Dynamika hmotného bodu Hmotným bodem rozumíme model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje), a u kterého předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech působících sil do jednoho bodu – středu hmotnosti. Neuvažujeme tedy prostorové rozložení hmoty charakterizované elipsoidem setrvačnosti. Hmotný bod je určen svou polohou vprostoru a hmotností, symbolicky vyjádřeno zákonitosti pohybu hmotného bodu popisují Newtonovy pohybové zákony.
. Obecné
Newtonovy pohybové zákony 1. Newtonův pohybový zákon (zákon setrvačnosti) zní: Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo zůstává vklidu, není-li nucen vnější silou tento pohybový stav změnit. Matematicky vyjádřeno:
2. Newtonův pohybový zákon (zákon síly) říká: Časová změna vektoru hybnosti je rovna výslednici působících sil.
Kde je vektor hybnosti hmotného bodu, je vektor okamžité rychlosti a výslednice všech sil působících na hmotný bod. Vpřípadě, že hmotnost hmotného bodu je konstantní, lze vztah (1.1) zjednodušit do tvaru
kde
je vektor zrychlení hmotného bodu.
3. Newtonův pohybový zákon (zákon akce a reakce) zní: Síly kterými na sebe vzájemně působí dva hmotné body jsou stejně velké, ale opačně orientované. Označíme-li sílu, kterou působí hmotný bod 1 na hmotný bod 2 bod 1
a sílu, kterou působí hmotný bod 2 na hmotný
, potom platí
Pro úplnost uveďme i tzv. Newtonův gravitační zákon, který vyjadřuje přitažlivou sílu mezi dvěmi hmotnými body o hmotnostech m1 a m2 , jejichž vzájemná poloha je určena polohovým vektorem
kde κ je gravitační konstanta κ = 6,67.10-11 Nm2 kg-2.
Pohybové rovnice hmotného bodu
Při sestavování pohybových rovnic hmotného bodu metodami vektorové dynamiky lze použít dva způsoby. Prvním znich je Newtonův způsob, vycházející z2. Newtonova pohybového zákona, druhým pak d’Alembertův způsob, vycházející z d’Alembertem zavedeného pojmu setrvačné síly.
Newtonův způsob sestavování pohybových rovnic Působí-li na hmotný bod o konstantní hmotnosti m soustava sil , platí pro jeho pohyb vlibovolném inerciálním souřadnicovém systému Newtonova pohybová rovnice (viz vztah (1.2) )
. Kurčení silové výslednice je nutno kde je zrychlení hmotného bodu vyvolané výslednicí působících sil znát všechny působící síly. U volného hmotného bodu (tedy hmotného bodu, který není ke svému okolí vázán žádnými vazbami) jsou to pouze síly akční. U vázaného hmotného bodu je nutno k silám akčním přidat ještě síly reakční - reakce vazeb, jimiž při uvolňování tělesa nahrazujeme silový účinek vazeb hm. bodu sokolím. Při řešení pohybu vázaného hmotného bodu jej tedy nejprve uvolníme (nahradíme vazby sokolím ekvivalentním silovým působením) – řešení metodou uvolňování. Při konkrétním řešení je nutno vektorovou pohybovou rovnici (1.5) rozepsat do složkových (skalárních) rovnic ve zvoleném souřadnicovém systému. Jejich počet je dán počtem rozměrů použitého prostoru vektorů sil a zrychlení. Vtřírozměrném prostoru rozepíšeme pohybovou rovnici do tří složkových, vdvourozměrném prostoru (rovina) do dvou a u vektorů ležících na jedné přímce (jednorozměrný prostor) do jedné složkové rovnice. Nejčastěji se používá některý zpravoúhlých souřadnicových systémů: kartézský, válcový (polární), průvodní trojhran, sférický. Rozpis vektorové pohybové rovnice do složkových rovnic: Kartézský souřadnicový systém (x,y,z) - (obr. 1.1)
Obr. 1.1: Kartézský souřadnicový systém
Válcový souřadnicový systém (ρ,φ,z) - (obr. 1.2)
Obr. 1.2: Válcový souřadnicový systém Polární souřadnicový systém (ρ,φ) – zvláštní případ válcového s.s. pro z = 0
Přirozené souřadnice – průvodní trojhran (t tečna, n normála, b binormála) - (obr. 1.3)
Obr. 1.3: Přirozený souřadnicový systém kde at tečné zrychlení je dáno vztahem
an -normálové zrychlení
(R je poloměr křivosti trajektorie hmotného bodu - obr. 1.3) ab -binormálové zrychlení
Sférický souřadnicový systém
- (obr. 1.4)
Obr. 1.4: Sférický souřadnicový systém
d’ Alembertův způsob sestavování pohybových rovnic Součin hmotnosti a zrychlení vNewtonově pohybové rovnici (1.5) má rozměr síly. Toho využil d’Alembert kzavedení setrvačné síly
Pohybovou rovnici (1.5) potom můžeme přepsat do tvaru
a slovně formulovat jako D’Alambertův princip: Všechny síly působící na hmotný bod jsou vrovnováze se silou setrvačnou tohoto bodu. Tento postup umožňuje sestavovat pohybové rovnice formálně stejnými metodami jako ve statice, což může být někdy výhodné. Prakticky postupujeme tak, že ksilám akčním a reakčním působícím na uvolněný hmotný bod připojíme setrvačnou sílu , která bude orientována opačně proti předpokládanému směru zrychlení viz obr. 1.5.
