6
∂ ∂xi
⎛ ∂f ⎜ ⎜ ∂x j ⎝
⎞ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎟= ⎟ ∂x j ⎜⎜⎝ ∂xi ⎟⎟⎠ ⎠
(Saeter & Hammond, 2006)
i, j=1,2,...n.
III. PEMBAHASAN 3.1 Fungsi produksi
Hubungan antara input dan output dapat ditransformasikan oleh sebuah fungsi produksi. Secara matematis, fungsi produksi dapat dituliskan sebagai berikut: Y = f ( K , L, M ,....)
dengan: Y = output yang dihasilkan selama 1 periode waktu K = input kapital L = input tenaga kerja M = input material. Tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain. Untuk menunjukkan berbagai kombinasi input yang digunakan dalam memproduksi tingkat output tertentu, kita menggunakan konsep isokuan. Isokuan adalah kurva yang menggambarkan berbagai kombinasi input produksi secara efisien yang menghasilkan tingkat produksi yang sama. Misalkan dalam berproduksi perusahaan hanya menggunakan dua input produksi saja, yaitu input modal dan input tenaga kerja maka fungsi produksi menjadi Y=f(K,L) dengan K menyatakan input modal dan L menyatakan input tenaga kerja. Isokuan untuk fungsi produksi seperti ini dapat digambarkan sebagai berikut
Slope kurva ini menunjukkan suatu tingkat ketika sebuah input dapat dipertukarkan dengan input lainnya dengan output dianggap konstan. Slope yang negatif ini disebut sebagai tingkat marjinal substitusi teknik. Jika kuantitas tenaga kerja yang digunakan perusahaan meningkat, perusahaan seharusnya dapat mengurangi input modal dan masih tetap menghasilkan output konstan. Jika tenaga kerja sebelumnya diasumsikan memiliki produktivitas marjinal positif, perusahaan seharusnya dapat menggunakan input modal yang lebih sedikit saat lebih banyak tenaga kerja yang digunakan. Untuk tingkat output yang tetap, jika kenaikan jumlah tenaga kerja pada akhirnya mengharuskan perusahaan untuk menggunakan lebih banyak modal, hal ini menandakan bahwa produktivitas marjinal tenaga kerja adalah negatif. Semua isokuan memiliki slope negatif yang menunjukkan bahwa terdapat pertukaran antara input modal dan input tenaga kerja. Hal lain yang penting dari fungsi produksi adalah seberapa mudah suatu input dapat digantikan oleh input lainnya. Kita telah mengasumsikan bahwa tingkat output tertentu dapat diproduksi dengan berbagai variasi input yang berbeda. Perusahaan dapat melakukan substitusi tenaga kerja terhadap modal dengan mempertahankan output tetap konstan. Secara umum, kasus substitusi input diukur dengan konsep elastisitas substitusi. Elastisitas substitusi dilambangkan dengan s dan nilainya biasanya berbeda di sepanjang isoquan untuk return to scale yang berbeda. Jika return to scale diasumsikan konstan, maka nilai elastisitas substitusinya akan sama di sepanjang semua isokuan (Nicholson, 1999). 3.2 Fungsi produksi CES
Gambar 1 Isokuan
Fungsi produksi yang mempunyai elastisitas substitusi konstan positif sering disebut dengan fungsi produksi CES (constant elasticities of substitution). Fungsi produksi yang termasuk ke dalam constant elasticities of substitution mempunyai dua karakteristik utama, yaitu:
7
a. fungsi tersebut adalah fungsi homogen berderajat satu, dan b. mempunyai elastisitas substitusi yang konstan.
Karena r >-1 maka nilai elastisitas yang didapat pastilah konstan positif.
Bentuk umum fungsi produksi CES adalah:
Fungsi produksi croppes (constant ratio of pairwise partial elasticities of substitution) merupakan bentuk umum dari fungsi produksi CES (constant elasticities of substitution). Secara umum, fungsi produksi croppes didefinisikan sebagai berikut
⎛n ⎝ i =1
⎞ ⎠
Y = γ ⎜ ∑ δ i xi − ρ ⎟
−
1
ρ
.
Dengan: g=parameter efisiensi yang menunjukkan indikator dari tingkat teknologi di=parameter distribusi yang berhubungan dengan proporsi penggunaan input produksi n
i =1
xi=input produksi ke-i r=parameter substitusi.
Misalkan perusahaan hanya menggunakan input modal dan input tenaga kerja saja dalam berproduksi, maka fungsi produksinya dapat didefinisikan sebagai berikut:
(
Y = f ( K , L ) = γ δ L + (1 − δ ) K
−ρ
)
−
1
ρ
.
Dengan: Y=ouput produksi K=input modal L=input tenaga kerja g=parameter efisiensi d=parameter distribusi r=parameter substitusi. Asumsikan g >0, 0§ d §1 dan r >-1, nilai r ≠0 karena mengakibatkan nilai output produksi menjadi tidak terdefinisi. Fungsi produksi CES mempunyai return to scale yang konstan karena
(
F ( mK , mL ) = γ δ ( mL )
= γ (m
1 −ρ − ρ
)
−ρ
+ (1 − δ )( mK )
(δ ( L )
−ρ
1 −ρ − ρ
)
+ (1 − δ )( K )
1 −ρ − ρ
)
= mF ( K , L ) .
