PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2009
2
Planimetrie
Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.
Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Planimetrie
3
Obsah Rovinné útvary ........................................................................................................................... 8 Přímka a její části ................................................................................................................... 8 Přímka a její části ............................................................................................................. 10 Varianta A ........................................................................................................................ 10 Přímka a její části ............................................................................................................. 13 Varianta B ........................................................................................................................ 13 Přímka a její části ............................................................................................................. 14 Varianta C ........................................................................................................................ 14 Polorovina, úhel, dvojice úhlů.............................................................................................. 15 Polorovina, úhel, dvojice úhlů.......................................................................................... 19 Varianta A ........................................................................................................................ 19 Polorovina, úhel, dvojice úhlů.......................................................................................... 21 Varianta B ........................................................................................................................ 21 Polorovina, úhel, dvojice úhlů.......................................................................................... 23 Varianta C ........................................................................................................................ 23 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek............................................................ 25 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek........................................................ 28 Varianta A ........................................................................................................................ 28 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek........................................................ 30 Varianta B ........................................................................................................................ 30 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek........................................................ 33 Varianta C ........................................................................................................................ 33 Trojúhelník ........................................................................................................................... 36 Trojúhelník ....................................................................................................................... 41 Varianta A ........................................................................................................................ 41 Trojúhelník ....................................................................................................................... 42
4
Planimetrie
Varianta B ........................................................................................................................ 42 Trojúhelník ....................................................................................................................... 43 Varianta C ........................................................................................................................ 43 Shodnost a podobnost trojúhelníků ...................................................................................... 45 Shodnost a podobnost trojúhelníků .................................................................................. 47 Varianta A ........................................................................................................................ 47 Shodnost a podobnost trojúhelníků .................................................................................. 49 Varianta B ........................................................................................................................ 49 Shodnost a podobnost trojúhelníků .................................................................................. 53 Varianta C ........................................................................................................................ 53 Mnohoúhelníky .................................................................................................................... 57 Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 60 Varianta A ........................................................................................................................ 60 Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 61 Varianta B ........................................................................................................................ 61 Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 63 Varianta C ........................................................................................................................ 63 Čtyřúhelníky ......................................................................................................................... 65 Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 68 Varianta A ........................................................................................................................ 68 Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 70 Varianta B ........................................................................................................................ 70 Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 71 Varianta C ........................................................................................................................ 71 Kružnice, kruh ...................................................................................................................... 73 Kružnice, kruh .................................................................................................................. 78 Varianta A ........................................................................................................................ 78
Planimetrie
5
Kružnice, kruh .................................................................................................................. 79 Varianta B ........................................................................................................................ 79 Kružnice, kruh .................................................................................................................. 81 Varianta C ........................................................................................................................ 81 Úhly v kružnici ..................................................................................................................... 83 Úhly v kružnici ................................................................................................................. 85 Varianta A ........................................................................................................................ 85 Úhly v kružnici ................................................................................................................. 87 Varianta B ........................................................................................................................ 87 Úhly v kružnici ................................................................................................................. 89 Varianta C ........................................................................................................................ 89 Obvody a obsahy rovinných obrazců ................................................................................... 91 Obvody a obsahy rovinných obrazců ............................................................................... 94 Varianta A ........................................................................................................................ 94 Obvody a obsahy rovinných obrazců ............................................................................... 96 Varianta B ........................................................................................................................ 96 Obvody a obsahy rovinných obrazců ............................................................................... 97 Varianta C ........................................................................................................................ 97 Euklidovy věty, věta Pythagorova ....................................................................................... 98 Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................... 99 Varianta A ........................................................................................................................ 99 Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................. 100 Varianta B ...................................................................................................................... 100 Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................. 102 Varianta C ...................................................................................................................... 102 Konstrukční úlohy .................................................................................................................. 104 Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ................................ 104
6
Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ............................ 109 Varianta A ...................................................................................................................... 109 Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ............................ 114 Varianta B ...................................................................................................................... 114 Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ............................ 118 Varianta C ...................................................................................................................... 118 Konstrukční úlohy .................................................................................................................. 122 Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ............................................................................. 122 Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ......................................................................... 123 Varianta A ...................................................................................................................... 123 Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ......................................................................... 127 Varianta B ...................................................................................................................... 127 Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ......................................................................... 132 Varianta C ...................................................................................................................... 132 Konstrukce kružnic ............................................................................................................ 137 Konstrukce kružnic ........................................................................................................ 138 Varianta A ...................................................................................................................... 138 Konstrukce kružnic ........................................................................................................ 143 Varianta B ...................................................................................................................... 143 Konstrukce kružnic ........................................................................................................ 148 Varianta C ...................................................................................................................... 148 Konstrukce na základě výpočtu.......................................................................................... 153 Konstrukce na základě výpočtu...................................................................................... 154 Varianta A ...................................................................................................................... 154 Konstrukce na základě výpočtu...................................................................................... 158 Varianta B ...................................................................................................................... 158 Konstrukce na základě výpočtu...................................................................................... 162
Planimetrie
7
Varianta C ...................................................................................................................... 162
Planimetrie
8
Rovinné útvary Přímka a její části Základní pojmy Věta: Dvěma různými body prochází jediná přímka.
p
D C
B
A Zápis: ⃡ … bod C náleží přímce p … bod D nenáleží přímce p Věta: Jeden bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky a jejich společným počátkem.
p C
B
A Zápis: ,
… bod C dělí přímku p na dvě opačné polopřímky
Věta: Úsečka AB je tvořena všemi body přímky AB, které leží mezi body A, B a body A a B.
Planimetrie
9
B A A, B … krajní body úsečky, všechny ostatní body úsečky nazýváme vnitřní body úsečky. Všechny vnitřní body tvoří vnitřek úsečky AB. Platí:
,
,
⃡
Věta: Délka (velikost) úsečky AB je vzdálenost bodů A a B. Zápis: |
|
Věta: Dvě shodné úsečky mají stejné délky. Zápis: … shodné úsečky AB a CD Poznámka: Platí-li |
|
|
|, říkáme, že úsečka AB je větší než úsečka CD, nebo také, že úsečka CD
je menší než úsečka AB. Bod S, který dělí úsečku AB na dvě shodné úsečky, se nazývá střed úsečky.
10
Planimetrie
Přímka a její části Varianta A Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.
S R P=Q Y X
Q
a) bod Y náleží polopřímce b) bod Y neleží na úsečce RS c) úsečky XY a RS nemají žádný společný bod Příklad: a) b) c) Příklad: Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B
a)
Varianta C
b) c)
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.
S R P=Q Y
Q
X a) bod R náleží polopřímce b) úsečka YP je částí polopřímky c) úsečka XY neleží na polopřímce [a)
, b)
, c)
]
2) Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.
S R P=Q Y
Q
X a) polopřímky
mají jediný společný bod
a
b) velikost úsečky YP je shodná s velikostí úsečky c) úsečka YR je částí úsečky [a)
{ }, b) |
|
|
|, c)
]
3) Na základě obrázku rozhodněte, zda platí následující tvrzení.
S R P=Q Y X
Q
11
12
Planimetrie
a) b) c) |
|
|
|
[a) ano, b) ano, c) ne]
4) Na základě obrázku rozhodněte, zda platí následující tvrzení.
S R P=Q Y X a) b) c) |
|
[a) ne, b) ne, c) ano]
Q
Planimetrie
13
Přímka a její části Varianta B Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny polopřímky určené těmito body. Příklad: Polopřímka je jednoznačně určena dvěma body a navíc záleží na pořadí. Pomocí čtyř bodů K, L, M, N tedy vlastně utvoříme všechny uspořádané dvojice: ,
,
,
Příklad:
,
,
,
,
,
,
,
,
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Varianta C Příklady k procvičení: 1) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny úsečky určené těmito body. [ KL, KM, KN, LM, LN, MN] 2) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny dvojice úseček, které nemají žádné společné body. [KL, MN] 3) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny dvojice polopřímek, které nemají žádné společné body. [
,
]
4) Na přímce p zvolte pět různých bodů K, L, M, N, O v uvedeném pořadí a zapište, kolik různých polopřímek je těmito body určeno. [20]
14
Planimetrie
Přímka a její části Varianta C V rovině je zvoleno 6 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Příklad: Každý z šesti bodů můžeme spojit s pěti zbývajícími body. Vznikne tak 30 takových dvojic bodů. Jelikož ale při určení přímky pomocí dvou bodů nezáleží na pořadí těchto bodů, je mezi těmito 30 dvojice každá přímka zastoupená dvakrát. Celkový počet různých přímek je tedy poloviční, tzn. 15. Příklad: Varianta A
Výsledek řešení: 15
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) V rovině je zvoleno 10 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik různých přímek je těmito body určeno?
