Dynamika hmotného bodu

Dynamika hmotného bodu Petr Šidlof

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

Dynamika hmotného bodu Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření

Úvod – opakování (1) DYNAMIKA

↑

↑

statika

kinematika

• Dynamika hmotného bodu • Dynamika tuhého tělesa • Dynamika elastických těles • Teorie kmitání

Adtranz/Bombardier (Norwegian BM73)

Před Galileem, Newtonem: k udržení pohybu je nutná síla

Newton:

r d pr d r F= = (m v ) dt dt

r r m = konst. ... F = m a


Úvod - opakování (2) • F = F(t), F = F(x), F = F(v) • Statika – algebraické rovnice

Dynamika – diferenciální rovnice (tuhá tělesa – ODR, elastická tělesa - PDR)

r ∑ Fi = 0

r ∑ Fi = m &x&

rovnice rovnováhy

pohybové rovnice

• Pracujeme s vektory – vhodný souřadný systém Translační pohyb – kartézské souřadnice

Rotační pohyb – polární souřadnice


Úvod - opakování (3) D’Alembertův princip:

Fiktivní setrvačná síla

r r Fsetrv = − m a

→ místo pohybových rovnic řeším rovnice rovnováhy jako ve statice

Rotační pohyb:

r r dL M= dt

Řešení úloh dynamiky:

(

r r r L = r × p .. moment hybnosti

)

1. Z Newtonových zákonů 2. Ze zákona zachování energie 3. Ze zákona zachování hybnosti • •

Lagrangeův formalismus Hamiltonovy rovnice


Příklad 1 – řešení z Newtonových zákonů (1D) Lano o délce L = 20 m a hmotnosti m = 10 kg je volně položeno přes okraj podložky tak, že přečnívají 4 metry. V čase t = 0 se dá lano vlastní tíhou do pohybu (tření a jiné pasivní odpory zanedbáváme). Za jak dlouho dorazí k okraji zadní konec lana?

Řešení: 1. Z Newtonových rovnic F = m.a sestavíme pohybovou rovnici

g .. &y& − y = 0 L

2. Řešení obyčejné diferenciální rovnice s konstantními koeficienty .. y (t ) = C1 e 3. Z rovnice y(t1) = L vypočítáme čas t1 = 3.24 s

g t L

+ C2 e

−

g t L


Příklad 2 – tečné a normálové souřadnice (1) Na střeše observatoře, která má sférický tvar o poloměru r = 10 m, leží kostka ledu. Malým závanem větru se dá led z nulové rychlosti do pohybu. Zjistěte, ve kterém místě led odlétne od povrchu střechy a bude pokračovat volným pádem.

Řešení: 1. Uvolnění → pohybové rovnice v tečných a normálových souřadnicích m g sin ϕ = m a t

N − m g cos ϕ = m an 2. Využití známých vztahů pro tečné a odstředivé zrychlení při kruhovém pohybu a = ϕ && r t

an = − ϕ& 2 r = ω2 r 3. Sestavení a řešení pohybové rovnice

&& − g sin ϕ = 0 ϕ r


Příklad 2 – tečné a normálové souřadnice (2) 1. Analytické řešení In[6]:=

g =.; r =.; m =.;

In[7]:=

g reseniA = DSolveB: Sin@fi@tDD fi''@tD, fi@0D 1 Degree, fi'@0D 0>, fi, tF r Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. à DSolve::bvfail : For some branches of the general solution, unable to solve the conditions. à DSolve::bvfail : For some branches of the general solution, unable to solve the conditions. à

Out[7]= 8<

&& − g sin ϕ = 0 Nelineární diferenciální rovnice ϕ r

– nelze řešit analyticky


Příklad 2 – tečné a normálové souřadnice (3) 2. Numerické řešení In[16]:=

g = 9.81; r = 5.; m = 1.;

ü výpočet fi[t] In[17]:=

g reseniN = NDSolveB: Sin@fi@tDD fi''@tD, fi@0D 1 Degree, fi'@0D 0>, fi, 8t, 0, 4
Out[17]= 8fi →

In[18]:=

InterpolatingFunction@880., 4.<<, <>D<

PlotBEvaluateB

fi@tD ê. reseniN F, 8t, 0, 4<, Frame → True, FrameLabel → 8"t@sD", "fi @DegD"
120

