ˇ ıseln´e ˇrady - ˇreˇsen´e pˇr´ıklady C´
1
1
ˇ ´ISELNE ´ RADY ˇ C -ˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady A. Souˇ cty ˇ rad
Vzorov´ e pˇ r´ıklady: 1.1. Pˇ r´ıklad. Urˇcete souˇcet ˇrady ∞ X k=1
1 1 1 1 = + + + ... . k2 + k 2 6 12
ˇ sen´ı: Rozkladem k-t´eho ˇclenu ˇrady na parci´aln´ı zlomky dost´av´ame Reˇ k2
1 A B 1 = = + . +k k(k + 1) k k+1
Vyn´asoben´ım jmenovatelem k 2 + k dost´ av´ame rovnost ⇒
1 = A(k + 1) + Bk Odtud k2
A = 1, B = −1.
1 1 1 = − . +k k k+1
Pro n-t´ y ˇc´asteˇcn´ y souˇcet ˇrady pak plat´ı sn = 1 −
1 1 1 1 1 1 + − + ··· + − =1− , 2 2 3 n n+1 n+1
tj. s = lim sn = lim 1 − n→∞
n→∞
1 = 1. n+1
ˇ Rada je tedy konvergentn´ı a m´ a souˇcet s = 1. 1.2. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete pomoc´ı definice o konvergenci, resp. souˇctu n´asleduj´ıc´ı ˇrady: ∞ X 3k − 2k+1 k=1
6k
1 1 11 =− + + + ···. 6 36 216
ˇ sen´ı: Vyuˇzit´ım vzorce pro n-t´ Reˇ y ˇc´ asteˇcn´ y souˇcet geometrick´e ˇrady dost´av´ame sn =
n k X 1 k=1
2
−2
n k X 1 k=1
3
=
1 2
− ( 12 )n+1 1 2
1
−23
− ( 31 )n+1 2 3
.
Odtud pak s = lim sn = 1 − 1 = 0. n→∞
Dan´a ˇrada tedy konverguje a m´ a souˇcet s = 0. 1.3. Pˇ r´ıklad. Urˇcete souˇcet ˇrady ∞ X k=1
ln 1 +
1 3 4 = ln 2 + ln + ln + . . . . k 2 3
ˇ sen´ı: Pro n-t´ Reˇ y ˇc´ asteˇcn´ y souˇcet ˇrady plat´ı sn = ln 2 + ln
3 n+1 + · · · + ln = ln 2 + ln 3 − ln 2 + · · · + ln(n + 1) − ln n = ln(n + 1). 2 n ´ FSI VUT v Brnˇe UM
ˇ ıseln´e ˇrady - ˇreˇsen´e pˇr´ıklady C´
2
Protoˇze lim sn = lim ln(n + 1) = ∞,
n→∞
n→∞
pˇr´ısluˇsn´a ˇrada diverguje. ˇ asteˇ C´ cnˇ eˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: ∞ P
1.4. Pˇ r´ıklad. Urˇcete souˇcet ˇrady
e−2k .
k=0
ˇ sen´ı: Protoˇze e−2k = ( e−2 )k , jedn´ Reˇ a se o geometrickou ˇradu s prvn´ım ˇclenem rovn´ ym jedn´e a kvocientem e2 1 −2 e ; odtud podle vzorce s = 1− e−2 = e2 −1 . ∞ P
1.5. Pˇ r´ıklad. Urˇcete souˇcet ˇrady
k=1
1 4k2 −1
.
ˇ sen´ı: Rozkladem na parci´ Reˇ aln´ı zlomky m´ame
1 4k2 −1
=
1 2k−1
rozeps´an´ım n-t´eho ˇc´ asteˇcn´eho souˇctu dost´av´ame sn = 12 (1 − s = lim sn = n→∞
1.6∗ . Pˇ r´ıklad. Urˇcete souˇcet ˇrady
∞ P
ln(1 −
k=2
−
1 2k+1
1 2n+1 ),
2. Dosazen´ım tohoto vztahu a
tedy
1 . 2
1 k2 ) .
3 8 15 n2 −1 ˇ sen´ı: P´ıˇseme ln(1 − 12 ) = ln( k2 −1 Reˇ apeme jako souˇcet k k2 ). Odtud sn = ln( 4 · 9 · 16 · · · n2 ), kde sn ch´ a2 +· · ·+an (ˇclen a1 v dan´e ˇradˇe chyb´ı). Pak pro n = 2, 3, 4, . . . nejprve odvod´ıme, a pot´e indukc´ı ovˇeˇr´ıme, 2 15 n+1 1 ˇze 43 · 89 · 16 · · · nn−1 = n+1 2 2n , tedy sn = ln 2n , a odtud s = ln 2 .
