SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY
1. Výrazy a počítání s nimi ............................................................................... 4 1.1.
Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem .......................................... 4
1.2 Počítání s odmocninami ........................................................................................................ 7 1.3 Úpravy algebraických výrazů .............................................................................................. 10
2. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy ...........................................................12 2.1 Lineární rovnice, rovnice s neznámou ve jmenovateli ....................................................... 12 2.2 Soustavy lineárních rovnic .................................................................................................. 18 2.3 Lineární nerovnice............................................................................................................... 26 2.4 Soustavy lineárních nerovnic, nerovnice v součinovém a podílovém tvaru....................... 28 2.5 Kvadratické rovnice ............................................................................................................. 33 2. 6. Kvadratické nerovnice ....................................................................................................... 34 2. 7. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ....................................................................... 38 2. 8. Rovnice s parametrem ...................................................................................................... 45 2. 9. Iracionální rovnice – rovnice s neznámou v odmocněnci (pod odmocninou) .............. 49 2.10. Exponenciální rovnice ...................................................................................................... 53 2.11 Logaritmické rovnice ........................................................................................................ 57 2.12 Goniometrické rovnice ...................................................................................................... 60 2. 13. Soustava lineární a kvadratické rovnice .......................................................................... 67
3. Funkce ........................................................................................................69 3. 1. Funkce - definice, vlastnosti,…. ......................................................................................... 69 3. 2. Lineární funkce, lomená funkce ........................................................................................ 70 3. 3 Mocninné a kvadratické funkce ......................................................................................... 75 3. 4. Exponenciální funkce ........................................................................................................ 82 3. 5. Logaritmická funkce, logaritmy a počítání s nimi. ............................................................ 87 3. 6. Goniometrické funkce ....................................................................................................... 92
4. Planimetrie, stereometrie ..........................................................................95 4. 1. Obvody a obsahy rovinných obrazců ................................................................................ 95 4. 2. Řešení pravoúhlého trojúhelníku ...................................................................................... 98 4. 3. Řešení obecného trojúhelníku ........................................................................................ 101 4. 4. Povrchy a objemy těles ................................................................................................... 105
5. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika .......................................... 107
5. 1. Variace, permutace, kombinace, kombinatorické pravidlo součinu .............................. 107 5. 2. Výrazy a rovnice s n! a s kombinačními čísly .................................................................. 113 5. 3. Binomická věta ................................................................................................................ 117 5. 4. Základy pravděpodobnosti .............................................................................................. 119 5. 5. Základy statistiky ............................................................................................................. 122
6. Posloupnosti a základy finanční matematiky ............................................ 128 6. 1. Pojem a určení posloupnosti, vlastnosti posloupnosti ................................................... 128 6.2 Aritmetická posloupnost ................................................................................................... 131 6.3 Geometrická posloupnost (GP) ......................................................................................... 133 6.4 Využití posloupností, slovní úlohy..................................................................................... 136
7. Analytická geometrie v rovině ..................................................................... 140 7.1. Vzdálenost dvou bodů, střed úsečky ............................................................................... 140 7.2. Vektor, vektorová algebra................................................................................................ 142 7.3. Přímka v rovině ................................................................................................................ 149 7.4. Vzájemná poloha dvou přímek v rovině .......................................................................... 152 7.5. Vzdálenost bodu od přímky ............................................................................................. 157 7.6. Kružnice ............................................................................................................................ 159 7.7. Kružnice a přímka ............................................................................................................. 162 7.8. Elipsa ................................................................................................................................ 164 7.9. Elipsa a přímka ................................................................................................................. 168 7.10. Parabola ......................................................................................................................... 171 7.11. Parabola a přímka .......................................................................................................... 174 7.12. Hyperbola ....................................................................................................................... 178 7.13. Hyperbola a přímka ........................................................................................................ 181
1. Výrazy a počítání s nimi 1.1. Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem
1.1.1 Mocniny s celým mocnitelem V dalších úlohách budeme užívat následující pravidla a vlastnosti mocnin: a R \ 0
(1) a0 = 1 1 1 = n a a
(2) a-n =
n
n
a R \ 0
n N
n
a b a, b R \ 0 n N b a ar . as = ar+s r, s N r s r-s a : a = a (ar)s = (as)r = ar.s (a.b)r = ar . b r (a : b)r = ar : br
(3) (4) (5) (6) (7) (8)
Zjednodušte dané výrazy: a) (
)
(
)
(
)
Provedeme úpravu dělitele. Odstraníme záporný mocnitel. Umocníme každou proměnnou i číslo samostatně; nahradíme 4 = 22 – viz Pravidla (7), (8). Násobíme, resp. dělíme mocniny o stejném základu – viz Pravidla (4), (5): (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Podmínka: b) (
(
)
)
(
)
Provedeme úpravu se zápornými mocniteli – viz Pravidla (2), (3), resp. (1). Upravíme dělení zlomkem na násobení jeho převrácenou hodnotou: (
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
) Podmínka:
c) (
)
(
)
x>2,
)
Umocníme dle Pravidel (6), (7), (8), resp. (1) a násobíme, resp. dělíme mocniny o stejném základu – viz Pravidla (4), (5): (
)
(
) Podmínka:
1.1.2 Mocniny s racionálním mocnitelem Pro mocniny s racionálním mocnitelem platí Pravidla (1) – (8) – viz kapitolka 1.1.1 Mocniny s celým mocnitelem. Dále pak musí splňovat následující pravidla: PRAVIDLA : (√ )
(9) √ (10) √
√
√
(11) √
√
√
(12) √ √
√
(13) √
√
Zjednodušte dané výrazy (počítejte pomocí pravidel pro počítání s mocninami s racionálním mocnitelem): a) (
)
Užijeme Pravidla (4), (5) a respektujeme počítání se zlomky:
(
) Podmínka:
√
b) √(
)
Upravíme na mocniny s racionálním mocnitelem dle Pravidla (9) a dále užijeme Pravidla (4), (5), (6):
√(
√
)
(
)
(
)
Podmínka: c) √ √ √ √
(
)
( ) Podmínka:
d) (
)
Čísla v základu mocniny upravíme na mocniny prvočísel. (
)
(
)
( )
e) ( )
(
f)
√ √ √ √
)
(
)
( )
√ √ √ √
g) √
√
√
)
(
)
√
√
√
(
h) ( )
(
(
√
)
(
)
) (
(
√ √
√
)
(
)
) (
) Podmínka:
1.2 Počítání s odmocninami 1.2.1 Částečné odmocňování Číslo nebo výraz pod odmocninou rozložíme tak, aby alespoň jeden z činitelů šel odmocnit a pak užijeme vzorec √ a) √
b) √
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
1.2.2 Usměrňování zlomků Tuto úpravu užíváme, pokud se ve jmenovateli zlomku vyskytuje odmocnina 1. ZPŮSOB: Rozšíříme čitatele i jmenovatele výrazem, který je v zadání ve jmenovateli a pak upravujeme: 2. ZPŮSOB: Nejdříve zjednodušíme zadaný zlomek a pak rozšíříme podle vzoru 1. způsobu: a) Volíme 1. způsob výpočtu: √ √
√
√
√
Volíme 2. způsob výpočtu: (√ ) √
√ √ b)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(√
√ )
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ (√
√
√
√
√
√ )
(√
√ )
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ ( √
√
√
√
( √ )
√ )
(√
)
√
√
√
1.2.3 Zjednodušte dané výrazy pomocí pravidel pro počítání s odmocninami PRAVIDLA pro počítání s odmocninami √
(1) √ (2) √
√
√ √
(3) √ √
√
(4) √
√
(5) √
(√ )
a) √
√
Nejprve upravíme na stejné odmocnitele dle Pravidla (4), potom sloučíme pod jednu odmocninu dle Pravidla (1): √
√
√
√
√
√ Podmínka:
b)
√ √
Odstraníme záporné mocnitele a ve jmenovateli užijeme pravidlo (4) : √
√
√
√
√
√
√
√ Podmínka:
c) √ √
√ √ √ √
√√
√ √
√√
√
√
√
√
√ Podmínka:
d) (
√ √
√ √
) (
√
√
)
√
√
Nejprve upravíme závorku, tj. 1. zlomek a pak dále dělení převedeme na násobení. V poslední řadě krátíme a sečteme zbylé zlomky: (
√ √
√ √
) (
√
(√
) √ )
√ √ )(
(√ √
√
√ √ (√
√
√ √ √ )
√
√
√ √ √
√ √
√
√
√
√
√
√ √
Podmínka: e) √ √ √
√
√
√
√
√
√
√
√ )
√
√
√
√ √√
√ √ √
√
√√
√
√
√
√
Úprava mezivýsledku: √ Podmínka: √
f)
Upravíme na odmocniny √
g) √(
√
√
√
√
√
√
√
√ Podmínka:
x
Podmínka:
x
)
√(
√
)
√
√
√√
√ √
√√
√
1.3 Úpravy algebraických výrazů 1.3.1 Vypočtěte Úloha se vztahuje na sčítání, resp. odčítání zlomků. Zopakujte si stanovení společného jmenovatele a převedení všech zlomků na něj. a) (
Rozložte si složený výraz:
) (
(
) )
(
)
Podmínky: b) Rozklad jmenovatelů:
(
) a
(
)(
)
(
)
(
) (
(
)(
)(
( )
)(
)
) Podmínky:
c)
Podmínky: d) 1. způsob úpravy: (
) (
)
2. způsob úpravy: ( (
) ) Podmínky:
e) Zvolte libovolný ze způsobů úpravy.
Podmínky: f)
(
)(
)
(
)(
)
( (
)( )(
) )
Podmínky:
2. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.1 Lineární rovnice, rovnice s neznámou ve jmenovateli 2.1.1 Řešte v R rovnice a proveďte zkoušku a)
(
)
(
)
Odstraníme zlomky: ( (
)
(
)
(
)
)
(
Zkouška: (
(
) (
) (
)
) (
)
( {
b) (
)(
)
(
Umocňujeme podle vzorce (
)
( ) :
)
}
)
)
;
(
)(
)
(
)
{
(
)
} Kontrolu proveďte sami.
c)
{
[
(
)]
(
)}
Postupně odstraňujeme závorky: {
[ {
(
)]
[
(
)}
]
{
} }
{ } Kontrolu proveďte zpaměti.
2.1.2 Řešte v N rovnice a proveďte zkoušku Dané rovnice řešíme známým způsobem. V závěru posoudíme, zda je vypočtený kořen přirozené číslo. a)
{ }
b) (
)(
)
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
{ } Kontrolu proveďte zpaměti.
2.1.3 Řešte v R rovnice, udejte podmínky řešení a)
(
)
(
)
(
)(
)
Násobíme společným jmenovatelem: (
) (
(
)
( (
Podmínky:
) )
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
⇒
(
)
⇒ {
}
b) Rozklad složených jmenovatelů : (
)
(
)(
)
Rozšíříme společným jmenovatelem (
( )(
)( ):
(
)
(
)
)
Podmínky: { }
c) Upravíme složené zlomky:
(
) (
( )(
(
) )
(
)(
)(
)
) (
)
⇒ { } Podmínky: d) Rozklad složených jmenovatelů: (
)
(
)(
)
( ) Odstraníme zlomky násobením společným jmenovatelem : (
(
)(
)
(
)(
)(
)
)
Podmínky: { }
2.1.4 Slovní úlohy na lineární rovnice a) Které číslo je nutné přičíst k čitateli a jmenovateli zlomku , aby se změnil na zlomek ? Označme hledané číslo: a Ze zadání plyne:
Řešíme vzniklou rovnici: ( (
) )
Podmínka: Hledané číslo je
.
b) Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem?
nyní
za 5 let
Martin (
Jana
)
Máme soustavu rovnic:
(
)
zvolíme dosazovací metodu řešení soustavy dvou rovnic
⇒ Dětem je 15 a 5 let. c) Skupina pracovníku lesního závodu by vysadila stanovený počet stromků za 10 hodin, skupina brigádníků tentýž počet za 18 hodin. Za kolik hodin by stanovený počet stromků vysadily obě skupiny, kdyby pracovaly společně?
samostatná
za 1 hodinu
za x hodin
práce
sami udělají
společné práce
zaměstnanci
10 hodin
1/10 práce
x/10 práce
brigádníci
18 hodin
1/18 práce
x/18 práce
sestavíme rovnici: odstraníme zlomky:
̇ Obě skupiny budou společně pracovat asi 6,4 hodiny. d) Součástka měla před opracováním hmotnost 420 g. Jakou hmotnost měla součástka opracovaná, je-li hmotnost odpadu 20 krát menší než hmotnost opracované součástky? hmotnost odpadu:
xg
……..
20 g
hmotnost opracovaného výrobku:
20x g ………
400 g
celková hmotnost před opracováním:
420 g
420 g
Sestavíme rovnici:
Opracovaná součástka měla 400 g, odpad 20 g.
2.2 Soustavy lineárních rovnic Principem řešení soustavy více rovnic o více neznámých (stejný počet rovnic jako neznámých) je dovoleným způsobem postupně snížit počet rovnic a neznámých v nich až k jedné rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme a pak postupně dopočítáme zbylé neznámé. Úpravy soustav rovnic: 1) Početní – dosazovací (substituční) - sčítací - porovnávací 2) Grafické – sestrojíme obrazy příslušných funkcí a hledáme souřadnice jejich průsečíků Kontrolu dosazením do zadaných rovnic provádějte sami.
2.2.1 Řešte v
soustavy rovnic
a)
Označíme rovnice I, II. Z rovnice I vyjádříme x a dosadíme do rovnice II. Použijeme tedy dosazovací metodu. I)
(substituce)
II) )
(
)
– získali jsme jednu rovnici o jedné neznámé, kterou řešíme známým způsobem
– vypočtenou hodnotu y dosadíme zpět do substituce Y= {[
]}
- Množinu kořenů tvoří uspořádaná dvojice čísel [ souřadnice průsečíku…
]… při grafickém řešení
Soustava má 1 řešení. b)
;
Použijeme sčítací metodu. Obě rovnice označíme I, II a rovnici II od I odečteme (přičteme ( )násobek ). ) ) nepravdivé tvrzení
=>
soustava nemá řešení
Poznámka: Obě rovnice máme zapsány ve tvaru
{ }
, kde:
… je u obou rovnic stejné – rozhodujeme o směru přímky (graf)
⋀
… jsou různá čísla – průsečíky s osou y. Grafické řešení by ukázalo, že obrazem obou funkcí jsou různé rovnoběžné přímky => nemají žádný společný bod.
c) (
)
Volíme sčítací metodu. Koeficienty v obou rovnicích upravíme tak, aby u jedné z neznámých tvořily opačná čísla.
rovnice sečteme
vypočtené x dosadíme do 1. rovnice
{[
]}
d) Volíme dosazovací metodu. (
)
Vypočtené x dosadíme do substituce y = 3x – 17 :
{[
]}
2.2.2 Řešte početně i graficky a)
Početně: rovnice odečteme a dostáváme dosadíme za y do 1. rovnice
{[ Graficky: z obou rovnic vyjádříme )
)
( )
]}
Řešením jsou souřadnice průsečíku P. b)
Početně: ⇒ (
)
...
(
)
{[ Graficky: )
)
]}
Řešením jsou souřadnice průsečíku P. c)
Početně: rovnice sečteme
{[ Graficky: )
)
]}
Řešením jsou souřadnice průsečíku P.
2.2.3 Řešte v R3 soustavy rovnic. a)
Označíme rovnice I) – III) )
)
) )
) )
)
)
{[
]}
b)
) )
)
)
) )
rovnice sečteme
)
dosadíme za x postupně do rovnice I) i II)
)
{[
]}
c) V závodě je zaměstnáno o 164 mužů více než žen. 18 mužů odešlo do důchodu a je přijato 6 žen. Tím dosáhl počet mužů trojnásobku počtu žen. Kolik bylo kterých? Původně
Po změnách
Kontrola
Ženy Muži
(
)
(
)
(
nebo jinak
Sestavíme rovnici:
Původně bylo v závodě 64 žen a 228 mužů.
(
)
)
d) Do nádrže na 150 hl přitéká voda dvěma otvory. Teče-li prvním 3 hodiny a druhým 5 hodin, nateče 95 hl. Teče-li prvním 5 hodin a druhým 3 hodiny, nateče 105 hl. Kolik hl nateče za hodinu každým otvorem a za kolik hodin bude nádrž plná, přitéká-li voda oběma otvory zároveň? Nejdříve vyřešíme 1. část úlohy – množství vody, které vytéká každým otvorem: Množství vody za hodinu hl/hod.
1.otvor – 3 hod.
1.otvor – 5 hod.
2.otvor – 5 hod.
2.otvor – 3 hod.
1.otvor
X
3x hl
5x hl
2.otvor
Y
5y hl
3y hl
95 = 3x + 5y
105 = 5x + 3y
Celkem
Řešíme soustavu rovnic - použita sčítací metoda řešení
(
)
⇒
potom po dosazení za y Prvním otvorem nateče za hodinu 15 hl, druhým 10 hl.
2. část úlohy: Za kolik hodin bude nádrž plná, přitéká-li voda oběma otvory najednou? Za hodinu 1.otvor
15 hl
2.otvor
10 hl
Celkem
25 hl
Řešíme rovnici:
Nádrž se naplní za 6 hodin.
Za z hodin
Kontrola
150 hl
2.3 Lineární nerovnice 2.3.1 Řešte nerovnice v daných množinách Nerovnici řešíme podle pravidel práce s ní a výsledkem je průnik zadané a vyřešené množiny. a)
(
) při násobení nebo dělení záporným číslem obracíme smysl nerovnice (
) Výsledkem je interval protože řešíme v R.
b)
{ } c)
(
)
(
) { }
2.3.2 Stanovte definiční obor u následujících funkcí a)
√
výraz pod odmocninou musí být nezáporný
(
)
( )
(
⟩
b)
logaritmovat umíme jen kladná čísla
( ) (
)(
√
c)
)
viz a) (
) (
)
( )
⟨
2.3.3 Uveďte, kdy mají dané výrazy záporný jmenovatel a)
(
(
)
)
Zlomek má záporný jmenovatel pro všechna
b)
(
(
)(
(
).
