´ EGYPT STAROVEˇKY Prameny • na´pisy na kamenech • papyry – Rhindu˚v papyrus (XV. dynastie, kolem 1560 prˇ.Kr., opis starsˇ´ıho spisu obdobı´ 1853 azˇ 1809 prˇ. Kr.) – Moskevky´ papyrus (XIII. dynastie, asi 1797 azˇ 1634 prˇ.Kr., opis starsˇ´ıho spisu z XII. dynastie) – Ka´hu´nske´ papyry (XII. dynastie) – drˇeveˇne´ tabulky (XII. dynastie) – Kozˇeny´ svitek (XV. dynastie, asi 1634 azˇ 1526 prˇ. Kr.) – Berlı´nsky´ papyrus (XII. dynastie) – Papyrus Anastasi I (XIX. dynastie, asi 1292 azˇ 1186 prˇ. Kr.) • projevy egyptske´ civilizace (stavby, organizace spolecˇnosti,...)
2
3
Hieraticke´ pı´smo z XII. dynastie a jeho hieroglyficky´ prˇepis
4
Hieraticke´ pı´smo z XX. dynastie a jeho hieroglyficky´ prˇepis
5
De´meticke´ pı´smo ze 3. stol. prˇ. Kr. a jeho hieroglyficky´ prˇepis
6
˚ V PAPYRUS RHINDU • nejrozsa´hlejsˇ´ı a nejvy´znamneˇjsˇ´ı matematicky´ text ze stare´ho Egypta • opsa´n kolem roku 1560 prˇ. Kr. pı´sarˇem Ahmosem z materia´lu pocha´zejı´cı´ho z doby vla´dy Amenemheta III. (asi 1853 azˇ 1809) • nalezen v The´ba´ch v pol. 19. stoletı´ • prˇi vy´robeˇ slepen ze 14 listu˚, po na´lezu rozrˇ´ıznut na 2 cˇa´sti: 319 × 33 cm, 206 × 33 cm • 1858 jej koupil Alexander Henry Rhind (1833–1863) • dnes ulozˇen v Britske´m muzeu v Londy´neˇ • 87 u´loh s na´vody a rˇesˇenı´mi, tabulka 2/n
7
Skupiny u´loh v Rhindoveˇ papyru • u´lohy na vy´pocˇet objemu sy´pek • u´lohy na vy´pocˇet obsahu˚ polı´ • u´lohy ty´kajı´cı´ se pyramid • u´lohy na objemy tekutin a deˇlenı´ chlebu˚ • u´lohy ty´kajı´cı´ se krmiva pro zvı´rˇata
8
ˇ EVU ˚ V) PAPYRUS MOSKEVSKY´ (GOLENISˇC • 1893 jej zı´skal egyptolog V. S. Golenisˇcˇev (1856–1947) • 1912 veˇnova´n Pusˇkinoveˇ muzeu kra´sny´ch umeˇnı´ v Moskveˇ • papyrus, ktery´ byl po odstraneˇnı´ pu˚vodnı´ho textu pouzˇit znovu (pu˚vodnı´ text znatelny´, ale necˇitelny´) • novy´ text opisem starsˇ´ıho textu z XII. dynastie, opsa´n patrneˇ v dobeˇ XIII. dynastie (asi 1797 azˇ 1634) • 25 prˇ´ıkladu˚ • bez tematicke´ho usporˇa´da´nı´ (snad ucˇebnı´ pomu˚cka cˇi test znalostı´)
9
Zacˇa´tek Rhindova papyru 10
Rosettska´ deska 11
Kozˇeny´ svitek
12
ARITMETIKA ˇ ´ISEL ´ PIS C ZA Nepozicˇnı´ desı´tkova´ soustava:
meˇrˇicı´ hu˚l, kravı´ pouta, meˇrˇicı´ provazec, kveˇt lotosu, ukazova´k, pulec, klecˇı´cı´ postava (snad bu˚h vzduchu a prostoru). Prˇirozena´ cˇı´sla zapisova´na nahromadeˇnı´m potrˇebny´ch znaku˚
13
Prˇ´ıklad:
ˇ ´ısla 2 465, 2 123 013 C
14