1.7∗ . Pˇ r´ıklad. Urˇcete souˇcet ˇrady
∞ P
arctg
k=1
1 2k2
.
ˇ sen´ı: K urˇcen´ı sn uˇzijeme vztahu arctg x + arctg y = arctg x+y , kter´ Reˇ y plat´ı pokud xy < 1. Z tohoto 1−xy n vztahu (postupnˇe pro n = 2, 3, 4, . . .) odvod´ıme, a pot´e indukc´ı ovˇeˇr´ıme, ˇze sn = arctg n+1 . Odtud pak snadno n π s = lim arctg = arctg 1 = . n→∞ n+1 4
B. Konvergence ˇ rad Pˇred uveden´ım pˇr´ıklad˚ u pˇripomeˇ nme dvˇe d˚ uleˇzit´e limity, kter´e maj´ı pˇri posuzov´an´ı konvergence ˇrad pomoc´ı limitn´ıch krit´eri´ı velk´ y v´ yznam. Plat´ı k k k+1 k+a lim = e, obecnˇeji lim = ea pro kaˇzd´e re´aln´e a, k→∞ k→∞ k k a d´ale lim
k→∞
√ k
k = 1,
obecnˇeji
lim
k→∞
√ k
ka = 1
pro kaˇzd´e re´aln´e a.
Vzorov´ e pˇ r´ıklady: 1.8. Pˇ r´ıklad. Zjistˇete, pro kter´ a re´ aln´ a p konverguje ˇrada ∞ X 1 1 1 = 1 + p + p + ... . kp 2 3
k=1
´ FSI VUT v Brnˇe UM
ˇ ıseln´e ˇrady - ˇreˇsen´e pˇr´ıklady C´
3
ˇ sen´ı: Pˇredevˇs´ım poznamenejme, ˇze ˇrada m´a kladn´e ˇcleny. Pro p ≤ 0 nen´ı splnˇena nutn´a podm´ınka Reˇ konvergence (tj. vztah lim ak = 0) a ˇrada diverguje. Pro p > 0 uˇzijeme integr´aln´ı krit´erium (v´ ypoˇctem k→∞ p −p se pˇresvˇedˇcte, ˇze obˇe limitn´ı krit´eria selh´ avaj´ı, tj. L = 1). Zde je f (x) = 1 x = x . Pro x > 0 a p > 0 je to klesaj´ıc´ı a kladn´ a funkce. Pro p 6= 1 plat´ı 1 Z t t−p+1 1 pro p > 1, p−1 < ∞ x−p dx = + = lim t→∞ 1 ∞ pro p < 1. 1−p p−1 Pro p > 1 tedy dan´ a ˇrada konverguje podle integr´aln´ıho krit´eria. Pro p < 1 pak ˇrada diverguje podle t´ehoˇz krit´eria. Pˇr´ıpad p = 1 mus´ıme z integraˇcn´ıch d˚ uvod˚ u posoudit zvl´aˇst’. Nejprve vˇsak poznamenejme, ˇze pro p = 1 je ˇrada tvaru ∞ X 1 1 1 = 1 + + + ... , k 2 3 k=1
coˇz je ˇrada harmonick´ a. Pomoc´ı integr´ aln´ıho krit´eria snadno urˇc´ıme divergenci t´eto ˇrady. Plat´ı totiˇz Rt
1 t→∞ 1 x
lim
dx = lim (ln t) = ∞ . t→∞
∞ P ˇ Rada 1 k p tedy konverguje pro p > 1 a diverguje pro p ≤ 1. Pˇritom pro vˇsechna p > 0 je splnˇena k=1
nutn´a podm´ınka konvergence. 1.9. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci ˇci divergenci ˇrady ∞ X k=1
1 1 1 1 = + + + ... . ln(k + 1) ln 2 ln 3 ln 4
ˇ sen´ı: Rada ˇ Reˇ m´ a opˇet kladn´e ˇcleny. Protoˇze k + 1 > ln(k + 1), plat´ı 1 1 > . ln(k + 1) k+1 ∞ ∞ P P ˇ Rada 1 (k + 1) podle pˇr´ıkladu 1.8 diverguje, takˇze podle srovn´avac´ıho krit´eria ˇrada 1 ln(k + 1) k=1
k=1
tak´e diverguje. 1.10. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady ∞ X 2k k=1
k!
