Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Obsah 9.
Kombinatorika .............................................................................................................. 1170 9.1.
Faktoriály ............................................................................................................... 1170
9.2.
Variace bez opakování........................................................................................... 1175
9.3.
Permutace bez opakování ...................................................................................... 1183
9.4.
Kombinace bez opakování..................................................................................... 1185
9.5.
Kombinační číslo ................................................................................................... 1190
9.6.
Kombinace s opakováním ..................................................................................... 1200
9.7.
Variace s opakováním ........................................................................................... 1202
9.8.
Permutace s opakováním ....................................................................................... 1203
9.9.
Binomická věta ...................................................................................................... 1204
10.
Pravděpodobnost ....................................................................................................... 1212
Stránka 1169
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9. Kombinatorika 9.1. Faktoriály 1. Upravte: 8!4! a) 3!7! 9!5! b) 6! 41! 40! c) 42! Řešení: a) b) c) d) e) f)
3!8!10! 9!5! (n 4)! e) (n 1)!
d)
3n 2 2n 1 n (n 1) (n 1)
2. Upravte: n! a) n 2 !
c) d) e) Řešení: a)
(n 2)! 3n ! n! n 1!
8!4! 8 7! 4 3! 32 3!7! 3! 7 ! 9!5! 9! 5! 9 8 7! 12 7 ! 6! 6 5! 3 2 41! 40! 41 40! 40! 40! (41 1) 1 42! 42 41 40! 42 41 40! 41 3!8!10! 3! 8!10! 9 8 7! 2 7! 9!5! 9 8! 5 4 3! 9 5 4 (n 4)! (n 4) (n 3) (n 2) (n 1)! n3 9n2 26n 24 (n 1)! (n 1)! (n 2)! 3n ! (n 2)! 3n ! 1 3 n! n 1! n (n 1) (n 2)! (n 1) n! n (n 1) (n 1)
b)
f)
n 5! n 3 ! n 6 ! n 4 ! n 8! n 6 ! n 3 ! n 2 ! n! n 1!
f) g)
n 3 ! n 2 ! n 2 ! n 3 ! n 1! n 2 ! n! n! n 1! n 2 !
h)
(n 1)! (n 2)! n! n 1!
i)
1 n n 1! n 1!
n! n (n 1) (n 2)! n n 1 (n 2)! n 2 !
Stránka 1170
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika b) c) d) e)
n 5! n 5 n 4 n 3! n 5 n 4 n2 9n 20 n 3 ! n 3 ! n 6 ! n 6 ! 1 n 4 ! n 4 n 5 n 6 ! n 4 n 5 n 8! n 8! 1 n 6 ! n 6 n 7 n 8! n 6 n 7 n 3! n 2 ! n 3 n 2 n 1! n 2 n 1 n! n2 5n 6 n2 3n 2 n! n! n 1! n 1!
2n 2 8n 8 n 3 ! n 2 ! n 3 ! n 2 ! 1 1 n 3 n 2 f) n 2 ! n 3! n 2 n 3! n 3 n 2 ! n 2 n 3 n 2 n 3
2n 1 n n6 n 1! n 2 ! n ! (n 1) n! n 2 ! n (n 1) (n 2)! g) n! n! (n 1) (n 2)! (n 2)! n 1! n 2 !
2
1 n 2 1 1 n (n 2 2n 1) n3 3n 2 n n (n 1) (n 1) n 1 n 1 (n 1)! (n 2)! (n 1)! (n 2)! 1 1 n 1 n 1 h) n! n 1! n (n 1)! (n 1) (n 2)! n n 1 n (n 1) n (n 1) (n 1)
i)
n 1! n n 1! n 1!1 n n 1 n 1 n3 n2 1 n n 1! n 1! n 1! n 1! n 1! n 1! n 1!
3. Řešte v N následující rovnice: n 3 ! 0 a) n 1!
n! n2 n 8 n 1 ! (n 1)! n2 10n 121 c) n 1! b)
d)
n! (n 1)! n7 n 2 ! n!
e)
n 4 ! 16n 14 n 6 !
f)
(n 2)! 2(n 3)! (n 4)! 2n2 20n 32 n 1! (n 1)! n 1!
g) h)
n 5 ! n ! n 3 ! 8 n 3! n 2 ! n 1! n 3! n 2 ! 28 3n n 5 ! n 3 !
Stránka 1171
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Řešení: a)
n 3! 12n 14 n 1! n 3 n 2 12n 14 n 2 5n 6 12n 14 n2 7n 8 0 n1 8 n2 1 ... nevyhovuje K 8
b)
n! n2 n 8 n 1 ! n (n 1)! n2 n 8 (n 1)! n 2 2n 8 0 n1 4 n2 2 ... nevyhovuje
c)
K 4 (n 1)! n 2 10n 121 n 1!
(n 1) n (n 1)! n 2 10n 121 (n 1)! n 2 n n 2 10n 121 n 11 K 11 d) n! (n 1)! n7 n 2 ! n !
n n 1 n 1 n 7 n2 1 n 7 n2 n 6 0 n1 2 .... nevyhovuje n2 3
K 3
Stránka 1172
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika e)
n 4 ! 16n 14 n 6 ! n 4 n 5 16n 14 n 2 9n 20 16n 14 n2 7n 6 0 n1 1 ... nevyhovuje n2 7 ... nevyhovuje
f)
K (n 2)! 2( n 3)! ( n 4)! 2n 2 20n 32 n 1! (n 1)! n 1!
n 2 n 1 n 2 n 3 n 2 n 4 n 3 n 2 2n 2 20n 32 n2 3n 2 n 2 n2 5n 6 n2 7n 12 n 2 2n2 20n 32 n3 3n 2 2n 2n 2 10n 12 n3 2n 2 7 n 2 14n 12n 24 2n 2 20n 32 5n 2 12n 12 9n 2 26n 24 2n 2 20n 32 4n 2 14n 12 2n 2 20n 32 2n 2 6n 20 0 n 2 3n 10 0 n1 5 n2 2 ... nevyhovuje K 5
g)
n 5 ! n ! n 3! 8 n 3! n 2 ! n 1! n 5 n 4 n n 1 n 3 n 2 8 n 2 9n 20 n 2 n n 2 5n 6 8 n 2 5n 6 0 n1 6 n2 1 .... nevyhovuje K 6
h)
n 3! n 2 ! 28 3n n 5 ! n 3 ! n 3 n 4 n 2 28 3n n 2 7 n 12 n 2 28 3n n 2 5n 14 0 n1 7 n2 2 ... nevyhovuje K 7
Stránka 1173
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 4. Řešte v N následující nerovnice: n! 3n 24 a) n 2 !
n 3! 5 3n n 4 ! n 5! 13n n! 44 n 3 ! n 1! n 7 ! 55 5 n 3! 11n n 5! n 2 !
b) c) d) Řešení: a)
n! 3n 24 n 2 ! n n 1 3n 24
n 2 n 3n 24 0
b)
n 6 n 4 0 K 1; 2;3; 4 n 3! 5 3n n 4 ! n 3 5 3n 4n 8 n2 K 1; 2
c)
n 5! 13n n ! 44 n 3 ! n 1! n 5 n 4 13n n 44 n 2 9n 20 13n n 44 n 2 5n 24 0
d)
n 8 n 3 0 K 1; 2;3; 4;5;6;7;8 n 7 ! 55 5 n 3! 11n n 5! n 2 ! n 7 n 6 55 5 n 3 11n n 2 13n 42 55 16n 15 n 2 3n 28 0
n 7 n 4 0 K 1; 2;3; 4;5;6;7 Stránka 1174
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9.2. Variace bez opakování 1. Kolik trojciferných přirozených čísel můžeme sestavit z cifer 1,2,4,6,8 (cifry se nesmí opakovat)? Řešení: vybíráme uspořádané trojice z pěti cifer tj. variace bez opakování n! Vk (n) n k !
V3 (5)
5! 60 2!
2. Kolik čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer 0, 1, 2, 5, 7, 9 (cifry se nesmí opakovat)? Kolik z nich je dělitelných 4? Řešení: V4 (6) V3 (5) 300 , kde V4 (6) počet všech čtyřciferných čísel a V3 (5) počet čtyřciferných čísel, které mají na začátku nulu. V2 (5) V2 (5) V1 (4) 36 (čísla dělitelná čtyřmi, mají poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi, tj. 20 a 12) 3. Ve třídě se vyučuje 13 různých předmětů. Kolika způsoby lze vytvořit rozvrh na jeden den? Každý předmět se vyskytuje jednou. Žáci mají 8 vyučovacích hodin. Řešení: V8 (13) 51891840 4. Kolik přirozených čísel menších než 30 000 lze sestavit z cifer 0,1,3,4,5,6? Cifry se mohou vyskytnout nejvýše jednou. Řešení: jednociferná – 5, dvojciferná V2 6 V1 5 , trojciferná V3 6 V2 5 , čtyřciferná V4 6 V3 5 a pěticiferná – (na začátku může být pouze cifra 1) V4 5
5 V2 6 V1 5 V3 6 V2 5 V4 6 V3 5 V4 5 550 5. Florbalového turnaje se zúčastnilo 10 družstev. Kolik je možností získání zlaté, stříbrné a bronzové medaile (každou medaili může získat právě jedno družstvo)? Řešení: V3 (10) 720 6. Kolik přirozených čísel větších než 4 000 lze sestavit z cifer 2,3,4,5,6, tak aby se cifry neopakovaly? Řešení: Čísla mohou být čtyřciferná – na začátku čísla mohou být cifry 4,5,6 - 3 V3 (4) nebo pěticiferná P(5) . 3 V3 (4) P(5) 72 5! 192
Stránka 1175
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 7. Kolik je trojciferných čísel sestavených z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? Kolik z nich je dělitelných 5? Každá cifra se může vyskytnout nejvýše jednou. Řešení: V3 7 V2 6 210 30 180 . Trojciferných čísel je 180. Čísla dělitelná pěti končí nulou nebo pětkou. Počet čísel končících nulou: V2 (6) 30 Počet čísel končících pětkou: V2 (6) 5 25 Trojciferných čísel dělitelných pěti je 55. 8. Dostihu se zúčastnilo 15 koní. Kolik je možností umístění na prvních pěti místech? Řešení: V5 (15) 360360 9. Kolik je možností sestavení třídní samosprávy ve třídě 3. A, která má 32 žáků? Samospráva se sestává z předsedy, místopředsedy, studijního referenta a nástěnkáře. Řešení: V4 (32) 863040 10. Z kolika prvků lze sestavit 342 variací druhé třídy bez opakování? Řešení:
V2 n 342 n! 342 n 2 ! n n 1 342
n 2 n 342 0 n1 19 n2 18 ... nevyhovuje 342 variací lze sestavit z 19 prvků.
