PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

2

Planimetrie

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Planimetrie

3

Obsah Črtáme, rýsujeme, měříme ......................................................................................................... 7 Body, úsečky, přímky, polopřímky ........................................................................................ 7 Body, úsečky, přímky, polopřímky .................................................................................. 10 Varianta A ........................................................................................................................ 10 Body, úsečky, přímky, polopřímky .................................................................................. 13 Varianta B ........................................................................................................................ 13 Body, úsečky, přímky, polopřímky .................................................................................. 15 Varianta C ........................................................................................................................ 15 Obvody a obsahy, hmotnost ..................................................................................................... 17 Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti ........................ 17 Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti .................... 19 Varianta A ........................................................................................................................ 19 Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti .................... 21 Varianta B ........................................................................................................................ 21 Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti .................... 23 Varianta C ........................................................................................................................ 23 Úhel .......................................................................................................................................... 25 Úhel a jeho velikost .............................................................................................................. 25 Úhel a jeho velikost .......................................................................................................... 30 Varianta A ........................................................................................................................ 30 Úhel a jeho velikost .......................................................................................................... 31 Varianta B ........................................................................................................................ 31 Úhel a jeho velikost .......................................................................................................... 32 Varianta C ........................................................................................................................ 32 Osová souměrnost .................................................................................................................... 34 Osová souměrnost ............................................................................................................ 37

4

Planimetrie

Varianta A ........................................................................................................................ 37 Osová souměrnost ............................................................................................................ 38 Varianta B ........................................................................................................................ 38 Osová souměrnost ............................................................................................................ 40 Varianta C ........................................................................................................................ 40 Kruh, kružnice .......................................................................................................................... 42 Kruh, kružnice .................................................................................................................. 50 Varianta A ........................................................................................................................ 50 Kruh, kružnice .................................................................................................................. 51 Varianta B ........................................................................................................................ 51 Kruh, kružnice .................................................................................................................. 54 Varianta c ......................................................................................................................... 54 Trojúhelník ............................................................................................................................... 56 Trojúhelník a jeho konstrukce .............................................................................................. 56 Trojúhelník a jeho konstrukce .......................................................................................... 63 Varianta A ........................................................................................................................ 63 Trojúhelník a jeho konstrukce .......................................................................................... 65 Varianta B ........................................................................................................................ 65 Trojúhelník a jeho konstrukce .......................................................................................... 67 Varianta C ........................................................................................................................ 67 Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ..................................................................... 69 Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ............................................................. 76 Varianta A ........................................................................................................................ 76 Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ............................................................. 77 Varianta B ........................................................................................................................ 77 Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ............................................................. 79 Varianta C ........................................................................................................................ 79

Planimetrie

5

Lichoběžník .............................................................................................................................. 81 Lichoběžník ...................................................................................................................... 83 Varianta A ........................................................................................................................ 83 Lichoběžník ...................................................................................................................... 84 Varianta B ........................................................................................................................ 84 Lichoběžník ...................................................................................................................... 86 Varianta C ........................................................................................................................ 86 Shodná zobrazení ..................................................................................................................... 88 Shodná zobrazení v rovině ................................................................................................... 88 Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................... 98 Varianta A ........................................................................................................................ 98 Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................. 101 Varianta B ...................................................................................................................... 101 Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................. 105 Varianta C ...................................................................................................................... 105 Shodnost a podobnost útvarů ................................................................................................. 109 Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti .................................................... 109 Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti ................................................ 112 Varianta A ...................................................................................................................... 112 Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti ................................................ 114 Varianta B ...................................................................................................................... 114 Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti ................................................ 116 Varianta C ...................................................................................................................... 116 Množiny bodů dané vlastnosti................................................................................................ 118 Množiny bodů dané vlastnosti........................................................................................ 123 Varianta A ...................................................................................................................... 123 Množiny bodů dané vlastnosti........................................................................................ 124

6

Planimetrie

Varianta B ...................................................................................................................... 124 Množiny bodů dané vlastnosti........................................................................................ 126 Varianta C ...................................................................................................................... 126 Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy................................................................. 128 Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy......................................................... 129 Varianta A ...................................................................................................................... 129 Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy......................................................... 131 Varianta B ...................................................................................................................... 131 Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy......................................................... 134 Varianta C ...................................................................................................................... 134

Planimetrie

Črtáme, rýsujeme, měříme Body, úsečky, přímky, polopřímky Používané symboly v planimetrii



 

 

7

8

Planimetrie

Vzájemná poloha přímek v rovině

přímky p, q jsou rovnoběžné ………

přímky a, b jsou různoběžné ………..

Planimetrie

přímky m, n jsou na sebe kolmé …. .

……. znak kolmosti

9

10

Planimetrie

Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta A Sestroj body A, B, C, D, E, z daných bodů sestroj: úsečku AD (AD ), polopřímku EB(→EB), přímku AC (↔AC )

Výsledek řešení:

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Planimetrie

Příklady k procvičení: 1) Doplň body:

2)

a)

………………….  ↔ EG

b)

…………………  ↔ EG

Vypiš: a) dvojice rovnoběžných přímek, b) dvojice kolmých přímek c) dvojice různoběžných přímek

11

12

Planimetrie

a) a-b; a-c, b-c b) o-a, o-b, o-c b) a-n, b-n, c-n, a-m, b-m, c-m 3)

Vypište útvary a)

c b)

c

a) →DC, AB b) b, →BC, AD

4) Sestrojte obdélník KLMN, kružnici k(S,r), čtverec ABCD, polopřímku KS, přímku AM-do jedné konstrukce.

Planimetrie

13

Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta B Narýsujte úsečku AB,

|

|,

ď

,

.


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Narýsuj úsečku ,

. Sestroj osu této úsečky. Na ose zvol 4 různé body

, které se stanou středy kružnic. Tyto kružnice sestroj tak, aby procházely

bodem A. Co jste zjistili? Jaký bude nejmenší možný poloměr takto zvolených kružnic?

2) Sestroj přímky

Sestroj dále bod

Bodem Z veď kolmici k přímce p, nazvi ji a

, bod

, bod Z:Z p,Z q. . Co lze říci o přímkách

a, q? Urči vzdálenost rovnoběžek p, q ( určíme tak, že na jedné z rovnoběžek zvolíme bod-S, z něj uděláme kolmici na dané rovnoběžky. Kde mi tato kolmice protne druhou rovnoběžku, dostanu bod-T. Vzdálenost rovnoběžek je rovna |ST|.

14

Planimetrie

3) Sestroj 4 přímky, aby měly a) jeden, b) čtyři c) pět d) šest průsečíků Řešení: a)

b)

c)

d)

4) Přímka p, bude?

, napiš všechny polopřímky určené body A,B,C. kolik jich

Planimetrie

15

Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta C Máme kružnici

Na této kružnici zvol tři různé body A, B, C. Body spoj do

trojúhelníku ABC. Narýsuj osu úsečky AB, osu úsečky BC, osu úsečky AC. Co jsi zjistil?

Příklad: Osy všech úseček budou procházet středem kružnice, do níž jsme trojúhelník vepsali. Jestliže má totiž kružnice procházet krajními body např. úsečky AB, má od těchto bodů střed kružnice stejnou vzdálenost a tedy musí tento střed ležet na ose AB. Tak je to i s ostatními dvěma stranami, tedy průsečík os stran trojúhelníku je zároveň středem kružnice tomuto trojúhelníku opsané.

Výsledek řešení:Bylo zjištěno, že každá osa prochází středem S dané kružnice. Tedy S kružnice je průnikem os stran trojúhelníku.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Máme trojúhelník ABC. Kolik různých přímek, polopřímek, lze proložit vrcholy tohoto trojúhelníku? 2) Sestroj čtverec ABCD, |

. Sestroj m: Ozn . Co jsi zjistil?

pr se ky

,

16

Planimetrie

3) M me kru nici polom r

N kru nici zvol od

cm ve vzd lenosti od

pomoc kru tk sestroj od Vzniklé ody spoj podle Vznikl

Do kru tk vezmi

cm proti sm ru hodinov ch ru i ek

d le potom stejn m postupem od odu

od

ecedy Kolik jsi n kru nici dost l celkem od ?

tv r se pokus pojmenov t

4) Jaké geometrické tvary můžeme dostat ze čtyř různých bodů A, B, C, D jejich nejkratším spojením v tomto pořadí?

