Dynamika tuhého tělesa Petr Šidlof
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Dynamika tuhého tělesa 2 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
První věta impulsová r d pr r F= = m at dt Výslednice vnějších sil
r r r FA + FB + FC
Celková hybnost soustavy
r r p = ∑ pi
Zrychlení těžiště
Hmotnost soustavy
m = ∑ mi
→ těžiště soustavy se pohybuje jako by v něm byla soustředěná veškerá hmotnost
r F=0:
zákon zachování hybnosti soustavy (srážky těles, ...)
Dynamika tuhého tělesa 3 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Translační pohyb tělesa Rychlosti všech bodů stejné → řešení dynamiky translačního pohybu tělesa je ekvivalentní dynamice HB
Hybnost elementu dm: Hybnost tělesa:
r r d p = dm v r r r r p = ∫ v dm = v ∫ dm = m v m
m
hmotnost tělesa
r d pr → F= dt
rychlost libovolného bodu (těžiště)
Dynamika tuhého tělesa 4 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Obecný (rovinný) pohyb tělesa Rychlosti jednotlivých bodů tělesa různé → rozklad vzhledem k referenčnímu bodu A
Z kinematiky: r r r r vB = v A + Ω × r r r r r r r r aB = a A + ε × r + Ω × Ω × r
(
)
( ( )
Vezmeme-li za referenční bod A těžiště tělesa, můžeme zrychlení aA určit z první věty impulsové → zbývá řešit dynamiku rotačního pohybu
Dynamika tuhého tělesa 5 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Druhá věta impulsová Moment hybnosti hmotného bodu:
r r r Li = ri × pi
(vždy vzhledem k nějakému bodu – např. počátku souřadné soustavy)
- analogie hybnosti u translačního pohybu
r r dL M= dt Celkový moment vnějších sil k bodu
r M=0:
Celková změna momentu hybnosti soustavy k témuž bodu
r r r L = ∑ ri × pi
zákon zachování momentu hybnosti soustavy (planetární mechanika, krasobruslařky ...)
Dynamika tuhého tělesa 6 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Kinetická energie tělesa rotujícího kolem pevné osy
Kinetická energie elementu dm: 1 dT = dm v 2 2
r r r v = Ω× r
Kinetická energie tělesa:
T=∫
m
1 1 1 1 dm v 2 = ∫ dm r 2 Ω2 = Ω2 ∫ r 2 dm = Io Ω2 m 2 m 2 2 2 moment setrvačnosti Io
1 T = Io Ω 2 2
Dynamika tuhého tělesa 7 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Rotace tuhého tělesa kolem pevné osy – pohybový zákon Moment hybnosti elementu dm: r r r dL = r × dp Moment hybnosti tělesa: r r r r r r r r L = ∫ r × dp = ∫ r × v dm = ∫ r × Ω × r dm m
m
(
)
r r 2D případ r ⊥ Ω : M=
d dΩ 2 Ω r dm = dt ∫m dt úhlové zrychlení
ε
∫
m
( )
Z druhé věty impulsové: r d r r d r r r M = ∫ r × v dm = ∫ r × Ω × r dm dt m dt m
r r r v = Ω× r
(
m
r 2 dm
moment setrvačnosti Io
M = Io ⋅ ε
)
Dynamika tuhého tělesa 8 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Moment setrvačnosti Io =
∫
m
r 2 dm
- ekvivalent hmoty pro rotační pohyb
Který setrvačník dá větší „práci“ roztočit? vs.