11. Z kolika prvků lze sestavit 650 variací druhé třídy bez opakování? Řešení:
V2 n 650 n! 650 n 2 ! n n 1 650
n 2 n 650 0 n1 26 n2 25 ... nevyhovuje 650 variací lze sestavit z 26 prvků
Stránka 1176
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 12. Z kolika prvků lze vytvořit 552 variací druhé třídy bez opakování? Řešení:
V2 (n) 552 n! 552 n 2 !
n (n 1) (n 2)! 552 (n 2)! n 2 n 552 0 n1 24 n2 23 ... nevyhovuje 552 variací lze vytvořit z 24 prvků. 13. Z kolika prvků lze sestavit 182 variací druhé třídy bez opakování? Řešení:
V2 n 182 n! 182 n 2 !
n (n 1) (n 2)! 182 (n 2)! n 2 n 182 0 n1 14 n2 13 ... nevyhovuje 182 variací lze sestavit ze 14 prvků. 14. Když zvětšíme počet prvků o 5, zvětší se počet variací druhé třídy bez opakování o 150. Určete původní počet prvků. Řešení: n! n 2 !
Původní počet prvků
n
počet variací V2 n
Zvětšený počet prvků
n5
počet variací V2 n 5
V2 n 150 V2 n 5
n 5! n 3 !
n 5! n! 150 n 2 ! n 3! n n 1 150 n 5 n 4 n 2 n 150 n 2 9n 20 130 10n n 13 Původní počet prvků je 13. Stránka 1177
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 15. Zvětší-li se počet prvků dvakrát, zvětší se počet variací druhé třídy bez opakování o 660. Určete původní počet prvků. Řešení: Původní počet prvků
n
Zvětšený počet prvků
2n
n! (n 2)! 2n ! počet variací V2 2n 2n 2 ! počet variací V2 n
V2 n 660 V2 2n n! 2n ! 660 n 2 ! 2n 2 ! n n 1 660 2n 2n 1 n 2 n 660 4n 2 2n 3n 2 n 660 0 n1 15 44 .... nevyhovuje 3 Původní počet prvků je 15. n2
16. Zmenší-li se počet prvků třikrát, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování o 3160. Určete původní počet prvků. Řešení: Původní počet prvků
3n
počet variací V2 3n
Zmenšený počet prvků
n
počet variací V2 n
V2 (3n) 3160 V2 n
3n ! 3n 2 !
n ! n 2 !
3n ! n! 3160 (3n 2)! ( n 2)! 3n 3n 1 3160 n n 1 9n 2 3n 3160 n 2 n 8n 2 2n 3160 0 n1 20 79 .... nevyhovuje 4 Původní počet prvků je 60. n2
Stránka 1178
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 17. Zvětší-li se počet prvků o 4, zvětší se počet variací třetí třídy bez opakování o 5304. Určete původní počet prvků. Řešení:
n! n 3 !
Původní počet prvků
n
počet variací V3 n
Zvětšený počet prvků
n4
počet variací V3 n 4
n 4 ! n 2 !
V3 (n) 5304 V3 (n 4) n! (n 4)! 5304 n 3 ! n 1! n (n 1) (n 2) (n 3)! (n 4) ( n 3) ( n 2) ( n 1)! 5304 (n 3)! (n 1)! n3 3n 2 2n 5304 n3 9n 2 26n 24 n 2 2n 440 0 n1 20 n2 22 ... nevyhovuje
Původní počet prvků je 20. 18. Určete počet prvků, ze kterých je počet variací druhé třídy bez opakování 23 krát menší než počet variací třetí třídy bez opakování. Řešení:
23 V2 n V3 n 23
23
n! n! n 2 ! n 3!
n n 1 n 2 ! n n 1 n 2 n 3! n 2 ! n 3 ! 23 n 2
n 25 Původní počet prvků je 25.
19. Zmenší-li se počet prvků o 2, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování z nich vytvořených o 58. Určete původní počet prvků. Řešení:
n! n 2 !
Původní počet prvků
n
počet variací V2 n
Zmenšený počet prvků
n2
počet variací V2 n 2
n 2 ! n 4 !
Stránka 1179
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika V2 n 58 V2 n 2
n 2 ! n! 58 n 2 ! n 4 ! n n 1 58 n 2 n 3 n 2 n 58 n 2 5n 6 4n 64 n 16 Původní počet prvků je 16. 20. Řešte v N následující rovnice a nerovnice: a) V2 n 6n 2058 b) V3 n 3n n3 736 c) V3 n 20n V3 n 2 400 d) V3 n 392 n n2 12 V3 n 1 V4 n 2 V4 n
e)
f) V3 n 77 73 V3 n 2 g) V2 n 6n 2 n 3 24
Řešení: a)
V2 n 6n 2058 n! 6n 2058 n 3 ! n n 1 6n 2058
n 2 7n 2058 0 n1 49 n2 42 .... nevyhovuje K 49
b)
V3 n 3n n3 688 n! 3n n3 688 n 3 ! n n 1 n 2 3n n3 688
n n 2 3n 2 3n n3 688 n3 3n 2 2n 3n n3 688 3n 2 5n 688 0 n1 16 n2 K 16
43 ... nevyhovuje 3
Stránka 1180
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika c)
V3 n 20n V3 n 2 400
n 2 ! 400 n! 20n n 3 ! n 1! n n 1 n 2 20n n 2 n 1 n 400 n n 2 3n 2 20n n 2 3n 2 n 400 n3 3n 2 2n 20n n3 3n 2 2n 400 6n 2 20n 400 0 3n 2 10n 200 0 n1 10 n2 K 10
d)
20 ... nevyhovuje 3
V3 n 392 n n 2 12 n! 392 n3 12n n 3 ! n n 1 n 2 392 n3 12n n3 3n 2 2n 392 n3 12n 3n 2 14n 392 0 n1 14 n2 K 14
28 ... nevyhovuje 3
e) 9V3 n 1 V4 n 2 V4 n 9V3 n 1 1 2 V4 n 9 n 1 ! n 4 ! 1 n! n 4 ! 9 n 1 ! 1 n! 9 1 n n9 K 9
Stránka 1181
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika f) Podmínka 3 n V3 n 77 73 V3 n 2
n 2 ! n! 77 73 n 3 ! n 5! n n 1 n 2 77 73 n 2 n 3 n 4 n3 3n 2 2n 77 73 n 2 5n 6 n 4
n3 3n 2 2n 150 n3 4n 2 5n 2 20n 6n 24 6n 2 24n 126 0 n 2 4n 21 0 n1 3 n2 7
K 3, 4,5, 6, 7
g) Podmínka 2 n V2 n 6n 2 n 3 24
n! 6n 2n 6 24 n 2 ! n n 1 6n 2n 18 n 2 n 6n 2n 18 n 2 9n 18 0 n1 3 n2 6
K 3; 4;5;6
Stránka 1182
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9.3. Permutace bez opakování 1. Kolika způsoby můžeme postavit 11 dětí do řady. Řešení: Počet možností je počet různých uspořádání 11 prvkové množiny, tj. P 11 11! 39 916 800 2. Kolika způsoby můžeme seřadit do řady 10 chlapců a 13 dívek, aby: a) stáli nejdříve chlapci a pak dívky, b) stáli libovolně. Řešení: a) P 10 P 13 10!13! 2, 26 1016 b) P 23 23! 2,585 1022 3. Na polici je 5 českých knih, 6 anglických a 3 německé. Kolika způsoby je můžeme na polici umístit tak, aby: a) byly uloženy libovolně b) byly nejdříve české, potom všechny ostatní c) nejdříve české, potom, německé a nakonec anglické Řešení: a) P 14 14! 8,72 1010 b) P 5 P 9 5! 9! 43 545 600 c) P 5 P 6 P 3 5! 6! 3! 517 400 4. V lavici sedí šest žáků (Adam, Bedřich, Cyril, Dan, Emil a František). Kolika způsoby je můžeme přesadit tak, aby: a) Adam seděl na kraji lavice b) František a Adam seděli vedle sebe c) Adam, Dan a Emil seděli vedla sebe Řešení: a) A sedí vpravo nebo A sedí vlevo P 5 P 5 2 5! 240 b) Adam a František tvoří dvojici (Adam sedí vpravo nebo vlevo = 2 možnosti) P 5 P 5 2 5! 240 c) Adam, Dan a Emil tvoří trojici (počet možností je 3!) P 4 3! 4! 3! 144 5. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet permutací 12 krát. Řešení: Původní počet prvků Zvětšený počet prvků
n
počet permutací P n
n2
počet permutací P n 2
Stránka 1183
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 12 P n P n 2 12n ! n 2 ! 12n ! n 2 n 1 n ! 12 n 2 3n 2 n 2 3n 10 0 n1 2 n2 5 ... nevyhovuje Původní počet prvků je 2. 6. Kolik čtyřciferných čísel můžeme sestavit z číslic 0, 1, 2, 3? Kolik z nich je sudých? Cifry se nemohou opakovat. Řešení: Počet čísel P 4 , musíme odečíst možnosti, ve kterých je na začátku nula P 3 tj.
P 4 P 3 4! 3! 18 Sudá čísla končí 0 nebo 2, P 3 3! 6 čísla končící 0 P 3 P 2 3! 2! 4 čísla končící 2 Můžeme sestavit 18 čísel, 10 z nich je sudých. 7. Kolik šesticiferných čísel můžeme sestavit z cifer 1, 2, 3, 5, 7, 9? Kolik z nich je dělitelných čtyřmi? Všechny cifry se mohou vyskytovat právě jednou. Řešení: počet všech čísel P 6 6! 720 Čísla dělitelná čtyřmi končí dvojčíslím, které je dělitelné čtyřmi (12, 32, 52, 72 a 92) 5 P 4 5 4! 120 Šesticiferných čísel je 720, 120 z nich je sudých. 8. Kolika způsoby můžeme zamíchat balíček 52 karet? Řešení: P 52 52!
