1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body •
průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny
•
A = B … bod A je totožný (splývá) s bodem B
•
A ≠ B … různé body A, B
Přímka •
je dána dvěma různými body
•
značí se malými písmeny latinské abecedy nebo užitím symbolu ↔
•
např. p = ↔ AB
• •
D ∈ p - bod D leží na přímce p (přímka p prochází bodem D) C ∉ p - bod C neleží na přímce p (přímka p neprochází bodem C)
Pozn: A, B jsou incidentní s p, p je incidentní s A i B, C není incidentní s p. p není incidentní s C.
Polopřímka •
bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky, je jejich společným počátkem
•
např. → ΕΒ … polopřímka EB
Úsečka •
např. KL … úsečka KL
•
KL = → KL ∩ → LK (průnik polopřímek KL a LK)
•
K, L … krajní body úsečky
•
M … vnitřní bod úsečky (analogicky vnitřní body, vnitřek úsečky)
•
|KL| … délka úsečky – vzdálenost bodů K, L
•
KL ⊂ → KL, KL ⊂ → LK, KL ⊂ ↔ KL
•
střed úsečky – dělí úsečku na dvě shodné úsečky
•
součtem úseček o délkách a, b je každá úsečka s délkou a + b rozdílem úseček o délkách a, b (a > b) je každá úsečka s délkou a – b 1
•
Př.: součet a rozdíl úseček graficky
•
osa úsečky – prochází středem úsečky a je k ní kolmá
Rovina • •
je určena třemi různými body nebo přímkou a bodem neležícím na přímce značí se malými písmeny řecké abecedy např. α, β nebo ↔ ABC nebo ↔ pC
Polorovina • •
přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraniční přímkou např. → pN ( → pM, příp. → ABN ) … polorovina určená přímkou p a bodem N ( přímkou p a bodem M, příp. body ABN)
Vzájemná poloha útvarů : A ∈ p ... bod A leží na přímce p, přímka p prochází bodem A A ∈ ρ ... bod A leží v rovině ρ, rovina ρ prochází bodem A p ⊂ ρ ... přímka p leží v rovině ρ (rovina ρ obsahuje přímku p, rovina ρ prochází přímkou p) A ∉ p, A ∉ ρ, p ⊄ ρ ... opak (neleží, neprochází)
2
Úhel • •
úhlem rozumíme buď průnik dvou polorovin s různoběžnými hraničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel). např. ∢ AVB … konvexní úhel AVB V … vrchol úhlu → VA, → VB … ramena úhlu M … vnitřní bod konvex. úhlu AVB N … vnitřní bod nekonvex. úhlu AVB
nekonvexní 180° < α < 360° nulový α = 0°
pravý α = 90°
přímý α = 180° úhel konvexní 0° ≤ α ≤ 180°
plný α = 360°
ostrý 0° < α < 90° kosý tupý 90° < α < 180°
3
Konvexní geometrický útvar •
geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva body útvaru je součástí tohoto útvaru
•
přímka, polopřímka, úsečka, polorovina, konvexní úhel, ...
Vrcholové úhly
•
dvě různoběžky p, q se společným bodem V rozdělí rovinu na čtyři úhly - dvě dvojice úhlů jejichž ramena jsou opačné polopřímky. vrcholové úhly jsou shodné
•
dvojice vrcholových úhlů:
•
Doplňkové úhly •
libovolné dva ostré úhly, jejichž součet velikostí je 90°
Výplňkové úhly •
libovolný ostrý úhel a tupý úhel, jejichž součet velikostí je 180°
Styčné úhly •
konvexní úhly AVB, BVC, které leží v rovině tak, že jejich průnikem je právě jen rameno VB
•
vedlejší úhly – styčné úhly, jejichž grafickým součtem je úhel přímý
4
Osa úhlu •
polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu
•
rozdělí úhel na dva shodné úhly
Velikost úhlu •
zápis: ∣∢ AVB∣= α … velikost konvexního úhlu AVB
•
při měření úhlů volíme za jednotkový úhel určitý díl pravého úhlu
•
úhlový stupeň •
šedesátinný (označení 1°) •
•
setinný (označení 1g ) •
•
je 1/90 pravého úhlu. Z úhlového stupně jsou odvozeny úhlová minuta (1') a úhlová vteřina (1″). Platí 1° = 60' = 3 600″. je 1/100 pravého úhlu. Grad se dělí na 100 setinných minut, setinná minuta se dělí na 100 setinných vteřin.
oblouková míra – jednotkovým úhlem je radián (později)
Součet úhlů •
součet úhlů α, β je úhel o velikosti α + β
Rozdíl úhlů •
rozdíl úhlů α, β (α > β) je úhel o velikosti α – β
Př: Součet a rozdíl úhlů graficky.