Untuk semua m > 0 , maka persamaan di atas juga menunjukkan bahwa fungsi produksi CES adalah homogen berderajat satu. Fungsi produksi CES mempunyai nilai elastisitas substitusi sebagai berikut σ=
1 . 1+ ρ
Bukti: Lihat Lampiran 2.
n
Y −e = γ ∑ βi xi − ei i =1
. (3.3.1)
Dengan: Y = output produksi xi = input produksi ke-i g=parameter efisiensi e dan ei = parameter substitusi
terhadap output dengan ∑ δ i = 1 .
−ρ
3.3 Fungsi produksi CROPPES
(3.2.1)
n
bi=parameter distribusi dengan ∑ βi = 1 . i =1
Fungsi produksi croppes memiliki sifat dasar neoklasik. Sifat dasar tersebut di antaranya adalah: a. memiliki produk marjinal yang positif b. fungsi produksi croppes merupakan fungsi homogen secara linear dan berderajat satu c. memiliki produktivitas yang semakin berkurang. Karakteristik fungsi produksi croppes: Memiliki produk marjinal yang positif. Sebagaimana diketahui, produk marjinal adalah turunan pertama dari fungsi produksi.
a.
Produk marjinal (MPi)= ⎞ ∂Y −1 ⎛ n = ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ ∂xi e ⎝ i =1 ⎠ ⎞ e ⎛ n = i ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ e ⎝ i =1 ⎠
∂Y sehingga ∂xi
⎛1⎞ −⎜ ⎟ −1 ⎝e⎠
⎛1⎞ −⎜ ⎟ −1 ⎝e⎠
⎞ e γβ ⎛ n = i e i+1 ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ e xi i ⎝ i =1 ⎠ e γβ 1+ e = i e i+1 Y ( ) . e xi i
( −γ e β x
i i i
− ei −1
)
γβi
xi ei +1 −1− e e
(3.3.2)
8
Diasumsikan tanda ei dan e sama serta γ >0 dan bi >0, sehingga berlaku MPi =
ei γβi (1+ e ) >0. Y e xi ei +1
Terbukti produk marjinal adalah positif. Ini artinya jika perusahaan meningkatkan penggunaan input produksi maka output yang dihasilkan juga akan mengalami peningkatan. Diasumsikan perusahaan adalah penerima harga dalam pasar persaingan sempurna. Suatu perusahaan akan berhenti menambah input produksi pada saat tambahan biaya yang harus dibayar adalah sama dengan tambahan pendapatan yang diterima. Tambahan biaya dalam hal ini adalah harga input produksi sedangkan tambahan pendapatan adalah produk marjinal dikalikan harga jual output. Jika harga input produksi dinotasikan dengan Pi sedangkan harga jual output dinotasikan dengan PY, maka alokasi input produksi dianggap efisien bila: Pi=(MPi)(PY)
(3.3.3)
dengan: Pi= harga dari input produksi ke-i PY= harga dari output Y dengan demikian: ⎛ γ e β ⎞ 1+ e − e +1 Pi = ⎜ i i ⎟ Y ( ) xi ( i ) PY ⎝ e ⎠
.
Fungsi produksi croppes merupakan fungsi homogen secara linear dan berderajat satu. Jika perusahaan meningkatkan semua input produksinya sebesar m kali, dengan m > 0 maka Persamaan (3.3.1) menjadi b.
⎛ n −e ⎞ Y = ⎜ γ ∑ βi ( mxi ) i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
(
= γβ1m −ei x1− ei + ....... + γβ n m −ei xn −ei
(
(
= m − ei γβ1 x1−ei + ....... + γβ n xn −ei = ( m)
ei e
⎛ n −e ⎞ ⎜ γ ∑ βi xi i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
))
)
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
.
linear dan berderajat satu. Oleh karena itu, untuk pembahasan selanjutnya kita asumsikan bahwa nilai e i = e untuk memenuhi sifat kehomogenan linear. Bila diasumsikan nilai e i = e maka Persamaan (3.3.4) menjadi sebagai berikut: ⎛ n −e ⎞ Y = ⎜ γ ∑ βi ( mxi ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
(
= γβ1m −e x1−e + ....... + γβ n m − e xn − e
( (γβ x
= m
Dari Persamaan (3.3.4) dapat dilihat bahwa apabila nilai e i ≠ e maka fungsi produksi croppes tidak menunjukkan homogen secara
−e
−e
1 1
+ ....... + γβ n xn
⎛ n ⎞ = m ⎜ γ ∑ βi xi −e ⎟ ⎝ i =1 ⎠
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
−e
))
⎛1⎞
) ⎜⎝ ⎟⎠ −
e
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
.