Stránka 1184
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9.4. Kombinace bez opakování 1. V kolika bodech se protne 8 přímek v rovině, jestliže: a) žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné tři se neprotínají v jednom bodě b) 5 přímek je rovnoběžných a žádné tři se neprotínají v jednom bodě Řešení: a) Průsečík = dvě přímky K 2 8 28 b) Pět přímek je rovnoběžných, tj. netvoří průsečíky, musíme je tedy odečíst K 2 5
K2 8 K2 5 28 10 18 2. Kolik rovin je určeno 16 body, jestliže: a) žádné 4 neleží v jedné rovině b) 7 bodů leží v jedné rovině Řešení: a) jedna rovina je určena třemi body, vybíráme trojice, ve kterých nezávisí na pořadí K3 16 560 b) 7 bodů leží v jedné rovině – 7 bodů tvoří jen jednu rovinu místo K3 7 rovin
K3 16 K3 7 1 560 35 1 526 3. Kolik přímek určuje 20 bodů v rovině, jestliže žádné tři neleží na jedné přímce? Řešení: přímka je určena dvěma body – vybíráme dvojice, ve kterých nezávisí na pořadí K2 20 190 4. Na stužkovacím plese třídy 4. A je 15 chlapců a 12 děvčat. Kolik různých tanečních párů můžeme vytvořit? Řešení: 15 12 180 5. Kolika způsoby můžeme vybrat čtyřčlennou skupinu ve třídě, kde je 26 žáků? Řešení: K4 26 1490 6. Ve skupině dětí je 8 chlapců a 4 děvčata. Kolika způsoby můžeme vybrat trojici tak, aby v ní byli 2 chlapci a jedno děvče? Řešení: do trojice vybereme zároveň dva chlapce z osmi a jednu dívku ze čtyř, využijeme kombinatorické pravidlo součinu K2 10 K1 4 45 4 180 7. Ve třídě je 25 žáků, 4 z nich nemají domácí úkol. Kolika způsoby můžeme vybrat pětici žáků tak, aby mezi nimi byli nejvýše 2, kteří nemají domácí úkol? Řešení: „nejvýše dva, kteří nemají“ = všichni mají úkol nebo jeden nemá nebo dva nemají. Využijeme kombinatorické pravidlo součtu. Všichni mají K5 21 20349 . Jeden nemá a zároveň
4
mají
K1 4 K4 21 23940 .
Dva
nemají
a
zároveň
3
mají
K2 4 K3 21 7980 Stránka 1185
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika K5 21 K1 4 K4 21 K2 4 K3 21 20349 23940 7980 52269 8. Test přijímací zkoušky je tvořen 15 otázkami z biologie, 10 otázkami z chemie a 10 otázkami z fyziky. V databázi je 50 otázek z biologie, 50 otázek z chemie a taktéž 50 otázek z fyziky. Kolik různých testů může počítač vygenerovat? Řešení: vybíráme zároveň 15 otázek z biologie, 10 otázek z fyziky a 10 otázek z chemie. K15 50 K10 50 K10 50 2,375 1032 9. Na florbalovém turnaji je 7 družstev. Kolik bude celkem zápasů, jestliže bude hrát každý s každým? Řešení: Zápas hrají dvě družstva, při jejich výběru nezávisí na pořadí, tj. K 2 7 21 10. Ve třídě je 10 děvčat a 12 chlapců. Kolika způsoby můžeme vybrat čtveřici tak, aby v ní: a) byla 2 děvčata a 2 chlapci b) nebylo žádné děvče c) byla jen děvčata d) byli alespoň 3 chlapci Řešení: a) byla 2 děvčata a 2 chlapci K2 10 K2 12 2970 b) nebylo žádné děvče K4 12 495 c) byla jen děvčata K4 10 210 d) byli alespoň 3 chlapci K3 12 K1 10 K4 12 2200 495 2695 11. Četa vojáků má vyslat čtyři muže na stráž. Kolik mužů je v četě, jestliže existuje 210 možností, jimiž je možno muže vybrat? Řešení: Varianta 1
K 4 n 210 n! 210 n 4 !4!
n n 1 n 2 n 3 210 4 3 2 n n 1 n 2 n 3 7 3 5 2 4 3 2 n n 1 n 2 n 3 10 9 8 7 n 10
Stránka 1186
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Varianta 2
K 4 n 210 n! 210 n 4 !4!
n n 1 n 2 n 3 5040
n
2
3n n 2 3n 2 5040 Substituce : x n 2 3n x x 2 5040 x 2 x 5040 0 2
x1 70 x2 72 70 n 2 3n n 2 3n 70 0 n1 10 n2 7 .... nevyhovuje 72 n 2 3n n 2 3n 72 0 D 0 ... nemá řešení Četa má 10 vojáků. 12. Pokud zmenšíme počet prvků o 3, sníží se počet kombinací třetí třídy bez opakování z nich vytvořených o 235. Určete původní počet prvků. Řešení: původní počet prvků zmenšený počet prvků
n
počet kombinací K3 n
n3
počet kombinací K3 n 3
K 3 n 235 K 3 n 3
n 3 ! n! 235 n 3!3! n 6 !3! n n 1 n 2 1410 n 3 n 4 n 5
n
2
n n 2 1410 n 2 7n 12 n 5
n3 3n 2 2n 1410 n3 7n 2 5n 2 35n 12n 60 9n 2 45n 1350 0 n 2 5n 150 0 n1 15 n2 10 ... nevyhovuje Původní počet prvků byl 15.
Stránka 1187
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 13. Pokud zvětšíme počet prvků dvakrát, zvětší se počet kombinací třetí třídy bez opakování z nich vytvořených desetkrát. Určete původní počet prvků. Řešení: původní počet prvků zmenšený počet prvků
n
počet kombinací K3 n
2n
počet kombinací K3 2n
10 K 3 n K 3 2n
2n ! 10n ! n 3!3! 2n 3!3! 10n n 1 n 2 2n 2n 1 2n 2 5 n 1 n 2 2n 1 2n 2 5 n 2 3n 2 4n 2 6n 2 n 2 9n 8 0 n1 8 n2 1 ... nevyhovuje Původní počet prvků je 8. 14. V bedně je 15 výrobků, z nichž 4 jsou vadné. Kolika způsoby lze vybrat 6 výrobků tak, aby: a) byly všechny bezvadné c) byly nejvýše 2 vadné b) byly právě 2 vadné d) byly právě 4 vadné Řešení: a) K6 11 462 b) K2 4 K4 11 1980 c) Nejvýše 2 (0 nebo 1 nebo 2 vadné) K6 11 K1 4 K5 11 K2 4 K4 11 462 1848 1980 4290 d) K2 11 K4 4 55 15. Zvětší- li se počet prvků o 5, zvětší se počet kombinací bez opakování z nich vytvořených o 90. Určete původní počet prvků. Řešení:
K 2 n 90 K 2 n 5
n 5! n! 90 2! n 2 ! 2! n 3! n n 1 180 n 5 n 4 n 2 n 180 n 2 9n 20 160 8n n 20 Původní počet prvků byl 20.
Stránka 1188
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 16. Z kolika prvků lze vytvořit 364 kombinací třetí třídy bez opakování? Řešení:
K 3 n 364 n! 364 3! n 3 !
n n 1 n 2 2184 n n 1 n 2 3 2 2 2 7 13 n n 1 n 2 12 13 14 n 14 zk : K 3 14 364 Původní počet prvků je 14. 17. V krabici je 25 součástek. 5 součástek má vadu. Kolika způsoby můžeme vybrat 10 součástek tak, aby: a) byly všechny vybrané součástky bez vady b) byly mezi vybranými nejvýše 2 vadné Řešení: a) 20 součástek je bez vady, tj. K10 20 184 756 b) 20 součástek je bez vady, 5 součástek má vadu a nejvýše dvě jsou vadné (0 vadných nebo 1 vadná nebo 2 vadné) K10 20 K1 5 K9 20 K2 5 K8 20 2 284 256 18. Učitel má 10 příkladů z geometrie a 8 příkladů z algebry. Vybírá na zkoušení tři příklady. Kolik má možností výběru, jestliže chce, aby byly dva příklady z algebry a jeden z geometrie? Řešení: K2 8 10 280 19. Učitel fyziky připravuje opakovací test. V testu budou 3 otázky z mechaniky, 4 otázky z elektřiny a 2 otázky z optiky. Kolik bude mít různých variant testu, jestliže má k dispozici 10 různých otázek z mechaniky, 10 otázek z elektřiny a 8 z optiky. Řešení: V jedné variantě testu budou zároveň 3 otázky z 10, 4 otázky z 10 a 2 z 8 otázek, na pořadí otázek nezáleží K3 10 K4 10 K2 8 705 600 . Učitel může sestavit 705 600 variant testu 20. V osudí jsou čísla od jedné do padesáti. Tahá se pětice čísel. Kolik různých pětic můžeme vytáhnout? Řešení: Vybíráme 5 čísel z 50, nezávisí na pořadí, tj. K5 50 2118 760
Stránka 1189
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9.5. Kombinační číslo 6 3 5 7 6 6 1. Vypočtěte ; ; ; ; ; . 1 1 2 3 4 3 a) Pomocí definice b) Na kalkulačce c) Pomocí Pascalova trojúhelníku Řešení: 6 6! 6 1 5!1! 3 3! 3 1 2!1! 5 5! 54 10 2 2 3! 2! 7 7! 7 65 35 3 2 3 4! 3! 6 6! 65 15 2 4 2! 4! 6 6! 65 4 20 3 2 3 3! 3!