Planimetrie

17

Obvody a obsahy, hmotnost Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Jednotky délky:

Milimetr, centimetr, decimetr, metr-vedlejší jednotky mají mezi sebou jedno desetinné místo, znáte již ze ZŠ. 1cm=10mm, 1dm=10cm=100mm, 1m=10dm=100cm=1000mm 1km=1000m

Jednotky obsahu:

Sousední jednotky mají mezi sebou dvě desetinná místa

Jednotky hmotnosti:

Platí tedy:

18

Planimetrie

Pro obdélník a čtverec platí vzorce: Obdélník o stranách a, b: Obvod Čtverec o straně a: Obvod

, Obsah , Obsah

Planimetrie

Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta A Obdélník má strany a=18 cm, b= 0,06m. Spočítej jeho obvod a obsah.

Příklad: a=18 cm, b= 0,06m=6cm nejdříve uvedeme rozměry ve stejných jednotkách, v našem případě cm.

Výsledek řešení: S=108

,


Příklady k procvičení: 1)

Čtverec o straně a=20 cm. Urči jeho

a

v závorce. 2)

převeď

a) c)

b) d)

v jednotkách uvedených

19

20 3)

4)

Planimetrie

převeď na požadované jednotky a sečti: a)

b)

c)

d)

Anička koupila 20 dkg salámu, 2 mouky po jednom kg, půl kg sádla, 3 másla po 250 g a 1,3 kg jablek. Kolik vážil její nákup?

Planimetrie

21

Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta B Čtvrtina bochníku sýra a 6-ti kilogramové závaží mají stejnou hmotnost jako celý bochník. Kolik váží bochník?

Příklad: Závaží vlastně nahrazuje ¾ bochníku. Tedy

Bochník váží 8 kg.

Výsledek řešení: Bochník váží 8 kg.


Příklady k procvičení: 1)

a) c) cm

b) m

dm

d) c

d

2) Obdélník o stranách a=12cm, b=? má obvod stejný jako čtverec o straně 135 mm. Urči b.

22

Planimetrie

3) Místo otazníku doplň správně jednotky: ?

a) d)

b)

?

c)

?

?

4) Zahrada má obdélníkový tvar o stranách 20 m a 45 m. V ní je postaven dům čtvercového základu o straně 8m a garáž o ploše 32

. Urči plochu zeleně.

Planimetrie

23

Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta C Pozemek má tvar pravoúhlého trojúhelníku. Jedna jeho odvěsna je o 2 krát větší než ta druhá. Obě odvěsny dohromady měří 1200 m. Urči plochu pozemku.

Příklad: 1.odvěsna ………………. x m 2.odvěsna ………………2x m dohromady ……………. 1200 m

Návratem do zápisu: 1.odvěsna… 400 m 2.odvěsna… 800 m Plocha parcely je vlastně polovinou obdélníku, který tvoří dané odvěsny, tedy

Parcela má plochu 16 ha.

Výsledek řešení: Parcela má plochu 16 ha.


24

Planimetrie

Příklady k procvičení: 1) a)

b)

c)

d)

2) Pro strany obdélníku platí, že jedna strana je třikrát delší než druhá a jeho obvod je 656 cm. Určete délky stran a obsah obdélníku.

20172

2

3) V obdélníku je průsečík úhlopříček vzdálen od kratší strany o 6 cm dál než od delší strany. Obvod obdélníku je 84 cm. Určete obsah obdélníku. 4) Zahrada tvaru obdélníkového má delší stranu čtyřnásobkem délky kratší strany. Délka plotu kolem zahrady je 315 m. Určete výměru zahrady.

Planimetrie

Úhel Úhel a jeho velikost

úhel

obr.2 obr.1 ß V

V

K

B α L A

Máme-li dvě polopřímky se společným počátkem rozdělí rovinu na dvě části, které se nazývají úhly ,

…ramena

… vrchol úhlu

, tak ty nám

25

26

Planimetrie

ody které n le ody které nen le Klasifikace úhlů

AVB (vnitřní body úhlu AVB) …………N, A, V, B, M, R, P AVB (vnější body úhlu AVB) ………O, Q 1. Nekonvexní (obr. 2) – spojnice jakýchkoliv dvou vnitřních bodů úhlu nemusí obsahovat vždy vnitřní body úhlu. 2. Konvexní - spojnice jakýchkoliv dvou vnitřních bodů obsahuje vždy vnitřní body úhlu. a) nulové b) duté (ostré, pravé, tupé) c) přímé d) plné

Velikost úhlů Úhly měříme ve stupních ˚ , minutách , vteřinách 1˚

Máme-li 2 nebo více úhlů sečíst, sčítáme stupně se stupni, minuty s minutami, vteřiny s vteřinami. Jestliže se dostaneme u minut nebo vteřin do čísla

převedeme na vyšší

jednotku. Např.: Při odčítání, pokud odčítáme víc minut než je v menšenci, musíme si poté odčítat. Např.:

převést na minuty a

Planimetrie

27

úhel nekonvexní: 8 úhel konvexní: nulový = 0˚, ostrý = 0˚ přímý =

, pravý

, tupý

,

.

Máme-li dány dvě různoběžky, potom dostáváme dvojice úhlů:

ß

δ γ

Úhly vedlejší α-ß ;ß-γ, γ-δ, δ-α …mají společní jedno rameno, druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet je roven 8 °. Úhly vrcholové α-γ,ß-δ … mají společný vrchol a ramena jsou navzájem opačnými polopřímkami. Mají stejnou velikost, jsou tedy shodné.

Jsou-li přímky a, b rovnoběžné a protíná je nějaká různoběžka p, potom existují dvojice úhlů:

α γ

a ß b δ p

a b, p úhly souhlasné … α-ß … shodné, leží v jedné polorovině sw hraniční přímkou p na „stejných stranách“ rovnoběžek úhly střídavé …γ-δ … shodné, leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p, je to vedlejší úhel k úhlu souhlasnému

28

Planimetrie

Osa úhlu:

V

L

P K

o

Dělí úhel na dva stejné úhly. Postup konstrukce osy úhlu (viz. obr).: 1. sestrojíme dostatečně velký oblouk úhlu (z důvodu přesnosti), průsečíky oblouku s rameny jsme nazvali K, L 2. Kružítko zabodneme do bodu K a narýsujeme oblouk 3. Kružítko zabodneme do bodu L a narýsujeme oblouk o stejném poloměru jako Dostali jsme oblouk 4. Průsečík oblouků úhlu o.

,

(v našem případě bod P) nám tvoří spolu s vrcholem úhlu osu

Planimetrie

29

Přenášení úhlů Máme-li nějaký úhel (třeba úhel KLM, nebo nějaký vnitřní úhel -ku) přenést, musíme postupovat následovně (viz.obr.): 1. Narýsujeme polopřímku, na niž chceme úhel přenést (

) – bude jedním

ramenem úhlu 2. Úhel, který chceme přenést opatříme dostatečně velkým obloukem (pro přesnost rýsování) 3. Oblouk o stejném poloměru (r) narýsujeme na naši polopřímku, střed oblouku je počáteční bod polopřímky (V). 4. Do kružítka si vezmeme délku oblouku úhlu, který přenášíme (x) a tuto délku naneseme na oblouk na polopřímce (uděláme oblouk se středem B a poloměrem x). 5. Dostaneme bod (A), který po spojení s počátkem polopřímky dává druhé rameno hledaného úhlu. Přenesený úhel:

.

Dvojnásobek (trojnásobek …) úhlu – naneseme na nový oblouk 2 ( …) délky oblouku původního úhlu. Máme-li graficky sestrojit polovinu úhlu - děláme osu úhlu, čtvrtinu úhlu- děláme osu polovičního úhlu… délka oblouku tohoto úhlu je rovna jeho poloměru (tedy x r). K

x L

r M

A

x r V

B

30

Planimetrie

Úhel a jeho velikost Varianta A a změřte jeho vnitřní úhly α,ß,γ.