[45]
2) V rovině je zvoleno 20 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik různých přímek je těmito body určeno?
[190]
3) Na základě výsledků řešeného příkladu a předcházejících dvou příkladů určete obecný vztah pro n různých bodů v rovině, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce.
[
(
)]
4) Je dáno osm různých bodů v rovině (A, B, C, D, E, F, G, H). Čtveřice A, B, C, D a E, F, G, H leží v přímkách. Kolik různých přímek je danými body určeno?
[18]
Planimetrie
15
Polorovina, úhel, dvojice úhlů Základní pojmy Věta: Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a jejich společnou hranicí, tzv. hraniční přímkou.
D
p B
A
C
Zápis: nebo nebo Hraniční přímka p patří do obou polorovin. Bod, který neleží na přímce p, je vnitřním bodem jedné z polorovin. Věta: Dvě různé polopřímky
,
dělí rovinu na dva úhly AVB.
16
Planimetrie
B
V
A
Zápis: … konvexní úhel AVB … nekonvexní úhel AVB Jsou-li polopřímky
,
opačné, je každý z obou úhlů AVB úhel přímý. Totožné
polopřímky určují jednak nulový úhel AVB a jednak plný úhel AVB. Jsou-li dva úhly AVB a CUD shodné, zapisujeme to následujícím způsobem:
Věta: Osa úhlu je polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu, která dělí daný úhel na dva úhly shodné. A
V
o
B Věta: Dva konvexní úhly AVB a AVC se společným ramenem
, a jejichž zbylá ramena
jsou navzájem opačné polopřímky, se nazývají úhly vedlejší.
,
Planimetrie
17
A
V
C
B
Věta: Dva konvexní úhly AVB a CVD, jejichž ramena
,
a
,
jsou navzájem opačné
polopřímky, se nazývají vrcholové úhly. C
A
V
B
D
Věta: Pravý úhel je takový úhel, který se shoduje se svým úhlem vedlejším. Všechny pravé úhly jsou shodné. A
C
V
B
18
Planimetrie
Výsledkem měření úhlu je nezáporné číslo nazývané velikost úhlu. Zápis: | |
| … velikost konvexního úhlu AVB | … velikost nekonvexního úhlu AVB
Velikost úhlu měříme v planimetrii zpravidla v úhlových stupních, v teorii goniometrických funkcí a ve fyzice spíše v radiánech. Z úhlového stupně jsou dále odvozeny i menší jednotky – úhlová minuta a úhlová vteřina. … jeden úhlový stupeň … jedna úhlová minuta … jedna úhlová vteřina
Konvexní úhel o velikosti menší než Konvexní úhel o velikosti větší než
se nazývá ostrý úhel. se nazývá tupý úhel.
Planimetrie
19
Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta A Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách.
d) e) Příklad: Při převodu postupujeme tak, že desetinnou část čísla vyjádřenou ve stupních převedeme na minuty vynásobením číslem 60 a dále desetinnou část takto získaného čísla vyjádřenou v minutách převedeme na vteřiny vynásobením opět číslem 60. a)
b)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: d) e)
20
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách. a) b) [a)
, b)
]
2) Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách. a) b) [a)
, b)
]
3) Vyjádřete dané úhly jako desetinné číslo. a) b) ̅ , b)
[a)
]
4) Vyjádřete dané úhly jako desetinné číslo. a) b) [a)
̅ , b)
̅ ]
Planimetrie
21
Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta B Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu . a) b) Příklad: Součet dvou vedlejších úhlů je
. Velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu tedy určíme,
tak, že velikost tohoto úhlu odečteme od
.
a) b)
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A
a)
Varianta B
b)
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu . a) b) [a)
, b)
]
2) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu . a) b) [a)
, b)
]
22
Planimetrie
3) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu . a) b) [a)
, b)
]
4) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu . a) b) [a)
, b)
]
Planimetrie
Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta C Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem S směr a) SZ b) SSZ Příklad: Tzv. „směrovou růžici“ můžeme znázornit následujícím obrázkem: SSZ
S
SSV SV
SZ ZSZ
VSV
Z
V
ZJZ
VJV JZ
JV JJZ
J
JJV
Nejmenší úhel ve směrové růžici určíme např. jako
.
a) Úhel mezi směrem S a SZ je tvořen dvěma těmito nejmenšími úhly, tedy , b) Úhel mezi směrem S a SSZ je tvořen jedním tímto nejmenším úhlem, tedy . Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: a)
, b)
23
24
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem J směr a) SZ b) JJZ [a)
, b)
]
2) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem SV směr a) SZ b) VJV [a)
, b)
]
3) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem JZ směr a) SV b) JJV [a)
, b)
]
4) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem SSZ směr a) SZ b) JJZ [a)
, b)
]
Planimetrie
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Základní pojmy Pro vzájemnou polohu dvou přímek v rovině mohou nastat tři případy: a) přímky jsou různoběžné (mají jeden společný bod)
p
q
b) přímky jsou rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod p
q
c) přímky jsou totožné (mají nekonečně mnoho společných bodů)
Věta: Daným bodem A lze vést v dané přímce p jedinou rovnoběžku.
25
26
Planimetrie
Část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami se nazývá rovinný pás. p
q
Jsou-li dány dvě rovnoběžné přímky a, b a třetí přímka p, která je obě protíná, říkáme, že přímky a a b jsou proťaty příčkou p. p
a
b
Dvojice úhlů
se nazývají úhly souhlasné.
Dvojice úhlů
se nazývají úhly střídavé.
Věta: a) Je-li jedna dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou p na přímkách a, b úhly shodné, pak jsou přímky a a b rovnoběžné. b) Jsou-li přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou p na přímkách a, b jsou úhly shodné.
Planimetrie
27
Odchylkou dvou různoběžných přímek a, b je velikost každého s ostrých nebo pravých úhlů , které přímky spolu svírají. a
b
Zápis: |
|
Jsou-li přímky a a b rovnoběžné, je jejich odchylka Jsou-li přímky a a b kolmé, je jejich odchylka
. .(
)
Věta: a) Každým bodem A lze vést k dané přímce p jedinou kolmici k. b) Je-li c) Je-li
a a
, pak je
.
, pak je
.
Věta: Přímka, která prochází středem úsečky a je k ní kolmá, se nazývá osa úsečky. Vzdáleností bodu A od přímky p nazýváme nejkratší vzdálenost tohoto bodu od přímky, tedy vzdálenost tohoto bodu od paty kolmice vedené bodem A k přímce p.
28
Planimetrie
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta A Jsou dány 4 navzájem různoběžné přímky p, q, r, s, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek. Příklad: Celý problém můžeme znázornit na obrázku: q
p
s
r
Z obrázku je patrné, že celkový počet průsečíků je 6. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: Celkový počet průsečíků je 6.
Planimetrie
29
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány 3 navzájem různoběžné přímky, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek.
[3]
2) Je dáno 5 navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek.
[10]
3) Je dáno 8 navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek.
[28]
4) Je dáno n navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Na základě výsledků předcházejících příkladů určete počet všech průsečíků daných přímek. [
(
)]
30
Planimetrie
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta B Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu
je
. Určete
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r
p
q
Příklad: Úhly
jsou úhly vrcholové a tedy shodné. Velikost úhlu
Úhly
jsou úhly souhlasné a tedy shodné. Velikost úhlu
Úhly
jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je
jako: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
.
Výsledek řešení:
je tedy je tedy
. .
. Velkost úhlu
tedy určíme
Planimetrie
31
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu
je
. Určete
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r
p
q
[
]
2) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu
je
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r
p
q
[
]
. Určete
32
Planimetrie
3) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu
je
. Určete
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r
p
q
[
]
4) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu
je
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r
p
q
[
]
. Určete
Planimetrie
33
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta C Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů
.
d
c
a
b
Příklad: Úhly
jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je
jako: Úhly
tedy určíme
. jsou úhly střídavé a tedy shodné. Velikost úhlu
Úhly Úhly
. Velkost úhlu
je tedy
jsou úhly souhlasné a tedy shodné. Velikost úhlu jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je .
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
.
je tedy
. Velkost úhlu
. tedy určíme jako:
34
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů
.
d
c
a
b
[
]
2) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů
.
d
c
a
b
[
]
Planimetrie
3) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů
.
d
c
a
b
[
]
4) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů
.
d
c
a
b
[
]
35
Planimetrie
36
Trojúhelník Základní pojmy Definice: Tři různé body A, B, C, které neleží na jedné přímce, určují trojúhelník ABC.
