Aplikace pro řešení úloh z finanční matematiky

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta

Aplikace pro řešení úloh z finanční matematiky Bakalářská práce

Vedoucí práce: Ing. Pavel Haluza

RNDr. Miroslav Hruška

Brno 2013

Děkuji Ing. Pavlu Haluzovi za bezproblémové, konstruktivní vedení bakalářské práce. Děkuji své manželce Veronice a svému psu Barneymu za podporu, kterou mi poskytovali při psaní práce.

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci Aplikace pro řešení úloh z finanční matematiky vypracoval samostatně pod vedením Ing. Pavla Haluzy s použitím materiálů uvedených v seznamu literatury. V Brně dne 1. ledna 2013

_____________________

Abstract Hruška, M. Application for Solving Problems in Financial Mathematics. Bachelor thesis. Brno: Mendel University in Brno, 2013. Application for solving problems in financial mathematics is presented here. Keywords Financial mathematics, financial markets, application, value, money, account, savings, credit, interest, interest rate, loan, debt, instalment, annuity, income, option, capital, stock.

Abstrakt Hruška, M. Aplikace pro řešení úloh z finanční matematiky. Bakalářská práce. Brno: Mendelova univerzita v Brně, 2013. V textu je představena aplikace pro řešení úloh z finanční matematiky. Klíčová slova Finanční matematika, finanční trhy, aplikace, hodnota, peníze, účet, spoření, úvěr, úrok, úroková sazba, půjčka, dluh, splátka, anuita, důchod, opce, kapitál, akcie.

Obsah

5

Obsah 1

2

Úvod a cíl práce

10

1.1

Úvod .........................................................................................................10

1.2

Cíl práce ...................................................................................................10

Literární rešerše 2.1

11

Základní pojmy finančních trhů .............................................................. 11

2.1.1

Trhy .................................................................................................. 11

2.1.2

Finanční trhy .................................................................................... 11

2.1.3

Přímé a nepřímé financování .......................................................... 13

2.1.4

Úvěr a úrok ....................................................................................... 14

2.1.5

Cenné papíry .................................................................................... 14

2.1.6

Akcie ................................................................................................. 15

2.1.7

Dluhopisy (obligace) ........................................................................ 16

2.1.8

Směnky ............................................................................................. 16

2.1.9

Finanční deriváty ............................................................................. 17

2.2

Seznámení s problematikou finanční matematiky.................................. 17

2.2.1

Úročení ............................................................................................. 17

2.2.2

Jednoduché úročení .........................................................................18

2.2.3

Diskontování .................................................................................... 19

2.2.4

Složené úročení ................................................................................ 19

2.2.5

Kombinace složeného a jednoduchého úročení .............................. 19

2.2.6

Spoření – krátkodobé ..................................................................... 20

2.2.7

Spoření – dlouhodobé .................................................................... 20

2.2.8

Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření ....................... 21

2.2.9

Důchody ........................................................................................... 21

2.2.10 Umořování dluhu ............................................................................ 22 2.2.11

Cenné papíry ................................................................................... 24

6

3

Obsah

Metodika

26

3.1 Rozbor typických úloh finanční matematiky vhodných pro zpracování s využitím ICT ...................................................................................................26 3.1.1

Úročení.............................................................................................26

3.1.2

Spoření ............................................................................................. 27

3.1.3

Důchody ...........................................................................................29

3.1.4

Umořování dluhu............................................................................ 30

3.1.5

Cenné papíry ................................................................................... 30

3.1.6

Rekapitulace typů úloh .................................................................... 31

3.2 4

Stanovení vhodných nástrojů pro implementaci desktopové aplikace ..32

Návrh a vytvoření aplikace 4.1

34

Návrh .......................................................................................................34

4.1.1

Design ..............................................................................................34

4.1.2

Obsah ...............................................................................................34

4.1.3

Ovládání ...........................................................................................34

4.2

Aplikace ................................................................................................... 35

4.2.1

Vytváření aplikace ........................................................................... 35

4.2.2

Práce s aplikací ................................................................................ 35

5

Zhodnocení navrženého řešení

48

6

Závěr

49

7

Literatura

50

Seznam obrázků

7

Seznam obrázků Obr. 1

Nepřímé financování

13

Obr. 2

Hlavní nabídka aplikace Finanční matematika

36

Obr. 3

Podnabídka Úročení

36

Obr. 4

Podnabídka Spoření

36

Obr. 5

Podnabídka Důchody

37

Obr. 6

Podnabídka Umořování

37

Obr. 7

Podnabídka Cenné papíry

37

Obr. 8

Úloha Úrok

39

Obr. 9

Úloha Jednoduché úročení

39

Obr. 10

Úloha Úročení zůstatků na účtu

40

Obr. 11

Úloha Složené úročení

41

Obr. 12

Úloha Kombinace složeného a jednoduchého úročení

41

Obr. 13

Úloha Krátkodobé spoření

42

Obr. 14

Úloha Dlouhodobé spoření

42

Obr. 15

Úloha Kombinace dlouhodobého a krátkodobého spoření43

Obr. 16

Úloha Polhůtní anuity důchodu

43

Obr. 17

Úloha Věčný důchod

44

Obr. 18

Úloha Umořování stejnými úmory

44

Obr. 19

Úloha Umořování stejnými splátkami

45

Obr. 20

Úloha Směnka

45

Obr. 21

Úloha Cena diskontované obligace

46

Obr. 22

Úloha Cena věčné kupónové obligace

46

8

Seznam obrázků

Obr. 23

Úloha Cena kupónové obligace

47

Obr. 24

Úloha Odhad ceny akcie / Výnosnost akcie

47

Seznam tabulek

9

Seznam tabulek Tab. 1 Typy krátkodobých úvěrů

12

Tab. 2

Umořování nestejnými splátkami (stejnými úmory)

23

Tab. 3

Umořování stejnými splátkami

24

10

Úvod a cíl práce

1 Úvod a cíl práce 1.1 Úvod Většina z nás se běžně zapojuje do obchodů na finančních trzích – nabízíme nebo poptáváme peníze, cenné papíry a jiné finanční produkty. Využíváme k tomu banky, stavební spořitelny, investiční fondy, penzijní fondy, leasingové společnosti, makléře aj. Zodpovědné rozhodování o operacích na finančních trzích se neobejde bez matematických propočtů. Proto vznikla finanční matematika – odvodila a popsala základní vzorce a postupy pro výpočty na finančních trzích. Nástroje finanční matematiky nám umožňují získat požadované hodnoty rutinním postupem. Výpočty lze provádět na kalkulátoru, ale často jsou zdlouhavé a nepřehledné – výhodnější je použít počítačový program.

1.2 Cíl práce Cílem práce je navrhnout a vytvořit desktopovou aplikaci pro podporu výpočtů, které se provádějí v rámci finanční matematiky. Takováto aplikace může být využita v praxi ve finančních institucích a obecně i v podnicích a v nepodnikatelské sféře. Na druhé straně se může stát názornou pomůckou pro výuku předmětů Finanční matematika a Finanční trhy na středních a vysokých školách.

Literární rešerše

11

2 Literární rešerše V první části této kapitoly uvedeme, jaké základní pojmy se v ekonomické teorii a praxi používají pro popis finančních trhů. Ve druhé části pak přejdeme k finanční matematice.

2.1 Základní pojmy finančních trhů 2.1.1

Trhy

Trh je prostředí, které umožňuje, aby se setkala poptávka s nabídkou a došlo k obchodu – ke koupi a prodeji (směně za peníze) • zboží • služeb • výrobních faktorů (půdy, práce, kapitálu) • finančních produktů. Trhem se nerozumí pouze místo směny. Součástí trhu je také to, s čím se obchoduje, dále jsou součástí prodávající a kupující, zprostředkovatelé, instituce, vztahy a interakce mezi nimi, mechanismy a pravidla obchodování apod. Při určité ceně se na trhu vytváří rovnováha mezi poptávkou a nabídkou. Ekonomika s takto fungujícími trhy se nazývá tržní ekonomika. 2.1.2

Finanční trhy

Pojem finance obecně chápeme odlišně než pojem peníze. Peníze slouží k uchování hodnoty a k placení, ať už v hotovostní či v bezhotovostní formě. Penězi (množstvím peněžních jednotek) vyjadřujeme hodnotu a cenu věcí a služeb, výši závazků a pohledávek. Financemi někdy rozumíme hospodaření s penězi, vztahy a jevy, které souvisejí s pohybem peněz, jindy je vnímáme jako synonymum pro finanční kapitál, čímž je přibližujeme k pojmu peníze. Takto v podstatě splývají pojmy peníze, peněžní prostředky a finanční prostředky. Financování je získávání, shromažďování a použití peněz k pořízení statků. Finanční trhy slouží k tomu, aby volné peněžní (finanční) prostředky jednoho subjektu mohly být využity jiným subjektem za úplatu. Na finančních trzích se nabízejí a poptávají peníze a finanční produkty (finanční instrumenty). Lze je souhrnně nazývat finanční aktiva. Obchodování na finančních trzích je motivováno zhodnocením volných peněžních prostředků, úspor. Rozlišujeme úspory domácností, úspory firem a úspory státu. Druhá strana tyto prostředky používá k financování.

