Planimetrie pro studijní obory

Variace

1

Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

24.4.2012 23:28:12

Powered by EduBase 2

Planimetrie pro studijní obory

1

1. Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající se rovinnými útvary (= rovinná geometrie).

2. Základní geometrické prvky a útvary

Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme:

Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. AB) Znázorňujeme:

Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka

Polopřímka Znázorňujeme:

Zapisujeme: AB Pozn.: Platí, že AB  BA

Úsečka Znázorňujeme:

Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cm

Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. 24.4.2012 23:28:12


2


1

Znázorňujeme:

nebo Zapisujeme: ABC nebo pC Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ABC nebo pC

Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:

Zapisujeme:

=

Úhel může být: 

nulový (velikost 0°)

24.4.2012 23:28:12


3




kosý (velikost 0° << 180°)





1

pravý (velikost 90°)

přímý (velikost 180°)

24.4.2012 23:28:12


4




1

plný (velikost 360°)

Jiné dělení: 

úhel konvexní (velikost 0° <  < 180°)



úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° <  < 360°)

24.4.2012 23:28:12


5


1

Dvojice úhlů v rovině: 1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)

2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)

24.4.2012 23:28:12


6


1

3. Dvojice úhlů souhlasných nebo střídavých (mají stejnou velikost)

4. Dvojice úhlů výplňkových

5. Dvojice úhlů doplňkových

24.4.2012 23:28:12


7


1

6. Dvojice úhlů styčných

3. Trojúhelníky Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly.  Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°.  Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°.  Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech.  Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí).

24.4.2012 23:28:12


8


1

 

Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum.



Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu.

24.4.2012 23:28:12


9


1



Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost.



Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sin

   

24.4.2012 23:28:12


10




1

pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:

Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník  nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené

B. Ostroúhlý trojúhelník

24.4.2012 23:28:12


11


1

 trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník

      

trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c2 = a2 + b2 (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce:

D. Tupoúhlý trojúhelník

24.4.2012 23:28:12


12


1

 má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré  dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník

24.4.2012 23:28:12


13


1

 má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna  vnitřní úhly při základně jsou shodné  trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu  výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně  střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti  výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí  na ose souměrnosti leží i těžiště  rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý  obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + c F. Rovnostranný trojúhelník

       

má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60° má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120° je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.3/2

24.4.2012 23:28:12


14


1

4. Čtyřúhelníky A. Obecný čtyřúhelník

 má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti  čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f  součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360° Pozn.: Různoběžník

B. Rovnoběžník

    

čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníku se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníku se vypočte podle vzorce S = a . va každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180°

24.4.2012 23:28:12


15


 

1

úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec

 má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90°  úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé  průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané  je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček  je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky)  obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a  obsah se vypočte podle vzorce S = a2 nebo také S = u2/2  úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.2 b) obdélník

     

má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran

24.4.2012 23:28:12


16


1

 obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)  obsah se vypočte podle vzorce S = a.b  pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec

 má všechny strany stejně dlouhé  každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné  každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°  úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé  je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček  je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami  obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a  obsah se vypočte podle vzorce S = a.va nebo také S = u1.u2/2  lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník

 má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné  má každé dva protější vnitřní úhly shodné  každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°  úhlopříčky se navzájem půlí  je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček C. Lichoběžník 24.4.2012 23:28:12


17


  

1

čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce

a) rovnoramenný lichoběžník

 má obě ramena shodná  má oba vnitřní úhly při každé základně shodné  úhlopříčky jsou shodné  je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen  lze mu opsat kružnici b) pravoúhlý lichoběžník

24.4.2012 23:28:12


18


1

 má právě dva vnitřní úhly pravé  jedno rameno je kolmé k oběma základnám D. Deltoid

      

má dvě a dvě strany shodné úhlopříčky jsou na sebe kolmé nestejně dlouhé strany svírají stejné úhly je osově souměrný - má 1 osu souměrnosti může, ale také nemusí, mít jeden pravý úhel obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + c) obsah se vypočte podle vzorce S = e . f / 2

Jiné dělení a) Čtyřúhelník konvexní

24.4.2012 23:28:12


19


1

b) Čtyřúhelník nekonvexní

5. n-úhelníky Pravidelný pětiúhelník 24.4.2012 23:28:12


20


  

1

má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce:  sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD  najdeme střed K úsečky SB  sestrojíme úsečku KC  obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L  úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníku; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníku

Pravidelný šestiúhelník       

má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120° lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce:  sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r  na kružnici zvolíme libovolný bod A  z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka

Pravidelný osmiúhelník    

má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má osm os souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici

6. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy:

Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí.

24.4.2012 23:28:12


21


1

Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d.

Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh: 1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice (nesečnou).

2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou.

24.4.2012 23:28:12


22


1

Tečna je vždy kolmá na poloměr. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou.

Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.

Úhel  nazýváme obvodový úhel; úhel  nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového.

Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l = 2..r nebo l = .d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o = 2..r nebo o = .d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: S = .r2 nebo S = .d2/4

Kruhový oblouk

24.4.2012 23:28:12


23


1

Pro délku kruhového oblouku a platí: nebo

Soustředné kružnice Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stejný střed, ale různý poloměr.

Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar.

Pro obsah kruhové výseče S platí: nebo

Kruhová úseč

24.4.2012 23:28:12


24


1

Jedná se opět o rovinný útvar.

Mezikruží Rovinný útvar.

Obsah mezikruží: S = . (r22 - r12)

7. Shodnost trojúhelníků, důkazy

Shodnost trojúhelníků O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí.

24.4.2012 23:28:12


25


1

Shodnost rozlišujeme: 1. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí) 2. Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením) Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení.

Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss.

Pro každé dva trojúhelníky ABC, A´BĆ´platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné.

Věta sus:

24.4.2012 23:28:12


26


1

Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné.

Věta usu:

Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné.

Věta Ssu:

Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich.

24.4.2012 23:28:12


27


1

Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme. Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů: 1. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty. 2. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení. 3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n = 1, pak pro libovolné n + 1 a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme.

Důkazové úlohy: Příklad 1: Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC.

Řešení:

|AC| = |CD| |BC| = |CE| |AC| = |BC|

.. .. ..

vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka ... (1)

Z uvedených tří vlastností vyplývá, že |CD| = |CE| úhel  = 60°

..

...

(2)

vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka

|úhel DCB| =  + 60° |úhel ACE| =  + 60° Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že |úhel DCB| = |úhel ACE| Ze závěrů (1), (2), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus.

...

(3)

CBD

Příklad 2:

24.4.2012 23:28:12


28


1

Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí |PQ| = |UV| Řešení:

 BCE je shodný s  ABF (Ssu) Odtud vyplývá, že: |EC| = |FB| = |UV| = |PQ| Závěr: |PQ| = |UV|

CBD

8. Shodnost trojúhelníků - procvičovací a důkazové úlohy 1.

2087

Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že  DMC je shodný s  DNC.

OK

2.

OK

3.

Je dána kružnice k(S; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t1, t2 a označte jejich dotykové body T1 a T2. Dokažte, že |PT1| = |PT2| a |úhel SPT1| = |úhel SPT2|. Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30°. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly.

2090

2088

OK

4.

2089

Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(S; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí |MN| = |PQ|, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k.

OK

5.

2091

Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že |CQ| = |BT|.

OK

9. Podobnost trojúhelníků

Podobnost trojúhelníků Definice: Trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí: 24.4.2012 23:28:12


29


1

a´= k . a b´= k . b c´= k . c Číslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula. Je-li k > 1, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k < 1, hovoříme o tzv. zmenšení. Pozn.: Pokud by bylo k = 1, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti.

Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné. Věta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné. Věta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech. Poznámka: Pro podobné útvary tedy platí: - odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru - odpovídající si úhly jsou shodné

Důkazové úlohy: Příklad 1: Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou rovnostranné, pak jsou podobné. Důkaz: Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhly při vrcholech A´, B´, C´ mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A´, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B´. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD Příklad 2: Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné. Důkaz:

24.4.2012 23:28:12


30


1

Vnitřní úhly při vrcholech A, A´mají velikost 90° a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu) |AB| = |AC| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka |A´B´| = |AĆ´| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka

Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD

Výpočtové úlohy: Příklad 3: Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku 1 : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A´BĆ´ o stranách délek 3,2 cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka.

Řešení: |A´B´| = 3,2 cm |BĆ´| = 4,8 cm |AĆ´| = 5,4 cm k = 1 : 50 000 |AB| = ? [cm] |BC| = ? [cm] |AC| = ? [cm] -----------------------------|AB| = (1/k) . |A´B´| |AB| = 3,2 . 50 000 cm = 160 000 cm = 1,6 km |BC| = 4,8 . 50 000 cm = 240 000 cm = 2,4 km |AC| = 5,4 . 50 000 cm = 270 000 cm = 2,7 km Rozměry lesa jsou 1,6 km, 2,4 km, 2,7 km.

10. Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady 1. OK

2.

OK

2047

Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody. k

Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: |EF| = 5 cm |MN| = 7 cm |EG|= 6 cm |NK| = 4 cm Vypočtěte délku strany |MK|. 8,4 cm

24.4.2012 23:28:12


2043

31


3.

OK

4.

1

Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: |EF| = 5 cm |MN| = 7 cm |EG|= 6 cm |NK| = 4 cm Vypočtěte délku strany |FG|. 2,86 cm

2044

2049

Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c´ a výšky v, v´. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c´: v´

OK

5. OK

6. OK

7. OK

8.

OK

9.

Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 62° a 42°. Určete vzdálenost obou tyčí. 46,3 m

2048

2046

Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy. k2

Trojúhelníkové pole o rozměrech 162,5 m, 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7,2 mm. Určete měřítko mapy. 1 : 25 000

Jsou dány trojúhelníky ABC a A´BĆá platí: a = 6 b = 8 c = 9 a´= 5 b´= 6 2/3 c´= 7 1/2 Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné.

2055

2042

Jsou podobné. 2045

Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A´BĆ, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné.

OK

10.

OK

11.

OK

12.

OK

Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno: a = 5/3 b = 11/6 vnitřní úhel při vrcholu C je 70° a´= 5/2 b´= 11/4 vnitřní úhel při vrcholu C´je 70° Jsou podobné

Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 200 metrů a je položena o 180 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 15 metrů vysoký.

2052

350 m

Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno: a = 2,5 b=7 vnitřní úhel při vrcholu C je 90° a´= 5 b´= 13,9 vnitřní úhel při vrcholu C´je 90°

2050

Nejsou podobné

13. Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 16 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 132 cm OK

2051

2054

dlouhý. Určete výšku budovy. 12,12 m

24.4.2012 23:28:12


32


1 2053

14. Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta OK

na vzdálenosti 270 metrů? 62,1 m

11. Pythagorova věta 12. Pythagorova věta - procvičovací příklady 13. Eukleidovy věty

Eukleidovy věty 1. Věta o výšce

Pata výšky C´rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem CC´B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem:

Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.

2. Věta o odvěsně

24.4.2012 23:28:12


33


1

Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

Rovněž by se dalo vyjádřit:

Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše.

Ukázkové příklady Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = 10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 5 2. Rovnost x = 10 upravíme do tvaru x2 = 10, resp. x2 = 2 . 5 3. Zvolíme-li x = v, ca = 2, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C´X pak odpovídá hledané x = 10 Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = 10 Řešení: 24.4.2012 23:28:12


34


1

1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 5 2. Rovnost x = 10 upravíme do tvaru x2 = 10, resp. x2 = 2 . 5 3. Zvolíme-li x = a, ca = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = 10

14. Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná

Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v2 = ca . cb neboli

Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad 1: Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r1. Pak má platit:

Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou

Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah

24.4.2012 23:28:12


35


1

pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad 2: Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 22 cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah:

Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu:

Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru

neboli

15. Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady 1. OK

Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = 22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69

24.4.2012 23:28:12


2024

36


2. OK

3. OK

4. OK

5. OK

6. OK

7. OK

8. OK

9. OK

1 2013

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = 22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = 23. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,80

2016

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = 18. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,24

2022


2017


2014

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = 21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = 28. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5,29 Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = 10. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,16

10. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = 13. Kontrolu správnosti proveďte OK

2023

2031

2028

2030

určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,61

2019

11. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = 14. Kontrolu správnosti proveďte OK



2029


2018




2032


2021



2015



24.4.2012 23:28:12


37


1




2025



2026

2027


2020



16. Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 1. OK

2. OK

2034

Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d2, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.

2033

17. Výpočty rovinných útvarů

Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit.

18. Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 1.

OK

2. OK

Obvod rovnoramenného trojúhelníka je 112 cm. Základna je o 20 % delší než rameno trojúhelníka. Vypočtěte: a) délku ramene i základny b) obsah trojúhelníka

2108

a = b = 35 cm, c = 42 cm, obsah trojúhelníka je 588 cm2. Čtvercové hřiště má obvod 125 m. Jaký má obsah? 977 m2

24.4.2012 23:28:12


2118

38


3.

OK

4. OK

5.

OK

6.

OK

7. OK

8.

1

Ve čtverci ABCD o straně a = 4 cm je sestrojena lomená čára ASRC. Vypočítejte její délku jako součet |AS| + |SR| + |RC|.

2098

9,18 cm Obvod obdélníka je 28 cm, délka je o 2 cm větší než jeho šířka. Určete délku úhlopříčky tohoto obdélníku. 10 cm

Pole osázené zeleninou má tvar rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka. Jeho odvěsny mají délku 24 m. Ve vrcholech trojúhelníka jsou umístěny otáčecí postřikovače o dosahu 12 m. Jak velká část pole není těmito postřikovači zavlažována a jak veliká je třetí strana pole?

2121

2182

Není zavlažováno 61,81 m2, třetí strana pole je 33,94 m.

2126

Kolik trojúhelníků je na obrázku?

15 2197

Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zakresleno pole tvaru obdélníka. Jeho rozměry na plánu jsou 30 cm a 4 cm. Určete skutečnou výměru pole v hektarech. 7,5 ha

2164

OK

Vypočtěte obsah rovnoramenného trojúhelníka, jehož základna má délku 10 cm a rameno je o 3 cm delší než základna. 60 cm2

9.

Kolik trojúhelníků je na obrázku?

