Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje
Modul 03 - Technické předměty
Ing. Jan Jemelík
1
2.1 Mechanická práce Pohybuje-li se hmotný bod nebo těleso po určité dráze, musí působit určitá hnací síla. Protože těleso klade proti pohybu odpor, musíme tento odpor překonat. Překonávání odporů se v mechanice nazývá mechanická práce. Mechanickou práci konáme, překonáváme-li odpory silou po určité dráze Práce je dána součinem síly a dráhy ve směru síly. 2.1.1 Mechanická práce síly stálé velikosti Síla působí ve směru dráhy: W=F.s
směr pohybu
[J]
F [N] s [m]
F
s - dráha poloha 1 Mechanická práce, výkon, energie
poloha 2 Ing. Jan Jemelík
2
F
směr pohybu
h - dráha
poloha 2
W = F . h = FG . h W=m.g.h
[J]
poloha 1 FG Síla nepůsobí ve směru dráhy: F Fy směr pohybu Fx
Mechanická práce, výkon, energie
W = F . cos
s
Práce je dána součinem dráhy a průmětem síly do směru dráhy.
s - dráha
poloha 1
W = Fx . s
poloha 2 Ing. Jan Jemelík
3
Síla působí na kruhové dráze (práce při rotačním pohybu): Práce za 1 otáčku: W1 = F . s1 = F . 2 .
R
R
Práce za n otáček:
W = W1 . n = F . 2 . F
F . R = Mk W = Mk .
2. [J]
.R.n n=
úhlová rychlost
Mk [Nm]
[rad . s-1]
2.1.2 Mechanická práce síly proměnné velikosti Při stlačování nebo prodlužování šroubovité válcové pružiny se velikost síly stále mění, a to přímo úměrně s rostoucím stlačení nebo prodloužením. Při nezatížené pružině je počáteční síla rovna nule a při největším stlačení nebo prodloužení má hodnotu maximální - pružina bez předpětí Při výpočtu práce na pružině počítáme se střední (průměrnou) silou: Fs
F0 Fmax 2
Fmax 2
Mechanická práce, výkon, energie
F0
0
Fmax
F8( 9 ) Ing. Jan Jemelík
4
V praxi se často setkáváme s případem, kdy je pružina montována s určitým předpětím. Na začátku pracovního zdvihu (pohybu) je již pružina stlačena určitou silou F1. F1 F8( 9 ) Fs 2 Práce síly na pružině: W = Fs . s
s – stlačení pružiny [m]
Příklad 1: Automobil o hmotnosti 1800 kg se rozjel na rychlost 72 km/hod na dráze 100m. Vypočítejte jakou práci vykonal motor automobilu při rozjezdu. v 20m s 1 v 20 a W F s 2 m s-2 F m a t 10 2 s 2 100 1 v t t s 10 s v 20 2 F 1800 2
3600 N
W 3600 100
360 000 J
Mechanická práce, výkon, energie
Ing. Jan Jemelík
5
Příklad 2: Odpor třísky při hoblování je 3 080 N, zdvih nože je 580 mm. Jaká práce se vykoná za 10 zdvihů? W1 F s W
W1 n
F s n
3080 0,58 10
17 864 J
Příklad 3: Dělník vynáší po prkně dlouhém 5 m a skloněném o úhel 30° bedny o hmotnosti 15 kg. Jakou práci vykoná, odnese- li 100 beden? Práce na vynesení 1 bedny: W1
h
h
30°
FG
Mechanická práce, výkon, energie
m g h l sin 5 sin 30 5 0,5 2,5 m
Práce na vynesení n = 100 beden: W n W1 100 15 9,81 2,5 36 787,5 J Ing. Jan Jemelík
6
Příklad 4: Vypočítejte práci na klice bubnového zdvihadla za 160 otáček za minutu při poloměru kliky 400 mm a obvodové síle 120 N. W
Mk
F R 2
n
120 0,4 2
160 60
804,25 J
Příklad 5: Jaká práce se vykoná při stlačení nezatížené pružiny (bez předpětí) o 60 mm maximální silou 700 N? W
Fs s
Fmax s 2
Mechanická práce, výkon, energie
700 0,06 2
21 J
Ing. Jan Jemelík
7
2.2 Výkon - je mechanická práce za jednotku času P
W t
J s
W