12


Dokladem o uskutečnění obchodu na finančním trhu je finanční dokument. Osvědčuje práva a nároky prodávajícího (věřitele), určuje povinnosti kupujícího (dlužníka). Jde buď o různé typy smluv, se kterými nelze dále obchodovat, nebo o obchodovatelné dokumenty – tzv. cenné papíry. Neobchodovatelné smlouvy se uzavírají při vedení účtů u komerčních bank, u stavebního spoření, penzijního připojištění, leasingu apod. Mezi cenné papíry patří akcie, směnky, dluhopisy (neoficiálně nazývané obligace), šeky, podílové listy aj. Finanční trhy lze dělit na • peněžní trhy • kapitálové trhy • devizové trhy • trhy drahých kovů. Peněžní trhy

Na peněžních trzích se poskytují krátkodobé úvěry a obchodují krátkodobé cenné papíry (např. směnky, poukázky České národní banky a státní pokladniční poukázky). Doba splatnosti je do jednoho roku. Krátkodobé úvěry (viz tab. 1) se dělí na • finanční, které jsou podnikům a domácnostem poskytovány komerčními bankami aj. • obchodní, které používají podniky navzájem při platbě za zboží a služby • půjčky na mezibankovním trhu – mezi bankami. (Rejnuš, 2001, s. 28) Tab. 1

Typy krátkodobých úvěrů

Kdo komu Komerční banka Podnik

komerční bance půjčka na mezibankovním trhu ---

podniku

domácnosti

finanční úvěr

finanční úvěr

obchodní úvěr

---

Kapitálové trhy

Na kapitálových trzích se obchoduje se střednědobými a dlouhodobými úvěry a především s dlouhodobými cennými papíry (např. s různými druhy dluhopisů a s akciemi). Doba splatnosti je delší než jeden rok. Devizové trhy a trhy drahých kovů

Na devizových trzích se obchoduje s cennými papíry znějícími na cizí měnu, tzv. devizami. K finančním trhům se řadí i trhy drahých kovů, kde se obchoduje především se zlatem a stříbrem.


2.1.3

13

Přímé a nepřímé financování

Přímé financování

Když si domácnost, firma nebo vláda půjčí peníze přímo od jiné domácnosti, firmy nebo vlády, mluvíme o přímém financování. Přímé financování přináší hodně komplikací a využívá se relativně málo. Nepřímé financování

Nepřímé financování je zprostředkováno finančními zprostředkovateli. Těmi mohou být komerční banky, stavební spořitelny, penzijní fondy, pojišťovny, investiční fondy a společnosti, hypoteční banky, leasingové společnosti, záložny, kampeličky aj. Viz obr. 1. Nepřímé financování má několik výhod: • snižuje informační a transakční náklady • pro věřitele je méně rizikové než přímé financování • má vysokou likviditu • je jednoduché • je vhodné i pro krátkodobé úspory • je vhodné i pro malé objemy úspor. Zprostředkovatelé

Zprostředkovatel si půjčuje za nižší úrok, než za jaký pak půjčuje jiným. Tak dociluje zisku. Kromě toho si obvykle nechává zaplatit také za služby, které v rámci zprostředkování poskytuje. Většina českých komerčních bank, především těch velkých, nabízí na běžném účtu úrokovou sazbu jen mezi 0,01 a 0,1 %. Za vedení účtu a za platby vybírají poplatky, takže ani nemusejí „jít do rizika“ nabízení peněz na finančním trhu. ČNB DOMÁCNOST FIRMA

DOMÁCNOST ZPROSTŘEDKOVATEL

VLÁDA

FIRMA VLÁDA

ZÁKONY

Obr. 1

Nepřímé financování

Česká národní banka

Česká národní banka dohlíží na činnost zprostředkovatelů. Při plnění svých hlavních úkolů také sama provádí operace na finančním trhu. Činnost institucí na finančním trhu je upravena zákony, např.

14


• o České národní bance (zákon č. 6/1993 Sb.) • o bankách (zákon č. 21/1992 Sb.) • o stavebním spoření (zákon č. 96/1993 Sb.) • o penzijním připojištění se státním příspěvkem (zákon č. 42/1994 Sb.) • o investičních společnostech a investičních fondech (zákon č. 248/1992 Sb.) Česká národní banka ovlivňuje finanční trh například tím, že mění výši tzv. diskontní sazby, za kterou si od ní komerční banky půjčují peníze, provádí operace na volném trhu, stanoví pravidla likvidity apod. 2.1.4

Úvěr a úrok

Úvěr je termín označující peněžní půjčku. Ten, kdo peníze půjčí, se nazývá věřitel, ten, kdo si je půjčí, se nazývá dlužník. Věřitel věří, že dlužník svůj dluh splatí. Při nepřímém financování je zprostředkovatel, např. komerční banka, současně dlužníkem a současně věřitelem. Odměnou za poskytnutí úvěru je úrok. Výše úroku závisí na • rizikovosti úvěru (souvisí s pojištěním, zajištěním, renomé dlužníka, …) • likviditě úvěru (době do splatnosti) • výši úvěru. Úrok se stanovuje z výše úvěru pomocí dohodnuté úrokové sazby v procentech vztažené k určitému časovému období; obvykle je toto období jeden rok. Více v podkapitole 2.2. Pravidla pro „klasické“, neobchodovatelné smlouvy pro úvěry a spoření stanovuje především: • obchodní zákoník (zákon č. 513/1991 Sb.) – smlouva o běžném účtu, smlouva o vkladovém účtu, smlouva o úvěru, smlouva o otevření akreditivu • občanský zákoník (zákon č. 40/1964 Sb.) – pro vkladní knížky a vkladní listy; smlouva o důchodu, smlouva o půjčce • zákon o některých podmínkách sjednávání spotřebitelského úvěru (zákon č. 321/2001 Sb.) • zákon o spotřebitelském úvěru (zákon č. 145/2010 Sb.) • zákon o bankách (zákon č. 21/1992 Sb.) – pro vkladové certifikáty a vkladní listy jakožto neobchodovatelné dluhopisy vydané bankou. 2.1.5

Cenné papíry

Cennými papíry jsme označili finanční dokumenty, které lze obchodovat. Náležitosti cenných papírů, pravidla jejich obchodování aj. jsou stanoveny zákony. Nejdůležitější jsou zřejmě:


15

• zákon o cenných papírech (zákon č. 591/1992 Sb.) – zejména pro akcie, zatímní listy, poukázky na akcie, podílové listy, dluhopisy, investiční kupóny, kupóny, opční listy, směnky, šeky, náložné listy, skladištní listy a zemědělské skladní listy • obchodní zákoník (zákon č. 513/1991 Sb.) – pro akcie, zatímní listy, poukázky na akcie, opční listy, cestovní šeky, náložné listy a skladištní listy • zákon směnečný a šekový (zákon č. 191/1950 Sb.) – pro směnky a šeky • zákon o dluhopisech (zákon č. 190/2004 Sb.) – pro různé typy dluhopisů včetně hypotečních zástavních listů, poukázek České národní banky a státních pokladničních poukázek • zákon o investičních společnostech a investičních fondech (zákon č. 248/1992 Sb.) – pro podílové listy. Nejdůležitějšími se jeví akcie, dluhopisy, směnky, šeky a podílové listy. 2.1.6

Akcie

Akcie se odlišují od ostatních cenných papírů. R. Ptáček v (Ptáček, 2005, s. 59) uvádí tyto základní pojmy: „Akcie je cenný papír dokládající podíl akcionáře na základním jmění akciové společnosti. Vlastnictvím akcie akcionář získává právo podílet se na řízení akciové společnosti, právo na zisk společnosti a právo podílet se na likvidačním zůstatku společnosti. Nominální hodnota akcie je hodnota představující podíl na základním jmění akciové společnosti, na listinných akciích musí být uvedena na plášti akcie. Základní kapitál představuje majetek vložený akcionáři do společnosti. Základní kapitál vložený akcionáři do společnosti. Základní kapitál je dán součinem počtu akcií a jejich nominálních hodnot a je součástí vlastního jmění. Vlastní jmění (vlastní kapitál) zahrnuje veškerý vlastní majetek společnosti, tj. základní jmění, emisní ážio, fondy ze zisku a nerozdělený zisk. Cizí jmění (cizí kapitál) je veškerý cizí majetek, který společnost používá, tj. úvěry, emitované obligace, směnky a ostatní závazky. Vlastní a cizí jmění řadíme mezi pasiva společnosti. Kurz akcie je tržní cena, za kterou se akcie obchoduje na kapitálovém trhu. Kurz je určován nabídkou a poptávkou po jednotlivých titulech akcií. Dividenda představuje podíl na zisku společnosti plynoucí z vlastnictví dané akcie v daném okamžiku rozhodném pro výplatu dividendy. Většinou bývá určeno datum (ex-dividend date), po kterém majitel akcie nemá právo na dividendu.“

16

2.1.7


Dluhopisy (obligace)