5
Shodné geometrické útvary •
lze je přemístěním ztotožnit
•
každé dvě přímky jsou shodné, každé dvě polopřímky jsou shodné
•
shodné úsečky mají stejné délky, zápis: AB ≅ CD ⇔ |AB| = |CD|
•
shodné úhly mají stejnou velikost, zápis
∢ AVB ≅ ∢CUD ⇔ ∣∢ AVB∣ = ∣∢CUD∣
Příklady: 1. Zapiš symbolicky: a) bod B leží na polopřímce AC b) úsečka AC je částí polopřímky BF c) bod B neleží na úsečce AC d) úsečka BA neleží na polopřímce CF e) polopřímka CB nemá s polopřímkou AF žádný společný bod f) úsečky AC a BD mají jediný společný bod C g) přímka AC splývá s přímkou BF .
2. Zapiš symbolicky: a) úsečka CD leží v polorovině ABE b) polopřímka GD neleží v polorovině ABE c) bod F leží v polorovině CDA d) bod F neleží v polorovině CDE e) polorovina CGB splývá s polorovinou CDE f) přímka q leží v obou polorovinách ABE a ACG.
6
2. Vzájemná poloha přímek v rovině, souhlasné a střídavé úhly Různoběžky •
mají společný právě jeden bod – průsečík P a ∩ b = {P}; P ∈ a ∩ b
•
zvláštní případ – kolmé přímky , průsečík P = pata kolmice
•
daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmici
•
a ⊥ b∧a⊥ c ⇒ b∥c
•
b∥c∧a⊥ b ⇒ a ⊥c
Rovnoběžky a || b •
nemají žádný společný bod a ∩ b = ∅ , nebo nekonečně mnoho společných bodů
•
zvláštní případ – splývající (totožné) přímky a ∩ b = a = b
•
daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku
•
a∥b∧b∥c ⇒ a∥c
Rovinný pás (a,b) •
část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami a, b
Úhly souhlasné a střídavé Uvažujme dvě různé přímky a, b, které jsou proťaty příčkou p ve dvou bodech A, B (příčka – úsečka nebo přímka, která má specif. polohu k jednomu či několika útvarům). •
dvojice souhlasných úhlů:
•
dvojice střídavých úhlů:
Jestliže jsou přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů jsou shodné a obráceně. 7
3. Odchylky a vzdálenosti Odchylkou α dvou přímek a, b v rovině •
•
nazýváme • u různoběžných přímek velikost pravého nebo ostrého úhlu, který přímky svírají • u rovnoběžných přímek velikost nulového úhlu zápis ∣∢a b∣=α ; α ∈〈0 ° ; 90° 〉
Vzdálenost bodu A od přímky a •
je vzdálenost bodů A, P (P je pata kolmice vedené bodem A k přímce p)
• •
zápis ∣Aa∣ A∈a ⇒∣A a∣=0
Vzdálenost rovnoběžných přímek a, b •
je vzdálenost bodů A, B ( viz nákres)
•
zápis ∣a b∣
•
a=b ⇒∣a b∣=0
8
3. Trojúhelník Trojúhelník ABC •
je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; A ≠ B ≠ C; A, B, C neleží v jedné přímce.
•
A, B, C … vrcholy trojúhelníku
•
AB, BC, AC … strany trojúhelníku
•
|AB| + |BC| + |AC| = O … obvod trojúhelníku ( délka hranice)
•
vnitřní body a vnitřek trojúhelníku
•
vnitřní úhly trojúhelníku
•
•
•
konvexní úhly BAC, ABC, BCA
•
označení …
•
součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy úhel přímý.
∣∢ BAC∣ ... ∢ A ... α ∣∢ ABC∣ ... ∢ B ... β ∣∢BCA∣ ... ∢C ... γ
vnější úhly trojúhelníku •
vedlejší úhly k vnitřním úhlům trojúhelníku ABC
•
vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.
proti shodným stranám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly, proti větší straně trojúhelníku leží větší vnitřní úhel a naopak.