- watt
Násobky: kilowatt – 1 kW = 103 W megawatt – 1 MW = 106 W gigawatt – 1 GW = 109 W Starší jednotky: 1 kůň – 1 k = 735,5 W = 0,7355 kW 1 kW = 1,3596 k W F s P W F s t t P
F v
F [N]
v [m.s-1]
Odvozená jednotka pro práci:
[W.s] W P t wathodina 1 Wh = 3 600 Ws = 3 600 J kilowathodina 1 kWh = 3 600 000 Ws Mechanická práce, výkon, energie
Ing. Jan Jemelík
8
Výkon při rotačním pohybu: P
F v F
P
Mk
Mk
[W] P
2
D n F
n
[Nm]
2 R n
Mk [Nm] [rad.s-1] P [W]
n [s-1]
Příklad 6: Jak velký je výkon elektromotoru, který zvedne břemeno o hmotnosti 10 t do výšky 3 m za 10 s? P
W t
F s t
FG h t
Mechanická práce, výkon, energie
m g h t
10000 9,81 3 10
29 430 W
Ing. Jan Jemelík
9
Příklad 7: Jak vysoko je položena nádrž vodárny, do které se za 24 hodin načerpá 7 200 hl vody čerpadlem o výkonu 2,5 kW? P
m g h t
h
P t m g
2500 24 3600 720 000 9,81
t = 24 hod = 24 . 3 600 s V = 7 200 hl = 720 000 l m 720 000 kg
30,58 m
Mechanická práce, výkon, energie
Ing. Jan Jemelík
10
2.3 Účinnost Překonáváním odporů koná stroj práci. U každého stroje se vyskytují mimo užitečných odporů i odpory neužitečné (škodlivé) – třecí odpory. Část práce musí být vynaložena na překonání těchto neužitečných odporů. Celková přijímaná práce je dána prací užitečnou a prací ztrátovou. Wpř Wuž Wz Stejně je tomu i u výkonu. Kromě užitečného výkonu Puž se u každého stroje vyskytuje i ztrátový výkon Pz. Celkový přijímaný výkon neboli příkon Ppř je dán součtem užitečného a ztrátového výkonu. Ppř = Puž + Pz Jedním z parametrů pro posouzení kvality strojního zařízení je to, kolik dodané energie se přemění v užitečnou práci. Účinnost: užitečný výkon příkon Mechanická práce, výkon, energie
Puž Ppř
1 Ing. Jan Jemelík
11
Účinnost je možné vyjádřit i v %: Puž 100 Ppř Puž
100%
Puž
Ppř
Ppř
Je-li zařazeno několik strojů za sebou s účinnostmi účinnost c: c
1
2
......
Mechanická práce, výkon, energie
.....
n
je celková
n
Ing. Jan Jemelík
12
Příklad 8: Elektromotor odebírá ze sítě 12,5 kW a dodává pracovnímu stroji na řemenici užitečný výkon 10 kW. Jaká je účinnost elektromotoru? Puž Ppř
10 12,5
0,8
80%
Příklad 9: Jaký je příkon elektromotoru jeřábu, který zvedne břemeno o hmotnosti 10 t do výšky 10 m za 20 s, jestliže celková účinnost je 80%? Puž
Ppř
W t
F s t
FG h t
Puž
49 050 0,8
Mechanická práce, výkon, energie
m g h t
10000 9,81 10 20
49 050 W
61 312,5 W 61,3 kW
Ing. Jan Jemelík
13
Příklad 10: Čerpadlo dodalo za hodinu 14,4 m3 vody do dopravní výšky 20 m. Vypočítejte výkon a příkon čerpadla při účinnosti 0,8. FG h m g h Puž m = V . = 14,4 . 1 000 = 14 400 kg t t Puž 784,8 14 400 9,81 20 Puž Ppř 784,8 W 981 W 3 600 0,8 Příklad 11: Vlak o hmotnosti 200 tun se rozjíždí z klidu na rychlost 72 km/hod na dráze 1 500 m. Vypočítejte: a) zrychlení při rozjezdu. b) zrychlující sílu c) užitečný výkon lokomotivy v = 20 m . s-1 a) a
v t
20 150
b)
F m a
c)
Puž
F v
0,13 m s-2
s
1 v t 2
200 000 0,13
26 000 N
26 000 20
520 000 W
Mechanická práce, výkon, energie
t
2 s v
2 1500 20
150 s
520 kW Ing. Jan Jemelík
14
Příklad 12: Vypočítejte příkon a užitečný výkon vodní turbíny, kterou protéká 10 m3 vody za 1 s při spádu 50 m. Účinnost turbíny je 90%. Ppř