Dluhopisy se při použití jako dlouhodobé cenné papíry obvykle nazývají obligace. R. Ptáček v (Ptáček, 2005, s. 46) uvádí tyto základní pojmy: „Obligace jsou dlouhodobé cenné papíry vyjadřující dlužnický závazek emitenta obligace (dlužníka) oproti majiteli obligace (věřiteli). Datum splatnosti je datum, ke kterému je půjčka vyjádřená dluhopisem splatná, výjimku tvoří tzv. konzola neboli věčná obligace. Nominální hodnota obligace udává výši dluhu, která musí být vyplacena majiteli obligace k určenému datu. Většinou se jedná o datum splatnosti,výjimku tvoří pouze tzv. přivolatelné (vypověditelné) obligace, kdy emitent obligace si ponechává právo splatit tyto obligace ve zkrácené lhůtě. Kupónový arch je součást dluhopisu obsahující kupóny a talon (doslovně to platí pouze u listinných obligací). Kupón je ústřižek kupónového archu dokumentující nárok na kupónovou platbu. Talon u dlouhodobých obligací bývá část kupónového archu, oproti kterému majitel obligace po odstřižení všech kupónů dostane další kupónový arch. Kupónová platba je úrok periodicky vyplácený majiteli obligace na základě předložení kupónu. Kupónová sazba je procenticky (vzhledem k nominální hodnotě) vyjádřená kupónová platba.“ Nejběžnější je tzv. kupónová obligace. Při emisi se prodává za nominální hodnotu, majitel pravidelně získává kupónové platby a při splacení nominální hodnotu. Kupónová obligace bez doby splatnosti se nazývá věčná obligace nebo konzola. Obligace, která je při emisi prodávána za cenu nižší než je nominální hodnota, se nazývá diskontovaná obligace – nemá kupónový arch; majitel nedostává kupónové platby. (Ptáček, 2005) 2.1.8

Směnky

Směnky jsou typické krátkodobé cenné papíry. Při splatnosti směnky musí tzv. směnečný dlužník zaplatit směnečnou částku uvedenou na směnce směnečnému věřiteli (majiteli směnky). U tzv. vlastní směnky je směnečný dlužník tím, kdo směnku vystavil (směnečným výstavcem). Existují také cizí směnky, kdy výstavce není totožný s dlužníkem. V takovém případě musí směnečný dlužník (uvedený na směnce) nejdříve směnku akceptovat podpisem – uznat svůj závazek. Na finančním trhu může před datem splatnosti dojít k tzv. eskontu směnky bankou – banka poskytne tzv. eskontní úvěr, který pak splatí směnečný dlužník. (Ptáček, 2005)


2.1.9

17

Finanční deriváty

Podstatou finančních derivátů je termínovaný obchod – obchod, kdy mezi okamžikem uzavření kontraktu a jeho následným vypořádáním existuje delší, někdy i mnohaměsíční časová prodleva. Její existence umožňuje, aby bylo možno s takto uzavřeným kontraktem obchodovat. (Rejnuš, 2001, s. 136) Finančními deriváty jsou tzv. forwards, futures, swapy, opce aj. Forwardy jsou pevně sjednané kontrakty na budoucí prodej či nákup určitého finančního instrumentu a jsou prováděny na mimoburzovních trzích OTC (over the counter). Futures jsou ve své podstatě shodné s forwardy, zásadním rozdílem je ovšem to, že futures jsou typem standardizovaných burzovních obchodů. (Sedlář, 2008, s. 10) Swapy představují dohodu o budoucí směně úrokových plateb, vztahující se ke stejné částce kapitálu, ale definované různým způsobem, případně i denominované v cizí měně. (Sedlář, 2008, s. 10) Podmíněné neboli opční kontrakty dávají jedné ze smluvních stran právo, nikoliv však povinnost, na provedení určitého obchodu v budoucnosti za předem sjednaných podmínek. Opce jsou obchodovány jak na burzách, tak i na mimoburzovních trzích. (Sedlář, 2008, s. 10)

2.2 Seznámení s problematikou finanční matematiky Finanční matematikou se rozumí část matematiky, která řeší úlohy vznikající na finančních trzích. 2.2.1

Úročení

Nejdůležitějším pojmem úloh finanční matematiky je zřejmě úrok. Věřitel jej získá jako odměnu za půjčení peněz, pro dlužníka je cenou za úvěr. Způsobu nebo procesu stanovení úroku se říká úročení. Úrok je určen úrokovou mírou (úrokovou sazbou), která je vztažena k určitému úrokovacímu období. Často se udává v procentech. Úroková míra se obvykle značí r (rate), např. údaj r = 0,05 znamená úrokovou míru 5 % . Pro počet procent obvykle užíváme symbol p (percentage); lze například psát r = 0,05 = r=

5 = 5 % nebo p = 5, tedy platí 100

p = p% 100

18


Úrokovací období je obvykle roční. Pro roční úrokovací období se používá zkratka p.a. (per annum), pro pololetní p.s. (per semestre), pro čtvrtletní p.q. (per quartale), měsíční p.m. (per mensem) a pro denní p.d. (per diem). Vedle p.a. lze psát také p. a. (s mezerou). Zápis bez mezery preferuji, protože jej považuji za progresivní. Úrok I (interest) z částky V (value) při úrokové míře r vztažené k jistému úrokovacímu období se za toto úrokovací období určí I = V ⋅r

(1)

Úroky jsou obvykle vyplaceny na konci úrokovacího období, jde o polhůtní (dekursivní) úročení. Když jsou vyplaceny na začátku úrokovacího období, jde o úročení předlhůtní (anticipativní).

2.2.2

Jednoduché úročení

Když se úrok získaný za jedno úrokovací období pro další úrokovací období nepřipočítává k úročené částce, mluvíme o tzv. jednoduchém úročení. Pokud by se úrok přičítal, šlo by o složené úročení. Je-li doba úročení (time) t-násobkem úrokovacího období, určí se úrok I = V ⋅r ⋅t

(2)

Například částka 5000 Kč při úrokové míře 5 % p.a. za 2,4 roku přinese úrok I = 5000 ⋅ 0,05 ⋅ 2,4 = 600 Kč

Původní částka Vo se tak zvětší na částku Vt, která se vypočítá Vt = Vo + Vo ⋅ r ⋅ t = Vo ⋅ (1 + r ⋅ t )

(3)

Při vyjadřování doby úročení t se používají různé metody (německá, anglická, francouzská). Pro běžné a spořicí účty je nejpřirozenější anglická metoda: dělí se počet dní doby úročení d počtem dní v kalendářním roce (resp. v úrokovacím období jako části kalendářního roku). Pro nepřestupný rok pak je t=

d 365

Protože ale částka na běžném účtu mění průběžně svou výši, ukazuje se, že jednoduché úročení není zas tak jednoduché – úrok se získá součtem úroků ze zůstatků na účtu: (4)

n d   I = ∑  Vi ⋅ r ⋅ i  , 365  i =1 

kde di je počet dní, po které byl na účtu stálý zůstatek Vi. Je logické, že výpočet úroků je svěřen počítačovému programu.


19

Je správné, když z částky 10 000 Kč, která byla půl roku na účtu s jednoduchým úročením 4 % p.a., dostaneme při zrušení účtu úrok 200 Kč?

2.2.3

Diskontování

Při odkupu nějaké pohledávky (např. směnky) znějící na určitou částku, která má být splacena za dobu t, se z nominální hodnoty pohledávky N strhne tzv. obchodní diskont D, který se určí pomocí vzorce pro úrok u jednoduchého úročení (5)

D = N ⋅ rd ⋅ t ,

kde rd je tzv. diskontní míra stanovená kupujícím (obvykle bankou, například při tzv. eskontu směnky). Prodávající tedy dostane částku (6)

Vo = N ⋅ (1 − rd ⋅ t )

Diskontování má stejný princip jako předlhůtní úročení – odměna je zaplacena na začátku úrokovacího období.

2.2.4

Složené úročení

Když se úrok získaný za jedno úrokovací období pro další úrokovací období připočítává k úročené částce, mluvíme o složeném úročení. Předpokládejme nejdříve, že se částka Vo úročí celý počet n úrokovacích období. Po dvou obdobích je částka rovna (7)

Vt = Vo ⋅ (1 + r ) ⋅ (1 + r )

Po n obdobích je částka (8)

Vt = Vo ⋅ (1 + r )n

Jak ale budeme počítat úrok za necelý počet úrokovacích období, např. za dva a půl roku? Matematika umožňuje umocnit číslo na 2,5. Předchozí vzorec lze tedy použít. Jiné řešení je použít kombinaci složeného a jednoduchého úročení.