Obr. 1.5: Sestavení pohybových rovnic d’Aleambertovým způsobem A dále sestavíme pohybovou rovnici ve tvaru (1.15), jako rovnici rovnováhy všech působících sil se silou setrvačnou. Spohybovou rovnicí sestavenou d’Aleambertovým způsobem pracujeme dále stejně jako srovnicí
sestavenou Newtonovým způsobem, tedy rozepíšeme ji do složkových rovnic podle zvoleného souřadnicového systému . Např. pro kartézský souřadnicový systém
Řešení pohybových rovnic Při řešení pohybových rovnic se můžeme setkat se dvěma základními případy: pro předem daný pohyb hmotného bodu (známe kinematické charakteristiky) hledáme síly které jej vyvolaly známe působící síly a hledáme kinematické charakteristiky pohybů, které tyto síly vyvolají První případ je jednoduchý. Známe-li např. parametrické rovnice pohybu hmotného bodu
získáme jejich dvojím derivováním jednotlivé složky vektoru zrychlení
které po vynásobení hmotností m (za předpokladu, že m = konst.) dávají přímo složky hledané výsledné síly
Druhý případ je složitější, protože vede na řešení diferenciálních rovnic (pohybové rovnice jsou vzhledem ksouřadnicím rovnicemi diferenciálními, zpravidla druhého řádu, obecně simultánní). Kjejich řešení (integraci) musí být zadán příslušný počet počátečních podmínek (tj. vtrojrozměrném prostoru šest počátečních podmínek, např. ). Obtížnost řešení je velmi závislá na charakteru působících sil. Nejčastěji se setkáváme se silami konstantními (např. tíhová síla), silami závislými na poloze (síly pružin), nebo na rychlosti (odpor prostředí) a silami závislými na čase (budící síly). Pro obecný případ jsou působící síly funkcí času, polohy i rychlosti . Vmnohých případech je řešení takovéto soustavy simultánních diferenciálních rovnic velmi obtížné a často vuzavřeném tvaru neexistuje vůbec. Vtakových případech se musíme spokojit sřešením přibližným, pomocí některé znumerických metod. Řešení soustavy pohybových rovnic se výrazně zjednoduší, jestliže lze jednotlivé rovnice řešit samostatně. Například vpřípadě, kdy budící síly jsou pouze funkcí času
získáme jejich dvojí integrací závislosti souřadnic hmotného bodu na čase
, čímž je pohyb vyšetřen.
Příklad 1.1 Horkovzdušný balón o celkové hmotnosti m1 klesá směrem svislým dolů konstantním zrychlením obr. 1.6a. Určete jaký vztlak působí na balón. Dále určete jakou hmotnost m2 je nutno odhodit, aby balón stoupal se zrychlením a2 . Balón budeme modelovat jako hmotný bod, soustředíme tedy celou jeho hmotnost a všechny působící síly do jednoho bodu (středu hmotnosti) viz obr. 1.6a. Nebudeme-li uvažovat vliv odporu vzduchu, působí na hmotný bod (balón) síla tíhová a síla vztlaková. Vždy ve směru pohybu budeme předpokládat kladný směr vektoru zrychlení.