(3.3.5) Dari Persamaan (3.3.5) dapat dilihat bahwa fungsi produksi croppes adalah homogen secara linear dan berderajat satu. Asumsi homogen secara linear ini akan sama dengan asumsi ekonomi mengenai return to scale yang konstan. Karena bersifat homogen secara linear, berarti kenaikan semua input sebesar m kali akan selalu menaikkan output sebesar m kali pula. Akibatnya, fungsi produksi croppes seperti halnya fungsi produksi homogen lainnya yang menunjukkan constant return to scale memenuhi syarat penerapan Teorema Euler. Teorema Euler menyatakan bahwa nilai sebuah fungsi yang homogen secara linear selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari hasil kali salah satu variabel bebas dengan turunan parsial orde pertama terhadap variabel tersebut. Secara ekonomi, sifat ini berarti bahwa pada kondisi constant return to scale, keuntungan ekonomi yang murni akan nol. Situasi ini merupakan gambaran keseimbangan jangka panjang pada pasar persaingan sempurna. Keuntungan ekonomi yang sebesar nol dalam keseimbangan jangka panjang itu merupakan hasil kekuatan persaingan melalui keluar dan masuknya perusahaan. c.
(3.3.4)
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
Memiliki
produktivitas
berkurang atau
2
∂ Y ∂xi 2
yang
<0.
Dari Persamaan (3.3.2) diperoleh
semakin
9
fungsi q, f, y akan bernilai positif. Karena fungsi produksi croppes memiliki return to scale yang konstan saat e i = e untuk semua i dengan e > 0 maka Persamaan (3.3.6) dapat dituliskan sebagai berikut
∂Y ei γβi (1+ e ) = Y ∂xi e xi ei +1
(
)
⎛ n ⎞ ∂Y ei = γβi xi −(ei +1) ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ ∂xi e ⎝ i =1 ⎠
⎛1⎞ − ⎜ ⎟ −1 ⎝e⎠
.
Turunkan persamaan di atas terhadap xi sehingga didapatkan ∂ 2Y ∂xi
2
=
− ( ei + 1) ei e
γβi xi −(ei + 2)Y 1+ e +
∂ 2Y
(
ei γβi xi −(ei +1) e
)
⎛1⎞ ⎛ −⎜ ⎟ − 2 ⎜⎛ 1 ⎞⎛ n − e +1 − ei ⎞ ⎝ e ⎠ − − x −γ ei βi xi ( i ) γ β 1 ⎜⎜ ⎟⎜ ∑ i i ⎟ e ⎝ ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎜ ⎝
(
e ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ (γ e β ) = − ⎜ ( ei + 1) i γβi xi −(ei + 2)Y 1+ e ⎟ + ⎜1 + ⎟ i i e e ⎝ ⎠ ⎝ e⎠
∂xi 2
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
(3.3.7) Sederhanakan menjadi
2
⎛1⎞ −⎜ ⎟ −1 −1 n n −2(ei +1) ⎛ −ei ⎞ ⎝ e ⎠ ⎛ −e ⎞ xi ⎜ γ ∑ βi xi ⎟ ⎜ γ ∑ βi xi i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
e ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ (γ e β ) = − ⎜ ( ei + 1) i γβi xi −(ei + 2)Y 1+ e ⎟ + ⎜1 + ⎟ i i e e ⎝ ⎠ ⎝ e⎠ ⎛ ⎞ xi −2(ei +1)Y 1+ e ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ ⎝ i =1 ⎠ n
2
−1
2 −e −1 ⎞ ⎞ e Y ⎛ ⎛ 1⎞ ( γ e β ) x i ⎛ n = (e +2) ⎜−( ei +1) i γβi +⎜1+ ⎟ i i i ⎜γ ∑βi xi−ei ⎟ ⎟ e e ⎝ e⎠ xi i ⎜⎝ ⎝ i=1 ⎠ ⎟⎠
⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟⎟ 1+e ⎜ γe β γeiβi Y ⎛ 1⎞ ⎟⎟ 1 1 e = (e +2) ⎜⎜ i i ⎜ + − + ( ) ⎜ ⎟ i ⎟⎟ xi i ⎜ e ⎜ ei ⎛ n −ei ⎞ ⎝ e ⎠ ⎜⎜ xi ⎜γ ∑βixi ⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎝ i=1 ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ γe β γeiβi Y ⎛ ei ⎞ ⎟⎟ . e e + − + 1 = (e +2) ⎜⎜ i i ⎜ ( ) i i ⎜ ⎟ ⎟⎟ xi i ⎜ e ⎜ ei ⎛ n −ei ⎞ ⎝ e ⎠ ⎜⎜ xi ⎜γ ∑βixi ⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎝ i=1 ⎠⎠ ⎝ 1+e
(3.3.6) Misalkan:
Φ=
Y
e +1
Persamaan
(3.3.7)
sehingga
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂Y Y ⎜ ( γβi )( γβi ) ( e + 1) − ( γβ ) ( e + 1) ⎟ = i ⎟ ∂xi2 xi(e+2) ⎜ e ⎛ n −e ⎞ ⎜⎜ xi ⎜ γ ∑ βi xi ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎝ i=1 ⎠ 1+e
2
1+e
θ=
⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ γβi Y 1+ e ⎜ ⎜ = (e + 2) ⎜ γβi e + 1) − ( e + 1) ⎟ ⎟⎟ . ( ⎜ ⎛ n ⎟ ⎞ xi ⎜ ⎜⎜ xi e ⎜ γ ∑ βi xi − e ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝ i =1
=
Y1+e xi(e+2)
(γβi )(γβi ) ⎛ n ⎞ xie ⎜ γ ∑ βi xi−e ⎟ ⎝ i=1 ⎠
( e +1) −
Y1+e xi(e+2)
(γβi ) ( e +1)
⎛ Y1+e ( γβ ) Y1+e ⎞ = ( γβi ) ( e + 1) ⎜ (e+2) e i−e − (e+2) ⎟ ⎜x ⎟ xi Y xi ⎝ i ⎠ ⎛ ⎛ Y ⎞e Y1+e ( γβ ) ⎛ Y ⎞e Y ⎞ i ⎟ − = ( γβi ) ( e + 1) ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ xi ⎠ xi xie+1 ⎜⎝ xi ⎟⎠ xi2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ e ⎛ ∂Y ∂xi Y ⎟ ⎛Y ⎞ = ( γβi ) ( e + 1) ⎜ ⎟ ⎜⎜ − 2⎟ xi x xi ⎟ ⎝ ⎠⎜ i ⎝ ⎠
⎛Y ⎞ = ( γβi ) ( e + 1) ⎜ ⎟ ⎝ xi ⎠
e
⎛ ⎛ ∂Y ⎞ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ∂xi ⎟⎠ xi Y ⎟ − 2 ⎟. ⎜ xi 2 xi ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠
(3.3.8) Persamaan (3.3.8) akan bernilai negatif jika ⎛ ∂Y ⎞ ⎜ ⎟ xi − Y < 0 . Karena fungsi produksi croppes ⎝ ∂xi ⎠
xi ei + 2
γ ei βi e ⎛
n
⎞
⎝
i =1
⎠
ψ = xi ei ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ ,
maka Persamaan (3.3.6) menjadi ⎡ ⎪⎧⎛ γβ ⎞ ⎛ e ⎞ ⎪⎫⎤ = θ ⎢Φ ⎨⎜ i ⎟⎜ ei + i ⎟ − ( ei + 1) ⎬⎥ . 2 e⎠ ∂ xi ⎭⎪⎦⎥ ⎣⎢ ⎩⎪⎝ ψ ⎠ ⎝ ∂ 2Y
Diasumsikan nilai ei dan e pada persamaan di atas adalah sama sehingga akan mengakibatkan
bersifat constant return to scale maka Teorema Euler berlaku, sehingga ⎛ ∂Y ⎞ xi ⎜ ⎟ − Y → xi fi − Y < 0 ⎝ ∂xi ⎠
terbukti bahwa
⎛ ⎜ karena ⎝
n
⎞
fi x i = Y ⎟ ∑ i =1 ⎠
∂ 2Y < 0. ∂xi 2
Nilai produktivitas marjinal yang negatif pada fungsi produksi croppes ini menunjukkan terjadinya diminishing return to scale yang artinya ketika input variabel yang digunakan
10
jumlahnya masih sedikit maka produk marjinal yang dihasilkan sangat tinggi. Tetapi semakin banyak input variabel tersebut digunakan, sementara input lain dibiarkan konstan maka
produk marjinal berkurang.
tersebut
akan
semakin
Gambar 2 Kurva Produksi Total dan Produk Marjinal
Keterangan: TP=total product MP=marginal product. Dari Kurva di atas, dapat dibagi menjadi tiga tahap produksi sebagai berikut: 1. Tahap 1, yaitu dari titik asal sampai titik A. Pada tahap ini, penambahan input produksi akan meningkatkan produk total. Namun bila perusahaan berhenti berproduksi pada tahap ini, perusahaan akan kehilangan kesempatan untuk mendapatkan keuntungan yang lebih besar lagi karena perusahaan sebenarnya masih dapat meningkatkan output produksinya hingga mencapai hasil yang lebih optimal. 2. Tahap 2, yaitu daerah antara titik A dan titik B. Pada tahap ini, karena berlakunya the law of diminishing return, maka produk marjinal mengalami penurunan. Namun nilainya masih positif. Penambahan input produksi akan tetap menambah produk total sampai mencapai nilai maksimum. 3. Tahap 3, yaitu saat MP (marginal product) bernilai nol yaitu di titik B. Pada tahap ini perusahaan tidak mungkin melanjutkan produksi, karena penambahan input produksi
justru menurunkan produksi total. Perusahaan akan mengalami kerugian. 3.4 Elastisitas parsial substitusi
Dalam pembahasan fungsi produksi croppes, ada hal penting lainnya yang perlu diketahui yaitu seberapa mudah menukarkan suatu input dengan input lainnya dalam proses produksi. Alat yang biasa digunakan untuk mengukur respon ini adalah elastisitas substitusi. Bentuk umum fungsi produksi croppes dengan asumsi e i = e untuk semua i dengan e > 0 dapat didefinisikan sebagai berikut ⎛ n ⎞ Y = ⎜ γ ∑ β i xi −e ⎟ ⎝ i =1 ⎠
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
.