2.2.5

Kombinace složeného a jednoduchého úročení

Výpočet úroku za dva a půl roku můžeme provést tak, že dva roky úročíme složeně a půl roku pak jednoduše: (9)

Vt = Vo ⋅ (1 + r )2 ⋅ (1 + r ⋅ 0,5)

Obecně to znamená, že necelé číslo udávající počet úrokovacích období rozdělíme na celé číslo n a číslo l menší než jedna. Pak částka (10)

Vt = Vo ⋅ (1 + r )n ⋅ (1 + r ⋅ l )

20

2.2.6


Spoření – krátkodobé

Spořením v užším významu rozumíme pravidelné ukládání stejných částek. U tzv. krátkodobého spoření se částky ukládají jen po dobu jednoho úrokovacího období. U dlouhodobého spoření se spoří po jistý počet úrokovacích období vždy jednou za úrokovací období – obvykle na začátku. Když například na začátku každého měsíce (tzv. předlhůtně) vložíme na účet jistou částku V, je při roční úrokové míře r p.a. na účtu za rok (12 měsíců) kromě 12 úložek V navíc úrok. První úložka se úročila po 12 dvanáctin roku, druhá po 11 dvanáctin roku, …, dvanáctá úložka 1 dvanáctinu roku. Každý měsíc přináší jedné úložce V úrok (11)

I1 = V ⋅

r 12

Takových úroků (získaných jednoduchým úročením) je od všech úložek 12 + 11 + 10 + ... + 1 =

(12 + 1) ⋅ 12 = 78 2

Využili jsme vzorec pro součet aritmetické posloupnosti. Celkový připsaný úrok je tedy I =V ⋅

r 13 ⋅ 78 = V ⋅ r ⋅ 12 2

Označíme-li počet měsíců m, je úrok (12)

I =V ⋅

r m ⋅ ( m + 1) ⋅ 12 2

a celková částka za m měsíců je (13)

2.2.7

Vt = V ⋅ m + V ⋅

r m ⋅ ( m + 1) ⋅ 12 2

Spoření – dlouhodobé

Když po dobu n let na začátku každého roku vložíme na účet částku V, jde o dlouhodobé předlhůtní spoření. První vklad se složeně zúročí n-krát, další (n – 1)-krát, atd. a poslední (n-tý) se úročí jen jednou. Celková částka za n let je (14)

Vt = Vo ⋅ (1 + r )n + Vo ⋅ (1 + r ) n−1 + ... + Vo ⋅ (1 + r )

Využitím vzorce pro součet geometrické posloupnosti s kvocientem q = 1 + r pro r ≠ 0 vychází


(15)

21

Vt = V ⋅ (1 + r ) ⋅

(1 + r ) n − 1 r

Kdybychom vkládali vždy na konci roku, byla by naspořená částka (16)

2.2.8

Vt = V ⋅

(1 + r )n − 1 r

Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření

Když spoříme m-krát za úrokovací období (obvykle rok) po dobu n úrokovacích období, vzniká kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření. Vklady se v daném úrokovacím období úročí jednoduše, v následujících složeně. Zůstaneme-li u předlhůtního spoření, bude celková částka na konci spoření (na konci n-tého úrokovacího období) rovna (17)

m + 1  (1 + r ) n − 1  Vt =  V ⋅ m + V ⋅ r ⋅ ⋅ 2  r 

První závorka ve vzorci vyjadřuje částku za jedno úrokovací období. Pro m = 1 přechází uvedený vzorec ve vzorec dlouhodobého spoření. Pro n = 1 přechází ve vzorec krátkodobého spoření. Vzorec se týká vkládání na začátku dílčího období (měsíce apod.). Pro vkládání na konci dílčího období vychází (18)

2.2.9

m − 1  (1 + r )n − 1  Vt =  V ⋅ m + V ⋅ r ⋅ ⋅ 2  r  Důchody

R. Ptáček v (Ptáček, 2005, s. 25) rozumí důchodem „pravidelně se opakující platby (anuity), … Výše anuit zůstává po celou dobu důchodu stejná. Doba pobírání důchodu se označuje jako důchodové období a rovná se součtu všech výplatních období. Výplatním obdobím rozumíme období, během kterého je anuita vyplacena, např. u starobních důchodů jeden měsíc.“ Podstatou důchodu je, že uložíme nebo naspoříme určitou částku R (rent) – počáteční hodnotu důchodu, která nám pak bude po určitou dobu (n výplatních období) přinášet anuity A. Přitom částka na důchodovém účtu je navíc vždy po úrokovacím období úročena úrokovou mírou r. Nejjednodušší variantou je, když se délka výplatního období rovná délce úrokovacího období (např. 1 rok). Označme 1+r=q Kdyby měly být anuity vypláceny např. 5 let, platila by rovnice (19) Tedy

(((( R ⋅ q − A) ⋅ q − A) ⋅ q − A) ⋅ q − A) ⋅ q − A = 0

22

(20)


R ⋅ q 5 = A ⋅ q 4 + A ⋅ q3 + A ⋅ q2 + A ⋅ q + A

Na pravé straně rovnice je součet pěti členů geometrické posloupnosti. Pak (21)

R ⋅ q5 = A ⋅

q5 − 1 q −1

Levá strana vlastně vyjadřuje hodnotu důchodu po pěti letech úročení; pravá strana částku uspořenou vkládáním anuit (polhůtně) na účet se stejnou úrokovou mírou. Požadovaný důchod R (tzv. bezprostřední polhůtní) pro n anuit je tedy (22)

R = A⋅

1 qn − 1 ⋅ nebo qn q − 1

(23)

R = A⋅

1 − q −n q −1

V praxi se často důchod úročí ročně, ale vyplácí častěji, např. měsíčně (na konci měsíce = polhůtně). Požadovaný vstupní důchod se určí ze vzorce, kde m je počet výplat za rok: (24)

−n

m−1  1 −q  R =  A⋅m + A⋅r ⋅ ⋅ 2  q −1 

Ten lze odvodit ze vzorce (25)

m − 1  qn − 1  R⋅q =  A ⋅m + A ⋅r ⋅ , ⋅ 2  q −1  n

který vyjadřuje rovnost důchodu R úročeného n let a úspor získaných polhůtním spořením anuit A m-krát ročně po dobu n let. Zvláštním případem je věčný polhůtní důchod. Pro něj (při ročních výplatách) z jednoduché úvahy plyne, že (26)

R=

A r

2.2.10 Umořování dluhu Splácení neboli umořování dluhu (úvěru) může být prováděno stejnými splátkami – anuitami (např. u hypoték), nebo splátkami nestejnými (u běžných úvěrů). Pro umořování se obvykle sestavuje umořovací plán. Vedle částky zaplacené z dluhu – tzv. úmoru, se platí úrok. Splátka je tedy součet úmoru a úroku. U nestejných splátek jsou obvykle stejné úmory. Příklad takového splácení s dobou splatnosti tři roky a úrokovou mírou 10 % ukazuje tab. 2.

Literární rešerše Tab. 2

Pořadí splátky 0 1 2 3 Součet

23

Umořování nestejnými splátkami (stejnými úmory)

Výše splátky

Úmor

Úrok

39 000 36 000 33 000 108 000

30 000 30 000 30 000 90 000

9 000 6 000 3 000 18 000

Nesplacená část dluhu 90 000 60 000 30 000 0

U stejných splátek jsou různé (rostoucí) úmory. Anuita A pro splacení dluhu D (debt) v n splátkách se určí ze vzorce (27)

A = D⋅

r  1  1−  1+r

n

Pro tři roky by úvaha byla založena na rovnici a její úpravě (kde 1 + r = q): (28)

(( D ⋅ q − A) ⋅ q − A) ⋅ q − A = 0

(29)

D ⋅ q 3 = A ⋅ q´2 + A ⋅ q + A

(30)

D ⋅ q3 = A ⋅

(31)

r ⋅ q3 A = D⋅ 3 q −1

q3 − 1 q −1

Po „dosazení“ n za 3 a úpravě dostáváme obecný vzorec (32)

A = D⋅

r 1−

1 qn

Pro dluh 90 000 Kč s dobou splatnosti tři roky a úrokovou mírou 10 % (r = 0,1, q = 1,1) vychází anuita zaokrouhleně 36 000 Kč a umořovací plán je v tab. 3.

24 Tab. 3

Literární rešerše Umořování stejnými splátkami

Pořadí splátky 0 1 2 3 Součet

Výše splátky

Úmor

Úrok

36 000 36 000 36 200 108 200

27 000 29 600 33 400 90 000

9 000 6 400 2 800 18 200

Nesplacená část dluhu 90 000 64 000 28 000 0

Poslední splátka je jiná než ostatní splátky, protože anuita byla zaokrouhlena.

