Planimetrie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod rozděluje přímku na dvě opačné poloroviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo ↔ AB, AB - přímka je dána dvěma různými body Rovina - značí se malými písmeny řecké abecedy α, β, χ nebo ↔ABC - třemi různými body je dána jedna rovina Úsečka - úsečka je průnik polopřímek → AB a → BA Polorovina - přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraniční přímkou Vzájemná poloha útvarů: A∈ k – bod A leží na přímce k (bod je Incidentní) A ∈ ρ - bod A leží v rovině ρ (rovina ρ prochází bodem A) k ⊂ ρ - přímka k leží v rovině ρ (rovina ρ obsahuje přímku k, prochází přímkou k) A ∉ k, A∉ ρ, k ⊄ ρ - opak (neleží, neprochází)
Úhel -
úhlem rozumíme buď průnik dvou polorovin s různoběžnými hraničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel) Vrcholové úhly: Dvě různoběžky p,q se společným bodem V rozdělí rovinu na čtyři úhly – dvě dvojice úhlů jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Takové úhly nazýváme úhly vrcholové. Vrcholové úhly jsou shodné. Úhly souhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p II q ; m ⋅ p. Souhlasnými úhly rozumíme úhly ležící v téže polorovině s hraniční přímkou m , přičemž oba jsou zároveň ostré nebo tupé. Střídavými úhly rozumíme úhly ležící v opačných polorovinách s hraniční přímkou m , přičemž jsou oba zároveň ostré nebo oba zároveň tupé. Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou shodné.
Souhlasné a střídavé úhly lze definovat obecně i mezi přímkami, které rovnoběžné nejsou. - souhlasnými úhly rozumíme úhly, které leží na „stejné straně přímky m ” (tj. současně vlevo nebo současně vpravo) a na „stejných stranách přímek p, q ” (tj. současně nahoře nebo dole). Přímky p,q pak nemusí být rovnoběžné a souhlasné úhly nemusí být shodné (podobně pro úhly střídavé).
Trojúhelník Trojúhelníkem ABC (označíme Δ ABC ) rozumíme průnik polorovin Δ ABC = ABC ∩ ACB ∩ CBA, kde A;B;C jsou navzájem různé body, které neleží na jedné přímce. Nazýváme je vrcholy trojúhelníka. Spojnice vrcholů nazýváme strany trojúhelníka a značíme malými písmeny ( AB = c ; BC = a; AC = b ). Sjednocení stran trojúhelníka nazýváme obvodem trojúhelníka. Konvexní úhly α = < BAC ; β = < ABC ; γ = < ACB jsou vnitřní úhly trojúhelníka, úhly k nim doplňkové jsou pak vnější úhly trojúhelníka. Součet vnitřních úhlů trojúhelníka: α +β +γ =180 . Součet vnějších úhlů trojúhelníka: α'=180−α ; β' = 180 − β; γ'=180−γ Trojúhelníky dělíme: 1. podle délek stran na: - různostranné - rovnoramenné - rovnostranné 2. podle velikosti vnitřních úhlů na - tupoúhlé - pravoúhlé - ostroúhlé Trojúhelníková nerovnost: Součet délek libovolných dvou stran trojúhelníka je vždy větší než délka třetí strany. Rozdíl délek libovolných dvou stran trojúhelníka je vždy menší než délka třetí strany. Proti větší straně trojúhelníka leží větší vnitřní úhel. Proti menší straně trojúhelníka leží menší vnitřní úhel. Proti shodným stranám trojúhelníka leží shodné vnitřní úhly. Shodnost trojúhelníků: Trojúhelníky stejně jako jiné útvary jsou shodné právě tehdy, lze-li jeden na druhý přemístit tak, že splynou. V případě trojúhelníků to znamená, že musí mít shodné všechny strany a všechny