Planimetrie. Obsah. Stránka 668

Planimetrie

Planimetrie Obsah 3.

Planimetrie ..................................................................................................................... 669

3.1.

Úhel ............................................................................................................................. 669

3.2.

Pravidelné mnohoúhelníky .......................................................................................... 672

3.3.

Pythagorova věta a Eukleidovy věty – konstrukce úseček.......................................... 678

3.4.

Euklidovy věty, pravoúhlý trojúhelník ........................................................................ 683

3.5.

Obvody a obsahy rovinných útvarů ............................................................................ 703

3.6.

Obvodový a středový úhel........................................................................................... 738

3.7.

Množiny bodů dané vlastnosti..................................................................................... 742

3.8.

Konstrukce trojúhelníku – polohové úlohy ................................................................. 747

3.9.

Konstrukce trojúhelníku – nepolohové úlohy ............................................................. 777

3.10.

Konstrukce čtyřúhelníků.......................................................................................... 787

3.11.

Shodná a podobná zobrazení v rovině ..................................................................... 791

Stránka 668

Planimetrie 3. Planimetrie 3.1. Úhel 1. Na obrázku jsou přímky a, b, c, d, pro které platí, že a c a je známa velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývajících úhlů , , .

Řešení:   180  135  45   180  103  77   180  103  77 2. Na obrázku jsou přímky a, b, c, d, pro které platí, že a c a je známa velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývajících úhlů , , .

Řešení:   180  72  108   65     108 3. Na obrázku jsou přímky a, b, c, d, pro které platí, že a c a je známa velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývajících úhlů , , .

Stránka 669

Planimetrie

Řešení:   180  70  110

  180  125  55   108   55  70   55 4. Na obrázku jsou přímky a, b, c, d, pro které platí, že a c a je známa velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývajících úhlů , , .

Řešení:   180   50  68   62

  68   180  62  118 5. Na obrázku jsou přímky a, b, c, d, e pro které platí, že a e a  b a je známa velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývajících úhlů , , .

Řešení:   180  29  151   180    180  151  29   180  29  151

Stránka 670

Planimetrie 6. Na obrázku jsou přímky a, b, c, d, e pro které platí, že a e , a  b a je známa velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývajících úhlů  a .

Řešení:   180   90  44   46

  180    35   180   46  35   99 7. Na obrázku jsou přímky a, b, c, d, e pro které platí, že a e , a  b a je známa velikost dvou úhlů. Určete velikost zbývajících úhlů , ,  .

Řešení:   180  150  30     30

  180    23   127     23  53

Stránka 671

Planimetrie 3.2. Pravidelné mnohoúhelníky 1. Určete počet úhlopříček v pravidelném mnohoúhelníku s uvedeným počtem vrcholů. a) n  10 c) n  100 b) n  25 d) n  18 Řešení: a) n  10 1 u   n  n  3 2 1 u  10 10  3  5  7  35 2 b) n  25

c)

d)

1 u   25  25  3  275 2 n  100 1 u  100 100  3  4850 2 n  18 1 u  18 18  3  135 2

2. Určete počet vrcholů pravidelného mnohoúhelníku s uvedeným počtem úhlopříček. a) u  90 c) u  10 b) u  740 d) u  209 Řešení: a) u  90 1 n  n  3 2 2u  n 2  3n

u

n 2  3n  2u  0 n 2  3n  2  90  0 3  9  4 180 2 n1  15   n2  12  N  nevyhovuje zadání  u  740 n1,2 

b)

n 2  3n  2u  0 n 2  3n  2  740  0 3  9  4 1480 2 n1  40   n2  37  N  nevyhovuje zadání  n1,2 

Stránka 672

Planimetrie c)

u  10 n 2  3n  2 10  0 3  9  4  20 2 3  89  N  nevyhovuje zadání 2 u  209 n1,2 

d)

n 2  3n  2  209  0 3  9  4  418 2 n1  22   n2  19  N  nevyhovuje zadání  n1,2 

3. Určete počet úhlopříček pravidelného mnohoúhelníku, jehož středový úhel má velikost: a)   24 c)   18 b)   15 d)   72 Řešení: a)   24 360 n  15 24 1 u  15 15  3  90 2 b)   15

360  24 15 1 u   24  24  3  252 2   18 n

c)

360  20 18 1 u   20  20  3  170 2 d)   72 360 n 5 72 1 u   5  5  3  5 2 n

4. Určete velikost vnitřního úhlu v pravidelném mnohoúhelníku s uvedeným počtem vrcholů. a) n  10 c) n  22 b) n  100 d) n  35

Stránka 673

Planimetrie Řešení: a) n  10

180 n   8 18  144 b) n  100 180   100  2   100   98 1,8  176,4 c) n  22

   n  2 

   22  2     20  d)

n  35

180  163,63 22

   35  2     33 

180 22

180 35

180 169,71 35

5. Určete počet vrcholů pravidelného mnohoúhelníku, jehož vnitřní úhel má velikost: a)   108 c)   140 b)   156 d)   162 Řešení: a)   108

180 n 180 108   n  2   n 108n  180n  360

   n  2 

72n  360 360 5 72 b)   156 n

180 n 156n  180n  360 156   n  2   24n  360 n

360  15 24

Stránka 674

Planimetrie c)

  140 180 n 140n  180n  360 140   n  2   40n  360

360 9 40 d)   162 n

180 n 162n  180n  360 162   n  2   18n  360 n

360  20 18

6. Určete počet úhlopříček pravidelného mnohoúhelníku, jehož vnitřní úhel má velikost: a)   150 c)   160 b)   156 d)   168 Řešení: a)   150

180 n 150n  180n  360 150   n  2   30n  360 360  12 30 1 u  12 12  3  6  9 2 u  54 b)   156 180 156   n  2   n 156n  180n  360 n

24n  360 360  15 24 1 u  15 15  3  90 2 n

Stránka 675

Planimetrie c)

  160 180 n 160n  180n  360 160   n  2   20n  360

360  18 20 1 u  18 18  3  135 2 d)   168 180 168   n  2   n 168n  180n  360 n

12n  360 360  30 12 1 u   30  30  3  405 2 n

7. Určete středový úhel pravidelného mnohoúhelníku, jehož vnitřní úhel má velikost: a)   90 c)   144 b)   120 d)   135 Řešení: a)   90

180 n 90n  180n  360 90n  360 360 n 4 90   360 : 4  90 b)   120 180 120   n  2   n 120n  180n  360 60n  360 360 n 6 60   360 : 6  60 90   n  2  

Stránka 676

Planimetrie c)

  144

180 n 144n  180n  360 36n  360 360 n  10 36   360 :10  36 d)   135 180 135   n  2   n 135n  180n  360 45n  360 360 n 8 45   360 : 8  45 144   n  2  

Stránka 677

Planimetrie 3.3. Pythagorova věta a Eukleidovy věty – konstrukce úseček 1. Sestrojte úsečku dané délky pomocí Pythagorovy věty. Jednotku volte délky 1 cm: c) 18 a) 12 e) 24 b) 15 f) 26 d) 20 Řešení: a)

12  16  4 12  16  4 b 2  c 2  a 2  c  4 cm, a  2 cm, b  12 cm

b)

15  16  1 15  16  1 b 2  c 2  a 2  c  4 cm, a  1 cm, b  15 cm

c)

18  9  9 18  9  9 c 2  a 2  b2  c 

18 cm, a  3 cm, b  3 cm

d)

20  16  4 20  16  4 c2  a 2  b2  c 

20 cm, a  4 cm, b  2 cm

e)

24  25  1 24  25  1 b 2  c 2  a 2  c  5 cm, a  1 cm, b  24 cm

Stránka 678

Planimetrie f)

26  25  1 26  25  1 c 2  a 2  b2  c 

26 cm, a  5 cm, b  1 cm

2. Sestrojte úsečku dané délky pomocí Euklidovy věty o výšce. Jednotku volte délky 1 cm: c) 18 a) 12 e) 24 b) 15 f) 26 d) 20 Řešení: a) 12  4  3 12  4  3 vc 2  ca  cb  vc 

12 cm, ca  4 cm, cb  3 cm

b) 15  5  3 15  5  3 vc 2  ca  cb  vc 

15 cm, ca  5 cm, cb  3 cm

c) 18  6  3 18  6  3 vc 2  ca  cb  vc 

18 cm, ca  6 cm, cb  3 cm

Stránka 679

Planimetrie d) 20  5  4 20  5  4 vc 2  ca  cb  vc 

20 cm, ca  5 cm, cb  4 cm

e) 24  6  4 24  6  4 vc 2  ca  cb  vc 

24 cm, ca  6 cm, cb  4 cm

Stránka 680

Planimetrie f) 26  13  2 26  13  2 vc 2  ca  cb  vc 

26 cm, ca  13 cm, cb  2 cm

3. Sestrojte úsečku dané délky pomocí Euklidovy věty o odvěsně. Jednotku volte délky 1 cm: c) 18 24 a) 12 e) b) 15 f) 26 d) 20 Řešení: a) 12  4  3 12  4  3 a 2  c  ca  a 

12 cm, c  4 cm, ca  3 cm

b) 15  5  3 15  5  3 a 2  c  ca  a 

15 cm, c  5 cm, ca  3 cm

c) 18  6  3 18  6  3 a 2  c  ca  a 

18 cm, c  6 cm, ca  3 cm

Stránka 681

Planimetrie d) 20  5  4 20  5  4 a 2  c  ca  a 

20 cm, c  5 cm, ca  4 cm

e) 24  6  4 24  6  4 a 2  c  ca  a 

24 cm, c  6 cm, ca  4 cm

f) 26  13  2 26  13  2 a 2  c  ca  a 

26 cm, c  13 cm, ca  2 cm

Stránka 682

Planimetrie 3.4. Euklidovy věty, pravoúhlý trojúhelník 1. Vypočítejte zbývající prvky v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, je-li dáno c = 12 cm, cb = 8 cm. (a, b, v, α, β) Řešení: a) a) Výpočet strany b: b  c  cb

b  12  8  9,8 cm

b) b) Výpočet strany a: c  ca  cb

ca  c  cb ca  12  8  4 cm a  c  ca a  12  4  6,93 cm c) c) Výpočet výšky v: v  ca  cb

v  4  8  5, 66 cm d) d) Výpočet úhlu α: a sin   c 6,93 sin    0,58 12   3516´ e) e) Výpočet úhlu β:     90

  90  3516´ 5444´ 2. Vypočítejte zbývající prvky v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, je-li dáno a = 6 cm, v = 4,5 cm. (b, c, ca, cb, α, β) Řešení: a) f) Výpočet ca – vycházíme z pravoúhlého trojúhelníku BPC (Pythagorova věta): ca2  a 2  v 2

ca2  62  4,52  15, 75 ca  3,97 cm

Stránka 683

Planimetrie b) a) Výpočet strany c (Euklidova věta o odvěsně): a 2  c  ca

a2 62 c   9, 07 cm ca 3,97 c) b) Výpočet cb: c  ca  cb cb  c  ca  9, 07  3,97  5,1 cm d) c) Výpočet strany b: b  c  cb b  9, 07  5,1  6,8 cm e) d) Výpočet úhlů: a sin   c 6 sin   9, 07   4124´