2.2.11 Cenné papíry U cenných papírů se zaměříme především na odhad jejich ceny a ziskovosti. Ve 2.2.3 byl popsán eskont směnky. Protože je směnka krátkodobý cenný papír, byl výpočet její ceny založen na jednoduchém úročení. Obligace

Při prodeji obligací jakožto dlouhodobých cenných papírů lze odhadnout její cenu podle doby do splatnosti a úrokové míry ze srovnatelných investic. Teoretická cena diskontované obligace

Odhad ceny diskontované obligace Vo lze provést pomocí vzorce pro složené úročení: (33)

Vo =

N , (1 + r )t

kde N je nominální hodnota obligace, t je doba do splatnosti (v letech), r je tržní úroková míra pro termínované vklady se stejnou dobou splatnosti. Teoretická cena věčné kupónové obligace

U věčné obligace se cena Vo dá odhadnout pomocí kupónové platby ze vzorce (34)

Vo =

P , r

kde P je kupónová platba (coupon payment), r je tržní úroková míra. Teoretická cena kupónové obligace s dobou splatnosti

U kupónové obligace je vedle nominální hodnoty obligace pro odhad ceny důležitá také hodnota kupónů. Předpokládejme variantu, že doba do splatnosti obligace je t celých roků. První kupón bude proplacen za rok, druhý za dva, poslední za t roků. Pak cenu Vo odhadneme takto (P je kupónová platba, r je tržní úroková míra): (35)

Vo =

N P P P + + + ... + t 1 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )t


(36)

25

Vo =

N P (1 + r ) t − 1 + ⋅ r (1 + r ) t (1 + r ) t

Při označení 1 + r = q můžeme psát (37)

Vo =

N P qt − 1 + ⋅ qt qt r

V případě, že t není celé (do první kupónové platby zbývá necelý rok), k výplatě máme n kupónů (n je zaokrouhlením t na jednotky nahoru!) a použijeme vzorec (38)

Vo =

N P qn − 1 + ⋅ qt qt r

Akcie

Cena akcie se dá odhadnout z hodnoty tržní úrokové míry r a z výše dividendy d za předpokladu její stálosti pro další roky. V takovém případě se akcie blíží věčné obligaci, takže její cena je (39)

Vo =

d r

Je-li skutečná cena akcie Vo a je na ni dlouhodobě vyplácena dividenda d, zavádíme charakteristiku tzv. „běžné výnosnosti“ rp (profit rate) podílem (40)

rp =

d Vo

26

Metodika

3 Metodika V této kapitole se vrátíme k různým tématům finanční matematiky, rozebereme je z pohledu možnosti zpracování pomocí ICT a vybereme vhodné nástroje pro implementaci desktopové aplikace řešící úlohy finanční matematiky.

3.1 Rozbor typických úloh finanční matematiky vhodných pro zpracování s využitím ICT S odkazem na vzorce uvedené v části 2.2 si ukážeme, jak vypadají typické úlohy finanční matematiky. U typů úloh posoudíme náročnost na vytvoření obecného, hromadného algoritmu řešení – uvedeme základní, střední nebo vysokou obtížnost.

3.1.1

Úročení

A. Vzorec (1)

Typická úloha: Jaká částka přinese úrok 4000 Kč ročně při úrokové míře 2 % p.a.? Vzorec má tři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní. B. Vzorec (2)

Typická úloha: Uložíme jistou částku a vždy na konci roku vyzvedneme úrok při 2% úrokové míře p.a. Jak velká musí být uložená částka, abychom za pět let získali na úrocích 5000 Kč? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní. C. Vzorec (3)

Typická úloha: Za kolik let se při jednoduchém úročení 3 % p.a. zvýší vklad 50 000 Kč na 65 000 Kč? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní. Úlohy typu C v sobě obsahují úlohy typu A a B. D. Vzorec (4)

Typická úloha: Na účtu byl po dobu 50 dnů zůstatek 12 500 Kč, pak po dobu 35 dnů zůstatek 14 800 Kč, následně po dobu 60 dnů zůstatek 16 000 Kč. Vklad je následně za všechna tři období zúročen úrokovou sazbou 1 % p.a. Jaký úrok bude připsán?

Metodika

27

Vzorec má dopředu neznámý počet proměnných; zcela výhradně se ze vzorce bude počítat úrok. Obtížnost: střední – bude vhodné omezit hodnotu n, např. tak, aby byla maximálně 10. E. Vzorec (5)

Typická úloha: Jaká je diskontní míra banky, když za směnku znějící na 80 000 Kč strhla obchodní diskont 877 Kč 100 dní před dobou splatnosti? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní. F. Vzorec (6)

Typická úloha: Jakou částku zaplatí banka za směnku s nominální hodnotou 500 000 Kč 50 dní před dobou splatnosti, když diskontní míra banky je 5 %? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní. Úlohy typu F v sobě obsahují úlohy typu E. G. Vzorec (8)

Typická úloha: Jaká částka byla vložena na účet se složeným úročením 2,0 % p.a., když na něm byla po čtyřech letech částka 75 447 Kč? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní pro výpočet Vt a Vo, střední pro výpočet r (získá se odmocněním) a n (získá se logaritmováním). Někdy může být vyžadováno, aby hodnota n byla celé číslo nebo aby na celé číslo byla zaokrouhlena – a to obvykle směrem nahoru. Viz odstavec za vzorcem (8). H. Vzorec (10)

Typická úloha: Jaká částka bude na účtu s úročením 3 % p.a. za dva a půl roku, když na začátku vložíme 100 000 Kč? Vzorec má pět proměnných, ale proměnné n a l by měly být současně buď známy, nebo neznámy, protože jejich součet vyjadřuje dobu spoření; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní pro výpočet Vt a Vo, střední pro výpočet n + l (n se získá logaritmováním vzorce (8)! a zaokrouhlením dolů na celé číslo, l se dopočte), vysoká pro výpočet r (obecně bude potřeba použít numerickou metodu řešení rovnice).

3.1.2 I.

Spoření

Vzorec (12)

Typická úloha: Po devět měsíců vždy na začátku měsíce vložíme na účet částku 5000 Kč a na konci tohoto období získáme na úrocích 2000 Kč. Jak velká byla roční úroková míra?

28

Metodika

Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní. J. Vzorec (13)

Typická úloha: Jak velkou částku budeme mít na účtu úročeném úrokovou sazbou 2 % po roce, když na začátku každého měsíce vložíme 1000 Kč? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní. Úlohy typu J v sobě obsahují úlohy typu I. K. Vzorce (14) a (15)

Typická úloha: Kolik let musíme spořit – vždy na začátku roku vkládat 50 000 Kč – při roční úrokové sazbě 4 %, abychom naspořili jeden milion Kč? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní pro výpočet Vt a V, střední pro výpočet n (získá se logaritmováním), vysoká pro výpočet r (obecně bude potřeba použít numerickou metodu řešení rovnice). Většinou bude vyžadováno, aby hodnota n byla celé číslo nebo aby byla na celé číslo zaokrouhlena – a to obvykle směrem nahoru. L. Vzorec (16)

Typická úloha: Po 10 let jsme vždy na konci roku vložili 10 000 Kč na účet a po deseti letech jsme tam měli 120 061 Kč. Jakou sazbou p.a. byl účet úročen? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní pro výpočet Vt a V, střední pro výpočet n (získá se logaritmováním), vysoká pro výpočet r (obecně bude potřeba použít numerickou metodu řešení rovnice). Většinou bude vyžadováno, aby hodnota n byla celé číslo nebo aby byla na celé číslo zaokrouhlena – a to obvykle směrem nahoru. M. Vzorec (17)

Typická úloha: Po 36 měsíců jsme vždy na začátku měsíce vložili 1000 Kč na účet úročený úrokovou sazbou 2 % p.a. Jak velkou částku jsme měli na účtu na konci 36. měsíce? Vzorec má pět proměnných; počítat se budou všechny s výjimkou m – to by mělo být vždy zadáno. Obtížnost: základní pro výpočet Vt a V, střední pro výpočet n (získá se logaritmováním), vysoká pro výpočet r (obecně bude potřeba použít numerickou metodu řešení rovnice). Bude vyžadováno, aby hodnota n byla celé číslo nebo aby byla na celé číslo zaokrouhlena – a to obvykle směrem nahoru. Úlohy typu M přecházejí v typ K pro m = 1.

Metodika

29

N. Vzorec (18)

Typická úloha: Kolik let musíme ukládat vždy na konci pololetí částku 800 Kč, abychom naspořili při 5 % p.a. 20 376 Kč? Stejně jako u typu M vzorec má pět proměnných; počítat se budou všechny s výjimkou m – to by mělo být vždy zadáno. Obtížnost: základní pro výpočet Vt a V, střední pro výpočet n (získá se logaritmováním), vysoká pro výpočet r (obecně bude potřeba použít numerickou metodu řešení rovnice). Bude vyžadováno, aby hodnota n byla celé číslo nebo aby byla na celé číslo zaokrouhlena – a to obvykle směrem nahoru. Úlohy typu N přecházejí v typ L pro m = 1.

3.1.3

Důchody

O. Vzorce (22) a (23)

Typická úloha: Jak velké anuity lze vyplácet na konci každého roku z důchodu 150 000 Kč po dobu 10 let při úroku 5 % p.a.? Vzorec má čtyři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní pro výpočet R a A, střední pro výpočet n (získá se logaritmováním), vysoká pro výpočet q (r) (obecně bude potřeba použít numerickou metodu řešení rovnice). Většinou bude vyžadováno, aby hodnota n byla celé číslo nebo aby byla na celé číslo zaokrouhlena – a to obvykle směrem nahoru. P. Vzorce (24) a (25)

Typická úloha: Jak velký důchod je potřeba k tomu, aby mohly být po dobu 15 let na konci každého měsíce vypláceny anuity 500 Kč? Uvažujte roční úročení 4 % p.a. Vzorec má pět proměnných (r a q reprezentují jednu proměnnou); počítat se budou všechny s výjimkou m – to by mělo být vždy zadáno. Obtížnost: základní pro výpočet R a A, střední pro výpočet n (získá se logaritmováním), vysoká pro výpočet q (r = q – 1) (obecně bude potřeba použít numerickou metodu řešení rovnice). Bude vyžadováno, aby hodnota n byla celé číslo nebo aby byla na celé číslo zaokrouhlena – a to obvykle směrem nahoru. Úlohy typu P v sobě obsahují úlohy typu O pro m = 1. Q. Vzorec (26)

Typická úloha: Jaké anuity lze „věčně“ pobírat na konci roku z důchodu 2 000 000 Kč za předpokladu stálé úrokové míry 5 %? Vzorec má tři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní.

