Muhammad Ridwan Reza Nugraha (10109045) PR2 Pengantar Geometri Diferensial (MA3401) - September 2011 1. Misal RM adalah grup tranformasi kaku (rigid motion) di R2 . Apakah grup ini komutatif ? Jika ya tunjukkan, jika tidak berikan contoh penyangkal. Jawab : x 2 Ambil sembarang ~x ∈ R , misalkan ~x = 1 x2 Pilih M1 = T(0,1) ◦ R− π2 (~x) dan M2 = T(1,0) ◦ R π2 (~x)
R
x) −π 2 (~
R π2 (~x)
0 1 x1 x2 = = −1 0 x2 −x1 0 −1 x1 −x2 = = 1 0 x2 x1
maka M1 = T(0,1) ◦ R
x) −π 2 (~
= T(1,0) ◦
x2 −x1
x2 + 1 = −x1
sehingga M1 ◦ M2 (~x) = M1
−x2 x1 + 1
x2 + 1 −x1
=
x1 + 1 + 1 x +2 = 1 −(−x2 ) x2
dan M2 ◦ M1 (~x) = M2
=
−(−x1 ) x1 = x2 + 1 + 1 x2 + 2
Karena M1 ◦ M2 (~x) 6= M2 ◦ M1 (~x) untuk setiap ~xdiR2 terbukti bahwa RM bukan grup Komutatif.
2. Suatu kurva laju satuan γ memiliki sifat bahwa vektor singgungnya membentuk suatu sudut θ dengan γ(s) untuk setiap s. Tunjukkan bahwa (a) Jika θ = 0, maka γ adalah bagian dari garis lurus. Karena θ = 0, maka γ segaris dengan t. Misalkanγ = rt dengan r suatu fungsi skalar, maka t = γ˙ = rt ˙ + rt˙ Karena t˙ = Ks ns , maka t = rt ˙ + rKs ns Karena t ⊥ ns dan t, maka t.ns = 0 sehingga t.ns = rt.ns + rKs ns .ns 0 = rKs Akibatnya Ks = 0 karena K = |Ks | = 0, maka terbukti bahwa γ adalah bagian dari garis lurus. (b) Jika θ = π2 , maka γ adalah bagian dari lingkaran. Karena θ = π2 , maka γ ⊥ t sehingga γ segaris dengan ns Misalkan γ = rns dengan r suatu fungsi skalar, maka t = γ˙ = rn ˙ s + rn˙s ...(1) ˙ maka t.ns = 0. Turunkan kedua ruas persamaan terakhir diperoleh Karena t ⊥ ns dan t, ˙ s + tn˙s = 0 tn Karena t˙ = Ks ns , maka ˙ s = −Ks ns .ns = −Ks t.n˙s = −tn 1
Karena ns .ns = 1, maka ns .n˙s = 0 sehingga n˙s ⊥ ns . Karena t ⊥ ns dan n˙s ⊥ ns , maka t segaris dengan n˙s . Misalkan a suatu fungsi skalar, maka a = at.t = n˙s .t˙ = −Ks Sehingga n˙s = −Ks t Substitusi n˙s = −Ks t ke persamaan (1) diperoleh t = rn ˙ s − Ks rt...(2) Kalikan kedua ruas persamaan (2) dengan ns diperoleh r˙ = 0 sehingga r adalah konstanta. 1 Kalikan kedua ruas persamaan (2) dengan t diperoleh Ks = − 1r . Karena K = |Ks | = |r| dengan r adalah konstanta, maka terbukti bahwa γ adalah bagian dari lingkaran. (c) Jika 0 < θ < ns
π 2,
1 maka γ adalah logaritmik spiral (Tunjukkan bahwa Ks = − s cos θ)
γ
θ
t
Berdasarkan gambar, maka dapat dituliskan γ = r(t cos θ + ns sin θ) t = γ˙ = r(t ˙ cos θ + ns sin θ) + r(t˙ cos θ + n˙s sin θ) i. t.t = r(t ˙ cos θ + ns sin θ)t + r(t˙ cos θ + n˙s sin θ)t ˙t cos θ + n˙s sin θ = Ks ns cos θ − Ks t sin θ 1 = r(t ˙ cos θ + ns sin θ) ii. t.ns = r(t ˙ cos θ + ns sin θ)ns + r(Ks ns cos θ − Ks t sin θ)ns 0 = r˙ sin θ + rKs cos θ Kalikan persamaan (1) dengan sin θ dan (2) dengan cos θ, lalu dikurangkan, akan diperoleh sin θ = −rKs ⇒ Ks = −