2. Vyjádřete jediným kombinačním číslem: 17 17 a) 8 9
16 16 b) 5 10 11 11 c) 6 4 15 15 16 d) 10 11 12
19 19 20 f) 15 5 16 10 10 11 12 g) 4 5 6 7 16 15 h) 5 5 21 21 22 23 24 i) 5 15 15 16 17
10 10 11 e) 4 5 6 n n n n n 1 Řešení: při řešení použijeme vztahy a k n k k k 1 k 1 17 17 18 a) 8 9 9 16 16 16 16 17 b) 5 10 5 6 6 11 11 11 11 12 c) 6 4 6 7 7 Stránka 1190
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 15 15 16 16 16 17 d) 10 11 12 11 12 12 10 10 11 11 11 12 e) 4 5 6 5 6 6 19 19 20 19 19 20 20 20 21 f) 15 5 16 15 14 16 15 16 16 10 10 11 12 11 11 12 12 12 13 g) 4 5 6 7 5 6 7 6 7 7 16 15 15 h) 5 5 4 21 21 22 23 24 21 21 22 23 24 i) 5 15 15 16 17 14 15 15 16 18
22 22 23 24 23 23 24 24 24 25 15 16 17 18 16 17 18 17 18 18 3. Které z čísel A a B je větší? 300 301 a) A a B 50 51
81 80 b) A a B 11 50 n n n 1 Řešení: pomocí vztahu k k 1 k 1 a) 300 300 301 50 51 51 A B 300 301 A B 50 51 b) 80 80 81 50 51 51 B A 81 80 A B 51 50 4. Řešte rovnice s neznámou x R : 8 13 a) x 5 2
16 13 x 4000 x 2162 5 8
b) c)
8 4 5 7 14 x 51 x 3 4 5 2 1 Stránka 1191
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 10 7 6 4 8 x x 75 x 8 2 3 1 5
d) 755
8 9 4 10 13 x x 6 2 2 6 2 8 10 7 16 15 14 f) x 770 x x x 4 4 6 4 7 2 x 2 x g) 10 x 3 x 1 e)
Řešení: a) 8 13 x 5 2
56 x 78 78 56 39 K 28 b) 16 13 x 4000 x 2162 5 8 x
4368 x 4000 1287 x 2162 3081x 6162 x 2 K 2 c) 8 4 5 7 14 x 51 x 3 4 5 2 1
56 x 6 5 51 35 x 1001 280 x 30 51 35 x 1001 245 x 980 x4 K 4
d)
10 7 6 4 8 755 x x 75 x 8 2 3 1 5 755 45 x 21 20 x 4 56 75 x 776 45 x 1120 x 224 75 x 1000 1000 x x 1 K 1
Stránka 1192
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika e) 8 9 4 10 13 x x 6 2 2 6 2
28 x 36 6 210 x 78
168 x 216 210 x 78 42 x 294 x7 K 7 f) 8 10 7 16 15 14 x 770 x x x 4 4 6 4 7 2
70 120 x 21 770 x 1820 x 1365 3003x
1470 2520 x 770 x 1820 x 1365 3003 x 2835 567 x x5 K 5 g) podmínka x 3
x 2 x 10 x 3 x 1
x 2 ! x! 10 x 2 x 3! x 3! x x 1! x 1! x 2 x 10 2 x 2 10 x6 K 6 5. Řešte rovnice s neznámou x N : x 1 x 2 a) 4 12 x 2 x 1
x 3 x 4 b) 3 19 x 2 x 5 x 4 x 4 c) 3 32 x 3 x 5 x x d) 35 x 2 x 1 x 3 x e) 38 x 5 x 2
x 3 x 4 g) 49 x 1 x 6 x 2 x 5 h) 56 x x 7 i) j)
x 3 x 2 109 x x 5 x 4 x 100 x 1 x 3
x 2 x 1 k) 45 x 1 x 2
x 1 x 2 f) 9 x 3 x 4
Stránka 1193
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Řešení: a) podmínka x 2 x 1 x 2 4 12 x 2 x 1 x 1! x 2 ! 4 12 x 1 x 2 ! x 2 ! x 2 x 1! x 1! 4 x 1 x 2 12 4 x 4 x 2 12 3 x 18 x6 K 6
b) podmínka x 5 x 3 x 4 3 19 x 2 x 5 x 3 ! x 4 ! 3 19 x 3 x 2 ! x 2 ! x 4 x 5! x 5 !
x 3 3 x 4 19 x 3 3 x 12 19 4 x 28 x7 K 7
c) podmínka x 5 x 4 x 4 3 32 x 3 x 5 x 4 ! x 4 ! 3 32 x 4 x 3! x 3! x 4 x 5 ! x 5 ! 3 x 4 x 4 32 3x 12 x 4 32 2 x 16 x 8 K 8
Stránka 1194
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika d) podmínka x 2
x x 35 x 2 x 1 x! x! 35 x x 2 ! x 2 ! x x 1! x 1! x x 1 x 35 2 x 2 x 2 x 70 x 2 3x 70 0 x1 10 x2 7 ... nevyhovuje
e) podmínka x 5
x 3 x 38 x 5 x 2
x 3 ! x! 38 x 3 x 5! x 5! x x 2 ! x 2 ! x 3 x 4 x x 1 38
2 2 x 7 x 12 x 2 x 76 2
2 x 2 8 x 64 0 x1 8 x2 4 ... nevyhovuje K 8
f) podmínka x 4 x 1 x 2 9 x 3 x 4 x 1! x 2 ! 9 x 1 x 3! x 3! x 2 x 4 ! x 4 !
x 1 x 2 x 2 x 3 9
2 2 2 2 x 3x 2 x 5 x 6 18 2 x 2 8 x 8 18 0 x2 4 x 5 0 x1 5 x2 1 ... nevyhovuje K 5
Stránka 1195
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika g) podmínka x 6
x 3 x 4 49 x 1 x 6 x 3 ! x 4 ! 49 x 3 x 1! x 1! x 4 x 6 ! x 6 !
x 3 x 2 x 4 x 5 49 2 2 2 x 5 x 6 x 9 x 20 98 2
14 x 14 98 14 x 112 x 8 K 8 h) podmínka x 7 x 2 x 5 56 x x 7 x 2 ! x 5! 56 x 2 x ! x ! x 5 x 7 ! x 7 !
x 2 x 1 x 5 x 6 56
2 2 2 x 3x 2 x 11x 30 112 2
14 x 28 112 x 10 K 10
i) podmínka x 5 x 3 x 2 109 x x 5 x 3 x 2 x 1 x ! x 2 x 3 x 4 x 5 ! 109 x 3 x ! x ! x 2 x 5 ! x 5 !
x
2
5 x 6 x 1
x
2
5x 6 x 4
109 3! 3! x3 x 2 5 x 2 5 x 6 x 6 x 3 4 x 2 5 x 2 20 x 6 x 24 6 109 15 x 2 15 x 24 6 109 15 x 2 15 x 630 0 x 2 x 42 0 x1 7 x2 6 ... nevyhovuje K 7
Stránka 1196
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika j) podmínka x 3 x 4 x 100 x 1 x 3 x 4 x 3 x 2 x 1! x x 1 x 2 x 3! 100 x 4 x 3! x 1! x x 3! x 3!
x
2
7 x 12 x 2
x x 2 3x 2
100 3! 3! x 3 9 x 2 26 x 24 x 3 3x 2 2 x 100 6 12 x 2 24 x 24 100 6 2 x 2 4 x 4 100 x 2 2 x 48 0 x1 6 x2 8 ... nevyhovuje K 6
k) podmínka x 2
x 2 x 1 45 x 1 x 2 x 2 x 1 x x 1! x 1 x x 1 x 2 ! 45 x 2 x 1! x 1! x 1 x 2 ! x 2 !
x
2
3x 2 x x 2 1 x 45 6 3 x 2 3 x 45 6 x 2 x 90 0 x1 9 x2 10 ... nevyhovuje K 9
6. Řešte nerovnice s neznámou x N : x x 1 a) 3x 5 x 1 x
x 2 x 4 b) 3 5x 7 x 1 x 3 x 1 x x 2 c) 2 3x 25 x 3 x 2 x 4 x 6 x 3 x d) 2 12 36 5 x x 4 x 5 x 1 x 5 x 2 x 1 e) 3 15 x 4 x 3 x
Stránka 1197
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Řešení: a) podmínka x 1
x x 1 3x 5 x 1 x x 1! 3x 5 x! x x 1! x 1! x 1 x ! x ! x x 1 3x 5 6 x K 1; 2;3; 4;5;6 b) podmínka x 1 0 x 1
x 2 x 4 3 5x 7 x 1 x 3 x 2 ! x 4 ! 3 5x 7 x 2 x 1! x 1! x 4 x 3! x 3! x 2 3x 12 5 x 20 10 7 x 10 x 7 K 1;0;1 c) podmínka x 4 x 1 x x 2 2 3 x 25 x 3 x 2 x 4 x 1 x 2 2 x x 1 x 2 x 3 3x 25 2! 2! 2! 2 2 2 x 3 x 2 2 x 2 x x 5 x 6 6 x 50
46 6 x 23 x 3 K 4;5;6;7
Stránka 1198
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika d) podmínka x 5 x 6 x 3 x 2 12 36 5 x x 4 x 5 x 1
2
x 6 x 5 x 3 x 4 12 x 36 5 x
2 2 2 2 x 11x 30 x 7 x 12 34 x 72 2
x 2 29 x 48 34 x 72 x 2 5 x 24 0 x 3;8 K 5;6;7;8 e) podmínka x 3 x 5 x 2 x 1 3 15 x 4 x 3 x x 5 3 x 2 x 1 15 3 x 17 17 3 K 3; 4;5 x
Stránka 1199
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9.6. Kombinace s opakováním 1. Kolik prvků dá o 49 více kombinací třetí třídy s opakováním než bez opakování? Řešení: K 3´ n 49 K 3 n n 3 1 n 49 3 3 n 2 ! 49 n ! n 1!3! n 3!3!
n 2 n 1 n 294 n n 1 n 2
n
2
3n 2 n 294 n3 3n 2 2n
n3 3n 2 2n 294 n3 3n 2 2n 6n 2 294 n 2 49 n7
2. Kolika způsoby můžeme koupit pět pohlednic, jestliže v obchodě mají čtyři druhy pohlednic v dostatečném množství? Řešení: Počet druhů Počet vybraných
n4 k 5
5 4 1 8 K´5 4 56 5 5 Pohlednice můžeme koupit 56 různými způsoby.
3. Kolika způsoby můžeme vybrat 8 balíčků bonbónů, jestliže máme na výběr ze šesti druhů? Každý druh je v dostatečném množství. Řešení: n6
k 8 6 8 1 13 K ´8 6 1287 8 8 Bonbóny můžeme vybrat 1287 různými způsoby.
Stránka 1200
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 4. V osudí je 10 zelených, 8 červených a 3 modré koule. Kolika způsoby můžeme vytáhnout 4 koule? Řešení: n 3 …počet druhů
k 4
3 4 1 6 K´4 3 1 1 1 15 1 14 4 4 Odečítáme 1, protože situace 4 modré koule nemůže nastat (modré koule jsou jen tři).