30

3.1.4

Metodika

Umořování dluhu

R. Umořování stejnými úmory – nestejnými splátkami (tab. 2)

Typická úloha: Sestavte umořovací plán ve formě tabulky pro splácení úvěru 1 000 000 Kč v pěti ročních splátkách (na konci roku) se stejnými úmory a úrokovou mírou 10 % p.a. Umořovací plán vyžaduje jen elementární matematické operace. Úrok se počítá ze vzorce (1). Tento typ bude mít prakticky jen jednu variantu – vždy se bude sestavovat tabulka umořovacího plánu. Střední obtížnost pro algoritmizaci vidím ve vytvoření vlastní tabulky. S. Vzorec (32) – umořování stejnými splátkami (tab. 3)

Typická úloha: Sestavte umořovací plán ve formě tabulky pro splácení úvěru 1 000 000 Kč v pěti ročních splátkách (na konci roku) se stejnými splátkami. Umořovací plán vyžaduje jen výpočet anuity A a elementární matematické operace. Úrok se počítá ze vzorce (1). Tento typ bude mít prakticky jen jednu variantu – vždy se bude sestavovat tabulka umořovacího plánu. Střední obtížnost pro algoritmizaci vidím opět ve vytvoření vlastní tabulky.

3.1.5

Cenné papíry

T. Vzorec (33)

Typická úloha: Odhadněte cenu diskontované obligace s nominální hodnotou 100 000 Kč splatné za tři roky, je-li běžná úroková míra srovnatelných aktiv 6 % p.a. Vzorec má čtyři proměnné; teoreticky lze každou z nich počítat, prakticky se ale bude provádět pouze odhad ceny Vo. Obtížnost: základní. Úlohy typu T jsou variantou typu G pro složené úročení. U. Vzorec (34)

Typická úloha: Odhadněte cenu věčné kupónové obligace, jestliže poskytuje každý rok kupónové platby ve výši 10 000 Kč a tržní úroková míra je 2 % p.a. Vzorec má tři proměnné; teoreticky lze každou z nich počítat, prakticky se ale bude provádět pouze odhad ceny Vo. Obtížnost: základní. V. Vzorce (35)–(37)

Typická úloha: Odhadněte cenu kupónové obligace s dobou splatnosti 4 roky, jestliže je její nominální hodnota 10 000 Kč a budou z ní vždy po roce plynout kupónové platby ve výši 500 Kč. Uvažujte tržní úrokovou míru 4 % p.a.

Metodika

31

Vzorce mají pět proměnných (q a r reprezentují tutéž proměnnou), teoreticky lze každou z nich počítat, prakticky se ale bude provádět pouze odhad ceny Vo. Obtížnost je základní. W. Vzorec (38)

Typická úloha: Odhadněte cenu kupónové obligace s dobou splatnosti 40 měsíců, je-li její nominální hodnota 10 000 Kč a budou z ní plynout 4 kupónové platby ve výši 500 Kč: 36, 24 a 12 měsíců před splatností a v den splatnosti. Uvažujte tržní úrokovou míru 4 % p.a. Vzorec má pět proměnných (q a r reprezentují tutéž proměnnou a n a t reprezentují stejnou proměnnou), teoreticky lze každou z nich počítat, prakticky se ale bude provádět pouze odhad ceny Vo. Obtížnost je proto základní. Úlohy typu W přecházejí v typ V pro t = n. X. Vzorec (39)

Typická úloha: Odhadněte cenu akcie, jestliže má výhled každoroční dividendy ve výši 1000 Kč a tržní úroková míra je 2 %. Vzorec má tři proměnné; teoreticky lze každou z nich počítat, prakticky se ale bude provádět pouze odhad ceny Vo. Obtížnost: základní. Y. Vzorec (40)

Typická úloha: Akcie se na burze prodává za 500 Kč a je na ni dlouhodobě vyplácena dividenda kolem 50 Kč. Určete běžnou výnosnost akcie. Vzorec má tři proměnné; kteroukoliv z nich lze počítat. Obtížnost: základní. Úlohy typu Y jsou obměnou typu X a současně jde o varianty typu A.

3.1.6

Rekapitulace typů úloh

Rozlišili jsme celkem 25 typů úloh. Přitom jsme ale dále zjistili tyto vlastnosti: • C v sobě obsahuje A a B. • D je samostatný typ. • F v sobě obsahuje E. • G je speciálním případem H pro l = 1. • J v sobě obsahuje I. • K a L se liší pouze tím, že se vkládá na začátku nebo na konci období; M a N se liší pouze tím, že se vkládá na začátku nebo na konci období; K a L jsou speciálními případy M a N pro m = 1. • O je speciálním případem P pro m = 1. • Q je variantou A.

32

Metodika

• S je po vypočtení anuity založeno na obdobném algoritmu jako R. • T je variantou G. • U je variantou A. • V je speciálním případem W. • Y je obměnou X a obě jsou variantou A.

Ukazuje se, že 25 typů úloh bude možno při zpracování algoritmu redukovat přinejmenším na 10 typů: A, C, D, F, H, J, M, P, S, W. Na druhé straně každá úloha většinou obsahuje více možností proměnných k výpočtu, takže počet postupů opět naroste. Při využití ICT prostředků pro řešení úloh vezmeme v úvahu také různé omezující podmínky pro hodnoty proměnných a pro vztahy mezi nimi.

3.2 Stanovení vhodných nástrojů pro implementaci desktopové aplikace Jak už název napovídá, chystáme se připravit desktopovou aplikaci, která bude obsluhovat úlohy finanční matematiky a vracet jejich řešení. Stejně dobře bychom mohli připravit internetovou aplikaci – takové aplikace známe pod názvem internetové kalkulačky. Proč jsem se rozhodl pro desktopovou aplikaci? Za prvé, internetových kalkulaček už je celkem hodně, za druhé, desktopová aplikace umožňuje větší kompaktnost, kompletnost, přehlednost atd., za třetí, desktopovou aplikaci lze využít off-line, za čtvrté, lépe ovládám nástroje pro tvorbu desktopových aplikací než internetových. Od desktopové aplikace pro finanční matematiku budeme očekávat vedle spolehlivého a rychlého výpočtu uživatelsky příjemné prostředí se snadným zadáním vstupních hodnot, dále jednoduché a přehledné grafické zpracování výsledků tak, aby mohly být dobře prezentovány, mimo jiné třeba ve výuce. Pro vlastní implementaci desktopové aplikace, tedy pro vytvoření programu bude vhodné použít nástroj, který disponuje předdefinovanými grafickými prvky (objekty) a jejich vlastnostmi a který umožňuje jednoduché naprogramování výpočtů. V neposlední řadě je vhodné použít něco, co autor alespoň trochu ovládá, protože tím ušetří drahocenný čas. Ukazuje se, že vhodným nástrojem by mohl být programovací jazyk Delphi. Kromě toho, že by mohl dobře uspokojit požadavky předchozího odstavce, je dobré, že autor vlastní licenci od firmy Borland pro nekomerční využití. Delphi „… je takzvaný nástroj RAD (Rapid Application Development, rychlý vývoj aplikací). Všechny součásti podstatné pro vývojáře programu jsou obsaženy v přehledném programovacím prostředí a lze je snadno používat. Velkou část programování představuje tvorba rozhraní aplikace, které sestává

Metodika

33

z komponent, předem vytvořených stavebních kamenů s danou základní funkčností. Vlastní programování se omezuje na zavedení hlavních funkcí.“ (Eller, 2002, s. 10) Delphi je objektově orientovaný programovací jazyk založený na jazyku Object Pascal, „… který má jasnou strukturu, a je tedy vhodný jak pro pokročilé programátory, tak pro úplné začátečníky.“ (Eller, 2002, s. 10) Delphi se řadí mezi vizuální programovací jazyky. Komponenty v Delphi mají své vlastnosti a metody (funkce a procedury) a mohou reagovat na určité události (vznik komponenty, kliknutí nebo pohyb myši, zmáčknutí klávesy, změna hodnoty aj.). Delphi například obsahují komponenty formulář Form, textové pole Text, tlačítko Button, přepínací tlačítko (přepínač) RadioButton, štítek (popisek) Label, editační (vstupní) pole Edit, víceřádkové editační pole Memo, zaškrtávací pole CheckBox, seznam ListBox, rozevírací seznam ComboBox, posuvník ScrollBar, řetězcová mřížka StringGrid aj.

34

Návrh a vytvoření aplikace

4 Návrh a vytvoření aplikace V této kapitole představíme konkrétní aplikaci vyrobenou podle závěrů minulé kapitoly s využitím nástrojů programovacího jazyka Delphi.

