Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje
Modul 03 - technické předměty
Ing. Jan Jemelík
1
Každé těleso se skládá z velkého množství hmotných bodů, které se projevují svojí tíhou. Výslednice všech tíhových sil leží na těžnici, která prochází těžištěm T. Těžiště je bod, ve kterém si můžeme představit soustředěnou tíhovou sílu tělesa.
T
FG Určení polohy těžiště je v podstatě řešení polohy výslednice soustavy rovnoběžných sil ve dvou na sebe kolmých směrech. V technické praxi zjišťujeme polohu těžiště pro potřeby technologie (střižné nástroje) a mechaniky (namáhání ohybem a krutem). Jedná se o určení polohy těžiště čáry nebo plochy. Čáru nebo plochu považujeme za hmotný útvar. Těţiště
Ing. Jan Jemelík
2
5.1 TĚŢIŠTĚ SLOŢENÉ ČÁRY 5.1.1 Početní řešení. Složenou čáru rozdělíme na jednoduché čáry (úsečky, kružnice), u kterých známe polohu těžiště. Do těžišť jednoduchých čar umístíme tíhové síly, které jsou úměrné délce čáry. Vypočítáme polohu výslednice soustavy rovnoběžných sil ve směru osy x a ve směru osy y. Příklad 1: Vypočítejte souřadnice těžiště xT a yT složené čáry. y
20
25
0 x1 T 1
x1= 10 y1= 0 y2= 12,5 x2= 20 y3= 25 x3= 40 yT= ? xT= ? F x T F1 x1 F2 x 2 F3 x 3 F x F x F x 20 10 25 20 40 40 xT 1 1 2 2 3 3 85 F 27,06 mm
40
x3 x2
F1= 20 N F2= 25 N F3= 40 N F = 85 N
T3 T2
F2
F3 F
x
F1
F yT
F1 y1 F2 y 2 F3 y3
20 0 25 12,5 40 25 85 Těţiště
yT
F1 y1 F2 y 2 F
F3 y 3
15,44 mm Ing. Jan Jemelík
3
Příklad 2: Vypočítejte souřadnice těžiště xT a yT složené čáry. y 2 20
F1
T4
15 20
T2
Těţiště
152
25 N
x1= 7,5 x2= 27,5 x3= 50 x4= 60 xT= ?
y1= 10 y2= 20 y3= 27,5 y4= 45 yT= ?
T1 15
yT
20
F1= 25 N F2= 25 N F3= 25 N F4= 20 N F = 95 N
T3
xT
F3
20
25
F1 x1 F2 x 2
x
F3 x 3 F4 x 4
25 7,5 25 27,5 25 50 20 60 95
35 mm
F3 y3 F4 y 4
25 10 25 20 25 27,5 20 40 95
24,6 mm
F F1 y1 F2 y 2 F
Ing. Jan Jemelík
4
Příklad 3: Vypočítejte souřadnice těžiště xT a yT složené čáry. y
100
F1= 50 N F2= 94,25 N F3= 100 N F = 244,25 N
T3
50
T2
30
x1= 0 x2= 15 x3= 65 xT= ?
y1= 25 y2= 50 y3= 65 yT= ?
T1
x
xT yT
F1 x1
F2 x 2 F
F1 y1 F2 y 2 F
Těţiště
F3 x 3
F3 y 3
50 0 94,25 15 100 65 244,25
32,4 mm
50 25 94,25 50 100 65 244,25
51,023 mm
Ing. Jan Jemelík
5
20
Příklad 4: Vypočítejte souřadnice těžiště xT a yT složené čáry. y F1= 60 N 20 F2= 40 N T3 45 F3= 45 N F4= 25 N 25 F5= 15 N T7 10 T4 F6= 15 N 15 40 T2 10 F7= 40 N T5 F = 240 N T1 T6 15 60
xT
yT
Těţiště
F1 x1 F2 x 2
x1= 30 x2= 0 x3= 22,5 x4= 45 x5= 52,5 x6= 60 x7= 15 xT= ?
y1= 0 y2= 20 y3= 40 y4= 27,5 y5= 15 y6= 7,5 y7= 25 yT= ?