5. Kolika způsoby můžeme koupit šest koláčů, jestliže pekárna nabízí 10 druhů koláčů v dostatečném množství? Řešení: n 10
k 6 10 6 1 15 K ´6 10 5005 6 6 6. V cukrárně prodávají 8 druhů zákusků. Kolika způsoby můžeme koupit 7 zákusků? Všechny zákusky mají po 10 kusech. Řešení: n8
k 7 8 7 1 14 K ´7 8 3432 7 7
Stránka 1201
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9.7. Variace s opakováním 1. Kolik trojciferných čísel můžeme sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5? Kolik z nich je dělitelných pěti? Řešení: cifry se mohou opakovat n5 k 3 V ´3 5 53 125 Čísla dělitelná pěti musí končit číslicí 5 n5 k 2 V ´2 5 52 25
2. Kolik pěticiferných čísel je možno sestavit z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? Řešení: n7 k 5 V ´5 7 V ´4 7 75 74 14406
3. Kolik šestimístných telefonních čísel začínajících sedmičkou lze sestavit z cifer 0 – 9? Řešení: V ´5 10 105 4. Pro otevření trezoru je třeba určit čtveřici čísel. Kolik je možností pro určení této čtveřice? Řešení: V ´4 10 104 5. Kolik čtyřciferných čísel dělitelných pěti lze vytvořit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? Řešení: V ´4 7 74
Stránka 1202
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9.8. Permutace s opakováním 1. V pouzdře je 6 červených pastelek, 3 žluté, 4 modré a 5 zelených. Kolika způsoby můžeme pastelky seřadit? Řešení: P´ 6,3,4,5
18! 514594080 6! 3! 4! 5!
2. Kolika způsoby je možno přemístit písmena slova VEVERKA? Řešení: P 2,2,1,1,1
7! 1260 2! 2!
3. Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel sestavených z číslic 6 a 4 tak, aby se číslice 6 vyskytovala: a) právě čtyřikrát, b) aspoň čtyřikrát? Řešení. a) P 4,2
6! 15 4! 2!
b) P 4,2 P 5,1 1
6! 6! 1 15 6 1 22 4! 2! 5!
4. Kolika způsoby můžeme přemístit písmena slova matematika? Řešení: P 3,2,2,1,1,1
10! 151200 3! 2! 2!
Stránka 1203
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9.9. Binomická věta 1. Umocněte pomocí binomické věty a 2 . 4
Řešení:
a 2
4 4 4 4 4 a 4 a3 21 a 2 22 a1 23 24 a 4 8a3 24a 2 32a1 16 0 1 2 3 4
4
2. Umocněte pomocí binomické věty a 2 . 4
Řešení:
a 2
4
4 4 4 4 4 1 2 3 4 a 4 a3 2 a 2 2 a1 2 2 a 4 8a3 24a 2 32a1 16 0 1 2 3 4
3. Umocněte pomocí binomické věty a 2b . 5
Řešení:
a 2b
5
5 5 5 5 5 5 1 2 3 4 5 a 5 a 4 2b a 3 2b a 2 2b a 2b 2b 0 1 2 3 4 5 a5 10a 4 40a3b 2 80a 2b3 80ab 4 32b5
4. Umocněte pomocí binomické věty a 3b . 6
Řešení:
a 3b
6
6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 a 6 a 5 3b a 4 3b a 3 3b a 2 3b 3b a 3b 0 1 2 3 4 5 6 a 6 6a 5 3b 15a 4 9b 2 20a 3 27b3 15a 2 81b 4 6a 243b5 729b 6 a 6 18a 5b 135a 4b 2 540a 3b3 1215a 2b 4 1458ab5 729b6
5. Umocněte pomocí binomické a Moivreovy věty komplexní číslo i 1 . 5
Řešení: Binomická věta 4 4 4 4 4 4 2 3 4 i 1 i 4 i3 1 i 2 1 i1 1 1 0 1 2 3 4
1 4i 6 4i 1 4 Moivreova věta z 1 i
3 3 z 2 cos i sin 4 4 4 12 12 z 4 2 cos i sin 4 cos i sin 4 1 0i 4 4 4
Stránka 1204
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 6. Kolik členů obsahuje binomický rozvoj 1 5x ? 35
Řešení: 36 členů 7. Kolik členů obsahuje binomický rozvoj 2 3y ? 18
Řešení: 19 členů 20
1 8. Napište desátý člen binomického rozvoje x 2 a upravte jej. x 20
9
Řešení: x11 2 167960 x11 x 18 167960 x 7 9 x 1
9. Napište třetí člen binomického rozvoje a 2b a upravte jej. 15
15 2 Řešení: 3. člen : a13 2b 105 a13 4 b 2 420a13b 2 2 10. Napište sedmý člen binomického rozvoje komplexního čísla 3 20i
19
a upravte jej.
19 6 Řešení: 7. člen : 311 20i 27132 311 206 i 2 27132 311 206 6 11. Napište dvanáctý člen binomického rozvoje komplexního čísla 1 i a upravte jej. 13
13 13 1 Řešení: 12. člen : 12 i 78 1 i 78i 11 12. Napište pátý člen binomického rozvoje 2 3x a upravte jej. 8
8 8 Řešení: 5. člen : 24 3x 70 16 6561x8 4 13. Napište šestý člen binomického rozvoje komplexního čísla 1 2i a upravte jej. 9
9 5 Řešení: 6. člen : 14 2i 126 32 i 4032i 5 14. Napište třetí člen binomického rozvoje 3 x a upravte jej. 7
7 Řešení: 3. člen : 35 x 2 21 243 x 2 5103x 2 2
Stránka 1205
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 6
2 15. Který člen binomického rozvoje 3x 2 je prostý? x
Řešení: člen
k 6 2 6 6 k 6 k k k 1: 3x 2 3 2 x 0 x k k
k 6 6 k 6 k 6 k 1 k 3 x 2 36 k 2 x 0 2 x k k x 6 k x 2 k x 0
x 6 3 k x 0 k 2 3. člen
5x
16. Který člen binomického rozvoje
3
2 x
obsahuje x5 ? 5
Řešení: 5 k 5 člen k 1: 5 x3 2 x k
k
k
x153k x 2 x 5 k 5 2 30 6k k 10
15 3k
20 5k k 4 5. člen 10
2 2 17. Který člen binomického rozvoje 3a 3 obsahuje a ? a Řešení: k 10 1 10 10 k k člen k 1: 3a 3 310 k 1 a 2 a k k a10 k a 3k a 2
10 k 3k 2 12 4k 3k 4. člen
Stránka 1206
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 12
3 18. Který člen binomického rozvoje x x x a) neobsahuje x b) obsahuje x 4 ?
Řešení: a)
12 k 1: k
člen
12 k
x
k
3 12 k 0 k 3 x x x
k
32 x x x0 12 k 3k 0 2 2 k 3 4. člen neobsahuje x 12 k 2
b) 12 k 1: k
člen
12 k
x
k
3 12 k 4 k 3 x x x
k
32 x x x4 12 k 3k 4 2 2 12 4k 8 12 k 2
k 1 2. člen neobsahuje x 4 10
1 19. Určete, který člen binomického rozvoje 2 5 x neobsahuje x. x Řešení: 10 k
člen
x
2 10 k
x
10 1 k 1: 2 k x
5 x
k
10 k 5 x 0 k
k
1 x 2 x0 20 2 k
k 2
x0
k 0 2 40 4k k 0
20 2k
k 8 9. člen neobsahuje x
Stránka 1207
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 8
5 20. Určete, který člen binomického rozvoje 2x 3 neobsahuje x. x Řešení: k 8 5 8 8 k 8 k k k 1: 2 x 3 2 5 x 0 x k k
člen
k
1 x 3 x0 x 8 k 3k 0 k 2 3. člen neobsahuje x 8 k
10
4 21. V rozvoji výrazu 3 x zjistěte existenci prostého členu. x x
Řešení: Předpokládejme, že k 1 člen je prostý k 10 k 10 4 10 k člen k 1: 3 x 4 x 0 x x k k
10 k
k
13 32 0 x x x 10 k 3k 0 3 2 20 2k 9k 0 20 11k 20 k není přirozené číslo 11 Žádný člen není prostý. 15
3x 4 22. V rozvoji výrazu 3 zjistěte existenci prostého členu. x x
Řešení: Předpokládejme, že k 1 člen je prostý k
15 k 15 x 15 15 k k 0 člen k 1: 4 x 3 3 4 3 x k x k
x
3 15 k
x
45 3 k
k
x 0 x x k 2
x xk x0
90 6k k 2k 0 90 5k 0 k 18 18 15 ..... nevyhovuje Prostý člen v tomto rozvoji neexistuje. Stránka 1208
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 23. Najděte všechny členy binomického rozvoje, které jsou racionálními čísly, jestliže:
a) b)
32
6
2 7
9
Řešení: a)
1. člen ..... 3 6 6 3 2 3. člen ..... 2 6 5. člen ..... 4
27 3 2
6
4
3
2
2
24
b)
2 7
2 9
9
9 1
2 7 2 2 7 8
9
7
2
9 3
2 7 6
3
5 4 9 2 7 ... 4 žádný člen rozvoje není racionální
24. Užitím binomické věty a Moivreovy věty odvoďte vzorce pro sin 2x , cos 2x , sin 4x , cos 4x . Řešení: Podle Moivreovy věty: 2 cos x i sin x cos 2 x i sin 2 x Podle binomické věty: 2 2 cos x i sin x cos2 x 2i sin x cos x i sin x cos2 x 2i sin x cos x sin 2 x Porovnáním obou vět získáme: cos 2 x i sin 2 x cos 2 x 2i sin x cos x sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x 2sin x cos x
Podle Moivreovy věty: 4 cos x i sin x cos 4 x i sin 4 x Podle binomické věty: 4 4 4 4 4 2 cos x i sin x cos4 x i sin x cos3 x cos2 x i sin x cos x(i sin x )3 0 1 2 3 4 (i sin x) 4 cos 4 x 4i sin x cos3 x 6 cos 2 x sin 2 x 4i cos x sin x sin 4 x 4 Porovnáním obou vět získáme: cos4 x cos4 x 6cos2 x sin 2 x sin 4 x
sin 4 x 4sin x cos3 x 4cosxsinx Stránka 1209
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 25. Dokažte pomocí binomické věty, že číslo 10n 1 je dělitelné devíti. Řešení:
n n n n n 10n 1 1 9 1 1 9 92 93 94 ... 9 n 1 1 2 3 4 n n n 9 9 92 ... 9n 1 3 1 2 26. Dokažte pomocí binomické věty, že číslo 8n 1 je dělitelné sedmi. Řešení:
n n n n 8n 1 1 7 1 1 7 7 2 73 ... 7 n 1 1 2 3 n n n 7 7 7 2 ... 7 n 1 1 2 3 27. Dokažte, že
11n 1 je celé číslo. 10
Řešení: 11n 1 k; k Z 10 11n 1 10k n n n 11n 1 10 1 1 10n 10n 1 10n 2 1 2 n n 10 10n 1 10n 2 10n 3 1 10k 1 2
n 10 1 1 n 1
k
28. Dokažte, že
13n 1 je celé číslo. 4
Řešení: 13n 1 k; k Z 4 13n 1 4k n n n 13n 1 1 12 1 1 12 122 12 n 1 1 2 n n n 4 3 12 122 12n 1 4k 3 1 2 k
Stránka 1210
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 7
1 29. Pro jaké x je v rozvoji výrazu x čtvrtý člen roven 175? x
Řešení: 4
7 1 3 4. člen .... x 35 x 3 x 35 x 175 x5
1 x 30. Pro jaké x je v rozvoji výrazu x 2
20
patnáctý člen roven 323?
