Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje
Modul 03 - Technické předměty
Ing. Jan Jemelík
1
- složený pohyb vznikne složením dvou na sobě nezávislých pohybů - složení dvou přímočarých pohybů - složení pohybu přímočarého a rotačního - pohyb loďky napříč řekou - pohyb břemene při přepravě na mostovém jeřábu Pro rozlišení pohybů zavádíme pojmy: absolutní pohyb - pohyb, který se jeví pozorovateli z nehybného místa na zemi relativní pohyb - pohyb, který se jeví pozorovateli z místa, jež se vzhledem zemi pohybuje
Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
2
4.1 Pohyb složený z přímočarých pohybů 4.1.1 Absolutní a relativní rovnoměrný pohyb v rovnoběžných přímkách - např. vůz se pohybuje stálou rychlostí a po něm se pohybuje těleso stálou rychlostí s sr
sa vr va výsledná dráha
s = sa + sr = va.t + vr.t = t.(va + vr)
výsledná rychlost
v = va + vr
Při pohybu vozíku v opačném smyslu, než je pohyb vozu: výsledná dráha
s = sa - sr = va.t - vr.t = t.(va - vr)
výsledná rychlost
v = va - vr
Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
3
Příklad 1: Letuška prochází dopravním letadlem po dráze 25 m rychlostí 3,6 km.h-1 v obou směrech. Letadlo letí rychlostí 900 km.h-1. Jaká je výsledná dráha letušky v obou směrech a jaká je její rychlost v obou směrech rychlost letušky v letadle vr = 1 m.s-1 va = 250 m.s-1 rychlost letadla
čas na projití letadla v jednom směru sr 25 t 1 vr
25 s
Výsledná dráhy a rychlost letušky: ve směru letu s = t . (va + vr) = 25 . (250 + 1) = 6 275 m v = va + vr = 250 + 1 = 251 m.s-1 proti směru letu s = t . (va - vr) = 25 . (250 - 1) = 6 225 m v = va - vr = 250 - 1 = 249 m.s-1 Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
4
Příklad 2: Vzdálenost mezi dvěma přístavy je 5,6 km. Jede-li motorový člun po proudu, ujede tuto vzdálenost za 9 min 20 s. Jede-li proti proudu ujede tuto vzdálenost za 16 min. Jaká je rychlost proudu a jaká je rychlost člunu? s = 5 600 m t1 = 560 s t2 = 960 s Dráha při jízdě po proudu: s = sč + sp = vč.tč + vp.tp
5 600 = vč.560 + vp.560 10 = vč + vp
Dráha při jízdě proti proudu: s = sč - sp = vč.tč - vp.tp 5 600 = vč.960 - vp.960 5,83 = vč - vp
vč
5,83 + vp
10 = 5,83 + vp + vp 4,17 = 2.vp vp = 2,085 m.s-1
Složené pohyby
vč = 5,83 + 2,085 = 7,915 m.s-1
Ing. Jan Jemelík
5
4.1.2 Absolutní a relativní rovnoměrný pohyb v přímkách k sobě kolmých nebo kosých - pohyb loďky napříč řekou a) Pohyb ve směrech navzájem k sobě kolmých
v
sr
vr
v a2
v
va
v r2
sr = vr.t sa
sa2
s
sr2
sa = va.t
a) Pohyb ve směrech navzájem k sobě kosých v vr va Složené pohyby
Výsledná dráha a rychlost se vypočítá pomocí kosinové věty: v
v a2
v r2
2 v a v r cos
s
sa2
sr2
2 sa sr cos
Sklon výsledné dráhy a rychlosti se vypočítá pomocí sinové věty: vr : v sin : sin
Ing. Jan Jemelík
6
Příklad 3: Řeka je široká 200 m. Loď vypluje kolmo ke směru proudu rychlostí 18 km.h-1. Rychlost proudu je 1 m.s-1. Vypočítejte výslednou rychlost, výslednou dráhu a čas potřebný k přeplutí řeky. vr = 5 m.s-1
sr = 200 m v
v a2
sr
vr t
Složené pohyby
v r2
t
12
52
sr vr
200 5
va = 1 m.s-1
5,1 m.s-1 40 s
sa
s
v a t = 1 . 40 = 40 m sa2
sr2
402
2002
204 m
Ing. Jan Jemelík
7