Out[18]=

fi @DegD

100 80 60 40 20 0 0

1

2 t@sD

3

4


Příklad 2 – tečné a normálové souřadnice (4) ü výpočet normálové reakce n[t] In[19]:=

n@t_D = m Ig Cos@fi@tDD − Hfi'@tDL2 rM ê. reseniN;

In[20]:=

Plot@n@tD, 8t, 0, 4<, Frame → True, FrameLabel → 8"t@sD", "N @ ND"
Out[20]=

N @ ND

0 -5 - 10 - 15

0

1

2

3

t@sD

ü Čas a místo, kde se led oddělí od střechy In[21]:= Out[21]=

In[22]:=

Out[22]=

t1 = t ê. FindRoot@n@tD 0, 8t, 3
fi@t1D ê. reseniN Degree 48.1975

4


Zákon zachování energie (ZZE) s2 r r 1 1 2 2 m v 2 − m v 1 = ∫ F(s )⋅ ds 2 2 s1 1 424 3

W .. práce vnějších sil

- změna (kinetické) energie systému je rovna práci vykonané působícími silami na odpovídající dráze Pozor: skalární součin – práci konají jen síly „ve směru pohybu“

ODVOZENÍ ZZE (1D) dv F=ma=m dt dv ( ) F x dx = m ∫ ∫ dt dx = ∫ m v dv → ZZE = prostorový integrál Newtonových pohybových rovnic

síla F nekoná práci


Potenciální energie, konzervativní síly Konzervativní síla r F = −∇ U

1D:

dU F=− ... dx

U .. potenciální energie x2

x2

∫ F(x ) dx = − ∫

x1

dU dx = U(x1 ) − U(x 2 ) dx x1

.. práce konzervativních sil nezávisí na dráze, pouze na počátečním a konečném stavu

→ ∆T + ∆U = Wn ,

Wn .. práce nekonzervativních sil

(1 T2 + U2 ) − (T1 + U1 ) = W 424 3 1 424 3 {n celková energie na konci děje

celková energie na začátku děje

práce vnějších nekonzervativních sil (případně záporně vzatá disipovaná energie)


Příklady konzervativních sil v mechanice 1. Tíhová síla a potenciální energie tíhového pole U = mg h

F=−

dU = −mg dh

2. Potenciální energie lineární pružiny z definice lineární pružiny F = k x , x

W = ∫ F(s) ds = 0

1 2 k x = Upruž 2

k .. tuhost [N/m]


Práce třecích sil

s

WT = ∫ FT (x ) dx = FT s 123 0

Pozn.: třecí síly nejsou konzervativní (práce závisí na dráze)

konst .


Příklad 3 – řešení úloh dynamiky ze ZZE Po uvolnění pružiny stlačené o délku l0 je těleso vystřeleno vzhůru po nakloněné rovině. Součinitel smykového tření mezi tělesem a podložkou je f. Jaká bude rychlost tělesa v2 ve vzdálenosti L? Řešení: A.

uvolnění, sestavení pohybových rovnic, řešení ODE. Možné, ale velmi pracné.

B.

ze zákona zachování energie: 1 2 k l0 + 0 , 2

Stav 1:

U1 =

T1 = 0

Stav 2:

U2 = 0 + m g l sin(α ),

T2 =

1 2 m v2 2

2

Práce třecích sil:

WT = ∫ FT ds = m g cos(α ) f L 1

Energetická bilance:

(T1 + U1 ) = (T2 + U2 ) − W 1 2 1 2 k l0 = m g L sin(α ) + m v 2 − m g L f cos(α ) ⇒ v 2 = ... 2 2


Zákon zachování hybnosti t2 r r r m v (t 2 ) − m v (t1 ) = ∫ F(t ) dt t1 1 424 3

Impuls sil

Změna hybnosti systému mezi časy t1 a t2 je rovna impulsu působících sil v tomto časovém intervalu

ODVOZENÍ (1D) dv F=ma=m dt t2

t2

t1

t1

∫ F(t )dt = ∫ m

dv dt = m v 2 − m v1 dt

→ zákon zachování hybnosti = časový integrál Newtonových pohybových rovnic

Dynamika hmotného bodu

Recommend Documents