C
b
A
a
c
B
A, B, C – vrcholy trojúhelníku a, b, c – strany trojúhelníku – vnitřní úhly trojúhelníku
, , ,
,
– vnější úhly trojúhelníku
Podle délek stran rozlišujeme trojúhelníky na: -
různostranné (žádné dvě strany nejsou shodné),
-
rovnoramenné (dvě strany shodné),
-
rovnostranné (všechny strany shodné).
Podle velikosti vnitřních úhlů dělíme trojúhelníky na: -
ostroúhlé (všechny úhly ostré),
-
pravoúhlé (jeden úhel pravý),
-
tupoúhlé (jeden úhel tupý).
Věta: a) Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je . b) Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je . c) Velikost vnějšího úhlu je rovna součtu vnitřních úhlů u zbývajících dvou vrcholů.
Planimetrie
37
Věta: Součet velikostí každých dvou stran trojúhelníku je větší než velikost strany třetí. V každém trojúhelníku tedy platí tři tzv. trojúhelníkové nerovnosti:
Věta: V každém trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel a naopak, proti většímu vnitřnímu úhlu větší strana.
Definice: Střední příčka trojúhelníku je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku. Je rovnoběžná s tou stranou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje a její velikost je rovna polovině délky této strany.
C
B1
A
A1
C1
B
38
Planimetrie
Definice: Spojnice vrcholu trojúhelníku s patou kolmice vedené tímto bodem k protilehlé straně trojúhelníku se nazývá výška trojúhelníku. Všechny tři přímky, na nichž leží výšky trojúhelníku, se protínají v jediném bodě zvaném ortocentrum.
C
B0 vb A0 V va A
vc
C0
B
Definice: Spojnice vrcholu trojúhelníku se středem protilehlé strany trojúhelníku se nazývá těžnice trojúhelníku. Všechny tři přímky, na nichž leží těžnice trojúhelníku, se protínají v jediném bodě zvaném těžiště trojúhelníku. Vzdálenost těžiště od každého vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice.
Planimetrie
C
tc B1
A1 T tb
ta
B
C1
A Věta:
a) Osy stran trojúhelníku se protínají v jediném bodě, středu kružnice trojúhelníku opsané. b) Osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jediném bodě, středu kružnice trojúhelníku vepsané.
C ko B1
A1 So
A
C1
B
39
40
Planimetrie
C kv Sv
A
B
Planimetrie
41
Trojúhelník Varianta A Strany trojúhelníku mají délky 16 cm, 20 cm a 25 cm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit. Příklad: Pro strany trojúhelníku musí být splněny všechny tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet délek každých dvou stran musí být větší než délka strany třetí. a)
… tato nerovnost je splněna.
b)
… tato nerovnost je splněna.
c)
… tato nerovnost je splněna.
Jelikož jsou splněny všechny tři trojúhelníkové nerovnosti, lze tento trojúhelník sestrojit. Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení: Trojúhelník lze sestrojit.
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Strany trojúhelníku mají délky 1,6 cm, 20 mm a 0,11 dm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit.
[ano]
2) Strany trojúhelníku mají délky 11 mm, 5 mm a 6 mm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit.
[ne]
3) Strany trojúhelníku mají délky 2,6 cm, 20 mm a 0,01 dm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit.
[ne]
4) Strany trojúhelníku mají délky 3,6 m, 2 m a 1,7 m. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit.
[ano]
42
Planimetrie
Trojúhelník Varianta B Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru
. Určete velikosti všech vnitřních
úhlů trojúhelníku. Příklad: Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je v poměru
. Řešit tuto úlohu tedy znamená rozdělit
. Celkový počet dílů určíme jako
. Velikost jednoho dílu
určíme vydělením: Nejmenšímu úhlu trojúhelníku přísluší jeden díl, tedy má velikost
. Prostřednímu úhlu
přísluší dva díly, tedy jeho velikost určíme jako
. Největšímu úhlu trojúhelníku
přísluší šest dílů, takže jeho velikost určíme jako
. Daný trojúhelník má tedy
vnitřní úhly o velikostech Příklad: Varianta A
.
Výsledek řešení: Daný trojúhelník má vnitřní úhly o velikostech
.
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru vnitřních úhlů trojúhelníku. 2) Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru úhlů trojúhelníku. 3) Velikosti vnějších úhlů trojúhelníku jsou v poměru vnějších úhlů trojúhelníku. 4) Velikosti vnějších úhlů trojúhelníku jsou v poměru vnějších úhlů trojúhelníku.
. Určete velikosti všech [
]
. Určete velikosti všech vnitřních [
]
. Určete velikosti všech [
]
. Určete velikosti všech [
]
Planimetrie
43
Trojúhelník Varianta C Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC:
. Jakým podmínkám
musí vyhovovat délka třetí strany? Příklad: Pro strany trojúhelníku musí být splněny všechny tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet délek každých dvou stran musí být větší než délka strany třetí. a) b) c) Po dosazení dostáváme následující soustavu nerovnic: a) b) c) Po úpravě dostáváme: a) b) c) Řešením této soustavy nerovnic jsou všechna c, pro která platí: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: (
)
(
).
Planimetrie
44
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC:
. Jakým podmínkám
musí vyhovovat délka třetí strany? [
(
)]
2) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC:
. Jakým podmínkám
musí vyhovovat délka třetí strany? [
(
)]
3) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC:
. Jakým podmínkám
musí vyhovovat délka třetí strany? [
(
)]
4) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany? [
(
)]
. Jakým
Planimetrie
Shodnost a podobnost trojúhelníků Základní pojmy
Definice: Dva trojúhelníky nazveme shodné, lze-li je navzájem přemístit tak, že se oba překrývají. Pokud postačuje trojúhelník pouze přemístit, hovoříme o shodnosti přímé, pokud je trojúhelník nutné nejen přemístit, ale i překlopit, hovoříme o shodnosti nepřímé. O shodnosti trojúhelníků ovšem zpravidla nerozhodujeme pomocí přemísťování, nýbrž používáme důležité věty o shodnosti trojúhelníků. Věta: (sss) Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.
Věta: (usu) Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsou shodné.
Věta: (sus) Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.
Věta: (Ssu) Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich.
45
46
Planimetrie
Definice: Pro každé dvě úsečky AB a CD můžeme stanovit kladné reálné číslo k, pro které platí: | Můžeme také psát: |
|
| |
|
|. Číslo k se nazývá poměr úseček AB a CD.
|
Definice: Trojúhelník A´B´C´ je podobný trojúhelníku ABC, existuje-li kladné reálné číslo k takové, že pro jejich strany platí: |
|
|
||
|
|
||
|
|
Číslo k se nazývá poměr podobnosti trojúhelníků ABC a A´B´C´. Je-li zvětšení, je-li
, hovoříme o zmenšení. Pro
| , hovoříme o
se jedná o shodnost trojúhelníků.
Zápis podobnosti: Z výše uvedené definice podobnosti trojúhelníků také vyplývá: Věta: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže poměr délek každých dvou stran jednoho trojúhelníku je roven poměru délek příslušných stran trojúhelníku druhého.
O podobnosti trojúhelníků můžeme také rozhodnout pomocí vět o podobnosti trojúhelníků.
Věta: (uu) Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech.
Věta: (sus) Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na jeho ramenech.
Planimetrie
47
Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta A Jsou dány trojúhelníky ABC:
a A´B´C´:
. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. Příklad: Při řešení je vhodné oba trojúhelníky načrtnout.
C´
C
B
A
V trojúhelníku A´B´C´můžeme dopočítat velikost úhlu (
A´
B´ (
jako
)
. Jelikož po převodu jednotek platí
)
, je na
základě obrázku patrné, že oba dva trojúhelníky jsou shodné podle věty usu.
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A
(usu)
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány trojúhelníky ABC: |
|
|
|
a MNO:
. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. [
(sus)]
48
Planimetrie
2) Jsou dány trojúhelníky KLM:
a OPQ: . Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. [
3) Jsou dány trojúhelníky DEF: |
|
|
|
|
|
|
(sss)] |
a RST:
. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. [
4) Jsou dány trojúhelníky ABC: |
|
|
|
(usu)]
a A´B´C´:
. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. [
(Ssu)]
Planimetrie
49
Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta B Danou úsečku AB zvětšete v poměru
.