Dělení trojúhelníků podle délek stran • • •
různostranné • žádné dvě strany trojúhelníku nejsou shodné rovnoramenné • právě dvě strany trojůhelníku jsou shodné – ramena, třetí je základna, rovnostranné • všechny strany trojúhelníku jsou shodné
Dělení trojúhelníků podle velikosti vnitřních úhlů •
ostroúhlé •
•
tupoúhlé •
•
všechny vnitřní úhly ostré právě jeden vnitřní úhel tupý
pravoúhlé •
právě jeden vnitřní úhel pravý
•
strana proti pravému úhlu - přepona, ostatní dvě strany - odvěsny
9
Trojúhelníková nerovnost •
součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí např. ∣AB∣⩽∣AC∣+∣BC∣
, přičemž A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku (neleží v jedné přímce)
Pozn: rovnost nastane právě tehdy, když C ∈ AB . Úsečky o délkách a, b, c jsou stranami trojúhelníku právě tehdy, když platí ∣b−c∣< a< b+c . Odvození:
Střední příčka trojúhelníku • •
úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku 1 ∣A1 B1∣= ∣AB∣; A1 B 1∣∣ AB , atd... 2
Výška trojúhelníku •
úsečka , jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku
•
va, vb, vc
•
výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě O – orthocentrum
Těžnice trojúhelníku •
úsečka spojující vrchol se středem protější strany
•
ta, tb, tc
•
těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě T – těžiště
•
vzdálenost těžiště od vrcholu je rovna dvěma třetinám délky těžnice
10
Kružnice opsaná trojúhelníku •
prochází všemi vrcholy trojúhelníku
•
střed je průsečíkem os stran trojúhelníku, poloměr r
Kružnice vepsaná trojúhelníku •
dotýká se všech stran trojúhelníku
•
střed je průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku, poloměr ρ
Shodnost trojúhelníků Věta SSS •
Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech jeho stranách, jsou shodné.
Věta USU •
Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsou shodné.
Věta SUS •
Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.
Věta SsU •
Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich, jsou shodné.
Podobnost trojúhelníků •
Trojúhelníky A'B'C' a ABC jsou podobné právě tehdy když existuje kladné reálné číslo k takové, že pro jejich strany platí: ∣A' B '∣=k⋅∣AB∣; ∣B' C '∣=k⋅∣BC∣; ∣C ' A'∣=k⋅∣CA∣ neboli c ' =k⋅c ; a ' =k⋅a ; b ' =k⋅b .
•
k … koeficient (poměr) podobnosti k > 1 … zvětšení, k < 1 … zmenšení, k = 1 … shodnost
•
Zápis: Δ ABC ~Δ A ' B ' C '
•
Je-li Δ ABC ~Δ A ' B ' C ' s koeficientem k, pak je Δ A' B ' C ' ~Δ ABC s koef. 1/k.
Věta UU •
Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech jsou podobné.
Věta SUS •
Dva trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou stran a úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.
