Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje
Modul 03 - Technické předměty
Ing. Jan Jemelík
1
-
nauka o rovnováze kapalin a jejich účinku na tuhá tělesa
2.1 Základní pojmy Tlak – síla působící na plochu
p
Násobky:
F S
N m2
Pa
1 hPa = 100 Pa 1 kPa = 1 000 Pa 1 MPa = 1 000 000 Pa = 1 N. mm-2
Dřívější jednotky: 1 at = 0,1 MPa 1 bar = 0,1 MPa 1 psi = 6 895 Pa
Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
2
Hustota
H2O
m V
kg m
3
m – hmotnost [kg] V – hmotnost [m3]
= 1000 kg . m-3
Měrný objem v
Hydrostatika
V m
1
m3 kg
1
Ing. Jan Jemelík
3
2.2 Tlak v kapalinách vyvozený vnější silou – Pascalův zákon. F
p
S p1
F N S m2
Pa
p2
p1
p2
p3
p
konst.
p3
Pascalův zákon – tlak v celém objemu kapaliny je stejný a šíří se rovnoměrně všemi směry. Na plochu stěn nádoby a ponořených těles působí kolmo. Využití – hydraulické lisy, zvedáky, brzdové systémy atd. Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
4
Hydraulický zvedák - slouží ke zvedání těžkých břemen a je založen na principu Pascalova zákona - zvedákem (dle obrázku) se silou F působící na zvedací páce zvedá břemeno o tíze FG - pro zvětšení silového převodu je u hydraulického zvedáku používán ještě pákový mechanismus b FG
a
F0
F
d2 d1 p2 p1
1
Hydrostatika
3
5
7
4
2
Hlavní části hydraulického zvedáku: 1 - zvedací píst 2 - píst čerpadla 3 - výtlačný ventil 4 - sací ventil 5 - přepouštěcí ventil 6 - zvedací páka 7 - nádrž na kapalinu
6
Ing. Jan Jemelík
5
F F p1 G p2 S1 S2 d 22 d12 S2 S1 4 4 d1 FG F S FG F 1 F d2 S1 S2 S2
FG
F.i H
p1
2
d F d
p2
a
F0
F
d2 d1 p2 p1
iH = hydraulický převod 1
b F
F.a
F0
FG
Hydrostatika
FG
2 1 2 2
Rovnováha na páce
a
b
Fo .b
3
F Fo
5
b a
7
4
2
6
Fo i m
iM = mechanický převod
b d12 Fo a d 22
Fo i m i H
Ing. Jan Jemelík
6
Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
7
Příklad 1. Vypočítejte průměr zvedacího pístu d1 hydraulického zvedáku pro zvedání břemene o hmotnosti 10 t, jestliže na páce o rozměrech a = 30 mm, b = 360 mm působí síla F0 = 50 N. Průměr ovládacího pístu d2 = 15 mm. Z rovnováhy na pákovém mechanizmu vypočítáme velikost síly F b
a
F0
F
F.a
Fo .b
F
Fo
b a
50
360 30
600 N
Podle Pascalova zákona platí: FG d12
F d 22
FG
m g
Hydrostatika
FG d 22
F d12
10 000 10
d1
d2
FG F
15
100 000 600
193,65 mm
100 000 N
Ing. Jan Jemelík
8
Příklad 2. Vypočítejte hmotnost břemene m, které můžeme zvednout hydraulickým zvedákem ovládací silou F0 = 80 N. Průměr zvedacího pístu je 180 mm, průměr ovládacího pístu 20 mm. Rozměry páky a = 40 mm, b = 400 mm. b b a
F.a
F0
F
b FG
a
F
0
d2 d1 p2 p1
1
3
Hydrostatika
5
7
4
F0 .b F F0 . a 400 F 80. 800 N 40 .d 22 .202 S2 314,16mm2 4 4 F 800 F p1 p 2 p2 2,546 MPa S2 314,16 FG p1 S1 .d12 .1802 S1 25 446,9mm2 4 4 FG p1.S1 2,546.25 446,9 64 787,81N FG 64787,81 6604,26kg FG m.g m 9,81 g
2
6
Ing. Jan Jemelík
9
Příklad 3. Hydraulickým zvedákem naplněným olejem o hustotě 800 kg/m3 potřebujeme zvednout těleso o hmotnosti 1500 kg. Jakou silou musíme působit na malý píst o průměru 15 mm, jestliže průměr velkého pístu je 20 cm. FG
F
p1
p1 d2 d1 p2
p2
FG S1
FG
0,22 0,0314 m2 4
d12 4
S1
p1
p1 p2
15 000 0,0314
F S2
477 707 Pa F
S2 p 2
0,0152 477707 4 Hydrostatika
m g 1500 10 15 000 N
d 22 p2 4
84,42 N Ing. Jan Jemelík
10
2.3 Tlak vyvozený vlastní tíhou kapaliny – hydrostatický tlak.
ph
h
ph … hydrostatický tlak
p
F S
S
ph
FG S
m g S
V g S
S h g S
g h Pa
..... měrná hustota [ kg.m-3] g…. gravitační zrychlení [ m.s-2] h…. hloubka [m] Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
11
Příklad 4 Vypočítejte hydrostatický tlak vody jestliže výška hladiny je 10 m.
ph ph
g h
1000.10.10 100 000 Pa 100 kPa
0,1 MPa 1 bar
1 at
Příklad 5 Vypočítejte výšku hladiny sloupce rtuti, jestliže hydrostatický tlak je 2 MPa. Měrná hustota rtuti je 13,6 kg. dm-3.
ph
Hydrostatika
g h
h
ph g
2 000 000 14,7 m 13 600 10
Ing. Jan Jemelík
12
2.4 Absolutní tlak, přetlak, podtlak. pb
pb - barometrický (atmosférický) tlak
ph - hydrostatický tlak h ph
pb + ph = pa - absolutní tlak
Absolutní (statický) tlak zahrnuje účinek vnějšího tlaku na kapalinu a tlaku vyvolaného vlastní tíhou kapaliny.
Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
13
1
p p - přetlak
p pb
2
pa
čára barometrické tlaku p va - podtlak
pa
čára absolutního tlaku Přetlak pp
pa
pb
rozdíl mezi tlakem absolutním a barometrickým ( pb) Podtlak p va
pb
pa
rozdíl mezi tlakem barometrickým a absolutním (< pb)
Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
14
2.5 Tlak na rozhraní kapalin (spojené nádoby). Spojené nádoby s jednou kapalinou Tlak na hladinu pv1 = pv2 pv2
pv1
p v1 ph1 p v1
h2
h1 ph1
Hydrostatika
g h1
pv2 pv2
g h1 h1
ph 2 g h2
g h2 h2
ph2
Ing. Jan Jemelík
15
Tlak na hladinu pv1 > pv2 pv2 p v1 pv1
p v1
h
h2
p v1 p v 2
p
h1
ph1
Hydrostatika
p h1 g h1
pv2 pv2
ph 2 g h2
g h2
g h1
g h 2 h1
g h
ph2
Ing. Jan Jemelík
16
Spojené nádoby se dvěma kapalinami, které se nemísí. pv1 = pv2 = pb
2
>
1
pb pb
pb
1
h1 h2
h
h srovnávací hladina
kapilární deprese nesmáčivé kapaliny (rtuť)
Hydrostatika
1
g h1 g h1
2
g h
2
g h
1
g h1 1 h1 h1 h2
p b (h 2 2 2 2
g h2
h) 2
2
g
g h
g h2 h2
2 1
kapilární elevace smáčivé kapalin (voda)
Ing. Jan Jemelík
17
2.6 Tlaková síla na ponořené stěny. pb
h pb
pb
Fp S
Fp
S ph
Fp
S
g h
S – plocha dna [m2] – měrná hustota [kg.m-3] g – gravitační zrychlení [m.s-2] h – výška hladiny [m]
pb
Tlaková síla na dno je stejná bez zřetele na tvar nádoby – hydrostatický paradoxon
h
S Hydrostatika
N
S
S
S Ing. Jan Jemelík
18
Příklad 6 V nádobě o vnitřním průměru D = 1200 mm dosahuje voda o hustotě 1 kg.dm-3 do výše 2,5 m od dna nádoby. Vypočtěte tlakovou sílu na dno nádoby, jestliže a) nádoba je otevřená a atmosférický tlak je pb= 0,1MPa; b) nádoba je uzavřená s přetlakem vzduchu na hladinu vody pva = 0,15 MPa. a)
Fp
S ph
S
g h
28 274,33 N
d2 4
g h
1,22 1000 10 2,5 4
b) Fp
S p
p
ph
p va
g h p va
1000 10 2,5
150 000 25 000 150 000 175 000 Pa
Fp Hydrostatika
d2 p 4
1,22 175 000 4
197 920,34 N Ing. Jan Jemelík
19
Příklad 7 Otevřená nádoba má čtvercové dno o straně a = 1,2 m. V nádobě je olej s měrnou hustotou = 0,85 kg.dm-3. Na hladinu působí barometrický tlak pb = 0,1 MPa. Vypočítejte výšku hladiny oleje, jestliže tlaková síla na dno nádoby je Fp = 40 000 N.
Fp
h
Hydrostatika
S ph
S
40000 1,22 850 10
g h
h
Fp
Fp S
g
a2
g
3,268 m
Ing. Jan Jemelík
20
Příklad 8 Uzavřená nádoba má obdélníkové dno o rozměrech a = 2m a b = 1 m. V nádobě je voda s výškou hladiny hv = 2 m a olej s výškou hladiny ho. Na hladinu oleje působí přetlak pva = 0,15 MPa. Měrná hustota vody je -3 -3 v = 1 kg.dm a měrná hustota oleje o = 800 kg.m . Vypočítejte výšku hladiny oleje ho, jestliže na dno nádoby působí tlaková síla 356 kN.
pva ho
Hydrostatika
pc
ph
ph
o
FP
S pc
Fp Fp 356 000 21 S a b 178 000 Pa
pc
p va
ph
pc p va 178 000 - 150 000 28 000 Pa
v
hv
Fp
p ho p ho
p hV
p ho
p ho
ph
phV
28 000 1000 10 2 o
g ho
ho
p ho o g
ph
V
g hV
8 000 Pa 8 000 800 10
1 m
Ing. Jan Jemelík
21
2.7 Síla působící na svislou stěnu. těžiště zatěžovací plochy hT
zatěžovací plocha
hF h
T
Fp
b
Fp
S ph
Fp
S
S p hT g hT
ph= .g.h
phT – hydrostatický tlak v těžišti ponořené plochy [Pa] hT – vzdálenost těžiště ponořené plochy od hladiny [m] hF – vzdálenost působiště tlakové síly od hladiny [m] Tlaková síla působí v těžišti zatěžovací plochy. 2 Pro čtvercovou nebo obdélníkovou plochu hF = h 3
Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
22
Příklad 9 Otevřená nádoba má čtvercové dno o straně a = 2,5 m, V nádobě je olej, který má měrnou hustotu 0,8 kg.dm-3. Výška hladiny je 250 cm. Na hladinu působí barometrický tlak 0,1 MPa. Vypočítejte velikost tlakové síly na boční stěnu a působiště tlakové síly.
Fp
S p hT
S
g hT
h a
2,5 2,5 800 10 1,25 hF
Hydrostatika
2 h 3
2 2,5 3
g hT
62 500 N
1,67 m
Ing. Jan Jemelík
23
Příklad 10 Ve svislé stěně nádoby je uzavřený obdélníkový otvor o rozměrech a = 2 600 mm, b = 1 200 mm a jeho horní hrana je v hloubce h1 = 1,6 m pod hladinou. Vypočítejte tlakovou sílu vody na desku, která otvor uzavírá.
Fp
S p hT
hT
h1
p hT
g hT
h1 a Fp
b
p hT
Fp
a 2
1,6
2,6 2
1000 10 2,9 a b phT
2,9 m 29 000 Pa
2,6 1,2 29 000
90 480 N
Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
24
2.8 Vztlaková hydrostatická síla. 2.8.1 Archimédův zákon Fp1
Fp5
Na těleso působí tlakové síly ze všech stran.
h1 h2
Fp3
Tlakové síly působící ve vodorovném směru (Fp3 – Fp6) jsou stejně velké a navzájem se ruší.
Fp4 Fp6 Fp2
Tlakové síly na vodorovné stěny – ve svislém směru: Fp1 S p h1 S k g h1 Fp 2 S p h 2 S k g h 2 Fp 2 Fp1 Výsledná síla = vztlaková síla Fvz FVZ
Fp 2 Fp1
FVZ V Hydrostatika
k
S
g [N]
k
g h2
S
k
g h1 (h 2 h1 ) S
Archimédův zákon
V [m3]
k
g
h S k
k
[kg.m-3]
g
g [m.s-2]
Ing. Jan Jemelík
25
Archimédův zákon -těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou, která se rovná tíze kapaliny tělesem vytlačené. Příklad 11
Krychle o straně a = 240 cm a měrné hustotě = 1,2 kg.dm-3 je ponořená do vody. Vypočítejte vztlakovou sílu. Fvz
Hydrostatika
V
k
g
a3
k
g
2,43 1000 10
138 240 N
Ing. Jan Jemelík
26
2.8.2 Plování těles Fvz
FG
Tíhová síla: FG= m.g = V. t.g
t
– hustota tělesa
Vztlaková síla: Fvz = V. k.g
k
– hustota kapaliny
a) Fvz > FG
těleso plave
t
<
k
b) Fvz = FG
těleso se vznáší
t
=
k
c) Fvz < FG
těleso klesá
t
>
k
V1 – ponořený objem tělesa
Fvz1
V
t
FG
Fvz1
g
V1
k
g
t k
FG Hydrostatika
V1 V
V1 Ing. Jan Jemelík
27
Příklad 12 Dřevěný hranol o rozměrech a x b x c = 0,8 x 0,6 x 0,4 m a hustotě 0,74 kg.dm-3 plave na vodě. Jak hluboko je ponořen?
c
b
V1 V
a
x
V1
a b x
k
V
a b c
a b x a b c x
Hydrostatika
t
t k
740 0,4 1000
x
t
c
k
0,296 m
Ing. Jan Jemelík
28
2.9. Relativní rovnováha kapalin. -je-li kapalina v pohybující se nádobě v klidu, mluvíme o relativní rovnováze kapaliny vzhledem ke stěnám nádoby. Kapalina zabere určitý prostor v nádobě, který je závislý na druhu pohybu. Pohyb nádoby označujeme jako unášivý: - posuvný - rotační 2.9.1 Unášivý pohyb posuvný
Pohyb nádoby je rovnoměrný v = konst. - hladina je vodorovná v = konst.
Hydrostatika
Ing. Jan Jemelík
29
Pohyb nádoby je zrychlený (zpožděný)
FS
h
a = konst.
h h
FG
F
a = konst.
B
Hladina v nádobě se nakloní a bude kolmá na výslednou sílu F.
L
Tíhová síla FG tg
FS FG
m a m g
m g
Setrvačná síla FS
m a
a g
Maximální hydrostatický tlak bude v místě B.