)
)(
(
)
použijeme vzorec a3 + b3
)
)
(
Zlomek má záporný jmenovatel pro všechna
)
2.4 Soustavy lineárních nerovnic, nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 2.4.1 V množině R řešte soustavu nerovnic Každou nerovnici řešíme samostatně. Výsledek je průnikem dílčích řešení. a)
) ) )
)
)
⟨
(
⟨ b)
⟩
) ) )
)
(
)
(
)
⟩
( c)
)
) ) )
)
(
)
( ⇒
(
)
)
2.4.2 Stanovte definiční obor funkcí Řešíme nerovnice v podílovém tvaru. Užíváme diskuzi, kdy je podíl výrazů kladný, resp. záporný. a)
√
Podmínka :
Určíme čísla, pro která je výraz ve jmenovateli, resp. čitateli roven nule = nulové body (NB): ⇔
čitatel :
⇔
jmenovatel :
Nulové body rozdělí R na tři intervaly, ve kterých provedeme uvedenou diskuzi: (
)
⟨
(
)
+
-
-
-
-
+
⟨ b)
)
)
⇒
Podmínka:
( )
⟨
)
⇒
NB:
⇒ (
)
(
(
)
-
-
+
+
-
-
( ) c)
)
√
(
)
Podmínka:
sestavíme nerovnici: ⇒
NB:
⇒ (
⟩
(
)
(
)
-
+
+
-
-
+
( )
(
⟩
(
)
(
⟩
2.4.3 Řešte v R a)
Podmínka:
Jednou z možností řešení je převést problém na řešení nerovnice v podílovém tvaru: - upravujeme tak, aby na pravé straně byla 0 a převedeme na společného jmenovatele
nerovnice v podílovém tvaru – řešení pomocí nulových bodů – NB, nebo řešením soustavy nerovnic – viz dále:
)
)
nebo
˄ (
˄ )
(
(
b)
)
(
)
)
Podmínka: převedeme na společný jmenovatel
(
) řešení pomocí NB
NB: X:
(
)
(
(
)
-
-
+
-
+
+
(
c)
)
)
Podmínky: opět upravujeme na jeden zlomek - společný jmenovatel
(
) (
)
řešíme pomocí nulových bodů
NB: (
X:
)
Celkem:
(
)
(
)
+
+
-
-
+
+
+
-
-
+
+
+
-
+
-
)
(
)
; (
⟩
(
(
)(
NB:
)
⟨
)
-
+
+
-
-
+
(
⟩
⟨
)
(
)
) ; (
)
(
(
)(
)
(
)
+
-
-
+
+
-
( f)
(
)
NB:
e)
)
+
( d)
(
)
(
)
⟨
⟩
)
NB: (
⟩
⟨
)
-
+
+
-
2.5 Kvadratické rovnice Úplná kvadratická rovnice I – řešíme rozkladem v součin lineárních dvojčlenů a pomocí pravidla – součin je roven 0, je-li alespoň 1 činitel roven 0 II – nebo pomocí vzorců – diskriminant D, kořeny A) Řešte v R rovnice: 1)
Řešíme rozkladem v součin lineárních dvojčlenů.
(
)(
) {
2)
}
Řešíme užitím vzorců pro diskriminant a kořeny. a = 3; b = - 8 ; c = 4 ⇒ √
{ 3)
} Upravíme na anulovaný tvar a řešíme pomocí vzorců.
(
√
)
{
4)
}
Řešíme rozkladem v součin. (
)(
) {
}
B) Z daných kořenů sestavte kvadratickou rovnici: Opačná úloha k řešení rovnice. Využijeme možnost sestavit kvadratický trojčlen násobením )( ), kde dvojčlenů ( a jsou zadané kořeny. Tento „součin kořenových činitelů“ položíme roven nule. 1) 2, - 3 (
)(
)
Dosadíme: (
součin kořenových činitelů )(
)
⇒
2) 6, -6 ( (
)( )(
)
součin kořenových činitelů
)
⇒
2. 6. Kvadratické nerovnice Kvadratické nerovnice řešíme úpravou na nerovnice v součinovém tvaru – rozklad kvadratického mnohočlenu v součin kořenových činitelů, nebo užitím vlastností příslušné kvadratické funkce. 2.6.1 Řešte v R kvadratické nerovnice a) (
)(
)
NB: (
⟩
(
)
⟨
-
-
+
-
+
+
(
⟩
⟨
)
(
)
b) řešení viz tabulka v části a) c)
)
〈
〉
Rozložíme kvadratický trojčlen v součin výpočtem kořenů příslušné kvadratické rovnice:
√
NB:
(
(
)(
)
(
)(
)
)
(
(
)
)
-
-
+
-
+
+ (
)
d)
užíváme vzorce pro rozklad kvadratického trojčlenu
⇒
2.6.2 Určete všechna
⇒
⇔
⇒
pro která nabývá funkce hodnoty větší nebo rovné nule:
Úlohy řešíme pomocí metod pro kvadratické nerovnice – sestavíme ji, určíme nulové body funkce a využijeme jejich vlastností. a)
(
)(
)
NB: (
⟩
(
)
+
⟨
(
〉
) +
〈
)
(
)
b)
(
)(
)
NB: (
⟩
(
)
+
⟨
(
〉
) +
〈
)
(
)
c)
√
NB:
(
⟩ +
(
⟨
) -
) +
(
〉
〈
)
(
)
2.6.3 Určete definiční obory funkcí:
V úlohách použijeme vlastnosti příslušných funkcí (logaritmovat umíme pouze kladná čísla, resp. odmocnit umíme jen čísla nezáporná) k sestavení nerovnice, kterou řešíme výše použitými metodami. (
a)
(
)(
)
)
NB: (
)
〈
〉
+
( )
b)
√
(
)(
(
(
) +
)
(
)
〈
〉
)
NB: (
⟩
(
+
)
⟨
( )
(
〉
) +
〈
)
(
)
2. 7. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Odstraňujeme absolutní hodnotu výrazu v závislosti na tom, zda nabývá výraz v absolutní hodnotě kladné či záporné hodnoty (popř. 0) a vlastností absolutní hodnoty reálného čísla.
2.7.1 Rovnice 1) Řešte v R: a)
|
|
Stanovíme nulový bod výrazu v absolutní hodnotě. Pomocí něj rozdělíme řešení rovnice do dvou intervalů, podle hodnoty výrazu. ⇔
NB:
(
〈
)
)
|
|
|
+
| (
| )
(
( { b) NB:
|
| )
〈
) }
| ⇔ (
) -
〈
) +
)
|
|
|
|
|
(
|
)
(
(
)
〈
)
)
{ } c) |
|
NB: (
〈
)
)
|
|
|
+
|
|
|
〈 { } 2) Řešte v Z: a) |
{ }
|
{ } |
|
|
)
|
( (
)(
+ |
)
odstraníme zlomek
) upravíme na anulovaný tvar
|
)
řešíme kvadratickou rovnici
⇒
⇒
{ }
)
(
(
)
)
{ }
b) |
|
|
{ }
{ }
|
NB: {
1)
|
|
|
|
}
| |
{
}
{
{
}
-
+
-
+
+
| | (
)
) }
{
}
-
( )
{
(
}
)
|
|
|
|
|
|
|
|
{
)
}
(
(
) ) { }
c) |
|
|
rovnice nemá v Z řešení
|
NB: {
|
|
|
|
{
)
}
|
{
}
-
+
-
+
+
|
}
{
-
|
|
}
(
|
|
|
|
|
|
|
|
) řešením jsou všechna čísla daného intervalu {
{
)
}
{ )
} (
)
} {
}
( (
) )
{ 3) Rovnice: |
|
|
|
má v intervalu 〈
a) žádné řešení
b) právě 2 řešení
d) právě 3 řešení
e) nekonečně mnoho řešení
} 〉 c) právě 1 řešení
〉 Nebo z tohoto Úlohu můžeme řešit obvyklým způsobem - jen rozsah úvah omezíme na 〈 intervalu volíme postupně čísla a zkoumáme, zda jsou řešením dané rovnice (např.: { }) Pokud takto najdeme alespoň 4 řešení, pak platí varianta e) atd. Obvyklý způsob řešení:
⇒
NB:
⇒
Nulové body, resp. nulový bod
rozdělí zadaný interval na dvě části: 〈
〈
)
|
|
|
|
〈
〉
) ⇒
)
〈
)
〈
)
〉
〈
〉
nekonečně mnoho řešení ⇒
{ }
Platí varianta e).
2.7.2 NEROVNICE Nerovnice s absolutní hodnotou řešíme obdobně jako rovnice v předešlé části, jen navíc respektujeme ekvivalentní úpravy nerovnic. Výsledkem v jednotlivých částech je průnik intervalu, který je řešením vzniklé nerovnice a intervalu v němž řešíme. Celkové řešení je sjednocením řešení dílčích. 1) Řešte v R následující nerovnice: a) |
|
NB: (
) -
〈
) +
|
|
|
|
|
〈
〈
)
〈 b) |
|
)
)
|
NB: 〉
(
(
)
+ |
|
|
-
|
|
|
〉
(
〉
(
( c)
|
〉
|
NB: (
) -
〈
) +
|
|
|
| (
| )
(
| (
)
{ }
)
〉
( 2) Řešte v daných intervalech: a) |
|
|
|
〈
)
NB: Daný interval bude nulovými body rozdělen na 3 části ⇒ I. - III. ⟨ |
⟨
III.
)
|
⟨
(
)
) ⇒
II.
〈
)
| |
I.
)
〈
(
)
〈
{ }
)
⇒
(
⇒
⇒
)
) 〈
) (
b)
|
|
|
|
)
NB: Vzhledem k hodnotám NB řešíme jen pro | |
| |
Získáme nerovnici:
⇒ 3) Definičním oborem funkce f: a) 〈 c)
)
(
)
(
{ }
√ √| |
)
je množina:
) d)(
〈
⇒
)
b) 〈
)
e) 〈
)
(
)
Řešíme soustavu nerovnic: | | I. pro
(
) 〈
II. pro
〈
)
) { } ( )
〈
)
)
2. 8. Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé, vzhledem ke které rovnici řešíme, ještě další proměnnou - parametr, kterou v průběhu řešení považujeme za konstantu a sledujeme (kromě podmínek existence a smyslu rovnice) kolik a za jakých podmínek pro parametr má rovnice řešení. 1) Řešte v R rovnici s parametrem a)
:
Rovnici řešíme stejně jako každou jinou lineární rovnici. Protože je parametr a ve jmenovateli zlomku, musíme stanovit, kdy má rovnice smysl: - odstraníme zlomek - výrazy s neznámou x převedeme na stejnou stranu - vytkneme x na levé straně rovnice (
)
(
)
- vyjádříme x
- vzhledem k tomu, že dělíme výrazem ⇔ Závěr: - pro
a současně
- pro
nemá rovnice smysl.
- rovnice má smysl pro
( )( (
,
má rovnice právě jeden kořen ve tvaru
b)
(
), musí platit:
(resp.
)
- odstraníme zlomky
)
- upravíme levou stranu rovnice
)
- osamostatníme x - dělíme výrazem
Závěr: - pro
⇒
má rovnice právě jeden kořen ve tvaru
- pro - pro
;
nemá rovnice smysl a nemá rovnice řešení.
2) Řešte v N rovnici s parametrem (
) ( (
pro ) )
nemá rovnice smysl (
)
;
je-li - pro
- pro
- pro
- pro
- pro
- pro
Větší čísla nemá smysl za parametr a dosazovat. Závěr: - pro - pro
{
}
{
- pro
}
3) Řešte v R rovnici s parametrem
pro m = 0 nemá rovnice smysl po dosazení m = - 2 dostáváme tvrzení typu 0
2 ⇒
⇒ rovnice nemá řešení
po dosazení m = 2 dostáváme tvrzení typu 0 = 0 ⇒ ⇒ rovnice má nekonečně mnoho řešení – kromě x = 0
( (
Závěr: -
pro pro pro pro
) )(
)
(
)
⇒
nemá rovnice smysl nemá rovnice řešení má rovnice nekonečně mnoho řešení, | | má rovnice jedno řešení
4) Pro které hodnoty parametru má daná rovnice s neznámou x předepsaný kořen:
V těchto úlohách nás budou zajímat vlastnosti kořenů v návaznosti na hodnoty parametru. Nepovedeme tady diskuzi k řešení rovnice (postupu). odstraníme zlomky
(
)
Proto budeme diskutovat:
….řešíme nerovnici v podílovém tvaru vzhledem k a.
Použijeme metodu nulových bodů: ⇒ ⇒ (
Závěr: Výraz
)
(
)
)
(
-
+
+
-
-
bude mít kladnou hodnotu pro
)
)
-
5) Určete všechny hodnoty parametru a, pro které má rovnice: (
(
a) kladné řešení
b) záporné řešení
Obě části úlohy budeme řešit společně a rozlišíme je až v diskuzi.
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
) rovnice není definována pro
)
Nejdříve vyčleníme hodnotu parametru pro
Dále vedeme diskuzi NB:
⇔
⇔ (
)
(
)
(
)
(
)
-
-
+
+
+
+
+
-
-
-
+
-
Závěr: a) Rovnice má kladné řešení pro b) Rovnice má záporné řešení pro
( (
) )
(
)
(
)
2. 9. Iracionální rovnice – rovnice s neznámou v odmocněnci (pod odmocninou) Rovnice tohoto typu upravujeme obvykle umocněním obou stran shodným mocnitelem, což není tzv. ekvivalentní úprava rovnic. Proto musíme buď stanovit podmínky, za kterých mají výrazy s odmocninou smysl, nebo jako součást řešení provedeme zkoušku. 1) Řešte v R rovnice:
V úlohách a) a b) je vždy jen jedna odmocnina v rovnici. Vždy ji nejdříve osamostatníme a pak provedeme umocnění. a) √ Podmínky:
(
⇒
)
⇒ 〈 (√
〉
)
- rovnici umocníme
- řešíme kvadratickou rovnici rozkladem v součin (
)(
)
- součin je roven nule, je-li alespoň jeden z činitelů roven nule
nevyhovuje podmínkám b)
vyhovuje podmínkám
√
{ }
Podmínky: ⇒ ⇒ 〈
(√
)
(
)
〉
K úpravě levé strany rovnice musíme užít vzorec(
)
Obdobně jako v úloze a) řešíme kvadratickou rovnici. (
)(
) Kořen x2 nevyhovuje podmínkám. { }
V dalších příkladech jsou v zadání rovnic dvě a více odmocniny. Proto bude potřeba umocňovat tyto rovnice opakovaně – vždy po vhodné úpravě. Dále postupujeme známým způsobem (viz úloha 1).
c)
√
Levou stranu umocníme podle vzorce (
√ (√
)
√ )(
√(
(√
√ )
)
) Osamostatníme odmocninu
√
Zjednodušíme rovnici
√
Umocníme podruhé
(√
(
)
( )
( )
)
(
)(
Použijeme vzorec (
)
)
Kontrola: ( )
√
√
( ) (
)
(
)
√
√ (
)
(
)
{ } d) √
√
- můžeme upravit i tak, abychom měli na každé straně rovnice po jedné odmocnině: √
√
(√
)
(
Další postup viz. předchozí úloha √ )
√ √ √
Kontrola:
Umocníme
( )
√
√
( )
( )
⇒
( )
{ } e) √
√
√
(√
)
√ √
)
√
)(
√(
(√
)
√ ( √
(
)
(
)
)
⇒
;
Kontrola: ( )
√
( )
√
√ ( )
⇒
( )
√
√
( )
√
( ) ̇
̇
⇒
( )
{ } f) (√
√
√ √ √
√ √
√ )
(√ √
)
( )
√ (√
)
(
)
(
)
Kontrola: ( )
√
( )
√
(
√
√
)
(
)
⇒
( )
√
…
( ) Nelze určit ⇒ kořen
nemůže být řešením
{ }
2.10. Exponenciální rovnice V úlohách 1-3 pracujeme s pravidly pro počítání s mocninami: (pro přípustné hodnoty proměnných) ( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
) ⇔
Pravidlo o rovnosti mocnin Případně ( )
( )
√
1) Řešte v R rovnici: a) Použijeme pravidlo (6) o rovnosti mocnin o stejném základu – upravíme pravou stranu ⇔
⇒
Vzhledem k použití neekvivalentní úpravy rovnice - pravidlo (6) – je součástí řešení ZKOUŠKA Zkoušku je možné provést zpaměti – dosadíme za x do původní rovnice { } b)
√ (
√ )
Upravíme – (8), resp. (3) - a použijeme (6)
(
)
⇒
Kontrolu opět provedeme zpaměti.
{ } c)
Postupujeme obdobně jako v předchozích úlohách. (
) (
)
⇒ Zkouška: ( ) (
( ) ( )
( )
)
{ } d)
Upravíme obě strany na mocniny se základem 3: (1), (3) (
)
(
)
Pravidlo (6) ⇒
Kontrolu proveďte zpaměti
{ } (
e)
)
Upravíme obě strany rovnice na mocniny se základem 10: (4), (7), (3), (1)
Pravidlo (6) ⇒ { f) ( )
[( ) ] ( ) ( )
Kontrola zpaměti.
}
( )
Levou stranu rovnice upravíme na mocninu se základem .
[( ) ]
užita pravidla (3), (1), (7)
( ) ( )
užitím pravidla (6) ⇒
g) ( ) [( ) ]
Po kontrole zpaměti :
( ) ( )
⇔
⇔
{ }
{ }
Kontrola zpaměti. h)
rozložíme:
pravidlo (1) vytkneme
(
)
⇔
Kontrola zpaměti.
{ } i)
rozklad:
(
pravidlo (1)
)
⇔
Kontrola zpaměti.
{ } j) Rozklady:
Substituce
⇒ Dosadíme do substituce: Po kontrole:
{ }
⇔
2.11 Logaritmické rovnice 1) Řešte logaritmické rovnice o neznámé x nebo y: V této části budeme užívat jednak pravidel pro počítání s logaritmy: { } pro Pro každé a platí: ( ) ( ) ( ) A dále pravidla rovnosti logaritmů: Rovnají-li se logaritmy dvou výrazů, musí se rovnat i výrazy. Protože v průběhu řešení logaritmických rovnic používáme tzv. neekvivalentní úpravu pravidlo rovnosti logaritmů (odlogaritmování rovnice), je třeba buď stanovit podmínky řešení nebo provést zkoušku. (
a)
)
(
)
Podmínky, za kterých jsou výrazy v rovnici definovány, plynou z vlastností logaritmické funkce: ⇒
(
)
⇒ Použijeme pravidlo rovnosti logaritmů dvou výrazů a odlogaritmujeme: Řešíme lineární rovnici kořen splňuje podmínky { b)
} (
)
(
)
Místo stanovení podmínek můžeme také v závěru provést zkoušku, která je součástí řešení. Odlogaritmováním dostaneme Upravujeme na anulovaný tvar a řešíme kvadratickou rovnici (
)(
)
Zkouška:
(
)
( )
(
( )
(
(
)
) ) (
( )
⇒
( )
) …není definován ⇒
není řešení
{ } (
c)
)
Pravou stranu rovnice je třeba nahradit příslušným logaritmem: rovnost dvou logaritmů: ( Podmínky:
⇒
, abychom dostali
) (
)
Odlogaritmujeme: vyhovuje podmínkám { }
d)
Upravíme levou stranu rovnice:
-pravidlo (2) (
Podmínky:
)
Potom platí vyhovuje podmínkám { e) (
} )
Tento typ logaritmické rovnice řešíme zavedením substituce za příslušný logaritmus, řešením vzniklé rovnice a následným dosazením kořenů do původní substituce: Substituce:
Podmínky:
Dostáváme rovnici:
⇒
(
)(
)
Dosadíme za z do substituce: ⇒ ⇒
Oba kořeny
{ f) (
)
}
Postupujeme obdobně jako v předchozí úloze
Substituce:
(
vyhovují podmínkám.