( 3.4.1)
Misalkan dalam berproduksi perusahaan diasumsikan hanya menggunakan dua input produksi saja, yaitu input xr dan input xs sehingga fungsi produksinya menjadi Y=f(xr,xs) maka menurut definisi elastisitas substitusi diperoleh
11
⎛ ⎞ d ⎜ xs ⎟ ⎝ xr ⎠ σ rs = ⎛ fr ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ fs ⎠
Dengan
∂f ∂x r
= f r dan
⎛ ⎞ − rxs d ⎜ x s ⎟ = dx s x r dx xr2 ⎝ xr ⎠
fr fs . xs xr ∂f ∂x s
⎛ ⎛ f ⎞⎞ = dx 2s ⎜ x r + x s ⎜ s ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ xr ⎝ ⎝ fr ⎠ ⎠ = fs .
(3.4.2)
dx s fr x r 2
=
( )
( fr x r + fs x s ). ( 3.4.7 )
⎛ fr ⎞ ⎟ dapat dicari sebagai berikut ⎝ fs ⎠
Turunan d ⎜
⎛f ⎞ ⎛ f ∂⎜ r ⎟ ∂⎜ r f f ⎛ fr ⎞ d ⎜ ⎟ = ⎝ s ⎠ dx r + ⎝ s ∂x r ∂x s ⎝ fs ⎠
⎞ ⎟ ⎠
terhadap xs )
=
( 3.4.3)
fr = − dx s fs dx r ⎛ fs ⎞ ⎟ dx s . ⎝ fr ⎠
sehingga dx r = − ⎜
( 3.4.4 )
Substitusikan Persamaan (3.4.4) ke Persamaan (3.4.3) sehingga ⎛f ∂⎜ r f ⎛ fr ⎞ d⎜ ⎟= ⎝ s ∂x r ⎝ fs ⎠ ⎛ ⎜ = dx s ⎜⎜ fr ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎛ f ⎞ ∂⎜ r ⎟ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎠ − fs ⎝ fs ⎠ ⎜⎜ ⎜ ⎟ dx s ⎟⎟ + dx s ∂x s ⎝ ⎝ fr ⎠ ⎠ ⎛ f ⎞ ⎛ f ⎞⎞ ∂⎜ r ⎟ ∂⎜ r ⎟ ⎟ f f f r ⎝ s ⎠ − f s ⎝ s ⎠ ⎟⎟ . ∂x s ∂x r ⎟ ⎟ ⎠
⎛ fr ⎞ ⎟. ⎝ fs ⎠
Dengan menggunakan Persamaan (3.4.5) dan (3.4.7) diperoleh dx s ⎛ ⎞ ( fr x r + fs x s ) d ⎜ xs ⎟ fr x r 2 ⎝ xr ⎠ = ⎛ f ⎞ ⎛ ⎛ f ⎞ ⎛ f ⎞⎞ d⎜ r ⎟ ∂⎜ r ⎟ ⎟ ⎜ ∂⎜ r ⎟ f f f ⎝ s ⎠ dx s ⎜ fr ⎝ s ⎠ − fs ⎝ s ⎠ ⎟ ⎜ fr ∂x s ∂x r ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ fr x r + fs x s ) ( . = ⎛ ⎛ f ⎞ ⎛ f ⎞⎞ ∂⎜ r ⎟ ⎟ ⎜ ∂⎜ r ⎟ f f 2 x r ⎜⎜ f r ⎝ s ⎠ − f s ⎝ s ⎠ ⎟⎟ ∂x s ∂x r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
( )
( )
( 3.4.8)
Substitusikan Persamaan (3.4.8) ke Persamaan (3.4.2) untuk mencari elastisitas substitusi
( 3.4.5)
Turunan dari rasio antara xs dan xr dinotasikan ⎛ ⎞ dengan d ⎜ x s ⎟ , dan nilainya adalah sebagai ⎝ xr ⎠
⎛ ⎞ d ⎜ xs ⎟ ⎝ xr ⎠ σ rs = ⎛ fr ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ fs ⎠ =
berikut ⎛ ⎞ − rxs . d ⎜ x s ⎟ = dx s x r dx 2 xr ⎝ xr ⎠
⎞
⎝ xr ⎠
dx s .
Dari definisi RTS (xr terhadap xs) diperoleh RTS( xr
⎛
Selanjutnya akan dicari rasio d ⎜ x s ⎟ d ⎜
(x ) 2
r
( 3.4.6 ) =
Substitusikan Persamaan (3.4.4) ke Persamaan (3.4.6) sehingga
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
fr fs xs xr
( fr x r + fs x s ) ⎛ f ⎞ ⎛ f ∂⎜ r ⎟ ∂⎜ r f f fr ⎝ s ⎠ − fs ⎝ s ∂x s ∂x r
⎛ fr ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ fs ⎠ ⎞ ⎞ xs ⎟⎟ x ⎠⎟ r ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
fr ( fr x r + fs x s ) ⎛ ⎛ f ⎞ ⎛ f ∂⎜ r ⎜ ∂⎜ r ⎟ f f fs x r x s ⎜ fr ⎝ s ⎠ − fs ⎝ s ⎜ ∂x s ∂x r ⎜ ⎜ ⎝
⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
.
( 3.4.9 )
12
( ) f −( f ) f
2 f r f s f rs − f r
f f ∂ ⎛⎜ r ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ r ⎞⎟ fs ⎠ fs ⎠ ⎝ ⎝ Nilai dan diberikan oleh ∂x s ∂x r
∂ ⎛⎜ ⎝
fr
⎞ f s ⎟⎠
∂x s ∂ ⎛⎜ ⎝
fr
⎞ f s ⎟⎠
∂x r
=
=
f rs f s − f r f ss
f
( 3.4.10 )
2
s
f rr f s − f r f sr
fs
2
( 3.4.11)
.
