Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová
Dynamika, Newtonovy zákony
OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost absolventů"
Dynamika, Síla
stránka 2
DYNAMIKA SÍLA
studuje příčiny pohybu těles
projevuje se při vzájemném působení těles
způsobí deformaci
NEJČASTĚJŠÍ TYPY SIL Tíhová síla G Tlaková síla
vyvolá pohyb
•
gravitační interakce ve vesmíru
•
projev : gravitační zrychlení g
•
reakční síla podložky (vozovka na kolo auta)
Třecí síla
• vazba mezi tělesem a podložkou, působí vždy proti pohybu
Tahová, Tažná síla
• spojení těles, přenos síly • např. v laně (jeřáb+ závaží, 2 vozidla..)
Newtonovy zákony
stránka 3
NEWTONOVY ZÁKONY (pohybové) I. Zákon setrvačnosti Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud na ně nepůsobí síla. II. Zákon síly Časová změna hybnosti tělesa je rovna působící síle a má s ní stejný směr Σ𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 Hybnost: 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −1 Síla: 𝐹 =
∆𝑝 ∆𝑡
=
𝑚∙∆𝑣 ∆𝑡
= 𝑚 ∙ 𝑎 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −2 = 𝑁
III. Zákon akce a reakce
Ke každé působící síle (akci) přísluší stejně velká síla opačně orientovaná (reakce) 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐴
a
Moment síly
stránka 4
MOMENT SÍLY Charakterizuje otáčivý účinek síly, je vyjádřen jako součin síly a kolmého ramene k ose otáčené (k bodu) r
𝑀 =𝐹∙𝑟 𝑁∙𝑚 R
Metoda momentové rovnováhy má ve fyzikálních (technických) výpočtech široké uplatnění. Principem je náhrada dílčích momentů jednotlivých sil působících na těleso momentem výslednice ( 1 síly) na příslušném rameni.
𝑭
Moment síly
stránka 5
Obdobně se využívá i metody skládání sil (součet vektorů), kdy soustavu sil nahrazujeme výslednicí. 𝑭𝟐
Graficky: 𝑭
𝑭𝟏 𝑭𝟐
Početně:
𝑭𝟏
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 => 𝐹 = 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 𝐹𝑥 = 𝐹𝑥1 + 𝐹𝑥2 𝐹𝑦 = 𝐹𝑦1 + 𝐹𝑦2
Složky Fx a Fy jsou vypočteny pomocí goniometrických funkcí úhlu. Účinek síly F1 a F2 je nahrazen účinkem výslednice – síly F
Moment síly,
stránka 6
𝒚
𝑭
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑭𝟐𝒚 = 𝑭𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝑭𝟏𝒚 = 𝑭𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜷
𝜶
0
𝑭𝟏𝒙 = 𝑭𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝑭𝟐𝒙 = 𝑭𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜷
𝒙
𝐹𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 = 𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝐹𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 = 𝐹1 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐹2 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝐹
𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝛽
2
+ 𝐹1 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐹2 𝑠𝑖𝑛𝛽
2
Rozklad sil
stránka 7
ROZKLAD SIL Účinek síly F je nahrazen účinkem jejich složek 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 . Graficky: průměry síly F do směrů souřadnic os 𝑭𝒙 𝜶