Jednotky, desı´tky, stovky a tisı´ce v hieroglyficke´, hieraticke´ a de´moticke´ podobeˇ, u tisı´cu˚ ve starsˇ´ı a mladsˇ´ı hieroglyficke´ verzi:
15
ˇ ´ITA ˇ ´ITA ´ NI´ A ODC ´ NI´ SC shrnutı´ znaku˚ scˇı´tany´ch cˇı´sel, prˇ´ıpadneˇ nahrazenı´ 10 jednotek dane´ho rˇa´du jednotkou rˇa´du vysˇsˇ´ıho; podobneˇ prˇi odcˇı´ta´nı´ Prˇ´ıklad:
16
´ SOBENI´ NA postupne´ zdvojna´sobova´nı´ a secˇtenı´ vhodny´ch na´sobku˚: Prˇ´ıklad:
13 · 19 = 247,
17 · 27 = 459
\ 1 19 2 38 \ 4 76 \ 8 152
\
celkem 247
celkem 459
1 2 4 8 \ 16
27 54 108 216 432
17
ˇ LENI´ DE postupne´ zdvojna´sobova´nı´ deˇlitele, azˇ se deˇlenec slozˇ´ı z jeho vhodny´ch na´sobku˚ (poprˇ. vyuzˇitı´ desaterona´sobku cˇi peˇtina´sobku): Prˇ´ıklad:
980 : 70 = 14 1 70 \ 10 700 2 140 \ 4 280 celkem 980
18
ˇ ´ISLA ´ C ZLOMKY A SMI´SˇENA Stara´ rˇ´ısˇe: Zlomky
1 2 1 3 1 5 , , , , , 3 3 4 4 6 6
:
19
Strˇednı´ rˇ´ısˇe: Jen kmenne´ zlomky
1 n
a zlomek 23 , smı´sˇena´ cˇı´sla
Tabulky pro kmenne´ zlomky, naprˇ. 2 5 2 7 2 11 2 101
= = = =
1 1 + 15 3 1 1 + 28 4 1 1 + 66 6 1 1 + 202 101
+
1 303
+
1 606
20
21
Z dnesˇnı´ho pohledu: Pro n deˇlitelna´ 3: 2 3
=
1 2
+
1 6
Zobecneˇnı´: 2 3 2 n
=
·
1 2·
n 3
1 k
=
+
2 3k 1
2n
=
1
+
1
2k 6k 1 1 2=1 + 2 2
22
2 14 · 7 = 15 12
Prˇ´ıklad R53 (Rhindu˚v papyrus): 1
7
\ 2
14
1 2 1 4
3 12
\
1 4
1 12 14
celkem 15 12 14
23
28 : 5 = 5 51
Deˇlenı´ se zbytkem: \
1
1 1 3 15
5
2 10 \
4 20
\
1 5
1
1 5
2
\
2 5
=
1 3
+
celkem 28
24
ALGEBRA • Idea nezna´me´ velicˇiny (”hromada”) • Proble´my vedoucı´ na linea´rnı´ rovnice – prˇ´ıme´ deˇlenı´ – metoda chybne´ho prˇedpokladu Prˇ´ıklad: Hromada a jejı´ cˇtvrtina je dohromady 15 V nasˇem za´pise: x + x4 = 15 necht’ x1 = 4 . . . x + x4 = 5, musı´me vzı´t trˇikra´t vı´ce, tedy x = 12 • Proble´my vedoucı´ na jednoduche´ kvadraticke´ rovnice
25
• Proble´my vedoucı´ na aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti Prˇ´ıklad: Je trˇeba rozdeˇlit 10 meˇrˇic jecˇmene mezi 10 muzˇu˚ tak, aby meˇl druhy´ o 18 vı´ce nezˇ prvnı´, trˇetı´ o 18 vı´ce nezˇ druhy´, atd. Prˇ´ıklad: Je 7 domu˚, v kazˇde´m domeˇ 7 kocˇek, kazˇda´ kocˇka sezˇere 7 mysˇ´ı, kazˇda´ mysˇ sezˇere 7 klasu˚ psˇenice, z kazˇde´ho klasu by bylo 7 meˇrˇic zrna. Kolik je vsˇeho dohromady?
26
GEOMETRIE • Obsah obde´lnı´ka, troju´helnı´ka • Obsah lichobeˇzˇnı´ka . a+c b+d S= · 2 2 • Obsah kruhu . S=
2 8 d 9
...
π = 3, 16
• Objem krychle, kva´dru, va´lce (obilnice) • Objem cˇtyrˇboke´ho komole´ho jehlanu se cˇtvercovou podstavou V dnesˇnı´ symbolice: V =
h 3
· a2 + ab + b2
27