)
Podmínky:
⇒
⇒
dosadíme do substituce:
vyhovuje podmínkám { } (
g)
)
(
)
Upravíme levou stranu rovnice – pravidlo (1) a následně odlogaritmujeme. [
(
)]
(
)
Podmínky:
(
)
Řešení kvadratické rovnice pomocí √
(
)
nevyhovuje podmínkám nevyhovuje podmínkám
{ }
2) Řešte rovnici o neznámé (
)
a parametru
:
)
)
(
(
Upravujeme obě strany rovnice podle pravidel pro počítání s logaritmy (1), (2) a dále řešíme obdobně jako úlohy v části 2) jen bereme v úvahu, že řešíme současně parametrickou rovnici: (
)
odlogaritmujeme
( (
)(
)
) (
odstraníme zlomky )
( (
)
)
(
)
(
)
2.12 Goniometrické rovnice V úloze 1) budeme řešit základní typy goniometrických rovnic: ( ) 〈 〉 ( ) | | Nejdříve stanovíme pomocný úhel 〉 resp. 〈 Dále určíme základní řešení - popř. v rozmezí 〈 Všechna řešení dostaneme přičtením k-násobku příslušné periody, kde , resp. ( ) Je-li v zadání stanoveno „řešte v R“, výsledky uvádíme v radiánech 1) Řešte v R rovnice: a) pomocný úhel
⇒
( ) 〉 a perioda
{
}
b) pomocný úhel
Základní řešení {
- násobek periody
}
c)
je záporný ve III. a IV. kvadrantu všechna řešení {
}
d) je kladný v I. a II. kvadrantu
(
)
{
}
e) je záporný ve III. a IV. kvadrantu ( ( {
)
⇒ )
⇒ }
f) je záporný ve II. resp. III. kvadrantu (
)
g)
{
}
h)
{
}
Poznámka: Základní typy goniometrických rovnic, podobně jako další jednodušší typy, můžeme také řešit pomocí jednotkové kružnice nebo grafů jednotlivých goniometrických funkcí.
Následující úlohy mají na levé straně rovnice funkci násobného argumentu a tedy složenou funkci. Vnější funkcí je některá z goniometrických funkcí a vnitřní funkcí je násobek nebo díl argumentu x. Tyto úlohy řešíme pomocí substituce. Za vnitřní funkci zavedeme jinou neznámou. Tím vznikne rovnice základního typu, kterou řešíme známým způsobem. Konečný výsledek získáme zpětným dosazením do substituce. i)
Substituce:
⇒
Dosadili jsme substituci a řešíme rovnici vzhledem k y Pomocný úhel Základní řešení
Dosadíme do substituce: {
zjednodušením zápisu
}
j)
Substituce:
⇒
pomocný úhel; řešení hledáme ve III. a IV. kvadrantu (
)
(
)
Dosadíme do substituce:
{
}
k)
Substituce:
⇒
Dosadíme do substituce: {
}
l)
Substituce:
(
)
Dosadíme do substituce:
⇒
{
}
Následující úlohy buď už v zadání představují nebo se dají upravit na kvadratické rovnice, kde neznámou je některá z goniometrických funkcí. Zde tedy také zavádíme substituci za příslušnou goniometrickou funkci, řešíme vzniklou kvadratickou rovnici a zpětně dosazujeme výsledky do použité substituce. Tím vznikne goniometrická rovnice základního typu, kterou řešíme podle postupu v 1. úloze. m)
Substituce: řešíme vzniklou kvadratickou rovnici bez absolutního členu (
)
Postupně dosadíme kořeny
do substituce: řešením základních goniometrických rovnic dostaneme
{
}
n)
Substituce:
(
)(
)
Dosadíme do substituce: nemá řešení
{
}
o)
Substituce:
(
)(
)
Dosadíme do substituce:
̇
̇ {
}
p) V této úloze máme 2 goniometrické funkce. Proto užitím vzorce , upravíme nejdříve zadanou rovnici: (
)
Nyní zavedeme substituci
a pokračujeme obvyklým způsobem:
√
(
Dosadíme do substituce:
)
, resp.
nemá řešení {
}
q) Obdobně jako v části d) nahradíme jednu z funkcí užitím vzorce √
např.
√
zavedeme substituci:
√
a řešíme iracionální rovnici
√
umocníme upravíme
(
)
Dosadíme do substituce:
{
}
Poznámka: úlohu tohoto typu můžeme řešit i graficky:
. Přesněji
Rovnici můžeme upravit na tvar : Z grafů je patrné:
1) ⇒ 2) ⇒
a tak dále…
2. 13. Soustava lineární a kvadratické rovnice Při řešení tohoto typu soustav rovnic volíme obvykle dosazovací metodu (vyjádříme jednu neznámou z lineární rovnice) a následně řešíme vzniklou kvadratickou rovnici obvyklým způsobem. Řešte soustavy rovnic: )
1)
) dosadíme do II)
(
)
po úpravě rozkladem v součin
(
)(
)
dosadíme za y
{[
] [
]}
)
2)
⇒
dosadíme do II)
) (
)
(
)(
)
Výpočet
dosadíme do vztahu
: {[
] [
]}
)
3)
⇒
dosadíme do rovnice II)
) (
) Výpočet
(
)(
{[
)
][
]} )
4)
) )(
⇒
dosadíme do I)
)
√
(
)
√ Výpočet
: (
] [
{[
)
]}
3. Funkce 3. 1. Funkce - definice, vlastnosti,…. 1) Pražská střední škola pořádá zájezd na jižní Moravu. Pronájem autobusu je bude stát 5 500,- Kč, neboť autobusová společnost si účtuje 20 Kč za 1 km. Označte x počet účastníků zájezdu a y Kč cestovné, které připadá na jednoho účastníka. Funkce f vyjadřující závislost y na x je dána předpisem: A)
B)
C)
D) Řešení: Platí varianta C)
. Celková cena se rozdělí na počet účastníků.
2) Závislost délky pružiny na hmotnosti závaží, které na ni zavěsíme, je pro závaží o hmotnosti 0 kg až 20 kg dána lineární funkcí. Při zatížení závažím o hmotnosti 2 kg má pružina délku 13 cm, při zatížení závažím o hmotnosti 10 kg má délku 25 cm. a) Sestavte funkční předpis vyjadřující závislost délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží. b) Určete délku nezatížené pružiny. c) Sestrojte graf závislosti délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží. Řešení:
a) Sestavte funkční předpis vyjadřující závislost délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží: Označíme x – hmotnost závaží; y – délka pružiny. Z textu úlohy plynou hodnoty: 2
10
y 13 25 Hledáme lineární funkci, která má předpis:
Dosadíme postupně do této rovnice za x a y hodnoty z tabulky: rovnice odečteme
⇒ Výpočet b:
⇒
Výsledná rovnice funkce: b) Délka nezatížené pružiny:
Hmotnost závaží je 0:
⇒
Délka nezatížené pružiny je 10 cm. c) Sestrojte graf závislosti délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží:
3. 2. Lineární funkce, lomená funkce 1) Načrtněte graf dané funkce a určete: její název, D(f), H(f), intervaly růstu a poklesu a případné významné body dané funkce. a) b)
|
|
Řešení: a) obrázek 3.2.1a)
…lineární funkce Grafem je přímka. D(f) = R, H(f) = R. ⇒
- protože parametr Průsečíky s osami:
- vždy [
]
[
]
- vždy [
]
[
]
...zvláštní případ lineární funkce - KONSTATNÍ funkce Grafem je přímka rovnoběžná s osou x – viz obr. 3.2.1a) . D(g) = R ; H(g) = { } Funkce neroste ani neklesá. …zvláštní případ - lineární funkce - přímá úměrnost ] - viz obr. 3.2.1a). D(h) = R ; H(h) = R Grafem je přímka jdoucí bodem [ Funkce roste -( ). - průsečík s osami: [
]
- přímka je osou I. a III. kvadrantu - obdobně bude graf funkce |
| …lineární funkce s absolutní hodnotou
Při konstrukci grafu vycházíme z vnitřní funkce: - sestrojíme graf
(například posunutím
a vlastností absolutní hodnoty. )
- určíme nulový bod funkce (NB) (
)
[
⇒
- pomocí osové souměrnosti s osou souměrnosti |
]
sestrojíme 2. část grafu funkce |
- graf funkce je dále osově souměrný podle přímky, která je rovnoběžná s osou y a jde NB - D(k) = R ; H(k) =
(
; funkce roste
- průsečíky s osami: [
]
[
) a klesá
(
)
]
b) obrázek 3.2.1 b1)
…
nepřímá úměrnost
Grafem je HYBERBOLA , která prochází I. a III. kvadrantem – viz. obr. 3.2.1b1) D(f) = R\{ } ; H(f) = R\{ } ; funkce klesá Bod [
]
{ }
hyperboly ; osy x, y – asymptoty grafu funkce …
nepřímá úměrnost
Grafem je HYBERBOLA , která prochází II. a IV. kvadrantem – viz. obr. 3.2.1b1) D(g) = R\{ } ; H(g) = R\{ } ; funkce roste Bod [
]
{ }
; - osy x, y – asymptoty grafu funkce
Obrázek 3.2.1b2)
h:
… po úpravě
… nepřímá úměrnost
Grafem je HYBERBOLA , která prochází I. a III. kvadrantem – viz. obr. 3.2.1b2) D(f) = R\{ } ; H(f) = R\{ } ; funkce klesá Bod [
]
k:
hyperboly ; osy x, y – asymptoty grafu funkce
…
lineární lomená funkce
Graf získáme posunutím grafu funkce - hyperbola se středem v D(k) = R\{
{ }
[
o dvě jednotky ve směru záporné části osy x.
] – viz. obr. 3.2.1b2)
} ; H(k) = R\{ } ; funkce klesá
{
}
- asymptoty - osa x; y=-2 - průsečík s osou y: …..x = 0 …
( )
[
]
2) Ozubené kolo o průměru d mm vykoná n otáček za minutu a zasahuje do jiného ozubeného kola o průměru 200 mm, které se otočí za minutu 8-krát. Najděte funkci, která udává závislost n na d. Řešení: 1.kolo: d mm, n-otáček/min. 2.kolo: d1 = 200 mm, n1 = 8 - otáček/min. Pro převod ozubenými koly musí platit vztah: ⇒
⇒
3) Vyjádřete následující závislosti jako funkce a zapište je rovnicí funkce: a) závislost obvodu čtverce na délce jeho strany b) závislost délky kružnice na velikosti jejího poloměru c) závislost stavu krmiva na čase, jestliže se ze zásoby 10 tun denně zkrmí 280 kg Řešení: a) závislost obvodu čtverce na délce jeho strany Vyjdeme ze známého vzorce: ….f: b) závislost délky kružnice na velikosti jejího poloměru Vzorec: c) závislost stavu krmiva na čase, jestliže se ze zásoby 10 tun denně zkrmí 280 kg y - stav krmiva v kg
x - počet dní
4) Obsah obdélníku je 10 a) zapište rovnici závislosti délky základy „z“ obdélníku na jeho výšce „v“ 〈 b) znázorněte graficky tuto závislost, jestliže výška v obdélníku c) určete vlastnosti této funkce Řešení: a) zapište rovnici závislosti délky základy „z“ obdélníku na jeho výšce „v“ vzorec:
⇒
b) znázorněte graficky tuto závislost, jestliže Obrázek 3.2.8
〈
〉
〉
c) vlastnosti funkce - nepřímá úměrnost - klesající funkce 〈
-
〉
- grafem část větve hyperboly – viz obrázek 3.2.8
3. 3 Mocninné a kvadratické funkce 1) Načrtněte graf dané funkce a určete: její název D (f), H (f), intervaly růstu a poklesu a případné významné body dané funkce. a) f: b) f:
g: g:
h: h:
k: k:
Řešení: a) f: Kubická funkce - patří do skupiny mocninných funkcí s obecnou rovnicí kladné. Graf: kubická parabola – viz obrázek 3.3.1a1) D (f) = R; H (f) = R ; roste
, n – liché,
Průsečík s osami - [
]
Obrázek 3.3.1a1):
g: Mocninná funkce Graf: parabola - viz obrázek 3.3.1a1) D (g) = R ; H (g) = Vrchol - V [
; roste
(
) ; klesá
(
)
]
h: Mocninná funkce Graf: hyperbola – větve umístěny v I. a ve II. kvadrantu - viz obrázek 3.3.1a2) D (h) = R \ { }; H (h) = Osy x, y – asymptoty
Obrázek 3.3.1a2):
; roste
; klesá
k: Mocninná funkce Graf: hyperbola – větve hyperboly umístěny v I. a ve III. kvadrantu - viz obrázek 3.3.1a2) D (k) = R \ { }; H (k) = R \ { }; klesá
{ }
Osy x, y – asymptoty b) f: Kvadratická funkce – obecná rovnice : Graf: parabola otevřená nahoru ( D (f) = R ; H (f) = Vrchol - V [
; roste
]; Osa symetrie – y+
Obrázek 3.3.1b1):
, zde ) – viz. obrázek 3.3.1b1)
; klesá
g: Kvadratická funkce – obecná rovnice :
, zde
Graf: parabola otevřená dolů (
) – viz. obrázek 3.3.1b1)
D (g) = R ; H (g) =
; klesá
Vrchol - V [
; roste
] ; Osa symetrie – y –
h: Kvadratická funkce – obecná rovnice : Graf: parabola otevřená nahoru ( D (h) = R ; H (h) = 〈
, zde ) – viz. obrázek 3.3.1b2)
) ; roste
; klesá
Y – nová souřadnice vrcholu paraboly Vrchol:
[
] -
;
Současně průsečík s osou y.
Průsečíky s osou x – nulové body funkce :
odtud dostáváme
√
⇒
[ √
]
√
⇒
[√
]
Obrázek 3.3.1b2):
k: Kvadratická funkce - obecná rovnice : Graf: parabola otevřená dolů ( D (k) = R ; H (k) = (
, zde ) – viz. obrázek 3.3.1b2)
〉 ; roste
; klesá
Y – nová souřadnice vrcholu paraboly Vrchol: V [
]-
;
Současně průsečík s osou y.
Průsečíky s osou x: – nulové body funkce :
odtud dostáváme
⇒ ⇒
[ [
] ]
V úlohách 2 – 4 určete u vytvořených funkcí D(f), H(f), intervaly růstu a poklesu, popř. významné body funkce: 2) Délky hran kvádru jsou v poměru 1: 3: 2. Určete funkci, která vyjadřuje závislost objemu kvádru na délce nejdelší hrany a načrtněte její graf. Řešení: Označíme délky hran kvádru a, b, c : , z čehož vyplývá: ze vzorce pro objem kvádru plyne: Graf: část kubické paraboly – viz. obrázek 3.3.2:
;
;
⇒
3) Určete funkci, která vyjadřuje závislost obsahu rovnostranného trojúhelníku na délce jeho strany. Řešení: √
Pro obsah rovnostranného trojúhelníku platí vzorec:
…
kvadratická funkce
Graf: část paraboly – viz. obrázek 3.3.3:
;
;
4) Vyjádřete funkci, která uvádí závislost obsahu čtverce na délce jeho strany. Řešení: Ze vzorce pro výpočet obsahu čtverce plyne: Graf: část paraboly – viz. obrázek 3.3.4:
…
kvadratická funkce
;
;
3. 4. Exponenciální funkce 1) Načrtněte graf dané funkce a určete: její název D(f), H(f), intervaly růstu a poklesu a případné významné body dané funkce. a) f:
b) g:
( )
c) h:
d) f:
e) g: Řešení: a) Grafem je exponenciála – viz. obrázek 3.4.1a):
(
)
D(f) = R ; H(f) =
; roste
Průsečík s osou
[
]
Osa x – asymptota grafu b)
( )
(
D(g) = R ; H(g) = Průsečík s osou
; klesá [
]
Osa x – asymptota grafu Grafem je exponenciála – viz. obrázek 3.4.1b):
menší než 1)
(
c)
Grafem je exponenciála – viz. obrázek 3.4.1c). D(h) = R ; H(h) =
; roste
Průsečík s osou
[
]
Osa x – asymptota grafu.
Obrázek 3.4.1c):
)
(
d) Grafem je exponenciála – viz. obrázek 3.4.1d):
D(f) = R ; H(f) =
; roste
)
Průsečík s osou
[
]
Osa x – asymptota grafu. (
e)
)
Grafem je exponenciála – viz. obrázek 3.4.1e). D(g) = R; H(g) = Průsečík s osou
; klesá [
]
Osa x – asymptota Obrázek 3.4.1e).:
2) Objasněte: ]? a) Proč grafy všech exponenciálních funkcí prochází bodem [ b) Proč v exponenciální funkci nevolíme základ a = 1, a = 0, a < 0? Řešení: a) a° = 1 Jakékoli číslo umocněno na 0 dá 1.Proto ať je základ a jakýkoli, vždy bude každá exponenciální funkce procházet číslem 1 na ose y, tj. bodem [0;1]. b) 3) Sestrojte graf funkce určené rovnicí
. Pomocí něj určete x, pro která platí:
a)
b)
c)
d)
Řešení: Obrázek 3.4.4:
a)
⇔
b)
⇔
c)
⇔
d)
⇒
3. 5. Logaritmická funkce, logaritmy a počítání s nimi. 1) Načrtněte graf dané funkce a určete: její název, D(f), H(f), intervaly růstu a poklesu a případné významné body dané funkce. a) b) c) Řešení: a)
Logaritmická funkce se základem a = 5 větším než 1 Inverzní funkce k dané funkci: Grafem je logaritmická křivka – viz. obrázek 3.5.1a):
Grafy vzájemně inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy I. a III. kvadrantu – přímka s rovnicí y = x. D(f) =
; H(f) = R
Funkce roste v celém definičním oboru: Funkce prochází bodem na ose x: [
]
Osa y – asymptota grafu
b) Logaritmická funkce se základem Inverzní funkce k dané funkci :
( )
Grafem je logaritmická křivka – viz. obrázek 3.5.1b). Grafy vzájemně inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy I. a III. kvadrantu – přímka s rovnicí y = x.
