Dynamika hmotného bodu Dynamika - obor mechaniky, vyšetřující vzájemné působení těles, které vede ke změně pohybu Síla - vektorová veličina, je mírou vzájemného působení těles, které vede ke změnám pohybu nebo deformaci těles Síly mohou působit na dálku (např.gravitační síly) nebo přímo prostřednictvím jiných těles (např.tlakové síly). Jednotkou síly v soustavě SI je 1N (Newton) Síla je určená velikostí, směrem a působištěm a)
Síly skutečné
-
vyvolány vzájemným působením hmot.těles nebo mikrofyzikálních částic
b)
Síly setrvačné (zdánlivé)
-
vyvolány zrychleným pohybem vztažných soustav
Dynamika hmotného bodu Základní druhy silových interakcí: a)
gravitační interakce F ∼ mM / r 2 (projevuje se univerzálně mezi všemi typy hmotných objektů) b) elektromagnetická interakce F ∼ Q1Q2 / r 2 (předpokladem je existence el.náboje) c) slabá interakce (projevuje se u všech typů elementárních částic) d) silná interakce (má souvislost s jadernými silami)
Typ interakce
Dosah [m]
Relativní síla
gravitační interakce
∞
10-38
elektromagnetická interakce
∞
10-2
slabá interakce
10-18
10-13
silná interakce
10-15
1
Dynamika hmotného bodu Silové účinky jsou popisovány pomocí následujících fyzikálních veličin Hybnost:
r r p = mv [ kg m s −1 ]
Moment síly:
r r r M = r × F [ N m]
Moment hybnosti:
r r r L = r × p [ kg m 2s −1 ]
Hmotnost : – skalární veličina, která popisuje základní vlastnosti všech hmotných objektů (setrvačnost a vzájemné gravitační působení) – jednotkou SI 1 kg - hmotnost můžeme též chápat jako určitý odpor, který těleso klade vynucené změně pohybu.
Newtonovy zákony Roku 1678 uveřejnil Isaac Newton v knize „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ zákony, které jsou základem klasické fyziky:
a) Zákon setrvačnosti Každé těleso setrvá ve svém stavu klidu nebo stavu rovnoměrného přímočarého pohybu, dokud není vnějšími silami (tj.působením jiných těles) přinuceno tento stav změnit. •
Inerciální vztažný systém Souřadný systém, ve kterém zůstávají volně umístěná tělesa v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu.
Newtonovy zákony b) Zákon síly Časová změna hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších sil, které na těleso působí. r dp r =F dt
- pokud předpokládáme, že se hmotnost v čase nemění, tj. m = konst. r r r r r r d(mv ) dv =m = ma = F (r , v , t ) dt dt
Pohybová diferenciální rovnice
Počáteční podmínky r r (t0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) r v (t0 ) = (v0 x , v0 y , v0 z )
- výsledná vnější síla F v 2.Newtonově zákonu může obecně záviset na poloze, rychlosti a času
Newtonovy zákony c) Zákon akce a reakce Působí-li jedno těleso na druhé silou F12 (tzv.akce), potom druhé těleso působí na první těleso stejně velkou silou F21 (tzv.reakce), ale opačného směru r r F12 = − F21
- přičemž nezávisí, jakým způsobem na sebe tělesa působí (přímo nebo „na dálku“) a zda se pohybují -síly akce F12 a reakce F21 působí na jiná tělesa !!! -sledujeme-li tedy pouze jedno z působících těles, potom nelze tyto síly sčítat !!! r F12
r F21
1 2
Newtonovy zákony – poznámky Síly, o kterých se v Newtonových zákonech hovoří, jsou tzv. silami pravými (skutečnými). Tyto síly mají svůj původ ve vzájemném působení hmotných objektů, řídí se principem akce a reakce a principem superpozice Předpokládá se, že síla vyvolaná hmotným bodem α působí na bod β okamžitě a že tyto síly jsou silami centrálními, tj. že působí podél spojnice bodů α a β. Newtonovy zákony platí pouze pro tělesa, která můžeme nahradit modelem hmotného bodu. Na tělesa mohou působit i tzv.zdánlivé síly, které jsou vyvolány zrychleným pohybem vztažných soustav a které jsou nulové pouze v tzv. inerciálních souřadných soustavách proto Newtonovy zákony platí pouze v inerciálních souřadných soustavách !!!
