18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013
Název školy
Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou
Název a číslo OP
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, CZ 1.5
Název šablony klíčové aktivity
III/2 Zvyšování kvality výuky prostřednictvím ICT
Číslo šablony, sady a materiálu VY_32_INOVACE_10_01_18 Vzdělávací oblast dle RVP
Matematika
Tematický celek dle ŠVP
Shodnost a podobnost trojúhelníků
Předmět, obor, ročník Anotace
strana 1
Matematika, Obráběč kovů, Strojní mechanik, Opravář zemědělských stojů, 1. ročník Pracovní list je určen k seznámení se základními větami o shodnosti a podobnosti trojúhelníků.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Shodnost a podobnost trojúhelníků
Shodnost trojúhelníků Trojúhelníky jsou shodné jestliže se po přemístění navzájem kryjí, po přemístění se splynou vrcholy trojúhelníků Zápis shodnosti ABC A´B´C O tom, že se trojúhelníky shodují stačí ověřit, že se shodují v trojici prvků, tuto shodnost ověřujeme pomocí vět o shodnosti:
1. Věta sss - trojúhelníky se shodují ve všech stranách
strana 2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
2. Věta usu - trojúhelníky se shodují ve straně a obou úhlech k ní přilehlých
3. Věta sus - trojúhelníky se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném
strana 3
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
4. Věta Ssu - Trojúhelníky se shodují ve dvou stranách a úhlu proti delší z nich
Příklady 1. Načrtněte trojúhelníky a rozhodněte zda jsou shodné, zapište shodnost a) Trojúhelník RST a KLM ST = 3 cm; RST = 80°; SRT = 40° KM = 3 cm LKM = 80°; LMK= 60° b) Trojúhelník CDE a UVZ CD = 5 cm; DE = 4 cm; CE = 6 cm UV = 4 cm; VZ = 5 cm; UZ = 6 cm c) Trojúhelník OPR a XYZ PR = 3 cm; OPR = 50°; POR = 70° XZ = 3 cm; YXZ = 50°; XZY = 70° 2. Zjistěte zda jsou pravoúhlé trojúhelníky ABC ( ( u vrcholu Z) shodné, jestliže AC = 3 cm; ZX = 3 cm;
Řešení: 1. a) jsou shodné 2.
strana 4
ABC
u vrcholu C) a XYZ CAB = 60°; ZYX= 30°;
b) jsou shodné c) nejsou shodné
XYZ
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Podobnost trojúhelníků
C C´
A´ A
B´
B
Značení podobnosti
A´B´C´
ABC
Dva trojúhelníky jsou podobné existuje–li kladné číslo k = koeficient podobnosti pro které platí: AB = k · A´B´ BC = k · B´C´ AC = k · A´B´
k =
=
=
Při tom úhly jsou shodné Je-li poměr podobnosti
= k > 1 ……dochází ke zvětšení k < 1 ……dochází ke zmenšení k = 1 ……shodnost
Věty o podobnosti: 1. Věta sss - je-li poměr odpovídajících stran stejný, jsou trojúhelníky podobné
strana 5
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
2. Věta uu - Pokud se dva trojúhelníky shodují ve dvou úhlech jsou podobné
3. Věta sus – pokud je poměr odpovídajících stran stejný a shodují-li se v úhlech jimi sevřenými, jsou trojúhelníky podobné
strana 6
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Příklady: 1. Je trojúhelník jehož strany mají délky 6 cm; 8 cm; 9 cm podobný trojúhelníku se stranami 9 cm; 12 cm; 13,5 cm? 2. ABC A´B´C´ jsou dány tyto údaje: = 90°; a = 84 mm; c = 85 mm; c´= 255 mm. Vypočítejte délku zbylých stran trojúhelníků 3. Urči, zda jsou podobné trojúhelníky ABC; DEF známe–li následující údaje a = 24 cm; b = 18 cm; c = 36 cm; d = 12 cm; e = 24 cm; f = 16 cm 4. ABC o rozměrech c = 6 cm; a = 4 cm; = 45° je podobný A1 B1 C1 koeficient podobnosti je 1,2 Narýsuj oba trojúhelníky 5. ABC KLM urči zbývající strany je-li dáno: a = 5 cm; b = 4 cm; c = 6 cm; l = 6 cm 6. Stín budovy je 16 m dlouhý, stín svislé metrové tyče má v témže okamžiku délku 0,8 m. Určete výšku budovy 7. Přímá cesta stoupá každé 3 m své délky o 72 cm. O kolik metrů vystoupá na 350 metrech
Řešení: 1. jsou podobné v poměru k =1,5 2. 3. 4. 5. 6) 7.
b = 13 mm; a´= 252 mm; b´= 255 mm; c´= 39 mm jsou podobné, k =1,5 c´= 7,2 cm; a´= 4,8 cm; k = 7,5 cm; m = 9cm; výška budovy je 20 m Cesta stopá na 350 m o 84 m
Použitá literatura: CALDA, Emil: Matematika pro dvouleté a tříleté obory středních odborných učilišť, 1. díl, 2. upravené vydání Nakladatelství Prometheus, Praha 2007. s.171 - 176
HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše: Sbírka úloh z matematiky pro střední odborná učiliště a střední odborné školy, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus, Praha 2001 s. 70 - 75
FUCHS, Eduard; BINTEROVÁ, Helena a kolektiv: Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborná učiliště, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus Praha 2004 s. 25 - 26
strana 7
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