D(g) =
; H(g) = R; funkce klesá pro všechna
Průsečík s osou x:
[
]
Osa y – asymptota grafu
Obrázek 3.5.1b):
c) Dekadická logaritmická funkce. Základ a = 10 je větší než 1 Funkce inverzní k dané funkci : Graf – obdoba funkce v části a) – viz. obrázek 3.5.1c):
Grafy vzájemně inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy I. a III. kvadrantu – přímka s rovnicí y = x. D(h) =
; H(h) = R ; funkce roste
Průsečík s osou x: [
]
Osa y – asymptotou grafu 2) Podle průběhu funkce ze cvičení 1a) zapište, co platí o hodnotách funkce, je-li: a)
b)
c)
Řešení: ⇒
a)
⇒
b) ⇒
c)
3) Podle průběhu funkce ze cvičení 1b) zapište, co platí o hodnotách funkce, je-li: a)
b)
c)
Řešení: )
⇒
)
⇒
)
⇒
4) Určete hodnoty x. Využijte definice logaritmické funkce pro přípustné hodnoty:
právě když a)
)
…
…
5) Určete hodnoty y. Využijte definice logaritmické funkce pro přípustné hodnoty: právě když a)
⇒
…
b)
…
⇒
6) Pro který základ z platí: )
⇒
… √
b)
[( ) ]
√
…
⇒
7) Logaritmujte dané výrazy. Připomeňte si věty o logaritmování. √
a)
b)
Řešení: a)
b)
8) Odlogaritmujte: (
a)
)
b)
Řešení: a)
√
b)
(
)
3. 6. Goniometrické funkce 1) Dokažte, že platí: a) c)
(
b) (
)
)
Řešení: Užijeme periodicity funkcí sin x a cos x – perioda 2π (resp. 3600) – tg x a cotg x – perioda π (resp. 1800) a najdeme tzv. základní velikost zadaného úhlu v argumentu funkce. Výsledek vyjádříme ve tvaru k-násobek periody + základní velikost úhlu, kde : a)
b)
c)
2) Rozhodněte, která z následujících čísel jsou kladná; záporná; rovna 0. a)
c)
b)
Řešení: K řešení využijeme tabulku kladných a záporných hodnot goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech. Pak vždy zařadíme úhel v argumentu funkce do příslušného kvadrantu a podle něj pak přidělíme znaménko:
a) b)
I.
II.
III.
IV.
(0°; 90°)
(90°; 180°)
(180°; 270°)
(270°; 360°)
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
+
-
+
-
(
) –
c)
3) Rozhodněte, které z dále uvedených výroků jsou pravdivé. Řešení: Užijeme vlastností funkcí: roste, klesá. Nejprve posoudíme, do kterého kvadrantu patří úhly v argumentu goniometrických funkcí. Pak, v případě že funkce roste, musí platit, že většímu úhlu je přiřazena větší hodnota funkce; pokud daná funkce klesá, platí, že většímu úhlu je přiřazena menší hodnota funkce. a) ⇒ b) ⇒ c) 4) Pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi určete hodnoty zbývajících funkcí, víte-li: √
(
)
Řešení: Použijeme vztahy : ( ) √
( ) (
)
( )
………. III. kvadrant
Vypočítáme hodnotu √ √
(
√
)
√ Vypočítáme tg x a cotg x:
Sinus je ve III. kvadrantu záporný
√ √
5) Zjednodušte: V následujících úlohách použijeme vztahy mezi goniometrickými funkcemi a vzorce pro ) apod. úpravu mnohočlenů typu ( Vztahy mezi goniometrickými funkcemi: sin x (1) sin2x + cos2x = 1 pro x R (2) tg x = pro x ≠ (2k + 1) cos x cos x (3) cotg x = pro x ≠ 2k , resp. kπ (4) tg x . cotg x = 1 pro x ≠ k sin x 2
Řešení: a)
Použijeme vzorec (2) a upravený vztah (1)-vyjádříme cos x
√
√
b) ( ) ( K umocnění použijeme vzorce ( (
)
(
) ) (
) a vztah (1):
)
c) Při úpravě použity vztahy (1) a (3):
d) Užijeme vytýkání, vzorec (1) a následně krácení a vztah (3): ( ) ( )
2
2
4. Planimetrie, stereometrie 4. 1. Obvody a obsahy rovinných obrazců 1) Obdélníková louka má rozměry 120 m x 30 m a je oplocena elektrickým ohradníkem. Představte si, že louku s uvedenou výměrou přeměníme postupně na čtvercovou, kruhovou a na tvar rovnostranného trojúhelníka. Při kterém tvaru bude nejmenší spotřeba elektrického ohradníku? Řešení: Obdélník ⇒
o
(
)
Čtverec
√
⇒
potom
Kruh √
⇒
̇
potom
̇ Rovnostranný trojúhelník √
⇒
√
√
̇
m Nejmenší spotřeba ohradníku je u kruhového pozemku.
2) Vypočítejte obsah a výšky trojúhelníku o stranách a = 8 cm, b = 11 cm, c = 13 cm. Řešení: Vyjdeme z Heronova vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku: √ ( √ √
)( (
)( ) (
) ) (
kde
s )
s
̇ 43,8 cm2 Výpočet výšek:
užit vzorec ⇒
̇ ̇ ̇
3) O kolik procent se změnil obsah průřezu plechového potrubí, jehož kruhový tvar byl při stejném obvodu změněn na čtvercový? Řešení: Vyjdeme ze vzorců a vztahů: odtud Vyjádříme a jako funkci r:
Vyjádříme obsah čtverce pomocí obsahu kruhu:
̇ Obsah průřezu se snížil o 21,5 %. 4) Plášť rotačního válce, rozvinutý do roviny, je čtverec o obsahu S = 0,81 m2. Určete poloměr r a výšku v. Řešení: Obrázek 4.1.13:
a=v
a = o = 2πr
Vypočteme a ze vzorce pro obsah čtverce (obsah pláště): ⇒
√
√
Výpočet Výpočet
odtud
m ̇ Poloměr válce je asi 0,14 m a výška 0,9 m. 5) Při opakování planimetrie vyslovili studenti tato tvrzení: (1) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice vepsané a střed kružnice opsané jsou totožné. (2) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice opsané leží na některé z jeho stran. (3) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice vepsané leží na některé z jeho stran. (4) Existuje trojúhelník, jehož průsečík výšek leží na některé z jeho stran. (5) Existuje trojúhelník, jehož průsečík výšek a jehož střed kružnice opsané leží vně tohoto trojúhelníku. (6) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice vepsané, střed kružnice opsané a průsečík výšek jsou totožné. (7) Existuje trojúhelník, jehož těžiště leží vně tohoto trojúhelníku. Mezi nimi nejsou pravdivá právě tato tvrzení: A) (2) a (7) B) (1), (4) a (6) C) (1) a (4) D) (3) a (7) E) (3), (5) a (7) Řešení: 1) pravda – rovnostranné trojúhelníky 2) pravda – pravoúhlé trojúhelníky – Thaletova kružnice – střed kružnice je středem přepony 3) nepravda – kdyby střed vepsané kružnice ležel na některé ze stran, pak by byla část této kružnice vně trojúhelníku ⇒ nemohla by být vepsaná 4) pravda – pravoúhlé trojúhelníky – odvěsny jsou současně výškami 5) pravda – tupoúhlé trojúhelníky 6) pravda – rovnostranné trojúhelníky 7) nepravda – těžiště trojúhelníku leží vždy uvnitř trojúhelníku Závěr: Platí varianta D) - nepravdivá jsou tvrzení (3) (7).
4. 2. Řešení pravoúhlého trojúhelníku 1) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C jsou dány velikosti těžnic √
Vypočítejte velikosti stran trojúhelníku ABC.
Řešení: Na obrázku 4.2.1 je vidět náčrt zadání. ( )
⇒ ( )
Sa
a
Tím získáváme soustava dvou rovnic o dvou neznámých – a, b.
c tb
𝑎
K jejímu řešení užijeme porovnávací metodu řešení soustavy rovnic.
ta . C
( )
Sb 𝑏
A
b
dosadíme za ta a tb ⇒ Výpočet a:
( )
√
( )
Výpočet c: √ √ √ Velikost stran trojúhelníku ABC je 6; 4 a 7,2.
√ √
̇
2) V pravoúhlém trojúhelníku jsou velikosti částí přepony, na které výška rozděluje přeponu, rovny 2,25 m a 4 m. Vypočtěte velikost vnitřních úhlů a odvěsen. Řešení: Obrázek 4.2.2:
B β
Ca c
a
Cb α C
b
A
Vypočítáme velikosti odvěsen – Euklidovy věty:
kde
√
√
√
√
Výpočet velikosti vnitřních úhlů:
̇
⇒
⇒
3)Z tyče kruhového průřezu o poloměru 35 mm má být vyfrézována tyč, jejímž průřezem je pravidelný osmiúhelník. Vypočtěte délku strany tohoto osmiúhelníku a vzdálenost jeho protilehlých stran. Řešení: Obrázek 4.2.3:
Z náčrtku situace je patrné, že pravidelný osmiúhelník je možné rozdělit na 8 rovnoramenných trojúhelníků s hlavním vrcholem S, rameny délky r = 35 mm, základnou a a výškou ρ.
Pro úhel při hlavním vrcholu α platí:
⇒
Vypočteme a:
̇ Vypočteme vzdálenost protějších stran
: ⇒
= 32,33578364
̇ Délka strany osmiúhelníku bude asi 27 mm a vzdálenost protějších stran asi 65 mm. 4) Výška kruhového mostního oblouku je Jeho rozpětí poloměr mostního oblouku a příslušný středový úhel. Řešení: Na obrázku 4.2.4 je zakreslena situace, ze které budeme vycházet. Obrázek 4.2.4:
Výpočet poloměru r:
Výpočet středového úhlu ω:
Vypočtěte
(
)
(
( ) ) ω ̇
̇ Poloměr mostního oblouku je asi 47 m a příslušný středový úhel 121028´.
4. 3. Řešení obecného trojúhelníku 1) Po přímé cestě jede vojenská kolona. Radiolokátorem, umístěným mimo cestu v místě R, bylo zjištěno, že vzdálenost od čela A kolony je | | a vzdálenost od konce B | | kolony je | | Vypočtěte délku kolony. Řešení: Náčrt situace je na obrázku 4.3.3:
B
A
α R
|
|
|
|
|
√
|
|
|
|
|
|
| |
|
potom
Délka kolony je 5 km. 2) Z okna domu stojícího těsně u řeky se díváme kolmo na řeku a vidíme kámen na protějším břehu v hloubkovém úhlu Z jiného okna, které je 12 m nad prvním oknem, vidíme stejný kámen v hloubkovém úhlu . Jak široká je řeka? Řešení: Náčrtek situace na obrázku 4.3.4: B Β´
β
γ
A
δ
α
𝜔 K
C Popis k obrázku | |
|
|
Z
(
|
ze sinové věty:
|
|
| | Šířka řeky je 120 m.
| ⇒ | |
|
(
)
|
⇒ |
|
|
|
)
|
̇
|
|
| ̇
3) Pro a) obsah S d) výšku
v němž znáte b) poloměr )
určete: c) poloměr r kružnice opsané
Řešení: a) obsah S – trojúhelník je zadán velikostí všech tří stran, proto použijeme Heronův vzorec: √ (
)(
)(
) , kde √
(
)(
)(
)
b) poloměr kružnice vepsané: )
c) poloměr kružnice opsané: ) ̇ d) výšku
vyjdeme ze vzorce pro obsah
Dosadíme za S - viz a) ⇒ e) těžnici
náčrtek situace na obrázku 4.3.5:
C
a
tc
b
α
Sc
A
B
c
Vyjdeme z
– vyjádříme cos α
⇒
Dosadíme |
Z
|
| |
A užitím kosinové věty:
| |
|
|
√
4) Veslař vesluje po proudu pod úhlem 60°k toku řeky. Jeho rychlost v klidné vodě by byla 2m rychlost proudu je 3m . Loď se pohybuje rychlostí přibližně: )
B) 4,20
)
D)
Řešení: Obrázek 4.3.6: Náčrtek – využíváme skládání rychlostí z fyziky.
Popis obrázku:
)
Výpočet
Výpočet :
- z jednoho z trojúhelníků užitím kosinové věty:
√ ̇ Platí varianta C)
4. 4. Povrchy a objemy těles 1) Jaká je hmotnost ocelové tyče délky 2 m, je-li její průřez pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami o délkách 3 cm a 2 cm? ( ) Řešení: Vyjdeme ze vzorce pro výpočet hmotnosti tělesa: Za objem dosadíme ze vzorce: Potom dostáváme vztah: Po dosazení:
Hmotnost ocelové tyče je 4,68 kg. 2) Malý motocykl má vrtání válce zdvih pístu Vypočtěte objem válce 3 v cm . (Vrtání válce znamená průměr válce, zdvih pístu znamená výšku válce.) Řešení: Vyjdeme ze vzorce pro objem válce a dosadíme do něj všechny veličiny v cm:
̇ Objem válce malého motocyklu je 50 cm3. 3) Máte rádi čokoládu? Představte si, že vám někdo předloží k výběru dvě čokoládové pochoutky. První bude dutá čokoládová koule o vnějším průměru 5 cm a tloušťce stěny 1,5 cm. Druhá bude 115 čokoládových kuliček o průměru 1 cm. Která nabídka představuje více čokolády? Řešení: První nabídka: Zadání popisuje obrázek 4.4.10:
⇒
Provedeme nejdříve pomocné výpočty:
Označíme: Potom objem čokolády bude: ( Po dosazení dostáváme: Druhá nabídka: Objem jedné kuličky: Objem 115 kuliček: Po dosazení dostáváme:
(
) ̇
)
̇ První nabídka představuje větší množství čokolády. 4) Vnitřní povrch vodojemu tvaru koule je Pojme 18 hl vody? Řešení: K posouzení otázky je potřeba vypočítat objem daného vodojemu. Proto nejdříve vypočítáme Jeho poloměr. Použijeme k tomu vzorec pro povrch koule: ⇒
Po dosazení dostáváme: Výpočet objemu vodojemu:
√
√ ⇒
̇
Vodojem nepojme 18 hl vody.
5. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika 5. 1. Variace, permutace, kombinace, kombinatorické pravidlo součinu 5.1.1 Kombinatorické pravidlo součinu 1) Z města A do města B vedou dvě trasy. Z města B se lze dostat do města C celkem třemi trasami. Kolika způsoby se lze přepravit z města A do města C, pojedeme-li přes město B? Řešení: Danou situaci si znázorněme na následujícím schématu – viz. obrázek 5.1.1.1: Obrázek 5.1.1.1:
3
1
4
B
A 2
C
5
Popišme trasy jako uspořádané dvojice: {[
] [
] [
z A do B trasou 1
] [
] [
] [
]}
z B do C trasou 3
Ke každé možnosti jak se přepravit z A do B můžeme vystřídat postupně všechny možnosti přepravy z B do C. Proto užíváme kombinatorické pravidlo součinu: počet všech tras = 2 .3 = 6.
2) Kolik různých vrhů můžeme provést: a) dvěma kostkami
b) třemi kostkami?
Řešení: a) dvě kostky - využijme k ilustraci možných výsledků náznak schématu. ], kde: Tvoříme uspořádané dvojice typu[ a - výsledek na 1. Kostce b - výsledek na 2. kostce [
] [
] [
] [
] [
] [
]
[
] [
] [
] [
] [
] [
]
[
]
[
]
[
]
[
] [
] [
] [
] [
] [
]
Opět jsme použili kombinatorické pravidlo součinu. Ke každé možnosti, která může padnout na 1. kostce, můžeme prostřídat všechny možnosti, které mohou padnout na 2. kostce. Při hodu dvěma kostkami můžeme osáhnout celkem 36 možných výsledků. b) tři kostky Obdobně jako v části a) - ke každému výsledku pokusu v části a) můžeme postupně vystřídat
všech 6 výsledků na 3. kostce: [
] [
] [
] [
]
Při hodu třemi kostkami můžeme osáhnout celkem 216 možných výsledků. 3) Ve třídě je 20 chlapců a 5 dívek. Kolik různých deputací složených ze dvou chlapců a dvou dívek je možno z nich vytvořit? Řešení: (
- možnosti výběru chlapců:
)
dvojice - možnosti výběru dívek:
( )
(
)
z 20-ti chlapců bez ohledu na role či pořadí (
)
Ke každé možnosti jak vybrat chlapce můžeme postupně vystřídat všechny možnosti výběru dívek: 190 . 10 = 1 900 možností výběru 2 chlapci + 2 dívky. 4) V hřebčíně mají 10 bílých a 8 černých závodních koní stejné výkonnosti. Na závody mají vybrat dvojice, kde bude jeden černý a jeden bílý kůň. Kolika možnými způsoby mohou provést výběr? Řešení: Obdobně jako v úlohách výše – Ke každému bílému koni můžeme prostřídat postupně všechny černé koně: 10 . 8 = 80 způsoby Výběr dvojic koní mohou provést 80-ti způsoby. 5.1.2 Permutace PERMUTACE – počet možností jak můžeme přeměnit pořadí v dané n-tici: ( )
(
)(
)
1) Kolika způsoby lze rozmístit osm věží na šachovnici tak, aby se vzájemně neohrožovaly? Řešení: Šachovnice – čtverec 8 x 8 polí. Věže se mohou pohybovat svisle nebo vodorovně. Proto lze umístit 8 věží daným způsobem jen na úhlopříčkách šachovnice. Zanedbáme-li označení polí a zkoumáme jen umístění na jedné z úhlopříček, jde pouze o počet změn postavení (pořadí) těchto 8-mi věží na 8-mi polích: ( )
Máme celkem 40 320 možností, jak rozmístit osm věží na šachovnici tak, aby se vzájemně neohrožovaly.
