PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová
TROJÚHELNÍK
VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 – EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
Název školy
Střední odborné učiliště Svitavy Nádražní 1083, Svitavy
Název šablony
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Předmět
Matematika
Tematický celek
Planimetrie
Téma
Trojúhelník
Klíčová slova
Úhly trojúhelníku, trojúhelníková nerovnost, výška, střední příčka, těžnice, kružnice opsaná, kružnice vepsaná
Druh učebního materiálu
Prezentace (Microsoft PowerPoint)
Metodický pokyn
Prezentace je určena pro žáky SOU 2. ročníku maturitního oboru mechanik seřizovač a mechanik seřizovač – mechatronik
Datum vytvoření
3. 9. 2013
A, B, C – vrcholy trojúhelníku a, b, c – strany trojúhelníku
𝛼, 𝛽, 𝛾 – vnitřní úhly ∆ ABC 𝛼′, 𝛽′, 𝛾′ - vnější úhly ∆ ABC vnější úhly jsou vedlejší úhly k úhlům vnitřním 𝛼 + 𝛼 ′ = 180° 𝛽 + 𝛽′ = 180° 𝛾 + 𝛾 ′ = 180°
součet vnitřních úhlů je úhel přímý
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°
vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech 𝛼′ = 𝛽 + 𝛾
𝛽′ = 𝛼 + 𝛾 𝛾′ = 𝛼 + 𝛽
proti delší straně leží větší vnitřní úhel, proti většímu vnitřnímu úhlu leží delší strana trojúhelníku
𝑎 >𝑏 ⇔ 𝛼 > 𝛽 𝑏 >𝑐 ⇔ 𝛽 > 𝛾 𝑐 >𝑎 ⇔ 𝛾 > 𝛼....
Podle velikosti vnitřních úhlů a) ostroúhlý trojúhelník b) pravoúhlý trojúhelník c) tupoúhlý trojúhelník
Podle délek stran a) různostranný trojúhelník b) rovnoramenný trojúhelník c) rovnostranný trojúhelník
součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí 𝑎 < 𝑏 + 𝑐, 𝑏 < 𝑎 + 𝑐, 𝑐 < 𝑎 + 𝑏 všechny tři nerovnosti jsou splněny, právě když platí 𝑏 −𝑐 <𝑎 <𝑏+𝑐
úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku se nazývá výška trojúhelníku výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě 𝑂, v průsečíku výšek, který se nazývá
ortocentrum
ostroúhlý trojúhelník
Průsečík výšek (ortocentrum) 𝑂 leží:
a)
uvnitř trojúhelníku – trojúhelník ostroúhlý
b)
vně trojúhelníku – trojúhelník tupoúhlý
c)
ve vrcholu trojúhelníku, u kterého je vnitřní úhel pravý – trojúhelník pravoúhlý
tupoúhlý trojúhelník
pravoúhlý trojúhelník
úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje délka je rovna polovině délky strany, se kterou je rovnoběžná
úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protější strany těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě 𝑇 = těžiště vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice
Každému trojúhelníku můžeme opsat i vepsat kružnici
Každému trojúhelníku můžeme opsat i vepsat kružnici
kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelníku středem kružnice trojúhelníku opsané je průsečík os stran trojúhelníku poloměr značíme 𝑟, je to vzdálenost středu kružnice ke kterémukoliv vrcholu trojúhelníku
Poloměr kružnice opsané 𝑟:
𝑟=
𝑎 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑟=
𝑎𝑏 𝑣𝑐
𝑟=
𝑎𝑏𝑐 4𝑆
=
=
𝑏𝑐 𝑣𝑎
𝑏 2 𝑠𝑖𝑛 𝛽
=
𝑐𝑎 𝑣𝑏
=
𝑐 2 𝑠𝑖𝑛 𝛾
Střed kružnice trojúhelníku opsané
a)
je vnitřním bodem ostroúhlého trojúhelníku
b)
je vnějším bodem tupoúhlého trojúhelníku
c)
splývá se středem přepony v pravoúhlém trojúhelníku (poloměr je roven polovině délky přepony pravoúhlého trojúhelníku)
ostroúhlý trojúhelník
tupoúhlý trojúhelník
pravoúhlý trojúhelník
kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, je vždy vnitřním bodem trojúhelníku poloměr značíme 𝜌
Poloměr kružnice vepsané 𝜌:
𝜌=
𝑆 𝑠
𝜌 = 𝑠 − 𝑎 𝑡𝑔 = 𝑠 − 𝑐 𝑡𝑔
𝛼 2 𝛾 2
= 𝑠 − 𝑏 𝑡𝑔
𝛽 2
=
obvod 𝑜
𝑜 =𝑎+𝑏+𝑐 obsah 𝑆
𝑆=
𝑆= =
1 2 1 2 1 2
𝑎𝑣𝑎 =
1 2
𝑏𝑣𝑏 =
𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝛾 = 𝑐𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝛽
1 2
1 2
𝑐𝑣𝑐
𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝛼 =
Heronův vzorec
𝑆=
𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐),
kde 𝑠 je polovina obvodu
𝑠=
1 2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
Calda, Emil; Petránek, Oldřich; Řepová, Jana. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 1. část. Dotisk 6. vydání. Praha: SPN, 2000, ISBN 80-7196041-1. Mikulčák, Jiří; Charvát, Jura. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2007, ISBN 978-80-7196-264-9. Matematický software GeoGebra, 4.2.310.