Berdasarkan Teorema Young maka berlaku frs = fsr sehingga dengan menyubstitusikan Persamaan (3.4.10) dan Persamaan (3.4.11) ke Persamaan (3.4.9) maka akan diperoleh σ rs =
=
=
=
=
fr ( fr x r + fs x s ) ⎛ ⎛ f f −f f ⎞ ⎛f f −f f f s x r x s ⎜ f r ⎜ rs s 2 r ss ⎟ − f s ⎜ rr s 2 r sr ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ fs fs ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ fr ( fr x r + fs x s ) ⎛ f f s ⎛ f rr f s − f r f sr r x r x s ⎜ ( f rs f s − f r f ss ) − ⎜ 2 ⎜ fs fs ⎜ fs ⎝ ⎝ fr f s ( fr x r + f s x s )
⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠
⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠
x r x s ( f r ( f rs f s − f r f ss ) − f s ( f rr f s − f r f ) )
(
fr fs ( fr x r + fs x s )
Frs ( f r x r + f s x s ) xr xs F
Didefinisikan:
0
fs
F = fs fr
f ss f sr
ss
s
rr
s
>0.
( 3.4.13)
Untuk membuktikan Persamaan (3.4.13), cukup dibuktikan bahwa f rs > 0, f rr dan f ss <0 . Nilai f rs dapat dicari dengan menurunkan fungsi produksi terhadap variabel xr dan xs. Berdasarkan Teorema Young berlaku frs = fsr sehingga f rs = f sr = γβ r ( e + 1)
Ye f s ( xr ) e +1 e
⎛Y ⎞ f = γβ r ( e + 1) ⎜ ⎟ s . ⎝ xr ⎠ xr Karena xr dan f s bernilai non negatif, serta diasumsikan semua parameter bernilai positif, terbukti bahwa frs = fsr >0 .
Produktivitas marjinal ( f rr dan f ss ) selalu bernilai negatif, dan nilainya dapat dicari sebagai berikut: f = γβ ( e + 1) Y e f x −( e +1) − ( e + 1) Y e +1x −( e + 2 ) rr
r
(
r r
r
)
e e ⎛ ⎛ Y ⎞ f r ⎛ Y ⎞ Y ⎞⎟ = γβ r ( e + 1) ⎜ ⎜ − ⎜⎜ x ⎟ xr ⎜ x ⎟ x 2 ⎟⎟ ⎝ r⎠ r ⎠ ⎝⎝ r ⎠
(
2
ss
rr
e
( 3.4.12 ) 2
s
= γβ r ( e + 1) ⎜
.
( ) f −( f ) f
F = 2 f r f s f rs − f r
2
2
ss
⎛ Y ⎞ ⎡ f r xr − Y ⎤ ⎥ ⎟ ⎢ 2 ⎥⎦ ⎝ xr ⎠ ⎢⎣ xr f ss = γβ s ( e + 1) Y e f s xs −( e +1) − ( e + 1) Y e + 1xs −( e + 2 )
( ) f −( f ) f )
x r x s 2 f r f s f rs − f r
2
2
rr
fr f rs = bordered determinant f rr
Frs = fr fs adalah kofaktor dari frs pada F.
Nilai elastisitas substitusi pada persamaan (3.4.12) selalu bernilai positif. Karena Fungsi produksi croppes bersifat neoklasik, maka input produksi (dalam hal ini input xs dan input xr) dan produk marjinal ( f s dan f r ) selalu bernilai non-negatif. Oleh karena itu, untuk menunjukkan bahwa nilai elastisitas substitusi adalah positif, maka kita tinggal membuktikan bahwa
)
⎛ ⎛ Y ⎞ f s ⎛ Y ⎞ Y ⎞⎟ = γβ s ( e + 1) ⎜ ⎜ − ⎜⎜ x ⎟ x ⎜ x ⎟ x 2 ⎟⎟ s ⎝ s ⎠ s ⎠ ⎝⎝ s ⎠ e
e
e
⎛ Y ⎞ ⎡ f s xs − Y ⎤ ⎥ . ⎟ ⎢ 2 ⎥⎦ ⎝ xs ⎠ ⎢⎣ xs
= γβ s ( e + 1) ⎜
Untuk menunjukkan f rr dan f ss bernilai negatif, maka cukup dibuktikan bahwa f r xr − Y dan f s xs − Y kurang dari nol. Karena fungsi produksi mempunyai return to scale yang konstan, maka Teorema Euler berlaku sehingga berlaku f r xr − Y < 0 dan f s xs − Y < 0 ( karena f r xr + f s xs = Y ) dengan hasil ini terbukti bahwa f rr dan f ss <0 .
13
Persamaan (3.4.12) dapat diperluas untuk penggunaan sejumlah n input produksi menjadi n
fi x i ∑ F rs i =1
σ rs = x x r s
F
.