úhly. Zapisujeme Δ ABC ≅ Δ A'B'C'. Vrcholy trojúhelníka v tomto zápisu je třeba chápat jako uspořádané trojice. Tento zápis totiž znamená, že shodné jsou právě strany AB ≅ A'B' ; AC ≅ A'C'; BC≅B'C'. a úhly α =α '; β = β '; γ = γ '. Při zjišťování shodnosti trojúhelníků však není nutné dokazovat shodnost všech tří stran a zároveň všech tří úhlů. Stačí dokázat, že je splněna některá z postačujících podmínek shodnosti trojúhelníků. Věty o shodnosti trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují: věta sss: ve všech třech stranách věta sus: ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném věta ssu: ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich věta usu: v jedné straně a úhlech k ní přilehlých Podobnost trojúhelníků: Dva trojúhelníky Δ ABC ; Δ A'B'C' se nazývají podobné (značíme Δ ABC ~Δ A'B'C') právě tehdy, když existuje kladné reálné číslo k (koeficient podobnosti) takové, že AB = k ⋅ A'B' ; AC = k ⋅ A'C' ; BC =k⋅B'C' . Stejně jako v zápisu shodnosti i v zápisu podobnosti je třeba chápat vrcholy jako uspořádané trojice. Zápis nás tedy informuje nejen o podobnosti samotné, ale rovněž o tom, které vrcholy, strany a úhly si v této podobnosti „odpovídají“. Podobnost trojúhelníků je transitivní.
Věty o podobnosti trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, když: věta uu: se shodují ve dvou úhlech; věta sus: se shodují v poměru dvou stran a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shodují v poměru dvou stran a úhlu proti větší z nich. Střední příčka - spojnice středů dvou stran. Trojúhelníky Δ ABC a Δ SB S AC se shodují v poměru velikostí dvou stran AC = 2 . SBC BC = 2 ⋅SAC a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají společný). Podle věty sus jsou tedy podobné. Znamená to, že i AB = 2 . Sa S b a < BAC ≅ < Sa Sb C . Tyto úhly jsou však souhlasné úhly mezi úsečkami AB ; S b S a . Tyto úsečky musí být tedy rovnoběžné . Totéž platí i pro zbývající příčky: Každá střední příčka je rovnoběžná se stranou, kterou neprochází, a má poloviční délku. Výška - kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Všechny výšky se protínají v jednom bodě (tzv. ortocentrum). V případě tupoúhlého trojúhelníka se tento bod nachází mimo trojúhelník. Těžnice - spojnice vrcholu a středu protější strany. Všechny těžnice se protínají v jednom bodě (tzv. těžiště). Těžiště dělí každou těžnici v poměru 2:1.
Kružnice a kruh Kružnice: - je množina bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu (středu) stejnou vzdálenost (tzv. poloměr kružnice). Poloměrem kružnice nazýváme zároveň každou úsečku s jedním krajním bodem ve středu kružnice a druhým na kružnici. Kružnici značíme nejčastěji k. Kružnici nejčastěji zadáváme jejím středem a poloměrem. Je-li kružnice k určena středem S a poloměrem r , zapisujeme k = (S, r) . Kruhový oblouk: - dva body kružnice A∈ k; B ∈ k rozdělí tuto kružnici na dva kruhové oblouky (kruhový oblouk značíme AB) Tětiva kružnice k = (S,r) je libovolná úsečka AB , kde A,B ∈ k . Prochází-li středem kružnice, nazýváme ji průměrem kružnice. Průměr je tedy nejdelší tětiva kružnice. Podobně jako u poloměru používáme i termín průměr také ve smyslu „velikost nejdelší tětivy“. Značíme d a platí d = 2r. Kružnice a přímka mají: a) dva společné body (takovou přímku nazýváme sečnou) b) jeden společný bod (přímku nazýváme tečnou, společný bod je bod dotyku, říkáme také, že kružnice se dotýká přímky) c) žádný společný bod (hovoříme o vnější přímce) Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy). Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje střed s bodem dotyku. Bodem M ležícím vně kružnice k procházejí právě dvě tečny této kružnice. Délka úsečky MT se nazývá délka tečny. Středový a obvodový úhel: Úhel ω = < ASB , jehož vrcholem je střed kružnice a ramena procházejí krajními body oblouku AB , nazýváme středový úhel příslušný tomuto oblouku. Každý úhel α =
ω=2α ω - středový úhel α - obvodový úhel Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý (neboli všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé). Konvexní úhel < ABX , kde body AB leží na kružnici a X na tečně k této kružnici v bodě A (popř. B ) se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB , který v tomto oblouku leží. Úsekový úhel je shodný se všemi obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku. Mocnost bodu ke kružnici: Je dána kružnice k = (S,r) a libovolný bod M . Tímto bodem veďme sečnu p ke kružnici k a označme A, B průsečíky této přímky s kružnicí, tj. A,B∈ k ∩ p Pro každou takto sestrojenou přímku procházející pevným bodem M je |MA|⋅|MB| = |MT| 2 Je-li bod M vně kružnice k , nazýváme tento součin mocností bodu ke kružnici, je-li uvnitř kružnice, je mocností číslo − |MA|⋅|MB|. Mocnost bodů ležících na kružnici, je rovna nule. T – dotykový bod tečny a kružnice. Kružnice a trojúhelník: Kružnice trojúhelníku opsaná: je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os stran, poloměr značíme obvykle r . Kružnice trojúhelníku vepsaná: je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os vnitřních úhlů, její poloměr značíme obvykle ρ .
Kružnice trojúhelníku vepsaná
Kruh: - je množina bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu (středu) vzdálenost menší nebo rovnu danému kladnému číslu (tzv. poloměr kruhu). Poloměrem kruhu nazýváme zároveň každou úsečku s jedním krajním bodem ve středu kružnice a druhým na kružnici. Kruh značíme nejčastěji K. Kruh nejčastěji zadáváme jeho středem a poloměrem. Je-li kruh takto určen, zapisujeme K = (S,r) . Množinu bodů, jejichž vzdálenost je rovna poloměru, nazýváme hranicí kruhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je menší, tvoří vnitřní oblast (vnitřek) kruhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je větší, tvoří vnější oblast (vnějšek) kruhu. Dva poloměry SA, SB rozdělí kruh na dvě kruhové výseče, tětiva AB na dvě kruhové úseče. Je-li AB průměr kruhu, nazýváme úseč půlkruhem.
Dvojice kružnic: Dvě kružnice o různých poloměrech mohou mít nejvýše dva společné body. Mají-li dvě kružnice společný střed, nazýváme je soustředné. Soustředné kružnice buď nemají žádný společný bod nebo mají všechny body společné (splynou). Dvě soustředné kružnice k = (S;r); l = (S;r2) r2 > r určují tzv. mezikruží. Číslo r2 − r nazýváme šířkou mezikruží. Průnik středového úhlu a mezikruží se nazývá výseč mezikruží. Kružnice, které nemají společný střed, se nazývají nesoustředné.
