PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:

„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online  “

PRACOVNÍ SEŠIT 9. tematický okruh:

KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky

školní rok 2014/2015

© RNDr. Věra Effenberger

www.zvladnimatiku.cz

9. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!

Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!

Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.



2


9.

KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

9.1 ZÁKLADNÍ POZNATKY Z KOMBINATORIKY A PRAVDĚPODOBNOSTI KOMBINATORIKA Kombinatorika je součástí ________ matematiky, což je obor matematiky, který studuje pouze vlastnosti ________ souborů (množin a uspořádaných či neuspořádaných k-tic, k  N ). Budeme se zde tedy zabývat vytvářením skupin z daných prvků a určování jejich počtu 

Základní kombinatorická pravidla Abychom vyřešili většinu kombinatorických úloh, musíme znát ________ jednoduchá kombinatorická pravidla, se kterými si dost často vystačíme.

Kombinatorické pravidlo součinu: Počet všech __________ k-tic, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n2 způsoby atd. až k-tý člen po výběru všech předcházejících členů nk způsoby, je roven

n1  n2    nk

.

Moje pomůcka: „A ZÁROVEŇ“

Příklad: V čtyřmístném kódu je na prvním místě jedno z písmen: E, F, G nebo H na dalších dvou pozicích je libovolné číslo od 11 do 66 a na posledním místě kódu je jeden ze znaků: × nebo +. (Př. kódů: F49+, G37× apod.) Určete počet všech takto vytvořených kódů.



3


Kombinatorické pravidlo součtu: Jsou-li A1 , A2 ,  , Ak konečné množiny, které mají po řadě n1 , n2 ,  , nk prvků, a platí, že každé dvě tyto množiny jsou ________, pak počet prvků množiny A1  A2    Ak je roven n1  n2    nk .

Moje pomůcka: „NEBO“ Příklady: Čtverec o straně 4 jednotky je rozdělen na 16 jednotkových čtverců (viz obrázek). Určete počet všech čtverců, které v něm lze nalézt.

Turisté se chtějí nejprve občerstvit a pak jít na výlet - na hrad. Z místa, kde nocují, vedou tři různé cesty do restaurace a z restaurace potom 4 další cesty na hrad. Určete počet možných tras, kterými se mohou turisté vydat na výlet a zpět, jestliže se při zpáteční cestě opět zastaví v restauraci a právě jednu z vybraných cest použijí dvakrát.

Faktoriál Kvůli kratšímu a stručnějšímu zápisu ________ všech přirozených čísel od 1 do n se zavádí symbol n!, který se čte: „n ________“ a definuje se tedy jako:

n! 1  2    n Dále se definuje rovnost:


pro každé n  N .

0! __ © RNDr. Věra Effenberger

4


Příklady:

5!

13!  4  11!

12!

8  5!  6! 4  5! 7!

n  2!  n  1!  n  1! n! n2  9 6 1    n  3! n  2! n  1!

Řešte rovnice v Z: x  3!  16 x  24 ( x  1)!

58! x  55!

Variace Pokud máme spočítat počet všech _______, jak z n prvků vybrat k-člennou skupinku, ve které nám záleží na pořadí nebo na pozici jednotlivých členů, kombinatoricky počítáme ________.

k-členná variace z n prvků ( k , n  N , k  n ) je __________ k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou.

Počet V k , n  všech k-členných variací z n prvků vypočítáme následovně: V k , n   n  n  1  n  2    n  k  1 


n! n  k !


5


Příklady: V míse je jablko, hruška, broskev a pomeranč. Kolika způsoby můžeme vybrat jedno ovoce k snídani, jedno ke svačině a jedno k obědu?

Určete počet všech přirozených čísel menších než 700, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, každá nejvýše jednou.

Výbor sportovního klubu tvoří šest mužů a čtyři ženy. Určete, kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu a pokladníka (pozn.: tyto posty můžou zastávat samozřejmě i ženy).