Sestrojte

Příklad: Velikost úhlů měříme úhloměrem. Střed úhloměru dáme na vrchol A, úhloměr položíme na stranu AB. Na úhloměru najdeme stupnici, která začíná nulou (O°)na rameni →AB. Na této stupnici vyčteme velikost úhlu α. Čteme tam, kde druké rameno protíná stupnici. Obdobně úhel ß: střed úhloměru dáme na vrchol B, úhloměr položíme na polopřímku BA, která je ramenem zjišťovaného . Na úhloměru na tomto rameni najdeme stupnici, která začíná 0°a na této stupnici vyčteme tam, kde je druhé rameno tohoto úhlu, jeho velikost. Stejný postup opakujeme i s úhlem γ. Výsledek řešení: α= 56 ;

ß= 36

γ= 88

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: . Přeneste jeho vnitřní úhly a změřte

1) Sestrojte jak úhly původní, tak přenesené. 2) 6˚23=…

328=…˚…

18˚4=…

6524=…˚…

3) Narýsujte α=63˚, ß=204˚ 4) Narýsujte

, sestrojte jeho osu

Planimetrie

31

Úhel a jeho velikost Varianta B

α=82˚16, ß=27˚55. Početně: a) α+ß

b) α-ß

c) α-2ß

Příklad: α+ß=82˚16+27˚55=109˚71=110˚11 po součtu bylo minut více jak 60, tedy se daly převést na ˚ a na zbylé . α-ß= 82˚16-27˚55=81˚76-27˚55

při odčítání bylo potřeba si “půjčit“ 1˚a převést

2

ho na , abychom mohli minuty odečíst. α-2ß=82˚16-2 27˚55=82˚16-

=81˚76-

2 2 opět jsme

abychom mohli odčítat. Při dvojnásobku ß jsme zase Výsledek řešení:a) 110˚11

b)

2

museli převést na ,

převedli na

a

.

c) 2 2

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: b)82

1) A)2 37˚22-15˚50 2)

-

2

2 2-(

2- 2

)

ABC: a=13cm, b=8cm, c=9cm. Graficky sečti vnitřní úhly , tedy α+ß+γ. Výsledek změř.

3) é

é

é é 4) Obdélník ABCD: a=9cm, b= 6cm, S= průsečík úhlpříček. Změř velikost ASB a n pi k n mu hel vrcholov

hel vedlej

32

Planimetrie

Úhel a jeho velikost Varianta C a) 8˚2539

2

2 =

b) 180˚242 -19˚2953 Příklad: a) 8˚2539

2

2 =

c) 180˚242 -19˚2953 = musíme si „půjčit“ jak jeden stupe , abychom mohli stupně odčítat, tak také jednu minutu, aby bylo v menšenci více vteřin než v menšiteli

2 -19˚2953

a) Výsledek řešení:a)

2

b)

.

2

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1)

α

ß

p

δ q γ ß=127˚46, α= …, γ= …, δ= … 2) Sestroj bez úhloměru α=22˚30, ß=82˚30, γ=202˚30 é

Planimetrie

33

3) Do kružnice o poloměru 4,3cm narýsuj libovolně poloměr. Počínaje tímto poloměrem nanášej další poloměry proti směru hodinových ručiček po každých 36˚. Poloměry budou mít názvy SA, SB, SC, SD,… Pokus se popsat útvar, který dostaneš po spojení bodů A, B, C, D, … v tomto pořadí.

4) Graficky rozděl přímý úhel na 8 shodných úhlů.

34

Planimetrie

Osová souměrnost Jestliže budeme chtít nakreslit obrázek tak, aby byl na obou stranách stejný, souměrný (motýla, broučka – viz.obrázek ), přeložíme papír, namalujeme jenom půlku obrázku po překlad papíru a na druhou půlku obrázek otiskneme.

Případně si namalujeme nebo narýsujeme opět jenom půlku obrázku po přehyb, papír přehneme a špendlíkem propíchneme důležité body, aby byly ve stejné vzdálenosti od přehybu a ty potom spojíme stejným způsobem jako na půlce první a máme i na druhé půlce obrázek stejný – viz.domeček.

Planimetrie

35

Na obou obrázcích je přehyb papíru narýsován čerchovanou čarou, které říkáme osa obrázku, osa útvaru, osa souměrnosti. Těmto obrázkům, útvarům, říkáme útvary osově souměrné ( brouček je osově souměrný, domeček je osově souměrný, …). Útvary osově souměrné se dají rozdělit přímkou – osou – na dvě shodné části, které když překlopíme podle této osy, tak se překryjí. Některé útvary mají jednu některé i více os souměrnosti: písmeno V = 1 osa souměrnosti, obdélník = 2 osy souměrnosti, čtverec = 4 osy souměrnosti, pravidelný šestiúhelník = 6 os souměrností – viz. následující obrázek, kruh = nekonečně mnoho os souměrností.… .

Ne vždy je možné papír přehýbat, ne vždy rýsujeme nebo malujeme na papír. K sestrojení osově souměrného obrázku, bodu, využíváme tzv. osové souměrnosti, kdy postupujeme následujícím způsobem. Chceme sestrojit bod osově souměrný podle osy o s bodem X, tedy bod Y: 1. Z bodu X sestrojíme kolmici na osu o 2. Průsečík této kolmice s osou = P 3. Kružítko zabodnu do bodu P, nastavím poloměr r=|XP| a přenesu tento poloměr (tuto vzdálenost od osy o) na polopřímku opačnou k PX….“přehodím bod X přes osu na druhou stranu“ 4. Ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).

36

Planimetrie

Zapisujeme O(o):X Y a čteme : v osové souměrnosti O s osou souměrnosti o sestrojíme bod X na bod Y.

Samodružný bod – je bod, který se zobrazí sám na sebe. V osové souměrnosti jsou to ty body, které leží na ose souměrnosti.

Planimetrie

37

Osová souměrnost Varianta A Sestroj libovolný rovnostranný trojúhelník a sestroj jeho osy souměrnosti. Urči jejich počet. Příklad: Osa souměrnosti je přímka spojující vrchol se středem protější strany (jedná se zároveň o kolmici z vrcholu na protější stranu). Pouze rovnostranný trojúhelník je trojúhelník se třemi osami souměrnosti. Rovnoramenný trojúhelník má jednu osu souměrnosti a různostranný trojúhelník osu souměrnosti nemá. Výsledek řešení: Rovnostranný trojúhelník má 3 osy souměrnosti


1) Vyber velké tiskací písmeno z abecedy, které je osově souměrné, narýsuj ho a zvýrazni jeho osu, případně osy. 2) Sestroj kružnici

(Výsl.:Např.A, D, M, V= 1 osa, X, O=2osy)

a urči její počet os souměrností, narýsuj některé

3) Sestroj libovolný obdélník, urči jeho počet os a dané osy sestroj 4) Sestroj čtverec o straně a= 4 cm, urči jeho počet os a dané osy sestroj

38

Planimetrie

Osová souměrnost Varianta B Narýsuj jakýkoliv obrázek osově souměrný a zvýrazni červeně jeho osu o Příklad: Postup: Nejdříve si sestrojíme osu souměrnosti. Každý bod obrázku hned sestrojíme v osové souměrnosti podle této zvolené osy. Kružnici sestrojím tak, že sestrojím osově souměrný střed kružnice, poloměry těchto kružnic jsou shodné, potom tedy už jen sestrojím daný obraz kružnice. I případné barvy musí osově odpovídat.


Výsledek řešení: Body, které leží na ose, se zobrazí samy na sebe, ostatní body sestrojíme podle uváděného postupu v úvodu kapitoly.. Jednotlivé body spolu na jednotlivých stranách správně hned spojujeme. Na závěr vybarvíme.

Planimetrie

1) Sestroj kružnici

, a přímku, která nemá s kružnicí žádný společný bod. Danou

kružnici sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici


.