Příklad: Úsečku AB doplníme na konvexní úhel BAX. Na polopřímku
naneseme tři jednotky a
označíme je např. body 1, 2, 3.
3 2 1
B´
B
A
Koncový bod úsečky AB spojíme s bodem 2 a bodem 3 vedeme s touto spojnicí rovnoběžku. Tato rovnoběžka určí na polopřímce
bod B´. Trojúhelníky AB2 a AB´3 jsou podobné
podle věty uu s koeficientem podobnosti . Pro úsečky AB a AB´ tedy platí: |
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
|
|
|
|
| |
|
Planimetrie
50
Výsledek řešení:
3 2 1
B
A
B´
Příklady k procvičení: 1) Danou úsečku AB zvětšete v poměru
.
5 4 3 2 1
A
B
B´
Planimetrie
2) Danou úsečku AB zvětšete v poměru
.
3 2 1 B´
B
A
3) Danou úsečku AB zmenšete v poměru
.
3 2 1
A
B´
B
51
52
Planimetrie
4) Danou úsečku AB zmenšete v poměru
.
7 6 5 4 3 2 1
A
B´
B
Planimetrie
53
Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta C Danou úsečku AB rozdělte v poměru
.
Příklad: Úsečku AB doplníme na konvexní úhel BAX. Na polopřímku
naneseme pět jednotek
(celkový počet dílů) a označíme je např. body 1, 2, 3, 4, 5.
5 4 3 2 1 A
B
X
Koncový bod úsečky AB spojíme s posledním bodem 5 a bodem 3 (první člen poměru) vedeme s touto spojnicí rovnoběžku. Tato rovnoběžka určí na polopřímce
bod X.
Trojúhelníky AB5 a AX3 jsou podobné podle věty uu s koeficientem podobnosti . Pro poměr úseček AX a XB tedy platí stejný poměr jako pro úsečky A3 a 35 (tedy | Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
| |
|
):
54
Planimetrie
Výsledek řešení:
5 4 3 2 1 A
B
X
Příklady k procvičení: 1) Danou úsečku AB rozdělte v poměru
.
7 6 5 4 3 2 1
A
X
B
Planimetrie
2) Danou úsečku AB rozdělte v poměru
.
7 6 5 4 3 2 1
A
B
X
3) Danou úsečku AB rozdělte v poměru
.
7 6 5 4 3 2 1
A
X
Y
B
55
56
Planimetrie
4) Danou úsečku AB rozdělte v poměru
.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A
X
Y
Z
B
Planimetrie
Mnohoúhelníky Základní pojmy
Definice: Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny ohraničené touto lomenou čárou se nazývá mnohoúhelník. Délka lomené čáry ohraničující mnohoúhelník se nazývá obvod mnohoúhelníku. Vrcholy lomené čáry se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Strany lomené čáry se nazývají strany mnohoúhelníku. Mnohoúhelníku o n vrcholech říkáme n-úhelník (pro
trojúhelník, pro
čtyřúhelník, …). Každý vrchol n-úhelníku má dva sousední vrcholy. Spojnice dvou nesousedních vrcholů mnohoúhelníku se nazývá úhlopříčka mnohoúhelníku. Věta: Počet úhlopříček v n-úhelníku je dán vztahem
(
).
Definice: Mnohoúhelník, který celý leží v jedné z polorovin určených kteroukoliv jeho stranou, se nazývá konvexní mnohoúhelník.
Mnohoúhelník, který není konvexní, se nazývá nekonvexní mnohoúhelník.
57
Planimetrie
58
Konvexní šestiúhelník
Nekonvexní pětiúhelník D
E D E
F
C
B
C A B
A
Definice: Každá taková polorovina, v níž daný konvexní mnohoúhelník leží, se nazývá opěrná polorovina konvexního mnohoúhelníku.
Definice: Vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je průnik opěrných polorovin sousedních stran. Každý vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je konvexní. Věta: Součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku jed dán vztahem (
)
Definice: Pravidelný n-úhelník je takový konvexní mnohoúhelník, jehož všechny vnitřní strany i úhly jsou shodné
.
Planimetrie
Pravidelný (rovnostranný) trojúhelník
Pravidelný čtyřúhelník (čtverec)
Pravidelný pětiúhelník
Pravidelný šestiúhelník
59
60
Planimetrie
Mnohoúhelníky Varianta A V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů
?
Příklad: Pro součet s vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku platí vztah: (
)
Odtud pro n dostáváme:
V konvexním šestiúhelníku je součet vnitřních úhlů Příklad: Varianta A Varianta B
.
Výsledek řešení: V konvexním šestiúhelníku je součet vnitřních úhlů
.
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Určete součet vnitřních konvexního osmiúhelníku.
[
]
2) Určete součet vnitřních konvexního dvanáctiúhelníku.
[
]
3) V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů 4) V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů
[v pětiúhelníku]
?
?
[v dvacetiúhelníku]
Planimetrie
Mnohoúhelníky Varianta B Který konvexní n-úhelník má 35 úhlopříček? Příklad: Pro počet úhlopříček u v konvexním n-úhelníku platí vztah: (
)
(
)
Odtud po dosazení dostáváme:
Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou postupně upravíme na anulovaný tvar. ( (
(
)
)| )
)
√(
(
)
√ √
Jelikož řešením je počet úhlů mnohoúhelníku, je řešením dané úlohy pouze číslo 10. V konvexním desetiúhelníku je 35 úhlopříček. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: V konvexním desetiúhelníku je 35 úhlopříček.
61
62
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Kolik úhlopříček má konvexní osmiúhelník?
[
2) Kolik úhlopříček má konvexní šestnáctiúhelník?
[
3) Který konvexní n-úhelník má 14 úhlopříček?
[sedmiúhelník]
4) Který konvexní n-úhelník má 77 úhlopříček?
[čtrnáctiúhelník]
]
]
Planimetrie
63
Mnohoúhelníky Varianta C Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost
?
Příklad: Pro součet s vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku platí vztah: (
)
Jelikož se současně jedná o pravidelný n-úhelník, lze součet s vnitřních úhlů vyjádřit také vztahem: Z výše uvedených dvou rovnic tedy vyplývá: (
)
Jedná se o lineární rovnici, kterou řešíme následujícím způsobem: | |
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
Planimetrie
64
Příklady k procvičení: 1) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost [
]
2) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost [
]
3) Určete velikost vnitřních úhlů v pravidelném desetiúhelníku. [
]
4) Určete velikost vnitřních úhlů v pravidelném dvacetiúhelníku. [
?
]
?
Planimetrie
65
Čtyřúhelníky Základní pojmy Čtyřúhelníky můžeme rozdělit do tří skupin, na různoběžníky, lichoběžníky a rovnoběžníky.
Definice: Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.
Definice: Lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě strany nejsou rovnoběžné.
Rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající dvě ramena. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, nazýváme rovnoramenný lichoběžník. Lichoběžník, jehož jedno rameno je kolmé k základně, nazýváme pravoúhlý lichoběžník.
Věta: Střední příčka lichoběžníku je spojnice středů jeho ramen. Je rovnoběžná s oběma základnami a její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen.
Definice: Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož obě dvě dvojice protilehlých stran jsou rovnoběžné. Podle velikosti úhlů můžeme rovnoběžníky dělit na pravoúhlé (obdélník, čtverec) a kosoúhlé (kosodélník, kosočtverec). Podle délek stran dělíme rovnoběžníky na rovnostranné (čtverec, kosočtverec) a různostranné (obdélník, kosodélník).
66
Planimetrie
Věta: a) Protější strany rovnoběžníku jsou shodné. b) Protější vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné. c) Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí a jejich společný střed je středem rovnoběžníku.
Definice: Čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, se nazývá tětivový čtyřúhelník.
Věta: Součet protějších úhlů tětivového čtyřúhelníku je
.
Definice: Čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici, se nazývá tečnový čtyřúhelník.
Věta: Součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníku jsou si rovny.
Definice: Čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, se nazývá dvojstředový čtyřúhelník.
Definice: Deltoid je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou navzájem kolmé a jedna z nich prochízí středem druhé.
