SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH
MATEMATIKA
9.
Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 V kódu je na prvním místČ jedno z písmen A, B, C nebo D. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné þíslo od 11 do 45. (Existují napĜ. kódy B22, A45 apod.) (CERMAT)
1
Urþete poþet všech takto vytvoĜených kódĤ.
2
Urþete neznámé þíslo ݇, jestliže platí: ͳͲͲǨ ൌ ݇ ή ͻͺǨ
3
Urþete neznámé þíslo ݉, jestliže platí: ݉Ǩ ή ʹ଼ ൌ ʹ ή Ͷ ή ή ͺ ή ͳͲ ή ͳʹ ή ͳͶ ή ͳ
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Cesta prochází nČkolika kĜižovatkami. Na každé kĜižovatce je možné zahnout doleva (L), doprava (P), nebo pokraþovat v pĜímém smČru (S). PrĤjezd dvČma kĜižovatkami je možné zapsat dvojicí znakĤ, napĜ. PP. (CERMAT)
4
Kolika možnými zpĤsoby lze projet dvČma kĜižovatkami? A)
9
B)
8
C)
6
D)
5
E)
4
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013
ϱϮ
52
SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH
MATEMATIKA
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Na šachovnici, která má 5 x 5 polí, je vyznaþena hlavní a vedlejší diagonála.
(CERMAT)
5
Kolika zpĤsoby je možné na polích šachovnice rozmístit tĜi stejné figury tak, aby byly všechny tĜi buć jen na hlavní, nebo jen na vedlejší diagonále? A)
16
B)
20
C)
30
D)
32
E)
33
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Frontu na lístky tvoĜí þtyĜi dívky a šest chlapcĤ. (CERMAT)
6
Kolika rĤznými zpĤsoby se mohou osoby ve frontČ seĜadit? A) B) C) D) E)
ͳͲǨ
ͶǨ Ǩ Ͷή
ͶǨ ή Ǩ
ሺͶ ή ሻǨ
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 PĜi zkoušce se zadávají tĜi otázky. První otázka se vybírá ze skupiny 10 otázek. Další dvČ otázky se vybírají z jiné skupiny 20 otázek. (CERMAT)
7
Kolik rĤzných trojic otázek lze pĜi zkoušce zadat? A)
4 600
B)
4 000
C)
3 800
D)
1 900
E)
jiný poþet
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013
ϱϯ
53
SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH
MATEMATIKA
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 DČtské soutČže se pravidelnČ úþastní malí i velcí chlapci a malá i velká dČvþata. PravdČpodobnost, že zvítČzí dívka, je 0,6. PravdČpodobnost, že zvítČzí malá dívka, je 0,4. Malý chlapec zvítČzí s pravdČpodobností 0,3. Jen obþas zvítČzí velký chlapec. (CERMAT)
8
PĜiĜaćte ke každé otázce (8.1–8.4) správnou odpovČć (A–F).
8.1
Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí chlapec (malý nebo velký)?
_____
8.2
Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí velká dívka?
_____
8.3
Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí malé dítČ (chlapec nebo dívka)?
_____
8.4
Jaká je pravdČpodobnost, že nezvítČzí malá dívka?
_____
A) 0,2
B) 0,3
C) 0,4
D) 0,5
E) 0,6
F) 0,7
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V osudí jsou 2 bílé a 3 þerné koule. Koule se vytahují po jedné a do osudí se nevracejí. (CERMAT)
9
PĜiĜaćte ke každému jevu (9.1–9.3) pravdČpodobnost (A–E), s níž mĤže nastat.
9.1
První tažená koule bude bílá.
_____
9.2
První dvČ tažené koule budou þerné.
_____
9.3
V první tažené dvojici koulí budou zastoupeny obČ barvy.
_____
A) B) C) D) E)
ଶ ଷ ଶ ହ
ଽ
ଶହ
ଷ ହ
ଷ
ଵ
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013
ϱϰ
54
SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH
MATEMATIKA
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Souþet dvaceti položek je 6 000 korun. Po odebrání dvou položek v celkové hodnotČ 960 korun se prĤmČrná hodnota položky zmČní. (CERMAT)
10
VypoþtČte, o kolik korun se zmČní prĤmČrná hodnota.
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 11 V obchodním centru zákaznice testovaly tĜi druhy parfémĤ A, B, C. SvĤj hlas mohly dát pouze jednomu z parfémĤ. NČkteré zákaznice se nedokázaly rozhodnout. Preference zákaznic jsou zaznamenány v tabulce. A ýetnost
B
C
nerozhodnuté
Celkem
20
200
40
Relativní þetnost
20 %
(CERMAT)
11
VypoþtČte, kolik zákaznic preferovalo vítČzný parfém.
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOHÁM 12–13 Celkem 20 studentĤ psalo dva závČreþné testy A a B. V tabulce jsou uvedeny výsledky testĤ, chybí pouze poþet jedniþek a dvojek v testu B. Známky 1
2
3
4
Poþet žákĤ
ýetnost známek Test A Test B
3
8
9
0
20
9
2
20
PrĤmČr
Medián
Modus
(CERMAT)
12
Urþete medián a modus známek z testu A.