    90   90  4124´ 4836´ 3. V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou délky odvěsen a = 7,2 cm, b = 10,4 cm. Vypočtěte: a) délky úseků přepony b) výšku k přeponě c Řešení: a) c 2  a 2  b 2 c  7, 22  10, 42  12, 65 cm a 2  c  ca a2 c 7, 22 ca   4,1 cm 12, 65 cb  c  ca ca 

cb  12, 65  4,1  8,55 cm

b)

v 2  a 2  ca2 v  7, 22  4,12  5,92 cm

Stránka 684

Planimetrie 4. Úseky přepony pravoúhlého trojúhelníku mají délky ca = 6 cm, cb = 24 cm. Určete: a) výšku trojúhelníku b) délky jeho odvěsen. Řešení: a) v  c  c c a b

vc  6  24  12 cm

b)

c  ca  cb c  6  24  30 cm a  c  ca a  30  6  180  13, 42 cm b  c  cb b  30  24  26,83 cm

5. Pravoúhlý trojúhelník má délku odvěsny 24 cm a délku přepony 30 cm. Vypočítejte výšku trojúhelníku. Řešení: a  c  ca a 2  c  ca a2 c 242 ca   19, 2 cm 30 v 2  a 2  ca2 ca 

v 2  242  19, 22  14, 4 cm

Výška trojúhelníku je 14,4 cm. 6. Pravoúhlý trojúhelník ABC má přeponu c = 30 cm a výšku vc = 12 cm. Jak velké úseky vytíná výška vc na přeponě c? Řešení:

Stránka 685

Planimetrie  2 2 2   vc   c  cb   cb  12   30  cb   cb  144  30cb  cb c  ca  cb  ca  c  cb  cb2  30cb  144  0

vc2  ca  cb

D   30   4 144  324 2

30  324 2 30  18 cb1   24 cm 2 30  18 cb 2   6 cm 2

cb1,2 

Jednotlivé úseky mají délky 6 a 24 cm. 7. Průměr kmene je 80 cm. Je možné z něj vytesat čtverec o straně 65 cm? Řešení: d  80 cm

a  65 cm u  a 2  a 2  2a 2  a 2 u  65 2  91,92 cm d u Tento čtverec se do dané kružnice nevejde. 8. Řešte trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, je-li dáno: a) c  45 cm,   4730´ b) b  58 mm,   3420´ c) a  364 cm,   1720´ d) c  16,9 cm,   65 e) a  12,6 cm,   3812´ Řešení: a)

a c a  c  sin  a  45  sin 4730´ 33,18 cm

sin  

b2  c2  a 2 b  452  33,182  30, 4 cm

  90  4730´ 4230´ a  33,18 cm, b  30, 4 cm,   4230´

Stránka 686

Planimetrie b)

sin  

b c

b sin  58 c  102,84 cm sin 3420´ c

a  c2  b2 a  102,842  582  84,92 cm

  90  3420´ 5540´ c)

a  84,92 cm, c  102,84 cm,   5540´ a cos   c a c cos  364 c  381,32 cm cos1720´ b  c2  a2 b  381,322  3642  113, 62 cm

  90  1720´ 7240´ d)

b  113, 62 cm, c  381,32 cm,   7240´ b sin   c b  c  sin  b  16,9  sin 65  15,32 cm a  c2  b2 a  16,92  15,322  7,13 cm

  90  65  25 e)

a  7,13 cm, b  15,32 cm,   25 b tg   a b  a  tg  b  12, 6  tg 3812´ 9,92 cm c  a 2  b2 c  12, 62  9,922  16 cm

  90  3812´ 5148´ b  9,92 cm, c  16 cm,   5148´

Stránka 687

Planimetrie 9. Řešte trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, je-li dáno: a) a  15, 4 cm, b  20,6 cm b) a  13,5 cm, c  28, 4 cm c) b  6,7 cm, c  15,8 cm Řešení: a)

a b 15, 4 tg    0, 75 20, 6   3647´ tg  

c  a 2  b2 c  15, 42  20, 62  25, 72 cm

  90  3647´ 5313´ c  25, 72 cm,   3647´,   5313´ b)

a c 13,5 sin    0, 48 28, 4   2823´   90  2823´ 6137´ sin  

b  c2  a2 b  28, 42  13,52  24,99 cm

  2823´,   6137´, b  24,99 cm c)

b c 6, 7 cos    0, 42 15,8   6454´   90  6454´ 256´ cos  

a  c2  b2 a  15,82  6, 7 2  14,31 cm a  14,31 cm,   6454´,   256´ 10. V rovnoramenném trojúhelníku ABC o základně c určete zbývající strany, úhly a výšku na stranu c, je-li dáno: a) a  14 cm, c  12 cm b) a  7,6 cm,   11552´ c) c  15,6 cm,   4215´

Stránka 688

Planimetrie Řešení: a) a  14 cm, c  12 cm c  12 cm

c 2 12 PB   6 cm 2 PB 

b)

c)

v  142  62  12, 65 cm 6 cos    0, 43 14   6437´     6437´   180  2  5046´ v  12, 65 cm,     6437´ a  7,6 cm,   11552´ 180  11552´    2     324´ v sin   b v sin 324´ 7, 6 v  7, 6  sin 324´ 4, 03 cm c  7, 62  4, 032  6, 44 2 c  2  6, 44  12,88 cm     324´, v  4, 03 cm, c  12,88 cm c  15,6 cm,   4215´     4215´

  180  2  4215´ 9530´ v c   2 v tg 4215´ 7,8 v  7,8  tg 4215´ 7, 09 cm tg  

a 2  7, 092  7,82  a  10,54 cm b  a  10,54   9530´, v  7,09 cm, a  10,54 cm, b  10,54 cm

Stránka 689

Planimetrie 11. Určete plošný obsah pravoúhlého trojúhelníku, je-li dáno c  42,6 cm,   2840´ . Řešení:

ab 2 a sin  c a sin 2840´  a  42, 6  sin 2840´ 20, 46 cm 42, 6 b cos   c b cos 2840´  b  42, 6  cos 2840´ 37,38 cm 42, 6 20, 46  37,38 S  382, 4 cm 2 2 S

Obsah trojúhelníku je 382,4 cm2 12. V pravoúhlém trojúhelníku je dáno S  99,54 cm2 ,   5126´ . Vypočtěte délku přepony. Řešení:

a b a b   99,54   199, 08  a  b  2 2   199, 08  1, 25  b  b a a a tg    tg 5126´  1, 25   a  1, 25  b   b b b S

b

199, 08  12, 6 cm 1, 25

a  1, 25 12, 6  15, 75 cm c  a 2  b2 c  15, 752  12, 62  20,17 cm Přepona měří 20,17 cm.

Stránka 690

Planimetrie 13. V pravoúhlém trojúhelníku je dáno S  48,18 cm2 ,   2856´ . Vypočtěte délku přepony. Řešení:

a b a b   48,18   96,36  a  b  2 2   96,36  a  b  96,36  a  0,55  a b b b tg    tg 2856´  0,55   b  0,55  a   a a a S

a

96,36  13, 24 cm 0,55

b  0,55  a b  0,55 13, 24  7, 23 cm c  a 2  b2 c  13, 242  7, 232  15, 08 cm Přepona měří 15,08 cm. 14. Silnice má stoupání 12,3 %. Jaký je úhel stoupání? Řešení: 12,3 100 tg   0,123   7 tg  

Úhel stoupání je 7 .

15. Žebřík dlouhý 3,8 m je přiložen ke zdi pod úhlem   32 . Jak vysoko žebřík dosáhne? Řešení: x 3,8 x  3,8  sin 32  20,14

sin 32 

Žebřík dosáhne do výšky 20,14 m.

Stránka 691

Planimetrie 16. Úhlopříčky obdélníku svírají úhel 56 , delší strana měří 250 mm. Vypočtěte obsah obdélníku. Řešení:

  180  56  124  2

 62

125 250 250  tg 62  b  133 cm b b tg62 2 S  a b

tg 62 

S  250 133  33250 cm 2

Obsah obdélníku je 33 250 mm2. 17. Z pozorovací věže byla spatřena loď v hloubkovém úhlu   132´ , výška věže je 45,5 m. Jak daleko je loď od věže? Řešení:

45,5 x 45,5 x  1699, 78 m tg 132´

tg 132´

Loď je od věže vzdálená 1 699,78 m. 18. Profil příkopu je rovnoramenný lichoběžník. Hloubka příkopu je 2,85 m. Boční stěny mají od vodorovné roviny odchylku   36 . Dolní šířka příkopu je 4,25 m. Vypočtěte horní šířku příkopu. Řešení:

2,85 x 2,85 x  3,92 m tg 36 c  2  x  4, 25 c  2  3,92  4, 25  12, 09 m

tg 36 

Horní šířka příkopu je 12,09 m.

Stránka 692

Planimetrie 19. Vodorovná vzdálenost dvou bodů na silnici je 270 m. Jejich výškový rozdíl je 33 m. V jakém úhlu stoupá silnice? Řešení: 33 270 tg   0,122   658´ tg  

Silnice stoupá pod úhlem 658´ . 20. Vypočtěte úhlopříčky kosočtverce, je-li jeho obsah 640 cm2 a poměr úhlopříček je 5 : 4. Řešení: u1 : u2  5 : 4  u1  5 x  u2  4 x

u1  u2 2 5x  4 x 1280 640   1280  20 x 2  x  8 2 20 u1  5  8  40 cm S

u2  4  8  32 cm Délky úhlopříček jsou 40 cm a 32 cm. 21. Štít střechy tvaru rovnoramenného trojúhelníku má výšku 6 m. Sklon střechy je 40°. Vypočítejte šířku střechy. Řešení:

6 12  c c 2 12 c  14,3 m tg 40

tg 40 

Střecha má šířku 14,3 m. 22. Rovné prkno je opřeno o zeď ve výšce 1,6 m. Jaký úhel svírá prkno s podlahou, je-li jeho délka 2,3 m. Řešení: 1, 6  0, 7 2,3   44 Prkno svírá s podlahou úhel 44°. sin  

Stránka 693

Planimetrie 23. V jakém úhlu stoupá schodiště, jehož schody jsou 28 cm široké a 15 cm vysoké? Řešení: 15  0,54 28   2810´

tg  

Schodiště stoupá pod úhlem 28°10´.

24. Z rozhledny vysoké 16 m a 52 m vzdálené od kraje řeky je vidět řeka pod zorným úhlem 8°. Jak je řeka široká? Řešení:

16 52   176´   90  176´ 7254´  ´   8

tg  

 ´ 7254´8´ 8054´ b  52  x b tg  ´ 16 b  16  tg 8054´ 99,89 m x  99,89  52  47,89 m Řeka je široká 47,89 m. 25. Jak velký úhel svírá úhlopříčka obdélníku o stranách 21,6 cm a 16,4 cm s kratší stranou? Řešení: 21, 6  1,32 16, 4   5247´

tg  

Úhlopříčka se stranou svírají úhel 52°47´.

Stránka 694

Planimetrie 26. Lanovka má přímou trať délky 1250 m a stoupá pod úhlem 39°. Jaký je výškový rozdíl horní a dolní stanice? Řešení: v 1250 v  1250  sin 39  786, 65 m

sin 39 

Výškový rozdíl mezi stanicemi je 786,65 m.

27. Jak vysoká je budova vrhající stín dlouhý 38,6 m, dopadají-li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 31°? Řešení:

v 38, 6 v  38, 6  tg 31  23,19 m

tg 31 

Budova je vysoká 23,19 m. 28. Obsah pravoúhlého trojúhelníku je 204 cm2, odvěsna a = 17 cm. Vypočítej velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku. Řešení: a b 17  b 408  204  b  24 cm 2 2 17 a 17 tg    tg    0, 71    3518´ b 24   90  3518´ 5442´ S

Úhly v trojúhelníku měří 3818´ a 5442´ . 29. Tečny vedené z bodu A ke kružnici s poloměrem 58 mm svírají úhel 68°. Vypočítej vzdálenost středu S a bodu A. Řešení: 58 x 58 x  103, 72 m sin 34

sin 34 

Střed S je od bodu A vzdálen 103,72 mm.

