planimetrie a stereometrie, nan n matematika, diferenci ln a integr ln po et, kombinatorika, pravd podobnost a statistika. Ke ka d mu t matu jsou p ip

MATEMATIKA Fahrenheit, Celsius a americk
cent PAVLA PAVL KOV
{ JARMILA ROBOV
{ ANTON N SLAV K Matematicko-fyzik
n fakulta UK, Praha

C lem v
uky matematiky na zkladn ch i stedn ch kolch je nejen rozv jet a prohlubovat matematick vdomosti a dovednosti k , ale tak jim pibl it v
znam matematiky jako uitenho nstroje k een problm z relnho svta. Tento aspekt matematickho vzdlvn je ve kolch realizovn r zn
mi zp soby a metodami, nejastji b
v ilustrovn prostednictv m een aplikan ch loh. V r zn
ch uebnic ch i sb rkch se vak objevuj p klady, kter se jako aplikan tv , ve skutenosti jsou ale odtreny od reality a obsahuj ktivn i zkreslen daje. Vhodn zvolen aplikan loha pitom m e poslouit jako efektivn motivan nstroj, kter
u k vzbud zjem o dan
problm, a tedy i o matematiku. Se zmrem poskytnout uitel m a k m stedn ch kol reln aplikan lohy z r zn
ch oblast matematiky vznik na Katede didaktiky matematiky MFF UK v Praze sb rka aplikan ch loh. Prce na sb rce je podporovna rozvojov
m projektem MMT1 a na jej tvorb se pod lej Jana Hromadov, Magdalena Hykov, Oldich Odvrko, Pavla Pavl kov, Elika Pecinov, Jarmila Robov a Anton n Slav k, (v abecedn m poad ). Na p prav sb rky rovn intenzivn pracoval Ivan Saxl (y2009). Sb rka by mla pokr
vat nejd leitj partie stedokolsk matematiky, a to zejmna zkladn pojmy (zvlt procenta a pomry), rovnice, nerovnice a jejich soustavy, funkce, jejich grafy a vlastnosti, goniometrie, 1 Rozvojov projekt MMT . 14/38 (Podpora informanch center a spolupr
ce se stednmi kolami a veejnost na MFF UK).

Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

385

planimetrie a stereometrie, nann matematika, diferenciln a integrln poet, kombinatorika, pravdpodobnost a statistika. Ke kadmu tmatu jsou pipravovny podrobn een vzorov p klady, za kter
mi nsleduj neeen cvien obdobnho charakteru nvody na jejich een vetn v
sledk budou k dispozici v zvren sti pipravovan sb rky. Ped vzorov
mi p klady, jejich een vyaduje konkrtn znalosti z dal ch obor , jako je nap klad fyzika, chemie i biologie, budou doplnny krtk vody do dan problematiky, aby uitel a ci nemuseli dohledvat potebn informace v jin
ch zdroj ch. Nsleduj c ukzky z pipravovan sb rky obsahuj aplikan lohy zamen na linern funkce, rovnice a nerovnice2.

;
 ;
 ;


1. lohy o men teploty

Pro m
en teploty se pouvaj rzn stupnice. U ns se pouv Celsiova stupnice, v USA dvaj p
ednost Fahrenheitov stupnici. Pro p
evod mezi ob ma stupnicemi plat vztah tF = 95
tC + 32 kde tF je seln hodnota teploty ve stupnch Fahrenheita a tC je seln hodnota teploty ve stupnch Celsia.

Souboj Celsius versus Fahrenheit

Pro rychl pevody mezi obma stupnicemi se v bnm ivot m sto pevodn ho vztahu tF = 95
tC + 32 pou v jednoduch aproximace tF = 2
tC + 30:

2 Nkter uk
zky ze sbrky ji byly prezentov
ny na Setk
n uitel matematiky vech typ a stup kol v listopadu 2010, vce viz Pavlkov
P.: Aplikan lohy v matematice na stedn kole. In L
vika M., Bastl B. (ed.): Setk
n uitel matematiky vech typ a stup kol 2010, Vydavatelsk servis, Plze, 2010, str. 203{205.

386

Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

Dv eny pevdly namenou teplotu na venkovn m teplomru ve stupn ch Celsia na stupn Fahrenheita tak, e jedna z nich pouila pevodn vztah a druh aproximaci. Ob z skaly stejn
v
sledek. Jak je to mon? e en. Ob eny postupovaly podle r zn
ch pedpis , ale z skaly stejn
v
sledek { teplotu ve stupn ch Fahrenheita. Tedy plat 9
t + 32 = 2
t + 30 C 5 C odtud tC = 10. Pro teplotu 10 C, resp. 50 F, dvaj ob metody stejn
v
sledek. een p kladu lze ilustrovat i gracky, jak ukazuje nsleduj c obrzek.

