Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Název školy
Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou
Název a číslo projektu
Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.16/01.0065
Název modulu
Matematika jinak
Re al izát or e m to h oto p r oje ktu j e Ob ch od n í ak ad e mi e a St ř ed n í od b o rn é u či li št ě V e se lí n ad Mor a vou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Pracovní list č. 7
Rovnice 2 Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů L(x) = P(x) s proměnnou x z daného číselného oboru M, kterému se říká definiční obor rovnice. Výrazem L(x) označujeme levou stranu rovnice, výrazem P(x) pravou stranu rovnice. Proměnná x se nazývá neznámá. Kořen (Řešení) rovnice je takové číslo xk, pro které platí rovnost L(xk) = P(xk). Množina všech kořenů rovnice K se nazývá Obor pravdivosti rovnice.
Ekvivalentní úpravy rovnice Ekvivalentní úprava rovnice je pak taková úprava, která nezmění platnost rovnice. 1. Záměna stran rovnice Př:
3=x+1 x+1=3
x R
2. Přičtení čísla nebo výrazu k oběma stranám rovnice Př:
x = 6 -2x / +2x x R 3. Vynásobení obou stran rovnice nenulovým číslem nebo výrazem
Př:
,
x R
4. Vydělení obou stran rovnice nenulovým číslem nebo výrazem Př:
x R 5. Odmocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, pokud obě strany nabývají pouze nezáporných hodnot v celém definičním oboru rovnice
Př: 6. Zlogaritmování obou stran rovnice, pokud obě strany nabývají pouze kladných hodnot v celém definičním oboru rovnice. Př:
7. Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, pokud obě strany nabývají pouze nezáporných hodnot v celém definičním oboru rovnice Př:
strana 2
2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
POZOR! Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, pokud obě strany nenabývají pouze nezáporných hodnot, není ekvivalentní úprava. Proto je potřeba po této úpravě provést zkoušku.
Úkol: Dokončete naznačené úpravy v předchozích příkladech a rovnice vyřešte.
Exponenciální rovnice Příklad 1: Řešte exponenciální rovnici s neznámou
Postup: 1. Nejprve všechny členy rovnice převedeme na stejný základ 2. Využijeme vztahy pro umocňování: a) Součin b) Násobení o stejném základu c) Umocňování d) Dělení e) Převod mocniny na exponent f) Převod mezi exponenciálním a zlomkovým tvarem čísla
strana 3
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
3. Zjednodušíme exponent 4. Porovnáme exponenty (z rovnosti základů vyplývá rovnost mocnitelů) 5. Řešíme lineární rovnici Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: fceF[x_]:=2^(3*x-2)*4; fceG[x_]:=8^(x+1)*(1/ 2)^x; Reduce[fceF[x]==fceG[x],x,Reals] Výstup:
Příklad 2: Řešte exponenciální rovnici s neznámou
Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: fceF[x_]:=Power[4^x, (4)^-1]*Power[2^(x-3), (3)^-1]; fceG[x_]:=Power[16, (6)^-1] Reduce[fceF[x]==fceG[x],x,Reals] Výstup:
strana 4
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
Příklad 3: Řešte exponenciální rovnici s neznámou
Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: fceF[x_]:=5^x* 2^x; fceG[x_]:=100^(x-1); Reduce[fceF[x]==fceG[x],x,Reals] Výstup:
Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice jsou rovnice, které obsahují logaritmy s neznámou. Typická logaritmická rovnice může vypadat například takto:
Naším prvořadým úkolem je převést ji pomocí logaritmických vzorců do tvaru, kdy na každá straně rovnice bude logaritmus se stejným základem. Pak už můžeme pouze porovnávat argumenty logaritmů:
Na konci výpočtu je důležité si ověřit, zda výsledné řešení odpovídá podmínkám plynoucím ze zadání. Podmínky vycházejí z požadavku kladného argumentu.
strana 5
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
Pro náš vzorový příklady musí platit zároveň tyto podmínky:
Vzorce pro počítání s logaritmy v logaritmických rovnicích Definice logaritmu o základu z; z > 0 a zároveň z 1. 2. Hodnoty logaritmu
5. 6. Logaritmus součinu 7. Logaritmus podílu 8. Logaritmus mocniny 9. Dekadický logaritmus 10. Přirozený logaritmus 11. Výpočet nedekadického logaritmu pomocí dekadických logaritmů 12.
strana 6
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
Příklad 1: Řešte logaritmickou rovnici v R
odlogaritmujeme
Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: Výstup: Postup: 1. 2. 3. 4. 5.