4.1 Návrh Nejdříve budeme definovat konkrétní představy a požadavky na aplikaci. Na konci naší práce by měl být klasický program – tedy přímospustitelný soubor s příponou exe.

4.1.1

Design

V aplikaci by mělo být použito co nejvýraznější a největší písmo, aby aplikace mohla být využita při výuce Finanční matematiky. Písmo bude bezpatkové tmavé barvy na světlém pozadí tak, jak je to v současnosti doporučeno pro prezentace. Aplikace využije „střízlivý“ počet barev – cílem není zaujmout pestrostí, cílem je jednoduchost a přehlednost.

4.1.2

Obsah

Hlavní nabídka umožní výběr jedné z částí Finanční matematiky tak, jak se objevily v kapitole 3: • Úročení • Spoření • Důchody • Umořování dluhu • Cenné papíry

Diskontování směnek bude rozumné uvést pouze u cenných papírů. V rámci zvolené části bude zobrazeno další členění na možné typy úloh. Na nejnižší úrovni bude konkrétní typ úlohy. Pro proměnné v úloze budou vyhrazena vstupní pole. V polích budou nastaveny ilustrační výchozí hodnoty. Pole s výsledkem bude barevně odlišeno od ostatních – toto pole bude lze vybrat.

4.1.3

Ovládání

Pro výběr z nabídek a zadávání hodnot veličin bude využito jak klávesnice, tak myši. Rozevírací seznamy umožní integrovat několik typů úloh do jedné. Součástí prostředí by měla být nápověda pro ovládání programu.


35

4.2 Aplikace 4.2.1

Vytváření aplikace

Delphi je velmi pohodlný nástroj pro vytvoření grafického prostředí programu. Poté, co jsem si ujasnil základní ovládání Delphi, programování probíhalo bez větších problémů. Nejdříve jsem vytvořil formuláře s komponentami. Vzhled jsem definoval pomocí vlastností komponent. Pak jsem naprogramoval akce, které mají být provedeny, když nastanou určité předvídatelné události – pro výpočty je takovou událostí kliknutí na určité tlačítko nabídky nebo změna hodnoty v editačním poli. Aplikaci jsem vytvořil v rozlišení obrazovky 1280 × 1024 pixelů. Pro podklad jsem vybral světle žlutou barvu. Pro písmo jsem zvolil bezpatkový Arial. Pracoval jsem se standardním neširokoúhlým LCD monitorem. Po vytvoření aplikace jsem ji vyzkoušel na notebooku s širokoúhlým rozlišením 1366 × 768 pixelů. Výsledek byl tristní. Proto jsem se rozhodl vyrobit druhou verzi aplikace pro toto rozlišení. Jiným řešením by byla aplikace, která si na začátku zjistí rozlišení obrazovky a zvolí vhodné umístění komponent a velikost písma. Takové řešení se mi v danou chvíli zdálo časově příliš náročné – lze je provést, pokud se ukáže být potřebným. Při rozboru typů úloh jsem některým algoritmům pracovně přiřadil vysokou obtížnost. Na rozdíl od ostatních algoritmů je totiž nelze uspokojivě řešit bez použití počítače (jen pomocí kalkulátoru). V těchto případech šlo o řešení rovnic. Existuje několik metod numerického řešení rovnic. Použil jsem metodu půlení intervalu, zřejmě nejjednodušší pro naprogramování. Při programování jsem se musel rozhodnout, jak přesné mají být výsledky. Ve většině případů jsem dal přednost přehlednosti a názornosti před přesností na halíře. Aplikaci jsem rozvrhl do 24 oken/formulářů/obrazovek. Jde o • 1 okno Hlavní nabídky • 5 oken podnabídek • 17 oken úloh • 1 okno Nápovědy.

4.2.2

Práce s aplikací

Na následující straně je obrazovka Hlavní nabídky aplikace (obr. 2) a za ní následují obrazovky podnabídek (obr. 3–7).

36


Obr. 2

Hlavní nabídka aplikace Finanční matematika

Obr. 3

Podnabídka Úročení

Obr. 4

Podnabídka Spoření


Obr. 5

Podnabídka Důchody

Obr. 6

Podnabídka Umořování

Obr. 7

Podnabídka Cenné papíry

37

38


Hlavní nabídka Finanční matematika umožňuje zvolit jeden z pěti okruhů úloh, kterými jsou • Úročení • Spoření • Důchody • Umořování dluhu • Cenné papíry. Tlačítkem Konec lze aplikaci ukončit. Vedle toho lze klávesou F1 vyvolat okno Nápovědy k ovládání aplikace. Tuto nápovědu lze získat na kterémkoliv místě aplikace. Obrazovka/podnabídka Úročení nabízí řešení pěti typů úloh: 1. Úrok 2. Jednoduché úročení 3. JÚ: zůstatky na účtu 4. Složené úročení 5. Kombinované úročení Obrazovka Spoření obsahuje tři typy úloh: 6. Krátkodobé spoření 7. Dlouhodobé spoření 8. Kombinace KS a DS Podnabídka Důchody řeší dva typy úloh: 9. Polhůtní důchod 10. Věčný důchod Obrazovka/podnabídka Umořování dluhu nabízí dva typy úloh: 11. Stejnými úmory 12. Stejnými splátkami Konečně podnabídka Cenné papíry umožňuje volbu pěti typů úloh: 13. Směnka 14. Diskontovaná obligace 15. Věčná obligace 16. Kupónová obligace 17. Akcie Nyní projdeme všechny typové úlohy. Úrok (A)

Úrok je typovou úlohou označenou v podkapitole 3.1 jako A. Připomeňme, že jako příklad byla uvedena úloha „Jaká částka přinese úrok 4000 Kč ročně při úrokové míře 2 % p.a.?“. Odpověď lze nalézt na obr. 8. Pole s hledanou částkou


39

je v aplikaci na formuláři úlohy označeno žlutě – jde o výstupní pole. Vstupní pole jsou označena bíle. Hodnoty vstupních polí můžeme změnit – po změně se přepočítá hodnota výstupního pole. Aby byla možná formulace úlohy, kdy se počítá jiná proměnná – kdy je neznámou úroková míra nebo úrok, je do aplikace zabudována možnost změny výstupního pole. Docílí se jí dvojklikem levým tlačítkem myši na poli, které se ze vstupního má stát výstupním. Po dvojkliku pole získá žlutý podklad.

Obr. 8

Úloha Úrok

Jednoduché úročení (B, C)

Formulář na obr. 9 obsahuje úlohy B a C. V horní části je B a je zde vyřešena přímo ta úloha, která byla uvedena v podkapitole 3.1.

Obr. 9

Úloha Jednoduché úročení

V dolní části je jiná úloha než ta, která byla uvedena jako vzorová pro C v 3.1: Za kolik let se při jednoduchém úročení 3 % p.a. zvýší vklad 50 000 Kč na

40


65 000 Kč? Můžeme si vysvětlit, jak se vyřeší. Nejdříve provedeme dvojklik na poli pro počet roků – změní svůj podklad na žlutý. Pak v poli pro úrokovou míru změníme hodnotu 2 na 3. Na změnu úrokové míry zareaguje počet roků – objeví se 3,33. Nakonec opravíme uspořenou částku z 55 000 na 65 000. Teprve nyní obdržíme výsledek úlohy: hledaný počet roků je 10. Úročení zůstatků na účtu (D)

Úročení zůstatků na účtu je znázorněno tabulkou (viz obr. 10). Na rozdíl od všech ostatních obrazovek úloh neobsahuje vyřešenou úlohu. Je zde pouze nastavena úroková sazba 1 % p.a. Do tabulky postupně po řádcích zadáváme hodnoty zůstatků a počtů dní, po které byly na účtu. Ve třetím sloupci se nárůstově počítá celkový úrok. Když zadáte hodnoty z 3.1, měl by vám vyjít úrok 57,61 Kč. Před zadáním nové úlohy tabulku nejdříve smažeme tlačítkem Smazat. Hodnotu úrokové míry můžeme změnit. Pro pohyb po tabulce se především hodí tabulátor. Tabulka je napevno navržena pro maximálně deset hodnot zůstatků. Kdyby mělo být např. 15 zůstatků, použila by se tabulka dvakrát – pro prvních deset a pro zbývajících pět a úroky by se sečetly. Pro širokoúhlou verzi jsem tento formulář upravil tak, že se zůstatek a počet dní zadávají přes vstupní pole (stejně jako úroková míra) – hodnoty se odesílají zmáčknutím klávesy Enter, současně s odesláním hodnoty dojde ke změně aktivního vstupního pole.

Obr. 10

Úloha Úročení zůstatků na účtu

Složené úročení (G)

Na obrazovce úlohy typu G (viz obr. 11) je vidět, že byla přidána doplňující úloha, která počítá úrok a je k úloze G ve stejném vztahu jako B k C. Výpočet úroku je v horní části. Ovládání obrazovky je stejné jako u B a C.