OK

2142

6

10. Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, kde vnitřní úhly při vrcholech A, D jsou pravé a |AB| = 13 OK

2138

cm, |CD| = 5 cm, |AD| = 6 cm. Vypočtěte obsah lichoběžníka ABCD. 54 cm2

24.4.2012 23:28:12


39


1

11. Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 6 cm a 8 cm. Vypočítejte velikost nejmenší výšky v OK

12.

OK

2175

trojúhelníku. 4,8 cm

Je dán trojúhelník ABC s úhly  = 30°,  = 60° a stranou c = |AB| = 10 cm. a) Vypočtěte velikost úhlu . b) Vypočtěte délku strany AC c) Vypočtěte délku výšky na stranu AC  = 90° |AC| = 8,66 cm v = 5,00 cm

2165

2189

13. Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 2 : 1. Vypočtěte OK

délky stran obdélníka a určete obsah obdélníka, a to v m2 a v cm2. a = 0,4 m, b = 0,2 m; S = 0,08 m2 = 800 cm2

2110

14. V rovnostranném trojúhelníku narýsujte všechny výšky a zjistěte, kolik trojúhelníků je možné na OK

obrázku vidět. 16 trojúhelníků 2136

15. Je dán obdélník ABCD, v němž je |BC| = 12 cm a úhlopříčka měří 15 cm. Na straně AB vyznačte OK

16.

OK

17.

OK

18.

OK

bod R tak, že |RC| = 13 cm. Určete délku těžnice ke straně AR v trojúhelníku ARC. 13,9 cm

Do polokružnice je vepsán obdélník SABC. Určete velikost úsečky AC, jsou-li dány velikosti úseček SA a AD.

2101

5 cm 2137

Je dán obdélník ABCD, v němž je |BC| = 12 cm a úhlopříčka měří 15 cm. Na straně AB vyznačte bod R tak, že |RC| = 13 cm. Určete, o kolik procent je obsah trojúhelníka ARC menší než obsah obdélníka ABCD. 77,8 %

Kolem bazénu s rozměry 25 m a 12 m je pás trávy široký 4,5 m. Vypočítejte obsah travnaté plochy - viz obrázek.

2117

414 m2

24.4.2012 23:28:12


40


19.

OK

1 2100

V kosočtverci ABCD na obrázku je velikost vnitřního úhlu při vrcholu B 120°. Určete délku strany kosočtverce, je-li délka úhlopříčky BD 46 cm.

46 cm

20. Na plánu s měřítkem 1 : 500 je znázorněn kruh s poloměrem r = 1,6 mm. Jaký je skutečný OK

21.

OK

2209

poloměr kruhu? 0,8 m

Rovnoramenný lichoběžník se základnami 100 cm a 80 cm a ramenem 50 cm byl rozdělen přímkou rovnoběžnou se základnami na dva lichoběžníky, jejichž ramena jsou v poměru 2 : 3. Vypočtěte délku společné základny.

2185

88 cm

22. Nakresli čtvercovou síť a zobraz do ní trojúhelník ABC, jehož vrcholy mají souřadnice A[4; 5],

2154

B[0; 3], C[3; 2]. Rozhodni, která strana je přeponou. OK

23. Obvod obdélníka je 56 cm. Určete délky jeho stran, jsou-li v poměru 3 : 7. Proveďte zkoušku. OK

Delší strana má délku 19,6 m a kratší 8,4 m.

24. Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníka, jehož obvod je 72 cm. OK

26.

OK

2102

249 cm2

25. Kružnice o poloměru 0,5 m má tětivu délky 80 cm. Jaká je vzdálenost této tětivy od středu OK

2184

2183

kružnice? 30 cm 2119

V rovnoramenném trojúhelníku ABC (viz obrázek) je zadána velikost strany c = 6 cm a výška vc = 40 mm. Vypočítejte velikost ramen trojúhelníku ABC.

5 cm

24.4.2012 23:28:12


41


1

27. Určete obsah kruhu vepsaného čtverci o straně 2 cm. OK

28.

OK

3,14 cm2 2099

Určete obsah vyšrafované plochy.

4 cm2

29. Úhly ,  jsou vedlejší úhly. Velikost úhlu  je o 25° menší než velikost úhlu. Vypočtěte OK

30.

OK

32.

OK

33.

2203

velikosti obou úhlů. Úhel  má velikost 102,5° a úhel  má velikost 77,5°.

Je dán obecný trojúhelník ABC a body D, E, které jsou po řadě středy stran AC, BC. Úsečka DE rozdělí trojúhelník ABC na trojúhelník a lichoběžník. Načrtněte situaci a vypočtěte poměr jejich obsahů. Veškeré své úvahy zapisujte. Obsah lichoběžníka je třikrát větší než obsah trojúhelníka.