Planimetrie
Deltoid
67
68
Planimetrie
Čtyřúhelníky Varianta A V lichoběžníku ABCD (
) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. Příklad: Jelikož v daném lichoběžníku platí
, je zřejmé, že součet úhlů
(viz. souhlasné a vedlejší úhly). Pro velikost úhlu Pro úhly
a
je vždy
tedy platí:
pak platí následující soustava rovnic:
Při řešení můžeme např. využít dosazovací metodu a z druhé rovnice dosadit do první za .
|
Příklad: Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) V lichoběžníku ABCD (
) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. [
]
Planimetrie
2) V lichoběžníku ABCD (
) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. [
]
3) V lichoběžníku ABCD (
) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. [
]
4) V lichoběžníku ABCD (
) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. [
]
69
70
Planimetrie
Čtyřúhelníky Varianta B V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí
. Vypočtěte velikosti
,
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. Příklad: V tětivovém čtyřúhelníku je součet velikostí protějších vnitřních úhlů úhel přímý, platí tedy:
Pro velikosti zbylých vnitřních úhlů tedy platí:
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. 2) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí
[
[
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku.
] . Vypočtěte velikosti
,
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. 4) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí
] . Vypočtěte velikosti
,
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. 3) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí
. Vypočtěte velikosti
,
[
] . Vypočtěte velikosti
, [
]
Planimetrie
Čtyřúhelníky Varianta C V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí
. Vypočtěte velikosti
,
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 80 cm. Příklad: V tečnovém čtyřúhelníku je součet velikostí protějších stran shodný, platí tedy:
Pro obvod čtyřúhelníku dále platí:
Dostáváme tak soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými:
Z první rovnice můžeme vyjádřit c: Z tohoto vyjádření dosadíme do druhé rovnice: (
) | |
Pro velikost strany c pak platí:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
71
72
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí
. Vypočtěte velikosti
,
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 100 mm. [
]
2) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí
. Vypočtěte velikosti
,
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 15,1 m. [
]
3) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí
,
. Vypočtěte velikosti
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 11,6 cm. [
]
4) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí
,
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 78 mm. [
]
. Vypočtěte velikosti
Planimetrie
73
Kružnice, kruh Základní pojmy
Definice: Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k (S; r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r.
Bod S se nazývá střed kružnice, číslo r je poloměr kružnice.
Definice: Množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r, se nazývá kruh K (S; r).
Bod S se nazývá střed kruhu, číslo r je poloměr kruhu.
Body, jejichž vzdálenost od středu S je menší (větší) než poloměr, tvoří vnitřní (vnější) oblast kruhu, popř. kružnice.
74
Planimetrie
Definice: Úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice, se nazývá tětiva kružnice. Tětiva, která prochází středem, je průměr kružnice; značíme ho d.
k S
B
A
Věta: Pro vzájemnou polohu přímky a kružnice může nastat jedna z následujících možností: a) Přímka a kružnice nemají žádný společný bod. Přímka se v tomto případě nazývá vnější přímka kružnice. b) Přímka a kružnice mají jeden společný bod – bod dotyku. Přímka se v tomto případě nazývá tečna kružnice. c) Přímka a kružnice mají dva společné body – průsečíky. Přímka se v tomto případě nazývá sečna kružnice.
a)
b)
c)
k P
S
k P=T
B
k P S P
S
A
p
p
p
Planimetrie
75
Věta: a) Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu AB je středem tětivy AB. b) Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje bod dotyku se středem kružnice.
Věta: Pro vzájemnou polohu dvou kružnic možností:
a) |
|
b) |
|
( ;
),
… kružnice nazýváme soustředné
|
|
( ;
) může nastat jedna z následujících
76 c) |
Planimetrie
|
d) |
e) |
|
|
| … kružnice mají vnitřní dotyk
|
|
|
|
|
| … kružnice mají dva společné body
| … kružnice mají vnější dotyk
Planimetrie
f) |
|
|
|
77
78
Planimetrie
Kružnice, kruh Varianta A Je dána kružnice ( ;
) a přímka p, pro kterou platí |
|
.
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. Příklad: Jelikož je vzdálenost přímky od středu kružnice větší, než je poloměr kružnice, je patrné, že přímka a kružnice nemají žádný společný bod. Přímka p je tedy vnější přímka kružnice k. Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení: Přímka p je vnější přímka kružnice k.
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Je dána kružnice ( ;
) a přímka p, pro kterou platí |
|
.
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. [Přímka p je sečnou kružnice k.] 2) Je dána kružnice ( ;
) a přímka p, pro kterou platí |
|
.
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. [Přímka p je sečnou kružnice k.] 3) Je dána kružnice ( ;
) a přímka p, pro kterou platí |
|
.
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. [Přímka p je tečnou kružnice k.] 4) Je dána kružnice ( ;
) a přímka p, pro kterou platí |
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. [Přímka p je vnější přímka kružnice k.]
|
.
Planimetrie
Kružnice, kruh Varianta B Je dána kružnice ( ;
) a bod A, pro kterou platí |
|
. Určete
vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu A. Příklad:
Z obrázku je patrné, že tečna vedená ke kružnici k z bodu A je kolmá na poloměr, tedy na úsečku ST. Pro daný pravoúhlý trojúhelník pak platí Pythagorova věta: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pro hledanou velikost úsečky AT pak platí: | | Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
√|
|
|
| |
Výsledek řešení: |
|
|
√
79
Planimetrie
80
Příklady k procvičení: 1) Je dána kružnice ( ;
) a bod B, pro kterou platí |
. Určete vzdálenost
|
bodu B od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu B. [|
|
]
2) Je dána kružnice ( ; ) a bod C, pro kterou platí |
. Vzdálenost bodu C od
|
bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu C je 24 cm. Určete poloměr kružnice k. [
]
3) Je dána kružnice ( ; ) a bod D, pro kterou platí |
. Vzdálenost bodu D od
|
bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu D je 16 mm. Určete poloměr kružnice k. [
]
4) Je dána kružnice ( ;
) a bod A, pro kterou platí |
|
vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu A. [|
|
]
. Určete
Planimetrie
81
Kružnice, kruh Varianta C Jsou dány kružnice platí |
|
( ;
)a
). Pro vzdálenost jejich středů
( ;
. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
Příklad: Abychom mohli rozhodnout o vzájemné poloze obou kružnic, určíme hodnoty následujících dvou výrazů: |
|
|
|
|
|
|
|
Platí tedy nerovnost: |
|
|
|
Kružnice nemají žádný společný bod a žádná z nich neleží uvnitř druhé. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: Kružnice nemají žádný společný bod a žádná z nich neleží uvnitř druhé.
82
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány kružnice středů platí |
( ;
)a
( ;
). Pro vzdálenost jejich
. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
|
[Kružnice mají vnější dotyk.] 2) Jsou dány kružnice středů platí |
( ;
)a
( ;
). Pro vzdálenost jejich
. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
|
[Kružnice mají vnitřní dotyk.] 3) Jsou dány kružnice platí |
|
( ;
)a
( ;
). Pro vzdálenost jejich středů
. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
[Kružnice mají dva společné body.] 4) Jsou dány kružnice platí |
|
( ;
)a
( ;
). Pro vzdálenost jejich středů
. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
[Kružnice nemají žádný společný bod a menší z nich leží uvnitř druhé.]
Planimetrie
83
Úhly v kružnici Základní pojmy
Definice: Úhel nazýváme středový úhel příslušný k oblouku AB. K danému oblouku AB existuje jediný středový úhel. Oblouk AB vždy leží uvnitř tohoto úhlu.
Definice: Úhly , , nazýváme obvodové úhly příslušné k oblouku AB. K danému oblouku AB existuje nekonečně mnoho obvodových úhlů. Oblouk AB vždy leží uvnitř tohoto úhlu.
Věta: Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku.
84
Planimetrie
Důsledky: a) Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné. b) Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý. c) Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý. d) Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý.
Věta: (Thaletova) Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.
Planimetrie
85
Úhly v kružnici Varianta A Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice.
Příklad: Celá situace je patrná z následujícího obrázku:
Jelikož délka celé kružnice odpovídá středovému úhlu o velikosti středového úhlu
příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice takto:
Pro velikost obvodového úhlu
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
, určíme velikost
příslušného k témuž oblouku pak platí:
Výsledek řešení:
86
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice. [
]
2) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice. [
]
3) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice. [
]
4) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je kružnice. [
]
délky
Planimetrie
Úhly v kružnici Varianta B V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BDE. Příklad:
Z obrázku je patrné, že k oblouku BD přísluší středový úhel
a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí: Úhel
je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Z obrázku je patrné, že k oblouku DE přísluší středový úhel osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:
a z vlastností pravidelného
87
88 Úhel
Planimetrie
je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Z obrázku je patrné, že k oblouku BE přísluší středový úhel
a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí: Úhel
je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BEG.
[
]
2) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BFG.
[
]
3) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BFH.
[
]
4) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BHA.
[
]
Planimetrie
89
Úhly v kružnici Varianta C Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 2, 10, 11.