, a přímku, která má s kružnicí 1 společný bod. Danou kružnici

sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici


39

.

, a přímku, která má s kružnicí 2 společné body. Danou kružnici

sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici

4) Sestroj úsečku AB a její osu

.

40

Planimetrie

Osová souměrnost Varianta C Sestroj úsečku AB a mimo ni různoběžně osu o. Danou úsečku sestroj v osové souměrnosti s osou o. Pojmenuj ji A´B´ Příklad:



Planimetrie

41

1) Sestroj úsečku MN a přímku o, která je různoběžná s úsečkou a má s ní 1 společný bod. V osové souměrnosti s osou o sestroj obraz úsečky AB a nazvi ji A´B´.Kolik bude samodruhých bodů?

2) Na přímce o zvol body A,B. Tyto body jsou krajními body úsečky AB. Tuto úsečku zobraz v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na úsečku A´B´.

3) Čtverec KLMN zobraz v osové souměrnosti s osou souměrnosti

4) Pokus se napsat slovo osově souměrné OTO-svislá osa )

na K´L´M´N´.

(OKO,DEKO-vodorovná osa, AVA,

42

Planimetrie

Kruh, kružnice Kruh je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu (středu kruhu) vzdálenost menší nebo rovnu číslu r (poloměru kruhu). 2r = d = průměr kruhu.

. Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu (středu kružnice) vzdálenost rovnu číslu r (poloměru kružnice). 2r = d = průměr kružnice.

Planimetrie

43

44

Planimetrie

Vzájemná poloha kružnic: SS. = úsečka spojující středy dvou kružnic = středná

é

Planimetrie

…vnější dotyk

45

46

Planimetrie

Vzájemná poloha kružnice a přímky

a)

b)

c)

é

tětiva = úsečka, která spojuje dva body na kružnici. Nejdelší možnou tětivou je průměr kružnice, tedy tětiva procházející středem kružnice.

Délka kružnice: Obvod kruhu je délka kružnice, která ohraničuje kruh Obsah kruhu:

Planimetrie

47

…Ludolfovo číslo. Je to konstanta, která vyjadřuje poměr délky kružnice k délce jejího průměru. tedy přibližná hodnota 3,14

Kruhový oblouk Délka kruhového oblouku

48

Planimetrie

Kruhová výseč: Obsah kruhové výseče:

Kruhová úseč:

Planimetrie

Mezikruží: Obsah mezikruží:

Výseč mezikruží:

49

50

Planimetrie

Kruh, kružnice Varianta A

Kruh K(S. r= 2,8 cm), určete obvod a obsah kruhu.

Příklad:


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestrojte kružnici k (S, r=3 cm), sestrojte dva průměry k této kružnice AB, CD. V krajních bodech průměrů sestrojte tečny k dané kružnici. Průsečíky tečen popište P,Q,R,S. Co vzniklo? tverec PQRS 2) Je dána přímka p a bod S vzdálený od přímky p 3 cm. Jaký průměr musí mít kružnice se středem v bodě S, aby daná p byla a) vnější přímkou, b) tečnou, c) sečnou kružnice? 3) Dán kruh K(S, r=3,4 cm). Jaký je obsah čtvrtkruhu? 4) Dvě kružnice mají průměr 25 cm a 35 cm. Jaký je rozdíl délek těchto kružnic?

Planimetrie

51

Kruh, kružnice Varianta B

Jaká je plocha kruhové podložky (zelená barva) s poloměrem 8,4 cm, z níž byl vystřižen kruh s průměrem5,4 cm? Viz. obr.

Příklad: Plocha podložky spočítáme rozdílem ploch většího a menšího kruhu.



52

Planimetrie

Příklady k procvičení: 1) Strana čtverce je 16 cm. Ze dvou rohů je vykrojen čtvrtkruh. Určete zbylou plochu. S= střed strany čtverce.

2) Obsah kruhu je 3560

, jaký je jeho průměr.

3) Kolikrát se zvětší a)obvod b) obsah kruhu, zvětší-li se jeho poloměr 14 krát? 4) Spočítejte obvod a plochu červeného obrazce

Planimetrie

53

54

Planimetrie

Kruh, kružnice Varianta c

Vypočítejte délku tětivy, která je na kružnici o průměru 14 cm vzdálená od středu 4 cm. Jaký je obsah kruhové výseče, kterou vytíná? Příklad:

… délka tětivy cos

Vypočítejte délku tětivy, která je na kružnici o průměru 14 cm vzdálená od středu 4 cm. Jaká je výška oblouku, který vytíná? Výsledek řešení: Tětiva =

,

Planimetrie

55

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C 1) ?

2)

é

3) Jaký je obsah mezikruží kružnice opsané a vepsané pravidelnému šestiúhelníku o straně 10 cm. 4) Kruhový záhon o průměru 12 m se má rozdělit soustřednou kružnicí na kruh a mezikruží o stejném obsahu.. Jaký je poloměr této kružnice?

é

?

Planimetrie

56

Trojúhelník Trojúhelník a jeho konstrukce

Mějme tři různoběžné přímky, které mají tři průsečíky. Trojúhelník = rovinný útvar ohraničený třemi úsečkami, z těchto průsečíků vzniklých – viz. obr.1 -

.

Obr.1.:

….. vrcholy ….. strany ( červeně –vnitřní úhly) Vedlejší úhly k vnitřním úhlům = vnější úhly

(modře)

Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu dvou vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů. Součet vnitřních úhlů = 180° Trojúhelníková nerovnost – součet dvou stran musí být větší než strana třetí.

Planimetrie

57

Trojúhelník: a) Různostranný b) Rovnoramenný – má dvě stejné strany (ramena),třetí se nazývá základna c) Rovnostranný – má všechny strany stejné, těžnice jsou zároveň výškami, těžiště je zároveň průsečíkem výšek a zároveň středem kružnice jak opsané, tak vepsané.

Trojúhelník:

a) ostroúhlý –má všechny úhly ostré b) pravoúhlý – má 1 úhel pravý, dva úhly ostré c) tupoúhlý – má 1 úhel tupý, dva ostré

Planimetrie

58

Střední příčky

= úsečky, které spoují středy stran trojúhelníku (viz.obr.2)

= je rovnoběžná se stranou, kterou neprochází a její velikost je rovna polovině této stany. Obr.2.:

Těžnice

= úsečka spojující vrchol se středem protější strany.

Průsečík těžnic = těžiště – značíme T (obr.3). Těžiště dělí těžnice na dvě části v poměru

kdy 1 díl je u strany

Obr.3.:

Výšky

= kolmice spuštěné z vrcholu na protější stranu.

Průsečík přímek, na nichž výšky leží značíme V Poloha V – ostroúhlý -

pravoúhlý

-

tupoúhlý

= uvnitř

(obr4.)

= ve vrcholu pravého úhlu = vně

(obr.6)

(obr.5)

a 2 díly u jeho vrcholu

Planimetrie

-

obr.4.:

obr.5.:

59

60

Planimetrie

obr.6.:

Kružnice trojúhelníku opsaná Prochází všemi vrcholy . Její střed=O je průsečíkem os stran daného trojúhelníku (obr. 7). Její poloměr

. K sestrojení středu kružnice opsané stačí pouze dvě

osy. Poloha středu kružnice trojúhelníku opsané – uvnitř straně (přeponě)

= pravoúhlý

, vně

=ostroúhlý

= tupoúhlý

, na nejdelší

Planimetrie

Obr. 7.:

Obr. 8.

61

62

Planimetrie

Obr. 9. Kružnice

vepsaná (obr.9) .

Dotýká se všech tří stran trojúhelníku. Její střed je průsečík os vnitřních úhlů . K sestrojení středu stačí sestrojit pouze dvě osy. Poloměr kružnice vepsané

= nejkratší vzdálenost

nalezeného středu ke straně trojúhelníku (uděláme ze středu kolmice na jednotlivé strany, průsečíky těchto kolmic se stranami nám dají body dotyku kružnice s Obr.10. :

.

