Rovinné nosníkové soustavy III Příhradový nosník. Zjednodušená styčníková metoda. Rovinný kloubový příhradový nosník

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Rovinné nosníkové soustavy III Příhradový nosník Zjednodušená styčníková metoda • Rovinný kloubový příhradový nosník Skladba rovinného příhradového nosníku Podmínka statické určitosti příhradového nosníku Zjednodušená styčníková metoda Mimostyčníkové zatížení Nezatížené pruty Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Eiffelova věž, Paříž

324 m vysoká ocelová věž z r.1889, hloubka základů 14 m, 9 547 t oceli, 2,5 mil. nýtů, půdorys 1,6 ha, 1 792 schodů, 8 výtahů, projekt a stavba inženýr Gustav Eiffel (1832-1923) 2

Rovinný kloubový příhradový nosník Rovinný kloubový příhradový nosník vznikne kloubovým spojením konců přímých prutů. Osy všech prutů, vazby i zatížení (zpravidla jen styčníkové) leží ve svislé souřadnicové rovině xz. V prutech vznikají zpravidla jen normálové (osové) síly. Výjimka: mimostyčníkové zatížení viz. samostatná kapitola v následující přednášce

Rovinný kloubový příhradový nosník 3

Skladba rovinného kloubového příhradového nosníku • Pásy mohou být přímé a lomené • Svislice (příčky) – zde chybí

F2

F1

g

f

e

Rax

Styčníkové zatížení

F3

a

b c

d

Raz

Rbz Dolní pás (tah)

Diagonály

Horní pás (tlak) 4

Skladba rovinného kloubového příhradového nosníku Kyvné pruty (1-11) – vnitřní vazby – jednonásobné, neboť: -kloubové připojení na obou koncích -styčníkové zatížení (prut nezatížen vnějším zatížením)

F2

F1

N4

e

N1

N5

a

N7

N2

N11

N6 c

g

N9

N3 Rax

N8

f

F3

N10 d

Raz Hmotné body – styčníky (a-g)

b

Rbz Vnější vazba (reakce)

5

Stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku v rovině

v  ve  vi

vi  p

ve  a1  2.a2 nv  2.ns

v ... celkový počet vazeb soustavy

vi ... počet vnitřních vazeb soustavy nv ... počet stupňů volnosti soustavy p ... počet vnitřních prutů ns ... počet bodů (v každém z nich 1 neznámá osová síla) (styčníků) v soustavě ve ... počet vnějších vazeb soustavy a1 ... počet jednonásobných vazeb a2 ... počet dvojnásobných vazeb nv = v nv < v nv > v

Příhradový nosník: soustava ns bodů (styčníků) vzájemně propojených jednonásobnými vazbami (pruty p)

staticky (i kynematicky) určitá soustava staticky neurčitá (kinematicky přeurčitá soustava) staticky přeurčitá (kinematicky neurčitá soustava)

Stupeň statické neurčitosti

s  v  nv

6

Sydney, Harbour Bridge

Nejvyšší obloukový most na světě s výškou 134 m, délka 1149 m, největší rozpětí 509 m, šest milionů kusů nýtů z Vítkovických železáren, projekt a stavba Dorman Long and Co Ltd (1923-1932) Zdroj: www.wikipedia.org. 7

Zjednodušená styčníková metoda – postup výpočtu l=3 F1=5kN

Rbx

1) Stupeň statické neurčitosti

F2=12kN c

a

h=1,5 h=1,5

Rax

Raz

l=3

2) Geometrie soustavy tady stačí pouze goniom. funkce úhlu α

e

3) Vnější vazby: výpočet reakcí z podmínek rovnováhy 4) Vnitřní vazby: výpočet normálových sil v prutech

d L  l 2  h2



sin   h / L

a) Odstranit pruty a nahradit interakcemi v kladném směru → ven ze styčníků

cos   l / L

b

prut ce

c a

N3

N1 N4

N5 d

N6 b

c

N2

e

c

e

kladná N na prutu ce

e

(platí 3. Newtonův zákon akce a reakce)

N7 b) Podmínky rovnováhy ve styčnících styčník = bod →2 podmínky rovnováhy

F

ix

0

F

iz

0

8

Příklad: statická určitost, geometrie, reakce Zadání:

l=3 Raz

Rax

F1=5kN

L  l 2  h2 L  3,3541m

F2=12kN c

a

h=1,5 h=1,5

Geometrie:

l=3

e

sin   h / L cos   l / L sin   0,447 cos   0,894

Rozbor statické určitosti: ns=5, p=7, a1=1, a2=1 v  ve  vi  a1  2.a2  p  10

d

nv  2.ns  10 s  v  nv  0 … staticky určitý



Rbx

b

Výpočet reakcí z podmínek rovnováhy:

1.  Fiz  0 2.

M

ia

0

3.