Příklad: Z obrázku je patrné, že k oblouku 2, 11 přísluší středový úhel
a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí: Úhel
je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Z obrázku je patrné, že k oblouku 2, 10 přísluší středový úhel osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:
a z vlastností pravidelného
Planimetrie
90 Úhel
je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Z obrázku je patrné, že k oblouku 10, 11 přísluší středový úhel
a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí: Úhel
je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 2, 5, 7.
[
]
2) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 4, 7, 12.
[
]
3) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 2, 3, 7.
[
]
4) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 1, 7, 12.
[
]
Planimetrie
91
Obvody a obsahy rovinných obrazců Základní pojmy Útvar
Obrázek
Obvod a obsah obvod: obsah:
Trojúhelník √ (
kde
)(
)(
(Herónův vzorec) obvod:
Čtverec
obsah:
obvod: Obdélník
( obsah:
obvod:
Kosočtverec
),
obsah:
)
92
Planimetrie
Útvar
Obrázek
Obvod a obsah obvod: (
Kosodélník
)
obsah:
obvod: Lichoběžník
obsah: (
)
obvod: Kružnice, obsah:
kruh
obsah: Mezikruží (
)
(
)
Planimetrie
93
Věta: Je-li a délka strany pravidelného n-úhelníku, pak platí:
, kde
je poloměr kružnice vepsané danému n-úhelníku.
Věta: Délku l kruhového oblouku AB příslušného ke středovému úhlu lze vyjádřit takto: a) b)
, je-li úhel , je-li úhel
vyjádřený ve stupních,
vyjádřený v radiánech.
v kružnici s poloměrem r
94
Planimetrie
Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta A Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 10,8 cm2 a obvod 13,8 cm. Příklad:
______________________________ Pro obsah obdélníku platí:
a pro obvod: (
)
Po dosazení tedy dostáváme následující soustavu rovnic:: (
)
Soustavu řešíme např. dosazovací metodou tak, že z první rovnice vyjádříme neznámou a a dosadíme do druhé rovnice: ( ) (
|
) | |
Obdrželi jsme kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: )
√(
; Dosazením do rovnice ( ) pak pro hodnoty neznámé a dostáváme:
Planimetrie
95
; Srovnáním obou výsledků vidíme, že řešením je jediný obdélník se stranami délky 2,4 cm a 4,5 cm. Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení: Řešením je obdélník se stranami délky 2,4 cm a 4,5 cm.
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 2340,8 mm2 a obvod 253,8 mm. [Řešením je obdélník se stranami délky 22,4 mm a 104,5 mm.] 2) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 0,651 m2 a obvod 3,94 m. [Řešením je obdélník se stranami délky 0,42 m a 1,55 m.] 3) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 204,6 cm2 a obvod 57,8 cm. [Řešením je obdélník se stranami délky 12,4 cm a 16,5 cm.] 4) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 4,9 dm2 a obvod 9,8 dm. [Řešením je obdélník se stranami délky 1,4 dm a 3,5 dm.]
96
Planimetrie
Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta B Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 12 cm středovému úhlu o velikosti
.
Příklad: Pro délku kruhového oblouku příslušného na kružnici o poloměru r středovému úhlu vyjádřeného ve stupních platí vztah:
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 1,12 m středovému úhlu o velikosti
.
[
]
2) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o průměru 12,12 dm středovému úhlu o velikosti
.
[
]
3) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 233 mm středovému úhlu o velikosti
.
[
]
4) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o průměru 68 cm středovému úhlu o velikosti
.
[
]
Planimetrie
97
Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta C Vypočtěte obsah mezikruží, jeho ž menší poloměr má délku 12 cm a větší poloměr má třikrát větší délku. Příklad:
________________________________ Pro obsah mezikruží platí vztah: ( Příklad:
)
(
)
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte poloměr kružnice vepsané pravidelnému šestiúhelníku s obsahem 1500 mm2 a délkou strany 16 mm.
[
]
2) Vypočtěte obsah trojúhelníku, jehož strany mají délky 20 cm, 16 cm a 28 cm. [
]
3) Určete poloměr kruhového hřiště, které musí žáci oběhnout pětkrát, aby uběhli 1500 m. [
]
4) Vypočtěte obsah kruhu, jehož obvod je roven součtu obvodů tří kruhů s poloměry 1 cm, 2 cm a 3 cm.
[
]
98
Planimetrie
Euklidovy věty, věta Pythagorova Základní pojmy
Věta: V každém pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c a odvěsnami a, b platí: a) b) c) d)
- Euklidova věta o výšce - Euklidova věta o odvěsně - Euklidova věta o odvěsně - Pythagorova věta
Věta: (obrácená Pythagorova) Platí-li pro délky stran trojúhelníku ABC vztah c je délka jeho přepony.
, je tento trojúhelník pravoúhlý a
Planimetrie
Euklidovy věty, věta Pythagorova Varianta A Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 50 mm, 120 mm a 130 mm je pravoúhlý. Příklad: Pokud je trojúhelník s těmito stranami pravoúhlý, pak přeponou je nejdelší a strana a platí rovnost: Vypočteme zvlášť hodnotu levé a pravé strany rovnosti:
Uvedený trojúhelník je pravoúhlý. Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení: Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 7,2 cm, 9,6 cm a 12 cm je pravoúhlý. [Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.] 2) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 28 mm, 67,2 mm a 72,8 mm je pravoúhlý. [Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.] 3) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 1,2 dm, 2,4 dm a 2,7 dm je pravoúhlý. [Uvedený trojúhelník není pravoúhlý.] 4) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 0,24 m, 0,36 m a 0,43 m je pravoúhlý. [Uvedený trojúhelník není pravoúhlý.]
99
100
Planimetrie
Euklidovy věty, věta Pythagorova Varianta B Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-li dáno: ; Příklad: Při řešení vyjdeme z obrázku a barevně zvýrazníme zadané údaje:
S využitím Euklidových vět a goniometrických funkcí postupně provedeme následující výpočty:
√
√
√
√
√
√
Planimetrie
Příklad:
101
Výsledek řešení:
Varianta A
;
;
;
;
;
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, jeli dáno: ; [
;
;
;
;
;
]
2) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, jeli dáno: ; [
;
;
;
;
;
]
3) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, jeli dáno: ; [
;
;
;
;
;
]
4) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, jeli dáno: ; [
;
;
;
;
;
]
102
Planimetrie
Euklidovy věty, věta Pythagorova Varianta C Obsah kosočtverce je 300 cm2 a poměr jeho úhlopříček je 3:4. Vypočtěte délky jeho úhlopříček a strany. Příklad:
________________________________ Pro obsah kosočtverce platí vztah:
a dále je splněna rovnice: Po dosazení tak dostáváme následující soustavu rovnic:
____________________ | | ____________________
Z druhé rovnice nyní dosadíme do první: | |
Planimetrie
103
Jedná se o ryze kvadratickou rovnici, která má dvě řešení, ovšem geometrický význam má pouze kladný kořen, neboť se jedná o délku úhlopříčky. √
√ √
√
Jelikož jsou úhlopříčky kosočtverce navzájem kolmé a půlí se, můžeme s využitím Pythagorovy věty psát: ( )
√( )
√
( )
( ) √
√(
)
√
√
)
√
√ Příklad:
√
(
√
√
√
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B
√
;
√
√
;
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníku jsou 20,5 cm a 49,2 cm. Vypočtěte poloměr kružnice opsané a vepsané.
[
]
2) Dvě rovnoběžné tětivy v kružnici o poloměru18 cm mají délky 18 cm a 30 cm. Určete jejich vzdálenost.
[
;
]
3) Vypočtěte délku tětivy v kružnici s poloměrem 25 cm, víte-li, že tětiva dělí průměr k ní kolmý v poměru 2:3.
[
]
4) Jsou dány kružnice s poloměry 8 cm a 4 cm. Vzájemná vzdálenost středů kružnic je 14 cm. Vypočtěte délky úseček omezených body dotyku obou kružnic s jejich společnými tečnami. [
;
]
104
Planimetrie
Konstrukční úlohy Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce Základní pojmy
Definice: Kružnice (
) je množina všech bodů, které mají od bodu S vzdálenost r.
symbolicky: (
)
{
|
|
}
Definice: Osa o úsečky AB je množina všech bodů, které mají od bodů A, B stejnou vzdálenost. symbolicky:
{
|
|
|
|}
Planimetrie
105
Definice: Množina všech bodů, které mají od přímky p vzdálenost , je dvojice přímek rovnoběžných s přímkou p, ležících v opačných polorovinách určených přímkou p ve vzdálenosti v od ní. {
symbolicky:
|
|
}
Poznámka: Takovou dvojici přímek také nazýváme ekvidistanta přímky p.