Variace s opakováním Pokud máme spočítat počet všech ________, jak z n prvků vybrat k-člennou skupinku, ve které nám záleží na pořadí nebo na pozici jednotlivých členů a členové se mohou opakovat, jedná se o variace s __________.

k-členná variace s opakováním z n prvků ( k , n  N , k  n ) je ________ k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše k-krát.



6


Počet V k , n  všech k-členných variací s opakováním z n prvků vypočítáme: V k , n   n  n    n   k

Příklady: Máme 4 různé pastelky: modrou, červenou, žlutou a zelenou. A chceme s nimi vybarvit všechna tři pole následujícího obrázku. Kolik možností vybarvení můžeme vytvořit?

PIN kód ke každé telefonní SIM kartě je čtyřmístný číselný kód. Kolik takových kódů lze vytvořit?

Permutace Jestliže máme spočítat všechny možnosti, jak uspořádat n prvků, počítáme v kombinatorice permutace (________).

Permutace z n prvků ( n  N ) je uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše ________.

Je dobré si uvědomit, že permutace z n prvků je v podstatě n-členná ________ z těchto prvků k  n .



7


Pro počet Pn  všech permutací n prvků platí vzorec: Pn   n!

Příklady: Kolik čtyř písmenných různých slov zle vytvořit z písmen Z, A, K, L tak, aby se písmenka ve slově neopakovala?

Určete, kolika způsoby může 10 táborníků při nástupu na ranní rozcvičku nastoupit a) do řady; b) do řady, v níž je táborník Aleš na kraji.

Kombinace (bez opakování) Pokud máme spočítat počet všech možností, jak z n prvků vybrat k-člennou skupinku a nezáleží nám na ________ nebo na ________ jednotlivých členů, počítáme kombinace. k-členná kombinace z n prvků ( k , n  N , k  n ) je ___________ k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou.

Počet K k , n  všech k-členných kombinací z n prvků vypočítáme následovně: K k , n  

 n!   k ! n  k ! 

  

k , n  N 0 , k  n  KOMBINAČNÍ ČÍSLO - čteme: „n nad k“



8


Je dobré si uvědomit, že platí:

K k , n  

V k , n  k!

Kombinační čísla Kombinační číslo „n nad k“ definujeme vzorcem:

n    k 

Základní vlastnosti kombinačních čísel: n n  Pro každé n  N platí:       0 n

n    1

0    0

 Pro každé n, k  N 0 , k  n , platí:

 n       n  k   

  

 Pro každé n, k  N 0 , k  n , platí:

 n   n   n  1          k   k  1   k  1

Příklady: 5 Vypočítejte:     3

15      11 

V oboru celých čísel řešte rovnice:  n  5    45  n  3

8    1

 n  1  n        4  2   2

Kombinační kleště 



9


Příklady: Ve skladu je 15 výrobků, mezi nimi jsou 3 vadné. Kolika způsoby z nich můžeme vybrat kolekci pěti výrobků, aby: a) všechny byly dobré, b) byl právě jeden vadný, c) byl nejvýš jeden vadný?

Ze skupiny 12 mužů a 8 žen se má vybrat volejbalové družstvo, ve kterém budou právě 3 ženy a 3 muži. Kolika způsoby lze takové družstvo sestavit?

Kolik hráčů se zúčastnilo turnaje ve stolním tenisu, jestliže bylo odehráno 21 zápasů a hráči hráli každý s každým jednou?

PRAVDĚPODOBNOST Základní pojmy Náhodný pokus  je takový __________, jehož výsledek není předem určen podmínkami, za kterých je prováděn

Příklady náhodných pokusů: ………………………………………………………………………………………………………………………….