11
Příklady 1. (J) (K) Rozhodni, zda jsou podobné trojúhelníky ABC, A'B'C'. 8 7 7 a) a= cm , b= cm , γ =55 ° , a ' =4 cm , b '= cm , γ ' =55° 3 3 2 b) a=15 cm , b=17 cm , γ=75° 40' , a '=10 cm , b ' =11cm , γ ' =75 ° 40 ' *c) ∣AB∣=24 mm , v c =16 mm ,∣A ' B'∣=72 mm ,∣A ' C '∣=60 mm , trojúhelníky ABC a A'B'C' jsou rovnoramenné 1 d) a=12 cm , b=16 cm , c=19 cm , a ' =10 cm , b ' =13 cm , c ' =15 cm 3 2. (J) Stín věže je dlouhý 70 m a stín metrové tyče má v tutéž dobu délku 150 cm. Vypočítejte výšku věže. 3. (J) Určete měřítko mapy, jestliže trojúhelníková pole o rozměrech 162,5 m; 117,5 m; 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník o stranách 6,5 mm; 4,7 mm; 7,2 mm. 4. (J) V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB veďte středem S ramene BC 3 kolmici na základnu AB s patou D. Dokažte, že platí ∣AD∣= ∣AB∣ . 4 *5. (J) Vrcholy trojúhelníku ABC mají od přímky p vzdálenost dA = 3 cm, dB = 4 cm, dC = 8 cm. Vypočítej vzdálenost těžiště T trojúhelníku ABC od přímky p. 6. (J) Vypočítej délky stran a, b, c trojúhelníku ABC, který je podobný trojúhelníku A'B'C', jestliže obvod trojúhelníku ABC je 100 cm a a'= 8 cm, b'= 14 cm, c'= 18 cm. 7. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zkraťte úsečky o velikostech 4 cm, 8 cm, 12 cm v poměru 5 : 11. 8. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zvětšete úsečky o velikostech 2 cm, 5 cm, 6 cm v poměru 7 : 5. 9. (J) Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každé 2 m o 10 cm. O kolik metrů stoupne cesta při vzdálenosti 1250 m? 10. (K) Trojúhelník ABC má délky stran a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm. Najděte trojúhelník podobný, jehož strana a' = 3 cm. 11. (K) Věž vrhá stín dlouhý 56 m. Tyč dlouhá 3 m má ve stejném okamžiku stín dlouhý 1,75 m. Jak vysoká je věž? Pod jakým úhlem dopadají sluneční paprsky k zemi? Řešení: 1. a) A, b) N, c) A, d) N; 2. 140/3 m; 3. 1 : 25 000; 5. 5 cm; 6. a = 20 cm, b = 35 cm, c = 45 cm; 9. o 62,5 m; 10. b' = 4,5 cm, c' = 6 cm; 11. 96 m, 59°44'
12
4.Mnohoúhelníky Pojmy: lomená čára, vrcholy lomené čáry, strany lomené čáry, lomená čára uzavřená...
Mnohoúhelník •
uzavřená lomená čára spolu s částí roviny, kterou ohraničuje
Pojmy: hranice mnohoúhelníku, obvod mn., vrcholy a strany mn., vnitřní body a vnitřek mn., konvexní mnohoúhelník
n–úhleník •
má n-vrcholů (n = 3 … trojúhelník, n = 4 … čtyřúhelník, atd...)
Úhlopříčka n-úhelníku •
úsečka s krajními body ve dvou nesousedních vrcholech
•
počet úhlopříček:
1 ⋅n⋅( n−3) 2
Konvexní mnohoúhelník •
mnohoúhelník je konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva body mnohoúhelníku je součástí tohoto útvaru
•
tětivový mnohoúhelník – konvexní mnohoúhelník, jemuž lze opsat kružnici
•
tečnový mnohoúhelník – konvexní mnohoúhelník, jemuž lze vepsat kružnici
•
opěrná polorovina konvexního mnohoúhelníku •
každá polorovina, v niž konvexní mnohoúhelník leží a jejíž hraniční přímka má s mnohoúhelníkem společnou právě jednu hranu.
•
konvexní mnohoúhelník je průnikem všech svých opěrných polorovin
•
vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku •
•
součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku: (n−2)⋅180 °
vnější úhel konvexního mnohoúhelníku
Pravidelný n-úhelník •
má všechny strany a vnitřní úhly shodné
•
vnitřní úhly mají velikost
•
lze mu opsat i vepsat kružnici
•
např: čtverec, pravidelný pětiúhelník
(n−2)⋅180 ° n
13
Příklady: 1. Velikosti vnitřních úhlů konvexního čtyřúhelníku jsou v poměru m : n : p : q, kde m, n, p, q jsou daná čísla. Jaké mají velikosti? 2. Lichoběžník ABCD s rameny AD délky 3 cm a BC délky 5 cm lze vepsat kružnici. Střední příčka EF dělí lichoběžník na dvě části, jejichž obsahy jsou v poměru 5 : 11. Vypočítej délky základen lichoběžníku. 3. Sestroj pravidelný trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, sedmiúhelník a desetiúhelník.
14
5. Konvexní čtyřúhelníky
Různoběžníky •
každé dvě protější strany jsou různoběžné
•
např. deltoid
Lichoběžníky •
právě dvě protější strany jsou rovnoběžné – základny, zbývající dvě strany jsou různoběžné - ramena.
