19. Pythagorova věta a goniometrické funkce ostrého úhlu Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013
Název školy
Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou
Název a číslo OP
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, CZ 1.5
Název šablony klíčové aktivity
III/2 Zvyšování kvality výuky prostřednictvím ICT
Číslo šablony, sady a materiálu VY_32_INOVACE_10_01_19 Vzdělávací oblast dle RVP
Matematika
Tematický celek dle ŠVP
Pythagorova věta a goniometrické funkce ostrého úhlu
Předmět, obor, ročník Anotace
strana 1
Matematika, Obráběč kovů, Strojní mechanik, Opravář zemědělských stojů, 1. ročník Pracovní list je určen k využití Pythagorovy k výpočtům ovládání pojmů prvočíslo, složené číslo. Znát pravidla dělitelnosti, rozklad čísla na prvočísla (prvočinitele)
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Pythagorova věta a goniometrické funkce ostrého úhlu
Pythagorova věta Patří k nejstarším matematickým poznatkům, má jméno po řeckém matematikovi a filosofovi, který žil v 6. století př. n.l.
Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami
Pravoúhlý trojúhelník Přepona – je strana ležící proti pravému úhlu,je nejdelší stranou, oba přilehlé úhly jsou ostré a jejich součet je 90° Odvěsny – jsou ramena pravého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku.
strana 2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Příklady: 1. Jaká je délka odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, je-li dáno a = 168 cm; c=4,39 m 2. Je trojúhelník pravoúhlý je-li dáno a) a = 3 cm; b = 5 cm; c = 6 cm b) a = 15 cm; b = 12 cm; c = 9 cm 3. Délka strany čtverce je 2,68 dm; urči jeho úhlopříčku 4. Je dán obdélník š = 7,5 cm; u = 9,25 cm. urči jeho obvod a osah 5. Jak vysoko dosáhne žebřík délky 8 metrů, je-li odstaven od zdi ve vzdálenosti 2,5 metrů 6. V trojúhelníku je dáno a = b = 12 cm; c= 15 cm; vypočítejte výšku vc a obsah trojúhelníka 7. Vypočítejte obsah a obvod rovnostranného trojúhelníka je li délka strany a) 1,64 m; b) 6,4 m; c) 7,5 m 8. Čtverci o straně 8 cm je opsaná a vepsaná kružnice, urči poloměry obou kružnic 9. Pyramida má čtvercovou základnu je vysoká 50 metrů a výška boční stěny je 80 metrů. Určete délku základny pyramidy. Jaká by byla délka základny v případě, že by byla dána délka boční hrany 80 metrů. 10. Závodník vyjel z místa A rychlostí 20 km/h, po šesti minutách odbočil na pravoúhlé křižovatce a za 12 minut dorazil do místa B stejnou rychlostí. Určete přímou vzdálenost míst A a B.
Řešení: 1. b = 4,06 m; 2. a) není pravoúhlý; b) je pravoúhlý; 3. u = 3,79 dm; 4. o = 25,8cm; S = 40,6 cm2; 5.v = 7,6 m; 6.vc = 9,4cm; S = 70,5 cm2; 7. a) o = 4,92 m; S= 1,16 m2; b) o = 19,2 m; S =17,7 m2; c) o = 22,5 m; S = 24,4 m2 8. vepsaná r = 4 cm; opsaná r = 5,66 cm; 9.a) 124,9 m; b) 88,3 m; 10. 4,47 km
strana 3
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Goniometrické funkce ostrého úhlu
Goniometrické funkce ostrého úhlu nám umožňují určit velikost stran a úhlů v trojúhelníku
Podle věty o podobnosti trojúhelníků uu platí
ABC
AB1C1
AB2C2
AB3C3
Znamená to, že poměr velikostí stran je konstantní:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Se změnou velikosti úhlu se mění poměry délek stran pravoúhlého trojúhelníku. Poměry velikostí stran v pravoúhlém trojúhelníku jsou funkcemi ostrého úhlu f( ) Každé velikosti úhlu přísluší určité poměry délek stran = goniometrické funkce
strana 4
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Máme pravoúhlý trojúhelník:
Funkce sinus
Funkce cosinus
Funkce tangens
Funkce cotangens
Jestliže platí
= 90°
= 90°;
Platí : sin = cos (90°- ) = cos tg = cotg (90°- ) = cotg
strana 5
= 90° - ;
= 90°-
cos = sin (90°- ) = sin cotg = tg (90°- ) = tg
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
Hodnoty goniometrických funkcí stanovíme na kalkulačce, nebo vyhledáním v tabulkách Významné hodnoty goniometrických funkcí
Úlohy: 1.
Označte úhly v daném pravoúhlém trojúhelníku BAC, zapište čemu je roven sin; cos; tg; cotg ostrých úhlů
b a c sin = a
Řešení sin
2.
=
cos =
c a
cos =
tg
b a
=
b c
tg
cotg = =
c b
Doplňte chybějící velikosti úhlů sin 50° = cos 40° tg 23°15´= cotg 67°45´
strana 6
c b cotg =
b c
sin 61°20´ = cos28°40´
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
cos 18° = sin 70° tg 61°15´= cotg°28°45´
cotg 42°20´ = tg 47°40´ sin 27°12´= cos62°48´
cos 35°35´ = sin54°25´ cotg 70°18´= tg19°42´
3.
Určete hodnoty funkcí na kalkulačce a správnost si ověřte v tabulkách: sin 57°20´ = 0,8418 cotg 5°10´ = 11,059 cos 85°40´= 0,0755 tg 32°30´= 0,6371 cos 3°10´= 0,9984 sin 41°40´= 0,6648 cotg 18°40´= 2,960 sin 50°20´= 0,7698 cos 8°50´= 0,9881 tg 75°30´= 3,8667 cos 82°= 0,1391 cotg 12°30´= 4,5110
4.
K následujícím hodnotám funkcí přiřaďte velikost úhlů a) tg = 12,251 = g) cos = 0,8936 b) sin = 0,6041 = h) cotg = 0,1405 c) cotg = 6,314 = ch) sin = 0,9957 d) cos = 0,0785 = i) tg = 0,3673 e) sin = 0,854 = j) cos = 0,5225
5.
= = = = =
Sestrojte úhly, jestliže jestli že hodnoty goniometrických funkcí se rovnají a) sin b) cos c) tg
= = =
d) tg
= 3,732
e) sin
= 0,4226
f) cos
=
Řešení: 4. a) 58°20´ b) 37°10´ c) 9° d) 85°30´ g) 26°40´ h)82° ch) 84°40´) k) 83°40´
e) 58°40´ i)20°10´
f) 26°40´ j)58°30´
5. a) 37°; b) 80°20´; c) 56°20´; d) 75°; e) 25°; f) 66°30´
Použitá literatura: CALDA, Emil: Matematika pro dvouleté a tříleté obory středních odborných učilišť, 1. díl, 2. upravené vydání Nakladatelství Prometheus, Praha 2007. s. 178 -180; s. 185 - 190
HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše: Sbírka úloh z matematiky pro střední odborná učiliště a střední odborné školy, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus, Praha 2001 s. 90
FUCHS, Eduard; BINTEROVÁ, Helena a kolektiv: Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborná učiliště, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus Praha 2004 s. 27 strana 7
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Ludmila Všetulová