Stránka 695

Planimetrie 30. Jak vysoká je věž, jehož špici vidí pozorovatel vysoký 186 cm ze vzdálenosti 28 m pod výškovým úhlem 53°? Řešení:

x 28 x  28  tg 53  37,16 m

tg 53 

v  x  1,86 v  37,16  1,86  39 m Věž je vysoká 39 m. 31. Z okna domu, které je ve výšce 12 m nad zemí je vidět komín cihelny. Jeho vrchol pozorujeme pod výškovým úhlem 26°, jeho patu pod hloubkovým úhlem 12°. Jak je komín vysoký? Řešení:

14 a 14 a  65,86 m tg 12 x tg 26  a x tg 26  65,86 x  65,86  tg 26  32,12 m v  x  14 v  32,12  14  46,12 m tg 12 

Komín cihelny je vysoký 46,12 m. 32. Délka ramen rovnoramenného trojúhelníku je čtyřnásobkem délky jeho základny. Vypočítej velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku. Řešení:

c c 1 cos   2   4c 8c 8   8250´  

  8250´   180  2     180  2  8250´ 1420´ Vnitřní úhly trojúhelníka měří     8250´,   1420´ .

Stránka 696

Planimetrie 33. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno: a = 3 cm, c = 5 cm. Vypočtěte b, ca, cb, vc. Řešení:

Danou úlohy řešíme užitím Pythagorovy věty c2  a 2  b2 a Eukleidových vět vc 2  ca  cb , a 2  c  ca , b2  c  cb . Odvěsnu b vypočteme užitím Pythagorovy věty: c2  a 2  b2

b2  c2  a 2 b  c2  a2 b  52  32  25  9  16  4 cm Část úseku přepony ca přilehlého k odvěsně a vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: a 2  c  ca a2 c 32 9 ca    1,8 cm 5 5 Část úseku přepony cb přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b 2  c  cb ca 

b2 c 42 16 cb    3, 2 cm 5 5 Výšku na základnu vc vypočteme užitím Eukleidovy věty o výšce: vc 2  ca  cb cb 

vc  ca  cb vc 

9 16 144 12     2, 4 cm 5 5 25 5

Stránka 697

Planimetrie 34. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno: b = 5 cm, c = 13 cm. Vypočtěte a, ca, cb, vc. Řešení:

Danou úlohy řešíme užitím Pythagorovy věty c2  a 2  b2 a Eukleidových vět vc 2  ca  cb , a 2  c  ca , b2  c  cb . Odvěsnu b vypočteme užitím Pythagorovy věty: c2  a 2  b2

a 2  c2  b2 a  c2  b2 a  132  52  169  25  144  12 cm Část úseku přepony ca přilehlého k odvěsně a vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: a 2  c  ca a2 c 122 144 ca   cm 13 13 Část úseku přepony cb přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b 2  c  cb ca 

b2 c 52 25 cb   cm 13 13 Výšku na základnu vc vypočteme užitím Eukleidovy věty o výšce: vc 2  ca  cb cb 


144 25 3600 60    cm 13 13 169 13

Stránka 698

Planimetrie 35. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno: a = 6 cm, b = 8 cm. Vypočtěte c, vc, ca, cb. Řešení:

Danou úlohy řešíme užitím Pythagorovy věty c2  a 2  b2 a Eukleidových vět vc 2  ca  cb , a 2  c  ca , b2  c  cb . Přeponu c vypočteme užitím Pythagorovy věty: c2  a 2  b2

c  a 2  b2 c  62  82  36  64  100  10 cm Část úseku přepony ca přilehlého k odvěsně a vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: a 2  c  ca

a2 c 62 36 18 ca     3, 6 cm 10 10 5 Část úseku přepony cb přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b 2  c  cb ca 

b2 c 82 64 32 cb     6, 4 cm 10 10 5 Výšku na základnu vc vypočteme užitím Eukleidovy věty o výšce: vc 2  ca  cb cb 


18 32 576 24     4,8 cm 5 5 25 5

Stránka 699

Planimetrie 36. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno: a = 5 cm, vc = 4 cm. Vypočtěte b, c, ca, cb. Řešení:

Danou úlohy řešíme užitím Pythagorovy věty c2  a 2  b2 a Eukleidových vět vc 2  ca  cb , a 2  c  ca , b2  c  cb . Část úseku přepony ca přilehlého k odvěsně a vypočteme užitím Pythagorovy věty: a 2  vc 2  ca 2

ca 2  a 2  vc 2 ca  a 2  vc 2 ca  52  42  25  16  9  3 cm Část úseku přepony cb přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o výšce: vc 2  ca  cb

cb 

vc 2 ca

42 16 cb   cm 3 3 Délka přepony c je rovna součtu délek jednotlivých úseků přilehlých k odvěsnám: c  ca  cb

16 3  3  16 9  16 25    cm 3 3 3 3 Odvěsnu b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b 2  c  cb c  3

b  c  cb b

25 16 400 20    cm 3 3 9 3

Stránka 700

Planimetrie 37. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno: b = 13 cm, vc = 5 cm. Vypočtěte a, c, ca, cb. Řešení:

Danou úlohy řešíme užitím Pythagorovy věty c2  a 2  b2 a Eukleidových vět vc 2  ca  cb , a 2  c  ca , b2  c  cb . Část úseku přepony cb přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Pythagorovy věty: b 2  vc 2  cb 2

cb 2  b 2  vc 2 cb  b 2  vc 2 cb  132  52  169  25  144  12 cm Část úseku přepony ca přilehlého k odvěsně a vypočteme užitím Eukleidovy věty o výšce: vc 2  ca  cb

ca 

vc 2 cb

52 25 ca   cm 12 12 Délka přepony c je rovna součtu délek jednotlivých úseků přilehlých k odvěsnám: c  ca  cb

25 25  12 12 25  144 169  12    cm 12 12 12 12 Odvěsnu a vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: a 2  c  ca c

a  c  ca a

169 25 4225 65    cm 12 12 144 12

Stránka 701

Planimetrie 38. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno: a = 10 cm, ca = 8 cm. Vypočtěte b, c, cb, vc. Řešení:

Danou úlohy řešíme užitím Pythagorovy věty c2  a 2  b2 a Eukleidových vět vc 2  ca  cb , a 2  c  ca , b2  c  cb . Přeponu c vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: a 2  c  ca

c

a2 ca

102 100   12,5 cm 8 8 Odvěsnu b vypočteme užitím Pythagorovy věty: c2  a 2  b2 c

b2  c2  a 2 b  c2  a2 b  12,52  102  156, 25  100  56, 25  7,5 cm Část úseku přepony cb přilehlého k odvěsně b vypočteme užitím Eukleidovy věty o odvěsně: b 2  c  cb

cb 

b2 c

7,52 56, 25   4,5 cm 12,5 12,5 Výšku na základnu vc vypočteme užitím Eukleidovy věty o výšce: vc 2  ca  cb cb 

vc  ca  cb vc  8  4,5  36  6 cm

Stránka 702

Planimetrie 3.5. Obvody a obsahy rovinných útvarů 1. Kosočtverec má úhlopříčky u1  12 cm, u2  18 cm . Určete velikost strany kosočtverce. Řešení: 2

e  f  a2       2  2  2 a  62  92

2

a 2  117 a  10,82 cm

2. Uprostřed čtvercového pozemku se stranou délky 56 m je nainstalované zavlažování, které dosáhne do vzdálenosti 20 m. Kolik procent pozemku nemá závlahu? Řešení: S1    r 2

S2  a 2

S1    202

S 2  562

S1  1256, 64 m 2

S 2  3136 m 2

S  S2  S1 S  3136  1256, 64 S  1879,36 m 2 3136 m 2

...100 %

1879,36 m 2 ... x % 1879,36 100 x 3136 x  59,92 %

Závlahu nemá 59,92 % pozemku. 3. Obvod obdélníku je 64 cm, poměr stran je 3 : 5. Vypočtěte obsah obdélníku. Řešení: o  64 cm

S  a b

a :b  3:5

a  3x a  3 4

a  3x

a  12 cm

S  240 cm 2

o  2( a  b)

b  5x

64  2(3 x  5 x)

b  54 b  20 cm

Obsah obdélníku je S  240 cm2 .

b  5x

64  2  8 x

S  12  20

64  16 x x4

Stránka 703

Planimetrie 4. Obsah obdélníku je 1008 cm2. Poměr stran je 4 : 7 . Vypočtěte obvod obdélníku. Řešení: S  1008 cm 2 a :b  4:7 a  4x b  7x S  a b 1008  4 x  7 x

a  46 a  24 cm b  76 b  42 cm

o  2(a  b) o  2(24  42) o  2  66 o  132 cm

1008  28 x 2 x 2  36 x6 Obvod obdélníku je 132 cm.

5. Jestliže délku strany zvětšíme o dvě pětiny, zvětší se obvod čtverce o 16 cm. Vypočtěte obsah původního čtverce. Řešení: o1  4a1

o2  4a2 5a  2a1 7 a1 2 a2  a1  a1  1  5 5 5 o2  o1  16 7 a1  4a1  16 /  5 5 28a1  20a1  80 4

8a1  80 a1  10 cm S1  102 cm 2 S1  100 cm 2 Obsah čtverce je 100 cm2. 6. Jestliže délku strany zvětšíme o třetinu, zvětší se obsah čtverce o 112 cm 2. Vypočtěte obvod původního čtverce. Řešení: S1  a12

S2  a22 S2  S1  112 3a  a 4a 1 a2  a1  a1  1 1  1 3 3 3

Stránka 704

Planimetrie 2

 4a1  2    a1  112  3  16a12 =a12  112 / 9 9 16a12  9a12  1008 7 a12  1008 a12  144 a1  12 o1  4a1 o1  4 12 o1  48 cm Obvod čtverce je 48 cm. 7. Délky stran obdélníkové zahrady jsou v poměru 3: 4 . Spojnice středů sousedních stran měří 10 m. Vypočítejte výměru zahrady. Řešení: a  3x

a  3x b  4x a  12 m

b  4x a 3x  2 2 b 4x  2 2 2

b  16 m S  a b 2

 3x   4 x  2       10  2   2  9 x 2 16 x 2   100 /  4 4 4 9 x 2  16 x 2  400

S  12 16 S  192 m 2

25 x 2  400 x 2  16 x4 Zahrada měří 192 m2.

Stránka 705

Planimetrie 8. Vypočítejte obsah obrazce složeného z půlkružnic. Poloměr jedné je dvakrát větší než poloměr druhé, délka úsečky AB  18 cm .

Řešení: AB  18 cm

S1   r12

AB  6r1

S1    32

6r1  18 cm

S1  28, 27 cm 2

r1  3 cm

S 2   r22

r2  2r1 r2  6 cm

S  S 2  S1 S  113,1  28, 27 S  84,83 cm 2

S 2    62 S 2  113,1 cm 2

Obsah obrazce je 84,83 cm2. 9. Čtverci o straně a = 14 cm je vepsaná a opsaná kružnice. Vypočítejte obsah mezikruží. Řešení:

S1   r12

S 2   r22

S  S1  S2

u 2 ua 2

r2 

a 2 14 r2  2 r2  7 cm

S  307,9  153,94

r1 

u  14 2 u  19,8 cm 19,8 r1  2 r1  9,9 cm

S  153,96 cm 2

S2    72 S 2  153,94 cm 2

S1    9,92 S1  307,9 cm 2 Obsah mezikruží je 153,96 cm2.