(3.4.14)
Penerimaan total (Revenue) sama dengan jumlah output (Y) dikalikan dengan harga jual output (PY). Secara matematis dinotasikan sebagai berikut R = PY Y
= g (Y ) Y = g ( f ( xi ) ) f ( xi ) .
Dengan: F=
0 f1
f1 … f11 …
fn f1n
fn
f n1 …
f nn
= bordered determinant
Frs=kofaktor dari frs pada F.
3.5 Pengoptimuman input produksi
1
( 3.5.1)
Sedangkan PY adalah harga output yang didefinisikan sebagai berikut PY = g (Y ) . ( 3.5.2 )
Misalkan P=(P1,P2,P3,….,Pn) adalah vektor harga dari input produksi. Pi dengan i=1,2,3,....n diasumsikan positif. Sementara itu, didefinisikan pula x=(x1,x2,….,xn) sebagai vektor input produksi yang meminimumkan biaya. Karena permintaan input produksi perusahaan dipengaruhi oleh harganya, maka persamaan untuk input produksi dapat dituliskan sebagai berikut xi = f ( P i ) i = 1, 2,.........n dengan: Pi= harga input produksi ke-i xi = banyaknya input produksi ke-i.
C = ∑ Pi xi .
(3.5.4)
i =1
Keuntungan adalah nilai penerimaan total perusahaan dikurangi biaya total yang dikeluarkan perusahaan. Jika keuntungan dinotasikan dengan π maka π = penerimaan total - biaya produksi n
Pada pembahasan ini, kita akan mencari solusi input produksi yang didasarkan pada pemaksimuman keuntungan. Diasumsikan perusahaan berproduksi pada pasar persaingan sempurna. Bentuk umum fungsi produksi croppes dengan asumsi e i = e untuk semua i dengan e > 0 adalah sebagai berikut −
Total biaya produksi perusahaan (cost) adalah jumlah dari semua perkalian input produksi dengan harganya. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut n
Persamaan (3.4.14) digunakan untuk mencari nilai elastisitas parsial substitusi antara input xr dengan input xs , sedangkan banyaknya input produksi yang lain ( xi dengan i≠r dan i≠s) dipertahankan tetap konstan.
⎛ n ⎞ e Y = ⎜ γ ∑ βi xi −e ⎟ . i = 1 ⎝ ⎠
(3.5.3)
= PY Y − ∑ Pi xi i =1
n
= g ( f ( xi ) ) f ( xi ) − ∑ Pi xi . i =1
(3.5.5)
Dalam karya tulis ini, ada dua kasus yang akan diamati. Kasus pertama ketika input kapital (dalam tulisan ini berarti tanah) telah ditetapkan dalam persediaan sementara input lain bersifat elastis sempurna. Pada kasus kedua input tanah dan input tenaga kerja telah ditetapkan, sedangkan input lain tersedia dalam industri pada saat harganya mengalami kenaikan. Kasus 1 Asumsi yang digunakan: i. Input tanah bernilai tetap dinotasikan dengan xa=ao. ii. Input produksi lain bersifat elastis sempurna.
Penerimaan total sama dengan jumlah output (Y) dikalikan dengan harga jual (PY). R = PY Y
= g ( f ( xi ) ) f ( xi ) .
( 3.5.6 ) Sementara itu, fungsi biaya produksinya adalah n −1
C = ∑ Pi xi i =1
dengan i ≠ a .
(3.5.7)
14
Kondisi untuk memaksimumkan keuntungan dapat dituliskan sebagai berikut: ⎡
n −1
⎤
⎣
i =1
⎦
Maksimumkan ⎢ PY Y − ∑ Pi xi ⎥ untuk semua i kecuali a terhadap kendala xa=ao dengan xa = input tanah yang bernilai tetap. (3.5.8) Persamaan (3.5.8) dapat dituliskan dalam bentuk Lagrange sebagai berikut: n −1
Z = PY Y − ∑ Pi xi + λ ( ao − xa ) i =1
n −1
= g ⎣⎡ f ( xi ) ⎦⎤ f ( xi ) − ∑ Pi xi + λ ( ao − xa ) . i =1
( 3.5.9 )
Kondisi orde pertama dari Persamaan (3.5.9) adalah ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎣⎡ f ( xi ) ⎦⎤ + f ( xi ) − Pi = 0 ∂xi ∂xi ∂f ( xi ) ∂xi ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi )
∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) ∂xa ∂xa ∂f ( xi )
∂Z = ao − xa = 0. ∂λ
∂xa
−λ = 0
Kasus 2 Asumsi yang digunakan: i. Input tanah bernilai tetap dinotasikan dengan xa=ao. ii. Input tenaga kerja ditetapkan menurut fungsi tingkat upah dinotasikan dengan xl. iii. Input produksi lain tersedia dalam industri saat harganya mengalami kenaikan.
Bentuk umum fungsi input tenaga kerja adalah sebagai berikut xL = τ W (3.5.11) dengan W = tingkat upah dan t >1. Ubah Persamaan (3.5.11) ke dalam bentuk logaritma natural menjadi ln ( xL ) = W ln τ W=
( 3.5.10 )
Solusi xi dan λ dari Persamaan (3.5.10) adalah 1 ⎞ e +1
⎛ βi Pa ⎟ ⎝ β a Pi ⎠
xi = ao ⎜
mengakibatkan harga input tersebut akan naik. Namun, karena input produksi bersifat substitusi, maka perusahaan dapat menggunakan input penggantinya yang tidak mengalami kenaikan harga sehingga biaya produksi perusahaan tetap konstan.