Příklad 4: Řeka je široká 300 m. Loď vypluje rychlostí 21,6 km.h-1 směrem odkloněným o 30° od příčného směru. Rychlost proudu je 1,5 m.s-1. Vypočítejte výslednou rychlost, výslednou dráhu, čas potřebný k přeplutí řeky a odklon výsledné dráhy od příčného směru. va = 1,5 m.s-1 vr = 6 m.s-1 s sr 120 30° v a2 v r2 2 v a v r cos v 1,52
62
2 1,5 6 cos 120
sa 2,25 36 18 0,5 6,874 m.s-1 300 300 sr cos 30 346,42 m cos 30 sr sr 346,42 t sa v a t 1,5 57,74 86,61 m 57,74 s vr 6 s
sa2
sr2
2 sa sr cos
= 396,88 m sin : sin Složené pohyby
vr : v
sin
86,612
vr sin v
346,422
2 86,61 346,42 cos 120
6 sin 120 6,874
0,7559
49,1
Ing. Jan Jemelík
8
4.1.3 Relativní rovnoměrný pohyb v rovnoběžných přímkách
A vaA
B
vaB
vaA vaB absolutní rychlosti Relativní rychlost dvou rovnoběžných absolutních pohybů stejného smyslu se rovná rozdílu absolutních rychlostí vrAB = vrB - vrA
A vaA vaB
B
Relativní rychlost dvou rovnoběžných absolutních pohybů opačného smyslu se rovná součtu absolutních rychlostí
vrAB = vrB + vrA
Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
9
4.1.4 Vodorovný vrh - složený pohyb - přímočarý rovnoměrný pohyb ve vodorovném směru rychlostí v0 - volný pád (zrychlený pohyb) se zrychlením g - výstřel z pušky, výtok kapaliny z nádoby bočním otvorem v0 Dráhy: a) přímočarý pohyb s = v0 . t v vp 1 g t2 s = h = b) volný pád 2 h Rychlosti: a) přímočarý pohyb v0 = konst. b) volný pád
x Výsledná rychlost:
v
v 02
Doba pádu:
t
2 h g
Složené pohyby
g t
2
vp = g . t
Hloubka pádu:
h
Vzdálenost dopadu: x
1 g t2 2
v0 t
v0
Ing. Jan Jemelík
2 h g 10
Příklad 5: V boční stěně nádoby je ve výšce 0,7 m nad zemí otvor, kterým vytéká voda rychlostí 3,72 m.s-1. Vypočítejte: a) čas, za který dopadne voda na zem b) vzdálenost, ve které voda dopadne na zem c) dopadovou rychlost vody a) 2 h 2 0,7 t 0,378 s g 9 , 81 v0 b) x
h
c)
v0 t
3,72 0,378 1,406 m v 02
v
g t
2
3,722
9,81 0,378
2
5,25 m.s-1
Příklad 6: V jaké vzdálenosti před cílem musí letadlo vypustit bombu aby zasáhla cíl? Letadlo letí ve výšce 1 200 m rychlostí 360 km.h-1. Za jak dlouho dopadne bomba na cíl? v0 = 100 m.s-1 x
v0 t
t
2 h g
Složené pohyby
v0
2 h g
2 1200 9,81
100
2 1200 9,81
1 564 m
15,64 s Ing. Jan Jemelík
11
Příklad 7: Vodní nádrž je naplněná do výšky 3,8 m vodou. V boční stěně je v hloubce 1,2 m malý otvor. Vypočítejte: a) rychlost, kterou vytéká voda z otvoru (mezi hladinou a otvorem se voda pohybuje volným pádem) b) čas, za který dopadne voda na zem c) vzdálenost, ve které voda dopadne na zem d) dopadovou rychlost vody a) v 0 2 g h2 2 9,81 1,2 4,85 m.s-1 v0 h2 2 h1 h2 2 3,8 1,2 b) t 0,728 s h1 g 9,81 c) x v 0 t 4,85 0,728 3,53 m d) v
v 02
g t
2
4,852
9,81 0,728
2
8,633 m.s-1
Příklad 8: Střela vystřelená z hlavně ve výšce 2,3 m dopadla ve vzdálenosti 345 m. Jakou rychlostí byla vystřelena a jak dlouho letěla? 345 x 2 h 2 h 2 2,3 -1 v v x 503,65 m.s 0 0 t 0,685 s 2 2,3 2 h g g 9,81 9,81 g Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
12
4.1.5 Šikmý vrh - složený pohyb - přímočarý rovnoměrný pohyb rychlostí v0 odkloněný o úhel od vodorovného směru - volný pád (zrychlený pohyb) se zrychlením g x
cos
s = v0.t 1 g t2 2
sy
v0
v0 v
x
v0 t sy v0 t
sin
1 g t2 2
Doba letu:
x
v 0 t cos
sy
v 0 t sin
v 0 t sin
t
2 v 0 sin g
g.t Dráha ve vodorovném směru: 2 v 0 sin x v 0 t cos v0 g Složené pohyby
