Algebraické výrazy pro učební obory

Variace

1

Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

9.2.2013 13:59:31

Powered by EduBase 2

Algebraické výrazy pro učební obory

1

1. Algebraické výrazy pro učební obory Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Výraz s proměnnou obsahuje zpravidla čísla, znaky početních operací, proměnné a pomocné znaky (např. závorky).

Přehled důležitých vzorců: (A + B)2 = A2+ 2AB + B2

...

vzorec pro druhou mocninu součtu

(A - B)2 = A2- 2AB + B2

...

vzorec pro druhou mocninu rozdílu

A2- B2 = (A - B).(A + B)

...

vzorec pro rozdíl druhých mocnin (rozdíl čtverců)

(A + B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2+ B3

...

vzorec pro třetí mocninu součtu

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

...

vzorec pro třetí mocninu rozdílu

A3 - B3 = (A - B).(A2+ AB + B2)

...

vzorec pro rozdíl třetích mocnin

A3+ B3 = (A + B).(A2 - AB + B2)

...

vzorec pro součet třetích mocnin

Doplňkové vzorce: (-A - B)2 = A2 + 2AB + B2 (-A + B)2 = A2 -2AB + B2 Zjednodušování algebraických výrazů budeme říkat, že výrazy upravujeme.

Přehled základních operací s celistvými algebraickými výrazy: 1. Sčítání a odečítání výrazů Sčítat nebo odečítat můžeme výrazy, které mají stejný základ a stejný exponent. Příklady: 2x2 + 7x2 ... lze sečíst 2x2 + 3x ... nelze sečíst 2x2 + 3y2 ... nelze sečíst

2. Násobení výrazů a) jednočlen jednočlenem Pozn.: členy výrazu nám oddělují pouze znaménka + nebo 3x2y5z4 ...

jednočlen

3x2y4 - 7x2y3

dvojčlen

Při násobení jednočlenu jednočlenem postupujeme tak, že nejprve určíme znaménko výsledku, pak vynásobíme koeficienty a dále vynásobíme proměnné postupně podle abecedy. Využíváme při tom pravidla, že při součinu mocnin o stejném základu opíšeme základ a exponenty sečteme. Příklad: 3x2y6 . (-6x5y2) = -18x7y8 Pozn.: Můžeme využívat i pravidla, že součin mocnin se stejným exponentem se rovná mocnině součinu. Příklad: x3 . y3 = (xy)3 9.2.2013 13:59:31


2


1

Platí to samozřejmě i obráceně.

b) dvojčlen jednočlenem Roznásobíme jednočlenem každý člen v závorce. Příklad: (2x4 - 3y5).(-2x) = -4x5 + 6xy5 Při tomto výpočtu je úplně jedno, jestli je v zadání nejprve jednočlen a pak závorka nebo obráceně.

c) dvojčlen dvojčlenem Roznásobíme každý člen jedné závorky každým členem druhé závorky. Na pořadí provedených operací nezáleží. Vzniklý výraz zjednoduššíme. Příklad: (2x - 5) . (3x2 - 1) = 6x3 - 2x - 15x2 + 5 = 6x3 - 15x2 - 2x + 5 Stejným způsobem postupujeme, pokud násobíme obecně mnohočlen mnohočlenem.

3. Dělení výrazů V tomto případě se nám dostane do dělitele (jmenovatele) výraz s proměnnou. Těmito výpočty se zabývá kapitola Úpravy lomených výrazů.

4. Umocňování výrazů Využíváme následující pravidla: - mocnina mocniny se vypočte tak, že základ opíšeme a exponenty mezi sebou vynásobíme Příklad: (x3)5 = x15 - pokud umocňujeme dvojčlen, postupujeme podle vzorců - viz začátek kapitoly

5. Rozklady výrazů na součin Využíváme následujících operací (v uvedeném pořadí) a) snažíme se ze všech členů vytknout co největší výraz; příklad: 12a3b4c2 + 20a5bc6 = 4a3bc2 . (3b3 + 5a2c4) b) použijeme některý ze známých vzorců; příklad: 36c4 + 60c2d + 25d2 = (6c2 + 5d)2 c) použijeme postupné vytýkání; příklad: 12a + 4b + 6ac + 2bc = 4(3a + b) + 2c(3a + b) = (3a + b) . (4 + 2c) = 2(3a + b) . (2 + c) V tomto případě musí být výslednou početní operací součin.

2. Celistvé algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. OK

2. OK

3. OK

Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1 Rozdíl 3, součin x2 + x - 2

1047

Rozlož na součin: 9x2 + 6xy2 + y4 (3x + y2)2

1030

Zjednoduš: (2m - n) . (2m + n) 4m2 - n2

9.2.2013 13:59:31

1006


3


4. OK

5. OK

6. OK

7. OK

8. OK

9. OK

Výraz - (-2x + 1)2 -4x2 + 4x - 1

1

se po úpravě rovná čemu?