Newtonovy zákony – důsledky Vypočteme-li časovou změnu momentu hybnosti r r r r r r r d (mv ) r r r dL d(r × mv ) dr = = × (mv ) + r × = r ×F = M dt dt dt dt
tj. časová změna momentu hybnosti hmotného bodu je přímo úměrná výslednému momentu vnějších sil působících na těleso pokud platí: r r F =0 r r M =0
⇒
r p = konst .
zákon zachování hybnosti
⇒
r L = konst.
zákon zachování momentu hybnosti
Časové účinky silového působení časové účinky působící síly můžeme charakterizovat následujícími veličinami: impuls síly: r t2 r r r I S ≡ ∫ F dt = p(t 2 ) − p(t1 ) t1
silové účinky posuvného pohybu
impuls momentu síly: t2 r r r r I M ≡ ∫ M dt = L (t 2 ) − L (t1 )
silové účinky otáčivého pohybu
t1
•
dané veličiny mají souvislost s tzv. „nárazovými silami“
•
Čím větší je impuls, a čím menší je doba vzájemného FS působení těles, tím vyšší je působící síla F. r r t r 1 2 r p(t 2 ) − p(t1 ) FS = F dt = střední nárazová síla: ∫ ∆t t1 t 2 − t1
F
t
Časové účinky silového působení ∆t = 0,15 s
střední síla F FS =
v1 = 90 km/h
mv2 − mv1
m = 1,5 t
∆t
v2 = 0 km/h
FS =& 167 kN
čelní náraz
F
∆t = 10 s
FS
plynulé zastavení
v1 = 90 km/h
m = 1,5 t
v2 = 0 km/h
FS = 3750 N
t
náhlé změny hybnosti se využívá při kování, zatloukání, …
Časové účinky silového působení Video – crash test:
Rychlost 5 km/h
Rychlost 60 km/h
Působení setrvačných sil při obecném pohybu hmotného bodu v pohybující se referenční soustavě působí na daný bod tzv. zdánlivé (setrvačné) síly tyto síly souvisí s „neinerciálností“ pohybující vztažné soustavy P
Zvolme si dvě souřadné soustavy:
z′
a) b)
r r
inerciální soustavu I neinerciální soustavu N, která se vůči soustavě I pohybuje zrychleně
z
O′
r r0
x′
r r 1) posuvný pohyb rychlostí v0 = v0 (t ) 2) otáčivý pohyb úhlovou rychlostí r r ω = ω(t )
O
y′
r R
y
x
Poloha bodu P:
r r r r = r0 + R
Působení setrvačných sil změna polohového vektoru bodu P, kterou pozoruje pozorovatel v inerciální soustavě: r r r r ⎛ ⎛ dr ⎞ ⎛ dr0 ⎞ ⎜ dR ⎞⎟ ⎡ dϕ r ⎤ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎢ × R⎥ ⎜ ⎟ =⎜ d d t t ⎝ ⎠I ⎝ ⎦ ⎠ I ⎝ dt ⎠ N ⎣ dt
změna polohy počátku soustavy I
změna polohy bodu P v důsledku rotace soustavy úhlovou rychlostí
Rychlost bodu P: r r r r r v = v0 + v R + [ ω × R ]
r r ⎛ dr0 ⎞ v0 = ⎜ ⎟ t d ⎝ ⎠I
- rychlost soustavy N vůči soustavě I
r r ⎛ dR ⎞ vR = ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ N
- relativní rychlost bodu P vzhledem k soustavě N
r r r vω = [ ω × R ]
- složka rychlosti vzhledem k otáčení soustavy N
Působení setrvačných sil zrychlení bodu P, kterou pozoruje pozorovatel v inerciální soustavě: r r r r ⎛ dv ⎞ ⎛ dv0 ⎞ ⎛ dvR ⎞ d r r a =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + ω× R = d d d t t t ⎝ ⎠I ⎝ ⎠ I dt ⎠I ⎝ r r r r r r r r ⎛ dR ⎞ dω ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ R ⎟ + [ω × vR ] + × R + ω × ⎜⎜ ⎟⎟ dt ⎝ dt ⎠ I ⎝ dt ⎠ N ⎝ dt ⎠ I
[
]
pro každý vektor obecně platí: r r ⎛ dR ⎞ ⎛ dR ⎞ r r ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ω× R ⎜ dt ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠I ⎝ ⎠N