λ = Pa .
Penentuan solusi xi dan λ ini dapat dilihat pada Lampiran 3.
ln τ
.
( 3.5.12 )
Penerimaan total sama dengan jumlah output (Y) dikalikan dengan harga jual (PY). R = PY Y
= g ( f ( xi ) ) f ( xi ) .
( 3.5.13) Sementara itu, fungsi biaya produksinya adalah n−2
C = ∑ Pi xi i =1
Dari hasil analisis dapat dilihat bahwa λ menyatakan harga dari input tanah. Selain itu, diperoleh solusi input optimal sebesar xi yang juga dipengaruhi oleh input tetap tanah. Diasumsikan input produksi bersifat elastis sempurna. Berdasarkan asumsi ini, maka input produksi merupakan barang-barang yang mempunyai sifat substitusi. Artinya bila suatu input produksi mengalami kenaikan harga maka perusahaan akan beralih ke input produksi penggantinya. Dalam jangka panjang pasar persaingan sempurna, masuknya perusahaan baru menyebabkan permintaan terhadap suatu input produksi mengalami peningkatan. Hal ini
ln ( xL )
dengan i≠L dan i≠a. (3.5.14)
Kondisi untuk memaksimumkan keuntungan dapat dituliskan sebagai berikut: ⎡
Maksimumkan ⎢ PY Y − ⎣⎢
⎛ n−2 ⎞⎤ ln xL xL − ⎜ ∑ Pi xi ⎟ ⎥ ln τ ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥
untuk semua i kecuali L dan a terhadap kendala xa = ao dengan xa = input tanah yang bernilai tetap. (3.5.15) Persamaan (3.5.15) dapat dituliskan dalam bentuk Lagrange menjadi
15
Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ f ( xi ) −
ln ( xL )
⎛ n −2 ⎞ xL − ⎜ ∑ Px i i ⎟ + λ ( ao − xa ) . lnτ ⎝ i =1 ⎠
( 3.5.16)
Kondisi orde (3.5.16) adalah
pertama
untuk
Persamaan
∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) − Pi = 0 ∂xi ∂xi ∂f ( xi ) ∂xi ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎣⎡ f ( xi )⎦⎤ + f ( xi ) ∂xL ∂xL ∂f ( xi ) ∂xL
⎛ 1 ⎞ −⎜ ⎟ (1+ ln ( ∂xL ) ) = 0 ⎝ lnτ ⎠ ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) −λ = 0 ∂xa ∂xa ∂f ( xi ) ∂xa
∂Z = ao − xa = 0. ∂λ
( 3.5.17)
Penentuan solusi xi dan λ ini dapat dilihat pada Lampiran 3. Berdasarkan analisis pada kasus kedua, diperoleh dua solusi input produksi optimal yang dipengaruhi oleh input tetapnya. Solusi yang pertama dipengaruhi oleh input tetap tanah sedangkan solusi yang kedua dipengaruhi oleh input tetap tenaga kerja. Dalam jangka panjang pasar persaingan sempurna, masuknya perusahaan baru menyebabkan permintaan terhadap suatu input meningkat. Diasumsikan input produksi mengalami kenaikan harga. Semakin banyak perusahaan yang memasuki pasar persaingan sempurna menyebabkan permintaan terhadap input akan naik. Akibatnya harga input juga akan menjadi semakin mahal, sehingga dalam jangka panjang perusahaan akan menanggung beban biaya produksi yang lebih besar akibat kenaikan harga input tersebut.
Dari Persamaan (3.5.17) diperoleh solusi λ dan xi , yaitu: 1
1
⎛ β P ⎞ e +1 ⎛ β P ⎞ e +1 xi = ao ⎜ i a ⎟ atau xi = τ W ⎜ i L ⎟ β P ⎝ β L Pi ⎠ ⎝ a i ⎠ λ = Pa .
IV. STUDI KASUS
Masalah yang akan dicontohkan di sini adalah kegiatan produksi suatu perusahaan yang memiliki fungsi produksi bersifat constant return to scale. Asumsi yang digunakan adalah: i. Semua input produksi yang digunakan meningkat secara proporsional. ii. Harga input x1 mengalami kenaikan sedangkan harga input x2 dan input x3 bernilai tetap. Dalam produksinya, perusahaan menggunakan tiga input produksi sehingga bentuk umum fungsi produksinya adalah sebagai berikut berikut
(
Y = γβ1 x1−e + γβ 2 x2 −e +γβ 3 x3−e ⎛ 3 ⎞ = ⎜ γ ∑ βi xi −e ⎟ ⎝ i =1 ⎠
⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠
.
)
−1 e
(1)
Dengan: Y = output produksi x1 = banyaknya input ke-1, yaitu tanah x2 = banyaknya input ke-2, yaitu tenaga kerja x3 = banyaknya input ke-3, yaitu modal b1, b2, b3 = parameter distribusi e = parameter substitusi g = parameter efisiensi. Data ketiga input produksi tersebut adalah sebagai berikut:
