Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje
Úvod do dynamiky
Ing. Jan Jemelík
1
Dynamika je část mechaniky, která se zabývá pohybem těles s ohledem na příčiny, které pohyb vyvolaly
1. Úvod do dynamiky 1.1 Pohybové zákony
(Newtonovy zákony) 1. pohybový zákon – zákon setrvačnosti Každé těleso setrvá v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento stav měnit. 2. pohybový zákon – zákon zrychlující síly Zrychlující síla je rovna součinu hmotnosti tělesa a jeho zrychlení. F m a N
kg m s
2
m – hmotnost tělesa [kg] a – zrychlení [m.s-2]
Úvod do dynamiky
Tíhová síla: FG m g N g – gravitační zrychlení
g = 9,81 m.s-2
Ing. Jan Jemelík
2
3. pohybový zákon – zákon akce a reakce Každá akce vyvolá stejně velkou reakci, tj. sílu stejné velikosti stejného směru ale opačného smyslu. F – akční síla
FR – reakční síla 1.2 Setrvačná síla Setrvačnost – vlastnost tělesa zachovat okamžitý stav a FS
F = m.a
Podle zákona akce a reakce musí působit proti síle F reakce FS – setrvačná síla F Fs 0 F Fs m a
FS má opačný smysl jako síla zrychlující Úvod do dynamiky
Ing. Jan Jemelík
3
Zpomalování:
-a
Fb
FB – brzdná síla
FS
FB = FS = m.a FS má opačný smysl jako síla brzdná Při řešení úloh v dynamice se používá tzv. D´alambertův princip: - algebraický součet všech sil, které působí na pohybující se těleso musí být roven 0. Dynamika Statika: těleso v klidu pohyb nahoru pohyb dolů F a
F
m FG Fi
0
F FG 0 F FG Úvod do dynamiky
FG FS
F FG FS 0 F FG FS F FG
a
FS F FG FS 0 F FG FS F F FG
FG Ing. Jan Jemelík
4
Příklad 1: Vypočítejte tahovou sílu motoru rakety o tíhové síle 5000 N , jestliže startuje se zrychlením 18 m.s-2. F
F FG
a
FS
Fs
m a
FG
m g
0
F
509,7 18 m
FG g
FG
Fs
5000 9174,6
14 174,6 N
9174,6 N 5000 9,81
509,7 kg
FG FS
Úvod do dynamiky
Ing. Jan Jemelík
5
Příklad 2: Automobil o hmotnosti 1450 kg zabrzdil z rychlosti v = 68 km/hod na dráze 52 m. Jak velká brzdná síla musí působit na auto? Brzdění považujte za pohyb rovnoměrně zpožděný. v 18,9 Fb m a a 3,44 m s-2 t 5,5 s Fb
1 v t 2
t
2 s v
1450 3,44
2 52 18,9
5,5 s
4988 N
Příklad 3: Automobil o hmotnosti 1500 kg se blíží ke křižovatce rychlostí 45 km/hod. Na jaké nejkratší dráze se může zastavit jestliže maximální brzdná síla je 10 000 N? s
1 v t 2
F m a
v
a
F m
a t
10000 1500
t
v a
12,5 6,67
6,67 m s
2
s Úvod do dynamiky
1,874 s
1 12,5 1,874 2
11,713 m Ing. Jan Jemelík
6
Příklad 4: Kabina výtahu má hmotnost 380 kg. Jaká síla působí v tažném lanu, jestliže kabina: a) stojí b) pohybuje se dolů se zrychlením 3,2 m. s-2 c) pohybuje se vzhůru se zrychlením 3,2 m. s-2 d) pohybuje se rovnoměrně dolů a)
b) F
FS F
d)
c)
a FG F FG F FG
0 m g 380 9,81 3727,8 N
Úvod do dynamiky
F
F
FG F FG FS 0 F FG FS m g m a m g a 380 9,81 3,2 2511,8 N
a=0
a FG FS F FG FS 0 F FG FS m g a 380 9,81 3,2
FG F FG 0 F 3727,8 N
4943,8 N Ing. Jan Jemelík
7
1.3 Impuls síly a hybnost - vycházíme z 2. pohybového zákona / t F m a síla F [N] hmotnost [kg] čas t [s] rychlost [m.s-1] F t m a t m v
F t
F t m v
I
H
I N s
- impuls síly (časový účinek síly)
H kg m s-1
- hybnost (hybnost hmoty)
impuls síly = hybnosti platí pro pohyb z klidu, nebo pro pohyb do zastavení
Jestliže se těleso pohybuje počáteční rychlostí v0 a působením síly F po dobu t se rychlost změní (zvětší nebo zmenší) na hodnotu v bude platit: F m a F
m
F t I
a
v v0 t
v v0 / t t m v v0
H H0
Úvod do dynamiky
impuls síly = přírůstek hybnosti (při zpomalování úbytek hybnosti) Ing. Jan Jemelík
8
Působí-li na sebe dvě tělesa o různých hmotnostech m1 a m2 po stejnou dobu silami opačného smyslu, jsou i jejich impulsy opačné: F1 t
F2 t
m1 v1 t m1 v1
m2 v2 t m2 v2
Příklad 5: Kovář kove kladivem o hmotnosti 4 kg. Rychlost dopadu kladiva na výkovek je 12 m.s-1. Úder trvá 0,1 s. Vypočítejte tvářecí sílu úderu kladiva. F t
m v
Úvod do dynamiky
F
m v t
4 12 0,1
480 N
Ing. Jan Jemelík
9
Příklad 6: Automobil jedoucí rychlostí 72 km.h-1 zabrzdí na nulovou rychlost za 4 s. Vypočítejte: a) Jak velkou silou jsou při brzdění zatíženy poutací pásy, je-li hmotnost řidiče 80 kg? b) Na jaké dráze vozidlo zastaví? m v 80 20 F t m v F 400 N t 4 1 20 4 v t s 40 m 2 2 Příklad 7: S jak velkým zrychlením akceleruje motorové vozidlo, jedoucí rychlostí v1 = 36 km.h-1, jestliže za 5 s dosáhne rychlosti v2 = 72 km.h-1. Na jaké dráze dosáhne vozidlo požadované rychlosti? a
v2
s
v2
v1
20 10 5
t
v1 2
Úvod do dynamiky
t
2 m s-2
20 10 5 2
75 m
Ing. Jan Jemelík
10
Příklad 8: Těleso o hmotnosti 50 kg se začne pohybovat působením síly F = 200 N. Vypočítejte: a) s jakým zrychlení se těleso pohybuje? b) jakou rychlost dosáhne za 6 s ? c) jakou dráhu při tom urazí? d) jak velký je impuls síly? m a
a)
F
b)
F t m v
c)
s
1 v t 2
d) I F t
Úvod do dynamiky
F m
a
200 50
4 m s-2
F t m
200 6 50
1 24 6 2
72 m
v
200 6
24 m s-1
1 200 N s
Ing. Jan Jemelík
11
Příklad 9: Na palubu letadlové lodi, plující rychlostí v1=40 km.h-1, přistává letoun letící rychlostí v2=160 km.h-1 ve směru plavby lodě. Letoun je po přistání zachycen hákem za pružné brzdící lano. Zastaví na dráze 40 m. Hmotnost letadla je 6000 kg, hmotnost pilota 80 kg. Vypočítejte: a) relativní rychlost letounu vzhledem k lodi b) velikost zpoždění při přistávání c) setrvačnou sílu, která působí na letoun po zachycení za lano d) sílu, kterou jsou namáhány poutací pásy pilota v2 = 44,44 m.s-1
v1 = 11,11 m.s-1 a)
vr
v2
b)
a
vr t
c)
Fs
m a
6080 13,9
d)
Fp
mp a
80 13,9
Úvod do dynamiky
v1
160 40
33,33 2,4
120 km h -1
13,9 m s-2
s
33,33m s
1 vr t 2
1
t
2 s vr
2 40 33,33
2,4 s
84 512 N 1112 N Ing. Jan Jemelík
12
Příklad 10: Beran padacího bucharu o hmotnosti 2 400 kg dopadá z výšky 1,8 m. Vypočítejte hybnost beranu a kovací sílu, trvá-li úder 1/80 s. H v
H
m v
2400 5,94
2 9,81 1,8
2 g h
I F t
-1 14 256 kg m s
I F t
H t
5,94 m s-1
14 256 1 80
14 256 80
1140 480 N
Příklad 11: Střela o hmotnosti m1 = 8 kg opouští dělovou hlaveň rychlostí v1 = 600 m.s-1. Jakou zpětnou rychlostí se pohybuje hlaveň děla, která má hmotnost m2 = 400 kg? m1 v1
Úvod do dynamiky
m2 v2
v2
m1 v1 m2
8 600 400
12 m s-1
Ing. Jan Jemelík
13
1.4 Odstředivá a dostředivá síla Má-li se hmotný bod pohybovat po kružnici, musí na něj působit síla, která jej udržuje na kruhové dráze a působí do středu - dostředivá síla Fc
an – normálové (dostředivé) zrychlení
m R
Fcd – dostředivá síla Fc – odstředivá síla
an v
Dostředivá síla:
Fcd
Fcd an
v2 R
m an 2
R2 R
v2 m R 2
R
m R v
2
R
Odstředivá síla: Fc Úvod do dynamiky
m R
2
Ing. Jan Jemelík
14
Příklad 12: Upoutaný model letadla o hmotnosti 0,3 kg se pohybuje ve vodorovné rovině po kruhové dráze rychlostí 90 km.h-1. Je uchycen na ovládacích lankách dlouhých 8 m. Vypočítejte: a) odstředivou sílu působící na model b) dráhu modelu za 1 otáčku c) čas, za který obletí jeden okruh v = 90 km.h-1 = 25 m.s-1 2 252 a) F m v 0,3 23,44 N c 8 R b)
s
2
R
c)
v
s t
t
Úvod do dynamiky
2 s v
8
50,3 m
50,3 25
2,012 s
Ing. Jan Jemelík
15
Příklad 13: Umělá družice obíhá zemi po kruhové dráze rychlostí 8,1 km.s-1. V jaké výšce nad povrchem země se pohybuje a jak dlouhou trvá jeden oběh? Poloměr země je 6 378 km, g = 9,81 m.s-2. v 8,1 km s-1
R1
an
an
v2 R1
g
8 100 m s-1
R1
v
R
Úvod do dynamiky
h
81002 9,81
v2 g
6 688 073 m
6 688 km
h
R1 R
t
s v
6 688 - 6 378
2
R1 v
2
310 km
6 688 8,1
5 188 s 86,5 min
Ing. Jan Jemelík
16
Příklad 14: Jak velikou silou je namáháno uchycení listu vrtule v jejím náboji? Hmotnost listu je 15 kg, vzdálenost těžiště listu od osy rotace je 800 mm, otáčky vrtule 2 400 min-1. n = 40 s-1
R = 0,8 m Fc
m R
2
Úvod do dynamiky
m R 2
n
2
15 0,8 2
40
2
757 985,6 N
Ing. Jan Jemelík
17