2) V lavici sedí 5 žáků A, B, C, D, E. a) Kolikerým způsobem je můžeme přesadit? b) Kolikerým způsobem je můžeme přesadit tak, aby žák A seděl stále na jednom nebo druhém z obou krajů? Řešení: Část a): Proběhne jen záměna pořadí v dané 5-tici: ( ) ] [ ] [ ] [ Například: [ Máme celkem 120 možností jak můžeme přesadit 5 žáků.
] [
Část b): žák A – 1. kraj:
měníme pořadí zbylých 4 žáků: ( )
žák A – 2. kraj:
měníme pořadí zbylých 4 žáků: ( )
] atd.
( ) Celkem: ( ) Máme celkem 48 možností jak můžeme přesadit 5 žáků tak, aby žák A seděl stále na jednom nebo druhém z obou krajů. 3) Čtyři knihy české a tři slovenské se mají postavit na poličku do řady tak, aby byly zařazeny nejprve knihy české a potom slovenské. Kolikerým způsobem to lze provést? Řešení: - počet možností postavení českých knih: ( ) - počet možností postavení slovenských knih: ( ) Ke každému postavení českých knih můžeme postupně vystřídat všechna postavení slovenských knih. Proto dále použijeme kombinatorické pravidlo součinu: ( )
Celkem možností:
( )
5.1.3 Variace VARIACE – počet možností, jak z daných n-prvků vytvořit uspořádané k-tice (záleží na pořadí prvků v k-tici), kde ( )
(
)
(
) (
)
(
)
1) Kolik různých dvojbarevných signálů lze vytvořit z 8 různobarevných vlajek (vytahování dvou vlajek na žerď)? Řešení: ( ) Vybíráme dvě vlajky
(
)
z osmi možných a ještě můžeme zaměnit pořadí vlajek na žerdi
Můžeme vytvořit celkem 56 dvojbarevných signálů užitím 8 různobarevných vlajek. 2) 8 kamarádů se dohodlo, že si vzájemně pošlou pohlednice z prázdninových cest. Kolik pohlednic bylo odesláno? Řešení: - každý z kamarádů musel odeslat 7 pohlednic ⇒ 8 . 7 = 56 NEBO [
- pomocí pohlednic se tvoří dvojice: ( )
potom:
(
]
)
Bylo odesláno 56 pohlednic. 3) Kolik různých popěvků složených ze čtyř tónů je možno vytvořit z tónů stupnice C dur? (Tóny v popěvku se neopakují, jdou po sobě a na jejich délce nezáleží.) Řešení: Z tónů stupnice C dur vybíráme čtveřice různých tónů. Změnou jejich pořadí získáme nový popěvek. Proto použijeme k výpočtu variace. ( )
(
)
stupnice C dur má 8 tónů: c, d, e, f, g, a, h, Z tónů stupnice C dur můžeme vytvořit za daných podmínek celkem 1680 popěvků. 5.1.4 Kombinace KOMBINACE – počet možností jak z daných n-základních prvků vytvořit k-tice (v nichž nezáleží na pořadí prvků), kde
( )
(
)
( ) ( ) – kombinační číslo
1) Určete, kolika způsoby lze ze 7-mi mužů a 5-ti žen vybrat čtyřčlennou skupinu, jestliže: a) nejsou stanoveny žádné omezující podmínky b) v ní mají být právě dvě ženy Řešení:
Část a): pokud nemáme stanoveny podmínky pro počet žen a mužů ve vytvářené skupině, pak je počet základních prvků n = 7+5 = 12 lidí. Nejsou-li stanoveny role ve vytvářené skupině, znamená to, že „nezáleží na pořadí ve skupině“ a proto je úloha zařazena mezi kombinacemi. (
)
( ) Z 5-ti žen a 7-mi mužů lze vybrat čtyřčlennou skupinu 495-ti způsoby. Část b): ve skupině mají být právě dvě ženy: Podmínka „právě dvě ženy“ znamená, že ve čtyřčlenné skupině mají být vždy, 2 ženy a 2 muži. Protože nejsou stanoveny úlohy jednotlivých členů, použijeme opět kombinace. - možnosti výběru žen:
( )
- možnosti výběru mužů:
( )
(
)
(
)
celkem – ke každé volbě dvojice žen můžeme postupně vystřídat všechny možnosti výběru ( ) ( ) mužů: Pokud má být ve čtyřčlenné skupině po dvou ženách i mužích, máme 210 možností jak tyto skupiny vytvořit. 2) Kolika různými způsoby lze vyplnit tiket Sportky? Řešení: Vybíráme z n = 49 čísel šestice – nezáleží v jakém pořadí daná čísla zatrhneme – změnou pořadí vybraných čísel nedostáváme nový tip: (
)
( )
(
možností
)
Tiket Sportky lze vyplnit 13 983 816-ti způsoby. 3) Ve třídě, je 18 chlapců a 14 dívek. Kolikerým způsobem lze zvolit do třídní samosprávy 3 členy tak, aby to byli dva chlapci a jedna dívka? Řešení: - nestanoveny úlohy ve skupině - možnosti výběru chlapců: - možnosti výběru dívek: 14
(
)
(
)
celkem – ke každé volbě dvojice chlapců můžeme postupně vystřídat každou ze 14-ti dívek: ( ) Zadaným způsobem můžeme vytvořit celkem 2 142 různých tříčlenných samospráv.
5. 2. Výrazy a rovnice s n! a s kombinačními čísly 1) Zjednodušte výrazy: a)
(
)
(
)
(
)
Podobně jako u všech algebraických zlomků i tady je třeba upravit všechny zlomky na stejného (společného) jmenovatele. Dále respektujeme vlastnosti faktoriálu. ( (
Proto rozložíme:
)
(
) (
) (
) )
(
b)
(
)
(
( (
(
)(
(
)(
(
)
) (
)
(
(
)
( (
)( )(
) )
(
2) Řešte v Z rovnice: Všechny faktoriály v rovnicích musí splňovat podmínku: (
a)
pro n! …
) Podmínky:
(
)(
)
)
obdobný postup jako v části a)
)
) )
.
(
) )
)
)
podle vzorce Potom:
(
⇒
)
(
)
Řešíme kvadratickou rovnici (
)(
)
)(
(
) { }
b)
(
)
(
(
) )
⇒
Podmínky:
⇒ (
[
) (
(
)(
)(
)
)]
⇒ (
(
)
⇒
)
… vyhovuje podmínkám { }
3) Zjednodušte a vypočtěte: Tato úloha opakuje počítání s kombinačními čísly. Budeme v nich používat základní vlastností a vztahy: 1)
( )
2)
( )
( )
3)
( )
(
a)( )
(
(
)
( ) )
(
( )
(
)
5)
( )
(
)
)
užit vztah (1) b) ( )
4)
)
rozložíme čitatel tak, aby bylo možno krátit 21
(
)
obdobně jako v a) ( )
c) (
)
d) (
)
( )
4) Řešte rovnice: Rovnice s neznámou v kombinačním čísle – používáme vlastností kombinačních čísel-viz úloha 3) této kapitoly a běžných postupů řešení rovnic. Dále a) (
)
⇒
P
⇒ (
)
[(
)
(
)( (
užit vztah (1), upravíme levou stranu pro krácení
]
(
)(
)
)
) { }
… vyhovuje (po kontrole) nevyhovuje podmínkám b) ( )
(
)
Podmínky: ⇒
⇒ ( (
) ( (
)
( )( )
)
užit vztah (1)
) (
)( (
) )
rozklad faktoriálů a krácení
(
)(
)
Ani jeden z kořenů nevyhovuje podmínkám. c) (
)
(
{ }
)
Podmínky: splněna
;
splněna
⇒
⇒
⇒
Závěr podmínek:
( ) (
[(
) )] (
)
[(
( ) (
) )] (
Postupujeme podobně jako v úlohách a), b) (
) ( (
(
)
(
)
)(
Vyhovuje
;
)(
) ( (
)
)
/.2
)
nevyhovuje podmínkám { }
)
;
5. 3. Binomická věta V následujících úlohách budeme využívat tzv. BINOMICKOU VĚTU: (
)
( )
( )
kde a, b R; n N. Kombinační čísla ( )
( )
(
)
( )
( ) lze určit pomocí Pascalova trojúhelníku – viz Matematické, fyzikální
a chemické tabulky pro střední školy autorů Mikulčák a spol. – str. 62. Nebo je vypočteme ze vzorce: ( )
(
; v úlohách jsou již kombinační čísla nahrazena jejich hodnotami.
)
1) Užitím binomické věty vypočtete: a) (
)
b) (
)
2) Zjednodušte: a) (
)
(
) zapíšeme stejné členy obou rozvojů pod sebe a pak je sečteme
b)(
)
(
)
postupujeme obdobně jako v části a)
3) Najděte: V dalších úlohách uplatníme vzorec pro výpočet jednoho - libovolného členu rozvoje ( ) Je to vzorec pro k-tý člen tohoto rozvoje: (
)
a) pátý člen rozvoje výrazu (
)
V našem případě k = 5, n = 12: ( b) člen rozvoje ( √
(
)
)
(
)
√ ) který je přirozeným číslem
Aby hodnota členu byla přirozeným číslem, musí obsahovat součin ( √ ) (√ ) , abychom odstranili odmocniny a to je 3. člen: ( ) (√ ) c) v rozvoji výrazu ( (
)
(√ )
√ ) člen obsahující
(√ )
má platit: ( √ )
řešíme exponenciální rovnici logaritmujeme řešíme lineární rovnici
( )
Provedeme kontrolu:
(√ )
Jedná se o sedmý člen, který má hodnotu d) v rozvoji výrazu ( √
) absolutní člen
Absolutní člen neobsahuje proměnnou. Sestavíme vzorec pro k-tý člen:
( (√ )
)( √ )
( )
v něm musí platit řešíme exponenciální rovnici
…
platí pro 4. člen
( )( √ ) ( )
Provedeme kontrolu:
Hledaným členem je
5. 4. Základy pravděpodobnosti V dalších úlohách budeme používat následující termíny a označení: V – množina všech možných výsledků náhodného pokusu (jiný než fyzikální, chemický…) | | – počet všech výsledků náhodného pokusu A, B,C… - množiny výsledků, které jsou příznivé (v nich nastane) náhodnému jevu | | - počet všech výsledků, které jsou příznivé náhodnému jevu A ̅ ( )
operace s náhodnými jevy (obdoba množinových operací)
statistická definice pravděpodobnosti náhodného jevu A (m, n – viz. výše)
Ø … nemožný jev
1) Student si má vytáhnout 3 z 10 otázek. Je připraven na 5 otázek. Jaký je počet všech možných výsledků, tj. počet prvků množiny V, tj.| | Jaký je počet všech výsledků příznivých jevům A, B, kde A, B značí jevy: a) A – student vytáhne právě jednu otázku, kterou umí b) B – student nevytáhne žádnou otázku, kterou umí Řešení: | |…počet všech možných výsledků:
(
)
( )
(
)
Protože máme 10 otázek, 3 z nich volíme a nezáleží na pořadí, v jakém otázky vytahujeme: | | a) A – student vytáhne právě jednu otázku, kterou umí – jinak řečeno – z 5-ti, které umí, vytáhne jednu a dvě zbylé vytáhne z těch 5-ti, které neumí: | |
( )
(
)
možnosti jak vybrat tu, co umí
vybírá 2, které neumí
b) B – student nevytáhne žádnou otázku, kterou umí – tj. všechny 3 otázky vytáhne z těch 5-ti, které neumí: | |
( )
(
)
2) Náhodně vybraný výrobek může být 1., 2. nebo 3. jakosti. Označme jevy: A – vybraný výrobek je 1. jakosti; B – vybraný výrobek je 2. jakosti; C – vybraný výrobek je 3. jakosti ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( )
Interpretujte jevy: )
)̅
)(
)
Řešení: nastane tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů ⇒
a)
Vybraný výrobek je buď 1. nebo 2. jakosti = vybraný výrobek není 3. jakosti b) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ……..jev opačný ke sjednocení jevů A,C… nastane vždy, když nenastal jev
⇒
Vybraný výrobek není 1. nebo 3. jakosti = vybraný výrobek je 2. Jakosti c) ̅ …… jev opačný k jevu A (zahrnuje všechny zbylé možnosti) = vybraný výrobek není 1. jakosti ( d) ⏟
)
vybraný výrobek je třetí jakosti
jev nemožný
… protože vybraný výrobek nemůže být současně 1., 2. Jakosti
3) Z 26 žáků ve třídě, ve které je 12 chlapců a 14 dívek, se losují 3 zástupci. Jaká je pravděpodobnost, že to budou: a) samé dívky b) dvě dívky a jeden chlapec c) samí chlapci Řešení: Všechny možnosti: (
)
volba 3 z 26 (nejsou stanoveny role ve skupině) (
)
a) A – ve skupině zástupců jsou samé dívky (3 ze 14) | |
(
)
(
)
( ) Pravděpodobnost, že ve skupině zástupců jsou samé dívky, je 7 : 50.
b) B – ve skupině zástupců budou 2 dívky a jeden chlapec (2 ze 14; 1 z 12) | |
(
)
2 dívky
(
)
1 chlapec ( )
Pravděpodobnost, že ve skupině zástupců budou 2 dívky a jeden chlapec, je 21 : 50. c) C – ve skupině zástupců budou samí chlapci (3 z 12) | |
(
)
(
( )
)
Pravděpodobnost, že ve skupině zástupců budou samí chlapci, je 11 : 130. 4) Střelec střílí se spolehlivostí (tj. s pravděpodobnosti zásahu) 0,9. Jaká je ravděpodobnost, že při první ráně nezasáhne cíl? Řešení: Jev A – střelec 1. ranou zasáhne cíl…….. ( ) Jev ̅ je jev opačný k jevu A – střelec 1. ranou nezasáhne cíl. Pro pravděpodobnost opačných ( ̅) ( ) jevů platí vztah: ( ̅)
- ( )
-
Pravděpodobnost, že střelec 1. ranou nezasáhne cíl, je 0,1. 5) Při výrobě určitého výrobku musí být provedeny postupně tři náročné operace, jejichž dlouhodobě sledované úspěšnosti jsou 90%, 80% a 85%. Jaká je při tomto postupu pravděpodobnost zhotovení kvalitního výrobku? Řešení: Označme jevy: A – úspěšně provedená 1. operace……úspěšnost 90% ⇒
( )
B – úspěšně provedená 2. operace……úspěšnost 80% ⇒
( )
⇒
( )
C – úspěšně provedená 3. operace…..úspěšnost 85% D – zhotovení kvalitního výrobku
musí nastat jevy A, B, C současně; A, B, C jsou vzájemně nezávislé jevy (nástup jednoho neovlivní to, jestli nastanou další 2). Proto platí vzorec: ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Pravděpodobnost zhotovení kvalitního výrobku je 0,612 (61,2%).
5. 5. Základy statistiky Na začátku připomeňme některé pojmy ze statistiky: STATISTICKÝ SOUBOR – skupina, na které provádíme statistické šetření. Její prvky ( jednotky) označujeme jako STATISTICKÉ JEDNOTKY. Sledovaná vlastnost je ZNAK, který může být kvantitativní (charakterizován číslem), nebo kvalitativní (např. žena/muž; vzdělání…). ROZSAH SOUBORU – počet jednotek ve statistickém souboru. ČETNOST – kolikrát se vyskytla konkrétní hodnota sledovaného znaku. RELATIVNÍ (POMĚRNÁ) ČETNOST = četnost : rozsah souboru… desetinné číslo menší než 1, nebo po vynásobení . 100 dostaneme výsledek v %.
1) V regionech A, B, C……J pracují dětské kluby v počtech uvedených v tabulce: a) doplňte tabulku o relativní četnosti v % (zaokrouhlete na 1 desetinné místo). Region
A B C D E F G H
Počet klubů
5 4 1 7 4 1 2
I
J
2 3 2
Relativní četnost v % b) Znázorněte údaje z tabulky pomocí spojnicového diagramu (polygonu). Řešení: a) doplňte tabulku o relativní četnosti v % (zaokrouhlete na 1 desetinné místo). Označme
… ... až
… atd.
nazýváme rozsah souboru
relativní četnosti v %:
̇
Region A: ̇
Region B:
podobně region E
̇
Region C:
podobně region F ̇
Region D: ̇
Region G:
podobně regiony H, J
̇
Region I:
Výsledky jsou shrnuty v následující tabulce: Region
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Počet klubů
5
4
1
7
4
1
2
2
3
2
Relativní četnost v % 16,1 12,9 3,2 22,6 12,9 3,2 6,5 6,5 9,7 6,5
b) znázorněte údaje z tabulky pomocí spojnicového diagramu (polygonu) Obrázek 5.5.1b):
2) Podle statistických údajů Českého statistického úřadu z roku 2002 byl počet knihoven vysokých škol technického směru 206, univerzitního směru 645, ekonomického 52, zemědělského 153, uměleckého 18, jiného 22.