Určíme podmínku řešitelnosti Porovnáme argumenty Odlogaritmujeme Řešíme lineární rovnici Porovnáme s podmínkou řešení
Příklad 2: Řešte logaritmickou rovnici v R
Odlogaritmujeme
Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: Výstup:
strana 7
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, kde neznámá x se nachází v argumentu nějaké goniometrické funkce. Například: sin(x+1) = 0,5
Průsečíky goniometrické funkce y = sin(x + 1) a konstantní funkce y = 0,5 tvoří řešení dané rovnice. Na zobrazeném intervalu vidíme celkem 4 průsečíky. Pokud bychom zobrazili větší rozsah stupnice x, tak bychom jistě našli další průsečíky, které by se opakovali v intervalech 2pí.
Z toho vyplývá, že výsledky goniometrických rovnic je nutné uvádět v obecném tvaru a nikoli jen pro první a druhý kvadrant.
Zadání goniometrických rovnic bývá většinou složitější, proto je potřeba si rovnice upravovat na jednodušší tvar podle goniometrických vzorců.
strana 8
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
Goniometrické vzorce: Vztahy mezi funkcemi téhož argumentu 1.
; pro každé x
2. 3. 4. Funkce dvojnásobného argumentu 5. 6. 7. Hodnoty funkcí záporného argumentu 8. 9. 10.
Funkce součtu argumentů 11. 12.
Podmínky Pro funkce sinus a kosinus není třeba uvádět žádné podmínky. Funkce tangens(x) není definovaná v , kde k je z celých čísel. A funkce cotangens není definovaná v
Příklad 1: Určete všechny
, pro které má daná rovnice smysl.
Úlohu řešíme tak, že si vyneseme do jednotkové kružnice pro sinus x hodnotu 0,5 a potom narýsujeme kolmici na osu sinx (tečkovaně). Vzniklé průsečíky nám ukáží počet řešení. Přesné hodnoty x zjistíme z hlavy, kde máme uloženou tabulku hodnot goniometrických funkcí. V řádku pro sinx najdeme 0,5 a odečteme x = 30° = pi/6. Druhý kořen je třeba si odvodit z kružnice - viz obrázek.
strana 9
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
Příklad 2: Určete všechny
, pro které má daná rovnice smysl.
Postup: 1.
V tabulce hodnot si nejprve najdeme
2.
Narýsujeme kolmici a získáme průsečíky v a
3.
Tento postup opakujeme pro
strana 10
.
s tím, že hodnoty x odvodíme z jednotkové kružnice.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
Příklad 3: Určete všechny
, pro které má daná rovnice smysl.
Z tabulky hodnot stačí odečíst úhel. Nakonec výsledek zobecníme pro celý interval od mínus nekonečna do plus nekonečna. Tangens je periodická funkce s periodou 1 pí, proto ještě přidáme k*pí. Tangens se narozdíl od sinu nebo cosinu protne s v každé periodě jen jednou, proto není třeba kreslit jednotkovou kružnici. Příklad 4: Určete všechny
, pro které má daná rovnice smysl.
Nejdříve využijeme toho, že tangens je lichá funkce, pak z tabulky hodnot vyčteme úhel.
strana 11
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
Použité zdroje: Wolfram Mathematica. [online]. [cit. 2013-01-19]. Dostupné z:
Aristoteles.cz. [online]. [cit. 2013-01-19]. Dostupné z:
strana 12
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Stanislava Kaděrková