=2+2+
4 2 + + ... . 3 3
ˇ sen´ı: Jedn´ Reˇ a se o ˇradu s kladn´ ymi ˇcleny. Pomoc´ı limitn´ıho pod´ılov´eho krit´eria urˇc´ıme ak+1 2k+1 k! 2 = lim = lim = 0. k→∞ ak k→∞ (k + 1)! 2k k→∞ k + 1
L = lim
Protoˇze L = 0 < 1, ˇrada konverguje. 1.11. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady ∞ X k=1
k 1 2 3 = + + + ... . arctg 2 arctg 2 32 arctg 3 43 arctg k 1 + k1
´ FSI VUT v Brnˇe UM
ˇ ıseln´e ˇrady - ˇreˇsen´e pˇr´ıklady C´
4
ˇ sen´ı: Rada ˇ Reˇ m´ a kladn´e ˇcleny a vzhledem ke tvaru ak zvol´ıme limitn´ı odmocninov´e krit´erium. Nejprve vypoˇcteme odmocninu s √ k √ k k k ak = k = arctg 1 + k1 arctgk 1 + k1 a pak urˇc´ıme limitu L = lim
k→∞
Protoˇze lim
k→∞
√ k
√ k
√ k
ak = lim
k→∞
k . arctg 1 + k1
k = 1, plat´ı √ k
L = lim
k→∞
k 1 4 1 = arctg 1 = π > 1 . arctg 1 + k
Dan´a ˇrada tedy diverguje podle limitn´ıho odmocninov´eho krit´eria. 1.12. Pˇ r´ıklad. Vyˇsetˇrete, zda konverguje ˇrada ∞ X 1 2 k! = 1 + + + ... . kk 2 9
k=1
ˇ sen´ı: Pro posouzen´ı konvergence t´eto ˇrady s kladn´ Reˇ ymi ˇcleny zvol´ıme limitn´ı pod´ılov´e krit´erium. Nejprve uprav´ıme pod´ıl k ak+1 kk k (k + 1) ! k k = = = . ak (k + 1)k+1 k ! (k + 1)k k+1 k = e dost´av´ame Pak pomoc´ı vztahu lim k+1 k k→∞
ak+1 L = lim = lim k→∞ ak k→∞
a tedy podle limitn´ıho pod´ılov´eho krit´eria ˇrada
k k+1 ∞ P k=1
k
k! kk
= lim
k→∞
1 k ( k+1 k )
=
1 < 1, e
konverguje.
1.13. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci nebo divergenci ˇrady ∞ X k=2
sin
π π π π = sin + sin + sin + .... k2 4 9 16
ˇ sen´ı: Dan´a ˇrada m´ Reˇ a kladn´e ˇcleny. Vzhledem k nerovnosti 0 < sin x < x pro x > 0 vyzkouˇs´ıme srovn´avac´ı krit´erium. Plat´ı tedy π π sin 2 < 2 pro k = 2, 3, . . . . k k ∞ ∞ P P π 1 ˇ Rada sak konvergentn´ı (viz pˇr´ıklad 1.8), a podle srovn´avac´ıho krit´eria je tedy i ˇrada k2 = π k2 je vˇ ∞ P k=2
k=2
sin
π k2
k=2
konvergentn´ı.
1.14. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci, resp. absolutn´ı konvergenci ˇrady ∞ X k=1
1 3 4 (−1)k+1 ln 1 + = ln 2 − ln + ln − . . . . k 2 3
´ FSI VUT v Brnˇe UM
ˇ ıseln´e ˇrady - ˇreˇsen´e pˇr´ıklady C´
5
ˇ sen´ı: Dan´ Reˇ a ˇrada je alternuj´ıc´ı, proto ovˇeˇr´ıme pˇredpoklady Leibnizova krit´eria. Plat´ı 1 k+1 lim (−1) ln 1 + =0 k→∞ k (ˇcleny ˇrady konverguj´ı k nule) a d´ ale 1 1 ln 1 + > ln 1 + k k+1 (absolutn´ı hodnoty ˇclen˚ u ˇrady tvoˇr´ı klesaj´ıc´ı posloupnost). Podle Leibnizova krit´eria tedy uveden´a ˇrada konverguje. Posoud´ıme absolutn´ı konvergenci, tj. konvergenci ˇrady absolutn´ıch hodnot X ∞ ∞ X 1 (−1)k+1 ln 1 + 1 = ln 1 + . k k k=1
k=1
To je vˇsak podle pˇr´ıkladu 1.3 divergentn´ı ˇrada, a proto je konvergence p˚ uvodn´ı ˇrady pouze neabsolutn´ı (relativn´ı). ˇ asteˇ C´ cnˇ eˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: ∞ P
1.15. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady
k=1
(k !)2 (2k)! .