sin θ r
Kalikan persamaan (1) dengan cos θ dan (2) dengan sin θ, lalu dikurangkan, akan diperoleh cos θ = r ⇒ r = s cos θ + c Asumsikan c = 0 dengan menambahkan konstanta yang bersesuaian pada s sin θ 1 Dengan demikian, − s cos θ = − s cos θ Kesimpulan : γ merupakan logaritmik spiral 3. Hitung K, τ, t, n, dan b. Lalu tunjukkan persamaan Frenet-Serret terpenuhi 3 3 (a) γ(t) = 31 (1 + t) 2 , 13 (1 − t) 2 , √t2 1 1 γ(t) ˙ = 12 (1 + t) 2 , 13 (1 − t) 2 , √12 1 1 γ¨ (t) = 14 (1 + t)− 2 , 14 (1 − t)− 2 , 0 ... γ (t) = − 18 (1 + t)− 23 , 18 (1 − t)− 32 , 0 Periksa apakah γ(t) merupakan kurva laju satuan q √ 1 ||γ(t)|| ˙ = 4 (1 + t) + 14 (1 − t) + 21 = 1 = 1 Kesimpulan : γ(t) merupakan kurva laju satuan
2
Karena γ(t) kurva laju satuan, maka K = ||¨ γ (t)|| s 1 1 = + 16(1 + t) 16(1 − t) s 1 1 1 = + 16) 1 + t 1 − t s 1 2 = 16 (1 − t2 ) 1 =p 8(1 − t2 ) 1 1 1 1 1 t = γ(t) ˙ = (1 + t) 2 , − (1 − t) 2 , √ 2 2 2 √ 1 1 1 1 1 t˙ γ¨ (t) 1 n= = = (1 + t)− 2 , (1 − t)− 2 , 0 . 8(1 + t) 2 (1 − t) 2 K k 4 2 1 1 1 = √ (1 − t) 2 , (1 + t) 2 , 0 2
i 1 (1 + t) 21 b=t×n= 2 1 1 √ (1 − t) 2 2
j 1 − 21 (1 − t) 2 1 √1 (1 + t) 2 2
k 1 1 1 1 1 √1 = − (1 + t) 2 , (1 − t) 2 , √ 2 2 2 2 0
Akan ditunjukkan persamaan Frenet-Serret terpenuhi 1 1 i. t˙ = Kn ⇒ t˙ = γ¨ = 41 (1 + t)− 2 , 14 (1 − t)− 2 , 0 = √
1 8(1−t2 )
√1 (1 2
1 1 − t) 2 , √12 (1 + t) 2 , 0 = Kn
ii. 0 1 1 − 12 − 12 n˙ = − √ (1 − t) , √ (1 + t) , 0 2 2 2 2 1 1 1 −(1 + t) 2 , (1 − t) 2 , 0 =√ 1 1 8(1 + t) 2 (1 − t) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 =√ − (1 + t) , (1 − t) , − √ + − (1 + t) , (1 − t) , √ 1 1 2 2 2 2 2 2 8(1 + t) 2 (1 − t) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = −p (1 + t) 2 , − (1 − t) 2 , √ +p − (1 + t) 2 , (1 − t) 2 , √ 2 2 2 2 2 8(1 − t2 ) 2 8(1 − t2 )
= −Kt + τ b
3
iii. 0 1 1 − 21 − 21 − (1 + t) , − (1 − t) , 0 4 4 1 1 1 1 1 2 2 √ (1 − t) , √ (1 + t) , 0 = −p 2 2 8(1 − t2 )
b˙ =
= −τ n τ = −n.b˙ 1 1 1 1 1 1 1 1 = − √ (1 − t) 2 , − √ (1 + t) 2 , 0 . − (1 + t)− 2 , − (1 − t)− 2 , 0 4 4 2 2 1
1
1 (1 − t) 2 1 (1 + t) 2 √ = √ 1 + 1 2 4 2 (1 + t) 4 2 (1 − t) 2 1 2 = √ 1 4 2 (1 − t2 ) 2 1 1 = √ 2 2 (1 − t) 12 =p
1 8(1 − t2 )