31. Určete obsah trojúhelníka ABS, je-li S průsečík úhlopříček kosočtverce, o němž víme, že jeho OK

2173

2176

2178

obvod je 21,6 cm a výška je 4,5 cm. 6,075 cm2 2148

Zmenšíme-li delší strany pozemku, který má tvar obdélníka, o 30 m, získáme čtvercovou plochu s obsahem 1,44 ha. O kolik procent se zmenšil obsah původního pozemku? O kolik procent se sníží spotřeba pletiva na oplocení pozemku? Zmenšení obsahu o 20 % Zmenšení obvodu o 11,11 %

Zapište všechny úhly určené polopřímkami VA,  VB,  VC.

2115

OK

24.4.2012 23:28:12


42


1

34. Pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny jsou v poměru 5 : 12, má přeponu dlouhou 26 m. Jak OK

35.

OK

2159

dlouhé jsou odvěsny a jak velký je obsah trojúhelníka? Délky odvěsen jsou a = 10 m, b = 24 m. Obsah trojúhelníka je 120 m2.

Obdélník má strany o délkách a = 13 cm, b = 7 cm. a) Určete délku strany čtverce, který má obvod shodný s obvodem obdélníka. b) Určete obsah tohoto čtverce c) Vypočtěte délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, jehož obsah je 50 % obsahu zadaného obdélníka, přičemž délka strany tohoto trojúhelníka je a = 13 cm. a = 10 cm 100 cm2 c = 14,76 cm

2166

2094

36. Délka obdélníka je o 6 cm větší než šířka. Jestliže délku i šířku obdélníka zvětšíme o jejich jednu OK

37.

OK

třetinu, zvětší se obvod obdélníka o 20 cm. Vypočítejte původní rozměry obdélníka. Původní rozměry jsou a1 = 12 cm, b1 = 18 cm

Dopočítejte úhel g vyznačený v obrázku.

120°

38. Který útvar má větší obvod - čtverec o straně 2 m nebo obdélník o stranách 3 m a 1 m? OK

39.

OK

Vypočti obvod a obsah vyšrafovaného obrazce, má-li strana čtverce délku a = 10 cm.

42. OK

2179

o = 31,4 cm, S = 50 cm2 2125

Nemůže (spor s trojúhelníkovou nerovností)

41. Kolo automobilu má průměr 62 cm. Kolikrát se kolo otočí na dráze 8 km? OK

2152

Zdůvodněte. Mají oba útvary stejný obsah? Čtverec má větší obsah než obdélník.

40. Může být delší úhlopříčka kosočtverce dvakrát delší než strana kosočtverce? OK

2207

2170

4 100 krát

Součet vnitřních úhlů , ,  v trojúhelníku je 180°. Úhly  a  mají velikosti  = 54°,  58°. Jakou velikost má úhel  ?

2134

58°

24.4.2012 23:28:12


43


43.

OK

1

Z jak dlouhé tyče je možné vyrobit mříž nakreslenou na obrázku? Mříž má mít délku 14,14 m a skládá se z 9 stejných dílů (čtverců). Výsledek zaokrouhlete na celé číslo.

2193

40 m 2167

44. V kružnici o poloměru 7,5 cm jsou sestrojeny dvě rovnoběžné tětivy, jejichž délky jsou 9 cm a 12 OK

cm. Vypočtěte vzdálenost těchto tětiv. 2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm

45. Jak velký je úhel ABC, když mu do 90°schází 15°20´3,5´´? OK

2146

74°39´56,5´´ 2145

46. Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, který má vnitřní úhly při vrcholech A, D pravé. Platí, že |AB| OK

47.

OK

48.

OK

= 13 cm, |CD| = 5 cm, |AD| = 6 cm. Vypočtěte délku strany BC. |BC| = 10 cm

Dopočítejte velikost úhlu b vyznačeného v obrázku.

70°

Vypočítejte obvod obrazce na obrázku a výsledek vyjádřete v metrech:

50.

OK

2124

menšího kruhu. 4 cm

Uprostřed čtvercového pozemku se stranou délky 30 m je kruhový květinový záhon o průměru 200 dm, na zbytku pozemku je trávník. Vypočítejte, kolik procent z celkové plochy zabírá květinový záhon?

2187

34,9 %

51. Kruhový stůl o průměru 80 cm je pokryt čtvercovým ubrusem o straně 1,2 m. Jak vysoko nad OK

2104

193 m

49. Obsahy dvou kruhů jsou v poměru 4 : 9. Větší kruh má průměr 12 cm. Vypočtěte poloměr OK

2205

2190

podlahou jsou rohy ubrusu, je-li stůl vysoký 80 cm? 0,35 m

24.4.2012 23:28:12


44


52.

OK

1

Rovnostrannému trojúhelníku ABC, kde a = 8 cm, je opsaná a vepsaná kružnice. a) Vypočtěte velikosti poloměrů obou kružnic b) Kolik procent z obsahu trojúhelníka zaujímá obsah kruhu vytvořeného kružnicí vepsanou? Poloměr kružnice opsané: 4,62 cm Poloměr kružnice vepsané: 2,31 cm 60,5 %

53. Úhlopříčky kosočtverce měří 8 cm a 6 cm. Vypočítejte délku strany kosočtverce. OK

55.