Početně: 𝐹𝑥 = 𝐹 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝐹𝑦 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑭𝒚
𝑭
V technické praxi – nakloněná rovina rozklad síly G na složky 𝑮 𝒔𝒊𝒏𝜶
𝜶
𝜶 𝑮
𝑮 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝐺𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑡𝑙𝑎𝑘 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑙𝑎ℎ𝑦 𝐺𝑠𝑖𝑛𝛼 → 𝑡áℎ𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑙ů
Těžiště tuhého tělesa
stránka 8
TĚŽIŠTĚ TUHÉHO TĚLESA • působiště všech tíhových sil působících na hmotné body tělesa
• Význam těžiště v technické praxi → problematika setrvačnosti, rotace, převrácenístabilita,…
Těžiště u geometrických tvarů:
𝑻
𝑻
𝑻
Složené tvary → početně s využitím momentové rovnováhy
𝑻
Těžiště tuhého tělesa
stránka 9 1) k bodu 0 platí M rovnováha: 𝑆1 ∙ 𝑥1 + 𝑆2 ∙ 𝑥2 = 𝑥𝑇 (𝑆1 + 𝑆2 ) 𝑆1 ∙ 𝑦1 + 𝑆2 ∙ 𝑦2 = 𝑦𝑇 (𝑆1 + 𝑆2 )
y
𝒚𝟏
𝑻𝟏
𝑻
𝒚𝒕
𝒚𝟐
𝒙𝟏
2) z rovnic vypočteme 𝑥𝑇 𝑎𝑦𝑇
𝑺𝟐
𝑺𝟏
0
𝑻𝟐
x𝒕
𝒙𝟐
𝑆1 ∙ 𝑥1 + 𝑆2 ∙ 𝑥2 𝑥𝑇 = 𝑆1 + 𝑆2 𝑆1 ∙ 𝑦1 + 𝑆2 ∙ 𝑦2 𝑦𝑇 = 𝑆1 + 𝑆2
3) vedeme přímky II s x,y → průsečí je T x
Využití v oblasti optimalizace tras svozu→ návrh centra…
Stabilita tělesa- rovnovážná poloha
stránka 10
STABILITA TĚLESA • těleso je v rovnovážné poloze je-li vektorový součet všech sil a momentů roven 𝜃. • v technické praxi se jedná o zajištění takových podmínek, které zabrání změně stability = překlopení→ vychází se přitom často z momentové rovnováhy.
M
G A
M
G
A r
A
M
G r
r Proti momentu M od tlaku zásypu (terénu) působí moment tíhy zdi G na rameni r. Ramena různého provedení zdiva se liší ( r ) a zvětšují stabilizační moment 𝑀3 = 𝐺 ∙ 𝑟
Stabilita tělesa- rovnovážná poloha
stránka 11
Stabilita traktoru 𝐺 𝑠𝑖𝑛𝛼 < 𝐺 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑏 klopný M
stabilizující M
T
𝐺 𝑠𝑖𝑛𝛼
A
𝐺 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝛼
G
S růstem 𝛼 roste klopný moment k bodu A. Stroje pro svahy : nízko umístěné T, široký rozchod kol.
Příklady
stránka 12
Př. 1 Jaká musí být výslednice hnacích sil pohánějících vozidlo (2 kola, 4 kola) o hmotnosti 1900kg aby dosáhlo zrychlení 𝑎 = 3,1 𝑚 ∙ 𝑠 −2
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 1900 ∙ 3,1 = 5890𝑁
Příklady
stránka 13
Př. 2 Tryskový letou má 2 motory, každý s tahem 140 000N dosahuje zrychlení 𝑎 = 2,3 𝑚 ∙ 𝑠 −2 . Jaká je jeho hmotnost? 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 => 𝑚 =
𝐹 2 ∙ 140000 = = 121700𝑘𝑔 𝑎 2,3
Příklady
stránka 14
Př. 3 Celková hmotnost výtahu i s nákladem je 1600kg. Určete velikost tažné síly v lanu, jestli-že se výtah, který původně klesal rychlostí 12 𝑚 ∙ 𝑠 −1 zastavil na dráze 42m.
12 𝑚 ∙ 𝑠 −1
m
vx
x
𝐹 = 𝐺 + 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝑎 𝑣𝑥 2 − 𝑣𝑜 2 122 − 0 𝑎= = = 1,72 𝑚 ∙ 𝑠 −2 2(𝑥 − 𝑥0 ) 2 ∙ 42 𝐹 = 1600 ∙ 9,81 + 1600 ∙ 1,71 = 15700 + 2700 = 18400𝑁
F
42m
x0
m G
v0
Příklady
stránka 15
Př. 4 Letadlo o hmotnosti m= 26000kg má na letadlové lodi k dispozici dráhu 150m, na jejím konci musí dosáhnout vzletové rychlosti 360 𝑘𝑚 ∙ ℎ . Motor letadla vyvine sílu max. 120000N, zbytek silového impulsu letadlu předává katapult. Jaká je potřebná síla katapultu?
