Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje
Modul 3 - Technické předměty
Ing. Jan Jemelík
1
4.1 Pohybová energie tělesa při rotačním pohybu - rotační energie - pohybová energie tělesa otáčejícího se kolem osy procházející těžištěm Hmotný bod: 1 m v2 v Ek R 2 m 1 R Ek m 2 R2 2 Součin m.R2 je moment setrvačnosti v I0 m R 2 [kg.m2] Rotační energie: Er
1 I0 2
úhlová rychlost Dynamika rotačního pohybu
2
[J]
[rad.s-1] Ing. Jan Jemelík
2
Těleso: je tvořeno velkým počtem hmotných bodů 1 m1 2 R12 2 1 Er 2 m 2 2 R 22 2 Celková rotační energie – rotační energie tělesa: E r1
m1
R1
v1
Er
v2
R2 m2
Er
Er
E r1
1 2 1 2 1 I0 2
E r 2 ...... 2
m1 R12
2
I01
m 2 R 22 .....
I02 .....
2
I0 – moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace, která prochází těžištěm tělesa Dynamika rotačního pohybu
Ing. Jan Jemelík
3
4.2 Momenty setrvačnosti těles
Tenkostěnný prstenec:
Hřídel, plný kotouč: R R
Rs I0
m R
I0
2 s
Dutý hřídel:
1 m R2 2
Koule: R R r
I0
1 m R2 2
Dynamika rotačního pohybu
r2
I0
2 m R2 5
Ing. Jan Jemelík
4
Hranol, kvádr:
Setrvačník: Rs
h
b I0
I0
1 m b2 2
1,1 mv R s
mv – hmotnost věnce Rs – střední poloměr věnce
h2
Moment setrvačnosti složeného tělesa: m3 m1
m2
Dynamika rotačního pohybu
m4
I0
I01
I02
I03
I04
Ing. Jan Jemelík
5
11
1 – plné těleso 2 – plné těleso 2
1
I0
I01 I02
Moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení, která neprochází těžištěm tělesa: - například výstředník (excentr), vačka - výstředník – těleso ve tvaru plného kotouče, u kterého osa otáčení neprochází těžištěm 3 o a 2 1 I X I0 m e x O e
Steinerova věta X
2 Ix Ix3
Dynamika rotačního pohybu
I x1 Io 3
Ix 2
Ix3
m3 a 2
Ing. Jan Jemelík
6
Poloměr setrvačnosti Na zjednodušení vztahů závislých na momentu setrvačnosti se zavádí pojem poloměru setrvačnosti a značí se i. I0
m i2
i
I0 m
Redukovaná hmota Při výpočtech potřebujeme někdy převést (redukovat) hmotu rotujícího tělesa s momentem setrvačnosti I0 do jediného bodu v požadované vzdálenosti r od osy rotace. I0
mr r 2
mr – redukovaná hmota r – požadovaná vzdálenost (je zadaná)
mr
I0 r2
Dynamika rotačního pohybu
Ing. Jan Jemelík
7
Příklad 1: Ocelový setrvačník má tvar plného kotouče o průměru 600 mm a šířce 100 mm. Otáčí se 600 x za minutu. Vypočítejte: a) moment setrvačnosti b) poloměr setrvačnosti c) rotační energii a)
I0
1 m R2 2
1 220,54 0,32 2
b) I0 m i 2
c) Er
1 I0 2
0,62 0,1 7800 4
D2 š 4
m V I0
7 800 kg m3
I0 m
i
2
9,924 kg m2 9,924 220,54
1 I0 2 2
Dynamika rotačního pohybu
220,54 kg
n
2
0,212 m 1 9,924 2 2
10
2
19 589,19 J Ing. Jan Jemelík
8
4.3 Základní rovnice dynamiky pro rotační pohyb Základní rovnice dynamiky pro posuvný pohyb: F=m.a Základní rovnice dynamiky pro rotační pohyb: M
I0
I0 [kg . m2]
[N .m]
[rad . s-2]
4.4 Změna rotační energie – práce zrychlujícího momentu Zrychlující moment:
M
I0
[N .m]
Práce při rotačním pohybu: W
M
[J]
- úhlová dráha [rad] (úhel pootočení)
Práce na zvýšení počáteční energie: počáteční energie: 1 I0 02 Er0 2 Dynamika rotačního pohybu