Obr. 1.6a Pohybovou rovnici sestavíme Newtonovým způsobem na základě rovnice (1.5)
Tuto vektorovou pohybovou rovnici rozepíšeme do složkových. Vnašem případě má cenu uvažovat pouze vertikální směr, ve kterém balón klesá, protože vostatních směrech se balón nepohybuje
a odtud . Vtomto případě se jedná o první typ úlohy , kdy pro zadaný pohyb hmotného bodu hledáme síly které jej vyvolaly. Sestavujeme-li pohybovou rovnici d’Alambertovým způsobem, připojíme ksilám působícím na balón sílu setrvačnou, orientovanou opačně proti předpokládanému směru vektoru zrychlení a pohybovou rovnici píšeme ve tvaru (1.15)
Složková rovnice ve směru pohybu balónu potom bude
a odtud
. Po odhození zátěže je situace zachycena na obr. 1.6b. Upozorněme, že vztlaková síla působící na balón zůstává stejná.
Obr. 1.6b Sestavíme-li vtomto případě pohybovou rovnici Newtonovým způsobem můžeme psát složkově
odtud
což je hmotnost, kterou musíme zbalónu odhodit, aby stoupal se zrychlením a2.
Příklad 1.2 Hmotný pod o hmotnosti m se začne vurčitém okamžiku pohybovat směrem dolů po nakloněné rovině súhlem sklonu α spočáteční rychlostí v0 obr 1.7. Součinitel tření mezi nakloněnou rovinou a hmotným bodem je f. Určete závislost polohy a rychlosti na čase
.
Obr. 1.7 Vtomto případě se jedná o přímočarý pohyb vázaného hmotného bodu. Po uvolnění budou na hmotný bod působit kromě síly akční – síly tíhové i reakce vazeb- normálová reakce podložky a síla třecí. Třecí sílu můžeme vyjádřit na základě Columbova zákona jako
Na základě 2. Newtonova pohybového zákona můžeme psát pohybovou rovnici ve tvaru
Rozepíšeme-li ji do složek podle zvoleného souřadnicového systému dle obr. 1.7 dostaneme
Síly ve směru předpokládaného zrychlení bereme kladné síly jdoucí proti vektoru zrychlení záporné.Zdruhé rovnice plyne že , tedy že normálová reakce podložky je rovna kosinové složce tíhové síly. Zprvní rovnice je vidět, že hnací silou pohybu hmotného bodu dolů po nakloněné rovině je sinová složka tíhové síly. Síla třecí působí jako brzdící síla tohoto pohybu. Může nastat případ, že třecí síla je větší než složka tíhové síly, vtakovém případě se hmotný bod nepohybuje. Vydělíme-li první rovnici hmotností a dosadíme do ní vyjádření třecí síly na základě Columbova zákona dostaneme
Integrací získáme vztah pro rychlost
Vztah pro polohu dostaneme druhou integrací pohybové rovnice
Tato úloha byla druhého typu -viz kap. 1.2.3, kdy známé působící síly a hledáme kinematické charakteristiky pohybů, které tyto síly vyvolají. Tato úloha vede na integraci pohybových rovnic.
Příklad 1.3 Pro tzv. kruhové kyvadlo dle obr. 1.8 otáčející se konstantní uhlovou rychlostí ω. Určete výšku h a sílu vzávěsu Fz. Délka závěsu je l hmotnost hmotného bodu m.
Obr. 1.8 Kruhovým kyvadlem rozumíme hmotný bod zavěšený na nehmotném závěsu, konající pohyb po kružnici. . Hmotný bod tedy vykonává pohyb křivočarý. Po uvolnění budou na hmotný bod působit síla tíhová- síla akční a síla vzávěsu – rekce vazby viz obr 1.8. Newtonovým způsobem sestavíme pohybovou rovnici ve tvaru
Jestliže hmotný bod vykonává pohyb po křivce využíváme svýhodou přirozeného s.s. tvořeného tečnou, normálou a binormálou. Složkové rovnice vtomto s.s. budou mít tvar
Vyjádříme-li ztřetí rovnice sílu vzávěsu známého zkinematiky
dostáváme dosazením do první rovnice
dosadíme-li na základě geometrie úlohy viz obr 1.8
a odtud hledaná výška h
a využijeme-li vztahu pro normálové (dostředivé) zrychlení
obdržíme
Sílu vzávěsu dostaneme dosazením do vztahu získaného ze složkové rovnice ve směru binormály
.