10


Množina všech možných výsledků náhodného pokusu



 množina všech možných ________ (  ) náhodného pokusu, které mají tyto vlastnosti: navzájem se ________ (nastal-li jeden, nemohl nastat druhý) a jeden z nich nastane vždy (tzn. nemůže nastat žádný jiný výsledek než jeden z vyjmenovaných). Příklad: U rodin se třemi dětmi se zjišťuje pohlaví dětí. Vypište všechny možné výsledky, které mohou nastat, jestliže při tom záleží na pořadí dětí podle věku.

Náhodný jev

A

 je __________ náhodného pokusu  je podmnožinou množiny všech možných výsledků (o jevech tedy platí vše, co o množinách) Příklady náhodných jevů: …………………………………………………………………………………………………………………………. Elementární jevy   jsou všechny možné dále _____________ výsledky náhodného pokusu Příklady elementárních jevů: ………………………………………………………………………………………………………………………….

Jev opačný (doplňkový) A  nastává právě tehdy, když ___________ jev A Příklady opačných jevů: ………………………………………………………………………………………………………………………….



11


Jev jistý  jedná se o jev, který nastane ________

Příklady jevů jistých:

……….…………………………………………………………………………….

Jev nemožný  jedná se o jev, který ________ nemůže nastat Příklady jevů nemožných:

………………………………………………………………………….

Je-li   A , říkáme, že výsledek  je příznivý jevu A .

Je-li A  B , říkáme, že jev A je podjevem jevu B . Příklady: ………………………………………………………………………….

Sjednocením jevů A a B nazýváme jev A  B , který nastává právě tehdy, když nastane ________ jeden z jevů A a B . Příklady: ………………………………………………………………………….

Průnikem jevů A a B nazýváme jev A  B , který nastává právě tehdy, když nastanou oba jevy A a B ________. Je-li A  B  0 , říkáme, že jevy A a B se navzájem vylučují. Příklady: ………………………………………………………………………….



12


Výpočet pravděpodobnosti Pravděpodobnost P(A) jevu A v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna ________: P  A 

m A  m

,

kde: m(A) je počet ………………………………………………………… m je počet …………………………………………………………….. Pro pravděpodobnost platí: Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna ________ . Pravděpodobnost jistého jevu je rovna ________ .

Pro pravděpodobnost libovolného jevu A platí: Pro pravděpodobnost opačného jevu A platí:

 P  A  P  A   1  P  A

Příklady: Z bedny, která obsahuje 16 dobrý výrobků a 4 zmetky, vybereme namátkou pět výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že jsme si vybrali samé dobré výrobky?

Zvolíme náhodně rodinu se 3 dětmi. Jaká je pravděpodobnost tohoto jevu: dvě nejstarší děti jsou dívky?



13


Sčítání pravděpodobností Jestliže se dva jevy A a B navzájem ________, znamená to, že A  B  0 (nemůžou nastat současně), potom pravděpodobnost sjednocení těchto dvou jevů se rovná ________ jejich pravděpodobností.

P A  B  P A  PB Pokud pro dva jevy A a B výše zmíněné neplatí (tedy A  B  0 ), potom pravděpodobnost jejich sjednocení se vypočítá následovně:

P A  B 

Příklady: Ve třídě je 25 žáků, v hodině budou vyvoláni 3 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude Oliver nebo Havel?

Soutěže se pravidelně účastní muži a ženy, jak dospělí, tak i děti. Pravděpodobnost, že zvítězí muž je 0,6. Pravděpodobnost, že zvítězí chlapec je 0,4. Dospělá žena zvítězí s pravděpodobností 0,3. Jen občas vyhraje dívka. Jaká je pravděpodobnost, že: a) vyhraje žena (dospělá či dívka)?

b) zvítězí dospělí muž?

c) vyhraje nějaké dítě (chlapec či dívka)?

d) nezvítězí chlapec?