Terbukti memenuhi persamaan Frenet - Serret (b) γ(t) = 45 cos t, 1 − sin t, − 53 cos t γ(t) ˙ = − 45 sin t, − cos t, 35 sint γ¨ (t) = − 45 cos t, sin t, 35 cos t ... γ (t) = 45 sin t, cos t, − 35 sin t Periksa apakah γ(t) merupakan kurva laju satuan q √ 16 9 ||γ(t)|| ˙ = 25 sin2 t + cos2 t + 25 sin2 t = 1 = 1 Kesimpulan : γ(t) merupakan kurva laju satuan Karena γ(t) kurva laju satuan, maka K = ||¨ γ (t)|| r √ 16 9 = sin2 t + cos2 t + sin2 t = 1 = 1 25 25
3 4 t = γ(t) ˙ = − sin t, − cos t, sin t 5 5 4 ˙t − cos t, sin t, 53 cos t γ¨ (t) 5 n= = = K 1 k 4 3 = − cos t, sin t, cos t 5 5
i b = t × n = − 45 sin t − 4 cos t 5
j − cos t sin t
k 3 = − 3 , 0, − 4 sin t 5 5 5 3 5 cos t
Akan ditunjukkan persamaan Frenet-Serret terpenuhi i. t˙ = Kn ⇒ t˙ = γ¨ = 4 cos t, sin t, 3 cos t = 1. 4 cos t, sin t, 3 cos t = Kn 5
5
5
5
ii. 0 4 3 sin t, cos t, − sin t 5 5 4 3 = − − sin t, − cos t, sin t + 0 5 5
n˙ =
= −Kt + τ b 4
iii. n˙ = t˙ 0 1 0 t Jadi n˙ = −1 0 0 n 0 0 0 b b˙
4 3 − , 0, − 5 5
0 = (0, 0, 0) = −τ n
τ = −n.b˙ 3 4 cos t, − sin t, − cos t . (0, 0, 0) = 5 5 =0+0+0=0 Terbukti memenuhi persamaan Frenet - Serret 2 1−t2 , t + 1, merupakan kurva planar 4. Tunjukkan Kurva γ(t) = 1+t t t 1 1 γ(t) = t + t, t + 1, t − t 1 γ(t) ˙ = 1 − t12 , 1, − t2 − 1 2 2 γ¨ (t) = t3 , 0, t3 ... γ (t) = − t64 , 0, − t64 ... akan dihitung (γ˙ × γ¨ ). γ i j k γ˙ × γ¨ = 1 − t12 1 − t12 − 1 2 23 0 3 t t 4 2 2 = 3,− 3,− 2 t t t ... 2 4 2 6 6 (γ˙ × γ¨ ). γ = 3 , − 3 , − 2 . − 4 , 0, − 4 t t t t t 12 12 =− 2 +0+ 2 =0 t t ... ... ˙ γ ). γ Karena (γ˙ × γ¨ ). γ = 0, maka τ = (||γר γר ˙ γ ||2 = 0 Terbukti kurva γ(t) merupakan kurva planar. 5. Terdapat sebuah matrix berukuran 3x3 dengan (aij = −aji ) untuk semua j dan i. Misalkan v1 , v2 , v3 fungsi mulus dengan parameter s yang memenuhi persamaan. vi = σj = 13 aij vj Pada s0 , v1 (s0 ), v2 (s0 ), v3 (s0 ) ortonormal. Buktikan v1 , v2 , v3 ortonormal untuk semua s.(Cari sistem persamaan diferensial yang memenuhi dot produk vi , vj , dan gunakan fakta bahwa sistem tadi memeiliki solusi yang unik untuk beberapa kondisi) Jawab : Misalkan λij = Vi .Vj λij = Vi .Vj = V˙ i Vj + Vi V˙ j 3 3 = σk=1 aik Vj Vj + Vi σk=1 ajk Vk 3 3 = σk=1 aik Vk Vj + Vi σk=1 ajk Vk 3 3 = σk=1 aik λkj + σk=1 ajk λik 3 = σk=1 (aik λkj + ajk λik )
Akan dibuktikan aij ⊥ aji = 0 3 λij = σk=1 (aik λkj + ajk λik ) (∗)
5
Solusi persamaan diferensial diperoleh apabila λij = δij dengan δij = 0 untuk i 6= j dan δij = 1 untuk i = j Tinjau (*), tulis dalam bentuk lain 3 3 λij = aij λii + aijλjj +σk=1,k6 =j aik λkj +σk=1,k6=i ajk λik karena λij = δij = 0 dan λii = 1 = λjj maka aij + aji = 0
6