Mnohoúhelníky - mnohoúhelníkem nazýváme uzavřenou lomenou čáru spolu s částí roviny ohraničenou touto lomenou čárou - n -úhelník nazýváme konvexní právě tehdy, když leží v jedné z polorovin určených kteroukoli stranou → lze definovat jako průnik polorovin Úhlopříčka je spojnice dvou vrcholů, které spolu nesousedí. Počet úhlopříček v n – úhelníku je {(n – 3) * n } / 2 Součet vnitřních úhlů je součtem vnitřních úhlů všech tvořících trojúhelníků, tj. (n − 2)⋅180 Pravidelný n -úhelník je n -úhelník, který lze zapsat jako sjednocení n rovnoramenných trojúhelníků, které mají společný hlavní vrchol a vždy právě dva mají právě jedno společné rameno. Speciálně místo pravidelný trojúhelník používáme název rovnostranný trojúhelník a místo pravidelný čtyřúhelník používáme název čtverec. Speciální čtyřúhelníky: Lichoběžník: je čtyřúhelník, který má právě jednu dvojici rovnoběžných stran. Strany, které rovnoběžné nejsou, nazýváme ramena. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, se nazývá rovnoramenný. Rovnoběžník: je čtyřúhelník, který má právě dvě dvojice rovnoběžných stran. Na připojeném obrázku je Δ ACD≅Δ CAB podle věty usu (strana AC je společná, úhly k ní přilehlé jsou střídavé mezi rovnoběžkami). Znamená, to, že AB≅CD; BC≅DA. Dále tedy Δ ABS ≅Δ CDS (opět věta usu, neboť AB ≅ CD a přilehlé úhly jsou opět střídavé úhly mezi rovnoběžkami). To znamená, že AS ≅ SC ; BS≅SD. Protější strany v rovnoběžníku jsou shodné. Úhlopříčky rovnoběžníka se půlí.
Kosočtverec: je rovnoběžník, který má shodné i sousední strany. V tom případě je Δ ADS ≅ Δ CDS (usu), a proto
Řešení pravoúhlého trojúhelníku Euklidova věta o výšce – obsah čtverce sestrojeného nad výškou trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě vc2 = c a ⋅ c b Euklidova věta o odvěsně – obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně b2 = c ⋅ c b a2 = c ⋅ c a Pythagorova věta – součet obsahů čtverců nad odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou c2 = a2 + b2 Odvození - sečtením Euklidových vět: b2 = c ⋅ c b a2 = c ⋅ c a
a2 + b2 = c . c b + c ⋅ c a a2 + b 2 = c . ( c a + c b )
Obvody a obsahy rovinných obrazců Trojúhelník:
O = a+ b+ c
Heronův vzorec:
S=
O = 2( a + b ) S = a ⋅ va
a+ b+ c 2
b
d
c a v
b
d
c a v
b
Lichoběžník: O = a + b + c + d
( a + c)v
s= c a
d
S = ab
S=
a ⋅ va 2
s( s − a )( s − b )( s − c )
Obdélník: O = 2( a + b )
Rovnoběžník:
S=
2
Pravidelný n-úhelník: S = n ⋅ S ∆ ABS – n-krát obsah jednoho trojúhelníka Kruh: O = 2π r
S= π r
r
2
2
Mezikruží: S = π r1 − π r2
2
r1 r2
Oblouk: O = rϕ – úhel v radiánech Výseč: S =
Úseč:
S=
r2 ϕ 2
r
r
r2 1 ϕ − ⋅r 2 ⋅ sin ϕ – obsah výseče mínus obsah trojúhelníka 2 2
r
Množiny bodů dané vlastnosti Množinou všech bodů dané vlastnosti V je množina M bodů, které splňují tyto požadavky: 1. každý bod množiny M má danou vlastnost V, 2. každý bod, který má danou vlastnost V, patří do množiny M. Chceme – li dokázat, že nějaká množina bodů je množina všech bodů dané vlastnosti, musíme ověřit obě podmínky. Druhou podmínku lze nahradit podmínkou ekvivalentní → „každý bod, který do množiny M nepatří, nemá danou vlastnost“ Kružnice - vzdálenost každého bodu kružnice k od středu S je rovna r - každý bod roviny, jehož vzdálenost os středu S je rovna r, leží na kružnici k → kružnice k je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S danou vzdálenost r → K (S;r) = {x∈ δ ;|XS| = r} Osa