OK

56.

2210

5 cm

54. Vypočítejte, kolik metrů linolea širokého 1,5 m je třeba k pokrytí podlahy čtvercové kuchyně, OK

2112

2169

která má obsah podlahy 8,41 m2. 5,7 m

Vypočítejte: a) Jakou část obsahu obdélníka na obrázku zaujímají obsahy trojúhelníků ABE, ADE, CDE. b) Tyto části vyjádřete v procentech.

2194

Trojúhelník ABE zaujímá 30 %, trojúhelník ADE zaujímá 50 % a trojúhelník CDE zaujímá 20 %. 2200

Na obrázku je: Vypočtěte velikost úhlů , .

OK

57.

OK

 = 35°15´,  = 54°45´

Vypočtěte velikost úhlu . Přímky a, b jsou rovnoběžné.

2172

94°

24.4.2012 23:28:12


45


58.

OK

1

Dopočítejte všechny vyznačené úhly na obrázku.

a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 120°, h = 110°

59. Obvod čtvercové parcely v zahrádkářské kolonii je 112,8 m. Vypočítejte její obsah. OK

60.

OK

61.

OK

2105

795,2 m2 3025

Vypočti velikost úhlu - viz obrázek:

 = (180° - 124°) + 90° = 146°

Vyjádřete zlomkem, jaká část obrázku není vyšrafována.

2153

4/5

62. Kruhový stůl s průměrem 80 cm je pokryt čtvercovým ubrusem o straně 1,2 m tak, že střed OK

2208

2114

ubrusu je uprostřed stolu. O co výše nad zemí jsou středy stran ubrusu než jeho rohy? Středy stran ubrusu jsou přibližně o 24,9 cm výše nad zemí než jeho rohy.

24.4.2012 23:28:12


46


63.

OK

1

Dopočítejte velikost úhlu d vyznačeného v obrázku.

50°

64. Jak velký úhel svírají hodinové ručičky, ukazují-li hodiny 8 hodin 30 minut? (Uvažujte pouze OK

2206

2127

konvexní úhly.) 75° 2095

65. Jestliže délku strany zvětšíme o jednu třetinu, zvětší se obvod čtverce o 18 cm. Vypočtěte délku OK

strany čtverce. 13,5 cm 2147

66. Určete výpočtem, zda trojúhelník ABC je ostroúhlý nebo tupoúhlý, je-li vnitřní úhel při vrcholu A OK

velký 42°37´ a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 35°28´. Tupoúhlý 2093

67. Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky z = 22 cm, z = 12 1 2 OK

68.

OK

69.

OK

cm, je-li jeho výška o 1 cm menší než délka ramene. 204 cm2

Do obrázku k vyznačeným úhlům vepište jejich velikosti.

2141

 = 70°, 

Kruhový stůl s průměrem 80 cm je pokryt čtvercovým ubrusem o straně 1,2 m tak, že střed ubrusu je uprostřed stolu. Určete v procentech tu část plochy ubrusu, která neleží na rovině stolu.

2113

65,1 %

24.4.2012 23:28:12


47


70.

OK

1

Který z trojúhelníků ABC, ABD, ABE má největší obsah? Odpověď zdůvodněte.

2160

ABD 2144

71.

Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABCńa obrázku. OK

Oba obsahy jsou shodné 2188

72. Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 1 : 2. Vypočtěte OK

73.

OK

délku delší strany obdélníka v metrech. 0,4 m 2201

V trojúhelníku jsou velikosti stran a, b v poměru 7 : 3. V jakém poměru jsou v tomto trojúhelníku velikosti výšek va, vb? Vypočítejte výšky va, vb, je-li velikost výšky vb o 3 cm větší než velikost výšky va. va = 2,25 cm; vb = 5,25 cm

74. Jaká je velikost úhlu, který svírají hodinové ručičky, jestliže je právě 4 hodiny 50 minut? OK

2092

155°, resp. 205° 2196

75. Mostní kruhový oblouk má rozpětí 36 m a výšku 6 m. Vypočtěte poloměr kružnice r, jejíž částí je OK

76.

OK

77.

OK

kruhový oblouk. 30 m 2106

Strany trojúhelníka ABC mají délky a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm. Narýsujte tento trojúhelník a zjistěte početně, zda by bylo možno narýsovat trojúhelník, který má všechny strany o 2 cm kratší, než jsou strany trojúhelníka ABC. Nebylo by to možné, protože by nebyla splněna trojúhelníková nerovnost.

2155

Vypočti velikost úhlu - viz obrázek:

 = 90° - 35° = 55°

24.4.2012 23:28:12


48


78.

OK

79.

OK

1

Vypočtěte velikosti úhlů ,  na obrázku, kde přímky p, q jsou rovnoběžné a  =84°,  = 36°.