tg
Hydrostatika
h max
g h max
p h max
h L 2
h
L tg 2
h h max
h h
L tg 2 Ing. Jan Jemelík
30
Příklad 13 Vypočítejte úhel sklonu hladiny kapaliny v cisterně, která se rozjíždí na rychlost 50 km/hod za 13 sekund. O kolik mm se zvýší hladina, jestliže délka cisterny je 5 m? v = 50 km/hod = 13,8 m/s tg
a g
tg
1,062 9,81
h
Hydrostatika
L tg 2
a
t = 13 s v t
0,1083 5000 0,1083 2
13,8 13
L=5m
1,062 m s
2
6,198
270,75mm
Ing. Jan Jemelík
31
Příklad 14 Vypočítejte maximální hydrostatický tlak vody v nádobě, která z rychlosti 72 km/hod zastavila na dráze 200 m. Výška hladiny v nádobě byla 2 m a délka nádoby je 6 m. h v
h
phmax
s
1 v t 2
a
20 1m s 20
ph max Hydrostatika
2 s v
t 2
2 200 20 tg
g h h max
p h max h max
h
tg
a g
h
h
L tg 2
a
v t
20 s 1 9,81
0,102
h max
2
6 0,102 2
2,306 m
1000 9,81 2,306 22 621,86 Pa Ing. Jan Jemelík
32
Příklad 15 V nádobě dlouhé 8 m je olej do výšky 2 m. Měrná hustota oleje 0,8 kg.dm-3. Vypočítejte s jakým zrychlením se nádoba začala pohybovat, jestliže v ní vznikl maximální hydrostatický tlak 20 kPa.
h
L tg 2
h max
h
p h max
h a
Hydrostatika
L a 2 g h
g h max
2,548 2 2 0,548 9,81 8
h
a h max h max
2
h g L
tg
a g
h p h max g
20000 800 9,82
2,548m
0,548m 1,344 m s
2
Ing. Jan Jemelík
33
Příklad 16 Cisterna na přepravu kapalin je na zadní stěně opatřena víkem o průměru 500 mm. Délka cisterny je 4 m, výška volné vodorovné hladiny 1,4m, hustota kapaliny v cisterně 1,2 kg.dm-3. Cisterna se rozjíždí se zrychlení 1,6 m.s-2. V cisterně je přetlak 0,02 MPa. Vypočítejte sílu, která působí na víko.
pva
h 500
FP
1100
1400
a
Fp
S. p
pCT
phT
phT hT
L h tg 2
L a 2 g
4 1,6 2 9,81
phT 1200 9,81 1,426 S
d2 4
Hydrostatika
FP
d2 p cT 4
p va
tg
g hT
h
a g
h
h T 1,1 0,326 1,426 m
0,326m
16 786,9 Pa
S . pCT
pcT
0,52 36 786,9 4
16 786,9 20 000
36 786,9 Pa
7 223,1 N Ing. Jan Jemelík
34
Nádoba s kapalinou při průjezdu zatáčkou. b
Tíhová síla: h
FG
m g
FC h
h
Odstředivá síla: FC
FG
F
m an R2 m R
B
tg
FC FG
m R m g
2
2
R g
v2 m R 2
m R
2
v2 R g
Maximální hydrostatický tlak bude v místě B. h max h h g h h max p h max tg
Hydrostatika
h b 2
h
b tg 2 Ing. Jan Jemelík
35
Příklad 17 Vypočítejte zvýšení hladiny kapaliny v cisterně, která projíždí zatáčkou o poloměru 50 m rychlostí 36 km/hod. Šířka cisterny je 2 200 mm. h
b tg 2
h
b v2 2 R g
Hydrostatika
tg 102 2,2 2 50 9,81
v2 R g
0,224 m
Ing. Jan Jemelík
36
2.9.2 Unášivý pohyb rotační R
Tíhová síla: FG
x
h
m g
y FC h
h
F
Odstředivá síla: FC
FG
m x
2
v2 m x
n
Hladina kapaliny vytvoří rotační paraboloid, který je v řezu znázorněn parabolou. Hladina je v každém místě kolmá k normále paraboly. Rovnice paraboly: Zvýšení hladiny: Hydrostatika
R2 2 2 g
y 2
h
h
R2 2 4 g Ing. Jan Jemelík
37
Příklad 18 Nádoba má průměr 600 mm a je vysoká 800 mm. Výška hladiny v klidu je 500 mm. Vypočítejte při jakém počtu otáček začne kapalina přetékat. h 300mm R2 2 4 g
h
2
Hydrostatika
n
4 g h R2
n
2
11,44 2
4 9,81 0,3 0,32
11.44 rad s-1
1,82 s-1
Ing. Jan Jemelík
38