Stránka 706

Planimetrie 10. Pozemek tvaru půlkruhu je prozatím oplocen pouze po délce oblouku. Plot má délku přibližně 62,8 m. Kolik metrů pletiva bude potřeba na rovnou část plotu? Řešení:

o  2 r o 62,8  2

2 r 2  r  62,82 62,82 

r

62,82



r  19,9 d  2r d  39,98 m Na rovnou část spotřebujeme 39,98 m pletiva. 11. Vypočítejte obsah vyšrafovaného obrazce, délka strany čtverce sítě je 1 mm.

Řešení: Lichoběžník ABCD ac S1  v 2 11  7 S1  4 2 S1  36 mm 2

Lichoběžník DEFG 3 1 S2  2 2 S2  4 mm 2

S  S1  S 2 S  36  4 2

S  32 mm 2

Obsah obrazce je 32 mm .

Stránka 707

Planimetrie 12. Je dán rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC, s pravým úhlem při vrcholu C. Odvěsny mají délku AC  BC  6 cm . Kolem každého vrcholu je opsána kružnice o poloměru r  3 cm . Oblouky oddělují z trojúhelníka ABC obrazec P. Určete, kolik procent z obsahu trojúhelníka ABC tvoří P.

Řešení: S…obsah ABC ab S 2 66 S 2 S  18 cm 2

V1…obsah oblouku při vrcholu C

V2, V3…obsah oblouku při vrcholu A,B

360 : 90  4

CAB 

 r

360 : 45  8

V1 

2

4   32 V1  4 V1  7,1 cm 2

V2 

CBA  45

  r2

8   32 V2  8 V2  3,55 cm 2 V2  V3  3,55 cm 2

P  S  (V1  V2  V3 ) P  18  (7,1  3,55  3,55) P  3,8 cm 2 18 cm 2 ...100 % 3,8 cm 2 ...x % 3,8 100 x 18 x  21,11 % Obrazec P tvoří 21,11 % plochy trojúhelníku ABC.

Stránka 708

Planimetrie 13. Obsah kosočtverce je 150 cm2 a úhel sousedních stran je 56 . Vypočtěte jeho obvod. Řešení:

S  av v a 150  a  v sin  

v v  a a sin 56 v 150  v sin 56 v 2  150  sin 56 sin 56 

v 2  124,36 v  11,15 11,15 a sin 56 a  13, 45 cm o  4a o  4 13, 45 o  53,8 cm

Obvod kosočtverce je 53,8 cm. 14. Zahrada tvaru obdélníku o rozměrech 150 m a 28 m byla ohrazena plotem. Kolik procent délky plotu bychom ušetřili, pokud by pozemek měl tvar čtverce o stejné ploše? Řešení: a  150 m 2

b  28 m 2 S1  150  28 S1  4200 m 2 S 2  4200 m 2 S2  c 2

o1  2(a  b)

úspora  356  259, 2

o1  2(150  28) o1  356 m

úspora  96,8 m 356 m.........100 %

o2  4c

96,8 m......x %

o2  4  64,8

x

o2  259, 2 m

c 2  4200

96,8 100 356 x  27,19 %

c  4200 c  64,8 m Ušetřili bychom 27,19 % plotu.

Stránka 709

Planimetrie 15. Odvoďte vzorec pro obsah rovnostranného trojúhelníku o straně a. Řešení:

S

a v 2

a v  a   2 a2 v2  a2  4 2 4a  a 2 v2  4 2 3a v2  4 a 3 v 2 a 3 a 2 S 2 2 a 3 S 4 a2 3 Obsah rovnostranného trojúhelníku o straně a je S  . 4 2

2

2

16. V pravidelném osmiúhelníku je poloměr kružnice vepsané 15 cm. Vypočtěte poloměr kružnice opsané. Řešení:

  (360 : 8) : 2    2230´ cos  

15 15  r2   r2  16, 24 cm r2 cos 2230´

Poloměr kružnice opsané je 16,24 cm.

Stránka 710

Planimetrie 17. Vypočtěte obsah pravidelného desetiúhelníku, je-li poloměr kružnice opsané 22 cm. Řešení:

   360 :10  : 2   18 av 2 v cos   22 v  22  cos18 S  10 

v  20,92 cm

a sin   2 22 a sin   44 a  44  sin18 a  13, 6 cm 13, 6  20,92 2 S  1422,56 cm 2 S  10 

Obsah pravidelného desetiúhelníku je 1422,56 cm2. 18. Nad stranami rovnostranného trojúhelníku o straně velikosti 12 cm jsou vně sestrojeny čtverce. Vypočtěte obsah šestiúhelníku, vzniklého spojením jejich sousedních vrcholů.

Stránka 711

Planimetrie Řešení: S  S1  3S2  3S3

S2  122 S2  144 cm 2

S1

a  v1 2 2 v1  122  62 S1 

v12  108 v 1  10,39 12 10,39 2 S1  62,34 cm 2 a  v3 S3  2   360  (2  90  60)   120 v cos 60  3 12 v3  12  cos 60 S1 

S3

v3  6 cm a sin 60  2 12 a sin 60  24 a  24  sin 60 a  20, 78 20, 78  6 2 S3  62,34 cm 2 S3  S  62,34  3 144  3  62,34 S  681,36 cm2 Obsah šestiúhelníku je 681,36 cm2.

Stránka 712

Planimetrie 19. Určete obsah obdélníku ABCD, je-li jedna strana 42 cm a úhlopříčka je o 36 cm delší než druhá strana. Řešení:

(b  36) 2  422  b 2 b 2  72b  1296  1764  b 2 72b  1794  1296 72b  468 b  6,5 S  a b S  42  6,5 2

Obsah obdélníku je 273 cm .

S  273 cm 2

20. Určete obsah pravoúhlého lichoběžníku ABCD, je-li a = 33 cm; c = 9 cm a kosé rameno je o 18 cm delší než rameno kolmé. Řešení:

x  33  9 x  24 (b  18) 2  242  b 2

Obsah lichoběžníku je 147 cm2.

b 2  36b  324  576  b 2 36b  576  324 36b  252 b7 ac S v 2 33  9 S 7 2 S  147 cm 2

21. Vypočtěte výšku lichoběžníku o základnách 36 cm a 21 cm a obsahu 399 cm2. Řešení:

ac v 2 36  21 399  v 2 399  28,5v S

v  14 cm Výška lichoběžníku je 14 cm.

Stránka 713

Planimetrie 22. Vypočtěte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny jsou v poměru 4 : 3 , rameno b = 26 cm a výška v = 24 cm. Řešení:

a :c  4:3 a  4x c  3x 2

x 26  24    2 x2 676  576  / 4 4 2704  2304  x 2 2

2

x 2  2704  2304 x 2  400 x  20 a  4  20 a  80

Obsah lichoběžníku je 1680 cm2.

c  3  20 c  60 ac S v 2 80  60 S  24 2 S  1680 cm 2

23. Kosočtverec má obsah S = 867 cm2, poměr úhlopříček e : f  2 : 3 . Vypočítejte velikost úhlopříček a délku strany a. Řešení:

Stránka 714

Planimetrie u1  u2   2  u1 : u2  2 : 3  867  2 x  3x  1734  6 x 2  x 2  289  x  17 2  u1  2 x  u2  3 x  u1  2 17  34 cm S

u2  3 17  51 cm a 2  25,52  17 2  a 2  939, 25  a  30, 65 cm Úhlopříčky mají délky 34 cm a 51 cm, délka strany a = 30, 65 cm. 24. Určete velikosti všech úhlů trojúhelníku ABC.

Řešení: 3  4  5  180 12  180   15 3  15  45 4  15  60 5  15  75 Úhly u jednotlivých vrcholů měří 45 , 75 a 60 . 25. Vypočítejte hodnotu úhlu 

Stránka 715

Planimetrie Řešení:

6   4   90 10   90

  9 4   4     180 8    180   180  8  9   180  72   108

Úhel má velikost   108 .

26. Určete obvod pravoúhlého trojúhelníku, jestliže délka jedné odvěsny je 75 % délky druhé odvěsny a obsah trojúhelníku je 486 cm2. Řešení:

a b 2 a  0, 75a S 2 0, 75a 2 486  2 2 0, 75a  972 S

a 2  1296 a  36 cm b  0, 75a b  0, 75  36 b  27 cm c 2  362  27 2 c 2  2025 c  45 cm o  abc o  36  27  45 o  108 cm Obvod trojúhelníku je 108 cm.

Stránka 716

Planimetrie 27. Délky stran dvou čtverců jsou v poměru 2 : 5 . Vypočítejte plochu kružnice opsané menšímu čtverci, jestliže obsah většího čtverce je 400 cm2. Řešení: a1 : a2  2 : 5 S 2  400 S 2  a22 a  400 2 2

a2  20 cm 20 2 5 a1  8 cm a1 

u12  a12  a12 u12  2  64 u1  11,3 cm u1 2 r  5, 66 cm r

Sk   r 2 S k    5, 662

S k  100, 64 cm 2 Plocha kružnice opsané menšímu čtverci je 100,64 cm2.

28. Vypočtěte obvod čtverce, jehož obsah je roven čtyřnásobku obsahu čtverce o velikosti strany a. Řešení: S1  a12

S2  4a12 a2  4a12 a2  2a1 o  4 a2 o  4  2a1 o  8a1 Obvod čtverce je roven 8a1 . 29. Vypočítej rozměry obdélníku, který má obvod 82 m a obsah 364 m2. Řešení: o  2(a  b) S  a b

82  2(a  b) / : 2 364  a  b 41  a  b  a  41  b 364  (41  b)  b

a  41  28  13 cm a  41  b   1 a2  41  13  28 cm

364  41b  b 2 b 2  41b  364  0 41  225 41  15   b1  28 cm  b2  13 cm 2 2 Rozměry obdélníku jsou 13 m a 28 m. b1,2 

Stránka 717

Planimetrie 30. Vypočítejte obvod kosočtverce, jehož obsah je 140 cm2 a jedna úhlopříčka má velikost 20 cm. Řešení: S  140 cm 2 u1  20 cm u1  u2 2 20  u2 140  2 280  20u2 S

/ 2

u2  14 cm a 2  102  7 2 a 2  149 a  12, 21 cm o  4a o  4 12, 21 o  48,84 cm

Obvod kosočtverce je 48,84 cm. 31. Dřevěné desce tvaru kosočtverce se stranou délky 26 cm je vepsána kružnice o poloměru 12 cm. Určete obvod a obsah kosočtverce. Řešení:

a  26 cm   12 cm v  2 v 12  2 v  24 cm S  a v S  26  24

S  624 cm 2 o  4a o  104 cm Obvod kosočtverce je 104 cm, obsah 624 cm2.

Stránka 718

Planimetrie 32. Vypočítej obsah kosočtverce, jehož obvod je 300 m a poměr úhlopříček 3: 4 . Řešení: u1 : u2  3 : 4 u1  3 x u2  4 x 2

 3x   4 x  a       2   2  9 x 2 16 x 2 752   4 4 2 25 x 5625  4 2 25 x  22500 2

o  300 m o  4a 300  4a a  75 m

u1  u2 2 90 120 S 2 S  5400 m 2 S

2

x 2  900 x  30 u1  3  30 u1  90 cm u2  4  30 u2  120 cm 2

Obsah kosočtverce je 5400 m . 33. Obdélník má úhlopříčku u = 17 cm. Zvětšíme-li každou jeho stranu o 2 cm, zvětší se jeho obsah o 50 cm2. Vypočítejte obvod obdélníku. Řešení: a 2  b 2  17 2  a 2  b 2  289

S1  a  b S 2  (a  2)  (b  2)  a  b  50 ab  2a  2b  4  ab  50 2a  2b  46  a  b  23  a  23  b a 2  b 2  289 (23  b) 2  b 2  289 529  46b  b 2  b 2  289 2b 2  46b  240  0 23  49 23  7   b1  15 cm  b2  8 cm 2 2 o  2(a  b)  2(15  8)  46 cm

b1,2 

Obvod obdélníku je 46 cm.