Planimetrie

63

Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta A Sestroj kružnici o poloměru 3 cm a narýsuj tři různé trojúhelníky tyk, aby byla tato kružnice trojúhelníku opsaná.

Příklad: Sestroj kružnici o poloměru 3 cm a narýsuj tři různé trojúhelníky tyk, aby byla tato kružnice trojúhelníku opsaná. Vzhledem k tomu, že opsaná kružnice prochází všemi vrcholy trojúhelníku, vždy na kružnici zvolíme tři body, které nám po spojení dají trojúhelník.

Výsledek řešení: Řešením jsou


64

Planimetrie

Příklady k procvičení: 1) Sestroj libovolný trojúhelník ABC. Narýsuj trojúhelník PQR takový, aby AB, AC, BC byly střední příčky

.

Sestroj a změř těžnice.

2) Sestroj t

cm t

cm t

cm

3) Sestroj

Sestroj a změř výšky

4) Sestroj

Sestroj mu kružnici opsanou a

změř poloměr.

Planimetrie

65

Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta B Sestroj libovolnou kružnici o menším poloměru. Sestroj dva trojúhelníky takové, aby tato kružnice byla těmto trojúhelníkům vepsaná.

Příklad: Sestroj libovolnou kružnici o menším poloměru. Sestroj dva trojúhelníky takové, aby tato kružnice byla těmto trojúhelníkům vepsaná. Vepsaná kružnice má s trojúhelníkem body dotyku na stranách trojúhelníku, a to tak, že strana je zároveň kolmá k poloměru kružnice k tomuto bodu sestrojenému. Tedy na kružnici zvolíme 3 body (body dotyku) – např. X, Y, Z, body spojíme se středem kružnice a uděláme v nich kolmici na vzniklý poloměr. Průsečíky těchto kolmic = vrcholy Úlohu ještě jednou opakujeme pro další trojúhelník. Výsledek řešení:


.

66

Planimetrie

Příklady k procvičení: Tomuto trojúhelníku sestroj

1) Sestroj těžnice

změř je a poté změř

, T = těžiště, kontrolu měření ověř

výpočtem z naměřených těžnic.

2) Sestroj rovnostranný trojúhelník,

Změř výšky, těžnice, poloměr kružnice

opsané r, poloměr kružnice vepsané . Změř největší úhel. O jaký jde ?

3) Sestroj 4) Výška Přičemž

. O jaký trojúhelník se jedná?

Planimetrie

67

Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta C Rovnostrannému trojúhelníku vepiš kružnici. Co vše je možné napsat o bodech dotyku?

Příklad: Rovnostrannému trojúhelníku vepiš kružnici. Co vše je možné napsat o bodech dotyku? Vzhledem k tomu, že v rovnostranném trojúhelníku je osa strany zároveň osou úhlu, zároveň na ní leží i výška i těžnice , jsou body dotyku -

patami výšek

-

středy stran a tedy jedním krajním bodem těžnic

-

středy stran a tedy krajními body středních příček

-

leží na osách strany, úhlu



-

patami výšek

-

středy stran a tedy jedním krajním bodem těžnic

-

středy stran a tedy krajními body středních příček

-

leží na osách strany, úhlu

68

Planimetrie

Příklady k procvičení: 1) V P itom vnit n

hel je dv kr t v t ne vnit n

2) Poloměr kružnice vepsané rovnostrannému

hel

Kolik m

?

je 4,9 cm. Jaká je výška a poloměr

kružnice opsané tohoto ? 3) Vnitřní úhly 4) Poloměr kružnice opsané rovnostrannému těžnici

?

je 6,8 cm. Jak dlouhou mé

Planimetrie

69

Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Čtyřúhelník: A,B,C,D – vrcholy a,b,c,d – strany AC = e ; BD = f - úhlopříčky - vnitřní úhly A) obecný:

B) deltoid: …odvození na konci kapitoly

C) lichoběžník – viz. kapitola Lichoběžník D) rovnoběžník =čtyřúhelníky, které mají protější strany shodné a rovnoběžné. - součet velikostí vnitřních úhlů je 360 , sousední úhly tvoří 180 . - úhlopříčky se vzájemně půlí. - průsečík úhlopříček je středem souměrnosti rovnoběžníku Rovnoběžníky : 1.Čtverec = 4 strany shodné a na sebe kolmé - Vnitřní úhly jsou shodné=90 - Lze mu vepsat (r=

i opsat

kružnici, středy mají tyto kružnice

v průsečíku úhlopříček. - Úhlopříčky jsou shodné, jsou na sebe kolmé, půlí vnitřní úhel

70

Planimetrie

2.Obdélník = vedlejší strany na sebe kolmé, různě dlouhé. Úhlopříčky jsou shodné, nejsou na sebe kolmé, nepůlí vnitřní úhel Lze opsat kružnici: r=

Planimetrie

3.Kosočtverec =strany shodné, nejsou na sebe kolmé. Úhlopříčky jsou na sebe kolmé, nejsou shodné, půlí vnitřní úhel Lze vepsat kružnici, její střed =průsečík úhlopříček,

, v= výška kosočtverce

71

Planimetrie

72

4.Kosodélník =vedlejší strany různě dlouhé, nejsou na sebe kolmé Úhlopříčky různě dlouhé, nejsou na sebe kolmé, nepůlí vnitřní úhel Nelze vepsat ani opsat kružnici

-

Planimetrie

73

Odvození obsahu kosodélníku pomocí obsahu obdélníku:

Obsah kosodélníku ABCD převedeme na obsah obdélníku XYCD tak,že „uřezaný“ trojúhelník AXD přesuneme za stranu BC a tím dostaneme z kosodélníku ABCD obdélník XYCD, jejichž obsahy jsou shodné, obsah obdélníku už známe: v . Podobný by byl postup při odvozování

S obsahu pomocí strany b, tedy S

v .

Odvození obsahu trojúhelníku pomocí obsahu kosodélníku:

Je vidět, že v

S

S

v

S

c v

74

Planimetrie

Na tomto obrázku jsou sestrojeny 4 trojúhelníky- jejich obsahy jsou stejné, protože mají společnou stranu AB a shodnou výšku na stranu AB ( ). Odvození obsahu čtverce pomocí délek úhlopříček (platí i pro odvození obsahu deltoidu, kosočtverce) (

)

Planimetrie

S

75

e f

Pro obsah kosočtverce pomocí úhlopříček platí stejné odvození, tedy stejný vzorec:

S

Máme-li počítat obsah obecného čtyřúhelníku nebo jiného obrazce, daný obrazec si rozdělíme na útvary (například dva trojúhelníky), jejichž obsahy umíme spočítat známými vzorci.

76

Planimetrie

Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta A Určete obsah deltoidu s úhlopříčkami

.

Příklad:


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) V kosodélníku je

Urči ostatní vnitřní úhly.

2) V kosočtverci je velikost jednoho vnitřního úhlu rovna 38°16´.Urči druhý úhel a jaký úhel svírají úhlopříčky daného kosočtverce. é 3) V obdélníku je strana a třikrát větší než strana b. Obvod obdélníku je 60 cm. Urči jeho obsah. 4) Obdélník má obsah 140

, strana a má délku 20 cm. Urči jeho obvod.

5) a)Strana kosočtverce je 8 cm. Jeho výška je 5 cm. Urči jeho obvod a obsah. b) Strana kosodélníku obvod a obsah. 6) Urči obsah

. Jeho výška je

. Urči jeho

Planimetrie

77

Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta B Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li a=5cm, e= 8cm. Nejdříve sestrojíme

podle věty sss, potom využijeme rovnoběžnost protějších stran.

Příklad:

1.Rozbor:

2. Popis konstrukce:

Výsledek řešení: ve zvolené polorovině 1 řešení

78

Planimetrie

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li délka úhlopříček e=7 cm, f= 4 cm. 2) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li dáno é 3) Sestroj kosodélník ADCD, je-li dáno é 4) Sestroj kosodélník KLMN, je-li dáno é

.