•
střední příčka lichoběžníku – úsečka spojující středy ramen
•
výška lichoběžníku – vzdálenost základen
•
součet vnitřních úhlů při rameni je 180° (výplňkové úhly)
•
zvl. případy
∣S 1 S 2∣=
∣AB∣+∣CD∣ 2
•
rovnoramenný lichoběžník – stejná délka ramen
•
pravoúhlý lichoběžník - právě jedno rameno je kolmé k základnám
15
Rovnoběžníky •
každé dvě protější strany jsou rovnoběžné
•
dělení podle vnitřních úhlů •
pravoúhlé (obdélník, čtverec) •
• •
kosoúhlé ( kosodélník, kosočtverec)
dělení podle délek stran •
rovnostranné (čtverec, kosočtverec) •
• •
úhlopříčky jsou shodné
úhlopříčky půlí vnitřní úhly a jsou navzájem kolmé
různostranné (obdélník, kosodélník)
v každém rovnoběžníku platí •
protější strany jsou shodné
•
protější vnitřní úhly jsou shodné
•
úhlopříčky se navzájem půlí, jejich společný bod je středem rovnoběžníku
•
věty platí i obráceně: Jestliže konvexní splňuje kteroukoliv z uvedených vlastností, pak je to rovnoběžník.
•
Má-li rovnoběžník dva sousední úhly shodné, pak jsou shodné všechny a jsou pravé.
•
Má-li rovnoběžník dvě sousední strany shodné, pak jsou všechny jeho strany shodné.
?? Lze každému trojúhelníku opsat a vepsat kružnici? ?? Lze každému konvexnímu čtyřúhelníku opsat a vepsat kružnici?
16
Tětivový čtyřúhelník •
čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici,
•
obdélník, čtverec
•
lichoběžník je tětivový, právě když je rovnoramenný
•
součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý
Tečnový čtyřúhelník •
čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici
•
kosočtverec, čtverec, deltoid
•
lichoběžník je tečnový, právě když součet délek jeho základen je roven součtu délek jeho ramen
•
součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníky jsou si rovny
Dvojstředový čtyřúhelník •
čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici
•
čtverec
Pozn: Kosodélník není ani tětivový, ani tečnový.
17
6. Kružnice, kruh Kružnice k(S, r) •
množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S danou vzdálenost r S … střed kružnice, r … poloměr kružnice
Kruh K(S, r) •
množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r S … střed kruhu, r … poloměr kruhu k(S, r) … hranice kruhu vnitřní oblast (vnitřek) kruhu, vnější oblast (vnějšek) kruhu
Tětiva kružnice •
úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice
•
průměr kružnice d je tětiva procházející středem kružnice d = 2 . r
Kružnicové oblouky (oblouky kružnice) s krajními body A, B Větší oblouk - oblouk v polorovině ABS , menší oblouk (AB neprochází bodem S) Půlkružnice – oblouky pokud AB prochází bodem S Otevřený oblouk – množina všech vnitřních bodů oblouku (oblouk bez krajních bodů) A, B … krajní body obou oblouků C1, C2 … vnitřní body jednoho oblouku
Kruhové výseče
Kruhové úseče
18
Vzájemná poloha přímky a kružnice Vnější přímka
Tečna
Sečna
žádný společný bod
právě jeden společný bod
právě dva společné body
v>r
T … bod dotyku
A, B … průsečíky
v=r
v
tečna je kolmá k r
úsečka AB … tětiva
Bodem M, který leží vně kružnice prochází právě dvě tečny kružnice. |MT1| = |MT2|... délka tečny Př 1: Je dána kružnice k a vnější bod M. Sestrojte všechny tečny kružnice k procházející bodem M.