Základní věty dynamiky hmotného bodu Ponecháme- li pohybové rovnice vobecném tvaru a provedeme-li snimi stejné matematické operace jako při řešení konkrétního případu, získáme některé obecné závislosti mezi veličinami charakterizujícími pohyb hmotného bodu a veličinami charakterizujícími působící síly. Tyto závislosti označujeme jako základní věty dynamiky hmotného bodu. Využíváme je potom při řešení úloh místo pohybových rovnic.
Věta o změně hybnosti Dosadíme-li do pohybové rovnice (1.5) za zrychlení
, můžeme psát
a po integraci
Označme
jako hybnost hmotného bodu a
jako impuls síly
. Potom platí
Vztah (1.25) je diferenciální tvar věty o změně hybnosti, vztah (1.26) je integrální tvar této věty. Slovně můžeme tuto větu formulovat jako: Změna hybnosti hm. bodu vurčitém časovém intervalu je dána součtem impulsů jednotlivých působicích sil vtomtéž časovém intervalu. Vektorové rovnice (1.25, 1.26) při řešení konkrétní úlohy opět rozepisujeme do jednotlivých složkových rovnic. Větu o změně hybnosti lze využít zejména tam, kde chceme získat závislost mezi rychlostí a časem, ovšem
jen vtěch případech kdy lze vyčíslit příslušný impuls sil (integrál (1.24)), jako např. pro konstantní síly nebo síly jež jsou pouze funkce času. Zrovnice (1.25) plyne, že je-li součet působících sil na hmotný bod nulový, pak se jeho hybnost nemění. To označujeme jako větu o zachování hybnosti.
Příklad 1.4 Vozík lanové dráhy viz obr 1.9 se pohyboval směrem dolů rychlostí v0, když došlo kpřerušení tažného lana. Určete za jaký čas se rychlost vozíku zdvojnásobí. Tření vzávěsu vozíku neuvažujte.
Obr. 1.8
Věta o změně momentu hybnosti Vynásobíme- li pohybovou rovnici (1.5) vektorově polohovým vektorem hmotného bodu
Označíme-li
jako moment hybnosti hmotného bodu, pak
protože
Označíme-li dále
jako moment síly
kpočátku a
dostáváme
jako impuls momentu síly
kpočátku za čas t, pak platí
Vztah (1.33) je věta o změně momentu hybnosti hmotného bodu vdiferenciálním tvaru: Časová změna momentu hybnosti kdanému bodu (ose) je dána momentem všech působících sil ktémuž bodu (ose). Vztah (1.34) je věta o změně momentu hybnosti vintegrálním tvaru: Změna momentu hybnosti kdanému bodu (ose) vurčitém časovém intervalu je dána impulsem momentů všech působících sil ktémuž bodu (ose) vtomtéž časovém intervalu. Větu o změně momentu hybnosti používáme zejména kzískání závislostí mezi rychlostí a časem, jestliže rozložení sil umožňuje psát jednoduchou momentovou rovnici. Diferenciální tvar věty používáme často ksestavování pohybové rovnice vmomentovém tvaru. Zrovnice (1.33) plyne, že je-li knějakému bodu resp. ose výsledný moment působících sil nulový, pak moment hybnosti ktomuto bodu (ose) nemění. To označujeme jako větu o zachování momentu hybnosti. Takovým případem je např. pohyb hm. Bodu za sil trvale protínajících jednu osu.
Věta o změně kinetické energie Vynásobíme-li pohybovou rovnici (1.5) skalárně
a protože platí
, můžeme psát
a po integraci
Kde
je kinetická (pohybová) energie hmotného bodu a
je mechanická práce všech sil.
dostáváme
Vztah (1.37) je integrální tvar věty o změně kinetické energie hmotného bodu: Změna kinetické energie hmotného bodu mezi dvěma polohami je dána prací všech sil mezi těmito polohami. Větu lze formulovat i vdifrenciálním tvaru: Časová změna kinetické energie hmotného bodu je dána výkonem působících sil.
kde
je výkon působících sil.