Ing. Jan Jemelík
9
konečná energie: 1 I0 2 Er 2 práce: Er
W M
1 I0 2
Er 0
2
1 I0 2
2 0
1 I0 2
2
2 0
Při pohybu z klidu: 0 Er 0 0 0 W
1 I0 2
M
2
4.5 Impuls momentu a moment hybnosti M
I0
M t
I0
/ t t
M t L - impuls momentu [N.m.s] I0 b - moment hybnosti [kg.m2.rad.s-1] Jestliže počáteční rychlost není rovna nule:
M t I0
M t I0 Dynamika rotačního pohybu
0
Ing. Jan Jemelík
10
4.6 Porovnání posuvného a rotačního pohybu Posuvný pohyb:
Rotační pohyb:
čas t
čas t
hmotnost m
moment setrvačnosti I0
dráha s
úhlová dráha
rychlost v
úhlová rychlost
zrychlení a
úhlové zrychlení
síla F F
Ek
moment M Základní rovnice dynamiky
m a 1 m v2 2
M I0
Pohybová energie Er
1 I0 2
2
Impuls a hybnost F t
m v v0
Dynamika rotačního pohybu
M t I0
0
Ing. Jan Jemelík
11
Práce zrychlující síly (zrychlujícího momentu) W
F s
1 m v2 2
v02
W M
1 I0 2
2
2 0
Příklad 2: Setrvačník o hmotnosti 20 kg a průměru 400 mm se otáčí otáčkami n1 = 900 min-1. jeho otáčky se za 3 sekundy zvýší na n2 = 1500 min-1. Vypočítejte: a) rotační energii při otáčkách n1 b) moment potřebný pro zvýšení otáček c) energii, která se musí dodat na zvýšení otáček d) rotační energii při otáčkách n2 n1 = 15 s-1 n2 = 25 s-1 a)
E r1
1 I0 2
2 1
1 m R2 2 1 E r1 0,4 2 2
I0
Dynamika rotačního pohybu
1 I0 2 2 1 20 0,22 2 15
2
n1
2
0,4 kg m2
1 777 J Ing. Jan Jemelík
12
b)
M I0 2
2
1
t
c)
n1
M
0,4 20,9
8,36 Nm
Er
Er 2
1 I0 2
E r1
1 0,4 2
d)
n2 t
Er 2
1 I0 2
2 2 2
Dynamika rotačního pohybu
25
2 2 2
1 I0 2 2
2
1 I0 2
2 1
2
15 n2
25 15 3
2
2
2
20,9 rad s
n2
2
2
2
n1
2
3157 J
1 0,4 2 2
25
2
4 935 J
Ing. Jan Jemelík
13
Příklad 3: Na jaké otáčky musíme roztočit ocelový setrvačník tvaru plného kotouče o průměru 600 mm a šířce 60 mm, aby získal energii 1 MJ. Hustota materiálu setrvačníku je 7 850 kg.m-3. Er
1 I0 2
I0
1 m R2 2
1 I0 2 2
2
n
m
2
V
d2 b 4
0,62 0,06 7850 4
133,17 kg I0
1 133,17 0,32 2
2 Er I0 2
n
2 n
5,993 kg m2
2
n
2 1 000 000 5,993
2 Er I0
577,687 2
92 s
Dynamika rotačního pohybu
577,687
1
Ing. Jan Jemelík
14
Příklad 4: Excentr má průměr 200 mm a šířku b = 60 mm. Osa otáčení je posunuta o hodnotu e = 30 mm od geometrického středu. Měrná hustota materiálu excentru je 7,8 kg.dm3. Vypočítejte: a) rotační energii při 120 ot/min b) moment potřebný pro roztočení na požadované otáčky za 2 s. n = 2 s-1 1 2 a) E r 1 I x 2 Ix 2 n 2 2 O 1 I x I0 m e2 m R 2 m e2 e 2 X d2 0,22 b 0,06 7800 14,7 kg m V 4 4 1 Ix 14,7 0,12 14,7 0,032 0,08673 kg m2 2 1 2 Er 0,08673 2 2 6,85 J 2 b)
M Ix
Ix
t
Ix
Dynamika rotačního pohybu
2
n t
0,08673
2
2 2
0,545 Nm Ing. Jan Jemelík
15
Příklad 5: Letecká vrtule má moment setrvačnosti I0 = 40 kg.m2. Při nastartování motoru jsou volnoběžné otáčky 400 min-1. Přidáním plynu se otáčky zvýší na 2 400 min-1 za 4 sekundy. Vypočítejte: a) moment pro zvýšení otáček b) výkon motoru při otáčkách n2 . n2 = 40 s-1 n1 = 6,67 s-1 a)
M I0 2
2
1
n2
t
M
b)
P
n1
t
40 52,35 M
2
2
n2 t
n1
2
40 6,67 4
52,35 rad s
2
2 094 Nm
M 2
Dynamika rotačního pohybu
2
n2
2 094 2
40
526 279,6 W
Ing. Jan Jemelík
16