Planimetrie

Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta C Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno

Příklad: 1.Rozbor:

2. Popis konstrukce

é 3. Závěr: Ve zvolené polorovině 2 řešení, protože výška kosodélníku je menší než strana b, tedy kružnice k bude mít s rovnoběžkou p dva společné body. Výsledek řešení: Ve zvolené polorovině 2 řešení

79

80

Planimetrie

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno é 2) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li dáno é 3) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno é 4) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno

Planimetrie

Lichoběžník Lichoběžník je čtyřúhelník, který má dvě strany rovnoběžné (základny) a dvě strany různoběžné (ramena). Vzdálenost mezi základnami je výškou lichoběžníku.

A,B,C,D – vrcholy a,b,c,d – strany AB, CD – základny BC, AD – ramena e = AC, f = BD – úhlopříčky v – výška

Pravoúhlý lichoběžník - má 1 rameno kolmé na základny.

81

82

Planimetrie

Rovnoramenný lichoběžník – má shodná ramena

lze mu opsat kružnici, jejíž

střed je průsečíkem os stran a poloměrem je vzdálenost tohoto středu od vrcholů. Tento lichoběžník má osu souměrnosti, která je zároveň osami základen. Tato osa dělí rovnoramenný lichoběžník na dva pravoúhlé shodné lichoběžníky. Platí

(tedy

úhel, který svírají ramena s jednotlivými základnami, jsou shodné. Obvod lichoběžníku:

o

Obsah lichoběžníku:

S

c

d

Na obrázku je ukázka 4 lichoběžníků se stejným obsahem. Mají shodnou základnu a, stejnou výšku v a stejně velkou základnu c

Planimetrie

83

Lichoběžník Varianta A Jaký je obsah lichoběžníku se základnami a=8cm, c=6cm a výškou v=11cm? Příklad: c

S

v


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Urči obvod rovnoramenného lichoběžníku se základnami 13 cm a 0,4 dm a ramenem dlouhým 8cm. 2) Urči obvod lichoběžníku, jehož strany mají rozměr a=20cm, b=11cm, c=4cm, d=8cm. 3) Spočítej obvod a obsah znázorněného pravoúhlého lichoběžníku:

4) Vypočítej obsah lichoběžníku, je-li

84

Planimetrie

Lichoběžník Varianta B Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno Příklad: 1. Rozbor:

2. Popis konstrukce:

1) 2)

°

3) 4) 5) 6) 3. Závěr: Ve zvolené polorovině 1 řešení Výsledek řešení: Ve zvolené polorovině 1 řešení


Planimetrie

Příklady k procvičení: 1) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno

,

é 2) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD: é

. 3) Sestroj pravoúhlý lichoběžník, je-li dáno

é 4) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno é

85

86

Planimetrie

Lichoběžník Varianta C Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno a=11cm, b=7cm, c=3cm, d=6cm.

Příklad: 1. Rozbor:

Je-li zadán lichoběžník 4 stranami, rozdělíme ho rovnoběžkou s ramenem BC tak, aby vznikl rovnoběžník (XBCD) a trojúhelník (AXD). Tedy zvolíme na straně AB bod X ve vzdálenosti od bodu B rovné velikosti strany c. Nejdříve sestrojíme AXD podle sss a na rovnoběžných základnách dorýsujeme ve vzdálenosti délky c body B a C. (samozřejmě je možné „posouvat“ rameno AD rovnoběžně do bodu C). 2.Popis konstrukce: 1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 3.Závěr: Ve zvolené polorovině má úloha 1 řešení. Pokud by nebyla splněna trojúhelníková nerovnost v AXD, úloha by neměla řešení.

Planimetrie

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno

, v=4cm.

é 2) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li dáno é é

é é

3) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno

, é

4) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li dáno

,

87

88

Planimetrie

Shodná zobrazení Shodná zobrazení v rovině Útvary v rovině, které bychom mohli přemístit tak, že by se kryly, jsou shodné (např. úsečky stejných velikostí, kružnice stejného poloměru, čtverce se shodnou stranou, … ). O shodnosti trojúhelníků lze rozhodnout podle těchto vět: 1. sss – jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné. 2. sus – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. 3. usu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k této straně přilehlých, jsou shodné. 4. Ssu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu, který leží proti větší z nich, jsou shodné. Shodná zobrazení (= zobrazení, které zachová shodnost útvarů) = osová souměrnost, středová souměrnost, posunutí, otočení. Samodružný bod = bod, který se zobrazí sám na sebe. Útvar, který zobrazujeme, se nazývá vzor, útvar, který vzniká je obraz. Přímá shodnost = vzor lze pouze posunutím, otočením překrýt s obrazem.

přímá shodnost

přímá shodnost

Planimetrie

Nepřímá shodnost = aby se obraz se vzorem překryl, musíme jej zrcadlově převrátit

nepřímá shodnost

89

90

Planimetrie

Osová souměrnost - O(o)

Je dána osou souměrnosti nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz). Samodružných bodů je nekonečně mnoho – osa osové souměrnosti (body na ose se zobrazí samy na sebe) Nepřímá shodnost Obraz bodu X: : 5. Z bodu X sestrojíme kolmici na osu o 6. Průsečík této kolmice s osou = P 7. Kružítko zabodnu do bodu P, nastavím poloměr r=|XP| a přenesu tento poloměr (tuto vzdálenost od osy o) na polopřímku opačnou k PX….“přehodím bod X přes osu na druhou stranu“ 8. Ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).

Planimetrie

91

Některé útvary mají jednu nebo více os souměrnosti: úsečka = 1 osa souměrnosti, obdélník = 2 osy souměrnosti, čtverec = 4 osy souměrnosti, kruh = nekonečně mnoho os souměrnosti…, takovým útvarům říkáme osově souměrné Jestliže máme v osové souměrnosti zobrazovat obrazce, zobrazujeme jejich jednotlivé vrcholy = body (výše uvedeným způsobem) a potom spojíme. Je dobré body okamžitě popisovat a zároveň dodržovat jejich pořadí při popisu . např. zápisem

rozumíme :“ v osové souměrnosti O s osou

souměrnosti p zobraz trojúhelník ABC na trojúhelník KLM“, přičemž bod A se zobrazí na K, bod B na L, bod C na M.

92

Planimetrie

v(A,p)=v(K,p) , v(B,p)=v(L,p), v(C,p)=v(M,p) (body vzor-obraz mají stejnou vzdálenost od osy p).

Planimetrie

93

Středová souměrnost - S(S)

Je dána středem souměrnosti nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz). Má 1 samodružný bod = střed souměrnosti. Nepřímá shodnost Obraz bodu X: : 1. Bod X spojím se středem souměrnosti 2. Kružítko zabodnu do bodu S, nastavím poloměr r=|XS| a nanesu tento poloměr (tuto vzdálenost od středu souměrnosti) na polopřímku opačnou k polopřímce SX….“přehodím bod X přes střed souměrnosti na druhou stranu“ 3. Ve stejné vzdálenosti od středu souměrnosti o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).

94

Planimetrie

Útvary, které mají střed souměrnosti se nazývají středově souměrné útvary. Jsou jimi např. úsečka (S=střed úsečky), obdélník (S=průsečík úhlopříček), kružnice (S= střed kružnice) … Př.

BS

,

Planimetrie

Posunutí - P(

) neboli translace - T(

95

)

( bod A je počátečním bodem orientované úsečky a bod B jejím bodem koncovým) Posunutí je tedy dáno orientovanou úsečkou, tedy úsečkou, která má směr a velikost nebo je dáno dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz). Nemá bod samodružný. Přímá shodnost.

96

Planimetrie

Obraz bodu X:

Rotace (otáčení) Je dáno středem otáčení (tedy bodem, kolem něhož se budou útvary otáčet), velikostí otáčení (tedy velikostí úhlu, o jaký objekt otočíme)a jeho orientací (+nebo -) nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz) a středem otáčení.

Rotace má 1 samodružný bod – střed rotace Přímá shodnost.