M

ib

0

4. Fix  0

Kontrola (proč Fix?)

10

Možnosti řešení příhradových konstrukcí • •

Grafické řešení – Cremonovy obrazce Početní/numerické řešení: Styčníková metoda Průsečná metoda Deformační metoda / Metoda konečných prvků

• • • • •

Scia Engineer Scipio B-2D

Výstup z programů Scipio a Scia Engineer

12

Grafické řešení – Cremonovy obrazce Rax

F1=5kN

Raz

N1

a

c

N4

N5

F2=12kN

N2

e

Styčník e

N7

N3

F2 N6

d

N2 e

 Rbx

b

Luigi Cremona (1830-1903)

N7 Tlak

F2

N7 Počáteční bod Měřítko např.

Tah

N2

3kN = 1cm

F2=12kN=4cm rovnoběžka s prutem 2

Koncový bod

Důležité pravidlo pro vykreslování uzavřeného obrazce sil: Jako první vynášíme známé síly a potom síly neznámé. Nutno dodržet pořadí všech vynášených sil (proti směru hod. ručiček) 13

Příklad: výpočet vnitřních sil - styčník b (styčníková metoda ) Nutno začít styčníkem spojujícího 2 pruty (b nebo e) - jsou pouze 2 neznámé F1=5kN

Raz

Rax

N1

a

c

N4

N5

F2=12kN

N2

e

17 kN ↑

Rbx

29 kN→

N3 N4 N5

N3

d

N6

 Rbx

b

Raz

N2

N7

N3

Rbx

29 kN←

N1

Styčník b N6

Rax

b

N6 N7

sin   0,447 cos   0,894

Podmínky rovnováhy ve styčníku b 1.

F

0

2.

F

0

ix

iz

14

Příklad: výpočet vnitřních sil - styčník a Volba dalšího styčníku tak, aby další 2 sestavené rovnice obsahovaly pouze 2 neznámé Rax 29 kN← F1=5kN F2=12kN Raz 17 kN ↑ Raz Rax N1 N2 Rbx 29 kN→ c a e

N5

N1

N7

N2

N4

N3

Styčník a

N4

N3 N6



b

Podmínky rovnováhy ve styčníku a 1.

F

0

2.

F

0

ix

iz

N6

a

Rax Rbx

N5

Raz

d

N3

14,5kN

N1 N4

-32,423 kN

N7

sin   0,447 cos   0,894

16

Příklad: výpočet vnitřních sil - styčník c Volba dalšího styčníku tak, aby další 2 sestavené rovnice obsahovaly pouze 2 neznámé Rax 29 kN← F1=5kN F2=12kN Raz 17 kN ↑ Raz Rbx 29 kN→ Rax N1 N2 c a e

N4

N5

N7 Styčník c

N6

d

2.

c

b

F

iz

N3

14,5kN

N4

5,59 kN

N5

F1=5kN N1

Podmínky rovnováhy ve styčníku c 1.  Fix  0

24 kN

N2

N3

Rbx

N1

N2

N6

-32,423 kN

N7

sin   0,447 cos   0,894

N5

0 18

Příklad: výpočet vnitřních sil - styčník e F1=5kN

Raz

Rax

N1

a

c

N4

N5

F2=12kN

N2

e

N7 Styčník e

N3 N6

F2=12kN

d

N2 Rbx

e



b

N7

e

Rax

29 kN←

Raz

17 kN ↑

Rbx

29 kN→

N1

24 kN

N2

24kN

N3

14,5kN

N4

5,59 kN

N5

-5 kN

N6

-32,423 kN

N7

sin   0,447 cos   0,894

Podmínky rovnováhy ve styčníku e

F

0

2.  F

0

1.

ix

iz

→ pouze kontrola 21

Příklad: výpočet vnitřních sil – kontrola - styčník d F1=5kN

Raz

Rax

N1

a

c

N4

N5

F2=12kN

N2

Rax

29 kN←

Raz

17 kN ↑

Rbx

29 kN→

N1

24 kN

N2

24kN

N3

14,5kN

N7

N4

5,59 kN

N5

-5 kN



N6

-32,423 kN

N7

-26,83 kN

e

N7

N3

Styčník d N6

N4

d

N5

 Rbx



b

d

sin   0,447 cos   0,894

N6

Podmínky rovnováhy ve styčníku d ix

0



 N 4 . cos   N 6 . cos   N 7 . cos   0

Kontrola

iz

0



 N 4 . sin   N 5  N 6 . sin   N 7 . sin   0

Kontrola

F 2.  F 1.