Stránka 719

Planimetrie 34. Lichoběžník má delší základnu a = 66 cm, výška v = 30 cm. Všechny další strany mají stejnou délku. Vypočtěte obvod a obsah lichoběžníku. Řešení:

x  2 y  66 x  66  2 y x 2  y 2  302 (66  2 y ) 2  y 2  302 4356  264 y  4 y 2  y 2  900 3 y 2  264 y  3456  0 y 2  88 y  1152  0

S  a v S  34  30 S  1020 cm 2 o  66  3  34 o  168 cm

88  3136 2 88  56 y1,2  2 y1  72 cm y1,2 

y2  16 cm x1  66  2  72 x1  78...nevyhovuje zadání x2  66  2 16 x2  34 cm

Obvod lichoběžníku je 168 cm a obsah 1020 cm2. 35. Výška a rovnoběžné strany lichoběžníku jsou v poměru 2 : 7 : 4 , obsah lichoběžníku je 99 cm2. Vypočítej výšku a strany a, c. Řešení:

v:a:c  2:7:4 S  99 cm 2 ac S v 2 v  2x  a  7x  c  4x 7x  4x 99   2x 2 99  11x 2 x2  9  x  3 v  6 cm a  21 cm c  12 cm

Výška v = 6 cm, strana a = 21 cm a strana c = 12 cm.

Stránka 720

Planimetrie 36. Vypočítejte obvod pravidelného šestiúhelníku, jehož obsah je 374,4 cm2. Řešení: S  374, 4 cm 2 3 3 2 a 2 3 3 2 374, 4  a 2 S

/

2 3 3

a  144,1 2

a  12 cm o  6a o  72 cm

Obvod šestiúhelníku je 72 cm. 37. Vypočítejte obsah rovnoběžníku, jehož strany jsou a = 26 cm, b = 14 cm, je-li úhel sevřený stranami 68°. Řešení:

a  26 cm b  14 cm   68 S  a  b  sin  S  26 14  sin 68 S  337,5 cm 2

Obsah rovnoběžníku je 337,5 cm2. 38. Vypočítejte obvod rovnoramenného lichoběžníku, mají-li základny velikosti a = 38 cm, b = 24 cm a je-li obsah S = 465 cm2. Řešení: S  465  38  24   v  465  31v  v  15 cm a  c   465  2 S  v 2  38  24 x  7 cm 2 b 2  7 2  152  b 2  274  b  16,55 cm o  a  c  2b  38  24  2 16,55  95,1 cm

Obvod lichoběžníku je 95,1 cm.

Stránka 721

Planimetrie 39. Vypočtěte obsah plochy na obrázku (rozměry v mm).

Řešení: S  S1  S 2 S1  120  40 S1  4800 mm 2 ac v 2 80  40 S2   30 2 S 2  1800 mm 2 S2 

S  4800  1800 2

S  6600 mm 2

Obsah obrazce je 6 600 mm . 40. Vypočtěte obsah plochy na obrázku (rozměry v mm).

Stránka 722

Planimetrie Řešení: S  2  S1  S 2  S3 S1  40  60 S1  2400 mm 2 S 2  160 120 S 2  19200 mm 2 S3  6  S 4

S4:

S4 

av 2

x 37 x  37  tg 30

tg 30 

x  21,36 a  2x a  42, 72 mm 42, 72  37 2 S 4  790,32 mm 2 S4 

S3  6  790,32 S3  4741,92 mm 2 S  2  2400  19200  4741,92 S  19258, 08 mm 2

Obsah vyšrafované plochy je 19 258,08 mm2.

Stránka 723

Planimetrie 41. Vypočtěte obsah plochy na obrázku (rozměry v mm).

Řešení: S  S1  S 2  S3  S 4 S1  100  40 S1  4000 mm 2 60  40  40 2 S 2  2000 mm 2 S2 

S3  100  80 S3  8000 mm 2 60  50 2 S 4  1500 S4 

S  4000  2000  8000  1500 S  8500 mm 2

Obsah vyšrafované plochy je 8 500 mm2. 42. Obsah kosočtverce je 98 cm2. Jedna úhlopříčka je dvojnásobkem druhé. Vypočtěte délky úhlopříček a délku strany kosočtverce. Řešení:

Stránka 724

Planimetrie u1  u2  u  2u  2 2   256  1 1  256  u1  u1  16 cm 2 u2  2u1   S

u2  2 16  32 cm a 2  82  162  320  a  17,89 cm

Úhlopříčky jsou dlouhé 16 a 32 cm, délka strany a = 17,89 cm. 43. Dvě kola o poloměrech 40 cm jsou spojena řemenicí délky 10 m. Vypočítejte vzdálenost os obou kol. Řešení:

r  40 o  2 r o  2  40 o  251,33 cm o  2,51 m 10  2,51 d 2 d  3, 75 m

Vzdálenost středů je 3, 75 m. 44. Vypočítejte obsah vyšrafované části (rozměry v mm).

Řešení:

ua 2 u  60 2  84,85 u  60 84,85  60 r   12, 43 mm 2 2 S   r 2  12, 432   485,39 mm 2

Obsah kruhu je 485,39 mm2. Stránka 725

Planimetrie 45. Vypočítejte obsah vyšrafované části (rozměry v mm).

Řešení:

S  S1  2 S 2 S1  20  40 S1  800 mm 2 S2 

 r2

4 202  S2  4 S 2  314,16 mm 2 S  800  2  314,16 S  171, 65 mm 2

Obsah vyšrafované části je 171,65 mm2. 46. Vypočtěte obvod a obsah pravidelného osmiúhelníku vepsaného kružnici o poloměru 12 cm. Řešení:

S  8  S1 av 2 360 : 8   2230´ 2 v cos    v  12  cos 2230´ 11,1 cm 12 x sin    x  12  sin 2230´ 4, 6 cm 12 a  2 x  9, 2 cm 9, 2 11,1 S  8  408, 48 cm 2 2 S1 

Obsah osmiúhelníku je 408,48 cm2.

Stránka 726

Planimetrie 47. Vypočtěte obvod a obsah pravidelného desetiúhelníku vepsaného kružnici o poloměru 7 cm. Řešení:

S  10  S1 av 2 360 :10   18 2 v cos    v  7  cos18  6, 66 cm 7 x sin    x  7  sin18  2,16 cm 7 a  2 x  4,32 cm 4,32  6, 66 S  10   143,86 cm 2 2 S1 

Obsah desetiúhelníku je 143,86 cm2. 48. Vypočtěte obsah pravidelného osmiúhelníku, který je opsán kružnici o poloměru 8 cm. Řešení:

S  8  S1 a v 2 360 : 8   2230´ 2 x tg   x  8  tg 2230´ 3,31 cm 8 a  2 x  6, 62 cm S1 

S  8

6, 62  8  211,84 cm 2 2

Obsah osmiúhelníku je 211,84 cm2.

Stránka 727

Planimetrie 49. Vypočítejte obsah pravidelného pětiúhelníku, který je vepsán kružnici o poloměru 6 cm. Řešení: av 2 360 : 5   36 2 x sin    x  6  sin 36  3,53 cm 6 a  2 x  7, 06 cm v cos    v  6  cos 36  4,85 cm 6 7, 06  4,85 S  5  85, 6 cm 2 2 S  5

Obsah pětiúhelníku je 85,6 cm2.

50. Vypočítejte obsah sedmiúhelníku, který je opsán kružnici o poloměru 8 cm. Řešení:

av 2 360 : 7   2542´5´´ 2 x tg    x  8  tg 2542´5´´ 3,85 cm 8 a  2 x  7, 7 cm 7, 7  8 S  7  215, 6 cm 2 2 S  7

Obsah sedmiúhelníku je 215,6 cm2. r  51. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1  S ,  a k2  S , r  . Vypočítejte obvod a obsah vý 2 seče mezikruží se středovým úhlem α  120 .

Řešení:

Stránka 728

Planimetrie 1 celkového mezi3 1 1 kruží (  360  120 ), proto při výpočtu obsahu a obvodu této výseče vypočteme z 3 3 celkového obsahu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme ale připočítat obě boční strany. 2 1 1 2 r 2  1  4   r 2   r 2  1  3 r 2   r 2 r   1 2 2 2 S   r2   r1    r        r        4  4 3 3  4  3 4  2   3   3 

Kruhová výseč mezikruží odpovídající středovému úhlu α  120 je

1 r 1 r 1 1  2 r1  2 r2   2   2 r  2   r   2 r   r   r   3 r   r   r  r  3 3 2 3 2 3  r   1

o

r  52. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1  S ,  a k2  S , r  . Vypočítejte obvod a obsah vý 2 seče mezikruží se středovým úhlem α  150 .

Řešení:

5 celkového mezi12 5 5 kruží (  360  150 ), proto při výpočtu obsahu a obvodu této výseče vypočteme z 12 12 celkového obsahu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme ale připočítat obě boční strany. 2 5 5  2 r 2  5  4   r 2   r 2  5  3 r 2  r  5  2 2 2   S   r2   r1    r        r         12 12  4  12  4  2   12   12  4 




5 r 2 16

5 r 5  r 5 5  2 r1  2 r2   2   2 r  2   r   2 r   r   r   3 r   r  12 12 2 12  2 12 5 r  5   r  r  1 4  4 

o

Stránka 729

Planimetrie  r 53. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1  S ,  a k2  S , r  . Vypočítejte obvod a obsah vý 3 seče mezikruží se středovým úhlem α  120 .

Řešení:

1 celkového mezi3 1 1 kruží (  360  120 ), proto při výpočtu obsahu a obvodu této výseče vypočteme z 3 3 celkového obsahu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme ale připočítat obě boční strany. 2 1 1 2 r 2  1  9   r 2   r 2  1  8 r 2  8 r 2 r  1 2 2 2 S   r2   r1    r        r        3  9   27 3 3  9  3 9  3   3    


o

1 r 1  2 r1  2 r2   2   r    2 r  2 3 3 3 

r 2r  3r  r  1  3  2 r  2 r   2  2      3 3 3  3  3 

1  8 r  4r 8 r 4r 4r  2          1  3 3  3 9 3 3  3   r 54. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1  S ,  a k2  S , r  . Vypočítejte obvod a obsah vý 3 seče mezikruží se středovým úhlem α  150 .

Řešení:

Stránka 730

Planimetrie 5 celkového mezi12 5 5 kruží (  360  150 ), proto při výpočtu obsahu a obvodu této výseče vypočteme z 12 12 celkového obsahu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme ale připočítat obě boční strany. 2 5 5  2 r 2  5  9   r 2   r 2  5  8 r 2  r  5  2 2 2 S   r2   r1    r        r         12 12  9  12  9  3   12   12  9 




10 r 2 27

o

5 r 5  2 r1  2 r2   2   r    2 r  2 12 3  12  



5  8 r  4r 10 r 4r 2r  5       2   9 3 3  3 12  3  3 

r 2r  3r  r  5  3  2 r  2 r   2  2      3 3 3  3  12  

r  55. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1  S ,  a k2  S , r  . Vypočítejte obvod a obsah vý 4 seče mezikruží se středovým úhlem α  210 .

Řešení:

7 celkového mezi12 7 7 kruží (  360  210 ), proto při výpočtu obsahu a obvodu této výseče vypočteme z 12 12 celkového obsahu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme ale připočítat obě boční strany.