[
(
r r r r r r r r r r a = a 0 + a R + 2[ω × v R ] + ε × R + ω × ω × R
r r r r r r aR = a − a0 + aS + aC + aod
)
P
z′
r r
z
zrychlení bodu P v soustavě N :
O′
r r0 O
x
r R
x′
y
y′
]
Působení setrvačných sil zrychlení bodu P, kterou pozorujeme v neinerciální soustavě N: r r r r r r aR = a − a0 + aS + aC + aod
r r r ⎛ dv ⎞ ⎛ d 2 r ⎞ a = ⎜ ⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ dt ⎠ I ⎝ dt ⎠ I r r r ⎛ dv0 ⎞ ⎛ d 2 r0 ⎞ a0 = ⎜ ⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ dt ⎠ I ⎝ dt ⎠ I r r 2 ⎛ r ⎛ dvR ⎞ d R⎞ ⎜ aR = ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ dt ⎠ N ⎝ dt ⎠ N
• zrychlení počátku soustavy N vůči soustavě I
r r r a S = −ε × R
• zdánlivé setrvačné zrychlení, způsobené zrychleným rotačním pohybem soustavy N
r r r a C = −2[ω × v R ]
• zrychlení bodu P vůči inerciální soustavě I
• zrychlení bodu P vůči neinerciální soustavě N
• tzv. zrychlení Coriolisovo
r r r r r rr r a0 D = −ω × (ω × R) = Rω2 − ω(ωR) • zrychlení odstředivé
Pohyb v neinerciální soustavě Pohybová rovnice z hlediska „inerciálního“ pozorovatele je podle 2.Newtonova zákona r r ma = F
tedy při popisu pohybu bodu P v neinerciální soustavě máme: r r r ma R = F + FZ
k výslednici skutečných sil (např.gravitace, odporové síly,..) působících na daný objekt je nutno připočíst zdánlivou setrvačnou sílu: r r r r r FZ = −ma0 + maS + maC + ma0 D
na hm.bod na povrchu Země působí tíhová síla
G = mg
g =& 9,8066 m/s2
Pohyb v neinerciální soustavě Příklad: (zrychlený pohyb autobusu)
r a0 r r FS = −ma0
setrvačná síla r r FS = −ma0
r r G = mg
r ω
Příklad: (odstředivý regulátor otáček) odstředivá síla
Fod = mω2 R
dostředivá síla
r r Fd = − Fod
Fod mω R R = = G mg L cos α
α
L
F′ Fod Fd
2
ω=
g L cos α
R
G = mg
Pohyb v neinerciální soustavě Centrifugy mohou simulovat přetížení (hypergravitaci)
Odstředivka (centrifuga): aod = ω2 R
používají se též k odstřeďování a odlučování kapalných látek (přetížení až několik tisíc g) aod g
a >> g
Pohyb v neinerciální soustavě Video – Kolotoč (působení Coriolisovy síly):
Coriolisova síla způsobuje zakřivení dráhy těles, která se pohybují v neinerciální soustavě (nejsou pevně spojená s touto soustavou) Vliv Coriolisovy síly na pohyb se zvyšuje s hmotností těles, úhlovou rychlostí otáčení neinerciální soustavy dobou trvání a rychlostí pohybu.
inerciální soustava
rotující soustava
Pohyb v neinerciální soustavě Příklad: (pohyb na zemském povrchu) Coriolisova síla
r ω
r r r FC = 2m[vR × ω]
r vR
2π = 7,27 ⋅10 −5 rad/s T Coriolisovo zrychlení FC = 2mvR ω sin ϕ je ve většině případů velice malé oproti tíhovému zrychlení
ω=
ϕ = 50o
m = 50 t
r vR
vR = 100 km/h FC = 155 N
r FC
směr působení
ϕ
Pohyb v neinerciální soustavě Coriolisova síla
Coriolisova síla je podstatná pro pohyb rychle se pohybujících hmotných těles (balistické rakety, letadla,..) nebo pro dlouho trvající pohyby (vzdušné a oceánské proudy,..)