Vlastnosti • nezáporný • vždy vzhledem k bodu (ose) – v tabulkách IT vzhledem k těžišti • [I] = kg m2 • poloměr setrvačnosti: I = m rs → rs = 2
• aditivní Io = I1o + I2o
I m
Dynamika tuhého tělesa 9 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Steinerova věta Io = IT + m e 2
→ moment setrvačnosti vzhledem k těžišti je minimální
POZOR:
Io1 = Io2 + m r 2
Dynamika tuhého tělesa 10 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Výpočet momentu setrvačnosti Io =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV V
Kartézský systém
Io =
∫∫∫
V
(
)
ρ x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz
Cylindrické souřadnice
Io =
∫∫∫
V
ρ r 2 dr r dφ dz
Sférické souřadnice
Io =
∫∫∫
V
ρ r 2 r 2 sin θ dr dφ dθ
Dynamika tuhého tělesa 11 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 1 – moment setrvačnosti obruče Definice:
IT =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV V
IT =
∫
m
r 2 dm = R 2 ∫ dm = m R 2 m
Dynamika tuhého tělesa 12 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 2 – moment setrvačnosti disku (válce) Definice:
IT =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV V
IT =
∫
V
R
R
0
0
ρ r 2 dV = ρ ∫ r 2 2 π r dr h = 2 π ρ h ∫ r 3 dr
R4 R2 1 2 = 2 π ρh = π R hρ = mR2 1 4 2 4 3 4 2 2 m
Dutý válec
IT =
(
1 2 2 m R 2 − R1 2
)
(aditivita)
Dynamika tuhého tělesa 13 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 3 – moment setrvačnosti tyče Definice:
IT =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV V
m → dm = ρL dx L
ρL =
IT =
∫
m
=
L/2
r dm = 2 ∫ 2
0
1 L3 ρL x dx = 2 ρL = 38
1 1 2 ρ{ m L2 LL L = 12 m 12
2
Dynamika tuhého tělesa 14 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 4 – moment setrvačnosti obdélníku (desky, kvádru) Definice:
IT =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV V
IT =
∫
V
ρ r 2 dV = 4 ∫
a/2 b/2
∫
0
= 4ρh ∫
a/2 b/2
0
∫
0
(x
0
2
(
)
ρ x 2 + y 2 h dx dy =
)
+ y 2 dx dy =
(
)
b a3 a b3 1 2 2 = ρ h a b a b = 4 ρ h + + = 12 123 2 3 8 2 3 8 ⋅ ⋅ m 1 = m a 2 + b2 12
(
)
Dynamika tuhého tělesa 15 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 5 – moment setrvačnosti koule Moment setrvačnosti vzhledem ke třem osám: Ix, Iy, Iz .. evidentně platí Ix = Iy = Iz = IT
IT =
(
)
1 Ix + Iy + Iz = 3 1 = ∫ y 2 + z 2 dm + ∫ x 2 + z 2 dm + ∫ x 2 + y 2 dm = m m 3 m 2 2 = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dm = ∫ r 2dm = 3 m 3 m π π 2 R 2 R5 2 2 = ρ ∫ dr ∫ dφ∫ dθ r r sin θ = ρ 2 π 2 = −π 0 3 0 3 5 4 2 2 = π R3 ρ R 2 = m R 2 3424 5 1 35
(( (
m
)
(
)
)
(
) )
Dynamika tuhého tělesa 16 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 6 V jaké výšce h je třeba trefit tágem kulečníkovou kouli, aby se pohybovala bez falše (zpětné či dopředné rotace), tj. aby se odvalovala po plátně bez prokluzu?
Ix = Iy = Iz = IT
Řešení: 1. Sestavení pohybových rovnic: F = m a x
− mg + N = 0 F(h − R ) = I ε 2. K dispozici 3 rovnice, 4 neznámé – jedna rovnice chybí. 3. Bez prokluzu: vazba 4. Řešení rovnic
→h=
ε=
ax R
7 R 5
Dynamika tuhého tělesa 17 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Zákon zachování energie u rotačního pohybu
(T
2
Příklad:
+ U2 ) − (T1 + U1 ) = Wn
Jaký průběh má rychlost a zrychlení hračky jojo, předpokládáme-li, že IT =& 1/ 2 m R2 ?