23

Příklad: vliv volby pořadí styčníků na složitost výpočtu F1=5kN

Raz

Rax

N1

a

N2

c

N4

F2=12kN e

N7

N5

Rbx

b

Styčník c

d

Styčník e F2=12kN

F1=5kN N1

N2

e



c

ix

iz

0 0

 

N2

17 kN ↑

Rbx

29 kN→

N1

24 kN

N2

24kN

 N 4 . cos   N 6 . cos   N 7 . cos   0  N 4 . sin   N 5  N 6 . sin   N 7 . sin   0

N4

5,59 kN

N5

-5 kN

N6

-32,423 kN

N7

-26,83 kN

Styčník d

N5

Podmínky rovnováhy ve styčníku d nyní vedou na soustavu 2 rovnic o 2 neznámých - nepraktické

F 2.  F

Raz

sin   0,447 cos   0,894

e

N7

1.

29 kN←

N3

N3 N6

Rax

N4

N5



N7





d

N6

24

Stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku v rovině

v  ve  vi

vi  p

ve  a1  2.a2 nv  2.ns

v ... celkový počet vazeb soustavy

vi ... počet vnitřních vazeb soustavy nv ... počet stupňů volnosti soustavy p ... počet vnitřních prutů ns ... počet bodů (v každém z nich 1 neznámá osová síla) (styčníků) v soustavě ve ... počet vnějších vazeb soustavy a1 ... počet jednonásobných vazeb a2 ... počet dvojnásobných vazeb nv = v nv < v nv > v

Příhradový nosník: soustava ns bodů (styčníků) vzájemně propojených jednonásobnými vazbami (pruty p)

staticky (i kynematicky) určitá soustava staticky neurčitá (kinematicky přeurčitá soustava) staticky přeurčitá (kinematicky neurčitá soustava)

Stupeň statické neurčitosti

s  v  nv

25

Stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2

F1 N4

e

N1

a

N8

f

N5 N7

N2

N11

N6 c

Raz

g

N9

N3 Rax

F3

v  ve  vi  a1  2.a2  p  14

N10

b

d

nv  2.ns  14

Rbz

s  v  nv  0 ... s.urč .

ns=7

počet styčníků (v každém z nich 2 podmínky rovnováhy)

p=11

počet vnitřních prutů (v každém z nich 1 neznámá osová síla)

a1=1, a2=1

počet jedno a dvojnásobných vazeb (1 nebo 2 neznámé složky reakcí) 26

Příklad - stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2

F1 c

d

N5 N3

N1 a

ns=4 N4

a1=1

N2

b

Rax Raz

p=5

a2=1

Rbz

v  ve  vi  a1  2.a2  p  8 nv  2.ns  8 s  v  nv  0

Staticky i kinematicky určitý rovinný kloubový příhradový nosník 27

Příklad - stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2

F1 N5

c

Není kloubový styčník

N3

d

ns=4

N6

N1

N4

p=6 a1=1

a

N2

b

Rax Raz

a2=1

Rbz

v  ve  vi  a1  2.a2  p  9 nv  2.ns  8 s  v  nv  1

1x staticky (vnitřně) neurčitý rovinný kloubový příhradový nosník (kinematicky přeurčitý) 28

Příklad - stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2

F1 N5

c

Není kloubový styčník

N3

d

ns=4

N6

N1

p=6

N4

a1=0 a

N2

b

Rax

Rbx Raz

v  ve  vi  a1  2.a2  p  10 nv  2.ns  8

s  v  nv  2

a2=2

Rbz 2x staticky (vnitřně i zevně) neurčitý rovinný kloubový příhradový nosník (kinematicky přeurčitý) 29

Příklad - stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2

F1 N5

c

Je kloubový styčník

N3

d

N1 a

ns=5

N6 N8

N7

N2

Rbx Raz

v  ve  vi  a1  2.a2  p  12

s  v  nv  2

a1=0 b

Rax

nv  2.ns  10

p=8

N4

a2=2

Rbz 2x staticky (vnitřně i zevně) neurčitý rovinný kloubový příhradový nosník (kinematicky přeurčitý) 30