13
V obou testech bylo dosaženo stejné prĤmČrné známky. VypoþtČte prĤmČrnou známku z testu A a poþet jedniþek v testu B.
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013
ϱϱ
55
SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH
MATEMATIKA
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Divadlo nabízí pro každé pĜedstavení celkem 220 vstupenek po 300 korunách a 80 vstupenek po 500 korunách. BČhem deseti pĜedstavení bylo šestkrát zcela vyprodáno a þtyĜikrát se neprodala právČ polovina dražších lístkĤ. (CERMAT)
14
Jaká je prĤmČrná tržba na jedno z deseti pĜedstavení? A)
98 000 Kþ
B)
97 000 Kþ
C)
96 000 Kþ
D)
95 000 Kþ
E)
jiná tržba
VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 15
110
55
100
50
90
45
80
40
70
35
60
30
50
25
40
20
30
15
20
10
10
5
0 1988
mil. divákĤ
Kþ
V grafu jsou uvedeny prĤmČrné poþty filmových divákĤ v milionech (sledujte na ose vpravo) a prĤmČrná výše vstupného do kina v dobČ od r. 1988 do r. 2004 (sledujte na ose vlevo). NávštČvnost klesala, ale vstupné se prĤbČžnČ zvyšovalo.
0 1990
1992
1994
1996
prĤmČrné vstupné
1998
2000
2002
2004
poþet divákĤ
(CERMAT)
15
PrĤmČrná roþní tržba za vstupné do kina se od roku 1990 do roku 2000: A)
v podstatČ nezmČnila.
B)
zvýšila jen velmi mírnČ, nejvýše o 20 %.
C)
zhruba zdvojnásobila.
D)
zvýšila témČĜ pČtkrát.
E)
zvedla více než o 500 %.
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013
ϱϲ
56
SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH
MATEMATIKA
VÝCHOZÍ TEXT A DIAGRAM K ÚLOZE 16 Na druhý stupeĖ základní školy v PostrkovČ chodí místní pČšky, ale všech 56 žákĤ, kteĜí jsou z okolních obcí, dojíždí. V diagramu je uvedeno rozložení poþtu žákĤ podle místa bydlištČ.
WŽēƚLJǎĄŬƽnjũĞĚŶŽƚůŝǀljĐŚŽďĐşǀƉƌŽĐĞŶƚĞĐŚ ŚǀĂůĚƵďLJ ϭϬ й
sĞƐƚĞĐ ϭϱ й <ĚŽƵůĞ ϮϬ й
WŽƐƚƌŬŽǀ ϯϬ й
EĞŵĂŶşŶ Ϯϱ й
(CERMAT)
16
Kolik žákĤ dojíždí z Nemanína? A)
14 žákĤ
B)
18 žákĤ
C)
20 žákĤ
D)
24 žákĤ
E)
jiný poþet žákĤ
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013
ϱϳ
57
SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH
MATEMATIKA
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 17
V tabulce jsou hráþi rozdČleni podle úspČšnosti v obou stĜeleckých disciplínách. (NapĜíklad þtyĜem hráþĤm se podaĜilo promČnit jeden trestný hod a dva hody po otoþce.)
WƌŽŵĢŶĢŶĠƚƌĞƐƚŶĠ ŚŽĚLJ ϯ Ϯ ϭ Ϭ
WŽēĞƚ ƷēĂƐƚŶşŬƽ
WƌŽŵĢŶĢŶĠŚŽĚLJ ƉŽŽƚŽēĐĞ
Každý z 20 hráþĤ provádČl tĜi trestné hody na koš a tĜikrát stĜílel po otoþce.
ϯ
Ϯ
ϯ
Ϯ
ϭ
ϰ
ϭ
ϭ
Ϯ
ϭ
ϱ
Ϭ
ϭ
(CERMAT)
17
PĜiĜaćte ke každé otázce (17.1–17.4) odpovídající výsledek (A–F):
17.1
Kolik hráþĤ dalo stejný poþet košĤ v obou disciplínách?
_____
17.2
Kolik hráþĤ dalo celkem 4 koše?
_____
17.3
Kolik hráþĤ udČlalo alespoĖ 4 chyby?
_____
17.4
Kolik hráþĤ bylo lepších pĜi trestných hodech než ve stĜelbČ po otoþce?
_____
A)
4
B)
5
C)
6
D)
7
E)
8
F)
9
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013
ϱϴ
58
SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH
MATEMATIKA
VÝSLEDKY ÚLOH – Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika
Ͷ ή ͵ͷ ൌ ͳͶͲ
1
݇ ൌ ͻͻͲͲ
2
݉ ൌ ͺ
3
A
4 5
B
6
A
7
D
8
C, A, F, E
9
B, E, D
10
klesne o 20 korun
11
100
12
medián 2; modus 3
13
prĤmČrná známka 2,3; poþet jedniþek 7
14
A
15
C
16
C
17
E, C, D, A
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013
ϱϵ
59