ˇ sen´ı: Uˇzijeme limitn´ı pod´ılov´e krit´erium. Nejprve uprav´ıme v´ Reˇ yraz ak+1 /ak jako [(k + 1)!]2 (2k)! k+1 (k + 1)2 · = ; = 2 [2(k + 1)]! (k !) (2k + 2)(2k + 1) 2(2k + 1) odtud lim ak+1 /ak = 14 , a ˇrada tedy konverguje. k→∞
∞ P
1.16. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady
k=1
k3 ek
.
ˇ sen´ı: Pomoc´ı limitn´ıho odmocninov´eho krit´eria m´ame Reˇ lim
√ k
k→∞
ak =
1 < 1, e
ˇrada tedy konverguje. ∞ P
1.17. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady
k=1
ln k k2
.
ˇ sen´ı: Na z´ Reˇ akladˇe integr´ aln´ıho krit´eria posuzujeme konvergenci nevlastn´ıho integr´alu tuc´ı t = ln x jej pˇrevedeme na
R∞
R∞ ln x 1
x2
dx. Substi-
t e−t dt. Konvergenci tohoto integr´alu lze povaˇzovat za samozˇrejmou;
0
ˇ m˚ uˇzeme ji ovˇeˇrit napˇr. pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem metodou per partes. Rada proto konverguje (napˇr. podle integr´aln´ıho krit´eria). 1.18∗ . Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady
∞ P k=1
sin k1 .
ˇ sen´ı: Nab´ız´ı se srovn´ Reˇ an´ı s divergentn´ı harmonickou ˇradou. Provedeme proto odhad sin x ≥ π2 x pro vˇsechna x ∈ h0, π/2i (nakreslete si obr´ azek). Protoˇze 1/k ∈ h0, π/2i pro vˇsechna k = 1, 2, . . ., m´ame sin k1 ≥ π2 · k1 pro vˇsechna k = 1, 2, . . . . Divergence dan´e ˇrady tedy plyne ze srovn´avac´ıho krit´eria. 1.19. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete o konvergenci, resp. absolutn´ı konvergenci ˇrady
∞ P k=2
´ FSI VUT v Brnˇe UM
(−1)k k ln k
.
ˇ ıseln´e ˇrady - ˇreˇsen´e pˇr´ıklady C´
6
ˇ sen´ı: Konvergenci ˇrady snadno ovˇeˇr´ıme uˇzit´ım Leibnizova krit´eria. Konvergenci ˇrady absolutn´ıch hodReˇ ∞ R∞ dx P 1 not eˇr´ıme integr´ aln´ım krit´eriem. Integr´al c´ıt´ame substituc´ı t = ln x, po jej´ımˇz k ln k provˇ x ln x poˇ k=2
2
proveden´ı snadno rozhodneme o divergenci tohoto integr´alu. Dan´a ˇrada tedy konverguje pouze neabsolutnˇe (relativnˇe).