Znázorněte uvedené údaje: a) sloupcovým diagramem (histogramem) b) kruhovým diagramem Řešení: Zapišme pro přehlednost dané údaje do tabulky: Typ školy Četnost knihoven
n (rozsah techniky Univerzity ekonomický zemědělský umělec. jiné souboru) T
U
E
Z
Um
J
206
645
52
153
18
22
a) sloupcový diagram (histogram) uvádí obrázek 5.5.2a):
- výška sloupce odpovídá počtu knihoven - šířka sloupce – libovolná, ale u všech typů škol stejná
1096
b) kruhový diagram – obrázek 5.5.2b):
Postup tvorby: - narýsujeme kruh - jednotlivé četnosti znázorníme odpovídající velikostí kruhové výseče - velikosti výsečí vymezíme pomocí relativní četnosti odpovídajícímu středovému úhlu:
̇
̇ ̇
̇ ̇ ̇
Výsledný kruhový diagram uvádí obrázek 5.5.2b). V následujících úlohách se budou vyskytovat další statistické pojmy a vztahy: Některé tzv. CHARAKTERISTIKY SOUBORU: ARITMETICKÝ PŮMĚR:
̅
kde xi je hodnota znaku a ni její četnost
MODUS – Mod(x) – hodnota s nejvyšší četností znaku x MEDIÁN –Med(x) – prostřední hodnota znaku, je-li uspořádán podle velikosti GEOMETRICKÝ PRŮMĚR:
̅̅̅̅
√
̅̅̅
HARMONICKÝ PRŮMĚR:
∑ ∑
3) V prodejně osobních vozidel prodali za určité období 11 vozidel po 399 000 Kč, 6 vozidel po 599 000 Kč, 2 vozidla po 759 000 Kč a 1 vozidlo za 929 000 Kč. Porovnejte aritmetický průměr, medián a modus cen vozidel. Řešení: Shrňme dané údaje do tabulky: Znak - označení
x1
x2
x3
x4
Cena vozidla (Kč)
399 000
599 000
759 000
929 000
11
6
2
1
Četnost vozidel Četnost-označení
Aritmetický průměr: ̅ ̅ Medián – prostřední hodnota ceny vozidla, pokud je uspořádáme do řady podle velikosti – v našem případě (20 prodaných vozidel) to budou (10-tá + 11-tá cena):2 – obě jsou 399.000 Kč, proto Med (x) = 399 000 Kč Modus – hodnota s nejvyšší četností – nejčastěji se vyskytuje – Mod (x) = 399 000 Kč. 4) Máte posoudit fyzickou zdatnost žáků vaší třídy. Uveďte aspoň pět kvantitativních znaků, které by při tomto posuzování přicházely v úvahu. kvantitativní znak – má hodnotu vyjádřenou číslem Řešení: Vhodné kvantitativní znaky pro posouzení fyzické zdatnosti - např.: - počet kliků (provedených za 1 min.) - počet sklapovaček (provedených za 1 min.) - počet dřepů (provedených za min.) - počet m uběhnutých za 1 min. - počet minut za kolik uběhne student 3 km a podobně
5) Z dvaceti zájemců má být proveden výběr 5-ti nejschopnějších řidičů autobusu. Uveďte alespoň tři kvantitativní znaky a tři kvalitativní znaky, které by při rozhodování měly být posuzovány. Řešení: kvantitativní znak – jeho hodnota se vyjadřuje číslem - můžeme např. posuzovat:
- věk uchazeče - délka praxe - počet přestupků (dopravních) za dobu praxe atd.
kvalitativní znak – jeho hodnota je popisována slovně - můžeme např. posuzovat:
- žena nebo muž - psychické předpoklady (cholerik,…) - svobodný, ženatý, rozvedený apod.
6) Hodnoty získané při laboratorním měření by měly odpovídat podmínce: aritmetický průměr = geometrický průměr = harmonický průměr. Byly získány tyto hodnoty:
Vypočítejte: a) aritmetický průměr b) medián c) modus d) geometrický průměr e) harmonický průměr Řešení: Sestavíme tabulku četností podle hodnot znaku x: x;
15,1
15,2
15,3
15,4
15,5
15,7
n;
1
2
3
2
1
1
a) aritmetický průměr: ̅
∑ ∑
b) medián: prostřední hodnota znaku x, jsou-li hodnoty uspořádány podle velikosti - proto vybereme (podle tabulky) 5. a 6. hodnotu v pořadí podle velikosti a dělíme 2: Med (x) = 15,3 c) modus: hodnota znaku x, která se vyskytuje nejčastěji – s největší četností
- proto Mod (x) = 15,3 d) geometrický průměr: ̅̅̅ ̅̅̅̅
Po dosazení:
√
√ ̇
e) harmonický průměr: ̅̅̅
∑ ∑
̅̅̅ ̇
6. Posloupnosti a základy finanční matematiky 6. 1. Pojem a určení posloupnosti, vlastnosti posloupnosti 1) V soustavě pravoúhlých souřadnic zobrazte prvé čtyři členy posloupnosti a určete člen desátý:
(
)
Řešení: Posloupnost je zadána pomocí vzorce pro n-tý člen posloupnosti. Představuje předpis, podle kterého si máme vytvořit postupně vzorce pro: 1. člen – a1… dosazením za n = 1 2. člen – a2… dosazením za n = 2 atd. a) ( n = 1:
) n = 2:
n = 3:
n = 4:
n = 10: Graf prvních čtyřech členů posloupnosti – viz. obrázek 6.1.1a). Obrázek 6.1.1a):
2) Napište prvých šest členů posloupnosti dané rekurentním vzorcem: je-li a zobrazte je v pravoúhlé soustavě souřadnic. Řešení: Jsou dány členy a1 a a2. Budeme tedy určovat členy a3 až a6: Výpočet a3: dosadili jsme za Tím vznikl vzorec, do něhož dosadíme zadané hodnoty:
;
Výpočet a4: Obdobně si nejdříve vytvoříme vzorec: Dosadíme: Výpočet a5, a6: Stejný postup:
Pro přehled zapíšeme výsledek počítání členů posloupnosti tzv. VÝČTEM NĚKOLIKA PRVNÍCH ČLENŮ POSLOUPNOSTI:
{
}
Graf uvádí obrázek 6.1.5:
8) Stanovte n-tý člen posloupnosti a dokažte, zda je daná posloupnost rostoucí či klesající: a)
…
…
b)
…
c)
d)
…
e) 1; -1; 1; -1; 1… Řešení: Z prvních členů posloupností se snažíme vypozorovat obecné vlastnosti, které pak zformulujeme do vzorce pro n-tý člen. Následně dokážeme požadované vlastnosti – viz. úlohy 2) a 3). a)
(
(
)(
)
(
Daná posloupnost klesá. b) Čitatel roste rychleji než jmenovatel. Daná posloupnost roste.
)
) ⇒
(
)(
)
(
)
⇒
6.2 Aritmetická posloupnost Posloupnost se nazývá ARITMETICKÁ, tehdy když existuje takové číslo d R, že pro každé n N platí: (1) … d – diference ; Dále pro aritmetické posloupnosti použijeme vztahy: ( ) ( ) (2) (3) …r,s N (4)
(
)
(5)
… aritmetický průměr; pro
1) Ve které aritmetické posloupnosti je
?
Řešení: Zadány 2 rovnice o čtyřech neznámých. K určení aritmetické posloupnosti stačí hodnota a1 a d. Proto v rovnicích nahradíme všechny členy pomocí vzorců: ; ; ; Užili jsme vztah (2). Dále dosadíme vytvořené vzorce do rovnice I) a II): )
po úpravách
2 soustava dvou
II):
po úpravách
rovnic o dvou neznámých
K řešení použijeme dosazovací metodu: Dosadíme za z rovnice I) vyjádříme II):
(
a dosadíme do II)
)
potom Dané vztahy platí pro posloupnost zadanou 2) V aritmetické posloupnosti určete a1, n, d, an, sn, pokud nejsou známy: a)
b)
,
,
Řešení: a) Výpočet a1:
užit upravený vztah (2)
Výpočet a7:
užit vztah (3)
Výpočet s7:
(
)
užit vztah (4)
( b)
,
)
,
…. součet prvních 7-mi členů posloupnosti
,
Výpočet a1: Výpočet a10:
(
Výpočet s10:
) ⇒
(
)
3) Mezi čísla 1 a 25 vložte tolik čísel, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost o součtu 117. Určete čísla vložená a jejich počet. Řešení: Dáno:
,
,
Je třeba určit: Určíme : Určíme :
(
)
⇒
⇒
⇒
⇒
=3
Hledaných čísel bude celkem 7 (9 - 2 zadaná) a budou se zvětšovat o
4) Napište prvních 5 členů aritmetické posloupnosti: a) b) Řešení: a)
resp. resp. nebo { b)
nebo
}
:
nebo nebo {
}
6.3 Geometrická posloupnost (GP) V této části sbírky budeme potřebovat následující pojmy a vztahy: { }, že pro každé číslo n Posloupnost je GEOMETRICKÁ tehdy, když existuje q rekurentní vzorec (1):
, kde pro q – kvocient- platí:
Další vztahy: (2) (4) (6) |
pro q = 1 |
√
N platí
.
(3)
kde r, s
(5)
pro q
N 1
… geometrický průměr; pro
1) Napište prvních 5 členů GP, je-li: a) b) c) Řešení: a) Uplatníme stejný postup jako v a): Vyšší členy. ⇒
Nižší členy:
Pro přehled uvedeme výčet prvních 5-ti členů posloupnosti: b) Nejdříve vypočítáme q, potom použijeme opět (1): ⇒
{
}
{
Pro přehled uvedeme výčet prvních 5-ti členů posloupnosti:
}
c) Použijeme vztah (3) pro výpočet kvocientu q a pak postu pro výpočet vyšších a nižších členů: ⇒
⇒
√
√
√
{
Pro přehled uvedeme výčet prvních 5-ti členů posloupnosti:
}
2) Vypočtěte součet prvých 10-ti členů dané GP:
Řešení:
Použit vztah (5): pro
dosadíme
( )
(
3) V GP je
. Určete
)
.
Řešení: Zadané vztahy představují dvě rovnice o třech neznámých, proto musíme vytvořit 2 rovnice o 2 neznámých (např. ): I): II): Dosadíme za členy :
a
do rovnic I) a II)
I)
⇒
II)
⇒
(
) (
⇒
)
⇒
Použijeme porovnávací metodu řešení soustavy rovnic:
( (
Výpočet
)(
) [
]
Vypočteme
:
)
:
Výpočet :
dosadíme za
řešíme exponenciální rovnici
⇒ 4) V geometrické posloupnosti je:
. Určete
.
Řešení: Vzorce v zadání představují soustavu dvou rovnic o třech neznámých. Proto je nahradíme např. a1 a q:
I):
II):
(
)
(
)
Užijeme porovnávací metodu řešení soustavy rovnic:
(
)
[
]
⇒
Výpočet a1:
Vypočteme s4:
6.4 Využití posloupností, slovní úlohy 1) Na střeše tvaru lichoběžníku jsou srovnány tašky do řad tak, že při hřebenu je 85 tašek a v každé další řadě o jednu tašku více než v řadě předcházející. Kolika taškami je pokryta střecha, má-li řada při okapu 100 tašek? Řešení: Předmětem řešení je aritmetická posloupnost (AP):
Úkol – určit
(
:
)
musíme stanovit velikost : (
)
⇒
⇒
Dosadíme:
Počítáme tedy s16:
(
)
Na pokrytí střechy je třeba 1 480 tašek. 2) Bakterie se množí půlením tak, že k dělení dojde v příznivých podmínkách vždy za půl hodiny. Kolik bakterií vznikne za 12 hodin z jedné bakterie? Řešení: začátek „pokusu“:
Potom: Otázka zní, kolik bakterií za 12 hodin vznikne; tedy původní jednu bakterii musíme odečíst. Vznikne proto 16 777 215 bakterií. 3) Z jaké výšky byla spuštěna pružná koule, která se odrazila od země celkem 8 krát a po osmém odrazu odskočila ještě do výše 0,5 metru, vyletěla-li po každém dopadu do té výše, ze které spadla. Řešení: Proveďme rozbor zadání: původní výška: výška po prvním odskoku: ( )
výška po 2. odskoku: výška po 8. odskoku:
a tak dále, až
( )
vypočteme a1 ( )
Koule byla spuštěna z výšky 298 cm. 4) Občan Spořivý si založil osobní spořicí účet s roční úrokovou mírou 4,2 % na dobu tří let. Rozhodl se vždy na začátku roku vložit částku 8 000 Kč. Po 1. roce se roční úroková míra snížila na 4 % a pak už se neměnila. Jakou částku měl pan Spořivý na účtu po třech letech, je-li roční daň z úroku 15 %? Banka stav na účtu na konci roku vždy zaokrouhluje na haléře. Řešení: Označení: J – jistina – peníze v bance - pravidelný každoroční vklad ….. - peníze na konci 1. roku po připsání úroků a odečtení daně 15 % z úroků
- peníze na konci 2. roku po připsání úroků a odečtení daně 15 % z úroků - peníze na konci 3. roku 1.rok: ⏟
⏟
⏟
(
) vytkli jsme J0 (
( (
))
vytkli jsme 0,042
)
dosadíme za J0
(
)
2.rok: ⏟
( ⏟
⏟
(
) (
)
)
)
po vytknutí výrazu (J1 + J0)
) (
(
( ⏟
)
dosadíme za J1 a J2
̇ 3.rok: ⏟
( ⏟
⏟
(
)
) (
( ⏟
)
) po úpravě
(
) (
)
̇ Po třech letech bude mít pan Spořivý v bance 25 683,85 Kč. 5) Každým rokem se ve stejnou dobu zjišťuje přírůstek objemu dřeva v lese. Přírůstek činí pravidelně p % oproti předchozímu roku. Jestliže se za deset let zvětšil objem dřeva v lese o 10 %, je číslo p po zaokrouhlení na setiny rovno: A) 0,90 Řešení:
B) 0,96
C) 1,00
D) 1,05
E) 1,10
Označení:
… objem dřeva na začátku … objem dřeva po 1. roce … objem dřeva po 2. roce … objem dřeva po 10. roce
ze zadání plyne:
nárůst objemu o p % (
objem po 1. roce:
) (
[ objem po 2. roce:
(
)] (
(
)
) dosadíme za )
Jde o geometrickou posloupnost s kvocientem ( (
Potom:
). )
Ze zadání dále plyne:
… objem vzrostl o 10 %
Po dosazení do předchozí rovnice dostáváme: ( (
) )
odmocníme
√
vyjádříme p ( √
) ⇒
̇
Správná je varianta B). 10) V rámci restrukturalizačního programu vedení firmy na začátku ledna rozhodlo , že na konci každého čtvrtletí klesne počet zaměstnanců firmy o 5 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. Počet procent (zaokrouhlený na desetiny), o který klesne počet zaměstnanců na konci prosince oproti stavu na začátku ledna téhož roku je roven: A) 20,0
B) 19,5
C) 19,0
D) 18,5
E) 18,0
Řešení: Označení:
… počet zaměstnanců na začátku ledna … počet zaměstnanců po 1. Čtvrtletí …
a tak dál až
… počet zaměstnanců na konci 4. čtvrtletí (
⏟
Ze zadání plyne:
)
obdobně Jedná se o geometrickou posloupnost s kvocientem 0,95. ⇒
Proto:
̇ Což znamená, že na konci roku činil počet zaměstnanců 81,5 % z počtu na začátku roku. Pokles počtu zaměstnanců tedy činil 18,5 %. Platí varianta D).
7. Analytická geometrie v rovině 7.1. Vzdálenost dvou bodů, střed úsečky V této části uplatníme následující vztahy: (1) | (2)
|
√(
)
(
)
- vzdálenost bodů [
]a
[
]
[
];
[
]
- souřadnice středu úsečky AB; - [
]
1) Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře tak, že se posune za dobu t = z bodu [ ] do bodu [ ]. Vypočítejte jeho rychlost. (Absolutní hodnoty souřadnic udávají délky v m.)
Řešení: Vyjdeme ze vzorce pro rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu: |
Výpočet dráhy s:
|;
s )
√(
S
|
√
| (
(
) …..(1)
)
√ √
⇒
Výpočet rychlosti:
)
√(
Rychlost hmotného bodu je √
√
.
2) Jaký obvod má trojúhelník s vrcholy [ souřadnic udávají délky v m.)
], [
Řešení: Vyjdeme ze vzorce pro obvod ∆:
|
], [
|
|
|
]?( Absolutní hodnoty
|
| …součet délek stran
Výpočty délek jednotlivých stran: |
|
|
| |
|
√(
)
(
|
|
√(
)
(
|
|
√
|
|
√(
)
(
|
|
√(
|
|
√
|
|
√(
)
(
|
|
√(
)
(
|
|
√
|
|
Dosadíme:
)
) )
)
(
)
) )
√ |
|
|
|
|
|
√
√
̇
Obvod trojúhelníku je přibližně 29,34 m.
3) Určete souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany tvořily střední příčky ]; [ ]a [ ]. trojúhelníku ABC s vrcholy: [
Řešení: Střední příčka trojúhelníku je spojnice středů dvou sousedních stran. Dále zaznamenejte, že ∆ABC z této úlohy je stejný jako v úloze předchozí. Můžeme si udělat představu o zadání i kontrolu svých výpočtů z obrázku 7.1.4. Výpočet souřadnic vrcholů ∆KLM jako středů příslušných stran:
[
]
[
]
: [
]
7.2. Vektor, vektorová algebra V tomto oddíle použijeme následující informace: VEKTOR – množina všech stejně velkých, rovnoběžných a souhlasně orientovaných úseček - má nekonečně mnoho možností zobrazení – umístění vektoru - obrázek 7.2.a) ( ): SOUŘADNICE VEKTORU ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ znamená, že jsme zvolili umístění vektoru ⃗ tak, že jeho počátečním bodem je - zápis ⃗ bod A , koncovým bodem bod B ]a [ ] - výpočet souřadnic: podle formální rovnice ⃗ , kde [ ; vždy od souřadnic koncového bodu odečítáme souřadnice počátečního bodu! ]a - výpočtem souřadnic vektoru jej rovněž můžeme umístit tak, že má počáteční bod [ ], což činíme nejčastěji – obrázek 7.2.b) koncový bod [ VELIKOST VEKTORU – délka orientované úsečky AB: |⃗ |
√
- odvození pomocí Pythagorovy věty – viz. obrázek 7.2.b) ODCHYLKA VEKTORŮ ⃗ ⃗⃗⃗
√
√
…⃗
(
);
(
)
Obrázek 7.2.a):
Obrázek 7.2.b):
] [ ] a vektor ⃗ ( ), kde ⃗ 1) Jsou dány body [ a) Určete souřadnice bodu C. b) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC. c) Určete velikost největšího vnitřního úhlu trojúhelníku ABC
.
Řešení: a) Určete souřadnice bodu C. Zápis Výpočet souřadnic bodu C: (
)
(
)
⇒
[
]
b) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC. Lze počítat jako vzdálenost příslušných vrcholů nebo jako velikost vektorů, které jsou tvořeny stranami trojúhelníku ABC .Volíme variantu pomocí velikosti vektorů.
|⃗ |
|
⃗
(
| ) zadán, proto | |
|
|
√ |
|⃗ |
|
⃗
(
|⃗ |
√
√(
|
) )
(
)
(
)
√ |
|
)
|
Souřadnice ⃗
|⃗ |
(
√
|
√
̇
|
Souřadnice ⃗⃗ | |
(
⃗ √
)
(
)
(
)
√ |
|
c) Určete velikost největšího vnitřního úhlu trojúhelníku ABC. Podle pravidla: proti větší straně v trojúhelníku leží větší úhel. Platí, že největším úhlem v trojúhelníku ABC bude úhel, který leží proti největší straně(AB) a tedy úhel BAC = . Velikost úhlu určíme pomocí vzorce pro odchylku vektorů, které mají počáteční bod ve vrcholu A a koncové body ve vrcholu B, resp. C: Nákres situace – obrázek 7.2.1c):
Výpočet souřadnic obou vektorů: ⃗ ⃗
(
)
(
)
(
⃗
Výpočet odchylky α:
√
)
(
)
√
)
√(
(
(
) (
)
)
√
(
√
)
√
̇
Největší úhel v ∆ABC je úhel
], [ ], [ ]. 2) Jsou dány body [ a) Dokažte, že body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku. b) Vypočtěte délky stran trojúhelníku ABC. c) Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC Řešení: a) body A, B, C - vrcholy trojúhelníku Z bodů A, B, C vytvoříme po řadě vektory: ⃗ Prověříme, zda jsou nebo nejsou lineárně závislé: (
⃗ ⃗
( (
⃗
)
(
)
(
)
)
(
) )
( ( (
) ) )
Jsou-li dva vektory ⃗ ⃗⃗ lineárně závislé (leží v téže přímce), musí pro ně platit vztah: ⃗ ⃗ { } a tím také: , kde ⃗
Prověříme vztah
⇒ ⃗ , proto
⇒
(
)
⇒
protože se k neshodují ⃗
⇒
(
)
⇒
nemohou body A, B, C ležet v jedné přímce.
resp. ⃗
Obdobně můžeme prověřit zbylé dvě dvojice: zvolíme. Vrcholy A, B, C tvoří trojúhelník.