Definice: Množina všech bodů konvexního úhlu AVB, které mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž leží jeho ramena, je osa o tohoto úhlu. symbolicky:
{
| ⃡ |
| ⃡ |}
106
Planimetrie
Definice: Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou různoběžek a, b, jsou osy o1 a o2 úhlů sevřených různoběžkami a a b. symbolicky:
{
|
|
|
|}
Planimetrie
107
Definice: Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek a, b ( pásu (a, b). symbolicky:
{
|
|
|
), je osa o
|}
Definice: Množina vrcholů všech pravých úhlů, jejichž ramena procházejí body A, B ( ), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme úsečku AB pod pravým úhlem, je kružnice s průměrem AB kromě bodů A a B (Thaletova kružnice). symbolicky:
{
|
|
}
108
Planimetrie
Definice: Množina vrcholů všech úhlů o velikosti , jejichž ramena procházejí body A, B ( ), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme úsečku AB pod úhlem , jsou dva shodné otevřené kružnicové oblouky , s krajními body A a B. symbolicky:
{
}
{
|
|
}
Planimetrie
109
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce Varianta A Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět úsečku AB pod úhlem
.
Příklad: Daná množina je důležitá při řešení celé řady konstrukčních úloh. Při její konstrukci se používá specifický postup: Zápis konstrukce: 1.)
|
|
2.) 3.)
|
|
4.)
|
|
5.) 6.)
(⃡ )
7.)
(
|
|)… kruhový oblouk
8.)
(
|
|)… kruhový oblouk
9.)
{
}
{
|
|
}
110
Planimetrie
Konstrukce:
Planimetrie
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět úsečku AB pod úhlem
.
111
112
Planimetrie
2) Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět úsečku AB pod úhlem
.
Planimetrie
3) Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět úsečku AB pod úhlem
.
4) Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět úsečku AB pod úhlem
.
113
114
Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce Varianta B Je dán čtverec ABCD. Na jeho obvodu sestrojte všechny body, ze kterých je vidět jeho úhlopříčka AC pod úhlem
.
Příklad: Nad úhlopříčkou AC sestrojíme množinu bodů, z nichž je vidět daná úsečka pod úhlem Hledané body pak nejdeme jako průsečíky obvodu čtverce s touto množinou. Zápis konstrukce: 1.) čtverec ABCD 2.) AC 3.) 4.) 5.) 6.) 7.)
Konstrukce:
{
}
{
|
|
}
.
Planimetrie
115
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:
Příklady k procvičení: 1) Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. Na jeho obvodu sestrojte všechny body, ze kterých je vidět jeho strana AB pod úhlem
.
116
Planimetrie
2) Je dán rovnostranný kosočtverec ABCD ( body, ze kterých je vidět jeho strana AB pod úhlem
). Na jeho obvodu sestrojte všechny .
Planimetrie
3) Je dána kružnice (
|
vidět poloměr SA pod úhlem
4) Je dán obdélník ABCD (
117
|). Na obvodu kružnice sestrojte všechny body, ze kterých je .
). V rovině sestrojte všechny body, ze kterých
je jak úsečku AB, tak i úsečku BC vidět pod úhlem
.
Planimetrie
118
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce Varianta C Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a bod
. Sestrojte všechny body roviny, které mají
stejnou vzdálenost od obou rovnoběžek a současně je jejich vzdálenost od bodu A 5 cm. Příklad: Množinou všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek je osa pásu tvořeného těmito rovnoběžkami. Množinou bodů, které mají od bodu A vzdálenost 5 cm je kružnice se středem A a poloměrem 5 cm. Hledané body tedy určíme jako průnik obou těchto množin daných vlastností. Zápis konstrukce: 1.) a, b; 2.) 3.)
{
|
4.)
(
)
5.)
Konstrukce:
|
|
|}
Planimetrie
119
Diskuze: Úloha má podle zvolené polohy obou přímek buď 2, 1 nebo žádné řešení. Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení: Úloha má podle zvolené polohy obou přímek buď 2, 1 nebo žádné řešení.
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Je dána přímka p a bod A, pro který platí od přímky p a bodu A vzdálenost 3 cm.
. Sestrojte všechny body roviny, které mají
120
Planimetrie
2) Je dán úhel
a přímka p, která je různoběžná s oběma rameny úhlu. Sestrojte všechny
body roviny, které mají stejnou vzdálenost od obou ramen úhlu a jejich vzdálenost od přímky p je současně 3 cm.
3) Jsou dány tři různé body roviny A, B, C. Sestrojte všechny body roviny, které mají stejnou vzdálenost od všech tří bodů.
Planimetrie
4) Jsou dány dvě různoběžky p, q. Sestrojte všechny body roviny, které mají stejnou vzdálenost od obou přímek a jejich vzdálenost od průsečíku obou přímek je 4 cm.
121
122
Planimetrie
Konstrukční úlohy Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků Základní pojmy Trojúhelník je zpravidla určen třemi vhodně zvolenými prvky (strana, úhel, výška, těžnice, poloměr kružnice opsané a vepsané). Při konstrukci čtyřúhelníku jde zpravidla o konstrukci trojúhelníků, na které je čtyřúhelník rozdělen úhlopříčkami. Geometrické konstrukční úlohy se obvykle dělí na úlohy polohové a metrické. Polohové úlohy jsou úlohy o vzájemné poloze geometrických útvarů a není při nich třeba „měřit“, tedy zjišťovat rozměry geometrických útvarů.
Planimetrie
123
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků Varianta A Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
.
Příklad: Rozbor:
k
A
p
c va
B
a
C
Vzdálenost bodu A od přímky BC je 4 cm. Množinou všech bodů ve zvolené polorovině, jejichž vzdálenost od přímky BC je rovna 4 cm, je přímka p rovnoběžná s přímkou BC a sestrojená ve vzdálenosti 4 cm. Vzdálenost bodu A od bodu B je 5cm. Množinou všech bodů roviny, které mají od bodu B vzdálenost 5 cm, je kružnice se středem B a poloměrem 5 cm. Bod A tedy najdeme jako průsečík přímky p a kružnice k. Zápis konstrukce: 1.)
|
2.)
(
3.) 4.) 5.)
|
| ⃡ |
) ⃡
124
Planimetrie
Konstrukce:
Diskuze: Úloha má dvě různá řešení ve zvolené polorovině.
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
2) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
.
.
125
126
Planimetrie
3) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
4) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
.
.
Planimetrie
127
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků Varianta B Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno:
.
Příklad: Rozbor:
k1
q
D
p
C k2
e
A
a
b
B
Při konstrukci nejdříve sestrojíme trojúhelník ABC, jedná se o konstrukci sss. Následně využijeme toho, že protilehlé strany kosodélníku jsou rovnoběžné. Bod D tedy musí ležet jak na rovnoběžce s úsečkou BC procházející bodem A, tak i na rovnoběžce s úsečkou AB procházející bodem C. Bod D tedy leží v průsečíku obou těchto rovnoběžek p, q. Zápis konstrukce: 1.)
|
|
2.)
(
)
3.)
(
)
4.) 5.) 6.) 7.) 8.) ABCD
128
Planimetrie
Konstrukce:
Diskuze: Úloha má ve zvolené polorovině jedno řešení.
Planimetrie
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:
Příklady k procvičení: 1) Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno:
.
129
130
Planimetrie
2) Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno:
3) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno:
.
.
Planimetrie
4) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno:
.
131
Planimetrie
132
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků Varianta C Sestrojte pravoúhlý lichoběžník ABCD s pravým úhlem u vrcholu A, je-li dáno: . Příklad: Rozbor:
X
q D
C
p
k
B
A
Při konstrukci nejdříve sestrojíme trojúhelník ABC, jedná se o konstrukci sus. Následně využijeme toho, že protilehlé strany lichoběžníku jsou rovnoběžné. Bod D tedy musí ležet na rovnoběžce s úsečkou AB procházející bodem C. Vzhledem k tomu, že se jedná o pravoúhlý lichoběžník s pravým úhlem u vrcholu A, leží bod D také na kolmici q procházející bodem A. Bod D tedy leží v průsečíku obou těchto přímek p, q. Zápis konstrukce: 1.)
| |
2.) 3.)
|
(
4.) 5.) 6.) 7.) 8.) ABCD
| )
Planimetrie
Konstrukce:
Diskuze: Úloha má ve zvolené polorovině dvě řešení.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
133
134
Planimetrie
Výsledek řešení:
Příklady k procvičení: 1) Sestrojte pravoúhlý lichoběžník ABCD s pravým úhlem u vrcholu A, je-li dáno: .