Řešení: 20
20 1 1 x x 2 14 x 2 4845 x 323 1 x 15
6
x
14
38760
1 x 7 4845 x 6 8x
9
1 31. Pro jaké x je v rozvoji výrazu 2x 3, třetí člen roven 576? x Řešení: 2 9 7 1 2 x 3 576 x 2
27 x 7
1 16 x6 1 x 8
Stránka 1211
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 10. Pravděpodobnost 1. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo? Řešení: P( A)
3 1 6 2
2. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo menší než tři? Řešení: A 1; 2 P( A)
2 1 6 3
3. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou číslo větší než čtyři? Řešení: A 5;6 P( A)
2 1 6 3
4. Hodíme čtyřikrát mincí. Vyjmenujte výsledky příznivé následujícím jevům: A „padne právě jednou líc“, B „padne čtyřikrát stejná strana mince“, C „padne aspoň třikrát rub“? Řešení: A L; R; R; R , R; L; R; R , R; R; L; R , R; R; R; L B R; R; R; R , L; L; L; L C L; R; R; R , R; L; R; R , R; R; L; R , R; R; R; L, R; R; R; R 5. V tombole je 450 losů. 10 losů vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že při koupi 5 losů všechny losy vyhrají? Řešení: ...n K5 (450)
A...m K5 (10) 10 5 P( A) 1,7 109 450 5
Stránka 1212
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 6. Ve třídě je 30 žáků, 8 žáků nemá domácí úkol. Učitel vyvolá k tabuli 4 žáky. Jaká je pravděpodobnost, že dva žáci u tabule nemají domácí úkol? Řešení: ...n K 4 (30)
A...m K 2 (8) K 2 (22) 8 22 2 2 P( A) 0, 24 30 4 7. V dodávce je 50 výrobků, 5 z nich je vadných. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru 10 součástek bude právě jedna vadná? Řešení: ...n K10 (50)
A...m K 9 (45) K1 (5) 45 5 5 P( A) 0, 43 50 10 8. V bedně je 35 součástek, z nich je 7 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru čtyř součástek bude nejvýše jedna vadná? Řešení: ...n K 4 (35)
A...m K1 (7) K 3 28 K 4 (28)
7 28 28 1 3 4 P( A) 0,83 35 4 9. Hodíme dvěma kostkami modrou a červenou. Jaká je pravděpodobnost, že na modré kostce padne mešní číslo než na červené? Řešení:
P A
15 5 36 12
Stránka 1213
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 10. Jaká je pravděpodobnost, že libovolné dvojciferné je dělitelné: a) deseti, b) pěti? Řešení: a) deseti ...n V2(10) 9
A...m 9 P( A)
9 9 100 9 91
b) pěti ...n V2(10) 9
B...m 18 18 18 P( B) 100 9 91 11. Při výrobě 1 000 kusů radiátorů bylo 12 kusů zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že určitý výrobek je vadný? Řešení: ...n 1000
A...m 12 12 P( A) 0, 012 1000 12. Jaká je pravděpodobnost, že libovolné dvojciferné číslo je: a) dělitelné čtyřmi, b) není dělitelné čtyřmi? Řešení: a) dělitelné čtyřmi ...n V2(10) 9 91
B...m 22 22 P( B) 0, 24 91 b) není dělitelné čtyřmi? Opačný jev k a) P( A) 1 P( A) 0,76 13. Střelec zasáhl terč 97 krát ze sta výstřelů. Jaká je pravděpodobnost, že cíl nezasáhne? Řešení: A…zásah A’…nezásah = jev opačný k A 97 P( A) 0,97 100 P( A´) 1 P( A) 1 0,97 0, 03
Stránka 1214
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 14. V tombole je 300 losů. Jaká je pravděpodobnost hlavní výhry je při koupi 10 losů? Řešení: ...n K10 (300)
A...m K 9 (299) 299 9 1 0,03 P( A) 300 10 15. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne na obou kostkách: a) pětka b) sudé číslo? Řešení: a) pětka ...n V2(6) 62 A...m 1 1 1 0, 28 36 b) sudé číslo ...n V2(6) 62 P( A)
A...m V2(3) 32 P( A)
9 0, 25 36
16. Hodíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že: a) padne právě jednou jednička, b) padne alespoň jednou jednička, c) padne nejvýše jednou jednička? Řešení: a) padne právě jednou jednička A…1. hod padne jednička, 2. hod nepadne, A=1·5 B…1. hod nepadne jednička, 2. hod padne, B=5·1 5 5 P( A B) 0, 28 36 36 b) Padne alespoň jednou jednička Jev opačný k nepadne jednička (A’) 55 P( A) 1 P( A) 1 0,31 36 c) Padne nejvýše jednou jednička A…nepadne ani jednou B…padne právě jednou
Stránka 1215
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 25 36 10 P( B) 36 P( A)
P( A B)
25 10 0,97 36
17. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne: a) součet pět, b) součet menší než pět? Řešení: a) součet pět A…součet 5=1+4; 4+1; 2+3; 3+2 ...n V2(6) 36
4 0,11 36 b) součet menší než šest Součet je 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5 1 2 3 4 P( A1 ) ; P( A2 ) ; P( A3 ) ; P( A4 ) 36 36 36 36 1 2 3 4 P( A1 A2 A3 A4 ) 0, 28 36 P( A)
18. Hodíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že: a) padne třikrát jednička b) padne nejvýše jednou jednička c) padne alespoň jednou jednička d) padne třikrát liché číslo Řešení: a) padne třikrát jednička ...V3 (6) 63
A...m 1 1 1 1 1 216 Druhé řešení: nezávislé jevy 1 1 1 1 P( A) 6 6 6 216 b) padne nejvýše jednou jednička nepadne ani jednou padne právě jednou 1 5 5 5 1 5 5 5 1 75 P( A) 216 216 216 216 P( A)
Stránka 1216
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika c) padne alespoň jednou jednička jev opačný- napadne ani jednou 5 5 5 125 P( A) 216 216 d) padne třikrát liché číslo 33 1 P( A) 216 8 19. Hodíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že při prvním hodu padne sudé číslo, při druhém liché číslo a při třetím padne dvojka? Řešení:
P( A B C )
3 3 1 9 216 216
20. Hodíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že při prvním hodu padne šestka, při druhém jednička nebo dvojka a při třetím pětka nebo šestka? Řešení:
P( A B C )
1 2 2 1 216 54
21. Hodíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že při první hodu padne liché číslo a při druhém padne šestka? Řešení:
P( A B )
3 1 3 1 36 36 12
22. V osudí je 300 losů. 10 losů vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že získáte aspoň jednu výhru, pokud si koupíte: a) 8 losů b) 15 losů Řešení: a) Jev opačný – nezískáte žádnou výhru Á 290 8 0, 24 P( A) 1 P A 1 300 8
290 15 0, 4 b) P( A) 1 P A 1 300 15
Stránka 1217
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 23. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet jedenáct? Řešení:
P( A)
2 0,056 36
24. Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky uhodnete jedno číslo? Řešení:
43 6 5 1 P( A) 0, 41 49 6 25. Z balíčku 32 karet vytáhneme náhodně 3 karty. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude alespoň jedno eso? Řešení: Jev opačný – žádné eso 28 3 P( A) 1 0,34 32 3 26. Vsadíme jednu sázenku sportky, jaká je pravděpodobnost, uhádneme alespoň jedno z šesti tažených čísel? Řešení: Jev opačný – neuhádneme žádné číslo Á 43 6 P( A) 1 0,56 49 6 27. Ve třídě je 26 žáků, 4 žáci nejsou připraveni ne vyučovací hodinu. Učitel vyzkouší dva žáky. Jaká je pravděpodobnost, že budou: a) oba připraveni, b) oba nepřipraveni? Řešení:
22 2 a) P( A) 0,71 26 2
Stránka 1218
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 4 2 b) P( A) 0,02 26 2 28. V obchodě mají 20 kusů mobilních telefonů, tři kusy jsou vadné. Pan Novák si koupí jeden mobilní telefon. Jaká je pravděpodobnost, že nebude vadný? Řešení:
P( A)
17 0,85 20
29. Z balíčku 32 karet vytáhneme náhodně dvě karty. Jaká je pravděpodobnost, že obě budou esa nebo obě karty budou pikové? Řešení:
4 8 2 2 P( A) 0,07 32 2 30. Ve třídě je 25 studentů. Mezi nimi jsou Alena a Bětka. Učitel ve třídě vybere náhodně libovolnou trojici studentů. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými studenty bude Alena nebo Bětka? Řešení: P( A)
23 0,01 25 3
31. Jaká je pravděpodobnost, že libovolně vybrané dvojciferné číslo je dělitelné dvěma nebo pěti? Řešení:
P( A)
45 18 9 0,6 90 90 90
32. Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky bude taženo číslo menší než 12. Řešení:
P( A)
11 0,22 49
Stránka 1219
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 33. Ve skupině je 8 děvčat a 10 chlapců. Jaká je pravděpodobnost, že mezi třemi náhodně vybranými jsou dvě děvčata a jeden chlapec? Řešení:
8 10 2 1 P( A) 0,34 18 3 34. Ve třídě je 24 žáků, mezi nimi je Adam a David. Vybereme náhodně volejbalové družstvo. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude: a) Adam b) David c) Adam a David d) Adam nebo David e) Adam ano, David ne? Řešení:
23 5 a) P( A) 0, 25 24 6 23 5 b) P(B) 0, 25 24 6 22 4 c) P(C) 0,54 24 6 23 23 5 5 1 d) P(D) 0,5 24 6 22 5 e) P( E ) 0, 2 24 6
Stránka 1220
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 35. V osudí je 5 červených koulí, 8 modrých a 6 zelených. Vytáhneme náhodně dvě koule. Jaká je pravděpodobnost, že a) obě vytažené koule budou modré, b) je mezi vytaženými koulemi právě jedna zelená, c) mezi vytaženými koulemi není žádná červená? Řešení:
8 2 a) P( A) 0,16 19 2 b) P( A)
6 13 0, 46 19 2
14 2 c) P( A) 0,53 19 2 36. V osudí je 12 koulí, ze kterých jsou 4 zelené. Vytáhneme nejednou tři koule. S jakou pravděpodobností: a) není mezi vytaženými žádná zelená, b) je mezi vytaženými koulemi alespoň jedna zelená, c) jsou mezi vtaženými koulemi alespoň dvě zelené? Řešení:
8 3 a) P( A) 0, 25 12 3
b) Jev opačný – žádná zelená P(B) 1 P B 1 0,25 0,75
4 4 2 8 3 0, 24 c) P(C ) 12 3
Stránka 1221