14


9.2 ZÁKLADNÍ POZNATKY ZE STATISTIKY Statistika a základní pojmy Statistika zkoumá výskyt ________ jevů na vybraných souborech jedinců. Na základě vlastností souboru usuzuje jaké vlastnosti má celá STATISTIKA ________. NUDA JE, …

Statistika ve smyslu

statistických ________ statistické ________ statistických ________

Statistický soubor  souhrn ________ (osob, věcí, jevů, apod.), který z hlediska nějaké vlastnosti nebo jevu statistika zkoumá

Statistická jednotka  ________ statistického souboru

Pokud např. zkoumáme hmotnost dětí při nástupu do třídy 1.A, tak:

Rozsah souboru  _______ statistických jednotek ve statistickém souboru

 statistickým souborem je _________ ,  statistické jednotky jsou _________ ,  rozsah souboru se rovná počtu _________ ,  statistickým znakem je _________.

Statistický znak  daná zkoumaná ________, zkoumaný jev Můžeme zkoumat:

kvantitativní znak – lze ho vyjádřit ________ hodnotou

kvalitativní znak – ________ ho vyjádřit číselnou hodnotou Hodnota znaku  hodnota daného zkoumaného statistického znaku



15


Třídění statistického souboru Jestliže získáme nějaká statistická data, nejčastěji několik (desítek, stovek …) hodnot zkoumaného statistického znaku, je důležité umět je ________. Prvním krokem by mělo být třídění statistického souboru, pomocí něhož budeme mít lepší přehled.  (ABSOLUTNÍ) ČETNOST statistického znaku v souboru = udává ________ výskytů dané hodnoty znaku v souboru Značí se: k

Platí:

n   ni  n1  n2    nk i 1

 RELATIVNÍ ČETNOST = značí jaká (procentuální) ________ souboru má danou hodnotu Značí se: Platí:

pi 

ni  100 % n

k

 pi  100 % i 1

Příklad: Určete rozsah souboru a sestavte tabulku rozložení absolutních a relativních četností věku zaměstnanců jedné firmy, kteří odcházejí do důchodu. Zkontrolujte součet relativních četností: 62 60 56 57 64 56 56 61 62 63 63 63 62 61 60 57 56 58 58 62 61 64 58 59 61 62 62 56 57 58 59 59 59 59 60 62 56 57 62 61 61 62 57 58 59 59 60 63 64 56



16


Četnosti jednotlivých hodnot statistického znaku můžeme znázornit pomocí diagramů:

A) ________ – spojnicový diagram

B) ________ – sloupcový diagram

C) hůlkový diagram

D) kruhový – výsečový diagram



17


Statistické charakteristiky Statistické charakteristiky jsou „________“ informace, které definovaným způsobem vypovídají o zpracovaném souboru. Zejména u velkých souborů slouží ke snazší ________. Jsou to hodnoty, které popisují polohu, rozptýlení či vychýlení statistického znaku. Rozlišujeme dva hlavní druhy statistických charakteristik:  charakteristiky POLOHY: ◦

aritmetický průměr, geometrický průměr, harmonický průměr, kvadratický průměr, modus, kvantily (medián, kvartil, kvintil, decil, percentil, ..)

 charakteristiky VARIABILITY (rozptýlení): ◦

rozptyl, směrodatná odchylka, průměrná absolutní odchylka, variační koeficient, variační rozpětí

Pozn.: Nyní budeme uvažovat pouze ________ statistické znaky!

Charakteristiky polohy Někdy je za potřebí nahradit všechny hodnoty znaku hodnotou jedinou, která jistým způsobem ________ soubor popisuje - zastupuje, tuto hodnotu nazýváme: střední hodnota znaku

(jedná se o charakteristiku polohy)

ARITMETICKÝ PRŮMĚR: = značí se: ___

a vypočítáme ho následovně:

x

1 1 n  x1  x2    xn     xi n n i 1

Tedy postup výpočtu je takový, že sečteme všechny hodnoty zkoumaného znaku a vydělíme jejich ________ (rozsahem souboru).



