Datum:................
Jm´eno:.............................
Pˇ rij´ımac´ı ˇ r´ızen´ı pro akademick´ y rok 2013/14 na magistersk´ y studijn´ı obor Uˇ citelstv´ı matematiky pro stˇ redn´ı ˇ skoly
P´ısemn´ aˇ c´ ast pˇ rij´ımac´ı zkouˇ sky z matematiky Za kaˇzdou spr´avnou odpovˇed’ se z´ısk´avaj´ı 2 body. U ot´azek s moˇznost´ı volby odpovˇedi, je vˇzdy spr´avn´a pr´avˇe jedna moˇznost. Spr´avnou odpovˇed’ zˇretelnˇe zakrouˇzkujte. V pˇr´ıpadˇe, ˇze nebude jednoznaˇcnˇe zˇrejm´e, kter´a z variant je zakrouˇzkov´ana, ˇci pokud nebude zakrouˇzkov´ana ˇz´adn´a nebo naopak v´ıce variant odpovˇed´ı, bude ot´azka hodnocena jako nespr´avnˇe zodpovˇezen´a.
1. Stanovte vˇsechna a ∈ R tak, aby rovnice x3 − 3x = a mˇela (a) 1 ˇreˇsen´ı, (b) 2 ˇreˇsen´ı, (c) 3 ˇreˇsen´ı, Svoje odpovˇedi zd˚ uvodnˇete! ˇ sen´ı: (a) a ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞); (b) a = −2 ∨ a = 2, (c) a ∈ (−2, 2). Reˇ 2. Uved’te pˇr´ıklad posloupnosti {an }∞ a je omezen´a a nen´ı konvergentn´ı. Naˇcrtnˇete n=1 , kter´ graf. ˇ sen´ı: Napˇr. an = (−1)n Reˇ 3. Uved’te funkˇcn´ı pˇredpis a naˇcrtnˇete graf libovoln´e ostˇre klesaj´ıc´ı funkce f : R → R tak, aby platilo: Z1 f (x) dx = 8. 0
Svoji odpovˇed’ zd˚ uvodnˇete. ˇ sen´ı: Napˇr. f (x) = −16x + 16. Reˇ
4. Uved’te funkˇcn´ı pˇredpis a naˇcrtnˇete graf libovoln´e fce f takov´e, ˇze definiˇcn´ı obor Df = R, f je spojit´a na Df a f nem´a derivaci v bodˇe -2. ˇ sen´ı: Napˇr. f (x) = |x + 2|. Reˇ 5. Pro kter´a q ∈ R ˇrada
∞ X
(4q)n−1
n=1
(a) konverguje? (b) diverguje?
ˇ sen´ı: (a) q ∈ − 1 , 1 , (b) q ∈ −∞, − 1 i ∪ 1 , ∞ ). Reˇ 4 4 4 4 6. Urˇcete matici X tak, aby platila rovnost 3 −1 −1 0 1 1 0 2 0 · = −2 0 2 . 3X − 2 −1 3 1 −2 3 2 0 1 1 −1 2 ˇ sen´ı: X = 0 0 2 . Reˇ −1 3 0 7. V prostoru P3 vˇsech polynom˚ u do stupnˇe 3 (vˇcetnˇe nulov´eho polynomu) je d´ana podmnoˇzina V = {(a + c)x3 + (3a + b)x2 + (c − a)x + (a − b) ; a, b, c ∈ R } . Z moˇzn´ ych odpovˇed´ı vyberte jedin´e tvrzen´ı, kter´e je pravdiv´e. Moˇzn´e odpovˇedi: (a) V je podprostor dimenze dim(V) = 3 ; (b) V nen´ı podprostor prostoru P3 ; (c) V je podprostor dimenze dim(V) = 4 ; (d) V je podprostor dimenze dim(V) = 2 . Spr´avn´a odpovˇed’: (a), protoˇze jednu moˇznou b´azi tvoˇr´ı polynomy x3 + 3x2 − x + 1, x2 − 1, x3 − x, kter´e jsou line´arnˇe nez´avisl´e. 8. Je d´ana ˇctvercov´a matice
A=
−1 3 3 −1
.