Věty se požívá kurčení závislosti mezi rychlostí a polohou, jestliže je snadný výpočet integrálu vyjadřující práci, jak je tomu pro síly konstantní nebo závislé pouze na poloze.
Věta o zachování mechanické energie Při výpočtu práce lze často použít vlastnosti potenciálních (konzervativních) sil. Tyto síly jsou pouze funkcí polohy a jejich práce nezávisí na tvaru dráhy, ale pouze na počáteční a koncové poloze. To je možné pouze za předpokladu, že nepůsobí pasivní odpory. Podél jakékoliv uzavřené křivky je práce vykonaná potenciálními silami nulová
. Potom
kde U je tzv. silová funkce (potenciál). Zavedeme-li potenciální energii
pak pro pohyb hmotného bodu, jestliže práci konají pouze síly potenciální, na základě vztahu (1.37) platí
nebo
Vztah (1.44) vyjadřuje větu o zachování mechanické energie: Konají-li při pohybu hmotného bodu práci pouze síly potenciální, pak se celková mechanická energie (součet kinetické a potenciální energie) nemění. Pro tíhovou sílu
(g je tíhové zrychlení,
kde h je výška na hladinou nulové potenciální energie. Pro lineární pružinu platí pro potenciální energii vztah
kde kje tuhost pružiny a d je deformace pružiny
Příklad 1.6 – kulička po válci
) lze potenciální energii vyjádřit jako
1.4 Dynamika složeného pohybu hmotného bodu Vtechnické praxi se často setkáváme stím, že hmotný bod koná pohyb složený zvíce základních pohybů. Obvykle tento pohyb rozkládáme na pohyb relativní vůči nějakému pohyblivému prostoru a pohyb unášivý, který koná hmotný bod ve spojení spohyblivým prostorem vůči nepohyblivému základnímu prostoru. Vnepohyblivém prostoru zvolme souřadnicový systém (O1 , x1 , y1 , z1 ) a v pohyblivém prostoru zvolme souřadnicový systému (O2 , x2 , y2 , z2). S.s. (O2 , x2 , y2 , z2 ) rotuje úhlovou rychlostí kolem počátku O2 , jehož polohu vůči nepohyblivému základnímu souřadnicovému systému určuje polohový vektor a který má vdaném časovém okamžiku rychlost a zrychlení (neinerciální s.s.) - obr. 1.12.
Obr. 1.12: Složený pohyb hmotného bodu Zkinematiky známe vztahy pro určení polohy, rychlosti a zrychlení hmotného bodu A vzhledem kzákladnímu souřadnicovému systému (O1 , x1 , y1 , z1) Poloha
Rychlost
kde
je rychlost relativního pohybu hm. bodu je rychlost unášivého pohybu
Zrychlení
kde
je zrychlení relativního pohybu hm. bodu
je zrychlení unášivého pohybu je zrychlení Coriolisovo
Za předpokladu, že m=konst., dostaneme pohybovou rovnici hmotného bodu vzhledem k (O1 , x1 , y1 , z1 ) Newtonovým způsobem dosazením zrychlení ze vztahu (1.49) do rovnice (1.5)
Vztah (1.51) představuje pohybovou rovnici hmotného bodu, který vykonává pohyb složený zrelativního a unášivého pohybu. Sestavujeme-li pohybovou rovnici d’Alembertovým způsobem zavedeme, setrvačnou sílu relativního pohybu hm. bodu , setrvačnou sílu unášivého pohybu , a setrvačnou sílu Coriolisovu . Ksilám akčním a reakčním působícím na uvolněný hmotný připojíme tedy ještě s ještě setrvačné síly (1.51) (1.52) (1.53) orientované opačně proti předpokládanému směru příslušného zrychlení a pohybovou rovnici sestavíme jako rovnici rovnováhy sil
Zuvedeného vztahu plyne, že chceme-li sestavovat d’Alembertovým způsobem pohybové rovnice hm. bodu konajícího složený pohyb, musíme kvnějším silám přiřadit setrvačné účinky relativního a unášivého pohybu a setrvačné síly Coriolisovy.
