16. Trojúhelník – vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013
Název školy
Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou
Název a číslo OP
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, CZ 1.5
Název šablony klíčové aktivity
III/2 Zvyšování kvality výuky prostřednictvím ICT
Číslo šablony, sady a materiálu
VY_32_INOVACE_10_01_16
Vzdělávací oblast dle RVP
Matematika
Tematický celek dle ŠVP
Trojúhelník – vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy
Předmět, obor, ročník Anotace
Matematika, Obráběč kovů, Strojní mechanik, Opravář zemědělských stojů, 1. ročník Pracovní list názorně seznamuje žáky se základními vlastnostmi trojúhelníku, uvádí rozdělení trojúhelníků a jejich základní prvky. Pomáhá zvládat základní konstrukční úlohy.
Re al izát or e m to h oto p r oje ktu j e Ob ch od n í ak ad e mi e a St ř ed n í od b o rn é u či li št ě V e se lí n ad Mor a vou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Trojúhelník – vlastnosti – rozdělení
Trojúhelník je rovinný obrazec ohraničený třemi úsečkami. Označení ABC
Popis trojúhelníku: body ABC jsou vrcholy trojúhelníku úsečky AB = c; BC = a; AC = b jsou strany trojúhelníku vnitřní úhly = BAC = ABC = ACB vnější úhly
strana 2
´
´
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Vlastnosti trojúhelníku: Součet dvou stran trojúhelníku musí být větší než strana třetí
a+b>c Proti větší (menší) straně trojúhelníku leží větší (menší) úhel trojúhelníku je-li a > b; je > je-li a < b; je
<
je-li a = b; je
=
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°
+
Součet vnějších úhlů trojúhelníku je 360°
+
+
= 180° ´+
´ = 360°
Vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu zbývajících vnitřních úhlů
=
+
´=
+
´=
+
V trojúhelníku je nejvýše jeden úhel pravý, nebo tupý
Rozdělení trojúhelníků: Podle úhlů ostroúhlý – všechny úhly ostré pravoúhlý – jeden úhel pravý tupoúhlý – jeden úhel tupý
strana 3
Podle stran rovnostranný - všechny strany stejné délky rovnoramenný – dvě ramena stejné délky obecný – nemá žádnou shodnou stranu
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Příklady: 1. V trojúhelníku jsou dány dva úhly. Urči velikost třetího úhlu a druh trojúhelníku. a) 115°; 30°50´ b) 45°; 45° c) 35°; 55° d) 60°20´; 40° e) 30°; 60° f) 45°; 65°20´ 2. Rovnoramenný trojúhelník má velikost úhlu u vrcholu C = 70° ; určete velikost zbývajících úhlů 3. V trojúhelníku ABC je dán úhel = 50° a vnější úhel ´ = 115°; určete zbývající vnitřní a vnější úhly trojúhelníku a která strana je nejkratší 4. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník je-li dáno a) a = 24 cm; b = 28 cm; c = 56 cm b) a = 22 cm; b = 20 cm; obvod = 48 cm c) a = 20 cm; b = 7 cm; obvod= 35 cm 5. Určete velikosti úhlů v trojúhelníku jsou-li v poměru 4 : 5 : 6 Řšení: 1. a) 34°10´ tupoúhlý; b) 90°pravoúhlý; c) 90°pravoúhlý; d) 79°40´ostroúhlý; e) 90°pravoúhlý; f) 69°40´ostroúhlý; 2. = 55°; = 55° 3. = 65°; ´ = 115°; = 65°; ´= 130°; 4. a) není pravoúhlý; b) není pravoúhlý; c) není pravoúhlý; 5. 48°; 60°; 72°;
Prvky trojúhelníku, konstrukční úlohy
Pro pochopení konstrukčních úloh, je třeba abychom se seznámili se základními prvky trojúhelníku.
Výška trojúhelníku Kolmice spuštěná z vrcholu na protilehlou stranu Označení va; vb; vc Výšky se protínají v průsečíku V
strana 4
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Střední příčky trojúhelníku Spojují středy protějších stran trojúhelníku, jsou rovnoběžné s protilehlými stranami a mají jejich poloviční délku
Těžnice Spojnice vrcholu trojúhelníku a středu protější strany. Průsečík těžnic se nazývá těžiště T a dělí těžnici v poměru 2 : 1; od středu strany 1 díl a od těžiště k vrcholu 3 díly Označení ta; tb; tc
strana 5
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Kružnice trojúhelníku vepsaná Střed kružnice je dán průsečíkem os úhlů trojúhelníka
Kružnice trojúhelníku opsaná Střed je dán průsečíkem os stran trojúhelníka
strana 6
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Úloha Do trojúhelníku, který je dán rozměry: a = 4 cm; b = 5 cm; c = 6cm sestrojte výšky, těžnice, střední příčky, kružnici opsanou a vepsanou
Konstrukční úlohy Postup při konstrukčních úlohách provedeme náčrt úlohy, ve které stanovíme co je dáno provedeme rozbor úlohy - stanovíme postup řešení provedeme konstrukci
Příklady 1. Sestrojte trojúhelník, kde je dáno b = 5,7 cm; c = 4,8 cm;
= 42°
C a
A
strana 7
a b
c
B
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Rozbor – sestrojíme stranu b, v bodu A naměříme úhel a narýsujeme polopřímku. Z bodu B na polopřímku naneseme vzdálenost strany a v průsečíku získáme bod C sestrojte
2. Sestrojte trojúhelník: c = 7,2 cm;
= 43°;
= 59°
C
A
c
B
Rozbor – sestrojíme stranu c; v bodu A naneseme úhel ; sestrojíme polopřímku, v bodu B naneseme úhel ; sestrojíme polopřímku. V průsečíku polopřímek získáváme bod C sestrojte
3. Sestrojte trojúhelník c = 6 cm; vc = 3,5 cm; tc = 4 cm C
vc A
tc c
B
Rozbor – sestrojíme stranu c; k ní sestrojíme rovnoběžku ve vzdálenosti výšky vc; ze středu strany C naneseme vzdálenost těžnice tc na rovnoběžku a v průsečíku získáme bod C sestrojte
strana 8
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Použitá literatura: CALDA, Emil: Matematika pro dvouleté a tříleté obory středních odborných učilišť, 1. díl, 2. upravené vydání Nakladatelství Prometheus, Praha 2007. s. 167 – 171
HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše: Sbírka úloh z matematiky pro střední odborná učiliště a střední odborné školy, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus, Praha 2001 s. 67- 68
FUCHS, Eduard; BINTEROVÁ, Helena a kolektiv: Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborná učiliště, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus Praha 2004 s.26
strana 9
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