cos
v 02 2 sin g
cos Ing. Jan Jemelík
13
Rychlost:
v – okamžitá rychlost v0
g.t v vy
v
v 2x
v 2y
vx = v0.cos vy = v0.sin – g.t
vx v
v 0 cos
2
v 0 sin
g t
2
Příklad 8: Střela opustila hlaveň rychlostí 1 200 m.s-1 pod úhlem 45°. V jaké vzdálenosti dopadne střela na zem? x
v 02 2 sin g
cos
1200 2 2 sin 45 cos 45 9,81
1200 2 2 0,707 0,707 146 744,66 m 9,81
Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
14
Příklad 9: Střela vyletěla z hlavně pod úhlem 54° a dopadla na zem za 42 s. Vypočítejte počáteční rychlost střely a vzdálenost, ve které dopadne na zem. t
2 v 0 sin g
v0
t g 2 sin
42 9,81 2 sin 54
254,64 m.s-1
v 02 254,64 2 x 2 sin cos 2 sin 54 cos 54 g 9,81 254,64 2 2 0,809 0,588 6 288,4 m 9,81
Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
15
4.1.6 Svislý vrh vzhůru - složený pohyb - přímočarý rovnoměrný pohyb rychlostí v0 - volný pád (zrychlený pohyb) se zrychlením g Dráhy: a) přímočarý pohyb s = v0 . t 1 g t2 s=h= b) volný pád 2 Okamžitá poloha bodu v libovolném okamžiku je dána složení obou pohybů. Hmotný bod se pohybuje vzhůru rovnoměrným pohybem po dobu t a pak po po stejně dlouhý čas padá volným pádem:
s= s = v0 . t h
1 g t2 2
Výsledná dráha v libovolném čase: 1 h v0 t g t2 2 Čas letu: celkový čas dopadu určíme z okamžité výsledné dráhy h = 0 0
v0 td
1 g t 2d 2
Doba výstupu: Složené pohyby
td tv
2 v0 g
v0 g Ing. Jan Jemelík
16
Maximální výška: 1 hmax v 0 t v g t 2v 2
v v0 0 g
1 v 02 g 2 2 g
v 02 2 g
Výsledná rychlost v libovolném místě: v
v0
g t
Na konci výstupu se těleso zastaví, takže v = 0 v0
g t
Příklad 10: Střela vystřelená svisle vzhůru dopadla na zem za 120 s. Jak vysoko vystoupila a jaká byla počáteční rychlost střely? td
120 s 1 g t 2v 2
hmax v0
tv
g t
Složené pohyby
60 s 1 9,81 602 2
9,81 60
17 658 m
588,6 m.s-1 Ing. Jan Jemelík
17
4.2 Pohyb složený z rotačního a přímočarého pohybu 4.2.1 Unášivý pohyb posuvný, relativní pohyb rotační - odvalování tělesa po podložce- valení (kotálení) tělesa v – obvodová rychlost n D
vt – rychlost posuvného pohybu Obvodová rychlost: v D n
Ujetá dráha za 1 otáčku:
Rychlost posuvného pohybu: Po dosazení: vt
Složené pohyby
D 1 n
D
s1 vt
s1 t1
t1 – čas 1 otáčky
t1
1 n
D n=v
Ing. Jan Jemelík
18
Každý bod odvalujícího se tělesa opisuje křivku, která se nazývá cykloida (kotálnice) Odvalováním po přímce vznikne pericykloida
A Odvalováním vně po kružnici vznikne epicykloida Odvalováním uvnitř kružnice vznikne hypocykloida Částí cykloidy jsou tvořeny boky zubů ozubených kol. S odvalováním kotouče se setkáváme např. u vačkových mechanizmů.
Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
19
4.2.2 Unášivý pohyb rotační, relativní pohyb posuvný vr – rychlost posuvného pohybu v bodě 1 je konstantní
rameno
vr
v1
u1 objímka
1
2
v2 u2
u1 - rychlost unášivého rotačního pohybu v bodě 1 v1 – výsledná rychlost v bodě 1 u2 > u1
v2 > v1
Zvětšování výsledné rychlosti je způsobeno zrychlením, které se nazývá Coriolisovo zrychlení: ac
2 vr
[m.s-2]
Protože při tomto složeném pohybu vzniká Coriolisovo zrychlení, musí zde působit i Coriolisova síla. Tato síla má vliv například na: kroutící moment u odstředivých čerpadel úchylky vzduchových proudů vůči Zemi podmílání břehů řek Složené pohyby
Ing. Jan Jemelík
20