x
F3 x 3 F4 x 4 F5 x 5 F6 x 6 F7 F 60 30 40 0 45 22,5 25 45 15 52,5 15 60 240 F1 y1 F2 y 2 F3 y 3 F4 y 4 F5 y 5 F6 y 6 F7 F 60 0 40 20 45 40 25 27,5 15 15 15 7,5 240
x7 40 15
25,94 mm
y7 40 25
18,44 mm Ing. Jan Jemelík
6
5.1.2 Grafické řešení. Příklad 5: Určete graficky souřadnice těžiště xT a yT složené čáry. y 4‘ 3‘ F1 20 F3 F3 30 F2 1‘ F1 T 50
F2 2‘
F3 3‘
4‘
F1 x F1
F2
2‘
4
1‘
1 2
3
F2 1
2
F
3
F3 4 xT= 36,5 mm yT= 11,5 mm
Těţiště
Ing. Jan Jemelík
7
5.2 TĚŢIŠTĚ SLOŢENÉ PLOCHY 5.2.1 Početní řešení. Složenou plochu rozdělíme na jednoduché plochy (čtverec, obdélník,kruh), u kterých známe polohu těžiště. Do těžišť jednoduchých ploch umístíme tíhové síly, které jsou úměrné obsahu plochy. Vypočítáme polohu výslednice soustavy rovnoběžných sil ve směru osy x a ve směru osy y.
Příklad 6: Vypočítejte souřadnice těžiště xT a yT složené plochy. 10
y
50 T1 10
T2 70
xT
F1= 500 N F2= 700 N
x1= 25 x2= 55
y1= 35 y2= 35
F = 1 200 N
xT= ?
yT= 35
F1 x1 F2 x 2 F
500 25 700 55 1200
42,5 mm
x Těţiště
Ing. Jan Jemelík
8
Příklad 7: Vypočítejte souřadnice těžiště xT a yT složené plochy. y
35
F1= 700 N F2= 300 N F3= 750 N F = 1 750 N
T1
20
50
25
x1= 17,5 x2= 30 x3= 50 xT= ?
y1= 55 y2= 30 y3= 7,5 yT= ?
T2 45
T3 15
xT
yT
F1 x1
F2 x 2 F
F1 y1 F2 y 2 F
Těţiště
50 F3 x 3
F3 y 3
x
700 17,5 300 30 750 50 1750 700 55 300 30 750 7,5 1750
33,57 mm
30,96 mm
Ing. Jan Jemelík
9
Příklad 8: Vypočítejte souřadnice těžiště xT a yT složené plochy. F1= - 3 500 N y F2 F2= 700 N 40 10 F = - 2 800 N
35 50
T2
F yT
x
F1 y1 F2 y 2
T1
xT
20
70
yT
T2
y1= 25 y2= 32,5
xT= ?
yT= ?
F x T F1 x1 F2 x 2
T1 F1
x1= 35 x2= 50
F1 x1 F2 x 2 F 31,25 mm
F1 y1 F2 y 2 F
3500 35 700 50 2800
3500 25 700 32,5 2800
23,13 mm
T2 F3
F1
F2 Těţiště
Ing. Jan Jemelík
10
Příklad 9: Vypočítejte souřadnice těžiště xT a yT složené plochy. F1= - 3 500 N y F2 10 F2= 700 N 40 F3= 400 N 50 5
F3
35 T1
F = - 2 400 N T2
xT
T3 F1 20 5 70
yT
F1 y1 F2 y 2 F
Těţiště
20 x
F3 y 3
x1= 35 x2= 50 x3= 15
y1= 25 y2= 32,5 y3= 15
xT= ?
yT= ?
F1 x1 F2 x 2 F3 x 3 F 3500 35 700 50 400 15 33,96 mm 2400
3500 25 700 32,5 400 15 2400
24,48 mm
Ing. Jan Jemelík
11
5.2.2 Grafické řešení. Postup je stejný jako při grafickém řešení polohy výslednice soustavy rovnoběžných sil, nebo při grafickém řešení polohy těžiště složené čáry. 5.3 TĚŢIŠTĚ SLOŢENÉHO TĚLESA 5.3.1 Početní řešení. Složené těleso rozdělíme na jednoduchá tělesa (krychle, kvádr,válec, koule), u kterých známe polohu těžiště. Do těžišť jednoduchých těles umístíme tíhové síly, které jsou úměrné objemu těles. Vypočítáme polohu výslednice soustavy rovnoběžných sil ve směru osy x a ve směru osy y. 5.3.2 Grafické řešení řešení. Postup je stejný jako při grafickém řešení polohy výslednice soustavy rovnoběžných sil, nebo při grafickém řešení polohy těžiště složené čáry.
Těţiště
Ing. Jan Jemelík
12
5.4 GULDINOVY VĚTY 1. Guldinova věta: Objem rotačního tělesa je dán součinem velikosti tvořící plochy a obvodu kružnice opsané při rotaci těžištěm tvořící plochy.
R/2
V S 2
h
V
T
V
xT
R h 2 2
R h
R 2
S R h R xT 2
R
V
V
D 2
D 2
2
h
D2 h 4
R
2. Guldinova věta: Povrch rotačního tělesa je dán součinem délky tvořící čáry a obvodu kružnice opsané při rotaci těžištěm tvořící čáry.
S L 2
Těţiště
xT
Ing. Jan Jemelík
13