Z moˇzn´ ych odpovˇed´ı vyberte jedin´e tvrzen´ı, kter´e je pravdiv´e. Moˇzn´e odpovˇedi:
(a) vlastn´ı ˇc´ısla matice A jsou −4, 0, 2; (b) vlastn´ı ˇc´ısla matice A jsou 2, 4; (c) vlastn´ım vektorem k vlastn´ımu ˇc´ıslu 2 matice A je vektor [1, 1]T ; (d) vlastn´ım vektorem k vlastn´ımu ˇc´ıslu −4 matice A je nulov´ y vektor [0, 0]T . Spr´avn´a odpovˇed’: (c) - ˇctvercov´a matice ˇr´adu 2 m´a pr´avˇe dvˇe vlastn´ı ˇc´ısla 2, −4, vlastn´ım vektorem je vˇzdy vektor nenulov´y. 9. Pomoc´ı prav´e, lev´e a centr´aln´ı pomˇern´e diference urˇcete pˇribliˇznou hodnotu f 0 (x0 ) v bodˇe x0 = 0 pˇri pouˇzit´ı kroku h = 1. Kter´ y z pouˇzit´ ych vzorc˚ u bude pˇresnˇejˇs´ı neˇz ostatn´ı? Moˇzn´e odpovˇedi: (a) prav´a pomˇern´a diference (b) lev´a pomˇern´a diference (c) centr´aln´ı pomˇern´a diference (d) ˇza´dn´ y Spr´avn´a odpovˇed’: (d) 10. Urˇcete pˇrirozen´ y kubick´ y spline pro funkci danou dvˇema body: [0, 1] a [2, 3]. Moˇzn´e odpovˇedi: (a) x3 − x2 − x + 1 (b) x2 − x + 1 (c) x + 1 (d) 2 Spr´avn´a odpovˇed’: (c) 11. Pomoc´ı sloˇzen´eho obd´eln´ıkov´eho pravidla pˇribliˇznˇe urˇcete
R5 1
v´ ysledek, pokud budeme volit krok h = 2? Moˇzn´e odpovˇedi: (a)
4 3
(b) 1,5 (c)
28 15
(d) ln 5
1 x
dx. Jak´ y dostaneme
Spr´avn´a odpovˇed’: (b) 12. Napiˇste vektorov´e (parametrick´e) vyj´adˇren´ı parabolick´e v´alcov´e plochy, jej´ıˇz ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou je parabola y = 2x2 (leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy) a povrˇsky jsou rovnobˇeˇzn´e s pˇr´ımkou ~x(t) = (1 + t, 2 − t, 3t), t ∈ (−∞, ∞). ˇ sen´ı: napˇr´ıklad P (u, v) = ((u + v, 2u2 − v, 3v), u, v ∈ R.. Reˇ 13. Urˇcete typy bod˚ u na rotaˇcn´ım paraboloidu. Rotaˇcn´ı paraboloid m´a (zakrouˇzkujte spr´avnou odpovˇed’) a) b) c) d)
vˇsechny body parabolick´e, vˇsechny body eliptick´e, body eliptick´e, parabolick´e a hyperbolick´e, ˇza´dn´a z pˇredchoz´ıch odpovˇed´ı nen´ı spr´avn´a.
Spr´avn´a odpovˇed’: (b) 14. Roviny α : a1 x+b1 y+c1 z+d1 = 0, β : a2 x+b2 y+c2 z+d2 = 0, γ : a3 x+b3 y+c3 z+d3 = 0, δ : a4 x + b4 y + c4 z + d4 = 0 proch´azej´ı pr´avˇe jedn´ım spoleˇcn´ ym bodem (tj. n´aleˇzej´ı t´emuˇz trsu), pr´avˇe kdyˇz pro hodnosti matic a1 b1 c1 d1 a1 b 1 c 1 a2 b2 c2 d2 a2 b 2 c 2 h∗ = hod a3 b3 c3 d3 a h = hod a3 b3 c3 a4 b4 c4 d4 a4 b 4 c 4 plat´ı (zakrouˇzkujte spr´avnou odpovˇed’) a) h = h∗ = 4, b) h = h∗ = 3, c) h = h∗ = 2. ˇ sen´ı: spr´avn´a odpovˇed’ b) Reˇ 15. Napiˇste rovnici hyperboly, kter´a m´a stˇred v bodˇe S = [3, −2], poloosy a = 5 a b = 3 a jej´ı hlavn´ı osa je rovnobˇeˇzn´a s osou y. ˇ sen´ı: − (x−3)2 + (y+2)2 = 1 Reˇ 9
25
16. Mezi stˇredov´e kvadriky nepatˇr´ı (zakrouˇzkujte spr´avnou odpovˇed’) a) jednod´ıln´ y hyperboloid, b) dvojd´ıln´ y hyperboloid, c) hyperbolick´ y paraboloid.
Spr´avn´a odpovˇed’ c)
17. Kolika zp˚ usoby lze z 12 pracovn´ık˚ u vybrat ˇctyˇrˇclennou komisi, pokud mus´ı b´ yt splnˇeny obˇe n´asleduj´ıc´ı podm´ınky: • je-li v komisi pan Nov´ak, nesm´ı tam b´ yt pan Svoboda, • je-li v komisi pan Dvoˇr´ak, mus´ı tam b´ yt i jeho manˇzelka. ˇ sen´ı: 338. Vˇsech ˇctveˇric je 12 , prvn´ı podm´ınku poruˇsuje 10 , druhou Reˇ 4 2 takˇze v´ysledek je 12 − 10 − 10 + 8 = 338. 4 2 3
10 3
, obˇe 8,
18. Najdˇete minim´aln´ı kostru v n´asleduj´ıc´ım ohodnocen´em grafu a urˇcete jej´ı v´ahu: 3
7
2
6
2
7
1
1
1
ˇ sen´ı: V´aha je 14, ˇreˇsen´ım je libovoln´a kostra s hranami v´ahy 1, 1, 2, 3, 7 (a ˇz´adn´ Reˇ a jin´a). 19. Necht’ n´ahodn´e jevy A, B splˇ nuj´ı P (A) = 0,4, P (B) = 0,5, P (A ∪ B) = 0,8. Urˇcete P (A ∩ B) a podm´ınˇenou pravdˇepodobnost P (A | B). ˇ sen´ı: P (A ∩ B) = P (A ∪ B) − P (B) = 0,8 − 0,5 = 0,3. Reˇ P (A | B) =
P (A∩B) P (B)
=
P (A∩B) 1−P (B)
=
0,3 0,5
= 0,6
20. Uvaˇzujme n´ahodnou veliˇcinu X s koneˇcn´ ym rozptylem. Rozptyl n´ahodn´e veliˇciny Y definovan´e pˇredpisem Y = X + 3 je (a) vˇetˇs´ı neˇz rozptyl veliˇciny X; (b) menˇs´ı neˇz rozptyl veliˇciny X; (c) roven rozptylu veliˇciny X;
(d) nelze bez dalˇs´ıch informac´ı jednoznaˇcnˇe rozhodnout, ˇ sen´ı: (c) Reˇ
Pˇr´ıklad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Souˇcet
Hodnocen´ı
Podpis