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 37. V osudí je 6 modrých, 5 červených a 7 žlutých koulí. Vytáhneme postupně tři koule. Po každém tahu kouli vracíme kouli. Jaká je pravděpodobnost, že: a) Druhá vytažená koule bude modrá, b) Třetí vytažená koule bude žlutá nebo modrá? Řešení:
6 0,33 18 67 0,72 b) P( A) 18 a) P( A)
38. Střelec zasáhne cíl 17 krát z dvaceti ran. a) S jakou pravděpodobností zasáhne cíl alespoň jedenkrát ze tří ran, b) S jakou pravděpodobností zasáhne cíl alespoň dvakrát ze tří ran. c) S jakou pravděpodobností nezasáhne cíl ani jednou ze tří ran? Řešení: a) Jev opačný – nezasáhne cíl ani jednou P( A) 1 0,153 1
27 0,997 8000
b) P( B) 0,853 0,852 0,15 0,72 27 c) P( B) 0,153 8000 39. Dva střelci střílí nezávisle na sobě na cíl. První trefí cíl s pravděpodobností 0,9, druhý trefí cíl s pravděpodobností 0,75. a) S jakou pravděpodobností oba trefí cíl, b) s jakou pravděpodobností právě jeden trefí cíl? Řešení: a) P( A) 0,9 0,75 0,675 b) P( B) 0,9 0,25 0,1 0,75 0,3 40. Test zkoušky obsahuje 10 otázek. Žák vybírá z odpovědí a, b, c, d u každé otázky. Jaká je pravděpodobnost, že žák odpoví 6 otázek správně, volí-li odpovědí zcela náhodně? Řešení: Správná odpověď ….. p 0,25 Špatná odpověď……... q 0,75 Počet otázek n 10 Počet správných odpovědí k 6 10 6 4 P( A) 0, 25 0,75 0,016 6
Stránka 1222
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 41. Lék úspěšně vyléčí 78 % případů nemoci. Jaká je pravděpodobnost, že se vyléčí alespoň devatenáct pacientů z dvaceti, kterým je lék podán? Řešení: p 0,78 q 0,22 n 20 k 19;20 20 P A 0,7819 0,221 0,7820 0,046 19 42. Klíčivost semen petržele je 92 %. Vypočítejte pravděpodobnost, že vyklíčí aspoň 27 semen ze třiceti zasetých. Řešení: p 0,92 q 0,08 n 30 k 27;28;29;30 30 30 30 30 P A 0,9227 0,083 0,9228 0,082 0,9229 0,082 0,9230 27 28 29 30 0,082
43. V rodině je pět dětí. Jaká je pravděpodobnost, že rodina má a) pět synů, b) dvě dcery a tři syny, c) jednu dceru a čtyři syny? Pravděpodobnost narození syna a dcery je stejná. Řešení: a) p 0,5
q 0,5 n5 k 5 5 1 P A 0,55 32 5 b) p 0,5 q 0,5 n5 k 3 5 5 P A 0,53 0,52 16 3
Stránka 1223
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika c) p 0,5
q 0,5 n5 k 4 5 5 P A 0,54 0,5 32 4 44. Při zkoušení pevnosti drátu vyrobeného na dvou různých strojích se ukázalo, že drát vyrobený na prvním stroji vydržel zkoušený tah s pravděpodobností 0,86, drát z druhého stroje jen s pravděpodobností 0,72. Jaká je pravděpodobnost, že oba vzorky vydrží současně požadované napětí? Řešení: P A 0,86 0,72 0,6192 45. Basketbalista střílí trestné hody s úspěšností 0,85. jaká je pravděpodobnost, že z dvaceti vystřelených hodů bude 18 krát úspěšný? Řešení: p 0,85
q 0,15 n 20 k 18 20 P A 0,8518 0,152 0, 23 18 46. Pravděpodobnost, že žárovky vydrží 1 500 hodin svítit, je 0,3. Jaká je pravděpodobnost, že právě jedna z pěti žárovek vydrží svítit 1 500 hodin? Řešení: p 0,3
q 0,7 n5 k 1 5 P A 0,31 0,74 0,36 1
Stránka 1224
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 47. Pravděpodobnost vyrobení zmetku je 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že mezi deseti vybranými výrobky budou všechny výrobky bez vady? Řešení: p 0,8
q 0, 2 n 10 k 10 10 P A 0,810 0,1 10 48. Obvod je složen z deseti stejných žárovek, které jsou spojeny sériově. Jaká musí být, že každá žárovka vydrží svítit 1000 hodin, aby pravděpodobnost, že obvodem prochází proud po dobu 1000 hodin, byla 0,8? Řešení: p10 0,8
p 0,98 49. Tři lukostřelci střílejí současně do terče. Pravděpodobnost, že první lukostřelec zasáhne cíl je 0,7, pravděpodobnost, že druhý zasáhne cíl, je 0,8 a pravděpodobnost, že terč zasáhne třetí, je 0,6. Jaká je pravděpodobnost, že a) první dva terč zasáhnout a třetí ne, b) právě dva zasáhnou cíl, c) všichni tři zasáhnou cíl, d) aspoň jeden se trefí do terče? Řešení: a) P A 0,7 0,8 0,4 0,224 b) P B 0,7 0,8 0,4 0,7 0,2 0,6 0,3 0,8 0,6 0,452 c) P C 0,7 0,8 0,6 0,336 d) Jev opačný D´– nikdo netrefí terč, P D 1 0,3 0,2 0,4 0,024 50. Pravděpodobnost, že se v elektrickém obvodu zvýší napětí pro měřící přístroj je 0,05 Pravděpodobnost poruchy měřícího přístroje je 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že se zvýší napětí a přístroj přestane pracovat? Řešení: P A 0,2 0,05 0,01 51. Elektrický obvod se skládá ze dvou žárovek zapojených paralelně, ke kterým je zapojena sériově třetí žárovka. Spolehlivost každé žárovky je 0,8. jaká je pravděpodobnost, že bude svítit aspoň jedna žárovka? Řešení: P A B 0,8 0,8 0,8 0,8 0,96 paralelní zapojení Pro celý obvod P C 0,96 0,8 0,768
Stránka 1225
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 11. Statistika 1. Následující tabulka představuje statistický soubor, jako výsledek statistického šetření. Příjmení a jméno Bláha Rostislav Novák Jan Kohen Jiří Pařízek Jiří Kovářová Romana Bušinová Jarmila Hradečný Alois Kopecký František Látal František Pokorná Anna Koutná Božena Fialová Vlasta Božetěchová Jarmila Zuzaňáková Monika Martinovská Iveta Pokorný Daniel Návělek Vojtěch Návělková Michaela Kadlecová Julie Adamec Jan Pavelka Matěj Pavelčák Michal Brouček Libor Blažený Pavel Syrový Radoslav Buriánek Otmar Valentová Lucie Zedníček Petr Martínek Benjamín Fiurášek Bořislav Šedivý Svatopluk
věk 29 48 52 19 25 22 26 33 23 38 49 66 75 41 45 28 61 22 29 34 34 31 52 18 19 68 54 35 72 78 63
děti 2 1 0 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 1 0 2 2 2 2 0 0 4 1 0 2 2 2
povolání řidič OSVČ dělník prodavač účetní student advokát lékař student úřednice tiskařka herečka důchodkyně OSVČ bioložka vědkyně veter. lékař studentka dělnice zahradník kuchař učitel ICT special. dělník dělník konstruktér manažerka poradce důchodce důchodce ekonom
pes ano ano ano ne ne ne ano ano ne ne ne ano ne ano ano ano ne ne ne ne ne ano ano ne ne ano ano ne ne ne ano
počet dní 15 10 12 10 1 15 15 12 1 4 22 0 0 0 15 9 14 7 13 8 8 15 22 11 15 4 2 7 13 0 4
výška cm 168 189 192 179 171 165 152 158 178 162 169 195 177 162 165 164 170 162 180 149 192 190 188 175 189 168 185 172 178 165 189
a) Rozhodněte, zda se jedná o statistický soubor, určete statistické jednotky, rozsah statistického souboru a druhy statistických znaků b) Roztřiďte jednotky z tabulky podle pohlaví a věku c) Roztřiďte jednotky z tabulky podle výšky d) Určete průměrný věk statistických jednotek e) Určete průměrnou výšku respondentů f) Určete průměrný počet dní g) Určete absolutní a relativní četnost výskytu jednotlivých hodnot statistického znaku pes h) Určete absolutní a relativní četnost výskytu jednotlivých hodnot znaku počet dětí
Stránka 1226
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Řešení: a) Rozhodněte, zda se jedná o statistický soubor, určete statistické jednotky, rozsah statistického souboru a druhy statistických znaků
b)
c)
d)
e)
- jde o statistický soubor - statistické jednotky jsou jednotliví lidé - rozsah statistického souboru - 31 - druh znaku: věk - kvantitativní počet dětí – kvantitativní povolání – kvalitativní pes – kvalitativní počet dní – kvantitativní výška – kvantitativní Roztřiďte jednotky z tabulky podle pohlaví a věku věk muži ženy celkem 18-20 3 0 3 21-30 4 4 8 31-40 5 1 6 41-50 1 3 4 51-60 2 1 3 61-70 3 1 4 71 a více 2 1 3 Roztřiďte jednotky z tabulky podle výšky výška celkem 140-150 1 151-160 2 161-170 11 171-180 8 181-190 6 191-200 3 Určete průměrný věk statistických jednotek x x ... xn 1 n x 1 2 xi n n i 1 1289 x 31 x 41,58065 41,58 let Určete průměrnou výšku respondentů x x ... xn 1 n x 1 2 xi n n i 1 5398 x 174,129 174,13 cm 31
Stránka 1227
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika f)
g)
h)
Určete průměrný počet dní x x ... xn 1 n x 1 2 xi n n i 1 284 x 9,16129 9,16 dní 31 Určete absolutní a relativní četnost výskytu jednotlivých hodnot statistického znaku pes četnost ni – počet výskytů hodnoty u určitého znaku n relativní četnost i – jaká část souboru má danou hodnotu znaku i i n ano pes ne četnost 14 17 14 17 45 % 55 % relativní četnost 31 31 Určete absolutní a relativní četnost výskytu jednotlivých hodnot znaku počet dětí děti 0 1 2 3 4 absolutní četnost 8 8 11 3 1 8 11 3 1 0, 26 0,35 0,31 0, 03 8 31 31 31 31 0, 26 26 % relativní četnost 31 26 % 35 % 31 % 3 %
2. Skupina 20 dětí odpovídala na tři otázky. Počet správných odpovědí jednotlivých dětí znázorňuje následující tabulka. 1 1 3 2 1 0 1 2 1 1 1 0 2 1 1 3 1 1 2 1 Uspořádejte tyto výsledky podle četností výskytu. Řešení: hodnota znaku absolutní četnost
0 2
1 12
2 4
3 2
2 12 4 2 0,1 10 % 0, 6 60 % 0, 2 20 % 0,1 10 % 20 20 20 20
relativní četnost
3. Při opakovaných hodech kostkou jsme získali následující výsledky: 1 6
3 1
2 5
3 4
5 3
3 2
6 1
4 4
1 5
5 1
3 4
2 2
4 6
6 3
3 5
Uspořádejte tyto výsledky podle četností výskytu. Řešení: hodnota znaku absolutní četnost relativní četnost
1 5
2 4
3 7
4 5
5 5
6 4
5 4 7 5 5 4 0,1785 0,1429 0, 25 0,1785 0,1785 0,1429 28 28 28 28 28 28 18 % 14 % 25 % 18 % 18 % 14 % Stránka 1228
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 4. Graf zobrazuje histogram četností výšky respondentů statistického šetření.