. Nezáleží na tom, kterou z nich si
b) délky stran trojúhelníku ABC ⃗⃗ ⃗⃗ z části a). Velikosti stran jsou stejné jako velikosti těchto
Je možné využít vektory vektorů: | | |
|
| |
√
)
√(
√
|
| |
√
√(
)
(
)
√
|
|⃗ |
√
√(
)
(
)
√
Velikosti stran ∆ABC jsou po řadě : √ pravoúhlý trojúhelník.
√ √
. Z nich plyne, že se jedná o rovnoramenný
c) velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC ⃗
K řešení tohoto úkolu opět použijeme vektory ⃗
-
⃗
(- - )
Podle závěru v části b) platí pro vektory ⃗ Úhel mezi vektory ⃗
(
(část a): )
( ⃗
:
)
⃗
Protože oba vektory mají stejnou velikost a jedná se o rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, zbylé dva úhly jsou stejně velké. Proto (
3) Zjistěte graficky i početně souřadnice součtu vektorů ⃗
), ⃗
(
), ⃗
Řešení:
Při počítání s vektory používáme pravidlo: co děláme s vektory, to provádíme s jejich souřadnicemi. ⃗
početně: ⃗
(
)
⃗⃗
(
)
(
)
(
)
⃗⃗ ⃗⃗ , aby měly shodný počáteční bod [ graficky: zvolíme takové umístění vektorů koncové body mají stejné souřadnice jako vektory. ⃗ a k výsledku připočteme vektor – obrázek7.2.4:
Sečteme nejprve ⃗
4) Zjistěte graficky i početně souřadnice vektoru ⃗ Řešení: ⃗
⃗
)
(
- vektory
⃗ umístíme tak, aby měly počáteční bod v bodě [
]
⃗
- rozdílem vektorů ⃗ s vektorem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
(
)
(
⃗ , je-li ⃗
⃗
početně: graficky:
Obrázek 7.2.5:
],
(
) ⃗
(
)
⃗ rozumíme součet vektoru ⃗ s vektorem opačným k vektoru ⃗ tj.
)
5) Určete souřadnice vektoru ⃗ stejnou velikost.
(
) tak, aby byl kolmý k vektoru
(
) a měl
Řešení: Podmínka kolmosti vektorů ⃗ a ⃗ : Stejná velikost předpokládá: | ⃗ | Proto musí být čísla znaménko: ( ⃗
(
⇒
√
| |
√
stejně velká jako
resp.
a u jednoho z nich změníme
) ) nebo ⃗⃗⃗
(
)
Ověření podmínky kolmosti: (
nebo
Ověření velikosti:
|⃗ |
√(
)
√
| | √ √ ( ) nebo ⃗⃗⃗ ( Hledané vektory jsou ⃗
nebo |⃗⃗⃗ |
).
)
√
(
)
√
7.3. Přímka v rovině Uvedeme některé pojmy a vztahy na úvod: Obrázek 7.3.:
Pojmy: - SMĚROVÝ VEKTOR PŘÍMKY – libovolný vektor, který na ní leží, případně je s ní rovnoběžný – je jich nekonečně mnoho – navzájem lineárně závislé …⃗ - NORMÁLOVÝ VEKTOR PŘÍMKY – vektor kolmý na přímku a tím i na směrový vektor přímky – je jich nekonečně mnoho - navzájem lineárně závislé …⃗ - SMĚROVÝ ÚHEL PŘÍMKY ϕ – úhel, který svírá přímka (i její směrový vektor) s kladným směrem osy x Vše na obrázku 7.3. Vztahy: - OBECNÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY: , kde a, b – souřadnice normálového vektoru přímky - SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY: , kde
je směrnice přímky, q – úsek, který přímka vytíná na ose y
- PARAMETRICKÉ ROVNICE PŘÍMKY: - symbolický zápis : ⃗ ; … t R … parametr [ ] – libovolný bod přímky, ⃗ ( ) – směrový vektor přímky
1) Napište obecnou rovnici a parametrické vyjádření přímky: a) b)
Řešení: Obě zadané rovnice představují směrnicový tvar, proto ze směrnice
stanovíme
souřadnice směrového vektoru ⃗ a z q souřadnice určujícího bodu, protože [ na ose y, kterým daná přímka prochází. a) obecný tvar rovnice:
převedeme na anulovaný tvar ⇒ směrový vektor ⃗
parametrické rovnice: q
⇒
průsečík s osou ⃗
b)
postupujeme obdobně jako v části a)
obecný tvar rovnice: parametrické rovnice:
⇒
⃗
⇒
[
(
)
]
2) Napište rovnici přímky, která: ] a má směrový úhel a) prochází bodem [ ] b) prochází bodem [
.
Řešení: [
a) přímka prochází bodem
] a má směrový úhel
Vytvoříme směrnicový tvar: √ Číslo q určíme dosazením souřadnic bodu A do hledané rovnice: √
⇒
√
√
̇
[
(
) ]
] je bod
√
Nebo parametrické rovnice:
√
b) přímka prochází bodem [
]
. ⇒ ⃗
√
buď:
⇒
√
dosadíme souřadnice bodu C:
√
√ 3) Určete číslo Řešení:
√ )
√
nebo:
√
(
√ aby přímka procházela bodem [
v rovnici přímky
⇔ jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky p Dosadíme za x a y souřadnice bodu A:
nebo p: 4) Sestavte parametrické rovnice přímky p, ] a směrovým vektorem ⃗ a) je-li určena bodem [ ] [ ] b) je-li určena body [ Řešení: a) přímka je určena bodem [
(
] a směrovým vektorem ⃗
),
(
)
Pouze dosadíme souřadnice jak určujícího bodu A, tak směrového vektoru ⃗ : p: ⇒ ⇒ b) přímka je určena body [
]
[
]
Je třeba určit souřadnice směrového vektoru:
⃗
(
)
např. ⃗
…může být orientovaný i opačně
]
použity souřadnice bodu A;
nebo:
použit bod B.
5) Určete geometrické místo bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodů [ [ ] Řešení:
]
Geometrickým místem bodů, které jsou stejně vzdálené od A, B , je osa o úsečky Platí pro ni: a střed úsečky AB je jejím bodem Směrový vektor přímky AB: (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B – A:
)
Směrový vektor osy o: ⇒ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
proto
(
)
Souřadnice středu úsečky AB: [
]
Sestavíme parametrické rovnice osy
7.4. Vzájemná poloha dvou přímek v rovině 1) Zjistěte vzájemnou polohu přímek:
Řešení: Vzájemnou polohu přímek vektorů:
poznáme porovnáním jejich směrových nebo normálových
směrové vektory
normálové vektory
jeden směrový a jeden normálový vektor
‖
‖
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ lineárně závislé vektory
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ lineárně závislé vektory
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ lineárně nezávislé vektory
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ lineárně nezávislé vektory
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ nebo ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ nebo ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
neplatí žádný z předchozích vztahů
Proto najdeme příslušné vektory a porovnáme je: Přímka p:
a q: ⇒
p:
⇒
(
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
(
) )
Pro vektory ⃗⃗⃗⃗ a ⃗⃗⃗⃗ neplatí žádný z tabulkových vztahů . Proto jsou to různoběžné přímky.
2) Určete průsečíky dvou daných přímek: ; , Řešení: Průsečík přímek – společný bod – jeho souřadnice musí vyhovovat rovnicím obou přímek, proto řešíme soustavou dvou rovnic o dvou neznámých. p:
q:
,
p: q:
soustava rovnic – 2 o třech neznámých vyloučíme parametr odečteme
odečteme ⇒
Průsečík přímek p a q je bod [
vypočítáme
]
] [ ] [ ]. 3) Je dán trojúhelník ABC: [ a) Napište rovnici výšky . b) Napište rovnici střední příčky, která je rovnoběžná se stranou a. c) Napište rovnici těžnice . Řešení: a) Napište rovnici výšky Výška va je kolmice vedená z vrcholu A na stranu a. Proto platí: ⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗
)
(
)
Rovnice
(
)
⃗⃗⃗⃗ nebo ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
užijeme obecný tvar (
)
dopočítáme c – dosadíme souřadnice bodu A
Rovnice výšky b) Napište rovnici střední příčky, která je rovnoběžná se stranou a. Střední příčka , která je rovnoběžná se stranou a, je spojnicí středů stran b a c. ‖
⋀
….. středy stran b, c
vypočteme souřadnice jednoho ze středů - např.
:
[ ‖
Sestavíme rovnici
⃗⃗⃗⃗
⇒
] ⃗⃗⃗⃗
(
)
viz část a)
, c) Napište rovnici těžnice Těžnice tb je spojnice vrcholu B se středem strany b. je střed strany b …… jeho souřadnice – viz část b): [
]
[
Směrový vektor: Rovnice těžnice
] ⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
(
)
4) Určete souřadnice průsečíku P os stran trojúhelníku ABC: [
]
[
]
[
].
Řešení: Osy stran trojúhelníku: přímky, které procházejí středem příslušné strany a jsou k ní kolmé. Jejich průsečík je současně středem kružnice opsané daného trojúhelníku. Řešení dané úlohy je několik a vycházejí z popsaných vlastností os stran trojúhelníku ABC: A) Sestavením rovnice kružnice opsané trojúhelníku ABC a určením souřadnice jejího středu S – viz úloha 6) v části 7.6 Kružnice. B) Sestavíme rovnice dvou os stran trojúhelníku ABC a určíme jejich průsečík. V této části zvolíme postup B) Náčrtek situace – obrázek 7.4.8:
I) Sestavíme rovnici osy
:
- Určíme souřadnice středu strany (
:
)
[
]
- Sestavíme obecný tvar
⇒ ⃗⃗⃗⃗
:
resp. ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗
)
⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗ )
(
)
)
obecný tvar rovnice – dopočítáme c dosazujeme souřadnice dosadíme do rovnice …rovnice přímky jdoucí rovnoběžně s y, bodem [
⇒
II) Obdobným postupem sestavíme rovnici
:
-souřadnice
[ -obecný tvar
]
:
⇒
)
⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗
) obecný tvar rovnice – dopočítáme c
(
)
dosazujeme souřadnice
III) Průsečík soustava rovnic – dosazovací metoda
⇒
]
[
Hledaný průsečík os stran ∆ABC – bod
]
5) Určete úhel (odchylku) přímek p:
,
.
Řešení: Odchylka současně
dvou přímek je vlastně odchylkou jejich směrových nebo normálových vektorů a 〈 〉
Určíme souřadnice směrových vektorů: ⃗⃗⃗⃗
(
)
(
⃗⃗⃗⃗
)
(
⃗⃗⃗⃗
⇒
)
Vypočítáme odchylku přímek podle vzorce: |
|
√
kde ⃗
,
jsou naše ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
√ |
√
| √
√ √ √
⇒
√
Odchylka daných přímek je .
7.5. Vzdálenost bodu od přímky V této části budeme užívat k výpočtům následující vzorec: |
- vzdálenost bodu M od přímky p: ] ; p: kde [ normálového vektoru přímky p. 1) Určete vzdálenost bodu ,
[
|
|
| √
– obecný tvar rovnice přímky a √
(*) je velikost
] od přímky:
Řešení: vzdálenost
[
] od p:
,
Přímka p je zadána v parametrickými rovnicemi. Převedeme na obecný tvar rovnice.
parametrické zadání představuje soustavu rovnic o 3 neznámých (x, y , t) – tvoříme rovnici o dvou neznámých (x, y) – vyloučíme t rovnice odečteme a upravíme na anulovaný tvar ⇒
… obecný tvar rovnice přímky p
použijeme vzorec
|
|
|
|
|
|
| √ (
) (
√
| )
2) Vypočítejte vzdálenost počátku od přímky:
Řešení. [
] obecný tvar p:
|
|
|
| √
(
)
Vzdálenost počátku od dané přímky je 2. 3) Určete velikost výšky
trojúhelníku ABC:
[
]
[
]
[
]
Řešení: Výška je kolmice vedená z vrcholu C na stranu c. Její velikost – podobně jako v předchozí úloze – můžeme chápat jako vzdálenost vrcholu C od strany c. Sestavíme proto obecný tvar rovnice strany c a použijeme vzorec (*). Náčrtek dané situace – viz. obrázek 7.5.4. Sestavujeme obecný tvar rovnice strany c: (
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
(
)
…směrový vektor
…normálový vektor tvoříme obecný tvar rovnice strany c dosazujeme souřadnice jednoho z bodů strany c
hotová rovnice strany c Výpočet velikosti výšky: | Velikosti výšky
| je
| √
|
| √
|
√ √
.
Obrázek 7.5.4:
7.6. Kružnice Několik poznámek na úvod: Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu – S – střed kružnice stejnou vzdálenost – r – poloměr kružnice, . Středový tvar rovnice kružnice: ] (1) … středová poloha - [ ) ( ) ] (2) ( … obecná poloha - [ Obecný tvar rovnice kružnice: (3) , kde
1) Napište středový tvar rovnice kružnice a ten převeďte na obecný tvar rovnice kružnice, je-li ] dáno: [ Řešení: [
]
Užijeme tvar (2): (
)
Středový tvar:
(
)
(
)
, kde (
jsou souřadnice středu a -poloměr
)
Obecný tvar: umocníme závorky ve středovém tvaru a převedeme rovnici na anulovaný tvar upravíme podle vzorce (3) hledaný obecný tvar rovnice kružnice 2) Napište rovnici kružnice ve středovém tvaru a určete souřadnice středu poloměru .
a velikost
Řešení: přeskupíme členy rovnice ⏟
⏟
doplníme na trojčlen, který je druhou mocninou typu (
) , resp. (
)
o stejná čísla doplníme pravou stranu rovnice (
)
odtud:
[
]
3) Kružnice má střed v bodě
a prochází bodem . Napište její obecný tvar. [
středový tvar rovnice:
(
) √ ]
[
Řešení: (
Vyjdeme ze středového tvaru rovnice kružnice: Kde jsou souřadnice středu kružnice, r-poloměr. Dále využijeme souřadnic bodu (
)
(
)
a vypočítáme poloměr r, resp. (
⇒
středový tvar rovnice hledané kružnice: Upravíme do obecného tvaru:
)
(
)
)
(
(
)
(
: )
)
.
].
4) Napište rovnici kružnice , která je opsána trojúhelníkem ABC: [ ] [ ] [ ]. Řešení: Sestavíme obecný tvar rovnice kružnice – vztah (3):
Dosazením souřadnice bodů A, B, C do této rovnice za x a y (opsaná kružnice těmito body prochází) získáme soustavu tří rovnic o třech neznámých a, b, c, kterou budeme řešit: [ [ [
]
(
)
⇒
]
sečteme
⇒ ]
(
)
⇒
sečteme
I) II)
Dosadíme a do I):
(
)
⇒
Výpočet b z rovnice po dosazení souřadnic bodu A:
Obecný tvar kružnice: středový tvar:
odečteme
(
)
7.7. Kružnice a přímka Vzájemnou polohu kružnice a přímky rozlišujeme pomocí počtu společných bodů: - sečna – 2 společné body - tečna – 1 společný bod - vnější přímka (nesečna) – 0 společných bodů Počet společných bodů zjistíme řešením soustavy 2 rovnic o 2 neznámých – rovnice kružnice – kvadratická rovnice a přímky – lineární rovnice – viz kapitola 2.13. 1) Zjistěte vzájemnou polohu kružnice
a přímky
Řešení: soustava rovnic ⇒ (
dosazovací metoda řešení
)
(
)
Dopočítáme x dosazením do
: a
Potom dostáváme:
[
]
a
[
]
Přímka je sečnou kružnice.
2) Ve kterých bodech protínají souřadnicové osy kružnici: Řešení:
Průsečíky s osou x - řešíme soustavou rovnic:
dosadíme do rovnice kružnice
.
řešíme kvadratickou rovnici (
) (
)
a tedy Průsečíky s osou x: [
]a[
]
Průsečíky s osou y – obdobně:
dosadíme do rovnice kružnice řešíme kvadratickou rovnici
(rovnice nemá řešení) Osa y kružnici neprotíná. ] a dotýká se přímky 3) Kružnice má střed v bodě [ bod na této přímce a napište rovnici kružnice.
. Najděte dotykový
Řešení: ) ( ) Hledáme rovnici kružnice ( , kde m, n jsou souřadnice středu ]) a , resp. r je poloměr kružnice a tedy vzdálenost středu S od dané kružnice ( [ přímky, která je tečnou kružnice. Výpočet r:
|
|
|
|
|
|
| √
, kde a, b, c jsou koeficienty z rovnice přímky:
.
| √
(
Rovnice kružnice:
)
(
)
Bod dotyku: (
)
(
)
po úpravě: ⇒
dosadíme za x:
(
)
po úpravě
(
)
⇒
Vypočítáme x: Bod dotyku je [
].
7.8. Elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů – ohniska E, F – konstantní součet vzdáleností – 2a – délka hlavní osy. Popis elipsy (viz. obrázek 7.8.a): [ ] – střed elipsy; A,B – hlavní vrcholy elipsy; C,D – vedlejší vrcholy elipsy; E,F – ohniska; X – libovolný bod elipsy. Vztahy mezi prvky v elipse: | | | | | | – délka hlavní osy; – délka hlavní poloosy | | | | | | – délka vedlejší osy; – délka vedlejší poloosy | | – vzdálenost ohnisek; | | | | - excentricita, výstřednost | | | | – definiční vztah pro libovolný bod na elipse ;
√
⇒
Rovnice elipsy: OSOVÁ ROVNICE ELIPSY: - hlavní osa elipsy rovnoběžná s osou x: (viz. obrázek 7.8.b)
(
pro )
(
)
- hlavní osa elipsy rovnoběžná s osou y: (viz. obrázek 7.8.c) OBECNÝ TVAR ROVNICE ELIPSY:
(
)
(
)
[
] – středová poloha
pro [
] – obecná poloha
pro [
] – středová poloha
pro [
] – obecná poloha
Obrázek 7.8.a:
Obrázek 7.8.b:
Obrázek 7.8.c:
1) Najděte délky poloos u elipsy
.