19
Vzájemná poloha dvou kružnic k1(S1, r1 ), k2(S2, r2 ) Soustředné kružnice S1 = S2 •
nemají žádný společný bod (r1 ≠ r2 ), nebo nekonečně mnoho společných bodů (r1 = r2 )
•
zvláštní případ – totožné (splývající) kružnice, r1 = r2
•
mezikruží - všechny body, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r1 a větší nebo rovnu r2
•
šířka mezikruží r1 – r2
•
výseč mezikruží – průnik mezikruží a úhlu, jehož vrcholem je střed kružnice
Nesoustředné kružnice S1 ≠ S2 S1S2 … středná úsečka Každá kružnice leží vně druhé |S1S2| > r1 + r2
Kružnice mají vnější dotyk |S1S2| = r1 + r2
Kružnice se protínají ve dvou bodech r1 - r2 < |S1S2| < r1 + r2
Kružnice mají vnitřní dotyk |S1S2| = r1 - r2
Jedna kružnice leží uvnitř druhé (nedotýkají se) 0 < |S1S2| < r1 - r2
20
7. Úhly příslušné k oblouku kružnice k(S, r) Úhel středový příslušný k oblouku AB ... úhel ω •
má vrchol v bodu S (střed kružnice k), ramena procházejí body A, B
•
oblouk AB v daném středovém úhlu leží
•
středový úhel k půlkružnici je úhel přímý
Úhel obvodový příslušný k oblouku AB … úhel α •
vrchol V leží na kružnici k, neleží na oblouku AB (ke kterému obvodový úhel přísluší), ramena úhlu procházejí body A, B
•
obvodový úhel je vždy konvexní
Ke každému oblouku existuje právě jeden středový úhel a nekonečně mnoho obvodových úhlů.
21
Velikost středového úhlu (ω ) je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu (α) příslušného k témuž oblouku. ω=2. α
Platí: •
Všechny obvodové úhly k danému oblouku jsou shodné.
•
Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý.
•
Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý.
•
Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je ostrý.
•
Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB je úhel přímý (viz tětivový čtyřúhelník)
Thaletova věta •
všech úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.
22
8. Obvody a obsahy geometrických obrazců Geometrický obrazec •
geometrický útvar ohraničený uzavřenou čarou, která je také částí obrazce
Obvod O •
délka hranice geometrického útvaru
Obsah S •
kladné číslo přiřazené geometrickému obrazci tak, že platí 1. Shodné obrazce mají sobě rovné obsahy. 2. Skládá-li se obrazec z několika obrazců, které se nepřekrývají, rovná se jeho obsah součtu jejich obsahů. 3. Obsah čtverce se stranou 1 (mm, cm, …) je 1 (mm2, cm2, …)
Přehled vzorců Obrazec
Obvod
Obsah
Trojúhelník
O=a+ b+c
Obdélník strany … a, b
O=2⋅(a+ b)
S =a⋅b
Čtverec strana … a
O=4⋅a
S =a 2 1 S = ⋅e2 2
Kosodélník
O=2⋅(a+ b)
S =a⋅v a=b⋅v b
23
1 1 1 S = ⋅a⋅v a= ⋅b⋅v b = ⋅c⋅v c 2 2 2 Heronův vzorec: S = √ s⋅( s−a)⋅(s−b)⋅(s−c) , 1 kde s= ⋅(a+ b+c) 2
Kosočtverec
O=4⋅a
S =a⋅v 1 S = ⋅e⋅ f 2
Lichoběžník
O=a+ b+c +d
1 S = ⋅(a+ c)⋅v 2
Kruh
O=2⋅π⋅r= π⋅d
1 S = π⋅r 2= ⋅π⋅d 2 4
d =2 r˙ Mezikruží
S = π⋅(r 12−r 22) 1 S = ⋅π⋅(d 21−d 22) 4
d 1=2⋅r 1 d 2=2⋅r 2 Pravidelný n-úhelník strana ... a poloměr kružnice vepsané …ρ
O=n⋅a
1 1 S =n⋅ ⋅a⋅ρ= ⋅O⋅ρ 2 2
24
Pozn: Kružnice přísluší středovému úhlu 360°, půlkružnice středovému úhlu 180°.
Délka oblouku, kterému přísluší středový úhel 1° •
je
1 360
délky celé kružnice, tj.
2⋅π⋅r 360
•
je
1 180
délky celé půlkružnice, tj.
Délka kružnicového oblouku , kterému přísluší středový úhel o velikosti α (°) π⋅r ̂ ∣ AB∣= ⋅α 180
Oblouková míra •
jednotkový úhel …. 1 radián •
středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici (r =1) oblouku o délce 1.
•
α … velikost úhlu v míře stupňové (ve stupních), [α] = ° ' ''
•
arc α , x … velikost úhlu v míře obloukové (v radiánech), [x] = rad • • •
délka oblouku jednotkové kružnice, který přísluší ke středovému úhlu o velikosti α v míře stupňové 180 ⋅x [°] x= π ⋅α [rad] , α = π 180 velikost úhlu v míře obloukové a velikost úhlu v míře stupňové jsou přímo úměrné.
25