 =  = 36°;  = 96°

V kruhovém zaskleném ciferníku s průměrem 22 cm vypadla velká ručička délky 10,6 cm a zůstala ležet uvnitř ve vodorovné poloze. Dotkne se malá hodinová ručička dlouhá 9 cm spadlé ručičky?

81.

OK

83.

OK

2174

 :  :  = 6 : 11 : 3  = 99°,  = 54°,  = 27°. 2120

Vypočítejte obsah útvaru na obrázku:

6,6 dm2

82. Zvětšíme-li stranu čtverce na dvojnásobek, zvětší se tím obsah čtverce kolikrát? OK

2181

Ne

80. Vypočtěte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže platí: OK

2129

2139

4 krát

Vypočtěte velikosti úhlů , , , vyznačených na obrázku

2103

 = 132°,  =  =  = 123°

24.4.2012 23:28:12


49


84.

OK

1 2123

Strany trojúhelníka jsou v poměru 5 : 12 : 13. Jeho obvod měří 120 cm. a) Dokažte, že trojúhelník je pravoúhlý b) Vypočtěte obsah trojúhelníka ABC c) Kolik centimetrů měří poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku? Své tvrzení zdůvodněte. Platí Pythagorova věta, proto trojúhelník je pravoúhlý. 480 cm2 26 cm

85. Obvod obdélníka je 12,4 cm, délka obdélníka je 37 mm. Vypočítejte jeho šířku. OK

86.

OK

2107

25 mm

Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník s délkami stran: a) 5 cm, 7 cm, 14 cm b) 15 cm, 9 cm, 12 cm

2202

a) Nelze (neplatí trojúhelníková nerovnost) b) Lze 2150

87. Jeden z vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníka je dvakrát větší než druhý. Určete velikost

vnitřních úhlů trojúhelníka. Řešení doplňte náčrtem. OK

88.

OK

Úloha má dvě řešení:  =  = 45°,   =  = 72°, 

2162

Pozemek má tvar lichoběžníka. Jeho tři strany mají stejnou délku, čtvrtá strana je o 40 m kratší než součet ostatních tří stran. Délka plotu kolem celého pozemku je 260 m. Jakou výměru má pozemek? 3 200 m2

89. Plechová deska tvaru obdélníka o rozměrech 30 cm a 42 cm má být rozřezána na obdélníky o OK

90.

OK

rozměrech 5 cm a 9 cm. Kolik takových obdélníků dostaneme, aby byl zbytek co nejmenší? 27 obdélníků

Vypočtěte obsah vyšrafovaného obrazce umístěného ve čtvercové síti - čtverec sítě má obsah 1 cm2.

2111

19 cm2

91. Kosočtverec má výšku v = 48 cm a kratší úhlopříčku u = 60 cm. Určete jeho obsah. OK

2156

2192

2 400 cm2

24.4.2012 23:28:12


50


92.

OK

1 2199

A, B, C, D jsou vrcholy čtverce o straně a = 4 cm, k(A; 2 cm), l(B; 2 cm), m(C; 2 cm), n(D; 2 cm). Vypočítejte obvod a obsah tučně vytaženého útvaru.

53,7 cm2 2109

93. Obvod trojúhelníka je 90 cm. Strana b je o 3 cm delší než strana a , strana c je o 24 cm kratší OK

než strana b.Určete délky stran trojúhelníka. a = 36 cm, b = 39 cm, c = 15 cm

94. Určete velikost úhlu ASD v kosočtverci ABCD, jehož obvod je 21,6 cm a výška je 4,5 cm. Bod S OK

je průsečík úhlopříček kosočtverce. 90°

95. Zjistěte, zda úsečky o délkách 3,8 cm, 7,2 cm a 3,4 cm mohou být stranami trojúhelníka. OK

99.

OK

2130

75°

98. V kolika bodech maximálně se může protnout 5 přímek? OK

2157

52 cm

97. Narýsujte úhel  = 105°. K němu narýsujte vedlejší úhel a vypočtěte jeho velikost. OK

2151

Nemohou, neplatila by trojúhelníková nerovnost.

96. Kosočtverec má úhlopříčky e = 96 cm, f = 40 cm. Určete velikost strany kosočtverce. OK

2177

2140

V deseti

Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů , , rovnoběžníku ABCD, jestliže platí  = .

2191

 = 60°,  = 120°,  =  2097

100. Rovnostrannému trojúhelníku ABC je vepsána kružnice k o poloměru 5 cm. Určete délku strany OK

trojúhelníku ABC. 17,32 cm

24.4.2012 23:28:12


51


1

101. Určete obsah kosočtverce, je-li jeho obvod 21,6 cm a jeho výška je 4,5 cm. OK

24,3 cm2

102. Na kolik částí maximálně rozdělí rovinu čtyři přímky? OK

103.

OK

104.

OK

106.

