmínku splňují dvojice čísel 36,60 a 12,180.
Stránka 171