Stránka 731

Planimetrie 2 7 7  2 r 2  7 16   r 2   r 2  7  15 r 2  r  7  2 2 2 S   r2   r1    r        r         12 12  16  12  16  4   12   12  16 

35 r 2  64 7 r 7  r 3r   4r  r  7  2  2 r   r  o   2 r1  2 r2   2   r     2 r  2    2  2     12 4  12  2 4 4   4  12   7  5 r  3r 35 r 3r r  35          3  12  2  2 24 2 2  12  r  56. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1  S ,  a k2  S , r  . Vypočítejte obvod a obsah vý 4 seče mezikruží se středovým úhlem α  240 .

Řešení:

2 celkového mezi3 2 2 kruží (  360  240 ), proto při výpočtu obsahu a obvodu této výseče vypočteme z 3 3 celkového obsahu popř. obvodu mezikruží. U obvodu musíme ale připočítat obě boční strany. 2 2 2 2 r 2  2 16   r 2   r 2  2  15 r 2  r  2 2 2 2 S   r2   r1    r        r         3 3  16  3  16  4   3   3  16  5 r 2  8 2 r 2 r 3r   4r  r  2  2  2 r   r  o   2 r1  2 r2   2   r     2 r  2    2  2     3 4 3 2 4 4   4  3 




2  5 r  3r 5 r 3r  5 3      r     3 2  2 3 2  3 2

Stránka 732

Planimetrie 57. Vypočtěte obsah pravoúhlého lichoběžníku s pravým úhlem při vrcholu A, jestliže základny lichoběžníku mají délky a  19 cm , c  14 cm a výška lichoběžníku je o 1 cm menší než délka ramene. Řešení:

v  b 1 v2   a  c   b2

 b  1   a  c   b 2 2 b 2  2b  1  19  14   b 2 2

2

/  b2

2b  1  52  0 2b  1  25  0 2b  26  0 2b  26

ac v 2 19  14 S 12 2 33 S  12 2 S  198 cm 2 S

2

/  26 / :  2 

b  13 cm  v  12 cm

58. Vypočtěte obsah pravoúhlého lichoběžníku s pravým úhlem při vrcholu A, jestliže základny lichoběžníku mají délky a  11 cm , c  7 cm a výška lichoběžníku je o 2 cm menší než délka ramene. Řešení:

Stránka 733

Planimetrie v b2 v2   a  c   b2

b  2   a  c   b2 2 b 2  4b  4  11  7   b 2 2

ac v 2 11  7 S 3 2 20 S 3 2 S  30 cm 2 S

2

2

/  b2

4b  4  42  0 4b  4  16  0 4b  20  0

/  20 / :  4 

4b  20

b  5 cm  v  3 cm

59. Vypočtěte obsah pravoúhlého lichoběžníku s pravým úhlem při vrcholu A, jestliže základny lichoběžníku mají délky a  17 cm , c  5 cm a délka ramene je o 2 cm větší než výška lichoběžníku. Řešení:

bv2 v  a  c  b 2

2

v2   a  c    v  2 2

2

v 2  17  5   v 2  4v  4 2

ac v 2 17  5 S  35 2 22 S  35 2 S  385 cm 2 S

2

/ v2

122  4v  4 144  4v  4

/ 4

140  4v

/:4

v  35 cm  b  37 cm

Stránka 734

Planimetrie 60. Vypočtěte obsah pravoúhlého lichoběžníku s pravým úhlem při vrcholu A, jestliže základny lichoběžníku mají délky a  13 cm , c  8 cm a délka ramene je o 1 cm větší než výška lichoběžníku. Řešení:

b  v 1 v2   a  c   b2 2

v 2   a  c    v  1 2

2

v 2  13  8   v 2  2v  1 2

ac v 2 13  8 S 12 2 21 S  12 2 S  126 cm 2 S

/ v2

5 2  2v  1 25  2v  1

/1

24  2v

/:2

v  12 cm  b  13 cm

61. Vypočtěte obsah rovnoramenného lichoběžníku s obvodem 44 cm, jestliže strany lichoběžníku jsou v poměru 10 : 5 : 2 : 5. Řešení:

Stránka 735

Planimetrie a  10 x  b  5 x  c  2 x  d  5 x a  b  c  d  44 10 x  5 x  2 x  5 x  44 22 x  44

/ : 22

x2 a  10  2  20 cm b  5  2  10 cm c  2  2  4 cm d  5  2  10 cm  ac  b  v    2  2

ac v 2 20  4 S 6 2 24 S 6 2 S  72 cm 2 S

2

2

 20  4  102  v 2     2  100  v 2  64 v 2  36

2

/  v 2  100 / :  1

v 2  36 v  6 cm 62. Vypočtěte obsah rovnoramenného lichoběžníku s obvodem 96 cm, jestliže strany lichoběžníku jsou v poměru 16 : 13 : 6 : 13. Řešení:

Stránka 736

Planimetrie a  16 x  b  13x  c  6 x  d  13x a  b  c  d  96 16 x  13x  6 x  13 x  96 48 x  96

/ : 48

x2 a  16  2  32 cm b  13  2  26 cm c  6  2  12 cm d  13  2  26 cm  ac  b  v    2  2

ac v 2 32  12 S  24 2 44 S   24 2 S  528 cm 2 S

2

2

 32  12  262  v 2     2  676  v 2  100 v 2  576

2

/  v 2  676 / :  1

v 2  576 v  24 cm

Stránka 737

Planimetrie 3.6. Obvodový a středový úhel 1. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku, který dostaneme spojením bodů odpovídajících číslům 1, 3, 7, 10 na ciferníku hodin. Řešení:

1 1 10, S ,3    5  30   150  75 2 2 1 1 1 7,3,1  7, S ,1    6  30   180  90 2 2 2 1 1 1 3,1,10  3, S ,10    7  30    210  105 2 2 2 1 1 1 1,10, 7  1, S , 7    6  30   180  90 2 2 2

10, 7,3 

1 2

2. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku, který dostaneme spojením bodů odpovídajících číslům 2, 5, 7, 11 na ciferníku hodin. Řešení:

11, 7,5 

1 2

1 1 11, S ,5    6  30   180  90 2 2

Stránka 738

Planimetrie 1 2 1 5, 2,11  2 1 2,11, 7  2 7,5, 2 

1 1 7, S , 2    7  30    210  105 2 2 1 1 5, S ,11    6  30   180  90 2 2 1 1 2, S , 7    5  30   150  75 2 2


1 1 10, S , 4    6  30   180  90 2 2 1 1 1 6, 4,1  6, S ,1    7  30    210  105 2 2 2 1 1 1 4,1,10  4, S ,10    6  30   180  90 2 2 2 1 1 1 1,10, 6  1, S , 6    5  30   150  75 2 2 2 10, 6, 4 

1 2

4. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku, který dostaneme spojením bodů odpovídajících číslům 2, 4, 7, 12 na ciferníku hodin. Řešení: 1 1 1 12, S , 4    4  30   120  60 2 2 2 1 1 1 7, 4, 2  7, S , 2    7  30    210  105 2 2 2 1 1 1 4, 2,12  4, S ,12   8  30    240  120 2 2 2 1 1 1 2,12, 7  2, S , 7    5  30   150  75 2 2 2

12, 7, 4 

Stránka 739

Planimetrie


1 1 11, S ,3    4  30   120  60 2 2 1 1 1 6,3,1  6, S ,1    7  30    210  105 2 2 2 1 1 1 3,1,11  3, S ,11   8  30    240  120 2 2 2 1 1 1 1,11, 6  1, S , 6    5  30   150  75 2 2 2

11, 6,3 

1 2

6. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku, který dostaneme spojením bodů odpovídajících číslům 1, 3, 6, 11 na ciferníku hodin. Řešení: 11, 6,3  6,3,1 

1 2

1 2

1 1 11, S ,3    4  30   120  60 2 2 1 1 6, S ,1    7  30    210  105 2 2

Stránka 740

Planimetrie 1 2 1 1,11, 6  2 3,1,11 

1 1 3, S ,11   8  30    240  120 2 2 1 1 1, S , 6    5  30   150  75 2 2

Stránka 741

Planimetrie 3.7. Množiny bodů dané vlastnosti 1. Je dána úsečka AB  3 cm . Sestrojte množinu všech bodů v rovině, pro které platí:

AXB  60  AX  2 cm . Řešení:

Postup konstrukce: 1. AB; AB  3 cm 2. G1 ; G1   X   ;

AXB  60

3. G2 ; G2   X   ; AX  2 cm 4. G; G  G1  G2   X   ;

AXB  60  AX  2 cm

pozn. Řešením je množina G (zelená) bez bodu A.

Stránka 742

Planimetrie 2. Je dána úsečka AB  3 cm . Sestrojte množinu všech bodů v rovině, pro které platí:

AXB  60  AX  1 cm . Řešení:


AXB  60

3. G2 ; G2   X   ; AX  1 cm 4. G; G  G1  G2   X   ;

AXB  60  AX  1 cm

pozn. Řešením je množina G (zelená) bez bodu B. 3. Je dána úsečka AB  3 cm . Sestrojte množinu všech bodů v rovině, pro které platí:

AXB  60  AX  2 cm . Řešení: Postup konstrukce: 1. AB; AB  3 cm 2. G1 ; G1   X   ;

AXB  60

3. G2 ; G2   X   ; AX  2 cm 4. G; G  G1  G2   X   ;

AXB  60  AX  2 cm

Stránka 743

Planimetrie pozn. Řešením je vnitřek množiny G (zelená) bez bodu A.

4. Je dána úsečka AB  3 cm . Sestrojte množinu všech bodů v rovině, pro které platí:

AXB  60  AX  1 cm . Řešení:

Stránka 744

Planimetrie Postup konstrukce: 1. AB; AB  3 cm 2. G1 ; G1   X   ;

AXB  60

3. G2 ; G2   X   ; AX  1 cm 4. G; G  G1  G2   X   ;

AXB  60  AX  1 cm

pozn. Řešením je vnitřek množiny G (zelená) bez bodu A. 5. Je dána úsečka AB  3 cm . Sestrojte množinu všech bodů v rovině, pro které platí:

AXB  60  X , AB  2 cm . Řešení:


AXB  60

3. G2 ; G2   X   ; X , AB  2 cm 4. G; G  G1  G2   X   ;

AXB  60  X , AB  2 cm

pozn. Řešením je vnitřek množiny G (zelená) bez bodů A, B.

Stránka 745

Planimetrie 6. Je dána úsečka AB  3 cm . Sestrojte množinu všech bodů v rovině, pro které platí:

AXB  60  X , AB  1 cm . Řešení:


AXB  60

3. G2 ; G2   X   ; X , AB  1 cm 4. G; G  G1  G2   X   ;

AXB  60  X , AB  1 cm

pozn. Řešením je vnitřek množiny G (zelená).

Stránka 746

Planimetrie 3.8. Konstrukce trojúhelníku – polohové úlohy 1. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí b  4 cm a tc  4 cm . Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. C1 ; C1  AB, AC1  C1 B 3. k1 ; k1   C1 ; 4 cm  4. k2 ; k2   A; 4 cm  5. C ; C  k1  k2 6. ABC

c) konstrukce:

d) počet řešení: Úloha má 1 řešení v dané polorovině.