úsečky - množina všech bodů, které mají od daných bodů A, B stejnou vzdálenost → O = {x∈ δ ;|XA| = |XA|} Při zjišťování jaký geometrický útvar je množinou bodů dané vlastnosti postupujeme: 1. sestrojíme několik bodů, které mají danou vlastnost 2. vyslovíme hypotézu (domněnku), jaký geometrický útvar je množinou všech bodů dané vlastnosti 3. vyslovenou hypotézu dokážeme Množina všech bodů, které mají od dané přímky b vzdálenost v > 0, je dvojice přímek a, a' rovnoběžných s přímkou b, ležících v opačných polorovinách určených přímkou b ve vzdálenosti v od ní. → {X∈ δ ;|Xb| = v|} = a U a' Množina všech bodů daného konvexního úhlu AVB, které mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž leží jeho ramena, je osa tohoto úhlu. → o = {x∈ < AVB;|X ↔ VA| = |X ↔ VB|} Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou daných různoběžek a, b, jsou osy o1', o1", o2',
o2" úhlu sevřených různoběžkami a, b, přitom o1' U o1" = o1; o2' U o2" = o2 → {X∈ δ ;|Xb| = |Xa|} = (o1' U o1") U ( o2' U o2") Množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou daných rovnoběžek a, b (a ≠ b), je osa o pásu (a, b) → {X∈ δ ;|Xb| = |Xa|} = o Množina vrcholů všech pravých úhlů , jejichž ramena procházejí danými body A, B (A ≠ B), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme danou úsečku AB pod pravým úhlem, je kružnice s průměrem AB kromě bodů A, B (Thaletova kružnice) → {x∈ δ;| < AVB| = 90} = TAB Množina vrcholů o velikosti α, jejichž ramena procházejí danými body A, B (A ≠ B), tj. množina všech bodů z nichž vidíme danou úsečku AB pod daným úhlem α, jsou dva shodné otevřené kružnicové oblouky k1, k2
s krajními body A, B → {x∈ δ;| < AVB| = α} = k1 U k2
Konstrukce -
trojúhelník je dán vhodně zvolenými 3 prvky: 1. trojúhelník je dán třemi stranami 2. jsou dány dvě strany a úhel, který svírají 3. je dána strana a k ní dva přilehlé úhly 4. dány dvě strany a úhel proti větší z nich
-
konstrukce čtyřúhelníků – jde obvykle o konstrukce trojúhelníků, na které je čtyřúhelník rozdělen úhlopříčkami - k určovacím prvkům čtyřúhelníku patří jeho strany, úhly, úhlopříčky, výšky a úhly úhlopříček -
konstrukce kružnic - požadujeme –li , aby kružnice procházela daným bodem, dotýkala se dané přímky nebo dané kružnice a kombinujeme –li tyto podmínky po třech dostáváme tzv. Apolloniovy úlohy → úloh je 10 (BBB, pBB, ppB, ppp, kBB, kkB, Bkp, …) - jestliže jeden z daných bodů leží na dané přímce nebo na dané kružnici, mluvíme o úlohách Pappových → úloh je 6 ( (pB)B, (kB)B, (pB)p, (kB)p, (pB)k, (kB)k )
Příklady: 1. Jsou dány dvě různoběžné přímky a, b a přímka c, která je rovnoběžky protíná. Sestrojte kružnici, která se dotýká všech daných přímek. 2. Sestrojte trojúhelník, je – li dáno t a, t b, t c 3. Je dána úsečka AB = 7 cm. Sestrojte všechny rovnoběžníky ABCD, v nichž AC = 10 cm, v a = 4 cm. Konstrukce na základě výpočtu: - při rozboru řešení konstrukční úlohy hledáme vztah mezi délkami daných úseček a délkami úseček hledaného tvaru, tento vztah vyjádříme užitím známých geometrických vět rovnicí nebo soustavou rovnic → rovnice řešíme Úlohy typu: 1. Obdélník má strany o délkách a, b. Sestrojte čtverec o stejném obsahu 2. Jsou dány dvě úsečky o délkách a, b (a < b). Sestrojte úsečku pro kterou platí: x = √ a2 + b2 3. Úsečku AB rozdělte na dvě části tak, aby poměr menší části k větší byl stejný jako poměr větší části k celé úsečce