Potřebné zrychlení: 𝑎 =
𝑣𝑥 2 −𝑣𝑜2 2(𝑥−𝑥0 )
=
1002 −0 2∙150
= 33 𝑚 ∙ 𝑠 −2
Potřebná síla celkem: 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 26000 ∙ 33 = 858000𝑁 Síla motoru 𝐹1 = 120000𝑁 Síla katapultu 𝐹2 = 𝐹 − 𝐹1 = 858000 − 120000 = 738000𝑁
Příklady
stránka 16
Př. 5 Jaké bude zrychlení bedny pro m= 310kg a pro m= 31kg (310N) F=450N m
𝐹𝑇= 125𝑁
38𝑂
Fx=450∙ 𝑐𝑜𝑠380 = 355𝑁 G
Výsledná síla
𝐹 = 𝐹𝑥 − 𝐹𝑇 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠38𝑜 − 𝐹𝑇 = 355 − 125 = 230𝑁 𝐹 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 => 𝑎 = 𝑚
230
1) 𝑎 = 310 = 0,74 𝑚 ∙ 𝑠 −2 2) 𝑎 =
230 31
= 7,4 𝑚 ∙ 𝑠 −2
Příklady
stránka 17
Př. 6 Stanovte potřebnou sílu F pro pohyb kola m=30kg, r= 350mm přes schod h=180mm. F r
r-h
A
𝑙
k bodu A platí rovnováha momentů: h
G 𝐹∙ 𝑟−ℎ =𝑚∙𝑔∙𝑙
m= 30kg
𝑙=
𝑟 2 − (𝑟 − ℎ)2 = 𝑙=
2𝑟ℎ − ℎ2
2 ∙ 350 ∙ 180 − 1802 𝑙 = 306𝑚𝑚
𝐹0,170 = 30 ∙ 9,81 ∙ 0,306 90,0𝑁𝑚 𝐹= 0,170 𝐹 = 529𝑁
Příklady
stránka 18
Př.7 Bedna samovolně sjíždí po nakloněné ploše 𝛼 = 30𝑜 je brzděna třecí silou (f=0,25). S jakým zrychlením se pohybuje? m=510kg Fr
30o
𝐺 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 510 ∙ 9,81 = 5000𝑁 𝐹𝑁 = 𝐺 ∙ 𝑐𝑜𝑠30𝑜 = 5000 ∙ 0,866 = 4330𝑁 𝐹𝑆 = 𝐺 ∙ 𝑠𝑖𝑛30𝑜 = 5000 ∙ 0,500 = 2500𝑁 𝐹𝑇 = 𝐹𝑁 ∙ 𝑓 = 4330 ∙ 0,25 = 1080𝑁
G=mg
Výsledná síla urychlující bednu 𝐹𝑟 = 𝐹𝑠 − 𝐹𝑇 = 2500 − 1080 = 1420𝑁 𝐹𝑣 1420 𝐹𝑟 = 𝑚 ∙ 𝑎 => 𝑎 = = = 2,78 𝑚 ∙ 𝑠 −2 𝑚 510
Dynamika: studuje příčiny pohybu těles (I.N.) Síla F se projevuje při vzájemném působení těles - deformace - pohyb
Newtonovy pohybové zákony Zákon setrvačnosti: Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nucen vnějšími silami tento stav změnit
Zákon síly: Časová změna hybnosti tělesa je rovna působící vnější síle a má s ní stejný směr
Hybnost: 𝒑 = 𝒎 ∙ 𝒗 𝒌𝒈 ∙ 𝒎 ∙ 𝒔−𝟏 Síla:
𝑭=
dynamická míra pohybu
∆𝒑 𝑵 ∆𝒕
Zákon akce a reakce: Každé působící síle (akci) přísluší síla stejně veliká, opačně orientovaná (reakce)
𝑭𝟏 = 𝑭𝟐
Moment síly vzhledem k ose otáčení: charakterizuje otáčivý účinek síly
F 𝑴= 𝑭∙𝒅 𝑵∙𝒎
d
Skládání sil; Rozklad sil; Dvojice sil Při skládání sil nahradíme soustavu sil její výslednicí
Těžiště tuhého tělesa: Těžiště tělesa je působiště všech tíhových sil působících na jednotlivé hmotné body tělesa
Rovnovážná poloha tělesa; Stabilita tělesa: Těleso je v rovnovážné poloze, jeli vektorový součet všech sil a momentů sil působících na těleso roven nule