1045

Rozlož na součin: a4 - b6 (a2 - b3) . (a2 + b3)

1028

Rozložte na součin: a2 + 2ab + b2 – c2 (a + b + c) . (a + b - c)

1032

Zjednoduš: (c3 - 1/3) . (c3 + 1/3) c6 - 1/9

1019

Rozložte na součin: x2 - 2xy + y2 - x + y (x - y) . (x - y - 1)

1013

Upravte: [(a2b3)3]2 a12b18

10. Výraz (3k - 2)2 - 4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 OK

2

1041

3 2

(x - x ) x4 - 2x5 + x6 1046

12. Rozlož na součin: OK

49 - c4 (7 - c2) . (7 + c2)

1021

13. Upravte: (2x - 5)2 - (2x - 3).(5x + 2) OK

-6x2 - 9x + 31 1043

14. Zjednoduš: OK

(2/3 - z)2 4/9 - 4/3z + z2 1008

15. Umocněte: (10 - 2a)2 OK

100 - 40a + 4a2 1001

16. Vypočtěte: OK

(4a2b + 5a3b2)2 = 16a4b2 + 40a5b3 + 25a6b4

1051


1/4x2 - 1/36y4 (1/2x - 1/6y2) . (1/2x + 1/6y2)

18. Rozložte na součin: (2m - 1).5x – 8.(2m - 1) OK

4k2 - (2k + 1)2 - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3 -8k + 7

20. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost 2

OK

1010

(2m - 1) . (5x - 8)

19. Výraz OK

1017

k2 - 2

11. Zjednoduš: OK

1025

1005

1004

2

(... + 3y) = 4x + ... + ... 12xy

9.2.2013 13:59:31


4


1 1042

21. Zjednoduš: OK

(0,1rs - 10r2)2 0,01r2s2 - 2r3s + 100r4 1035

22. Zjednoduš: OK

(0,1a3 - 5a2) . (5a2 + 0,1a3) 0,01a6 - 25a4

23. Rozložte na součin: 4x2(y2 – z2) + 25v2(z2 – y2) OK

(y - z) . (y + z) . (2x - 5v) . (2x + 5v) 1037

24. Zjednoduš: OK

(2x - 3)2 4x2 - 12x + 9 1014

25. Upravte: OK

(1,2x2 - 0,3y)2 4 1,44x - 0,72x2y + 0,09y2

1031

26. Zjednoduš: OK

(0,8 - y) . (0,8 + y) 0,64 - y2 1034

27. Zjednoduš: OK

(4x2 + 3y3) . (4x2 - 3y3) 16x4 - 9y6

28. Výraz K = 16a2 – a4x2 rozložte na součin aspoň tří činitelů OK

1036

(3/7u3 - 3u2) . (3u2 + 3/7u3) 9/49u6 - 9u4

30. Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu OK

1009

(2 - x) . (2 + x) 1012

32. Vypočtěte součin výrazů x + 2 a x - 1 OK

x2 + x - 2 1049


0,25a8 - b6 (0,5a4 - b3) . (0,5a4 + b3)

34. Rozložte na součin výraz: OK

1003

18xy2 - 21x2y

3xy.(6y - 7x)

35. Zjednoduš: 2

OK

1033

2

(a b - 10) . (a b + 10) a4b2 - 100 1052


1000

ověřte dosazením za x = -3 -4(x + 3)

31. Rozložte na součin: 4 – x2 OK

1027

K = a2.(4 - ax).(4+ax)

29. Zjednoduš: OK

1002

1/9u4 + 2u2v + 9v2 (1/3u2 + 3v)2 1039

37. Zjednoduš: 2

OK

(c + 1,2) c2 + 2,4c + 1,44

9.2.2013 13:59:31


5


1 1023

38. Vypočítejte: (3 - x)2 - 3(x2 - 3) + (-2x)2 OK

2.(x2 - 3x + 9)

39. Upravte: OK

1016

a2.3b2.ab.2b2a3.4b4

24a6b9 1026

40. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 OK

8x - [2x – 6.(x - 1)2 + 2] - (3x2 - 5x).2 4.(x + 1)

1015

41. Upravte: (2x - 0,2y) . (2x + 0,2y) OK

4x2 - 0,04 y2 1007

42. Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s)2 OK

-10s.(5s + 2h)

43. Rozložte na součin výrazy: OK

a) 2 . (x - y)2

a) 2x2 - 4xy + 2y2 b) (t + 5) . (5 - 2m)

b) 5t - 2tm - 10m + 25

1011

44. Vypočtěte rozdíl výrazů x + 2 a x - 1 OK

1024

3 1040

45. Zjednoduš:

2 2

OK

(3a + 2b ) 9a2 + 12ab2 + 4b4 1038

46. Zjednoduš: OK

(u2 + 10)2 u4 + 20u2 + 100 1020

47. Doplňte: (? - 3)2 = 16x2 - ? + ? OK

První ? = 4x; druhý ? = 24x; třetí ? = 9 1048


16r2s2 - 16rs2 + 4s2 (4rs - 2s)2 = 4s2 . (2r - 1)2 1050


0,04a2 - 1,2a3 + 9a4 (0,2a - 3a2)2 1044

50. (5v4 + 2/5uv)2 OK

25v8 + 4uv5 + 4/25u2v2 1022

51. Upravte daný výraz 3x2y - {xyz - (2yz - x2z) - 4x2z + [3x2y - (4xyz - 5x2z)]}. Výsledek ověřte OK

dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 3xyz - 2x2z + 2yz 1018

52. Rozložte v součin výraz: 9s2v2 - 4r2v2 - 9u2s2 + 4u2r2. Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, OK

s=1, r=0 (v - u) . (v + u) . (3s - 2r) . (3s + 2r) 1029

53. Zjednoduš: OK

(x2 - 3) . (x2 + 3) x4 - 9

9.2.2013 13:59:31


6


1

Obsah 1. Algebraické výrazy pro učební obory

2

2. Celistvé algebraické výrazy - procvičovací příklady

3

9.2.2013 13:59:31


7

Algebraické výrazy pro učební obory

Recommend Documents