Planimetrie

97

Obraz bodu X: 1. Bod X (vzor) spojíme se středem rotace. Tím dostáváme rameno úhlu rotace. 2. Na rameno naneseme úhel rotace – (+= proti směru hodinových ručiček, - =ve směru hodinových ručiček) 3. Na nové rameno naneseme obraz Y ve stejné vzdálenosti od středu rotace, jako je vzor X ( nejlépe kružítkem)

98

Planimetrie

Shodná zobrazení v rovině Varianta A V osové souměrnosti

, vzdálenost S od osy je a) větší než r b) rovna r c)

menší než r, d) nulová. Kolik bude samodružných bodů? Příklad: a)

b)

c)

d)

Stačil zobrazit v osové souměrnosti střed kružnice, protože jde o shodné zobrazení, tedy poloměr zůstává stejný.

Výsledek řešení:samodružných bodů a) 0, b) 1, c) 2, d) nekonečně mnoho, kružnice se zobrazila sama na sebe = identita

Planimetrie

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Narýsuj libovolnou úsečku AB. Řeš.:

2) S P k S r

l

r P

k

.

99

100

Planimetrie

3) Libovolný čtverec ABCD.

4)

.

. Popiš samodruhé body.

Planimetrie

Shodná zobrazení v rovině Varianta B

Sestroj libovolný trojúhelník ABC a uvnitř něho bod M. Příklad:


101

102

Planimetrie

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj rovnostranný .

Planimetrie

2) Sestroj libovolný pravidelný šestiúhelník a narýsuj jeho osy souměrnosti a středy souměrnosti. Kolik jich je?

3) Sestroj libovolný lichoběžník KLMN ,

103

104 4)

Planimetrie

, kde ABCD je čtverec o straně 4 cm

Planimetrie

105

Shodná zobrazení v rovině Varianta C Rovnostranný

Příklad: Je nutné hned popisovat zobrazené body. Nejdříve se provede rotace obraz

a dostáváme jeho

, poté se tento obraz stává vzorem pro středovou souměrnost podle bodu T a

dostáváme obraz:

106

Planimetrie

Výsledek řešení


Planimetrie

Příklady k procvičení: 1) Pravidelný sedmiúhelník ABCDEF.

2) Libovolný nekonvexní pětiúhelník KLMNO.

107

108

Planimetrie

3) Obdélník ABCD:

4) Libovolný pětiúhelník ABCDE:

´

Planimetrie

109

Shodnost a podobnost útvarů Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti O shodnosti trojúhelníků lze rozhodnout podle těchto vět: 5. sss – jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné. 6. sus – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. 7. usu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k této straně přilehlých, jsou shodné. 8. Ssu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu, který leží proti větší z nich, jsou shodné. Podobnost Dva rovinné útvary jsou podobné, jestliže jsou si rovny poměry délek všech párů sobě odpovídajících si úseček. Tento poměr podobnosti = k.

Jestliže (shodnost je zvláštní případ podobnosti) Podobnost trojúhelníků: sss: Dva

jsou si podobné, jsou-li rovny poměry délek každých dvou odpovídajících si podle věty sss.

stran. uu: Dva

jsou si podobné, shodují-li se ve dvou vnitřních úhlech (stačí uvádět ve dvou,

protože i třetí odpovídá shodnosti, je doplňkem do 180°). Sus: Dva

podle věty uu.

jsou si podobné, shodují-li se v poměru délek dvou odpovídajících si stran a

v úhlu těmito stranami sevřeným.

podle věty sus.

Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou si podobné, shodují-li se v úhlu při hlavním vrcholu (sus). Užití podobnosti

k úpravě geometrických útvarů v daném poměru (jejich zmenšování

nebo zvětšování) nebo dělení úsečky v daném poměru:

110

Planimetrie

Danou úsečku AB, |AB|=4,6 cm upravte v poměru 5:3. Sestrojíme pomocné rameno, na které naneseme stejně dlouhé dílky (obvykle 1cm). Poměrk

, tedy jde o zvětšení. Úsečka zvětší svoji délku

. My ale

nebudeme řešit početně, to může pouze sloužit pro kontrolu, ale graficky danou úsečku AB upravíme (zvětšíme) na úsečku

. Koncový bod úsečky(B) spojíme s koncem 3.dílu, z 5.

dílu uděláme rovnoběžku. Kde tato rovnoběžka protne prodlouženou úsečku AB , tam dostaneme bod

,

Danou úsečku AB , rozdělte na dvě části,aby jejich délky byly v poměru 2:3 .

Planimetrie

111

Máme úsečku rozdělit na dva díly v poměru 2:3. Rozdělíme pomocné rameno na 5 stejných dílků, aby se dobře zachoval poměr (2+3=5). První díl má být menší (musí být zachováno pořadí čísel), tedy 2, druhý delší, tedy 3. Popíšeme body na pomocném rameni odpovídajícími čísly odpovídajícími čísly. Celá úsečka AB je součtem jednotlivých členů poměru, Z 5ky sestrojíme úsečku do koncového bodu zadané úsečky. A potom rovnoběžkou z 2ky dostaneme bod (X), který zadanou úsečku dělí v daném poměru. Libovolný

zmenšete v poměru 1:4.

Zmenšíme v poměru jednu jeho stranu, v našem případě stranu KL , dostaneme bod L´. Velikost úhlu se nemění, rovnoběžkou z bodu L´ se stranou LM dostaneme M´. Hledaný trojúhelník je

K´L´M´

112

Planimetrie

Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta A Libovolnou úsečku AB zmenši v poměru 1:5

Příklad: Libovolnou úsečku AB zmenšit v poměru 1:5 znamená, že celá úsečka je 5 dílů stejně dlouhých libovolně navolených na pomocném rameni, nová má být pětinou, tedy jedním dílem. Pátý díl na pomocném rameni spojíme s koncovým bodem úsečky, 1-kou vedeme potom rovnoběžku s touto spojnicí. Dostaneme B´. A´B´ je výsledná hledaná úsečka.


Planimetrie

113

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Trojúhelníky

jsou si podobné. k = poměr podobnosti. Doplňte na

místo * : a) b)

2) a) Úsečku KL dlouhou 8cm upravte v poměru 3:4. Změřte výslednou úsečku

b) Úsečku AB dlouhou 12 cm rozděl na dvě části v poměru 2:7. Změřte její delší díl. 3) Vyjmenujte aspoň tři rovinné útvary, které jsou podobné, aniž známe jejich rozměry. é 4) Úsečku AB upravte v poměru 3:1. Co jste zjistili o délce výsledné úsečky?

114

Planimetrie

Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta B Stín tyče dlouhé 1,5 m měří 4m. Jak vysoký je strom, jestliže je jeho stín dlouhý 18 m? Příklad:

Jde o podobné trojúhelníky podle věty sus (délka stínu, pravý úhel mezi zemí a stromem nebo tyčí, výška stromu nebo tyče). Poměr podobnosti

é é

Výška stromu Strom je vysoký 6,75 m.

Výsledek řešení: Strom je vysoký 6,75 m.

Planimetrie

115

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Ttrojúhelník ABC:

Upravte v poměru 5:3. Kolikrát se

zvětší jeho obvod?

2) Pro délky úseček a, b platí : a:b = 3:5, a+b = 16 cm. Jaké jsou rozměry úseček? 3) Narýsujte obdélník ABCD, a=9cm, b= 4 cm. Sestrojte obdélník KLMN tak, aby poměr úhlopříček AC:KM byl 3:2. é 4) Silnice stoupá na každých 5 metrech o 80cm. Jaké bude převýšení po 254 m?

116

Planimetrie

Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta C Libovolnou úsečku AB rozděl na tři úsečky tak, aby se z nich dal sestrojit pravoúhlý trojúhelník. Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku je jeden z možných poměrů stran 3:4:5 (Pythagorejský ). Tímto poměrem tedy rozdělíme naši úsečku. Koncový bod pomocného ramene, na němž jsou úsečky v poměru 3:4:5 spojíme s koncovým bodem úsečky. Potom už jen rovnoběžkami z bodů na pomocném rameni dostaneme body X a Y, které nám úsečku dělí v potřebném poměru.