W t
F s t
FG h t
4 905 000 W
Puž
Ppř
4,9 0,9
Mechanická práce, výkon, energie
m g h t
10 000 9,81 50 1
4,9 MW 4,41 MW
Ing. Jan Jemelík
15
2.4 Mechanická energie - schopnost tělesa vykonat určitou práci Mechanická energie: polohová - potenciální Ep pohybová - kinetická Ek Polohová (potenciální) energie: m v=0 h
FG
Těleso o hmotnosti m umístěné ve výšce h je schopno při uvolnění vykonat práci W F s FG h m g h [J] m [kg] g [m.s-2] h [m] Tato práce je rovna potenciální energii tohoto tělesa W
Ep m g h
[J]
Polohovou (potenciální) energii má například: závaží k pohonu hodin beran padacího bucharu voda dopadající na vodní turbínu Ve všech uvedených příkladech lze tuto Ep přeměnit na mechanickou práci. Mechanická práce, výkon, energie
Ing. Jan Jemelík
16
Pohybová (kinetická) energie: m Jestliže těleso uvolníme, dopadne na podložku rychlostí v. Těleso vykoná práci: v0 = 0 h v
W
m g h
W
v2 m g 2 g
Rychlost volného pádu: v2 h v 2 g h 2 g 1 m v2 2
Tato práce je rovna kinetické energii:
Ek
1 m v2 2
[J]
Těleso se pohybuje počáteční rychlostí v0. Má počáteční kinetickou energii: 1 Ek0 m v02 2 Působením zrychlující síly F po dráze s se rychlost zvýší na hodnotu v: 1 Ek m v2 2 Práce zrychlující síly způsobila přírůstek kinetické energie: W
F s
Ek
Ek 0
Mechanická práce, výkon, energie
1 m v2 2
1 m v02 2
1 m v2 2
v02 Ing. Jan Jemelík
17
Zákon o zachování energie. m s h
h
1 v1
v1
v12
v2
2 g s
v22
2 g s
h–s
Ek
E E
m g h
E p1
0 Ep Ek
E k1
m g h
E1
E1
m g h s 1 1 m v12 m 2 g s 2 2 m g s E p1 E k1 m g h s m g s m g h m g s m g s
Mechanická práce, výkon, energie
Ep2 Ek 2
Ek 2 E2
m g h
Celková mechanická energie se nezměnila.
2 g h
v2 2
Ep
2 g h
h=0 0 1 m v 22 2 1 m 2 g h 2 m g h Ep2 Ek 2 0 m g h
E2
m g h Ing. Jan Jemelík
18
Příklad 13: Automobil o hmotnosti 2000 kg má kinetickou energii 400 kJ. Vypočítejte jakou rychlostí v km/hod se pohybuje. Ek
1 m v2 2
v
2 Ek m
2 400 000 2000
20 m s-1
72 km h -1
Příklad 14: Těleso o hmotnosti 100 kg má polohovou energii 10 kJ. Vypočítejte v jaké výšce nad základnou se nachází. Ep 10 000 Ep m g h h 10,194 m m g 100 9,81 Příklad 15: Železniční vagon se pohybuje rychlostí 1 500 m/min. Jeho kinetická energie je 4 687,5 kJ. Vypočítejte hmotnost vagonu.
v = 25 m . s-1 Ek
1 m v2 2
m
Mechanická práce, výkon, energie
2 Ek v2
2 4 687 500 252
15 000 kg Ing. Jan Jemelík
19
Příklad 16: Beran bucharu padá z výšky 2,5 m a má hmotnost 100 kg. Vypočítejte: a) potenciální energii zvednutého beranu b) rychlost dopadu beranu na výkovek c) tvářecí sílu, je-li doba úderu beranu 0,14 s. a) E m g h 100 9,81 2,5 2 452,5 J p
b)
v
c)
F m a
2 9,81 2,5 v 7 m 100 t 0,14
2 g h
7 m s-1 5 049 N
Příklad 17: Střela o hmotnosti 0,5 kg dopadne na desku tlustou 80 mm rychlostí 600 m/s. desku prorazí a pokračuje rychlostí 50 m/s. Vypočítejte: a) kinetickou energii střely při dopadu na desku c)sílu potřebnou k proražení b) energii potřebnou na proražení desky desky 1 1 a) m v12 0,5 6002 90 000 J E k1 2 2 b) 1 1 89 375 J 0,5 600 2 502 m v12 v 22 E k E k1 E k 2 2 2 c) E k 89 375 F 1117 187,5 N Ek F s 0,08 s Mechanická práce, výkon, energie
Ing. Jan Jemelík
20