Mimostyčníkové zatížení prutu 4 V prutu č. 4 vznikne v důsledku mimostyčníkového zatížení rovněž V a M. q = konst.

e

d

h=3

4 5

1 Rax

3

7



a

b

2 Raz

c

6 F1

b=4

Rbz b=4 31

Mimostyčníkové zatížení – uvolnění prutu 4 q = konst. N4

d

Postup řešení: e

N4 Zatížení styčníkové

Rd

Zatížení mimostyčníkové

Re

Rd

1) Reakce celé příhradové konstrukce (obr. na předešlém snímku)

N4

d

Re

N4

e

4

2) Uvolnění prutu 4

1

3) Reakce prutu 4 (jsou to vnitřní vazby (interakce) mezi prutem 4 a zbývající části konstrukce v bodech d a e) 4) Zatížit zbývající část konstrukce interakcemi Rd a Re (zákon akce a reakce) → zatížení mimostyčníkové převedeno na styčníkové

5 3

7 

Rax a

b

2 Raz

c

6 F1

Rbz

5) Vyřešit vnitřní síly v prutech N1 – N7 (metoda výpočtu libovolná) 6) Vyřešit další vnitřní síly prutu 4 (viz následující snímek)

32

Mimostyčníkové zatížení – uvolnění prutu 4 q = konst. N4

d

Postup řešení: e

N4 Zatížení styčníkové

Rd

Zatížení mimostyčníkové

Re

Rd

1) Reakce celé příhradové konstrukce (obr. na předešlém snímku)

N4

d

Re

N4

e

4

2) Uvolnění prutu 4

N1

3) Reakce prutu 4 (jsou to vnitřní vazby (interakce) mezi prutem 4 a zbývající části konstrukce v bodech d a e) 4) Zatížit zbývající část konstrukce interakcemi Rd a Re (zákon akce a reakce) → zatížení mimostyčníkové převedeno na styčníkové

5 N3

7 

Rax a

b

2 Raz

c

6 F1

Rbz

5) Vyřešit vnitřní síly v prutech N1 – N7 (metoda výpočtu libovolná) 6) Vyřešit další vnitřní síly prutu 4 (viz následující snímek)

33

Mimostyčníkové zatížení - řešení prutu 4

N4

Reakce

Q = q.l4

q = konst. d

e

N4

l4

Re

N4

+

p

V

Q q.l4   2 2

Ohybový moment



0

+

M

0

q.l4 2

M

L x

q.x 2 q  Rd .x   . l4 .x  x 2 2 2

q.l42 8



M d   M  x 0   0 M

l   x 4 2   

2º

Re 

l  V Lx  Rd  q.x  q. 4  x  2  q.l4  V d   V x 0   2 q.l Ve   V x l4    4   Re 2 l l  q. 4  x   0  xmax  4 2 2 

-

N q.l4 2

Q q.l4   2 2

Posouvající síla

x  0, l4

Rd

Rd 



M b   M  x l   0

q.l42  M  xmax   8 34

Nezatížené pruty – tzv. nulové pruty Působí-li ve styčníku 3 síly, z nichž 2 mají společnou nositelku, třetí síla je vždy nulová. Působí-li ve styčníku 4 síly, z nichž 2 mají společnou nositelku a jedna je nulová, potom čtvrtá síla je vždy nulová. Důkaz: ze silové podmínky rovnováhy: Součet všech sil působících ve styčníku ve směru kolmém ke společné nositelce dvou sil je roven nule.

N8

F

iz

N9

F

iz 

0

N 20, z  N 20  0

x´

N20=0 N21=0 z´

0

N21=0

N 21, z  N 21  0 N10

N11 35 7

Nezatížené pruty – význam tzv. nulových prutů l8 l9

l9 9

10

l10

l11

l10

Význam nulových prutů: „zkracují“ délky prutů a tím zabraňují velkým deformacím a ztrátě stability prutů. Více v předmětu Pružnost a plasticita

36 8

Okruhy problémů k ústní části zkoušky 1. Podmínka statické určitosti rovinného kloubového příhradového nosníku 2. Výpočet osových sil v prutech rovinného kloubového příhradového nosníku zjednodušenou styčníkovou metodou 3. Výpočet vnitřních sil v prutech rovinného kloubového příhradového nosníku namáhaného mimostyčníkovým zatížením 4. Pruty s nulovou normálovou silou

37