OK

2204

Pozemek kolem domu má tvar obdélníka. Jeho délka je čtyřikrát větší než jeho šířka. Šířka měří 8,5 m. a) Kolik Kč stála barva na plot kolem celého pozemku, vystačí-li 1 kg barvy po 56 Kč na natření 17 m plotu? b) Načrtněte pozemek a rozdělte ho na ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý trojúhelník. Dovnitř každého trojúhelníka napište odpovídající písmeno (O, P, T). 280 Kč

2133

Trojúhelník ABC má stranu a = 6 cm. Strana b je o 2 cm kratší než strana a, strana c je dvakrát delší než strana b. Můžeme narýsovat trojúhelník, který má všechny strany o 2 cm delší než jsou strany trojúhelníka ABC? Můžeme

Trojúhelník ABC je rovnoramenný (základna AB). Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu C.

2132

56,25 cm2 2186

chodník šířky 1 m, který vede těsně kolem okraje celého záhonu? 112 dlaždic

110. Narýsujte kružnici k s poloměrem r = 4 cm. Do kružnice vepište pravidelný šestiúhelník OK

2168

vnitřních úhlů trojúhelníka. Úhly při základně mají velikost 53°22´ a při vrcholu je úhel o velikosti 73°16´.

109. Záhonek tvaru obdélníka má rozměry 6 m a 10 m. Kolik kusů dlaždic o straně 50 cm je třeba na OK

2135

20°

108. Narýsujte čtverec, který má obvod 30 cm. Vypočtěte jeho obsah. OK

2116

všech čtyřech stranách odstřihnout pás široký 30 cm. Jaký je obsah podlahy místnosti? 40,2 m2

107. Vnější úhel při základně rovnoramenného trojúhelníku je ´= 126°38´. Vypočtěte velikosti OK

2143

11

105. Koberec tvaru obdélníka měl rozměry 8,8 m a 5,5 m. Aby se vešel do místnosti, bylo nutné na OK

2180

2122

ABCDEF. Vypočítejte jeho obvod a obsah. o = 24 cm; S = 41,6 cm2

24.4.2012 23:28:12


52


111.

OK

1

Jakou část z plochy čtverce tvoří vyšrafovaný trojúhelník?

2149

1/2 2096

112. Určete obvod zahrady obdélníkového tvaru, jejíž úhlopříčka má délku 50 m a jedna strana délku OK

113.

OK

114.

OK

30 m. 140 m 2195

Destička tvaru šestiúhelníku ABCDEF, v němž každé dvě sousední strany jsou navzájem kolmé, má obsah S = 23 cm2. Určete délky stran BC a AF. Je dáno: |AB| = 30 mm, |CD| = 20 mm, |DE| = 40 mm.

|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cm

Vypočítejte výměru pozemku, jehož plánek je na obrázku. Uvedené rozměry jsou v metrech.

2128

3350 m2 2161

115. Vypočtěte výšku rovnostranného trojúhelníku se stranou délky a. Řešte nejprve obecně a potom OK

pro a = 7 cm. v = 6,06 cm

24.4.2012 23:28:12


53


116.

OK

1

Na základě údajů v plánku (jsou v metrech) vypočtěte: a) plošný obsah pozemku b) jeho obvod

700 m2; 160 m

117. Rovnostranný trojúhelník KLM má výšku 10 cm. Vypočtěte jeho obsah. OK

118.

OK

2163

57,74 cm2 2171

Zahrada mateřské školky má tvar obdélníka ABCD (jeden díl = 1 m). Na zahradě je pískoviště tvaru trojúhelníka DEC. Kolik kilogramů travního semene se musí zakoupit na osetí zahrady, jestliže 100 g semene osejeme 9 m2 zahrady? Jakou část zahrady zaujímá pískoviště? Vyjádřete v procentech.

Na osetí plochy, která zabírá 20 % rozlohy zahrady, budeme potřebovat přibližně 0,356 kg semene.

119. V trojúhelníku je  :  = 1 : 2,  :  = 10 : 3. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka. OK

2131

2198

Výpočet ověřte zkouškou.  = 50°,  = 100°, 

24.4.2012 23:28:12


54


1

Obsah 1. Planimetrie

2

2. Základní geometrické prvky a útvary

2

3. Trojúhelníky

8

4. Čtyřúhelníky

15

5. n-úhelníky

20

6. Kruh, kružnice a jejich části

21

7. Shodnost trojúhelníků, důkazy

25

8. Shodnost trojúhelníků - procvičovací a důkazové úlohy

29

9. Podobnost trojúhelníků

29

10. Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady

31

11. Pythagorova věta

33

12. Pythagorova věta - procvičovací příklady

33

13. Eukleidovy věty

33

14. Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná

35

15. Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady

36

16. Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady

38

17. Výpočty rovinných útvarů

38

18. Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady

38

24.4.2012 23:28:12


55

Planimetrie pro studijní obory

Recommend Documents