Řešení: Rovnice elips upravíme na osový tvar:
, resp.:
⇒ ⇒ 2) Určete vzájemnou polohu elipsy [ ] [ ] [ ].
a bodů:
Řešení: Dosadíme souřadnice bodů do rovnice elipsy. Pokud na levé straně dostaneme: - kladný výsledek - bod vnější; - záporný výsledek - vnitřní bod; - nula - bod elipsy [
]:
(
)
(
)
… bod elipsy
[
]:
(
)
(
)
…vnitřní bod [
]: …vnější bod
3) Zjistěte souřadnice středu a ohnisek elipsy a velikost poloos elipsy, je-li elipsa dána rovnicí ( ) ( ) . Řešení: (
Upravíme danou rovnici do osového tvaru: Z něj pak plyne :
[
I)
]
)
(
)
√
√
II) Ohniska elipsy leží na přímce, která je rovnoběžná s osou x a S je jejím bodem: [
Proto
]
[
]
…viz. obrázek 7.8.b
√
Výpočet e:
√ [
Souřadnice ohnisek:
√ √
]
[
√
]
4) Uveďte jméno a rovnici křivky, která je množinou všech bodů v rovině, pro které platí, že ] [ ] je roven 10. součet jejich vzdáleností od bodů [ Řešení: Množinou definovanou v úloze je elipsa s ohnisky v bodech M a N. Z definice elipsy dále plyne, že pro libovolný bod X elipsy: | Proto
|
|
|
a je velikost hlavní poloosy elipsy.
⇒ [
Protože obě ohniska jsou stejně vzdálena od středu elipsy: Stanovíme b, resp.
:
kde
|
|
] |
|
|
|
Rovnice elipsy:
7.9. Elipsa a přímka Vzájemnou polohu přímky a elipsy rozlišujeme podle počtu společných bodů (podobně jako u kružnice: - 0 společných bodů – nesečna (vnější přímka) - 1 společný bod – tečna - 2 společné body – sečna Počet společných bodů zjišťujeme řešením soustavy dvou rovnic (elipsy a přímky) 1) Zjistěte vzájemnou polohu přímky
a elipsy
Řešení: elipsa:
.
soustava 2 rovnic o 2 neznámých ⇒
přímka: (
)
( Vypočítáme
dosadíme do rovnice elipsy
)
⇒ [
:
]
⇒ Daná přímka je tečnou elipsy s bodem dotyku [
].
2) Do elipsy je vepsán obdélník, jehož dvě protější strany procházejí ohnisky elipsy kolmo k hlavní ose. Vypočtěte obsah tohoto obdélníku. Řešení:
Náčrtek úlohy – obrázek 7.9.2:
[
⇒
Osová rovnice dané elipsy: [
Poloha ohniska:
]
[
]
√
Výpočet excentricity e:
⇒
[ √
]
]
[√
⇒
√
√
]
Rozměry vepsaného obdélníka: | |
|
|
|
|
√ , kde [
(
) ]
je bod na elipse
( √ )
Výpočet
…. viz. obrázek 7.9.2 dosazujeme do rovnice elipsy
⇒ Potom
|
|
Obsah obdélníku: 3) Bod [
…..
|
| |
|
√
√
̇
] je vedlejší vrchol elipsy. Ohniska elipsy leží na přímce
rovnici této elipsy, jestliže pro výstřednost e a velikost hlavní poloosy a platí Řešení: Náčrtek zadání – obrázek 7.9.3:
. Napište √
.
K sestavení rovnice elipsy potřebujeme: I. souřadnice středu elipsy II. velikosti poloos a, b (resp.
)
I) Souřadnice S: je rovnoběžná s osou x. Protože střed S musí ležet na téže přímce jako ohniska [ ] elipsy a současně … viz. náčrtek – obrázek 7.9.3 II. velikosti poloos |
|
…viz. náčrtek– obrázek 7.9.3
√
Výpočet a:
√
⇒
Pro rozměry elipsy platí vztah:
Rovnice elipsy:
(
)
v zadání úlohy dosadíme za e, b
(
)
7.10. Parabola Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od daného pevně zvoleného bodu – ohnisko- a dané přímky – řídicí přímka (ohnisko neleží na řídicí přímce) Popis paraboly – viz. obrázek 7.10.a : F – ohnisko; V – vrchol paraboly; d – řídicí přímka; o – osa paraboly - o FV Vztahy mezi prvky paraboly: | | | | | | – parametr paraboly – půl parametru |
|
|
| – definiční vztah pro libovolný bod paraboly
Obrázek 7.10.a:
Rovnice paraboly: rozlišujeme podle polohy paraboly I:
‖
, parabola otevřená doprava – obrázek 7.10.b: Vrcholová rovnice: [
]
středová poloha (
)
(
obecná poloha
)
[
]
II:
‖
, parabola otevřená doleva – obrázek 7.10.c:
Vrcholová rovnice: [
]
středová poloha (
)
(
)
[
]
obecná poloha III : ‖
, parabola otevřená nahoru – obrázek 7.10.d: Vrcholová rovnice: [
]
středová poloha (
)
(
)
[
]
obecná poloha
IV : ‖
, parabola otevřená dolů – obrázek 7.10.e: Vrcholová rovnice: [
]
středová poloha (
)
(
)
[
obecná poloha
1) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a prochází: ] a je souměrná podle osy x a) bodem [ ] a je souměrná podle osy y b) bodem [ ] a je souměrná podle osy x c) bodem [ ] a je souměrná podle osy y d) bodem [ Řešení:
]
a) parabola prochází bodem [
] a je souměrná podle osy x
Zadání odpovídá typu I: Dosadíme souřadnice bodu A – výpočet parametru p: ⇒
Rovnice paraboly: b) parabola prochází bodem [
] a je souměrná podle osy y
Zadání odpovídá typu III: výpočet parametru p – dosadíme souřadnice bodu B: ⇒
Rovnice paraboly: c) parabola prochází bodem [
] a je souměrná podle osy x
vyjdeme z typu II: výpočet parametru:
(
)
(
)
⇒
Rovnice paraboly: d) parabola prochází bodem [
] a je souměrná podle osy y
vyjdeme z typu IV: výpočet parametru:
(
)
(
)
⇒
Rovnice paraboly: 2) Najděte rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a prochází body: ] [ ] ] [ ]. a) [ b) [ Řešení: a) parabola prochází body
[
]
[
]; [
]
Body A, B jsou souměrně sdružené podle kladné části osy x, proto použijeme rovnici: dopočítáme parametr pomocí Rovnice paraboly:
⇒
b) parabola prochází body
[
]
[
]; [
]
Body C, D souměrně sdružené podle záporné části osy x, proto použijeme rovnici: (
výpočet parametru p užitím
)
⇒
Rovnice paraboly: 3) Najděte rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko: ] ]. a) [ b) [ Řešení: ]; [ ] a) [ Ohnisko leží na záporné části osy x Výpočet parametru: |
|
⇒
užijeme rovnici |
⇒
|
Rovnice paraboly: ] [ ] b) [ Ohnisko leží na kladné části osy y ⇒ parametr - viz část a)
|
užijeme rovnici typu: |
Rovnice paraboly:
7.11. Parabola a přímka Vzájemnou polohu přímky a paraboly rozlišujeme podle počtu společných bodů: - 0 společných bodů – nesečna (vnější přímka) tečna paraboly - přímka není rovnoběžná s osou paraboly - 1 společný bod sečna paraboly 2. typu – přímka je rovnoběžná s osou paraboly - 2 společné body – sečna 1. typu Počet společných bodů zjišťujeme řešením soustavy dvou rovnic (paraboly a přímky). 1) Zjistěte vzájemnou polohu paraboly a) b) Řešení: a) přímka:
; parabola:
a přímky: c)
.
Vytvoříme soustavu rovnic a řešíme ji. Parabola: přímka:
⇒ (
dosadíme do rovnice paraboly
)
upravíme na anulovaný tvar řešíme kvadratickou rovnici √
(
√
)
√
√
√
√
√
Dopočítáme x: √
√
√
√
Přímka je sečnou paraboly s průsečíky: b) přímka:
[
√ ],
√
[
√
√ ].
; parabola:
Vytvoříme soustavu rovnic a řešíme ji. Parabola: přímka:
dosadíme do rovnice přímky
řešíme kvadratickou rovnici (
) ⇒
⇒
[
]
Parabola má s přímkou jeden společný bod. Musíme dále rozhodnout mezi polohou tečny a nebo sečny 2. typu (rovnoběžná s osou paraboly): [ ] , osa symetrie – kladná část osy x parabola: ⇒ přímka:
není rovnoběžkou s osou x
Přímka je tečnou paraboly. c)
parabola:
.
postup viz část a) parabola: ⇒
přímka: (
dosadíme do rovnice paraboly
) řešíme kvadratickou rovnici
záporný diskriminant znamená, že soustava nemá řešení Daná přímka je nesečnou. 2) Jakou velikost má tětiva, kterou vytíná přímka
na parabole
Řešení: I. Výpočet souřadnic průsečíků přímky a paraboly – body A, B: parabola: přímka:
dosadíme do rovnice paraboly (
)
umocníme podle vzorce (
)
řešíme kvadratickou rovnici √
⇒
√
√
√
√
√
√
Dopočítáme :
Průsečíky:
[
√
√
⇒
√
√
⇒
√
√ ]
[
√
II. Výpočet vzdálenosti bodů A, B (velikost tětivy)
√ ]
?
|
|
√(
)
|
|
√(
√
|
|
√(
√ )
|
|
√
(
) √ )
(
(
√
√ )
√ ) |
⇒
|
⇒
√
|
|
Tětiva má délku 16. 3) Pro jakou hodnotu parametru p je přímka
tečnou paraboly
Řešení: Protože daná přímka není rovnoběžná s osou paraboly – osa x, hledáme takovou hodnotu parametru p, aby soustava (rovnic paraboly a přímky) měla jedno řešení ⇒ D=0: Parabola: ⇒
Přímka: (
Zjistíme pro jaké hodnoty p:
dosadíme do rovnice paraboly
)
D=0
⇔ (
)
nevyhovuje – parabola nemůže mít takový parametr (vzdálenost ohniska od řídicí přímky) vyhovuje zadání
?
7.12. Hyperbola Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů - ohnisek – konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností. Popis hyperboly – viz. obrázek 7.12.a. S – střed hyperboly; A, B – vrcholy hyperboly; E, F – ohniska hyperboly; - osy hyperboly p, q – asymptoty hyperboly Vztahy mezi prvky hyperboly: | | | | | | – délka hlavní osy – délka hlavní poloosy | | | | | | – délka vedlejší osy – délka vedlejší poloosy | | | | – excentricita (výstřednost) hyperboly Pokud platí
, pak takovou hyperbolu označujeme jako rovnoosá hyperbola.
Obrázek 7.12.a:
Rovnice hyperboly: I) hlavní osa hyperboly – o1- rovnoběžná s osou x Obrázek 7.12.b: Osová rovnice hyperboly pro [
]
středová poloha (
)
(
)
obecná poloha
pro [
]
II) hlavní osa hyperboly – o1- rovnoběžná s osou y Obrázek 7.12.c: Osová rovnice hyperboly pro [
]
středová poloha (
)
(
)
pro [
obecná poloha
1) Zjistěte velikost poloos, výstřednost a souřadnice vrcholů a ohnisek hyperboly: a) b) c) d) Řešení: a) Rovnici hyperboly upravíme na osový tvar: Dostáváme:
⇒
porovnáním s ⇒
√
Výstřednost (excentricita):
√
Vrcholy hyperboly:
[
]
[
] proto
[
]
[
]
Ohniska hyperboly:
[
]
[
]
[
]
[
]
proto
b) postup viz část a)
⇒
potom
Vrcholy hyperboly:
[
⇒
√
Výstřednost (excentricita): ]
[
] proto
[
√
√
√ ]
[
]
]
Ohniska hyperboly:
[
]
[
]
proto [
√
]
[ √
]
c) postup jako v části a)
⇒
potom Výstřednost (excentricita):
√
Vrcholy hyperboly:
[
Ohniska hyperboly:
[
⇒ ]
[ ]
√
√
√
√ ] [ √
]
d) postup jako v části a)
⇒
potom
[
Vrcholy hyperboly: Ohniska hyperboly:
⇒
√
Výstřednost (excentricita):
[
] √
[ ]
√
√
] [ √
]
2) Napište osovou rovnici hyperboly, jestliže a) a ohniska leží na ose x b)
a ohniska leží na ose x.
Řešení: a)
ohniska leží na ose x
Pokud ohniska leží na ose x hledáme rovnici tvaru: a, b zadáno, proto jen dosadíme: b)
rovnice hyperboly
a ohniska leží na ose x
Pokud ohniska leží na ose x hledáme rovnici tvaru: Výpočet poloosy b, resp. Rovnice hyperboly:
√
⇒
⇒
3) Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejíž asymptoty jsou osy souřadnic a která prochází ] bodem: [ Řešení: ⇒
Hledaná rovnice má tvar: Stanovení konstanty k: dosadíme souřadnice bodu A:
⇒
Rovnice hyperboly:
4) Jakou polohu má bod [
] vzhledem k hyperbole
?
Řešení: Bod A může být:
- vnitřním bodem: - vnějším bodem: - bodem hyperboly:
Dosadíme souřadnice bodu A do rovnice hyperboly: (
)
A – vnější bod hyperboly.
7.13. Hyperbola a přímka Vzájemnou polohu přímky a hyperboly rozlišujeme rovněž podle počtu společných bodů: - 0 společných bodů – nesečna (vnější přímka), nebo asymptota tečna hyperboly - přímka není rovnoběžná s asymptotou hyperboly - 1 společný bod sečna hyperboly 2. typu – přímka je rovnoběžná s asymptotou hyperboly - 2 společné body – sečna 1. typu
Počet společných bodů zjišťujeme řešením soustavy dvou rovnic (hyperboly a přímky). 1) Napište rovnice asymptot, souřadnice vrcholů a ohnisek hyperboly:
.
Řešení: √
Z rovnice hyperboly plyne:
√ [
Protože je hyperbola souměrná podle souřadnicových os: Proto její asymptoty budou mít rovnice: ASYMPTOTY:
a
dosadíme za a, b
a
Vrcholy hyperboly: [
]
[
[
Ohniska elipsy:
]
[
⇒
]
]
[
⇒
√
Výpočet excentricity e:
[
]
[ √
⇒
;
] ⇒
√ ]
2) Zjistěte vzájemnou polohu hyperboly a přímky: a) b)
]
[√
√
]
;
c)
Řešení: Budeme řešit soustavu rovnic. Podle počtu řešení dále provedeme diskuzi polohy přímky. a) ; I) Řešení soustavy rovnic. rovnice hyperboly rovnice přímky
⇒ (
dosadíme do
)
⇒ Dopočítáme x: Přímka má s hyperbolou jeden společný bod:
[
]
II) Diskuze polohy. Musíme rozhodnout, zda se jedná o tečnu nebo sečnu 2. typu (rovnoběžnou s asymptotou).
Sestavíme rovnice asymptot: upravíme rovnici hyperboly na osový tvar: ⇒
Rovnice asymptot v našem případě mají tvar: Potom pro asymptoty platí: Porovnáme jejich rovnice se směrnicovým tvarem rovnice dané přímky: Přímka p je rovnoběžná s asymptotou o rovnicí Závěr: Přímka je sečnou, která je rovnoběžná s asymptotou
; průsečík
[
].
b) ; Postup řešení bude obdobný jako v části a) I) Řešení soustavy rovnic. Rovnice hyperboly: Rovnice přímky:
⇒ (
dosadíme
)
(
(
)
) ⇒
Dopočítáme :
po dosazení za
Hyperbola a přímka mají jeden společný bod:
[
]
II) Diskuze polohy Sestavíme rovnice asymptot: upravíme rovnici hyperboly na osový tvar: ⇒
asymptoty:
⇒ √ √
po úpravě- p:
√
√
a q:
√
√
Porovnáme jejich rovnice se směrnicovým tvarem rovnice dané přímky: Daná přímka není rovnoběžná s žádnou z asymptot. Závěr: Přímka je tečnou hyperboly s bodem dotyků:
[
]
c) Postup řešení bude obdobný jako v části a) I) Řešení soustavy rovnic. Rovnice hyperboly: ⇒
Rovnice přímky: (
dosadíme
)
umocníme
(
⇒ Přímka
3) Bodem [
)
… soustava nemá řešení. je nesečna (vnější přímka) hyperboly.
] procházejí přímky, které jsou rovnoběžné s asymptotami hyperboly . Určete jejich rovnice a průsečíky s danou hyperbolou.
Řešení: Nejprve sestavíme rovnice asymptot p a r – krok I). Dále najdeme rovnici přímky rovnoběžné s asymptotou p a prověříme její průsečík s danou hyperbolou – krok II) a pak totéž provedeme pro přímku rovnoběžnou s asymptotou v této úloze nazvanou r – krok III). I) Rovnice asymptot: Rovnice hyperboly: osová rovnice:
/: 4 ⇒
Obecná rovnice asymptot:
⇒
p
⇒ II) Přímka rovnoběžná s asymptotou Rovnice hledané rovnoběžky:
:
Dopočítáme q – dosadit souřadnice bodu R[
⇒
]:
Rovnoběžka s asymptotou p: Průsečík přímky s hyperbolou: Rovnice hyperboly: Rovnice přímky:
dosadíme do rovnice hyperboly (
)
umocníme
⇒ ⇒
Dopočítáme Přímka
se protne s danou hyperbolou v bodě
[
].
III) Přímka rovnoběžná s asymptotou Rovnice hledané rovnoběžky: Dopočítáme q – dosadit souřadnice bodu R[
⇒
]:
Rovnoběžka s asymptotou Průsečík přímky
s hyperbolou:
Rovnice hyperboly: Rovnice přímky:
dosadíme do rovnice hyperboly poznámka: ( (
)
⇒
)
(
)
(
)
(
)
Dopočítáme Přímka
⇒ se protne s danou hyperbolou v bodě
[
].