Planimetrie

117

1) Ze dvou podobných trojúhelníků má první obvod 150 cm a druhý strany dlouhé 19 cm, 17 cm a 14 cm. Určete délky stran trojúhelníku prvního. 2) Dokažte, že obvody dvou podobných trojúhelníků mají týž poměr, jako délky stran těchto trojúhelníků ležící proti shodným úhlům.

3) Úsečku dlouhou 13,2 cm rozdělte na 7 shodných dílů é 4) Poměr podobnosti 1. a 2. Trojúhelníku je , poměr podobnosti 1. a 3. Trojúhelníku je Jaký je poměr podobnosti 1. a 2. ?

118

Planimetrie

Množiny bodů dané vlastnosti. Vzdálenost bodu od přímky měříme na kolmici z bodu (X) k dané přímce p (je to tedy nejkratší možná vzdálenost bodu od přímky (

).

Osa úsečky (o)= množina bodů roviny, které mají od krajních bodů úsečky (A, B) stejnou vzdálenost:

Rovnoběžka p1, p1 = množina bodů roviny, která má od dané přímky p vzdálenost rovnu a.

Pás = množina bodů roviny, která má od dané přímky p vzdálenost menší nebo rovnu a.

Planimetrie

119

Kružnice = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost rovnu r (obr.1). Kruh = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r (obr.2). Obr.1

Obr.2

Mezikruží = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost větší nebo rovnu r2 a zároveň vzdálenost menší nebo rovnu r1.

120

Planimetrie

Osa úhlu, který má ramena na různoběžkách a, b a vrchol v jejich průsečíku V = množina bodů roviny, které mají od různoběžek a, b stejnou vzdálenost.

Thaletova kružnice= množina všech vrcholů C pravoúhlých trojúhelníků sestrojených nad přeponou AB (kromě bodů A,B). Thaletova věta – Jestliže leží vrchol C na kružnici k s průměrem AB, potom je trojúhelník ABC pravoúhlý s přeponou AB.

Planimetrie

Používané symboly v planimetrii



 

 

121

122

Planimetrie

Planimetrie

123

Množiny bodů dané vlastnosti Varianta A

Sestrojte množinu bodů, které mají od bodu P vzdálenost rovnu 2,5 cm. Příklad:

Body, které mají od bodu P vzdálenost 2,5 cm leží na kružnici se středem P a poloměrem 2,5 cm. Příklad: Varianta A Varianta B


Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete množinu bodů, které mají od přímky f vzdálenost 4 cm. 2) Najděte 5 bodů, které mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky AB, 3) Máme úhel KLM,

, najděte 4 body, které mají od ramen úhlu stejnou

vzdálenost. 4) Najděte 5 bodů, které mají od přímky p vzdálenost menší nebo rovnu 2,2 cm.

124

Planimetrie

Množiny bodů dané vlastnosti Varianta B Sestrojte množiny bodů, které mají od bodu S vzdálenost větší neš 3 cm. Příklad: Body, které mají od bodu S vzdálenost rovnu 3cm leží na

, body, které mají od

S vzdálenost větší nebo rovnu této vzdálenosti, leží na této kružnici nebo vně. Na obrázku je tato množina znázorněna zelenou barvou. Jedná se tedy o kružnici k a její vnější oblast.



Planimetrie

125

Příklady k procvičení: 1) Určete množinu bodů, které mají od bodu A vzdálenost menší než 5 cm. 2) Určete množinu bodů, které mají od krajního bodu A úsečky AB vzdálenost větší než od bodu B. 3) Určete množinu bodů, které mají od bodu M vzdálenost větší než 2cm a menší nebo rovnu 4 cm. 4) Určete množinu bodů, které mají od přímky q vzdálenost větší jak 1,7 cm.

126

Planimetrie

Množiny bodů dané vlastnosti Varianta C Najděte všechny body, které mají od krajních bodů úsečky AB stejnou vzdálenost a zároveň tvoří s body A, B vrcholy pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem u hledaného vrcholu. Příklad: Hledané body musí ležet na ose úsečky AB, aby měly od bodů A, B stejnou vzdálenost. Aby hledaný bod byl vrcholem trojúhelníku s pravým vnitřním úhlem u tohoto vrcholu, musí ležet na Thaletově kružnici s přeponou AB. Průnikem těchto dvou množin získáme hledané body.

Výsledek řešení: Úloha má dvě řešení, jedná se o body C1, C2: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

k= Thaletova kružnice nad AB, o=osa AB

Planimetrie

127

Příklady k procvičení: 1) Najděte body C, které mají od úsečky AB,

vzdálenost 3cm a tvoří s body

A, B vrcholy pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem u bodu C. Rozeberte počet řešení vzhledem k zadanému rozměru úsečky AB.

2) Najděte body, které mají od krajního bodu A úsečky AB,

vzdálenost

3 cm a od středu této úsečky vzdálenost 4 cm. 3) Najděte body, které mají od krajního bodu A úsečky AB:

vzdálenost

3cm a od této úsečky mají vzdálenost 4 cm. 4) Najděte body, které mají od různoběžek a,b stejnou vzdálenost rovnu 1 cm. é é

128

Planimetrie

Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Při konstrukci rovinných útvarů využíváme množin bodů dané vlastnosti, jejich průniky. Vždy je dobré si načrtnout rozbor úlohy, tedy udělat náčrtek a v něm zvýraznit zadané hodnoty. Kvalitní náčrtek hodně napoví, jak úlohu řešit a i případná množství řešení. Používané symboly v planimetrii



 

 

Planimetrie

129

Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Varianta A Sestroj

, je-li dáno:

Příklad: Konstrukci provádíme obvykle jen v jedné (zvolené) polorovině a to tak, aby byl zachován směr popisu konstrukce-vrcholů-proti směru hodinových ručiček. Rozbor: nečrtneme „od ruky“ a zaznamenáme zadané hodnoty (nejlépe barevně) a případné množiny bodů dané vlastnosti, které nám konstrukci umožňují.

Popis konstrukce

1) 2) 3) 4) 5) 6) Závěr: Úloha má ve zvolené polorovině jedno řešení. nerovnost, jinak by úloha neměla řešení.

splňuje trojúhelníkovou

130

Planimetrie



Příklady k procvičení: 1) Sestroj é 2) Sestroj é 3) Sestroj rovnoběžník é 4) Sestroj kosočtverec é

Planimetrie

131

Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Varianta B Sestroj Příklad: Rozbor: Začneme stranou BC. V dané konstrukci využijeme Thaletovu kružnici, protože u hledaného vrcholu A je pravý úhel nad úsečkou BC. Dále využijeme množinu bodů, které mají od úsečky BC vzdálenost rovnu 3cm, tedy rovnoběžku se stranou BC ve vzdálenosti 3cm. Opět si zvolíme jednu polorovinu a tedy sestrojíme tuto rovnoběžku pouze na jednu stranu od BC tak, aby bod A splňoval s body BC správný směr popisu konstrukce.

Popis konstrukce:

………také se značí

132

Planimetrie

Závěr: Ve zvolené polorovině 2 řešení. Pokud by řešení, pokud by

, úloha by neměla řešení. Výsledek řešení:


bylo by ve zvolené polorovině 1

Planimetrie

Příklady k procvičení: 1) Sestroj é 2) Sestroj é

3) Sestroj lichoběžník ABCD: é

4) Sestroj lichoběžník ABCD: é

133

134

Planimetrie

Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Varianta C Dána kružnice

Daným bodem P veď k dané kružnici tečny.

Příklad: Tečna je přímka, která má s kružnicí 1 společný bod a je kolmá na její poloměr v bodě dotyku. Tato kolmost napovídá, že budeme bod dotyku tečny s kružnicí hledat pomocí Thaletovy kružnice nad SP.

Popis konstrukce: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Závěr: 2 tečny, pokud by

pokud

.

Planimetrie


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj lichoběžník ABCD: é 2) Sestroj lichoběžník ABCD:

3) Sestroj konvexní čtyřúhelník ABCD:

4) Sestroj é

135

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

Recommend Documents