C. Pˇ ribliˇ zn´ e souˇ cty ˇ rad Vzorov´ e pˇ r´ıklady: 1.20. Pˇ r´ıklad. Ukaˇzte, ˇze ˇrada
∞ X 1 1 1 1 = + + + ... k2k 2 8 24
k=1
konverguje, a odhadnˇete chybu, kter´e se dopust´ıte pˇri n´ahradˇe souˇctu s t´eto ˇrady hodnotou s10 . ˇ sen´ı: Konvergenci ˇrady lze snadno uk´ Reˇ azat napˇr. uˇzit´ım pod´ılov´eho nebo odmocninov´eho krit´eria. Pro odhad chyby pak plat´ı R10 =
∞ X k=11
∞ k 1 1 X 1 1 −10 < = 2 = 0, 000089. k2k 11 2 11 k=11
Aproximujeme-li tedy hodnotu souˇctu s dan´e ˇrady hodnotou ˇc´asteˇcn´eho souˇctu s10 =
10 X 1 = 0, 693065, k2k
k=1
pak chyba t´eto aproximace nepˇrev´ yˇs´ı hodnotu 0, 000089 < 10−4 . Poznamenejme, ˇze pˇresn´a hodnota souˇctu s t´eto ˇrady ˇcin´ı s = ln 2 ≈ 0, 693147. 1.21. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete, kolik ˇclen˚ u ˇrady je tˇreba seˇc´ıst, aby ˇc´asteˇcn´ y souˇcet sn ˇrady ∞ X 1 1 1 =1+ + + ··· 3 k 8 27
k=1
aproximoval pˇresn´ y souˇcet t´eto ˇrady s chybou menˇs´ı neˇz 10−4 . ˇ sen´ı: O konvergenci t´eto ˇrady jsme rozhodli v pˇr´ıkladu 1.8 pomoc´ı integr´aln´ıho krit´eria. V pˇr´ıpadˇe Reˇ uˇzit´ı tohoto krit´eria plat´ı odhad chyby Z ∞ Z ∞ 1 1 |Rn | ≤ f (x) dx = dx = 2 . 3 x 2n n n Odtud
√ 1 ≤ 10−4 ⇔ n2 ≥ 5000 ⇔ n ≥ 5000 ≈ 71. 2 2n K naplnˇen´ı poˇzadovan´e pˇresnosti je tˇreba seˇc´ıst alespoˇ n 71 sˇc´ıtanc˚ u dan´e ˇrady. 1.22. Pˇ r´ıklad. Urˇcete pˇribliˇznou hodnotu souˇctu ˇrady ∞ X (−1)k k=2
k ln k
=
1 1 1 − + − ··· 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4
s chybou menˇs´ı neˇz 10−1 .
´ FSI VUT v Brnˇe UM
ˇ ıseln´e ˇrady - ˇreˇsen´e pˇr´ıklady C´
7
ˇ sen´ı: Podle pˇr´ıkladu 1.19 tato ˇrada konverguje, ponˇevadˇz splˇ Reˇ nuje pˇredpoklady Leibnizova krit´eria. Pak plat´ı jednoduch´ y odhad chyby ve tvaru 1 . (n + 1) ln(n + 1)
|Rn | ≤ |an+1 | = Protoˇze
odtud
1 ≤ 10−1 (n + 1) ln(n + 1) ∞ X (−1)k k=2
k ln k
≈
⇔
(n + 1) ln(n + 1) ≥ 10
⇔
n ≥ 5,
1 1 1 1 − + − ≈ 0, 5 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4 5 ln 5
s pˇresnost´ı na 1 desetinn´e m´ısto. ˇ asteˇ C´ cnˇ eˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: ∞ P
1.23. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete, kolik ˇclen˚ u ˇrady pˇresnou hodnotu s s chybou menˇs´ı neˇz 10−4 .
k=1
2 k2 +1
je tˇreba seˇc´ıst, aby ˇc´asteˇcn´ y souˇcet sn aproximoval
ˇ sen´ı: Rada ˇ Reˇ konverguje napˇr. podle integr´aln´ıho krit´eria. Pak Z ∞ π − 10−4 2 −4 dx = π − 2 arctg n ≤ 10 ⇔ n > tg ≈ 2 · 104 . |Rn | ≤ x2 + 1 2 n
1.24. Pˇ r´ıklad. Rozhodnˇete, kolik ˇclen˚ u ˇrady
∞ P
(−1)k+1 (2k+1)!
k=1 −4
moval pˇresnou hodnotu s s chybou menˇs´ı neˇz 10
je tˇreba seˇc´ıst, aby ˇc´asteˇcn´ y souˇcet sn aproxi-
.
ˇ sen´ı: Rada ˇ Reˇ konverguje podle Leibnizova krit´eria (konverguje dokonce absolutnˇe - provˇeˇrte), tedy |Rn | ≤
1 1 = ≤ 10−4 [2(n + 1) + 1] ! (2n + 3) !
1.25. Pˇ r´ıklad. Pomoc´ı vztahu ln n < 1 + ∞ P 1/k je tˇreba seˇc´ıst, aby sn > 100.
1 2
⇔
n ≥ 3.
+ · · · n1 < 1 + ln n rozhodnˇete, kolik ˇclen˚ u harmonick´e ˇrady
k=1
ˇ sen´ı: Reˇ sn = 1 +
1 1 · · · > ln n > 100 ⇔ n > e100 ≈ 2, 7 · 1043 . 2 n
´ FSI VUT v Brnˇe UM