Výška v cm 12 10 8 6 4 2 0 140-150
151-160
161-170
171-180
181-190
191-200
Sestavte kruhový diagram zastoupení jednotlivých výšek. Jak velký bude středový úhel jednotlivých výsečí? Řešení: Úhel výseče je možno spočítat pomocí relativní četnosti v procentech podle vztahu: 360 , nebo pomocí relativní četnosti vyjádřené desetinným číslem podle vztahu: k 100 k 360 výška absolutní četnost relativní četnost
140-150
151-160
161-170
171-180
181-190
191-200
1
2
11
8
6
3
1 31
úhel
0, 03
2 31
0, 06
11 31
0,35
8 31
0, 26
6 31
0,19
3 31
0,1
1 2 11 8 6 3 360 360 360 360 360 360 31 31 31 31 31 31 12 23 128 93 69 35
Výška v cm 140-150 151-160 161-170 171-180 181-190 191-200
Stránka 1229
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 5. U souboru 50 dětí mateřské školy byly zaznamenány počty jejich sourozenců. Tabulka udává četnosti počtů sourozenců dětí. Určete průměrný počet sourozenců těchto dětí. počet sourozenců četnost výskytu
0 10
1 28
2 11
3 1
4 0
5 0
Řešení:
x
1 n 0 10 1 28 2 11 3 1 xjnj 1, 06 n j 1 50
6. Při kontrole množství sirupu v 1litrové láhvi byly zjištěny následující hodnoty v litrech: 0,97 0,99 1,01 1,05
0,97 1,02 0,98 1,01
1,01 1,03 0,98 0,98 1,01 1 1,08 0,98 0,97 1,01 1,01 1,01 1 1,01 0,95 0,98 1,02 1,02 0,99 0,99 0,98 1,03 1 0,97 1,01 0,96 0,96 0,97
0,98 0,99 1,02 0,99
Sestavte tabulku četnosti a spočítejte aritmetický průměr naplněnosti láhví. Řešení: množství 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 četnost 1 2 5 7 5 n 1 x xjnj n j 1
1 3
1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 9 4 2 0 1 0 0 1
1 0,95 2 0,96 5 0,97 7 0,98 5 0,99 3 1 9 1, 01 4 1, 02 2 1, 03 11, 05 11, 08 40 0,99725 0, 997 litrů
7. Brigádníci sbírali borůvky. Vedoucí zaznamenal, jaké množství borůvek brigádníci nasbírali. Výsledek zobrazuje následující tabulka. počet litrů počet brigádníků
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
8
2
5
6
5
10
8
Určete: a) průměrnou hodnotu b) modus c) medián Řešení: a) průměrnou hodnotu 1 n x xjnj n j 1
2,5 8 3 2 3,5 5 4 6 4,5 5 5 10 5,5 8 184 4,18 44 44 modus Mod( x) 5 medián Med( x) 4
b) c)
Stránka 1230
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 8. Při měření tělesné výšky žáků 3. A byly naměřeny následující hodnoty v cm: 130 140 136 141 139 133 149 151 139 136 138 142 127 147 139 135 141 143 132 146 15 1 146 141 141 131 142 141. a) Rozdělte děti podle tělesné výšky do intervalů po 5 cm b) na základě tohoto rozdělení určete průměrnou výšku b) na základě tohoto určete modus znaku c) na základě tohoto určete medián znaku Řešení: a) Rozdělte děti podle tělesné výšky do intervalů po 5 cm střed 125 130 135 140 intervalu počet 1 3 4 12 dětí b) na základě tohoto určete průměrnou výšku 1 n x xjnj n j 1
145
150
4
3
125 1 130 3 135 4 140 12 145 4 150 3 3765 139, 4 cm 27 27 na základě tohoto určete modus znaku Mod( x) 140 cm na základě tohoto určete medián znaku Med( x) 137,5 cm
c) d)
9. Tabulka uvádí počty bodů získané dětmi na letním táboře rozdělené podle četnosti. 75 5 85 11
76 4 86 13
77 8 87 15
78 8 88 7
79 2 89 3
80 1 90 5
81 5 91 2
82 6 92 0
83 12 93 2
84 15 94 1
Určete: a) průměrný počet bodů b) modus c) medián Řešení: a) průměrný počet bodů 1 n x xjnj n j 1
75 5 76 4 77 8 78 8 79 2 80 1 81 5 127 82 6 83 12 84 15 85 11 86 13 87 15 88 7 127 89 3 90 5 91 2 92 0 93 2 94 1 10463 82,39 cm 127 127
Stránka 1231
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika b)
modus Mod( x1 ) 84 cm
Mod( x2 ) 87 cm medián Med( x) 84,5 cm
c)
10. Tabulka uvádí rozdělení finančních odměn v Kč mezi skupinu zaměstnanců podle četnosti. 500 5
600 5
700 10
800 12
900 8
1000 10
1100 2
1200 4
1300 7
Určete: a) průměrnou výši odměny b) modus c) medián Řešení: a) průměrný počet bodů 1 n x xjnj n j 1
500 5 600 5 700 10 800 12 900 8 1000 10 1100 2 1200 4 1300 7 63 55400 879,37 Kč 63 modus Mod( x) 800 Kč medián Med( x) 900 Kč
b) c)
11. Tabulka uvádí naměřené hodnoty průměru kuličky v mm. 3,12
3,10
3,11
3,12
3,09
3,11
3,12
3,13
3,09
3,10
Určete: a) odchylky měření b) průměrnou odchylku c) relativní průměrnou odchylku d) variační rozpětí e) rozptyl f) směrodatnou odchylku g) variační koeficient Řešení: a) odchylky měření d xi x x 3,109 hodnota 3,12 3,10 3,11 3,12 3,09 3,11 3,12 3,13 3,09 3,10 odchylka -0,011 0,009 -0,001 -0,011 0,019 -0,001 -0,011 -0,021 0,019 0,009
Stránka 1232
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika b) průměrnou odchylku n
d
x x i
i 1
n 0,112 d 0, 0112 10 c) relativní průměrnou odchylku d rd 100% x 0, 0112 rd 100 % 0,3602 % 3,109 d) variační rozpětí Rx xmax xmin Rx 3,13 3, 09 0, 04 e) rozptyl
x x n
sx 2
f)
i 1
2
i
n 0, 00169 sx 2 0, 0002 10 směrodatnou odchylku
x x n
sx
i 1
2
i
n
0, 00169 0, 013 10 g) variační koeficient s vx x 100% x 0, 013 vx 100% 0, 42% 3,109 sx 2
12. Tabulka uvádí naměřené hmotnosti stejných kovových hřebíků v g. 11,2
11,4
11,1
11,5
11,2
11
11,3
11,2
11
11,5
Určete: a) odchylky měření b) průměrnou odchylku c) relativní průměrnou odchylku d) variační rozpětí e) rozptyl f) směrodatnou odchylku g) variační koeficient
Stránka 1233
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Řešení: a) odchylky měření d xi x x 11, 24 hodnota 11,2 11,4 odchylka 0,04 -0,16 b) průměrnou odchylku
11,1 0,14
11,5 -0,26
11,2 0,04
11 0,24
11,3 -0,06
11,2 0,04
11 0,24
11,5 -0,26
n
d
x x i
i 1
n 1, 48 d 0,148 10 c) relativní průměrnou odchylku d rd 100% x 0,148 rd 100 % 1,317 % 11, 24 d) variační rozpětí Rx xmax xmin Rx 11,5 11 0,5 e) rozptyl
x x n
sx 2
f)
i 1
2
i
n 0, 00169 sx 2 0, 0002 10 směrodatnou odchylku
x x n
sx
i 1
2
i
n
0,304 0,174 10 g) variační koeficient s vx x 100% x 0,174 vx 100% 1,55% 11, 24 sx
Stránka 1234
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 13. Tabulka uvádí výsledky 10 střelců ve střelbě na terč. 98
97
99
98
100
100
100
91
94
98
Určete: a) odchylky měření b) průměrnou odchylku c) relativní průměrnou odchylku d) variační rozpětí e) rozptyl f) směrodatnou odchylku g) variační koeficient Řešení: a) odchylky měření d xi x x 97,5 hodnota 98 97 odchylka -0,5 0,5 b) průměrnou odchylku
99 -1,5
98 -0,5
100 -2,5
100 -2,5
100 -2,5
91 6,5
94 3,5
98 -0,5
n
d
x x i 1
i
n
21 2,1 10 c) relativní průměrnou odchylku d rd 100% x 2,1 rd 100 % 2,154 % 97,5 d) variační rozpětí Rx xmax xmin d
Rx 100 91 9 e) rozptyl
x x n
sx 2 sx 2
i 1
2
i
n 76,5 7, 65 10
Stránka 1235
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika f)
směrodatnou odchylku
x x n
sx
i 1
2
i
n
76, 5 2, 77 10 g) variační koeficient s vx x 100% x 2, 77 vx 100% 2,84% 97,5 sx
Stránka 1236