Stránka 747

Planimetrie 2. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí a = 4 cm,  = 50°. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm

2. k ; k   B; 4 cm  3. G; G   X   ;

BAX  50

4. C ; C  k  G 5. ABC c) konstrukce:

k


Stránka 748

Planimetrie 3. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí va = 4 cm, b = 6 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. S ; AS  SB  1  3.  ;   S ; AB   2  4. k1 ; k1   A; 4 cm  5. A0 ; A0    k1

6. k2 ; k2   A;6 cm  7. C ; C 

BA0  k2

8. ABC

c) konstrukce:


Stránka 749

Planimetrie 4. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí vb = 5 cm,   70 . Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. S ; AS  SB  1  3.  ;   S ; AB   2  4. k1 ; k1   B; 4 cm  5. B0 ; B0    k1

6. G; G   X   ; 7. C ; C 

BAX  70

AB0  G

8. ABC

c) konstrukce:


Stránka 750

Planimetrie 5. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí   40 ,   50 . Řešení: a) Rozbor:


2.

ABX ;

ABX  40

3. G; G  Y   ; 4. C ; C 

BAY  50

BX  G

5. ABC c) konstrukce:

d) počet řešení: Úloha má 1 řešení v dané polorovině. Poznámka: Výpočtem velikosti úhlů lze úlohu převést na konstrukci pravoúhlého trojúhelníka s pravým úhlem při vrcholu A.

Stránka 751

Planimetrie 6. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí tc, = 6 cm, va = 4 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. C1 ; C1  AB, AC1  C1 B 3. k1 ; k1   A1 ; 4 cm   1  4.  ;   S ; AB   2  5. A0 ; A0  k1  

6. k2 ; k2   C1 ;6 cm  7. C ; C  k1 

BA0

8. ABC

c) konstrukce:


Stránka 752

Planimetrie 7. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí vb = 4 cm, ta = 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. S ; S  AB, AS  SB  1  3.  ;   S ; AB   2  4. k1 ; k1   B; 4 cm  5. B0 ; B0  k1  

6. k2 ; k2   A; 2ta =9 cm  7. BY ; BY

AB0

8. X ; X  k2  BY 9. XZ ; XZ

AB

10. C ; C  XZ  AB0 11. ABC

c) konstrukce:

k2 Y Z k1

d) počet řešení: Úloha má 1 řešení v dané polorovině. Stránka 753

Planimetrie 8. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí vc = 4 cm, ta = 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. p; p AB  pAB  4 cm 3. k ; k   A; 2ta  9 cm  4. X ; X  k  p 5. A1 ; AA1  A1 X 6. C ; C 

BA1  p

7. ABC

c) konstrukce:


Stránka 754

Planimetrie 9. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí b = 4 cm, vb = 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. k ; k   A; 4 cm  3. S ; S  AB, AS  SB  1  4.  ;   S ; AB   2  5. l ; l   B, 4,5 cm  6. B0 ; B0   l 7. C ; C 

AB0  k

8. ABC

c) konstrukce:


Stránka 755

Planimetrie 10. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí b = 6 cm, va= 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. k ; k   A;6 cm  3. S ; S  AB, AS  SB  1  4.  ;   S ; AB   2  4. l ; l   A, 4,5 cm  5. A0 ; A0   l 6. C ; C 

BA0  k

7. ABC

c) konstrukce:

¨ d) počet řešení: Úloha má 1 řešení v dané polorovině.

Stránka 756

Planimetrie 11. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí va = 4 cm, vb= 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:


2. k ; k   A; 4 cm  3. S ; S  AB, AS  SB  1  4.  ;   S ; AB   2  4. l ; l   B, 4,5 cm  5. A0 ; A0   l 6. B0 ; B0   k 7. C ; C 

BA0 

AB0

8. ABC c) konstrukce:


Stránka 757

Planimetrie 12. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí  = 40°, ta= 4 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2.

BAX ;

BAX  40

3. p; p AX  B  p 4. k ; k   A;2ta  8 cm  4. Y ; Y  k  p 5. S ; AS  SY 6. C ; C  BS  AX 8. ABC

c) konstrukce:


Stránka 758

Planimetrie 13. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí:  =50°, tc = 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. G; G  Y   ;

AYB  50

3. A1 ; AA1  A1 B 4. k ; k   A1 ; 4,5 cm  5. C ; C  k  G 6. ABC

c) konstrukce:


Stránka 759

Planimetrie 14. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí: vc =4, tc = 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AB; AB  5 cm 2. p; p AB  pAB  4 cm 3. A0 ; AA0  A0 B 4. k ; k   A0 ; 4,5 cm  5. C ; C  k  p 8. ABC

c) konstrukce:


Stránka 760

Planimetrie 15. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí:  = 40°, va = 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:


BAX ; BAX  40

3. S ; S  AB, AS  SB  1  4.  ;   S ; AB   2  5. k ; k   A;4,5 cm  6. A0 ; A0  k   7. C ; C  BA0  AX 8. ABC

c) konstrukce:


Planimetrie 16. Je dána úsečka AB, pro kterou platí AB = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí:  = 40°, a = 4 cm. Řešení: a) rozbor:


BAX ; BAX  40

3. k ; k   B;4 cm  4. C ; C  k  AX 5. ABC

c) konstrukce:


Stránka 762

Planimetrie 17. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí:  = 50°, c = 7 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AA0 ; AA0  5 cm

2. p; A0  p  p  AA0

3. G; G   X   ;

AXB  60

4. C ; C  G  p 5. k ; k   A, 7 cm  6. B; B  p  k 7. ABC c) konstrukce:

d) počet řešení: Úloha má 1 řešení v dané polorovině. Druhý průsečík p  k nevyhovuje zadání.

Stránka 763

Planimetrie 18. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí: tb = 4 cm, c = 6 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AA0 ; AA0  5 cm 2. p; A0  p  p  AA0

3. k ; k   A,6 cm  4. B; B  k  p

5. l ; l   B, 2tb  8 cm  6. q; q p  A  q 7. X ; X  l  q 8. S ; XS  SB 9. C ; C  AS  p 10. ABC

c) konstrukce:


Planimetrie 19. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí: vb = 4 cm, c = 6 cm. Řešení: a) rozbor:


3. k ; k   A,6 cm  4. B; B  k  p

5. S ; S  AB, AS  SB  1  6.  ;   S ; AB   2  7. l ; l   B;4,5 cm  8. B0 ; B0    l 9. C ; C  AB0  p 10. ABC

c) konstrukce:


Stránka 765

Planimetrie 20. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí: vb = 4 cm, b = 6 cm. Řešení: a) rozbor:


3. k ; k   A,6 cm  4. B; B  k  p

5. S ; S  AB, AS  SB  1  6.  ;   S ; AB   2  7. l ; l   B;4 cm  8. B0 ; B0    l 9. C ; C  AB0  p 10. ABC

c) konstrukce:


Planimetrie 21. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí: c = 6 cm,  = 70°. Řešení: a) rozbor:


2. p; A0  p  p  AA0

3. k ; k   A, 6 cm  4. B; B  k  p 5. G; G   X   ;

AXA0  70

6. C ; C  G  p 7. ABC c) konstrukce:


Stránka 767

Planimetrie 22. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí:  = 40°,  = 70°. Řešení: a) rozbor:


3. G1 ; G1   X   ; 4. C ; C  G1  p

5. G2 ; G2   X   ;

AXA0  70 AXA0  40

6. B; B  G2  p 7. ABC

c) konstrukce:


Stránka 768

Planimetrie 23. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí:  = 60°, tb = 5,5 cm. Řešení: a) rozbor:


2. p; A0  p  p  AA0

3. G; G   X   ;

AXA0  60

4. B; B  G  p 5. k ; k   B, 2tb  11 cm  6. q; q p  A  q 7. X ; X  k  q 8. B1; XB1  B1B 9. C ; C  AB1  p 10. ABC c) konstrukce:


Stránka 769

Planimetrie 24. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí:  = 60°,vc = 6 cm. Řešení: a) rozbor:


2. p; A0  p  p  AA0

3. G; G   X   ;

AXA0  50

4. C ; C  G  p 5. k ; k   C ,6 cm  6. S ; AS  SC  1  7.  ;   S , AC   2  8. C0 ; C0   k 9. B; B  AC0  p 10. ABC c) konstrukce:


Stránka 770

Planimetrie 25. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí: β = 40°, b = 6 cm. Řešení: a) rozbor:


3. G; G   X   ;

AXA0  40

4. B; B  G  p 5. k ; k   A, 6 cm  6. C ; C  p  k 7. ABC

c) konstrukce:


Stránka 771

Planimetrie 26. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí:  = 50°, b = 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:


3. G; G   X   ;

AXA0  40

4. B; B  G  p 5. k ; k   A, 6 cm  6. C ; C  p  k 7. ABC

c) konstrukce:


Planimetrie 27. Je dána úsečka AA0, pro kterou platí AA0 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA0 výškou va, a pro které platí:  = 40°, tc = 6 cm. Řešení: a) rozbor:


3. G; G   X   ;

AXA0  40

4. B; B  G  p 5. S ; AS  SB 6. k ; k   S , 6 cm  7. C ; C  p  k 8. ABC

c) konstrukce:


Planimetrie 28. Je dána úsečka AA1, pro kterou platí AA1 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA1 těžnicí ta, a pro které platí:  = 50°, b = 4 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AA1; AA1  5 cm 2. k ; k   A, 4 cm  3. G; G   X   ;

AXA1  50

4. C ; C  G  k 5. l ; l   A1 , r  CA1  6. B; B  l  CA1 7. ABC

c) konstrukce:


Stránka 774

Planimetrie 29. Je dána úsečka AA1, pro kterou platí AA1 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA1 těžnicí ta, a pro které platí: a = 4 cm,  = 60°. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AA1; AA1  5 cm 2. G; G   X   ; 3. k ; k   A1 , 2 cm 

AXA1  60 1    r  a  2 cm  2  

4. C ; C  G  k 6. B; B  k  CA1 7. ABC

c) konstrukce:


Stránka 775

Planimetrie 30. Je dána úsečka AA1, pro kterou platí AA1 = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka AA1 těžnicí ta, a pro které platí: a = 7 cm, va = 4,5 cm. Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. AA1; AA1  5 cm 2. S ; AS  SA1 1   3.  ; =  S ; r  AS  2   4. k ; k   A, 4 cm  5. A0 ; A0    k

6. l ; l   A1 ,3,5 cm  7. B; B  k  A1 A0

8. C ; C  k  A1 A0 7. ABC

c) konstrukce:


Stránka 776

Planimetrie 3.9. Konstrukce trojúhelníku – nepolohové úlohy Úlohy mohou mít několik způsobů řešení. 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  5 cm; b  3 cm; r  3,5 cm . (r je poloměr kružnice opsané) Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. a; a  BC  5 cm 2. l1; l1   B,3,5 cm  3. l2 ; l2   C ,3,5 cm  4. S ; S  l1  l2

5. k ; k   S ,3,5 cm  6. m; m   B,3 cm  7. A; A  m  k 8. ABC

c) konstrukce:


Stránka 777

Planimetrie 2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c  6 cm; ta  5 cm; tb  7 cm . Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. c; c  AB  6 cm 2   2. k1; k1   A, r  ta  3   2   3. k2 ; k2   B, r  tb  3   4. T ; T  k1  k 2

5. l1; l1   A,5 cm 

6. l2 ; l2   B,7 cm  7. A1; A1  l1  AT 8. B1;B1  l2  BT 9. C ; C  AT  BT 10. ABC

c) konstrukce:


Stránka 778

Planimetrie 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  6 cm; tc  4 cm; a  5 cm . Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. b; b  AC  6 cm 2. k1; k1   C , r  2tc  8 cm  3. k2 ; k2   A, r  5 cm  4. D; D  k1  k2 5. C1; DC1  C1C 6. l ; l   C ,5 cm  7. B; B  l  CC1 8. ABC

c) konstrukce:


Stránka 779

Planimetrie 4. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: va  3 cm; vc  6 cm;   70 . Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. XBY ; XBY  70 2. p1; p1 BX  p1BX  6 cm 3. C ; C  p1  BY 4. p2 ; p2 BC  p2 BC  3 cm 5. A; A  p1  BX 6. ABC

c) konstrukce:


Stránka 780

Planimetrie 5. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a  6 cm; r  4 cm;   60 . (r je poloměr kružnice opsané) Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. XBY ; XBY  70 2. p1; p1 BX  p1BX  6 cm 3. C ; C  p1  BY 4. p2 ; p2 BC  p2 BC  3 cm 5. A; A  p1  BX 6. ABC

c) konstrukce:


Planimetrie 6. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b  6 cm; vc  4 cm; tc  5 cm . Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. p 2. A; A  p 3. q; q p  pq  4 cm 4. k ; k   A,6 cm  5. C ; C  k  q 6. l ; l   C,5 cm  7. C1; C1  p  l

8. m; m   C1 , r  AC1  9. B; B  p  m 10. ABC

c) konstrukce:

d) počet řešení: Úloha má 2 řešení v dané polorovině. Bod C´ nevyhovuje zadání. Stránka 782

Planimetrie 7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:   60°;   50° ; r  2 cm . (r je poloměr kružnice vepsané) Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. k ; k   S , 2 cm  2.TC ; TC  k 3. p; p  STc  TC  p 4.