Planimetrie
2) Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD s rameny BC a AD, je-li dáno: jsou-li úhlopříčky na sebe kolmé.
3) Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno: .
135 a
136
Planimetrie
4) Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno: .
Planimetrie
Konstrukce kružnic Základní pojmy Kružnice (
) je množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost r.
Bod S nazýváme střed kružnice, kladné reálné číslo r je poloměr kružnice. Při konstrukci kružnic opět využíváme množin bodů dané vlastnosti.
137
Planimetrie
138
Konstrukce kružnic Varianta A Je dána přímka p a bod
. Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 3 cm, které procházejí
bodem A a dotýkají se přímky p. Příklad: Rozbor: l
k A S
a2
p
a1
Množinou všech středů kružnic s poloměrem 3 cm, které procházejí bodem A, je kružnice l se středem A a poloměrem 3 cm. Množinou všech středů kružnic s poloměrem 3 cm, které se dotýkají přímky p, je dvojice přímek a1, a2 (ekvidistanta přímky) sestrojených ve vzdálenosti 3 cm od přímky p. Středem hledané kružnice k je tedy průsečík obou těchto množin. Zápis konstrukce: 1.) 2.)
(
) |
3.)
{
4.) 5.)
|
(
|
| }
)
Planimetrie
139
Konstrukce:
Diskuze: Je-li vzdálenost bodu A od přímky p menší než 6 cm, má úloha 2 řešení, je-li vzdálenost bodu A od přímky p rovna 6 cm, má úloha 1 řešení a je-li vzdálenost bodu A od přímky p větší než 6 cm, nemá úloha řešení.
Výsledek řešení:
140
Planimetrie
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány dva různé body A, B. Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 4 cm, které procházejí oběma body.
2) Jsou dány dvě různoběžky p, q. Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 2 cm, které se dotýkají obou přímek.
Planimetrie
3) Je dána kružnice k a bod
. Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 2 cm, které
procházejí bodem A a dotýkají se vně kružnice k.
141
142
Planimetrie
4) Jsou dány dvě různé kružnice l, m. Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 2 cm, které se vně dotýkají obou kružnic.
Planimetrie
143
Konstrukce kružnic Varianta B Je dána přímka p a body A a B. Přitom platí
. Sestrojte kružnici, která prochází
bodem B a dotýká se přímky p v bodě A. Příklad: Rozbor: q k o
S B
p A
Množinou středů všech kružnic, které procházejí dvěma různými body A a B, je osa úsečky AB. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají přímky p v bodě A, je kolmice q vedená k přímce p bodem A. Střed hledané kružnice je tedy průnikem přímek o a q. Zápis konstrukce: 1.) 2.) o; o … osa úsečky AB 3.) 4.) 5.)
(
|
|)
144
Planimetrie
Konstrukce:
Diskuze: Úloha má jedno řešení.
Planimetrie
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:
145
146
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány dvě různoběžky p, q a bod
. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky q a
přímky p v bodě A.
2) Je dána kružnice k, přímka p a bod
. Kružnice a přímka nemají žádný společný bod.
Sestrojte kružnici, která se dotýká kružnice k a přímky p v bodě A.
Planimetrie
3) Je dána kružnice k a body A a B. Přitom platí
147
. Sestrojte kružnici, která
prochází bodem B a dotýká se kružnice k v bodě A.
4) Je dána kružnice k, přímka p a bod
. Kružnice a přímka nemají žádný společný bod.
Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky p a kružnice k v bodě A.
Planimetrie
148
Konstrukce kružnic Varianta C Jsou dány tři různé body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Sestrojte kružnici, která prochází všemi body. Příklad: Rozbor: C
o2
k o1 S
B
A
V této úloze se vlastně jedná o sestrojení kružnice opsané trojúhelníku ABC. Střed kružnice opsané získáme jako průsečík alespoň dvou os úseček tvořených třemi body A, B, C. Zápis konstrukce: 1.) 2.) o1; o1 … osa úsečky AB 3.) o2; o2 … osa úsečky BC 4.) 5.)
( |
|)
Planimetrie
Konstrukce:
Diskuze: Úloha má jediné řešení.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
149
150
Planimetrie
Výsledek řešení:
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány tři navzájem různoběžné přímky p, q, r. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají všech tří přímek.
Planimetrie
2) Je dána kružnice k, kružnice l a bod
151
. Obě kružnice nemají žádný společný bod.
Sestrojte kružnici, která se dotýká kružnice k a kružnice l v bodě A.
3) Jsou dány dvě různé soustředné kružnice k a l a bod A ležící uvnitř mezikruží. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou soustředných kružnic a prochází bodem A.
152
Planimetrie
4) Jsou dány dvě různoběžné přímky p a q a bod A, který neleží ani na jedné z nich. Sestrojte kružnici, která prochází bodem A a dotýká se obou přímek.
Planimetrie
153
Konstrukce na základě výpočtu Základní pojmy Při řešení konstrukčních úloh někdy používáme algebraickou metodu, tedy metodu využívající výpočtu. Při řešení konstrukční úlohy hledáme algebraický vztah mezi délkami úseček.
Planimetrie
154
Konstrukce na základě výpočtu Varianta A Sestrojte úsečku délky √
cm.
Příklad: Rozbor: k C
v
B
A
S ca = 2 cm
ca = 5 cm
Při řešení této úlohy využíváme Euklidovu větu o výšce. Sestrojíme-li podle obrázku (s využitím Thaletovy kružnice k) pravoúhlý trojúhelník, pak podle zmiňované věty platí: Odmocněním této rovnice pak dostáváme: √ Z obrázku je tedy patrné, že výška vzniklého pravoúhlého trojúhelníku má délku √ v příslušných délkových jednotkách, tedy v našem případě v cm.
Planimetrie
Konstrukce:
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
155
156
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Sestrojte úsečku délky √
cm.
2) Sestrojte úsečku délky √
cm.
Planimetrie
3) Sestrojte úsečku délky √
cm.
4) Sestrojte úsečku délky √
cm.
157
158
Planimetrie
Konstrukce na základě výpočtu Varianta B Sestrojte úsečku délky √
cm.
Příklad: Rozbor: k C
a
B
A
S ca = 2 cm
c = 7 cm
Při řešení této úlohy využíváme Euklidovu větu o odvěsně. Sestrojíme-li podle obrázku (s využitím Thaletovy kružnice k) pravoúhlý trojúhelník, pak podle zmiňované věty platí: Odmocněním této rovnice pak dostáváme: √ Z obrázku je tedy patrné, že odvěsna a vzniklého pravoúhlého trojúhelníku má délku √ v příslušných délkových jednotkách, tedy v našem případě v cm.
Planimetrie
Konstrukce:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:
159
160
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Sestrojte úsečku délky √
cm.
2) Sestrojte úsečku délky √
cm.
Planimetrie
3) Sestrojte úsečku délky √
cm.
4) Sestrojte úsečku délky √
cm.
161
Planimetrie
162
Konstrukce na základě výpočtu Varianta C Jsou dány tři úsečky o délkách aby platilo:
. Sestrojte úsečku délky z tak,
.
Příklad: Rozbor:
b
B Z
z
O A
a
C
c
V této úloze využíváme podobnost trojúhelníků OAZ a OCB. Trojúhelník OCB můžeme přímo sestrojit pomocí zadaných úseček b a c. Bodem A pak vedeme rovnoběžku s úsečkou BC. Tato rovnoběžka nám na rameni OB vytvoří bod Z a úsečku délky z. U podobných trojúhelníků jsou poměry délek odpovídajících si stran shodné, platí tedy:
Vynásobením této rovnice číslem b pak dostáváme:
Délka vzniklé úsečky z tedy splňuje podmínky zadání.
Planimetrie
Konstrukce:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
163
164
Planimetrie
Příklady k procvičení: 1) Jsou dány tři úsečky o délkách tak, aby platilo:
.
2) Jsou dány tři úsečky o délkách tak, aby platilo:
. Sestrojte úsečku délky z
.
. Sestrojte úsečku délky z
Planimetrie
3) Jsou dány tři úsečky o délkách tak, aby platilo:
. Sestrojte úsečku délky z
.
4) Jsou dány tři úsečky o délkách tak, aby platilo:
165
.
. Sestrojte úsečku délky z