41

Složené úročení je primárně určeno pro časová období vyjádřená v celých letech, dokáži si však představit, že někteří aktéři na finančních trzích využijí vzorce složeného úročení i pro období neceločíselná. Pokud by takové využití nebylo možné, stal by se typ G nadbytečným, protože by se dal nahradit typem H pro kombinaci složeného a jednoduchého úročení – H pro celý počet let přechází v G.

Obr. 11

Úloha Složené úročení

Úloha Kombinace složeného a jednoduchého úročení (H)

Především pro časová období necelých let (delších než jeden rok) slouží úloha H (viz obr. 12). Stejně jako typ G i ona byla obohacena o výpočet úroku v horní části. Pro období kratší než jeden rok přechází typ H v typ B, resp. C, nicméně není to ospravedlnění pro vypuštění obrazovky úloh B a C.

Obr. 12

Úloha Kombinace složeného a jednoduchého úročení

42


Úloha Krátkodobé spoření (I, J)

Formulář pro krátkodobé spoření (viz obr. 13) by měl být používán jen pro období do jednoho roku, lze však zadat doba až 24 měsíců. Je nastaven na režim předlhůtního měsíčního spoření. Když se počítá doba spoření, měsíce se zaokrouhlují na celé číslo směrem nahoru. Varianta čtvrtletního nebo pololetního spoření není zapracována.

Obr. 13

Úloha Krátkodobé spoření

Úloha Dlouhodobé spoření (K, L)

Okno Dlouhodobého spoření je na obr. 14. Typ K a L se liší tím, že první (horní) je pro předlhůtní spoření, druhý (dolní) je pro polhůtní spoření. Vkládá se a úročí se jednou ročně. Počet roků se zaokrouhluje na celé číslo směrem nahoru.

Obr. 14

Úloha Dlouhodobé spoření


43

Úloha Kombinace dlouhodobého a krátkodobého spoření (M, N)

Formulář pro kombinované spoření (viz obr. 15) díky své variabilitě nahrazuje formulář dlouhodobého spoření, když nastavíme vkládání jednou ročně. Vkládat se dá i měsíčně, čtvrtletně a pololetně. Nahoře je předlhůtní spoření, dole polhůtní. Délka spoření se zadává, resp. počítá jen v celých letech! V případě zaokrouhlování se toto provádí směrem nahoru. Frekvence spoření nemůže být předmětem výpočtu.

Obr. 15

Úloha Kombinace dlouhodobého a krátkodobého spoření

Úloha Polhůtní anuity důchodu (O, P)

Na obr. 16 je okno, ve kterém se určují polhůtní anuity důchodu – lze je pobírat měsíčně, čtvrtletně, pololetně nebo ročně. Tuto frekvenci nelze v úloze nastavit jako výstupní pole. Úročí se, jako ve všech ostatních úlohách, roční úrokovou sazbou. Předlhůtní pobírání důchodu není řešeno. Počet let je zaokrouhlen nahoru.

Obr. 16

Úloha Polhůtní anuity důchodu

44


Úloha Věčný důchod (Q)

Jednoduché okno Věčného důchodu je na obr. 17.

Obr. 17

Úloha Věčný důchod

Úloha Umořování stejnými úmory (R)

Umořování dluhu je řešeno tabulkou. Na obr. 18 je umořování stejnými úmory. Po nastavení výše úvěru, úrokové míry a počtu (ročních) splátek je v tabulce zobrazen umořovací plán. Nejvyšší počet splátek je deset. Díky zaokrouhlení výše úmoru může vyjít poslední úmor odlišný od ostatních.

Obr. 18

Úloha Umořování stejnými úmory


45

Úloha Umořování stejnými splátkami (S)

Okno pro umořování stejnými splátkami (obr. 19) by výhledově mohlo být integrováno do okna pro umořování stejnými úmory. Varianta by se vybírala v rozbalovacím menu. Díky zaokrouhlení výše splátky může vyjít poslední splátka odlišná od ostatních.

Obr. 19

Úloha Umořování stejnými splátkami

Úloha Směnka (E, F)

Na obr. 20 je formulář Směnka, který řeší úlohu E a F. Protože směnka je krátkodobý cenný papír, je za jednotku doby do splatnosti vzat den.

Obr. 20

Úloha Směnka

46


Úloha Cena diskontované obligace (T)

Odhad ceny diskontované obligace je prováděn formulářem na obr. 21. Přestože se očekával pouze výpočet odhadu ceny, lze v tomto formuláři počítat i ostatní veličiny. Dobu do splatnosti lze zadávat i v necelých letech.

Obr. 21

Úloha Cena diskontované obligace

Úloha Cena věčné kupónové obligace (U)

Odhad ceny diskontované obligace je prováděn formulářem na obr. 22. Přestože se očekával pouze výpočet odhadu ceny, lze v tomto formuláři počítat i ostatní veličiny.

Obr. 22

Úloha Cena věčné kupónové obligace


47

Úloha Cena kupónové obligace (V, W)

Na obr. 23 je výpočet odhadu ceny kupónové obligace, přičemž do jednoho formuláře byly integrovány úlohy V a W. V tomto formuláři se výhradně provádí odhad ceny, žádné jiné veličiny se nepočítají. Doba do splatnosti se uvádí v měsících, kupóny se vyplácejí v ročních intervalech. Zbývá-li do splatnosti např. 36 měsíců, znamená to, že budou vyplaceny celkem 4 kupóny!

Obr. 23

Úloha Cena kupónové obligace

Úloha Odhad ceny akcie / Výnosnost akcie (X, Y)

Formulář na obr. 24 řeší dva typy úloh týkajících se akcií.

Obr. 24

Úloha Odhad ceny akcie / Výnosnost akcie

Formuláře na obrázcích 2–24 patří verzi aplikace určené pro standardní monitor s rozlišením 1280 × 1024 pixelů. Byla odladěna pro Windows XP. Obrazovky pro širokoúhlé rozlišení 1366 × 768 pixelů vypadají obdobně. Byly otestovány na notebooku s operačním systémem Windows 7.

48

Zhodnocení navrženého řešení

5 Zhodnocení navrženého řešení Aplikace, jak bylo předesláno v úvodu, se dá využít pro rozhodování aktérů na finančních trzích a pro názornou výuku předmětů Finanční trhy a Finanční matematika na vysoké, respektive střední škole. Lze na ní simulovat všechny základní finanční operace při úročení, spoření, splácení, vyplácení důchodů a oceňování cenných papírů. Je použito výhradně roční úrokovací období. Aplikace je přiložena na CD ve formě dvou přímospustitelných souborů, FMnormal.exe a FMwide.exe. První varianta se hodí pro prezentaci s dataprojektorem – písmo a komponenty jsou relativně velké. Druhá varianta bude vhodnější pro osobní použití na noteboocích. Na CD jsou přiloženy zdrojové soubory Delphi. V některých operačních systémech aplikace žádá použití desetinné čárky (při testování ve Windows XP) a v některých použití desetinné tečky (Windows 7). Aplikace nezahrnuje daňovou problematiku. Stejně tak není komentován a zahrnut vliv inflace na výsledky finančních operací. U všech úloh je tedy nutné toto vzít v úvahu. Aplikace neobsahuje úlohy přímo specializované na stavební spoření nebo na doplňkové penzijní spoření.

Závěr

49

6 Závěr Finanční gramotnost je v současnosti podporována na všech typech a stupních škol včetně vzdělávání dospělých; je podporována národními i nadnárodními institucemi. Vytvořil jsem počítačovou aplikaci, která umožňuje jednoduše řešit a prezentovat základní úlohy finanční matematiky. Na rozdíl od internetových kalkulaček se dá využít off-line a pokrývá širší okruh úloh. Aplikaci lze dále vylepšit zahrnutím daňových a inflačních charakteristik, doplněním méně používaných úloh finanční matematiky, rozšířením nápovědy apod.

50

Literatura

7 Literatura CIPRA, T. Finanční a pojistné vzorce. 1. vyd. Praha: Grada, 2006. 374 s. Finanční trhy a instituce. ISBN 80-247-1633-X. ELLER, F. Delphi 6: příručka programátora. 1. vyd. Praha: Grada, 2002. 272 s. Moderní programování. ISBN 80-247-0303-3. KLIMEŠ, L. Slovník cizích slov. 3. upr. vyd. Praha: SPN, 1985. 816 s. Malá ilustrovaná encyklopedie A-Ž. 1. vyd. Praha: Encyklopedický dům, 1999. 1213 s. ISBN 80-860-4412-2. PTÁČEK, R., BORKOVEC, P., TOMAN, P. Finanční trhy: cvičení. Dotisk 2. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2005. 73 s. ISBN 80-7157792-8. RADOVÁ, J., DVOŘÁK, P., MÁLEK, J. Finanční matematika pro každého. 7. vyd. Praha: Grada, 2009. 293 s. ISBN 978-80-247-3291-6. REJNUŠ, O. Finanční trhy. Dotisk 1. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2001. 170 s. ISBN 80-7157-448-1. SEDLÁŘ, P. Finanční deriváty a jejich možné využití v podnikové praxi. Bakalářská práce [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2008. 51 s. [cit. 2012-11-5]. Dostupné z .

Aplikace pro řešení úloh z finanční matematiky

Recommend Documents