TC SX ;

TC SX  180  60

5. Tb ; Tb  k  SX 6. q; q  STb  Tb  q 7. A; A  p  q 8.

TC SY ;

TC SY  360  180  50 

9. Ta ; Ta  k  SY 10. r; r  STa  Ta  r 11. C ; C  p  r 12. ABC

c) konstrukce:

d) počet řešení: Úloha má1 řešení v dané polorovině.

Stránka 783

Planimetrie 8. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:   60°; vc =5 cm; ta  4 cm . Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. XAY ; XAY  60 2. p; p AX  p AX  5 cm 3. C ; C  p  AY 4. k ; k   A, r  2ta  8cm  5. D; D  p  k 6. S ; AS  SD 7. B; B  AX  CS 8. ABC

c) konstrukce:

d) počet řešení: Úloha má1 řešení v dané polorovině. Bod D´ nevyhovuje zadání.

Stránka 784

Planimetrie 9. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:   45°;   75; vc  5 cm . Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. XAY ; XAY  45 2. p; p AX  p AX  5 cm 3. C ; C  p  AY 4.

ACZ ;

ACZ  75

5. B; B  p  CZ 6. ABC

c) konstrukce:

d) počet řešení: Úloha má1 řešení v dané polorovině. Bod D´ nevyhovuje zadání.

Stránka 785

Planimetrie 10. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:   50°; a  6 cm ; r  2 cm . (r je poloměr kružnice vepsané) Řešení: a) rozbor:

b) postup konstrukce: 1. BC ; BC  a  8 cm 2. p; p  BC  p, BC  2 cm 1 BCX    30 2 4. S ; S  p  CX

3.

BCX ;

5. S1; BS1  S1S 6.  1 ; 1   B, r  BS1  7. T1; T1  k   1 8. S2 ; BS2  S2 S 9.  2 ; 2   C , r  CS2



10. T2 ; T2  k   2 11. C ; C  BT1  BT2 12. ABC

c) konstrukce:

d) počet řešení: Úloha má1 řešení v dané polorovině.

Stránka 786

Planimetrie 3.10. Konstrukce čtyřúhelníků 1. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jestliže: a  6 cm , b  5 cm , d  4 cm ,   120 ,   120 . Řešení: a) náčrt


ABX ;

ABX  120

3. k1 ; k1  B; 5 cm  4. C ; C 

BX  k1

5. k2 ; k2  A; 4 cm  6. G; G   X   ;

AXC  120

7. D; D  G  k2 8. čtyřúhelník ABCD

c) konstrukce:

d) počet řešení: úloha má jedno řešení v dané polorovině

Stránka 787

Planimetrie 2. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jestliže: a  5 cm , b  4 cm , d  6 cm ,   60 ,   45 . Řešení: a) náčrt


BAX ;

BAX  60

3. k1 ; k1  B; 4 cm  4. k2 ; k2  A; 6 cm  5. D; D 

AX  k2

6. G; G   X   ;

BXD  45

7. C ; C  G  k1 8. čtyřúhelník ABCD

c) konstrukce:

d) počet řešení: úloha má jedno řešení v dané polorovině

Stránka 788

Planimetrie 3. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jestliže: a  5 cm , b  4 cm , f  7 cm ,   120 ,   60 . Řešení: a) náčrt


ABX ;

ABX  120

3. k1 ; k1  B; 4 cm  4. C ; C 

BX  k1

5. k2 ; k2  B; 7 cm  6. G; G   X   ;

AXC  60

7. D; D  G  k2 8. čtyřúhelník ABCD

c) konstrukce:

d) počet řešení: úloha má dvě řešení v dané polorovině

Stránka 789

Planimetrie 4. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jestliže: a  6 cm , d  4 cm , e  8 cm ,   60 ,   60 . Řešení: a) náčrt


BAX ;

BAX  60

3. k1 ; k1  A; 4 cm  4. D; D 

AX  k1

5. k2 ; k2  B; 8 cm  6. G; G   X   ;

BXD  60

7. C ; C  G  k2 8. čtyřúhelník ABCD

c) konstrukce:

d) počet řešení: úloha má dvě řešení v dané polorovině

Stránka 790

Planimetrie 3.11. Shodná a podobná zobrazení v rovině 1. Jsou dány dvě kružnice k1  S1 , r1  , k2  S2 , r2  a mezi nimi přímka p. Sestrojte všechny úsečky XY , které jsou kolmé na přímku p, přičemž přímka p prochází středem úsečky XY a X  k1 a Y  k2 . Řešení: rozbor: užijeme osové souměrnosti (v osové souměrnosti podle přímky p se bod X zobrazí na bod Y)

postup konstrukce: 1. k1 ; k2 ; p

2. k1/ ; O  p  : k1  k1/ 3. Y ; Y  k1/  k2

4. X ; O  p  : Y  X

5. XY počet řešení: úloha má dvě řešení 2. Je dána kružnice k  S , r  , čtverec ABCD a mezi nimi přímka p. Sestrojte všechny úsečky XY, které jsou kolmé na přímku p, přičemž přímka p prochází středem úsečky XY a X  k a Y  ABCD . Řešení: rozbor: užijeme osové souměrnosti (v osové souměrnosti podle přímky p se bod X zobrazí na bod Y)

Stránka 791

Planimetrie

postup konstrukce: 1. k ; ABCD; p

2. k / ; O  p  : k  k / 3. Y ; Y  k / 

ABCD

4. X ; O  p  : Y  X 5. XY počet řešení: úloha má dvě řešení 3. Je dán obdélník ABCD a bod M, který leží uvnitř obdélníku a není jeho středem. Sestrojte všechny úsečky XY tak, aby body X a Y ležely na obvodu obdélníku a bod M byl středem úsečky XY. Řešení: rozbor: užijeme středové souměrnosti (ve středové souměrnosti podle bodu M se bod X zobrazí na bod Y)

Stránka 792

Planimetrie postup konstrukce: 1. ABCD; M

2. A/ B / C / D / ; S  M  : 3. X ; X 

A/ B / C / D / 

ABCD 

A/ B / C / D /

ABCD

4. Y ; S  M  : X  Y 5. XY počet řešení: úloha má jedno řešení 4. Je dán trojúhelník ABC, přímka p, která neprotíná trojúhelník, a bod O. Sestrojte všechny úsečky XY tak, aby bod X ležel na trojúhelníku, bod Y na přímce p a bod O byl středem úsečky XY. Řešení: rozbor: užijeme středové souměrnosti (ve středové souměrnosti podle bodu O se bod X zobrazí na bod Y)

postup konstrukce: 1. ABC ; p; O

2. A/ B / C / ; S  O  : 3. Y ; Y 

ABC 

A/ B / C /

A/ B / C /  p

4. X ; S  O  : Y  X 5. XY počet řešení: úloha má dvě řešení 5. Je dána kružnice k  S , 4 cm  a bod C, kde SC  2,5 cm . Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby A  k a B  k . Řešení: rozbor: užijeme otočení (v otočení podle bodu C o úhel 60° se bod A zobrazí na bod B)

Stránka 793

Planimetrie

postup konstrukce: 1. k ; C

2. k / ; R  C ;  60  : k  k / 3. A; A  k  k / 4. B; R  C ;  60  : A  B 5. ABC počet řešení: úloha má dvě řešení 6. Jsou dány kružnice k1  S1 , 3 cm  , k2  S2 , 2 cm  , kde S1S2  6 cm , a bod C, kde

S1C  4 cm . Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby A  k1 a B  k2 . Řešení: rozbor: užijeme otočení (v otočení podle bodu C o úhel 60° se bod A zobrazí na bod B) postup konstrukce: 1. k1 ; k2 ; C

2. k2 / ; R  C ;  60  : k2  k2 / 3. A; A  k1  k2 /

4. B; R  C ;  60  : A  B

5. ABC počet řešení: úloha má dvě řešení

Stránka 794

Planimetrie

7. Je dána kružnice k  S , 4 cm  a úsečka AB ležící vně kružnice, kde AB  2,5 cm . Sestrojte všechny úsečky XY, pro které platí: X  k , Y  k , XY AB , XY  AB . Řešení: rozbor: užijeme posunutí (v posunutí o vektor AB se bod X zobrazí na bod Y)

Stránka 795

Planimetrie postup konstrukce: 1. k ; AB

2. k / ; T  AB  : k  k / 3. X ; X  k  k / 4. Y ; T  BA  : X  Y 5. XY počet řešení: úloha má dvě řešení 8. Je dán obdélník ABCD a úsečka EF, kde EF  3 cm . Sestrojte všechny úsečky XY, pro které platí, že body X a Y leží na obvodu obdélníku, XY EF , XY  EF . Řešení: rozbor: užijeme posunutí (v posunutí o vektor EF se bod X zobrazí na bod Y)

postup konstrukce: 1. ABCD; EF

2. A/ B / C / D / ; T  EF  : 3. X ; X 

ABCD 

ABCD 

A/ B / C / D /

A/ B / C / D /

4. Y ; T  FE  : X  Y 5. XY počet řešení: úloha má dvě řešení

Stránka 796

Planimetrie 9. Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže a : b  3: 5 ,   60 , vc  4 cm . Řešení: a) náčrt (užijeme stejnolehlosti)

b) postup konstrukce: 1. A/ C ; A/ C  5 cm 2.

A/ CX  60

A/ CX ;

3. k ; k  C ; 3 cm  4. B / ; B / 

CX  k

5. p; p  A B , C  p /

/

6. l ; l  C ; 4 cm  7. Y ; Y  p  l 8. q; q  p, Y  q 9. A; A  q  10. B; B  q 

CA/ CB /

11. trojúhelník ABC

c) konstrukce:

d) počet řešení: úloha má jedno řešení v dané polorovině Stránka 797

Planimetrie 10. Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže a : c  3: 5 ,   45 , tc  5 cm . Řešení: a) náčrt (užijeme stejnolehlosti)

b) postup konstrukce: 1. A/ B; A/ B  5 cm 2.

A/ BX ;

A/ BX  45

3. k ; k  B; 3 cm  4. C / ; C / 

BX  k

5. S ; S  A/ B, A/ S  SB 6. l ; l  S ; 5 cm  7. Y ; Y 

SC /  l

8. p; p AB, Y  p 9. C ; C  p 

BX

10. q; C  q; q A/ C / 11. A; A  q 

BA /

12. trojúhelník ABC

c) konstrukce:

d) počet řešení: úloha má jedno řešení v dané polorovině Stránka 798

Planimetrie. Obsah. Stránka 668

Recommend Documents