Při vypouštění vody z umyvadla je vliv Coriolisovy síly za normálních podmínek nepodstatný
Úlohy mechaniky hmotných bodů 2 základní typy úloh pro pohyb hmotného bodu se zadanou hmotností m A) známe polohu jako funkci času a hledáme výslednici sil způsobujících změnu pohybového stavu bodu; r r r = r (t )
r r r r F = F (r , v , t )
B) známe výslednici sil působících na hmotný bod jako funkci polohy, rychlosti a času a hledáme neznámou polohu jako funkci času a z té pak určujeme další kinematické veličiny; r r r r F = F (r , v , t )
r r r = r (t )
Úlohy mechaniky hmotných bodů Př. ad A): Harmonický pohyb - chceme nalézt sílu působící na harmonicky oscilující hmotný bod
r r r d 2 r (t ) 2 2r F =m j mA sin t m r (t ) = − ω ω = − ω dt 2
r r r (t ) = j A sin ωt
výsledek získáme dvojnásobným derivováním funkce polohy podle času m r F m
r F
Úlohy mechaniky hmotných bodů Př. ad B): Šikmý vrh (bez odporu prostředí) - chceme nalézt trajektorii, po které se nám bude hm.bod pohybovat v prostoru - známe počáteční rychlost v0 a směr výstřelu α Počáteční podmínky
- výsledná působící síla: - pohybová rovnice: r r r d 2 r (t ) dv (t ) m = m = m g dt 2 dt
rychlost:
r r F = mg r g = (0,0,− g )
r r (t0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) r v (t 0 ) = (v0 x , v0 y , v0 z )
výsledek získáme řešením diferenciální pohybové rovnice (2.Newtonův zákon)
r r r v = v0 + gt
r r r 1r r = r0 + v0t + gt 2 2
Hmotný bod se pohybuje po parabole
Úlohy mechaniky hmotných bodů Šikmý vrh y = v0 cos α ⋅ t z = v0 sin α ⋅ t −
1 2 gt 2 z max = 22,9 m v = 30 m/s α = 30o
dz = v0 sin α − gt = 0 dt z=0
2v sin α t= 0 g
ymax = 91,7 m
v sin α t= 0 g
z max ymax
v02 sin α = 2g
2v02 sin α cos α = g
max. výška max. dolet
Úlohy mechaniky hmotných bodů Příklad: Pohyb rakety (proměnná hmotnost) - chceme nalézt trajektorii, po které se nám bude pohybovat v prostoru objekt s časově proměnnou hmotností m(t) - Vůči nějaké inerciální soustavě se raketa se pohybuje rychlostí v a spalované plyny rychlostí w - Za čas dt vzrostla rychlost rakety o dv a hmotnost se zmenšila o dm: (dm>0) r r r r r r r p ′ = (m − dm )(v + dv ) + wdm ≈ mv + md v + v R d m • Hybnost v čase t+dt: • Změna hybnosti za čas dt: • Pohybová rovnice rakety: r r vR FR
r r r r r dp = p ′ − p = v R dm + mdv
r r dp r dm dv r = vR +m =F dt dt dt r r r m ⋅ a = F + FR
pohybová rovnice hmotného bodu s proměnnou hmotností.
r r dm FR = −vR dt
relativní rychlost r r r vR = w − v Výsledná vnější působící síla, např.gravitace reaktivní síla, která urychluje nebo brzdí daný objekt
Úlohy mechaniky hmotných bodů Video – start rakety:
Úlohy mechaniky hmotných bodů start rakety - přetížení