18


Existují také jiné průměry, např.: 1

Geometrický průměr

*

Harmonický průměr *

xg  n

xh 

 n n x1  x2    xn    xi   i 1 

n 1 1 1   x1 x2 xn



n 1  i 1 xi n

n

Kvadratický průměr*

xk 

x  x  x  n 2 1

2 2

2 n

 xi2 i 1

n

MODUS = značí se: ______ Jedná se o hodnotu znaku, která má největší ________. Určuje se jen u souborů s jedinou hodnotou o největší četnosti.

MEDIÁN = značí se: ______ Medián určuje ________ hodnotu všech hodnot zkoumaného znaku seřazených vzestupně (nebo sestupně). Medián znaku nabývajícího hodnot (seřazených do neklesající posloupnosti – od nejmenší po největší hodnotu) je pro: Výpočet:  pro liché n roven prostřednímu členu konečné neklesající posloupnosti x1 , x2 ,  , xn -

medián je tedy hodnota členu, který má pořadové číslo:

n 1 2

Med ( x)  x n1     2 



19


 pro sudé n roven aritmetickému průměru dvou prostředních členů konečné neklesající posloupnosti x1 , x2 ,  , xn . -

n n  medián je tedy aritmetickým průměrem členů na pozicích   a   1 . 2 2  Med ( x) 

 1   x n   x n    1   2   2  2   

PERCENTIL = zančí se: _____ Percentil dělí celý (vzestupně seřazený) statistický soubor na setiny. První, druhý až 99. percentil je hodnota nacházející se v jedné, dvou až 99 setinách pořadí. Například pod 70. percentilem se vyskytuje 70 % všech ostatních hodnot a nad ním jen 30 % ostatních hodnot. Padesátý percentil je shodný s mediánem.

Příklady: Z předchozího příkladu, kde byl zkoumán věk zaměstnanců jedné firmy při odchodu do důchodu, vypočítejte průměrný důchodový věk, dále určete modus a medián.



20


Charakteristiky variability Jedná se o odchylky od středních hodnot. Charakterizují šířku okolí, ve kterém jsou hodnoty ________ znaku kolem vybrané střední hodnoty seskupeny. Pozn.: V následujících situacích budeme jako střední hodnotu používat ________ průměr!

ROZPTYL neboli VARIANCE = značí se: _____

s x2 

a vypočítáme ho následovně:





1 1 n 2 2 2 2  x1  x   x2  x     xn  x     xi  x  n n i1

Počítáme tedy průměrnou „plochu“ do střední hodnoty statistického znaku, ve které se všechny hodnoty vyskytují.

SMĚRODATNÁ ODCHYLKA = značí se: _____

a vypočítáme ji následovně:

s x  s x2

Vypočítáme ji jako druhou odmocninu z rozptylu.

Dále lze počítat i následující charakteristiky ________: Průměrná absolutní odchylka 1 1 n d    x1  x  x2  x    xn  x     xi  x n n i 1 Variační koeficient v x 


sx  100% x

Variační rozpětí

R  xmax  xmin


21


Příklady: Následující čísla jsou počty vytržených zubů u vybraných pacientů daného zubaře za dobu 5 let: 4, 10, 8, 4, 5, 6, 1, 3, 8, 2, 8, 9, 7, 2, 5, 3, 7, 1, 1, 9, 1, 5, 4, 2, 8, 9, 3, 8, 1, 7, 3, 10, 5, 2, 11, 6, 3, 1, 6, 5, 4, 7, 2, 4, 12, 3, 4, 3, 6, 2. Utvořte tabulku rozdělení absolutních a relativních četností. Znázorněte četnosti pomocí polygonu. Určete aritmetický průměr, modus a medián. Určete rozptyl a směrodatnou odchylku.

BOMBA, TEORII KE

KOMBINATORICE, PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTICE MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ KURZ … školní rok 2014/15


22

PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:

Recommend Documents