;
  

Pesn nebo piblin?

Vypo tejte, v jakm rozsahu teplot ve stupn ch Celsia je odchylka teplot ve stupn ch Fahrenheita uren
ch z aproxima nho vztahu a z p
evodnho vztahu mezi Fahrenheitovou a Celsiovou stupnic a) nejv
e 1 F, b) nejv
e 2 F, c) nejv
e 3 F. e en. Plat tF = 95
tC + 32 tF = 2
tC + 30 kde tC je  seln hodnota teploty ve stupn ch Celsia, tF  seln hodnota teploty ve stupn ch Fahrenheita uren pomoc pevodn ho vztahu a tF  seln hodnota teploty ve stupn ch Fahrenheita uren pomoc aproximan ho vztahu. Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

387

a) Podle zadn m pro odchylku teplot tF a tF platit jtF ; tF j  1:

Odstrann m absolutn hodnoty dospjeme k soustav nerovnic

tF ; 1  tF  1 + tF : Dosazen m za tF a tF pak z skme soustavu nerovnic s neznmou tC : 9
t + 31  2
t + 30  9
t + 33 C 5 C 5 C "pravou nerovnic dostaneme 5  tC  15: Pro teploty z intervalu h5 C, 15 Ci je tedy odchylka teplot ve stupn ch Fahrenheita uren
ch z aproximan ho a z pevodn ho vztahu nejv
e 1 F. b) Postupujeme stejn jako v pedchoz m p pad a zjist me, e odchylka teplot je nejv
e 2 F pro teploty z intervalu h0 C, 20 Ci. c) Odchylka teplot je nejv
e 3 F pro teploty z intervalu h;15 C, 25 Ci.

Teplota, nebo hore ka?

Normln teplota lidskho t la m
en v podpan jamce se pohybuje mezi 36 C a 37 C. Teplota kols b hem dne, nejni  bv asn rno, nejvy  naopak v podve er. Normln teplota: 36 C { 37 C Zv
en teplota: 37 C { 38 C Horeka: nad 38 C Vysok horeka: nad 41 C. Obecn se doporu uje sniovat teplotu, a kdy stoupne nad 38 C, nebo zv en teplota je jednm z obrannch mechanism lidskho t la. P
i zv en teplot se zastavuje mnoen bakteri a vir. Pan Caroline Smith, kter je na nvtv u sv netee v Praze, onemocnla chipkou. Nete se domlouv se sv
m praktick
m lkaem dr. Topilem. { #A kolik m teplotu?$ { # k, e m na svm teplomru sto cel
ch devt.$ { #Co je to za nesmysl?$ Je to opravdu nesmysl?

388

Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

a) Vyjdete  selnou hodnotu teploty tC ve stupn ch Celsia pomoc tF . b) Jakou m pan Caroline teplotu ve stupn ch Celsia? M horeku, nebo zv
enou teplotu? e en. Nen to nesmysl, pan Caroline si na svm teplomru mila teplotu ve stupn ch Fahrenheita. a) Z rovnosti tF = 95
tC + 32 vyjd me tC a z skme vztah

tC = 59
(tF ; 32): b) Dosad me-li do posledn ho vztahu tF = 100 9, zjist me, e teplota pan Caroline je piblin 38,3 C, tj. pekroila mez 38 C. Pan Caroline m tedy horeku.

;
;
;

451 stup Fahrenheita

Romn 451 stup Fahrenheita je jednm z nejznm j ch d l americkho spisovatele Raye Bradburyho. D j se odehrv v dalek budoucnosti, kdy spole nost ovldaj masov mdia, knihovny a knihy jsou zakzny a pleny pornky. Ti maj ve znaku slo 451, nebo p
i teplot 451 F se papr vznt a ho
 3 ... Urete, jak by znl nzev romnu Raye Bradburyho ve stupn ch Celsia. Zaokrouhlete na cel stupn. e en. Z pevodn ho vztahu tF = 95
tC + 32 vyjd me tC = 59
(tF ; 32). Po dosazen tF = = 451 a zaokrouhlen tC na cel  slo z skme v
sledek. Nzev romnu by znl 233 stup& Celsia.

2. lohy o americkm centu

Americk cent, tj. jedna setina dolaru, se od ostatnch americkch minc odli uje svou typickou m d nou barvou ve skute nosti se jedn o slitinu 3 Teplota vzncen papru z
le na rznch faktorech, zejmna na jeho kvalit. Obvykle se ud
v
, e tato teplota zan
od 185 C.

Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

389

m di a zinku. Mince m prm r 19 mm a tlou ku 1,25 mm. A do roku 1982 byla hmotnost centu tvo
ena z 95 procent m d a z 5 procent zinkem. Ceny m di na sv tovch trzch v ak rostly a hrozilo nebezpe , e vrobn hodnota centu p
eshne jeho nominln hodnotu. Proto se v roce 1982 zm nilo sloen centu a nyn obsahuje pouze 2,5 procenta m di a 97,5 procenta zinku (jdro mince je zinkov a pl  m d n, take vn j  vzhled je stejn jako u star mince).

;
;
;


Kolik v cent?

Jakou hmotnost ml cent ped rokem 1982 a jakou hmotnost m nyn ? Hustota mdi je 8 920 kg/m3, hustota zinku je 7 140 kg/m3. e en. Nech( Cu , Zn zna hustoty mdi a zinku, d je pr mr mince a t jej tlou(ka. Vypo tme objem mince pomoc vzorce pro objem vlce:


2 V = 
d2
t =: 354 mm3

Nech( a zna procentuln hmotnostn pod l mdi v minci vyjden
desetinn
m  slem z intervalu h0 1i hmotnostn pod l zinku je pak 1 ; a. Celkov
objem je soutem objem mdn a zinkov sloky, tj. V = a
m + (1 ; a)
m

Cu

Zn

odkud vyjd me hmotnost mince

m = a V(1 ; a) : Cu + Zn 390

(1)

Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

Dosazen m a = 0 95 vypoteme p vodn hmotnost mince m1 =: 3 1 gramu, : zat mco a = 0 025 d hmotnost nov mince m2 = 2 5 gramu.

Kolik stoj cent?

Jak jsou skuten hodnoty starho centu a novho centu? Cena mdi je v souasn dob 6 77 dolaru za kilogram a cena zinku je 2 15 dolaru za kilogram. Pedpokldejte, e ostatn v
robn nklady jsou zanedbateln. e en. Nech( cCu a cZn jsou ceny mdi a zinku v dolarech za kilogram. Skutenou hodnotu mince c dostaneme seten m ceny mdn sloky a zinkov sloky, tj. c = a
m
cCu + (1 ; a)
m
cZn : (2) Dosazen m a = 0 95 vypoteme cenu star mince c1 =: 0 02 dolaru, zat mco : a = 0 025 d cenu nov mince c2 = 0 006 dolaru.

Podl mdi v centu

Jak
by mohl b
t maximln procentuln pod l mdi, aby pi souasn
ch cench kov nepekroila skuten hodnota mince jej nominln hodnotu, tj. 0 01 dolaru? e en. Nech( H = 0 01 dolaru. Sta naj t hodnotu a 2 h0 1i, pro kterou je cena mince c rovna H . Pouijeme vztah (2) a e me rovnici

a
m
cCu + (1 ; a)
m
cZn = H: Hmotnost m dosad me ze vztahu (1):

a
V
cCu (1 ; a)
V
cZn a + (1 ; a) + a + (1 ; a) = H Cu Zn Cu Zn Po vynsoben jmenovatelem zlomk na lev stran dostaneme linern rovnici
a (1 ; a) a
V
c + (1 ; a)
V
c = H + Cu

Zn

Cu

Zn

odkud vypoteme

a
V
cCu ; a
V
cZn ; H
a + H
a = H ; V
cZn Cu Zn Zn Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

391

a=

H Zn

; V
cZn

=: 0 33: H H V
cCu ; V
cZn ;  +  Cu Zn

;
 

Maximln p pustn
pod l mdi je piblin 33 procent. Zvislost ceny mince na obsahu mdi ukazuje nsleduj c obrzek.

Zvr

Uveden lohy ilustruj koncepci chystan sb rky i charakter loh, kter jsou do sb rky postupn zaazovny. S dal mi lohami se m ete seznmit ve voln navazuj c m pipravovanm lnku, kter
bude zamen na problmy s dopravn tematikou.

Keltsk uzly a dlitelnost KAREL PAZOUREK Gymn
zium Praha 10, Ppoton

V pedchoz m lnku )1] jsme ukzali souvislost keltsk
ch uzl speciln ho pravo heln kovho tvaru, osov soumrnosti a dlitelnosti pirozen
ch  sel. Zavedli jsme znaen a pojmy jako cesta, cyklus nebo roh uzlu. Jako matematick
model nm poslouilo schma vznikl z hlop ek tverc s t vepsan do pravo heln ku, jak je naznaeno na obr. 1. 392

Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011