Řešení: 1. ZZE
→
mgx =
ε=
2. vazba →
T .. kinetická energie posuvná + rotační
v (x ) =
3. Zrychlení:
1 1 m v 2 + I ω2 2 2
ax r 4g R2 +2 r2
a(x ) = v
x
dv 2 = 2 g dx R +2 r2
Dynamika tuhého tělesa 18 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Vyvážená a nevyvážená rotace ve 2D (1) Pohybové rovnice:
∑F + R ∑F + R t
t
n
n
∑M
O
= m at = m an
= Iε
Staticky vyvážená rotace : reakce Rt, Rn v ose otáčení (tj. namáhání ložisek) je nulové
→ zrychlení těžiště musí být při rotaci nulové, tedy těžiště musí ležet v ose otáčení
Dynamika tuhého tělesa 19 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Vyvážená a nevyvážená rotace ve 2D (2) (staticky) vyvážená rotace
(staticky) nevyvážená rotace
at = 0
at = ε e
an = 0
an = Ω 2 e
T
T
T
T
• osa rotace v těžišti
• osa rotace mimo těžiště
• při volné rotaci reakce v ose nulové
• i při volné rotaci vznikají v ose síly (reakce)
Dynamika tuhého tělesa 20 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Rotace ve 3D 2D (rovinná rotace)
3D (prostorová rotace) r r r r Ω, ε, M, L ... vektor (Ωi , ε i ,Mi )
Ω, ε, M, L ... skalár I ... skalár
Iik ... tenzor (3 x 3 )
L = I⋅Ω 1 T = I Ω2 2
L i = Iik Ωk 1 T = Iik Ωi Ωk 2
(
)
y 2 + z 2 dm ∫ → Iik = − ∫ y x dm − ∫ z x dm
(
)
Iik = ∫ x j x jδik − x i x k dm
Tenzor momentu setrvačnosti
V
− ∫ x z dm 2 2 ∫ x + z dm − ∫ y z dm 2 2 − ∫ z y dm ∫ x + y dm − ∫ x y dm
(
)
(
)
• symetrický tenzor • v hlavních osách
diagonální prvky – hlavní momenty setrvačnosti mimodiagonální prvky – deviační momenty
I1 Iik = I2 I3
Dynamika tuhého tělesa 21 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Dynamicky nevyvážená rotace Vyvážená, nebo nevyvážená rotace? (tj. jsou ložiska při rotaci dynamicky namáhaná?)
• staticky i dynamicky vyvážená rotace
• dynamicky nevyvážená rotace – přestože prochází osa těžištěm
• při volné rotaci nevznikají žádné reakční síly ani momenty v ložiskách
• deviační momenty mimo rovinu rotace
Dynamika tuhého tělesa 22 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Odvození deviačních momentů (1) Ω Směr vektoru rotace: Ωi = 0 0
(
)
y 2 + z 2 dm ∫ Definice: Iik = − ∫ y x dm − ∫ z x dm
Ze symetrie tělesa: I13 = 0, I23 = 0
I11 I12 0 → Iik = I21 I22 0 0 0 I 33
− ∫ x z dm 2 2 ∫ x + z dm − ∫ y z dm 2 2 − ∫ z y dm ∫ x + y dm − ∫ x y dm
(
)
(
)
Dynamika tuhého tělesa 23 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Odvození deviačních momentů (2)
(
r r r r r Moment dM = r × dF = r × dm a r r r r r r Z kinematiky: a = ε × r + Ω × Ω × r
)
( ) r r r r r r r r → M = ∫ r × (ε × r ) + r × (Ω × (Ω × r ) dm m
Ω ε x I11 I12 0 r r r V našem případě: Ω = 0 , ε = 0 , r = y , Iik = I21 I22 0 0 0 z 0 0 I 33
→ M1 = ε ∫ y 2 + z 2 dm = ε I11
r r r i j k 0 r r ε × r = ε 0 0 = − εz x y z εy r r r i j k ε y 2 + z 2 r r r r × ε×r = x y z = − εxy 0 − εz εy − εxz
(
(
)
)
m
→ M2 = ε ∫ − xy dm = ε I12 m
→ M3 = ε ∫ − xz dm + Ω2 ∫ − xy dm = ε I13 + Ω2 I12 m
m
I při rovnoměrné rotaci (ε = 0) nenulový moment M3 !
r r r 0 0 i j k r r r r r Ω × r = − Ωz , Ω × Ω × r = Ω 0 0 = − Ω2 y Ωy 0 − Ωz Ωy − Ω 2 z r r r 0 i j k r r r r r × Ω× Ω× r = x y z = Ω 2 xz 0 − Ω 2 y − Ω 2 z − Ω 2 xy
( )
( ( ))
Dynamika tuhého tělesa 24 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Analogie přímočarého a rotačního pohybu
x v a
[m] [m/s] [m/s2]
Úhel Úhl. rychlost Úhl. zrychlení
Hmotnost Síla Hybnost
m F p
[kg] [N] [kg m/s]
Moment setrv. I Moment M Moment hybn. L
Kinematika: Pohybová rovnice: Kinetická energie: Práce:
dx dv ,a= dt dt dp F= = m⋅a dt 1 T = mv 2 2
v=
[rad] [rad/s] [rad/s2] [kg.m2] [N.m] [kg.m2/s]
dφ dω ,ε= dt dt ( 2D ) dL M = = I⋅ ε dt 1 T = IΩ2 2
ω=
W = ∫ F dx
W = ∫ M dφ
p = mv
L = IΩ
s
Hybnost:
φ ω ε
Poloha Rychlost Zrychlení
s ( 2D )
